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Definition der Unbedingten Konvergenz mittels Ketten
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Rainer Rosenthal
Nov 28, 2011, 4:22:47 AM11/28/11
to
Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
konvergiert mit gleicher Summe s.
Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
von endlichen Teilmengen von IN.
Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
(Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
Summe aller a_n, n Element von S.)
Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
ist schon verblüffend, dass in der äquivalenten Definition
der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwähnt werden muss.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
==================================================================
<wiekommeichdarauf>
Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phänomen umgeht, dass
es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhängig ist,
in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezählt werden.
Darum bin ich in das entsprechende Kapitel seines Buches [1]
gegangen und habe dort nicht nur das berühmte Beispiel der
alternierenden harmonischen Reihe gefunden, also
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -+ ...
mit zwei interessanten Umordnungen, sondern auch den für mich
rätselhaften Satz, dass eine Reihe genau dann /unbedingt/
konvergiert, wenn sie /absolut/ konvergiert.
Da mir absolute Konvergenz geläufig war und ich bislang nichts
anderes wusste, als dass die Konvergenz der Reihe der Absolut-
beträge damit gleichbedeutend sei, dass man die Reihenglieder
beliebig umordnen dürfe, war ich erstaunt. Warum denn den
Begriff "unbedingt konvergent" einführen (noch dazu für Leute
in den ersten Semestern), wenn das ohnehin mit "absolut
konvergent" gleichbedeutend ist?
WikiPedia hat mich aufgeklärt:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Im unendlichdimensionalen Raum sind die unbedingte Konvergenz
und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt
der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und
Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass
in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt
konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert.
Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt
konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Immer neugieriger werdend, hat es mich über WikiPedia zu
PlanetMath.org verschlagen, also zu dem eingangs erwähnten
Link.
[1] Wolfgang Mückenheim, "Mathematik für die ersten Semester"
Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2010, 2. Auflage, 2010
</wiekommeichdarauf>
die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
konvergiert mit gleicher Summe s.
Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
von endlichen Teilmengen von IN.
Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
(Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
Summe aller a_n, n Element von S.)
Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
ist schon verblüffend, dass in der äquivalenten Definition
der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwähnt werden muss.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
==================================================================
<wiekommeichdarauf>
Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phänomen umgeht, dass
es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhängig ist,
in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezählt werden.
Darum bin ich in das entsprechende Kapitel seines Buches [1]
gegangen und habe dort nicht nur das berühmte Beispiel der
alternierenden harmonischen Reihe gefunden, also
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -+ ...
mit zwei interessanten Umordnungen, sondern auch den für mich
rätselhaften Satz, dass eine Reihe genau dann /unbedingt/
konvergiert, wenn sie /absolut/ konvergiert.
Da mir absolute Konvergenz geläufig war und ich bislang nichts
anderes wusste, als dass die Konvergenz der Reihe der Absolut-
beträge damit gleichbedeutend sei, dass man die Reihenglieder
beliebig umordnen dürfe, war ich erstaunt. Warum denn den
Begriff "unbedingt konvergent" einführen (noch dazu für Leute
in den ersten Semestern), wenn das ohnehin mit "absolut
konvergent" gleichbedeutend ist?
WikiPedia hat mich aufgeklärt:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Im unendlichdimensionalen Raum sind die unbedingte Konvergenz
und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt
der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und
Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass
in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt
konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert.
Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt
konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Immer neugieriger werdend, hat es mich über WikiPedia zu
PlanetMath.org verschlagen, also zu dem eingangs erwähnten
Link.
[1] Wolfgang Mückenheim, "Mathematik für die ersten Semester"
Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2010, 2. Auflage, 2010
</wiekommeichdarauf>
Carsten Schultz
Nov 28, 2011, 4:45:12 AM11/28/11
to
Am 28.11.11 10:22, schrieb Rainer Rosenthal:
von IN bilden mit der Inklusion eine gerichtete Menge, und ordne ich
jeder endlichen Teilmenge die zugehörige Summe zu, so ist das ein Netz.
Es wird nun die Konvergenz dieses Netzes gefordert. Die Äquivalenz zu
zeigen habe ich mal als Übungsaufgabe in Topologie I gestellt ;)
Aber zu der Formulierung hier: Ist p eine Permutation, so ist
(M_{p,n})_n := ({p(k) | k<=n})_n eine solche Kette. Ist andererseits
die Kette (S_n)_n gegeben, so existiert eine Permutation p, so dass
(M_{p,n})_n Teilfolge von (S_n)_n ist.
>
> Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
> ist schon verblüffend, dass in der äquivalenten Definition
> der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwähnt werden muss.
Wieso? Der Wert der Reihe ist doch auch als Limes der Folge der
Partialsummen definiert.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
> Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
> die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
> http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
>
> Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
> mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
> Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
> konvergiert mit gleicher Summe s.
>
> Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
> Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
> von endlichen Teilmengen von IN.
> Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
> summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
> (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
> Summe aller a_n, n Element von S.)
Ja, und man kann das auch anders formulieren. Die endlichen Teilmengen
> die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
> http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
>
> Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
> mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
> Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
> konvergiert mit gleicher Summe s.
>
> Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
> Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
> von endlichen Teilmengen von IN.
> Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
> summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
> (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
> Summe aller a_n, n Element von S.)
von IN bilden mit der Inklusion eine gerichtete Menge, und ordne ich
jeder endlichen Teilmenge die zugehörige Summe zu, so ist das ein Netz.
Es wird nun die Konvergenz dieses Netzes gefordert. Die Äquivalenz zu
zeigen habe ich mal als Übungsaufgabe in Topologie I gestellt ;)
Aber zu der Formulierung hier: Ist p eine Permutation, so ist
(M_{p,n})_n := ({p(k) | k<=n})_n eine solche Kette. Ist andererseits
die Kette (S_n)_n gegeben, so existiert eine Permutation p, so dass
(M_{p,n})_n Teilfolge von (S_n)_n ist.
>
> Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
> ist schon verblüffend, dass in der äquivalenten Definition
> der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwähnt werden muss.
Partialsummen definiert.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Rainer Rosenthal
Nov 28, 2011, 6:40:41 AM11/28/11
to
Am 28.11.2011 10:45, schrieb Carsten Schultz:
> Am 28.11.11 10:22, schrieb Rainer Rosenthal:
>>
> Am 28.11.11 10:22, schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>> Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
>> ist schon verblüffend, dass in der äquivalenten Definition
>> der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwähnt werden muss.
>
> Wieso? Der Wert der Reihe ist doch auch als Limes der Folge der
> Partialsummen definiert.
>
Verblüffung kann man schlecht erklären. Sie ist einfach da, und
>> ist schon verblüffend, dass in der äquivalenten Definition
>> der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwähnt werden muss.
>
> Wieso? Der Wert der Reihe ist doch auch als Limes der Folge der
> Partialsummen definiert.
>
mit etwas Geduld und freundlichen Helfern löst sie sich auf.
Ich hatte versucht, die im Link angegebene Begründung zu verstehen,
worin die Si zu Ti erweitert wurden. Mit etwas Pause gehe ich wieder
daran.
Gruß,
Rainer
Carsten Schultz
Nov 28, 2011, 6:45:02 AM11/28/11
to
Am 28.11.11 12:40, schrieb Rainer Rosenthal:
Ich war dem Link nicht gefolgt und wusste daher nicht, dass da eine
Begründung steht. Dann habe ich wahrscheinlich nichts geschrieben, dass
da nicht auch stünde.
Begründung steht. Dann habe ich wahrscheinlich nichts geschrieben, dass
da nicht auch stünde.
Rainer Rosenthal
Nov 28, 2011, 7:41:48 PM11/28/11
to
Am 28.11.2011 12:45, schrieb Carsten Schultz:
# Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
# die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
# http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
# Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
# mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
# Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
# konvergiert mit gleicher Summe s.
# Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
# Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
# von endlichen Teilmengen von IN.
# Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
# summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
# (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
# Summe aller a_n, n Element von S.)
> Ich war dem Link nicht gefolgt und wusste daher nicht, dass da eine
> Begründung steht. Dann habe ich wahrscheinlich nichts geschrieben, dass
> da nicht auch stünde.
Du hast was von einem "Netz" geschrieben, was dem Kundigen vielleicht
gleichbedeutend erscheinen mag mit dem, was dort steht:
The trick to see this equivalence is to realize two facts:
1. every subsequence of a convergent sequence is convergent,
and 2. every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
such that |T_i|=i . Then the series indexed by {S_i} is a subseries
indexed by {T_i}, which is a subseries of a permutation of the
original convergent series.
Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
# Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
# die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
# http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
# Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
# mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
# Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
# konvergiert mit gleicher Summe s.
# Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
# Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
# von endlichen Teilmengen von IN.
# Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
# summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
# (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
# Summe aller a_n, n Element von S.)
> Ich war dem Link nicht gefolgt und wusste daher nicht, dass da eine
> Begründung steht. Dann habe ich wahrscheinlich nichts geschrieben, dass
> da nicht auch stünde.
gleichbedeutend erscheinen mag mit dem, was dort steht:
The trick to see this equivalence is to realize two facts:
1. every subsequence of a convergent sequence is convergent,
and 2. every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
such that |T_i|=i . Then the series indexed by {S_i} is a subseries
indexed by {T_i}, which is a subseries of a permutation of the
original convergent series.
Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
Nov 29, 2011, 1:43:04 AM11/29/11
to
On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
Hallo Rainer,
>
> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
(ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
Die Partialvereinigungsfolge
Definition: Eine Partialvereinigungsfolge (M_k) ist eine Abbildung von
der Folge der natürlichen Zahlen (k) auf Mengen, so dass jedes Glied
der Partialvereinigungsfolge die Vereinigung aller seiner Vorgänger
und seiner selbst ist.
Analogie: Partialsummenfolge.
Beispiel: Die Partialvereinigungsfolge
(M_k) = {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
mit
M_k = {1} U {1, 2} U ... U {1, 2, ..., k} = {1, 2, ..., k}.
Besondere Eigenschaft: Diese Partialvereinigungsfolge enthält (wie
jede streng monoton wachsende Folge) nicht ihren Grenzwert |N. Die
Folge enthält (wie jede Folge auch) kein letztes Glied. Doch alles,
was sie enthält, wurde per Definition bereits mindestens einmal
vereinigt, so dass eine abermalige Vereinigung mathematisch genau so
wirkt wie keine abermalige Vereinigung.
