Ein mückmeatischer Beweis

[JVR]

In Mückenheim's famous textbook for beginners we find the following proof of the triangle inequality:

https://drive.google.com/file/d/1zXboJy8fCP7UK6vk9FcPcrFu-VTsHxSw/view?usp=share_link

The most egregious error isn't that he shamelessly assumes what he is purportedly proving. Can you find the other flaw?

[Jens Kallup]

was ist denn daran nicht zu verstehen ?

(|A - C| + |C - B|) ^2

=> |AA - 2AB + BB|
=> |A * A - 2 * A * B + B * B

A := 1.
B := 1.
C := 1.

=> |1 * 1 - 2 * 1 * 1 + 1 * 1|
=> |1 - 2 + 1 |
=> | - 1 + 1 |
=> | 0 |
=> 0

was in einen dreidimensionalen Raum der Mittelpunkt darstellt.
Zwischen dem Einheitsmaß 1 (also jetzt mal beim Einheitskreis
sowie der Einheitskugel zu bleiben),

entspricht der Durchmesser von M zur Innenhülle der Kugel Eins
(1) Einheiten somit ist der Durchmesser zweimal dem Radius.
Und der Radius betragt auf *ALLEN* Achsen zu jedem Punkt 0.5
Einheiten - also die Hälfte oder 1/2.

Damit haben wir:
+1
|
|
-1 ---- 0 ---- +1
|
|
-1

Der Abstand beträgt somit *ÜBERALL innerhalb der Kugel 0.5 Einheiten.
Man brauch da garnicht erst mit PI, Sinus, Cosinus oder sonst was
kommen, da 0.5 in diesen Fall eine Konstante Größe ist, die wenn man
sie verlängert, über die Kugel/Kreis hinaus geht, oder wenn man die
0.5 verringert, der Radius nie bis an die Innenhülle gelangen kann.

Das sind echt Leuchten hier, mein lieber WM. Mein lieber Scholly.
Ist schon etwas witzig, wie das hier so breit getretten wird:
"Hey ich bin der Ober-Mathematik-Checker !" - nen alten Kehrricht.

Mensch Leute, weil hier ja in letzter Zeit so auch Englisch einfließt
"Calm down !".

Jetzt kann ich WM's Aussage verstehen: "... das versteht jedes Schul-
kind...".

Naja, immer mit Formeln schmeißen, nie jedoch mal auf das lernende
Kind, namens WM, eingehen. Tolle Wurst.

Jens

--
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[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> was ist denn daran nicht zu verstehen ?
>

Nichts. Deine Äußerungen lassen klar erkennen, dass du nicht einmal
weisst, um was es eigentlich geht. Ich habe deswegen einmal die ganze
Seite aus WMs Leerbuch hochgeladen, von der JVR nur einen Teil gezeigt
hatte:

https://ibb.co/3fLhzvS

>   (|A - C| + |C - B|) ^2
> > => |AA - 2AB + BB|
> => |A * A  -  2 * A * B  +  B * B
>

Da du dir über die Bedeutung der Symbole und der Operation | ... | nicht
im Klaren bist, ist dein Geschreibe für die Tonne.

> A := 1.
> B := 1.
> C := 1.
>

Geht nicht, da A, B und C Elemente des R^3, also Vektoren sind.
Die werden als Zahlenspalte mit drei Einträgen (x-, y- und z-Koordinate)
dargestellt; ein Beispiel dazu:

( 2 )
A = ( 5 )
( 3 )

Deine Setzung "A := 1" usw. ist also völlig unsinnig.

Die Bedeutung der Betragsstriche an dieser Stelle ist dir offensichtlich
auch unbekannt. Du kannst sie auf der wiedergegebenen Seite von WMs Buch
nachlesen.
Daraus ergibt sich, dass dein obiges Gestammel völlig sinnfrei ist.

