unendliche Mengen

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FrAKaLlI

unread,
Jun 26, 2001, 12:02:09 AM6/26/01
to
Tag!
Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten endlichen Menge dadurch
beweisst, dass man sie angibt. Dann kann man aber nicht beweisen, dass
unendliche Mengen in diesem Sinne existieren, denn man kann ja keine angeben.
Wer kann mir das erklaeren? Aber bitte keine Mengenaxiome heranziehen, ich rede
von naiven Mengen.


Paul Ebermann

unread,
Jun 26, 2001, 3:54:16 AM6/26/01
to

Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
(einzeln) aufschreiben.
Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
so kann man diese schon aufschreiben:
Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
aller der endlichen Mengen beschreiben.
Die wichtigsten anderen unendlichen Mengen kann man dann
daraus konstruieren.

Es wird allerdings _wirklich_ einfacher, wenn man von einigen
Axiomen wie dem Unendlichkeitsaxiom ausgeht - das postuliert
nämlich gerade die Existenz einer unendlichen Menge.

Paul
--
Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.

Roberto Massi

unread,
Jun 26, 2001, 7:30:12 AM6/26/01
to

"Paul Ebermann" <Paul-E...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:9h9evu$ce7dg$3...@ID-77081.news.dfncis.de...

Hi.

> > Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten endlichen Menge
dadurch
> > beweisst, dass man sie angibt.

Das ist nur e i n e Möglichkeit, die Existenz nachzuweisen. Die Existenz
(z.B.) einer Menge wuerde
sich doch auch dadurch ergeben, dass man die Nicht-Existenz dieser Menge
widerlegt.
Sogar die Eigenschaft "endlich" laesst sich in vielen Fällen anders
nachweisen als durch die
explizite Aufzählung aller Elemente.

> >Dann kann man aber nicht beweisen, dass
> > unendliche Mengen in diesem Sinne existieren, denn man kann ja keine
angeben.

Wenn aus "A" immer "B" folgt, folgt dann auch aus "A" immer "C" ? Du
solltest einen kleinen
Exkurs in Sachen Aussagenlogik unternehmen!

> > Wer kann mir das erklaeren? Aber bitte keine Mengenaxiome heranziehen,
ich rede
> > von naiven Mengen.
>
> Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
> (einzeln) aufschreiben.

Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
aufzuschreiben.;-)

> Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
> so kann man diese schon aufschreiben:
> Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
> aller der endlichen Mengen beschreiben.
> Die wichtigsten anderen unendlichen Mengen kann man dann
> daraus konstruieren.
>
> Es wird allerdings _wirklich_ einfacher, wenn man von einigen
> Axiomen wie dem Unendlichkeitsaxiom ausgeht - das postuliert
> nämlich gerade die Existenz einer unendlichen Menge.
>
> Paul
> --
> Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
> anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.
>

Gruß

R.


Jan Röhrich

unread,
Jun 26, 2001, 8:41:46 AM6/26/01
to
> Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
> Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
> aufzuschreiben.;-)
>


wieso soll das nicht gehen? Es hat ja keiner davon geredet, wieviel Zeit
und Speicherpltz man benötigen darf!

Gruß Jan

SL

unread,
Jun 26, 2001, 9:49:19 AM6/26/01
to

Anette Stegmann wrote:

> {2001-06-26 13:30} "Roberto Massi" (chi...@freakmail.de):


>
> >
> >> > Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten
> >> > endlichen Menge dadurch beweisst, dass man sie angibt.
> >
> >Das ist nur e i n e Möglichkeit, die Existenz nachzuweisen.
>

> Die Existenz kann man nur nachweisen im Rahmen eines bestimmten
> Glaubens- oder Axiomsystems.
>
> Das heißt aber, daß man die Existenz letztendlich nur
> /postulieren/ und nicht beweisen kann. (dh. beweisen nur durch
> Zurückführung auf ein Postulat/Axiom.)
>
> Dies ist anders als bei den physikalischen Objekten, wo man
> Existenz durch Experimente klären kann (z.B. beim Higgs-Boson).
>

Ach, für Higgs-Bosonen ( od. Higgs-Felder) werden keine physikalischen
Postulate zugrunde gelegt?Keine Wechselwirkungen mehr über irgendwelche
'virtuellen Teilchen' ? Auf welchen Grundlagen basieren eigentlich
entsprechende Feldgleichungen ?

Roberto Massi

unread,
Jun 26, 2001, 10:58:10 AM6/26/01
to

"Jan Röhrich" <j...@rw-gbr.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B38830A...@rw-gbr.de...

Hi Jan,

nee is klar. Dann schafft das "FrAKaLll" das ja auch mit abzaehlbaren Mengen
;-)

Gruss

R

FrAKaLlI

unread,
Jun 26, 2001, 12:37:36 PM6/26/01
to
>Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
>so kann man diese schon aufschreiben:
>Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
>aller der endlichen Mengen beschreiben.

Ich dachte, die natürlichen Zahlen seien definiert als eine Menge, die die
Peano-axiome erfuellt?
Sind diese beiden Definitionen aquivalent?

Boris 'pi' Piwinger

unread,
Jun 26, 2001, 3:16:21 PM6/26/01
to
frak...@aol.com (FrAKaLlI) wrote:

Wenn Du keine Axiome heranziehen willst (willst Du eigentlich schon,
Du willst nur nicht darueber nachdenken, welche das sind;-), dann ist
es beliebig unklar, was es bedeuten soll, dass eine Menge existiert.

pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)

Paul Ebermann

unread,
Jun 26, 2001, 1:49:05 PM6/26/01
to

Das hängt davon ab:
a) ist die leere Menge eine endliche Menge?
b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?

Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
sind die Mengen isomorph.

Es gibt allerdings auch noch andere Varianten, die Menge der
natürlichen Zahlen zu konstruieren, allerdings benötigt man
immer eine Art 'Unendlichkeitsaxiom', welches dann sagt, das
das auch wirklich eine Menge ist.

Paul Ebermann

unread,
Jun 26, 2001, 1:50:49 PM6/26/01
to
> > Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
> > (einzeln) aufschreiben.
>
> Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
> Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
> aufzuschreiben.;-)

Was hältst du davon:

1^1, 10^10, 100^100, 1000^1000, 10000^10000

SCNR
Paul

Franz Kallista

unread,
Jun 26, 2001, 11:03:11 PM6/26/01
to
>> Sind diese beiden Definitionen aquivalent?
>
>Das hängt davon ab:
>a) ist die leere Menge eine endliche Menge?

Unendlich ist sie ja jedenfalls nicht.

>b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?

Was soll das heissen? Per Peano gibt es ein Element, das kein Nachfolger ist.

>Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
>sind die Mengen isomorph.

Wie beweisst man das denn?
.

Paul Ebermann

unread,
Jun 28, 2001, 5:38:53 PM6/28/01
to
> >b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?
>
> Was soll das heissen? Per Peano gibt es ein Element, das kein Nachfolger ist.

Genau. Und wenn du dieses erste Element '0' nennst (was ja
die Kardinalität der leeren Menge ist), musst du eben auch
die leere Menge zu den endlichen Mengen hinzuzählen.
Wenn du dieses erste Element '1' nennst, ist die leere Menge
keine endliche Menge (sondern hat einen Sonderstatus).

> >Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
> >sind die Mengen isomorph.
>
> Wie beweisst man das denn?

Wir stellen ein Modell für die Peanoaxime mit der Menge
der Kardinalitäten der endlichen Mengen her (Wobei keine Menge
sich selbst enthalten solle).
0 := card({}) ist das erste Element.

Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
ist also immer noch eine endliche Menge.
Wir haben also unsere Nachfolgerelation gegeben durch
S( card(M) ) := card( M vereinigt {M} )
Wir können natürlich auch stattdessen ein anderes Element
hinzufügen, das nicht schon enthalten ist, das ändert ja
nichts an der Kardinalität.

Dann gelten, wie man leicht sieht, die weiteren Axiome:
- Es gibt keine endliche Menge, bei der durch Hinzufügen
von Elementen die leere Menge entsteht.
- Jede Menge, die nicht endlich ist, lässt sich so nicht
darstellen, denn durch Wegnahme eines Elementes erhalten
wir immer noch keine endliche Menge.
- Jede endliche Menge lässt sich so erreichen, denn
durch Wegnahme eines Elementes haben wir eine Menge,
die eine kleinere Kardinalität hat, schließlich kommen
wir zur leeren Menge.

Dies ist jetzt nicht formal korrekt, allerdings sieht
man wohl den Ansatz.

Umgekehrt kann man auch zu jeder natürlichen Zahl eine
endliche Menge mit dieser Zahl an Elementen suchen,
und deren Kardinalität dann damit identifizieren.

Paul

Joerg Neulist

unread,
Jun 29, 2001, 4:09:31 AM6/29/01
to
"Paul Ebermann" <Paul-E...@gmx.de> schrieb:

>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>ist also immer noch eine endliche Menge.

Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?

Gruß,
Jörg

Boris 'pi' Piwinger

unread,
Jun 29, 2001, 2:21:56 PM6/29/01
to
Joerg Neulist <dusk...@gmx.de> wrote:

>>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>>ist also immer noch eine endliche Menge.
>
>Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?

Was hat die Frage mit vorstehender Aussage zu tun?

Paul Ebermann

unread,
Jun 29, 2001, 12:59:40 PM6/29/01
to
> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>
> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?

Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
Dann schließen wir diese Probleme aus.

Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
Menge sich selbst enthält.
Die Russelsche Antinomie wird dadurch jedenfalls ausgeschlossen.

Paul

Thomas Haunhorst

unread,
Jun 29, 2001, 6:28:37 PM6/29/01
to
On Fri, 29 Jun 2001 18:59:40 +0200, Paul Ebermann <Paul-E...@gmx.de> wrote:
>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
>
>Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
>(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
>Menge sich selbst enthält.

Der Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
kam erst 1925 zu ZF hinzu. Ueblicherweise zaehlt man es heute zu ZF hinzu,
aber es gibt Autoren, die es von ZF trennen. Es werden jedenfalls auch
axiomatische Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom betrachtet.

Gruss Thomas
--

Thomas Haunhorst

unread,
Jun 29, 2001, 6:29:21 PM6/29/01
to
On Fri, 29 Jun 2001 18:59:40 +0200, Paul Ebermann <Paul-E...@gmx.de> wrote:
>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
>
>Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
>(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
>Menge sich selbst enthält.

Den Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das

Thomas Haunhorst

unread,
Jun 30, 2001, 6:12:48 AM6/30/01
to
On 29 Jun 2001 22:29:21 GMT,
Thomas Haunhorst <Thomas.H...@HEH.Uni-Oldenburg.DE> wrote:
>Den Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
>kam erst 1925 zu ZF hinzu. Ueblicherweise zaehlt man es heute zu ZF hinzu,
>aber es gibt Autoren, die es von ZF trennen. Es werden jedenfalls auch
>axiomatische Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom betrachtet.

Nachtrag: Das "Problem" der Russellschen Antinomie wird in ZF durch die "gere-
gelte" Komprehension "vorlaeufig" geloest, und in einer Mengenlehre, die ne-
ben Mengen auch noch echte Klassen zulaesst, dadurch, dass man die Element-
beziehung einschraenkt. Eine Komprehension wie {x|x ist nicht Element von x}
ist dann nicht ausgeschlossen, aber durch den Widerspruch, der entsteht, wenn
man diese Klasse als Menge annimmt, ergibt sich, dass sie keine Menge ,
also eine echte Klasse ist. In der Mengentheorie NBG (Neumann-Goedel-Bernays)
wird das so gemacht. Wenn man dort schreibt X\in Y, so muss X immer eine
Menge sein, aber Y kann auch eine echte Klasse sein.

Joerg Neulist

unread,
Jun 30, 2001, 6:14:14 AM6/30/01
to
"Paul Ebermann" <Paul-E...@gmx.de> schrieb:

>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.

Dann stellst Du nur sicher, dass obige Operation tatsächlich # erhöht.
Ich kenne es jedenfalls so, dass man es vermeidet, Mengenelemente aus
verschiedenen Meta-ebenen zusammenzusuchen, insbesondere
Selbstenthaltung. Ich sehe da oben keinen direkten Widerspruch, wollte
das nur anmerken.

Gruß,
Jörg

Joerg Neulist

unread,
Jun 30, 2001, 6:14:42 AM6/30/01
to
Boris 'pi' Piwinger <3....@logic.univie.ac.at> schrieb:

>Joerg Neulist <dusk...@gmx.de> wrote:
>
>>>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>>>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>>>ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>>Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Was hat die Frage mit vorstehender Aussage zu tun?

siehe Antwort auf Paul.

Gruß,
Jörg

Dieter Jungmann

unread,
Jun 30, 2001, 10:25:21 PM6/30/01
to
Paul Ebermann schrieb am 28. Juni 23:38 h:

>
> Wir stellen ein Modell für die Peanoaxime mit der Menge
> der Kardinalitäten der endlichen Mengen her (Wobei keine Menge
> sich selbst enthalten solle).
> 0 := card({}) ist das erste Element.
>
> Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
> 'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
> ist also immer noch eine endliche Menge.
> Wir haben also unsere Nachfolgerelation gegeben durch
> S( card(M) ) := card( M vereinigt {M} )
> Wir können natürlich auch stattdessen ein anderes Element
> hinzufügen, das nicht schon enthalten ist, das ändert ja
> nichts an der Kardinalität.
>
> Dann gelten, wie man leicht sieht, die weiteren Axiome:
> - Es gibt keine endliche Menge, bei der durch Hinzufügen
> von Elementen die leere Menge entsteht.
> - Jede Menge, die nicht endlich ist, lässt sich so nicht
> darstellen, denn durch Wegnahme eines Elementes erhalten
> wir immer noch keine endliche Menge.
> - Jede endliche Menge lässt sich so erreichen, denn
> durch Wegnahme eines Elementes haben wir eine Menge,
> die eine kleinere Kardinalität hat, schließlich kommen
> wir zur leeren Menge.