Hier haben wir den besonderen Fall, dass der Wert der Reihe und der
Limes der Partialvereinigungsfolge |N nur dann übereinstimmen, wenn
eine unwirksame mathematische Operation doch eine Wirkung besitzt.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
Nov 29, 2011, 3:35:06 AM11/29/11
to
> zu diesem Thema:
Ein Biologie-Student kam schlecht vorbereitet in die Prüfung.
Er hatte sich nur kurz vor der Prüfung intensiv mit Würmern
beschäftigt und sich tausenderlei angelesen in der Hoffnung,
dass er damit drankommen würde.
Der liebe Professor wollte es aber erst einmal nicht so schwierig
machen und begann mit der Tierwelt, die man bereits im Zirkus
bestaunen kann. Er fing also an, unseren Kandidaten über Elefanten
zu befragen.
Der stutzte, schluckte, begann mit ... äh ... und hatte dann den
rettenden Einfall: "Wenn der Elefant seinen Rüssel in den Manegen-
sand gräbt, so dass das Rüsselende heraus schaut, dann sieht das
aus wie ein großer Wurm. Die Würmer gehören zur Gattung der ..."
Mit herzlichem Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
# Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
# die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
# http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
# Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
# mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
# Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
# konvergiert mit gleicher Summe s.
# Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
# Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
# von endlichen Teilmengen von IN.
# Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
# summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
# (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
# Summe aller a_n, n Element von S.)
>
# die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
# http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
# Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
# mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
# Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
# konvergiert mit gleicher Summe s.
# Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
# Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
# von endlichen Teilmengen von IN.
# Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
# summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
# (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
# Summe aller a_n, n Element von S.)
>
> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist
> längst nicht so interessant wie ...
Ein Biologie-Student kam schlecht vorbereitet in die Prüfung.
Er hatte sich nur kurz vor der Prüfung intensiv mit Würmern
beschäftigt und sich tausenderlei angelesen in der Hoffnung,
dass er damit drankommen würde.
Der liebe Professor wollte es aber erst einmal nicht so schwierig
machen und begann mit der Tierwelt, die man bereits im Zirkus
bestaunen kann. Er fing also an, unseren Kandidaten über Elefanten
zu befragen.
Der stutzte, schluckte, begann mit ... äh ... und hatte dann den
rettenden Einfall: "Wenn der Elefant seinen Rüssel in den Manegen-
sand gräbt, so dass das Rüsselende heraus schaut, dann sieht das
aus wie ein großer Wurm. Die Würmer gehören zur Gattung der ..."
Mit herzlichem Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 4:10:12 AM11/29/11
to
Am 29.11.11 07:43, schrieb WM:
> On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
>>
>> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
>> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
>> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
>
> Hallo Rainer,
>
> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
> nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
> (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
>
>>
>> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
>> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
>> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
>
> Hallo Rainer,
>
> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
> nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
> (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 4:14:35 AM11/29/11
to
Am 29.11.11 01:41, schrieb Rainer Rosenthal:
erste Äquivalenz noch nicht verstanden hast.
> The trick to see this equivalence is to realize two facts:
> 1. every subsequence of a convergent sequence is convergent,
> and 2. every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
> such that |T_i|=i . Then the series indexed by {S_i} is a subseries
> indexed by {T_i}, which is a subseries of a permutation of the
> original convergent series.
>
> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
Das Problem ist nur, dass Du nicht schreibst, wieviel oder welche Hilfe
Du gerne hättest. Was genau ist Dir denn nicht klar? Dass aus der
Konvergenz aller zu Teilmengenketten gehörenden Folgen die Konvergenz
aller umgeordneten Reihen (gegen den gleichen Grenzwert) folgt, ist die
etwas leichtere Richtung.
> Am 28.11.2011 12:45, schrieb Carsten Schultz:
> # Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
> # die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
> # http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
>
> # Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
> # mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
> # Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
> # konvergiert mit gleicher Summe s.
>
> # Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
> # Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
> # von endlichen Teilmengen von IN.
> # Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
> # summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
> # (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
> # Summe aller a_n, n Element von S.)
>
>> Ich war dem Link nicht gefolgt und wusste daher nicht, dass da eine
>> Begründung steht. Dann habe ich wahrscheinlich nichts geschrieben, dass
>> da nicht auch stünde.
>
> Du hast was von einem "Netz" geschrieben, was dem Kundigen vielleicht
> gleichbedeutend erscheinen mag mit dem, was dort steht:
Das war nur eine weitere Äquivalenz und hilft sicher nicht, wenn Du die
> # Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
> # die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
> # http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
>
> # Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
> # mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
> # Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
> # konvergiert mit gleicher Summe s.
>
> # Eine angeblich äquivalente Definition ist diese:
> # Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
> # von endlichen Teilmengen von IN.
> # Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
> # summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
> # (Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
> # Summe aller a_n, n Element von S.)
>
>> Ich war dem Link nicht gefolgt und wusste daher nicht, dass da eine
>> Begründung steht. Dann habe ich wahrscheinlich nichts geschrieben, dass
>> da nicht auch stünde.
>
> Du hast was von einem "Netz" geschrieben, was dem Kundigen vielleicht
> gleichbedeutend erscheinen mag mit dem, was dort steht:
erste Äquivalenz noch nicht verstanden hast.
