sum 1/k^2 = pi^2/6
Alexander Zimmermann
in (fast) jeder Formelsamlung findet sich der Wert der Reihe
oo
---
\ 1 pi^2
) --- = ----
/ k^2 6
---
k=1
Auf der Suche nach einem Beweis bin ich zwar fündig geworden, aber
der benötigt Fourieranalysis, ist also kaum einem Mathe-Student im
dritten Semester zuzumuten, erst recht keinem Schüler.
Gibt's auch einen Beweis der mit Schulmathematik (Leistungskurs)
auskommt?
CU
--
Alexander
Hendrik van Hees
Hm, ich fürchte das wird schwierig. Wie man sowas mit Hilfe des
Residuensatzes berechnet, findest Du für \sum 1/k^4 hier. Für \sum 1/k^2
geht's genauso.
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/rad/node7.html
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Boudewijn Moonen
Gehe zu
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html
und klicke dort unter "Miscellaneous articles and surveys:" auf
"Evaluating zeta(2)".
MfG
--
Boudewijn Moonen
Institut fuer Photogrammetrie der Universitaet Bonn
Nussallee 15
D-53115 Bonn
Lukas-Fabian Moser
On 26 Jul 2002 09:51:41 +0200, zimm...@kepler.fmi.uni-passau.de
(Alexander Zimmermann) wrote:
>in (fast) jeder Formelsamlung findet sich der Wert der Reihe
> oo
> ---
> \ 1 pi^2
> ) --- = ----
> / k^2 6
> ---
> k=1
>Auf der Suche nach einem Beweis bin ich zwar fündig geworden, aber
>der benötigt Fourieranalysis, ist also kaum einem Mathe-Student im
>dritten Semester zuzumuten, erst recht keinem Schüler.
Naja, das mit dem Mathestudenten im dritten Semester ist vielleicht
ein wenig übertrieben, aber natürlich ist es recht schwierig, das an
der Schule zu behandeln. (Obwohl es möglich sein sollte,
beispielsweise die unpraktische, dafür wenig Vorkenntnisse benötigende
Theorie der reellen Fourierreihen in der Schule anzusprechen, finde
ich.)
Es gibt aber in der Tat einen "einfachen" Beweis, der aber auch nicht
gerade sehr kurz ist. Du findest ihn in "Proofs from The Book" von
Aigner/Ziegler, Springer Verlag; ich skizziere ihn einmal kurz.
Der Beweis beruht auf der Auswertung des (uneigentlichen) Integrals
über 1/(1-xy) auf dem Einheitsquadrat [0,1] x [0,1]. Schreibt man den
Integranden als geometrische Reihe und vertauscht (nach etwas
Nachdenken, ob das erlaubt ist :-) ein wenig Grenzwertbildungen und
Integrationen, so ergibt sich der Wert des Integrals zu 1 + 1/4 + 1/9
+ 1/16 + 1/25 + ..., also gerade die linke Seite der gewünschten
Gleichung.
Das Integral läßt sich jedoch auf auch andere Art berechnen: nämlich
durch Drehen des Integrationsgebietes, so daß die Ecken des Quadrates
auf den Achsen des Koordinatensystems zu liegen kommen (die genaue
Richtung habe ich im Moment nicht im Kopf). Mit ein wenig
Substituiererei läßt sich das Integral dann direkt ausrechnen, und man
erhält als Ergebnis pi^2/6.
Grüße, Lukas
Iain Davidson
Alexander Zimmermann <zimm...@kepler.fmi.uni-passau.de> wrote in message
news:slrnak1vsc....@kepler.fmi.uni-passau.de...
> Hallo,
>
> in (fast) jeder Formelsamlung findet sich der Wert der Reihe
>
> oo
> ---
> \ 1 pi^2
> ) --- = ----
> / k^2 6
> ---
> k=1
>
> Auf der Suche nach einem Beweis bin ich zwar fündig geworden, aber
> der benötigt Fourieranalysis, ist also kaum einem Mathe-Student im
> dritten Semester zuzumuten, erst recht keinem Schüler.
Ja, der uerspruengliche Beweis von Euler.
Er faengt mit der Gleichung sin(x) =0 an.
sin(x) =
x - x^3/(1*2*3) +x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*..*7) + .. =0
Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
sin(x)/x = (1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
= 1 - x^2/(1*2*3) +x^4/(1*2*3*4*5) - x^6/(1*2*..*7) + .. =0
Nach dem Vietschen Satz
1/(2*3) = 1/pi^2 + 1/4pi^2 + 1/9pi^2 + 1/16pi^2 + ....
pi^2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 +1/16 + ... 1/n^2 +....
Eine Reihe von Formeln laesst sich auf dieser Weise
ableiten.
Lukas-Fabian Moser
On Fri, 26 Jul 2002 11:54:37 +0100, "Iain Davidson"
<Sttsc...@tesco.net> wrote:
>Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
>= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
Und das kann man auch ohne weiteres exakt begründen?
Grüße, Lukas
Martin Wohlgemuth
Man sagt, daß Euler diesen Grenzwert als
erster berechnet hat.
Ein Beweis, der sich auf Euler beruft, steht
in Peter Mäder: "Mathematik hat Geschichte", Metzler-
Schulbuch. Er geht von der Sinusreihe aus und verwendet
eine nicht allzu bekannte Eigenschaft von Gleichungen
n-ten Grades.(die Iain benutzt hat).
Der Beweis geht so:
Ausgehend von der Taylorreihe für sin x gilt:
(sin x)/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + - ...
Setze dieses gleich Nulll, dann hat die entstehende
Gleichung die Lösungen
x1=±pi, x2=±2pi, x3=±3pi usw.
Substituiert man y=x², entsteht
1 - y/3! + y^2/5! - y^3/7! + - ... = 0
mit den Lösungen (da y=x² sein soll)
y1=pi², y2=(2pi)², y3=(3pi)² usw.
Nun gilt, daß bei einer Gleichung der Form
1 + a1*y + a2*y² + a3*y³ + .... + an*y^n = 0
die Summe der Kehrwerte ihrer Lösungen gleich -a1 ist,
so daß folgt:
1/3! = 1/(pi)² + 1/(2pi)² + 1/(3pi)² + ...,
woraus sich der obige Grenzwert ergibt.
Daß die Summe der Kehrwerte der Lösungen von
1 + a1*y + a2*y² + a3*y³ + .... + an*y^n = 0
gleich -a1 ist, kann man sich aus dem Satz von Vieta
plausibel machen.
Für Nullstellen x1 und x2 eines quadratischen Polynoms
x²+ax+c
gilt
x²+ax+c = (x-x1)*(x-x2) = x² - (x1+x2)*x + x1*x2
Also ist a = -(x1+x2) und b=x1*x2.
Wenn nun b=1 ist, dann ist x2 = 1/x1 und x1 = 1/x2
und darum auch a = -(1/x2 + 1/x1)
Also ist hier, im Falle n=2, die Summe der Kehrwerte
der Nullstellen gleich -a.
Für größere n gilt dann das gleiche (ohne Beweis).
Gruß
Martin
Philipp Zumstein
>Alexander Zimmermann <zimm...@kepler.fmi.uni-passau.de> wrote
>> oo
>> ---
>> \ 1 pi^2
>> ) --- = ----
>> / k^2 6
>> ---
>> k=1
>Er faengt mit der Gleichung sin(x) =0 an.