Hallo Paul,

das hast du anschaulich erklaert. Ich nenne einmal die Mengen m_k, die
mit der Nachfolgerelation (m vereinigt {m}) konstruiert werden, Z-Mengen.
m_0 ist die leere Menge. Alle Z-Mengen m_k enthalten nur endlich viele
Elemente. Bildet man die Einermengen {m_k} und von diesen die Vereini-
gungsmengen M_k = {m_0, m_1, ..., m_k} fuer jedes k, so erhaelt man die
Mengenfolge M_k. Alle M_k enthalten, wie umnittelbar einzusehen ist,
ebenfalls nur endlich viele, naemlich k + 1, Elemente.

Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom. Durch
dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst waere es
ueberfluessig. Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren. Nach
Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.

Den mengentheoretisch definierten Z-Mengen ordnet man ueblicherweise auf
mathematischer Seite die natuerlichen Zahlen k zu. Auch fuer diese gilt,
dass man von jeder Zahl k, die nur endlich viele (Binaer-)Stellen hat,
durch wiederholte Subtraktion einer 1 in endlich vielen Schritten zur 0
zurueckkehren kann. Wenn N, die Menge der natuerlichen Zahlen, tatsaechlich
unendlich ist, muss sie auch unendlich viele Zahlen enthalten, von denen
aus das nicht moeglich ist. Dabei kann es sich nach meiner Meinung nur
um Zahlen mit unendlich vielen Stellen handeln. Siehst du eine andere
Moeglichkeit?

Vielleicht kann dir Rainer Rosenthal, Hallo Rainer, bei der Loesung des
Problems helfen, er hatte mir naemlich eine Erklaerung verspochen, wie
man mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellen kann.

Gruss Dieter

Paul Ebermann

unread,
Jul 1, 2001, 6:30:25 AM7/1/01
to

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag news:3B3E8A11...@t-online.de...

Hallo Paul,

Soweit ist das richtig.

> Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> waere es ueberfluessig.

Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.

> Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
> Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
> Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
> Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren.

Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.

> Nach
> Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.

Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
unserer Menge M nicht erfüllt.
Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
zurückkommen können?

> Den mengentheoretisch definierten Z-Mengen ordnet man ueblicherweise auf
> mathematischer Seite die natuerlichen Zahlen k zu. Auch fuer diese gilt,
> dass man von jeder Zahl k, die nur endlich viele (Binaer-)Stellen hat,
> durch wiederholte Subtraktion einer 1 in endlich vielen Schritten zur 0
> zurueckkehren kann.

Stimmt.

> Wenn N, die Menge der natuerlichen Zahlen, tatsaechlich
> unendlich ist, muss sie auch unendlich viele Zahlen enthalten, von denen
> aus das nicht moeglich ist. Dabei kann es sich nach meiner Meinung nur
> um Zahlen mit unendlich vielen Stellen handeln. Siehst du eine andere
> Moeglichkeit?

Es gibt überhaupt keine natürliche Zahl, von der aus das
nicht möglich ist. Damit benötigen wir auch keine unendlich
vielen Stellen.

> Vielleicht kann dir Rainer Rosenthal, Hallo Rainer, bei der Loesung des
> Problems helfen, er hatte mir naemlich eine Erklaerung verspochen, wie
> man mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellen kann.

Jede natürliche Zahl kann man mit endlich vielen (Binär-, Dezimal-,
oder sonstigen) Stellen darstellen.
Allerdings kann man keine Stellenanzahl 's_max' angeben, mit der
wir jede Zahl darstellen können. Schon 'b^(s_max)' (b die Basis
unseres Zahlsystems, also etwa 2 oder 10) benötigt ja eine Stelle
mehr - aber immer noch endlich viele Stellen.

Paul

Dieter Jungmann

unread,
Jul 4, 2001, 1:12:20 AM7/4/01
to
Paul Ebermann schrieb:

>
> > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> > waere es ueberfluessig.
>
> Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
> Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.

Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom. Andernfalls
braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist. Wenn das
konstruierte Objekt die Bedingungen fuer eine Menge nicht erfuellt,
laesst sich das durch "umdefinieren" mit einem Axiom auch nicht erreichen,
man wuerde dann lediglich einen Widerspruch in die Theorie einfuehren.
Es sei denn, dem Objekt fehlen Eigenschaften oder Elemente, die es erst
zu einer Menge machen wuerden. Dann koennen diese durch ein Axiom
hinzugefuegt werden. Es muss dann aber geklaert werden, was durch das
Axiom hinzukommt, sonst bleibt die Theorie unverstanden und es besteht
die Gefahr, dass sie in Spekulation abgleitet. Ein Axiom, das nichts
neues in die Theorie einbringt, ist ueberfluessig und blosser Verbalismus.

>
> > Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
> > Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
> > Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
> > Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren.
>
> Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
> beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
> du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.

So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
Zahlen.

>
> > Nach
> > Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> > viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> > endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
>
> Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
> unserer Menge M nicht erfüllt.
> Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
> Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
> zurückkommen können?

Das waere nur moeglich, wenn die Menge unendlich viele endliche
Schleifen enthaelt. In einer schleifenfreien geordneten Menge
erreicht man die Kardinalitaet w (klein omega) nicht in endlich
vielen Schritten. Damit erreicht man nur Z-Mengen m_k mit endlicher
Kardinalitaet. Jedes dieser m_k hat einen Nachfolger mit groesserer
Kardinaltaet. Die Zusammenfassung all dieser m_k ergibt daher keine
abgeschlossene Menge M sondern nur eine Mengenfolge M_k.

Die Zusammenfassung von Elementen, von denen jedes einen (anderen)
Nachfolger hat, kann keine abgeschlossene Menge sein. Die Mengenlehre
versucht das Unmoegliche mit einem Trick zu erreichen, indem sie den
Begriff der Kardinalitaet einfuehrt.
Eine abzaehlbar unendliche Menge hat die Kardinalitaet w, die sich
nicht aendert, wenn man noch ein Element hinzufuegt. Damit hat man
das Gewuenschte erreicht: Eine (scheinbar) abgeschlossene Menge, der
man noch weitere Elemente hinzufuegen kann, so dass es trotz Wohlordnung
derselben kein letztes Element aber doch einen Abschluss gibt. Erreicht
wird das durch Aufsplitten der Begriffe: "kein letztes Element" bezieht
sich auf die offene Anzahl der Elemente, "Abschluss" auf die Kardinalitaet,
die sich durch das Hinzufuegen weiterer Elemente nicht mehr aendert und
daher zu einem Abschluss gekommen ist. Es bleibt allerdings zu klaeren,
was w eigentlich ist.

Wenn N die Kardinalitaet w hat, ist es nicht mehr moeglich, jede Zahl
in endlich vielen Schritten zu erreichen. Umgekehrt kann man auch nicht
mehr in endlich vielen Schritten von jeder Zahl zur 0 zurueckkehren. Auf
dem Weg zur 0 koennte man jede Zahl, an der man "vorbeigekommen" ist,
aus N entfernen. Man koennte also N in endlich vielen Schritten entlehren.

Dein Argument stuetzt sich darauf, dass man zu jedem k ein groesseres
angeben kann. Du greifst aber (wegen der Begrenztheit unserer Sprache)
nur k-Werte mit endlich vielen Stellen heraus und laesst die Moeglichkeit
von Zahlen mit unendlich vielen Stellen von vornherein ungeprueft ausser
acht. Weder in der Alltagssprache noch in der mathematischen Sprache ist
diese Möglichkeit vorgesehen. (Man braucht sie ja auch nicht.) Ein
Praktiker könnte sagen, dann brauche ich auch keine Theorie für unendlich
viele Zahlen. Wenn man aber eine Theorie für unendlich viele Zahlen
aufstellt, kann die Tatsache, dass die vorhandenen Sprachen keine
Zahlen mit unendlich vielen Stellen nennen können, nicht als
Begründung für deren Nichtexistenz dienen. Wenn sich ihre Existenz
als unverzichtbar zur Erfüllung der übrigen Axiome erweist, muss sie
genau so durch ein Axiom postuliert werden wie die Existenz von
unendlich vielen Zahlen, auch wenn sich diese Zahlen nicht explizit
angeben lassen. Bei den irrationalen Zahlen wird die Existenz von
Zahlen mit unendlich vielen Stellen schliesslich auch postuliert,
obwohl man sie nicht angeben kann. Man kann höchstens einen
unbegrenzt anwendbaren Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern einer
irrationalen Zahl angeben. Das ist aber bei den natürlichen Zahlen
nicht anders. Jeder g-adische Algorithmus ist ein Beispiel dafür.

> Jede natürliche Zahl kann man mit endlich vielen (Binär-, Dezimal-,
> oder sonstigen) Stellen darstellen.
> Allerdings kann man keine Stellenanzahl 's_max' angeben, mit der
> wir jede Zahl darstellen können. Schon 'b^(s_max)' (b die Basis
> unseres Zahlsystems, also etwa 2 oder 10) benötigt ja eine Stelle
> mehr - aber immer noch endlich viele Stellen.

Eben darum ergeben Zahlen mit endlich vielen Stellen auch keine
abgeschlossene Menge sondern nur eine unbegrenzte Mengenfolge ohne
jemals die Kardinalitaet w zu erreichen.

Eine vorgegebene Zahl ist willkürlich aus der Menge N herausgegriffen.
Es steht daher von vornherein fest, dass diese Zahl sowohl einen
Vorgänger (wenn du nicht gerade die 0 herausgegriffen hast) als auch
einen Nachfolger hat. Der Nachweis, dass es noch mehr _endliche_ Zahlen
gibt, ist also gar nicht mehr notwendig, weil dies in der Tatsache, dass
es eine irgendwo aus der geordneten Menge ausgewählte endliche Zahl ist,
bereits enthalten ist. Das ist einer der logischen Zirkel der Mengenlehre.

Du musst unterscheiden zwischen Aussagen, die nur für einzelne Zahlen
gültig sind, und Aussagen, die für die ganze Menge gelten sollen.
Wenn die abgeschlossene unendliche Menge N per Axiom gefordert wird,
ist klar, dass die Aussage "es gibt Zahlen mit endlich vielen Stellen"
nicht für alle Zahlen gelten kann, denn
1. so gross man die Zahl s der Stellen auch wählt, wenn sie endlich ist,
erhält man nur endlich viele Zahlen, naemlich b^s einschliesslich
der 0, wenn b die Basis des Zahlensystems ist.
2. Bei Begrenzung auf Zahlen mit endlich vielen Stellen ergeben die
Peano-Axiome eine offene Menge bzw. eine Mengenfolge, weil _jede_ Zahl
mit endlich vielen Stellen einen Nachfolger hat, der die Kardinalitaet
der Menge N_k, die alle Zahlen von 0 bis k enthaelt, erhoeht.
3. Für eine Menge, die nur Zahlen mit endlich vielen Stellen enthält,
benötigt man kein Unendlichkeitsaxiom. Denn die Elemente dieser
Menge lassen sich mit den Peano-Axiomen konstruieren und ihre
Zusammenfassung zu einer Menge verstösst nicht gegen das Fundierungs-
axiom. Weder die Existenz der Elemente noch die der Menge muss also
durch ein eigenes Axiom gesichert werden.


Gruss Dieter

Boris 'pi' Piwinger

unread,
Jul 4, 2001, 2:48:43 AM7/4/01
to
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>> > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
>> > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
>> > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
>> > waere es ueberfluessig.
>>
>> Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
>> Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
>
>Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
>Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom.

Ich will sehen.

>Andernfalls
>braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
>nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist.

So ist es. Allerdings braucht man gelegentlich auch mehrere Axiome;-)

Horst Kraemer

unread,
Jul 4, 2001, 3:03:23 AM7/4/01
to
On Wed, 04 Jul 2001 07:12:20 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:


> Die Zusammenfassung von Elementen, von denen jedes einen (anderen)
> Nachfolger hat, kann keine abgeschlossene Menge sein.

Und das von Dir missverstandene "Unendlichkeitsaxiom" besagt genau
dieses - auch wenn es Dir nicht gefaellt. Ich kann gerne ein Posting
von Dir zitieren, in dem Du dies bereits akzeptiert hattest ;-)

Es _gibt_ (mindestens) eine Menge, die {} als Element enthaelt
und zu jedem Element x auch das Element x u {x}

Und |N ist per Definition der Durchschnitt _aller_ Mengen mit dieser
Eigenschaft. Der Begriff "abgeschlossen" ist in der Mengenlehre
unbekannt. Wenn man per Axiom fordert, dass eine Menge mit einer
bestimmten Eigenschaft existiert, dann existiert sie halt ab sofort,
es sei denn, diese Existenzforderung fuehrt zu Widerspruechen zu den
bisherigen Axiomen dieser Mengenlehre. Solche Widersprueche sind in
den letzten 100 Jahren bezueglich |N nicht bekannt geworden.

MfG
Horst

Norbert Micheel

unread,
Jul 4, 2001, 11:17:43 PM7/4/01
to

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B42A5B4...@t-online.de...

> So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
> relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
> der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
> k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
> endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
> man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
> Zahlen.

Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:

Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt daraus
NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.

Andererseits:
Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
HAT, ist sie definitv endlich.


Horst Kraemer

unread,
Jul 5, 2001, 2:13:17 AM7/5/01
to

In diesem speziellen Falle solltest Du erfahrungsgemaess die Sprache
unmissverstaendlich gestalten:

Wenn man JEDES k in JE endlich vielen Schritten erreichen KANN,


folgt daraus NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.

