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Wundersame Zahlen

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Daniel Moelle

unread,

Aug 7, 2000, 3:00:00 AM8/7/00

Hallo zusammen!

Neulich bin ich im Web auf eine Seite (Autor war ein Herr Arno Schwarz)
gestoßen, die sich mit den "Grenzen der Mathematik" beschäftigte. Dort
fand ich dann die Definition für wundersame Zahlen. Zusammenfassung
folgt.

Die Collatz-Funktion g: N -> N sieht folgendermaßen aus:

g(n) = n/2, falls n gerade und g(n) = 3n+1, falls n ungerade

Eine natürliche Zahl n heißt wundersam, wenn es eine natürliche Zahl k
gibt, so daß g^k(n) = 1 ist. Soll heißen, nach k-facher Hintereinander-
ausführung der durch die Collatz-Funktion beschriebenen Abbildung landet
man wieder bei der 1. Beispiel: 1 -> 4 -> 2 -> 1.

Weiterhin wurde erwähnt, daß die Annahme besteht, daß alle natürlichen
Zahlen wundersam sind.

---
Gibt es da mittlerweile einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Oder einen
Beweis dafür, daß die Annahme nicht beweisbar ist?
---

Daraufhin habe ich mir ein paar Gedanken über dieses Thema gemacht und
bin zu einigen Ergebnissen gekommen, die ich im folgenden vorstelle.

Ist n ungerade, so ist 3n+1 auf jeden Fall gerade. Zwangsweise folgt als
nächster Schritt die Halbierung.

Seien n, k, m aus N. Sei n die auf Wundersamkeit zu prüfende Zahl. Seien
die Zahlen von 1 bis (n-1) bereits als wundersam bekannt.

Ist n gerade, so wird es durch die Collatz-Funktion auf n/2 abgebildet,
dies ist aber n. V. bereits als wundersam bekannt, also ist auch n
wundersam.

Ist n ungerade in der Form n = 4m-3, m eine natürliche Zahl, so wird es
durch die Collatz-Funktion zunächst zu 3(4m-3)+1 = 12m-8. Dies ist wieder
gerade und wird im nächsten Schritt also zu 6m-4. Dies ist wieder gerade
und wird im nächsten Schritt zu 3m-2. 3m-2 ist aber < 4m-3 = n, solange
m > 1 ist. Im Falle m=1 gilt ohnehin 3m-2=1. Die Zahl n ist also n. V.
auf jeden Fall wundersam.

Für ungerade n der Form n = 4m-1 hingegen wird es schwierig. Nach dem
ersten Schritt haben wir 3(4m-1)+1 = 12m-2. Dies ist jedenfalls gerade
und wird zu 6m-1. Fallunterscheidung:

- Ist m ungerade, so ist 6m-1 wieder gerade und wird zu (6m-1)/2 = 3m-1/2,
was kleiner als n = 4m-1 ist für alle natürlichen m. Dann wäre die Zahl
n also wieder wundersam.
- Ist aber m gerade, so wird aus 6m-1 nun 3(6m-1)+1 = 18m-2. Dies ist
jedenfalls gerade und wird zu 9m-1. Da m gerade ist, ist 9m-1 ungerade
und wird zu 3(9m-1)+1 = 27m-2. Dies ist gerade, und der nächste Schritt
führt zu 13,5*m-1, was nun gerade oder ungerade sein kann.

Zu prüfen sind also nur die Zahlen n, die sich als 4m-1 darstellen lassen.

Ich habe nach diesen Überlegungen ein C-Programm geschrieben, das nur die
Zahlen 3, 7, 11, ... überprüft. Da die Rechnungen alle vergleichsweise
einfach sind, ist das Programm nach wenigen Stunden irgendwo bei einer
Zahl um 9.000.000.000 angelangt. Trotzdem würde mich ein Beweis weitaus
mehr interessieren. Meiner Meinung nach liegt die Schwierigkeit darin,
daß die Vorschrift n -> 3n+1 für ungerade n die Primfaktorzerlegung von
n massiv verändert.

Vielen Dank für Euer Interesse, soweit vorhanden. :)
--
Daniel.

Michael Fuchs

unread,

Aug 7, 2000, 3:00:00 AM8/7/00

>Gibt es da mittlerweile einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Oder einen
>Beweis dafür, daß die Annahme nicht beweisbar ist?

