unendliche Mengen
FrAKaLlI
Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten endlichen Menge dadurch
beweisst, dass man sie angibt. Dann kann man aber nicht beweisen, dass
unendliche Mengen in diesem Sinne existieren, denn man kann ja keine angeben.
Wer kann mir das erklaeren? Aber bitte keine Mengenaxiome heranziehen, ich rede
von naiven Mengen.
Paul Ebermann
Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
(einzeln) aufschreiben.
Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
so kann man diese schon aufschreiben:
Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
aller der endlichen Mengen beschreiben.
Die wichtigsten anderen unendlichen Mengen kann man dann
daraus konstruieren.
Es wird allerdings _wirklich_ einfacher, wenn man von einigen
Axiomen wie dem Unendlichkeitsaxiom ausgeht - das postuliert
nämlich gerade die Existenz einer unendlichen Menge.
Paul
--
Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.
Roberto Massi
"Paul Ebermann" <Paul-E...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:9h9evu$ce7dg$3...@ID-77081.news.dfncis.de...
Hi.
> > Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten endlichen Menge
dadurch
> > beweisst, dass man sie angibt.
Das ist nur e i n e Möglichkeit, die Existenz nachzuweisen. Die Existenz
(z.B.) einer Menge wuerde
sich doch auch dadurch ergeben, dass man die Nicht-Existenz dieser Menge
widerlegt.
Sogar die Eigenschaft "endlich" laesst sich in vielen Fällen anders
nachweisen als durch die
explizite Aufzählung aller Elemente.
> >Dann kann man aber nicht beweisen, dass
> > unendliche Mengen in diesem Sinne existieren, denn man kann ja keine
angeben.
Wenn aus "A" immer "B" folgt, folgt dann auch aus "A" immer "C" ? Du
solltest einen kleinen
Exkurs in Sachen Aussagenlogik unternehmen!
> > Wer kann mir das erklaeren? Aber bitte keine Mengenaxiome heranziehen,
ich rede
> > von naiven Mengen.
>
> Von unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente
> (einzeln) aufschreiben.
Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
aufzuschreiben.;-)
> Wenn man aber etwa die Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet,
> so kann man diese schon aufschreiben:
> Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
> aller der endlichen Mengen beschreiben.
> Die wichtigsten anderen unendlichen Mengen kann man dann
> daraus konstruieren.
>
> Es wird allerdings _wirklich_ einfacher, wenn man von einigen
> Axiomen wie dem Unendlichkeitsaxiom ausgeht - das postuliert
> nämlich gerade die Existenz einer unendlichen Menge.
>
> Paul
> --
> Im deutschen Usenet ist es üblich, seinen Realnamen (Vor- + Nachname)
> anzugeben. Mehr dazu in den regelmäßigen Postings in de.newusers.infos.
>
Gruß
R.
Jan Röhrich
> Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
> aufzuschreiben.;-)
>
wieso soll das nicht gehen? Es hat ja keiner davon geredet, wieviel Zeit
und Speicherpltz man benötigen darf!
Gruß Jan
SL
Anette Stegmann wrote:
> {2001-06-26 13:30} "Roberto Massi" (chi...@freakmail.de):
>
> >
> >> > Es ist doch so, daß man die Existenz einer bestimten
> >> > endlichen Menge dadurch beweisst, dass man sie angibt.
> >
> >Das ist nur e i n e Möglichkeit, die Existenz nachzuweisen.
>
> Die Existenz kann man nur nachweisen im Rahmen eines bestimmten
> Glaubens- oder Axiomsystems.
>
> Das heißt aber, daß man die Existenz letztendlich nur
> /postulieren/ und nicht beweisen kann. (dh. beweisen nur durch
> Zurückführung auf ein Postulat/Axiom.)
>
> Dies ist anders als bei den physikalischen Objekten, wo man
> Existenz durch Experimente klären kann (z.B. beim Higgs-Boson).
>
Ach, für Higgs-Bosonen ( od. Higgs-Felder) werden keine physikalischen
Postulate zugrunde gelegt?Keine Wechselwirkungen mehr über irgendwelche
'virtuellen Teilchen' ? Auf welchen Grundlagen basieren eigentlich
entsprechende Feldgleichungen ?
Roberto Massi
"Jan Röhrich" <j...@rw-gbr.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B38830A...@rw-gbr.de...
Hi Jan,
nee is klar. Dann schafft das "FrAKaLll" das ja auch mit abzaehlbaren Mengen
;-)
Gruss
R
FrAKaLlI
>so kann man diese schon aufschreiben:
>Das ist die Menge aller Zahlen, die die Mächtigkeiten
>aller der endlichen Mengen beschreiben.
Ich dachte, die natürlichen Zahlen seien definiert als eine Menge, die die
Peano-axiome erfuellt?
Sind diese beiden Definitionen aquivalent?
Boris 'pi' Piwinger
Wenn Du keine Axiome heranziehen willst (willst Du eigentlich schon,
Du willst nur nicht darueber nachdenken, welche das sind;-), dann ist
es beliebig unklar, was es bedeuten soll, dass eine Menge existiert.
pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)
Paul Ebermann
Das hängt davon ab:
a) ist die leere Menge eine endliche Menge?
b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?
Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
sind die Mengen isomorph.
Es gibt allerdings auch noch andere Varianten, die Menge der
natürlichen Zahlen zu konstruieren, allerdings benötigt man
immer eine Art 'Unendlichkeitsaxiom', welches dann sagt, das
das auch wirklich eine Menge ist.
Paul Ebermann
> > (einzeln) aufschreiben.
>
> Das klappt auch im endlichen Fall nicht immer:
> Versuch doch mal alle Elemente der endlichen Menge {1,......,10000^10000}
> aufzuschreiben.;-)
Was hältst du davon:
1^1, 10^10, 100^100, 1000^1000, 10000^10000
SCNR
Paul
Franz Kallista
>
>Das hängt davon ab:
>a) ist die leere Menge eine endliche Menge?
Unendlich ist sie ja jedenfalls nicht.
>b) Fangen die natürlichen Zahlen (per Peano) mit 0 an?