Andererseits:
Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit INSGESAMT endlich vielen
Schritten erreicht HAT, ist sie definitiv endlich.

Es gibt Leser, die keinen Unterschied zwischen JEDES und ALLE erkennen
wollen. Im mathematischen Kontext sind die Formulierungen

Fuer alle k gilt
Fuer jedes k gilt

durchaus gleichbedeutend.


MfG
Horst

Norbert Micheel

unread,
Jul 5, 2001, 8:09:27 AM7/5/01
to

"Horst Kraemer" <hhkr...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3b44055a....@news.cis.dfn.de...

Ich benutze unterschiedliche Woerter, um deutlich zu machen, dass dort ein
Unterschied existiert.
Die geistige Arbeit zu erkennen worin dieser besteht, kann ich eh keinem
abnehmen.

Ich hab nicht behauptet es gaebe eine mathematische Konvention, die die
Woerter ALLE oder JEDES betraefe. Oder sogar erwartet jeder (*grins*)
muesste das auf eine bestimmte Weise "richtig" verstehen.

Meine Formulierung (jeder waehlt ja seine eigene, die ihm deutlich genug
scheint) war eigentlich "JEDES EINZELNE". Ich hab es aber weggelassen, weil
es auch nichts aendert. Denn:

Vielleicht ist es sogar besser zu sagen:

Ich kann alle k \in IN nicht in endlich vielen Schritten erreichen,
aber ich kann alle k in endlich vielen Schritten erreichen.

Vielleicht reizt der vermeintliche Widerspruch ja mal zum Nachdenken.

bye

N

Paul Ebermann

unread,
Jul 6, 2001, 3:04:41 PM7/6/01
to
> > > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> > > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> > > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> > > waere es ueberfluessig.
> >
> > Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
> > Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
>
> Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
> Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom. Andernfalls
> braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
> nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist.

Nenn doch mal bitte deine Variante des Fundierungsaxioms.
Sonst können wir schlecht diskutieren.

> Wenn das
> konstruierte Objekt die Bedingungen fuer eine Menge nicht
> erfuellt, laesst sich das durch "umdefinieren" mit einem Axiom
> auch nicht erreichen, man wuerde dann lediglich einen Widerspruch
> in die Theorie einfuehren.

Natürlich kann es Widersprüche ergeben, wenn man zu
einem Axiomensystem weitere Axiome hinzufügt.
Dies muss aber nicht zwangsweise geschehen.

Die Mengenlehre ist auch ohne das Unendlichkeitsaxiom
(oder die Verneinung davon) möglich, allerdings können
wir dann nicht mehr nachweisen, ob unser oben betrachtetes
Objekt M wirklich eine Menge ist.

> Es sei denn, dem Objekt fehlen Eigenschaften oder Elemente, die es erst
> zu einer Menge machen wuerden. Dann koennen diese durch ein Axiom
> hinzugefuegt werden. Es muss dann aber geklaert werden, was durch das
> Axiom hinzukommt, sonst bleibt die Theorie unverstanden und es besteht
> die Gefahr, dass sie in Spekulation abgleitet. Ein Axiom, das nichts
> neues in die Theorie einbringt, ist ueberfluessig und blosser Verbalismus.

Dieses Axiom fügt etwas neues in die Theorie ein, nämlich die Tatsache,
dass M eine Menge ist.
Aussagen, die schon aus anderen Axiomen geschlussfolgert werden können,
sind in einem Axiomensystem wirklich überflüssig und gehören IMHO entfernt.
Dies ist aber in unserem Fall nicht gegeben.

> > Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
> > beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
> > du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
>
> So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
> relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
> der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
> k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
> endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
> man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
> Zahlen.

Hier gibt es unterschiede, in welche Richtung du gehst.
Wenn du bei "null" (unserem ersten Element) anfängst,
und jeweils zum Nachfolger übergehst, kommst du nie
an ein Ende. Wenn du mit einem Weg alle Elemente
besuchen willst, kann dies kein endlicher Weg sein.

Dies verhindert aber gar nicht, dass du, wenn du dir
ein beliebiges Element heraussuchst, zu diesem in endlich
vielen Schritten gelangen kannst.

Nebenbei: Wie definierst du den Begriff "endliche Menge" und
"endlich viele Schritte"?

> In einer schleifenfreien geordneten Menge
> erreicht man die Kardinalitaet w (klein omega) nicht in endlich
> vielen Schritten.

Könnte dies vielleicht daran liegen, dass w nicht Element unserer
Menge ist? w ist schließlich die *kleinste unendliche* Kardinalität,
und wir wollen doch nur endliche Kardinalitäten betrachten.

> Damit erreicht man nur Z-Mengen m_k mit endlicher
> Kardinalitaet.

Richtig.

> Jedes dieser m_k hat einen Nachfolger mit groesserer
> Kardinaltaet. Die Zusammenfassung all dieser m_k ergibt daher keine
> abgeschlossene Menge M sondern nur eine Mengenfolge M_k.

Was ist bei dir eine "abgeschlossene Menge"?
Identifizierst du vielleicht diesen Begriff un(ter)bewusst
mit "endliche Menge"?

> Wenn N die Kardinalitaet w hat, ist es nicht mehr moeglich, jede Zahl
> in endlich vielen Schritten zu erreichen. Umgekehrt kann man auch nicht
> mehr in endlich vielen Schritten von jeder Zahl zur 0 zurueckkehren. Auf
> dem Weg zur 0 koennte man jede Zahl, an der man "vorbeigekommen" ist,
> aus N entfernen. Man koennte also N in endlich vielen Schritten entlehren.

Dabei gehst du aber davon aus, dass es in N ein "letztes Element"
gibt, an dem du beginnen könntest. Dieses gibt es erwiesenermaßen
nicht - w ist eben *kein* Element von N.

> Dein Argument stuetzt sich darauf, dass man zu jedem k ein groesseres
> angeben kann. Du greifst aber (wegen der Begrenztheit unserer Sprache)
> nur k-Werte mit endlich vielen Stellen heraus und laesst die Moeglichkeit
> von Zahlen mit unendlich vielen Stellen von vornherein ungeprueft ausser
> acht.

Wie willst du denn von einer endlichen Menge (repräsentiert eine
natürliche Zahl mit endlich vielen Elementen) durch Hinzufügen
eines Elementes zu einer unendlichen Menge (repräsentiert eine
Zahl mit unendlich vielen Stellen) kommen?

> Du musst unterscheiden zwischen Aussagen, die nur für einzelne Zahlen
> gültig sind, und Aussagen, die für die ganze Menge gelten sollen.
> Wenn die abgeschlossene unendliche Menge N per Axiom gefordert wird,
> ist klar, dass die Aussage "es gibt Zahlen mit endlich vielen Stellen"
> nicht für alle Zahlen gelten kann, denn

Du meinst bestimmt die Aussage: "alle natürlichen Zahlen lassen sich
mit endliche vielen Stellen darstellen".

> 1. so gross man die Zahl s der Stellen auch wählt, wenn sie endlich ist,
> erhält man nur endlich viele Zahlen, naemlich b^s einschliesslich
> der 0, wenn b die Basis des Zahlensystems ist.

Wie ich vorhin sagte, es gibt keine solche _maximale_ Anzahl der
Stellen. Allerdings ist zu jeder einzelnen natürliche Zahl eine
ebenfalls natürliche Stellen-Anzahl gegeben.

> 2. Bei Begrenzung auf Zahlen mit endlich vielen Stellen ergeben die
> Peano-Axiome eine offene Menge bzw. eine Mengenfolge, weil _jede_ Zahl
> mit endlich vielen Stellen einen Nachfolger hat, der die Kardinalitaet
> der Menge N_k, die alle Zahlen von 0 bis k enthaelt, erhoeht.

Noch einmal: Wann ist eine Menge "offen", wann "abgeschlossen"?

> 3. Für eine Menge, die nur Zahlen mit endlich vielen Stellen enthält,
> benötigt man kein Unendlichkeitsaxiom. Denn die Elemente dieser
> Menge lassen sich mit den Peano-Axiomen konstruieren und ihre
> Zusammenfassung zu einer Menge verstösst nicht gegen das Fundierungs-
> axiom. Weder die Existenz der Elemente noch die der Menge muss also
> durch ein eigenes Axiom gesichert werden.

Dafür benötigen wir dann aber die Peano-Axiome. Ihre Gültigkeit setze
ich aber bei Betrachtung der Mengenlehre nicht vorraus, und um
dort für unendliche Mengen (wie N) die Existenz nachzuweisen,
benötige ich das Unendlichkeitsaxiom.

Paul

Dieter Jungmann

unread,
Jul 8, 2001, 4:15:23 PM7/8/01
to
Norbert Micheel schrieb am 5. Juli 5:17 h:

Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? Wenn die Aussage,
dass man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, nicht nur
dahergeredet ist sondern einen Sinn haben soll, muss man doch die
Moeglichkeit, dass man einmal ALLE Elemente der Menge mit endlich vielen
Schritten erreicht HAT einschliessen. Wird diese Moeglichkeit dagegen
grundsaetzlich ausgeschlossen, ist die erste Aussage hinfaellig. Dabei
ist vorausgesetzt, dass es sich um eine geordnete Menge ohne Schleifen
handelt.

Ich beschreibe dein Lieblingsthema nachfolgend in einer anderen Variante.
Zunaechst eine Vorbemerkung.

Gegeben sind 10 voellig gleiche Aepfel mit gleicher Form, Groesse, Farbe,
Gewicht, gleicher Anzahl an Molekuelen usw., so dass man sie nicht unter-
scheiden kann. Auf Grund des Extensionalitaetsaxioms koennte man vermuten,
dass die Aepfel eine Menge mit nur einem Element ergeben. Tatsaechlich
bilden sie aber eine Menge von 10 Elementen, weil sich jeder Apfel an
einer anderen Stelle des Raumes befindet. Die Menge der 10 Aepfel ist
also eigentlich eine Menge von 10 unterschiedlichen Raumgebieten. Die
Aepfel dienen nur dazu, diese zu veranschaulichen.

Die gleiche Situation haben wir auch bei den Zahlen. In binaerer
Schreibweise ist eine Zahl ein 0-1-Muster. Die insgesamt k Nullen
und Einsen ergeben eine Menge mit k Elementen, weil sie je nach
Position eine unterschiedliche Wertigkeit haben. Zur Kennzeichnung
der Wertigkeit koennte man die Ziffern in die Spalten einer Tabelle
eintragen, wobei die Spalten die Wertigkeit angeben. Meistens
begnuegt man sich damit, eine Stelle in der Ziffernfolge zu markieren
und von dort aus die Wertigkeiten durch Abzaehlen zu ermitteln. Im
deutschen Sprachraum wird dazu das Komma verwendet, das zwischen die
Ziffern mit den Wertigkeiten g^0 und g^-1 in einem g-adischen System
gesetzt wird. Das ist eine willkuerliche, wenn auch zweckmaessige,
Konvention. Man koennte die Markierung (das Komma) auch an beliebiger
anderer Stelle setzen.

Mit dieser Vorbemerkung soll verdeutlicht werden, dass das Komma
mengentheoretisch kein Bestandteil der 0-1-Muster ist sondern nur
eine Markierung, die dem Uebersetzer sagt, wie er das 0-1-Muster
interpretieren soll. Wir interessieren uns jetzt nur fuer Interpre-
tationen, bei denen alle Ziffern entweder hinter oder vor dem Komma
stehen, wir interpretieren die 0-1-Muster also als reelle Zahlen des
Einheitsintervalls oder als natuerliche Zahlen.

Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
abgebildet werden kann. Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.

Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
Wenn nicht, wo ist dann die Grenze und wie wird sie begruendet?

Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein Aberglauben.

Gruss Dieter

Rainer Rosenthal

unread,
Jul 8, 2001, 4:52:28 PM7/8/01
to

Dieter Jungmann

> Norbert Michael:


> >
> > Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
> >
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
daraus
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
>

Hallo Dieter,

diese Aussage von Norbert bezweifelst Du zu Recht. Ich möchte da
auch keine Interpretation liefern.

Zu der folgenden Frage von Dir kann ich Dir aber sicher eine Antwort
geben, die Dir einleuchten wird.

> Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied?

Das 0-1-Muster 101010101010101010...
lässt sich NICHT als natürliche Zahl interpretieren.
Einfache Frage dazu: ist diese "Zahl" denn gerade oder ungerade ?

Gruss,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de


Paul Ebermann

unread,
Jul 8, 2001, 5:01:17 PM7/8/01
to
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt daraus
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
>
> Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? Wenn die Aussage,
> dass man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, nicht nur
> dahergeredet ist sondern einen Sinn haben soll, muss man doch die
> Moeglichkeit, dass man einmal ALLE Elemente der Menge mit endlich vielen
> Schritten erreicht HAT einschliessen.

Wenn es ein 'letztes Element' (und nur einen Weg) gibt, dann sind
die beiden Aussagen in der Tat äquivalent.
Bei der Menge der natürlichen Zahlen gibt es aber kein solches
letztes Element.

> Wird diese Moeglichkeit dagegen
> grundsaetzlich ausgeschlossen, ist die erste Aussage hinfaellig. Dabei
> ist vorausgesetzt, dass es sich um eine geordnete Menge ohne Schleifen
> handelt.

Das ist ein Irrtum deinerseits. Du kannst dir keine unendliche geordnete
Menge vorstellen, bei denen jeder Anfang (also jede Teilmenge, die ein
größtes Element hat) endlich ist.
Genau solch eine Menge ist aber unsere Menge der natürlichen Zahlen.