Ist ein sehr beruehmtes Problem. Und sicher noch nichts davon gezeigt.
Zumindestens noch nichts veroeffentlicht

MfG
Michael

Steffen Wolf

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

hi Daniel,

du hast folgendes Problem analysiert:

[n:=m
repeat
if n odd then n:=3*n+1
else n:=n/2;
until n=1;
]

>Gibt es da mittlerweile einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Oder
einen
>Beweis dafür, daß die Annahme nicht beweisbar ist?

Ich denke nicht.

>Daraufhin habe ich mir ein paar Gedanken über dieses Thema gemacht
und
>bin zu einigen Ergebnissen gekommen, die ich im folgenden vorstelle.

[Beweis für einige Fälle]

>Für ungerade n der Form n = 4m-1 hingegen wird es schwierig. Nach dem
>ersten Schritt haben wir 3(4m-1)+1 = 12m-2. Dies ist jedenfalls
gerade
>und wird zu 6m-1. Fallunterscheidung:
>
>- Ist m ungerade, so ist 6m-1 wieder gerade und wird zu (6m-1)/2 =
3m-1/2,
> was kleiner als n = 4m-1 ist für alle natürlichen m. Dann wäre die
Zahl
> n also wieder wundersam.
>- Ist aber m gerade, so wird aus 6m-1 nun 3(6m-1)+1 = 18m-2. Dies ist
> jedenfalls gerade und wird zu 9m-1. Da m gerade ist, ist 9m-1
ungerade
> und wird zu 3(9m-1)+1 = 27m-2. Dies ist gerade, und der nächste
Schritt
> führt zu 13,5*m-1, was nun gerade oder ungerade sein kann.

Dies ist jetzt noch nicht ganz durchdacht, aber lies trotzdem mal:
Du hast zuerst n dargestellt als 2m,
dann als 4m-3 (=4m+1)
nun müßte also folgen: 8m+1
dann 16m+1
etc...

Heißt also:
Deine Zahl 13,5*m-1 wird etwa zu 50% gerade sein und halbiert werden,
zu 50% aber weiter vergrößert werden.

Deshalb muß eine doppelt so starke Bedingung an n gestellt werden,
dann wieder, und nochmal verdoppelt ...

>Ich habe nach diesen Überlegungen ein C-Programm geschrieben

Scheinbar ist der Computer bei den Mathematik-Puristen nicht beliebt
;-)
(Jedenfalls als Beweismittel unbrauchbar)

Ich würde dennoch diesen Weg gehen.
(Ja ich bin Informatiker)
Es gibt eine Möglichkeit, die Korrektheit und Termination von
Programmen zu beweisen.

Für diese einfachen Überlegungen braucht man noch nicht mal einen
Computer,
man nehme sich eine fehlerlose Turingmaschine (unendlich Speicher,
aber hier: endliche Zeit)
tippe das Programm ein, und beweise, daß es terminiert.

Dabei werden Programmfehler, Rechenfehler, BlueScreens und andere GAUs
ausgeschlossen und der Beweis müßte allgemein anerkannt werden.

(Ich will ja nicht verhehlen, daß wir damit immer noch keinen Schritt
von deinen Ideen weitergekommen sind)

cu,
stw
---
Don't drink as root!

Rainer Jahn

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Daniel Moelle <ev...@evocator.prima.de> wrote:
>- Ist m ungerade, so ist 6m-1 wieder gerade und wird zu
>(6m-1)/2 = 3m-1/2,

Hallo Daniel,
dieser Schluß ist falsch, denn 6m-1 ist immer ungerade, weil 6m gerade ist. Damit
bleibt nur der schwierige Teil Deiner Fallunterscheidung übrig.

Gruß Rainer
--
_____________________________________________________________
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Andreas Homrighausen

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

>
> Für diese einfachen Überlegungen braucht man noch nicht mal einen
> Computer,
> man nehme sich eine fehlerlose Turingmaschine (unendlich Speicher,
> aber hier: endliche Zeit)
> tippe das Programm ein, und beweise, daß es terminiert.

Um die Aussage "Alle natuerlichen Zahlen sind wundersam" zu
falsifizieren, muss die Terminierung folgender Schleife S gezeigt
werden:

n:= 2;
while istWundersam(n) do
n := n + 1

wobei istWundersam eine boolsche Funktion ist, die true liefert,
falls n wundersam ist, sonst false.

Und da beginnen die Probleme ;-)
Angenommen istWundersam waere so implementiert, wie im letzten
Beitrag, dann haette man folgendes Paradoxon:

S terminiert genau dann wenn istWundersam(n) nicht terminiert.

