schneidende parallelen
Mirko Rische
mein mathelehrer hat neulich erzählt, dass es eigentlich keine parallelen
geraden gibt. parallele geraden schneiden sich durch die raumkrümmung in der
unendlichkeit.
stimmt das??
Mirko
Marco Funk
Finds doch raus.
Zieh am besten zwei unendlich lange "lokal" parallele Geraden, kauf dir ein
gutes Teleskop und sieh den beiden nach.
Wenn du den Schnittpunkt (jwd) sehen kannst, dann hatte dein Mathelehrer
offensichtlich recht
SCNR =)
Aber (halbwegs) im Ernst:
Nein!
Geraden, sind keine real existierenden Objekte, sondern nur eine (bildliche)
Verbindnug durch zwei Punkte, auf beiden Seiten ins unendliche verlängert.
Vektoren sind ja auch keine Pfeile ;-)
Überhaupt sind Geraden, wenn du sie auf ein Blatt zeichnest nicht mal
wirklich gerade. (Stichwort: Erdkrümmung)
Hier wirds dann aber schon eher philosophisch ;-)
Ich hoff mich werden meine Mathematiker-Kollegen, dafür nicht in der Luft
zerreißen =)
gute n8
Marco
Paul Ebermann
"Mirko Rische" skribis:
> mein mathelehrer hat neulich erzhlt, dass es eigentlich keine parallelen
> geraden gibt. parallele geraden schneiden sich durch die raumkr mmung in der
> unendlichkeit.
> stimmt das??
Das hängt davon ab, was du unter "gibt", "Gerade", "parallel" und
"schneiden" verstehst.
Im üblichen Modell des Raumes, also dem R^n (n n >= 2,
z.B. R^3) gibt es zu einer gegebenen Gerade durch einen
Punkt genau eine parallele Gerade (und für n > 2 eine
ganze Menge weiterer Geraden, die diese nicht schneiden).
Der R^n hat aber die Eigenschaft, nicht gekrümmt zu sein.
Nun deuten physikalische Beobachtungen darauf hin, dass
der Raum, in dem wir uns wirklich befinden, doch gekrümmt
ist - Lichstrahlen bewegen sich also nicht direkt auf
"gerader Linie", sondern werden durch Massen abgelenkt.
Hier kann es vorkommen, dass es mehrere Licht-Wege
zwischen zwei Punkten gibt - was üblicherweise nicht
vorkommen dürfte. Im Kleinen kann man das gut mit
einer Linse beobachten :-)
Um dafür jedoch etwas über parallele Geraden sagen zu
können, müssten wir erst definieren, wann Geraden
parallel sind.
In der Unendlichkeit schneiden sich solche Geraden aber
trotzdem nicht (denn die gibt es ja dann nicht).
Es gibt weitere Modelle des Raumes, in denen sich Geraden
in der Unendlichkeit schneiden - ohne, dass der Raum
hierfür gekrümmt sein müsste. Beispiele sind die
"Projektiven Räume" oder die "Ein-Punkt-Kompaktifizierung"
eines Raumes.
HTH
Paul
Paul Ebermann
> berhaupt sind Geraden, wenn du sie auf ein Blatt zeichnest nicht mal
> wirklich gerade. (Stichwort: Erdkrmmung)
Ich hoffe doch, das mein Tisch halbwegs eben ist,
nicht so krumm wie die Erde.
SCNR
Paul
Marco Funk
> > wirklich gerade. (Stichwort: Erdkrmmung)
>
> Ich hoffe doch, das mein Tisch halbwegs eben ist,
> nicht so krumm wie die Erde.
halbwegs ja. Ich meine, wenn du nicht gerade einen zig-km langen und breiten
Tisch besitzt, wird die Krümmung der Erde kaum ins Gewicht fallen.
Andererseits wäre das eine Erklärung dafür, dass Tische oft wackeln und man
etwas unterlegen muss, um das auszugleichen.
SC-auch-NR
In diesem Sinne
Merry X-Mas
Marco
Marco Moebus
ich denke, es gibt eine recht anschauliche Art, sich das zu
vergegenwärtigen, ohne dass man dazu die Raumkrümmung zu Hilfe nehmen muss.