> The trick to see this equivalence is to realize two facts:
> 1. every subsequence of a convergent sequence is convergent,
> and 2. every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
> such that |T_i|=i . Then the series indexed by {S_i} is a subseries
> indexed by {T_i}, which is a subseries of a permutation of the
> original convergent series.
>
> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
Du gerne hättest. Was genau ist Dir denn nicht klar? Dass aus der
Konvergenz aller zu Teilmengenketten gehörenden Folgen die Konvergenz
aller umgeordneten Reihen (gegen den gleichen Grenzwert) folgt, ist die
etwas leichtere Richtung.
WM
Nov 29, 2011, 5:27:56 AM11/29/11
to
On 29 Nov., 09:35, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> Am 29.11.2011 07:43, schrieb WM:> On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> > zu diesem Thema:
>
> # Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
> # die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
> #http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
> Am 29.11.2011 07:43, schrieb WM:> On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> > zu diesem Thema:
>
> # Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
> # die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
Sollte man deshalb den Rüssel in den Sand stecken?
Gruß, WM
WM
Nov 29, 2011, 5:32:44 AM11/29/11
to
On 29 Nov., 10:10, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
> Am 29.11.11 07:43, schrieb WM:
>
> > On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
> >> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
> >> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
> >> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
>
> > Hallo Rainer,
>
> > die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
> > nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
> > (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
>
> Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
Eben deshalb habe ich die Partialvereinigungsfolge eingeführt. Sie
> Am 29.11.11 07:43, schrieb WM:
>
> > On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
> >> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
> >> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
> >> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
>
> > Hallo Rainer,
>
> > die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
> > nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
> > (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
>
> Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
sollte selbst dem orthoxen Matheologen beweisen, dass jede mögliche
Vereinigung von endlichen Anfangsabschnitten der natürlichen Zahlen in
einer solchen Folge bereits per Definition enthalten ist und eine
abermalige Vereinigung ebensolche Auswirkungen hat wie die Addition
von 0. Das wäre doch auch ein schöner Glaubensprüfstein für angehende
Matheologen: Die unendliche Hinzufügung von Null zu 1 führt auf omega.
1 00 oo w
Gruß, WM
emmigrand
Nov 29, 2011, 5:37:25 AM11/29/11
to
WM schrieb:
> Rainer Rosenthal wrote:
>> Der stutzte, schluckte, begann mit ... äh ... und hatte dann den
>> rettenden Einfall: "Wenn der Elefant seinen Rüssel in den Manegen-
>> sand gräbt, so dass das Rüsselende heraus schaut, dann sieht das
>> aus wie ein großer Wurm. Die Würmer gehören zur Gattung der ..."
> ^
> Sollte man deshalb den Rüssel in den Sand stecken?
Man sollte die "Wahrheit" aus dem verblödeten Matschhirn von WM empfangen.
> Rainer Rosenthal wrote:
>> Der stutzte, schluckte, begann mit ... äh ... und hatte dann den
>> rettenden Einfall: "Wenn der Elefant seinen Rüssel in den Manegen-
>> sand gräbt, so dass das Rüsselende heraus schaut, dann sieht das
>> aus wie ein großer Wurm. Die Würmer gehören zur Gattung der ..."
> ^
> Sollte man deshalb den Rüssel in den Sand stecken?
Rainer Rosenthal
Nov 29, 2011, 6:27:51 AM11/29/11
to
Am 29.11.2011 10:14, schrieb Carsten Schultz:
> Am 29.11.11 01:41, schrieb Rainer Rosenthal:
>> # http://planetmath.org/encyclopedia/UncoditionalConvergence.html
> Am 29.11.11 01:41, schrieb Rainer Rosenthal:
>> The trick to see this equivalence is to realize two facts:
>> 1. every subsequence of a convergent sequence is convergent,
>> and 2. every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
>> such that |T_i|=i . Then the series indexed by {S_i} is a subseries
>> indexed by {T_i}, which is a subseries of a permutation of the
>> original convergent series.
>
>> 1. every subsequence of a convergent sequence is convergent,
>> and 2. every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
>> such that |T_i|=i . Then the series indexed by {S_i} is a subseries
>> indexed by {T_i}, which is a subseries of a permutation of the
>> original convergent series.
>
> Das Problem ist nur, dass Du nicht schreibst, wieviel oder welche Hilfe
> Du gerne hättest. Was genau ist Dir denn nicht klar? Dass aus der
> Konvergenz aller zu Teilmengenketten gehörenden Folgen die Konvergenz
> aller umgeordneten Reihen (gegen den gleichen Grenzwert) folgt, ist die
> etwas leichtere Richtung.
> Du gerne hättest. Was genau ist Dir denn nicht klar? Dass aus der
> Konvergenz aller zu Teilmengenketten gehörenden Folgen die Konvergenz
> aller umgeordneten Reihen (gegen den gleichen Grenzwert) folgt, ist die
> etwas leichtere Richtung.
"every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
such that |T_i|=i".
Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
such that |T_i|=i".
Gruß,
RR
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 6:51:48 AM11/29/11
to
Am 29.11.11 11:32, schrieb WM:
> On 29 Nov., 10:10, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> Am 29.11.11 07:43, schrieb WM:
>>
>>> On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>>
>>>> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
>>>> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
>>>> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
>>
>>> Hallo Rainer,
>>
>>> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
>>> nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
>>> (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
>>
>> Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
>
> Eben deshalb habe ich die Partialvereinigungsfolge eingeführt.