Was soll das heissen? Per Peano gibt es ein Element, das kein Nachfolger ist.
>Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
>sind die Mengen isomorph.
Wie beweisst man das denn?
.
Paul Ebermann
>
> Was soll das heissen? Per Peano gibt es ein Element, das kein Nachfolger ist.
Genau. Und wenn du dieses erste Element '0' nennst (was ja
die Kardinalität der leeren Menge ist), musst du eben auch
die leere Menge zu den endlichen Mengen hinzuzählen.
Wenn du dieses erste Element '1' nennst, ist die leere Menge
keine endliche Menge (sondern hat einen Sonderstatus).
> >Nur wenn du auf beide Fragen dasselbe antwortest (Ja/Nein)
> >sind die Mengen isomorph.
>
> Wie beweisst man das denn?
Wir stellen ein Modell für die Peanoaxime mit der Menge
der Kardinalitäten der endlichen Mengen her (Wobei keine Menge
sich selbst enthalten solle).
0 := card({}) ist das erste Element.
Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
ist also immer noch eine endliche Menge.
Wir haben also unsere Nachfolgerelation gegeben durch
S( card(M) ) := card( M vereinigt {M} )
Wir können natürlich auch stattdessen ein anderes Element
hinzufügen, das nicht schon enthalten ist, das ändert ja
nichts an der Kardinalität.
Dann gelten, wie man leicht sieht, die weiteren Axiome:
- Es gibt keine endliche Menge, bei der durch Hinzufügen
von Elementen die leere Menge entsteht.
- Jede Menge, die nicht endlich ist, lässt sich so nicht
darstellen, denn durch Wegnahme eines Elementes erhalten
wir immer noch keine endliche Menge.
- Jede endliche Menge lässt sich so erreichen, denn
durch Wegnahme eines Elementes haben wir eine Menge,
die eine kleinere Kardinalität hat, schließlich kommen
wir zur leeren Menge.
Dies ist jetzt nicht formal korrekt, allerdings sieht
man wohl den Ansatz.
Umgekehrt kann man auch zu jeder natürlichen Zahl eine
endliche Menge mit dieser Zahl an Elementen suchen,
und deren Kardinalität dann damit identifizieren.
Paul
Joerg Neulist
>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>ist also immer noch eine endliche Menge.
Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
Gruß,
Jörg
Boris 'pi' Piwinger
>>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>>ist also immer noch eine endliche Menge.
>
>Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
Was hat die Frage mit vorstehender Aussage zu tun?
Paul Ebermann
> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>
> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
Dann schließen wir diese Probleme aus.
Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
Menge sich selbst enthält.
Die Russelsche Antinomie wird dadurch jedenfalls ausgeschlossen.
Paul
Thomas Haunhorst
>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
>
>Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
>(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
>Menge sich selbst enthält.
Der Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
kam erst 1925 zu ZF hinzu. Ueblicherweise zaehlt man es heute zu ZF hinzu,
aber es gibt Autoren, die es von ZF trennen. Es werden jedenfalls auch
axiomatische Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom betrachtet.
Gruss Thomas
--
Thomas Haunhorst
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
>
>Ich weiß nicht, ob es mit den Axiomen der Mengenlehre
>(Zermelo-Fränkel) inzwischen möglich ist, dass eine
>Menge sich selbst enthält.
Den Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
Thomas Haunhorst
>Den Ausschluss dieser Moeglichkeit sichert das Fundierungsaxiom. Aber das
>kam erst 1925 zu ZF hinzu. Ueblicherweise zaehlt man es heute zu ZF hinzu,
>aber es gibt Autoren, die es von ZF trennen. Es werden jedenfalls auch
>axiomatische Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom betrachtet.
Nachtrag: Das "Problem" der Russellschen Antinomie wird in ZF durch die "gere-
gelte" Komprehension "vorlaeufig" geloest, und in einer Mengenlehre, die ne-
ben Mengen auch noch echte Klassen zulaesst, dadurch, dass man die Element-
beziehung einschraenkt. Eine Komprehension wie {x|x ist nicht Element von x}
ist dann nicht ausgeschlossen, aber durch den Widerspruch, der entsteht, wenn
man diese Klasse als Menge annimmt, ergibt sich, dass sie keine Menge ,
also eine echte Klasse ist. In der Mengentheorie NBG (Neumann-Goedel-Bernays)
wird das so gemacht. Wenn man dort schreibt X\in Y, so muss X immer eine
Menge sein, aber Y kann auch eine echte Klasse sein.
Joerg Neulist
>> >Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>> >'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>> >ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>> Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Deswegen hatte ich ja auch vorher geschrieben:
>Sei keine der betrachteten Mengen in sich selbst enthalten.
>Dann schließen wir diese Probleme aus.
Dann stellst Du nur sicher, dass obige Operation tatsächlich # erhöht.
Ich kenne es jedenfalls so, dass man es vermeidet, Mengenelemente aus
verschiedenen Meta-ebenen zusammenzusuchen, insbesondere
Selbstenthaltung. Ich sehe da oben keinen direkten Widerspruch, wollte
das nur anmerken.
Gruß,
Jörg
Joerg Neulist
>Joerg Neulist <dusk...@gmx.de> wrote:
>
>>>Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
>>>'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
>>>ist also immer noch eine endliche Menge.
>>
>>Ist Dir das Russellsche Paradoxon geläufig?
>
>Was hat die Frage mit vorstehender Aussage zu tun?
siehe Antwort auf Paul.
Gruß,
Jörg
Dieter Jungmann
>
> Wir stellen ein Modell für die Peanoaxime mit der Menge
> der Kardinalitäten der endlichen Mengen her (Wobei keine Menge
> sich selbst enthalten solle).
> 0 := card({}) ist das erste Element.
>
> Wenn nun n = card(M) gegeben ist, so hat
> 'M vereinigt {M}' hat ein Element mehr,
> ist also immer noch eine endliche Menge.
> Wir haben also unsere Nachfolgerelation gegeben durch
> S( card(M) ) := card( M vereinigt {M} )
> Wir können natürlich auch stattdessen ein anderes Element
> hinzufügen, das nicht schon enthalten ist, das ändert ja
> nichts an der Kardinalität.