Gehen wir davon aus, dass die Welt nur aus einer planen Ebene besteht. Dazu
haben wir (der Anschaulichkeit halber) ein 2-dimensionales
Koordinatensystem.
Nehmen wir nun an, es gibt 2 Geraden:
f(x)= 1+1*x
g(x)= 0 + 2*x
Die beiden Geraden schneiden sich nun für x=1. Je mehr sich die Werte der
Steigungen annähern, desto weiter "wandert" der Schnittpunkt weg vom
Koordinatenursprung.
Bsp.:
f(x)= 1 + 1*x
g(x)= 0 + 1.001*x
Schnittpunkt existiert bei x=1000
Werden nun die Steigungen beide gleich, so handelt es sich um Geraden in
Deinem Sinn und der Schnittpunkt beider liegt nun nur noch im Unendlichen.
Hoffe, das war ein wenig anschaulicher.
Marco
"Mirko Rische" <mirko-...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:au89dh$58g0q$1...@ID-95472.news.dfncis.de...
Horst Kraemer
Nein.
Dein Lehrer scheint von Physik und nicht von Mathematik zu reden.
Mathematik ist keine Naturwissenschaft, in der man Ueberlegungungen
darueber anstellt, ob es etwas "gibt" oder nicht. "Gerade" und "Punkt"
im Sinne der Mathematik sind Produkte des Geistes und keine
beobachtbaren Naturerscheinungen.
Wenn man wie EUKLID annimmt, dass es in der Ebene zu jeder Geraden und
jeden nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt eine weitere Gerade
gibt, die die die erste Gerade _nicht_ schneidet (Parallele), dann
schneiden sich diese Geraden halt nicht, auch nicht im Unendlichen, da
es in dieser Geometrie kein "Unendlich" gibt. Ob dies nun ein
befriedigendes Bild der Realitaet ist, sei dahingestellt.
Es gibt recht einfach zahlenmaessig fassbare Modelle der Geometrie der
Ebene, in der sich Geraden immer schneiden, in denen es also keine
Parallelen gibt. Da diese Schnittpunkte machmal nicht innerhalb der
"normalen" Ebene unserer Vorstellung liegen, sagt man halt mangels
besserer Einfaelle, dass sie sich im "Unendlichen" schneiden, wenn sie
sich ausserhalb der Ebene unserer Vorstellung schneiden.
Stell Dir einfach den "normalen" dreidimensionalen Raum unserer
Anschauung vor und betrachte saemtliche "normalen" Geraden durch einen
bestimmten Punkt, den wir "Ursprung" nennen.
Jetzt nehmen wir eine "normale" Ebene E hinzu, die nicht durch den
Ursprung geht. Alle Ursprungsgeraden, die nicht parallel zu E liegen,
schneiden E in genau einem Punkt. Weiterhin schneiden alle
Ursprungsebenen - ausser derjenigen, die parallel zu E ist - die Ebene
E in genau einer Geraden auf der Ebene.
Die Punkte in E sind dann sozusagen die Abbilder (Projektionen) aller
Ursprungsgeraden und die Geraden in E sind die Abbilder (Projektionen)
aller Ursprungsebene - mit Ausnahme derjenigen
Ursprungsgeraden/Ursprungsebenen, die parallel zu E sind.
Jetzt betrachten wir einmal zwei in E parallele Geraden G1 und G2.
Diese sind die Abbilder zweier Ursprungsebenen UE1 und UE2, die sich
in einer Ursprungsgeraden UG schneiden, die parallel zu E liegen.
Jetzt kommt der entscheidende Schritt: wir nennen die Ursprungsgeraden
"Punkte" und die Ursprungsebenen "Geraden". Jetzt haben wir das, was
wir wollen. Je zwei "Geraden" (alias Ursprungsebenen) schneiden sich
in genau einem Punkt (alias Ursprungsgeraden). Es gibt eine "Gerade"
die voellig ausserhalb von E liegt, naemlich die zu E parallele
Ursprungsebene UE und jede beliebige "Gerade" ausser UE schneidet UE
in genau einem Punkt, der kein Abbild in E besitzt. Das Huebsche an
diesem Modell der (sog. projektiven) Ebene ist, dass es sich mit Hilfe
der normalen "affinen" Geometrie des Raums beschreiben laesst (siehe
"homogene Koordinaten").