> Ich beschreibe dein Lieblingsthema nachfolgend in einer anderen Variante.
> Zunaechst eine Vorbemerkung.
>
> Gegeben sind 10 voellig gleiche Aepfel mit gleicher Form, Groesse, Farbe,
> Gewicht, gleicher Anzahl an Molekuelen usw., so dass man sie nicht unter-
> scheiden kann. Auf Grund des Extensionalitaetsaxioms koennte man vermuten,
> dass die Aepfel eine Menge mit nur einem Element ergeben. Tatsaechlich
> bilden sie aber eine Menge von 10 Elementen, weil sich jeder Apfel an
> einer anderen Stelle des Raumes befindet. Die Menge der 10 Aepfel ist
> also eigentlich eine Menge von 10 unterschiedlichen Raumgebieten. Die
> Aepfel dienen nur dazu, diese zu veranschaulichen.

Das ist das Problem, wenn man sich Mengen 'real existierender Objekte'
als Beispiel nimmt. Die Menge der Äpfel ist eben nicht gleich
der Menge der Raumkoordinaten, an denen sie sich befinden.

> Die gleiche Situation haben wir auch bei den Zahlen. In binaerer
> Schreibweise ist eine Zahl ein 0-1-Muster. Die insgesamt k Nullen
> und Einsen ergeben eine Menge mit k Elementen, weil sie je nach
> Position eine unterschiedliche Wertigkeit haben.

Nein - wir erhalten ein Tupel mit k Komponenten. Die Menge aller
k-Tupel über {0,1} ist dann eine Menge der Mächtigkeit (Kardinalität)
2^k - also eine endliche Menge.

> Zur Kennzeichnung
> der Wertigkeit koennte man die Ziffern in die Spalten einer Tabelle
> eintragen, wobei die Spalten die Wertigkeit angeben. Meistens
> begnuegt man sich damit, eine Stelle in der Ziffernfolge zu markieren
> und von dort aus die Wertigkeiten durch Abzaehlen zu ermitteln. Im
> deutschen Sprachraum wird dazu das Komma verwendet, das zwischen die
> Ziffern mit den Wertigkeiten g^0 und g^-1 in einem g-adischen System
> gesetzt wird. Das ist eine willkuerliche, wenn auch zweckmaessige,
> Konvention. Man koennte die Markierung (das Komma) auch an beliebiger
> anderer Stelle setzen.

Richtig - man muss sich nur merken, was es bedeuten soll.
Bei anderen Darstellungen kommt man auch ganz ohne Komma aus.

> Mit dieser Vorbemerkung soll verdeutlicht werden, dass das Komma
> mengentheoretisch kein Bestandteil der 0-1-Muster ist sondern nur
> eine Markierung, die dem Uebersetzer sagt, wie er das 0-1-Muster
> interpretieren soll. Wir interessieren uns jetzt nur fuer Interpre-
> tationen, bei denen alle Ziffern entweder hinter oder vor dem Komma
> stehen, wir interpretieren die 0-1-Muster also als reelle Zahlen des
> Einheitsintervalls oder als natuerliche Zahlen.

Wobei du, um alle Zahlen im Einheitsintervall zu bekommen,
auch *unendliche* 0-1-Muster benötigst (sogar alle möglichen
unendlichen 0-1-Muster ohne 1-Periode), wogegen du dich bei
den natürlichen Zahlen auf *endliche* Muster oder solche,
die ab einem bestimmten Index (der von der einzelnen
Zahl abhängt) nur 0en besitzen, beschränken kannst.

> Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
> axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
> entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
> abgebildet werden kann.

Sie kann nur auf die Menge aller 'endlichen' 0-1-Muster
abgebildet werden.

> Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
> Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
> nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
> statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
> zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
> natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
> Wenn nicht, wo ist dann die Grenze und wie wird sie begruendet?

Wie ich oben sagte, benötigst du für die Darstellung der natürlichen
Zahlen keine _unendlichen_ 0-1-Muster, sondern nur solche,
die nach einer bestimmten Zahl k(m) abbrechen (bzw. nur noch 0 enthalten).

Bei der Darstellung der reellen Zahlen im Einheitsintervall
schließen wir diese abbrechenden Zahlen gerade aus (bzw. könnten
es tun, weil sie doppelt vorkommen).
Es ist stellen nämlich
010010101010100000000000000000000....
und
010010101010011111111111111111111....
exakt die gleiche reelle (sogar rationale) Zahl 2389/8192 dar.

> Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
> wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
> ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
> der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
> nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein Aberglauben.

Wäre es für dich möglich, eine Liste aller deiner 'Axiome'
zu posten? Es gibt nämlich für die meisten davon verschiedene
Varianten, und es ist immer ungünstig, wenn wir nicht über
das Gleiche reden.

Nebenbei: Die Peano-Axiome sind als solche unabhängig
von den Axiomen der Mengenlehre. Du kannst entweder
nur von den Eigenschaften der Menge N ausgehen, die
von den Peanoaxiomen festgelegt wird, oder mit den
Axiomen der Mengenlehre (insbesondere dem
Unendlichkeitsaxiom) ein *Modell* einer "Menge mit
Nachfolgeoperation" zu konstruieren, die dann
("zufälligerweise") die Peanoaxiome erfüllt.
Wenn du die Axiome der Mengenlehre voraussetzt,
kannst du auf die Peanoaxiome also verzichten bzw.
kannst sie beweisen.

Paul

Rainer Rosenthal

unread,
Jul 8, 2001, 5:32:58 PM7/8/01
to

Rainer Rosenthal bezweifelte

> > > Andererseits:
> > > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten
erreicht
> > > HAT, ist sie definitv endlich.
> >

und nimmt seine Zweifel mit dem Ausdruck des Bedauerns zurück.
( Hab' da wohl beim Lesen Tomaten auf den Augen gehabt. Sorry.)

Rainer Rosenthal

Norbert Micheel

unread,
Jul 8, 2001, 10:29:22 PM7/8/01
to

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B48BF5B...@t-online.de...

> Norbert Micheel schrieb am 5. Juli 5:17 h:
> >
> >
> > Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
> >
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
daraus
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.

> Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? [...]

hmmm...

1) \exists q \forall m \in M : 3q=m

2) \forall m \in M \exists q : 3q=m

unterscheiden sich denn Mengen M die 1) oder 2) erfuellen?

> Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
> wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
> ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
> der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
> nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein
Aberglauben.

Gerade wegen deiner Postings verstehe ich nicht, warum man Probleme haben
sollte sich eine Menge Objekte vorzustellen, in der es immer noch eines
gibt, das man noch nicht gesehen hat... Sie sind ein gutes Beispiel finde
ich :-)
Und glaube mir wenigstens: ich waere froh, wenn ich in endlicher Vorarbeit
alle schon mal beantworten koennte, um dann was anderes zu machen.
Aber das kann ich nicht, obwohl ich jedes einzelne in einer endlichen Zeit
seit dem ersten das mich aufregte beantworten kann.


N

Horst Kraemer

unread,
Jul 9, 2001, 2:51:55 AM7/9/01
to
On Sun, 08 Jul 2001 22:15:23 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:


> Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
> axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
> entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
> abgebildet werden kann. Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
> Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
> nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
> statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
> zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
> natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?

Nein.

Jede natuerliche Zahl n wird durch ein _endliches_ 0-1-Muster

xxxxxxxxxxxxx (k Stueck)


einer bestimmten Laenge k dargestellt. Ersatzweise durch ein
"linksunendliche" Folge von 0,1

....xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

in der nur endlich viele Einsen vorkommen.

Reelle Zahlen im Intervall [0,1) werden durch "rechtsunendliche"
Folgen von 0,1 darstellt


[0.]xxxxxxxxxxxxxx...

die beliebig viele Nullen und Einsen enthalten duerfen. Um
Eindeutigkeit bezueglich der ueblichen Interpretation zu erhalten,
kann man fordern, dass die Folge unendlich viele Nullen enthalten
muss.

Fazit:

Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
unendlich vielen Nullen.
Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
endlich vielen Einsen.


MfG
Horst

Rainer Rosenthal

unread,
Jul 9, 2001, 2:47:40 PM7/9/01
to

Horst Kraemer schrieb:

>
> Fazit:
>
> Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> unendlich vielen Nullen.
> Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> endlich vielen Einsen.
>

Hallo Horst,

hast Du diese Formulierung gerade erst erfunden ?
Sie gefällt mir absolut, denn sie hat so was "Duales".
Erst mal wollte ich ein Gegenbeispiel basteln, aber der Trick
mit den unendlich vielen Nullen ist wasserdicht, wie es
scheint.

Mal so in die Luft gequasselt:
Wenn ich Deine charakterisierten Folgen mal als

U0 bzw. E1

bezeichne, dann stellt sich doch - zumindest ohne Denken,
bloss aus "Symmetrie"-Betrachtung heraus die Frage nach
den Folgen, die als U1 oder E0 zu bezeichnen wären:

U1 alle 0-1-Folgen mit unendlich vielen Einsen

E0 alle 0-1-Folgen mit endlich vielen Nullen.

Wo in der weiten Welt der Mathematik haben diese Symmetrie-
Gespinste eine Heimat ?

Schnell abschicken, bevor ich genauer nachdenke :-)

Gruss,
Rainer


Paul Ebermann

unread,
Jul 9, 2001, 4:21:39 PM7/9/01
to
> > Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> > unendlich vielen Nullen.
> > Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> > endlich vielen Einsen.
>
> hast Du diese Formulierung gerade erst erfunden ?
> Sie gefällt mir absolut, denn sie hat so was "Duales".
> Erst mal wollte ich ein Gegenbeispiel basteln, aber der Trick
> mit den unendlich vielen Nullen ist wasserdicht, wie es
> scheint.
>
> Mal so in die Luft gequasselt:
> Wenn ich Deine charakterisierten Folgen mal als
>
> U0 bzw. E1
>
> bezeichne, dann stellt sich doch - zumindest ohne Denken,
> bloss aus "Symmetrie"-Betrachtung heraus die Frage nach
> den Folgen, die als U1 oder E0 zu bezeichnen wären:
>
> U1 alle 0-1-Folgen mit unendlich vielen Einsen
>
> E0 alle 0-1-Folgen mit endlich vielen Nullen.
>
> Wo in der weiten Welt der Mathematik haben diese Symmetrie-
> Gespinste eine Heimat ?

Diese Mengen sind ja genau isomorph zu den oben genannten -
tausche nur einfach jede Eins durch eine 0 aus und umgekehrt.

Bei den reellen Zahlen im Einheitsintervall macht das sogar
Sinn - hier ist 1 - u1 = u0 (mit u1 in U1, u0 in U0).
Nur ist einmal die Null (= 000000...) ein Element der Menge,
das andere Mal die Eins (= 111111...).

Mit den natürlichen Zahlen ist das etwas unanschaulicher -
E0 sind dann etwa "die letzten Zahlen vor w", mit w die
Kardinalität von N, also die "Anti-natürlichen Zahlen".
Das entspricht der Dualität der Menge End(N) der endlichen
Teilmengen von N und der Menge CoEnd(N) der ko-endlichen
Teilmengen von N (also diejenigen, deren Komplementärmenge
zu N endlich ist).
Sowohl End(N) als auch CoEnd(N) sind abzählbar unendlich,
genau wie N und ihre Vereinigung.
Ihre Vereinigung bildet (mit Schnittmenge und symmetrischer
Differenz) einen Booleschen Ring, der abzählbar unendlich ist,
also _nicht isomorph_ zu einem Mengenring (eher selten bei
Booleschen Ringen).

Wir könnten mit E0 natürlich auch die negativen
ganzen Zahlen in "Zweierkomplementdarstellung" schreiben,
hier ist dann '...1111111' = -1, '...11111110' = -2, usw.

Paul

Rainer Rosenthal

unread,
Jul 9, 2001, 5:51:16 PM7/9/01
to

Paul Ebermann schrieb
> Ich schrieb

> >
> > Mal so in die Luft gequasselt:
> > Wenn ich Deine charakterisierten Folgen mal als
> >
> > U0 bzw. E1
> >
> > bezeichne, dann stellt sich doch - zumindest ohne Denken,
> > bloss aus "Symmetrie"-Betrachtung heraus die Frage nach
> > den Folgen, die als U1 oder E0 zu bezeichnen wären:
> >
> > U1 alle 0-1-Folgen mit unendlich vielen Einsen
> >
> > E0 alle 0-1-Folgen mit endlich vielen Nullen.
> >
>
> Diese Mengen sind ja genau isomorph zu den oben genannten -
> tausche nur einfach jede Eins durch eine 0 aus und umgekehrt.
>

Hallo Paul,

danke für die freundliche Antwort. Jedenfalls für die folgenden
genaueren Ausführungen.

> Bei den reellen Zahlen im Einheitsintervall macht das sogar
> Sinn - hier ist 1 - u1 = u0 (mit u1 in U1, u0 in U0).
> Nur ist einmal die Null (= 000000...) ein Element der Menge,
> das andere Mal die Eins (= 111111...).

Ja, das sieht gut aus. Zugleich ein schöner Beitrag zu
"Ist 0.111... = 1?" (*g*)

>
> Mit den natürlichen Zahlen ist das etwas unanschaulicher -
> E0 sind dann etwa "die letzten Zahlen vor w", mit w die
> Kardinalität von N, also die "Anti-natürlichen Zahlen".
> Das entspricht der Dualität der Menge End(N) der endlichen
> Teilmengen von N und der Menge CoEnd(N) der ko-endlichen
> Teilmengen von N (also diejenigen, deren Komplementärmenge
> zu N endlich ist).

