kovariante Ableitung (geometrische Anschauung)
Chris
ich habe Probleme mir die kovariante Ableitung geometrische vorzustellen.
Laut meinem Differentialgeometrie Skript leite ich ein Vektorfeld in eine
bestimmte Richtung ab. Dies bereitet mir schon Probleme. Was ist die
Ableitung eines Vektorfeldes geometrisch gesehen? Die kovariante Ableitung
ist dann die Tangentialkomponente dieser Ableitung des Vektorfeldes.
Gibt es eine geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung?
Vielen Dank!
--
Chris
Norbert Dragon
Probleme, sich die kovariante Ableitung geometrisch vorzustellen.
Kannst Du Dir Parallelverschiebung vorstellen?
Sei x(s) die Integralkurve eines Vektorfeldes U, die für
s=0 den Punkt x durchlaufe.
Verschiebt man den Vektor V(x) vom Ort x parallel längs x(s)
so definiert die Differenz des Vektor V(x(s)) zum parallel verschobenen
Vektor PV(x(s)) in erster Ordnung des Kurvenparameters s die kovariante
Ableitung D_U V des Vektorfeldes V längs des Vektorfeldes U
V(x(s)) = PV(x(s)) + s D_U V(x(s)) + O(s^2)
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node143.html
--
Aberglaube bringt Unglück
Boudewijn Moonen
Geometrisch ist die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes X entlang
eines Vektorfeldes Y die infinitesimale Version der Parallelverschiebung
der Vektoren von X entlang den Integralkurven von Y .. aber aetsch,
damit ist natuerlich zunaechst nichts gewonnen, da man sich jetzt das
belastete Wort "infinitesimal" ins Paradies geholt hat und zusaetzlich
noch erklaeren muss, was "Parallelverschiebung" heisst...
Also, historisch war das so. Zunaechst kann man, wenn man zwei
Vektorfelder X, Y auf einer offenen Menge des R^n gegeben hat, durchaus
X in Richtung von Y ableiten: Es ist ja X eine differenzierbare Abbildung
X : U -- R^n
und, gegeben p in U, kann man das Differential von X in p bilden, das
ist eine lineare Abbildung
dX(p) : R^n --> R^n
und auf den Vektor Y(p) des R^n anwenden:
(1) dX(p)(Y(p)) Element des R^n
und dieses stolze Resultat nennt man dann nabla_Y X(p), den "Wert der
kovarianten Ableitung nabla_Y X des Vektorfeldes X in Richtung des
Vektorfeldes Y an der Stelle p". nabla_Y X ist dann wieder ein
Vektorfeld, wenn ich das fuer jedes p mache.
Geometrisch erhaelt man das so: Durch p geht genau eine Integralkurve
c : I --> U , I ein Intervall in R um 0, mit c(0) = p und c'(0) = X(p).
Dann ist nach der Kettenregel
(2) nabla_Y X(p) =(d/dt)(X o c)|t=0
also der Tangentialvektor in p an den Weg X o c im R^n, genannt auch die
Richtungsableitung von X in Richtung von c an der Stelle p. Nach
Definition ist das
(3) nabla_Y X(p) = lim_{t->0} (X(c(t)) - X(c(0)))/t
Dabei ist X(c(t)) ein Tangentialvektor an den R^n an der Stelle q :=
c(t) und X(c(0)) ein Tangentialvektor an den R^n an der Stelle p = c(0).
Bilden kann man die Differenz X(c(t)) - X(c(0)) nur, weil man im R^n
einen Parallelverschiebungsbegriff hat: Man kann den Vektor X(q) vom
Tangentialraum T_qR^n zum Tangentialraum T_pR^n parallel verschieben und
dort die Differenz bilden. Im Sinne von (1) ist dann die kovariante
Ableitung im R^n die infinitesimale Version der Parallelverschiebung dort.
Wie ist die Parallelverschiebung im R^n gegeben? Nun, man kann sagen,
man verschiebt den Vektor X(q) parallel entlang c nach p, indem man
seine Komponenten in Bezug auf einer Basis konstant haelt. Eine
basisunabhaengige Beschreibung erhaelt man dadurch, dass man statt des
R^n den unterliegenden affinen Raum A^n betrachtet, auf dem R^n einfach
transitiv durch Translationen operiert und statt Vektoren Punktepaare
aus A betrachtet, die man parallel nennt, wenn sie durch eine
Translation auseinander hervorgehen. Oder man erinnert sich, dass man
den Tangentialraum des R^n im Punkt x eigentlich beschreiben muss als
T_xR^n = {x} x R^n subseteq R^n x R^n, und dann ist die
Parallelverschiebung T_(c(t)) R^n --> T_p R^n einfach die Abbildung
(c(t),V) |--> (p,v),
Oder ich mache das zum geometrischen Axiom, indem ich sage, ich sehe ja,
was die Parallelverschiebung im R^n ist. Zumindest fuer n = 3.
Wie auch immer, aus der kovarianten Ableitung kann ich den
Parallelitaetsbegriff zurueckgewinnen: Da wegen (1) nabla_Y X(p) nur von
dem Wert Y(p) abhaengt, macht nabla_v X(p) Sinn fuer jeden Vektor v aus
R^n. Ist c eine Kurve im Definitionsbereich von X, so macht
nabla_c'(t) X(c(t)) Sinn fuer alle t im Definitionsbereich von c und
definiert ein Vektorfeld laengs c. Es entsteht dann dieses Vektorfeld
durch Parallelverschiebung im Euklidischen Raum entlang c aus X(p) an
der Stelle p = c(0) genau dann wenn gilt
(4) nabla_c' X o c = 0
und damit habe ich die Parallelverschiebung analytisch durch ein System
gewoehnlicher DGLen mittels der kovarianten Ableitung ausgedrueckt.
Diesen Parallelverschiebungsbegriff kann man approximativ so
beschreiben, dass man die Kurve beliebig fein unterteilt, entlang eines
Teilstueckes im umgebenden Euklidischen Raum parallel verschiebt, im
Endpunkt orthogonal auf den Tangentialraum projiziert, unverdrossen
weitermacht und dann zum Limes gegen Null gehender Unterteilungen
uebergeht (das ist intuitiv; kennt jemand eine Stelle, wo das mal streng
durchgefuehrt wird?)
Jetzt machen wir Ernst wie Levi-Civita im Jahre 1917 und betrachten eine
Untermannigfaltigkeit M des R^n. Seien also X, Y Vektorfelder auf M, p
ein Punkt von M. Ich will jetzt X an der Stelle p kovariant in Richtung
von Y(p) ableiten. Nun, sage ich, mache ich einfach genauso, verschiebe
X(c(t)) parallel nach p entlang der Integralkurve...
... nur dass ich (noch) keine Parallelverschiebung in M habe. Will
sagen, der im umgebenden Raum parallel nach p verschobene
Tangentialvektor hat keinen Grund mehr, dort tangential zu M zu sein.
Nun, sagt Levi-Civita, was nicht passt, wird passend gemacht, wir
projizieren einfach das im R^n parallel verschobene Resultat orthogonal
auf den Tangentialraum von M in p und definieren:
(5) nabla Y X(p) = lim_{t->0} P_p((X(c(t)) - X(c(0))))/t
= P_p (dX(p)Y(p))
mit P_p die othogonale Projektion R^n --> T_p M. Was nun LC in seiner
beruehmten Arbeit von 1917 durch eine explizite Rechnung nachweist, ist:
(5) haengt nur ab von den Komponenten von X und Y und den Ableitungen
von X in p und den Wert der metrischen Koeffizienten der von R^n auf M
induzierten Metrik. Diese will ich jetzt nicht hinschreiben; jeder, der
sich fuer diese Dinge interessiert, sollte sie einmal in seinem Leben
nachvollzogen haben (bin auf Nachfrage gern bereit, mehr dazu zu sagen).
Wie auch immer, diese ist eine tiefgehende Verallgemeinerung des
Theorema Egregium von Gauss, erlaubt sie doch, in einer *beliebigen*,
nicht notwendig in einen Euklidischen Raum isometrisch eingebetteten
Riemannschen Mannigfaltigkeit, den Begriff der kovarianten Ableitung
mittels *derselben* Formel zu definieren und dann mittels (4) einen
Parallelitaetsbegriff zu konstituieren, den *intrinsischen Parallelismus
von Levi-Civita*.
Aber keine Rose ohne Dornen: So schoen die Entdeckung von Levi-Civita
auch ist, es ist schon ein krummer Weg, der zu dem Parallelismus fuehrt:
-- man geht aus von der Euklidischen Parallelverschiebung
-- definiert eine Euklidische kovariante Ableitung
-- induziert eine kovariante Ableitung auf isometrisch eingebettete
Untermannigfaltigkeiten
-- deduziert, dass diese kovariante Ableitung intrinsisch ist
-- definiert einen Paralellitaetsbegriff mittels (5) durch
diese Ableitung
-- und schliesst, dass es in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit
einen intrinsischen Parallelitaetsbegriff gibt
Heutzutage ist es noch schlimmer: Man schenkt sich die ersten 4 Punkte,
haut einem axiomatisch den Begriff der kovarianten Ableitung um die
Ohren, deduziert durch miese kleine algebraische Spielereien, dass es in
einer Riemannschen Mannigfaltigkeiten genau einen metrischen,
torsionsfreien (ohne natuerlich zu erklaeren, was geometrisch die
Torsion sein soll) Zusammenhang gibt und definiert die
Parallelverschiebung durch (5), genauer durch die Loesung des durch (5)
gegebenen DGLensystems.
Was hechelnd auf der Strecke bleibt, ist die geometrische Anschauung,
und was bleibt, ist die brennende Frage: Was ist die geometrische
Bedeutung dieser intrinsischen Parallelverschiebung?
Ich weiss auch keine mich wirklich befriedigende Antwort darauf. Ich
habe versucht, zu skizzieren, wie es historisch dazu gekommen ist.
Weiterhin:
Zunaechst ist die Frage lokal: Die Parallelverschiebung entlang einer
Kurve und entlang einer daran folgenden Kurve ist gleich der
parallelverschiebung entlang der zusammengesetzten Kurve. Das folgt
daraus, dass (5) linear ist und nur vom Tangentialvektor der Kurve
abhaengt, nicht von derem finiten verlauf. Weiterhin genuegt es, entlang
einer Geodaetischen lokal parallel verschieben zu koennen, da sich jeder
stetige Weg durch geodaetische Polygonzuege approximieren lassen. Sodann:
In Dimension 1 ist das Problem trivial, da jede 1-dimensionale
Riemannsche Mannigfaltigkeit lokal isometrisch zu einem Intervall ist.
In Dimension 2 *gibt* es eine geometrische Beschreibung: Man verschiebt
einen Vektor parallel entlang einer Geodaetischen einfach dadurch, dass
man seinen Winkel mit der Geodaetischen konstant haelt.
In Dimension >= 3 reicht diese Beschreibung nicht aus, da sich der
Vektor um die Geodaetische drehen und winden kann. Bei der
Parallelverschiebung findet das irgendwie nicht statt, aber was bedeutet
das? Also zu Schluss:
SCHLUSSFRAGE: Was ist die geometrische Bedeutung der intrinsischen
Parallelverschiebung in Dimension >= 3? Antworten sind hochwillkommen.
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
Geometrisch ist die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes X entlang
eines Vektorfeldes Y die infinitesimale Version der Parallelverschiebung
der Vektoren von X entlang den Integralkurven von Y .. aber aetsch,
damit ist natuerlich zunaechst nichts gewonnen, da man sich jetzt das
belastete Wort "infinitesimal" ins Paradies geholt hat und zusaetzlich
noch erklaeren muss, was "Parallelverschiebung" heisst...
Also, historisch war das so. Zunaechst kann man, wenn man zwei
Vektorfelder X, Y auf einer offenen Menge des R^n gegeben hat, durchaus
X in Richtung von Y ableiten: Es ist ja X eine differenzierbare Abbildung
X : U -- R^n
und, gegeben p in U, kann man das Differential von X in p bilden, das
ist eine lineare Abbildung
dX(p) : R^n --> R^n
und auf den Vektor Y(p) des R^n anwenden:
(1) dX(p)(Y(p)) Element des R^n
und dieses stolze Resultat nennt man dann nabla_Y X(p), den "Wert der
kovarianten Ableitung nabla_Y X des Vektorfeldes X in Richtung des
Vektorfeldes Y an der Stelle p". nabla_Y X ist dann wieder ein
Vektorfeld, wenn ich das fuer jedes p mache.
Geometrisch erhaelt man das so: Durch p geht genau eine Integralkurve
c : I --> U , I ein Intervall in R um 0, mit c(0) = p und c'(0) = Y(p).
Boudewijn Moonen
Geometrisch ist die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes X entlang
X : U -- R^n
dX(p) : R^n --> R^n
Jetzt machen wir Ernst wie Levi-Civita im Jahre 1917 und betrachten eine
= P_p (dX(p)Y(p))
von Levi-Civita*. Diesen Parallelverschiebungsbegriff kann man
approximativ so beschreiben, dass man die Kurve beliebig fein
unterteilt, entlang eines Teilstueckes im umgebenden Euklidischen Raum
parallel verschiebt, im Endpunkt orthogonal auf den Tangentialraum
projiziert, unverdrossen weitermacht und dann zum Limes gegen Null
gehender Unterteilungen uebergeht (das ist intuitiv; kennt jemand eine
Stelle, wo das mal streng durchgefuehrt wird?)
Boudewijn Moonen
Geometrisch ist die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes X entlang
X : U -- R^n
dX(p) : R^n --> R^n
= P_p (dX(p)Y(p))
induzierten Metrik und deren Ableitungen. Diese will ich jetzt nicht
Norbert Dragon
> Was hechelnd auf der Strecke bleibt, ist die geometrische Anschauung,
> und was bleibt, ist die brennende Frage: Was ist die geometrische
> Bedeutung dieser intrinsischen Parallelverschiebung?
> Ich weiss auch keine mich wirklich befriedigende Antwort darauf.
An einem, wenn möglich freundlichen, Kommentar zu
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node140.html
wäre ich interessiert. Auch wenn er nicht freundlich ausfällt, hätte
ich gern Verbesserungsvorschläge.
> Zunaechst ist die Frage lokal: Die Parallelverschiebung entlang einer
> Kurve und entlang einer daran folgenden Kurve ist gleich der
> parallelverschiebung entlang der zusammengesetzten Kurve. Das folgt
> daraus, dass (5) linear ist und nur vom Tangentialvektor der Kurve
> abhaengt, nicht von derem finiten verlauf. Weiterhin genuegt es, entlang
> einer Geodaetischen lokal parallel verschieben zu koennen, da sich jeder
> stetige Weg durch geodaetische Polygonzuege approximieren lassen. Sodann:
Was bringt die Einschränkung auf Verschiebung längs geodätischer Linien?
> In Dimension 1 ist das Problem trivial, da jede 1-dimensionale
> Riemannsche Mannigfaltigkeit lokal isometrisch zu einem Intervall ist.
> In Dimension 2 *gibt* es eine geometrische Beschreibung: Man verschiebt
> einen Vektor parallel entlang einer Geodaetischen einfach dadurch, dass
> man seinen Winkel mit der Geodaetischen konstant haelt.
> In Dimension >= 3 reicht diese Beschreibung nicht aus, da sich der
> Vektor um die Geodaetische drehen und winden kann. Bei der
> Parallelverschiebung findet das irgendwie nicht statt, aber was bedeutet
> das? Also zu Schluss:
> SCHLUSSFRAGE: Was ist die geometrische Bedeutung der intrinsischen
> Parallelverschiebung in Dimension >= 3? Antworten sind hochwillkommen.
Mir ist die Frage nicht ganz klar. Die Antwort auf die physikalische
Bedeutung von Paralleltransport und von Fermi-Walker-Transport
(längs nichtgeodätischer Linien) von Richtungen, die senkrecht
zum Tangentialvektor sind, ist:
Dies gibt in der Raumzeit die Richtungen von Kreiseln und
Polarisationsrichtungen, auf die keine Drehmomente wirken.
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node150.html
In Geometrien mit Torsion gibt es normalerweise keine Basis
drehungsfreier Richtungen: etwas dreht sich immer.
Die vorgestern gestartete Satellitenmission Gravity Probe B soll
die Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie testen, daß
diese ungestörten Kreiselrichtungen sich gegenüber dem Fixsternhimmel
durch zwei Effekte drehen:
erstens durch den de-Sitter-Effekt, der daher rührt, daß der Satellit
selbst eine Kreisbahn durchläuft
und zweitens den etwa 100 Mal kleineren Thirring-Lense-Effekt
(Thirring spricht sich wie Tirol, er war Österreicher), der daher rührt,
daß sich die Erde dreht. Der Drehwinkel, den man binnen
eines Jahres Meßdauer nachweisen will, beträgt dann 6 * 10^-7
Ich hoffe, diese Angaben zur Physik verfehlen nicht den Themenbereich
dieser Gruppe.
Boudewijn Moonen
> Was bringt die Einschränkung auf Verschiebung längs geodätischer Linien?
Wie ich erklaert habe, ist es ja keine Einschraenkung, da sich jeder Weg
durch geodaetische Polygonstuecke, also stueckweise Geodaeten,
approximieren laesst. Was nun die Parallelverschiebung entlang Geodaten
angeht, so habe ich die Hoffnung, dass sich deren geometrische
Beschreibung, sollte sie denn existieren, besser beschreiben laesst, wie
der zweidimensionale Fall beweist: Dort ist die Parallelverschiebung
entlang eines Weges so gegeben, dass man den Weg mit geodaetischen
Boegen approximiert und den Winkel des zu verschiebenden Vektors mit den
geodaetischen Boegen konstant haelt.
> Mir ist die Frage nicht ganz klar. Die Antwort auf die physikalische
> Bedeutung von Paralleltransport und von Fermi-Walker-Transport
> (längs nichtgeodätischer Linien) von Richtungen, die senkrecht
> zum Tangentialvektor sind, ist:
>
> Dies gibt in der Raumzeit die Richtungen von Kreiseln und
> Polarisationsrichtungen, auf die keine Drehmomente wirken.
Das ist, wie ich meine, keine geometrische Beschreibung, da der Begriff
des Drehmomentes den Begriff der Kraft voraussetzt. Ich weiss auch
nicht, ob in einer beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeit der Begriff
des Kreisels Sinn macht, da dieser soetwas wie lokale Isotropie
voraussetzt. Was eine "Polarisationsrichtung" ist, ist mir mathematisch
auch nicht klar.Ich meine wirklich, eine geometrische Beschreibung, also
z.B. eine geometrische Konstruktion, wie ich, gegeben eine Geodaete,
einen Punkt auf der Geodaeten und einen Tangentialvektor dort, den
parallel verschobenen Vektor zumindestens in benachbarten Punkten
konstruieren kann, moeglicht unter Zuhilfenahme von Abstands- oder
Winkelmessungen, die ja die Grundlagen der metrischen Geometrie sind und
wie es in Dimension 2 ja geht. Im Euklidischen Raum kann ich das ja z.B.
so machen: Sei g eine Geodate, also gerade Linie, P ein Punkt auf g, PQ
ein Vektor. Sei P' ein weiterer Punkt auf g. Verbinde Q mit P'. Halbiere
die Strecke OP'; sei M der Mittelpunkt. Verbinde P mit M mittels einer
Geodaete und verlaengere sie bis Q', wobei die Laenge von M nach Q'
gleich der Laenge von P nach M ist. Dann ist P'Q' der nach Q' laengs g
parallel verschobene Vektor PQ.
(N.B. Die Parallelverschiebung von Vektoren, die in Richtung der
Geodaete zeigen, also tangential sind, ist klar, da eine Geodaete per
Definitionem ein Weg ist, der seinen Tangentialvektor parallel
verschiebt, wenn er proportional zur Eigenzeit parametrisiert ist.
Es genuegt also, die Parallelverschiebung von Vektoren geometrisch zu
beschreiben, die senkrecht zur Geodaeten sind.)
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon wrote:
> Was nun die Parallelverschiebung entlang Geodaeten
> angeht, so habe ich die Hoffnung, dass sich deren geometrische
> Beschreibung, sollte sie denn existieren, besser beschreiben laesst, wie
> der zweidimensionale Fall beweist: Dort ist die Parallelverschiebung
> entlang eines Weges so gegeben, dass man den Weg mit geodaetischen
> Boegen approximiert und den Winkel des zu verschiebenden Vektors mit den
> geodaetischen Boegen konstant haelt.
Ich sage Dir sicher nichts neues und bin noch etwas ratlos,
worauf Du hinauswillst:
Allgemein läßt metrikverträgliche Parallelverschiebung alle Winkel
zwischen Vektoren und ihre Längen invariant.
Aber dazu braucht nicht einer der Vektoren Tangentialvektor an die
Kurve zu sein, längs derer verschoben wird.
Daß Torsion eine einfache geometrische Bedeutung hat, zeigt sich
beim Versuch, ein infinitesimales Parallelogramm zu konstruieren.
>> Dies gibt in der Raumzeit die Richtungen von Kreiseln und
>> Polarisationsrichtungen, auf die keine Drehmomente wirken.
> Das ist, wie ich meine, keine geometrische Beschreibung, da der Begriff
> des Drehmomentes den Begriff der Kraft voraussetzt.
Unstrittig ist "kein Drehmoment" ein physikalischer Begriff.
Aber in ihm steckt die geometrische Vorstellung davon, welche
Kreiselachse "unverändert" oder eben "parallel" ist, obwohl sie zu
verschiedenen Zeiten und verschiedenen Orten Richtungen in
verschiedenen Vektorräumen sind.
Ist nicht alles damit gesagt, daß Parallelverschiebung längs
Kurven die Tangentialräume der Kurvenpunkte invertierbar und
verträglich mit der Vektorraumstruktur aufeinander abbildet und
daß derjenige Paralleltransport, bei dem sich infinitesimale
Parallelogramme schließen, und der Längen und Winkel erhält,
eindeutig durch diese Eigenschaften festgelegt ist?
Beim zweiten Durchlesen dämmert mir aber, daß Du womöglich diese
Eindeutigkeit nicht algebraisch ausrechnen willst, sondern durch
geometrische Konstruktionen zeigen willst.
> Ich meine wirklich, eine geometrische Beschreibung, also
> z.B. eine geometrische Konstruktion, wie ich, gegeben eine Geodaete,
> einen Punkt auf der Geodaeten und einen Tangentialvektor dort, den
> parallel verschobenen Vektor zumindestens in benachbarten Punkten
> konstruieren kann, moeglicht unter Zuhilfenahme von Abstands- oder
> Winkelmessungen, die ja die Grundlagen der metrischen Geometrie sind und
> wie es in Dimension 2 ja geht.
Ist das die Frage danach, wie man den metrikverträglichen,
torsionsfreien Paralleltransport geometrisch konstruieren kann --
vorausgesetzt, man hat an jedem Punkt in einer Umgebung Zirkel
und Lineal -- statt algebraisch das Christoffelsymbol auszurechnen?
> Im Euklidischen Raum kann ich das ja z.B.
> so machen: Sei g eine Geodaete, also gerade Linie, P ein Punkt auf g, PQ
> ein Vektor. Sei P' ein weiterer Punkt auf g. Verbinde Q mit P'. Halbiere
> die Strecke OP'; sei M der Mittelpunkt. Verbinde P mit M mittels einer
> Geodaete und verlaengere sie bis Q', wobei die Laenge von M nach Q'
> gleich der Laenge von P nach M ist. Dann ist P'Q' der nach Q' laengs g
> parallel verschobene Vektor PQ.
Im gekrümmten Raum könntest Du von einem Punkt p sternförmig ausgehende
Geodätische betrachten. Der Paralleltransport einer Orthonormalbasis
von p längs der Geodätischen definiert an jedem Punkt in einer Umgebung
eine Orthonormalbasis. Bezogen auf diese Orthonormalbasis ist
Paralleltransport in radialer Richtung, längs der sternförmigen
Geodätischen, trivial.
Jeder Paralleltransport quer dazu bildet die Orthonormalbasis
von Urbildpunkt auf eine Orthonormalbasis am Bildpunkt ab, die
sich von der dortigen um eine Drehung unterscheidet.
> (N.B. Die Parallelverschiebung von Vektoren, die in Richtung der
> Geodaete zeigen, also tangential sind, ist klar, da eine Geodaete per
> Definitionem ein Weg ist, der seinen Tangentialvektor parallel
> verschiebt, wenn er proportional zur Eigenzeit parametrisiert ist.
> Es genuegt also, die Parallelverschiebung von Vektoren geometrisch zu
> beschreiben, die senkrecht zur Geodaeten sind.)
Siehe oben. Da haben wir wohl ähnliche Vorstellungen.
Ich vermute, sie laufen auf die geometrische Konstruktion von
Riemannschen Normalkoordinaten hinaus.
Um geometrisch zu zeigen, daß der Paralleltransport durch die
Bedingungen festgelegt, daß sich Parallelogramme schließen und daß
Winkel und Längen unverändert bleiben, müßte man das algebraische
Lösen der Gleichungen, die das Christoffelsymbol G_(km n) definieren,
d_k g_mn + G_(km n) + G_(kn m) = 0 , G_(km n) = G_(mk n) ,
durch eine geometrische Konstruktion ersetzen.
Wenn jemandem hierzu einsichtige, einfach nachzuvollziehende
Konstruktionen einfallen, kann er ihre Tauglichkeit am Beweis der
Bianchi-Identitäten versuchen.
Ich muß für mich gestehen, daß es mir reicht, die Definitionen des
Paralleltransportes ein wenig mit geometrischer Anschauung zu füllen
und daß ich anschließend Dreiecke rechne, statt sie mit Zirkel und
Lineal zu konstruieren.
Es ist faszinierend, zum Beispiel mit
Tristan Needham,
Visual Complex Analysis,
Clarendon Press, Oxford, 1997
komplexe Analysis geometrisch zu verstehen,
aber es ist für mein Gehirn auch mühsam.
Rolf Albinger
Warum zaeumt ihr das Pferd immer von hinten auf.
Die Vorgehensweise ist doch folgende:
Ich habe eine Mannigfaltigkeit und definiere (lege fest), wie der
lineare Zusammenhang (oder kovariante Ableitung - das ist dasselbe)
aussehen soll.
Damit liegt sofort fest, was parallel bedeutet und was die
Geodaetischen sind.
Eine andere Vorgehensweise ist m.E. unvorteilhaft, weil es
verschiedene lin. Zusammenhaenge gibt, die die gleichen Geodaetischen
haben.
Unabhaengig davon ist eine Metrik. Die wird man sinnvollerweise so
waehlen, dass sie mit dem lin. Zusammenhang vertraeglich ist.