MfG
Horst
Bjoern
> On Tue, 24 Dec 2002 01:25:23 +0100, "Mirko Rische"
> <mirko-...@gmx.de> wrote:
>
>
>>mein mathelehrer hat neulich erzählt, dass es eigentlich keine parallelen
>>geraden gibt. parallele geraden schneiden sich durch die raumkrümmung in der
>>unendlichkeit.
>>stimmt das??
>
>
> Nein.
[...]
> Wenn man wie EUKLID annimmt, dass es in der Ebene zu jeder Geraden und
> jeden nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt eine weitere Gerade
> gibt, die die die erste Gerade _nicht_ schneidet (Parallele), dann
> schneiden sich diese Geraden halt nicht, auch nicht im Unendlichen, da
> es in dieser Geometrie kein "Unendlich" gibt. Ob dies nun ein
> befriedigendes Bild der Realitaet ist, sei dahingestellt.
Ich meine mich zu erinnern, dass doch genau so ein Axiom von Euklid gab,
dass sich parallele Geraden im unendlichen schneiden. Dieses Axiom hat
doch Jahrhundertelange Diskussionen ausgeloest, wobei auch
nichteuklidische Geometrien entdeckt wurden.
Oder entsinne ich mich da jetzt falsch? Also meine Antwort an den
urspruenglichen Poster waere, dass sich Geraden in der euklidischen
Geometrie im unendlichen schneiden. Die Aussage des Lehrers ist dennoch
falsch, da das nichts mit der Raumkruemmung zu tun hat.
[...]
Paul Ebermann
> Horst Kraemer wrote:
>
> > Wenn man wie EUKLID annimmt, dass es in der Ebene zu jeder Geraden und
> > jeden nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt eine weitere Gerade
> > gibt, die die die erste Gerade _nicht_ schneidet (Parallele), dann
> > schneiden sich diese Geraden halt nicht, auch nicht im Unendlichen, da
> > es in dieser Geometrie kein "Unendlich" gibt. Ob dies nun ein
> > befriedigendes Bild der Realitaet ist, sei dahingestellt.
>
> Ich meine mich zu erinnern, dass doch genau so ein Axiom von Euklid gab,
> dass sich parallele Geraden im unendlichen schneiden. Dieses Axiom hat
> doch Jahrhundertelange Diskussionen ausgeloest, wobei auch
> nichteuklidische Geometrien entdeckt wurden.
>
> Oder entsinne ich mich da jetzt falsch?
Ja. Das euklidische Axiom sagt gerade, dass sich parallele
Geraden _nicht_ schneiden (bzw. es wird definiert, dass
nicht-schneidene (oder identische) Geraden parallel heißen,
und das euklidische Parallelen-Axiom sagt, dass es durch
jeden Punkt zu einer Gerade genau eine Parallele gibt.)
In anderen Geometrien kann es z.B. vorkommen, dass sich
Geraden immer schneiden (also keine parallelen existieren),
oder dass es beliebig viele Parallelen zu einer Geraden
durch einen Punkt gibt.
Paul
Rainer Rosenthal
Paul Ebermann wrote
>
> In anderen Geometrien kann es z.B. vorkommen, dass sich
> Geraden immer schneiden (also keine parallelen existieren),
> oder dass es beliebig viele Parallelen zu einer Geraden
> durch einen Punkt gibt.
>
Beim Querlesen durch die Threads kurz vor dem Ausschalten
des PC ist mir ein kleiner Gedanke durchs Hirn(?) gezischt:
Man kennt doch das nette Spiel zu Ostern: Eier-Klopfen.
Zwei Leute schnappen sich je ein Ei und klopfen die beiden
Eier gegeneinander. Wessen Ei kaputt geht, der hat verloren.
Es ist schon verblüffend, dass nicht beide Eier kaputt gehen.
Ist aber so. Und lässt sich sicher auch begründen.
Nun zu den Parallelen: Wenn sie sich jemals schneiden, welche
von beiden geht kaputt?