Noch nie von gehört. Na also, man muss also bloss fragen.
Gerade eben hatte ich ein etwas ungehöriges Bild vor Augen:
Meine spontane Frage hat sowas von "von der Brücke in den
Teich spucken - und dann sehen, wie schön sich die Wellen kräuseln."
Sieht wirklich gut aus, was ich da zu sehen bekomme. Nochmals danke.

> Sowohl End(N) als auch CoEnd(N) sind abzählbar unendlich,
> genau wie N und ihre Vereinigung.
> Ihre Vereinigung bildet (mit Schnittmenge und symmetrischer
> Differenz) einen Booleschen Ring, der abzählbar unendlich ist,
> also _nicht isomorph_ zu einem Mengenring (eher selten bei
> Booleschen Ringen).

Hmmm....

>
> Wir könnten mit E0 natürlich auch die negativen
> ganzen Zahlen in "Zweierkomplementdarstellung" schreiben,
> hier ist dann '...1111111' = -1, '...11111110' = -2, usw.

Das ist auch wieder richtig schön. Da rattert der Übertrag nach links,
wenn man auf ...11111 eine 1 addiert. Und übrig bleibt 0. Also muss
wohl ...11111 gleich -1 sein. Ja, genau so wie man es von den
popeligen 32-Bit-Worten der Rechner her gewöhnt ist. Nur "länger".

Gruss,
Rainer
-
Richtige Super-Rechner schaffen die Dauerschleife in 2 Minuten.

Paul Ebermann

unread,
Jul 10, 2001, 4:49:05 AM7/10/01
to
> > Mit den natürlichen Zahlen ist das etwas unanschaulicher -
> > E0 sind dann etwa "die letzten Zahlen vor w", mit w die
> > Kardinalität von N, also die "Anti-natürlichen Zahlen".
> > Das entspricht der Dualität der Menge End(N) der endlichen
> > Teilmengen von N und der Menge CoEnd(N) der ko-endlichen
> > Teilmengen von N (also diejenigen, deren Komplementärmenge
> > zu N endlich ist).
>
> Noch nie von gehört.

Die "Anti-natürlichen Zahlen" habe ich auch gerade erfunden.
Die Ko-endlichen Teilmengen stammen aber nicht von mir
(Wir hatten das in Übungsaufgaben in unserer LAAG1-Vorlesung).

[...]

> > Wir könnten mit E0 natürlich auch die negativen
> > ganzen Zahlen in "Zweierkomplementdarstellung" schreiben,
> > hier ist dann '...1111111' = -1, '...11111110' = -2, usw.
>
> Das ist auch wieder richtig schön. Da rattert der Übertrag nach links,
> wenn man auf ...11111 eine 1 addiert. Und übrig bleibt 0. Also muss
> wohl ...11111 gleich -1 sein. Ja, genau so wie man es von den
> popeligen 32-Bit-Worten der Rechner her gewöhnt ist. Nur "länger".

Genau mit diesem Bild bin ich ja darauf gekommen -
oder eigentlich über die anti-natürlichen Zahlen,
die man ja statt an das Ende der Zahlenachse auch
an den Anfang - in andere Richtung - eintragen kann.

Paul

Dieter Jungmann

unread,
Jul 11, 2001, 9:45:56 PM7/11/01
to
Horst Kraemer schrieb am 9. Juli 06:51 GMT:

>
> Jede natuerliche Zahl n wird durch ein _endliches_ 0-1-Muster
>
> xxxxxxxxxxxxx (k Stueck)
>
> einer bestimmten Laenge k dargestellt. Ersatzweise durch ein
> "linksunendliche" Folge von 0,1
>
> ....xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
>
> in der nur endlich viele Einsen vorkommen.
>
> Reelle Zahlen im Intervall [0,1) werden durch "rechtsunendliche"
> Folgen von 0,1 darstellt
>
> [0.]xxxxxxxxxxxxxx...
>
> die beliebig viele Nullen und Einsen enthalten duerfen. Um
> Eindeutigkeit bezueglich der ueblichen Interpretation zu erhalten,
> kann man fordern, dass die Folge unendlich viele Nullen enthalten
> muss.
>
> Fazit:
>
> Die reellen Zahlen in [0,1) entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> unendlich vielen Nullen.
> Die natuerlichen Zahlen entsprechen bijektiv den 0-1-Folgen mit
> endlich vielen Einsen.

Das klingt gut, bringt uns aber keinen Schritt weiter. Es genuegt
naemlich, wenn die 0-1-Muster zur Darstellung der natuerlichen Zahlen
eine einzige 1 und unendlich viele 0 haben, um auch Zahlen mit unend-
lich vielen Stellen zu erhalten.

Ich bilde die Teilmenge T, die alle natuerlichen Zahlen enthaelt, die
in binaerer Darstellung nur _eine_ 1 in ihrem 0-1-Muster haben. Werden
k-1 Nullen rechts von der 1 zugelassen, hat T genau k Elemente. Jede
zusaetzliche Stelle rechts von der 1 ergibt ein zusaetzliches Element.
Da T eine unendliche Teilmenge von N ist, muessen auch unendlich viele
Nullen rechts von der 1 zulaessig sein. Es waere pure Willkuer, die
Anzahl der Elemente von T als unendlich zu bezeichnen die genau gleich
grosse Anzahl der zur Darstellung aller Elemente benoetigten Stellen
aber endlich. Wenn aber unendlich viele Stellen zur Darstellung aller
Zahlen benoetigt werden, sind auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen
darunter.

Beruecksichtigt man auch die Nullen links von der 1, dann haben alle
natuerlichen Zahlen unendlich viele Stellen. Die eine 1, die zur
Auswahl der Elemente von T dient, muss sich an jeder dieser unendlich
vielen Stellen befinden koennen. Es war der Sinn der urspruenglichen
Frage, zu klaeren, ob es eine Grenzposition gibt, die nicht ueber-
schritten werden darf. Es geht in diesem ersten Schritt nicht darum,
wie die unendlich vielen 0-1-Muster zu interpretieren sind. Ob man
0-1-Muster mit unendlich vielen Stellen rechts von der ersten 1 sinnvoll
als natuerliche Zahlen interpretieren kann, ist eine andere Frage.
Es waere ja moeglich, dass es doch nur endlich viele sinnvoll
definierbare natuerliche Zahlen gibt.


Gruss Dieter

Horst Kraemer

unread,
Jul 12, 2001, 3:03:57 AM7/12/01
to

Also mit anderen Worten:

Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
darstelle:

0: <leer>
1: |
2: ||
3: |||
...

also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren
?

MfG
Horst

Holger Gollan

unread,
Jul 12, 2001, 5:17:18 AM7/12/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>

Hallo Dieter,
Monate sind vergangen, und die Diskussion haengt immer noch am gleichen
Punkt!

Nein!
Genau das ist der springende Punkt, und so lange Du an der Vorstellung
fest haeltst, dass auch unendlich viele Nullen (unendlich viele Stellen)
fuer die Darstellung natuerlicher Zahlen noetig sind, wird hier wohl
keine Einigkeit erzielt werden koennen.
Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen, aber jede einzelne hat nur
endlich viele Stellen. Du kannst Dir zwar beliebig grosse natuerliche
Zahlen vorstellen, so dass Du beliebig viele Stellen zur Beschreibung
benoetigst, so dass Du also unendlich viele Stellen brauchst, wenn Du
alle natuerlichen Zahlen gleichzeitig aufschreiben willst, aber zur
Beschreibung jeder einzelnen natuerlichen Zahl benoetigt man nur endlich
viele Stellen!
Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.

> Anzahl der Elemente von T als unendlich zu bezeichnen die genau gleich
> grosse Anzahl der zur Darstellung aller Elemente benoetigten Stellen
> aber endlich. Wenn aber unendlich viele Stellen zur Darstellung aller
> Zahlen benoetigt werden, sind auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen
> darunter.
>
> Beruecksichtigt man auch die Nullen links von der 1, dann haben alle
> natuerlichen Zahlen unendlich viele Stellen. Die eine 1, die zur
> Auswahl der Elemente von T dient, muss sich an jeder dieser unendlich
> vielen Stellen befinden koennen. Es war der Sinn der urspruenglichen
> Frage, zu klaeren, ob es eine Grenzposition gibt, die nicht ueber-
> schritten werden darf. Es geht in diesem ersten Schritt nicht darum,
> wie die unendlich vielen 0-1-Muster zu interpretieren sind. Ob man
> 0-1-Muster mit unendlich vielen Stellen rechts von der ersten 1 sinnvoll
> als natuerliche Zahlen interpretieren kann, ist eine andere Frage.
> Es waere ja moeglich, dass es doch nur endlich viele sinnvoll
> definierbare natuerliche Zahlen gibt.
>
> Gruss Dieter

--

Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099

Dieter Jungmann

unread,
Jul 12, 2001, 11:44:20 PM7/12/01
to
Holger Gollan schrieb am 12. Juli 11:17 h:

>
> Hallo Dieter,
> Monate sind vergangen, und die Diskussion haengt immer noch am gleichen
> Punkt!

Hallo Holger,

In der Tat! Aber das scheint mir das zentrale Problem der Theorie zu
sein, so dass es darauf ankommt, hier Klarheit zu schaffen.


> Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen, aber jede einzelne hat nur
> endlich viele Stellen. Du kannst Dir zwar beliebig grosse natuerliche
> Zahlen vorstellen, so dass Du beliebig viele Stellen zur Beschreibung
> benoetigst, so dass Du also unendlich viele Stellen brauchst, wenn Du
> alle natuerlichen Zahlen gleichzeitig aufschreiben willst, aber zur
> Beschreibung jeder einzelnen natuerlichen Zahl benoetigt man nur endlich
> viele Stellen!

Wie das? Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Wenn s Stellen
zur Verfuegung stehen (s sei endlich), kann ich damit z = 2^s Zahlen
darstellen. Genau die Haelfte davon hat s Stellen, z/4 Zahlen haben
s-1 Stellen, z/8 Zahlen haben s-2 Stellen usw. Wenn ich nun unendlich
viele Stellen brauche, um alle Zahlen darstellen zu koennen, sind
darunter auch solche mit unendlich vielen Stellen. Wozu sollten die
unendlich vielen Stellen sonst noetig sein? Es sind jetzt sogar
wesentlich mehr als nur die Haelfte aller Zahlen, die unendlich viele
Stellen haben, denn oo-a (a endlich) ist ebenfalls noch oo. Die Zahlen
mit endlich vielen Stellen sind also eine vernachlaessigbare Minderheit.

Es muss moeglich sein, alle Zahlen gleichzeitig aufzuschreiben, sonst
hat u. a. der Begriff der Potenzmenge einer unendlichen Menge keinen
Sinn. Wenn du also zugestehst, dass man zum Aufschreiben aller natuer-
lichen Zahlen unendlich viele Stellen braucht, hast du auch zugestanden,
dass es unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen geben muss.


> Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.

Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...

Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
Mengenlehre nicht geloest.

Gruss Dieter

Dieter Jungmann

unread,
Jul 12, 2001, 11:42:21 PM7/12/01
to
Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:

>
> Also mit anderen Worten:
>
> Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> darstelle:
>
> 0: <leer>
> 1: |
> 2: ||
> 3: |||
> ...
>
> also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?

Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
Zahlen, naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
Striche und natuerliche Zahlen.

Man kann den Zusammenhang zwischen der Anzahl s der Stellen und der
Anzahl z der damit darstellbaren Zahlen mit einer Gleichung angeben.
Im vorliegenden Fall gilt z = s + 1, wenn die 0 mitgezaehlt wird.
Bei binaerer Schreibweise ist z = 2^s. In beiden Faellen erhaelt man
nur endlich viele Zahlen, wenn es nur solche mit endlich vielen Stellen
gibt. Wenn man sich auf keinen Wert fuer s festlegt, kann man auch
keinen fuer z angeben. Aber daraus kann man nicht schliessen, dass
mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellbar sind,
nur weil z beliebig vergroessert werden kann. Denn das setzt voraus,
dass auch s beliebig vergroessert wird.

Eine Zahl mit endlich vielen Stellen laesst sich bei Anwendung der
Nachfolgerelation ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen.
Konsequenterweise wurde in dieser Diskussion schon oft behauptet, dass
man JEDE natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann.
Daraus folgt umgekehrt, dass man aus der vorgegebenen Menge N alle Zahlen
mit endlich vielen Stellen in endlich vielen Schritten entfernen kann.
Bei jedem Schritt wird eine Zahl entfernt, zuerst die 1, dann die 2, dann
die 3, ... . Da man JEDE Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann,
kann man auf diese Weise alle in endlich vielen Schritten entfernen. Es
muesste also eine leere Menge zurueckbleiben.

Andererseits hat N die Kardinalitaet w (klein omega). Die Kardinalitaet w
einer Menge aendert sich aber nicht, wenn man nur endlich viele Elemente
entfernt. Es muessen also Elemente in N uebrig bleiben. Das koennen nur
Zahlen mit unendlich vielen Stellen sein, denn alle Zahlen mit endlich
vielen Stellen lassen sich in endlich vielen Schritten (entspricht
endlich vielen Elementen) entfernen.

Das gleiche Problem taucht auch in folgender Variante auf.
Gegeben die Mengenfolge
{1}
{2,3}
{3,4,5}
{4,5,6,7}
...