>
>sin(x) =
>x - x^3/(1*2*3) +x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*..*7) + .. =0
>
>Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
>
>Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
>= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
Wie wird das denn begründet?
Also ich meine wenn ich z.B. f(x) = x^3 nehme dann ist die einzige
Nullstelle von f Null; aber es gilt nicht f(x) = (x-0) = x. Es liegt
wohl daran, dass die Nullstellenmenge von sin eine nicht diskrete
Menge bilden (evt. auch noch etwas Funktionentheorie?)...
>sin(x)/x = (1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
>
>= 1 - x^2/(1*2*3) +x^4/(1*2*3*4*5) - x^6/(1*2*..*7) + .. =0
>
>Nach dem Vietschen Satz
(oder einfach: Koeffizientenvergleich, obwohl das Ganze ja eigentlich
keine Polynome sondern nur (unendliche) Potenzreihen sind.)
>1/(2*3) = 1/pi^2 + 1/4pi^2 + 1/9pi^2 + 1/16pi^2 + ....
>
>pi^2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 +1/16 + ... 1/n^2 +....
>
>Eine Reihe von Formeln laesst sich auf dieser Weise
>ableiten.
Welche Formeln lassen sich denn noch auf diese Weise herleiten?
Gruss
Philipp
Philipp Zumstein
>in (fast) jeder Formelsamlung findet sich der Wert der Reihe
>
> oo
> ---
> \ 1 pi^2
> ) --- = ----
> / k^2 6
> ---
> k=1
>
>Auf der Suche nach einem Beweis bin ich zwar fündig geworden, aber
>der benötigt Fourieranalysis, ist also kaum einem Mathe-Student im
>dritten Semester zuzumuten, erst recht keinem Schüler.
Wir habe das im 4. Semester als Übungsaufgabe Funktionentheorie
beweisen müssen, die einzelnen Beweisschritte wurden vorgegeben, diese
lauten:
1.)Zeige für die Taylorentwicklung
f(z) = z / (exp(z)-1) = \sum_{k=0}^oo B_k / k! z^k
um 0, dass B_0 = 1, B_1 = -1/2 und B_{2n+1} = 0. Die B_n heissen
Bernoullische Zahlen.
2.) Leite die Taylorentwicklung von z cot(z) um 0 her.
3.) Leite aus der Partialbruchzerlegun für \pi cot(\pi z) die
Eulerschen Relationen
\zeta(2k) = \sum_{n=1}^oo 1/n^{2k} = (-1)^{k+1} 2^{2k-1} *
1 / (2k)! B_{2k} \pi^{2k}
für alle k \in \N ohne Null her.
4.) Zeige die Rekursion
B_0 = 1, \sum_{k=0}^n (n+1, k) B_k = 0.
Gruss
Philipp
Lukas-Fabian Moser
On Fri, 26 Jul 2002 17:27:12 +0200, Martin Wohlgemuth
<ma...@matroid.com> wrote:
>(sin x)/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + - ...
>Substituiert man y=x², entsteht
> 1 - y/3! + y^2/5! - y^3/7! + - ... = 0
>mit den Lösungen (da y=x² sein soll)
> y1=pi², y2=(2pi)², y3=(3pi)² usw.
>Nun gilt, daß bei einer Gleichung der Form
> 1 + a1*y + a2*y² + a3*y³ + .... + an*y^n = 0
>die Summe der Kehrwerte ihrer Lösungen gleich -a1 ist,
>so daß folgt:
> 1/3! = 1/(pi)² + 1/(2pi)² + 1/(3pi)² + ...,
>woraus sich der obige Grenzwert ergibt.
Hm, ich sehe aber noch nicht, wieso sich diese Aussage so ohne
weiteres auf die unendliche Summe für den Sinus übertragen läßt.
Grüße, Lukas
Iain Davidson
Philipp Zumstein <hzum...@bluewin.ch> wrote in message
news:kps2ku0a92q3a5hun...@4ax.com...
> "Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
>
> >Alexander Zimmermann <zimm...@kepler.fmi.uni-passau.de> wrote
> >> oo
> >> ---
> >> \ 1 pi^2
> >> ) --- = ----
> >> / k^2 6
> >> ---
> >> k=1
>
> >Er faengt mit der Gleichung sin(x) =0 an.
> >
> >sin(x) =
> >x - x^3/(1*2*3) +x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*..*7) + .. =0
> >
> >Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
> >
> >Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
> >= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
>
> Wie wird das denn begründet?
>
> Also ich meine wenn ich z.B. f(x) = x^3 nehme dann ist die einzige
> Nullstelle von f Null; aber es gilt nicht f(x) = (x-0) = x. Es liegt
> wohl daran, dass die Nullstellenmenge von sin eine nicht diskrete
> Menge bilden (evt. auch noch etwas Funktionentheorie?)...
Aber f(x) = x^3 hat mehrfache Nullstellen.
f'(x) = 3x^2, f(x) = x^3 => f(x) =(x-0)(x-0)(x-0)
Ein Gegenbeispiel waere interessant , d.h.
F(x) = 1 + a1*x + a2*x^2 + an*x^n + .....
mit einfachen Nullstellen (<> 0) z0, z1, ...zn, .....
und F(x) <> (1 - x/z)(1 -x/z1) ...... (1 -x/zn) .......
> >sin(x)/x = (1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
> >
> >= 1 - x^2/(1*2*3) +x^4/(1*2*3*4*5) - x^6/(1*2*..*7) + .. =0
> >
> >Nach dem Vietschen Satz
>
> (oder einfach: Koeffizientenvergleich, obwohl das Ganze ja eigentlich
> keine Polynome sondern nur (unendliche) Potenzreihen sind.)
>
> >1/(2*3) = 1/pi^2 + 1/4pi^2 + 1/9pi^2 + 1/16pi^2 + ....
> >
> >pi^2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 +1/16 + ... 1/n^2 +....
> >
> >Eine Reihe von Formeln laesst sich auf dieser Weise
> >ableiten.
>
> Welche Formeln lassen sich denn noch auf diese Weise herleiten?
1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + .....
usw.
Martin Vaeth
><ma...@matroid.com> wrote:
[Zu Eulers Beweis der Produktzerlegung von sin]
>>Nun gilt, daß bei einer Gleichung der Form
>> 1 + a1*y + a2*y² + a3*y³ + .... + an*y^n = 0
>>die Summe der Kehrwerte ihrer Lösungen gleich -a1 ist,
>>so daß folgt:
> Hm, ich sehe aber noch nicht, wieso sich diese Aussage so ohne
> weiteres auf die unendliche Summe für den Sinus übertragen läßt.
natürlichen Zahlen n gilt, gilt sie auch für ein "unendlich großes" n.
In der modernen Nichtstandard-Analysis kann man das präzisieren
(Robinsons Permanenz-Prinzip).
Ein Standard-Analysis-Beweis dieser Tatsache ist aber sicherlich auch
möglich, wenn man sich überlegt, dass für genügend großes n die
Nullstellen der abgeschnittenen Taylorpolynoms "genügend nahe" bei den
ersten n Nullstellen der Reihe liegen (das geht vermutlich mit Rouche, oder
alternativ durch Anwendung des Weierstraßschen Produktsatzes - ich habe nicht
versucht, das zu verifizieren), so dass man die Behauptung im Sinne des
normalen Grenzwerts n->\infty erhält.