Viel Spass weiterhin
Rolf
Boudewijn Moonen
Na gut, wenn Dich diese Art von motivationslosem ahistorischem seichtem
Formalismus befriedigt... Ich frage mich allerdings, welche Art
geometrischer Vorstellungskraft sich bei jemandem entwickelt, der die
kovariante Ableitung als Operator auf Schnitten in das zweifache
Tensorprodukt eines Tangentialbuendels kennenlernt, der sich im ersten
Argument linear und im zweiten derivativ verhaelt, Parallelitaet als
algebraische Bedingung nabla = 0 und so Geodaetische, und dann eine
kraftlos nachgelieferte Metrik als davon unabhaengig empfindet. Das
laesst mich schaudernd an Horden moderner Mathematikbuecher und Kaskaden
ebensolcher Vorlesungen denken, die besser nie das Licht der Welt
erblickt haetten.
Boudewijn
Boudewijn Moonen
> Allgemein läßt metrikverträgliche Parallelverschiebung alle Winkel
> zwischen Vektoren und ihre Längen invariant.
> Aber dazu braucht nicht einer der Vektoren Tangentialvektor an die
> Kurve zu sein, längs derer verschoben wird.
>
> Daß Torsion eine einfache geometrische Bedeutung hat, zeigt sich
> beim Versuch, ein infinitesimales Parallelogramm zu konstruieren.
Ich sage Dir sicher nichts Neues, wenn ich Dir sage, dass ich mir dessen
alles bewusst bin, darum geht es doch nicht.
>>>Dies gibt in der Raumzeit die Richtungen von Kreiseln und
>>>Polarisationsrichtungen, auf die keine Drehmomente wirken.
>
>
>>Das ist, wie ich meine, keine geometrische Beschreibung, da der Begriff
>>des Drehmomentes den Begriff der Kraft voraussetzt.
>
>
> Unstrittig ist "kein Drehmoment" ein physikalischer Begriff.
> Aber in ihm steckt die geometrische Vorstellung davon, welche
> Kreiselachse "unverändert" oder eben "parallel" ist, obwohl sie zu
> verschiedenen Zeiten und verschiedenen Orten Richtungen in
> verschiedenen Vektorräumen sind.
>
> Ist nicht alles damit gesagt, daß Parallelverschiebung längs
> Kurven die Tangentialräume der Kurvenpunkte invertierbar und
> verträglich mit der Vektorraumstruktur aufeinander abbildet und
> daß derjenige Paralleltransport, bei dem sich infinitesimale
> Parallelogramme schließen, und der Längen und Winkel erhält,
> eindeutig durch diese Eigenschaften festgelegt ist?
Das finde ich eben nicht. Wenn ich schon vorgebe, Geometrie zu machen,
moechte ich mir schon vorstellen koennen, *wie* denn nun ein Bewohner
einer Riemannschen Welt denn nun einen Vektor parallel verschiebt,
und wenn dieser er selbst ist, wenn er als Artist sich einem Hochseil
entlangschiebt. Und wenn wir solche Bewohner nun womoeglich sind, so
hatten Babylonier, Aegypter und Griechen aber maechtig Glueck, dass
unsere Welt so ziemlich euklidisch erscheint und sie nicht so gezwungen
waren, beim Parallelverschieben Differentialgleichungssysteme loesen zu
muessen...
> Beim zweiten Durchlesen dämmert mir aber, daß Du womöglich diese
> Eindeutigkeit nicht algebraisch ausrechnen willst, sondern durch
> geometrische Konstruktionen zeigen willst.
Na Gott sei Dank, wenigstens das. Ich frage mich aber, was man mit
Sprache denn nur vermitteln kann, denn irgendwie hatte ich die dunkle
Ahnung, das eigentlich von Anfang an gesagt zu haben.
>>Ich meine wirklich, eine geometrische Beschreibung, also
>>z.B. eine geometrische Konstruktion, wie ich, gegeben eine Geodaete,
>>einen Punkt auf der Geodaeten und einen Tangentialvektor dort, den
>>parallel verschobenen Vektor zumindestens in benachbarten Punkten
>>konstruieren kann, moeglicht unter Zuhilfenahme von Abstands- oder
>>Winkelmessungen, die ja die Grundlagen der metrischen Geometrie sind und
>>wie es in Dimension 2 ja geht.
>
>
> Ist das die Frage danach, wie man den metrikverträglichen,
> torsionsfreien Paralleltransport geometrisch konstruieren kann --
> vorausgesetzt, man hat an jedem Punkt in einer Umgebung Zirkel
> und Lineal -- statt algebraisch das Christoffelsymbol auszurechnen?
I.w. ja, ich will mich da nicht auf Zirkel und Lineal kaprizieren,
sondern frage bewusst vage nach irgenwie gearteten geometrischen Prozeduren.
>>Im Euklidischen Raum kann ich das ja z.B.
>>so machen: Sei g eine Geodaete, also gerade Linie, P ein Punkt auf g, PQ
>>ein Vektor. Sei P' ein weiterer Punkt auf g. Verbinde Q mit P'. Halbiere
>>die Strecke OP'; sei M der Mittelpunkt. Verbinde P mit M mittels einer
>>Geodaete und verlaengere sie bis Q', wobei die Laenge von M nach Q'
>>gleich der Laenge von P nach M ist. Dann ist P'Q' der nach Q' laengs g
>>parallel verschobene Vektor PQ.
>
>
> Im gekrümmten Raum könntest Du von einem Punkt p sternförmig ausgehende
> Geodätische betrachten. Der Paralleltransport einer Orthonormalbasis
> von p längs der Geodätischen definiert an jedem Punkt in einer Umgebung
> eine Orthonormalbasis. Bezogen auf diese Orthonormalbasis ist
> Paralleltransport in radialer Richtung, längs der sternförmigen
> Geodätischen, trivial.
Ja, aber wie beschreibe ich den Paralleltransport einer ONB entlang
einer Geodaetischen? Ich weiss doch nur, wie ich in Tangentialrichtung
der Geodaetischen parallel verschiebe. Das ist klar, dass es genuegt, zu
beschreiben, wie man eine Basis parallel verschiebt, dann verschiebt man
einen beliebigen Vektor natuerlich parallel, indem man seine Komponenten
in bezug auf die parallel verschobene Basis konstant haelt, das ist in
der Tat trivial.
> Jeder Paralleltransport quer dazu bildet die Orthonormalbasis
> von Urbildpunkt auf eine Orthonormalbasis am Bildpunkt ab, die
> sich von der dortigen um eine Drehung unterscheidet.
Ja, und um welche? Wie beschreibe ich denn diese Drehung?
>>(N.B. Die Parallelverschiebung von Vektoren, die in Richtung der
>>Geodaete zeigen, also tangential sind, ist klar, da eine Geodaete per
>>Definitionem ein Weg ist, der seinen Tangentialvektor parallel
>>verschiebt, wenn er proportional zur Eigenzeit parametrisiert ist.
>>Es genuegt also, die Parallelverschiebung von Vektoren geometrisch zu
>>beschreiben, die senkrecht zur Geodaeten sind.)
>
>
> Siehe oben. Da haben wir wohl ähnliche Vorstellungen.
Ja, denke ich auch.
> Ich vermute, sie laufen auf die geometrische Konstruktion von
> Riemannschen Normalkoordinaten hinaus.
Interessante Anregung.
> Um geometrisch zu zeigen, daß der Paralleltransport durch die
> Bedingungen festgelegt, daß sich Parallelogramme schließen und daß
> Winkel und Längen unverändert bleiben, müßte man das algebraische
> Lösen der Gleichungen, die das Christoffelsymbol G_(km n) definieren,
>
> d_k g_mn + G_(km n) + G_(kn m) = 0 , G_(km n) = G_(mk n) ,
>
> durch eine geometrische Konstruktion ersetzen.
Genau. Und, ich denke nicht, dass das bei einer generischen Riemannschen
Metrik, die sozusagen lokal sich beliebig drehen und aufwerfen kann,
moeglich ist, sondern nur bei solchen hoher Symmetrie, z.B. bei
symmetrischen Raeumen. Aber es sollte die Zerlegung in approximative
geometrisch beschreibbare Schritte moeglich sein, die bei beliebiger
Verfeinerung die Parallelverschiebung beliebig genau approximieren,
m.a.W. die geometrische Beschreibung der Diskretisierung des
Differentialgleichungssystems, das die Parallelverschiebung analytisch
definiert. So in etwa sowas schwebt mir vor.
> Wenn jemandem hierzu einsichtige, einfach nachzuvollziehende
> Konstruktionen einfallen, kann er ihre Tauglichkeit am Beweis der
> Bianchi-Identitäten versuchen.
>
> Ich muß für mich gestehen, daß es mir reicht, die Definitionen des
> Paralleltransportes ein wenig mit geometrischer Anschauung zu füllen
> und daß ich anschließend Dreiecke rechne, statt sie mit Zirkel und
> Lineal zu konstruieren.
>
> Es ist faszinierend, zum Beispiel mit
>
> Tristan Needham,
> Visual Complex Analysis,
> Clarendon Press, Oxford, 1997
>
> komplexe Analysis geometrisch zu verstehen,
> aber es ist für mein Gehirn auch mühsam.
Na, hoffentlich verbirgt sich da nicht ein ganz klein wenig
Drueckebergerei... Mir zumindest haben die Definitionen des
Paralleltransportes und deren durch formale Manipulationen vom Himmel
fallenden eindeutige Erfuellbarbarkeit nie gereicht.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb
>> Ist das die Frage danach, wie man den metrikverträglichen,
>> torsionsfreien Paralleltransport geometrisch konstruieren kann --
>> vorausgesetzt, man hat an jedem Punkt in einer Umgebung Zirkel
>> und Lineal -- statt algebraisch das Christoffelsymbol auszurechnen?
> I.w. ja, ich will mich da nicht auf Zirkel und Lineal kaprizieren,
> sondern frage bewusst vage nach irgenwie gearteten geometrischen Prozeduren.
> ... ich denke nicht, dass das bei einer generischen Riemannschen
> Metrik, die sozusagen lokal sich beliebig drehen und aufwerfen kann,
> moeglich ist, sondern nur bei solchen hoher Symmetrie, z.B. bei
> symmetrischen Raeumen. Aber es sollte die Zerlegung in approximative
> geometrisch beschreibbare Schritte moeglich sein, die bei beliebiger
> Verfeinerung die Parallelverschiebung beliebig genau approximieren,
> m.a.W. die geometrische Beschreibung der Diskretisierung des
> Differentialgleichungssystems, das die Parallelverschiebung analytisch
> definiert. So in etwa sowas schwebt mir vor.
Zu den Prozeduren muß wohl dazugehören, daß man sie für kleinere und
kleinere Abstände wiederholen und den Grenzfall betrachten darf.
Wie sieht es mit der Konstruktion von Parallelogrammen aus?
Seien u und v zwei zueinander senkrechte Vektoren am Punkt x,
dann kann man ihnen eine kurze Strecke zu y = x + epsilon u und
zu z = x + epsilon v folgen und an diesen Punkten alle Vektoren
betrachten, die senkrecht auf den Tangentialvektoren der Strecken
stehen.
Wie eindeutig sind diese senkrechten Vektoren bei y und diejenigen bei
z, die die Eigenschaft haben, ebensolang wie v und u zu sein und die
zudem, wenn man ihnen eine kurze Strecke folgt, zu demselben
Punkt, dem vierten Eckpunkt des Parallelogramms führen?
Definiert dies nicht schon vollständig, welcher Vektor bei y
parallel zu v ist?
Hendrik van Hees
Ich merke schon, ich muß doch meinen Geo-FAQ-Artikel fortsetzen. Genauso
ist er ja angelegt. Erst kommen die "armen nackten" Mannigfaltigkeiten,
die dann nach und nach mehr Struktur verpaßt kriegen (affine
Zusammenhänge und Metriken hatte ich im Sinn). Man kann dann einen
kleinen Schlenker zu Eichtheorien machen.
Allerdings habe ich seit einem Blick in Weinbergs Buch "Gravitation" und
dem Lesen seines Papers Phys. Rev. 138 (1965) *B988* die Überzeugung
gewonnen, daß in der GR viel zu sehr auf der Geometrisierung
herumgeritten wird. Die GR folgt viel physikalischer aus dem
Äquivalenzprinzip als eine Feldtheorie mit einem masselosen Feld der
Helizität 2. Aus Konsistenzgründen gelangt man dann zwingend zu den
Einsteingleichungen die dann geometrisch reinterpretiert werden können.
--
Hendrik van Hees Cyclotron Institute
Phone: +1 979/845-1411 Texas A&M University
Fax: +1 979/845-1899 Cyclotron Institute, MS-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ College Station, TX 77843-3366
Hendrik van Hees
> Na gut, wenn Dich diese Art von motivationslosem ahistorischem
> seichtem Formalismus befriedigt...
Ich kämpfe immer gegen historische Darstellungen. Es ist eine der
schönsten Eigenschaften der Mathematik, daß sie ohne historischen
Ballasat auskommt. Man kann nach der logisch nachvollziehbarsten Form
der Darstellung suchen und muß nicht historische Irrtümer tradieren.
Die Ideengeschichte der mathematischen Begriffe ist freilich ein
interessanter Forschungsgegenstand für sich, und ich lese auch gerne
Bücher, die dieses Thema behandeln, aber zum Erlernen der Mathematik
(und der theoretischen Physik) ist es besser, man hat eine in sich
konsistente Darstellung, die von historischen Ablenkungsmanövern frei
ist.
Ich finde, daß Weinberg mit "Quantum Theory of Fields" das Ideal
gefunden hat: Eine historische Einleitung, die unabhängig vom Rest des
Buches gelesen werden kann. Das ist für sich ein Meisterwerk, das sich
zu lesen lohnt. Wer dann tiefer in die Historie einsteigen will, sollte
dann zu Spezialbüchern wie "Schweber, QED and the men who made it"
greifen.
> Ich frage mich allerdings, welche
> Art geometrischer Vorstellungskraft sich bei jemandem entwickelt, der
> die kovariante Ableitung als Operator auf Schnitten in das zweifache
> Tensorprodukt eines Tangentialbuendels kennenlernt, der sich im ersten
> Argument linear und im zweiten derivativ verhaelt, Parallelitaet als
> algebraische Bedingung nabla = 0 und so Geodaetische, und dann eine
> kraftlos nachgelieferte Metrik als davon unabhaengig empfindet. Das
> laesst mich schaudernd an Horden moderner Mathematikbuecher und
> Kaskaden ebensolcher Vorlesungen denken, die besser nie das Licht der
> Welt erblickt haetten.
Freilich sind Bücher wie Dieudonne auch ein Fluch. Man muß schon einen
gesunden Mittelweg finden. Ohne Anschauung machen strikte Herleitungen
wenig didaktischen Sinn. Man sollte es aber keinesfalls historisch
aufziehen, sondern an geeigneten Stellen Motivationsabschnitte oder
-kapitel einfügen, die die strikten Begriffe motivieren.
Thomas Mautsch
schrieb Boudewijn Moonen <B.Mo...@ipb.uni-bonn.de>:
> Norbert Dragon wrote:
>
>> Allgemein läßt metrikverträgliche Parallelverschiebung alle Winkel
>> zwischen Vektoren und ihre Längen invariant.
>> Aber dazu braucht nicht einer der Vektoren Tangentialvektor an die
>> Kurve zu sein, längs derer verschoben wird.
>>
>> Daß Torsion eine einfache geometrische Bedeutung hat, zeigt sich
>> beim Versuch, ein infinitesimales Parallelogramm zu konstruieren.
... nur, dass ich nie verstanden habe, wodurch ein
"infinitesimales Parallelogramm" intrinsisch,
d.h. koordinatenunabhängig, charakterisiert ist...
[ ... physikalische Betrachtungen gestrichen ... ]
>> Ist nicht alles damit gesagt, daß Parallelverschiebung längs
>> Kurven die Tangentialräume der Kurvenpunkte invertierbar und
>> verträglich mit der Vektorraumstruktur aufeinander abbildet und
>> daß derjenige Paralleltransport, bei dem sich infinitesimale
>> Parallelogramme schließen, und der Längen und Winkel erhält,
>> eindeutig durch diese Eigenschaften festgelegt ist?
>
> Das finde ich eben nicht. Wenn ich schon vorgebe, Geometrie zu machen,
> moechte ich mir schon vorstellen koennen, *wie* denn nun ein Bewohner
> einer Riemannschen Welt denn nun einen Vektor parallel verschiebt,
> und wenn dieser er selbst ist, wenn er als Artist sich einem Hochseil
> entlangschiebt. Und wenn wir solche Bewohner nun womoeglich sind, so
> hatten Babylonier, Aegypter und Griechen aber maechtig Glueck, dass
> unsere Welt so ziemlich euklidisch erscheint und sie nicht so gezwungen
> waren, beim Parallelverschieben Differentialgleichungssysteme loesen zu
> muessen...
Wenn Du Deinen Bewohner auf Bewegungen entlang der Geodäte
einschränkst, wird er wohl nie erfahren,
welche Verschiebung die richtige ist,
denn der Levi-Civita-Zusammenhang
hängt nicht nur von der Einschränkung der Metrik
auf das Tangentialbündel der Umgebungsmannigfaltigkeit
entlang der Geodäten ab,
sondern vom ganzen 1-Jet der Metrik entlang der Geodäte.
Will Folgendes sagen:
Wenn man sich im Tangentialbündel der Umgebungsmannigfaltigkeit,
eingeschränkt auf die Geodäte,
IRGENDEINEN die Metrik erhaltenden affinen Paralleltransport wählt,
so werden zur Geodäte senkrechte Vektoren durch diesen
in ebensolche Vektoren überführt,
d.h., das Normalenbündel der Geodäte bleibt unter Paralleltransport
invariant und zudem werden seine Fasern ISOMETRISCH aufeinander abgebildet.
In zwei Dimensionen beschreibt dies
Paralleltransport entlang der Geodäten,
wie schon von Dir erklärt, eindeutig,
aber nicht nur Paralleltransport bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs,
sondern bezüglich JEDES METRISCHEN ZUSAMMENHANGS,
für den unsere Kurve eine Geodäte ist.
In höheren Dimensionen entsteht, wie von Euch beschrieben,
durch den Paralleltransport entlang der Geodäte
nur eine Trivialisierung des Normalenbündels durch
punktweise orthonormale
und entlang der Geodäten parallele Vektorfelder.
Umgekehrt beschreibt auch jede Trivialisierung des Normalenbündels
(entlang einer Kurve) durch punktweise orthonormale Vektorfelder
auch eindeutig einen kompatiblen metrischen Zusammenhang im Bündel.
Ich würde jetzt behaupten,
dass man bei gegebenem metrischen Zusammenhang entlang der Kurve
die Metrik in einer Umgebung der Kurve so fortsetzen kann,
dass die Kurve eine Geodäte und der gegebene metrische Zusammenhang
die Enschränkung des Levi-Civita-Zusammenhangs der fortgesetzten Metrik
wird...
>>>Ich meine wirklich, eine geometrische Beschreibung, also
>>>z.B. eine geometrische Konstruktion, wie ich, gegeben eine Geodaete,
>>>einen Punkt auf der Geodaeten und einen Tangentialvektor dort, den
>>>parallel verschobenen Vektor zumindestens in benachbarten Punkten
>>>konstruieren kann, moeglicht unter Zuhilfenahme von Abstands- oder
>>>Winkelmessungen, die ja die Grundlagen der metrischen Geometrie sind und
>>>wie es in Dimension 2 ja geht.
Ich würde das auch gern wissen.
Marcel Bergers SEHR EMPFEHLENSWERTEN Buch
"A Panoramic View of Riemannian Geometry" (Springer-Verlag)
scheint die Antwort darauf zu streifen,
aber leider verstehe ich die dazu auf Seite 240 enthaltene Abbildung
"Fig. 6.22.
Approximation of parallel transport with beams of geodesics,
in dimension >=3"
nicht, und habe das Buch
Vladimir I. Arnol'd,
Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag,
New York, 1996, Translated from the 1974 Russian original
by K. Vogtmann and A. Weinstein,
Corrected reprint of the second (1989) edition. MR 96c:70001,
in dem die Antwort im APPENDIX ONE stehen soll,
nicht bei der Hand...
[ ... Rest gestrichen ... ]
Rainer Rosenthal
"Hendrik van Hees"
> Ich kämpfe immer gegen historische Darstellungen.
Och, schade.
> Es ist eine der schönsten Eigenschaften der Mathematik, daß
> sie ohne historischen Ballast auskommt. Man kann nach der
> logisch nachvollziehbarsten Form der Darstellung suchen
"Historisch denken" bedeutet nicht nur nach hinten zu sehen,
denke ich, sondern sich als "mitten im Strom" zu begreifen.
Wenn Du von *der* nachvollziehbarsten Form sprichst, dann
verabsolutierst Du. Du ignorierst damit zugleich die Zukunft.
> Cyclotron Institute
Es braucht schon einen langen historischen Anlauf, um so
etwas Perfektes und Sinnvolles zu schaffen, nicht wahr?
Wie gut, dass so etwas stets bestehen bleiben wird.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
--
Auch bei "genetischen Algorithmen" wundert mich, warum man
glauben kann, sie würden was endgültig Tolles produzieren.
Leider verstehe ich aber zu wenig davon und es ist hier
wohl nicht das richtige Forum.
Rolf Albinger
>Na gut, wenn Dich diese Art von motivationslosem ahistorischem seichtem
>kovariante Ableitung als Operator auf Schnitten in das zweifache
>Tensorprodukt eines Tangentialbuendels kennenlernt, der sich im ersten
>Argument linear und im zweiten derivativ verhaelt, Parallelitaet als
>algebraische Bedingung nabla = 0 und so Geodaetische, und dann eine
>kraftlos nachgelieferte Metrik als davon unabhaengig empfindet. Das
>laesst mich schaudernd an Horden moderner Mathematikbuecher und Kaskaden
>ebensolcher Vorlesungen denken, die besser nie das Licht der Welt
>erblickt haetten.
Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt.
Komischerweise wird heute Physik mit gerade eben solcher moderner
Mathematik betrieben.
>Boudewijn
Viel Spass weiterhin
Rolf
Hendrik van Hees
> Das zeigt mir nur, dass Du, wenn ueberhaupt, nur seichtes
> Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt.
> Komischerweise wird heute Physik mit gerade eben solcher moderner
> Mathematik betrieben.
Yep, nur daß viele Physiker es gar nicht merken, mit was sie da eigentlich
operieren ;-)).
Rolf Albinger
>Ich merke schon, ich muß doch meinen Geo-FAQ-Artikel fortsetzen. Genauso
>ist er ja angelegt. Erst kommen die "armen nackten" Mannigfaltigkeiten,
>die dann nach und nach mehr Struktur verpaßt kriegen (affine
>Zusammenhänge und Metriken hatte ich im Sinn). Man kann dann einen
>kleinen Schlenker zu Eichtheorien machen.
benutzt. Alle Darstellungen der Arbeiten ueber Quantengravitation
gehen ueber DG-Begriffe (z.B. Zusammenhaenge in Schleifenraeumen)
>Allerdings habe ich seit einem Blick in Weinbergs Buch "Gravitation" und
>dem Lesen seines Papers Phys. Rev. 138 (1965) *B988* die Überzeugung
>gewonnen, daß in der GR viel zu sehr auf der Geometrisierung
>herumgeritten wird. Die GR folgt viel physikalischer aus dem
>Äquivalenzprinzip als eine Feldtheorie mit einem masselosen Feld der
>Helizität 2. Aus Konsistenzgründen gelangt man dann zwingend zu den
>Einsteingleichungen die dann geometrisch reinterpretiert werden können.
Welt mit krummlinigen Koordinatensystemen oder eine gekruemmte Welt
mit lokalen kartesischen Koordinaten zu haben. Interpretationssache?
Viel Spass weiterhin
Rolf
David Kastrup
> Rolf Albinger wrote:
>
> > Das zeigt mir nur, dass Du, wenn ueberhaupt, nur seichtes
> > Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt. Komischerweise wird
> > heute Physik mit gerade eben solcher moderner Mathematik
> > betrieben.
>
> Yep, nur daß viele Physiker es gar nicht merken, mit was sie da
> eigentlich operieren ;-)).
Das Phänomen ist nicht auf die Physiker beschränkt. Während meines
E-Technikstudiums haben wir in Höherer Mathematik die
Eigenwert/Eigenvektorzerlegungen von positiv definiten Matrizen
durchgeführt, um irgendwelche schiefliegenden Kegelschnitte und
ähnliches zu analysieren. Wir haben in der Experimentalphysik mit der
Hauptachsentransformation Trägheitsmomente berechnet. In technischer
Mechanik haben wir mit einer Quadratwurzelformel Hauptspannungswerte
berechnet.
Die meisten meiner Kommilitonen haben diese Dinge alle jeweils gelernt
und geübt, bis sie die Aufgaben der jeweiligen Fächer damit in guter
Zeit durchrechnen konnten. Ohne daß einem von ihnen aufgegangen wäre,
daß es ein und derselbe Scheiß war, den sie dreimal hintereinander mit
anderen Formelzeichen und Darstellungen eingepaukt haben.
Und das endet nicht mit den Leuten, die die Hochschule verlassen: es
gibt eine Fouriertransformation für Ingenieure, eine für Physiker und
eine für Mathematiker. Andere Vorzeichenkonventionen, andere
Skalierungsfaktoren, andere Variablen. Andere Theorieeinbettung. Und
die Statistiker haben noch ihre charakteristische Funktion für
Verteilungsdichten. Wenige Helden schauen über den Tellerrand der
anderen Disziplinen und schreiben dann "Grundlagenwerke" für ihre
eigenen Disziplinen, weil keiner sonst die Fremdsprache der anderen
verstünde. Welcher Ingenieur beißt sich schon mit Hilberträumen rum?
--
David Kastrup, Kriemhildstr. 15, 44793 Bochum
Hendrik van Hees
> Ja, so wie Du das angelegt hast, ist es modern und es wird auch so
> benutzt. Alle Darstellungen der Arbeiten ueber Quantengravitation
> gehen ueber DG-Begriffe (z.B. Zusammenhaenge in Schleifenraeumen)
Von Quantengravitation verstehe ich leider überhaupt nichts, was sich aber
vielleicht ändern läßt, wenn ich mal genug Zeit habe. Es freut mich, wenn
Du die Darstellung für einigermaßen modern hältst. Es wundert mich
allerdings, weil ich ja kein Mathematiker bin und sicher nicht die neuesten
differentialgeometrischen Entwicklungen im Auge habe. Es ist auch aus Sicht
eines Physikers geschrieben.
Im letzten Wintersemester hatte ich eine Übungsgruppe in theoretischer
Physik I. Da ist mir klar geworden, daß leider immer noch die "klassische"
Dreiervektoranalysis verbreitet ist und gelehrt wird. Daraus ist dann das
andere Skript zur klassischen Vektoranalysis entstanden.