>
> Dann gelten, wie man leicht sieht, die weiteren Axiome:
> - Es gibt keine endliche Menge, bei der durch Hinzufügen
> von Elementen die leere Menge entsteht.
> - Jede Menge, die nicht endlich ist, lässt sich so nicht
> darstellen, denn durch Wegnahme eines Elementes erhalten
> wir immer noch keine endliche Menge.
> - Jede endliche Menge lässt sich so erreichen, denn
> durch Wegnahme eines Elementes haben wir eine Menge,
> die eine kleinere Kardinalität hat, schließlich kommen
> wir zur leeren Menge.
Hallo Paul,
das hast du anschaulich erklaert. Ich nenne einmal die Mengen m_k, die
mit der Nachfolgerelation (m vereinigt {m}) konstruiert werden, Z-Mengen.
m_0 ist die leere Menge. Alle Z-Mengen m_k enthalten nur endlich viele
Elemente. Bildet man die Einermengen {m_k} und von diesen die Vereini-
gungsmengen M_k = {m_0, m_1, ..., m_k} fuer jedes k, so erhaelt man die
Mengenfolge M_k. Alle M_k enthalten, wie umnittelbar einzusehen ist,
ebenfalls nur endlich viele, naemlich k + 1, Elemente.
Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom. Durch
dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst waere es
ueberfluessig. Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren. Nach
Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
Den mengentheoretisch definierten Z-Mengen ordnet man ueblicherweise auf
mathematischer Seite die natuerlichen Zahlen k zu. Auch fuer diese gilt,
dass man von jeder Zahl k, die nur endlich viele (Binaer-)Stellen hat,
durch wiederholte Subtraktion einer 1 in endlich vielen Schritten zur 0
zurueckkehren kann. Wenn N, die Menge der natuerlichen Zahlen, tatsaechlich
unendlich ist, muss sie auch unendlich viele Zahlen enthalten, von denen
aus das nicht moeglich ist. Dabei kann es sich nach meiner Meinung nur
um Zahlen mit unendlich vielen Stellen handeln. Siehst du eine andere
Moeglichkeit?
Vielleicht kann dir Rainer Rosenthal, Hallo Rainer, bei der Loesung des
Problems helfen, er hatte mir naemlich eine Erklaerung verspochen, wie
man mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellen kann.
Gruss Dieter
Paul Ebermann
"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag news:3B3E8A11...@t-online.de...
Hallo Paul,
Soweit ist das richtig.
> Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> waere es ueberfluessig.
Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
> Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
> Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
> Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
> Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren.
Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
> Nach
> Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
unserer Menge M nicht erfüllt.
Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
zurückkommen können?
> Den mengentheoretisch definierten Z-Mengen ordnet man ueblicherweise auf
> mathematischer Seite die natuerlichen Zahlen k zu. Auch fuer diese gilt,
> dass man von jeder Zahl k, die nur endlich viele (Binaer-)Stellen hat,
> durch wiederholte Subtraktion einer 1 in endlich vielen Schritten zur 0
> zurueckkehren kann.
Stimmt.
> Wenn N, die Menge der natuerlichen Zahlen, tatsaechlich
> unendlich ist, muss sie auch unendlich viele Zahlen enthalten, von denen
> aus das nicht moeglich ist. Dabei kann es sich nach meiner Meinung nur
> um Zahlen mit unendlich vielen Stellen handeln. Siehst du eine andere
> Moeglichkeit?
Es gibt überhaupt keine natürliche Zahl, von der aus das
nicht möglich ist. Damit benötigen wir auch keine unendlich
vielen Stellen.
> Vielleicht kann dir Rainer Rosenthal, Hallo Rainer, bei der Loesung des
> Problems helfen, er hatte mir naemlich eine Erklaerung verspochen, wie
> man mit endlich vielen Stellen unendlich viele Zahlen darstellen kann.
Jede natürliche Zahl kann man mit endlich vielen (Binär-, Dezimal-,
oder sonstigen) Stellen darstellen.
Allerdings kann man keine Stellenanzahl 's_max' angeben, mit der
wir jede Zahl darstellen können. Schon 'b^(s_max)' (b die Basis
unseres Zahlsystems, also etwa 2 oder 10) benötigt ja eine Stelle
mehr - aber immer noch endlich viele Stellen.
Paul
Dieter Jungmann
>
> > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
> > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> > waere es ueberfluessig.
>
> Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
> Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom. Andernfalls
braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist. Wenn das
konstruierte Objekt die Bedingungen fuer eine Menge nicht erfuellt,
laesst sich das durch "umdefinieren" mit einem Axiom auch nicht erreichen,
man wuerde dann lediglich einen Widerspruch in die Theorie einfuehren.
Es sei denn, dem Objekt fehlen Eigenschaften oder Elemente, die es erst
zu einer Menge machen wuerden. Dann koennen diese durch ein Axiom
hinzugefuegt werden. Es muss dann aber geklaert werden, was durch das
Axiom hinzukommt, sonst bleibt die Theorie unverstanden und es besteht
die Gefahr, dass sie in Spekulation abgleitet. Ein Axiom, das nichts
neues in die Theorie einbringt, ist ueberfluessig und blosser Verbalismus.
>
> > Bei diesen zusaetzlichen Elementen kann es sich nur um
> > Z-Mengen mit unendlich vielen Elementen handeln. Denn wuerde auch M nur
> > Z-Mengen mit endlich vielen Elementen enthalten, koennte man von jedem
> > Element von M in endlich vielen Schritten zum Anfang zurueckkehren.
>
> Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
> beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
> du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
Zahlen.
>
> > Nach
> > Voraussetzung enthaelt aber jede geordnete unendliche Menge unendlich
> > viele Elemente, von denen man nicht in endlich vielen Schritten (mit
> > endlicher Schrittweite) zum Anfang zurueckkehren kann.
>
> Wo hast du diese Voraussetzung her? Die ist natürlich bei
> unserer Menge M nicht erfüllt.
> Warum soll man in einer unendlichen Menge nicht von jedem
> Element in endlich vielen Schritten zum ersten Element
> zurückkommen können?