Übrigens bräuchte man auch für die Details eines Nichtstandard-Beweises
eine ähnliche Überlegung: Der Schluss auf ein "unendlich großes" n ist
dort zwar problemlos möglich, aber es muss dafür ein Zusammenhang zwischen den
Nullstellen dieses "unendlichen Polynoms" und der entsprechenden Potenzreihe
hergestellt werden, was wohl i.W. auf ein ähnliches Problem hinausläuft
(die entsprechenden Nullstellen liegen zwar sicherlich "unendlich nahe"
beieinander, aber es werden halt auch "unendlich viele" dieser Kehrwerte
aufsummiert).
Philipp Zumstein
"Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
> Philipp Zumstein <hzum...@bluewin.ch> wrote:
Ein Gegenbeispiel ist ja schwierig zu konstruieren, weil nirgends eine
Behauptung steht. Somit stellen sich mehrere Fragen:
1.) Muss man alle möglichen Nullstellen betrachten? Was ist denn mit
komplexen Nullstellen? Sonst sage ich einfach x^2+1 hat keine reellen
Nullstellen und lässt sich somit nicht als Produkt schreiben. Aber wenn man
alle komplexen Nullstellen zulässt, dann muss man erst einmal zeigen, der
Sinus im Komplexen keine weiteren Nullstellen mehr hat.
2.) Müssen die Funktionen stetig, diff.bar oder gar in C^oo liegen? Es
scheint mir so; denn ansonsten könnte man sie wohl nicht in eine Potenzreihe
entwickeln. Falls das nicht sein muss, dann interpoliere ich den Sinus in
seinen Extremas und Nullstellen durch kubische Splines und das ist dann ein
Gegenbeispiel.
3.) Konvergiert eigentlich das ganze Zeugs? Also ich meine konvergiert die
Potenzreihenentwicklung des Sinus auf ganz C? Muss das auf ganz C
konvergieren? Konvergiert die Produktdarstellung des Sinus? Evt. muss man
sich auch noch überlegen, was eigentlich ein unendliches Produkt ist.
Um eine Behauptung / einen allg. Satz zu formulieren muss man sicherlich ein
paar von meinen Bemerkungen berücksichtigen. Aber weil Du noch keine
Behauptung hingeschrieben hast, kann ich Dir auch schlecht ein
"Gegenbeispiel" liefern. Ansonsten würde ich Dir ein ähnliches Beispiel wie
oben liefern z.B. x^2+1 und sagst etwa: "Ja, man muss aber schon die
komplexen Nullstellen auch mitberücksichtigen." Weil aber nun noch keine
Behauptung steht kann ich nicht wissen was man alles auch noch
mitzuberücksichtigen braucht.
Gruss
Philipp
Iain Davidson
Philipp Zumstein <zuph...@student.ethz.ch> wrote in message
news:3d45082d$1...@pfaff.ethz.ch...
>
> "Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
>
> > Philipp Zumstein <hzum...@bluewin.ch> wrote:
>
> > > "Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
> > >
> > > >Alexander Zimmermann <zimm...@kepler.fmi.uni-passau.de> wrote
> > > >> oo
> > > >> ---
> > > >> \ 1 pi^2
> > > >> ) --- = ----
> > > >> / k^2 6
> > > >> ---
> > > >> k=1
> > >
> > > >Er faengt mit der Gleichung sin(x) =0 an.
> > > >
> > > >sin(x) =
> > > >x - x^3/(1*2*3) +x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*..*7) + .. =0
> > > >
> > > >Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
> > > >
> > > >Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
> > > >= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
> > >
> > > Wie wird das denn begründet?
> > >
> >
> >
> > F(x) = 1 + a1*x + a2*x^2 + an*x^n + .....
> > mit einfachen Nullstellen (<> 0) z0, z1, ...zn, .....
> > und F(x) <> (1 - x/z)(1 -x/z1) ...... (1 -x/zn) .......
>
> Ein Gegenbeispiel ist ja schwierig zu konstruieren, weil nirgends eine
> Behauptung steht. Somit stellen sich mehrere Fragen:
Ich bin etwas verbluefft.
Du fragst "Wie wird das denn begründet?".
Das bedeutet, dass Du das "Eulersche Verfahren"
gewissermassen verstanden hast
(Annahmen Ergebnis, Herleitung, usw.), aber zweiflst,
dass es richtig sei.
Deshalb sollest Du ein Gegenbeispiel finden koennen
mit denselben Annahmen, Herleiting, usw., das
offenbar falsche Ergebnisse liefert.
Sonst entsteht folgende Situation:
ID: 1 +2 = 3
PZ: Wie wird das denn begründet?
ID: Gegenbeispiel ?
PZ: Ein Gegenbeispiel ist ja schwierig zu konstruieren, weil nirgends eine
Behauptung steht
ID hat keine Ahnung was fuer eine Begruendung PZ sich wuenscht.
Wie Euler habe ich andere Produktformeln fur cos(x), (e^x - e^(-x)/2,
usw. abgeleitet, die Produkte in Serien umgewandlt und umgekehrt und
alles numerisch bestaetigt.
> Ansonsten würde ich Dir ein ähnliches Beispiel wie
> oben liefern z.B. x^2+1 und sagst etwa: "Ja, man muss aber schon die
> komplexen Nullstellen auch mitberücksichtigen." Weil aber nun noch keine
> Behauptung steht kann ich nicht wissen was man alles auch noch
> mitzuberücksichtigen braucht.
Das war eine Einwand von Bernoulli.
Wie Euler geantwortet hat weiss ich nicht.
Martin Vaeth
>> Ein Gegenbeispiel waere interessant , d.h.
>>
>> F(x) = 1 + a1*x + a2*x^2 + an*x^n + .....
>> mit einfachen Nullstellen (<> 0) z0, z1, ...zn, .....
>> und F(x) <> (1 - x/z)(1 -x/z1) ...... (1 -x/zn) .......
konvergiert), wobei g analytisch sei mit g(0)=2k\pi i (k ganz) (z.B. g(x)=x) -
und umgekehrt *hat* jedes Gegenbeispiel so eine Gestalt (falls die zn so sind,
dass das Produkt kompakt konvergiert).
Das ist alles wohlbekannt: Nimm irgendein gutes Buch zur Funktionentheorie
und lies dort unter dem Stichwort "Produktsatz von Weierstraß" nach.
Philipp Zumstein
Ich habe mich wohl etwas unklar ausgedrückt, sorry.
"Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
[radikal gesnipped]
>Ich bin etwas verbluefft.
>Du fragst "Wie wird das denn begründet?".
>Das bedeutet, dass Du das "Eulersche Verfahren"
>gewissermassen verstanden hast
>(Annahmen Ergebnis, Herleitung, usw.), aber zweiflst,
>dass es richtig sei.
>Deshalb sollest Du ein Gegenbeispiel finden koennen
>mit denselben Annahmen, Herleiting, usw., das
>offenbar falsche Ergebnisse liefert.
>
>Sonst entsteht folgende Situation:
>
>ID: 1 +2 = 3
>PZ: Wie wird das denn begründet?
>ID: Gegenbeispiel ?