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

warum könnte man das denn in etwa so klären:

+---- a ^2 = x ^2 | Wurzel ziehen, wir erhalten:
| a = x
V
+------+ +-----+
(a + b) ^2 = | a ^2 | + | 2ab | + b ^2
| | | |
| x ^2 | + | 6x | = -5
+------+ +-----+
A
+-------------------------+
V

2ab = 6x | wir dividieren ax, und erhalten
2b = 6 | wir dividieren durch 2 und erhalten dann:
b = 3 | diese 3 ^2 (für b ^2) setzen wir nun ein

daraus wird nun:

=> x ^2 + 6x + b ^2 = -5

=> x ^2 + 6x + 3 ^2 = -5 + 3 ^2
=> x ^2 + 6x + 9 = -5

das erste x ^2 an der obigen Rechnung stellt unser a ^2 dar.
- man nimmt nun alle Potenz-Grade zusammen:

x ^2 + 3 ^2 => 1 ^2 + 3 ^2 => 1 + 9 => 10x

=> 10x + 6x = 16x

=> 16x = -5 + 3 ^2
=> 16x = 4

=> 16x = 4 | wir ziehen die Wurzel
=> 4x = 2 | wir dividiren durch 2
=> 2x = 1 | wir ziehen 1x ab:
=> x = x | man kann nun, da x allein daher kommt x := 1 setzen

Probe:
(denken wir uns die linke Seite als a (1), die rechte Seite als b (1):

=> (a + b) ^2 = a ^2 + 2ab + b ^2

=> (1 + 1) ^2 = 1 ^2 + 2*1*1 + 1 ^2
=> ( 2) ^2 = 2 + 2 + 2
=> 4 = 6

+------ virtuelles x (für Eins: 1) !
V
=> 4 (x) = 6 | dividiert durch 2
=> 2 (x) = 3 | minus 2
=> x = 1

okay, das müsste man nun ein wenig Text verpacken.
Aber das kann ja Einer von Euch mal machen.
Den Anfang habe ich ja gemacht.

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> warum könnte man das
> denn in etwa so klären:
>

Was glaubst du denn, was erklärt werden soll?

>                +---- a ^2 = x ^2  | Wurzel ziehen, wir erhalten:
>                |     a    = x
>                V
>              +------+   +-----+
> (a + b) ^2 = | a ^2 | + | 2ab | + b ^2
>              |      |   |     |
>              | x ^2 | + | 6x  |         = -5
>              +------+   +-----+
>                           A
> +-------------------------+
> V
>

Das hat mit dem, um was in diesem Thread geht, nichts zu tun.
Es geht um Vektoren des R^3 (und bestimmte Eigenschaften des R^3).

Beispiel:

( 2 ) ( 4 )
A = ( 5 ) , B = ( 2 )
( 3 ) ( 1 )

Wenn du jetzt (A + B)^2 bilden willst, dann kannst du formal mit der
binomischen Formel vorgehen:

(A + B)^2 = (A + B)*(A + B)

= A*A + 2 A*B + B*B

= A^2 + 2 A*B + B^2

Nun steht die Multiplikation "*" zweier Vektoren für das _Skalarprodukt_
der beiden Vektoren, welches als Summe der Produkte der entsprechenden
Komponenten definiert ist. Allgemein: Für zwei Vektoren

( a_1 ) ( b_1 )
A = ( a_2 ) , B = ( b_2 )
( a_3 ) ( b_3 )

ist:

A*A = a_1.a_1 + a_2.a_2 + a_3.a_3

= (a_1)^2 + (a_2)^2 + (a_3)^2

B*B entsprechend

A*B = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3

Darin steht "." für die Multiplikation zweier reeller Zahlen.

Für die beiden Beispiel-Vektoren ergibt sich:

(A + B)^2 = A*A + 2 A*B + B*B

= (2^2 + 5^2 + 3^2) + 2.(2.4 + 5.2 + 3.1) + (4^2 + 2^2 + 1^2)

= 38 + 42 + 21

= 101

Zur Kontrolle kannst du auch erst die Summe der beiden Vektoren A + B
bilden und den Summenvektor skalar mit sich selbst multiplizieren:

( 2 + 4 ) ( 6 )
A + B = ( 5 + 2 ) = ( 7 )
( 3 + 1 ) ( 4 )

(A + B)^2 = (A + B)*(A + B)

= 6^2 + 7^2 + 4^2

= 101.