Es geht nur darum, warum Du dazwischenquatschen musst.
>> Am 29.11.11 07:43, schrieb WM:
>>
>>> On 29 Nov., 01:41, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>>
>>>> Sowohl das deutsche "Netz" wie auch der angegebene englische Text
>>>> erschließen sich mir nicht direkt. Es ist niemand gezwungen, mir
>>>> zu antworten, der mich für doof oder faul hält.
>>
>>> Hallo Rainer,
>>
>>> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
>>> nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
>>> (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
>>
>> Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
>
> Eben deshalb habe ich die Partialvereinigungsfolge eingeführt.
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 7:19:30 AM11/29/11
to
Am 29.11.11 12:27, schrieb Rainer Rosenthal:
Ich habe das da immer noch nicht gelesen, nehme aber an, dass man
möchte, dass (S_i) danach eine Teilfolge von (T_i) ist, also
S_i=T_{nu(i)} für geeignetes nu. Dabei nehmen wir hier nu(i)=|S_i|,
denn anders kann ja |T_i|=i nicht erreicht werden. Wir haben damit
schon T_i für i im Bild von nu festgelegt, fehlt nur noch der Rest. Sei
nun k beliebig. Es hat T_nu(k+1)\T_nu(k) genau nu(k+1)-nu(k) Elemente.
Nennen wir diese mu(nu(k)+1) bis mu(nu(k+1)). Dann können wir für
nu(k)<l<nu(k+1) nun T_l=T_{nu(k}} u {mu(r)| nu(k)<r<=l} setzen.
Überhaupt haben wir dann für alle n T_n = {mu(r) | r<=l}, und wir sehen,
dass wir das auch hätten besser aufschreiben können ;) Ich wollte jetzt
nämlich schreiben, dass wir insbesondere auch sehen, dass mu eine
Permutation von N ist, aber das natürlich nur, wenn die Vereinigung
aller S_i gleich N ist, und das ist da merkwürdiger Weise nicht
gefordert. Ich bin mir nicht sicher, ob das Absicht ist. Ich weiß
jetzt aber nicht, ob das Dein Problem war.
möchte, dass (S_i) danach eine Teilfolge von (T_i) ist, also
S_i=T_{nu(i)} für geeignetes nu. Dabei nehmen wir hier nu(i)=|S_i|,
denn anders kann ja |T_i|=i nicht erreicht werden. Wir haben damit
schon T_i für i im Bild von nu festgelegt, fehlt nur noch der Rest. Sei
nun k beliebig. Es hat T_nu(k+1)\T_nu(k) genau nu(k+1)-nu(k) Elemente.
Nennen wir diese mu(nu(k)+1) bis mu(nu(k+1)). Dann können wir für
nu(k)<l<nu(k+1) nun T_l=T_{nu(k}} u {mu(r)| nu(k)<r<=l} setzen.
Überhaupt haben wir dann für alle n T_n = {mu(r) | r<=l}, und wir sehen,
dass wir das auch hätten besser aufschreiben können ;) Ich wollte jetzt
nämlich schreiben, dass wir insbesondere auch sehen, dass mu eine
Permutation von N ist, aber das natürlich nur, wenn die Vereinigung
aller S_i gleich N ist, und das ist da merkwürdiger Weise nicht
gefordert. Ich bin mir nicht sicher, ob das Absicht ist. Ich weiß
jetzt aber nicht, ob das Dein Problem war.
WM
Nov 29, 2011, 7:24:12 AM11/29/11
to
On 29 Nov., 12:51, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
> >>> Hallo Rainer,
>
> >>> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
> >>> nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
> >>> (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
>
> >> Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
>
> > Eben deshalb habe ich die Partialvereinigungsfolge eingeführt.
>
> Es geht nur darum, warum Du dazwischenquatschen musst.
Siehe OP:
> >>> Hallo Rainer,
>
> >>> die Sache mit der absoluten und der unbedingten Konvergenz ist längst
> >>> nicht so interessant wie ein Begriff, der leider in meinem Buch fehlt
> >>> (ich weiß auch nicht, ob er anderswo schon aufgetaucht ist), nämlich:
>
> >> Hast Du Troll nicht noch vor kurzem von angemessenem Verhalten geschrieben?
>
> > Eben deshalb habe ich die Partialvereinigungsfolge eingeführt.
>
> Es geht nur darum, warum Du dazwischenquatschen musst.
<wiekommeichdarauf>
Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phänomen umgeht, dass
es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhängig ist,
in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezählt werden.
Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phänomen umgeht, dass
es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhängig ist,
in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezählt werden.
matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
Gruß, WM
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 7:40:31 AM11/29/11
to
Am 29.11.11 13:24, schrieb WM:
Hast Du es schon mit Medikamenten versucht?
WM
Nov 29, 2011, 7:54:05 AM11/29/11
to
Gruß, WM
Message has been deleted
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 8:06:56 AM11/29/11
to
Am 29.11.11 13:54, schrieb WM:
Dass Du dicht an Vogel bist, ist Dir klar, oder?
