Definition einer Menge mit potentiell bzw. aktual unendlich vielen Elementen?
Hero
> Ich versteh den Unterschied zwischen
> "Es gibt keine größte Primzahl",
> "Es gibt unendlich viele Primzahlen" und
> "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen."
> nicht.
Ist die Menge der Primzahlen nun aktual unendlich oder potentiell oder
beides oder keins von beiden?
Kennt jemand ein Beispiel einer Menge mit potentiell unendlich vielen
Elementen?
Gibt es ein Beispiel einer Menge mit aktual unendlich vielen
Elementen?
Kann jemand die Definition einer Menge mit potentiell unendlich vielen
Elementen geben?
Wie lautet die Definition einer Menge mit aktual unendlich vielen
Elementen?
Welche Menge ist unendlich, aber nicht potentiell unendlich?
Hat jemand eine Beschreibung für eine Menge mit unendlich vielen
Elementen, die nicht aktual unendlich ist?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Karl Heinze
wrote:
Schneller Schuß aus der Hüfte... ;-)
>
> Ist die Menge der Primzahlen nun aktual unendlich oder potentiell oder
> beides oder keins von beiden?
>
Die Menge der Primzahlen ist /aktual unendlich/, wenn man diese Rede-
weise der Philosophie der Mathematik hier in Anschlag bringen will. Im
Rahmen der heute üblichen Mathematik bzw. Mengenlehre sagt man dazu
einfach, dass diese Menge /unendlich/ sei.
Überhaupt kann man m. E. nicht sinnvoll von "potentiell unendlichen
Mengen" sprechen. Eine Menge ist _entweder_ endlich, _oder_ (aktual)
unendlich. So sehe _ich_ das zumindest. (Ich bin mir aber nicht im
Klaren darüber, was für eine Mengenauffassung, die Hardcore-Intution-
isten a la Brouwer vertreten haben bzw. vertreten.)
>
> Kennt jemand ein Beispiel einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen?
>
Nö. Wie gesagt, der Begriff "Menge mit potentiell unendlich vielen
Elementen" ist m. E. unsinnig.
Man kann natürlich eine "Folge" von endlichen Mengen wie z. B.
{1}, {1,2}, {1,2,3}, ...
betrachten, und hierin wieder eine "Darstellung" des potentiell
Unendlichen erblicken.
>
> Gibt es ein Beispiel einer Menge mit aktual unendlich vielen
> Elementen?
>
Ja, z. B. IN, die Menge der natürlichen Zahlen.
Allerdings gibt es diese Menge im Rahmen von ZFC nur per Axiom, also
aufgrund des sog. Unendlichkeitsaxioms.
>
> Kann jemand die Definition einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen geben?
>
Ich kann es zumindest nicht. (Siehe Anmerkung oben.)
>
> Wie lautet die Definition einer Menge mit aktual unendlich vielen
> Elementen?
>
Nun, das Unendlichkeitsaxiom garantiert die Existenz zumindest EINER
solcher Menge. Genauer (mind.) einer Menge, die 0 und mit jedem n auch
n u {n} enthält. Wenn man nun den Begriff /unendliche Menge/ in der
üblichen Weise definiert (z. B. nach Dedekind) kann man leicht zeigen,
dass diese (bzw. solche) Menge(n) unendlich sein muss (müssen).
>
> Welche Menge ist unendlich, aber nicht potentiell unendlich?
>
Bitte die Begriffe hier nicht durcheinander bringen.
>
> Hat jemand eine Beschreibung für eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen, die nicht aktual unendlich ist?
>
Nö. /Unendlich/ meint heute in der Mathematik und ML üblicherweise
/aktual unendlich/.
Was historisches:
"Cantor's work was well received by some of the prominent
mathematicians of his day, such as Richard Dedekind. But his
willingness to regard infinite sets as objects to be treated in much
the same way as finite sets was bitterly attacked by others,
particularly Kronecker. There was no objection to a 'potential
infinity' in the form of an unending process, but an 'actual
infinity' in the form of a completed infinite set was harder to
accept." (Herb Enderton, Elements of Set Theory)
Und hier nun der Meister selbst:
"Fassen wir die Definition des potentialen und aktualen Unendlichen
scharf ins Auge, so dürften die Schwierigkeiten, von denen Sie mir
schreiben, bald beseitigt sein.
I. Das P.-U. wird vorzugsweise dort ausgesagt, wo eine
unbestimmte, /veränderliche endliche/ Größe vorkommt, die entweder
über alle endlichen Grenzen hinaus wächst (unter diesem Bilde denken
wir uns z. B. die sogenannte Zeit, von einem bestimmten Anfangsmomente
an gezählt) oder unter jede endlichen Grenze der Kleinheit abnimmt
(was z. B. die legitime Vorstellung eines sogenannten Differentials
ist); allgemeiner spreche ich von einem P.-U. überall da, wo eine
/unbestimmte/ Größe in Betracht kommt, die unzählig vieler
Bestimmungen fähig ist.
II. Unter einem A.-U. ist dagegen ein Quantum zu verstehen,
das einerseits /nicht veränderlich/, sondern vielmehr in allen seinen
Teilen fest und bestimmt, eine richtige /Konstante/ ist, zugleich aber
andererseits /jede endliche Größe/ derselben Art an Größe übertrifft.
Als Beispiel führe ich die Gesamtheit, den Inbegriff [also die Menge]
/aller/ endlichen ganzen positiven Zahlen an; diese Menge ist /ein
Ding für sich/ und bildet, ganz abgesehen von der natürlichen Folge
der dazugehörigen Zahlen, eine in allen teilen festes, bestimmtes
Quantum, ein /aphorismenon/, das offenbar größer zu nennen ist als
jede endliche Anzahl. Ein anderes Beispiel ist die Gesamtheit /aller/
Punkte, die auf einem gegebenen Kreise (oder irgendeiner anderen
bestimmten Kurve) liegen. [...]" (Cantor in einem Brief, 1888)
K. H.
--
E-mail: info<at>simple-line<Punkt>de
Karl Heinze
wrote:
>>
>> Ist die Menge der Primzahlen nun aktual unendlich oder potentiell oder
>> beides oder keins von beiden?
>>
> Die Menge der Primzahlen ist [nach heutiger Auffassung] /aktual unendlich/,
> wenn man diese Redeweise der Philosophie der Mathematik hier in Anschlag
> bringen will. Im Rahmen der heute üblichen Mathematik bzw. Mengenlehre sagt
> man dazu einfach, dass diese Menge /unendlich/ sei.
>
> Überhaupt kann man m. E. nicht sinnvoll von "potentiell unendlichen
> Mengen" sprechen. Eine Menge ist _entweder_ endlich, _oder_ (aktual)
> unendlich. So sehe _ich_ das zumindest. [...]
>
So sah das (mutatis mutandis) offenbar auch Aristoteles, der sich in
seinen Schriften gegen das Aktual- und für das Potentiell-Unendliche
ausgesprochen hat:
"Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
Kurz, nicht {1, 2, 3, ...} wohl aber
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
Karl Heinze
wrote:
Kleine Zusammenschau:
Herb Enderton schreibt in seinem (lesenswerten) Buch "Elements of Set
Theory":
"Cantor's work was well received by some of the prominent
mathematicians of his day, such as Richard Dedekind. But his
willingness to regard infinite sets as objects to be treated in much
the same way as finite sets was bitterly attacked by others,
particularly Kronecker. There was no objection to a 'potential
infinity' in the form of an unending process, but an 'actual
infinity' in the form of a completed infinite set was harder to
accept."
Denn, dass es eben kein "aktual Unendliches" (z. B. im Sinne einer
"fertigen Menge") geben könne, hat eben schon Aristoteles behauptet:
"Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
Und die meisten Mathematiker und Philosophen VOR Cantor sind ihm darin
auch gefolgt. Mit der bemerkenswerten Ausnahmen allerdings -- aus dem
"theologischen Bereich" vornehmlich. (Klar, denn Gott ist doch bekan-
ntlich ALL-dies und ALL-das...)
Karl Heinze
wrote:
>
> Herb Enderton schreibt in seinem (lesenswerten) Buch "Elements of Set
> Theory":
>
> "Cantor's work was well received by some of the prominent
> mathematicians of his day, such as Richard Dedekind. But his
> willingness to regard infinite sets as objects to be treated in much
> the same way as finite sets was bitterly attacked by others,
> particularly Kronecker. There was no objection to a 'potential
> infinity' in the form of an unending process, but an 'actual
> infinity' in the form of a completed infinite set was harder to
> accept."
>
> Denn, dass es eben kein "aktual Unendliches" (z. B. im Sinne einer
> "fertigen Menge") geben könne, hat eben schon Aristoteles behauptet:
>
> "Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
> anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
> immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
> Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
>
> Und die meisten Mathematiker und Philosophen VOR Cantor sind ihm darin
> auch gefolgt. Mit der bemerkenswerten Ausnahmen allerdings -- aus dem
> "theologischen Bereich" vornehmlich. (Klar, denn Gott ist doch bekan-
> ntlich ALL-dies und ALL-das...)
>
Oft wird in diesem Zusammenhang auch eine Bemerkung Gauss' zitiert:
"So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als
einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das
Unendliche ist nur eine Façon de parler…"
Peter Niessen
> Rainer Willis schrieb in dem Thread 'Euklids Beweis':
>
>> Ich versteh den Unterschied zwischen
>> "Es gibt keine größte Primzahl",
>> "Es gibt unendlich viele Primzahlen" und
>> "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen."
>> nicht.
> Ist die Menge der Primzahlen nun aktual unendlich oder potentiell oder
> beides oder keins von beiden?
Kommt darauf an:
Du könntest ja den Versuch starten die Existenz einer unendlichen Menge zu
beweisen.
Es wird gnadenlos schief gehen.
> Kennt jemand ein Beispiel einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen?
Die natürlichen Zahlen wären doch ein Kandidat oder?
Aber logisch wäre das nicht!
> Gibt es ein Beispiel einer Menge mit aktual unendlich vielen
> Elementen?
Siehe oben. Nur beweisen kannst du es nicht.
> Kann jemand die Definition einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen geben?
Äh? Das geht eher nicht da ja (wir bleiben bei den natürlichen Zahlen) eine
Menge alle! Elemente einer bestimmten Eigenschaft enthält.
Das wäre also sehr unlogisch.
> Wie lautet die Definition einer Menge mit aktual unendlich vielen
> Elementen?
Ganz salopp: Die Peanoaxiome.
> Welche Menge ist unendlich, aber nicht potentiell unendlich?
Ein wenig schwanger geht nicht. End oder weder.
> Hat jemand eine Beschreibung für eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen, die nicht aktual unendlich ist?
????
Weisst du was du fragst?
--
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
Dieter Schuster
Damit erfaßt man aber nur abzählbare Mengen, nicht überabzählbare.
Überabzählbare Mengen können nicht durch "ein Verschiedenes und wieder ein
Verschiedenes" Element erfaßt werden.
Sind überabzählbare Mengen aktual unendlich?
Grüße,
Dieter Schuster
Peter Niessen
Die Elemente jeder Menge lassen sich im obigen Sinn notieren (ordnen)
> Sind überabzählbare Mengen aktual unendlich?
Zwangsläufig.
Ausserdem ist die Unterscheidung zwischen potentiell und aktual nur
historisch interessant. Das Thema ist seit über 100 Jahren ausdiskutiert.
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>
> Das Thema ist seit über 100 Jahren ausdiskutiert.
>
Von wegen. :-)
Karl Heinze
<didisc...@gmx.de> wrote:
>>
>> So sah das (mutatis mutandis) offenbar auch Aristoteles, der sich in
>> seinen Schriften gegen das Aktual- und für das Potentiell-Unendliche
>> ausgesprochen hat:
>>
>> "Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
>> anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
>> immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
>> Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
>>
>> Kurz, nicht {1, 2, 3, ...} wohl aber
>>
>> {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
>>
> Damit erfaßt man aber nur abzählbare Mengen ...
>
Genaugenommen erfasst man damit nur /endliche/ Mengen.
>
> nicht überabzählbare.
>
In der Tat.
>
> Sind überabzählbare Mengen aktual unendlich?
>
"Logisch"! ;-)
Hero
solche Gedankenschleifen:
Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n mit n= m+1.
Dies auf Mengen verallgemeinert:
Für jede echte Teilmenge T von M gibt es ein m aus M und m nicht in
T , so dass T vereinigt {m} Teilmenge von M ist.
Hum, da muss ich einen Fehler gemacht haben, das gilt für jede nicht
leere Menge M. Also muss es wohl so sein:
erstmal 'echte Teilmenge' streichen:
Für jede e n d l i c h e Teilmenge T von M gibt es ein m aus M
und m nicht in T, so dass T vereinigt {m} Teilmenge von M ist.
Das setzt voraus, dass wir wissen was eine endliche Menge ist und
damit ebenfalls was nicht-endlich ist.
Ich freue mich auf Eure Definitionen und Beispiele.
Offenbar gab es vor Cantor's Definition von unendlich ( Eine Menge ist
unendlich, wenn sie bijektiv auf eine echte Teilmenge abgebildet
werden kann) andere Definitionen. Wie lauten diese?
Euklid beweist die Unendlichkeit der Primzahlen, Gauss protestiert
gegen eine Art des Unendlichseins - also gab es mindestens zwei
verschiedene Formulierungen.
Welche davon sind gleichwertig ( analog Wohlordnungssatz und
Auswahlaxiom) und welche davon ergeben verschiedenes ( analog
Wohlordnungssatz und Axiom oo : ,,Es gibt eine unendliche Menge", falls
ich richtig begriffen habe, dass hier ein sachlicher Unterschied
vorliegt)?
Und natürlich auch, falls zutreffend, welche kann man mit potentiell
und welche mit aktual bezeichnen.
Durchdenken und darüber philosophieren kann man natürlich auch, aber
doch viel besser mit Definitionen und klaren Beispielen.
Viel Spass
Hero
Rudolf Sponsel
> Rainer Willis schrieb in dem Thread 'Euklids Beweis':
>
>> Ich versteh den Unterschied zwischen
>> "Es gibt keine größte Primzahl",
>> "Es gibt unendlich viele Primzahlen" und
>> "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen."
>> nicht.
> Ist die Menge der Primzahlen nun aktual unendlich oder potentiell oder
> beides oder keins von beiden?
>
> Kennt jemand ein Beispiel einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen?
|N im intuitsionistisch-konstruktivem Verständnis.
> Gibt es ein Beispiel einer Menge mit aktual unendlich vielen
> Elementen?
|N nach Cantor und seinen AnhängerInnen. Das Unvollendete wird in einer
contradictio in adjecto vollendet gedacht:
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/dview?lp=401
> Kann jemand die Definition einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen geben?
Es gibt einen Anfang und eine Fortsetzungsregel, aber kein Ende, z.B.
der Strichkalkül für die natürlichen Zahlen.
> Wie lautet die Definition einer Menge mit aktual unendlich vielen
> Elementen?
Die Cantoristen definieren: Eine Menge heißt (aktual) unendlich, wenn es
eine Bijektion zu einer echten Teilmenge "gibt". Die einfachste
unendliche Menge heißt auch abzählbar unendlich. Ein viel ehrlicherer
und treffenderer Ausdruck wäre allerdings: *an*zählbar. Abzählbar sind
endliche Anordnungen, wie z.B. eine Schulklasse, Fußballmannschaft oder
Kompanie (man erkennt die Absicht nicht selten an der Sprache).
> Welche Menge ist unendlich, aber nicht potentiell unendlich?
Hm, vielleicht solche, die keinen Anfang oder keine Fortsetzungsregel
haben, etwa die Punkte auf einem Kreisumfang, man kann, z.B. gewöhnlich
schlecht sagen, der Kreisumfang beginnt da und da; überhaupt alles
kontinuierlich Gedachte ohne definierten Anfang oder Ende (nicht so bei
Cantoristen, die machen sogar aus einer Kugel zwei).
> Hat jemand eine Beschreibung für eine Menge mit unendlich vielen
> Elementen, die nicht aktual unendlich ist?
>
|N im intuitsionistisch-konstruktivem Verständnis. War das nicht oben
schon gefragt?
> Mit freundlichen Grüssen
> Hero
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Karl Heinze
wrote:
>
> Offenbar gab es vor Cantor's Definition von unendlich (Eine Menge
> ist unendlich, wenn sie bijektiv auf eine echte Teilmenge abgebildet
> werden kann) andere Definitionen.
