Historisches (Poincaré)

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JVR

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Aug 22, 2022, 2:56:23 AMAug 22
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https://www.gutenberg.org/files/15267/15267-pdf.pdf

Irgendwann habe ich diesen Link abgespeichert und jetzt
stoße ich wieder darauf. Im 5. Vortrag geht es um das
sogenannte Paradoxon von Richard.

"Nun hat bekanntlich Cantor bewiesen, daß das Kontinuum nicht
abzählbar ist; dies widerspricht dem Beweise von Richard. Es fragt sich also, welcher von beiden Beweisen richtig ist. Ich behaupte, sie sind beide richtig, und der Widerspruch ist nur ein scheinbarer."

Poincaré's Argument ist recht scharfsinnig und gar nicht schwierig.

Er beweist zuerst die Überabzählbarkeit des Kontinuums; Cantor
selber hat ganz ähnliche Beweise gegeben. Man setzt hier Vollständigkeit
voraus in irgendeiner Form, so dass e.g. jede beschränkte Folge eine
konvergente Unterfolge hat; oder man benutzt das
'Intervallschachtelungsprinzip'. Jedenfalls vermeidet er die 'Diagonalisierung'.

Dann zeigt er auf elegante Art den Fehler in der Richard'schen
Überlegung - im Wesentlichen ist es dasselbe wie in allen
Paradoxien dieser Art, nämlich die 'Imprädikativität',
die 'Selbstbezogenheit'.

Der Vortrag endet so:
"Was haben wir von dem berühmten 'Kontinuumproblem' zu halten?
Kann man die Punkte des Raumes wohlordnen? Was meinen
wir damit? Es sind hier zwei Fälle möglich: entweder behauptet man, daß das Gesetz der Wohlordnung endlich aussagbar ist, dann ist diese Behauptung nicht bewiesen; auch Herr Zermelo erhebt wohl nicht den
Anspruch, eine solche Behauptung bewiesen zu haben. Oder aber
wir lassen auch die Möglichkeit zu, daß das Gesetz nicht
endlich aussagbar ist. Dann kann ich mit dieser Aussage keinen
Sinn mehr verbinden, das sind fur mich nur leere Worte. Hier liegt die
Schwierigkeit. Und das ist wohl auch die Ursache für den Streit über den fast genialen Satz Zermelos. Dieser Streit ist sehr merkwürdig: die einen
verwerfen das Auswahlpostulat, halten aber den Beweis für richtig, die
anderen nehmen das Auswahlpostulat an, erkennen aber den Beweis nicht
an.
Doch ich könnte noch manche Stunde darüber sprechen, ohne die Frage zu
lösen."

Roalto

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Aug 22, 2022, 5:30:31 AMAug 22
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Richards Paradox war auch der Ausgangspunkt für Gödels Werk.

Viel Spass weiterhin
Roalto
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