Das waere nur moeglich, wenn die Menge unendlich viele endliche
Schleifen enthaelt. In einer schleifenfreien geordneten Menge
erreicht man die Kardinalitaet w (klein omega) nicht in endlich
vielen Schritten. Damit erreicht man nur Z-Mengen m_k mit endlicher
Kardinalitaet. Jedes dieser m_k hat einen Nachfolger mit groesserer
Kardinaltaet. Die Zusammenfassung all dieser m_k ergibt daher keine
abgeschlossene Menge M sondern nur eine Mengenfolge M_k.
Die Zusammenfassung von Elementen, von denen jedes einen (anderen)
Nachfolger hat, kann keine abgeschlossene Menge sein. Die Mengenlehre
versucht das Unmoegliche mit einem Trick zu erreichen, indem sie den
Begriff der Kardinalitaet einfuehrt.
Eine abzaehlbar unendliche Menge hat die Kardinalitaet w, die sich
nicht aendert, wenn man noch ein Element hinzufuegt. Damit hat man
das Gewuenschte erreicht: Eine (scheinbar) abgeschlossene Menge, der
man noch weitere Elemente hinzufuegen kann, so dass es trotz Wohlordnung
derselben kein letztes Element aber doch einen Abschluss gibt. Erreicht
wird das durch Aufsplitten der Begriffe: "kein letztes Element" bezieht
sich auf die offene Anzahl der Elemente, "Abschluss" auf die Kardinalitaet,
die sich durch das Hinzufuegen weiterer Elemente nicht mehr aendert und
daher zu einem Abschluss gekommen ist. Es bleibt allerdings zu klaeren,
was w eigentlich ist.
Wenn N die Kardinalitaet w hat, ist es nicht mehr moeglich, jede Zahl
in endlich vielen Schritten zu erreichen. Umgekehrt kann man auch nicht
mehr in endlich vielen Schritten von jeder Zahl zur 0 zurueckkehren. Auf
dem Weg zur 0 koennte man jede Zahl, an der man "vorbeigekommen" ist,
aus N entfernen. Man koennte also N in endlich vielen Schritten entlehren.
Dein Argument stuetzt sich darauf, dass man zu jedem k ein groesseres
angeben kann. Du greifst aber (wegen der Begrenztheit unserer Sprache)
nur k-Werte mit endlich vielen Stellen heraus und laesst die Moeglichkeit
von Zahlen mit unendlich vielen Stellen von vornherein ungeprueft ausser
acht. Weder in der Alltagssprache noch in der mathematischen Sprache ist
diese Möglichkeit vorgesehen. (Man braucht sie ja auch nicht.) Ein
Praktiker könnte sagen, dann brauche ich auch keine Theorie für unendlich
viele Zahlen. Wenn man aber eine Theorie für unendlich viele Zahlen
aufstellt, kann die Tatsache, dass die vorhandenen Sprachen keine
Zahlen mit unendlich vielen Stellen nennen können, nicht als
Begründung für deren Nichtexistenz dienen. Wenn sich ihre Existenz
als unverzichtbar zur Erfüllung der übrigen Axiome erweist, muss sie
genau so durch ein Axiom postuliert werden wie die Existenz von
unendlich vielen Zahlen, auch wenn sich diese Zahlen nicht explizit
angeben lassen. Bei den irrationalen Zahlen wird die Existenz von
Zahlen mit unendlich vielen Stellen schliesslich auch postuliert,
obwohl man sie nicht angeben kann. Man kann höchstens einen
unbegrenzt anwendbaren Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern einer
irrationalen Zahl angeben. Das ist aber bei den natürlichen Zahlen
nicht anders. Jeder g-adische Algorithmus ist ein Beispiel dafür.
> Jede natürliche Zahl kann man mit endlich vielen (Binär-, Dezimal-,
> oder sonstigen) Stellen darstellen.
> Allerdings kann man keine Stellenanzahl 's_max' angeben, mit der
> wir jede Zahl darstellen können. Schon 'b^(s_max)' (b die Basis
> unseres Zahlsystems, also etwa 2 oder 10) benötigt ja eine Stelle
> mehr - aber immer noch endlich viele Stellen.
Eben darum ergeben Zahlen mit endlich vielen Stellen auch keine
abgeschlossene Menge sondern nur eine unbegrenzte Mengenfolge ohne
jemals die Kardinalitaet w zu erreichen.
Eine vorgegebene Zahl ist willkürlich aus der Menge N herausgegriffen.
Es steht daher von vornherein fest, dass diese Zahl sowohl einen
Vorgänger (wenn du nicht gerade die 0 herausgegriffen hast) als auch
einen Nachfolger hat. Der Nachweis, dass es noch mehr _endliche_ Zahlen
gibt, ist also gar nicht mehr notwendig, weil dies in der Tatsache, dass
es eine irgendwo aus der geordneten Menge ausgewählte endliche Zahl ist,
bereits enthalten ist. Das ist einer der logischen Zirkel der Mengenlehre.
Du musst unterscheiden zwischen Aussagen, die nur für einzelne Zahlen
gültig sind, und Aussagen, die für die ganze Menge gelten sollen.
Wenn die abgeschlossene unendliche Menge N per Axiom gefordert wird,
ist klar, dass die Aussage "es gibt Zahlen mit endlich vielen Stellen"
nicht für alle Zahlen gelten kann, denn
1. so gross man die Zahl s der Stellen auch wählt, wenn sie endlich ist,
erhält man nur endlich viele Zahlen, naemlich b^s einschliesslich
der 0, wenn b die Basis des Zahlensystems ist.
2. Bei Begrenzung auf Zahlen mit endlich vielen Stellen ergeben die
Peano-Axiome eine offene Menge bzw. eine Mengenfolge, weil _jede_ Zahl
mit endlich vielen Stellen einen Nachfolger hat, der die Kardinalitaet
der Menge N_k, die alle Zahlen von 0 bis k enthaelt, erhoeht.