Angenommen man koennte beweisen, dass S nicht terminiert. Dies
nuetzte gar nichts, denn entweder man hat eine nichtwundersame
Zahl gefunden oder die Schleife ueberprueft die naechste natuerliche
Zahl.

Da es keinen Algorithmus istEndlosschleife(Startwerte,Schleife)
gibt, der entscheidet, ob eine Schleife S fuer Startwerte ai
terminiert, kann man m.E. obige Aussage ueber partielle bzw.
totale Korrektheit von Algorithmen nicht beweisen.

Viele Gruesse,
Andreas

Burkart Venzke

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Daniel Moelle <ev...@evocator.prima.de> wrote:
>Hallo zusammen!
>
>Neulich bin ich im Web auf eine Seite (Autor war ein Herr Arno Schwarz)
>gestoßen, die sich mit den "Grenzen der Mathematik" beschäftigte. Dort
>fand ich dann die Definition für wundersame Zahlen. Zusammenfassung
>folgt.
>
>Die Collatz-Funktion g: N -> N sieht folgendermaßen aus:
>

>g(n) =3D n/2, falls n gerade und g(n) =3D 3n+1, falls n ungerade
>
>Eine natürliche Zahl n heißt wundersam, wenn es eine natürliche Zahl=
> k
>gibt, so daß g^k(n) =3D 1 ist. Soll heißen, nach k-facher Hintereinand=

>er-
>ausführung der durch die Collatz-Funktion beschriebenen Abbildung landet
>man wieder bei der 1. Beispiel: 1 -> 4 -> 2 -> 1.
>

>Weiterhin wurde erwähnt, daß die Annahme besteht, daß alle natürli=
>chen
>Zahlen wundersam sind.
>
>---

>Gibt es da mittlerweile einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Oder einen
>Beweis dafür, daß die Annahme nicht beweisbar ist?

>---

>
>Daraufhin habe ich mir ein paar Gedanken über dieses Thema gemacht und
>bin zu einigen Ergebnissen gekommen, die ich im folgenden vorstelle.
>

>Ist n ungerade, so ist 3n+1 auf jeden Fall gerade. Zwangsweise folgt als
>nächster Schritt die Halbierung.
>
>Seien n, k, m aus N. Sei n die auf Wundersamkeit zu prüfende Zahl. Seien
>die Zahlen von 1 bis (n-1) bereits als wundersam bekannt.
>
>Ist n gerade, so wird es durch die Collatz-Funktion auf n/2 abgebildet,
>dies ist aber n. V. bereits als wundersam bekannt, also ist auch n
>wundersam.
>

>Ist n ungerade in der Form n =3D 4m-3, m eine natürliche Zahl, so wird e=
>s
>durch die Collatz-Funktion zunächst zu 3(4m-3)+1 =3D 12m-8. Dies ist wie=

>der
>gerade und wird im nächsten Schritt also zu 6m-4. Dies ist wieder gerade

>und wird im nächsten Schritt zu 3m-2. 3m-2 ist aber < 4m-3 =3D n, solang=
>e
>m > 1 ist. Im Falle m=3D1 gilt ohnehin 3m-2=3D1. Die Zahl n ist also n. V.
>auf jeden Fall wundersam.
>
>Für ungerade n der Form n =3D 4m-1 hingegen wird es schwierig. Nach dem
>ersten Schritt haben wir 3(4m-1)+1 =3D 12m-2. Dies ist jedenfalls gerade

>und wird zu 6m-1. Fallunterscheidung:
>

>- Ist m ungerade, so ist 6m-1 wieder gerade und wird zu (6m-1)/2 =3D 3m-1/=
>2,
> was kleiner als n =3D 4m-1 ist für alle natürlichen m. Dann wäre d=
>ie Zahl
> n also wieder wundersam.
>- Ist aber m gerade, so wird aus 6m-1 nun 3(6m-1)+1 =3D 18m-2. Dies ist

> jedenfalls gerade und wird zu 9m-1. Da m gerade ist, ist 9m-1 ungerade

> und wird zu 3(9m-1)+1 =3D 27m-2. Dies ist gerade, und der nächste Schr=

>itt
> führt zu 13,5*m-1, was nun gerade oder ungerade sein kann.
>

>Zu prüfen sind also nur die Zahlen n, die sich als 4m-1 darstellen lasse=
>n.
>
>Ich habe nach diesen Überlegungen ein C-Programm geschrieben, das nur di=

>e
>Zahlen 3, 7, 11, ... überprüft. Da die Rechnungen alle vergleichsweise
>einfach sind, ist das Programm nach wenigen Stunden irgendwo bei einer
>Zahl um 9.000.000.000 angelangt. Trotzdem würde mich ein Beweis weitaus
>mehr interessieren. Meiner Meinung nach liegt die Schwierigkeit darin,

>daß die Vorschrift n -> 3n+1 für ungerade n die Primfaktorzerlegung vo=

>n
>n massiv verändert.
>
>Vielen Dank für Euer Interesse, soweit vorhanden. :)
>--
> Daniel.