>>Allerdings habe ich seit einem Blick in Weinbergs Buch "Gravitation" und
>>dem Lesen seines Papers Phys. Rev. 138 (1965) *B988* die Überzeugung
>>gewonnen, daß in der GR viel zu sehr auf der Geometrisierung
>>herumgeritten wird. Die GR folgt viel physikalischer aus dem
>>Äquivalenzprinzip als eine Feldtheorie mit einem masselosen Feld der
>>Helizität 2. Aus Konsistenzgründen gelangt man dann zwingend zu den
>>Einsteingleichungen die dann geometrisch reinterpretiert werden können.
> Es besteht ja durchaus die Frage, ob es aequivalent ist eine flache
> Welt mit krummlinigen Koordinatensystemen oder eine gekruemmte Welt
> mit lokalen kartesischen Koordinaten zu haben. Interpretationssache?
Hm, letztlich kommt bei beiden Zugängen zur ART, also vom geometrischen (die
"klassische" Darstellung a la Einstein, Hilbert et al) und vom
physikalischen (a la Weinberg, Feynman et al) Standpunkt aus, die gleiche
Physik heraus. Eben eine Beschreibung der Gravitation, die das (lokale)
Äquivalenzprinzip mit der relativistischen Raumzeitbeschreibung konsistent
macht.
Der physikalische Zugang geht vom lokalen Äquivalenzprinzip aus und arbeitet
zunächst in einem flachen Raum. Die Gravitation wird dann durch ein Feld
beschrieben, wobei herauskommt, daß es sich dabei um ein (und nur ein!)
masseloses Spin-2-Feld handeln kann, welches an (und nur an) den
Energie-Impulstensor (in seiner Belinfanteschen symmetrischen Gestalt)
koppelt, und zwar notwendig universell (die GL(4) ist ja hier die
Eichgruppe, und die ist nichtabelsch, deshalb universell) koppelt. Damit
kann man erst mal Störungstheorie betreiben, was dann der Entwicklung des
Pseudometriktensors nach kleinen Störungen von der Minkowskilösung
entspricht. Man kann aber auch gleich durch Konsistenzbedingungen die
Einsteingleichungen selbst, also die volle (klassische) Theorie herleiten.
Das Spin-2-Feld kann dann uminterpretiert werden als Metrik einer
pseudo-Riemannschen Raumzeitmannigfaltigkeit, und man ist bei der
geometrischen (Re-)Interpretation angelangt.
Der geometrische Zugang geht von der SRT und vom Äquivalenzprinzip aus.
Betrachtet man nun den Raumschnitt bzgl. einem gegenüber der Klasse der
Inertialsysteme beschleunigten Bezugssystem, was ja lokal das
Gravitationsfeld beschreibt, ist dieser Raumschnitt notwendig
nichteuklidisch (die Raumzeit ist freilich immer ein flacher Minkowskiraum,
er kann nicht einfach durch Einführung anderer Raumzeitkoordinaten gekrümmt
sein).
Daraus hat Einstein nach längerem Herumirren geschlossen, daß für ein reales
Gravitationsfeld die Raumzeit selbst als gekrümmtes vierdimensionales
Kontinuum zu beschreiben ist. Der Rest war dann "nur" noch
Invariantentheorie: Welche Invarianten kann man aus dem Metriktensor
basteln, die dann zu Feldgleichungen der gewünschten Art (zweiter Ordnung)
führen: Es bleibt nur der Krümmungsskalar und eine Konstante (die berühmte
kosmologische Konstante, die bis heute noch die größten ungelösten Rätsel
der Physik darstellt, nämlich die dark energy-Frage, allerdings ist nicht
die Frage, ob sie von 0 verschieden ist, sondern warum sie so klein ist).
Daraus ergeben sich dann die Feldgleichungen.
Wenn man sich das mal genau ansieht, findet man, daß die zweite Sicht, also
das historisch heuristische Argument, auf dem Einstein zu der Theorie
gelangt ist, eigentlich didaktisch unbefriedigend ist. Wir haben uns nur
daran gewöhnt, es so einzuführen. Der physikalische Zugang erscheint aus
der heutigen modernen Sicht, wo wir es gewöhnt sind, mit den Darstellungen
der Poincaregruppe und überhaupt allgemeinen physikalischen
Symmetrieargumenten zu argumentieren, als viel natürlicher.
Freilich ist dieser begrifflich einfachere Zugang nur möglich, weil Einstein
eben diese Symmetrie-Denkweise in die Physik eingeführt hat, was imho seine
genialste Leistung neben all seinen genialen Einzelleistungen darstellt.
Hendrik van Hees
> Und das endet nicht mit den Leuten, die die Hochschule verlassen: es
> gibt eine Fouriertransformation für Ingenieure, eine für Physiker und
> eine für Mathematiker. Andere Vorzeichenkonventionen, andere
> Skalierungsfaktoren, andere Variablen. Andere Theorieeinbettung. Und
> die Statistiker haben noch ihre charakteristische Funktion für
> Verteilungsdichten. Wenige Helden schauen über den Tellerrand der
> anderen Disziplinen und schreiben dann "Grundlagenwerke" für ihre
> eigenen Disziplinen, weil keiner sonst die Fremdsprache der anderen
> verstünde. Welcher Ingenieur beißt sich schon mit Hilberträumen rum?
Warum sollte er auch? Freilich sollte er bemerken, daß er genau das beim
Lösen eines Strahlungsproblems tut, wenn er zur Entwicklung nach
orthogonalen Funktionensystemen schreitet.
Maike Schmidt
> Im letzten Wintersemester hatte ich eine Übungsgruppe in theoretischer
> Physik I. Da ist mir klar geworden, daß leider immer noch die "klassische"
> Dreiervektoranalysis verbreitet ist und gelehrt wird. Daraus ist dann das
> andere Skript zur klassischen Vektoranalysis entstanden.
Ich vermute, du willst auf den Differentialformenkalkül hinaus. Aber
ist es nicht eine große Einschränkung, wenn man nur
Differentialformen über Mannigfaltigkeiten integrieren kann und
nicht beliebige Funktionen? Oder kann man die Integration
einer Funktion immer auf die Integration einer geeigneten
Differentialform zurückführen?
Grüße,
Maike
Hendrik van Hees
> Ich vermute, du willst auf den Differentialformenkalkül hinaus. Aber
> ist es nicht eine große Einschränkung, wenn man nur
> Differentialformen über Mannigfaltigkeiten integrieren kann und
> nicht beliebige Funktionen? Oder kann man die Integration
> einer Funktion immer auf die Integration einer geeigneten
> Differentialform zurückführen?
Na ja, integrieren mag man ja viel wollen, aber wozu? In der Physik will
man ja gerade kovariante Größen berechnen, und da ist es gut, mit
solchen zu hantieren.
Hast Du ein Beispiel, wo man in der Physik etwas anderes benötigt?
Roland Franzius
Jeder Integrand ist eine Differentialform. Das Integral ist eine lineare
Abbildung dieser Differentialform auf die Werte auf der Oberfläche einer
ein Grad niderigeren Diffentialform. Jedes Vektorfeld/Tensorfeld, das
zur Integration ansteht, ist _tatsächlich_ eine Differentialform.
Die euklidische Geometrie (und die Physikerausbildung) vernebelt die
fundamentalen Unterschiede zwischen Vektoren und Formen. Es ist immer
wieder erstaunlich, wie lange selbst intelligente Physiker an der
Reparatur ihres Weltbildes arbeiten müssen, wenn sie diese simplen
Tatsachen nicht im 1. ode 2. Semester beigebogen bekommen. Das ist auch
ein viel gesunderer Bruch mit der Schulinfinitesimalrechnung als das
Cauchysche Konvergenzkriterium.
Man kann sagen, dass etwa 89% der Maxwellschen Elektrodynamik und 39%
der Quantentheorie daraus bestehen, die simplen Vorschriften für
Differentialformen in Vektorvorschriften zu übersetzen. Die bestehen
meist darin, sich formwertige Ströme von Feldern als Teilchen mit Ladung
Huckepack und Trajektorien zu veranschaulichen.
--
Roland Franzius
Boudewijn Moonen
>>[Snip]
>>Na gut, wenn Dich diese Art von motivationslosem ahistorischem seichtem
>>Formalismus befriedigt...Ich frage mich allerdings, welche Art
>>geometrischer Vorstellungskraft sich bei jemandem entwickelt, der die
>>kovariante Ableitung als Operator auf Schnitten in das zweifache
>>Tensorprodukt eines Tangentialbuendels kennenlernt, der sich im ersten
>>Argument linear und im zweiten derivativ verhaelt, Parallelitaet als
>>algebraische Bedingung nabla = 0 und so Geodaetische, und dann eine
>>kraftlos nachgelieferte Metrik als davon unabhaengig empfindet. Das
>>laesst mich schaudernd an Horden moderner Mathematikbuecher und Kaskaden
>>ebensolcher Vorlesungen denken, die besser nie das Licht der Welt
>>erblickt haetten.
>
> Das zeigt mir nur, dass Du, wenn ueberhaupt, nur seichtes
> Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt.
Na, da quiekt wohl ein Betroffener... Mir ist auch nicht klar, auf Grund
welch innerer Gesamtschaufaehigkeiten Du bei so wenig Information zu
einem umfassenden Urteil kommst, aber wenn es der Polemik dient...
Nebenbei, ich bin mir der Implikationen des Begriffes "Differential" in
"Differentialgeometrie" durchaus bewusst, da brauche ich keinen
streitlustigen Ignoranten, mir das streitig machen zu lassen.
> Komischerweise wird heute Physik mit gerade eben solcher moderner
> Mathematik betrieben.
Was ist denn daran komisch, Mann. Unterstelle mir doch keine Sachen, die
ich nicht gesagt habe. Und egal, was die Physiker so machen, das ist
doch kein Freibrief fuer blutleeren Formalismus in der Mathematik. Und
mir brauchst Du nicht zu erzaehlen, dass es eine Hierarchie der
Strukturen von den nackten frierenden Mannigfaltigkeiten ueber die
Unterwaesche der Zusammenhaenge bis hin zu den kleidsdamen Metriken
gibt. Und dass es verschiedene Herangehensweisen gibt, bei denen ich
eher fuer eine Koexistenz als fuer die Heraushebung eines angeblichen
Koenigsweges bin, der fuer andere Perspektiven blind macht. Ich wuerde
mich bei einer Einfuehrung in die Zahlentheorie halt nicht an Weils
"Basic Number Theory" orientieren, und bei einer motivfoerdernden
Einfuehrung in die Differentialgeometrie an Spivak und nicht an
Kobayashi-Nomizu, wobei ich in keiner Weise gesagt haette, das letzteres
kein glaenzendes Buch sei. Und Deine blasierte Selbstinzenierung als
Vertreter der "modernen Mathematik" ist hier geschenkt, Blasiertheit
will gelernt und in eine Umgebung eingebettet sein, die sich mir aus
Deiner bishereigen Praesenz nicht erschliesst.
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
> Es besteht ja durchaus die Frage, ob es aequivalent ist eine flache
> Welt mit krummlinigen Koordinatensystemen oder eine gekruemmte Welt
> mit lokalen kartesischen Koordinaten zu haben. Interpretationssache?
Ohne genaue Definition von "flacher Welt", *krummlinigen
Koordinatensystemen", "gekruemmte Welt" und "mit lokalen kartesischen
Koordinaten" ist das Gesabbel. Und bei herkoemmlicher Interpretation
barer Unsinn.
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
>>[Snip]
>>Na gut, wenn Dich diese Art von motivationslosem ahistorischem seichtem
>>Formalismus befriedigt...Ich frage mich allerdings, welche Art
>>geometrischer Vorstellungskraft sich bei jemandem entwickelt, der die
>>kovariante Ableitung als Operator auf Schnitten in das zweifache
>>Tensorprodukt eines Tangentialbuendels kennenlernt, der sich im ersten
>>Argument linear und im zweiten derivativ verhaelt, Parallelitaet als
>>algebraische Bedingung nabla = 0 und so Geodaetische, und dann eine
>>kraftlos nachgelieferte Metrik als davon unabhaengig empfindet. Das
>>laesst mich schaudernd an Horden moderner Mathematikbuecher und Kaskaden
>>ebensolcher Vorlesungen denken, die besser nie das Licht der Welt
>>erblickt haetten.
>
> Das zeigt mir nur, dass Du, wenn ueberhaupt, nur seichtes
> Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt.
Na, da quiekt wohl ein Betroffener... Mir ist auch nicht klar, auf Grund
welch innerer Gesamtschaufaehigkeiten Du bei so wenig Information zu
einem umfassenden Urteil kommst, aber wenn es der Polemik dient...
Nebenbei, ich bin mir der Implikationen des Begriffes "Differential" in
"Differentialgeometrie" durchaus bewusst, da brauche ich keinen
streitlustigen Ignoranten, mir das streitig machen zu lassen.
> Komischerweise wird heute Physik mit gerade eben solcher moderner
> Mathematik betrieben.
Was ist denn daran komisch, Mann. Unterstelle mir doch keine Sachen, die
ich nicht gesagt habe. Und egal, was die Physiker so machen, das ist
doch kein Freibrief fuer blutleeren Formalismus in der Mathematik. Und
mir brauchst Du nicht zu erzaehlen, dass es eine Hierarchie der
Strukturen von den nackten frierenden Mannigfaltigkeiten ueber die
Unterwaesche der Zusammenhaenge bis hin zu den kleidsamen Metriken
gibt. Und dass es verschiedene Herangehensweisen gibt, bei denen ich
eher fuer eine Koexistenz als fuer die Heraushebung eines angeblichen
Koenigsweges bin, der fuer andere Perspektiven blind macht. Ich wuerde
mich bei einer Einfuehrung in die Zahlentheorie halt nicht an Weils
"Basic Number Theory" orientieren, und bei einer motivfoerdernden
Einfuehrung in die Differentialgeometrie an Spivak und nicht an
Kobayashi-Nomizu, wobei ich in keiner Weise gesagt habe, das letzteres
kein glaenzendes Buch sei. Und Deine blasierte Selbstinszenierung als
Vertreter der "modernen Mathematik" ist hier geschenkt, Blasiertheit
will gelernt und in eine Umgebung eingebettet sein, die sich mir aus
Deiner bisherigen Praesenz in dieser NG nicht erschliesst.
Gruss Boudewijn
Rolf Albinger
Hier hatte ich mich mit HvH unterhalten, dass Du nicht weisst, was
diese Begriffe bedeuten ist ja nicht weiter schlimm.
>Gruss Boudewijn
Viel Spass weiterhin
Rolf
Rolf Albinger
Ich schrieb:
>> Das zeigt mir nur, dass Du, wenn ueberhaupt, nur seichtes
>> Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt.
>
>Na, da quiekt wohl ein Betroffener...
> Mir ist auch nicht klar, auf Grund
>welch innerer Gesamtschaufaehigkeiten Du bei so wenig Information zu
>einem umfassenden Urteil kommst, aber wenn es der Polemik dient...
>Nebenbei, ich bin mir der Implikationen des Begriffes "Differential" in
>"Differentialgeometrie" durchaus bewusst, da brauche ich keinen
>streitlustigen Ignoranten, mir das streitig machen zu lassen.
>> Komischerweise wird heute Physik mit gerade eben solcher moderner
>> Mathematik betrieben.
>
>Was ist denn daran komisch, Mann. Unterstelle mir doch keine Sachen, die
>ich nicht gesagt habe.
Wo habe ich Dir ueberhaupt was unterstellt?
>[Snip]
>Koenigsweges bin, der fuer andere Perspektiven blind macht. Ich wuerde
>mich bei einer Einfuehrung in die Zahlentheorie halt nicht an Weils
>"Basic Number Theory" orientieren, und bei einer motivfoerdernden
>Einfuehrung in die Differentialgeometrie an Spivak und nicht an
(das ist eine Unterstellung)
>Kobayashi-Nomizu, wobei ich in keiner Weise gesagt habe, das letzteres
>kein glaenzendes Buch sei. Und Deine blasierte Selbstinszenierung als
>Vertreter der "modernen Mathematik" ist hier geschenkt, Blasiertheit
>will gelernt und in eine Umgebung eingebettet sein, die sich mir aus
>Deiner bisherigen Praesenz in dieser NG nicht erschliesst.
Halbwissen.
(was Du kannst, kann ich auch)
>
>Gruss Boudewijn
>
Viel Spass weiterhin
Rolf
Boudewijn Moonen
> On Mon, 26 Apr 2004 10:20:48 +0200, Boudewijn Moonen
> <B.Mo...@ipb.uni-bonn.de> wrote:
>
>
>>Rolf Albinger wrote:
>>
>>
>>>Es besteht ja durchaus die Frage, ob es aequivalent ist eine flache
>>>Welt mit krummlinigen Koordinatensystemen oder eine gekruemmte Welt
>>>mit lokalen kartesischen Koordinaten zu haben. Interpretationssache?
>>
>>Ohne genaue Definition von "flacher Welt", *krummlinigen
>>Koordinatensystemen", "gekruemmte Welt" und "mit lokalen kartesischen
>>Koordinaten" ist das Gesabbel. Und bei herkoemmlicher Interpretation
>>barer Unsinn.
>
> Hier hatte ich mich mit HvH unterhalten,
Wie auch immer, die sci.math ist ein oeffentliches Forum, und jeder, der
sich hier aeussert, muss nicht nur damit rechnen, dass sich auch andere
als der unmittelbare Dialogpartner zu den Aeusserungen aeussert, sondern
stimmt dem aufgrund dieser gewaehlten Ausdrucksform zu. Sonst kannst Du
ja einen Privatdialog fuehren, Du fuehltest Dich dann nicht belaestigt,
und andere sich nicht gestoert. Und zudem macht diese von Dir getroffene
Feststellung die von Dir vorgeschlagene Alternative auch nicht sinnvoller.
> dass Du nicht weisst, was
> diese Begriffe bedeuten ist ja nicht weiter schlimm.
Na, das beruhigt mich ja. Nur, dass Du auch keinen Deut dazu beigetragen
hasst, den Eindruck zu vermitteln, dass sie Dir was bedeuten, trotz
Nachfrage. Bleiben wir daher mal bei der ueblichen Bedeutung. Wenn Du
von einer "flachen" Welt redest, so bedeutet das gemeinhin, dass Du von
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit verschindendem Kruemmungstensor
redest. Was "krummlinige Koordinatensysteme" in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit sind, ist etwas diffuse, aber ich gehe davon aus, dass
Du damit ein Koordinatensystem meinst, dessen Koordinatenlinien keine
Geodaeten sind, also eines, das kein Riemannsches
Normalkoordinatensystem ist. Nun, egal, wie krumm auch ein von DIr
betrachtetes Koordinatensystem ist, der Raum ist und bleibt so flach wie
zuvor.
Kommen wir zu der "gekruemmten" Welt. Einse solche bedeutet
standardgemaess eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nicht
verschwindendem Kruemmungstensor. Mit "kartesischen Koordinaten" meinst
Du hoffentlich Riemannsche Normalkoordinaten (sonst teile mal hier mit,
was Du damit meinst). Nun koennen die kartesischen Koordinaten, die Du
betrachtest, so kartesisch sein wie Du nur willst, gekruemmt bleibt
gekruemmt.
Was Du doch insgesamt vorschlaegst, ist, es sei egal ob ich einen
flachen Raum in gekruemmten oder einen gekruemmten Raum in geraden
Koordinaten betrachte, und dieses ist Schwachsinn oder banal. Schachsinn
ist es als allgemeine Aussage, weil ein krummer Raum krumm bleibt, egal
in welchen Koordinaten ich ihn betrachte, und so soll es ja auch sein,
da jeder vernuenftige Kruemmungsbegriff koordinatenunabhaengig sein
sollte. Banal ist es in dem Fall, in dem es zutrifft, wenn ich also
einen flachen Raum als gekruemmten betrachte, naemlich als Raum mit
Kruemmung Null.
Gruss Boudewijn
Norbert Dragon
> Wenn ich schon vorgebe, Geometrie zu machen, moechte ich mir schon
> vorstellen koennen, *wie* denn nun ein Bewohner
> einer Riemannschen Welt denn nun einen Vektor parallel verschiebt,
> und wenn dieser er selbst ist, wenn er als Artist sich einem Hochseil
> entlangschiebt.
> Wie beschreibe ich den Paralleltransport einer ONB entlang
> einer Geodaetischen? Ich weiss doch nur, wie ich in Tangentialrichtung
> der Geodaetischen parallel verschiebe.
Sei b der Endpunkt einer Geodätischen U durch a mit anfänglichem
Tangentialvektor u und c Endpunkt einer zweiten Geodätischen V
durch a mit anfänglichem Tangentialvektor v, u senkrecht v.
Bei b ist der Unterraum senkrecht zu U definiert, der von denjenigen
Geodäten aufgespannt wird, die U in b senkrecht schneiden, ebenso
ist der Orthogonalraum zu V im Punkt c definiert.
Beide Orthogonalräume haben Schnittpunkte, einer dieser Schnittpunkte,
d, hat minimalen Abstand zu b.
Definiere den Paralleltransport von v längs U zu b als den
Tangentialvektor an die Geodäte durch b und d, der dieselbe
Länge wie v hat.
Verfeinere die Konstruktion für kleinere und kleinere u und v.
Diese Vorschrift definiert den Paralleltransport intrinsisch --
so gut ich das Wort verstehe.
Nachrechnen für infinitesimale Parallelogramme zeigt, daß dies
die Vorschrift für den Levi-Civita-Zusammenhang ist.
Boudewijn Moonen
> Ich schrieb:
>
>>>Das zeigt mir nur, dass Du, wenn ueberhaupt, nur seichtes
>>>Oberflaechenwissen bezueglich DG besitzt.
>>
>>Na, da quiekt wohl ein Betroffener...
>
> jau, auf dich gemuenzt, scheint das zu stimmen.
Tolle Replik, gratuliere.
>>Mir ist auch nicht klar, auf Grund
>>welch innerer Gesamtschaufaehigkeiten Du bei so wenig Information zu
>>einem umfassenden Urteil kommst, aber wenn es der Polemik dient...
>>Nebenbei, ich bin mir der Implikationen des Begriffes "Differential" in
>>"Differentialgeometrie" durchaus bewusst, da brauche ich keinen
>>streitlustigen Ignoranten, mir das streitig machen zu lassen.
>
> ich stelle fest: die ersten Beleidigungen stammen von Dir.
Wo sind da meine "ersten Beleidigungen"? Du bescheinigst mir aufgrund
einiger weniger Bemerkungen, die als Diskussionsbeitrag gemeint waren,
"nur seichtes Oberflaechenwissen", da ist der Ausdruck "streitlustiger
Ignorant" keine Beleidigung, sondern eine Feststellung.
>>>Komischerweise wird heute Physik mit gerade eben solcher moderner
>>>Mathematik betrieben.
>>
>>Was ist denn daran komisch, Mann. Unterstelle mir doch keine Sachen, die
>>ich nicht gesagt habe.
>
> Mann, wo habe ich Dir Sachen unterstellt, die Du nicht gesagt hast?
> Wo habe ich Dir ueberhaupt was unterstellt?
Sagen wir mal so, die implizite Unterstellung, die falsche Lehre zu
vertreten, ist durchaus ein konnotatives Moment Deines Textes. Wenn Du
das blauaeugig leugnest, ist es sinnlos, da weiter zu insistieren.
Ansonsten weisst Du ja insgeheim, wovon ich rede.
>>[Snip]
>>Koenigsweges bin, der fuer andere Perspektiven blind macht. Ich wuerde
>>mich bei einer Einfuehrung in die Zahlentheorie halt nicht an Weils
>>"Basic Number Theory" orientieren, und bei einer motivfoerdernden
>>Einfuehrung in die Differentialgeometrie an Spivak und nicht an
>
> Wahrscheinlich bist Du ueber den 1.Band nicht hinausgekommen.
> (das ist eine Unterstellung)
Sag mal, welches Semester bist Du eigentlich?
>>Kobayashi-Nomizu, wobei ich in keiner Weise gesagt habe, das letzteres
>>kein glaenzendes Buch sei. Und Deine blasierte Selbstinszenierung als
>>Vertreter der "modernen Mathematik" ist hier geschenkt, Blasiertheit
>>will gelernt und in eine Umgebung eingebettet sein, die sich mir aus
>>Deiner bisherigen Praesenz in dieser NG nicht erschliesst.
>
> Dafuer bist Du umso sabbeliger und kommentierst alles mit Deinem
> Halbwissen.
> (was Du kannst, kann ich auch)
Ich lese in
> Oh, ganz im Gegenteil, die neuesten physikalischen Theorien haben als
> Grundlage die Knotentheorie.
> Stichwort: Vassiliev Invarianten und Quantengravitation
> oder allgemeiner Loop Representation , Loop Connection.
Halbwissen. Hmmm.
Gruss Boudewijn
Rolf Albinger
>Du liest in
>
>http://groups.google.de/groups?q=+rolf+albinger+knoten&hl=de&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=qjfl10plpp34m588ioulavnl5ntetkfnpg%404ax.com&rnum=1
>
> > Oh, ganz im Gegenteil, die neuesten physikalischen Theorien haben als
> > Grundlage die Knotentheorie.
> > Stichwort: Vassiliev Invarianten und Quantengravitation
> > oder allgemeiner Loop Representation , Loop Connection.
>
>Halbwissen. Hmmm.
Das Du den Zusammenhang dieser Dinge mit Differentialgeometrie nicht
kennst, ist ja auch nicht weiter schlimm.
Hendrik van Hees
> Was ist denn daran komisch, Mann. Unterstelle mir doch keine Sachen,
> die ich nicht gesagt habe. Und egal, was die Physiker so machen, das
> ist doch kein Freibrief fuer blutleeren Formalismus in der Mathematik.
Seid doch nicht gleich so garstig. Hoffentlich habe ich als Physiker
jetzt nicht zu Mathematikerzwist Anlaß gegeben. Ich habe lediglich aus
Sicht eines in der (angewandten ;-)) QFT tätigen theoretischen
Schwerionenphysikers argumentiert, warum mir der moderne Zugang
Weinbergs und Feynmans zur Beschreibung der Fundamentalwechselwirkung
Gravitation besser gefällt als der historische von Einstein.
Das hat aber allein Konsistenzgründe. Am Ende kommt ja eben doch wieder
die Einsteinsche Theorie heraus, und wenn es um Anschauung der
Differentialgeometrie anhand der Physik geht, sollte man die alten
Klassiker lesen, also z.B. Einstein selbst. Seine Analyse zum
Verhältnis der (Differential-)Geometrie zur Physik der Raumzeit ist
imho eine der schönsten Passagen, die in einem Lehrbuch geschrieben
wurden. Dann ist da freilich noch der bewundernswerte Artikel des
jungen Pauli im Sommerfeldschen Jahrbuch (bei Dover in englischer und
vom alten Pauli kommentierten und in Endnoten aktualisierten
kostengünstiger Auflage verfügbar). Auch das bekannte Buch von Weyl
"Raum, Zeit, Materie" hat seine Meriten, wenngleich mir der
philosophische Unterton nicht gefällt. Außerdem hat er sich hartnäckig
geweigert, die berechtigte Kritik seiner Physikerkollegen, ernst zu
nehmen, daß seine Geometrisierung der Elektrodynamik als Eichung der
Konforminvarianz des freien Gravitationsfeldes physikalisch gesehen
unhaltbar ist.
