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Warum ist das richtig?

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Udo

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May 20, 2023, 12:48:18 PM5/20/23
to
Hallo,
wie im Nachbar-Thread (Größenvergleich von Zahlen) angekündigt,
hier eine gemetrische Konstruktions-Aufgabe:
Gegeben ist ein Rechteck, in das zwei identische Halbkreise so
einbeschrieben sind, dass sie sich berühren:
Berechnet werden soll die Fläche dieser beiden (grünen) Halbkreise.

https://ibb.co/X8kbm3Y

Das ist kein großes Ding, wenn man den Einstieg sieht.
Pythagoras - dann hat man den Radius und somit die Fläche
eines Halbkreises. Die Gesamtfläche ergibt sich dann zu
A = π * (13/6)^2 ≈ 14.75 FE (2 Halbkreise = Vollkreis)
Soweit, so gut.

Jetzt aber die Frage:
Wie konstruiert man diese Figur (Reckteck mit einbeschriebenen
Halbkreisen) nur mit Zirkel und Lineal?

Ich habe nach längerem Grübeln eine Konstruktion gefunden, deren
Korrektheit ich aber noch nicht eindeutig nachgewiesen habe.

Konstruktion:
(1) Zeichne die Rechteckdiagonale BD : Gerade g(B ∈ g ∧ D ∈ g).
(2) Zeichne die Senkrechte zu g durch O : Gerade h ⊥ g, mit O ∈ h.
(3) Schneide h mit den langen Rechteckseiten
h ∩ CD -> Punkt F
h ∩ AB -> Punkt G
(4) Die Strecken BG und DF sind gerade die Durchmesser der Halbkreise.

Zu zeigen (begründen) ist:
a. Der Berührpunkt der beiden Halbkreise ist gerade der
Rechteck-Mittelpunkt O.
b. Die Punktze F und G liegen auf dem jeweiligen Halbkreis,
so dass damit der entsprechende Durchmesser gegeben ist.

Warum ist die Konstruktion richtig?
Wie geht man vor, um die Korrektheit nachzuweisen?

Grüße Udo

Andreas Leitgeb

unread,
May 20, 2023, 5:20:19 PM5/20/23
to
Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> https://ibb.co/X8kbm3Y
> Jetzt aber die Frage:
> Wie konstruiert man diese Figur (Reckteck mit einbeschriebenen
> Halbkreisen) nur mit Zirkel und Lineal?

> Ich habe nach längerem Grübeln eine Konstruktion gefunden, deren
> Korrektheit ich aber noch nicht eindeutig nachgewiesen habe.

Habe vor dem Weiterlesen hier eine "ähnliche" Konstruktion
gefunden, allerdings eine (für mich) naheliegendere: die
Mittelsenkrechte habe ich auf die *halbe* Diagonale konstruiert,
da der Mittelpunkt eines Kreises, der durch die Ecke und
den Rechtecksmittelpunkt geht, auf eben dieser Mittelnormalen
liegen muss.

Dass sich die Kreise gerade im Mittelpunkt berühren müssen (und
somit natürlich durch den Mittelpunkt gehen), ergibt sich aus
der Punktsymmetrie und daraus, dass Kreise konvex sind:

Der Mittelpunkt O kann nicht im Inneren eines der Kreise sein,
sonst müsste er (punkt-symmetrie um O) auch im inneren des
anderen sein - dann würden sich die Kreise aber überlappen,
nicht berühren. Berührung der Kreise ist aber gefordert.

Wäre der Berührpunkt B der Kreise ungleich O (und O eben außerhalb
beider Kreise), dann gäbe es einen durch 180° Drehung um O erreichten
zweiten Berührpunkt B', und wegen der Konvexität wäre die gesamte
Strecke dazwischen auch "Berühr-bereich", also auch O darin.
Einander (von außen) berührende Kreise haben aber nun mal nur einen
einzelnen gemeinsamen Berührpunkt.

> Zu zeigen (begründen) ist:
> Warum ist die Konstruktion richtig?