Message has been deleted
Rainer Rosenthal
Nov 29, 2011, 9:11:25 AM11/29/11
to
Am 29.11.2011 13:24, schrieb WM:
> Siehe OP:
> <wiekommeichdarauf>
> Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
> Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phänomen umgeht, dass
> es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhängig ist,
> in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezählt werden.
>
> Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
> matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
> inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
> unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
> nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
> willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
Ich habe wirklich nichts gegen Sprachspiele. Ich bewundere es sogar,
> Siehe OP:
> <wiekommeichdarauf>
> Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
> Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phänomen umgeht, dass
> es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhängig ist,
> in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezählt werden.
>
> Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
> matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
> inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
> unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
> nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
> willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
wenn eine pfiffige Idee pfiffig verpackt daher kommt.
Das einzige, was ich hier verpackt finde, ist aber die Verwunderung,
wieso wir dem Meister Cantor folgen, nicht aber seinem Widersacher WM.
Und dabei haben wir es beim Thema "Umordnung von Reihen" mit einem
sehr interessanten Thema zu tun, bei dem man ohne kräftige Vorstellung
vom "Unendlichen an sich" eigentlich verzweifeln müsste:
Wenn alles so einfach ist, wie von WM dargestellt, dann ist ja nicht
einzusehen, wie einzelne Summanden es schaffen, sich in den Vordergrund
zu spielen und die Reihensumme zu beeinflussen, wenn man doch sicher sein
darf, dass die anfänglich ausgelassenen und zu kurz gekommenen Reihen-
glieder doch irgendwann in der Summe auftauchen: Summe bleibt Summe.
Und damit haben wir das emotionsgeladene Thema "Cantor" ganz draußen
gelassen und versuchen uns nach Feuerzangenbowle-Manier "Wat is ene
Dampfmaschin? Da stelle mer uns mal janz dumm!") erst einmal mit dem
im Erstsemester-Lehrbuch beschriebenen Phänomen anzufreunden.
Da ich in dem Link http://tinyurl.com/PlanetMathUnbedingteKonvergenz
"inklusionsmonotone Folgen" vorfand, können wir uns ja immer noch
trefflich weiter zanken. Allerdings mache ich da nur mit, wenn Einig-
keit darüber besteht, dass {1,{1}} verschieden ist von 1.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Message has been deleted
WM
Nov 29, 2011, 11:24:05 AM11/29/11
to
On 29 Nov., 15:11, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> Am 29.11.2011 13:24, schrieb WM:
>
> > Siehe OP:
> > <wiekommeichdarauf>
> > Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
> > Prof. Dr. Wolfgang M ckenheim mit dem Ph nomen umgeht, dass
> Am 29.11.2011 13:24, schrieb WM:
>
> > Siehe OP:
> > <wiekommeichdarauf>
> > Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
> > es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abh ngig ist,
> > in welcher Reihenfolge die Summanden aufgez hlt werden.
>
> > Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
> > matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
> > inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte ber
> > Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
> > matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
> > unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
> > nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
> > willf hrig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
> > nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
>
> Ich habe wirklich nichts gegen Sprachspiele. Ich bewundere es sogar,
> wenn eine pfiffige Idee pfiffig verpackt daher kommt.
>
> Das einzige, was ich hier verpackt finde, ist aber die Verwunderung,
> wieso wir dem Meister Cantor folgen, nicht aber seinem Widersacher WM.
Verwunderung deshalb, weil jedem Mathematiker klar sein sollte, dass
> Ich habe wirklich nichts gegen Sprachspiele. Ich bewundere es sogar,
> wenn eine pfiffige Idee pfiffig verpackt daher kommt.
>
> Das einzige, was ich hier verpackt finde, ist aber die Verwunderung,
> wieso wir dem Meister Cantor folgen, nicht aber seinem Widersacher WM.
eine Vereinigung von Partialvereinigungsfolgen bei nochmaliger
Vereinigung nicht verändert wird.
> Und dabei haben wir es beim Thema "Umordnung von Reihen" mit einem
> vom "Unendlichen an sich" eigentlich verzweifeln m sste:
> Wenn alles so einfach ist, wie von WM dargestellt, dann ist ja nicht
> einzusehen, wie einzelne Summanden es schaffen, sich in den Vordergrund
> zu spielen und die Reihensumme zu beeinflussen, wenn man doch sicher sein
> darf, dass die anf nglich ausgelassenen und zu kurz gekommenen Reihen-
> einzusehen, wie einzelne Summanden es schaffen, sich in den Vordergrund
> zu spielen und die Reihensumme zu beeinflussen, wenn man doch sicher sein
> glieder doch irgendwann in der Summe auftauchen: Summe bleibt Summe.
Die Erklärung ist meines Erachtens diese: Wenn alle da wären, dann
würde - Summe bleibt Summe - die Umordnung nichts nützen. Es sind aber
durchaus nicht alle da. Und deswegen ist eine Reihe keine Summe, auch
wenn man das manchmal so ausdrückt.
Für jeden Konvergenzbeweis benutzen wir nur die Formel, die die Folge
oder Reihe generiert, nicht wirklich irgendwelche Glieder, die wir in
einer unendlichen Liste vorfänden.