>
Die Definition geht offenbar auf Dedekind zurück; zumindest ist sie
nach ihm benannt. Dedekind meinte auch, dass ihm außer seiner Def.
keine andere brauchbare Definition des Begriffs /unendliche Menge/
bekannt sei.
Eine andere Definition die "auf der Hand liegt", ist die Folgende (sie
setzt aber die natürlichen Zahlen schon voraus): Eine nichtleere Menge
M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass es eine
bijektive Funktion von {1,2,...,n} auf M gibt. (Zusätzlich kann man
auch noch die leere Menge als leer bezeichnen.) M besteht dann genau
aus n Elementen. Eine (nichtleere) Menge M heißt unendlich, wenn sie
nicht endlich ist.
Wenn man nun ein Vertreter der potentiellen Unendlichkeit
ist (und die Existenz aktual unendlicher Mengen bestreiten
will), kann man sagen: "Es gibt keine unendlichen Mengen."
Anders formuliert: Jede Menge ist endlich. (Bekanntlich
ist dem im Rahmen modernen Mengenlehren, wie z. B. ZFC
nicht so.)
>
> Euklid beweist die Unendlichkeit der Primzahlen, Gauss protestiert
> gegen eine Art des Unendlichseins - also gab es mindestens zwei
> verschiedene Formulierungen.
>
Nein. Euklid bewies die /potentielle/ Unendlichkeit der Primzahlen.
Und Gauss protestierte gegen den Gebrauch /aktualer/ Unendlichkeiten
(Gauss: "Größen") im Rahmen der Mathematik.
Karl Heinze
wrote:
Ooops...
>
> Eine andere Definition die "auf der Hand liegt", ist die Folgende (sie
> setzt aber die natürlichen Zahlen schon voraus): Eine nichtleere Menge
> M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass es eine
> bijektive Funktion von {1,2,...,n} auf M gibt. (Zusätzlich kann man
> auch noch die leere Menge als endlich bezeichnen.)
> ~~~~~~~
Peter Niessen
> Ich bin noch dabei Eure Beiträge zu durchdenken. Dabei komme ich in
> solche Gedankenschleifen:
> Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n mit n= m+1.
> Dies auf Mengen verallgemeinert:
> Für jede echte Teilmenge T von M gibt es ein m aus M und m nicht in
> T , so dass T vereinigt {m} Teilmenge von M ist.
>
> Hum, da muss ich einen Fehler gemacht haben, das gilt für jede nicht
> leere Menge M. Also muss es wohl so sein:
> erstmal 'echte Teilmenge' streichen:
> Für jede e n d l i c h e Teilmenge T von M gibt es ein m aus M
> und m nicht in T, so dass T vereinigt {m} Teilmenge von M ist.
>
> Das setzt voraus, dass wir wissen was eine endliche Menge ist und
> damit ebenfalls was nicht-endlich ist.
>
> Ich freue mich auf Eure Definitionen und Beispiele.
> Offenbar gab es vor Cantor's Definition von unendlich ( Eine Menge ist
> unendlich, wenn sie bijektiv auf eine echte Teilmenge abgebildet
> werden kann) andere Definitionen. Wie lauten diese?
Obige Definition ist von Dededekind. Eine explizite Definition von Cantor
ist mir unbekannt. Cantor hat sich allerdings in seinen Schriften sehr
intenseniv gegen den aristotelischen Standpunkt gewandt den auch ein Gauss
vertrat:
Es gibt zu jeder Zahl/Menge eine grössere aber keine fertige unendliche
Menge.
> Euklid beweist die Unendlichkeit der Primzahlen,
Eben nicht.
Er zeigt: zu jeder Primzahl gibt es eine grössere.
> Gauss protestiert gegen eine Art des Unendlichseins - also gab es
> mindestens zwei verschiedene Formulierungen. Welche davon sind
> gleichwertig ( analog Wohlordnungssatz und Auswahlaxiom) und welche
> davon ergeben verschiedenes ( analog Wohlordnungssatz und Axiom oo :
> ,,Es gibt eine unendliche Menge", falls ich richtig begriffen habe, dass
> hier ein sachlicher Unterschied vorliegt)? Und natürlich auch, falls
> zutreffend, welche kann man mit potentiell und welche mit aktual
> bezeichnen.
Nimm die Peanoaxiome und schaue dir Axiom 5 (vollständige Induktion) genau
an. Exakt diesen Gedanken findest du als INF-Axiom in ZF.
Der Streit über potentiell versus aktual hat sich damit erledigt. Das noch
heute gewisse möchtegern Philosophen damit Bauchschschmerzen haben ist
deren Problem.
Karl Heinze
wrote:
In der Wikipedia steht dazu m. E. wieder mal etwas ziemlich Falsches:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Potentiell unendlich
Für Physik, Mathematik und Philosophie postuliert Aristoteles [...]
(im 3. Buch der Physik): "Überhaupt existiert das Unendliche nur in
dem Sinne, dass immer ein Anderes und wiederum ein Anderes genommen
wird, das eben Genommene aber immer ein Endliches, jedoch ein immer
Verschiedenes und wieder ein Verschiedenes ist." – Potentielle
Unendlichkeit lässt sich kaum besser darstellen.
[So weit, so gut. --K. H.]
Das Wort "unendlich" beschreibt in diesem Sinne also nur die
Möglichkeit, immer noch weiter zu gehen. Schulbeispiel dafür ist die
Menge IN = {1,2,3,...} der natürlichen Zahlen: Sie ist in dem Sinne
eine unendliche Menge, dass man zu jeder natürlichen Zahl einen
Nachfolger angeben kann; es gibt also kein Ende.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Die aktual (sic!) unendliche _Menge_ IN ist natürlich KEIN "Schul-
beispiel" für die Darstellung dessen, was mit "potentieller Unend-
lichkeit" gemeint ist.
BESSER wäre es hier von der "Reihe der natürlichen Zahlen"
1, 2, 3, ...
zu sprechen. Das könnte man (mit etwas gutem Willen) akzeptieren.
Also:
"Das Wort "unendlich" beschreibt in diesem Sinne also nur die
Möglichkeit, immer noch weiter zu gehen. Schulbeispiel dafür ist die
Reihe der natürlichen Zahlen: 1,2,3,... Sie ist in dem Sinne
unendlich, dass man zu jeder natürlichen Zahl einen Nachfolger angeben
kann; es gibt also kein Ende."
Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzielle_und_aktuale_Unendlichkeit
Man sollte das entsprechend abändern, imho.
Auf einer anderen Wikipedia-Seite ist die Darstellung hingegen m. E.
korrekt. Es heißt da:
"[...] So ist beispielsweise die Reihe der natürlichen Zahlen
unbegrenzt, da sich zu jeder Zahl eine größere findet. Mit seiner
Definition wendet Aristoteles sich gegen die Vorstellung einer
"aktualen" Unendlichkeit, d. h. gegen die Vorstellung einer unendlich
großen Menge, die als ganzes vorliegt. Ihm zufolge gibt es nur
"potentielle" Unendlichkeiten, d. h. Mengen, zu denen immer wieder ein
weiteres Element hinzugefügt werden kann. Diese sind jedoch niemals
vollständig vorhanden."
http://de.wikipedia.org/wiki/Physik_%28Aristoteles%29
Wie ich schon sagte:
Karl Heinze
wrote:
>
> In der Wikipedia steht dazu m. E. wieder mal etwas ziemlich Falsches:
>
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Potentiell unendlich
>
> [...]
>
> Das Wort "unendlich" beschreibt in diesem Sinne also nur die
> Möglichkeit, immer noch weiter zu gehen. Schulbeispiel dafür ist die
> Menge IN = {1,2,3,...} der natürlichen Zahlen [...].
>
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Die aktual (sic!) unendliche _Menge_ IN ist natürlich KEIN "Schul-
> beispiel" für die Darstellung dessen, was mit "potentieller Unend-
> lichkeit" gemeint ist.
>
"Trotz wesentlicher Verschiedenheit der Begriffe des potentialen und
aktualen Unendlichen, indem ersteres eine veränderliche endliche, über
alle Grenzen hinaus wachsende Größe, letztere ein in sich festes,
konstantes, jedoch jenseits aller endlichen Größen liegendes Quantum
bedeutet, tritt doch leider nur zu oft der Fall ein, daß das eine mit
dem andern verwechselt wird.
So stellt uns beispielsweise eine veränderliche Größe "x", die
nacheinander die verschiedenen endlichen ganzen Zahlwerte 1, 2, 3,
..., n, ... anzunehmen hat, ein potentiales Unendliches vor,
| wogegen die durch ein Gesetz begrifflich durchaus bestimmte Menge N
| aller ganzen endlichen Zahlen n das einfachste Beispiel eines
| aktual-unendlichen Quantums darbietet.
Die wesentliche Verschiedenheit, welche hiernach zwischen den
Begriffen des potentialen und aktualen Unendlichen besteht, hat es
merkwürdigerweise nicht verhindert, daß in der Entwicklung der neueren
Mathematik mehrfach Verwechslungen beider Ideen vorgekommen sind,
derart, daß in Fällen, wo nur ein potentiales Unendliches vorliegt,
fälschlich ein Aktual-Unendliches angenommen wird, oder daß umgekehrt
Begriffe, welche nur vom Gesichtspunkte des aktualen Unendlichen einen
Sinn haben, für ein potentiales Unendliches gehalten werden. Beide
Arten der Verwechselung müssen als Irrtümer betrachtet werden."
(Georg Cantor)
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>
> Nimm die Peanoaxiome und schaue dir Axiom 5 (vollständige Induktion) genau
> an. Exakt diesen Gedanken findest du als INF-Axiom in ZF.
>
Nein. Diese Auffassung ist nicht korrekt. Axiom 5 "besagt" NICHT, dass
die Menge IN unendlich ist. Tatsächlich ist 5 ein "Minimalaxiom", das
ausschließt, dass IN noch aus anderen Elementen als 0, 1, 2, 3, ...
besteht.
>
> Der Streit über potentiell versus aktual hat sich damit erledigt.
>
Der Streit vielleicht. Die Sache/Differenz an sich ist damit aber
nicht aus der Welt geschafft. (->Finitismus)
Historisches:
"Mathematische Objekte existieren nicht, sofern sie nicht gedacht
werden. Alle mathematischen Begriffe sollen deshalb mit endlich vielen
Worten definierbar und alle Behauptungen mit endlich vielen
Operationen verifizierbar sein. Was die Menschen "unendlich" nennen,
ist nur die endlose Möglichkeit, neue Objekte zu schaffen, unabhängig
davon, wie viele Objekte bereits bestehen. Die Vorstellung etwa einer
aktual existierenden unendlichen Menge ist eine falsche Vorstellung."
(Henri Poincaré)
Un der letzte Ritter:
"Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen Naturwissenschaft zeigen
deutlich, wie diese Herrschaft des Gedankens einer aktualen
Unendlichkeit mit der klassischen (neuzeitlichen) Physik zu Ende
gegangen ist. Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des
Aktual-Unendlichen in die Mathematik, die explizit erst gegen Ende des
vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann."
(Paul Lorenzen)
In der Mainstream-Mathematik spielen derartige "Überlegungen"
natürlich keine Rolle (mehr).
Karl Heinze
wrote:
>
> In der Wikipedia steht dazu m. E. wieder mal etwas ziemlich Falsches
> - Zitat:
>
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Potentiell unendlich
>
> [...] Schulbeispiel dafür ist die Menge IN = {1,2,3,...} der
> natürlichen Zahlen [...]
>
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
"Die [...] Menge N aller ganzen endlichen Zahlen n [bieten] das
einfachste Beispiel eines aktual-unendlichen Quantums dar." (G.
Cantor) ~~~~~~
Und ja:
"Trotz wesentlicher Verschiedenheit der Begriffe des potentialen und
aktualen Unendlichen [...] tritt doch leider nur zu oft der Fall ein,
daß das eine mit dem andern verwechselt wird." (G. Cantor)
K. H.
Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzielle_und_aktuale_Unendlichkeit
Hermann Jurksch
> On Sat, 28 Jul 2007 01:25:10 +0200, Peter Niessen
> <peter-...@arcor.de> wrote:
>>
>> Nimm die Peanoaxiome und schaue dir Axiom 5 (vollständige Induktion) genau
>> an. Exakt diesen Gedanken findest du als INF-Axiom in ZF.
>>
> Nein. Diese Auffassung ist nicht korrekt. Axiom 5 "besagt" NICHT, dass
> die Menge IN unendlich ist. Tatsächlich ist 5 ein "Minimalaxiom", das
> ausschließt, dass IN noch aus anderen Elementen als 0, 1, 2, 3, ...
> besteht.
Es liefert eine Bijektion zwischen N und einer echten Teilmenge von N,
und damit die Unendlichkeit von N.
MfG
Hermann
Peter Niessen
>> Nimm die Peanoaxiome und schaue dir Axiom 5 (vollständige Induktion) genau
>> an. Exakt diesen Gedanken findest du als INF-Axiom in ZF.
>>
> Nein. Diese Auffassung ist nicht korrekt. Axiom 5 "besagt" NICHT, dass
> die Menge IN unendlich ist. Tatsächlich ist 5 ein "Minimalaxiom", das
> ausschließt, dass IN noch aus anderen Elementen als 0, 1, 2, 3, ...
> besteht.
Ich zitiere mal wörtlich nach Heuser:
Axiom 5:
Sei M eine beliebig gewählte Teilmenge der natürlichen Zahlen die das
kleinste Element 1 und zu jedem Element m e M den Nachfolger S(m) enthält
dann ist sie gleich der Menge der natürlichen Zahlen. Also M=N
Und das ist bis auf den Umstand M=N (der in ZF nicht gelten muss) die
Definition einer unendlichen induktiven Menge nach ZF.
In ZF wäre erst der Durchschnitt induktiver Mengen gleich der Menge N.
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>>>
>>> Nimm die Peanoaxiome und schaue dir Axiom 5 (vollständige Induktion) genau
>>> an. Exakt diesen Gedanken findest du als INF-Axiom in ZF.
>>>
>> Nein. Diese Auffassung ist nicht korrekt. Axiom 5 "besagt" NICHT, dass
>> die Menge IN unendlich ist. Tatsächlich ist 5 ein "Minimalaxiom", das
>> ausschließt, dass IN noch aus anderen Elementen als 0, 1, 2, 3, ...
>> besteht.
>>
> Ich zitiere mal wörtlich nach Heuser:
> Axiom 5:
> Sei M eine beliebig gewählte Teilmenge der natürlichen Zahlen die das
> kleinste Element 1 und zu jedem Element m e M den Nachfolger S(m) ent-
> hält dann ist sie gleich der Menge der natürlichen Zahlen. Also M = N.
>
Wie ich schon sagte, ein Minimalaxiom, das besagt, dass N die
_kleinste_ "induktive Menge" ist.
Die Aussage ist: Wenn M eine induktive Menge ist, dann gilt N c M. (N
ist also "kleiner".) Zusammen mit M c N (wie oben in der Voraussetzung
von Axiom 5 genannt) ergibt sich also M = N.
Dass N eine unendliche Menge ist, wird durch die anderen 4 Axiomen
sichergestellt.
Karl Heinze
wrote:
>>>>
>>>> Nimm die Peanoaxiome und schaue dir Axiom 5 (vollständige Induktion) genau
>>>> an. Exakt diesen Gedanken findest du als INF-Axiom in ZF.
>>>>
>>> Nein. Diese Auffassung ist nicht korrekt. Axiom 5 "besagt" NICHT, dass
>>> die Menge IN unendlich ist. Tatsächlich ist 5 ein "Minimalaxiom", das
>>> ausschließt, dass IN noch aus anderen Elementen als 0, 1, 2, 3, ...
>>> besteht.
>>>
>> Ich zitiere mal wörtlich nach Heuser:
>> Axiom 5:
>> Sei M eine beliebig gewählte Teilmenge der natürlichen Zahlen die das
>> kleinste Element 1 und zu jedem Element m e M den Nachfolger S(m) ent-
>> hält dann ist sie gleich der Menge der natürlichen Zahlen. Also M = N.
>>
> Wie ich schon sagte, ein Minimalaxiom, das besagt, dass N die
> _kleinste_ "induktive Menge" ist.
>
> Die Aussage ist: Wenn M eine induktive Menge ist, dann gilt N c M. (N
> ist also "kleiner".) Zusammen mit M c N (wie oben in der Voraussetzung
> von Axiom 5 genannt) ergibt sich also M = N.
>
> Dass N eine unendliche Menge ist, wird durch die anderen 4 Axiomen
> sichergestellt.
>
Hint: Im Kontext der ML fordert INF lediglich die _Existenz_ einer
induktiven Menge.