Genauso wie Mathematiker zu Recht bedauern mögen, was die Physiker aus
ihren Bemühungen so alles machen, ist es manchmal gar betrüblich, was
sich Mathematiker ausdenken, die sich in der Physik betätigen. Eine
große Ausnahme war imho Hilbert, der sehr viel physikalische Intuition
besaß und Born gleich nach Entdeckung der Matrizenmechanik auf die
Möglichkeit des Schrödingerschen Wellenfunktionszugangs aufmerksam
gemacht haben soll.
> Und mir brauchst Du nicht zu erzaehlen, dass es eine Hierarchie der
> Strukturen von den nackten frierenden Mannigfaltigkeiten ueber die
> Unterwaesche der Zusammenhaenge bis hin zu den kleidsamen Metriken
> gibt. Und dass es verschiedene Herangehensweisen gibt, bei denen ich
> eher fuer eine Koexistenz als fuer die Heraushebung eines angeblichen
> Koenigsweges bin, der fuer andere Perspektiven blind macht. Ich wuerde
> mich bei einer Einfuehrung in die Zahlentheorie halt nicht an Weils
> "Basic Number Theory" orientieren, und bei einer motivfoerdernden
> Einfuehrung in die Differentialgeometrie an Spivak und nicht an
> Kobayashi-Nomizu, wobei ich in keiner Weise gesagt habe, das letzteres
> kein glaenzendes Buch sei. Und Deine blasierte Selbstinszenierung als
> Vertreter der "modernen Mathematik" ist hier geschenkt, Blasiertheit
> will gelernt und in eine Umgebung eingebettet sein, die sich mir aus
> Deiner bisherigen Praesenz in dieser NG nicht erschliesst.
Gemach, Gemach! Wie gesagt, haben beide Herangehensweisen ihre
Berechtigung, und wer Mathematik anwenden will, muß auch eine bestimmte
Anschauung entwickeln. Man darf aber eben nicht dabei stehen bleiben,
denn die Anschauung muß ja eben entwickelt werden. Ohne den Leitstern
einer bestimmten Strenge in der Darstellung der Mathematik kommt man da
genauso wenig weit wie mit einem Werk a la Dieudonne, durch das man
keine Anschauung zu entwickeln angeleitet wird.
Rainer Rosenthal
"Boudewijn Moonen" schrieb
> mir brauchst Du nicht zu erzaehlen, dass es eine
> Hierarchie der Strukturen von den nackten frierenden
> Mannigfaltigkeiten ueber die Unterwaesche der
> Zusammenhaenge bis hin zu den kleidsamen Metriken
> gibt.
Sollte man sich merken. Schöön.
Übrigens gibt es da noch den "Mantel des Mitleids",
den man über einen Haufen dämlicher Beiträge
decken müsste, wären da nicht diese netten giftigen
Antworten :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Michael Hoppe
> Halbwissen. Hmmm.
Boudewijn, Du fütterst einen Troll. RA insistierte bspw. vor etwa fünf
Jahren darauf, daß es Abbildungen gebe, bei denen die
Hintereinanderausführung nicht assoziativ sei ...
Michael
Boudewijn Moonen
Danke Dir. Hatte schon ein wenig den Verdacht, aber zu leichtfertig soll
man das ja auch nicht unterstellen. Habe dann jedoch in groups.google.de
mal nach seinen Namen gefragt, und dann... na ja.
Gruss Boudewijn
Norbert Dragon
> Boudewijn, Du fütterst einen Troll.
Fütterungen sind nicht nur im Zoo für das Publikum unterhaltsam.
Ich bewundere die Kunst, dabei nicht gebissen zu werden.
Boudewijn Moonen
> * Michael Hoppe bewertet Boudewijn Moonens Antworten an Rolf Albinger
>
>
>>Boudewijn, Du fütterst einen Troll.
>
>
> Fütterungen sind nicht nur im Zoo für das Publikum unterhaltsam.
> Ich bewundere die Kunst, dabei nicht gebissen zu werden.
>
Also, wenn das so weitergeht, nehme ich bald Eintritt...
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
Ja, habe ich doch schon gesagt, das beruhigt mich ja. Ich habe in meiner
Ignoranz halt Quantengruppen, Yang-Baxter-Gleichungen,
Chern-Simons-Theorie, Kontsevich-Integrale, Spin-Netzwerke,
Operatorenalgebren, Fusionsregeln und Thompson-Theorie des Atoms
vermisst. Ohne die bleibt das von Dir gegebene Bild ja etwas, aehhhh...
rudimentaer.
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
> Sei b der Endpunkt einer Geodätischen U durch a mit anfänglichem
> Tangentialvektor u und c Endpunkt einer zweiten Geodätischen V
> durch a mit anfänglichem Tangentialvektor v, u senkrecht v.
>
> Bei b ist der Unterraum senkrecht zu U definiert, der von denjenigen
> Geodäten aufgespannt wird, die U in b senkrecht schneiden, ebenso
> ist der Orthogonalraum zu V im Punkt c definiert.
>
> Beide Orthogonalräume haben Schnittpunkte, einer dieser Schnittpunkte,
> d, hat minimalen Abstand zu b.
>
> Definiere den Paralleltransport von v längs U zu b als den
> Tangentialvektor an die Geodäte durch b und d, der dieselbe
> Länge wie v hat.
>
> Verfeinere die Konstruktion für kleinere und kleinere u und v.
>
> Diese Vorschrift definiert den Paralleltransport intrinsisch --
> so gut ich das Wort verstehe.
>
> Nachrechnen für infinitesimale Parallelogramme zeigt, daß dies
> die Vorschrift für den Levi-Civita-Zusammenhang ist.
Hurrah, das ist doch schon mal was. Waere schoen, wenn Du ein bisschen
mehr zu dem Nachrechnen sagen koenntest...
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
> .... und habe das Buch
>
> Vladimir I. Arnol'd,
> Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag,
> New York, 1996, Translated from the 1974 Russian original
> by K. Vogtmann and A. Weinstein,
> Corrected reprint of the second (1989) edition. MR 96c:70001,
>
> in dem die Antwort im APPENDIX ONE stehen soll,
> nicht bei der Hand...
Jau, das ist es erstmal. Ich habe es neben mir liegen. Er praesentiert
erstmal den zweidimensionalen Fall, wie ich ihn beschrieben habe, und
faehrt fort: (pp. 305 ff.)
> The construction of parallel translation on riemannian manifolds of
> dimension greater than is somewhat more complicated than the
> two-dimensioinal construction presented above. The reason is that in
> these dimensions the direction of the vector being translated is no
> longer determined by the condition that the angle with a geodesic be
> invariant. In fact, the vector could rotate around the direction of the
> geodesic while preserving its angle with the geodesic.
>
> The refinement we must introduce into the construction of parallel
> translation along a geodesic is the choice of a two-dimensional plane
> passing through the tangent to the geodesic which must contain the
> translated vector. This choice is made in the following (unfortunately
> complicated) way.
>
> At the initial point of a geodesic the needed plane is the plane spanned
> by the vector to be translated and the direction vector of the geodesic.
> We look at all geodesics proceeding from the initial point in directions
> lying in this plane. The set of all such geodesics (close to the initial
> point) forms a smooth surface which contains the geodesic along which we
> intend to translate the vector (Figure 233).
>
> Consider a new point on the geodesic at a small distance Delta from the
> initial point. The tangent plane at the new point to the surface
> described above contains the direction of the geodesic at this new
> point. We take this new point as the initial point and use its tangent
> plane to construct a new surface (formed by the bundle of geodesics
> emanating from the new point). This surface contains the original
> geodesic. We move along the original geodesic again by Delta and repeat
> the construction from the beginning.
>
> After a finite number of steps we can reach any point of the original
> geodesic. As a result of our work we have, at every point of the
> geodesic, a tangent plane containing the direction of the geodesic. This
> plane depends on the length Delta of the steps in our construction. As
> Delta --> 0 the family of tangent planes obtained converges (as can be
> calculated) to a definite limit. As a result we have a field of
> two-dimensional tangent planes along our geodesic containing the
> direction of the geodesic and determined in an intrinsic manner by the
> metric of the manifold.
>
> Now parallel transport of our vector along a geodesic is defined as in
> the two-dimensional case: under translation the vector must remain in
> the planes described above; its length and its angle with the direction
> of the geodesic must be preserved. Parallel translation along any curve
> is defined using approximations by geodesic polygons, as in the
> two-dimensional case.
Soweit die Worte des grossen Vorsitzenden Arnol'd. Also bitte, erst mal
BINGO. Auch dem grossen Arnold'd ist es nicht zu schade, sich mit dieser
Problematik zu befassen. Nur schade, dass er keinen Beweis gibt (ich
fuerchte, ganz so einfach wird das nicht werden, allein schon eine
vernuenftige Formulierung - was die Konvergenz z.B. sein soll - ist hier
wahrscheinlich schon die halbe Miete).
Auf jeden Fall, jetzt kann ich ja damit herausruecken: Ich habe schon
vor etlichen Jahren in sci.math und sci.math.research nach einer
geometrischen Beschreibung des Paralleltransports gefahndet:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/parallel_trans
und dort zwei Kandidaten vorgeschlagen:
a) die obige Beschreibung a la Arnol'd (und, wie ich mit
stolzgeschwellter Brust an dieser Stelle kundtue, ohne von ihr gewusst
zu haben, vielmehr hatte ich, wie dort beschrieben, eine Ahnung, dass
sie sich in einer alten Arbeit von Severi befindet)
b) eine Konstruktion genannt "Schild's Ladder" (loc.cit)
jedoch ohne greifbares Resultat.
Aus Erfahrung von Jauchs Kandidaten bei WWM weiss ich eben, dass man
beim Stellen der Publikumsfrage vorher nicht laut denken sollte, um das
Ergebnis nicht zu beeinflussen, also habe ich das erstmal nicht
eerwaehnt. Hatte ja auch Erfolg: Jetzt gibt es den Hinweis auf Arnol'd
und auch auch
c) einen Vorschlag von Norbert Dragon.
Jetzt habe ich folgende Fragen:
1. Hat jemand weitere Vorschlaege?
2. Wie sieht es mit Beweisen aus, Vorschlaege, Quellen dazu...
3. Weiss jemand was ueber die in loc.cit. zitierte Severi-Arbeit?
Fragen ueber Fragen, des Fragens kein Ende...
Rolf Albinger
>Boudewijn, Du fütterst einen Troll. RA insistierte bspw. vor etwa fünf
>Jahren darauf, daß es Abbildungen gebe, bei denen die
>Hintereinanderausführung nicht assoziativ sei ...
Und es hat Spass gemacht, gerade Dich an der Nase herumzufuehren.
>Michael
Viel Spass weiterhin
Rolf
Rolf Albinger
>> Das Du den Zusammenhang dieser Dinge mit Differentialgeometrie nicht
>> kennst, ist ja auch nicht weiter schlimm.
>
>Ja, habe ich doch schon gesagt, das beruhigt mich ja. Ich habe in meiner
>Ignoranz halt Quantengruppen, Yang-Baxter-Gleichungen,
>Chern-Simons-Theorie, Kontsevich-Integrale, Spin-Netzwerke,
>Operatorenalgebren, Fusionsregeln und Thompson-Theorie des Atoms
>vermisst. Ohne die bleibt das von Dir gegebene Bild ja etwas, aehhhh...
>rudimentaer.
Na, hat ja ganz schoen lange gedauert, bis Du Dir entsprechende
Begriffe zusammengesucht hast.
Nebenbei bemerkt... lieber ein rudimentaeres Bild abgeben, als ein
unterbelichtetes.
Boudewijn Moonen
>>[Snip]
>>Boudewijn, Du fütterst einen Troll. RA insistierte bspw. vor etwa fünf
>>Jahren darauf, daß es Abbildungen gebe, bei denen die
>>Hintereinanderausführung nicht assoziativ sei ...
>
> Jau, ich erinnere mich!
> Und es hat Spass gemacht, gerade Dich an der Nase herumzufuehren.
Du bist schon ein selten daemlicher Hund. Da Du in keiner Weise den
Unterhaltungswert eines James Harris besitzst, ab mit Dir ins Nirwana.
Hasta la vista
Boudewijn
Boudewijn Moonen
> Na, hat ja ganz schoen lange gedauert, bis Du Dir entsprechende
> Begriffe zusammengesucht hast.
Diese Art krankhafter Herabsetzungssucht nervt irgendwann nur noch.
> Nebenbei bemerkt... lieber ein rudimentaeres Bild abgeben, als ein
> unterbelichtetes.
Schaffst Du muehelos. Mir vergeht aber die Lust, Dir weiterhin dabei
zuzusehen.
Hasta la vista
Boudewijn
Boudewijn Moonen
> Hallo,
> ich habe Probleme mir die kovariante Ableitung geometrische vorzustellen.
> Laut meinem Differentialgeometrie Skript leite ich ein Vektorfeld in eine
> bestimmte Richtung ab. Dies bereitet mir schon Probleme. Was ist die
> Ableitung eines Vektorfeldes geometrisch gesehen? Die kovariante Ableitung
> ist dann die Tangentialkomponente dieser Ableitung des Vektorfeldes.
> Gibt es eine geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung?
>
> Vielen Dank!
Also jetzt wird es nach dem ganzen Hickhack und Hinundher mal Zeit fuer
eine anstaendige Synopsis.
Zunaechst legt ja Deine Fragestellung die eingebettete Variante nahe, da
Du von "Tangentialkomponente" sprachst. Das entspricht der historischen
Entwicklung und dem, was Levi-Civita erstmals gemacht hat, und ich habe
versucht, das zu skizzieren, insbesondere wie man in diesem Fall
Parallelverschiebung und zugehoerige kovariante Ableitung als
Orthogonalprojektion des Euklidischen Falles zu verstehen hat.
Nun gibt es aber in einer allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeit
diesen Begriff der kovarianten Ableitung. In der Tat ist es eines der
Fundamentalresultate bei einer Exposition der modernen
Differentialgeometrie, dass es in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit
eine kanonische intrinsische kovariante Ableitung gibt. Darauf
bezugnehmend hat Norbert Dragon von der Parallverschiebung gesprochen
und skizziert, wie man aus ihr die kovariante Ableitung gewinnt. Das
sei als erstes nochmal rekapituliert.
A. PARALLELVERSCHIEBUNG ---> KOVARIANTE ABLEITUNG
=================================================
Beginnen wir damit, was wir unter einer Parallelverschiebung in einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstehen wollen.
DEFINITION Eine *Parallelverschiebung* in einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M ordnet jedem stueckweise stetig
differenzierbaren Weg (ssd Weg) w : [a,b] --> M eine Abbildung
P(w): T_w(a) M --> T_w(b) M zu (T_p M der Tangentialraum von M
in p), sodass gilt
(i) P(w) ist ein linearer Isomorphismus von Vektorraeumen
(ii) Fuer jede Reparametrisierung r : [a',b'] --> [a,b] von
w gilt P(w )= P{w o r}
(iii) Ist w* : [b,a] --> M der zu w retrograd durchlaufene Weg,
so ist P(w*) = (P(w))^-1
(iv) Sind w : [a,b] --> M und w' : [b,c] --> M ssd Wege mit
w(b) = w'(b) und w'' : [a,c] --> M deren Komposition,
so gilt
P(w'') = P(w') o P(w)
(v) Pw haengt "differenzierbar von w ab" (dazu kommen wir
gleich)
Gegeben eine Parallelverschiebung P und ein ssd Weg w. Dann definiert
jeder Vektor X_p in T_p, p = w(a) ein Vektorfeld X_p^P entlang w,
genannt die *Parallelverschiebung von X_p entlang w* wie folgt: Zu
jedem t in [a,b] gibt es die Parallelverschiebung P(w_t) : T_p M -->
T_w(t) M, wo w_t := w|[a,t] die Einschraenkung des Weges w von p = w(a)
nach w(t) ist. Dann ist P(w_t)X_p in T_w(t) M, also ist die Abbildung
X_p^P : [a,b] --> TM mit
(X_p^P)_t := P(w_t)X_p
ein Vektorfeld entlang w, eben die Parallelverschiebung von X_p entlang
w, oder das von X_p erzeugte parallele Vektorfeld entlang w. Und ein
beliebiges Vektorfeld X entlang w nennen wir *parallel*, wenn es durch
Parallelverschiebung aus seinem Anfangsvektor X_a entsteht, wenn also
X_t = P(w_t) X_a fuer alle t
[(Kann bei Nichtinteresse ueberschlagen werden.) (v) ist eine
unappetittliche technische Bedingung und geht wie folgt. Wir betrachten
eine parametrisierte Menge von Wegen, d.h. eine differenzierbare
Abbildung F : U --> M, mit U eine offene Umgebung von {0} x P in der
Mannigfaltigkeit IR x P ist, P irgendeine Mannigfaltigkeit, die
Parametermannigfaltigkeit eben. Sei X : P --> M ein Vektorfeld entlang
f := F(0,-) : P --> M, also X_p in T_f(p) fuer alle p in P. Durch
parallele Fortsetzung von X_p entlang jedes Weges w_p := F(-,p) erhalte
ich ein Vektorfeld X^P : U --> M entlang F. Und dieses soll eben
differenzierbar sein, fuer alle P und alle F.]
Soweit, so gut. Ich kann das jetzt nicht vorfuehren, aber dieser
Begriff ist noch zu allgemein; in einer allgemeinen differenzierbaren
Mannigfaltigkeit gibt noch sehr viele verschiedene
Parallelverschiebungen dieser Art. Was insbesondere nicht
wuenschenswert ist, aber hier passieren kann, ist, dass die
Parallelverschiebung vom ganzen Weg abhaengen kann, dass somit
insbesondere das "spaetere" Verhalten eines Weges die
Parallelverschiebung entlang eines "frueheren" Stueckes beeinflussen
kann. Wir fordern daher ein e "Lokalitaet" in dem Sinne, dass die
Parallelverschiebung infinitesimal an einer Stelle nur vom
Tangentialvektor von w an dieser Stelle abhaengt:
(vi) Sind w_1 und w_2 : [a,b] --> M zwei Wege mit
w_1(a) = w_2(a)und w_1'(a) = w_2'(a) und , und sind X_1 und
X_2 die von X_p in T_p M erzeugten parallen Vektorfelder
entlang w_1 bzw. w_2, so ist
lim_{t->0} (X_1(t) - X_2(t))/t = 0
Wie wir noch sehen werden, wird eine solche Parallelverschiebung des
Physikers Herz erfreuen, denn es wird sich zeigen, dass sie "aus der
lokalen Wechselwirkung des Vektors durch minimale Ankopplung an ein
Feld" entstehen, ein Eichfeld eben...
Wie auch immer, gegeben eine solche Parallelverschiebung, so definiert
diese eine *kovariante Ableitung* gemaess: Gegeben ein ssd Weg w und
ein Vektorfeld X entlang w, so ist die *kovariante Ableitung von X in
Richtung von w an der Stelle p = w(a) definiert als
nabla_w'(a) X := lim_{t->0} (P(w_t)^{-1}X_t - X_a)/t
Man verschiebt also den Vektor X_t in T_w(t) M parallel entlang w nach
T_p M und nimmt an den so entstehenden Weg in T_p M den Tangentialvektor
in t = 0. Wegen (vi) haengt dieser Wert tatsaechlich nur von w'(a) ab,
was die Notation rechtfertigt.
Ist X eine auf eine offene Menge U definiertes Vektorfeld, p in U, und v
in T_p M ein Tangentialvektor, so definiert man die *kovariante
Ableitung von X in Richtung v* als
nabla_v X := nabla_w'(a) (X o w)
wo w irgendein in einer Umgebung von p in U definierter Weg ist mit
w'(a) = v . Das ist unabhaengig von w definiert.
Allgemeiner kann man jetzt ein Vektorfeld X laengs eines ssd Weges w in
Richtung eines Vektorfeldes Y laengs w ableiten; das Resultat ist ein
Vektorfeld nabla_Y X laengs w mit
(nabla_Y X)_t := nabla_{Y_t} X .
Insbesondere ist Y := w' ein Vektorfeld entlang w, und die Definition
der kovarianten Ableitung ist offensichtlich gerade so gemacht, dass
gilt: Ist X ein Vektorfeld entlang des ssd Weges w, so
X parallel <==> nabla_w' X = 0
die kovariante Ableitung von X entlang w also identisch verschwindet.
Sind schliesslich X, Y Vektorfelder auf einer offenen Menge U, so wird
die *kovariante Ableitung* nabla_Y X auf U wie folgt definiert:
(nabla_Y X)(p) := nabla_(Y_p) X
So. Dann ist nabla eine kovariante Ableitung im koordinatenfreien Sinn,
also ein auf dem zweifachen Tensorprodukt der Schnitte ins
Tangentialbuendel definierte Abbildung, die im ersten Argument linear
und im zweiten derivativ ist, das will ich hier nicht vorrechnen.
Ein solches Objekt nennt man auch einen (linearen) Zusammenhang, ein
Begrif, der in der vorliegenden Auspraegung auf Koszul zurueckgeht.
INTERMEZZO
==========
So. Viel haben wir noch nicht gewonnen, denn nun haben wir die Aufgabe,
die kovariante Ableitung geometrisch zu verstehen, verlagert auf die
Aufgabe, die Parallelverschiebung geometrisch zu verstehen, insbesondere
zu verstehen, warum es in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit eine
kanonische, intrinsich definierte solche gibt.
Die primaere geometrische Beute, die man macht, wenn man ueber eine
Riemannsche Mannigfaltigkeit herfaellt, sind die Geodaeten, ich gehe
also mal davon aus, dass diese das primaere geometrische Substrat sind,
das der Anschauung zugaenglich ist (wer dem nicht zustimmt, kann jetzt
beruhigt gehen und was schoenes machen, z.B. ein Bad nehmen). Was sich
zeigt, ist, dass man aus einer Parallelverschiebung Geodaeten gewinnen
kann. Weiter zeigt sich, dass die Geodaeten die Parallelverschiebung
nicht eindeutig bestimmen, aber *fast*; zusaetzlich gewinne ich aus der
Parallelverschiebung eine geometrische Struktur, die *Torsion*, und es
zeigt sich, dass Geodaeten und Torsion die zugrundeliegende
Parallelverschiebung *eindeutig* bestimmen. Geodaeten und Torsion
zusammen nenne ich mal die "geodaetische Struktur" einer gegebenen
Parallelverschiebung. Auf diese Weise ergibt sich tatsaechlich aus der
geodaetischen Struktur einer Riemannschen Mannigfaltigkeit eine
kanonische Parallelverschiebung. Also ans Werk.
Zunaechst ist es wichtig, sich die Aequivalenz von Parallelverschiebung
und kovarianter Ableitung klarzumachen. Schliesslich treiben wir
Differentialgeometrie, und so wie sich der fundamentale Begriff des
Abstandes durch Integration eines quadratischen Differentialausdruckes,
der Riemannschen Metrik ergibt, ergibt sich die Parallelverschiebung
durch Integration eines linearen Differentialausdruckes, eben der
kovarianten Ableitung, auch Zusammenhang genannt. Und so wie der Abstand
das eigentlich geometrisch Wichtige, sein infinitesimales Substrat - die
Riemannsche Metrik - aber das fuer die quantitave Beschreibung
massgebende Groesse ist, so gilt das auch fuer die kovariante Ableitung
als infinitesimales Substrat der Parallelverschiebung.
B. KOVARIANTE ABLEITUNG ---> PARALLELVERSCHIEBUNG
=================================================
Dem Begriff der *kovarianten Ableitung* oder auch des *linearen
Zusammenhangs*, kurz Zusammenhang, und seiner Verbindung zur
Parallelverschiebung, kann man sich auf zwei Weisen naehern, in der
klassischen, historischen Art in lokalen Koordinaten, die auf
unmittelbare Zeitgenossen von Riemann wie Ricci, Bianchi und andere
zurueckgeht, und in der modernen, koordinatenunabhaengigen Art, die auf
Ehresmann und Koszul zurueckgeht. Entgegen anderlautenden zuweilen
unter Gegeifer vorgetragenen Indoktrinationen von Eiferern ist es
dringend anzuraten, sich mit beiden Beschreibungsmodalitaeten vertraut
zu machen - der in lokalen Koordinaten, um schliesslich auch mal etwas
wirklich rechnen zu koennen und darueber hinaus fuer die klassischen
Schriften von Levi-Civita ueber Einstein bis Cartan geruestet zu sein,
und der koordinatenunabhaengigen, in der die Begrifflichkeiten jenseits
formaler Manipulationen oft besser sichtbar werden.
Also erst mal das klassische Indexgetuemmel in lokalen Koordinaten. Sei
also U eine offene Menge im IR^n, und e_1, ..., e_n eine i.a.
ortsabhaengige Basis des IR^n (ein "Rahmen", engl. "frame", franz.
"répère"). Zunaechst macht man sich klar, dass es fuer die Beschreibung
einer gegebenen Parallelverschiebung P genuegt, die Parallelverschiebung
des Rahmens entlang ssd Wege zu beschreiben; einen beliebigen Vektor
verschiebt man dann entlang eines Weges, indem man ihn in Bezug auf die
Anfangsbasis darstellt, die Basis entlang des Weges verschiebt und dabei
die Koordinaten des Vektors konstant haelt. Oder anders, gegeben ein
Vektorfeld entlang eines Weges und einen Parallelverschiebungsbegriff
fuer Rahmen entlang ssd Wege, so genuegt es, die Aenderungsrate von X
entlang w zu beschreiben; dann nenne ich ein Vektorfeld *parallel*, wenn
diese Aenderungsrate identisch verschwindet, und das Vektorfeld selbst
definiert dann, wie sein Anfangsvektor parallel verschoben wird.
Sei also X ein Vektorfeld entlang w und
X = X^i e_i
die Basisdarstellung mit zeitabhaengigen Koordinatenfunktionen X^i und
zeitabhaengigen Basisvektoren e_i (Einsteinsche Summationskonvention wie
ueberall im folgenden). Differenzieren nach t:
(B1) X' = (X^i)' e_i + X^i e_i'
Die e_i' sind wieder Vektoren im IR^n, haben also eine Darstellung bzgl.
des Rahmens e-1, ..., e_n:
e_i' = Gamma_i^j e_j
wobei die Gamma_i^j zunaechst Funktionen sind, die vom ganzen Weg w und
der Zeit t abhaengen koennen. Ich mache jetzt, physikalisch gesprochen,
die Annahme, dass die Parallelverschiebung der e_i nur ueber minimale
Ankopplung an lokal definierte Felder ueber den Tangentialvektor an w an
der Stelle t erfolgt, dass es also in U definierte Funktionen Gamma_ik^j
gibt mit
Gamma_i^j = Gamma_ik^j (x^k)'
wobei die x^k die zu den e_k gehoerenden Koordinaten auf IR^n sind, der
Weg w also durch deren Zeitabhaengigkeit beschrieben wird. D.h. ich
betrachte nur solche Parallelverschiebungen, die diese Annahme erfuellen
(die koennten natuerlich leer sein, und erst die weitere Entwicklung
wird zeigen, dass das nicht der Fall, die Annahme also sinnvoll ist).