3. Für eine Menge, die nur Zahlen mit endlich vielen Stellen enthält,
benötigt man kein Unendlichkeitsaxiom. Denn die Elemente dieser
Menge lassen sich mit den Peano-Axiomen konstruieren und ihre
Zusammenfassung zu einer Menge verstösst nicht gegen das Fundierungs-
axiom. Weder die Existenz der Elemente noch die der Menge muss also
durch ein eigenes Axiom gesichert werden.
Gruss Dieter
Boris 'pi' Piwinger
>> > Um eine unendliche Menge M mit unendlich vielen Z-Mengen zu erhalten,
>> > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
>> > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
>> > waere es ueberfluessig.
>>
>> Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
>> Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
>
>Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
>Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom.
Ich will sehen.
>Andernfalls
>braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
>nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist.
So ist es. Allerdings braucht man gelegentlich auch mehrere Axiome;-)
Horst Kraemer
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> Die Zusammenfassung von Elementen, von denen jedes einen (anderen)
> Nachfolger hat, kann keine abgeschlossene Menge sein.
Und das von Dir missverstandene "Unendlichkeitsaxiom" besagt genau
dieses - auch wenn es Dir nicht gefaellt. Ich kann gerne ein Posting
von Dir zitieren, in dem Du dies bereits akzeptiert hattest ;-)
Es _gibt_ (mindestens) eine Menge, die {} als Element enthaelt
und zu jedem Element x auch das Element x u {x}
Und |N ist per Definition der Durchschnitt _aller_ Mengen mit dieser
Eigenschaft. Der Begriff "abgeschlossen" ist in der Mengenlehre
unbekannt. Wenn man per Axiom fordert, dass eine Menge mit einer
bestimmten Eigenschaft existiert, dann existiert sie halt ab sofort,
es sei denn, diese Existenzforderung fuehrt zu Widerspruechen zu den
bisherigen Axiomen dieser Mengenlehre. Solche Widersprueche sind in
den letzten 100 Jahren bezueglich |N nicht bekannt geworden.
MfG
Horst
Norbert Micheel
> So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
> relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
> der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
> k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
> endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
> man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
> Zahlen.
Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt daraus
NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
Andererseits:
Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
HAT, ist sie definitv endlich.
Horst Kraemer
In diesem speziellen Falle solltest Du erfahrungsgemaess die Sprache
unmissverstaendlich gestalten:
Wenn man JEDES k in JE endlich vielen Schritten erreichen KANN,
folgt daraus NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
Andererseits:
Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit INSGESAMT endlich vielen
Schritten erreicht HAT, ist sie definitiv endlich.
Es gibt Leser, die keinen Unterschied zwischen JEDES und ALLE erkennen
wollen. Im mathematischen Kontext sind die Formulierungen
Fuer alle k gilt
Fuer jedes k gilt
durchaus gleichbedeutend.
MfG
Horst
Norbert Micheel
"Horst Kraemer" <hhkr...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3b44055a....@news.cis.dfn.de...
Ich benutze unterschiedliche Woerter, um deutlich zu machen, dass dort ein
Unterschied existiert.
Die geistige Arbeit zu erkennen worin dieser besteht, kann ich eh keinem
abnehmen.
Ich hab nicht behauptet es gaebe eine mathematische Konvention, die die
Woerter ALLE oder JEDES betraefe. Oder sogar erwartet jeder (*grins*)
muesste das auf eine bestimmte Weise "richtig" verstehen.
Meine Formulierung (jeder waehlt ja seine eigene, die ihm deutlich genug
scheint) war eigentlich "JEDES EINZELNE". Ich hab es aber weggelassen, weil
es auch nichts aendert. Denn:
Vielleicht ist es sogar besser zu sagen:
Ich kann alle k \in IN nicht in endlich vielen Schritten erreichen,
aber ich kann alle k in endlich vielen Schritten erreichen.
Vielleicht reizt der vermeintliche Widerspruch ja mal zum Nachdenken.
bye
N
Paul Ebermann
> > > braucht man also ein zusaetzliches Axiom, das Unendlichkeitsaxiom.
> > > Durch dieses Axiom muessen zusaetzliche Elemente hinzukommen, sonst
> > > waere es ueberfluessig.
> >
> > Nein. Das Unendlichkeitsaxiom sagt nur aus, dass das so konstruierte
> > Objekt (also M = {m_0, m_1, m_2, ... }) wirklich eine *Menge* ist.
>
> Dafuer benoetigt man kein Axiom. Ob das konstruierte Objekt eine echte
> Klasse oder eine Menge ist, entscheidet das Fundierungsaxiom. Andernfalls
> braeuchte man fuer jede Zusammenfassung von Elementen ein eigenes Axiom,
> nur um auszusagen, das sie wirklich eine *Menge* ist.
Nenn doch mal bitte deine Variante des Fundierungsaxioms.
Sonst können wir schlecht diskutieren.
> Wenn das
> konstruierte Objekt die Bedingungen fuer eine Menge nicht
> erfuellt, laesst sich das durch "umdefinieren" mit einem Axiom
> auch nicht erreichen, man wuerde dann lediglich einen Widerspruch
> in die Theorie einfuehren.
Natürlich kann es Widersprüche ergeben, wenn man zu
einem Axiomensystem weitere Axiome hinzufügt.
Dies muss aber nicht zwangsweise geschehen.
Die Mengenlehre ist auch ohne das Unendlichkeitsaxiom
(oder die Verneinung davon) möglich, allerdings können
wir dann nicht mehr nachweisen, ob unser oben betrachtetes
Objekt M wirklich eine Menge ist.
> Es sei denn, dem Objekt fehlen Eigenschaften oder Elemente, die es erst
> zu einer Menge machen wuerden. Dann koennen diese durch ein Axiom
> hinzugefuegt werden. Es muss dann aber geklaert werden, was durch das
> Axiom hinzukommt, sonst bleibt die Theorie unverstanden und es besteht
> die Gefahr, dass sie in Spekulation abgleitet. Ein Axiom, das nichts
> neues in die Theorie einbringt, ist ueberfluessig und blosser Verbalismus.
Dieses Axiom fügt etwas neues in die Theorie ein, nämlich die Tatsache,
dass M eine Menge ist.
Aussagen, die schon aus anderen Axiomen geschlussfolgert werden können,
sind in einem Axiomensystem wirklich überflüssig und gehören IMHO entfernt.