> 2ab = 6x    | wir dividieren ax, und erhalten
> 2b  = 6

Nein. Wenn du eine Gleichung dividieren willst, dann musst du auf beiden
Seiten das Gleiche machen - sonst ist es keine Gleichung mehr.

Richtig wäre also (vorausgesetzt, dass x nicht Null ist):

2ab = 6x | :ax

2ab 6x
--- = --
ax ax

2b 6
-- = -
x a

Den Rest deines Unsinns habe ich entsorgt, weil es mehrfach fehlerhaft
ist und mit dem Thema "Nachweis der Dreiecksungleichung für Vektoren des
R^3" absolut nichts zu tun hat. Zur Erinnerung: Es soll gezeigt werden,
dass gilt:

d(A,B) <= d(A,C) + d(C,B)

wobei

d(A,B) = | A - B |

ist - siehe https://ibb.co/3fLhzvS .

Für die obigen Beispielvektoren erhält man:

( 2 - 4 )
d(A,B) = | ( 5 - 2 ) |
( 3 - 1 )

(-2 )
= | ( 3 ) |
( 2 )

= sqrt((-2)^2 + 3^2 + 2^2)

= sqrt( 4 + 9 + 4 )

= sqrt( 17 )

Dieter Heidorn

[Marc Olschok]

On Wed, 25 Jan 2023 21:43:36 Dieter Heidorn wrote:
>[...] Ich habe deswegen einmal die ganze Seite aus WMs Leerbuch

> hochgeladen, von der JVR nur einen Teil gezeigt hatte:
>
> https://ibb.co/3fLhzvS

>[...]

O Graus! Was soll die zwanghafte Verwendung des Tensorproduktes?

- Wenn 9.1 schon trivial ist, weil sie "zur Definition des Betrages gehört",
dann braucht es natürlich auch für 9.2 keine explizite Rechnung mehr.

- Wenn man sowieso die Norm auf R^3 mittels des Skalarproduktes
erklärt hat und dann die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benutzen will,
kann man das auch gleich mit x=A-B und y=B-C verwenden.

Es gibt kein richtiges Beweisen im falschen (Buch).

v.G.
--
M.O.

[Jens Kallup]

Am 26.01.2023 um 14:05 schrieb Dieter Heidorn:
>
> Nun steht die Multiplikation "*" zweier Vektoren für das _Skalarprodukt_
> der beiden Vektoren, welches als Summe der Produkte der entsprechenden
> Komponenten definiert ist. Allgemein: Für zwei Vektoren

achso.
|x||y| soll eine Vektormultiplikation: |x| * |y| sein.
okay.

[WM]

Jens Kallup schrieb am Donnerstag, 26. Januar 2023 um 15:34:24 UTC+1:
> Am 26.01.2023 um 14:05 schrieb Dieter Heidorn:
> >
> > Nun steht die Multiplikation "*" zweier Vektoren für das _Skalarprodukt_
> > der beiden Vektoren, welches als Summe der Produkte der entsprechenden
> > Komponenten definiert ist. Allgemein: Für zwei Vektoren
> achso.
> |x||y| soll eine Vektormultiplikation: |x| * |y| sein.
> okay.

Nein, das soll die Multiplikation der Beträge sein, und x*y ist das Skalarprodukt, für das gilt

A ⋅ B = |A| ⋅ |B| ⋅ cos φ. (8. 10)

Das Vektorprodukt ist

A × B = X0(aybz − azby) + Y 0(azbx − axbz) + Z0(axby − aybx) (8.16)

Gruß, WM

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 26.01.2023 um 14:05 schrieb Dieter Heidorn:
>>
>> Nun steht die Multiplikation "*" zweier Vektoren für das _Skalarprodukt_
>> der beiden Vektoren, welches als Summe der Produkte der entsprechenden
>> Komponenten definiert ist. Allgemein: Für zwei Vektoren
>
> achso.
> |x||y| soll eine Vektormultiplikation: |x| * |y| sein.