Damit wird die Aenderungsrate (B1) von X entlang des Weges w
(B2) X' = ((X^j)' + Gamma_ik^j (x^k)') e_j
Der erste Term beschreibt die relative Aenderungsrate von X in Bezug auf
den Rahmen e_1, ..., e_n, und der zweite die Aenderungsrate des Rahmens
unter der Parallelverschiebung entlang w. Diese Aenderungsrate von X
entlang w definiere ich nun als die kovariante Ableitung von X laengs w:
(B3) nabla_w' X := ((X^j)' + Gamma_ik^j (x^k)') e_j
als Ausdruck in lokalen Koordinaten. Die Forderung, dass die linke Seite
unabhaengig vom betrachteten Koordinatensystem definiert ist, bedingt
das uebliche, unappetittliche nichtlineare Transformationsverhalten der
Gamma_ik^j, das dafuer sorgt, dass nabla kein Tensor ist, sondern sich
im zweiten Argument derivativ verhaelt.
Wie auch immer, man kann nun nachrechnen, dass ein koordinatenfrei
definierter Zusammenhang a la Koszul lokal genauso aussieht, damit ist
die moderne Definition nur eine koordinatenfreie Umsetzung des
klassischen lokalen Konzeptes. Ein Vorteil dieser koordinatenfreien
Beschreibung ist, dass man an dieser Stelle mit einem
Zerlegung-der-Eins-Argument zeigen kann, dass es auf jeder
Mannigfaltigkeit einen Zusammenhang gibt, was aus der lokalen
Beschreibung nicht so ersichtlich ist. Ebenso macht diese Beschreibung
klar, dass die Differenz zweier Zusammenhaenge ein Tensor ist, und somit
ist der Raum der Zusammenhaenge in positiven Dimensionen
unendlichdimensional , da gibt es also ungeheuerlich viele
Zusammenhaenge.
Nun denn, jetzt kann ich definieren: Ein Vektorfeld X entlang
eines ssd Weges w heisst *parallel*, wenn X kovariant konstant entlang w
ist, d.h.
nabla_w' X = 0 entlang w
Das ist in lokalen Koordinaten ein gewoehnliches lineares
Differentialgleichungssystem:
(B4) (X^j)' + Gamma_ik^j X^i (x^k)' = 0 , j = 1, ..., n
Ergo gibt es zu einer Anfangsbedingung X_a in T_a M genau eine Loesung X
entlang w, und diese verschiebt dann X_a parallel entlang w. Der so
entstehende Parallelitaetsbegriff erfuellt dann alle Forderungen von A.,
und (B4) bringt zum Ausdruck, dass, physikalisch gesprochen, die Gamm_ik^j
als "geometrische Potentiale" fungieren, welche durch lokale
Wechselwirkungen,
also ein Differentialgesetz, die Geometrie dynamisch erzeugen (klingt
zumindest
gut, nicht wahr...)
Damit haben wir dann eine 1-1-Entsprechung solcher
Parallelitaetsbegriffe und kovarianter Ableitungen. Da es von
letzteren unheimlich viele gibt, so auch von ersteren.
Das Gleichungssystem (B4) ist i.a. nur von theoretischem oder
qualitativem Interesse, da es i.a. nicht exakt loesbar ist, sondern
nur in speziellen, hochsymmetrischen Faellen (Raeume konstanter
Kruemmung etc.), und kann so z.B. zum Beweis von Vergleichssaetzen
herangezogen werden, in denen eine allgemeine
Riemannsche Geometrie, die gewissen Abschaetzungen genuegt, mit einer
Standardgeometrie verglichen wird und so gewisse Ungleichungen ueber
Winkel und Laengen hergeleitet werden koennen, so z.B. in Raeumen
negativer, nach oben beschraenkter Kruemmung.
Eine andere, wichtige Rolle - wenn man infinitesimale Konzepte wie
kovariante Ableitung diskretisieren will und durch endliche, diskrete
geometrisch beschriebene Schritte in erster oder hoeherer Ordnung
approximieren will, was bei der geometrischen Interpretation von
Parallelverschiebung, Torsion und Kruemmungstensor von zentraler
Bedeutung ist - spielt die folgende Taylorentwicklung der
Parallelverschiebung:
SATZ Sei X ein Vektorfeld entlang des ssd Weges w . Dann gilt fuer
jedes n
P(w_t)^{-1} X_t =
sum_{k=0}^oo (1/k!) (nabla_w' X)^k(a) t^k + O(t^{n+1})
Beachte dabei, dass nach obigen Definitionen nabla_w' X wieder ein
Vektorfeld entlang w ist, sodass sich die kovariante Ableitung entlang w
iterieren laesst.
(Fortsetzung folgt)
Boudewijn Moonen
> Chris wrote:
>
>> ich habe Probleme mir die kovariante Ableitung geometrische vorzustellen.
>> Laut meinem Differentialgeometrie Skript leite ich ein Vektorfeld in eine
>> bestimmte Richtung ab. Dies bereitet mir schon Probleme. Was ist die
>> Ableitung eines Vektorfeldes geometrisch gesehen? Die kovariante
>> Ableitung
>> ist dann die Tangentialkomponente dieser Ableitung des Vektorfeldes.
>> Gibt es eine geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung?
>
>
> Geometrisch ist die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes X entlang
> eines Vektorfeldes Y die infinitesimale Version der Parallelverschiebung
> der Vektoren von X entlang den Integralkurven von Y ..
>
> Wie auch immer, diese ist eine tiefgehende Verallgemeinerung des
> Theorema Egregium von Gauss, erlaubt sie doch, in einer *beliebigen*,
> nicht notwendig in einen Euklidischen Raum isometrisch eingebetteten
> Riemannschen Mannigfaltigkeit, den Begriff der kovarianten Ableitung
> mittels *derselben* Formel zu definieren und dann mittels (4) einen
> Parallelitaetsbegriff zu konstituieren, den *intrinsischen Parallelismus
> von Levi-Civita*. Diesen Parallelverschiebungsbegriff kann man
> approximativ so beschreiben, dass man die Kurve beliebig fein
> unterteilt, entlang eines Teilstueckes im umgebenden Euklidischen Raum
> parallel verschiebt, im Endpunkt orthogonal auf den Tangentialraum
> projiziert, unverdrossen weitermacht und dann zum Limes gegen Null
> gehender Unterteilungen uebergeht
Das war etwas verwirrend formuliert; die approximative Beschreibung
bezieht sich natuerlich auf den Fall einer in den Euklidischen Raum
eingebetteten Untermannigfaltigkeit mit induzierter Metrik.
Fuer diesen Fall gibt es uebrigens noch eine andere Beschreibung, die
auf Cartan zurueckgeht: Das "Abrollen ohne Gleiten", im Englischen
"rolling without slipping", im Franzoesischen als "developpement"
bekannt. Sei also dazu M die in den Euklidischen Raum eingebettete
Untermannigfaltigkeit, p ein Punkt in M, w ein Weg in M, der in p
startet (nicht notwendig eine Geodaete), und X in T_p M ein Vektor, den
ich laengs w verschieben will. Dazu stellt man sich vor, dass man dein
Tangentialraum laengs w abrollt, so dass er M immer in einem Punkt von w
beruehrt, aber bei dieser Bewegung nicht gleitet. X denkt man sich in
T_p M fixiert, sodass X die Bewegung von T_p M mitmacht. Ist man im
Punkt q auf w angekommen, ist T_p M mit dem T_q M als affiner Raum
zusammengefallen, und man verschiebt X parallel im affi-euklidischen
Raum T_q M, bis sein Fusspunkt wieder im Nullpunkt ist. Der daraus
resultiernde Vektor in T_q M ist dann das Resultat der
Parallelverschiebung von X laengs w von p nach q. Das erkennt man so,
dass man, physikalisch gesprochen, das "Abrollen ohne Gleiten" als ein
mechanisches Problem mit nichtholonomen Zwangsbedingungen formuliert und
dan das uebliche Differentialgleichungssystem fuer die
Parallelverschiebung erhaelt (plappere ich jetzt so nach, habe ich
selbst noch nicht nachgerechnet).
Gruss Boudewijn
Norbert Dragon
> Sei also U eine offene Menge im IR^n, und e_1, ..., e_n eine i.a.
> ortsabhaengige Basis des IR^n (ein "Rahmen", engl. "frame", franz.
> "répère").
In der Physik ist für eine solche Basis, wenn sie orthonormiert ist,
die Bezeichnung "Vielbein" verbreitet.
Ich sehe bei diesem Wort immer die Geodäsie-Studenten, die zu meiner
Studienzeit mit rot-weißen Stäben den Karlsruher Schloßpark erfüllten -
an jedem Punkt eine Basis. In der Relativitätstheorie ist einer der
Stäbe die Armbanduhr, die jeder Student dabei hat.
Bevor der Begriff Vielbein aufkam, sprach mein Doktorvater, Julius Wess,
vom Dreibein, wenn es um dreidimensionale Geometrie ging, vom Vierbein
in relativistischer Physik, vom Zehnbein oder vom Elfbein in zehn oder
elfdimensionalen Supersymmetriemodellen. Dieser Sprachgebrauch ist
nicht völlig ausgestorben und hat zur weltweiten Verbreitung deutscher
Zahlworte beigetragen.
Das Wort "Vielbein" wurde von Bruno Zumino, der damals mit Julius Wess
arbeitete, zunächst spielerisch geprägt. Er ist gebürtiger Italiener,
naturalisierter Amerikaner, spricht hervorragend deutsch und hat uns
Muttersprachler mit seinem Sprachgefühl übertroffen.
Hendrik van Hees
> In der Physik ist für eine solche Basis, wenn sie orthonormiert ist,
> die Bezeichnung "Vielbein" verbreitet.
Yep, sogar in amerikanischen Lehrbüchern, wie z.B. in dem sehr hübschen
neueren
A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell,
das ich mir vorigen Sonntag bei Barnes and Noble gekauft habe (yep, hier
gibt's sowas im Buchladen, man muß nicht alles online bestellen ;-)).
Das ist ein sehr nettes Buch, das im Plauderton die Konzepte der QFT
vermittelt. Etwas zu kurz kommen für meinen Geschmack die Rechentechniken,
für die er immer auf andere Lehrbücher verweist. Das ist aber laut Vorwort
seine Absicht. Er will die physikalischen Konzepte vermitteln und nicht die
Rechentechnik.
Da erzählt er auch, daß Vielbein deutsch sei und "many legs" bedeute (na ja
;-)).
Roland Harnau
[...]
> Dem Begriff der *kovarianten Ableitung* oder auch des *linearen
> Zusammenhangs*, kurz Zusammenhang, und seiner Verbindung zur
> Parallelverschiebung, kann man sich auf zwei Weisen naehern, in der
> klassischen, historischen Art in lokalen Koordinaten, die auf
> unmittelbare Zeitgenossen von Riemann wie Ricci, Bianchi und andere
> zurueckgeht, und in der modernen, koordinatenunabhaengigen Art, die auf
> Ehresmann und Koszul zurueckgeht. Entgegen anderlautenden zuweilen
> unter Gegeifer vorgetragenen Indoktrinationen von Eiferern ist es
> dringend anzuraten, sich mit beiden Beschreibungsmodalitaeten vertraut
> zu machen - der in lokalen Koordinaten, um schliesslich auch mal etwas
Das ist ein bloßes Gerücht. Wenn man die "lokale Analysis" im
Dieudonne-Stil koordinatenunabhängig formuliert, kommt man ganz ohne
Indexgefummel aus. In seinem Buch über Differentialgeomtrie etwa
ordnet Lang der Metrik einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit X
einen metrischen Spray zu, der lokal in einer Karte U eine Abbildung
B_U: U--> L^2(E,E), eine für jedes x in U symmetrische Bilinearform,
induziert. Lokal kann er die kovariante Ableitung D als
(D_{a'} b)_U (t) = b'_U(t) - B_U(a(t); a'_U(t), b_U(t)),
für t in I, a:I --> X eine C^1-Kurve und b:I --> TX eine über a
liegende C^1-Kurve, schreiben. Die Bedingung dass b a-parallel ist,
also D_{a'} b=0, lautet dann
b'_U(t) = B_U(a(t); a'_U(t), b_U(t)),
eine lineare Diffentialgleichung erster Ordnung für b_U. Schon hier ist
ersichtlich, dass Lang recht hat, wenn er schreibt: "In many cases,
proofs based on coordinate free local representations in charts are
clearer than proofs which are replete with the claws of a rather
unpleasant prying insect Gamma_jkl^i."
roland
Boudewijn Moonen
> Das ist ein bloßes Gerücht. Wenn man die "lokale Analysis" im
> Dieudonne-Stil koordinatenunabhängig formuliert, kommt man ganz ohne
> Indexgefummel aus. In seinem Buch über Differentialgeomtrie etwa
> ordnet Lang der Metrik einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit X
> einen metrischen Spray zu, der lokal in einer Karte U eine Abbildung
> B_U: U--> L^2(E,E), eine für jedes x in U symmetrische Bilinearform,
> induziert. Lokal kann er die kovariante Ableitung D als
>
> (D_{a'} b)_U (t) = b'_U(t) - B_U(a(t); a'_U(t), b_U(t)),
>
> für t in I, a:I --> X eine C^1-Kurve und b:I --> TX eine über a
> liegende C^1-Kurve, schreiben. Die Bedingung dass b a-parallel ist,
> also D_{a'} b=0, lautet dann
>
> b'_U(t) = B_U(a(t); a'_U(t), b_U(t)),
>
> eine lineare Diffentialgleichung erster Ordnung für b_U. Schon hier ist
> ersichtlich, dass Lang recht hat, wenn er schreibt: "In many cases,
> proofs based on coordinate free local representations in charts are
> clearer than proofs which are replete with the claws of a rather
> unpleasant prying insect Gamma_jkl^i."
Nun ja, das widerspricht doch nicht dem Ratschlag, sich sowohl mit der
klassischen Schreibweise als auch mit der modernen, koordiantenfreien
Schreibweise vertraut zu machen, fuer den es gute Gruende gibt. Dann
gibt es halt noch eine dritte Schreibweise, wenn da Bedarf ist. Der
Ratschlag stammt ja auch nicht von mir, sondern wird von vielen anderen
erteilt, so auch vom Spivak, wenn das es Dir leichter macht. Obwohl ich
mir vorstellen koennte, dass Du den fuer einen ausufernden Schwaetzer
haeltst, der an der Anschauung klebt und gallonenweise mathematisches
Leitungswasser in die Menge schuettet anstatt tropfenweise das edelste
und reinste mathematische Quellwasser aus dem Bronnen fuer Eingeweihte
zu verteilen.
Also ich persoenlich kann mit dem obigen abstrakten Zeugs à la Lang
nicht allzuviel anfangen. Das heisst, ich weiss wohl, warum er sowas
macht und was dahintersteckt, aber mein Ding ist so ein Zugang nicht;
nicht alles, was machbar ist, sollte auch gemacht werden. Es ist ja auch
so, dass der notorische Vielschreiber und Allesverbreiter Lang ja nicht
gerade ein Guru der Differentialgeometrie ist und einer der wenigen ist,
die mit Sprays hausieren gehen, und das schon seit Mitte der Sechziger
Jahren. Schaue ich dann in dem neuen Buch von Marcel Berger, den ich als
seit Jahrzehnten erfolgreich praktizierenden Differentialgeometer kenne
und daher eher fuer kompetent halte, und in dem er auf ueber 800 Seiten
ein Panorama der modernen Differentialgeometrie entwirft:
http://www.math.utah.edu/~mckay/berger.ps
nach, so finde ich dort keine Sprays und keine lokale Analysis à la
Dieudonne. Na ja, der hat vielleicht halt seine beste Zeit hinter sich,
der Berger.
Was das Zitat von Lang betrifft, so ist das, wie das Meiste von ihm,
weder neu noch originell. Wer will bestreiten, dass koordinatenfreie
Beweise in vielen Faellen durchsichtiger sind, da wuerden wir sonst doch
heute noch Lineare Algebra als Theorie der linearen Gleichungssysteme
betreiben. Und ueber den "débauches d'indices" hat sich schon Cartan
beklagt:
> Les services éminents qu'a rendus et que rendra encore le calcul
> différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous
> empêcher d'éviter les calculs exclusivements formels, où les
> débauches d'indices masquent une réalité géométrique
> souvent très simple. C'est cette réalité que j'ai cherché
> à mettre partout en évidence.
Ob diese "réalité souvent très simple" in dem obigen Vorgehen à la
Dieudonné-Lang sichtbar wird, stelle ich der Diskussion anheim.
Gruss Boudewijn
Rolf Albinger
>Was das Zitat von Lang betrifft, so ist das, wie das Meiste von ihm,
>weder neu noch originell. Wer will bestreiten, dass koordinatenfreie
>Beweise in vielen Faellen durchsichtiger sind, da wuerden wir sonst doch
>heute noch Lineare Algebra als Theorie der linearen Gleichungssysteme
>betreiben. Und ueber den "débauches d'indices" hat sich schon Cartan
>beklagt:
Komisch nur, das Spivak an allen Ecken und Enden, zurueckgreifend auf
Cartan, ebenfalls von "Debauch of indices" schreibt.
Ausserdem bezeichnet er die klassischen Multiindex-Formeln als
Monstroesitaeten.
Wahrscheinlich haben wir da ja verschiedene Buecher gelesen.
Norbert Dragon
> Ueber den "débauches d'indices" hat sich schon Cartan beklagt:
>> Les services éminents qu'a rendus et que rendra encore le calcul
>> différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous
>> empêcher d'éviter les calculs exclusivements formels, où les
>> débauches d'indices masquent une réalité géométrique
>> souvent très simple. C'est cette réalité que j'ai cherché
>> à mettre partout en évidence.
> Ob diese "réalité souvent très simple" in dem obigen Vorgehen à la
> Dieudonné-Lang sichtbar wird, stelle ich der Diskussion anheim.
Unübersichtlich bei koordinateninvarianten Konstruktionen in der
Differentialgeometrie ist meines Wissens die Frage ihrer
Vollständigkeit.
Weiß man, nachdem man ein Lehrbuch über Differentialgeometrie
durchgearbeitet hat, ob in torsionsfreien Geometrien der Riemanntensor
und seine kovarianten Ableitungen _alle_ Tensorfelder sind, die man
aus der Metrik konstruieren kann? Weiß man, daß _alle_ lokalen
Wirkungen aus dem Volumenelement Wurzel(g) und einem Skalarfeld
zusammengesetzt sind? Man weiß, daß es in ungeraden Dimensionen nicht
so ist.
Zu dieser Frage habe ich mit Rechnungen mit unglaublichem Indexgewirr
beigetragen. Die Einschränkung auf offensichtlich koordinateninvariante
Größen setzt einem bei der Bestimmung lokaler Funktionale der Metrik
Scheuklappen auf: in ungeraden Dimensionen übersieht man die
Chern-Simons-Formen. Daß es darüber hinaus nicht
weiteres gibt, daß man also vom zweiten Band über Differentialgeometrie
keine sensationell neuen Größen erwarten soll,
dafür kenne ich keinen koordinatenunabhängigen Beweis.
Boudewijn Moonen
> Komisch nur, das Spivak an allen Ecken und Enden, zurueckgreifend auf
> Cartan, ebenfalls von "Debauch of indices" schreibt.
Na ja, ich denke, da bezieht er sich, vielleicht, ohne es zu wissen, auf
Cartan, weil er diese Formulierung, aber nicht deren Ursprung, kannte.
Ob er an allen Ecken und Enden davon schreibt, ist mir nicht
aufgefallen, ich kenne da nur S.5-1 in Band 2.
> Ausserdem bezeichnet er die klassischen Multiindex-Formeln als
> Monstroesitaeten.
Zurecht, natuerlich, so manche sind das ja auch. Andrerseits schreibt er
(also Spivak): (Band 1, S. 4-8)
> In preparationfor our reading of Gauss and Riemann we will continually
> examine the classical way of expressing all concepts which we introduce.
Wenige Seiten spaeter (Band 1, S. 4-28)
> The modern revolt against the classical point of view has been so
> complete in certain quarters that some mathematicians will give a three
> pages proof that avoids coordinates in preference to a three line proof
> that uses them.
Und in Band 3, S.17:
> Before doing this, we will first examine the classical
> tensor analysis treatment \dots This is included mainly for the
> sake of completeness, and because you may be unfortunate enough
> to encounter it again in a classical work which you need to
> consult. If you are inclined to skip this part, I cannot in
> good conscience caution you against such a course of action,
> except to say that reading it must be good for you, because you
> certainly won't like it.
Und ein Durchblaettern der erten 3 Baende zeigt, dass er beherzt viele
dieser Monstroesitaeten aufgreift und virtuos mit ihnen hantiert.
> Wahrscheinlich haben wir da ja verschiedene Buecher gelesen.
Denke ich mal nicht, hoechstens mit anderen Augen gesehen. Wie ich es
wahrgenommen habe, ist Spivak ein sehr differenzierter Geometer mit
einem gesunden, dogmafreien Standpunkt, der pragmatisch den klassischen
oder modernen Standpunkt dort gelten laesst, wo er am Platz ist. Ueber
seine Gruende gibt er doch oben hinreichend Auskunft. Wie es einem
Schauspieler nicht zum Schaden gereicht, auch singen und tanzen zu
koennen, gereicht es einem Mathematiker nicht zum Schaden, den lokalen,
klassischen und den globalen, koordinatenfreien, modernen Apparat zu
kennen, und meinetwegen auch noch den lokalen koordinatenfreien
postmodernen von Dieudonne-Lang. Kein Dogmatismus hilft, wenn man die
Geodaeten einer konkreten Metrik konkret ausrechnen will - da muss man
entweder fuer jeden Einzelfall einen neuen Trick finden oder die Aermel
aufkrempeln, die Christoffelsymbole ausrechnen und die Gleichungen
hinschreiben. Anything goes.
>>Gruss Boudewijn
>
> Viel Spass weiterhin
> Rolf
Der haelt sich in Grenzen.
Gruss Boudewijn
Norbert Dragon
> Kein Dogmatismus hilft, wenn man die Geodaeten einer konkreten Metrik
> konkret ausrechnen will - da muss man entweder fuer jeden Einzelfall
> einen neuen Trick finden oder die Aermel aufkrempeln, die
> Christoffelsymbole ausrechnen und die Gleichungen hinschreiben.
Wenn man dann keinen Computer hat, der "Solve, please please" versteht,
muß man sich an die Mechanik erinnern und an eine Kombination von
Noethertheorem und KAM-Theorem.
Die Lösungen können genau dann als Umkehrfunktionen von Integralen über
gegebene Funktionen geschrieben werden, wenn die Wirkung
W[x] = Integral dt Wurzel(dx^m/dt dx^n/dt g_mn)
von Bahnen x: R --> R^4, t --> x(t) vier kontinuierliche Symmetrien
hat, die miteinander vertauschen.
Die infinitesimalen Symmetrien delta x^m gehören zu Killing-Feldern
xi^m, also zu Isometrien, wenn sie homogen vom Grad Null in den
Geschwindigkeiten dx/dt sind, und allgemeiner zu Killing-Tensoren
xi_(n k .... l ), delta x^m = g^mn xi_(n k ... l) dx^k/dt ... dx^l/dt ,
wenn sie homogen höheren Grades in den Geschwindigkeiten sind.
Ohne infinitesimale Symmetrien kann man die Lösungen der
Geodätengleichung nicht durch Integrale über gegebene Funktionen
schreiben, da hilft kein Trick und kein Aufkrempeln der Ärmel.
Maike Schmidt
> Na ja, integrieren mag man ja viel wollen, aber wozu? In der Physik will
> man ja gerade kovariante Größen berechnen, und da ist es gut, mit
> solchen zu hantieren.
>
> Hast Du ein Beispiel, wo man in der Physik etwas anderes benötigt?
Nein, aber das hörte sich so an, als sollten die Mathematiker den
Umgang mit Differentialformen lehren, weil das für die Physik reicht.
Maike
Maike Schmidt
> Jeder Integrand ist eine Differentialform. Das Integral ist eine lineare
> Abbildung dieser Differentialform auf die Werte auf der Oberfläche einer
> ein Grad niderigeren Diffentialform. Jedes Vektorfeld/Tensorfeld, das
> zur Integration ansteht, ist _tatsächlich_ eine Differentialform.
Ich frage deshalb, weil man von Differentialformen in der Regel
annimmt, dass sie C^oo sind. Integrieren will man aber doch auch
wesentlich allgemeinere Funktionen. Wie mache ich aus einer
Funktion, die gerade so integrierbar ist, eine Differentialform?
Maike
Hendrik van Hees
Nein, warum denn? Ich will niemanden in seinem Bewegungsdrang einschränken.
Nett für Physiker (wenn denn die Mathematiker ihre Vorlesungen schon mal
physikergerecht ausrichten wollen ;-)) wäre auch ein bißchen Vierbein-xerei
und moderne Methoden zur Berechnung der Krümmung bei vorgegebener Metrik in
der ART (na ja modern, das steht alles schon im Phonebook (aka MTW)).
Hendrik van Hees
> Nun ja, das widerspricht doch nicht dem Ratschlag, sich sowohl mit der
> klassischen Schreibweise als auch mit der modernen, koordiantenfreien
> Schreibweise vertraut zu machen, fuer den es gute Gruende gibt. Dann
> gibt es halt noch eine dritte Schreibweise, wenn da Bedarf ist. Der
> Ratschlag stammt ja auch nicht von mir, sondern wird von vielen anderen
> erteilt, so auch vom Spivak, wenn das es Dir leichter macht. Obwohl ich
> mir vorstellen koennte, dass Du den fuer einen ausufernden Schwaetzer
> haeltst, der an der Anschauung klebt und gallonenweise mathematisches
> Leitungswasser in die Menge schuettet anstatt tropfenweise das edelste
> und reinste mathematische Quellwasser aus dem Bronnen fuer Eingeweihte
> zu verteilen.
Aus der Sicht des Mathematikanwenders halte ich auch nicht allzu viel von
Büchern a la Dieudonne. Die können die Mathematiker lesen, wenn sie den
Stoff schon beherrschen, um das "big picture" ihrer Wissenschaft zu
erwerben.