Peter Niessen
Nicht wirklich
Nach Heuser:
1.)
1 ist eine natürliche Zahl
2.)
Jeder natürlichen Zahl n ist eine--und nur eine--natürliche Zahl n'
zugeordnet die der Nachfolger von n genannt wird.
3.)
1 ist kein Nachfolger
4.)
Sind m;n verschiedene natürliche Zahlen dann sind auch die Nachfolger n',m'
verschieden.
Also keine Rede davon das diese Zahlen auch eine Menge bilden.
Und Peano definiert (abgesehen von altertümlicher Notation) genauso.
Erst Axiom 5 klopft fest:
5.)
Sei M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen die das kleinste Element 1 und
zu jedem Element m e M den Nachfolger m' enthält dann ist sie gleich der
Menge der natürlichen Zahlen (Also M = N).
Somit:
Jawohl! Es gibt eine Menge die alle natürlichen Zahlen enthält und erst
damit entspricht sie einer Menge nach INF in ZF und zwar der kleinst
möglichen da N zwangsläufig Teilmenge jeder INF-Menge ist (modulo
Isomorphie).
Hero
Nimm Stellung zu folgender Einordnung der Stellung des Menschen: die
Endlichkeit der ihn umgebenden Welt, die potentielle Unendlichkeit des
Menschen und die aktuale Unendlichkeit Gottes."
Aspekte der Unendlichkeit
Fächerverbindender Unterricht Mathematik - Religion
Eine Unterrichtseinheit in Klasse 10/11
Autor: Jörg Rudolf, geb. 1968, Studium der Fächer Mathematik, Physik
und kath. Religion, unterrichtet
am Kolleg St. Blasien
http://www.joerg-rudolf.lehrer.belwue.de/unendlich/ml/artikel.pdf
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Hero
>
> Oft wird in diesem Zusammenhang auch eine Bemerkung Gauss' zitiert:
>
> "So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als
> einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das
>
" ...indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse
Verhältnisse so nahe kommen als man will, während
anderen ohne Einschränkung zu wachsen gestattet ist.«
Das ist nun gefährlich. Gauss geht es hier um unvollendet grosse
Geraden
Brief vom 12. Juli 1831 an seinen Freund Schumacher
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D136917.html
Wenn wir hier über das potentiell unendlich hinausgehen kommen wir zu
ultra-idealen Punkten jenseits der Grenzen, die Gauss sich hier
selbst und uns auferlegt.
Ist Gauss Verbot noch gültig?
Ist eine Gerade und eine Halbgerade oder Strahl potentiell oder aktual
unendlich?
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Rainer Rosenthal
> Karl schrieb:
>
>>... Gauss' zitiert:
>>"So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als
>>einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das
>>Unendliche ist nur eine Façon de parler..."
> Brief vom 12. Juli 1831 an seinen Freund Schumacher
> http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D136917.html
Schönen Dank für die Referenz. Ich hatte immer gedacht, Gauss habe
"aus Angst vor dem Geschrei der Böotier" überhaupt alles zum Thema
Nicht-Euklidische Geometrie für sich behalten. Aber der an Schumacher
mitgeteilte halbe Kreisumfang zum Radius r
/ \
1 __ | r/k -r/k |
halber Kreisumfang = --- || k | e - e |
2 \ /
sollte jedem Böotier das Maul stopfen können ;-)
[Wenn der Böotier mich dann fragt, was das für eine Konstante k sein
soll, dann muss ich ihn allerdings bitten, mal in ein Buch über Nicht-
Euklidische Geometrie zu schauen oder einige der auf Deine Veranlassung
von Jutta und Thomas verfasste dsm-Beiträge genauer zu lesen].
> Wenn wir hier über das potentiell unendlich hinausgehen kommen wir zu
> ultra-idealen Punkten jenseits der Grenzen, die Gauss sich hier
> selbst und uns auferlegt.
> Ist Gauss Verbot noch gültig?
Gauss hat hier vor falschen Grenzübergängen gewarnt. Diese Verbote sind
noch heute gültig. Das Verbot, durch Null zu teilen, ist allerdings
inzwischen in der Amtssprache anders gefasst worden: jedes von Null
verschiedene Körperelement besitzt ein Inverses. Damit ist es also
nicht direkt verboten, nach 1/0 zu suchen sondern es ist einfach nur
albern.
> Ist eine Gerade und eine Halbgerade oder Strahl potentiell oder aktual
> unendlich?
Einen Strahl oder eine Gerade oder Halbgerade kann man so lang zeichnen
wie man will, es geht immer noch ein Stückchen mehr. Also sind diese
Objekte potentiell unendlich. Dabei bezieht sich aber "potentiell" nicht
auf das Objekt selbst sondern auf die Handlung oder gedachte Handlung
des Weiterzeichnens: man *kann* immer weiterzeichnen (möglich=potentiell).
Die Menge der Punkte ist unendlich, kann also unendlich vermehrt werden,
wenn man bloss ein endliches Stück davon vor sich hat.
Ein Objekt als "potentiell unendlich" zu bezeichnen, ist also sowieso
schon etwas schief. Es ist lediglich "potentiell unendlich" in Bezug
auf eine Handlung, die nie zu Ende sein kann. Die natürlichen Zahlen
sind also auch als "potentiell unendlich" zu bezeichnen, wenn man dabei
das Zählen im Sinn hat.
Will man die Unendlichkeit des Objekts selbst bezeichnen, unabhängig von
Manipulationen, die man daran unternimmt oder unterlässt, dann reicht
es zwar zu sagen, dass es unendlich viele Elemente habe oder kurz, dass
es unendlich sei. Aber es ist ein schmückender und harmloser Zusatz, wenn
man sagt: das Objekt ist /wirklich/ unendlich oder /erstaunlich unendlich/
oder (gelehrt klingend) /aktual unendlich/.
Meine 2 Eurocent zum Thema. Zusammengefasst: eine Sache des Sprachgefühls.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hendrik van Hees
> "Arbeitsauftrag:
> Nimm Stellung zu folgender Einordnung der Stellung des Menschen: die
> Endlichkeit der ihn umgebenden Welt, die potentielle Unendlichkeit des
> Menschen und die aktuale Unendlichkeit Gottes."
Wer gibt denn solch' schöne Themen? Hätte mein Religionslehrer sich
sowas ausgedacht (wozu er intellektuell allerdings keineswegs in der
Lage gewesen wäre), hätte ich ihm was zusammengeschrieben...
Ich kann mich noch erinnern, daß wir mal in der allgemein eher
mathematikfeindlichen Umgebung meines hessischen Gymnasiums (selbst der
völlig beweisfreie Kampfrechenunterricht selbst war eher so gestaltet,
daß man einen Haß auf dieses schöne Fach entwickeln mußte) die
Lehrprobe einer überaus unbeliebten Religionslehreranwärterin versaut
haben, indem wir ihre Grundthese (es muß zu irgendwas Buddhistischem
gewesen sein, denn das Christentum wurde im evangelischen
Religionsunterricht seltsamerweise geflissentlich übersehen) via Gödels
berühmtem Theorem zur Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit
innerhalb eines gegebenen Axiomensystems gleich in den ersten 5 Minuten
ad absurdum geführt haben. Manchmal taugt Mathematik also durchaus auch
als Waffe ;-).
Kurzum, mir scheint zu diesem fächerübergreifenden Unsinn als Motto
eigentlich nur Einsteins berühmter Satz, daß er nur zwei Dinge für
unendlich hält, das Universum und die menschliche Dummheit, nur beim
Universum sei er sich da nicht so sicher.
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:he...@comp.tamu.edu
Karl Heinze
<r.ros...@web.de> wrote:
>
> Ein Objekt als "potentiell unendlich" zu bezeichnen, ist also sowieso
> schon etwas schief. Es ist lediglich "potentiell unendlich" in Bezug
> auf eine Handlung [bzw. auch einen /Prozess/ --K. H.], die [der --K. H.]
> nie zu Ende sein kann. Die natürlichen Zahlen sind also auch als
> "potentiell unendlich" zu bezeichnen, wenn man dabei das Zählen im Sinn
> hat.
>
> Will man die Unendlichkeit des Objekts selbst bezeichnen, unabhängig von
> Manipulationen, die man daran unternimmt oder unterlässt, dann reicht
> es zwar zu sagen, dass es unendlich viele Elemente habe oder kurz, dass
> es unendlich sei. Aber es ist ein schmückender und harmloser Zusatz, wenn
> man sagt: das Objekt ist /wirklich/ unendlich oder /erstaunlich unendlich/
> oder (gelehrt klingend) /aktual unendlich/.
>
> Meine 2 Eurocent zum Thema.
>
Aber doch sehr schön gesagt und einigermaßen zutreffend.
Hero
> Hero wrote:
> > "Arbeitsauftrag:
> > Nimm Stellung zu folgender Einordnung der Stellung des Menschen: die
> > Endlichkeit der ihn umgebenden Welt, die potentielle Unendlichkeit des
> > Menschen und die aktuale Unendlichkeit Gottes."
>
> Wer gibt denn solch' schöne Themen? Hätte mein Religionslehrer sich
> sowas ausgedacht (wozu er intellektuell allerdings keineswegs in der
> Lage gewesen wäre), hätte ich ihm was zusammengeschrieben...
Hatte ich angegeben. Jörg Rudolf am Kolleg St.Blasien.
>
> Ich kann mich noch erinnern, ....
> ... Manchmal taugt Mathematik also durchaus auch
> als Waffe ;-).
>
Na klar. Mathematiker wissen mehr über Unendlichkeit als sonst eine
Gruppe.
> Kurzum, mir scheint zu diesem fächerübergreifenden Unsinn als Motto
> eigentlich nur Einsteins berühmter Satz, daß er nur zwei Dinge für
> unendlich hält, das Universum und die menschliche Dummheit, nur beim
> Universum sei er sich da nicht so sicher.
Ich seh das eher andersherum.
Na ja, hier ein Beitrag Cantor's zum Arbeitsauftrag:
Accordingly I distinguish an eternal uncreated infinity or absolutum
which is due to God and his attributes, and a created infinity or
transfinitum, which has to be used wherever in the created nature an
actual infinity has to be noticed, for example, with respect to,
according to my firm conviction, the actually infinite number of
created individuals, in the universe as well as on our earth and, most
probably, even in every arbitrarily small extended piece of space. (G.
Cantor [3, p. 399; 8, p. 252])
One proof is based on the notion of God. First, from the highest
perfection of God, we infer the possibility of the creation of the
transfinite, then, from his all-grace and splendor, we infer the
necessity that the creation of the transfinite in fact has happened.
(G. Cantor [3, p. 400])
http://en.wikipedia.org/wiki/Actual_infinity
Vielleicht erklärt dies auch, warum dieser plötzlich Umschwung da ist,
warum mit einmal die aktuale Unendlichkeit den Segen von oben bekommt.
Noch schönen Sonntag
Hero
Peter Niessen
> (G. Cantor [3, p. 400])
> http://en.wikipedia.org/wiki/Actual_infinity
>
> Vielleicht erklärt dies auch, warum dieser plötzlich Umschwung da ist,
> warum mit einmal die aktuale Unendlichkeit den Segen von oben bekommt.
Was braucht es dafür den "höheren Segen"?
Cantor als redlicher Christ hat sich wortreich verteidigt weil er wusste
das seine Ideen ein massiver Anschlag auf die theologische Lehrmeinung
waren. Aber wen interessiert heute ob der Herr Papst bedenken gegen aktual
Unendlich hat? Sorry lieber Benedikt:
Auf dieser Baustelle hast du nichts zu suchen!
Hero
> Hero schrieb:
> > Karl schrieb:
>
> >>... Gauss' zitiert:
> >>"So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als
> >>einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das
> >>Unendliche ist nur eine Façon de parler..."
> > Brief vom 12. Juli 1831 an seinen Freund Schumacher
> >http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D136917.html
>
>
> > Wenn wir hier über das potentiell unendlich hinausgehen kommen wir zu
> > ultra-idealen Punkten jenseits der Grenzen, die Gauss sich hier
> > selbst und uns auferlegt.
> > Ist Gauss Verbot noch gültig?
>
> Gauss hat hier vor falschen Grenzübergängen gewarnt. Diese Verbote sind
> noch heute gültig. Das Verbot, durch Null zu teilen, ist allerdings
> inzwischen in der Amtssprache anders gefasst worden: jedes von Null
> verschiedene Körperelement besitzt ein Inverses. Damit ist es also
> nicht direkt verboten, nach 1/0 zu suchen sondern es ist einfach nur
> albern.
Über den unendlich-fernen Punkt hatten wir neulich erst eine
Diskussion. Wenn Du willst, kannst Du ja auch mal nach idealen und
ultra-idealen Punkten sehen.
>
> > Ist eine Gerade und eine Halbgerade oder Strahl potentiell oder aktual
> > unendlich?
>
> Einen Strahl oder eine Gerade oder Halbgerade kann man so lang zeichnen
> wie man will, es geht immer noch ein Stückchen mehr. Also sind diese
> Objekte potentiell unendlich. Dabei bezieht sich aber "potentiell" nicht
> auf das Objekt selbst sondern auf die Handlung oder gedachte Handlung
> des Weiterzeichnens: man *kann* immer weiterzeichnen (möglich=potentiell).
> Die Menge der Punkte ist unendlich, kann also unendlich vermehrt werden,
> wenn man bloss ein endliches Stück davon vor sich hat.
Und wenn man lauter gleichlange endliche Stücke aneinanderfügt wird
man wohl auch nie ein Ende erreichen.
>
> Ein Objekt als "potentiell unendlich" zu bezeichnen, ist also sowieso
> schon etwas schief. Es ist lediglich "potentiell unendlich" in Bezug
> auf eine Handlung, die nie zu Ende sein kann. Die natürlichen Zahlen
> sind also auch als "potentiell unendlich" zu bezeichnen, wenn man dabei
> das Zählen im Sinn hat.
>
> Will man die Unendlichkeit des Objekts selbst bezeichnen, unabhängig von
> Manipulationen, die man daran unternimmt oder unterlässt, dann reicht
> es zwar zu sagen, dass es unendlich viele Elemente habe oder kurz, dass
> es unendlich sei. Aber es ist ein schmückender und harmloser Zusatz, wenn
> man sagt: das Objekt ist /wirklich/ unendlich oder /erstaunlich unendlich/
> oder (gelehrt klingend) /aktual unendlich/.
>
> Meine 2 Eurocent zum Thema. Zusammengefasst: eine Sache des Sprachgefühls.
>
Das ist sehr durchdacht.
Ähnlich gut finde ich, wie aufmerksam Volkert den Euklid gelesen hat.
Der hat nämlich Gauss Verbot doch überschritten.
Elemente Buch I, Proposition 12
Auf eine gegebene unbegrenzte gerade Linie von einem gegebenen Punkte,
der nicht auf ihr liegt, aus das Lot zu fällen.
Die Konstruktion sieht so aus: Man wähle auf der anderen Seite der
geraden Linie AB Punkt D beliebig, zeichne mit C [das ist der gegebene
Punkt, der nicht auf AB liegen soll] als Mittelpunkt und CD als
Abstand den Kreis EFG, halbiere die Strecke EG in H (I, 10) und ziehe
die Strecken CG, CH, CE; ich behaupte, daß man auf die gegebene
unbegrenzte gerade Linie AB von dem gegebenen Punkte C, der nicht auf
ihr liegt, aus das Lot gefällt hat, nämlich CH.
Die Verifikation beruht im Nachweis der Kongruenz der Dreiecke CGH und
CHE. Dabei muss man natürlich wissen, was ein rechter Winkel ist -
nämlich ein Winkel, der seinem Nebenwinkel kongruent ist (Euklid sagt
gleich in seiner Definition 10).
In diesem Satz und seinem Beweis sind gleich mehrere Dinge
bemerkenswert. Zuerst einmal sollte man festhalten, dass Euklid schon
in der Formulierung des Satzes ausdrücklich die aktuale Unendlichkeit
der fraglichen Geraden erwähnt; an allen anderen Stellen des ersten
Buches, insbesondere beim oben erwähnten Parallelenpostulat benötigt
er nur Geraden, welche genügend lang sind. Der Unterschied, auf den es
hier ankommt, wird vielleicht deutlicher in einem Vergleich mit den
natürlichen Zahlen. Die Version genügend lang entspricht dann der
Aussage "Es gibt eine genügend große natürliche Zahl" (etwa wenn es
darum geht, eine bestimmte Schranke zu übertreffen), die unendlich
lange Gerade dagegen der Aussage "Es gibt eine natürliche Zahl, die
größer ist als alle anderen", was bekanntlich nicht zutrifft. Die hier
angesprochene Unterscheidung wird gefasst durch die Begriffe
potentiell Unendliches (es gibt beliebig großes) und aktual
Unendliches (es gibt etwas, das größer ist); Aristoteles und nach ihm
viele Grundlagentheoretiker der Mathematik haben sich hiermit befasst
(vgl. Becker 1975). Euklid braucht seine aktual unendlich lange
Gerade, um sicher zu sein, dass der Punkt C nicht in der Verlängerung
derselben liegt.