Dies ist aber in unserem Fall nicht gegeben.
> > Es ist wirklich bei unserer Menge M so. Such dir ein
> > beliebiges Element heraus (etwa 'm_k'), dann benötigst
> > du noch 'k' Schritte, um bis 'm_0' zu kommen.
>
> So ist es. Das Abzaehlen der Schritte beim Ausfuehren der Nachfolge-
> relation ist gleichbedeutend mit dem Abzaehlen der Z-Mengen m_k oder
> der natuerlichen Zahlen k, die man dabei konstruiert. Wenn man alle
> k in endlich vielen Schritten erreicht, folgt daraus, dass es nur
> endlich viele natuerliche Zahlen gibt. Denn mit jedem Schritt erreicht
> man eine neue Zahl. Endlich viele Schritte ergeben also endlich viele
> Zahlen.
Hier gibt es unterschiede, in welche Richtung du gehst.
Wenn du bei "null" (unserem ersten Element) anfängst,
und jeweils zum Nachfolger übergehst, kommst du nie
an ein Ende. Wenn du mit einem Weg alle Elemente
besuchen willst, kann dies kein endlicher Weg sein.
Dies verhindert aber gar nicht, dass du, wenn du dir
ein beliebiges Element heraussuchst, zu diesem in endlich
vielen Schritten gelangen kannst.
Nebenbei: Wie definierst du den Begriff "endliche Menge" und
"endlich viele Schritte"?
> In einer schleifenfreien geordneten Menge
> erreicht man die Kardinalitaet w (klein omega) nicht in endlich
> vielen Schritten.
Könnte dies vielleicht daran liegen, dass w nicht Element unserer
Menge ist? w ist schließlich die *kleinste unendliche* Kardinalität,
und wir wollen doch nur endliche Kardinalitäten betrachten.
> Damit erreicht man nur Z-Mengen m_k mit endlicher
> Kardinalitaet.
Richtig.
> Jedes dieser m_k hat einen Nachfolger mit groesserer
> Kardinaltaet. Die Zusammenfassung all dieser m_k ergibt daher keine
> abgeschlossene Menge M sondern nur eine Mengenfolge M_k.
Was ist bei dir eine "abgeschlossene Menge"?
Identifizierst du vielleicht diesen Begriff un(ter)bewusst
mit "endliche Menge"?
> Wenn N die Kardinalitaet w hat, ist es nicht mehr moeglich, jede Zahl
> in endlich vielen Schritten zu erreichen. Umgekehrt kann man auch nicht
> mehr in endlich vielen Schritten von jeder Zahl zur 0 zurueckkehren. Auf
> dem Weg zur 0 koennte man jede Zahl, an der man "vorbeigekommen" ist,
> aus N entfernen. Man koennte also N in endlich vielen Schritten entlehren.
Dabei gehst du aber davon aus, dass es in N ein "letztes Element"
gibt, an dem du beginnen könntest. Dieses gibt es erwiesenermaßen
nicht - w ist eben *kein* Element von N.
> Dein Argument stuetzt sich darauf, dass man zu jedem k ein groesseres
> angeben kann. Du greifst aber (wegen der Begrenztheit unserer Sprache)
> nur k-Werte mit endlich vielen Stellen heraus und laesst die Moeglichkeit
> von Zahlen mit unendlich vielen Stellen von vornherein ungeprueft ausser
> acht.
Wie willst du denn von einer endlichen Menge (repräsentiert eine
natürliche Zahl mit endlich vielen Elementen) durch Hinzufügen
eines Elementes zu einer unendlichen Menge (repräsentiert eine
Zahl mit unendlich vielen Stellen) kommen?
> Du musst unterscheiden zwischen Aussagen, die nur für einzelne Zahlen
> gültig sind, und Aussagen, die für die ganze Menge gelten sollen.
> Wenn die abgeschlossene unendliche Menge N per Axiom gefordert wird,
> ist klar, dass die Aussage "es gibt Zahlen mit endlich vielen Stellen"
> nicht für alle Zahlen gelten kann, denn
Du meinst bestimmt die Aussage: "alle natürlichen Zahlen lassen sich
mit endliche vielen Stellen darstellen".
> 1. so gross man die Zahl s der Stellen auch wählt, wenn sie endlich ist,
> erhält man nur endlich viele Zahlen, naemlich b^s einschliesslich
> der 0, wenn b die Basis des Zahlensystems ist.
Wie ich vorhin sagte, es gibt keine solche _maximale_ Anzahl der
Stellen. Allerdings ist zu jeder einzelnen natürliche Zahl eine
ebenfalls natürliche Stellen-Anzahl gegeben.
> 2. Bei Begrenzung auf Zahlen mit endlich vielen Stellen ergeben die
> Peano-Axiome eine offene Menge bzw. eine Mengenfolge, weil _jede_ Zahl
> mit endlich vielen Stellen einen Nachfolger hat, der die Kardinalitaet
> der Menge N_k, die alle Zahlen von 0 bis k enthaelt, erhoeht.
Noch einmal: Wann ist eine Menge "offen", wann "abgeschlossen"?
> 3. Für eine Menge, die nur Zahlen mit endlich vielen Stellen enthält,
> benötigt man kein Unendlichkeitsaxiom. Denn die Elemente dieser
> Menge lassen sich mit den Peano-Axiomen konstruieren und ihre
> Zusammenfassung zu einer Menge verstösst nicht gegen das Fundierungs-
> axiom. Weder die Existenz der Elemente noch die der Menge muss also
> durch ein eigenes Axiom gesichert werden.
Dafür benötigen wir dann aber die Peano-Axiome. Ihre Gültigkeit setze
ich aber bei Betrachtung der Mengenlehre nicht vorraus, und um
dort für unendliche Mengen (wie N) die Existenz nachzuweisen,
benötige ich das Unendlichkeitsaxiom.