Hallo auch,

ich beschäftige mich seit Jahren immer mal wieder mit dem Problem, weil ich es
(auch) sehr faszinierend finde (bin auch primär Informatiker).

Ich untersuche das Problem in der Hinsicht, daß es reichen würde, wenn jede
Ausgangszahl n eine Zahl m mit m<n erreichen würde.

Dazu sehe ich mir gerne die 4 Zahlenklassen
12*n+1, 12*n+5, 12*n+7 und 12*n+11 an und wie diese ineinander übergehen (und
dabei wachsen (+7, +11) oder fallen (+1, +5)). Wenn jemand das genauer
interessiert, buddel ich meine Ergebnisse gerne mal aus.

Viele Grüße,

Burkart

Steffen Wolf

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Andreas Homrighausen wies die Undurchführbarkeit des reinen
Informatik-Beweises nach:

> Um die Aussage "Alle natuerlichen Zahlen sind wundersam" zu
> falsifizieren, muss die Terminierung folgender Schleife S gezeigt
> werden:
>
> n:= 2;
> while istWundersam(n) do
> n := n + 1
>
> wobei istWundersam eine boolsche Funktion ist, die true liefert,
> falls n wundersam ist, sonst false.
>

> S terminiert genau dann wenn istWundersam(n) nicht terminiert.

Gut gekontert ;-)

Man kann sogar nachweisen, daß es keinen Algorithmus gibt, der auf einem
Computer ausgeführt wird, und überprüft, ob ein Programm terminiert:

Sei terminiert() dieser Algorithmus:

if terminiert(self)
then repeat until false;
else write('Hello World');

Wenn das Programm also terminiert, so wird die Endlosschleife
durchlaufen, dann terminiert das Programm also nicht. Widerspruch.
Wenn das Programm nicht terminiert, so wird "Hello World" ausgegeben
und das Programm terminiert.
Wieder Widerspruch.
Also kann die Methode terminiert() nicht auf diesem Computer ausgeführt
werden...

Aber mal was anderes:

Betrachten wir den Algorithmus nochmal:
repeat
if n odd then n:=3n+1

else n:=n/2;
until n=1;

Nachdem wir bei der 1 angekommen sind, haben wir häufig halbiert.

Hätten wir das unterlassen,
so wäre das Endergebnis 2^x

binär: 1000000 (x Nullen)

Also ist nur noch zu zeigen,
daß a_n= 3a_(n-1) +1
irgendwann zu einer Zweierpotenz wird.

Nun möchte ich nur noch zeigen, wohin meine Gedanken gehen:

3*n +1 kann binär so dargestellt werden:

n= 010110101010
2n= 0101101010100
1= 0000000000001
-----------------
ja, ist mir zu schwer

Sei nun a=2^x,
so muß der Schritt vorher sein: a= 3*n+1 -> n=(a-1)/3

binär so:
10000 -1
01111 /11
00101

Ich bin mir darüber im Klaren, daß dies nur ein Ansatz ist,
meine aber, daß dieser verfolgt werden sollte.

cu,
stw

---
If god had intended man to smoke, he would have set him on fire

Marco Freibert

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Hallo,

>>- Ist m ungerade, so ist 6m-1 wieder gerade und wird zu (6m-1)/2 =3D 3m-1/=
>>2,

6m-1 ist ungerade, da 6m auf jeden fall gerade ist. Damit ist dieser Fall
falsch!

>>- Ist aber m gerade, so wird aus 6m-1 nun 3(6m-1)+1 =3D 18m-2.

Passiert auch für ungerade m's.

Dies ist
>> jedenfalls gerade und wird zu 9m-1. Da m gerade ist, ist 9m-1 ungerade

Hier muss man nun unterscheiden, ist m gerade, dann ist die nächste Zahl 27m-4
und diese Zahl ist gerade, also ergibt sich 13,5m-2 und dort muss man wieder
unterscheiden, ob m=4k oder m=2k+2.
Ist m aber ungerade, so ist 9m-1 gerade, und es ergibt sich 4,5m-0,5 und da muss
man wiederum unterscheiden zwischen:
m=4k-1 oder m=4k-3 und damit sind wir irgendwie wieder am Anfang. Ich denke, man
muss einen ganz anderen Ansatz finden, denn man wird immer wieder auf diese 4k-1.

