Multiple-Choice-Auswahl-Axiom, Vektorraum-Basis

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Stephan Gerlach

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Apr 15, 2022, 8:09:14 PMApr 15
to
Neulich habe ich ein mir bekanntes altes Dokument
<http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf> "wiederentdeckt".

Die Aussage des Theorems 2 darin ist
"Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl (eine bessere deutsche Übersetzung
ist mir momentan nicht geläufig) ist aus der Annahme, daß jeder
Vektorraum eine Basis hat, beweisbar."

"Multiple Wahl" heißt wohl einfach, daß aus jeder Menge X_i einer
(nichtleeren) Mengenfamilie (X_i)_{i∈I} eine nichtleere Teilmenge F_i
"ausgewählt" werden darf im Sinne einer Auswahl-Funktion.

Auf Seite 2 von 3, beim Beweis von Theorem 2 (Übersetzung von mir
hoffentlich richtig) steht nun unter anderem:

"... Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A) an, daß
die Mengen X_i paarweise disjunkt sind..."

Darüber bin ich allerdings gestolpert; mir ist nicht ganz klar, warum
hier tatsächlich ein "o.B.d.A" "zulässig" ist.

Diese o.B.d.A-Aussage kann man so verstehen, daß das Theorem unter der
(zunächst) stärkeren Voraussetzung gilt, daß alle Mengen X_i paarweise
disjunkt sind; und daß dann die Verallgemeinerung des Theorems auch für
Mengen, die *nicht* unbedingt paarweise disjunkt sind, schon irgendwie
"klar"/"offensichtlich" sei.

Aber ist das tatsächlich so?

Also nochmal konkret meine Fragestellung, betrachte die Aussagen:

[1] "Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl gilt für nichtleere
Mengenfamilien, bei denen die Mengen paarweise disjunkt sind."

[2] "Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl gilt für nichtleere
Mengenfamilien."

Folgt [2] (ohne weitere Voraussetzungen) tatsächlich unmittelbar
offensichtlich aus [1]?


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Martin Vaeth

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Apr 16, 2022, 3:24:20 AMApr 16
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
> Also nochmal konkret meine Fragestellung, betrachte die Aussagen:
>
> [1] "Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl gilt für nichtleere
> Mengenfamilien, bei denen die Mengen paarweise disjunkt sind."
>
> [2] "Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl gilt für nichtleere
> Mengenfamilien."
>
> Folgt [2] (ohne weitere Voraussetzungen) tatsächlich unmittelbar
> offensichtlich aus [1]?

Ja. Sei A = { M_i : i \in I } irgendeine Familie nichtleerer Mengen
(ohne Einschränkung M_i = M_j <=> i = j; ansonsten benutze A selbst
als neue Indexmenge).

Idee: Benenne nun die Elemente von M_i um, so dass die Mengen M_i
paarweise disjunkt werden und wende [1] auf die Mengen M_i' mit den
umbenannten Elementen an. In den erhaltenen Auswahlmengen mache das
Umbennen der Elemente wieder rückgängig.

Das Umbennen kann etwa folgendermassen geschehen: Wähle paarweise
verschiedene Konstanten (d.h. Mengen) C_i (i \in I), die nicht in
\bigcup A enthalten sind (so dass durch das Umbenennen keine
Konfusion entsteht), und ist m ein Element von M_i, so ist das
umbennante Element die Menge m' = { m, C_i }.
Dann ersetzt Du also M_i durch M_i' = { {m, C_i} : m \in M_i } und
A durch A' = {M_i' : i \in I}.

Weil Du die C_i kennst (und diese mit keinem m \in M_j für irgendein
j auf I übereinstimmen), ist sowohl das Umbennen als auch das
Rückgängigmachen der Umbennenung eine wohldefinierte Abbildung
(auf der Mengen \bigcup A). Und weil die C_i paarweise verschieden
sind, und Du für die Elemente aus M_i und M_j (für i ungleich j)
verschiedene Konstanten C_i und C_j zur Umbennung benutzt,
können die Mengen M_i' und M_j' kein gemeinsames Element haben.


Martin Vaeth

unread,
Apr 16, 2022, 3:31:31 AMApr 16
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
> eine wohldefinierte Abbildung (auf der Mengen \bigcup A)

Korrektur: Das Umbennen der Elemente der M_i (i\in I) ist zunächst
eine Abbildung von einer Teilmenge von \bigcup A \times I in
eine Teilmenge von \bigcup A' \times I, weil das Umbennen ja auch
eben gerade nicht nur vom Element m \in M_i sondern auch vom
Index i\in I abhängen soll.