Gruss,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Horst Kraemer
> Horst Kraemer wrote:
> > On Tue, 24 Dec 2002 01:25:23 +0100, "Mirko Rische"
> > <mirko-...@gmx.de> wrote:
> >
> >
> >>mein mathelehrer hat neulich erzählt, dass es eigentlich keine parallelen
> >>geraden gibt. parallele geraden schneiden sich durch die raumkrümmung in der
> >>unendlichkeit.
> >>stimmt das??
> >
> >
> > Nein.
>
> [...]
>
> > Wenn man wie EUKLID annimmt, dass es in der Ebene zu jeder Geraden und
> > jeden nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt eine weitere Gerade
> > gibt, die die die erste Gerade _nicht_ schneidet (Parallele), dann
> > schneiden sich diese Geraden halt nicht, auch nicht im Unendlichen, da
> > es in dieser Geometrie kein "Unendlich" gibt. Ob dies nun ein
> > befriedigendes Bild der Realitaet ist, sei dahingestellt.
> Ich meine mich zu erinnern, dass doch genau so ein Axiom von Euklid gab,
> dass sich parallele Geraden im unendlichen schneiden.
Du erinnerst Dich falsch.
> Dieses Axiom hat
> doch Jahrhundertelange Diskussionen ausgeloest, wobei auch
> nichteuklidische Geometrien entdeckt wurden.
Richtig. Aber nicht das Axiom, an das Du Dich zu erinnern glaubst,
sondern das Axiom, dass es zu jeder Gearden und jedem Punkt, der nicht
auf der Geraden liegt, genau eine Gerade durch den Punkt gibt, die die
erste Gerade NICHT schneidet.
Die Metapher, dass sich parallele Geraden im Unendlichen schneiden:
will folgendes aussagen: Man kann die euklidische Ebene durch das
Hinzufuegen weiterer Punkte so erweitern, dass sich Geraden, die sich
in der euklidischen Ebene nicht schneiden, sich in der erweiterten
Ebene in einem der neu hinzugekommenen Punkte schneiden. Da diese
Punkte vom Standpunkt der euklidischen Geometrie nicht vorhanden, also
"unsichtbar", sind, sagt man halt, parallele Geraden schneiden sich im
"Unendlichen".
MfG
Horst
Hermann Kremer
>Horst Kraemer wrote:
>> On Tue, 24 Dec 2002 01:25:23 +0100, "Mirko Rische"
>> <mirko-...@gmx.de> wrote:
>>
>>>mein mathelehrer hat neulich erzählt, dass es eigentlich keine parallelen
>>>geraden gibt. parallele geraden schneiden sich durch die raumkrümmung in der
>>>unendlichkeit.
>>>stimmt das??
>>
>> Nein.
>
>[...]
>
>> Wenn man wie EUKLID annimmt, dass es in der Ebene zu jeder Geraden und
>> jeden nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt eine weitere Gerade
>> gibt, die die die erste Gerade _nicht_ schneidet (Parallele), dann
>> schneiden sich diese Geraden halt nicht, auch nicht im Unendlichen, da
>> es in dieser Geometrie kein "Unendlich" gibt. Ob dies nun ein
>> befriedigendes Bild der Realitaet ist, sei dahingestellt.
>
>Ich meine mich zu erinnern, dass doch genau so ein Axiom von Euklid gab,
>dass sich parallele Geraden im unendlichen schneiden. Dieses Axiom hat
>doch Jahrhundertelange Diskussionen ausgeloest, wobei auch
>nichteuklidische Geometrien entdeckt wurden.
>Oder entsinne ich mich da jetzt falsch?
Hmm, jein. In seinen Elementen
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
definiert Euklid den Begriff "parallel" [von mir frei übersetzt] in
Definition I.23:
-------------------
Parallele Geraden sind Geraden, die, wenn sie in derselben
Ebene liegen und sich unbegrenzt in beide Richtungen erstrecken,
sich in jeder der beiden Richtungen nicht schneiden.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html
Er sagt dort aber nicht, daß es solche Geraden überhaupt gibt ...