>>Zu prüfen sind also nur die Zahlen n, die sich als 4m-1 darstellen lasse=

Jo!

>>Ich habe nach diesen Überlegungen ein C-Programm geschrieben, das nur di=
>>e
>>Zahlen 3, 7, 11, ... überprüft. Da die Rechnungen alle vergleichsweise
>>einfach sind, ist das Programm nach wenigen Stunden irgendwo bei einer
>>Zahl um 9.000.000.000 angelangt. Trotzdem würde mich ein Beweis weitaus
>>mehr interessieren. Meiner Meinung nach liegt die Schwierigkeit darin,
>>daß die Vorschrift n -> 3n+1 für ungerade n die Primfaktorzerlegung vo=
>>n
>>n massiv verändert.
>>
>>Vielen Dank für Euer Interesse, soweit vorhanden. :)
>>--
>> Daniel.
>
>
>Hallo auch,
>
>
>ich beschäftige mich seit Jahren immer mal wieder mit dem Problem, weil ich es
>(auch) sehr faszinierend finde (bin auch primär Informatiker).
>
>
>Ich untersuche das Problem in der Hinsicht, daß es reichen würde, wenn jede
>Ausgangszahl n eine Zahl m mit m<n erreichen würde.
>
>
>Dazu sehe ich mir gerne die 4 Zahlenklassen
>12*n+1, 12*n+5, 12*n+7 und 12*n+11 an und wie diese ineinander übergehen (und
>dabei wachsen (+7, +11) oder fallen (+1, +5)). Wenn jemand das genauer
>interessiert, buddel ich meine Ergebnisse gerne mal aus.
>
>
>Viele Grüße,
>
>
>Burkart
>

Ich persönlich wäre sehr interresiert, ich habe mir als ich zum ersten Mal davon
hörte, auch ein paar Gedanken gemacht, bin aber nicht weiter gekommen. Wie wäre
es eigentlich mit einem Induktionsbeweis, vielleicht auch bloß für den fall
4m-1???
Tschau,
Marco

Burkart Venzke

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Bloß ist gut. :)
Meine Zahlenklassen 12*n+7 und 12*n+11 sind Dein 4m-1, wobei
12*n+3 wegfällt, weil durch 3 teilbare n nie erreicht werden
können.

Du kannst ja mal versuchen, 12*n+7 und 12*n+11 zu untersuchen,
gerade letzte finde ich sehr interessant.

12*n+7 geht zu 12*n+11 (neben 12*n+5).

Zentral sind aber eigentlich 12*n+1 und 12*n+5, weil diese sich nach
einigermaßend erkennbarem Schema wiederholt erreichen.

Möchtest Du selber weiterforschen oder mehr Erkenntnisse?

Viele Grüße,
Burkart

Marco Freibert

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Hallo Burkart,
ich würde gerne selber forschen, habe aber leider noch andere Dinge in dieser
Richtung zu tun(Bundeswettbewerb Mathematik), deswegen würde ich sehr gerne deine
Erkenntnisse kennenlernen!
MfG,
Marco

Daniel Moelle

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Hallo!

Rainer Jahn <raine...@maschinenbau.tu-ilmenau.de> wrote:

>>- Ist m ungerade, so ist 6m-1 wieder gerade und wird zu

>> (6m-1)/2 = 3m-1/2,

> dieser Schluß ist falsch, denn 6m-1 ist immer ungerade, weil 6m gerade
> ist.

Hoppla! :) Da hast Du natürlich recht. Ich ziehe das zurück.
--
Daniel.

Daniel Moelle

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Hallo!

Burkart Venzke <venzke....@eae.com> wrote:

> dabei wachsen (+7, +11) oder fallen (+1, +5)). Wenn jemand das genauer
> interessiert, buddel ich meine Ergebnisse gerne mal aus.

Dann mal los, ich bin ganz Ohr (bzw. Auge).
--
Daniel.

Hermann Kremer

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Daniel Moelle schrieb in Nachricht <8mm6f3$hk$1...@evocator.prima.de>...