Bei meiner - im Prinzip äquivalenten - Konstruktion ist imho
die Argumentation schon klar enthalten:

O muss der Berührpunkt sein, also jeweils (gemeinsam mit einem Eck
des Rechtecks) auf dem Kreis selbst liegen => Strecken-halbierende der
Halb-diagonale mit Rechteck-langseite schneiden, auf der der Kreis-
mittelpunkt ja nun auch liegen soll -> Rest trivial.

Ulrich D i e z

unread,
May 21, 2023, 6:04:34 AM5/21/23
to
Am 20.05.23 um 18:48 schrieb Udo:
Pferdefuß ist meiner Meinung nach, dass man zeigen muss, dass
man den Berührpunkt O als Drehzentrum für eine Drehung um
180 Grad bzw als Symmetriezentrum für Drehsymmetrie nehmen kann.

Wenn man das einfach voraussetzt, anstatt es zu zeigen, ist der
Rest, wenn ich nichts übersehe, einfach:

Wegen des Satzes des Thales sind die Dreiecke GBO und FDO rechtwinklig.
Das rechtwinklige Dreiecks FDO kann als Drehung des rechtwinkkligen
Dreiecks GBO im Winkel von 180 Grad um den Berührpunkt/das
Drehsymmetriezentrum O aufgefasst werden, sodass die Dreiecke
FDO und GBO kongruent sind.

Wegen der Rechtwinkligkeit von FDO stehen die Strecken FO und DO
senkrecht aufeinander.
Wegen der Rechtwinkligkeit von GBO stehen die Strecken GO und BO
senkrecht aufeinander.

Die Strecke FO erhält man, indem man die Strecke GO im Winkel von
180 Grad um O dreht, sodass FO und GO gleich lang sind, sich in O
berühren und auf der selben Geraden liegen, sodass die Punkte
F, G und O auf der selben Geraden liegen und O die Srecke FG halbiert.

Die Strecke DO erhält man, indem man die Strecke BO im Winkel von
180 Grad um O dreht, sodass DO und BO gleich lang sind, sich in O
berühren und auf der selben Geraden liegen, sodass die Punkte
D, B und O auf der selben Geraden liegen und O die Strecke BD halbiert.

Da die Strecken FO und DO senkrecht aufeinander stehen und die Strecke
FO auf der Strecke FG liegt und die Strecke DO auf der Strecke BD liegt,
stehen auch die Strecken FG und BD senkrecht aufeinander.

Das waren jetzt sieben Absätze, die das Problem wohl nicht wirklich
lösen. ;-)

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Udo

unread,
May 21, 2023, 6:28:57 AM5/21/23
to
Andreas Leitgeb schrieb am Samstag, 20. Mai 2023 um 23:20:19 UTC+2:

> Habe vor dem Weiterlesen hier eine "ähnliche" Konstruktion
> gefunden, allerdings eine (für mich) naheliegendere: die
> Mittelsenkrechte habe ich auf die *halbe* Diagonale konstruiert,
> da der Mittelpunkt eines Kreises, der durch die Ecke und
> den Rechtecksmittelpunkt geht, auf eben dieser Mittelnormalen
> liegen muss.

OK. Nehmen wir den oberen Halbkreis.
Die Diagonale schneidet diesen Halkreis im Punkt O (Origo).
Die Halbe Diagonale ist Sekante in diesem Halbkreis, eine
Mittelsenkrechte darauf geht durch den (Halb-)Kreismittelpunkt.
Soweit verstanden.

>
> Dass sich die Kreise gerade im Mittelpunkt berühren müssen (und
> somit natürlich durch den Mittelpunkt gehen), ergibt sich aus
> der Punktsymmetrie und daraus, dass Kreise konvex sind:
>
> Der Mittelpunkt O kann nicht im Inneren eines der Kreise sein,
> sonst müsste er (punkt-symmetrie um O) auch im inneren des
> anderen sein - dann würden sich die Kreise aber überlappen,
> nicht berühren. Berührung der Kreise ist aber gefordert.

Bis hierher alles verstanden.

> Wäre der Berührpunkt B der Kreise ungleich O (und O eben außerhalb
> beider Kreise), dann gäbe es einen durch 180° Drehung um O erreichten
> zweiten Berührpunkt B', und wegen der Konvexität wäre die gesamte
> Strecke dazwischen auch "Berühr-bereich", also auch O darin.
> Einander (von außen) berührende Kreise haben aber nun mal nur einen
> einzelnen gemeinsamen Berührpunkt.