Dann gibt er das berühmte Parallelen-Axiom in:
Postulat 5:
---------------
Wenn bei zwei Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten
werden, die auf der gleichen Seite der schneidenden Geraden liegenden
Innenwinkel kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich
die unendlich fortgesetzten geschnittenen Geraden auf derjenigen Seite
der schneidenden, auf der die Winkelsumme kleiner als zwei rechte
Winkel ist.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post5.html
Dies besagt aber ebenfalls nicht, ob es sich nicht schneidende Geraden, also
parallele Geraden, überhaupt gibt ...
Er verwendet dann die Parallelen-Definition, aber nicht das Parellelen-Axiom
beim Beweis von
Proposition 27:
---------------------
Wenn in den Schnittpunkten zweier Geraden mit einer schneidenden
Geraden die Wechselwinkel gleich sind, so sind die beiden Geraden
parallel zueinander.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI27.html
http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/bookI/images/bookI-27.html
http://thales.vismath.org/euclid/vee/book.01/p1-27.html
Die folgenden Propositionen bis einschließlich Prop. 31 behandeln dann
ebenfalls parallele Geraden, wobei die Konstruktion einer zu einer gegebenen
Geraden parallelen Geraden in Prop. 31 gezeigt wird.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#props
http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/bookI/bookI.html
http://thales.vismath.org/euclid/vee/book.01/props.html
Euklid hat also weder behauptet noch bewiesen, daß parallele Geraden
überhaupt existieren ... er hat nur gezeigt, daß sie, falls es sie gibt, sie
dann gewisse geometrische Eigenschaften besitzen ...
Die Jahrhunderte langen Diskussionen über das Parallelen-Axiom werden
in dem Link in entsprechenden Kommentaren ausführlich erörtert.
>Also meine Antwort an den
>urspruenglichen Poster waere, dass sich Geraden in der euklidischen
>Geometrie im unendlichen schneiden.
Wenn man den Euklid'schen Raum um "unendlich ferne Punkte" erweitert ...
>Die Aussage des Lehrers ist dennoch falsch, da das nichts mit der
>Raumkruemmung zu tun hat.
Ja, und wenn er das **wirklich** **so** gesagt hat, dann hat er wohl den
Unterschied zwischen dem geometrischen Raumbegriff und einem real
existierenden physikalischen Raum nicht ganz begriffen ...
Grüße
Hermann
--
Helmut Richter
> Nehmen wir nun an, es gibt 2 Geraden:
>
> f(x)= 1+1*x
> g(x)= 0 + 2*x
>
> Die beiden Geraden schneiden sich nun für x=1. Je mehr sich die Werte der
> Steigungen annähern, desto weiter "wandert" der Schnittpunkt weg vom
> Koordinatenursprung.
> Bsp.:
>
> f(x)= 1 + 1*x
> g(x)= 0 + 1.001*x
>
> Schnittpunkt existiert bei x=1000
>
> Werden nun die Steigungen beide gleich, so handelt es sich um Geraden in
> Deinem Sinn
Richtig. Die beiden Geradengleichungen sind dann
f(x)= 1 + 1*x
g(x)= 0 + 1*x
und welches x ist dann eine Lösung für beide Gleichungen? Na also.
> und der Schnittpunkt beider liegt nun nur noch im Unendlichen.
Eben nicht, wie du sehr schön demonstriert hast. Die Geradengleichungen
haben keine Lösung, also schneiden sich die Geraden nicht. Punkt.
Dass, wie andere Poster geschrieben haben, Geometrien definiert werden
können, wo es keine parallelen Geraden gibt, zum Beispiel projektive, ist
zwar wahr, für die Ausgangsfrage aber egal, es sei denn, ihr habt schon
die ganze Zeit projektive Geometrie getrieben. Plötzlich die Axiome zu
verändern, um ein Schnittpunkt-Kaninchen aus dem Hut zu zaubern, gilt
nicht.
Helmut Richter
Michael Hoppe
> den Unterschied zwischen dem geometrischen Raumbegriff und einem real
> existierenden physikalischen Raum nicht ganz begriffen ...
Nett. Was ist denn "ein real existierender physikalischer Raum"?