<Hallo zusammen!
<
<Neulich bin ich im Web auf eine Seite (Autor war ein Herr Arno Schwarz)
<gestoßen, die sich mit den "Grenzen der Mathematik" beschäftigte. Dort
<fand ich dann die Definition für wundersame Zahlen. Zusammenfassung
<folgt.
<
<Die Collatz-Funktion g: N -> N sieht folgendermaßen aus:
<

<g(n) = n/2, falls n gerade und g(n) = 3n+1, falls n ungerade
<
<Eine natürliche Zahl n heißt wundersam, wenn es eine natürliche Zahl k
<gibt, so daß g^k(n) = 1 ist. Soll heißen, nach k-facher Hintereinander-

<ausführung der durch die Collatz-Funktion beschriebenen Abbildung landet
<man wieder bei der 1. Beispiel: 1 -> 4 -> 2 -> 1.
<

<Weiterhin wurde erwähnt, daß die Annahme besteht, daß alle natürlichen

<Zahlen wundersam sind.
<
<---
<Gibt es da mittlerweile einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Oder einen
<Beweis dafür, daß die Annahme nicht beweisbar ist?
<---

Hallo Daniel,
hallo alle Collatz-(3x+1)-Problem-Fans,

die Collatz-Vermutung ist beweisen für alle Zahlen bis 2.7*10^16, s.
den
dritten Link (Wolfram) in nachstehender Liste.

Ich möchte ja kein Spielverderber sein, aber zu dem Collatz-Problem gibt
es sogar spezielle Kongresse (s. ersten Link) und Unmengen von Arbeiten;
die ersten 100 Referenzen von 1420 aus einer Google-Suche habe ich
spaßeshalber mal angefügt.

Trotzdem noch viel Spaß :-)

Hermann

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Lab1
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UWA Psychology Personal Pages: Mark R. Diamond
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200-305-0011
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COMSC 1613 --- Programming I
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...by Jeff Lagarias on the Collatz Problem. The 3x+1 problem -...
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...to ``Gordan''. p. 277 OR Collatz Problem. Use notation a n instead...
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...cube, provability, PERs, Collatz' problem. Variables; many-sorted...
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...Theory. Richard K Guy. Springer, Problem E16....
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...Archimedes' Cattle Problem, Keith Calkins. The Collatz 3x+1...
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Hermann Kremer

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Daniel Moelle schrieb in Nachricht <8mm6f3$hk$1...@evocator.prima.de>...

<Hallo zusammen!

<Hermann Kremer schrieb in Nachricht <8mpdch$jh5$1...@news.online.de>...

>
>Daniel Moelle schrieb in Nachricht <8mm6f3$hk$1...@evocator.prima.de>...
><Hallo zusammen!
><
><Neulich bin ich im Web auf eine Seite (Autor war ein Herr Arno Schwarz)
><gestoßen, die sich mit den "Grenzen der Mathematik" beschäftigte. Dort
><fand ich dann die Definition für wundersame Zahlen. Zusammenfassung
><folgt.
><
><Die Collatz-Funktion g: N -> N sieht folgendermaßen aus:
><
><g(n) = n/2, falls n gerade und g(n) = 3n+1, falls n ungerade
><
><Eine natürliche Zahl n heißt wundersam, wenn es eine natürliche Zahl k
><gibt, so daß g^k(n) = 1 ist. Soll heißen, nach k-facher Hintereinander-
><ausführung der durch die Collatz-Funktion beschriebenen Abbildung landet
><man wieder bei der 1. Beispiel: 1 -> 4 -> 2 -> 1.
><
><Weiterhin wurde erwähnt, daß die Annahme besteht, daß alle natürlichen
><Zahlen wundersam sind.
><
><---
><Gibt es da mittlerweile einen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Oder einen
><Beweis dafür, daß die Annahme nicht beweisbar ist?
><---

Hallo Daniel,
hallo alle Collatz-(3x+1)-Problem-Fans,

die Collatz-Vermutung ist bewiesen für alle Zahlen bis 2.7*10^16, s.

den dritten Link (Wolfram) in nachstehender Liste.

Trotzdem noch viel Spaß :-)

Hermann

Sorry, sorry, sorry,
beim Cut and Paste der Link-Liste ist leider ein
Mißgeschick passiert -- nachstehend die korrigierte
Link-Liste:

---------------------------------------------------------------------------

Google results 1-100 of about 1,420 for collatz problem. Search
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CSC-152 99F : Notes on Assignment 3: Recursion and Big-O
...number of articles on the Collatz problem. One at...
...Filled in answers up to the Collatz problem. Sunday, 11 October...

www.math.grin.edu/~rebelsky/Courses/CS152/99F/Assignments/notes.03.html -
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Collatz Problem -- from Eric Weisstein's World of Mathematics
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Variations...