Nein. |...| bedeutet Betrag von ...

Wenn x (bzw. y) eine reelle Zahl ist, dann ist |x| (bzw. |y|) der Betrag
der Zahl:

x = 3: |x| = | 3 | = 3
y = -5: |y| = |-5 | = 5

Sind x und y reelle Zahlen, dann ist |x|.|y| das Produkt der Beträge von
x und y, was eine positive reelle Zahl ergibt:

|x|.|y| = 3.5 = 15 ("." steht für Multiplikation reeller Zahlen)

Sind X und Y Vektoren, dann sind |X| und |Y| jeweils der Betrag des
Vektors X bzw. Y. Für Vektoren muss erst einmal definiert werden, was
unter dem Betrag verstanden werden soll. Im R^2 ist das anschaulich die
Länge des Vektors, die sich mit Pythagoras ergibt:


|
| ( x_1 )
x_2 -.................. X = ( ) ;
| X ´. ( x_2 )
| ´ .
| ´ . |X| = sqrt( (x_1)^2 + (x_2)^2 )
| ´ .
´-----------------|-- Der Betrag ist eine positive reelle Zahl.
x_1

Im R^3 kommt noch die dritte Komponente hinzu:

( x_1 )
X = ( x_2 )
( x_3 )

Der Betrag ist wieder anschaulich die Länge des Vektors, und zweimaliges
Anwenden des Satzes von Pythagoras ergibt den Betrag:

|X| = sqrt( (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 )

Für Vektoren X und Y sind die Beträge |X| und |Y| positive reelle
Zahlen, und es ist dann:

|X|.|Y|

= sqrt[(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2] . sqrt[(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2]

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist dagegen anders definiert:

( x_1 ) ( y_1 )
X*Y = ( x_2 )*( y_2 ) := x_1.y.1 + x_2.y_2 + x_3.y_3
( x_3 ) ( y_3 )

Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, daher der Name Skalarprodukt für die
so definierte Multiplikation zweier Vektoren.

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt:

X*X = x_1.x_1 + x_2.x_2 + x_3.x_3

= (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2

= |X|^2

also das Quadrat des Betrages des Vektors X.

Nun kannst du sehen, dass

|X*Y| = | x_1.y.1 + x_2.y_2 + x_3.y_3 |

und

|X|.|Y|

= sqrt((x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2) . sqrt((x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2)

nicht gleich sind.

Dieter Heidorn

[Mostowski Collapse]

Gibt es vielleicht eine Ungleichung zwischen X.Y und |X|*|Y|
sodass man den Beweis noch retten kann? Es ist ja:

(1) X.Y = |X|*|Y|*cos ∡(X,Y)

Und 0=<cos(a)=<1, falls |a|=<pi/2, daher gilt wohl

(2) X.Y=<|X|*|Y|

Man kann die Frage Dreiecksungleichung Gleichung einfacher formulieren:

|A+B| =< |A|+|B|

Also sqrt((A+B).(A+B)) =< sqrt(A.A)+sqrt(B.B), man darf beide Seiten quadrieren?

(A+B).(A+B) =< A.A + 2*sqrt(A.A)*sqrt(B.B)+B.B

Distributiert das Skalarprodukt? R.(S+T)=R.S+A.T?
Ich denke schon. Also hat man:

A.A + 2*A.B+B.B4 =< A.A + 2*sqrt(A.A)*sqrt(B.B) +B.B

Und gleiche Summanden auf beiden Seiten der Ungleichung
streichen und den Faktor 2 auf beiden Seiten wegnehmen:

A.B =< sqrt(A,A)*sqrt(B.B)

Jetzt sind wir wieder bei (2):

A.B =< |A|*|B|

Jetzt müsste man nur einen Beweis für (2) haben, der nicht
schon die cos() Formel (1) voraussetzt.

