Wahrscheinlichkeitstheorie oder Maßtheorie..
Andreas Müller
Hallo Leute
Erklär mir mal einer eben was ein Prämaß ist.
Andreas.
Christoph Pesch
> Erklär mir mal einer eben was ein Prämaß ist.
Im Vergleich zu einem Mass hast Du statt einer Sigma-Algebra
einen Ring in einer Menge, d.h. ein System R von Teilmengen,
von dem man fordert:
1.) Die leere Menge ist in R
2.) A und B in R ==> A ohne B in R
3.) A und B in R ==> A vereinigt B in R
Die Forderungen sind schwaecher als bei einer Sigma-Algebra,
bei der die ganze Menge in R sein muss (das System, das nur
die leere Menge als Element enthaelt, ist ein Ring aber keine
Sigma-Algebra), und die gegenueber abzaehlbaren Vereinigungen
abgeschlossen sein muss.
Ein Praemass ist auf Ringen fast genauso definiert, wie ein
Mass auf Sigma-Algebren. Das Praemass einer abzaehlbaren
Vereinigung von Mengen ist aber natuerlich nur dann definiert,
wenn diese Vereinigung in dem Ring liegt. Im Gegensatz zur
Sigma-Algebra ist das ja nicht gefordert. Also ist ein Praemass
eine Funktion \mu von einem Ring R in das Intervall [0,\infty]
mit
1.) \mu(\emptyset) = 0.
2.) Wenn (A_n) Folge paarweise disjunkter Mengen aus R mit in
R gelegener Vereinigung, dann ist
mu(\cup_n A_n) = \sum_n \mu(A_n).
Ein Praemass auf einer Sigma-Algebra ist ein Mass.
Siehe auch
Heinz Bauer: "Mass- und Integrationstheorie",
de Gruyter Lehrbuch, 2. Auflage, 1992, Kapitel 1,
Abschnitt 3.
Ciao,
Christoph
--
Christoph Pesch --- EMail: cpe...@stoch.fmi.uni-passau.de
Horst Kraemer
wrote:
> Erklär mir mal einer eben was ein Prämaß ist.
Ein Praemass ist ein sigma-additive positive Mengenfunktion, die
(bisher) nicht auf einer sigma-Algebra, sondern "nur" auf einem
Mengenring definiert ist. Ein Mengenring R ueber M ist ein System von
Teilmengen von M mit der Eigenschaft, dass {} \in R und mit A,B auch
Vereinigung und Differenz (und damit wegen AnB = A\(A\B)) auch der
Durchschnitt von A und B in R liegt.
Man betrachte z.B. die halboffenen Intervalle [a,b) aus \R. Die Menge
aller disjunkten _endlichen_ Vereinigungen irgendwelcher halboffenen
Intervalle zuzueglich der leeren Menge bildet dann einen Mengenring.
Man definiere nun eine Mengenfunktion phi auf R per
phi({}) := 0;
N
phi (\union { [a_i,b_i), Intervalle parweise diskunkt } )
i=1
N
:= Summe b_i-a_i
i=1
Dies ist das "uebliche" Intervallmass alias "Laenge", das sowohl dem
Riemannschen als auch dem Lebesgueschen Masz zugrunde liegt.
Wenn nun eine abzaehlbar unendliche paarweise diskjunkte Menge von
Elementen aus R gegeben ist, deren Vereinigung _zufaellig_ in R liegt
(nur wenn R eine sigma-Algebra waere, wuerde eine solche Vereinigung
notwendigerweise _immer_ in R liegen) und es gilt dann
oo oo N
phi ( \union R_i ) = Summe phi(R_i) , wenn \union R_i \in R
i=1 i=1 i=1
so heisst phi ein _Praemass_ auf R.
Man betrachte z.B. die Intervalle
[0,1/2), [1/2,3/4), [3/4,7/8) , [7/8,15/16) ....
Die Vereinigung dieser Intervalle, die alle in R liegen, ist das
Intervall [1,0). Dies liegt ebenfalls (zufaellig) in R, obwohl R keine
sigma-Algebra ist.
Man kann nun zeigen, dass man jedes Praemass-Masz phi auf einem Ring
(wenn das Prae-Mass sigma-endlich ist, nur auf eine einzige Weise) zu
einem Mass psi auf der von R erzeugten sigma-Algabra sigma(R)
ausdehnen kann mit psi(x)=phi(x) fuer alle x aus R.
MfG
Horst