Die Kardinalitaet dieser Mengen nimmt bei jedem Schritt um 1 zu.
Nach abzaehlbar unendlich vielen Schritten erreichen sie die
Kardinalitaet w. Dieser Tatbestand ist unbestreitbar. Diese Mengen
mit der Kardinalitaet w koennen nicht leer sein. Die Frage, was sie
fuer Elemente enthalten ist daher berechtigt. Sie laesst sich aber
nicht beantworten, weil alle Zahlen mit endlich vielen Stellen
entfernt wurden. Die Mengenlehre behilft sich mit einem Trick, indem
sie eine neue Menge, den Mengenlimes, definiert, der in diesem Fall
gleich der leeren Menge ist, und diesen als Grenzmenge der Mengenfolge
bezeichnet. Es wird also eine Frage beantwortet, die gar nicht gestellt
wurde, waehrend die urspruengliche Frage unbeantwortet bleibt. In jeder
anderen wissenschaftlichen Disziplin wuerde dieses Vorgehen als unserioes
abgelehnt. Die Mengenlehre nimmt diese Methode in Kauf, um den Widerspruch
in ihrem Axiomensystem nicht eingestehen zu muessen.

Man koennte einwenden, dass sich die Kardinalitaet w nicht durch
schrittweises Vorgehen erreichen laesst sondern ein unerreichbarer
Grenzwert ist, der eine besondere Definition notwendig macht. Das
gilt dann konsequenterweise fuer alle Mengen mit der Maechtigkeit w,
also auch fuer N. Ausser den in endlich vielen Schritten erreichbaren
natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen muesste N dann auch
nicht erreichbare Zahlen enthalten, denn in endlich vielen Schritten
erreicht man nicht alle Elemente einer Menge mit der Kardinalitaet w.

Gruss Dieter

Horst Kraemer

unread,
Jul 13, 2001, 2:53:02 AM7/13/01
to
On Fri, 13 Jul 2001 05:42:21 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> >
> > Also mit anderen Worten:
> >
> > Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> > darstelle:
> >
> > 0: <leer>
> > 1: |
> > 2: ||
> > 3: |||
> > ...
> >
> > also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> > sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> > unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> > ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
>
> Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
> Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
> vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
> Zahlen,

Bitte wieviele ? Schreib sie bitte auf, wenn es nur endlich viele
gibt.

> naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> Striche und natuerliche Zahlen.

Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
verwendet werden sollen.

Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
Striche.

Es gibt unendlich viele Folgen, von denen jede einzelne isoliert
gesehen endlich viele Striche enthaelt.

Was ist daran "intuitiv" widerspruechlich? Die Menschheit akzeptiert
dies seit Tausenden von Jahren.

Du siehst hier ein Problem, was niemand ausser Dir zu sehen scheint,
und formulierst es staendig als Tatsachenfeststellung. Anscheinend
bedeutet fuer Dich "endlich" etwas anders als fuer den Rest der Welt.

MfG
Horst

Detlef Mueller

unread,
Jul 13, 2001, 3:38:23 AM7/13/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
...

> Wie das? Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise.
>
Ich finde die Strichlistenidee viel besser.
Spart einen Umweg in der Argumentation.

> Wenn s Stellen
> zur Verfuegung stehen (s sei endlich), ...

Wenn meine Oma Raeder haette, waer sie
ein Omnibus ...

Wir haben aber nicht endlich viele Stellen zur
Verfuegung, sondern beliebig viele, von denen
wir aber fuer eine spezielle Zahl immer nur
endlich viele nehmen duerfen.

Deshalb gibt es nicht endlich viele spezielle
Zahlen, obwohl jede nur endlich viele der
unendlich vielen moeglichen Stellen hat.

Gruss,
Detlef

Norbert Micheel

unread,
Jul 13, 2001, 7:28:44 AM7/13/01
to

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B4E6E94...@t-online.de...

> Holger Gollan schrieb am 12. Juli 11:17 h:
> >
> > Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> > muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> > waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> > Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> > Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> > natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
>
> Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
> unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
> Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
> enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
> weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...

IN ist wohlgeordnet, bzgl der Relation <, aber die Teilmengen-Relation
erzeugt nur eine Halbordnung - dass sind zwei Paar Schuhe !

Das ist jetzt wieder typisch:
Du hast Holgers Argument damit nicht widerlegt ! Das sollte dir mal endlich
klar werden. Deinem Argument kann man ganz klar entgegen halten: "es muss
keine kleinste Teilmenge geben", was deine Schlussfolgerung logisch falsch
macht.
Wieso ist Holgers Argument deiner Meinung nach logisch falsch? Wobei nicht
nach deiner Meinung ueber die Konsequenz der Aussage gefragt ist, sondern an
welcher Stelle sich eine falsche Schlussfolgerung befindet !

>
> Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
> und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
> Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
> unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
> Mengenlehre nicht geloest.

koenntest du bitte mal endlich aufhoeren _deine_Probleme zu denen der
Mengenlehre zu erklaeren ?

N


Norbert Micheel

unread,
Jul 13, 2001, 8:03:57 AM7/13/01
to

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B4E6E1D...@t-online.de...

> Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> >
> Eine Zahl mit endlich vielen Stellen laesst sich bei Anwendung der
> Nachfolgerelation ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen.
> Konsequenterweise wurde in dieser Diskussion schon oft behauptet, dass
> man JEDE natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann.
> Daraus folgt umgekehrt, dass man aus der vorgegebenen Menge N alle Zahlen
> mit endlich vielen Stellen in endlich vielen Schritten entfernen kann.
> Bei jedem Schritt wird eine Zahl entfernt, zuerst die 1, dann die 2, dann
> die 3, ... . Da man JEDE Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann,
> kann man auf diese Weise alle in endlich vielen Schritten entfernen.

Nein, kann man nicht !
Wie kommst du darauf, dass es dann insgesamt endlich viele Schritte sind ?

Wenn ich sagen wuerde: "ich kann zu jeder natuerlichen Zahl, die du mir
nennst ihren Nachfolger nennen" wuerdest du mir doch glauben, oder ?
Wieso sollte es eine notwendige Bedingung fuer diese Aussage sein, dass ich
dann auch alle Nachfolger hintereinander aufzaehlen kann ? (Was ich definitv
nicht kann)

Anscheinend sind dir Zahlen schon zu anschaulich :-), deshalb mal ein
sprachliches Beispiel:

Du erzaehlst mir von der Sprache "Dieterisch", die man im "Jungmannland"
spricht.
Ich kenne kein eines Wort dieser Sprache.
Aber du erklaerst mir: "Im dieterischen bildet man die Mehrzahl eines
Substantivs, in dem man ein "x" voranstellt"
Ich denke ich kann jetzt zu JEDEM dieterischen Hauptwort (das du mir nennst)
die Mehrzahl nennen, aber ich kann nicht ALLE dieterischen Substantive in
der Mehrzahl aufsagen.

Und dabei spielt es noch nicht mal eine Rolle, ob es unennlich viele
dieterische Substantive gibt !

N

Holger Gollan

unread,
Jul 13, 2001, 10:15:55 AM7/13/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Holger Gollan schrieb am 12. Juli 11:17 h:
> >
> > Hallo Dieter,
> > Monate sind vergangen, und die Diskussion haengt immer noch am gleichen
> > Punkt!
>
> Hallo Holger,
>
> In der Tat! Aber das scheint mir das zentrale Problem der Theorie zu
> sein, so dass es darauf ankommt, hier Klarheit zu schaffen.
>

Hallo Dieter,
in diesem Punkt stimmen wir ausnahmsweise 100-prozentig ueberein!

> > Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen, aber jede einzelne hat nur
> > endlich viele Stellen. Du kannst Dir zwar beliebig grosse natuerliche
> > Zahlen vorstellen, so dass Du beliebig viele Stellen zur Beschreibung
> > benoetigst, so dass Du also unendlich viele Stellen brauchst, wenn Du
> > alle natuerlichen Zahlen gleichzeitig aufschreiben willst, aber zur
> > Beschreibung jeder einzelnen natuerlichen Zahl benoetigt man nur endlich
> > viele Stellen!
>
> Wie das? Bleiben wir bei der binaeren Schreibweise. Wenn s Stellen
> zur Verfuegung stehen (s sei endlich), kann ich damit z = 2^s Zahlen
> darstellen. Genau die Haelfte davon hat s Stellen, z/4 Zahlen haben
> s-1 Stellen, z/8 Zahlen haben s-2 Stellen usw. Wenn ich nun unendlich
> viele Stellen brauche, um alle Zahlen darstellen zu koennen, sind
> darunter auch solche mit unendlich vielen Stellen. Wozu sollten die

Nein! Um beliebig grosse, endliche Zahlen darstellen zu koennen, brauche
ich beliebig viele Stellen. Es gibt also keine maximale, endliche Anzahl
von Stellen fuer die Beschreibung aller natuerlichen Zahlen, da es keine
groesste natuerliche Zahl gibt. Jede einzelne natuerliche Zahl wird
aber, wie gross sie auch immer sein mag, durch eine endliche Stellenzahl
beschrieben. Du musst zwischen der Anzahl der Stellen zur Beschreibung
einer einzelnen natuerlich Zahl (immer endlich) und der insgesamt
benoetigten Anzahl der Stellen (unendlich) unterscheiden.

> unendlich vielen Stellen sonst noetig sein? Es sind jetzt sogar
> wesentlich mehr als nur die Haelfte aller Zahlen, die unendlich viele
> Stellen haben, denn oo-a (a endlich) ist ebenfalls noch oo. Die Zahlen
> mit endlich vielen Stellen sind also eine vernachlaessigbare Minderheit.
>
> Es muss moeglich sein, alle Zahlen gleichzeitig aufzuschreiben, sonst
> hat u. a. der Begriff der Potenzmenge einer unendlichen Menge keinen
> Sinn. Wenn du also zugestehst, dass man zum Aufschreiben aller natuer-
> lichen Zahlen unendlich viele Stellen braucht, hast du auch zugestanden,
> dass es unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen geben muss.
>

Ich habe aber nicht zugestanden, dass es eine einzelne natuerliche Zahl
gibt, fuer die ich unendlich viele Stellen brauche.

> > Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> > muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> > waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> > Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> > Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> > natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
>
> Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
> unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
> Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
> enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
> weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...
>

Zwei Anmerkungen:
1) Sage mir doch bitte erst einmal, wo in der obigen Argumentation ein
Fehler ist, bevor Du mit der naechsten Argumentation beginnst. Es ist
lange praktizierter Stil von Dir, Dinge nicht auszudiskutieren, sondern
neue Felder aufzumachen.
2) Nun ist es aber so, dass man in einer Menge von natuerlichen Zahlen
immer eine kleinste natuerliche Zahl findet. Ich sehe kein Argument,
warum es in einer unendlichen Menge immer eine kleinste unendliche
Teilmenge geben soll.

> Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
> und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
> Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
> unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
> Mengenlehre nicht geloest.
>

Welches Problem? Dass es keinen kontinuierlichen Uebergang gibt? Dass es
also keine groesste endliche und keine kleinste unendliche Menge gibt?
Ob die Kluft selbst ein Problem darstellt, weiss ich nicht, und ob der
Sprung unkontrollierbar ist, mag davon abhaengen, ob man die Mathematik
dahinter nachvollziehen kann oder nicht.

Holger Gollan

unread,
Jul 13, 2001, 10:43:58 AM7/13/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> >
> > Also mit anderen Worten:
> >
> > Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> > darstelle:
> >
> > 0: <leer>
> > 1: |
> > 2: ||
> > 3: |||
> > ...
> >
> > also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> > sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> > unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> > ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
>
> Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
> Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
> vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
> Zahlen, naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um

Warum? Mit einem Strich wird die Zahl 1 dargestellt, mit zwei Strichen
die Zahl 2 usw. Wenn es nur endlich viele natuerliche Zahlen gaebe, dann
gaebe es eine groesste, und die haette die maximale Anzahl von Strichen.
Wer oder was verbietet mir, noch einen Strich mehr zu machen, und eine
groessere natuerliche Zahl darzustellen?

> diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> Striche und natuerliche Zahlen.
>
> Man kann den Zusammenhang zwischen der Anzahl s der Stellen und der
> Anzahl z der damit darstellbaren Zahlen mit einer Gleichung angeben.
> Im vorliegenden Fall gilt z = s + 1, wenn die 0 mitgezaehlt wird.
> Bei binaerer Schreibweise ist z = 2^s. In beiden Faellen erhaelt man
> nur endlich viele Zahlen, wenn es nur solche mit endlich vielen Stellen
> gibt. Wenn man sich auf keinen Wert fuer s festlegt, kann man auch
> keinen fuer z angeben. Aber daraus kann man nicht schliessen, dass
> mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellbar sind,
> nur weil z beliebig vergroessert werden kann. Denn das setzt voraus,
> dass auch s beliebig vergroessert wird.
>

Wenn Du die Anzahl der Stellen vorgibst, dann kann man auch nur endlich
viele Zahlen mit dieser Anzahl von Stellen darstellen. Wenn Du die
Anzahl der Stellen aber um 1 erhoehst, dann kannst Du weitere
natuerliche Zahlen darstellen, jede von ihnen wiederum mit endlich
vielen Stellen.
Die Tatsache, dass jede natuerliche Zahl mit endlich vielen Stellen
darstellbar ist, heisst nicht, dass es eine maximale endliche
Stellenanzahl gibt. Es wird nur behauptet, dass jede einzelne
natuerliche Zahl endlich viele Stellen besitzt, nicht aber, dass die
maximale Stellenzahl aller natuerlichen Zahlen endlich ist.

Du fuehrst hier eine unendliche Folge von Mengen ein, verlierst kein
Wort ueber den Sinn von grenzwerten in diesem Zusammenhang und wunderst
Dich dann, dass andere einen Mengenlimes ins Spiel bringen?