Mir persönlich sind manche Mathematiker begegnet, die als Doktoranden
unfähig waren so etwas profanes wie die Variation einer Wirkung zu
berechnen, was dieser Doktorand für seine Forschung aber dringend brauchte,
beschäftigte er sich doch mit Methoden für nichtlineare partielle
Differentialgleichungen zur Balkenbiegung. Das ist schon ein bißchen
komplizierter als so ein einfacher Lagrangian aus der Fundamentalphysik
(Standardmodell, Hilbert-Einstein etc.), weil da höhere Ableitungen
vorkommen.
Ich habe ihm das als einfacher Diplomand einen ganzen Nachmittag lang
erklären müssen wie das geht. Er war ganz begeistert, wie schnell man mit
den "quick and dirty methods" die Bewegungsgleichungen raus hat (mitsamt
Randbedingungen etc.). Er meinte nur, jetzt müsse er das erst mal alles
beweisen, was dann wohl ein Teil der Arbeit war.
Das ist ja auch alles wohlberechtigt, und ich bin der letzte, der behaupten
würde, man bräuchte den formalen Aufbau a la Dieudonne oder Bourbaki nicht.
Im Gegenteil, ich habe großen Respekt davor.
Was ich kritisiere, ist nur, daß viele Mathematiker so eine Attitüde haben
als sei alles andere (mehr Angewandte) irgendwie minderwertig und man dürfe
als echter Mathematiker davon nichts wissen.
Das ist weder für die Anwender gut, die sich eigentlich Mathematiker
wünschen, die ihnen das Benötigte auch vermitteln können, mitsamt der
Anschauung, die dahintersteckt (eben die quick and dirty formulations, die
man braucht, um überhaupt physikalische Fragestellungen oder auch andere
Bereiche der Wirklichkeit wie die Wirtschaft erfolgreich zu formulieren),
damit dann eben die Mathematik als Handwerkszeug zur Verfügung steht.
Leider trifft man selten solche Mathematiker. Bei den älteren Professoren
ist das noch eher verbreitet. So konnte ich wunderbar mit meinem FA-Prof.
(Experte in Liegruppen) über mathematische Grundlagen der Physik plaudern.
Mit seinem Assistenten, der sicher auf diesem Gebiet genauso bewandert war,
wie der Prof. war das unmöglich. Er kannte teilweise Anwendungen der
Liegruppen in der Physik gar nicht, die man im Physikstudium teilweise
schon im Grundstudium lernt (natürlich ohne den Formalismus, der einem dann
wieder an allen Ecken und Enden fehlt). Das finde ich schade, obwohl man
natürlich auch den Formalismus der Mathematiker nicht missen will, weil sie
damit sehr tiefliegende Theoreme finden können, die dann wieder Anwendungen
haben.
Kurz und gut: Beides ist gefragt, und nicht zuletzt auch innermathematisch
wichtig, denn woher sollen die Mathematiker die interessanten Strukturen
nehmen, die es zu erforschen gilt, wenn nicht aus den Anwendungen?
Analysis wurde nicht von Bourbakisten erfunden, sondern von Praktikern wie
Newton (Physik) oder Leibniz (Geometrie)!
Roland Harnau
>
>> Les services éminents qu'a rendus et que rendra encore le calcul
>> différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous
>> empêcher d'éviter les calculs exclusivements formels, où les
>> débauches d'indices masquent une réalité géométrique
>> souvent très simple. C'est cette réalité que j'ai cherché
>> à mettre partout en évidence.
>
> Ob diese "réalité souvent très simple" in dem obigen Vorgehen à la
> Dieudonné-Lang sichtbar wird, stelle ich der Diskussion anheim.
Der Zusammenhang zwischen globalen und lokalen Objekten ist bei Langs
Ansatz wesentlich klarer als bei der Verwendung lokaler
Koordinaten. Lokale Darstellungen von globalen Objekten gewinnt er
u.a. durch lokale Trivialisierungen von Vektorbündeln. Aus einem
Vektorfeld X --> TX erhält er bzgl. einer Karte (U, U-->V ) wg. TX|U =
UxE = VxE (U offen in X, V offen im TVR E) die lokale Darstellung
eines Vektorfelds als Abbildung V --> E. Umgekehrt wird so auch klar,
welchen Transformationsregeln unter Kartenwechseln lokal definierte
Objekte genügen müssen, damit sie sich zu einem globalen verkleben
lassen.
Diese Zusammenhänge werden, jedenfalls nach meinem Eindruck, durch den
calcul exclusivement formel der Koordinatendarstellung vollständig
verdeckt. Andererseits sind lokale Darstellungen notwendig, nicht nur,
weil ansonsten kaum erklärbar ist, warum für eine axiomatisch
eingeführte kovariante Ableitung D eine Kurve a eine Geodäte ist, wenn
D_a' a'=0, sondern auch, um Sätze über die Existenz von globalen
Objekten, etwa von Flüssen, zu zeigen.
roland
Roland Franzius
> Roland Franzius wrote:
>
>
>>Jeder Integrand ist eine Differentialform. Das Integral ist eine lineare
>>Abbildung dieser Differentialform auf die Werte auf der Oberfläche einer
>>ein Grad niderigeren Diffentialform. Jedes Vektorfeld/Tensorfeld, das
>>zur Integration ansteht, ist _tatsächlich_ eine Differentialform.
>
>
> Ich frage deshalb, weil man von Differentialformen in der Regel
> annimmt, dass sie C^oo sind. Integrieren will man aber doch auch
> wesentlich allgemeinere Funktionen.
Das ist nur eine technische Annahme, um d und d^-1 zu Operatoren in der
gesamten äußeren Algebra zu liften. Läßt man die Bedingung fallen, muss
man sich mit Distributionen und Testfunktionsräumen herumschlagen, das
gehört aber in die Funktionalanalysis.
> Wie mache ich aus einer
> Funktion, die gerade so integrierbar ist, eine Differentialform?
Das Integral einer Funktion f: x->f(x)über ein Gebiet G im R^n ist die
Auswertung der Differentialform
omega(x) = f(x) dx^1 /\../\dx^n
auf einer genügend feinen Zerlegung des Gebietes G = \/_x G_x mit
dx^1 /\../\dx^n(G_x) = Vol(G_x)
int_G omega(x) = sum_x Vol(G_x) f(x)
wobei Vol(G_x) die stetige lineare Verfeinerung des Grundbedeutung des
Wertes der Differentialform auf dem Einheitssimplex aus den
Einheitsvektoren ist
Vol(n-Simplex) = 1/n! dx^1(e_1).. dx^n(e_n) =1/n!
Der offene n-Simplex ist die n-dimensionale Verallgemeinerung des
orientierten Einheitsdreiecks im positiven Quadranten x>0, y>0 x+y<1
mit seinen orientierten Randkomplexen.
--
Roland Franzius
Boudewijn Moonen
> Hallo,
> ich habe Probleme mir die kovariante Ableitung geometrische vorzustellen.
> Laut meinem Differentialgeometrie Skript leite ich ein Vektorfeld in eine
> bestimmte Richtung ab. Dies bereitet mir schon Probleme. Was ist die
> Ableitung eines Vektorfeldes geometrisch gesehen? Die kovariante Ableitung
> ist dann die Tangentialkomponente dieser Ableitung des Vektorfeldes.
> Gibt es eine geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung?
>
> Vielen Dank!
(Fortsetzung von Synopsis I)
INTERMEZZO
==========
Nachdem wir die Aequivalenz der Begriffe "Parallelverschiebung" und
"kovariante Ableitung" geklaert haben, ist es ein Leichtes, den Begriff
der Geodaeten zu definieren: Gegeben eine Parallelverschiebung bzw. eine
kovariante Ableitung, so heisst ein Weg eine *Geodaete*, wenn er seinen
Tangentialvektor parallel entlang sich selbst verschiebt, genauer:
DEFINIION Gegeben eine Parallelverschiebung bzw. eine kovariante
Ableitung in der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M. Dann heisst
ein Weg w : I ---> M, I ein Intervall in IR, eine *Geodaete*, wenn
eine der beiden folgenden aequivalenten Bedingungen erfuellt ist:
(i) Das Vektorfeld w' ist parallel entlang w
(ii) nabla_w' w' = 0
Die Aequivalenz der Bedingungen ist nach dem Vorherigen klar. Die
Parallelitaetsbedingungen (B4) ergeben dann die geodaetischen
Gleichungen
(I1) (x^k)'' + Gamma_ij^k (x^i)' (x^j)' = 0 , k = 1, ..., n
Von dieser Stelle an ist der moderne Aufbau der Differentialgeometrie
meistens - leider - klar. Als naechstes laesst man die *Torsion* vom
Himmel fallen:
DEFINITION Gegeben eine kovariante Ableitung (Zusammenhang) nabla,
so ist die *Torsion* definiert als
T(X,Y) := nabla_X y - nabla_Y X - [X,Y]
fuer alle Vektorfelder X, Y auf M.
Einfach so, basta. Sofort danach wird dann einem das folgende Resultat
um die Ohren geschlagen:
FUNDAMENTALTHEOREM DER RIEMANNSCHEN GEOMETRIE In jeder Riemannschen
Mannigfaltigkeit gibt es genau eine kovariante Ableitung D, sodass
gilt
(i) D ist *metrisch*, d.h.
(I1) <D_X Y,Z> + <Y,D_X Z> = X<Y,Z>
fuer alle Vektorfelder X, Y, Z
(ii) D ist torsionsfrei, d.h.
T(X,Y) = 0
fuer alle Vektorfelder X, Y.
Dieser eindeutig bestimmte Zusammenhang D heisst der
*Levi-Civita-Zusammenhang* der gegebenen Riemannschen Metrik, und der
zugehoerige Parallelismusbegriff der *intrinsische
Levi-Civita-Parallellismus*.
Der Beweis, der dann gegeben wird, ist so abartig formal und
uninspirierend, dass ich ihn hier kurz wiedergebe: Man schreibt die
Bedingung (I1) fuer zyklisch vertauschte X, Y, Z noch zweimal hin, und
addiert die zweite und subtrahiert die dritte Bedingung von der ersten
(I1). Benutzt man dann die Torsionsfreiheit, so kommt
<D_X Y,Z> = (1/2)(X<Y,Z> + Y<Z,X> - Z<X,Y> -
- <X,[Y,Z]> + <Y,[Z,X]> + <Z,[X,Y]>)
fuer alle X, Y, Z, und das definiert D_X Y eindeutig.
Nun ja, wenn man Glueck hat, wird noch kurz erlaeutert, dass ein
Zusammenhang genau dann metrisch ist, wenn die zugehoerige
Parallelverschiebung eine Isometrie ist, also die Laenge eines Vektors
invariant laesst, und das war's dann. Na ja, jetzt weiss man ja, wie
man in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit differenziert, was Geodaeten
sind, und damit ist die Grundlegung der Differentialgeometrie beendet;
man stolpert mit geroeteten Augen, blind wie ein Maulwurf, ins Freie und
man kann nun anfangen, Geometrie zu betrieben.
Nur, dass diese erst mal auf der Strecke geblieben ist.
\begin{Geifernde Indoktrination}
> Mir kann niemand erzaehlen, dass jemand, der diesen Aufbau zum ersten
> Mal vorgefuehrt bekommt, auch nur einen Fitzel durchschauen kann, was
> hier eigentlich vor sich geht und sehen kann, woher die kovariante
> Ableitung und zugehoerige Parallelverschiebung denn nun kommen und was
> sie geometrisch bedeuten. Der Fundamentalsatz scheint seinen Namen
> nicht zu verdienen, sein Beweis ist schliesslich nur eine banale
> stumpfsinnige Rechnung, und daher laesst sich seine Bedeutung ueberhaupt
> nicht einschaetzen, geschweige denn, dass sich ein Hauch echter
> Bewunderung ueber das einstellen kann, was hier eigentlich geschieht.
> Was sagt denn die Formel (I1) ueber die Geometrie von D? Gequaelt,
> geschaendet, gemordet wird sie hier, die Geometrie, von einer zumeist
> unbedarften nachplappernden Ignoranz, die nur den bequemsten Weg sucht
> und als falsche Muenze Eleganz verkauft. Eine historische Entwicklung
> von 100 Jahren hat dazu gefuehrt, dass man es so machen kann, also macht
> man es so und feiert die kristallklare historienfreie in sich ruhende
> und sich selbst genuegende Methode der Mathematik, die ein solches
> Herangehen gebiete. Alles Lug ung Trug. Man will sich hier etwas unter
> Preis erkaufen und muss nachher teuer dafuer bezahlen. Der
> Fundamentalsatz heisst nicht ohne Grund so und ist nicht billig zu
> haben, man hat dann spaeter ein riesiges Einsichtsdefizit auf seinem
> Konto.
\end{Geifernde Indoktrination}
Wir machen das daher nicht so, sondern beginnen mit einer Grundlage der
Riemannschen Geometrie, die eben auch geometrisch ist, den Geodaeten,
als kuerzeste Linien die Verallgemeinerung der Geraden, auf denen Euklid
seine Geometrie aufgebaut hat, die 2000 Jahre Bestand hatte, also so
falsch nicht gewesen sein kann, und versuchen, dann zu sehen, wie sich
aus ihnen Parallelverschiebung bzw. kovariante Ableitung auf
einigermassen natuerliche Weise ergeben. Schliesslich ist die
letztendliche eigentliche Grundlage der Riemannschen Geometrie die Idee,
Geometrie vollstaendig auf dem Begriff der Laenge (in ihrer
differentiellen Form) aufzubauen, wobei der lokale Massstab ortabhaengig
sein darf. Dieses Konzept hat sich als so tragfaehig erwiesen, dass sich
die meisten Geometriekonzepte - Euklidische und Nichteuklidische
Geometrie, Kleinsche Geometrie, Projektive Geometrie - ihm unterordnen
lassen.
C. GEODAETEN ---> PARALLELVERSCHIEBUNG/ZUSAMMENHANG
===================================================
Schon seit Gauss und Riemann definiert man die Geodaeten einer Metrik
als Wege, deren Laenge stationaer - und bestenfalls minimal - ist. Von
einem technischen Standpunkt aus ist das aus mehreren Gruenden nicht
optimal. Das liegt einmal an der Reparametrisierunginvarianz der
Laenge, die eine Unzahl verschiedener, aber aequivalenter Loesungen
erzeugt, und ein andermal an der Quadratwurzel in der Laengenbestimmung,
welche die Rechnung unnoetig laestig und das Resultat unnoetig haesslich
macht. Da ist es weitaus besser, die "Energie", d.h. das Integral ueber
das Normquadrat der Wegtangente, zu extremalisieren. Paradigma dafuer
ist ein zwischen zwei Punkte gespanntes Gummiband auf einer Kugel; sich
selbst ueberlassen, minimiert es seine elastische Energie und schmiegt
sich als Geodaete an die Kugel, und diese Loesung ist eindeutig. Einen
Haufen unnoetiger Loesungen fuer Extremale des Laengenfunktionals kann
man durch Hin- und Herzerren an dem Band erzeugen, die allesamt dieselbe
Laenge, aber hoehere Energie haben. Diese "Eichfreiheit", wie Physiker
sagen wuerden, wird durch die geschickte Wahl des Wirkungsfunktionals
herausgeschmissen.
Also definieren wir Geodaeten als Extremale der Energie. Dann sind die
Loesungen auch Extremale der Laenge, mit der zusaetzlichen schoenen
Eigenschaft, bis auf affine Reparametrisiernungen nach der Bogenlaenge
parametrisiert zu sein ("Eigenzeit"). Die zugehoerigen
Differentialgleichungen ergeben sich dann aus dem bekannten
Euler-Lagrange-Formalismus in lokalen Koordinaten x^1, ..., x^n
als
(C1) (x^k)'' + Gamma_ij^k (x^i)'(x^j)' = 0 , k=1, ..., n
wobei die Gamma_ij^k wie folgt aus der Metrik (g_ij) gewonnen werden:
(C2) Gamma_ij^k = g^kl ( g_jl,i + g_il,j - g_ij,l )
die klassischen Christoffelsymbole der zweiten Art (hier ist eine
Finesse zu beachten, die oft falsch gemacht wird: Man kann i.a. nicht
in einer einzigen Karte das uebliche Variationsproblem mit
Standardrandbedingungen, also festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt
ansetzen, da Anfangs- und Endpunkt ja nicht in einer einzigen Karte zu
liegen brauchen! Wie man's richtig macht, steht bei Spivak. Tja, auf
dem geometrischen Weg hat man halt zu Anfang hohe Kosten, da ist der
oben skizzierte Weg des scheinbar geringsten Widerstandes gar zu
verfuehrerisch...)
Vergleicht man die aus dem Variationsproblem der Energie gewonnenen
geodaetischen Gleichungen (C1) mit denen aus der Analyse der
Parallelverschiebung gewonnenen geodaetischen Gleichungen (B4), sieht
man, dass gleichsam aus dem Nichts die Parallelverschiebung auftaucht:
Die extremalen Geodaetischen sind in der Tat so "gerade", dass sie ihre
Tangente parallel verschieben im Sinne eines Zusammenhangs, der durch
die Christoffelsymbole gegeben ist! Da von jedem Punkt der
Mannigfaltigkeit in jede Richtung radial eine Geodaete ausgeht, haben
wir damit die Parallelverschiebung in radiale Richtungen schon mal
interpretiert: ein Vektor wird radial parallel verschoben, indem er sich
als Tangente an die eindeutige Extremalkurve der Energie (und damit der
Laenge) fortpflanzt, die am Ausgangspunkt den gegebenen Vektor als
Tangente hat und proportional zur Bogenlaenge parametrisiert ist.
Die Frage ist jetzt, wie eindeutig dieser Zusammenhang ist und, da er ja
durch die Geodaeten gegeben ist, wie sich Parallelverschiebungen in
beliebige Richtungen interpretieren lassen. Die geodaetischen
Gleichungen bestimmen ja nur die Gamma_ij^k + Gamma_ji^k.
Wann haben also zwei Zusammenhaenge D, D' dieselben Geodaeten c? Die
zugehoerigen Gleichungen lauten
D_c' c' = 0 , D'_c' c' = 0
Das legt es nahe, die zu D_X Y und D'_X Y gehoerenden "quadratischen
Formen" Q(X) := D_X X und Q'(X) := D'_X X zu betrachten:
SATZ D und D' haben dieselben Geodaeten <==> Q = Q'.
BEWEIS Zum Beweis muss man nur beachten, dass die Differenz D - D' ein
*Tensor* ist, da das derivative Verhalten im zweiten Argument fuer
D und D' gleich ist. Ist daher p ein Punkt in M, so waehle eine Geodaete
c fuer D mit c'(0) = X_p, dann ist
(D - D')_(X_p)(X_p) = (D_c' c' - D'_c' c')(0)
und daraus folgt die Behauptung. QED
D.h. fuer einen Zusammenhang D bestimmen sich die Geodaeten und die
quadratische Form Q(X) = D_X X in Vektorfelden X gegenseitig eindeutig.
Das kann man auch so sehen, dass man ja hat
D_X X = lim_{t->0} (P_t^{-1}X_c(t) - X_p)/t
= lim_{t->0} (X_c(t) - c'(t))/t
da P_t(X_p) = P_t(c'(0)) = c'(t), und die rechte Seite ist allein von
dem Verhalten von X entlang c bestimmt.
Wenn wir bei der Analogie mit den quadratischen Formen bleiben, so ist
eine quadratische Form q(x) auf einem Vektorraum dasselbe wie eine
*symmetrische* Bilinearform s(x,y), die aus *Polarisation* gewonnen
werden kann:
s(x,y) = (1/2)(q(x + y) - q(x) - q(y))
= (1/4)(q(x + y) - q(x - y))
und kam q(x) = d(x,x) von einer Bilinearform her, so ist s die
*Symmetrisierung* von b:
s(x,y) = (1/2)(d(x,y) + d(y,x))
Mit dieser Analogie wollen wir versuchen, durch *Polarisieren* von Q und
somit *Symmetrisieren* von D einen Zusammenhang S zu erhalten, der
dieselbe Information enthaelt wie Q, also genau die Information ueber
die Geodaeten von D und keinen Deut mehr. Der erste Versuch
S_X Y := (1/2)(D_X Y + D_Y X)
geht gruendlich daneben; die Analogie war eben nur eine Analogie, weil
D_X Y zwar bilinear ueber IR, aber nicht ueber dem Ring der
differenzierbaren Funktionen ist - es ist S derivativ in *beiden*
Argumenten, nicht nur im zweiten, und somit kein Zusammenhang.
Aber unverdrossen voran, Mut hat auch der Mameluck. Jetzt kommt eine
verpoente, aber hilfreiche Ueberlegung in lokalen Koordinaten, also
unserem oben beschworenen Vielbein (Danke, Norbert). Es ist
(C3) D_X Y = (X^j Y^k,j + Gamma_ij^k X^j Y^i) e_k
Bildet man wie oben naiv die Symmetrisierung, so werden beide Anteile
symmetrisiert, und das will man nicht: der erste, derivative Anteil, der
fuer alle Zusammenhaenge lokal derselbe ist, soll so bleiben, und nur
der zweite, Tensoranteil, soll symmetrisiert werden. Das erreicht man
dadurch, dass man lokal den Ausdruck
(1/2) (X^j Y^k,j - X^k,j Y^j) e_k
addiert, der stellt die urspruengliche Form des derivativen Anteils
wieder her. Das kundige Auge erkennt den sofort als die halbe Lieklammer
(1/2) [X,Y] (jaja, gleich!!!) mit
(C4) [X,Y]h := X(Yh) - Y(Xh)
als Derivation auf Funktionen h. Wir setzen also
(C5) S_X Y := (1/2)(D_X Y + D_Y X + [X,Y])
dann ist S tatsaechlich ein Zusammenhang und lokal von der Gestalt
(C6) S_X Y = (X^j Y^k,j + (1/2)[Gamma_ij^k + Gamm_ji^k] X^j Y^i) e_k
Daraus sieht man sofort, dass die geodaetischen Gleichungen fuer S
dieselben sind wie die fuer D, also haben S und D dieselben Geodaeten,
wie erwartet und gewuenscht.
Kennt man die Lieklammer und weiss, dass sie sich in beiden Argumenten
derivativ verhaelt:
(C7) [fX,Y] = f[X,Y] - (Yf)X , [X,fY] = f[X,Y] + (Xf)Y
was sich natuerlich sofort aus (C4) ergibt, sodass man dann auch ohne
lokale Betrachtung sofort auf die Definition (C5) kommt, um das richtige
Zusammenhangsverhalten zu erzwingen. Warum aus *geometrischen* Gruenden
hier die Lieklammer auftaucht, dazu spaeter etwas (wenn ueberhaupt, den
meisten ist wahrscheinlich dieser Text schon vieeeeeeel zu lang)....
Jetzt zerlegt sich der Zusammenhang D kanonisch wie folgt:
(C8) D_X Y = S_X Y + (1/2)T(X,Y)
mit
(C9) T(X,Y) := D_X Y - D_Y X - [X,Y]
Aus (C3) und (C6) ergibt sich
T(X,Y) = [Gamma_ij^k - Gamm_ji^k] X^j Y^i) e_k
sofort als *alternierender Tensor*, was natuerlich auch sofort aus (C7)
und (C9) ersichtlich ist, genannt die *Torsion*, ueber dessen
geometrische Bedeutung ich etwas spaeter, wenn ueberhaupt, noch etwas
sage. Ein Zusammenhang D heisst *symmetrisch*, wenn D = S, und
torsionsfrei, wenn T = 0 ist; mit (C8) ist also ein Zusammenhang genau
dann symmetrisch, wenn er torsionsfrei ist.
Es ergibt sich folgendes Bild: Die Symmetrisierung S eines Zusammenhangs
D ist eindeutig durch die "quadratische Form" Q bestimmt und diese
wiederum durch die Geodaeten und vice versa wegen des obigen Satzes.
Zusammengefasst:
SATZ (i) Ein Zusammenhang ist eindeutig durch seine Geodaeten und
seine Torsion bestimmt
(ii) Die Zusammenhaenge mit denselben Geodaeten bilden einen (i.a.
unendlichdimensionalen) affinen Raum mit zugehoerigem Vektorraum
der Raum der alternierenden (1,1)-Tensoren. In diesem Raum gibt es
genau einen symmetrischen, d.h. torsionsfreien Zusammenhang S.
Diese ist gegeben durch (C5) fuer jeden beliebigen Zusammenhang D
aus diesem Raum.
Hat man nun eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, so sind seine Geodaeten
in einem holonomen Vielbein, d.h. in einem, dass aus den
Tangentialvektoren an den Koordinatenlinien einer Karte besteht,
bestimmt durch (C1) und damit durch einen Zusammenhang mit den lokalen
Zusammenhangskoeffizienten die Christoffelsymbole zweiter Art. Da diese
bereits symmetrisch in den unteren Indizes sind, definieren diesen den
eindeutigen torsionsfreien Zusammenhang, dessen Geodaeten die Geodaeten
der Riemannschen Metrik sind. Wir haben erhalten:
FUNDAMENTALSATZ DER RIEMANNSCHEN GEOMETRIE Auf jeder Riemannschen
Mannigfaltigkeit gint es einen eindeutig bestimmten torsionsfreien
Zusammenhang, dessen Geodaeten die Geodaten der Riemannschen Metrik
sind, genannt der *Levi-Civita-Zusammenhang* der Riemannschen
Metrik.
Man sieht, dass die Eigenschaft, torsionsfrei zu sein, kein eigentliches
Diktum der Riemannschen Geometrie ist, sondern eineNormierung aus
allgemeinen Gruenden, um die Eindeutigkeit zu sichern.
Um das mit dem durch den oben skizzierten Taschenspielertrick erhaltenen
Fundamentalsatz in Einklang zu bringen, sei noch angemerkt, dass ein
torsionsfreier Zusammenhang genau dann als Geodaeten die Geodaeten der
Riemannschen Metrik hat, wenn er *metrisch* ist, d.h. wenn die Laenge
eines Vektors unter der zugeordneten Parallelverschiebung invariant bleibt.
Das als Ueberlegung uebers Wochenende. Was wir also jetzt haben, ist
eine kovariante Ableitung, die sich in natuerlicher Weise aus den
Geodaeten einer Riemannschen Metrik ergibt. Folglich muesste sich auch
die zu ihr gehoerende, aquivalente Parallelverschiebung aus den
Geodaeten beschreiben lassen. Dass wir mit ihnen radial parallel
verschieben koennen, wissen wir bereits; zu dem Rest dann
(Fortsetzung folgt)
Maike Schmidt
>> Ich frage deshalb, weil man von Differentialformen in der Regel
>> annimmt, dass sie C^oo sind. Integrieren will man aber doch auch
>> wesentlich allgemeinere Funktionen.
>
> Das ist nur eine technische Annahme, um d und d^-1 zu Operatoren in der
> gesamten äußeren Algebra zu liften. Läßt man die Bedingung fallen, muss
> man sich mit Distributionen und Testfunktionsräumen herumschlagen, das
> gehört aber in die Funktionalanalysis.
Wozu braucht man da denn Distributionen? Man kann doch auch prima
ohne Distributionen auf Mannigfaltigkeiten integrieren, wenn man keinen
Differentialformenkalkül verwendet.