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...The Collatz Problem (3x+1) I was introduced to the Collatz...
...recently revived my interest in it. The problem deals with sequences
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...also known as the Syracuse problem, the Collatz problem,...
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Programming Projects for DHPC Course 7933
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...The Collatz problem, Also Known as The 3x+1 Problem Ilan...
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Hermann Kremer

unread,

Aug 8, 2000, 3:00:00 AM8/8/00

Daniel Moelle schrieb in Nachricht <8mm6f3$hk$1...@evocator.prima.de>...

<Hallo zusammen!

Als Ergänzung - in
< http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/letter.html >
<
http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/lettersketch.html
>
sind Scans des Originalbriefs von Lothar Collatz, in dem er das Problem
bekannt macht, und eines handschriftlichen Diagramms ...

MfG
Hermann
--

Burkart Venzke

unread,

Aug 9, 2000, 3:00:00 AM8/9/00

"Marco Freibert" <helmut....@t-online.de> wrote:
>Hallo Burkart,
>ich würde gerne selber forschen, habe aber leider noch andere Dinge in dieser
>Richtung zu tun(Bundeswettbewerb Mathematik), deswegen würde ich sehr gerne
deine
>Erkenntnisse kennenlernen!
>MfG,
>Marco

Hier sind meine ungefähren Analysen.

Ein Schritt gehe immer zur nächsten ungeraden Zahl, z.B. 3-> (10->) 5 oder 7->
(22->) 11

Klasse 12*n+1:

1 -> 1 Klasse A
13 -> 5 Klasse C
25 -> 19 Klasse B
37 -> 7 Klasse E

49 -> 37 Klasse A
61 -> 23 Klasse D
73 -> 55 Klasse B
85 -> 1 Klasse X

97 -> 73 Klasse A
109 -> 41 Klasse C
121 -> 91 Klasse B
133 -> 25 Klasse F

145 -> 109 Klasse A
157 -> 59 Klasse D
169 -> 127 Klasse B
181 -> 17 Klasse G

Klasse E = 4*12*n+1 + 3*12:
37 -> 7
229 -> 43
... (+192 -> +36)

Klasse F = 16*12*n+1 + (3+8)*12:
133 -> 25
325 -> 61
... (+192 -> +36)

Klasse G1 = 32*12*n+1 + (7+8)*12:
181 -> 17
565 -> 53
... (+384 -> +36)

Klasse G2 = 32*12*n+1 + (23+8)*12:
373 -> 35
757 -> 71
... (+384 -> +36)

Klasse X1:
85 -> 1 Klasse A!
853 -> 5 Klasse C!
1621 -> 19 Klasse B!
2389 -> 7 Klasse E!

3157 -> 37 Klasse A!
3925 -> 23 Klasse D!
4693 -> 55 Klasse B!
5461 -> 1 Klasse X!

...

Klasse X2:
469 -> 11 Klasse H
1237 -> 29 Klasse I
2005 -> 47 Klasse H
2773 -> 65 Klasse I

3541 -> 83 Klasse H
4309 -> 101 Klasse I
5077 -> 119 Klasse H
5845 -> 137 Klasse I

Die Klasse 12*n+5 ist vergleichbar.

Die Klasse 12*n+7 ist einfach:
7 -> 11 Klasse H!
19 -> 29 Klasse I!
31 -> 47 Klasse H!
43 -> 65 Klasse I!

Die Klasse 12*n+11 ist ähnlich einfach, aber interessanter:
11 -> 17
23 -> 35 Klasse K
35 -> 53
47 -> 71 Klasse K

59 -> 89
71 -> 107 Klasse K
83 -> 125
95 -> 143 Klasse K

Die Klasse K ist wieder die Klasse 12*n+11 !
Genauer kann man (2^m)*12*n-12+11 m-mal in die Klasse K ableiten.
Beispiele:
11, 35, 59 gehen gleich nach 12*n+5
23, 71 gehen noch einmal nach 12*n+11
47 geht zweimal

Insgesamt:

Die Klassen 12*n+7 führt zu 12*n+5 und 12*n+11,
genauso wie 12*n+11 zu 12*n+5 und 12*n+11 führt.
Aus diesen läßt sich ableiten, wann sie zu 12*n+5 führt.

Dann bleiben noch die Klassen 12*n+1 und 12*n+5 übrig,
deren Verknüpfungen weiter analysiert werden müssen.

Zusatz1:

Rein statistisch wird mit jedem Schritt die Zahl übrigens kleiner (wie zu hoffen
ist).