> Man koennte einwenden, dass sich die Kardinalitaet w nicht durch
> schrittweises Vorgehen erreichen laesst sondern ein unerreichbarer
> Grenzwert ist, der eine besondere Definition notwendig macht. Das
> gilt dann konsequenterweise fuer alle Mengen mit der Maechtigkeit w,
> also auch fuer N. Ausser den in endlich vielen Schritten erreichbaren
> natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen muesste N dann auch
> nicht erreichbare Zahlen enthalten, denn in endlich vielen Schritten
> erreicht man nicht alle Elemente einer Menge mit der Kardinalitaet w.
>

Und noch einmal: Jede einzelne natuerliche Zahl kannst Du in endlich
vielen Schritten erreichen, aber Du kannst nicht die Menge aller
natuerlicher Zahlen in endlich vielen Schritten erreichen.
Und: Die Menge N wird ueblicherweise etwas anders gebildet als Deine
Beispielmengen weiter oben. Du kannst also nicht unbedingt erwarten,
dass sich Aussagen einfach zwischen den beiden Situationen uebersetzen
lassen.

Paul Ebermann

unread,
Jul 13, 2001, 4:50:19 AM7/13/01
to
> Du hast mit dem Beispiel veranschaulicht, dass es zwischen endlichen
> und unendlichen Mengen keinen kontinuierlichen Uebergang gibt.
> Dazwischen liegt eine Kluft, die sich nur durch einen unkontrollierbaren
> unendlich weiten Sprung ueberbruecken laesst. Dieses Problem hat die
> Mengenlehre nicht geloest.

Gut erkannt.
Dies ist eine der zentralen Eigenschaften unendlicher Mengen -
diese Kluft zwischen endlichen und unendlichen Mengen.
Warum siehst du dort ein Problem?

Paul

Dieter Jungmann

unread,
Jul 15, 2001, 10:52:16 PM7/15/01
to
Horst Kraemer schrieb am 13. Juli 06:53 GMT:

>
> On Fri, 13 Jul 2001 05:42:21 +0200, Dieter Jungmann
> <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>
> > Horst Kraemer schrieb am 12. Juli 07:03 GMT:
> > >
> > > Also mit anderen Worten:
> > >
> > > Wenn ich "die natuerlichen Zahlen" durch endliche Folgen von Strichen
> > > darstelle:
> > >
> > > 0: <leer>
> > > 1: |
> > > 2: ||
> > > 3: |||
> > > ...
> > >
> > > also sage: die endlichen und nur die endlichen Folgen von Strichen
> > > sind "die natuerliche Zahlen", dann kommen darunter auch Folgen mit
> > > unendlich vielen Strichen vor ? Wie ist das moeglich, wenn ich
> > > ausdruecklich definieren, dass nur die _endlichen_ Folgen dazugehoeren ?
> >
> > Wenn wir definieren, dass nur die endlichen Strich-Folgen natuerliche
> > Zahlen repraesentieren, gibt es keine natuerlichen Zahlen mit unendlich
> > vielen Stellen. Es gibt dann aber auch nur _endlich viele_ natuerliche
> > Zahlen,
>
> Bitte wieviele ? Schreib sie bitte auf, wenn es nur endlich viele
> gibt.

Du vertauschst Ursache und Konsequenz. Die Aussage, dass es nur endlich
viele natuerliche Zahlen gibt, ist eine Folge der Aussage, dass es nur
Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt. Warum stellst du die gleiche
Frage nicht mit gleichem Nachdruck, wenn jemand behauptet, dass es nur
Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt?


>
> > naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> > diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> > und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> > Striche und natuerliche Zahlen.
>
> Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
> verwendet werden sollen.
>
> Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
> Striche.

Diese Aussage impliziert, dass es _keine_ Folge gibt, die unendlich
viele Striche enthaelt. Warum brauchst du also unendlich viele Striche,
um _alle_ Zahlen darzustellen? Meinst du damit vielleicht die Summe
aller Striche, die gebraucht werden, wenn alle Zahlen gleichzeitig
dargestellt werden? Das waere ein Missverstaendnis, denn die Argumente
bleiben auch gueltig, wenn man die Striche durch die Anzahl der Stellen
ersetzt, die in einer beliebigen g-adischen Darstellung der Zahlen
benoetigt werden. Zur Darstellung von zwei Zahlen mit verschieden
vielen Stellen benoetigt man nicht mehr Stellen als zur Darstellung
der groesseren Zahl.

Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
endlich vielen Strichen endlich ist.

Verzichte doch einmal auf die Interpretation der Strich-Folgen als
Zahlen und betrachte sie einfach als bedeutungslose Muster. Zwei
Strichmuster gelten als identisch, wenn sie die gleiche Anzahl von
Strichen haben. Wenn jetzt die Vorgabe gemacht wird, dass kein Strich-
muster unendlich viele Striche hat, und die Frage gestellt wird, ob die
Anzahl der verschiedenen Muster unendlich sein kann, lautet die Antwort
doch auch Nein.

Wenn man die Zahlen mit Strichen darstellt, ist z. B. die Zahl 3 eine
Menge von 3 Strichen: 3 = { ||| }. Damit das Extensionalitaetsaxiom
keine Schwierigkeiten macht, muss man sich vorstellen, dass die Striche
verschieden lang sind, was sich hier nur umstaendlich darstellen liesse,
weshalb ich darauf verzichte. Diese Darstellung entspricht bereits
weitgehend der mengentheoretischen Darstellung der Z-Mengen. Auch
diese haben unterschiedlich viele und unterschiedlich lange Elemente.
Hinzu kommen noch unterschiedlich tiefe Verschachtelungen von
geschweiften Klammern. Dieser Unterschied ist hier ohne Bedeutung.

Ich betrachte jetzt die Folge 1, 2, 3, 4, ... oder
{ | }, { || }, { ||| }, { |||| }, ...
Man erkennt unmittelbar, dass unendlich viele Zahlen nur moeglich
sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen
gibt. Laesst man diese nicht zu, erhaelt man auch nur endlich
viele Zahlen. Ausserdem erhaelt man dann entweder eine endliche
Menge von Zahlen mit einer groessten Zahl oder eine unbegrenzte
Folge von Mengen (gleichbedeutend mit einer offenen Menge, der
Begriff wird aber in der Mengenlehre nicht verwendet), aber keine
Menge, die _alle_ Zahlen enthaelt. Daran aendert sich auch nichts,
wenn man diese Menge per Axiom postuliert. Axiome sind keine
Zauberformeln, mit denen man sich jeden Wunsch erfuellen kann,
sondern es muss geprueft werden, ob durch das Axiom nicht ein
Phantom oder gar ein Widerspruch in die Theorie eingebracht wird.

Das Argument, man koenne ja immer noch eine Zahl hinzufuegen und
deshalb muesse die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich sein,
uebersieht regelmaessig, dass dies nur um den Preis zu haben ist,
dass man auch der groessten bereits vorhandenen Zahl noch einen
Strich hinzufuegen muss, so dass die Anzahl der Striche der
groessten Zahl in der gleichen Weise gegen unendlich geht, wie
die Anzahl der Zahlen.

Dieser Zusammenhang laesst sich nicht aufloesen, solange man nur
Zahlen mit endlich vielen Strichen hat. Ob er sich widerspruchsfrei
aufloesen laesst, wenn man auch Zahlen mit unendlich vielen Strichen
(oder Elementen bei den Z-Mengen) einbezieht, brauche ich hier nicht
zu untersuchen, weil es nur darum geht, zu begruenden, warum eine
Menge mit unendlich vielen natuerlichen Zahlen nicht ausschliesslich
Zahlen mit endlich vielen Strichen enthalten kann.

Der Zusammenhang bleibt auch erhalten, wenn man die Zahlen g-adisch
darstellt. Das wird besonders deutlich sichtbar, wenn man unendliche
Teilmengen von N betrachtet. Fuer die Menge D der Zweierpotenzen
habe ich das bereits beschrieben. In binaerer Darstellung ist
D = {1, 10, 100, 1000, ...}. Auch hier ist sofort zu sehen, dass man
unendlich viele Zweierpotenzen nur erhaelt, wenn es auch einzelne
Zweierpotenzen mit unendlich vielen Stellen gibt.

Man kann das Spiel weiter treiben, indem man die unendliche Teilmenge
D_1 von N betrachtet:
D_1 = {10, 100, 10000, 10000 0000, ...} (binaere Schreibweise).
D_1 ist die Menge der Zweierpotenzen, deren Exponent ebenfalls eine
Zweierpotenz ist. Die Anzahl der Nullen verdoppelt sich in
binaerer Schreibweise bei jedem Schritt. Um die k-te Zahl von D_1
darzustellen, benoetigt man 1 + 2^(k-1) Stellen. Die Zahl der
benoetigten Stellen waechst also exponentiell mit der Zahl der
darzustellenden Zahlen. Durch Auswahl anderer Teilmengen von N
laesst sich die Zahl der benoetigten Stellen beliebig steigern.
Ich hoffe, dass ich mit diesen Beispielen verstaendlich machen
kann, warum ich davon uberzeugt bin, dass sich mit endlich vielen
Stellen nicht unendlich viele Zahlen darstellen lassen.

Gruss Dieter

Dieter Jungmann

unread,
Jul 15, 2001, 10:52:39 PM7/15/01
to
Norbert Micheel schrieb:

>
> "Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:3B4E6E1D...@t-online.de...
> > Eine Zahl mit endlich vielen Stellen laesst sich bei Anwendung der
> > Nachfolgerelation ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten erreichen.
> > Konsequenterweise wurde in dieser Diskussion schon oft behauptet, dass
> > man JEDE natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann.
> > Daraus folgt umgekehrt, dass man aus der vorgegebenen Menge N alle Zahlen
> > mit endlich vielen Stellen in endlich vielen Schritten entfernen kann.
> > Bei jedem Schritt wird eine Zahl entfernt, zuerst die 1, dann die 2, dann
> > die 3, ... . Da man JEDE Zahl in endlich vielen Schritten erreichen kann,
> > kann man auf diese Weise alle in endlich vielen Schritten entfernen.
>
> Nein, kann man nicht !
> Wie kommst du darauf, dass es dann insgesamt endlich viele Schritte sind ?

Lies z. B. nach bei Paul Ebermann im posting vom 1. Juli 12:30 h:
Zitat:
> > Nach
> > Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> > viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> > endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
>
> Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
> unserer Menge M nicht erfüllt.
> Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
> Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
> zurückkommen können?
Ende des Zitats.

Einer motzt also immer. Vielleicht sollten sich die Mengentheoretiker
erst einmal untereinander einigen, was richtig ist.


>
> Wenn ich sagen wuerde: "ich kann zu jeder natuerlichen Zahl, die du mir
> nennst ihren Nachfolger nennen" wuerdest du mir doch glauben, oder ?
> Wieso sollte es eine notwendige Bedingung fuer diese Aussage sein, dass ich
> dann auch alle Nachfolger hintereinander aufzaehlen kann ? (Was ich definitv
> nicht kann)

Mit dieser Aussage duerftest du ziemlich alleine dastehen. Die
Nachfolgerelation gilt fuer alle Elemente, folglich muessen sich
auch alle aufzaehlen lassen.


>
> Anscheinend sind dir Zahlen schon zu anschaulich :-), deshalb mal ein
> sprachliches Beispiel:
>
> Du erzaehlst mir von der Sprache "Dieterisch", die man im "Jungmannland"
> spricht.
> Ich kenne kein eines Wort dieser Sprache.
> Aber du erklaerst mir: "Im dieterischen bildet man die Mehrzahl eines
> Substantivs, in dem man ein "x" voranstellt"
> Ich denke ich kann jetzt zu JEDEM dieterischen Hauptwort (das du mir nennst)
> die Mehrzahl nennen, aber ich kann nicht ALLE dieterischen Substantive in
> der Mehrzahl aufsagen.
>
> Und dabei spielt es noch nicht mal eine Rolle, ob es unennlich viele
> dieterische Substantive gibt !

Wenn die Substantive durch eine Nachfolgerelation geordnet sind und
jedes Substantiv sich aus dem vorhergehenden ableiten laesst wie bei
den natuerlichen Zahlen und ich dir das erste Substantiv und die
Nachfolgerelation bekannt gebe, kannst du alle in der Einzahl und
Mehrzal aufsagen.

Du bist ein Spezialist dafuer, Dinge, die nichts miteinander zu tun
haben, durcheinander zu bringen, obwohl du gerade dies mir immer wieder
vorwirfst. Noch ein Beispiel aus deinem posting vom 9. Juli 04:29 h:

Norbert Micheel schrieb:


>
> "Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag

> news:3B48BF5B...@t-online.de...


> > Norbert Micheel schrieb am 5. Juli 5:17 h:
> > >
> > >

> > > Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
> > >
> > > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
> daraus
> > > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> > >
> > > Andererseits:
> > > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > > HAT, ist sie definitv endlich.
>

> > Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? [...]
>
> hmmm...
>
> 1) \exists q \forall m \in M : 3q=m
>
> 2) \forall m \in M \exists q : 3q=m
>
> unterscheiden sich denn Mengen M die 1) oder 2) erfuellen?

Es geht hier um den (vermeintlichen) Unterschied in den Aussagen
"fuer jedes" und "fuer alle". In deinen Aussagen 1) und 2) kommt
aber nur "fuer alle" vor, sie sind schon aus diesem Grunde als
Gegenbeispiel ungeeignet. So viel ich weiss, kennt die Mengenlehre
gar keinen Quantor "fuer jedes" sondern nur "fuer alle", womit aber
dasselbe wie "fuer jedes" gemeint ist. Unabhaengig davon fehlt jeder
Zusammenhang mit unserem Problem.

Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen kann, heisst
das, dass es kein k gibt, das man nicht in endlich vielen Schritten
erreichen kann, folglich kann man alle k in endlich vielen Schritten
erreichen.