Zweitens ist interessant, dass Euklid kommentarlos annimmt, dass eine
Gerade die Ebene in zwei disjunkte Teile, heute offene Halbebenen
genannt, zerlegt. In der modernen Grundlegung ist dies ein Axiom in
der Gruppe der Anordnungsaxiome (vgl. Filler 1993, 80).
Man wird gewiss zugeben, dass es sich hierbei um eine sehr
anschauliche Aussage handelt, weshalb Euklid sie vielleicht übersehen
haben könnte.
Schließlich ist darauf hinzuweisen, dass die Konstruktion des Lotes
stets die Existenz des Lotfußpunktes garantiert. Man hat es hier mit
einer Grundkonstruktion zu tun, die eine Existenzaussage beinhaltet.
Das ist oft beweistechnisch von großem Nutzen.
http://www.uni-koeln.de/ew-fak/Mathe/volkert/Vorlesungen/Skript%20Konstruktionsprobleme.pdf
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Adriane Meier
kannst du Affe endlich mal deine Uhr richtig stellen und dich nicht
permanent in dieser widerlichen Form vordrängeln? Nein, nein...
Hero
> Hero schrieb:
>
> > (G. Cantor [3, p. 400])
> >http://en.wikipedia.org/wiki/Actual_infinity
>
> > Vielleicht erklärt dies auch, warum dieser plötzlich Umschwung da ist,
> > warum mit einmal die aktuale Unendlichkeit den Segen von oben bekommt.
>
> Was braucht es dafür den "höheren Segen"?
> Cantor als redlicher Christ hat sich wortreich verteidigt weil er wusste
> das seine Ideen ein massiver Anschlag auf die theologische Lehrmeinung
> waren. Aber wen interessiert heute ob der Herr Papst bedenken gegen aktual
> Unendlich hat? Sorry lieber Benedikt:
> Auf dieser Baustelle hast du nichts zu suchen!
Bist Du Dir da so sicher?
Hier ist jedenfalls noch ein Beitrag zum Mathe-Religionsunterricht in
St.Blasien:
For example St Augustine, the Christian philosopher who built much of
Plato's philosophy into Christianity in the early years of the 5th
century AD, argued in favour of an infinite God and also a God capable
of infinite thoughts. He wrote in his most famous work City of God:-
Such as say that things infinite are past God's knowledge may just as
well leap headlong into this pit of impiety, and say that God knows
not all numbers. ...
What madman would say so? ...
What are we mean wretches that dare presume to limit his knowledge.
Guten Abend wünscht allen
Hero
Hendrik van Hees
> bedenken gegen aktual Unendlich hat? Sorry lieber Benedikt:
> Auf dieser Baustelle hast du nichts zu suchen!
Dabei hat doch gerade Benedikt eine erstaunlich vernünftige (im wahrsten
Sinne des Wortes rationale) Einstellung zur Wissenschaft. Das hätte ich
der Alleinseligmachenden gar nicht zugetraut ;-).
Peter Niessen
Es ist natürlich historisch interessant den Begriff des Unendlichen in
seinem Werdegang zu untersuchen. Aber was die Lehrer von St. Blasien da
machen finde ich schon bedenklich.
Ich sage es mal krass und völlig überspitzt:
Das ist das gleiche Vorgehen wie das der Kreationisten in der Biologie.
Hier hätten gerne Theologen den Anspruch Philosophen zu sein und das geht
nicht.
Philosophie ist Wissenschaft und Theologie nun mal nicht.
Die Deutungshoheit über wissenschaftliche Erkenntnisse steht der Theologie
nicht zu.
Ärgerlich ist natürlich (das geht jetzt an Hendrik) dass die angeblich
moderne Philosophie daniederliegt und von der Königin der Wissenschaft zur
armseligen Magdt am reich gedeckten Tisch der Erkenntniss mutiert ist, die
bestenfalls noch herunterfallende Brotkrumen aufsammelt.
Aber lieber Hero:
Da du kein Troll bist und das Thema verstehst soll damit die Diskussion
nicht unbedingt zu Ende sein. Ich poste dann auch gerne historische Zitate
zum Thema, denn ein spannendes Kapitel der Erkenntnisstheorie (und somit
Philosophie) ist die Mengengenlehre die das Unendliche ganz plötzlich in
völlig neuer Form vorlegt allemal.
ML, RT und QT sind die (neuen) wissenschaftlichen Revolutionen überhaupt,
und nicht ohne Grund fast zeitgleich entstanden.
Peter Niessen
> Peter Niessen wrote:
>
>> bedenken gegen aktual Unendlich hat? Sorry lieber Benedikt:
>> Auf dieser Baustelle hast du nichts zu suchen!
>
> Dabei hat doch gerade Benedikt eine erstaunlich vernünftige (im wahrsten
> Sinne des Wortes rationale) Einstellung zur Wissenschaft. Das hätte ich
> der Alleinseligmachenden gar nicht zugetraut ;-).
Es geht so :-((
Zumindest ist Benedikt nicht so dumm wie die Kreationisten der Wissenschaft
direkt ins Geschäft zu funken. Sagen wir mal so:
Das hat sich die kat. Kirche aus historischen Gründen abschminken müssen.
Aber immerhin haben die Jesuiten ein Gremium das die Missionierung in
anderen Sonnensystemen schon mal plant.
Noch fragen?
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>
> ML, RT und QT sind die (neuen) wissenschaftlichen Revolutionen über-
> haupt, und nicht ohne Grund fast zeitgleich entstanden.
>
"[Die Mengenlehre] stellt einen der größten und kühnsten Schritte dar,
die die mathematische Entwicklung jemals getan hat, einen Schritt, der
eine wissenschaftliche Revolution von nicht geringerer Tragweite
bedeutet als das Kopernikanische Weltsystem in der Astronomie, als die
Einsteinsche Relativitätstheorie oder die Plancksche Quantenlehre in
der Physik."
(Adolf A. Fraenkel)
Adriane Meier
> "[Die Mengenlehre] stellt einen der größten und kühnsten Schritte dar,
> die die mathematische Entwicklung jemals getan hat, einen Schritt, der
> eine wissenschaftliche Revolution von nicht geringerer Tragweite
> bedeutet als das Kopernikanische Weltsystem in der Astronomie, als die
> Einsteinsche Relativitätstheorie oder die Plancksche Quantenlehre in
> der Physik."
JESUS LEBT -- ROT FRONT
Rainer Willis
Nee, keine Fragen. Aber hast du da irgendwelche Quellen, die ich ohne
viel Aufwand im Internet sehen kann?
Das wird ja immer verrückter! Ich wurde zum Glück atheistisch erzogen
und kann mir, ebenfalls zum Glück, solchen Unsinn aus der Entfernung
ansehen.
Die Katholen haben den gesamten Wissenschaftsbetrieb tausend Jahre lang
lahmgelegt.
Aber sowas wie "Gremium zur Missionierung in anderen Sonnensystemen" ist
ja dermaßen outer space, out of mind, dass es schon wieder interessant ist.
Gruß Rainer
Rainer Rosenthal
> Auf eine gegebene unbegrenzte gerade Linie von einem gegebenen Punkte,
> der nicht auf ihr liegt, aus das Lot zu fällen.
>
> Die Konstruktion sieht so aus: Man wähle auf der anderen Seite der
> geraden Linie AB Punkt D beliebig, zeichne mit C [das ist der gegebene
> Punkt, der nicht auf AB liegen soll] als Mittelpunkt und CD als
> Abstand den Kreis EFG, halbiere die Strecke EG in H (I, 10) und ziehe
> die Strecken CG, CH, CE; ich behaupte, daß man auf die gegebene
> unbegrenzte gerade Linie AB von dem gegebenen Punkte C, der nicht auf
> ihr liegt, aus das Lot gefällt hat, nämlich CH.
Was F sein soll, bleibt mir ein Rätsel, aber ich sehe, dass Euklid offenbar
einen Kreis um C schlagen möchte der gross genug ist, um die Gerade AB
in mindestens zwei Punkten zu schneiden. Diese nennt er E und G und der
Mittelpunkt H der Strecke EG ist der Fusspunkt des Lotes von C auf AB.
Um den Kreis garantiert gross genug zu machen, lässt er ihn durch einen
Punkt D auf der anderen Seite der Geraden AB gehen. Gut, abgehakt.
> Die Version genügend lang entspricht dann der
> Aussage "Es gibt eine genügend große natürliche Zahl" (etwa wenn es
> darum geht, eine bestimmte Schranke zu übertreffen), die unendlich
> lange Gerade dagegen der Aussage "Es gibt eine natürliche Zahl, die
> größer ist als alle anderen", was bekanntlich nicht zutrifft. Die hier
> angesprochene Unterscheidung wird gefasst durch die Begriffe
> potentiell Unendliches (es gibt beliebig großes) und aktual
> Unendliches (es gibt etwas, das größer ist); Aristoteles und ...
Entschuldige bitte, aber Du verwechselst da etwas. Wenn Du schon
Vergleiche anstellst, dann bitte richtig. Bezüglich der Ausgedehntheit
in beide Richtungen kann man sehr wohl die Gerade mit der unendlich langen
und beidseitig unbegrenzten "Knopfreihe" der ganzen Zahlen, also der
Menge Z vergleichen. Bin ich dabei.
Und wenn es ein Halbstrahl sein soll, dann nehmen wir die Menge N der
natürlichen Zahlen, denn dann gehts es im Endlichen bei 0 (oder 1, mir
egal) los und über 1, 2, 3, ... unbegrenzt weiter.
Eine Strecke entspricht bei diesem Vergleich einem Zahlenintervall
ganzer Zahlen zwischen einer Zahl a und einer grösseren Zahl b.
Die unendlich lange Gerade entspricht in diesem Falle *nicht* einer
unendlich grossen Zahl sondern dem Inbegriff aller ganzen Zahlen, also
der Menge Z.
*grmpff* das sollte doch aus all den Diskussionen mit den Nichtskönnern
a la Albrecht und anderen mal hängen geblieben sein. Himmel sakra!
Gruss,
Rainer
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Dieter Schuster
> Am Fri, 27 Jul 2007 11:18:43 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>> Karl Heinze wrote:
>>
>>> On Thu, 26 Jul 2007 18:12:10 +0200, Karl Heinze <nomail@invalid>
>>> wrote:
>>>
>>> "Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
>>> anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
>>> immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
>>> Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
>>>
>>> Kurz, nicht {1, 2, 3, ...} wohl aber
>>>
>>> {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
>>
>> Damit erfaßt man aber nur abzählbare Mengen, nicht überabzählbare.
>> Überabzählbare Mengen können nicht durch "ein Verschiedenes und wieder
>> ein Verschiedenes" Element erfaßt werden.
>
> Die Elemente jeder Menge lassen sich im obigen Sinn notieren (ordnen)
Nein, nur von endlichen und abzählbaren Mengen.
Dieter Schuster
Hero
> Hero schrieb:
> > Elemente Buch I, Proposition 12
> > Auf eine gegebene unbegrenzte gerade Linie von einem gegebenen Punkte,
> > der nicht auf ihr liegt, aus das Lot zu fällen.
>
> > Die Konstruktion sieht so aus: Man wähle a..
> > ...
> >.... auf der anderen Seite der Geraden AB gehen.
> Gut, abgehakt.
Entschuldigung, ich habe nicht deutlich gemacht, dass ab Euklid alles
ein Zitat von Volkmann ist .
Wichtig war mir, dass Volkmann bemerkt, dass Euklid hier von einer
unendlichen Geraden spricht und er auch begründet, wozu dies gebraucht
wird (sonst könnt der Punkt, durch den die Senkrechte gezogen werden
soll, ja auf einer Verlängerung der Geraden liegen). Das ist pfiffig.
Meine Aussage war vorher, dass Euklid hier wohl Gauss Verbot
überschreitet.
>
> > Die Version genügend lang entspricht dann der
> > Aussage "Es gibt eine genügend große natürliche Zahl" (etwa wenn es
> > darum geht, eine bestimmte Schranke zu übertreffen), die unendlich
> > lange Gerade dagegen der Aussage "Es gibt eine natürliche Zahl, die
> > größer ist als alle anderen", was bekanntlich nicht zutrifft. Die hier
> > angesprochene Unterscheidung wird gefasst durch die Begriffe
> > potentiell Unendliches (es gibt beliebig großes) und aktual
> > Unendliches (es gibt etwas, das größer ist); Aristoteles und ...
>
> Entschuldige bitte, aber Du verwechselst da etwas. Wenn Du schon
> Vergleiche anstellst, dann bitte richtig.
Also, dies ist von Volkmann geschrieben. Ich habe mit diesem Teil auch
meine Schwierigkeiten.
> Bezüglich der Ausgedehntheit
> in beide Richtungen kann man sehr wohl die Gerade mit der unendlich langen
> und beidseitig unbegrenzten "Knopfreihe" der ganzen Zahlen, also der
> Menge Z vergleichen. Bin ich dabei.
> Und wenn es ein Halbstrahl sein soll, dann nehmen wir die Menge N der
> natürlichen Zahlen, denn dann gehts es im Endlichen bei 0 (oder 1, mir
> egal) los und über 1, 2, 3, ... unbegrenzt weiter.
> Eine Strecke entspricht bei diesem Vergleich einem Zahlenintervall
> ganzer Zahlen zwischen einer Zahl a und einer grösseren Zahl b.
>
> Die unendlich lange Gerade entspricht in diesem Falle *nicht* einer
> unendlich grossen Zahl sondern dem Inbegriff aller ganzen Zahlen, also
> der Menge Z.
>
Bin ich mit einig.
> *grmpff* das sollte doch aus all den Diskussionen mit den Nichtskönnern
> a la Albrecht und anderen mal hängen geblieben sein. Himmel sakra!
>
Jawoll. Wenn Volkmann schreibt:
"die unendlich lange Gerade" [entspricht] "dagegen der Aussage "Es
gibt eine natürliche Zahl, die größer ist als alle anderen", was
bekanntlich nicht zutrifft."
dann gibt es für ihn doch gar keine unendlich lange Gerade.
Dann müsste er eigentlich erklären, wie er denn eine Senkrechte
errichten kann.
Volkmann schreibt auch:
"Die hier angesprochene Unterscheidung wird gefasst durch die Begriffe
potentiell Unendliches (es gibt beliebig großes) und aktual
Unendliches (es gibt etwas, das größer ist); Aristoteles und ..."
Da steckt etwas drin, worüber man nachdenken sollte.
Unendliches, egal welcher Art, - "es gibt etwas, das größer ist". Für
eine natürliche Zahl, also eine endlich grosse Zahl gilt dies auch.
Aber für alle natürlichen Zahlen?
Kommt hier nicht in Frage, was Cantor macht: die nächstgrössere Zahl
nach allen natürlichen Zahlen ist die Grösse der M e n g e der
natürlichen Zahlen.
Oder wie im Beispiel von Wolfgang in "Euklids Beweis", nach allen
Zeichenketten aus dem Buchstaben a: a, aa, aaa,... kommt
lexikografisch der Buchstabe b.
Das stimmt in meinen Augen.
Nur ist dies nicht immer der Fall: was ist länger als die Länge einer
unendlichen Geraden ( im Sinne Euklid, Elemente, Buch I, Proposition
12)?
Tut mir leid mit dem verunglückten Zitat. Aber dies betrifft ja nur,
wer was geschrieben hat. Über den Inhalt kann man ja sprechen.
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Peter Niessen
> Nee, keine Fragen. Aber hast du da irgendwelche Quellen, die ich ohne
> viel Aufwand im Internet sehen kann?
Suche mal nach dem Observartoriom des Vatikan. Genau die von mir gemeinten
Jesuiten betreiben selbiges.
Peter Niessen
>> Die Elemente jeder Menge lassen sich im obigen Sinn notieren (ordnen)
>
> Nein, nur von endlichen und abzählbaren Mengen.
Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
Hast du einen Beweis?