Wie funktioniert dieser Beweis?

[Mostowski Collapse]

Die Ungleichung:

X.Y=<|X|*|Y|

Ist der reelle Fall der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung

Wie beweisst man diese Ungleichung?

[Dieter Heidorn]

Mostowski Collapse schrieb:

> Die Ungleichung:
>
> X.Y=<|X|*|Y|
>
> Ist der reelle Fall der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung
>
> Wie beweisst man diese Ungleichung?
>

Das steht im Abschnitt 5 des Artikels:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung#Beweis_der_Ungleichung

Dieter Heidorn

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Jens Kallup wrote:

> was ist denn daran nicht zu verstehen ?

Du plenkst.

> (|A - C| + |C - B|) ^2
>
> => |AA - 2AB + BB|
> => |A * A - 2 * A * B + B * B

Daran ist nichts zu verstehen, denn es ist schlicht abgrundtief hcfsal.

Offenbar sind weder die Norm von Vektoren (falls A, B und C Vektoren
darstellen) noch die Determinanten von Matrizen (falls sie Matrizen
darstellen) in diesem Sinn additiv.

Seien beispielsweise der Einfachheit halber A, B und C ∈ ℝ³ –

A ≔ (1, 0, 0) ⇒ A A = (1, 0, 0) · (1, 0, 0) = 1 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 = 1
B ≔ (0, 1, 0) ⇒ 2 A B = 0, B B = 1
C ≔ (0, 0, 1),

–, dann:

A − C = (1, 0, −1)
C − B = (0, −1, 1).

Sei nun |·| der Einfachheit halber die euklische Norm (die in einer
Dimension identisch mit dem Betrag ist), dann

|A − C| = √(1² + 0² + (−1)²) = 2
|C − B| = √(0² + (−1)² + 1²) = 2.

⇒ (|A − C| + |C − B|)² = (2 + 2)² = 4² = 16.

Wohingegen

|A A - 2 A B + B B| = |1 − 0 + 1| = |2| = 2 ≠ 16.


Sogar

(|A − C| + |C − B|)² = |A − C|² + 2 |A − C| · |C − B| + |C − B|²

ist nur dann richtig, wenn

[|A − C|, |C − B|] = 0,

d. h. beide kommutieren. (Das ist jedoch bei Normen und Determinanten der
Fall, da alle Zahlenkörper kommutativ bezüglich der Multiplikation sind.)

Im allgemeinen gilt nur

(A + B)²
= (A + B) (A + B)
= A A + A B + B A + B B
= A² + A B + B A + B²,

also hier

(|A − C| + |C − B|)²
= (|A − C| + |C − B|) (|A − C| + |C − B|)
= |A − C|² + |A − C| · |C − B| + |C − B| · |A − C| + |C − B|².

> Naja, immer mit Formeln schmeißen, nie jedoch mal auf das lernende
> Kind, namens WM, eingehen. Tolle Wurst.

Glashaus, Steine.

--
PointedEars
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Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. /Bitte keine Kopien per E-Mail.

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Dieter Heidorn wrote:

> Sind x und y reelle Zahlen, dann ist |x|.|y| das Produkt der Beträge von
> x und y, was eine positive reelle Zahl ergibt:
>
> |x|.|y| = 3.5 = 15 ("." steht für Multiplikation reeller Zahlen)
>
> Sind X und Y Vektoren, dann sind |X| und |Y| jeweils der Betrag des
> Vektors X bzw. Y.