Du zeigst (Fallunterscheidung), dass
(1) der Berührpunkt nicht im Inneren eines der beiden Kreise liegen kann,
weil sie sich dann überlappen würden,
(2) der Berührpunkt nicht außerhalb eines Kreises liegen kann, weil
dann der Berührpunkt kein Punkt, sondern eine Strecke wäre.

Auf diese logische Vorgehensweise bin ich nicht gekommen.
Ich hatte bis jetzt keinen Plan.

> Bei meiner - im Prinzip äquivalenten - Konstruktion ist imho
> die Argumentation schon klar enthalten:
>
> O muss der Berührpunkt sein, also jeweils (gemeinsam mit einem Eck
> des Rechtecks) auf dem Kreis selbst liegen => Strecken-halbierende der
> Halb-diagonale mit Rechteck-langseite schneiden, auf der der Kreis-
> mittelpunkt ja nun auch liegen soll -> Rest trivial.

Vielen Dank für diese geduldige "Nachhilfe" in Elementargeometrie.
Diese Strategie lässt sich auf viele ähnliche Probleme übertragen.
Klasse!

Schönes Restwochenende!

Alfred Flaßhaar

unread,
May 21, 2023, 11:00:26 AM5/21/23
to
Am 20.05.2023 um 18:48 schrieb Udo:

(...)

Habe erst jetzt die Aufgabe gefunden, nicht alle Beiträge gelesen und
hoffe, sie korrekt verstanden zu haben:

Gegeben ist das Rechteck ABCD und sein Diagonalenschnittpunkt O. Zu
konstruieren sind gem. Skizze zwei Halbkreise mit den Durchmessern DF
und GB, daß sie sich in O tangieren.

Auf die Schnelle würde ich O an DC bzw. AB spiegeln. Auf der Skizze
liefert das "oben" den Punkt O1 und "unten" den Punkt O2, jeweils
außerhalb des gegebenen Rechtecks. Oben hat man dann mit D, O, O1 drei
Punkte, um mit Hilfe der Mittelsenkrechten in diesem Dreieck den
Umkreismittelpunkt zu konstruieren. Der "untere" Halbkreis davon ist der
erste gesuchte Halbkreis. Analog wird nach unten konstruiert. Bleibt nur
noch zu zeigen, daß die Tangentenbedingung erfüllt ist ;-).

Sonntagsgruß, Alfred Flaßhaar


JVR

unread,
May 21, 2023, 12:00:49 PM5/21/23
to
Konstruiere GO senkrecht auf BD. Dann ist GB der doppelte Radius.

Alfred Flaßhaar

unread,
May 21, 2023, 1:50:18 PM5/21/23
to
Am 21.05.2023 um 18:00 schrieb JVR:
> On Sunday, May 21, 2023 at 5:00:26 PM UTC+2, Alfred Flaßhaar wrote:
>> Am 20.05.2023 um 18:48 schrieb Udo:
>>
>> (...)
>>>
> Konstruiere GO senkrecht auf BD. Dann ist GB der doppelte Radius.

Deshalb der smiley. Ist schon stark der Thales.

Udo

unread,
May 22, 2023, 6:05:43 AM5/22/23
to
@ Alfred Flaßhaar schrieb am Sonntag, 21. Mai 2023 um 17:00:26 UTC+2:
> (...)
> Gegeben ist das Rechteck ABCD und sein Diagonalenschnittpunkt O. Zu
> konstruieren sind gem. Skizze zwei Halbkreise mit den Durchmessern DF
> und GB, daß sie sich in O tangieren.

So lautet die Aufgabe nicht.
Man weißt zunächst nicht, dass die beiden Halbkreise sich genau im Rechteck-
Mittelpunkt schneiden. Man soll zeigen, dass das so ist.
Setzt man das voraus, wird die Aufgabe einfacher.

@ JVR schrieb ...
> Konstruiere GO senkrecht auf BD. Dann ist GB der doppelte Radius.
Woher weißt Du das?
Das soll ja gerade nachgewiesen werden.