>PZ: Ein Gegenbeispiel ist ja schwierig zu konstruieren, weil nirgends eine
> Behauptung steht
Naja, der Lösungsweg beinhaltet ja mehr als nur einen Schritt (ich
kopiere hier mal schnell Deinen Text):
1.) Er faengt mit der Gleichung sin(x) =0 an.
2.) sin(x) =
x - x^3/(1*2*3) +x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*..*7) + .. =0
3.) Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
4.) Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
5.) sin(x)/x = (1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
= 1 - x^2/(1*2*3) +x^4/(1*2*3*4*5) - x^6/(1*2*..*7) + .. =0
6.) Nach dem Vietschen Satz
1/(2*3) = 1/pi^2 + 1/4pi^2 + 1/9pi^2 + 1/16pi^2 + ....
pi^2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 +1/16 + ... 1/n^2 +....
Nun sind mir Schritt 1, 2, 5, 6 klar.
Bei Schritt 3 bin ich mir nicht so ganz sicher wie man darauf kommt.
Das will heissen, ich kenne das Ergebnis so formuliert wie in Punkt 3,
aber ich sehe keine Herleitung. Und zudem bin ich mir nicht sicher, ob
das jetzt _alle_ reellen oder alle komplexen Nullstellen sind.
Bei Schritt 4 bin ich dann endgültig gescheitert. Es schien fast so
als ob 4 aus 3 folgt. Dem ist aber sicherlich nicht so. Darum wollte
ich wissen wie das begründet wird. Ob das - wie ich nun vermute - mit
dem Weierstrass'schen Produktsatz begründet wird, oder ob man das ohne
Funktionentheorie machen kann...
Das "Euler'sche Verfahren" habe ich sicherlich noch nicht ganz
verstanden. Denn ich sehe nicht wie man von 3 nach 4 gelangt. Man
braucht ja offensichtlich noch mehr an Begründung. So wie Du es
geschrieben hast, sieht es aus als ob gilt:
Beh.: Seien a_1,a_2,... die Nullstellen von f.
Dann gilt f(x) = \prod_{i=1}^oo (x-a_i).
Für diese Behauptung habe ich Gegenbeispiele gesucht.
Daher finde ich Deinen Beweis (noch) unvollständig.
>ID hat keine Ahnung was fuer eine Begruendung PZ sich wuenscht.
Hoffe das ist nun klar.
Gruss
Philipp
Martin Vaeth
> Naja, der Lösungsweg beinhaltet ja mehr als nur einen Schritt (ich
> kopiere hier mal schnell Deinen Text):
>
>
> 4.) Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
>= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
> Bei Schritt 3 bin ich mir nicht so ganz sicher wie man darauf kommt.
> Das will heissen, ich kenne das Ergebnis so formuliert wie in Punkt 3,
> aber ich sehe keine Herleitung. Und zudem bin ich mir nicht sicher, ob
> das jetzt _alle_ reellen oder alle komplexen Nullstellen sind.
Das sind alle komplexen Nullstellen des Sinus. Im Komplexen ist doch
sin z=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i).
Wenn ich mal iz=a+ib mit reellen a und b schreibe, dann ist also sin z=0
äquivalent zu e^ae^(ib)-e^(-a)e^(-ib)=0 also äquivalent zu e^(2a)=e^(-2ib).
Da links eine reelle positive Zahl steht und rechts was von Betrag 1, kann
diese Gleichheit nur gelten, wenn beide Zahlen 1 sind, also insbesondere a=0,
d.h. z ist reell, und folglich sind alle Nullstellen des Sinus reell.
> Bei Schritt 4 bin ich dann endgültig gescheitert. Es schien fast so
> als ob 4 aus 3 folgt. Dem ist aber sicherlich nicht so.
Richtig, es folgt nur (wenn man sich von der kompakten Konvergenz des Produkts
überzeugt hat), dass der Quotient der beiden Seiten die Gestalt
exp(g(x)) mit einer ganzen Funktion g hat - außer man benutzt tiefschürfende
Ergebnisse wie den Produktsatz von Hadamard für Funktionen endlicher Ordnung.
Aber die "klassische" Argumentation ist wohl die folgende:
Das zweite Produkt rechts bezeichne ich mal mit P(x). Es ist zu zeigen, dass
f(x)=sin(x)/P(x) konstant ist (wegen f(0)=1 muss f dann konstant 1 sein).
Berechne dazu die logarithmische Ableitung von f (also die Ableitung der
oben erwähnten Funktion g - formal darf man dabei das Additionstheorem des
Logarithmus anwenden und Grenzwert und Differentiation wegen kompakter
Konvergenz vertauschen):
f'(x)/f(x)=sin'(x)/sin(x) + P'(x)/P(x) = cot(x) + 1/x + sum 2x/(x^2-n^2 pi^2)
Wenn man nun die Partialbruchzerlegung des Kotangens kennt, ist man fertig.
Ich weiß aber nicht, wie man letzteres ohne Hilfsmittel aus der
Funktionentheorie erhalten kann.
Daewon Yoon
news:trj09.19051$vN6.1...@newsfep2-win.server.ntli.net...
>
> Philipp Zumstein <hzum...@bluewin.ch> wrote in message
> news:kps2ku0a92q3a5hun...@4ax.com...
> > "Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
> >
> > >Alexander Zimmermann <zimm...@kepler.fmi.uni-passau.de> wrote
> > >> oo
> > >> ---
> > >> \ 1 pi^2
> > >> ) --- = ----
> > >> / k^2 6
> > >> ---
> > >> k=1
> >
> > >Er faengt mit der Gleichung sin(x) =0 an.
> > >
> > >sin(x) =
> > >x - x^3/(1*2*3) +x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*..*7) + .. =0
> > >
> > >Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
> > >
> > >Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
> > >= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
> >
Interessant.
lim(n->\infty) sum(i<j=<n) (ij)^(-2) = (pi)^4 /5!
lim(n->\infty) sum(i<j<k=<n) (ijk)^(-2) = (pi)^6 /7!
...
usw.?
Ist es richtig?
Und kann man auch von cosinus Reihe aehnliches herleiten?
(2/pi)^2 + (2/3pi)^2 + ... = 1/2!
sum(k=0 --> \infty) 1/(2k-1)^2 = pi/4
usw.?
----
YOON
Iain Davidson
Die urspruengliche Frage war "Wie macht man die Formel
"sum 1/k^2 = (pi^2)/6" Leistungskurslern verstaendlich ?".
Euler hatte und Leistungskursler haben keinen Zugang zu
Weierstrass (nicht einmal Cauchy). Deshalb habe ich den
Eulerschen Ansatz erwaehnt. Eine moderne, strenge Beweisfuehrung
waere in diesem Fall inkongruent oder anachronistisch.
Durch die eher induktiven "Beweismethoden" von Euler
kann man aber das Ergebnis plausibel machen.
Hendrik van Hees
> Die urspruengliche Frage war "Wie macht man die Formel
> "sum 1/k^2 = (pi^2)/6" Leistungskurslern verstaendlich ?".
> Euler hatte und Leistungskursler haben keinen Zugang zu
> Weierstrass (nicht einmal Cauchy). Deshalb habe ich den
> Eulerschen Ansatz erwaehnt. Eine moderne, strenge Beweisfuehrung
> waere in diesem Fall inkongruent oder anachronistisch.
> Durch die eher induktiven "Beweismethoden" von Euler
> kann man aber das Ergebnis plausibel machen.