Paul
Dieter Jungmann
Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? Wenn die Aussage,
dass man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, nicht nur
dahergeredet ist sondern einen Sinn haben soll, muss man doch die
Moeglichkeit, dass man einmal ALLE Elemente der Menge mit endlich vielen
Schritten erreicht HAT einschliessen. Wird diese Moeglichkeit dagegen
grundsaetzlich ausgeschlossen, ist die erste Aussage hinfaellig. Dabei
ist vorausgesetzt, dass es sich um eine geordnete Menge ohne Schleifen
handelt.
Ich beschreibe dein Lieblingsthema nachfolgend in einer anderen Variante.
Zunaechst eine Vorbemerkung.
Gegeben sind 10 voellig gleiche Aepfel mit gleicher Form, Groesse, Farbe,
Gewicht, gleicher Anzahl an Molekuelen usw., so dass man sie nicht unter-
scheiden kann. Auf Grund des Extensionalitaetsaxioms koennte man vermuten,
dass die Aepfel eine Menge mit nur einem Element ergeben. Tatsaechlich
bilden sie aber eine Menge von 10 Elementen, weil sich jeder Apfel an
einer anderen Stelle des Raumes befindet. Die Menge der 10 Aepfel ist
also eigentlich eine Menge von 10 unterschiedlichen Raumgebieten. Die
Aepfel dienen nur dazu, diese zu veranschaulichen.
Die gleiche Situation haben wir auch bei den Zahlen. In binaerer
Schreibweise ist eine Zahl ein 0-1-Muster. Die insgesamt k Nullen
und Einsen ergeben eine Menge mit k Elementen, weil sie je nach
Position eine unterschiedliche Wertigkeit haben. Zur Kennzeichnung
der Wertigkeit koennte man die Ziffern in die Spalten einer Tabelle
eintragen, wobei die Spalten die Wertigkeit angeben. Meistens
begnuegt man sich damit, eine Stelle in der Ziffernfolge zu markieren
und von dort aus die Wertigkeiten durch Abzaehlen zu ermitteln. Im
deutschen Sprachraum wird dazu das Komma verwendet, das zwischen die
Ziffern mit den Wertigkeiten g^0 und g^-1 in einem g-adischen System
gesetzt wird. Das ist eine willkuerliche, wenn auch zweckmaessige,
Konvention. Man koennte die Markierung (das Komma) auch an beliebiger
anderer Stelle setzen.
Mit dieser Vorbemerkung soll verdeutlicht werden, dass das Komma
mengentheoretisch kein Bestandteil der 0-1-Muster ist sondern nur
eine Markierung, die dem Uebersetzer sagt, wie er das 0-1-Muster
interpretieren soll. Wir interessieren uns jetzt nur fuer Interpre-
tationen, bei denen alle Ziffern entweder hinter oder vor dem Komma
stehen, wir interpretieren die 0-1-Muster also als reelle Zahlen des
Einheitsintervalls oder als natuerliche Zahlen.
Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
abgebildet werden kann. Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
Wenn nicht, wo ist dann die Grenze und wie wird sie begruendet?
Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein Aberglauben.
Gruss Dieter
Rainer Rosenthal
Dieter Jungmann
> Norbert Michael:
> >
> > Das ist mal wieder meine Lieblingsstelle und ich wiederhole es gern:
> >
> > Wenn man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, folgt
daraus
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
>
Hallo Dieter,
diese Aussage von Norbert bezweifelst Du zu Recht. Ich möchte da
auch keine Interpretation liefern.
Zu der folgenden Frage von Dir kann ich Dir aber sicher eine Antwort
geben, die Dir einleuchten wird.
> Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied?
Das 0-1-Muster 101010101010101010...
lässt sich NICHT als natürliche Zahl interpretieren.
Einfache Frage dazu: ist diese "Zahl" denn gerade oder ungerade ?
Gruss,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Paul Ebermann
> > NICHT, dass es nur endlich viele k gibt.
> >
> > Andererseits:
> > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten erreicht
> > HAT, ist sie definitv endlich.
>
> Worin besteht der Unterschied der beiden Aussagen? Wenn die Aussage,
> dass man JEDES k in endlich vielen Schritten erreichen KANN, nicht nur
> dahergeredet ist sondern einen Sinn haben soll, muss man doch die
> Moeglichkeit, dass man einmal ALLE Elemente der Menge mit endlich vielen
> Schritten erreicht HAT einschliessen.
Wenn es ein 'letztes Element' (und nur einen Weg) gibt, dann sind
die beiden Aussagen in der Tat äquivalent.
Bei der Menge der natürlichen Zahlen gibt es aber kein solches
letztes Element.
> Wird diese Moeglichkeit dagegen
> grundsaetzlich ausgeschlossen, ist die erste Aussage hinfaellig. Dabei
> ist vorausgesetzt, dass es sich um eine geordnete Menge ohne Schleifen
> handelt.
Das ist ein Irrtum deinerseits. Du kannst dir keine unendliche geordnete
Menge vorstellen, bei denen jeder Anfang (also jede Teilmenge, die ein
größtes Element hat) endlich ist.
Genau solch eine Menge ist aber unsere Menge der natürlichen Zahlen.
> Ich beschreibe dein Lieblingsthema nachfolgend in einer anderen Variante.
> Zunaechst eine Vorbemerkung.
>
> Gegeben sind 10 voellig gleiche Aepfel mit gleicher Form, Groesse, Farbe,
> Gewicht, gleicher Anzahl an Molekuelen usw., so dass man sie nicht unter-
> scheiden kann. Auf Grund des Extensionalitaetsaxioms koennte man vermuten,
> dass die Aepfel eine Menge mit nur einem Element ergeben. Tatsaechlich
> bilden sie aber eine Menge von 10 Elementen, weil sich jeder Apfel an
> einer anderen Stelle des Raumes befindet. Die Menge der 10 Aepfel ist
> also eigentlich eine Menge von 10 unterschiedlichen Raumgebieten. Die
> Aepfel dienen nur dazu, diese zu veranschaulichen.
Das ist das Problem, wenn man sich Mengen 'real existierender Objekte'
als Beispiel nimmt. Die Menge der Äpfel ist eben nicht gleich
der Menge der Raumkoordinaten, an denen sie sich befinden.