Michael
--
-= Michael Hoppe <www.michael-hoppe.de>, <m...@michael-hoppe.de> =------
-= Key fingerprint = 74 FD 0A E3 8B 2A 79 82 25 D0 AD 2B 75 6A AE 63
-= PGP public key (0xE0A5731D) available on request. =---------------
Marco Moebus
"Helmut Richter" <a28...@mail.lrz-muenchen.de> schrieb im Newsbeitrag
news:slrnb1p59q....@lxhri01.lrz.lrz-muenchen.de...
verändert, um den Schnittpunkt zu erhalten. Das einzige, was ich getan habe,
war eine Grenzwertbetrachtung für einen anfangs existierenden Schnittpunkt
zweier (prinzipiell) belibeigen Geraden zu machen. Wie man sieht, wird der
Wert von x betragsmässig immer größer, je kleiner die Differenz der
Steigungen wird. Im Grenzfall ergibt sich daraus für eine Differenz von Null
ein Schnittpunkt, der ins Unendliche "verschoben" wurde.
Warum jetzt für gleiche Steigungen der Schnittpunkt plötzlich verschwinden
soll, bzw. wo der Unterschied darin liegt, dass ich sage, er wurde ins
Unendliche "verschoben", das müsstest Du mir dann noch erklären (wenn du es
mir erklären kannst, würde es mich freuen, aber ich habe eben bisher noch
keinen Grund gefunden, warum das nicht so sein sollte).
Mir ist klar, dass ich hier nicht streng axiomatisch vorgehe, aber der
ursprüngliche Poster wollte das auch nicht. Weder er noch ich haben hier
Axiome aufgestellt, dass Parallelen sich grundsätzlich nicht schneiden
können. Meiner Ansicht nach ist ihm nicht damit geholfen, wenn auf seine
Frage hin 5 Mathematiker einen Streit darüber anfangen, welche Axiome Euklid
aufgestellt hat. Er ist Schüler und wollte eine Antwort, die er vielleicht
auch nachvollziehen kann.
Wenn mir jemand beweist, wo bei mir der Denkfehler ist, bin ich dankbar!
>
> Helmut Richter
>
Gruß
Marco
Hermann Kremer
>"Helmut Richter" <a28...@mail.lrz-muenchen.de> schrieb im Newsbeitrag
>news:slrnb1p59q....@lxhri01.lrz.lrz-muenchen.de...
>> In article <auhsdr$phq$02$1...@news.t-online.com>, Marco Moebus wrote:
>> > [ ... SNIP ... ]
>> >
>> > und der Schnittpunkt beider liegt nun nur noch im Unendlichen.
>>
>> Eben nicht, wie du sehr schön demonstriert hast. Die Geradengleichungen
>> haben keine Lösung, also schneiden sich die Geraden nicht. Punkt.
>>
>> Dass, wie andere Poster geschrieben haben, Geometrien definiert werden
>> können, wo es keine parallelen Geraden gibt, zum Beispiel projektive, ist
>> zwar wahr, für die Ausgangsfrage aber egal, es sei denn, ihr habt schon
>> die ganze Zeit projektive Geometrie getrieben. Plötzlich die Axiome zu
>> verändern, um ein Schnittpunkt-Kaninchen aus dem Hut zu zaubern, gilt
>> nicht.
>
>Weder betreibe ich hier Zauberei, noch habe ich irgendwelche Axiome
>verändert, um den Schnittpunkt zu erhalten. Das einzige, was ich getan habe,
>war eine Grenzwertbetrachtung für einen anfangs existierenden Schnittpunkt
>zweier (prinzipiell) belibeigen Geraden zu machen. Wie man sieht, wird der
>Wert von x betragsmässig immer größer, je kleiner die Differenz der
>Steigungen wird.
Ja, aber der Schnittpunkt ist immer ein "Punkt" der Euklid'schen Ebene.
>Im Grenzfall ergibt sich daraus für eine Differenz von Null
>ein Schnittpunkt, der ins Unendliche "verschoben" wurde.
Nein ... ein unendlich ferner "Punkt" existiert nicht in derjenigen Ebene,
die Euklid definiert hat und auf der er seine ebene Geometrie betreibt.
Einen "unendlich fernen Punkt" kann man zwar zur Euklid'schen Ebene
hinzufügen, aber dann ist das keine Euklid'sche Ebene mehr, sondern
z.B. eine projektive Ebene.