Nein, die _Norm_ des Vektors. Aber „Länge“ (für räumliche Grössen) oder
„Betrag“ (eher für andere, wie die Geschwindigkeit) wird es häufig in der
Physik genannt:

> Für Vektoren muss erst einmal definiert werden, was
> unter dem Betrag verstanden werden soll. Im R^2 ist das anschaulich die
> Länge des Vektors, die sich mit Pythagoras ergibt:
>
>
> |
> | ( x_1 )
> x_2 -.................. X = ( ) ;
> | X ´. ( x_2 )
> | ´ .
> | ´ . |X| = sqrt( (x_1)^2 + (x_2)^2 )
> | ´ .
> ´-----------------|-- Der Betrag ist eine positive reelle Zahl.
> x_1
>
> Im R^3 kommt noch die dritte Komponente hinzu:
>
> ( x_1 )
> X = ( x_2 )
> ( x_3 )
>
> Der Betrag ist wieder anschaulich die Länge des Vektors, und zweimaliges
> Anwenden des Satzes von Pythagoras ergibt den Betrag:
>
> |X| = sqrt( (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 )

Dieser sogenannte „Betrag“ (bzw. „Länge“) ist die euklidische (oder auch
2-)Norm dieses Vektors, formal korrekt geschrieben

∥X∥₂ = √(∑_{i=1}^n x_i²).

Es ist der Spezialfall der p-Normen

∥X∥ₚ = [∑_{i=1}^n (x_i)^p]^(1/p).

> Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist dagegen anders definiert:
>
> ( x_1 ) ( y_1 )
> X*Y = ( x_2 )*( y_2 ) := x_1.y.1 + x_2.y_2 + x_3.y_3
> ( x_3 ) ( y_3 )
>
> Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, daher der Name Skalarprodukt für die
> so definierte Multiplikation zweier Vektoren.

Das (komplexe) *Standard*-Skalarprodukt ist eigentlich so definiert:

⟨X, Y⟩ = ∑_i x_i* y_i,

wobei i über alle Indizes läuft.

Aber in ℝⁿ (∀ i ∈ ℕ: x_i* = x_i), und inbesondere ℝ³, ergibt sich obige
Definition, was man dann auch X · Y schreibt.

> Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt:
>
> X*X = x_1.x_1 + x_2.x_2 + x_3.x_3
>
> = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2
>
> = |X|^2
>
> also das Quadrat des Betrages des Vektors X.

⟨X, X⟩ = ∥X∥².

Siehe oben.

[Mostowski Collapse]

Man kann das Problem auf:

0 =< Z.Z

reduzieren. Also das Skalarprodukt ist positiv semidefinit.
Der Vorschlag von Wikipedia wäre Z = X - λ Y zu setzen,
für ein speziell gewähltes λ. Womöglich funktionieren auch

andere, verwandte, Ansätze. für z.B. Z = (Y.Y)*X-(X.Y)*Y, findet man:

0 =< ((Y.Y)*X-(X.Y)*Y)^2
= (Y.Y)^2*(X.X)-2*(Y.Y)*(X.Y)^2+(Y.Y)*(X.Y)^2
= (Y.Y)^2*(X.X) - (Y.Y)*(X.Y)^2
= (Y.Y)((Y.Y)*(X.X)-(X.Y)^2)

Und somit für Y.Y=\=0 wie gewünscht:

(X.Y)^2 =< (X.X)(Y.Y)

Beziehungsweise, Wurzel ziehen:

X.Y =< |X|*|Y|

[Mostowski Collapse]

Ob man viel bei solchen Umformungen lernt, und
ob das Sinn macht dass solches Zeug immerwieder
auch in Schulbüchern gefunden wird? Wie z.B. hier:

https://ibb.co/3fLhzvS

Was ist den eine praktischer Anwendungsfall
von der Ungleichung? Geometrie scheint mir counter-
intuitive, weil man ja das analytisch betrachtet,

aber kann man die Dreiecksungleichung nicht
einfach mit Zirkel und Lineal zeigen? Die Dreicksungleichung
sagt z.B. ab wann sich Dreiecke mit Länge a,b,c

konstruieren lassen, und ab wann nicht mehr.

[Mostowski Collapse]

The extended rational numbers in practice
https://www.youtube.com/watch?v=YMQkLojL2ek

Can you solve the Circle Rational number riddle he poses at the end?