> Die gleiche Situation haben wir auch bei den Zahlen. In binaerer
> Schreibweise ist eine Zahl ein 0-1-Muster. Die insgesamt k Nullen
> und Einsen ergeben eine Menge mit k Elementen, weil sie je nach
> Position eine unterschiedliche Wertigkeit haben.
Nein - wir erhalten ein Tupel mit k Komponenten. Die Menge aller
k-Tupel über {0,1} ist dann eine Menge der Mächtigkeit (Kardinalität)
2^k - also eine endliche Menge.
> Zur Kennzeichnung
> der Wertigkeit koennte man die Ziffern in die Spalten einer Tabelle
> eintragen, wobei die Spalten die Wertigkeit angeben. Meistens
> begnuegt man sich damit, eine Stelle in der Ziffernfolge zu markieren
> und von dort aus die Wertigkeiten durch Abzaehlen zu ermitteln. Im
> deutschen Sprachraum wird dazu das Komma verwendet, das zwischen die
> Ziffern mit den Wertigkeiten g^0 und g^-1 in einem g-adischen System
> gesetzt wird. Das ist eine willkuerliche, wenn auch zweckmaessige,
> Konvention. Man koennte die Markierung (das Komma) auch an beliebiger
> anderer Stelle setzen.
Richtig - man muss sich nur merken, was es bedeuten soll.
Bei anderen Darstellungen kommt man auch ganz ohne Komma aus.
> Mit dieser Vorbemerkung soll verdeutlicht werden, dass das Komma
> mengentheoretisch kein Bestandteil der 0-1-Muster ist sondern nur
> eine Markierung, die dem Uebersetzer sagt, wie er das 0-1-Muster
> interpretieren soll. Wir interessieren uns jetzt nur fuer Interpre-
> tationen, bei denen alle Ziffern entweder hinter oder vor dem Komma
> stehen, wir interpretieren die 0-1-Muster also als reelle Zahlen des
> Einheitsintervalls oder als natuerliche Zahlen.
Wobei du, um alle Zahlen im Einheitsintervall zu bekommen,
auch *unendliche* 0-1-Muster benötigst (sogar alle möglichen
unendlichen 0-1-Muster ohne 1-Periode), wogegen du dich bei
den natürlichen Zahlen auf *endliche* Muster oder solche,
die ab einem bestimmten Index (der von der einzelnen
Zahl abhängt) nur 0en besitzen, beschränken kannst.
> Die Mengenlehre stellt mit Hilfe der Peano-Axiome und dem Unendlichkeits-
> axiom die Menge M aller Z-Mengen m_k zur Verfuegung. Es soll jetzt
> entschieden werden, ob die Menge aller 0-1-Muster bijektiv auf M
> abgebildet werden kann.
Sie kann nur auf die Menge aller 'endlichen' 0-1-Muster
abgebildet werden.
> Die Antwort sollte eigentlich nicht von der
> Interpretation der 0_1-Muster abhaengen, weil sich ihre Anzahl dadurch
> nicht aendert. Die Interpretation findet nur im Kopf des Uebersetzers
> statt. Trotdem gibt die Mengenlehre abhaengig von der Interpretation
> zwei Antworten: Werden die 0-1-Muster als natuerliche Zahlen interpretiert,
> ist eine Bijektion moeglich, werden sie als reelle Zahlen des Einheits-
> intevalls interpretiert, ist die Menge der 0-1-Muster ueberabzaehlbar.
>
> Wie erklaert sich dieser Unterschied? Werden bei der Interpretation als
> natuerliche Zahlen vielleicht doch nicht alle 0-1-Muster beruecksichtigt?
> Wenn nicht, wo ist dann die Grenze und wie wird sie begruendet?
Wie ich oben sagte, benötigst du für die Darstellung der natürlichen
Zahlen keine _unendlichen_ 0-1-Muster, sondern nur solche,
die nach einer bestimmten Zahl k(m) abbrechen (bzw. nur noch 0 enthalten).
Bei der Darstellung der reellen Zahlen im Einheitsintervall
schließen wir diese abbrechenden Zahlen gerade aus (bzw. könnten
es tun, weil sie doppelt vorkommen).
Es ist stellen nämlich
010010101010100000000000000000000....
und
010010101010011111111111111111111....
exakt die gleiche reelle (sogar rationale) Zahl 2389/8192 dar.
> Ich hoffe, ich gehe dir mit meiner Hartnaeckigkeit nicht zu sehr (ein
> wenig ist wohl unvermeidbar) auf die Nerven. Aber meine Glaubensfaehigkeit
> ist nun mal sehr begrenzt und bevor ich die weitreichenden Konsequenzen
> der Mengenlehre akzeptieren kann, muss ich sie in allen Einhelheiten
> nachvollziehen koennen, sonst bleibt die Theorie fuer mich ein Aberglauben.
Wäre es für dich möglich, eine Liste aller deiner 'Axiome'
zu posten? Es gibt nämlich für die meisten davon verschiedene
Varianten, und es ist immer ungünstig, wenn wir nicht über
das Gleiche reden.
Nebenbei: Die Peano-Axiome sind als solche unabhängig
von den Axiomen der Mengenlehre. Du kannst entweder
nur von den Eigenschaften der Menge N ausgehen, die
von den Peanoaxiomen festgelegt wird, oder mit den
Axiomen der Mengenlehre (insbesondere dem
Unendlichkeitsaxiom) ein *Modell* einer "Menge mit
Nachfolgeoperation" zu konstruieren, die dann
("zufälligerweise") die Peanoaxiome erfüllt.
Wenn du die Axiome der Mengenlehre voraussetzt,
kannst du auf die Peanoaxiome also verzichten bzw.
kannst sie beweisen.
Paul
Rainer Rosenthal
Rainer Rosenthal bezweifelte
> > > Andererseits:
> > > Wenn man ALLE Elemente einer Menge mit endlich vielen Schritten
erreicht
> > > HAT, ist sie definitv endlich.
> >
und nimmt seine Zweifel mit dem Ausdruck des Bedauerns zurück.
( Hab' da wohl beim Lesen Tomaten auf den Augen gehabt. Sorry.)
Rainer Rosenthal