Da überkommt mich gleich wieder der Brechreiz. Es ist rückständig und
anachronistisch, wenn Du noch nicht einmal willens bist, Deine Schüler auf
den Stand des 19. Jh. zu bringen, vom intellektuellen Genuß des 20. Jh.
ganz zu schweigen.
Außerdem wäre es sinnvoll, wenn Du Deinen Zitierstil überdenken könntest.
Philipp Zumstein
"Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
>Die urspruengliche Frage war "Wie macht man die Formel
> "sum 1/k^2 = (pi^2)/6" Leistungskurslern verstaendlich ?".
>Euler hatte und Leistungskursler haben keinen Zugang zu
>Weierstrass (nicht einmal Cauchy). Deshalb habe ich den
>Eulerschen Ansatz erwaehnt. Eine moderne, strenge Beweisfuehrung
>waere in diesem Fall inkongruent oder anachronistisch.
>Durch die eher induktiven "Beweismethoden" von Euler
>kann man aber das Ergebnis plausibel machen.
Okay, als Begründung kommt mir die Argumentation allemal durch. Aber
als Beweis ist das Ganze für mich noch unvollständig.
[Ich will hier nicht "eklig" erscheinen, aber die ursprünglich Frage
war: "Gibt's auch einen Beweis der mit Schulmathematik (Leistungskurs)
auskommt?" Also eigentlich wird nach einem Beweis gefragt...]
Habe ich das nun richtig verstanden: Euler hat diese Formel nur
begründen aber nicht vollständig beweisen können?
Gruss
Philipp
Philipp Zumstein
>Philipp Zumstein <hzum...@bluewin.ch> schrieb:
>> 3.) Die Wurzeln sind : 0, pi, -pi, 2pi, -2pi, 3pi, -3pi, ......
>>
>> 4.) Daher sin(x) = x(1 -x/p1)(1 +x/pi)(1 -x/2pi)(1+ x/2pi)......
>>= x(1 -x^2/pi^2)(1 -x^2/4pi^2)(1 -x^2/9pi^2) .......
>
>> Bei Schritt 3 bin ich mir nicht so ganz sicher wie man darauf kommt.
>> Das will heissen, ich kenne das Ergebnis so formuliert wie in Punkt 3,
>> aber ich sehe keine Herleitung. Und zudem bin ich mir nicht sicher, ob
>> das jetzt _alle_ reellen oder alle komplexen Nullstellen sind.
>Das sind alle komplexen Nullstellen des Sinus. Im Komplexen ist doch
>sin z=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i).
>Wenn ich mal iz=a+ib mit reellen a und b schreibe, dann ist also sin z=0
>äquivalent zu e^ae^(ib)-e^(-a)e^(-ib)=0 also äquivalent zu e^(2a)=e^(-2ib).
>Da links eine reelle positive Zahl steht und rechts was von Betrag 1, kann
>diese Gleichheit nur gelten, wenn beide Zahlen 1 sind, also insbesondere a=0,
>d.h. z ist reell, und folglich sind alle Nullstellen des Sinus reell.
>
>> Bei Schritt 4 bin ich dann endgültig gescheitert. Es schien fast so
>> als ob 4 aus 3 folgt. Dem ist aber sicherlich nicht so.
>Richtig, es folgt nur (wenn man sich von der kompakten Konvergenz des Produkts
>überzeugt hat), dass der Quotient der beiden Seiten die Gestalt
>exp(g(x)) mit einer ganzen Funktion g hat - außer man benutzt tiefschürfende
>Ergebnisse wie den Produktsatz von Hadamard für Funktionen endlicher Ordnung.
>Aber die "klassische" Argumentation ist wohl die folgende:
>Das zweite Produkt rechts bezeichne ich mal mit P(x). Es ist zu zeigen, dass
>f(x)=sin(x)/P(x) konstant ist (wegen f(0)=1 muss f dann konstant 1 sein).
Das ist ja auch die Beweisidee vom allgemeinen Fall, so wie ich mich
erinnere.
>Berechne dazu die logarithmische Ableitung von f (also die Ableitung der
>oben erwähnten Funktion g - formal darf man dabei das Additionstheorem des
>Logarithmus anwenden und Grenzwert und Differentiation wegen kompakter
>Konvergenz vertauschen):
>f'(x)/f(x)=sin'(x)/sin(x) + P'(x)/P(x) = cot(x) + 1/x + sum 2x/(x^2-n^2 pi^2)
>Wenn man nun die Partialbruchzerlegung des Kotangens kennt, ist man fertig.
>Ich weiß aber nicht, wie man letzteres ohne Hilfsmittel aus der
>Funktionentheorie erhalten kann.
Danke für Deine Ausführungen.
Philipp
Klaus-R. Löffler
>
> Habe ich das nun richtig verstanden: Euler hat diese Formel nur
> begründen aber nicht vollständig beweisen können?
>
Zwar war Eulers Beweis von 1736 noch lückenhaft, da er Vermutungen
verwendete, 1748 hat Euler den Beweis aber durch Nachliefern einer korrekten
Begründung komplettiert.
Quelle: Arndt/Haenel : Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
Iain Davidson
Ja, aber "Beweis" ist ein relativer Begriff. Aus moderner Sicht hat
Euler natuerlich seinen Ansatz nicht bewiesen. Vielleicht nur eine
Beweisskizze vorgefuehrt oder nur eine gute Idee gehabt.
Man kann aber nur die zu Verfuegung stehenden Mittel verwenden,
um einen Beweis zu fuehren. Welche Mittel "erlaubt" und
welche nicht ist oft umstritten.
Euler hat ohne weiteres die Existenz von "i" (Unendlichkeit
als Zahl) akzeptiert( seine Zeitgenossen auch)
und er leitet die Reihenentwicklung von exp(x)
aus exp(x) = (1 + x/i)^i ab.
exp(x) - exp(-x) = (1 + x/i)^i - (1 - x/i)^i =
2(x + (x^3)/(1.2.3) + (x^5)(1.2.3.4.5) + ...)
Dann vergleicht er (1 + x/i)^i - (1 - x/i)^i mit a^n -z^n
Es gibt einen linearen Faktor (a -z) und quadratische
Faktoren der Form (a^2 -2az*cos(2*k*pi/n) +z^2
= (2 + (2x^2)/i -2(1 -(x^2)/(i^2) cos(2*k*pi/i))
cos(2*k*pi/i) = 1 - (2*k^2pi^2)/i^2
Q. Faktoren haben deshalb die Form
(4x^2)/i^2 + (4*k^2*pi^2)/i^2 - (4*k^2*pi^2*x^2)/i^2
Die Funktion exp(x) - exp(-x) ist dann durch
(1 + (x^2)/(k^2*pi^2) - x^2/i^2) teilbar.
x^2/i^2 kann weggelassen werden, weil es immer noch
unendlich klein bleibt.
(exp(x) - exp(-x))/2 = x(1+ x^2/pi^2) usw.
x -> sqrt(-1)x liefert sin(x)/x
Beweise sind einigermassen "in the eyes of the
beholder". Es gibt eine historische Entwicklung
von Ideen und auch eine persoenliche.
Man muss die historische Entwiclung nachvollziehen
um die Probleme, die die historische Entwicklung
vorangetrieben haben, zu verstehen.