Grüße zum Wochenanfang Udo

Andreas Leitgeb

unread,
May 22, 2023, 6:27:28 AM5/22/23
to
Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> @ JVR schrieb ...
>> Konstruiere GO senkrecht auf BD. Dann ist GB der doppelte Radius.
> Woher weißt Du das?
> Das soll ja gerade nachgewiesen werden.

Unter der Annahme, dass O als Berührpunkt der Kreise schon
gezeigt ist, dann ist damit auch die schwächere Aussage gezeigt,
dass der Kreis durch O geht.

Falls du es (aus der Schule) schon vergessen hast, lies dich
zum Thema "Thaleskreis" ein.

Etwas umformuliert ergibt das:
Wenn du von einem beliebigen Punkt eines Kreises zwei Geraden zu
einander gegenüberliegenden Punkten ziehst, dann haben die Geraden
zueinander einen rechten winkel.

Oder noch anders: für alle rechtwinkeligen Dreiecke mit einer
fix gegebenen Hypotenuse (AB) liegt das dritte Eck auf einem Kreis,
mit der Hypotenuse als Durchmesser.

Im konkreten Beispiel kennen wir den Kreis zwar noch nicht, aber
wir kennen die Träger-linie der Hypotenuse, und wir kennen einen
weiteren Punkt auf dem Kreis, nämlich O, und wissen, dass die halbe
rechtecks-diagonale eine Gerade ist, die von dem Punkt O zu einem
durchmesser-endpunkt des Kreises geht: somit muss die Gerade durch
O zum anderen durchmesser-endpunkt im rechten winkel auf die diagonale
liegen.

Alfred Flaßhaar

unread,
May 22, 2023, 9:31:05 AM5/22/23
to
Am 22.05.2023 um 12:05 schrieb Udo:
> @ Alfred Flaßhaar schrieb am Sonntag, 21. Mai 2023 um 17:00:26 UTC+2:
>> (...)
>> Gegeben ist das Rechteck ABCD und sein Diagonalenschnittpunkt O. Zu
>> konstruieren sind gem. Skizze zwei Halbkreise mit den Durchmessern DF
>> und GB, daß sie sich in O tangieren.
>
> So lautet die Aufgabe nicht.
> Man weißt zunächst nicht, dass die beiden Halbkreise sich genau im Rechteck-
> Mittelpunkt schneiden. Man soll zeigen, dass das so ist.
> Setzt man das voraus, wird die Aufgabe einfacher.
>
(...)

Dann formuliere die Aufgabe vielleicht so:
Gemäß Skizze sind zwei kongruente Halbkreise zu konstruieren.

Ist das so gemeint? Wenn "ja", dann ist mit Symmetriebetrachtungen der
Punkt O als Tangentialpunkt der Halbkreise fällig. Z.B. können die
halben Rechtecke (jweils oben und unten) gespiegelt und gedreht werden.

Gruß, Alfred

Ulrich D i e z

unread,
May 22, 2023, 9:33:03 AM5/22/23
to
Am 22.05.23 um 12:05 schrieb Udo:

> @ Alfred Flaßhaar schrieb am Sonntag, 21. Mai 2023 um 17:00:26 UTC+2:
>> (...)
>> Gegeben ist das Rechteck ABCD und sein Diagonalenschnittpunkt O. Zu
>> konstruieren sind gem. Skizze zwei Halbkreise mit den Durchmessern DF
>> und GB, daß sie sich in O tangieren.
>
> So lautet die Aufgabe nicht.
> Man weißt zunächst nicht, dass die beiden Halbkreise sich genau im Rechteck-
> Mittelpunkt schneiden.

Schneiden die einander da oder berühren die einander da?

Da O der Berührpunkt der Halbkreise ist, halbiert O die Strecke M_1M_2.
Wenn man parallele Geraden durch M1 und M2 legt, die nicht parallel zur
Strecke M_1M_2 verlaufen, schneidet jede durch O aber nicht parallel zu diesen Geraden verlaufende
Gerade jede dieser beiden parallelen Geraden und O halbiert die durch die beiden
Schnittpunkte gebildete Strecke.