Dieter Schuster
> Am Mon, 30 Jul 2007 10:55:11 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>>> Die Elemente jeder Menge lassen sich im obigen Sinn notieren (ordnen)
>>
>> Nein, nur von endlichen und abzählbaren Mengen.
>
> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
> Hast du einen Beweis?
Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
Methode falsch?
Dieter Schuster
Peter Niessen
>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
>> Hast du einen Beweis?
>
> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
> Methode falsch?
Warum nicht?
Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar" ist
(besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
Mit der Menge der natürlichen Zahlen geht das nicht.
Hendrik van Hees
> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar"
> ist (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
> Mit der Menge der natürlichen Zahlen geht das nicht.
Das Problem ist nur, daß Du AC brauchst, um R wohlzuordnen, und das gibt
Dir nicht die Wohlordnung, so daß Du sie explizit angeben könntest wie
in dem Beispiel. Aber wozu sollte man das auch brauchen?
Dieter Schuster
Wir zählen aber mit den natürlichen Zahlen. Und überabzählbare Mengen lassen
sich nunmal nicht aufzählen, so wie in dem Beispiel. Wohlordbar ist etwas
anderes als aufzählbar.
Daher bin ich der Ansicht, daß überabzählbare Mengen aktual unendlich sind,
und nicht von Aristoteles Aussage erfaßt werden.
Dieter Schuster
Peter Niessen
> Peter Niessen wrote:
>
>> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>
>>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
>>>> Hast du einen Beweis?
>>>
>>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>>> Methode falsch?
>>
>> Warum nicht?
>> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
>> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar" ist
>> (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
>> Mit der Menge der natürlichen Zahlen geht das nicht.
>
> Wir zählen aber mit den natürlichen Zahlen. Und überabzählbare Mengen lassen
> sich nunmal nicht aufzählen, so wie in dem Beispiel. Wohlordbar ist etwas
> anderes als aufzählbar.
Wohlordnen heisst:
Alle Elemente der Reihe nach aufzählen. Dafür ist es unerheblich ob das nun
mit den natürlichen Zahlen geht oder nicht. Die natürlichen Zahlen und die
Menge der natürlichen Zahlen sind die einfachsten Wohlordnungen. Es gibt
sehr wohl Wohlordnungen die grösser sind als die natürlichen Zahlen, die
nat. Zahlen sind dann ganz schlicht eine Teilmenge (ein Anfangsstück)
solcher Wohlordnungen.
> Daher bin ich der Ansicht, daß überabzählbare Mengen aktual unendlich sind,
> und nicht von Aristoteles Aussage erfaßt werden.
Hüstel
Zu diesem Punkt sagt Aristoteles überhaupt nichts.
Folgt man dem ollen Griechen gibt es ex catedra überhaupt keine unendliche
Menge (Infinium actu non datur). Also auch keine Menge der natürlichen
Zahlen. Nur hast du dann ein Problem:
Sind die Peanoaxime wiedersprüchlich?
So als erste Einführung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahlen
http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik
Dieter Schuster
> Am Tue, 31 Jul 2007 10:43:39 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>>
>>>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
>>>>> Hast du einen Beweis?
>>>>
>>>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>>>> Methode falsch?
>>>
>>> Warum nicht?
>>> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
>>> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar"
>>> ist (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
>>> Mit der Menge der natürlichen Zahlen geht das nicht.
>>
>> Wir zählen aber mit den natürlichen Zahlen. Und überabzählbare Mengen
>> lassen sich nunmal nicht aufzählen, so wie in dem Beispiel. Wohlordbar
>> ist etwas anderes als aufzählbar.
>
> Wohlordnen heisst:
> Alle Elemente der Reihe nach aufzählen.
Zähle mir bitte die reellen Zahlen auf.
Dieter Schuster
Dieter Schuster
> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
>>> Hast du einen Beweis?
>>
>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>> Methode falsch?
>
> Warum nicht?
> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar" ist
> (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
Die reellen Zahlen R sind überabzählbar. Ein Wohlordnung ist eine total
geordnete Menge, deren nichtleeren Teilmengen ein kleinstes Element haben.
Betrachte das Intervall offene Intervall I=]0,1[ von R. I ist Teilmenge von
R, hat aber kein kleinstes Element. Damit ist R bezüglich der üblichen
Ordnung (<) keine Wohlordnung.
Kannst Du mir eine Ordnungsrelation auf R angeben, die eine Wohlordnung ist?
Dieter Schuster
Peter Niessen
Nur wenn du mir beweist:
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
Es sollte dir klar sein warum ich so Antworte.
Aus dem Umstand das man für bestimmte Mengen keine Wohlordnung kennt folgt
genau was?
Die Existenz überabzählbarer Wohlordnungen lässt sich trotzdem problemlos
zeigen.
Peter Niessen
> Peter Niessen wrote:
>
>> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>
>>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
>>>> Hast du einen Beweis?
>>>
>>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>>> Methode falsch?
>>
>> Warum nicht?
>> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
>> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar" ist
>> (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
>
> Die reellen Zahlen R sind überabzählbar. Ein Wohlordnung ist eine total
> geordnete Menge, deren nichtleeren Teilmengen ein kleinstes Element haben.
Und was hat das mit überabzählbar zu tun?
Es ist trivial überabzählbare Wohlordnungen anzugeben.
> Betrachte das Intervall offene Intervall I=]0,1[ von R. I ist Teilmenge von
> R, hat aber kein kleinstes Element. Damit ist R bezüglich der üblichen
> Ordnung (<) keine Wohlordnung.
Das gilt schon ganz trivial für die ganzen Zahlen.
> Kannst Du mir eine Ordnungsrelation auf R angeben, die eine Wohlordnung ist?
Nein.
Aber daraus folgt nicht das es keine gibt. Dann musst du per Beweis zeigen:
Das ist unmöglich! Die Fields-Medaille wäre dir gewiss.
Kein Mensch hat behauptet das es ein triviales Unterfangen ist für
beliebige Mengen eine Wohlordnungsfunktion anzugeben. Im Gegenteil:
Das gehört zu den schwierigsten Problemen überhaupt.
Dieter Schuster
> Am Tue, 31 Jul 2007 13:01:31 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>> Am Tue, 31 Jul 2007 10:43:39 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>>
>>>> Peter Niessen wrote:
>>>>
>>>>> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>>>>
>>>>>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen
>>>>>>> gelten? Hast du einen Beweis?
>>>>>>
>>>>>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>>>>>> Methode falsch?
Hm, hier liegt von der Grund dafür das wir uns nicht verstehen. Ich verstehe
wohl die benannte Methode falsch.
>>>>> Warum nicht?
>>>>> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
>>>>> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar"
>>>>> ist (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
>>>>> Mit der Menge der natürlichen Zahlen geht das nicht.
>>>>
>>>> Wir zählen aber mit den natürlichen Zahlen. Und überabzählbare Mengen
>>>> lassen sich nunmal nicht aufzählen, so wie in dem Beispiel. Wohlordbar
>>>> ist etwas anderes als aufzählbar.
>>>
>>> Wohlordnen heisst:
>>> Alle Elemente der Reihe nach aufzählen.
>>
>> Zähle mir bitte die reellen Zahlen auf.
>
> Nur wenn du mir beweist:
> Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
> Es sollte dir klar sein warum ich so Antworte.
Nein.
> Aus dem Umstand das man für bestimmte Mengen keine Wohlordnung kennt folgt
> genau was?
Das diese Mengen als Beispiel für meine Argumentation nicht taugen.
Dieter Schuster
Dieter Schuster
> Am Tue, 31 Jul 2007 13:14:36 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>>
>>>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen gelten?
>>>>> Hast du einen Beweis?
>>>>
>>>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>>>> Methode falsch?
>>>
>>> Warum nicht?
>>> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
>>> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar"
>>> ist (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
>>
>> Die reellen Zahlen R sind überabzählbar. Ein Wohlordnung ist eine total
>> geordnete Menge, deren nichtleeren Teilmengen ein kleinstes Element
>> haben.
>
> Und was hat das mit überabzählbar zu tun?
> Es ist trivial überabzählbare Wohlordnungen anzugeben.
Beispiel?
Dieter Schuster
Florian Schmidt
> Wohlordnen heisst:
"Die Menge M Laesst sich wohlordnen" bedeutet:
Es existiert eine Wohlordnung fuer M.
Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation, und damit eine Teilmenge des
kartesischen Produkts M x M mit einigen Eigenschaften [siehe z.B. Wikipedia
seite: <http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Wohlordnung>]
> Alle Elemente der Reihe nach aufzählen.
Nein, der Begriff der Wohlordnung ist aber durch dieses Aufzaehlen der
natuerlichen Zahlen [und das Ordnen beliebiger Sammlungen von Objekten]
inspiriert.
> Dafür ist es unerheblich ob das
> nun mit den natürlichen Zahlen geht oder nicht. Die natürlichen Zahlen und
> die Menge der natürlichen Zahlen sind die einfachsten Wohlordnungen.
Nein, weder die natuerlichen Zahlen [was soll "die natuerlichen Zahlen" hier
genau bedeuten: Jede natuerliche Zahl?], noch die Menge der natuerlichen
Zahlen stellen eine Wohlordnung dar..
> Es gibt sehr wohl Wohlordnungen die grösser sind als die natürlichen
> Zahlen, die nat. Zahlen sind dann ganz schlicht eine Teilmenge (ein
> Anfangsstück) solcher Wohlordnungen.
Nein, die natuerlichen Zahlen sind keine Wohlordnung.
Gruss,
Flo
--
Palimm Palimm!
http://tapas.affenbande.org
Hero
>
> Kennt jemand ein Beispiel einer Menge mit potentiell unendlich vielen
> Elementen?
Trotz vieler Beiträge, für die ich allen herzlich danke, bin ich immer
noch im Unklaren über potentiell und aktual. Jedenfalls verschwindet
mit Cantor bzw Dedekinds Definition ( ..Bijektion auf eine echte
Teilmenge) dies aus der Mathematik. Dafür(?) kommt jetzt aber schon
schnell ein neuer Gegensatz: Cantoristen versus Konstruktivisten,
( ZF mit oder ohne AC – kann man so den Unterschied zwischen beiden
beschreiben?).
Ich las in wiki:
“Zu Beginn des 19. Jahrhunderts sind mit dem Grenzwertbegriff zum
einen dynamische oder kinematische Vorstellungen verbunden (Newton,
d'Alembert), und zum anderen Vorstellungen von 'unendlich kleinen
Größen (Euler, Leibniz). Um die beliebige Fortsetzbarkeit einer Folge
explizit beschreiben zu können geht bei Gauss der Aufzählungsaspekt
einer Folge in die funktionale Sichtweise über. In Cauchy's Lehrbuch
'Cours d'Analyse' von 1828 wird dann der Grenzwertbegriff zu einem
Grundbegriff der Analysis, den Cauchy wiederum in dynamischer Weise
mit Hilfe des Folgenbegriffs erklärt.
"Wenn die einer variablen Zahlengröße successive beigelegten Werthe
sich einem bestimmten Werthe beständig nähern, so daß sie endlich von
diesem Werthe so wenig verschieden sind, als man irgend will, so heißt
die letztere die Grenze aller übrigen." (S. 3)
Die Lösung des Grenzwertbegriff von dynamischen Vorstellungen erfolgt
dann durch Weierstraß, indem er den Folgengrenzwert mit Hilfe der 'n0
− ε - Bedingung' definiert.“
http://wiki.zum.de/index.php/Folgen/Zur_Geschichte_des_Folgenbegriffs#Beginn_der_Neuzeit
Und ergänzend aus Paderborn:
“Gudermann verwendete bereits die Epsilon-Delta-Definition der
Stetigkeit, für deren Durchsetzung Weierstraß sich später sehr
eingesetzt hat.“
http://typo3.cs.uni-paderborn.de/ueber-das-institut/ueber-uns/info-weierstrass.html
Damit verschwindet eigentlich die variable Grösse aus der Mathematik
der Funktionen (heutzutage als Mengen von Paaren gesehen).
Machte dies den Weg frei für Cantor?
Lebt jetzt nicht ein uralter Unterschied zwischen Mathematikern fort:
die einen betrachten die Bewegung ( Archytas von Tarent, Hippias von
Elis) und andere, wie später Euklid, verwenden Bewegung fast gar
nicht ?
Bei Cantor gibt es keine veränderliche Menge, bei den anderen gibt es
nur diskretes (und die können im Grunde auf den Begriff der Menge
verzichten, wie in dsm anderswo schon angedeutet).
Bei Konstruktivisten und Informatikern ( Computer arbeiten mit
diskreten Nullen und Einsen) gibt es Terme, durch deren Unbekannte
(Platzhalter) man variable Grössen laufen lassen kann, es gibt
wachsende Zeichenketten usw. In der Topologie gibt es -auf Cantor-
Basis – von Kuratowski und anderen Kontinuität, Dichte und Stetigkeit.
Als ich die Fragen am Beginn dieser Diskussion formulierte, dachte ich
eigentlich, wenn keiner potentielle Unendlichkeit durch eine
Mengendefinition definieren kann, dann kann man's vergessen. Aber ganz
so einfach ist es doch nicht.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Karl Heinze
wrote:
>
> Trotz vieler Beiträge, für die ich allen herzlich danke, bin ich immer
> noch im Unklaren über potentiell und aktual.
>
"Trotz wesentlicher Verschiedenheit der Begriffe des potentialen und
aktualen Unendlichen, indem ersteres eine veränderliche endliche, über
alle Grenzen hinaus wachsende Größe, letztere ein in sich festes,
konstantes, jedoch jenseits aller endlichen Größen liegendes Quantum
bedeutet, tritt doch leider nur zu oft der Fall ein, daß das eine mit
dem andern verwechselt wird.
So stellt uns beispielsweise eine veränderliche Größe "x", die
nacheinander die verschiedenen endlichen ganzen Zahlwerte 1, 2, 3,
..., n, ... anzunehmen hat, ein potentiales Unendliches vor, wogegen
die durch ein Gesetz begrifflich durchaus bestimmte Menge (n) aller
ganzen endlichen Zahlen n das einfachste Beispiel eines
aktual-unendlichen Quantums darbietet. Die wesentliche
Verschiedenheit, welche hiernach zwischen den Begriffen des
potentialen und aktualen Unendlichen besteht, hat es merkwürdigerweise
nicht verhindert, daß in der Entwicklung der neueren Mathematik
mehrfach Verwechslungen beider Ideen vorgekommen sind, derart, daß in
Fällen, wo nur ein potentiales Unendliches vorliegt, fälschlich ein
Aktual-Unendliches angenommen wird, oder daß umgekehrt Begriffe,
welche nur vom Gesichtspunkte des aktualen Unendlichen einen Sinn
haben, für ein potentiales Unendliches gehalten werden. Beide Arten
der Verwechselung müssen als Irrtümer betrachtet werden.
(Georg Cantor)
Oder auch:
"Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor
Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in
der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem
Unendlichgroßen als Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem,
Erzeugtem, d.h., wie man sagt, mit dem potentiell Unendlichen zu tun.
Aber das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses haben wir
z. B., wenn wir die Gesamtheit der Zahlen 1, 2, 3, 4, ... selbst als
eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer Strecke als eine
Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt. Diese Art des
Unendlichen wird als aktual unendlich bezeichnet.
(David Hilbert)
>
> Jedenfalls verschwindet mit Cantor bzw Dedekinds Definition
> dies aus der Mathematik.
>
Weniger mit der /Definition/ als vielmehr durch die Einführung "aktual
unendlicher Gesamtheiten", kurz: der Mengenlehre.
>
> Dafür (?) kommt jetzt aber schon schnell ein neuer Gegensatz:
> Cantoristen versus Konstruktivisten,
>
"Mathematische Objekte existieren nicht, sofern sie nicht gedacht
werden. Alle mathematischen Begriffe sollen deshalb mit endlich vielen
Worten definierbar und alle Behauptungen mit endlich vielen
Operationen verifizierbar sein. Was die Menschen "unendlich" nennen,
ist nur die endlose Möglichkeit, neue Objekte zu schaffen, unabhängig
davon, wie viele Objekte bereits bestehen. Die Vorstellung etwa einer
aktual existierenden unendlichen Menge ist eine falsche Vorstellung."
(Henri Poincaré)
Etc. etc.