Rainer Rosenthal
Iain Davidson <Sttsc...@tesco.net> wrote
>
> Beweise sind einigermassen "in the eyes of the
> beholder". Es gibt eine historische Entwicklung
> von Ideen und auch eine persoenliche.
> Man muss die historische Entwiclung nachvollziehen
> um die Probleme, die die historische Entwicklung
> vorangetrieben haben, zu verstehen.
>
Doppelt Dank, Iain,
zum einen für die Erklärung des Gedankengangs und
zum anderen für die abgewogenen Aussagen zur
Geschichte. Ich finde die aggressive Schreibweise
von Hendrik unangemessen. Aber vielleicht auch
nur deswegen, weil ich "etwas doof" bin. Und das
relativiert mein Lob dann natürlich :-)
Ist aber ernst gemeint. Jeder wie er kann.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hendrik van Hees
> Doppelt Dank, Iain,
>
> zum einen für die Erklärung des Gedankengangs und
> zum anderen für die abgewogenen Aussagen zur
> Geschichte. Ich finde die aggressive Schreibweise
> von Hendrik unangemessen. Aber vielleicht auch
> nur deswegen, weil ich "etwas doof" bin. Und das
> relativiert mein Lob dann natürlich :-)
> Ist aber ernst gemeint. Jeder wie er kann.
Es tut mir leid, wenn ich aggressiv geworden bin, aber die Behauptung, ein
Schulunterricht, der Mathematik statt Kampfrechnen vermittelt, macht mich
wütend.
Die historisierende Methode ist imho in der Mathematik und den
Naturwissenschaften der schlechteste nur denkbare didaktische Methode. Wir
müssen nicht jedesmal das Rad neu erfinden. Wie Newton schon richtig
bemerkte, kann die Wissenschaft nur vorankommen, weil sie die alten Fehler
nicht wiederholen muß.
Das soll nicht heißen, daß man die Historie vergessen soll, im Gegenteil, es
ist interessant und gibt Hinweise zum eigenen Studium, sich der Geschichte
mathematischer Begriffe zu vergegenwärtigen. Dies ersetzt aber keine
strikten Beweise und die Vermittlung des state of the art standards der
Wissenschaft.
Helmut Richter
> Iain Davidson wrote:
>
>> Die urspruengliche Frage war "Wie macht man die Formel
>> "sum 1/k^2 = (pi^2)/6" Leistungskurslern verstaendlich ?".
>> Euler hatte und Leistungskursler haben keinen Zugang zu
>> Weierstrass (nicht einmal Cauchy). Deshalb habe ich den
>> Eulerschen Ansatz erwaehnt. Eine moderne, strenge Beweisfuehrung
>> waere in diesem Fall inkongruent oder anachronistisch.
>> Durch die eher induktiven "Beweismethoden" von Euler
>> kann man aber das Ergebnis plausibel machen.
>
> Da überkommt mich gleich wieder der Brechreiz. Es ist rückständig und
> anachronistisch, wenn Du noch nicht einmal willens bist, Deine Schüler auf
> den Stand des 19. Jh. zu bringen, vom intellektuellen Genuß des 20. Jh.
> ganz zu schweigen.
... und Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb dazu:
> Ich finde die aggressive Schreibweise
> von Hendrik unangemessen. Aber vielleicht auch
> nur deswegen, weil ich "etwas doof" bin. Und das
> relativiert mein Lob dann natürlich :-)
> Ist aber ernst gemeint. Jeder wie er kann.
Ich habe den Thread verfolgt, wenn auch nicht in allen Details.
Philipps Frage war nach einer exakten Begründung, und die ist bis auf
Beweisideen (die mit erheblichem Wissen wohl zu Beweisen ausbaubar
sind) ausgeblieben. Damit war die Frage mehr als berechtigt. Iain
hätte uns einen Dienst erwiesen, wenn er auf diese Frage sinngemäß
geantwortet hätte, dass eine exakte Begründung für die angesprochenen
Leistungskursler zu schwierig sei, dass aber Eulers Idee doch eine
ganz nette Heuristik ist.
Da die Verwechslung zwischen "netter Heuristik" und "Beweis" eines der
Hauptwerkzeuge für die Produktion falscher Mathematik und eines der
Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ist, habe ich volles
Verständnis dafür, dass es das Brechreiz hervorrufen kann, wenn in der
Schule Beweisen vorgeführt werden sollen, die keine sind. Der Pädagoge
könnte natürlich auch die Gunst der Stunde nutzen und den Schülern den
Unterschied zwischen Heuristik und Beweis (oder, fast äquivalent, den
zwischen Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts) erklären. (Und die
großen Mathematiker alter Zeiten waren eben jene, die nur solche
Heuristiken verwendet haben, für die man wenigstens später eine gute
Begründung finden konnte.)
Helmut Richter
Rainer Rosenthal
Hendrik van Hees wrote
>
> Das soll nicht heißen, daß man die Historie vergessen
> soll, im Gegenteil, es ist interessant und gibt Hinweise
> zum eigenen Studium, sich der Geschichte mathematischer
> Begriffe zu vergegenwärtigen. Dies ersetzt aber keine
> strikten Beweise und die Vermittlung des state of the
> art standards der Wissenschaft.
>
Habe verstanden.
Klein geschrieben:
meinjabloss...
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Lukas-Fabian Moser
On 2 Aug 2002 14:46:16 GMT, a28...@mail.lrz-muenchen.de (Helmut
Richter) wrote:
>Da die Verwechslung zwischen "netter Heuristik" und "Beweis" eines der
>Hauptwerkzeuge für die Produktion falscher Mathematik und eines der
>Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ist, habe ich volles
>Verständnis dafür, dass es das Brechreiz hervorrufen kann, wenn in der
>Schule Beweisen vorgeführt werden sollen, die keine sind. Der Pädagoge
>könnte natürlich auch die Gunst der Stunde nutzen und den Schülern den
>Unterschied zwischen Heuristik und Beweis (oder, fast äquivalent, den
>zwischen Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts) erklären. (Und die
>großen Mathematiker alter Zeiten waren eben jene, die nur solche
>Heuristiken verwendet haben, für die man wenigstens später eine gute
>Begründung finden konnte.)
Goldene Worte.
Grüße, Lukas
Philipp Zumstein
Helmut Richter schrieb:
>Ich habe den Thread verfolgt, wenn auch nicht in allen Details.
>
>Philipps Frage war nach einer exakten Begründung, und die ist bis auf
>Beweisideen (die mit erheblichem Wissen wohl zu Beweisen ausbaubar
>sind) ausgeblieben. Damit war die Frage mehr als berechtigt. Iain
>hätte uns einen Dienst erwiesen, wenn er auf diese Frage sinngemäß
>geantwortet hätte, dass eine exakte Begründung für die angesprochenen
>Leistungskursler zu schwierig sei, dass aber Eulers Idee doch eine
>ganz nette Heuristik ist.
Ja, solch eine Antwort hätte ich gerne gehabt. Andernfalls war ich mir
nie ganz sicher, ob es vielleicht einen viel einfacheren Beweis für
diesen (speziellen) Sachverhalt gibt. Ich habe mir mit der Zeit
natürlich auch "zusammengereimt", dass es einen solchen einfachen
Beweis nicht gibt - noch nicht gibt, wenn man idealistisch bleiben
will...