Die Gerade DC verläuft durch M1 und ist parallel zur Geraden AB, die durch M2
verläuft.

Eine Gerade, die die Gerade DC schneidet und durch O verläuft, schneidet auch
die Gerade AB und O halbiert die Strecke der beiden Schnittpunkte.

Wenn man die durch O verlaufende Gerade so legt, dass der Schnittpunkt mit der
Geraden DC auf den Punkt D fällt, handelt es sich bei der Strecke OD um die
halbe Rechtecksdiagonale.

Skizze: <https://www.geogebra.org/geometry/cvwygsxx>

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

JVR

unread,
May 22, 2023, 10:40:28 AM5/22/23
to
https://www.geogebra.org/geometry/ywga4hwb

Beliebiger Halbkreis EFB durch B. Diagonale DB. EF schneidet DC in G.
Der Mittelpunkt des Tangentialkreises halbiert DG.
Warum? Weil EFB und GFD ähnliche rechtwinklige Dreiecke sind und
die beiden Halbkreise die entsprechenden Umkreise.

Udo

unread,
May 22, 2023, 11:40:02 AM5/22/23
to
@ Alfred Flaßhaar schrieb am Montag, 22. Mai 2023 um 15:31:05 UTC+2:

> Dann formuliere die Aufgabe vielleicht so:
> Gemäß Skizze sind zwei kongruente Halbkreise zu konstruieren.
>
Sorry für meine schlampige Ausdrucksweise.
So wie Du das formuliert hast, war es gemeint.
>
> Ist das so gemeint? Wenn "ja", dann ist mit Symmetriebetrachtungen der
> Punkt O als Tangentialpunkt der Halbkreise fällig. Z.B. können die
> halben Rechtecke (jweils oben und unten) gespiegelt und gedreht werden.
>
Jetzt ist der Groschen gefallen :-)

@ Ulrich Diez schrieb am Montag, 22. Mai 2023
> Schneiden die einander da oder berühren die einander da?

Die berühren sich, schneiden ist unkorrekt ausgedrückt.

@ JVR schrieb am Montag, 22. Mai 2023
. . .
Dank Deiner Skizze hab ich Deinen Beweisgang verstanden. Hat ein bisschen gedauert.
Das visualisiert, worauf Andreas und Alfred schon oben hingewiesen haben:
Schau halt auf die Thaleskreise!

Vielen Dank an alle für die Hilfestellung.
Grüße Udo

Andreas Leitgeb

unread,
May 22, 2023, 12:32:46 PM5/22/23
to
Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Dank Deiner Skizze hab ich Deinen Beweisgang verstanden. Hat ein bisschen gedauert.
> Das visualisiert, worauf Andreas und Alfred schon oben hingewiesen haben:
> Schau halt auf die Thaleskreise!

Der Thaleskreis spielt eine Rolle, wenn man die Mittennormale auf die
ganze Rechtecksdiagonale (also Schnittpunkt O) konstruiert.
Wenn man dem anderen Ansatz folgt, also die Mittelhalbierende nur
auf die halbe Diagonale konstruiert, dann ist es offensichtlich, dass
diese Mittenhalbierende die Rechteck-seite genau beim Mittelpunkt
des Halbkreises schneidet (Mittennormale einer Sekante geht immer durch
den Kreismittelpunkt). Die zwei hier konstruierten "Normalen" sind
zueinander parallel ==> ... bla bla ... Strahlensatz.

Ich habe vergessen, ob und wie wir in den Satz von Thales in der Schule
bewiesen haben, aber mit diesen zwei Konstruktionen könnte man ihn
vermutlich auch beweisen.

Ulrich D i e z

unread,
May 22, 2023, 2:40:09 PM5/22/23
to
Am 22.05.23 um 18:31 schrieb Andreas Leitgeb:

> Ich habe vergessen, ob und wie wir in den Satz von Thales in der Schule
> bewiesen haben, aber mit diesen zwei Konstruktionen könnte man ihn
> vermutlich auch beweisen.

Ich vermute - unter Verwendung der Winkelsumme im Dreieck - so:

<https://www.geogebra.org/geometry/xrnqubdq>

Mit freundlichem Gruß

Ulrich
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