Aber nimm's nicht allzu tragisch, ich bin Kummer gewohnt :-)

Gruss Dieter

Dieter Jungmann

unread,
Jul 15, 2001, 10:52:27 PM7/15/01
to
Hallo Holger,

die wesentliche Aussage des ersten Teils deines postings vom
13. Juli 16:15 h wird durch folgenden Satz wiedergegeben:

> Du musst zwischen der Anzahl der Stellen zur Beschreibung
> einer einzelnen natuerlich Zahl (immer endlich) und der insgesamt
> benoetigten Anzahl der Stellen (unendlich) unterscheiden.

Um mich nicht zu wiederholen, verweise ich dazu auf meine Antwort
auf das posting von Horst Kraemer vom 13. Juli 06:53 GMT. Hier nur
ganz kurz: Wenn es keine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen
gibt, wozu brauchst du dann insgesamt doch unendlich viele Stellen?
Was willst du mit ihnen darstellen?

Zum zweiten Teil:


>
> > > Wenn es eine natuerliche Zahl mit unendlich vielen Stellen gaebe, dann
> > > muesste es auch eine kleinste solche Zahl, sagen wir X, geben. Dann
> > > waere zwangslaeufig X-1 eine natuerliche Zahl mit endlich vielen
> > > Stellen. Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?
> > > Schliesslich kann bei Addition mit 1 die Anzahl der Stellen einer
> > > natuerlichen Zahl nur um maximal 1 wachsen.
> >
> > Mit dem gleichen Argument kannst du beweisen, dass es ueberhaupt keine
> > unendlichen Mengen gibt. Denn wenn es eine Menge mit unendlich vielen
> > Elementen gaebe, dann muesste es (nach deiner Logik) auch eine kleinste
> > Teilmenge, sagen wir X, geben, die gerade noch unendlich viele Elemente
> > enthaelt. Dann waere zwangslaeufig X-1 (also eine Menge mit einem Element
> > weniger) eine Menge mit endlich vielen Elementen. Wie soll aber ...
> >
>
> Zwei Anmerkungen:
> 1) Sage mir doch bitte erst einmal, wo in der obigen Argumentation ein
> Fehler ist, bevor Du mit der naechsten Argumentation beginnst. Es ist
> lange praktizierter Stil von Dir, Dinge nicht auszudiskutieren, sondern
> neue Felder aufzumachen.

Dein Argument steckt in der Frage

> > > Wie soll aber aus X-1, einer Zahl mit endlich vielen Stellen,
> > > durch Addition von 1 eine Zahl X mit unendlich vielen Stellen werden?

Der Gedanke dahinter ist: N enthaelt Zahlen mit endlich vielen Stellen.
Jede Zahl in N muss mit der Nachfolgerelation erreichbar sein. Gaebe es
auch Zahlen mit unendlich vielen Stellen, waere dies nicht moeglich, die
Menge haette einen Sprung, an dem die Nachfolgerelation versagt. Also
kann es nur Zahlen mit endlich vielen Stellen geben.

Bis hierher sind wir einig. Ich folgere daraus, dass es nur endlich
viele natuerliche Zahlen gibt und dass N keine Menge sondern eine
Mengenfolge (oder eine offene Menge, wie ich es nenne) ist. Das habe
ich in dem erwaehnten posting noch einmal begruendet. Du postulierst
dagegen (ohne Begruendung) durch ein Axiom, dass N doch eine Menge mit
unendlich vielen Elementen ist. Der Nachweis, dass dies moeglich ist,
ohne dass Widersprueche auftreten, fehlt aus meiner Sicht.

> 2) Nun ist es aber so, dass man in einer Menge von natuerlichen Zahlen
> immer eine kleinste natuerliche Zahl findet. Ich sehe kein Argument,
> warum es in einer unendlichen Menge immer eine kleinste unendliche
> Teilmenge geben soll.

Zunaechst einmal dachte ich, dass in diesem Kontext klar ist, dass
durch eine Nachfolgerelation geordnete Mengen mit einem Anfangselement
gemeint sind. Ausserdem will ich ja gerade darauf hinaus, dass es
keine kleinste unendliche Teilmenge gibt und deshalb auch keine
unendliche Menge mit einer durchgaengig gueltigen Nachfolgerelation.
Ich versuche das nachfolgend an einem Beispiel zu erklaeren.

Durch Vorgabe einer natuerlichen Zahl k kann man N in 2 Teilmengen
teilen, naemlich die Teilmenge N_k, die alle Zahlen von 0 bis
einschliesslich k enthaelt, und die dazu komplementaere Teilmenge
C_k, die alle Zahlen groesser k enthaelt. Mit verschiedenen Werten
fuer k lassen sich beliebig viele Mengenpaare N_k, C_k bilden. Es gilt
aber immer, dass N_k eine endliche und C_k eine unendliche Teilmenge
von N ist. C_k hat also immer die Maechtigkeit w (klein omega).
N_k dagegen kann nie die Maechtigkeit w erlangen, denn wegen der
schrittweisen Vergoesserung von k mit der Nachfolgerelation muesste
es eine Stelle geben, an der N_k noch eine endliche Maechtigkeit hat
und N_(k+1) die Maechtigkeit w. Das ist aber nicht moeglich.

Daraus folgt, dass man grundsaetzlich _nicht_ alle Zahlen in N mit
der Nachfolgerelation erreichen kann. Denn _jede_ so erreichbare
Zahl zerlegt N in die Teilmengen N_k und C_k, man kann also jede
dieser Zahlen nach N_k bringen. Da alle C_k die
Maechtigkeit w und alle N_k eine endliche Maechtigkeit haben,
kann man sogar behaupten, dass es unendlich mal mehr mit der
Nachfolgerelation nicht erreibare als erreichbare Zahlen gibt.
Andererseits lassen sich alle Zahlen mit endlich vielen Stellen
sicher mit der Nachfolgerelation erreichen. Folglich muss N
unendlich viele Zahlen mit unendlich vielen Stellen enthalten,
falls N eine unendliche Menge ist.

Wir geben jetzt einen festen Wert fuer k vor, bilden die
Mengenfolgen K_i = {k+1, k+2, k+3, ..., k+i} und L_i = N\K_i
und lassen i gegen oo gehen. Die Grenzmenge von L_i ist N_k,
die Grenzmenge von K_i ist C_k. Da k+i schrittweise vergroessert
wird und nach Voraussetzung alle Zahlen von N mit der Nachfolge-
relation erreichbar sind, muessen die Mengen der Folgen K_i und L_i
schrittweise groesser bzw. kleiner werden bis sie ihre Grenzwerte
erreichen. K_i beginnt mit einer endlichen Menge und endet
mit einer Menge der Maechtigkeit w, bei L_i ist es umgekehrt.
In beiden Mengenfolgen muss es also einen Schritt von i nach i+1
geben, bei dem die Maechtigkeit von endlich nach w bzw. umgekehrt
umschlaegt. Da dies nicht moeglich ist, folgt, dass es keine geordneten
unendlichen Mengen gibt. Dieser Schluss setzt geordnete Mengen
im Sinne des Unendlichkeitsaxioms voraus und gilt nicht fuer
offene Mengen oder Mengenfolgen.

Gruss Dieter

Horst Kraemer

unread,
Jul 16, 2001, 3:39:31 AM7/16/01
to
On Mon, 16 Jul 2001 04:52:16 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

Aufgrund welcher logischen Schlussfolgerungen "folgt", dass es nur
endlich viele verschiedene endliche Strichfolgen gibt ?

> Warum stellst du die gleiche
> Frage nicht mit gleichem Nachdruck, wenn jemand behauptet, dass es nur
> Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt?

Warum sollte ich ?


>
> >
> > > naemlich (ohne die 0) genau so viele, wie es Striche gibt. Um
> > > diese Alternative geht es: entweder endlich viele Striche (oder Stellen)
> > > und dann auch nur endlich viele natuerliche Zahlen, oder unendlich viele
> > > Striche und natuerliche Zahlen.
> >
> > Niemand behauptet, dass dabei insgesamt endliche viele Striche
> > verwendet werden sollen.
> >
> > Je _einzelne_ der Folgen enthaelt fuer sich allein endlich viele
> > Striche.

> Diese Aussage impliziert, dass es _keine_ Folge gibt, die unendlich
> viele Striche enthaelt.

Aufgrung welcher Schlussfolgerung _impliziert_ dies diese Aussage ?


> Warum brauchst du also unendlich viele Striche,
> um _alle_ Zahlen darzustellen? Meinst du damit vielleicht die Summe
> aller Striche, die gebraucht werden, wenn alle Zahlen gleichzeitig
> dargestellt werden?
> Das waere ein Missverstaendnis, denn die Argumente
> bleiben auch gueltig, wenn man die Striche durch die Anzahl der Stellen
> ersetzt, die in einer beliebigen g-adischen Darstellung der Zahlen
> benoetigt werden. Zur Darstellung von zwei Zahlen mit verschieden
> vielen Stellen benoetigt man nicht mehr Stellen als zur Darstellung
> der groesseren Zahl.
>
> Aber auch die Summe der Striche (oder Stellen) ist endlich, wenn es nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen gibt, weil die Menge aller Zahlen mit
> endlich vielen Strichen endlich ist.

Warum ?


> Verzichte doch einmal auf die Interpretation der Strich-Folgen als
> Zahlen und betrachte sie einfach als bedeutungslose Muster. Zwei
> Strichmuster gelten als identisch, wenn sie die gleiche Anzahl von
> Strichen haben. Wenn jetzt die Vorgabe gemacht wird, dass kein Strich-
> muster unendlich viele Striche hat, und die Frage gestellt wird, ob die
> Anzahl der verschiedenen Muster unendlich sein kann, lautet die Antwort
> doch auch Nein.

Warum ?


> Wenn man die Zahlen mit Strichen darstellt, ist z. B. die Zahl 3 eine
> Menge von 3 Strichen: 3 = { ||| }. Damit das Extensionalitaetsaxiom
> keine Schwierigkeiten macht, muss man sich vorstellen, dass die Striche
> verschieden lang sind, was sich hier nur umstaendlich darstellen liesse,
> weshalb ich darauf verzichte. Diese Darstellung entspricht bereits
> weitgehend der mengentheoretischen Darstellung der Z-Mengen. Auch
> diese haben unterschiedlich viele und unterschiedlich lange Elemente.
> Hinzu kommen noch unterschiedlich tiefe Verschachtelungen von
> geschweiften Klammern. Dieser Unterschied ist hier ohne Bedeutung.
>
> Ich betrachte jetzt die Folge 1, 2, 3, 4, ... oder
> { | }, { || }, { ||| }, { |||| }, ...
> Man erkennt unmittelbar, dass unendlich viele Zahlen nur moeglich
> sind, wenn es auch einzelne Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> gibt.

Woran erkennt man dies "unmittelbar" ?

> Laesst man diese nicht zu, erhaelt man auch nur endlich
> viele Zahlen. Ausserdem erhaelt man dann entweder eine endliche
> Menge von Zahlen mit einer groessten Zahl oder eine unbegrenzte
> Folge von Mengen (gleichbedeutend mit einer offenen Menge, der
> Begriff wird aber in der Mengenlehre nicht verwendet), aber keine
> Menge, die _alle_ Zahlen enthaelt. Daran aendert sich auch nichts,
> wenn man diese Menge per Axiom postuliert. Axiome sind keine
> Zauberformeln, mit denen man sich jeden Wunsch erfuellen kann,
> sondern es muss geprueft werden, ob durch das Axiom nicht ein
> Phantom oder gar ein Widerspruch in die Theorie eingebracht wird.
>
> Das Argument, man koenne ja immer noch eine Zahl hinzufuegen und
> deshalb muesse die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich sein,
> uebersieht regelmaessig, dass dies nur um den Preis zu haben ist,
> dass man auch der groessten bereits vorhandenen Zahl noch einen
> Strich hinzufuegen muss, so dass die Anzahl der Striche der
> groessten Zahl in der gleichen Weise gegen unendlich geht, wie
> die Anzahl der Zahlen.

Du vergisst immer wieder, dass die Menge der natuerlichen Zahlen
_nicht_ durch eine Art Grenzprozess definiert ist, bei der die jeweils
groesste Zahl der Folgen

0
0,1,2
0,1,2,3
...

"gegen unendlich geht". Diese Sprechweise fuehrt zu Deinem nicht
mathematisch begruendbaren "intuiven" Fehlschluss, dass auch die Menge
_aller_ natuerlichen Zahlen ein groesste Zahl enthalten muss.

Die Menge der ("aller") natuerlichen Zahlen ist _nicht_ durch einen
"Grenzprozess" definiert. Der Begriff "Grenzprozess" ist in diesem
Stadium ueberhaupt noch nicht definiert.

Die Menge N der natuerlichen Zahlen _ist_ per Definition die kleinste
Menge (lies: der Durchnitt aller Mengen), die die 0 enthaelt, und zu
jedem x, das sie enthaelt, auch die naechstgroessere enthaelt. Punkt.

Jede der endlichen Mengen

{0}
{0,1}
{0,1,2}
...

ist Teilmenge von N, aber N selbst hat per Definition _nicht_ mehr die
Eigenschaft, ein groesstes Element zu besitzen, denn sie soll ja zu
jedem Element auch das naechstgroessere enthalten.


> Dieser Zusammenhang laesst sich nicht aufloesen, solange man nur
> Zahlen mit endlich vielen Strichen hat. Ob er sich widerspruchsfrei
> aufloesen laesst, wenn man auch Zahlen mit unendlich vielen Strichen
> (oder Elementen bei den Z-Mengen) einbezieht, brauche ich hier nicht
> zu untersuchen, weil es nur darum geht, zu begruenden, warum eine
> Menge mit unendlich vielen natuerlichen Zahlen nicht ausschliesslich
> Zahlen mit endlich vielen Strichen enthalten kann.
>
>