>Da die Verwechslung zwischen "netter Heuristik" und "Beweis" eines der
>Hauptwerkzeuge für die Produktion falscher Mathematik und eines der
>Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ist, habe ich volles
>Verständnis dafür, dass es das Brechreiz hervorrufen kann, wenn in der
>Schule Beweisen vorgeführt werden sollen, die keine sind. Der Pädagoge
>könnte natürlich auch die Gunst der Stunde nutzen und den Schülern den
>Unterschied zwischen Heuristik und Beweis (oder, fast äquivalent, den
>zwischen Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts) erklären. (Und die
>großen Mathematiker alter Zeiten waren eben jene, die nur solche
>Heuristiken verwendet haben, für die man wenigstens später eine gute
>Begründung finden konnte.)
Deine historischen Anmerkungen finde ich interessant.
Gruss
Philipp
Iain Davidson
Helmut Richter <a28...@mail.lrz-muenchen.de> wrote in message
news:slrnakl6pn....@lxhri01.lrz.lrz-muenchen.de...
> In article <aiao3p$12itkc$1...@fu-berlin.de>, Hendrik van Hees wrote:
>
> > Iain Davidson wrote:
> >
> >> Die urspruengliche Frage war "Wie macht man die Formel
> >> "sum 1/k^2 = (pi^2)/6" Leistungskurslern verstaendlich ?".
> >> Euler hatte und Leistungskursler haben keinen Zugang zu
> >> Weierstrass (nicht einmal Cauchy). Deshalb habe ich den
> >> Eulerschen Ansatz erwaehnt. Eine moderne, strenge Beweisfuehrung
> >> waere in diesem Fall inkongruent oder anachronistisch.
> >> Durch die eher induktiven "Beweismethoden" von Euler
> >> kann man aber das Ergebnis plausibel machen.
> Philipps Frage war nach einer exakten Begründung, und die ist bis auf
> Beweisideen (die mit erheblichem Wissen wohl zu Beweisen ausbaubar
> sind) ausgeblieben. Damit war die Frage mehr als berechtigt.
Wenn Philip meinte "Haben Leistungskursler die modernen
Beweismittel und "mathematical maturity", eine moderne, exakte
Begruendung von "sum 1/k^2 = (pi^2)/6" zu liefern oder verstehen?",
dann verstehe ich nicht ganz, warum er die Frage gestellt hat.
Die Antwort muss "Nein" sein.
Meinte er vielleicht "Gibt es einen strengen Beweis, der nur auf
den Mitteln, die im Leistungskurs zur Verfuegung stehen und, den moderne
Profimathematiker als gueltig anerkennen wuerdern ?
Bis jetzt habe keine Antworten auf diese Frage gesehen.
Ich weiss auch nicht, ob es moeglich sei.
Iain
> hätte uns einen Dienst erwiesen, wenn er auf diese Frage sinngemäß
> geantwortet hätte, dass eine exakte Begründung für die angesprochenen
> Leistungskursler zu schwierig sei, dass aber Eulers Idee doch eine
> ganz nette Heuristik ist.
Das war doch meine Antwort. Siehe oben.
> Da die Verwechslung zwischen "netter Heuristik" und "Beweis" eines der
> Hauptwerkzeuge für die Produktion falscher Mathematik und eines der
> Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ist, habe ich volles
> Verständnis dafür, dass es das Brechreiz hervorrufen kann, wenn in der
> Schule Beweisen vorgeführt werden sollen, die keine sind.
Newton, Euler, Lagrange, Legendre, Galois, Ramanujan haben alle "falsche"
Mathematik produziert ?
Newton, Euler, Lagrange, Legendre, Galois, Ramanujan
sind Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ?
Ist "Verstehen" mit "Beweisen" gleichzusetzen ?
Peano im Kindergarten und Dedekind und Cauchy in der
Grundschule, damit die Kinder N, Q und R richtig verstehen
und anwenden koennen scheint etwas wirklichkeitsfremd zu sein.
Rainer Rosenthal
Iain Davidson wrote
>
> Peano im Kindergarten und Dedekind und Cauchy in der
> Grundschule, damit die Kinder N, Q und R richtig verstehen
> und anwenden koennen scheint etwas wirklichkeitsfremd zu sein.
>
Immer kann ich Dir natürlich auch nicht beipflichten.
Man könnte das ja mal überlegen. In Peking wird z.B.
schon im Kindergarten Chinesisch gelernt. Und das ist
doch viel schwieriger als Peano, oder?
Hier ein Schnäpschen für alle, die sich nun wieder übergeben
müssen:
__________
| |
| 2cl |
\~~~~~~~~/
\ /
\____/RwR
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Philipp Zumstein
"Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
Die zweite Formulierung würde mir eher zusprechen, aber ich versuche
mich selbst zu formulieren...
Um eines Vorab zu nehmen, ich weiss nicht was Leistungskursler von
Mathematik wissen, und was nicht. Das will heissen, wir kennen dieses
System nicht.
Ich bin eigentlich an beiden interessiert: An einem formalen Beweis
(der wahrscheinlich das angesprochene Niveau übersteigt) sowie auch an
einer interessanten Begründung. In Deinem ersten Posting zum Thema
(FI909.1472$7v5....@newsfep1-win.server.ntli.net) schriebst Du vom
"ursprünglichen Beweis von Euler". Also nahm ich dieses Posting als
formalen, vollständigen Beweis hin. Dies war ein Irrtum. Irgendwo ein
Hinweis wie "dies ist kein formaler Beweis, wie wir das heute
verstehen" oder "dies kann man mithilfe von Funktionentheorie genau
begründen" hätte mir ja schon genügt um Einzusehen, dass man noch mehr
braucht, um das vollständig zu beweisen.
>> hätte uns einen Dienst erwiesen, wenn er auf diese Frage sinngemäß
>> geantwortet hätte, dass eine exakte Begründung für die angesprochenen
>> Leistungskursler zu schwierig sei, dass aber Eulers Idee doch eine
>> ganz nette Heuristik ist.
>
>Das war doch meine Antwort. Siehe oben.
>
>> Da die Verwechslung zwischen "netter Heuristik" und "Beweis" eines der
>> Hauptwerkzeuge für die Produktion falscher Mathematik und eines der
>> Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ist, habe ich volles
>> Verständnis dafür, dass es das Brechreiz hervorrufen kann, wenn in der
>> Schule Beweisen vorgeführt werden sollen, die keine sind.
>
>
>Newton, Euler, Lagrange, Legendre, Galois, Ramanujan haben alle "falsche"
>Mathematik produziert ?
Achtung, Helmut schreibt hier von der _Verwechslung_ zwischen
Heuristik und Beweis. D.h. ja noch lange nicht, dass das eine besser
als das andere ist.
>Newton, Euler, Lagrange, Legendre, Galois, Ramanujan
>sind Haupthindernisse beim Verstehen von Mathematik ?
Nee... Sowie ich Helmut verstehe:
Z.B. man hat zwei Aussagen, die eine ist wahr die andere ist falsch.
Beide Aussagen kann man mit der gleichen Heuristik begründen. Nun
versteht man aber nicht, warum es beim einen Mal klappt und beim
anderen nicht. Um zu verstehen kann man für die richtige Aussage einen
Beweis suchen und sehen was bei der falschen Aussage schief geht.