Diese Auffassung hat sich aber nicht durchgesetzt, wie Hilbert
seinerzeit schon gemutmaßt hat:
"Was Weyl und Brouwer tun, kommt im Prinzip darauf hinaus, daß sie die
einstigen Pfade von Kronecker wandeln: sie suchen die Mathematik
dadurch zu begründen, daß sie alles ihnen unbequem Erscheinende über
Bord werfen und eine Verbotsdiktatur à la Kronecker errichten. Dies
heißt aber, unsere Wissenschaft zu zerstückeln und verstümmeln, und
wir laufen Gefahr, einen großen Teil unserer wertvollsten Schätze zu
verlieren, wenn wir solchen Reformatoren folgen. Weyl und Brouwer
verfemen die allgemeinen Begriffe der Irrationalzahl, der Funktion, ja
schon der zahlentheoretischen Funktion, die Cantorschen Zahlen höherer
Zahlklassen usw.; der Satz, daß es unter unendlich vielen Zahlen stets
eine kleinste gibt, und sogar das logische "Tertium non datur" z. B.
in der Behauptung: entweder gibt es nur eine endliche Anzahl von
Primzahlen, oder unendlich viele, sind Beispiel verbotener Sätze und
Schlußweisen. Ich glaube, daß, so wenig es Kronecker damals gelang,
die Irrationalzahlen abzuschaffen - Weyl und Brouwer gestatten
übrigens noch die Konservierung eines Torso -, ebensowenig werden Weyl
und Brouwer heute durchdringen; nein: Brouwer ist nicht, wie Weyl
meint, die Revolution, sondern nur die Wiederholung eines
Putschversuches mit alten Mitteln, der seinerzeit, viel schneidiger
unternommen, doch gänzlich mißlang und jetzt zumal, wo die Staatsmacht
durch Frege, Dedekind und Cantor so wohlgerüstet und befestigt ist,
von vornherein zur Erfolglosigkeit verurteilt ist."
(David Hilbert, Neubegründung der Mathematik, 1922)
Im Rückblick kann man konstatieren:
"Leopold Kronecker (1823-1891) gehörte als angesehener Mathematiker zu
den aktiven Gegnern der Cantorschen Mengenlehre und des Cantor-
Dedekindschen Mengenbegriffs. Er war Mitbegründer des
konstruktivistischen und intuitionistischen Zweiges der Mathematik,
der sich von der klassischen, mengentheoretisch fundierten Mathematik
dadurch unterscheidet, daß viele Dinge nicht erlaubt sind, etwa
Existenzbeweise, die keine konkreten Beispiele oder Algorithmen
mitliefern , oder der logische Schluß von /nicht/ /nicht/ A auf A für
Aussagen A. Der Nachweis der /allgemeinen/ "Notwendigkeit oder auch
nur Zweckmäßigkeit" [hier wird Dedekind zitiert --K. H.] der
Freiheitsberaubung ist dieser Zweig bis heute schuldig geblieben, und
die klassische Mathematik kann mit ihrer scharfen Trennung der
Begriffe /Existenz/ und /Algorithmus/ konstruktive Fragen innerhalb
ihrer zollfreien Landschaften sehr gut behandeln, ohne ständig auf ein
"Rasen betreten verboten" zu stoßen. :-)
(O. Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2004)
>
> [...] Damit verschwindet eigentlich die variable Grösse aus der
> Mathematik.
>
Bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass die Mathematik nie mit
"variablen Größen" zu tun hat, in dem Sinn, dass eine "Variable" x
nicht eine Größe ist, die variiert.
>
> der Funktionen (heutzutage als Mengen von Paaren gesehen).
>
Was nur folgerichtig ist.
>
> Machte dies den Weg frei für Cantor?
>
Eher umgekehrt. :-)
>
> Als ich die Fragen am Beginn dieser Diskussion formulierte, dachte ich
> eigentlich, wenn keiner potentielle Unendlichkeit durch eine
> Mengendefinition definieren kann, dann kann man's vergessen. Aber ganz
> so einfach ist es doch nicht.
>
Nein, so einfach ist es auch nicht. Es gibt durchaus Mathematiker, die
die so. klassische Mathematik ablehnen.
Ein besonders "krasses" (vielleicht trifft es "schrill" besser)
Beispiel:
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion68.html
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf
:-)
Hero
Viele interessante Zitate, die wir selbst nicht so gut formulieren
können.
Werde ich darüber nachdenken.
>
> Nein, so einfach ist es auch nicht. Es gibt durchaus Mathematiker, die
> die so. klassische Mathematik ablehnen.
>
> Ein besonders "krasses" (vielleicht trifft es "schrill" besser)
> Beispiel:
>
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf
Transcript of a plenary talk delivered at the International Conference
on Difference Equations and Applications (ICDEA 2001),
Augsburg,
Germany, Aug. 1, 2001, 9:00-10:00 a.m.
Na sowas.
Viel Spass
Hero
Karl Heinze
wrote:
>
> Viele interessante Zitate, die wir selbst nicht so gut formulieren
> können.
>
Sicher kennst Du den Spruch: "Alles wurde schon einmal gesagt - und
besser." :-)
>
> Augsburg, [...]
>
> Na sowas.
>
Also irgendwas ist mit dieser Stadt! :-)
Peter Niessen
Gerne:
Die Menge abzählbaren Ordinalzahlen ist überabzählbar und trivialerweise
eine wohlgeordnete Menge.
Ich denke mal: An diesem Punkt sage ich erstmal STOPP!
Denn du verstehst ganz offensichtlich nicht worum es hier überhaupt geht.
Das ist auch nicht tragisch. Mir ging es zum Anfang auch nicht besser.
Fragt sich nur: Wie argumentiere ich nun? Bei welchem Wissenensstand kann
ich dich abholen? Eines ist ja wohl klar:
Wenn ich etwas behaupte muss ich es auch beweisen und erklären können.
Karl Heinze
wrote:
Nachtrag.
>>
>> Gegensatz: Cantoristen versus Konstruktivisten [...]
> mitliefern, oder der logische Schluß von /nicht/ /nicht/ A auf A für
> Aussagen A. Der Nachweis der /allgemeinen/ "Notwendigkeit oder auch
> nur Zweckmäßigkeit" [hier wird Dedekind zitiert --K. H.] der
> Freiheitsberaubung ist dieser Zweig bis heute schuldig geblieben, und
> die klassische Mathematik kann mit ihrer scharfen Trennung der
> Begriffe /Existenz/ und /Algorithmus/ konstruktive Fragen innerhalb
> ihrer zollfreien Landschaften sehr gut behandeln, ohne ständig auf ein
> "Rasen betreten verboten" zu stoßen."
>
> (O. Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2004)
>
Oliver Deiser bezieht sich hier auf eine Bemerkung Dedekinds, die
dieser in seinem Büchlein "Was sind und was sollen die Zahlen?" (1888)
gemacht hatte. Als Fußnote zum Satz
"[Ein System] ist vollständig bestimmt, wenn von jedem Ding
bestimmt ist, ob es Element von S ist oder nicht."
schreibt er (Dedekind):
"Auf welche Weise diese Bestimmtheit zu Stande kommt, und ob wir einen
Weg kennen, um hierüber zu entscheiden, ist für alles Folgende gänz-
lich gleichgültig; die zu entwickelnden allgemeinen Gesetze hängen
davon gar nicht ab, sie gelten unter allen Umständen. Ich erwähne dies
ausdrücklich, weil Herr Kronecker vor Kurzem (im Band 99 des Journals
für Mathematik, S. 334-336) der freien Begriffsbildung in der Mathe-
matik gewisse Beschränkungen hat auferlegen wollen, die ich nicht als
berechtigt anerkenne; näher hierauf einzugehen erscheint aber erst
dann geboten, wenn der ausgezeichnete Mathematiker seine Gründe für
die Notwendigkeit oder auch nur die Zweckmäßigkeit dieser Beschrän-
kungen veröffentlicht haben wird."
(R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, 1888)
(Vgl. auch mit dem Zitat von Hilbert!)
Karl Heinze
wrote:
Nachtrag zum Nachtrag.
Oliver Daiser sagt (oben) etwas sehr Wesentliches dazu:
"Der Nachweis der /allgemeinen/ "Notwendigkeit oder auch
nur Zweckmäßigkeit" der Freiheitsberaubung ist dieser Zweig
[also der Konstruktivismus] bis heute schuldig geblieben."
In der Tat. Man /kann/ ja Konstruktivist/Intuitionist sein. Warum auch
nicht? Aber es gibt bislang keine /zwingenden/ Gründe (bzw. Gründe,
die allgemein als zwingend anerkannt werden), die das /erforderlich/
machen würden.
Peter Niessen
> Peter Niessen wrote:
>
>> Wohlordnen heisst:
>
> "Die Menge M Laesst sich wohlordnen" bedeutet:
> Es existiert eine Wohlordnung fuer M.
Das ist tautologisch
Aber dir ist ja hoffentlich klar was wohlordnen meint, oder muss ich es
aufschreiben?
> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
Richtig
> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
> Eigenschaften
Eher nein.
Ausser du meinst etwas triviales:
Sei w eine Wohlordnung dann induziert auch die Funktion f:w -> x
eine Wohlordnung von x falls es denn eine Bijektion gibt. Aber dieses w
inklusive Funktion musst du erst mal finden!
>
>> Alle Elemente der Reihe nach aufzählen.
>
> Nein, der Begriff der Wohlordnung ist aber durch dieses Aufzaehlen der
> natuerlichen Zahlen [und das Ordnen beliebiger Sammlungen von Objekten]
> inspiriert.
Das "der Reihe nach" gilt auch im Transfiniten
>> Dafür ist es unerheblich ob das
>> nun mit den natürlichen Zahlen geht oder nicht. Die natürlichen Zahlen und
>> die Menge der natürlichen Zahlen sind die einfachsten Wohlordnungen.
>
> Nein, weder die natuerlichen Zahlen [was soll "die natuerlichen Zahlen" hier
> genau bedeuten: Jede natuerliche Zahl?], noch die Menge der natuerlichen
> Zahlen stellen eine Wohlordnung dar..
Nicht wirklich?
Ganz genauso sind die nat. Zahlen definiert! Das besagen schlicht und
ergreifend die Peano-Axiome.
Dafür braucht es keinerlei ML. Die Ml (und das ist ihre Stärke) kann aber
Modelle der nat. Zahlen liefern und damit werden die Peano-Axiome beweisbar
richtig.
>> Es gibt sehr wohl Wohlordnungen die grösser sind als die natürlichen
>> Zahlen, die nat. Zahlen sind dann ganz schlicht eine Teilmenge (ein
>> Anfangsstück) solcher Wohlordnungen.
>
> Nein, die natuerlichen Zahlen sind keine Wohlordnung.
Falls die Peano-Axiome gelten sind sie es doch!
Christopher Creutzig
> Am Tue, 31 Jul 2007 19:30:41 +0200 schrieb Florian Schmidt:
>> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>
> Richtig
>
>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
>> Eigenschaften
>
> Eher nein.
Definitiv ja. Schau Dir bitte die Definition des Begriffs „Relation“ an.
>>> Alle Elemente der Reihe nach aufzählen.
>> Nein, der Begriff der Wohlordnung ist aber durch dieses Aufzaehlen der
>> natuerlichen Zahlen [und das Ordnen beliebiger Sammlungen von Objekten]
>> inspiriert.
>
> Das "der Reihe nach" gilt auch im Transfiniten
Eine Wohlordnung gibt jedem Element genau einen Nachfolger, das kann
man so sagen. Aber keineswegs jedes Element hat einen Vorgänger. Es kann
beliebig viele Limeszahlen geben, und die erreichst Du beim „der Reihe
nach aufzählen“ einfach nicht.
>> Nein, weder die natuerlichen Zahlen [was soll "die natuerlichen Zahlen" hier
>> genau bedeuten: Jede natuerliche Zahl?], noch die Menge der natuerlichen
>> Zahlen stellen eine Wohlordnung dar..
>
> Nicht wirklich?
Nein. Die übliche Ordnung der natürlichen Zahlen ist eine Wohlordnung.
Die natürlichen Zahlen sind keine Relation, also auch keine Wohlordnung.
--
if all this stuff was simple, we'd
probably be doing something else. -- Daniel Lichtblau, s.m.symbolic
Dieter Schuster
> Am Tue, 31 Jul 2007 13:42:13 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>> Am Tue, 31 Jul 2007 13:14:36 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>>
>>>> Peter Niessen wrote:
>>>>
>>>>> Am Mon, 30 Jul 2007 17:19:53 +0200 schrieb Dieter Schuster:
>>>>>
>>>>>>> Und warum sollte das nur für endlichen oder abzählbare Mengen
>>>>>>> gelten? Hast du einen Beweis?
>>>>>>
>>>>>> Du willst eine überabzählbare Menge aufzählen? Oder verstehe ich eure
>>>>>> Methode falsch?
>>>>>
>>>>> Warum nicht?
>>>>> Ich kann dir bei Bedarf eine passende Menge nennen.
>>>>> Überabzählbar heisst ja nicht das die Menge überhaupt nicht "zählbar"
>>>>> ist (besser formuliert: nicht wohlordbar ist). Das bedeutet nur:
>>>>
>>>> Die reellen Zahlen R sind überabzählbar. Ein Wohlordnung ist eine total
>>>> geordnete Menge, deren nichtleeren Teilmengen ein kleinstes Element
>>>> haben.
>>>
>>> Und was hat das mit überabzählbar zu tun?
>>> Es ist trivial überabzählbare Wohlordnungen anzugeben.
>>
>> Beispiel?
>
> Gerne:
> Die Menge abzählbaren Ordinalzahlen ist überabzählbar und trivialerweise
> eine wohlgeordnete Menge.
Danke.
> Ich denke mal: An diesem Punkt sage ich erstmal STOPP!
Ich auch, da ich gemerkt habe, daß wir über verschiedenes sprechen wollen.
> Denn du verstehst ganz offensichtlich nicht worum es hier überhaupt geht.
Um potentiell und aktual unendliche Mengen.
Dieter Schuster
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>>
>> "Die Menge M Laesst sich wohlordnen" bedeutet:
>> Es existiert eine Wohlordnung fuer M.
>>
> Das ist tautologisch.
>
Das ist eine /Definition/. "Hinterher" sind alle Definitionen
"tautologisch".
>>
>> [Diese] Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M
>> mit einigen [d. h. best.] Eigenschaften
>>
> Eher nein.
>
"Eher" ja.
>>
>> [...] weder die natuerlichen Zahlen [was soll "die natuerlichen Zahlen"
>> hier genau bedeuten: Jede natuerliche Zahl?], noch die Menge der natuer-
>> lichen Zahlen stellen eine Wohlordnung dar.
>>
> Nicht wirklich?
>
Doch, doch, wirklich.
>
> Ganz genauso [blubber].
>
Die Menge der natürlichen Zahlen ist zwar /wohlgeordnet/, aber selbst
keine Wohlordnung.
>>
>> [...] die natuerlichen Zahlen sind keine Wohlordnung.
>>
> Falls die Peano-Axiome gelten sind sie es doch!
>
Nein. (Mit den Peano-Axiomen, oder was auch immer, hat das nichts zu
tun. Auch die Peano-Axiome machen aus der Zahl 0 kein Auto.)
Karl Heinze
<didisc...@gmx.de> wrote:
>
> Um potentiell und aktual unendliche Mengen.
>
Es gibt nach meinem Dafürhalten keine "potentiell unendlichen" Mengen.
Ich seh das so: Eine Menge ist entweder endlich oder (aktual) unend-
lich.
Falls Du anderer Meinung bist, sag doch bitte, was das genau sein
soll, eine potentiell unendliche Menge.
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>
> [...] Das besagen schlicht und ergreifend die Peano-Axiome.
> Dafür braucht es keinerlei ML.
>
Nur blöd, dass die Peano _seine_ Axiome in der Sprache der ML
formuliert hat:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Bookpages/Peano10.gif
(Extract from Rivista di matematica (1895) showing the original Peano
axioms.)
ER hat dazu also sehr wohl "die Mengenlehre" gebraucht. Bei Dir mag
das ja anders sein. :-)
K. H.
P.S.
Dass auch schon Dedekind, von dem Peano zu seinen Axiomen "inspi-
riert" wurde, seine Untersuchungen in einem mengentheoretischen
Kontext durchgeführt hat, sei nur am Rande erwähnt.
Christopher Creutzig
> Das ist eine /Definition/. "Hinterher" sind alle Definitionen
> "tautologisch".
Sätze auch. Irgendwie schon schräg, aus dem Blickwinkel betrachtet. :-)
Karl Heinze
<chris...@creutzig.de> wrote:
> Karl Heinze wrote:
>>
>> Das ist eine /Definition/. "Hinterher" sind alle Definitionen
>> "tautologisch".
>>
> Sätze auch. [...]
>
Achselzuck. Ich bin mir nicht sicher, ob wir das gleiche meinen.