JVR

unread,
Apr 16, 2022, 3:50:19 AMApr 16
to
Ich erinnere mich - weil es so selten passiert - an eine Diskussion
dieses Theorems (dass jeder Vektorraum eine Basis hat) in einer
Funktionalanalysis-Vorlesung von Laszlo Erdös an der LMU hier
in München.
Sein Rat war, das Thema links liegen zu lassen, da es bodenlos ist.
In anderen Worten, wenn man sich auf dem Gebiet nicht sehr gut
auskennt, wird man unweigerlich stecken bleiben.

Martin Vaeth

unread,
Apr 16, 2022, 6:21:37 AMApr 16
to
JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:
>
> Ich erinnere mich - weil es so selten passiert - an eine Diskussion
> dieses Theorems (dass jeder Vektorraum eine Basis hat) in einer
> Funktionalanalysis-Vorlesung von Laszlo Erdös an der LMU hier
> in München.
> Sein Rat war, das Thema links liegen zu lassen, da es bodenlos ist.
> In anderen Worten, wenn man sich auf dem Gebiet nicht sehr gut
> auskennt, wird man unweigerlich stecken bleiben.

Wenn man neue Erkenntnisse finden will. Was man bisher weiß, ist
allerdings schon ziemlich zufriedenstellend, und die entsprechenden
Beweise sind elementar (sie benötigen kein Forcing oder ähnliche
fortgeschrittene Techniken):

1. Wenn jeder Vektorraum (über jedem Körper) eine Basis hat,
dann folgt das Auswahlaxiom (in ZF).

2. In ZF ohne das Auswahlaxiom aber mit DC (countable dependent
choice) und einem der alternativen Axiome LM ode BP
(LM: Jede Teilmenge von R ist Lebesgue-messbar (LM)
BP: Jede Teilmenge von R hat die Baire-Eigenschaft)
gilt: *Kein* Banachraum hat eine (Hamel-)Basis (außer er
ist endlichdimensional).

(Bemerkung: Das alternative Axiom BP ist interessanter als LM,
weil ZF+DC+BP äquikonsistent ist zu ZF(C), während ZF+DC+LM nur
äquikonsistent ist zu ZFC + "inaccessible cardinal", und die
Konsistenzstärke von Letzterem ist bekanntlich echt größer als
die von ZF(C).)

Offen sind meines Wissens nur die Fragen:

i) Gilt 1 auch in Z (ohne Fundierung)?
ii) Reicht es für 1 bereits, dass jeder reelle Vektorraum
(oder sogar nur jeder Banachraum) eine Basis hat?

Man vermutet, dass die Antwort auf beide Fragen negativ ist.
(Und um diese Fragen negativ zu beantworten, wird man um Techniken
wie Forcing kaum herumkommen.)
Ich habe düster in Erinnerung, dass die negative Antwort auf ii
inzwischen sogar beweiesen ist, habe das aber nicht weiter verfolgt.

JVR

unread,
Apr 17, 2022, 12:10:38 PMApr 17
to
Für die Funktionalanalysis genügt es zu wissen,
dass man hier wirklich nicht ohne Auswahlaxiom auskommt. Die tieferen
logischen Zusammenhänge sind ein Kapitel für sich.

Stephan Gerlach

unread,
Apr 18, 2022, 7:24:24 PMApr 18
to
Martin Vaeth schrieb:
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>> Also nochmal konkret meine Fragestellung, betrachte die Aussagen:
>>
>> [1] "Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl gilt für nichtleere
>> Mengenfamilien, bei denen die Mengen paarweise disjunkt sind."
>>
>> [2] "Das Auswahlaxiom der multiplen Wahl gilt für nichtleere
>> Mengenfamilien."
>>
>> Folgt [2] (ohne weitere Voraussetzungen) tatsächlich unmittelbar
>> offensichtlich aus [1]?
>
> Ja. Sei A = { M_i : i \in I } irgendeine Familie nichtleerer Mengen
> (ohne Einschränkung M_i = M_j <=> i = j; ansonsten benutze A selbst
> als neue Indexmenge).
>
> Idee: Benenne nun die Elemente von M_i um, so dass die Mengen M_i
> paarweise disjunkt werden und wende [1] auf die Mengen M_i' mit den
> umbenannten Elementen an. In den erhaltenen Auswahlmengen mache das
> Umbennen der Elemente wieder rückgängig.