Um die alternierende harmonische Reihe divergent zu machen, nehmen wir
per Dekret jeweils genügend Glieder her, die z. B. doppelt so viel
ergeben wie das nächste negative Glied. Dass dies ohne Ende möglich
ist, zeigt die Divergenz der harmonischen Reihe und auch ihrer
geradzahligen Glieder. Wir haben Verfügungsmasse ohne Ende.
Einfaches Beispiel: Die Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - + ... schwankt
zwischen 0 und 1. Wenn wir unendlich viele positive Einsen vorziehen 1
+ 1 - 1 + 1 + 1 - 1 ++-..., dann schwankt sie gegen den uneigentlichen
Grenzwert +oo.
In der Partialsummenfolge einer konvergenten Reihe kann man kein Glied
finden, das den Grenzwert enthielte. Aber dass, um in irgendeiner
Hinsicht "alles" zu finden, mehr als ein Glied notwendig oder
hinreichend sei, ist durch die Inklusionsmonotonie ausgeschlossen.
Vermutlich hat man früher einfach noch nicht bedacht, dass eine Folge
wie
0,1
0,11
0,111
...
alle natürlichen Zahlen als Indizes enthält, aber den Grenzwert mit
unendlich vielen natürlichen Indizes nicht. Da müssten also mehr als
alle natürlichen Indizes vorkommen.
Gruß, WM
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
Nov 29, 2011, 12:21:41 PM11/29/11
to
Am 29.11.2011 13:19, schrieb Carsten Schultz:
> Am 29.11.11 12:27, schrieb Rainer Rosenthal:
>>
> Am 29.11.11 12:27, schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>> "every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
>> such that |T_i|=i".
>>
>> Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
>
> Ich habe das da immer noch nicht gelesen, nehme aber an, dass man
> möchte, dass (S_i) danach eine Teilfolge von (T_i) ist ...
>> such that |T_i|=i".
>>
>> Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
>
> Ich habe das da immer noch nicht gelesen, nehme aber an, dass man
Zu lesen gab es da auch gar nicht mehr, weil ich schon alles abgeschrieben
hatte, was sich auf den "Trick" bezog, die Äquivalenz der Definitionen
zu beweisen. Ich habe gesehen, dass Du Hinweise zur Erweiterung gegeben
hast und bedanke mich einstweilen dafür.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Carsten Schultz
Nov 29, 2011, 12:23:54 PM11/29/11
to
Am 29.11.11 18:21, schrieb Rainer Rosenthal:
Keine Ursache. Ich bin dann jetzt aber auch vorläufig weg.
Ralf Bader
Nov 29, 2011, 3:35:05 PM11/29/11
to
Franz Fritsche wrote:
> On Tue, 29 Nov 2011 13:40:31 +0100, Carsten Schultz wrote:
>
>> Am 29.11.11 13:24, schrieb WM:
>>>
Sponsel? Du meinst den diesen Universalspezialexperten, der erkannt hat, daß
die leere Menge einen Fall wissenschaftlichen Wahns darstellt? Wofür willst
Du den brauchen wollen? Daß der Medikamente verschreiben darf, glaube ich
eher nicht.
Ralf
> On Tue, 29 Nov 2011 13:40:31 +0100, Carsten Schultz wrote:
>
>> Am 29.11.11 13:24, schrieb WM:
>>>
>>> Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
>>> matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
>>> inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
>>> unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
>>> nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
>>> willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
>>
>> Hast Du es schon mit Medikamenten versucht?
>
> Wo ist Sponsel, wenn man ihn mal braucht?!
>>> matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
>>> inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
>>> unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
>>> nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
>>> willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
>>
>> Hast Du es schon mit Medikamenten versucht?
>
Sponsel? Du meinst den diesen Universalspezialexperten, der erkannt hat, daß
die leere Menge einen Fall wissenschaftlichen Wahns darstellt? Wofür willst
Du den brauchen wollen? Daß der Medikamente verschreiben darf, glaube ich
eher nicht.
Ralf
WM
Nov 29, 2011, 4:02:27 PM11/29/11
to
On 29 Nov., 21:35, Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
> Franz Fritsche wrote:
> > On Tue, 29 Nov 2011 13:40:31 +0100, Carsten Schultz wrote:
>
> >> Am 29.11.11 13:24, schrieb WM:
>
> >>> Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
> >>> matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
> >>> inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
> >>> unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
> >>> nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
> >>> willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
>
> >> Hast Du es schon mit Medikamenten versucht?
>
> > Wo ist Sponsel, wenn man ihn mal braucht?!
>
> Sponsel? Du meinst den diesen Universalspezialexperten, der erkannt hat, daß
> die leere Menge einen Fall wissenschaftlichen Wahns darstellt?
Menge stand früher als Synonym für viel. Die leere Menge passt genau
> Franz Fritsche wrote:
> > On Tue, 29 Nov 2011 13:40:31 +0100, Carsten Schultz wrote:
>
> >> Am 29.11.11 13:24, schrieb WM:
>
> >>> Und das ist doch nun wirklich gar nichts gegen die grundlegende
> >>> matheologische Doktrin, wonach inklusionsmonotone Folgen nicht
> >>> inklusionsmonoton, also eher alternierend sind und ihre Inhalte über
> >>> unendlich viele Glieder verstreut aufbewahren, indessen bei
> >>> nochmaliger Inklusion alles aus sich herausquetschen lassen und Cantor
> >>> willfährig opfern, was sie mir zu zollen sich weigern.