Maike
Hendrik van Hees
> Wozu braucht man da denn Distributionen? Man kann doch auch prima
> ohne Distributionen auf Mannigfaltigkeiten integrieren, wenn man
> keinen Differentialformenkalkül verwendet.
Nur wozu sollte das gut sein? Ich kann mir kaum vorstellen, daß es
irgendetwas interessantes gibt, was nicht das Integral über eine
Differentialform in einem geeigneten Raum bzgl. eines bestimmten Maßes
wäre, oder?
Roland Franzius
Man kann. Aber sobald man Vektorfelder, Tensorfelder, resp Schnitte in
allgemeineren Bündeln, möglicherweise über gekrümmtem Mannigfaltigkeiten
aufgezogen,vorliegen hat, ist es mit der fröhlich naiven Integrations-
und Differentiationskunst zuende. (Siehe Boudewijns Rahmen um dieses
Nebengespäch).
Im äußeren Kalkulus kann man bei Tensorfeldern maximal n-mal integrieren
oder differenzieren bevor man auf die Enden der Abbildungen von d stößt.
Wenn man also den Stokesschens Satz unabhängig von Dimension, Geometrie
und Koordinatenwahl für allgemeine Tensoren beweisen möchte, zB für die
Maxwellgleichungen oder die Bianchiidentät, fordert man zur Abwehr von
Beweislöchern, dass alle Integrale und Ableitungen glatt sind.
Sobald man aber Qullen von Feldern betrachtet, braucht man
Singularitäten der Felder, die die erzeugenden Ladungen darstellen. Die
sind dan die singulären Punkte von ansonsten glatten Distributionen. Das
Zusammenspiel der glatten Differentialformen außerhalb des Quellbereichs
und ihrer distibutiven Eigenschaften im Quellbereich ist ein
wesentliches Elemente aller Theorie von partiellen
Differentialgleichungen mit physikalisch-geometrischem nichtleeren Gehalt.
Zum Angewöhnen: Das eindimensionale Integral ist eine Flächenbestimmung.
Man kann die von x-Achse und Funktionsgraf 0<y<f(x) bestimmte Fläche
beliebig parkettieren und das Riemannintegral
int_a^b f(x) dx = int_F dx/\dy = int_(Rand F) dy = 1/2 int_(Rand F) (x
dy - y dx)
Nun ist f plötzlich in der Randfunktion des Gebiets untergetaucht und
man sieht, dass die Ableitung des Integrals als Integrand im Integral
nur eine geschickte Darstellung der Randsteigung der berandeten Figur
ist, wenn man partout in x-Richtung integrieren möchte.
--
Roland Franzius
Boudewijn Moonen
> Also definieren wir Geodaeten als Extremale der Energie. Dann sind die
> Loesungen auch Extremale der Laenge, mit der zusaetzlichen schoenen
> Eigenschaft, bis auf affine Reparametrisiernungen nach der Bogenlaenge
> parametrisiert zu sein ("Eigenzeit"). Die zugehoerigen
> Differentialgleichungen ergeben sich dann aus dem bekannten
> Euler-Lagrange-Formalismus in lokalen Koordinaten x^1, ..., x^n
> als
>
> (C1) (x^k)'' + Gamma_ij^k (x^i)'(x^j)' = 0 , k=1, ..., n
>
> wobei die Gamma_ij^k wie folgt aus der Metrik (g_ij) gewonnen werden:
>
> (C2) Gamma_ij^k = g^kl ( g_jl,i + g_il,j - g_ij,l )
>
> die klassischen Christoffelsymbole der zweiten Art
Da fehlt ein Faktor 1/2:
(C2) Gamma_ij^k = (1/2) g^kl ( g_jl,i + g_il,j - g_ij,l )
Boudewijn Moonen
> Hallo,
> ich habe Probleme mir die kovariante Ableitung geometrische vorzustellen.
> Laut meinem Differentialgeometrie Skript leite ich ein Vektorfeld in eine
> bestimmte Richtung ab. Dies bereitet mir schon Probleme. Was ist die
> Ableitung eines Vektorfeldes geometrisch gesehen? Die kovariante Ableitung
> ist dann die Tangentialkomponente dieser Ableitung des Vektorfeldes.
> Gibt es eine geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung?
>
> Vielen Dank!
(Fortsetzung von Synopsis II und Finis)
Als kleine Altlast haben wir zu zeigen:
SATZ Sei D ein torsionsfreier Zusammenhang in einer Riemannschen
MAnnigfaltigkeit. Dann sind aequivalent:
(i) Die Geodaeten von D sind die Geodaeten der Riemannschen
Metrik
(ii) Die Parallelverschiebung von D ist eine Isometrie
(iii) Fuer je drei Vektorfelder X, Y und Z gilt
(C10) Z<X,Y> = <D_Z X,Y> + <X,D_Z Y>
BEWEIS (i) --> (ii) : Sei D ein zunaechst beliebiger Zusammenhang und X
paralleles Vektorfeld entlang einem Weg w. Wir wollen die zeitliche
Ableitung des Normquadrats untersuchen. Jetzt hift nichts; das einzige,
was wir zur Charakterisierung der Parallelitaet haben, sind die lokalen
Gleichungen:
(C11) (X^k)' + Gamma_ij^k X^i (x^j)' = 0
Dann gilt fuer die zeiliche Ableitung des Normquadrats ||X||^2 =
g_ij X^i X^j :
(g_ij X^i X^j)' =
(g_ij)' X^i X^j + g_ij (X^i)'X^j + g_ij X^i(X^j)' =
(g_ij)' X^i X^j + g_kj (X^k)'X^j + g_ik X^k(X^j)'
und wir gehen beherzt die Auswertung der drei Summanden rechts an. Man
erhaelt der Reihe nach
(g_ij)'X^i X^j = (g_ij,l) X^i X^j(x^l)'
(Kettenregel) sowie nach (C11)
g_kj (X^k)'X^j = - g_kj Gamma_il^k X^i X^j (x^l)'
g_ik X^i(X^k)' = - g_ik Gamma_jl^k X^i X^j (x^l)' ,
man sieht, das tut gar nicht weh - Mami, er hat ueberhaupt nicht
gebohrt....
Addition der drei letzten Gleichungen:
(g_ij X^i X^j)' =
(g_ij,l - g_kj Gamma_il^k - g_ik Gamma_jl^k) X^i X^j(x^l)'
Damit ergibt sich als notwendige und hinreichende Bedingung dafuer, dass
das Normquadrat kovariant konstant ist:
(C12) g_ij,l = g_kj Gamma_il^k + g_ik Gamma_jl^k ,
eine klassische Identitaet, bekannt als "Riccis Identitaet".
Sei nun D ein torsionsfreier Zusammenhang, dessen Geodaeten die
Geodaetender Riemannschen Metrik sind. Nach dem Fundamentalsatz ist D
der Levi-Civita-Zusammenhang. Wie es aber nun der Teufel so will, hat
man jetzt, weil ja doch (siehe (C2)) in klassischer Indexgymnastik, zu
der wir hier angetreten sind, Gamma_ij^k, auch bekannt als die
*Christoffelschen Symbole {ij,k} zweiter Art*, durch "Heraufziehen" des
dritten unteren Index aus den *Christoffelschen Symbolen der ersten
Art*, [ij,l] entstehen:
Gamma_ij^k := {ij,k} := g^kl [ij,l]
mit
[ij,l] := (1/2)(g_il,j + g_jl,i - g_ij,l)
In (C12) werden dann die Indizes einfach froehlich wieder hochgezogen:
Die rechte Seite ist dann
[il,j] + [jl,i] =
(1/2)(g_ij,l + g_lj,i - g_il,j) + (1/2)(g_ji,l + g_li,j - g_jl,i) =
g_ij,l
also gilt Riccis Identitaet, und die Parallelverschiebung ist normerhaltend.
(ii) --> (iii) Es genuegt, die Identitaet (C10) in n Basisfeldern
e_1, ..., e_n nachzurechnen. Wir waehlen die holonomem Basisfelder, die
man mit Wahl einer Karte hat:
e_i := del / del x^i , i = 1, ..., n
So. Die Zusammenhangskoeffizienten eines Zusammenhangs D geben ja gerade
an, wie sich der i-te Basisvektor in Richtung des j-ten aendert:
D_e_i e_j = Gamma_ij^k e_k .
Die Behauptung ist
e_l<e_i,e_j> = <D_e_l e_i,e_j> + <e_i,D_e_l e_j>
oder
g_ij,l = Gamma_li^k<e_k,e_j> + Gamma_lj^k<e_i,e_k>
= g_kj Gamma_li^k + g_ik Gamma_lj^k
und das ist genau die Ricci-Identitaet (C12), die wir nach Voraussetzung
haben, da die Parallelverschiebung von D eine Isometrie sein soll.
(iii) --> (i): Jetzt ist es endlich an der Zeit, den korrupten
Taschenspielertrick hervorzuholen, auf dem sich eine einsichtslose
Herleitung des Fundamentalsatzes gruenden laesst. Sei D ein zunaechst
beliebiger Zusammenhang, der (C10) erfuellt. Man berechnet
{XY,Z} := (1/2)(X<Y,Z> + Y<Z,X> - Z<X,Y>) ,
so eine Art koordinatenunabhaengiges Christoffelsymbol, unter
Voraussetzung von (C10) zu
{XY,Z} = <D_X Y,Z> - (1/2)<T(X,Y) + [X,Y],Z>
+ (1/2)<T(Y,Z) + [Y,Z],X>
- (1/2)<T(Z,X) + [Z,X],Y>
Es sind die <D_X Y,Z> die Projektionen der Aenderung von Y laengs X auf
die Richtung Z so eine Art koordinatenunabhaengige Christoffelsymbole
Gamma_XY^Z, deren Kenntnis fuer alle Z den Wert D_X Y bestimmen, und
wir haben fuer torsionsfreies D
(C13) Gamma_XY^Z = {XY,Z} + (1/2)(<[X,Y],Z> - <[Y,Z],X> + <[Z,X],Y>)
Insbesondere fuer Koordinatenfelder verschwinden die Lieklammern, und es
ergeben sich genau die Zusammenhangskoeffizienten des
Levi-Civita-Zusammenhangs. QED
So aus lauter Jux und Dollerei zusammengefasst: Definiert man fuer
Vektorfelder X, Y, Z und fuer D einen Zusammenhang in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit
g_XY,Z := Z<X,Y>
{XY,Z} := (1/2)(g_YZ,x + g_XZ,Y - g_XY,Z)
Gamma_XY^Z := <D_X Y,Z>
so haben wir nachgerechnet: Fuer torsionsfreies D gilt
Gamma_XY^Z = {XY,Z} + (1/2)(<[X,Y],Z> - <[Y,Z],X> + <[Z,X],Y>)
<--->
g_XY,Z = Gamma_XY^Z + Gamma_XZ^Y
und dabei hat die erste Beziehung die Bedeutung, D hat dieselbe
Geodaeten wie die Riemannsche Metrik, und die zweite die Bedeutung,
die zu D gehoerende Parallelverschiebung ist eine Isometrie. Uff.
Nach allen diesen Einsichten koennen wir uns unserem eigentlichen Ziel
zuwenden: Einer geometrischen Beschreibung der Parallelverschiebung des
Levi-Civita-Zusammenhanges.
Eines vorneweg: Die Parallelverschiebung eines Zusammenhangs ergibt sich
i.a. aus der Integration des Differentialgleichungssystems (C11). Da die
Metrik und somit auch der Zusammenhang oertlich beliebig variieren kann,
kann man i.a. keine genaue endliche geometrische Beschreibung der
Parallelverschiebung erwarten, sondern nur eine diskrete Approximation
zu ihr, die einer Riemannschen Summe als Naeherung zu einem Integral
entspricht. Genauer: Erstens wird ein beliebiger Weg durch einen
geodaetischen Polygonzug approximiert, und es genuegt, die
Parallelverschiebung entlang einer geodaetischen Strecke zu beschreiben.
Ferner wird oft ein endliches Verschiebungsstueck beschrieben und dann
so etwas gesagt wie: man iteriere diesen Schritt bis zum Ende des
unterteilten Weges, und wenn man dann die Unterteilung beliebig
verfeinert, so konvergiert die so erhaltene Gesamtverschiebung gegen die
Parallelverschiebung, womit dann auf die Integration der
Differentialgleichung (C11) angespielt wird und dargetan werden soll,
dass die beschriebene endliche Verschiebungsfolge eine Diskretisierung
der Gleichung (C11) sein soll.
Ich ziehe folgende Operationalisierung vor: Ich beschreibe eine endliche
Verschiebung, sagen wir P_t X_0 , X_0 der Anfangsvektor. Dass diese
Verschiebung die Parallelverschiebung beschreibt, soll heissen, dass man
im Prinzip die Gleichung
(D_w X)_0 = lim_{t->0} (P_{-t} X_t - X_0)/t
oder
(D_w X)_0 = lim_{t->0} (X_t - P_t X_0)/t
nachweisen kann, d.h. die beschriebene Konstruktion einen
Differenzenquotienten liefert, der gegen die kovariante Ableitung
konvergiert. Hilfsmittel zum Beweis wird dann oft die Taylorentwicklung
P_{-t} X_t = sum_{i=0}^n ((D_w)^i X)_0 t^i/i! + O(n+1)
sein. In guter Tradition solcher heuristischer Dienstleistungen werden
Beweise nicht gegeben, sondern anheimgestellt.
1.BESCHREIBUNG - *Die Schildsche Parallelverschiebung*. Wir wissen, der
Levi-Civita-Zusammenhang ergibt sich aus den Geodaeten der Riemannschen
Metrik bzw. allein aus der zugehoerigen quadratischen Form Q(X) = D_X X
durch Polarisation, d.h. im wesentlichen als (Q(X + Y) - Q(X - Y))/4.
Dabei beschreibt Q(X) die Parallelverschiebung *in radiale Richtung*,
d.h. einfach die Verschiebung eines Tangentialvektors entlang einer
Geodaete. Daraus ergibt sich eine Konstruktion, die als "Schildsche
Leiter" bekannt - oder besser, nicht bekannt - ist; die einzige Quelle,
in der ich sie gefunden habe, ist das "Telefonbuch", also
Misner-Thorne-Wheeler, Gravitation. Sie geht wie folgt: Sei g eine
Geodaete, P ein Punkt auf ihr, Q ein Nachbarpunkt, und X ein Vektor mit
Fusspunkt in P, der parallel nach Q verschoben werden soll. Es genuegt
natuerlich, tX fuer genuegend kleines t zu verschieben. Diesen Vektor
repraesentiert man durch eine in P startende, nach der Bogenlaenge
parametrisierten Geodaete in Richtung X, die man bis zur Zeit t zum
Endpunkt R durchlaeuft. Man verbinde jetzt R und Q durch eine Geodaete
(insbesondere setzt man voraus, dass Q und R genuegend nahe an P sind,
dass das eindeutig moeglich ist), halbiere den geodaetischen Bogen OR in
M, verbinde P mit M durch eine Geodaete und verlaengere diese um den
Abstand PM bis zum Punkt S. Die Geodaete QS repraesentiert dann den von
P nach Q parallel verschobenen Vektor X.
2.BESCHREIBUNG - *Die Severinsch-Arnoldsche Parallelverschiebung*. Hier
benutzt man, dass in Dimension 2 die Parallelverschiebung geometrisch
dadurch gegeben ist, dass man einen Vektor entlang einer Geodaeten
dadurch parallel verschiebt, dass man seine Laenge und den Winkel zur
Geodaeten konstant haelt. Ausgangsdaten seien wie in 1. Die radial von P
ausgehenden Geodaeten definieren eine lokale Flaeche um P, die die
Geodaete g enthaelt, und man verschiebt dann X innerhalb
dieser Flaeche parallel nach Q nach dem 2-dimensionalen Rezept.
Ich vermute, dass sich diese Beschreibung in einer alten Arbeit von
Severi findet:
F. Severi, Sulla curvatura delle superficie e variet\`a, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo, vol 42 (1917), 227 - 259
aber zur Verifikation reicht mein rudimentaeres Italienisch nicht aus.
Auf jeden Fall findet man sie in
V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate
Texts in Mathematics Vol. 60, Springer 1996, p.305-306
3.BESCHREIBUNG - *Die normale oder Weylsche Parallelverschiebung* In
Riemannschen Normalkoordinaten verschwinden die
Zusammenhangskoeffizienten Gamma_ij^k im Ursprung. Das hat zur Folge,
dass die uebliche Differentiation und die kovariante
Differentiation bis zur ersten Ordnung einschliesslich uebereinstimmen,
und dasselbe gilt fuer die Parallelverschiebung. D.h. im obigen Szenario
verschiebe ich in Normalkoordinaten X von P nach Q, indem ich einfach im
euklidischen Sinn parallel verschiebe. Insbesondere
- die Geometrie der Parallelverschiebung wird nicht direkt als
anders sichtbar, sondern liegt darin verborgen, dass sich die
Normalkoordinaten von P nach Q i.a. nichttrivial aendern. Jemand,
der in Normalkoordinaten leibt und lebt, wird sich bei der Frage
nach einer geometrischen Beschreibung der Parallelverschiebung
also erstaunt die Augen reiben und sagen, was gibt es da zu
fragen - alles wie gehabt...
- da die lokale Flaeche um P in 2. in Normalkoordinaten als Ebene
erscheint, die unter Parallelverschiebung invariant ist, ist 2.
nur eine Variante von 3.
4.BESCHREIBUNG - *Die Drakonische Parallelverschiebung* Das ist ein von
Norbert Dragon in diesem Thread gemachter Vorschlag:
> Sei b der Endpunkt einer Geodätischen U durch a mit anfänglichem
> Tangentialvektor u und c Endpunkt einer zweiten Geodätischen V
> durch a mit anfänglichem Tangentialvektor v, u senkrecht v.
>
> Bei b ist der Unterraum senkrecht zu U definiert, der von denjenigen
> Geodäten aufgespannt wird, die U in b senkrecht schneiden, ebenso
> ist der Orthogonalraum zu V im Punkt c definiert.
>
> Beide Orthogonalräume haben Schnittpunkte, einer dieser Schnittpunkte,
> d, hat minimalen Abstand zu b.
>
> Definiere den Paralleltransport von v längs U zu b als den
> Tangentialvektor an die Geodäte durch b und d, der dieselbe
> Länge wie v hat.
>
> Verfeinere die Konstruktion für kleinere und kleinere u und v.
>
> Diese Vorschrift definiert den Paralleltransport intrinsisch --
> so gut ich das Wort verstehe.
>
> Nachrechnen für infinitesimale Parallelogramme zeigt, daß dies
> die Vorschrift für den Levi-Civita-Zusammenhang ist.
5.BESCHREIBUNG - *Die Levi-Civitale Parallelverschiebung* Dieses ist die
*externe* Beschreibung der intrinsischen Parallelverschiebung einer
Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raumes mit der induzierten Metrik
- man verschiebe den Tangentialvektor parallel innerhalb des umgebenden
euklidischen Raumes parallel von P nach Q im ueblichen Sinn und
projiziere das Resultat orthogonal auf den Tangentialraum in Q.
6.BESCHREIBUNG - *Die Cartanische Parallelverschiebung* Dieses ist auch
die *externe* Beschreibung der intrinsischen Parallelverschiebung einer
Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raumes mit der induzierten Metrik
- man rolle den Tangentialraum ohne Gleiten entlang des Weges von P nach
Q, wobei er tangential bleibt, fuehre dabei den Ausgangsvektor mit und
verschiebe ihn innerhalb des Tangentialraumes im euklidischen Sinne so,
dass sein Fusspunkt der Beruehrpunkt der Tangentialebene laengs des
Weges bleibt.
Und damit Schluss der Vorstellung.
D.NACHLESE
==========
Das Ganze war mehr oder minder eine Meditation ueber das "fundamentale
Dreieck der Riemannschen Geometrie:
PARALLELVERSCHIEBUNG ------------- KOVARIANTE ABLEITUNG
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
GEOMETRISCHE STRUKTUR
Dabei kann man das in zwei Situationen betrachten: a) in einer
beliebigen differenzierbaren Mannigfaltigkeit und b) in einer
Riemannschen Mannigfaltigkeit.
In a) besteht die geometrische Struktur aus den Geodaeten und dem
Torsionstensor, der, wie ich hier nicht weiter elaboriert habe,
spezifiziert, wie sich infinitesimale Parallelogramme *nicht*
schliessen, also verdreht (tordiert) sind, vgl. dazu
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node141.html
In b) sind Parallelverschiebung und kovariante Ableitung torsionsfrei,
und die geometrische Struktur besteht nur aus den Geodaeten.
In beiden Faellen wird ausgesagt, dass dieses Dreieck von einer
beliebigen Ecke ausgehend, bestimmt ist, ich also die beiden anderen
Ecke aus dieser einen erhalten kann. Darueber hinaus sind im Falle b)
die Ecken eindeutig aus der Metrik bestimmt.
Ich hoffe, diese Beziehungen einigermassen einsichtig und vollstaendig
beschrieben zu haben. Insbesondere im Riemannschen Fall haben wir die
Ecke "Geometrische Struktur", also die Geodaeten, als Ausgangspunkt
genommen, determiniert von dem Variationsproblem fuer die Energie, und
daraus Parallelverschiebung und kovariante Ableitung gewonnen.
In diesem Zusammenhang moechte ich mit zwei Fragen enden:
1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
dazu (natuerlich ohne vorher einen Zusammenhang einzufuehren), der dann
die Extremalen g als Loesungen von D_g' g# = 0 liefert, wobei D z.B.
durch (C13) gegeben ist? Vielleicht geht sowas im Rahmen eines
geeigneten Jetbuendelformalismus oder mit dem koordinatenfreien lokalen
Dieudonne-Lang-Formalismus?
2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
LC-Zusammenhang bestimmt?
So. Wer bis hierhin durchgehalten hat, vielen Dank fuers Mitlesen.
Gruss Bodo
Boudewijn Moonen
(g_ij X^i X^j)' =
(Kettenregel) sowie nach (C11)
(g_ij X^i X^j)' =
mit
[il,j] + [jl,i] =
g_ij,l
Die Behauptung ist
oder
g_XY,Z := Z<X,Y>
Gamma_XY^Z := <D_X Y,Z>
<--->
oder
D.NACHLESE
==========
PARALLELVERSCHIEBUNG ------------- KOVARIANTE ABLEITUNG
GEOMETRISCHE STRUKTUR
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node141.html
Ecken aus dieser einen erhalten kann. Darueber hinaus sind im Falle b)
die Ecken eindeutig aus der Metrik bestimmt.
Ich hoffe, diese Beziehungen einigermassen einsichtig und vollstaendig
beschrieben zu haben. Insbesondere im Riemannschen Fall haben wir die
Ecke "Geometrische Struktur", also die Geodaeten, als Ausgangspunkt
genommen, determiniert von dem Variationsproblem fuer die Energie, und
daraus Parallelverschiebung und kovariante Ableitung gewonnen.
In diesem Zusammenhang moechte ich mit zwei Fragen enden:
1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
dazu (natuerlich ohne vorher einen Zusammenhang einzufuehren), der dann
die Extremalen g als Loesungen von D_g' g# = 0 liefert, wobei D z.B.
durch (C13) gegeben ist? Vielleicht geht sowas im Rahmen eines
geeigneten Jetbuendelformalismus oder mit dem koordinatenfreien lokalen
Dieudonne-Lang-Formalismus?
2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
LC-Zusammenhang bestimmt?
So. Wer bis hierhin durchgehalten hat, vielen Dank fuers Mitlesen.
Gruss Boudewijn
Boudewijn Moonen
(g_ij X^i X^j)' =
(Kettenregel) sowie nach (C11)
(g_ij X^i X^j)' =
mit
In (C12) werden dann die Indizes einfach froehlich wieder runtergezogen:
Boudewijn Moonen
> 6.BESCHREIBUNG - *Die Cartanische Parallelverschiebung* Dieses ist auch
> die *externe* Beschreibung der intrinsischen Parallelverschiebung einer
> Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raumes mit der induzierten Metrik
> - man rolle den Tangentialraum ohne Gleiten entlang des Weges von P nach
> Q, wobei er tangential bleibt, fuehre dabei den Ausgangsvektor mit und
> verschiebe ihn innerhalb des Tangentialraumes im euklidischen Sinne so,
> dass sein Fusspunkt der Beruehrpunkt der Tangentialebene laengs des
> Weges bleibt.
Soll heissen
verschiebe ihn innerhalb des Tangentialraumes im euklidischen Sinne
*parallel* so, dass sein Fusspunkt der Beruehrpunkt der Tangentialebene
laengs des Weges bleibt.
Boudewijn Moonen
> In diesem Zusammenhang moechte ich mit zwei Fragen enden:
>
> 1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
> Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
> dazu (natuerlich ohne vorher einen Zusammenhang einzufuehren), der dann
> die Extremalen g als Loesungen von D_g' g# = 0 liefert, wobei D z.B.
> durch (C13) gegeben ist? Vielleicht geht sowas im Rahmen eines
> geeigneten Jetbuendelformalismus oder mit dem koordinatenfreien lokalen
> Dieudonne-Lang-Formalismus?
Soll natuerlich heissen D_g' g' = 0 .
Norbert Dragon
> 1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
> Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
> dazu?
Ich bekenne, wieder einmal nicht genau zu wissen, wonach gefragt ist.
Im zweiten Kapitel von
John Lighton Synge, Relativity: The General Theory,
North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1964
formuliert Synge -- der Name wird Ssing gesprochen --
Differentialgeometrie mit der Zweipunktfunktion D(P',P), dem
geodätischen Abstand von Punktepaaren P' und P. In der Funktion D
sind die Metrik, der Riemanntensor und seine kovarianten Ableitungen
enthalten.
Ist es das, wonach Du fragst?
> 2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
> sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
> Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
> LC-Zusammenhang bestimmt?
Die mit einem Zusammenhang verträgliche Metrik ist durch die Metrik
an einem Punkt genau dann eindeutig gegeben, wenn die Holonomiegruppe
in der Drehgruppe enthalten ist.
Man wähle an diesem Punkt eine Orthonormalbasis und transportiere
sie in sternförmigen Gebieten längs Strahlen parallel zu anderen
Punkten: dies definiert an anderen Punkten eine Orthonormalbasis,
und damit eine Metrik.
Der Paralleltransport längs beliebiger Kurven, die zwei Punkte
verbinden, unterscheidet sich vom Paralleltransport längs der
Strahlen um Holonomietransformationen, also um die Transformationen,
die von Paralleltransport längs geschlossener Kurven herrühren.
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node142.html
Wenn die Holonomietransformationen in der Drehgruppe enthalten sind
(beziehungsweise in der Lorentzgruppe, wenn die Metrik nicht definit
ist), so läßt sie die Metrik, die aus der Orthogonalbasis konstruiert
wird, invariant. Es hängt dann also die Metrik an jedem Punkt nicht
von der Kurve ab, längs derer sie vom Ausgangspunkt verschoben wurde.