Wenn ich die folgende genaue Ausführung richtig verstanden habe, dann
funktioniert das Umbenennen - anschaulich - ungefähr so, daß man alle
Elemente aller Mengen M_i quasi mit einer zusätzlichen "Markierung"
versieht (genauer: die Menge C_i), um zu sehen, zu welcher Menge M_i sie
genau gehören. Zweck ist, all diejenigen Elemente "unterscheidbar zu
machen" (Formulierung ist natürlich nicht exakt), die in mehreren Mengen
M_i vorkommen.

Vereinfacht dazu ein Beispiel (das mir gerade eingefallen ist) mit
endlichen Mengen:

M_1 := {1; 2; 3; 4}
M_2 := {3; 4; 5}

Die Mengen sind offensichtlich `*nicht* disjunkt.
Daraus kann man aber disjunkte Mengen "machen" wie folgt:

M_1' := {1_1; 2_1; 3_1; 4_1}
M_2' := {3_2; 4_2; 5_2}

Im endlichen Fall habe ich also einfach einen zusätzlichen Index an die
Elemente "angehängt", der mir sagt, aus welcher Menge ich z.B. das

Im unendlichen bzw. insbesondere nicht abzählbaren Fall wohl nicht so ganz:

> Das Umbennen kann etwa folgendermassen geschehen: Wähle paarweise
> verschiedene Konstanten (d.h. Mengen) C_i (i \in I), die nicht in
> \bigcup A enthalten sind (so dass durch das Umbenennen keine
> Konfusion entsteht), und ist m ein Element von M_i, so ist das
> umbennante Element die Menge m' = { m, C_i }.
> Dann ersetzt Du also M_i durch M_i' = { {m, C_i} : m \in M_i } und
> A durch A' = {M_i' : i \in I}.
>
> Weil Du die C_i kennst (und diese mit keinem m \in M_j für irgendein
> j auf I übereinstimmen), ist sowohl das Umbennen als auch das
> Rückgängigmachen der Umbennenung eine wohldefinierte Abbildung
> (auf der Mengen \bigcup A). Und weil die C_i paarweise verschieden
> sind, und Du für die Elemente aus M_i und M_j (für i ungleich j)
> verschiedene Konstanten C_i und C_j zur Umbennung benutzt,
> können die Mengen M_i' und M_j' kein gemeinsames Element haben.

Das ist, was die Beweisidee betrifft, tatsächlich einfach.
Die Hauptschwierigkeit besteht offenbar "nur" darin, das sauber formal
ordentlich aufzuschreiben / zu begründen (siehe z.B. das Detail im
"Korrektur-Posting" dazu, was du ja selber bemerkt hast).

Ich hatte zu kompliziert gedacht und irgendwas mit (hauptsächlich)
Differenzmengen versucht, so wie ich das dunkel aus bestimmten Beweisen
der Maßtheorie in Erinnerung hatte. Aber das konnte prinzipbedingt nicht
klappen, da das dort immer Mengen*folgen* waren, also abzählbar
unendliche Indexmenge.

Martin Vaeth

unread,
Apr 19, 2022, 3:02:32 PMApr 19
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>
> Wenn ich die folgende genaue Ausführung richtig verstanden habe, dann
> funktioniert das Umbenennen - anschaulich - ungefähr so, daß man alle
> Elemente aller Mengen M_i quasi mit einer zusätzlichen "Markierung"
> versieht (genauer: die Menge C_i), um zu sehen, zu welcher Menge M_i sie
> genau gehören.

Korrekt.

> Das ist, was die Beweisidee betrifft, tatsächlich einfach.
> Die Hauptschwierigkeit besteht offenbar "nur" darin, das sauber formal
> ordentlich aufzuschreiben

Das ist in der Mengenlehre oft so. Deswegen begnügt man sich in der
Praxis meistens damit, die Idee aufzuschreiben. Die technischen Details
sind dann reine Routine, die jemand mit genügend Erfahrung in Mengenlehre
"im Kopf" auffüllt. Leider ist genau diese Praxis der Grund, weshalb
Dinge wie die Forcing-Technik für Nicht-Experten praktisch unzugänglich
sind: Da werden solche "einfachen" Techniken wie obiges Umbenennen als
trivial vorausgesetzt und nicht einmal erwähnt.

> Ich hatte zu kompliziert gedacht und irgendwas mit (hauptsächlich)
> Differenzmengen versucht, so wie ich das dunkel aus bestimmten Beweisen
> der Maßtheorie in Erinnerung hatte. Aber das konnte prinzipbedingt nicht
> klappen, da das dort immer Mengen*folgen* waren, also abzählbar
> unendliche Indexmenge.