>
> >> Hast Du es schon mit Medikamenten versucht?
>
> > Wo ist Sponsel, wenn man ihn mal braucht?!
>
> Sponsel? Du meinst den diesen Universalspezialexperten, der erkannt hat, daß
> die leere Menge einen Fall wissenschaftlichen Wahns darstellt?
so gut wie die vollendete Unendlichkeit ins Bild, das abgerundet wird
durch die Behauptung, (mehr als eine) inklusionsmonotone Mengen
könnten mehr enthalten als eine inklusionsmonotone Menge, oder
wenistens: die gegenteilige Manifestation grundlegenden mathematischen
Wissens könnte "im Unendlichen" aufgehoben und zerstört werden.
Genau so gut könnte man versuchen, mit dreiziffrigen Dezimalzahlen
Millionen verschiedene Zahlen darzustellen. Wenn jemand behauptete:
"Bei unendlich vielen Versuchen gelingt es gewiss. Das ist die
Grundlage der Mathematik." Was würde man von ihm halten?
Gruß, WM
emmigrand
Nov 29, 2011, 4:09:20 PM11/29/11
to
WM faselt:
> ... WM
Du bist ein ekliger, widerlicher Spinner und gehörst in eine Zwangsjacke.
Du bist wirklich der letzte Dreck.
> ... WM
Du bist ein ekliger, widerlicher Spinner und gehörst in eine Zwangsjacke.
Du bist wirklich der letzte Dreck.
Message has been deleted
Christopher Creutzig
Nov 30, 2011, 4:03:27 PM11/30/11
to
On 11/29/11 12:27 PM, Rainer Rosenthal wrote:
> "every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
> such that |T_i|=i".
>
> Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
Induktiv:
> "every chain {S_i} can be enlarged to a maximal chain {T_i},
> such that |T_i|=i".
>
> Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
S_1 ist endlich. Sei s=|S_1|. Ordne S)1 beliebig, bspw. aufsteigend,
S_1={t_1, …, t_s}. Setze T_j={t_1,…,t_j} für j=1 … s. Damit ist S_1=T_s.
Die S_i sind endlich. Die Differenzmenge zwischen S_{i} und S_{i+1} ist
also ebenfalls endlich, sagen wir, mit n Elementen. (n>0 ist nötig,
damit der Satz stimmt, die Autoren meinen wohl mit c eine echte
Inklusion.) Diese n Elemente kannst Du nun in eine Reihenfolge bringen
(beliebig, beispielsweise aufsteigend), (a_1, ..., a_n).
Sei j=|S_{i}| und S_{i} = T_{j}. (Induktionsvoraussetzung) Setze
T_{j+k}=T_{j} u {a_1, …, a_k} für k von 1 bis n. Dann ist
T_{j+n}=S_{i+1}, und |T_{j+k}| = j+k für alle k von 1 bis n.
--
Ohne Freiheit geht das Leben rückwärts. (Berthold Brecht)
Christopher Creutzig
Nov 30, 2011, 4:05:42 PM11/30/11
to
On 11/29/11 1:19 PM, Carsten Schultz wrote:
> dass wir das auch hätten besser aufschreiben können ;) Ich wollte jetzt
> nämlich schreiben, dass wir insbesondere auch sehen, dass mu eine
> Permutation von N ist, aber das natürlich nur, wenn die Vereinigung
> aller S_i gleich N ist, und das ist da merkwürdiger Weise nicht
> gefordert. Ich bin mir nicht sicher, ob das Absicht ist. Ich weiß
> jetzt aber nicht, ob das Dein Problem war.
Die Konvergenz für alle Ketten, die gegen N konvergieren, folgt ja aus
> dass wir das auch hätten besser aufschreiben können ;) Ich wollte jetzt
> nämlich schreiben, dass wir insbesondere auch sehen, dass mu eine
> Permutation von N ist, aber das natürlich nur, wenn die Vereinigung
> aller S_i gleich N ist, und das ist da merkwürdiger Weise nicht
> gefordert. Ich bin mir nicht sicher, ob das Absicht ist. Ich weiß
> jetzt aber nicht, ob das Dein Problem war.
der Konvergenz für alle beliebigen Ketten. :-)
--
Ausschlaggebend ist die Allergie.
Rainer Rosenthal
Nov 30, 2011, 7:53:22 PM11/30/11
to
Am 30.11.2011 22:05, schrieb Christopher Creutzig:
> Ausschlaggebend ist die Allergie.
Wenn man doch nur alles so leicht ausdrücken könnte
wie eine Zahnpasta-Tube.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
> Ausschlaggebend ist die Allergie.
Wenn man doch nur alles so leicht ausdrücken könnte
wie eine Zahnpasta-Tube.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Nov 30, 2011, 7:55:10 PM11/30/11
to
Am 30.11.2011 22:03, schrieb Christopher Creutzig:
> On 11/29/11 12:27 PM, Rainer Rosenthal wrote:
>> Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
>
> Induktiv: ...
> On 11/29/11 12:27 PM, Rainer Rosenthal wrote:
>> Hier fehlt mir die Idee, in welcher Weise vergrößert werden "kann".
>
>
Ah danke, ein Rettungsring!
Gruß,
Rainer
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