>Ist "Verstehen" mit "Beweisen" gleichzusetzen ?
Dies würde ich für mich mit "Meistens: Ja" beantworten.
>Peano im Kindergarten und Dedekind und Cauchy in der
>Grundschule, damit die Kinder N, Q und R richtig verstehen
>und anwenden koennen scheint etwas wirklichkeitsfremd zu sein.
Naja...
Wenn man die natürlichen Zahlen mit der Addition als gegeben
vorraussetzt, kann man doch die ganzen Zahlen und rationalen Zahlen
herleiten. Die Subtraktion, Multiplikation und Division sind dann auf
diesen Zahlbereichen auch herleitbar (das ist doch ungefähr der Stoff
der ersten 6 Jahre, oder?)
Damit hat man ja auch schon fast einen axiomatischen Aufbau erreicht.
[Übrigens, ich würde mal behaupten, die meisten Schulabgänger können
Mathematik anwenden, aber sie verstehen ist eine ganz andere Sache.
Wer ist nur schon gewillt darüber nachzudenken, wie eigentlich
begründet wird, dass 4*5=20 ist?]
Gruss
Philipp
Iain Davidson
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote in message
news:aij9n4$14j1vc$1...@ID-54909.news.dfncis.de...
>
> Iain Davidson wrote
> >
> > Peano im Kindergarten und Dedekind und Cauchy in der
> > Grundschule, damit die Kinder N, Q und R richtig verstehen
> > und anwenden koennen scheint etwas wirklichkeitsfremd zu sein.
> >
>
> Immer kann ich Dir natürlich auch nicht beipflichten.
> Man könnte das ja mal überlegen. In Peking wird z.B.
> schon im Kindergarten Chinesisch gelernt. Und das ist
> doch viel schwieriger als Peano, oder?
Aber nicht axiomatisch.
Die wissen nicht mal wo sie ihre Sprache
in die Chomsky Hierarchie einstufen sollen.
__________
> | |
> | 2cl |
> \~~~~~~~~/
> \ /
> \____/RwR
Cheers.
Iain Davidson
> Hallo Iain,
>
> "Iain Davidson" <Sttsc...@tesco.net> wrote:
>
> >Helmut Richter <a28...@mail.lrz-muenchen.de> wrote in message
> >news:slrnakl6pn....@lxhri01.lrz.lrz-muenchen.de...
> >> In article <aiao3p$12itkc$1...@fu-berlin.de>, Hendrik van Hees wrote:
> >>
> Die zweite Formulierung würde mir eher zusprechen, aber ich versuche
> mich selbst zu formulieren...
>
> Um eines Vorab zu nehmen, ich weiss nicht was Leistungskursler von
> Mathematik wissen, und was nicht. Das will heissen, wir kennen dieses
> System nicht.
Stimmt. Ich nahm an, dass ein Leistungskurs etwa mit dem
ehemaligen "S level" in der UK vergleichbar sei.
> Z.B. man hat zwei Aussagen, die eine ist wahr die andere ist falsch.
> Beide Aussagen kann man mit der gleichen Heuristik begründen. Nun
> versteht man aber nicht, warum es beim einen Mal klappt und beim
> anderen nicht. Um zu verstehen kann man für die richtige Aussage einen
> Beweis suchen und sehen was bei der falschen Aussage schief geht.
Hoert sich theoretisch sehr gut an, aber wir funktioniert das mit
einem konkreten Beispiel ?
Fareyzerlegungen liefern beste Approximationen
zu reellen Zahlen und deshalb lassen sich anwenden, um, z.B.,
die Pellsche Gleichung x^2 -Dy^2 =1 zu loesen. Es ist bewiesen, dass die
Methode immer funktioniert.
Hurwitz schreibt in "Annaehrung von Zahlen durch rationale Brueche"
Mathematische Annalen XLIV 1893, s. 435:
"Eine andere Verallgemeinerung besteht darin, dass man nicht eine
Groesse x, sondern zwei Groessen x und y betrachtet, die durch
rationale Zahlen simultan angenaehert werden sollen. Des bequemeren
Ausdrucks wegen deute ich x und y als rechtwinklige Coordinaten,
so dass die Groessnpaar x,y durch einen Punkt in einer Ebene
dargestellt wird. In dieser Ebene betrachte man diejenige Punkte,
deren beide Coordinaten rationale Zahlen sind. Die Coordinaten
eines solchen Punktes lassen sich stets auf die Form u/w, v/w
bringen, wo u,v,w ganze Zahlen ohne einen allen gemeinsamen
Theiler sind. Diese Zahlen nenne ich die natuerlichen (homogenen)
Cordinaten des betreffenden Punktes. Die natuerlichen Coordinaten
u,v,w eines Punktes (mit rationalen Coordinaten) sind offenbar bis
aud die Factor -1 mit dem man alle drei Coordinaten noch multiplizieren
kann, vollkommen bestimmt. Zieht man nun das System aller Punkte
in Betracht, deren natuerliche Coordinaten absolut genommen die
positive ganze Zahl n nicht uebertreffen , so laesst sich zeigen, dass diese
Punkte angesehen werden koennen als die Ecken einer gewissen
Dreiecknetzes vpn der Eigenschaft, dass erstens die Ebene von dem
Netze einfach bedeckt wird, dass zweitens die Determinante
aus dem natuerlichen Coordinaten der Ecken jedes Dreieckes
den Wert +/-1 besitzt und dass drittens das zur Zahl n+1 gehoerige
Netz aus dem zur Zahl n gerhoerigen vermoege Theilung einzelner
Dreiecke durch geeignete Ecktransversalen entsteht."
Die "Approximationsheuristik" basiert sich also auf Mediantbildung, die
zwei neue Segmente oder Dreiecke bildet, aber nur
der Segment oder Dreieck, der den zu approximierenden Punkt
enthaelt wird behalten.
Ich glaube, dass man zuerst die Verallgemeinerung
naeher untersuchen muss, eher man irgendetwas
beweisen kann. Gelingt die Verallgemeinerung immer,
nie, in bestimmten Faellen ? Wird der Beweis eine
Doktorarbeit werden oder eine leichte Uebung ?
Hat jemand inzwischen irgendetwas naeheres
herausgefunden ?
Helfen die schon bekannten Saetze ueber Fareyintervallen
weiter ?
Wie sieht Dein Beweis aus ?
> >Ist "Verstehen" mit "Beweisen" gleichzusetzen ?
>
> Dies würde ich für mich mit "Meistens: Ja" beantworten.
Kann man die Gueltigkeit der oben erwaehnten Verallgemeinerung
beweisen ohne sie zuerst intuitiv oder induktiv zu verstehen ?
Um irgendetwas formal zu beweisen muss ein Rahmen schon
existieren oder geschaffen werden.
Wenn man verstanden hat, kann man beweisen.
> [Übrigens, ich würde mal behaupten, die meisten Schulabgänger können
> Mathematik anwenden, aber sie verstehen ist eine ganz andere Sache.
> Wer ist nur schon gewillt darüber nachzudenken, wie eigentlich
> begründet wird, dass 4*5=20 ist?]
Das ist aber das Problem, niemand ist gewillt das zu beweisen
was evident erscheint. Sogar Newton als er Euklid zum ersten Mal
las soll gesagt haben, dass die Saetze ganz interessant waeren, aber
klar genug ohne die Beweise".