Es könnte schön klappen, wenn Du voraussetzt, dass die Indexmenge I
wohlgeordnet ist. Dann kannst Du per transfiniter Induktion definieren:

M_i' = M_i \setminus \bigcup_{j<i}M_i

und erhältst so disjunkte Mengen. Allerdings ist die Voraussetzung,
dass I wohlgeordnet ist, eine schlechte Idee, wenn Du das Auswahlaxiom
nicht voraussetzen willst. Außerdem sehe ich selbst für den Fall einer
Folge (ja selbst im Fall von endlichem I) nicht, wie man damit zum
Ziel kommen könnte: Die obigen Mengen M_i' sind zwar disjunkt und
erfüllen \bigcup_i M_i' = \bigcup_i M_i, aber sie sind i.A. leer...

Stephan Gerlach

unread,
Apr 22, 2022, 7:02:21 PMApr 22
to
Martin Vaeth schrieb:
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>
>> Ich hatte zu kompliziert gedacht und irgendwas mit (hauptsächlich)
>> Differenzmengen versucht, so wie ich das dunkel aus bestimmten Beweisen
>> der Maßtheorie in Erinnerung hatte. Aber das konnte prinzipbedingt nicht
>> klappen, da das dort immer Mengen*folgen* waren, also abzählbar
>> unendliche Indexmenge.
>
> Es könnte schön klappen, wenn Du voraussetzt, dass die Indexmenge I
> wohlgeordnet ist. Dann kannst Du per transfiniter Induktion definieren:
>
> M_i' = M_i \setminus \bigcup_{j<i}M_i
>
> und erhältst so disjunkte Mengen. Allerdings ist die Voraussetzung,
> dass I wohlgeordnet ist, eine schlechte Idee, wenn Du das Auswahlaxiom
> nicht voraussetzen willst.

Dem ist wohl so :-) .

> Außerdem sehe ich selbst für den Fall einer
> Folge (ja selbst im Fall von endlichem I) nicht, wie man damit zum
> Ziel kommen könnte: Die obigen Mengen M_i' sind zwar disjunkt und
> erfüllen \bigcup_i M_i' = \bigcup_i M_i, aber sie sind i.A. leer...

Ja, daß diese Mengen leer sein können, fiel mir dann auch relativ
schnell auf - genau *das* sollten sie ja beim
Multiple-Choice-Auswahl-Axiom *nicht* sein.

Ich hatte dann noch die Idee, daß evtl. eine Aussage der Form gilt:

"Es existiert eine disjunkte Zerlegung \bigcup_i M_i' der Vereinigung
\bigcup_i M_i, also

\bigcup_i M_i = \bigcup_i M_i',

so daß jede (Teil-)Menge M_i' der Zerlegung eine *nichtleere* Teilmenge
von M_i ist".

Anschaulich:
"Vereinige alle Mengen der Mengenfamilie, und nimm sich dabei
überschneidende mehrfach vorkommende Mengen-Stücke (wegen
Nicht-Disjunkheit) wieder weg, aber so, daß von jeder Menge M_i noch ein
'Stück' vorhanden ist."

(Das ist schwer bildlich zu beschreiben.)

Schien mir aber auch nicht zielführend zu sein.

Martin Vaeth

unread,
Apr 23, 2022, 1:01:12 AMApr 23
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>
> Ich hatte dann noch die Idee, daß evtl. eine Aussage der Form gilt:
>
> "Es existiert eine disjunkte Zerlegung \bigcup_i M_i' der Vereinigung
> \bigcup_i M_i, also
>
> \bigcup_i M_i = \bigcup_i M_i',
>
> so daß jede (Teil-)Menge M_i' der Zerlegung eine *nichtleere* Teilmenge
> von M_i ist".

Einfachstes Gegenbeispiel mit paarweise verschiedenen M_i:
M_1 = {0}, M_2 = {1}, M_3 = {0, 1}.

Allgemeineres Gegenbeispiel: Sei U Menge mit mindestens zwei Elementen
und M_i das System der nichtleeren Teilmengen von U. Dann hat die
Indexmenge I eine echt größere Mächtigkeit als A. Jede der Mengen M_i'
müsste aber ein anderes Element aus U enthalten, d.h. Du hättest eine
Injektion der Indexmenge I in die Menge U.
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