Boudewijn Moonen
> * Boudewijn Moonen fragt
>
>
>>1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
>>Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
>>dazu?
>
>
> Ich bekenne, wieder einmal nicht genau zu wissen, wonach gefragt ist.
Und ich bekenne, wieder einmal darueber zu staunen, wie unklar ich mich
auszudruecken scheine. Allerdings ist obiges Zitat nicht vollstaendig,
stand da doch bei mir
>> 1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
>> Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
>> dazu (natuerlich ohne vorher einen Zusammenhang einzufuehren), der dann
>> die Extremalen g als Loesungen von D_g' g# = 0 liefert, wobei D z.B.
>> durch (C13) gegeben ist?
In Verband mit dem ganzen Ansatz, den ich umfangreich zu schildern
suchte, naemlich die Geodaeten einer Riemannschen Metrik als
Ausgangspunkt zu nehmen und erst aus ihnen die Begriffe "kovariante
Ableitung" und "Parallelverschiebung" herzuleiten, schien mir meine
Frage eigentlich klar: Ich hatte geschildert, wie man mit *lokalen
Methoden* das Variationsproblem fuer die Energie loest, was auf recht
haessliche Rechnungen fuehrt - fuer die Spivak sich uebrigens
entschuldigt - und nach einer moeglichen *globalen* Formulierung
desselben Variationsproblems gefagt, und zwar - und hier kann ich mich
eigentlich nur wiederholen - *ohne vorherige Einfuehrung eines
Zusammenhanges*, eines Wunsches, der sich wie ich gehofft hatte
eigentlich kanonisch aus meinen mehr als ausfuehrlichen Eroerterungen
haette ersichtlich sein sollen, eine wohl eitel zu nennende Hoffnung,
wie ich jetzt erfahre. Meine Eroerterungen waren wohl doch *zu* mehr als
ausfuehrlich.
>
> Im zweiten Kapitel von
>
> John Lighton Synge, Relativity: The General Theory,
> North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1964
>
> formuliert Synge -- der Name wird Ssing gesprochen --
> Differentialgeometrie mit der Zweipunktfunktion D(P',P), dem
> geodätischen Abstand von Punktepaaren P' und P. In der Funktion D
> sind die Metrik, der Riemanntensor und seine kovarianten Ableitungen
> enthalten.
>
> Ist es das, wonach Du fragst?
>
>
Nun, aus meinen obigen Ausfuehrungen sollte es klar sein, dass es das
*nicht* ist.
>>2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
>>sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
>>Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
>>LC-Zusammenhang bestimmt?
>
>
> Die mit einem Zusammenhang verträgliche Metrik ist durch die Metrik
> an einem Punkt genau dann eindeutig gegeben, wenn die Holonomiegruppe
> in der Drehgruppe enthalten ist.
>
> Man wähle an diesem Punkt eine Orthonormalbasis und transportiere
> sie in sternförmigen Gebieten längs Strahlen parallel zu anderen
> Punkten: dies definiert an anderen Punkten eine Orthonormalbasis,
> und damit eine Metrik.
>
> Der Paralleltransport längs beliebiger Kurven, die zwei Punkte
> verbinden, unterscheidet sich vom Paralleltransport längs der
> Strahlen um Holonomietransformationen, also um die Transformationen,
> die von Paralleltransport längs geschlossener Kurven herrühren.
>
> http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node142.html
>
> Wenn die Holonomietransformationen in der Drehgruppe enthalten sind
> (beziehungsweise in der Lorentzgruppe, wenn die Metrik nicht definit
> ist), so läßt sie die Metrik, die aus der Orthogonalbasis konstruiert
> wird, invariant. Es hängt dann also die Metrik an jedem Punkt nicht
> von der Kurve ab, längs derer sie vom Ausgangspunkt verschoben wurde.
Da haette ich auch selbst drauf kommen koennen. Danke.
Gruss Boudewijn
Roland Harnau
[...]
> In diesem Zusammenhang moechte ich mit zwei Fragen enden:
>
> 1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
> Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
> dazu (natuerlich ohne vorher einen Zusammenhang einzufuehren), der dann
> die Extremalen g als Loesungen von D_g' g# = 0 liefert, wobei D z.B.
> durch (C13) gegeben ist? Vielleicht geht sowas im Rahmen eines
> geeigneten Jetbuendelformalismus oder mit dem koordinatenfreien lokalen
> Dieudonne-Lang-Formalismus?
Mit Dieudonne-Lang läßt sich dein Variationsansatz durchaus
koordinatenfrei durchziehen, es bleibt aber ein lokaler Ansatz. Global
läßt sich zumindest der metrische Spray, und damit indirekt auch die
metrische Ableitung, aus dem Variationsproblem gewinnen : Für eine
pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit (X,g) läßt sich mit Hilfe der
Metrik g die kanonische 2-Form auf dem Kotangentialbündel T*X auf TX
zurückziehen, so dass TX damit zu einer symplektischen
Mannigfaltikkeit wird. Der metrische Spray S:TX-->TTX ist dann das zu
1-Form -dK auf TX gehörende Vektorfeld, wobei K die "kinetische
Energie" K: TX --> R, v -> <v,v>_x ist. Die Aussage, dass ein Weg
w:I--> TX genau dann eine Extremale des Energiefunktionals ist, wenn
w' eine Integralkurve von S ist, ist dann nur ein Spezialfall des
allgemeinen Hamiltonschen Variationsprinzips.
> 2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
> sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
> Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
> LC-Zusammenhang bestimmt?
Es ist zwar nicht sonderlich tiefsinnig, aber die zu den Metriken g
und c g (mit einer pos. reellen Zahl c) gehörenden kovarianten
Ableitungen sind offenbar gleich.
roland
Roland Harnau
[...]
> In diesem Zusammenhang moechte ich mit zwei Fragen enden:
>
> 1) Leider erforderte der Variationszugang Uebergang zu lokale
> Koordinaten. Gibt es einen globalen, koordinatenunabhaengigen Zugang
> dazu (natuerlich ohne vorher einen Zusammenhang einzufuehren), der dann
> die Extremalen g als Loesungen von D_g' g# = 0 liefert, wobei D z.B.
> durch (C13) gegeben ist? Vielleicht geht sowas im Rahmen eines
> geeigneten Jetbuendelformalismus oder mit dem koordinatenfreien lokalen
> Dieudonne-Lang-Formalismus?
Mit Dieudonne-Lang läßt sich dein Variationsansatz durchaus
koordinatenfrei durchziehen, es bleibt aber ein lokaler Ansatz. Global
läßt sich zumindest der metrische Spray, und damit indirekt auch die
metrische Ableitung, aus dem Variationsproblem gewinnen : Für eine
pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit (X,g) läßt sich mit Hilfe der
Metrik g die kanonische 2-Form auf dem Kotangentialbündel T*X auf TX
zurückziehen, so dass TX damit zu einer symplektischen
Mannigfaltigkeit wird. Der metrische Spray S:TX-->TTX ist dann das zu
1-Form -dK auf TX gehörende Vektorfeld, wobei K die "kinetische
Energie" K: TX --> R, v -> <v,v>_x ist. Die Aussage, dass ein Weg
w:I--> X genau dann eine Extremale des Energiefunktionals ist, wenn
w' eine Integralkurve von S ist, ist dann nur ein Spezialfall des
allgemeinen Hamiltonschen Variationsprinzips.
> 2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
> sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
> Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
> LC-Zusammenhang bestimmt?
Es ist zwar nicht sonderlich tiefsinnig, aber die zu den Metriken g
Norbert Dragon
>* Boudewijn Moonen
>> Eine Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
>> sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
>> Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
>> LC-Zusammenhang bestimmt?
> Es ist zwar nicht sonderlich tiefsinnig, aber die zu den Metriken g
> und c g (mit einer pos. reellen Zahl c) gehörenden kovarianten
> Ableitungen sind offenbar gleich.
Wie schon geschrieben: ein Zusammenhang, dessen Holonomiegruppe in der
Drehgruppe enthalten ist, legt die verträgliche Metrik überall fest,
wenn man sie in einem Punkt vorgibt.
Die Menge der Metriken an einem Punkt besteht nicht nur aus den
Vielfachen einer Metrik, einem Vektorraum R^1, sondern ist die Menge
der symmetrischen, positiven, quadratischen Formen g. Da man g
eindeutig als g = e^s schreiben kann, wobei s symmetrisch ist, bilden
die Menge aller Metriken an einem Punkt die Mannigfaltigkeit
R^(n(n-1)/2) .
Boudewijn Moonen
Norbert Dragon wrote:
> * Boudewijn Moonen fragt
>
>
>>2) EIne Riemannsche Metrik bestimmt eindeutig ihren LC-Zusammenhang. Wie
>>sieht man es einem Zusammenhang an, ob er LC-Zusammenhang einer
>>Riemannschen Metrik ist. Wie eindeutig ist die Metrik durch ihren
>>LC-Zusammenhang bestimmt?
>
>
> Die mit einem Zusammenhang verträgliche Metrik ist durch die Metrik
> an einem Punkt genau dann eindeutig gegeben, wenn die Holonomiegruppe
> in der Drehgruppe enthalten ist.
>
> Man wähle an diesem Punkt eine Orthonormalbasis und transportiere
> sie in sternförmigen Gebieten längs Strahlen parallel zu anderen
> Punkten: dies definiert an anderen Punkten eine Orthonormalbasis,
> und damit eine Metrik.
Na ja, wenn ich zunaechst nur einen Zusammenhang vorgebe und einen Punkt
betrachte, an dem ich die Holonomie nehme, so habe ich im Tangentialraum
ja zunaechst keine Metrik und kann daher nicht von der Drehgruppe oder
Orthonormalbasis reden, die will ich ja erst rekonstruieren unter der
Voraussetzung, dass der gegebene Zusammenhang von einer Metrik kommt.
Vermutlich ist dafuer notwendig und hinreichend, dass die
Holonomiegruppe kompakt ist. Denn kommt der Zusammenhang von einer
Metrik, so ist das sicher notwendig, und ist das der Fall, so nehme ich
im betrachteten Tangentialraum *irgendein* Skalarprodukt und mittle das
ueber die Holonomie; das resultierende Skalarprodukt ist dann invariant
unter der Holonomie und kann parallel ueberall eindeutig hinverschoben
werden.
Bleiben die Fragen:
1) Wie sehe ich einem (symmetrischen) Zusammenhang die Holonmiegruppe
oder zumindest deren Liealgebra an? Oder zumindest, ob sie kompakt ist?
2) Was kommt an Holonomie bei einem symmetrischen Zusammenhang vor?
3) Kann es insbesondere vorkommen, dass die Holonomie nicht maximal
kompakt ist, und wie eindeutig ist in diesem Fall die Metrik? Wie
eindeutig, wenn sie maximal kompakt ist? (Roland hat ja schon
daraufhingewiesen, dass sie nur bis auf einem skalaren Faktor bestimmt
sein kann.)
4) Falls der Zusammenhang von einer Metrik herkommt, wie kann ich die
g_ij aus den Gamma_ij^k bestimmen?
Ich frage deshalb, weil der Zusammenhang dieselbe Information enthaelt
wie die Geodaeten, und ich persoenlich halte es fuer eine interessante
Frage, ob es moeglich ist, dass eine Riemannsche metrik mehr Information
enthaelt als ihre Geodaeten, und wenn ja, welche das sein mag.
Gruss Boudewijn
Norbert Dragon
mit der Zustimmung...
>* Norbert Dragon schreibt
> Na ja, wenn ich zunaechst nur einen Zusammenhang vorgebe und einen Punkt
> betrachte, an dem ich die Holonomie nehme, so habe ich im Tangentialraum
> ja zunaechst keine Metrik und kann daher nicht von der Drehgruppe oder
> Orthonormalbasis reden, die will ich ja erst rekonstruieren unter der
> Voraussetzung, dass der gegebene Zusammenhang von einer Metrik kommt.
> Vermutlich ist dafuer notwendig und hinreichend, dass die
> Holonomiegruppe kompakt ist.
> Denn kommt der Zusammenhang von einer
> Metrik, so ist das sicher notwendig, und ist das der Fall, so nehme ich
> im betrachteten Tangentialraum *irgendein* Skalarprodukt und mittle das
> ueber die Holonomie; das resultierende Skalarprodukt ist dann invariant
> unter der Holonomie und kann parallel ueberall eindeutig hinverschoben
> werden.
> Bleiben die Fragen:
> 1) Wie sehe ich einem (symmetrischen) Zusammenhang die Holonomiegruppe
> oder zumindest deren Liealgebra an? Oder zumindest, ob sie kompakt ist?
In sternförmigen Gebieten kann man den Zusammenhang längs Strahlen vom
Ursprung "kämmen", indem man eine am Ursprung gewählte Basis längs
der Strahlen parallel transportiert und als Basis überall verwendet.
Drückt man den Zusammenhang in dieser Basis aus, so ist der Zusammenhang
Lie-algebra-wertig. Die lineare Hülle aller Matrizen Gamma(u),
die beim Paralleltransport der Basisvektoren e_a vom Punkt x zum
benachbarten Punkt x+u auftreten, ist die Lie-Algebra der
Holonomiegruppe, (die zu Kurven innerhalb der sternförmigen Umgebung
gehören. Das Anflicken anderer Umgebungen vergrößert möglicherweise
die Lie-Algebra).
Von einer Lie-Algebra wissen Mathematiker besser zu entscheiden, ob sie
zu einer kompakten Gruppe gehört, als Physiker. Notfalls exponentiert man.
Die Frage, wieviel Metriken es bei gegebener Holonomie-Gruppe gibt, habe
ich in einem früheren Beitrag falsch beantwortet.
Als Matrix gelesen muß die Metrik g und Holonomietransformationen h
die Gleichung
h g h^T = g
erfüllen, wobei h in einer geeigneten Basis (in der eine der
verträglichen Metriken den Wert g = 1 hat) orthogonal ist,
h^T = h^-1,
Also gilt
h g = g h
für alle h aus der Holonomie-Gruppe H. Ist sie irreduzibel, und
handelte es sich um komplexe Vektorräume, so besagte das Schursche
Lemma, daß g dann ein Vielfaches der Eins, also ein Vielfaches der
Standardmetrik ist, bezüglich der h orthogonal ist.
Gibt es ein ähnliches Argument wie das Schursche Lemma für reelle,
symmetrische Matrizen g, die mit orthogonalen Matrizen h vertauschen?
Man sieht leicht, daß nicht nur die Vielfachen von g=1 die Gleichung
h g = g h
erfüllen, falls H zwei echte, invariante Unterräume hat.
B.Mo...@ipb.uni-bonn.de
B.Mo...@ipb.uni-bonn.de
Boudewijn Moonen
> In sternförmigen Gebieten kann man den Zusammenhang längs Strahlen vom
> Ursprung "kämmen", indem man eine am Ursprung gewählte Basis längs
> der Strahlen parallel transportiert und als Basis überall verwendet.
>
> Drückt man den Zusammenhang in dieser Basis aus, so ist der Zusammenhang
> Lie-algebra-wertig. Die lineare Hülle aller Matrizen Gamma(u),
> die beim Paralleltransport der Basisvektoren e_a vom Punkt x zum
> benachbarten Punkt x+u auftreten, ist die Lie-Algebra der
> Holonomiegruppe, (die zu Kurven innerhalb der sternförmigen Umgebung
> gehören. Das Anflicken anderer Umgebungen vergrößert möglicherweise
> die Lie-Algebra).
Also, ich habe mich eine Weile mit dem dunklen Tuempel meines
Gedaechtnisses befasst, aus dem die Ahnung aufgestiegen war, nach der
Liealgebra der Holonomie zu fragen, bis mir Ambrose-Singer in den Sinn
kam, und die sind tatsaechlich zustaendig: Es gibt ein beruehmtes
Ambrose-Singer-Theorem, das besagt, dass die Liealgebra der Holonomie
erzeugt wird von den Kruemmungsoperatoren R(X,Y) = D_X DY - D_Y D_X -
D_[X,Y], aufgefasst als Endomorphismen des Tangentialraums am Basispunkt
der Holonomie. Ob das so direkt mit Deiner Beschreibung uebereinstimmt,
kann ich nicht so auf der Stelle sehen, und auch ueber die praktische
Bedeutung bin ich mir nicht so im klaren, aber ist doch ein nettes
konsistentes Resultat: Die infinitesimale Holonomie wird erzeugt von
den infinitesimalen geschlossenen Parallelverschiebungen...
> Von einer Lie-Algebra wissen Mathematiker besser zu entscheiden, ob sie
> zu einer kompakten Gruppe gehört, als Physiker. Notfalls exponentiert man.
>
> Die Frage, wieviel Metriken es bei gegebener Holonomie-Gruppe gibt, habe
> ich in einem früheren Beitrag falsch beantwortet.
>
> Als Matrix gelesen muß die Metrik g und Holonomietransformationen h
> die Gleichung
>
> h g h^T = g
>
> erfüllen, wobei h in einer geeigneten Basis (in der eine der
> verträglichen Metriken den Wert g = 1 hat) orthogonal ist,
>
> h^T = h^-1,
>
> Also gilt
>
> h g = g h
>
> für alle h aus der Holonomie-Gruppe H. Ist sie irreduzibel, und
> handelte es sich um komplexe Vektorräume, so besagte das Schursche
> Lemma, daß g dann ein Vielfaches der Eins, also ein Vielfaches der
> Standardmetrik ist, bezüglich der h orthogonal ist.
>
> Gibt es ein ähnliches Argument wie das Schursche Lemma für reelle,
> symmetrische Matrizen g, die mit orthogonalen Matrizen h vertauschen?
>
> Man sieht leicht, daß nicht nur die Vielfachen von g=1 die Gleichung
>
> h g = g h
>
> erfüllen, falls H zwei echte, invariante Unterräume hat.
Ich habe mittlerweile Folgendes herausgefunden. Die Frage, inwieweit
die Holonomie die Metrik bestimmt, fuehrt alsbald zu der Frage, welche
Holonomien ueberhaupt auftreten koennen und insbesondere, welche
irreduzibel im Tangentialraum operieren, wie Du es ja auch ansprichst.
Diese sind in grossem Stil fuer torsionsfreie Zusammenhaenge von Berger
in den 50er Jahren untersucht worden. Er unterschied zwischen
metrischen Holonomien, die also als LC-Zusammenhaengen von Riemannschen
Metriken auftreten, und nichtmetrischen, klassifizierte die metrischen
und gab Kandidaten fuer die nichtmetrischen an, von denen lange Zeit
geglaubt wurde, dass sie alle moeglichen bis auf endlich viele Faelle
repraesentierten. Endgueltig geklaert scheint der nichtmetrische Fall
erst in den letzten Jahren von Bryant et al. worden zu sein. Siehe dazu
http://de.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9910/9910059.pdf
Zurueck zu dem metrischen Fall. Hier scheint es tatsaechlich so zu
sein, dass ein torsionsfreier Zusammenhang D genau dann hier angesiedelt
ist, also von einer Riemannschen Metrik kommt, wenn seine Holonomie Hol
= Hol(M,p) kompakt ist, M die betrachtete Mannigfaltigkeit,
zusammenhaengend, und p der Basispunkt der Holonomie. Da kommt dann
Einiges vor, nicht nur SO(n), sondern zum Beispiel der Fall, dass sich
die Holonomie auf SU(N) reduziert, und das soll dann angeblich etwas mit
Physik zu tun haben...
Die Notwendigkeit ist klar. Zur Hinreichigkeit nehme dann irgendeine
Metrik ( , ) auf T_p M, mittle sie ueber Hol zu einer Hol-invarianten
Metrik < , > auf T_p M, und verschiebe sie ueberall parallel hin; das
liefert eine Metrik, deren LC-Zusammenhang der gegebene ist. Die Frage
war jetzt, wie eindeutig ist die.
Sei zunaechst die Darstellung von Hol im Tangentialraum T_p M
irreduzibel. Sei eine weitere Metrik mit LC-Zusammenhang D gegeben. Die
zugehoerige Metrik in T_p M kann ich dann einfach als <AX,Y> schreiben,
X, Y in T_p M, und A ein symmetrischer positiver Endomorphismus von
T_p M. Dann gilt also fuer jedes H in Hol und jedes X, Y:
<AHX,HY> = <AX,Y>
weil die Metrik <AX,Y> invariant unter Hol ist, andrerseits nach der
Definition der adjungierten Abbildung
<AHX,HY> = <H^tAHX,Y>
daher fuer alle X, Y : <H^tAHX,Y> = <AX,Y>, und damit
AH = HA
also vertauscht A mit der Holonomiedarstellung. Damit ist jeder
Eigenraum von A invariant unter Hol, und da A als symmetrischer
Endomorphismus lauter reelle Eigenraeume hat und die
Holonomiedarstellung nach Voraussetzung irreduzibel sein soll, muss A
ein skalares Vielfaches der Identitaet sein (das uebliche
Schur-Argument). Die Metrik ist dann also bis auf einen skalaren Faktor
durch seinen LC-Zusammenhang bestimmt. Eine solche Riemannsche
Mannigfaltigkeit heisst dann auch *irreduzibel*.
Im allgemeinen zerlege man die Holonomiedarstellung von Hol im
Tangentialraum T_p M in irreduzible Komponenten. Da wir in Bezug auf die
Eindeutigkeit der Metrik nur an lokalen Aussagen interessiert sind, sei
oBdA die betrachtete Mannigfaltigkeit M 1-fach zshgd. Ich kann jetzt die
Zerlegung von T_p M in irreduzible Komponenten mit der zum gegebenen
Zusammenhang gehoerenden Parallelverschiebung ueberall hinverschieben
und erhalte so eine Zerlegung des Tangentialbuendels als orthogonale
direkte Summe von Unterbuendeln und so eine Distribution im Sinne von
Frobenius. Es zeigt sich, dass diese Distribution integrabel ist, und so
erhalte ich, etwas lose formuliert, folgendes beruehmtes
THEOREM (de Rham) Jede 1-zshgde Riemannsche Mannigfaltigkeit ist
isometrisch zu einem direkten Produkt von irreduziblen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten.
Auf den einzelnen Faktoren sind die Holonomiedarstellungen irreduzibel
und die entsprechenden Metriken daher eindeutig bis auf positive
Faktoren. Lokal zerfaellt also *jede* Riemannsche Metrik so. Die einzige
ueber die in den Geodaeten enthaltene Information hinausgehende
Information, die in der Metrik enthalten ist, sind also die Skalierungen
der irreduzblen Komponenten gegeneinander und eine uebergreifende
Gesamtskalierung.
Gruss Boudewijn
Roland Harnau
> sein, dass ein torsionsfreier Zusammenhang D genau dann hier
> angesiedelt ist, also von einer Riemannschen Metrik kommt, wenn seine
> Holonomie Hol = Hol(M,p) kompakt ist, M die betrachtete
> Mannigfaltigkeit, zusammenhaengend, und p der Basispunkt der
> Holonomie.
B. Wilking - On compact Riemannian manifolds with noncompact holonomy
groups, 1999 preprint.
URL: http://wwwmath.uni-muenster.de/math/inst/sfb/about/publ/wilking.ps
Roland Harnau
[...]
> Die Frage, wieviel Metriken es bei gegebener Holonomie-Gruppe gibt, habe
> ich in einem früheren Beitrag falsch beantwortet.
>
> Als Matrix gelesen muß die Metrik g und Holonomietransformationen h
> die Gleichung
>
> h g h^T = g
>
> erfüllen, wobei h in einer geeigneten Basis (in der eine der
> verträglichen Metriken den Wert g = 1 hat) orthogonal ist,
>
> h^T = h^-1,
>
> Also gilt
>
> h g = g h
>
> für alle h aus der Holonomie-Gruppe H. Ist sie irreduzibel, und
> handelte es sich um komplexe Vektorräume, so besagte das Schursche
> Lemma, daß g dann ein Vielfaches der Eins, also ein Vielfaches der
> Standardmetrik ist, bezüglich der h orthogonal ist.
>
> Gibt es ein ähnliches Argument wie das Schursche Lemma für reelle,
> symmetrische Matrizen g, die mit orthogonalen Matrizen h vertauschen?
Allgemeinen sagt das Schursche Lemma aus, dass für irreduzible
Darstellungen G --> GL(V) und G --> GL(W) (V, W k-Vektorräume, k
Körper) von G eine G-lineare Abb. f: V --> W entweder 0 oder ein
Isomorphismus ist. Die Eigenschaft von k, alg. abgeschlossen zu sein,
dient bei der von dir angesprochenen Folgerung lediglich dazu, einen
Eigenwert l von f zu erhalten und die Aussage auf f- l Id anzuwenden,
so dass f = l Id folgt. Für selbstadjungiertes f ist die Existenz
eines Eigenwerts nun auch über R garantiert, so dass dein Argument
gültig bleibt, jedenfalls soweit die Darstellung tatsächlich
irreduzibel ist.
roland
Roland Harnau
> ich in einem früheren Beitrag falsch beantwortet.
>
> Als Matrix gelesen muß die Metrik g und Holonomietransformationen h
> die Gleichung
>
> h g h^T = g
>
> erfüllen, wobei h in einer geeigneten Basis (in der eine der
> verträglichen Metriken den Wert g = 1 hat) orthogonal ist,
>
> h^T = h^-1,
>
> Also gilt
>
> h g = g h
>
> für alle h aus der Holonomie-Gruppe H. Ist sie irreduzibel, und
> handelte es sich um komplexe Vektorräume, so besagte das Schursche
> Lemma, daß g dann ein Vielfaches der Eins, also ein Vielfaches der
> Standardmetrik ist, bezüglich der h orthogonal ist.
>
> Gibt es ein ähnliches Argument wie das Schursche Lemma für reelle,
> symmetrische Matrizen g, die mit orthogonalen Matrizen h vertauschen?
Allgemein sagt das Schursche Lemma aus, dass für irreduzible
Boudewijn Moonen
Ups, richtig, eine Untergruppe im Lie-Sinn einer kompakten Liegruppe ist
nicht unbedingt abgeschlossen und so nicht unbedingt kompakt, da
passieren subtile Dinge...
Ich brauchte allerdings nur eine Metrik, die unter der Holonomie
invariant ist. Da muss ich halt mit zusammengebissenen Zaehnen ueber den
Abschluss der Holonomie in der orthogonalen Gruppe mitteln. Denn davon
ist sie ja wohl eine Untergruppe... Also sollte ich oben besser schreiben
Zurueck zu dem metrischen Fall. Hier scheint es tatsaechlich so zu
sein, dass ein torsionsfreier Zusammenhang D genau dann hier
angesiedelt ist, also von einer Riemannschen Metrik kommt, wenn
seine Holonomie Hol = Hol(M,p) in einer orthogonalen Gruppe O(Q)
fuer Q eine positiv definite quadratische Form enthalten ist
Gruss Boudewijn