Zusatz2:

Die umgekehrte Betrachtung, also von 1 aus alle Zahlen zu generieren zu
versuchen,
ist auch eine nette Idee. So kann man jedenfalls für _sehr viele_ Zahlen zeigen,
daß sie zu 1 zurückkehren.

Ich hoffe, Du kannar damit 'was anfangen...

Viele Grüße,
Burkart

Burkart Venzke

unread,

Aug 9, 2000, 3:00:00 AM8/9/00

Siehe bitte Antwort zu Marco.

Thomas Nordhaus

unread,

Aug 9, 2000, 3:00:00 AM8/9/00

"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:8mpdch$jh5$1...@news.online.de...... Ich möchte ja kein Spielverderber

sein, aber zu dem Collatz-Problem gibt
> es sogar spezielle Kongresse (s. ersten Link) und Unmengen von

Arbeiten...

Hi,
zu meiner "aktiven" Zeit waren auch alle von der Funktion f(x)=ax(1-x)
begeistert. (Periodenverdopplung, "Period 3 implies chaos,
Feigenbaum-Konstante, Fraktale, etc.)
Ähnlich wie bei der Collatzfunktion kann man diese Funktion leicht iterieren
und es gibt faszinierende Phänomene, die sich auch in "realen" dynamischen
Systemen wiederfinden.

Ich frag mich allerdings, was man - unter dem Gesichtspunkt der angewandten
Mathematik - mit der Collatz-Funktion anfangen kann. Sie scheint z.Z.
einfach ein Problem darzustellen, dem man sich auf keine Weise wirklich
nähern kann. Was "bringen" all die numerischen Versuche?

Gruß, Thomas

Hermann Kremer

unread,

Aug 10, 2000, 3:00:00 AM8/10/00

Thomas Nordhaus schrieb in Nachricht <8mrjba$9n...@mailgate1b.telekom.de>...

>
>"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb im Newsbeitrag

>news:8mpdch$jh5$1...@news.online.de...... Ich möchte ja kein Spielverderber

>sein, aber zu dem Collatz-Problem gibt
>> es sogar spezielle Kongresse (s. ersten Link) und Unmengen von

>Arbeiten...
>
>Hi,
>zu meiner "aktiven" Zeit waren auch alle von der Funktion f(x)=ax(1-x)
>begeistert. (Periodenverdopplung, "Period 3 implies chaos,
>Feigenbaum-Konstante, Fraktale, etc.)

Ja, Verhulst, Julia, Mandelbrot, L-Systeme ...

>Ähnlich wie bei der Collatzfunktion kann man diese Funktion leicht
iterieren
>und es gibt faszinierende Phänomene, die sich auch in "realen" dynamischen
>Systemen wiederfinden.
>
>Ich frag mich allerdings, was man - unter dem Gesichtspunkt der angewandten
>Mathematik - mit der Collatz-Funktion anfangen kann. Sie scheint z.Z.
>einfach ein Problem darzustellen, dem man sich auf keine Weise wirklich
>nähern kann. Was "bringen" all die numerischen Versuche?

Hallo Thomas,
die bloßen Rechnereien bringen vermutlich genau so viel oder so wenig
für
die mathematische Lösung des Problems wie beim FLT, nämlich nichts (!?).
Das Collatz-Problem ist halt ein sehr elementar darstellbares Problem,
für das man wunderhübsche Grafiken erzeugen kann. Ich wollte mit meiner
Link-
Sammlung einfach nur darauf hinweisen, daß es nicht sehr "wundersam" ist.

Ich bin übrigens gespannt, wann hier wieder mal die Ackermann-Funktion
auftaucht.

Viele Grüße
Hermann

>Gruß, Thomas
>
>
>

Daniel Moelle

unread,

Aug 11, 2000, 3:00:00 AM8/11/00

Hallo!

> Das Collatz-Problem ist halt ein sehr elementar darstellbares Problem,
> für das man wunderhübsche Grafiken erzeugen kann.

Gibt's da irgendwo frei zugängliche Programme, die das tun?

Neulich bin ich im Web auf eine Seite gestoßen, auf der erklärt wurde,
wie man aus den Populationszahlen beim Game Of Life lustige Melodien
zaubern kann, die bei glücklicher Anfangskonfiguration sogar von
Menschen komponierten Melodien nicht unähnlich sehen. Man könnte dann
ja auch mal einen Collatz-Song generieren ("Und hier ist 'DJ Collatz'
mit der brandneuen Auskopplung 'g(n)' vom Album 'Numbers & nerds',
demnächst auch auf der 'MC Weierstraß Party Compilation' zu haben!").
Arrr...
--
Daniel.

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