Ich meinte das so: Wenn wir z. B. den das Prädikat "...ist leer" wie
folgt definieren:
A ist leer :<-> ~Ex(x e A),
dann gilt aufgrund dieser Definition unmittelbar (für alle A):
A ist leer <-> ~Ex(x e A).
Ja, in der Tat, dann besagt "A ist leer" nichts anderes als "~Ex(x e
A)". Die Aussage "A ist leer, wenn es kein Element in A gibt." ist
(dann) also "analytisch" (Niessen: "tautologisch").
Das "analytische" (Niessen: "tautologische") bezieht sich hier also
auf die "Bedeutungsgleichheit" von
"A ist leer"
und
"~Ex(x e A)".
Die /Definition/ "klopft" das also fest. Das meinte ich mit:
"Hinterher" sind alle Definitionen "tautologisch".
Dieter Schuster
> On Wed, 01 Aug 2007 10:16:15 +0200, Dieter Schuster
> <didisc...@gmx.de> wrote:
>
>>
>> Um potentiell und aktual unendliche Mengen.
>>
> Es gibt nach meinem Dafürhalten keine "potentiell unendlichen" Mengen.
> Ich seh das so: Eine Menge ist entweder endlich oder (aktual) unend-
> lich.
Sehe ich genauso.
> Falls Du anderer Meinung bist, sag doch bitte, was das genau sein
> soll, eine potentiell unendliche Menge.
Über die Existenz potentiell unendlicher Mengen habe ich mich bisher gar
nicht ausgelassen.
Ich bin nur auf das Zitat von Aristoteles eingegangen. Dieses sagt für mich,
das es höchstens potentiell unendliche Mengen gibt. Doch die Beschreibung
dieser unendlichen Mengen erfaßt für mich nicht die überabzählbaren Mengen.
Das schrieb ich aber bereits.
Aristoteles hat also bei seiner Aussage nicht an alle uns bekannten Mengen
gedacht.
Dieter Schuster
Karl Heinze
<didisc...@gmx.de> wrote:
>>
>> Es gibt nach meinem Dafürhalten keine "potentiell unendlichen" Mengen.
>> Ich seh das so: Eine Menge ist entweder endlich oder (aktual) unend-
>> lich.
>>
> Sehe ich genauso.
>
> Ich bin nur auf das Zitat von Aristoteles eingegangen. Dieses sagt für mich,
> das es höchstens potentiell unendliche Mengen gibt.
>
Huh? Eben sagtest Du noch, dass ... --- aber egal, wenn Aristoteles'
Zitat das Deiner Meinung nach besagt, kannst Du doch sicher auch
erklären, was eine "potentiell unendliche Menge" ist; i c h kann mir
darunter nichts vorstellen; und da mir der Begriff auch nicht geläufig
ist, verstehe ich auch nicht den Sinn Deiner Aussage.
Ich kann's nur nochmal wiederholen: Aristoteles spricht von
_endlichen_ "Mengen":
"Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
>>
>> Kurz, nicht {1, 2, 3, ...} wohl aber
>>
>> {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...
>>
>
> Doch die Beschreibung dieser unendlichen Mengen ...
>
*Himmel* Lies doch bitte nochmal, was Aristoteles oben sagt: Er
spricht gerade NICHT von _unendlichen_ "Mengen".
"[...] Mit seiner Definition wendet Aristoteles sich gegen die
Vorstellung einer "aktualen" Unendlichkeit, d. h. gegen die
Vorstellung einer unendlich großen Menge, die als ganzes vorliegt. Ihm
zufolge gibt es nur "potentielle" Unendlichkeiten, d. h. Mengen, zu
denen immer wieder ein weiteres Element hinzugefügt werden kann. Diese
sind jedoch niemals vollständig vorhanden."
http://de.wikipedia.org/wiki/Physik_%28Aristoteles%29
>
> erfaßt für mich nicht die überabzählbaren Mengen.
>
Du bist ein echter Blitzmerker ;-) : Ja, wenn wir über _endliche_
Mengen reden, dann reden wir in der Tat nicht über _überabzählbare_
Mengen; denn letztere sind bekanntlich (aktual) unendlich.
Aristoteles lehnte aber das "aktual Unendliche" _explizit_ ab.
Rainer Rosenthal
> Karl Heinze wrote:
>
>
>>Das ist eine /Definition/. "Hinterher" sind alle Definitionen
>>"tautologisch".
>
>
> Sätze auch. Irgendwie schon schräg, aus dem Blickwinkel betrachtet. :-)
>
Erinnert mich an die Geschichte von dem erfolgreich gejagten
Verbrecher W, der als Person Z identifiziert und vom Gericht
als der Übeltäter bestätigt wird.
Ein Logiker kann sich da natürlich nur scheckig lachen, denn
es war ja nun wirklich voll trivial festzustellen, dass jemand
mit sich selbst identisch ist.
(Leider hat die Geschichte ein Nachspiel: der Logiker musste
von Männern in Weiss abgeführt werden, nachdem er erfuhr, dass
Verdacht auf Schizophrenie bei ihm bestünde.)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
P.S. Das war im Grunde ein *sehr* mathematischer Beitrag *g*.
Karl Heinze
<r.ros...@web.de> wrote:
>
> P.S. Das war im Grunde ein *sehr* mathematischer Beitrag *g*.
>
Aber nur "im Grunde". :-)
Dieter Schuster
> On Wed, 01 Aug 2007 13:16:48 +0200, Dieter Schuster
> <didisc...@gmx.de> wrote:
>
>>> Es gibt nach meinem Dafürhalten keine "potentiell unendlichen" Mengen.
>>> Ich seh das so: Eine Menge ist entweder endlich oder (aktual) unend-
>>> lich.
>>>
>> Sehe ich genauso.
>>
>> Ich bin nur auf das Zitat von Aristoteles eingegangen. Dieses sagt für
>> mich, das es höchstens potentiell unendliche Mengen gibt.
>>
> Huh? Eben sagtest Du noch, dass ... --- aber egal, wenn Aristoteles'
Ich muß nicht den Wahrheitsgehalt jeder (miß-)verstandenen Aussage teilen.
> Zitat das Deiner Meinung nach besagt, kannst Du doch sicher auch
> erklären, was eine "potentiell unendliche Menge" ist; i c h kann mir
> darunter nichts vorstellen; und da mir der Begriff auch nicht geläufig
> ist, verstehe ich auch nicht den Sinn Deiner Aussage.
>
> Ich kann's nur nochmal wiederholen: Aristoteles spricht von
> _endlichen_ "Mengen":
>
> "Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
> anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
> immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
Du kannst aber unendlichviele Verschiede nehmen kannst (vgl. nat. Zahlen),
und ich dachte er redet über die Gesammtheit der Verschiedenen und jedes
für sich sei nur endlich. Und diese Gesammtheit ließe sich als potentiell
unendlich bezeichnen.
Diese Diskussion führt uns, oder zumindest mich, nicht weiter. Ich denke wir
brechen sie besser ab.
Dieter Schuster
Jan Fricke
> On Wed, 01 Aug 2007 10:16:15 +0200, Dieter Schuster
> <didisc...@gmx.de> wrote:
>
>> Um potentiell und aktual unendliche Mengen.
>>
> Es gibt nach meinem Dafürhalten keine "potentiell unendlichen" Mengen.
> Ich seh das so: Eine Menge ist entweder endlich oder (aktual) unend-
> lich.
>
> Falls Du anderer Meinung bist, sag doch bitte, was das genau sein
> soll, eine potentiell unendliche Menge.
Ein typischer Fall von: "Da sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht!"
Das beste Beispiel für eine potentiell unendliche Menge sehen wir doch
vor uns: diese Diskussion! Beweis: aus offensichtlichen Gründen kann sie
nicht (aktual) unendlich sein (Raum-, Zeit- und Speicherschranken), aber
sie hört nie auf, kann also nicht endlich sein. (Alternativer Beweis:
Hat jemand beim Thema dieser Diskussion gedacht: "Na endlich!"? Keiner?
q.e.d.)
Viele Grüße Jan
Karl Heinze
<jfr...@math.uni-jena.de> wrote:
>>
>> Es gibt nach meinem Dafürhalten keine "potentiell unendlichen" Mengen.
>> Ich seh das so: Eine Menge ist entweder endlich oder (aktual) unend-
>> lich.
>>
>> Falls Du anderer Meinung bist, sag doch bitte, was das genau sein
>> soll, eine potentiell unendliche Menge.
>>
> Ein typischer Fall von: "Da sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht!"
> Das beste Beispiel für eine potentiell unendliche Menge sehen wir doch
> vor uns: diese Diskussion! Beweis: aus offensichtlichen Gründen kann sie
> nicht (aktual) unendlich sein (Raum-, Zeit- und Speicherschranken), aber
> sie hört nie auf, kann also nicht endlich sein. (Alternativer Beweis:
> Hat jemand beim Thema dieser Diskussion gedacht: "Na endlich!"? Keiner?
> q.e.d.)
>
Dein Argument hat mich BEINAHE überzeugt! Ich hab aber dann -nach
einigem Hin und Her- doch noch ein _Gegenbeispiel_ gefunden!
Beweis: Na endlich! qed.
:-)
Christopher Creutzig
> Ein Logiker kann sich da natürlich nur scheckig lachen, denn
> es war ja nun wirklich voll trivial festzustellen, dass jemand
> mit sich selbst identisch ist.
Genauso, wie es absolut trivial ist, Tautologien wie FLT zu zeigen,
nicht wahr? :-)
Karl Heinze
<chris...@creutzig.de> wrote:
>
> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Ein Logiker kann sich da natürlich nur scheckig lachen, denn
>> es war ja nun wirklich voll trivial festzustellen, dass jemand
>> mit sich selbst identisch ist.
>>
> Genauso, wie es absolut trivial ist, Tautologien wie FLT zu zeigen,
> nicht wahr? :-)
>
"Mathematicians can prove only trivial theorems, because every theorem
that is proved is trivial."
(Richard Feynman, Surely You're Joking Mr. Feynman, p. 70)
Karl Heinze
<chris...@creutzig.de> wrote:
>
> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Ein Logiker kann sich da natürlich nur scheckig lachen, denn
>> es war ja nun wirklich voll trivial festzustellen, dass jemand
>> mit sich selbst identisch ist.
>>
> Genauso, wie es absolut trivial ist, Tautologien wie FLT zu zeigen,
> nicht wahr? :-)
>
Es gibt wirklich jemanden, der diese Meinung (also dass FLT trivial
ist) allen Ernstes vertritt (kein Scherz):
"I have a meta-proof that FLT is trivial. After all, a mere human
(even though a very talented as far as humans go), with a tiny RAM,
disk-space, and very unreliable circuitry, did it. So any theorem that
a human can prove is, ipso facto, utterly trivial."
(Doron Zeilberger, Opinion 36: Don't Ask: What Can The Computer do for
ME?, But Rather: What CAN I do for the COMPUTER?)
K. H.
Source:
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion36.html
Karl Heinze
wrote:
>>
>> Rainer Rosenthal wrote:
>>
>>> Ein Logiker kann sich da natürlich nur scheckig lachen, denn
>>> es war ja nun wirklich voll trivial festzustellen, dass jemand
>>> mit sich selbst identisch ist.
>>>
>> Genauso, wie es absolut trivial ist, Tautologien wie FLT zu zeigen,
>> nicht wahr? :-)
>>
> Es gibt wirklich jemanden, der diese Meinung (also dass FLT trivial
> ist) allen Ernstes vertritt (kein Scherz):
>
> "I have a meta-proof that FLT is trivial. After all, a mere human
> (even though a very talented as far as humans go), with a tiny RAM,
> disk-space, and very unreliable circuitry, did it. So any theorem that
> a human can prove is, ipso facto, utterly trivial."
>
> (Doron Zeilberger, Opinion 36: Don't Ask: What Can The Computer do for
> ME?, But Rather: What CAN I do for the COMPUTER?)
>
Durchaus ernsthaft wird das Thema hier behandelt:
Timothy Gowers, What counts as a trivial piece of mathematics?
http://www.dpmms.cam.ac.uk/%7Ewtg10/zeilberger.html
K. H.
Florian Schmidt
>> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>
> Richtig
>
>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
>> Eigenschaften
>
> Eher nein.
> Ausser du meinst etwas triviales:
> Sei w eine Wohlordnung dann induziert auch die Funktion f:w -> x
> eine Wohlordnung von x falls es denn eine Bijektion gibt. Aber dieses w
> inklusive Funktion musst du erst mal finden!
Ich weiss nicht, was du da redest.
Sei M = {a,b,c,d}
Nun ist z.B.
O_1 = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
eine Ordnung..
Flo
--
Palimm Palimm!
http://tapas.affenbande.org
Hero
> Bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass die Mathematik nie mit
> "variablen Größen" zu tun hat, in dem Sinn, dass eine "Variable" x
> nicht eine Größe ist, die variiert.
So ganz versteh ich Deinen Satz nicht.
Es ging ja darum, dass eine Funktion als Paare geordneter Zahlen und
somit ganz über Mengen definiert überhaupt keine veränderliche Grösse
mehr hat.
Aber ich habe mich schrecklich geärgert, dass mir jetzt kein Argument
zugunsten des Bürgerrechts veränderlicher Grössen in der Mathematik
einfiel. Nichts gegen die Mengenlehre, nichts gegen die Definition
einer Funktion als Paare geordneter Zahlen, aber das kann doch nicht,
dass Zenos Argumente stimmen, dass Bewegung
unmöglich ist, jedenfalls in der Mathematik.
Aber schliesslich hat's doch gefunkt. Da dies nicht hierher gehört
mach ich mal nen
neuen Thread auf:
Haben veränderliche Grössen kein Bürgerrecht mehr in der Mathematik?
Ach ja, schönen Dank für die Zitate und auch Deine Argumente.
Mit vielem bin ich sehr einverstanden.
Mit freundlichen Grüßen
Hero
Karl Heinze
wrote:
>>
>> Bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass die Mathematik nie mit
>> "variablen Größen" zu tun hat, in dem Sinn, dass eine "Variable" x
>> nicht eine Größe ist, die variiert.
>>
> So ganz versteh ich Deinen Satz nicht.
> Es ging ja darum, dass eine Funktion als Paare geordneter Zahlen und
> somit ganz über Mengen definiert überhaupt keine veränderliche Grösse
> mehr hat.
>
So ist es.
>
> Aber ich habe mich schrecklich geärgert, dass mir jetzt kein Argument
> zugunsten des Bürgerrechts veränderlicher Grössen in der Mathematik
> einfiel. Nichts gegen die Mengenlehre, nichts gegen die Definition
> einer Funktion als Paare geordneter Zahlen, aber das kann doch nicht,
> dass Zenos Argumente stimmen, dass Bewegung unmöglich ist, jedenfalls
> in der Mathematik.
>
Eigentlich hat Zeno schon recht... ;-)
Die Mathematik kennt, wenn ich das recht sehe, (im Grunde) keine
Dynamik. Die wird sozusagen nur "hineingedacht". ;-)
Wenn ich eine Vektor x(t) habe, der die Bewegung eine Massenpunkts im
Raum (abhängig von der Zeit) beschreibt, so bewegt sich da nix.
Formeln sind schon mal per se "statische" Objekte und auch Funktionen,
etc. "bewegen" sich nicht. Und irgendwelche Variablen, also Symbole
"wachsen" auch nicht, etc. etc. Diese Begriffe werden auf durchaus
"statische" (mathem.) Objekte angewandt (wenn man z. B. vom "Wachstum"
einer Funktion spricht, etc.)
>
> Haben veränderliche Grössen kein Bürgerrecht mehr in der Mathematik?
>
Scheint mir mehr etwas für die Philosophie (der Mathematik) zu sein.
Gottlob Frege hat m. E. dazu "alles Wesentliche" in "Was ist eine
Funktion?" gesagt. Vielleicht kannst Du den Text (Aufsatz) ja irgendwo
auftreiben?
(Zu finden in "Funktion, Begriff, Bedeutung. Fünf logische Studien"
von Gottlob Frege, Vandenhoeck & Ruprecht.)
Robert Figura
Karl Heinze <nomail@invalid> schrieb:
> Die Mathematik kennt, wenn ich das recht sehe, (im Grunde) keine
> Dynamik. Die wird sozusagen nur "hineingedacht". ;-)
Ich bin fast geneigt, dem zuzustimmen. Für die klassischen
Problemstellungen hat die Mathematik schließlich genau das geleistet.