>Warum jetzt für gleiche Steigungen der Schnittpunkt plötzlich verschwinden
>soll, bzw. wo der Unterschied darin liegt, dass ich sage, er wurde ins
>Unendliche "verschoben",
Wenn sich zwei Parallelen schneiden würden, dann würden sie das in einem
im Euklid'schen Sinn nichtexistierenden Punkt tun ... d.h. es gibt keinen
Schnitt-"Punkt" im Euklid'schen Sinn.
[ .... ]
>.... aber der ursprüngliche Poster ...
>Meiner Ansicht nach ist ihm nicht damit geholfen, wenn auf seine
>Frage hin 5 Mathematiker einen Streit darüber anfangen,
... Streit?
>welche Axiome Euklid aufgestellt hat. Er ist Schüler und wollte eine Antwort,
>die er vielleicht auch nachvollziehen kann.
Hmm, vielleicht so: Die Mathematik kann viele verschiedene Räume definieren,
und in manchen davon gibt es Geraden, die auf einer Ebene liegen und
sich nirgends schneiden, die heißen Parallelen, und in anderen Räumen gibt
es keine solchen Geraden. In der Schulgeometrie betrachtet man nur den
Euklid'schen Raum, und in dem *gibt* es Parallelen, die sich *nicht* schneiden ...
OK, didaktisch vermutlich nicht besonders gut ... wo sind die Didaktiker ;-)
Grüße
Hermann
--
Marco Moebus
"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:avnks2$eq4$1...@news.online.de...
>
> >Warum jetzt für gleiche Steigungen der Schnittpunkt plötzlich
verschwinden
> >soll, bzw. wo der Unterschied darin liegt, dass ich sage, er wurde ins
> >Unendliche "verschoben",
>
> Wenn sich zwei Parallelen schneiden würden, dann würden sie das in einem
> im Euklid'schen Sinn nichtexistierenden Punkt tun ... d.h. es gibt keinen
> Schnitt-"Punkt" im Euklid'schen Sinn.
>
> [ .... ]
>
> >.... aber der ursprüngliche Poster ...
> >Meiner Ansicht nach ist ihm nicht damit geholfen, wenn auf seine
> >Frage hin 5 Mathematiker einen Streit darüber anfangen,
>
> ... Streit?
OK, Streit ist übertrieben, aber der Thread ist in eine Diskussion
abgedriftet, die wohl kaum mehr hilfreich war für den Schüler.
>
> >welche Axiome Euklid aufgestellt hat. Er ist Schüler und wollte eine
Antwort,
> >die er vielleicht auch nachvollziehen kann.
>
> Hmm, vielleicht so: Die Mathematik kann viele verschiedene Räume
definieren,
> und in manchen davon gibt es Geraden, die auf einer Ebene liegen und
> sich nirgends schneiden, die heißen Parallelen, und in anderen Räumen gibt
> es keine solchen Geraden. In der Schulgeometrie betrachtet man nur den
> Euklid'schen Raum, und in dem *gibt* es Parallelen, die sich *nicht*
schneiden ...
Das finde ich doch schon mal ne gute Antwort.!!
>
> OK, didaktisch vermutlich nicht besonders gut ... wo sind die
Didaktiker ;-)
>
> Grüße
> Hermann
Gruß
Marco
> --
>
>
>
Rainer Rosenthal
Marco Moebus wrote
>
> "Hermann Kremer" schrieb
> >
> > Hmm, vielleicht so: Die Mathematik kann viele
> > verschiedene Räume definieren, und in manchen
> > davon gibt es Geraden, die auf einer Ebene liegen
> > und sich nirgends schneiden, die heißen Parallelen,
> > und in anderen Räumen gibt es keine solchen Geraden.
> > In der Schulgeometrie betrachtet man nur den
> > Euklid'schen Raum, und in dem *gibt* es Parallelen,
> > die sich *nicht* schneiden ...
>
> Das finde ich doch schon mal ne gute Antwort.!!
> >
Hallo Marco,
hier eine kleine Übungsaufgabe (schwer, mit Sternchen):
Zeige eine Antwort von Hermann Kremer
in d.s.m., die nicht gut war.
Gruss und ungeschleimten Dank an H.K. für all die guten
Antworten,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de