Was ist jedoch mit Problemen die sich nur iterativ behandeln lassen, da
die Gesamtmenge nicht berechenbar ist[1]. Zugegeben, das ist quasi
praktischer Natur, aber hier ist die Dynamik omnipräsent.
[1] Zelluläre Automaten, Turingmaschinen, etc.
Und die Physik macht es dann selbst wieder zum Thema, etwa im Rahmen
der Quantenmechanik. Hier geht es dann an die Grundlagen der
Kausalität, die ja notwendig ist um Zeitlosigkeit zu rechtfertigen.
http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0401052
Auch sind wir Menschen ja gezwungen unsere Entdeckungen mit der Zeit zu
machen. Etwa: Wird ein Theorem erst durch dessen Beweis wahr?
Philosophisch oder absolut gesehen (geht das überhaupt?) drängt es zu
der Aussage: Es gibt keine Zeit. Rein mathematisch gesehen gibt es Zeit
sehr wohl und insbesondere als Variable, und Variablen haben viele
Gesichter.
Wir arrangiert man sich damit?
Sehr gefallen hat mir die historische Entwicklung um das Auswahlaxiom
herum. Es sieht harmlos aus. Es gebiert Monster. Ist es wahr? Es ist
weder wahr noch falsch?! Es ist einfach schrecklich uninstruktiv.
Konstruierbare Mengen geben ein Beispiel wann es sinnvoll ist, daß es
wahr ist. Deterministische Mengen ein Beispiel für das Gegenteil. Und
alles wird klar.
Grüße
- Robert Figura
--
/* mandlsig.c v0.23 (c) by Robert Figura */
I=1702;float O,o,i;main(l){for(;I--;putchar("oO .,m>cot.bitamea\
@urigrf <raguFit erobR"[I%74?I>837&874>I?I^833:l%5:5]))for(O=o=l=
0;O*O+o*o<(16^l++);o=2*O*o+I/74/11.-1,O=i)i=O*O-o*o+I%74*.04-2.2;}
Christopher Creutzig
> Was ist jedoch mit Problemen die sich nur iterativ behandeln lassen, da
> die Gesamtmenge nicht berechenbar ist[1]. Zugegeben, das ist quasi
> praktischer Natur, aber hier ist die Dynamik omnipräsent.
Berechenbarkeit ist in der „reinen“ Mathematik eher irrelevant.
Mathematiker schreiben induktive Vorgänge auch statisch auf,
typischerweise mit so etwas wie x_{i+1} = f(x_i). Und dann behandeln sie
die Gesamtheit der so definierten x_i. Selbst Numeriker machen das.
Natürlich gibt es Berührungspunkte zur Praxis. Die meisten guten
Mathematiker sind durchaus dazu in der Lage, aus solchen abstrakten
Überlegungen Folgerungen für das Endliche abzuleiten und einen
Algorithmus zu formulieren. Die praktische Erfahrung, das Ganze in
Produktionscode zu gießen, haben natürlich an der Uni nur wenige. Das
ist aber auch schlichtweg nicht das Ziel dort.
> Und die Physik macht es dann selbst wieder zum Thema, etwa im Rahmen
Physik ist heutzutage kein Teilgebiet der Mathematik. :-)
> Auch sind wir Menschen ja gezwungen unsere Entdeckungen mit der Zeit zu
> machen. Etwa: Wird ein Theorem erst durch dessen Beweis wahr?
Nein. (Aber das ist nur meine Meinung.)
Karl Heinze
<nc-fi...@netcologne.de> wrote:
>
> Auch sind wir Menschen ja gezwungen unsere Entdeckungen mit der Zeit zu
> machen. Etwa: Wird ein Theorem erst durch dessen Beweis wahr?
>
Gottlob Frege hat sich einmal genau zu dieser Frage geäußert:
»Ein drittes Reich muß anerkannt werden. Was zu diesem gehört,
stimmt mit den Vorstellungen darin überein, daß es nicht mit
den Sinnen wahrgenommen werden kann, mit den Dingen aber darin,
daß es keines Trägers bedarf, zu dessen Bewußtseinsinhalte es
gehört. So ist z. B. der Gedanke, den wir im pythagoreischen
Lehrsatz aussprachen, zeitlos wahr, unabhängig davon wahr, ob
irgendjemand ihn für wahr hält. Er bedarf keines Trägers. Er
ist wahr nicht erst, seitdem er entdeckt worden ist, wie ein
Planet, schon bevor jemand ihn gesehen hat, mit andern Planeten
in Wechselwirkung gewesen ist.«
(Gottlob Frege, Der Gedanke, 1918)
Es ist klar, dass sich hier Frege als "Begriffsrealist" (->Platonist)
reinsten Wassers outet. Aber Du hattest eine Frage gestellt, und...
:-)
Peter Niessen
> Peter Niessen wrote:
>> Am Tue, 31 Jul 2007 19:30:41 +0200 schrieb Florian Schmidt:
>
>>> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>>
>> Richtig
>>
>>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
>>> Eigenschaften
>>
>> Eher nein.
>
> Definitiv ja. Schau Dir bitte die Definition des Begriffs „Relation“ an.
>
>>>> Alle Elemente der Reihe nach aufzählen.
>>> Nein, der Begriff der Wohlordnung ist aber durch dieses Aufzaehlen der
>>> natuerlichen Zahlen [und das Ordnen beliebiger Sammlungen von Objekten]
>>> inspiriert.
>>
>> Das "der Reihe nach" gilt auch im Transfiniten
>
> Eine Wohlordnung gibt jedem Element genau einen Nachfolger, das kann
> man so sagen. Aber keineswegs jedes Element hat einen Vorgänger.
Was ja auch nicht behauptet wurde.
Eine Wohlordnund ist eine transitive vollständige Ordnung bei der bezüglich
der Ordnungsregel (es gibt viele) jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes
Element hat.
> Es kann
> beliebig viele Limeszahlen geben, und die erreichst Du beim „der Reihe
> nach aufzählen“ einfach nicht.
Hm
Das ist mir schon klar. Nur deshalb habe ich beim Versuch der Erklärung
auch gesagt: "STOPP wo kann ich dich abholen?"
Es wäre ja auch ein schlichtes Wunder wenn transfinite Zahlen den gleichen
Regeln gehorchen würden wie finite Zahlen.
Dabei haben wir noch gar nicht festgenagelt:
Was ist eine Zahl? Was soll das bedeuten?
>>> Nein, weder die natuerlichen Zahlen [was soll "die natuerlichen Zahlen" hier
>>> genau bedeuten: Jede natuerliche Zahl?], noch die Menge der natuerlichen
>>> Zahlen stellen eine Wohlordnung dar..
>>
>> Nicht wirklich?
>
> Nein. Die übliche Ordnung der natürlichen Zahlen ist eine Wohlordnung.
> Die natürlichen Zahlen sind keine Relation, also auch keine Wohlordnung.
Das finde ich übertrieben.
Klar: Man kann anmerken dass die Bemerkung "salopp" ist, aber das die nat.
Zahlen das klassische Beispiel einer Wohlordnung sind, sollte auch ohne bis
ins letzte ausgefeilte Definitionen klar sein.
Man muss den Formalismus nicht auf die Spitze treiben, denn das befördert
keinesfalls das Verständniss.
Peter Niessen
>>> [...] die natuerlichen Zahlen sind keine Wohlordnung.
>>>
>> Falls die Peano-Axiome gelten sind sie es doch!
>>
> Nein. (Mit den Peano-Axiomen, oder was auch immer, hat das nichts zu
> tun. Auch die Peano-Axiome machen aus der Zahl 0 kein Auto.)
Das wird albern.
Die natürlichen Zahlen sind eine Wohlordnung.
Da muss man nicht über Relationen philosophieren sondern begreifen was die
natürlichen Zahlen sind.
Peter Niessen
Es ist keine! Wo ist die Regel?
Endliche Mengen sind langweilig
Gebe doch mal die Ordnungsfunktion der im Intervall [0,1] stetigen
Funktionen an.
Peter Niessen
> Du kannst aber unendlichviele Verschiede nehmen kannst (vgl. nat. Zahlen),
> und ich dachte er redet über die Gesammtheit der Verschiedenen und jedes
> für sich sei nur endlich. Und diese Gesammtheit ließe sich als potentiell
> unendlich bezeichnen.
Grantel
Nach Aristoteles ist die Menge der natürlichen Zahlen undenkbar!
Es gibt sie ganz einfach nicht.
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>
> Nach Aristoteles ist die Menge der natürlichen Zahlen undenkbar!
> Es gibt sie ganz einfach nicht.
>
So ist es.
Es ist seltsam, dass manche Menschen, einfachste Aussagen nicht zu
verstehen scheinen.
"Überhaupt existiert das Unendliche nur in dem Sinne, dass immer ein
anderes und wieder ein Anderes genommen wird, das eben Genommene aber
immer ein Endliches, jedoch immer ein Verschiedenes und wieder ein
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Verschiedenes ist." (Aristoteles, Physik, 3. Buch)
Ist die Menge der natürlichen Zahlen endlich? Nein. Also...?!
Ralf Bader
> Am Wed, 01 Aug 2007 18:59:08 +0200 schrieb Florian Schmidt:
>
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>>> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>>>
>>> Richtig
>>>
>>>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
>>>> Eigenschaften
>>>
>>> Eher nein.
>>> Ausser du meinst etwas triviales:
>>> Sei w eine Wohlordnung dann induziert auch die Funktion f:w -> x
>>> eine Wohlordnung von x falls es denn eine Bijektion gibt. Aber dieses w
>>> inklusive Funktion musst du erst mal finden!
>>
>> Ich weiss nicht, was du da redest.
>>
>> Sei M = {a,b,c,d}
>>
>> Nun ist z.B.
>>
>> O_1 = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
>>
>> eine Ordnung..
>
> Es ist keine! Wo ist die Regel?
Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM, und O_1 ist eine
(strikte) Ordnungsrelation. Und zwar aufgrund der Definition, in der von
deiner herbeiphantasierten Regel keine Rede ist. Schreibe diesen Satz
100mal ab.
> Endliche Mengen sind langweilig
Dein Gefasel auch.
> Gebe doch mal die Ordnungsfunktion der im Intervall [0,1] stetigen
> Funktionen an.
Oh mei.
Ralf
Karl Heinze
<peter-...@arcor.de> wrote:
>>
>> Ich weiß nicht, was du da redest.
>>
Tja, das weiß wohl keiner so genau. :-)
>>
>> Sei M = {a,b,c,d}
>>
>> Nun ist z.B.
>>
>> O_1 = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
>>
>> eine Ordnung..
>>
> Es ist keine!
>
Doch, doch es ist ein. Oder doch zumindest -abhängig von der zugrunde
gelegten Definition- beinahe eine.
Also nach der _mir_ bekannten Definition müsste man noch die Elemente
(a,a), (b,b), (c,c) und (d,d) mit hinzunehmen. (Ich nehme aber nicht
an, dass Du d a s gemeint hast hier. :-)
Danach wäre dann
0_2 = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
eine Ordnung.
>
> Wo ist die Regel?
>
Äh, wie meinen? Hier geht es nicht um "Regeln", sondern
"Definitionen".
Also: Eine /Ordnung/ in einer Menge M ist eine reflexive,
antisymmetrische, transitive Relation in M.
Mit anderen Worten:
R c M x M ist eine Ordnung in M gdw.
1. Ax e M: (x,x) e R
2. AxAy e M: (x,y) e R & (y,x) e R -> x = y
3. AxAyAz e M: (x,y) e R & (y,z) e R -> (x,z) e R
Du kannst leicht (selbst) nachprüfen, dass die oben angegebene
Relation 0_2 eine Ordnung in M ist.
Wenn wir mal statt "0_2" einfach "{" schreiben, und auch (x,y) e 0_2
( bzw. (x,y) e { ) mit x { y abkürzen, dann gilt insbesondere:
a { b { c { d.
(-wenn wir hier x { y { z als x { y & y { z lesen, usw.)
Die Menge M ist durch '{' geordnet. Dabei ist a das kleinste und d das
größte Element.
K. H.
P.S.
Ja, ja, endliche Mengen sind "langweilig". Sonst noch was? :-o
Peter Niessen
> Peter Niessen wrote:
>
>> Am Wed, 01 Aug 2007 18:59:08 +0200 schrieb Florian Schmidt:
>>
>>> Peter Niessen wrote:
>>>
>>>>> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>>>>
>>>> Richtig
>>>>
>>>>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
>>>>> Eigenschaften
>>>>
>>>> Eher nein.
>>>> Ausser du meinst etwas triviales:
>>>> Sei w eine Wohlordnung dann induziert auch die Funktion f:w -> x
>>>> eine Wohlordnung von x falls es denn eine Bijektion gibt. Aber dieses w
>>>> inklusive Funktion musst du erst mal finden!
>>>
>>> Ich weiss nicht, was du da redest.
>>>
>>> Sei M = {a,b,c,d}
>>>
>>> Nun ist z.B.
>>>
>>> O_1 = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
>>>
>>> eine Ordnung..
>>
>> Es ist keine! Wo ist die Regel?
>
> Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM, und O_1 ist eine
> (strikte) Ordnungsrelation. Und zwar aufgrund der Definition, in der von
> deiner herbeiphantasierten Regel keine Rede ist. Schreibe diesen Satz
> 100mal ab.
Gerne!
Aber du musst mir erklären warum obiges eine Wohlordnung ist. Ich sehe da
nur reine Willkür.
Warum soll gelten (a,b)<(a,c) und erst recht (a,b)<(c,d)?
Ralf Bader
> Am Wed, 01 Aug 2007 18:59:08 +0200 schrieb Florian Schmidt:
>
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>>> Die Wohlordnung ist eine spezielle Relation,
>>>
>>> Richtig
>>>
>>>> und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts M x M mit einigen
>>>> Eigenschaften
>>>
>>> Eher nein.
>>> Ausser du meinst etwas triviales:
>>> Sei w eine Wohlordnung dann induziert auch die Funktion f:w -> x
>>> eine Wohlordnung von x falls es denn eine Bijektion gibt. Aber dieses w
>>> inklusive Funktion musst du erst mal finden!
>>
>> Ich weiss nicht, was du da redest.
>>
>> Sei M = {a,b,c,d}
>>
>> Nun ist z.B.
>>
>> O_1 = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
>>
>> eine Ordnung..
>
> Es ist keine! Wo ist die Regel?
Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM, und O_1 ist eine
(strikte) Ordnungsrelation. Und zwar aufgrund der Definition, in der von
deiner herbeiphantasierten Regel keine Rede ist. Schreibe diesen Satz
100mal ab.
> Endliche Mengen sind langweilig
Dein Gefasel auch.
> Gebe doch mal die Ordnungsfunktion der im Intervall [0,1] stetigen
> Funktionen an.
Oh mei. Nur mal so als Beispiel: Sei B_n die langweilige Menge der binären
Bäume mit n (eine natürliche Zahl) Blättern. (Es gab hier mal ja einen, der
mächtig herumgeschwurbelt hat mit binären Bäumen). Na, wieviele Elemente
umfaßt diese langweilige Menge?
Ralf
Ralf Bader
Daß (a,b)in der Relation ist, bedeutet a<b. In der Ordnung O_1 ist a<b<c<d.
Ralf
Karl Heinze
wrote:
>>>
>>> Sei M = {a,b,c,d}
>>>
Dann ist:
>
> 0_2 = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
>
> eine Ordnung.
>
> Denn: Eine /Ordnung/ in einer Menge M ist eine reflexive,
> antisymmetrische, transitive Relation in M.
>
> Mit anderen Worten:
>
> R c M x M ist eine Ordnung in M gdw.
>
> 1. Ax e M: (x,x) e R,
> 2. AxAy e M: (x,y) e R & (y,x) e R -> x = y,
> 3. AxAyAz e M: (x,y) e R & (y,z) e R -> (x,z) e R.
>
> Man kann nun leicht (selbst) nachprüfen, dass die oben angegebene
> Relation 0_2 eine Ordnung in M ist.
>
> Wenn wir mal statt "0_2" einfach "{" schreiben, und auch (x,y) e 0_2
> ( bzw. (x,y) e { ) mit x { y abkürzen, dann gilt insbesondere:
>
> a { b { c { d.
>
> (-wenn wir hier x { y { z als x { y & y { z lesen, etc.)
>
> Die Menge M ist durch '{' geordnet. Dabei ist a das kleinste und d das
> größte Element.
>
M ist durch R sogar (offensichtlich) wohlgeordnet: Jede nichtleere
Teilmenge von M besitzt (bezüglich dieser 0rdnung) ein kleinstes
Element.
K. H.