Kann man pi und e "hinten" unterscheiden ?
Manfred Ullrich
dass seien Ziffern von pi und e ein ganzes St�ck rechts vom Komma. Aber er
sagt nicht, wie weit weg, sie k�nnen auch unterschiedlich weit weg sein.
Lie�e sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
Gru�
Manfred
Andreas Pflug
> Ließe sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
Das hängt davon ab, ob pi und e "normal" sind,
siehe z. B. http://www.lupi.ch/PiSites/normal.html
Anscheinend ist das derzeit noch nicht
abschließend geklärt.
Wenn sie normal wären, könnte man es
jedenfalls _nicht_ ermitteln.
MfG
Andreas
Manfred Ullrich
"Andreas Pflug" <andrea...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag news:4a1b...@news.fhg.de...
Gruß
Manfred
Florian Severin
Aber auch wenn sie beide nicht normal wären, könnte man es nicht
ermitteln, oder?
Und selbst wenn nur eine der beiden normal seien sollte, die andere
jedoch nicht - Normalität ist doch nur ein Wahrscheinlichkeitsmerkmal.
Bei 100 Stellen kann man da keinesfalls _sicher_ unterscheiden..
Thomas Plehn
Ziffernfolgen sowohl in PI als auch E vor?
"Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:4a1baf37$0$31329$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
Rainer Willis
> "Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
>> Lie�e sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
> Nur vom Verst�ndnis her, kommen nicht alle beliebigen endlichen
> Ziffernfolgen sowohl in PI als auch E vor?
So versteh ich das auch: jede beliebige Ziffernfolge kommt in jeder
beliebigen irrationalen Zahl (die muss nicht mal transzendent sein) vor.
Mit andern Worten: aus einem Ausschnitt aus der Dezimalentwicklung l�sst
sich nicht auf die zugrundeliegende Zahl schlie�en.
Gru� Rainer
Marko Renner
> Thomas Plehn schrieb:
>
>> "Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
>
>>> Lie�e sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
>
> > Nur vom Verst�ndnis her, kommen nicht alle beliebigen endlichen
> > Ziffernfolgen sowohl in PI als auch E vor?
>
> So versteh ich das auch: jede beliebige Ziffernfolge kommt in jeder
> beliebigen irrationalen Zahl (die muss nicht mal transzendent sein) vor.
ist irrational, aber darin kommt nicht jede beliebige Zahlenfolge vor.
> Mit andern Worten: aus einem Ausschnitt aus der Dezimalentwicklung l�sst
> sich nicht auf die zugrundeliegende Zahl schlie�en.
Nur, wenn in jeder Zahl jeder endlich lange Abschnitt vorkommt.
Marko
Norbert Marrek
Ist denn die im Dezimalsystem dargestellte Zahl
0,101001000100001000001000000100000001....
rational? Wo hat sie die Ziffernfolge 2?
Aloha,
Norbert
Manfred Ullrich
"Marko Renner" <marko....@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag news:4a1c67d6$0$32677$9b4e...@newsspool2.arcor-online.net...
> Rainer Willis schrieb:
>>
>> So versteh ich das auch: jede beliebige Ziffernfolge kommt in jeder beliebigen irrationalen Zahl (die muss nicht mal transzendent
>> sein) vor.
> 0,101001000100001000001....
> ist irrational, aber darin kommt nicht jede beliebige Zahlenfolge vor.
>
Wie ginge es weiter mit dieser Zahl? Wenn Du eine genaue Anweisung
geben k�nntest, wie es weiter geht, dann w�re das meiner Meinung nach
KEINE irrationale Zahl. Oder?
Gru�
Manfred
Alois Steindl
Dir ist die Definition einer irrationalen Zahl schon bekannt, oder?
Alois
Thomas Moser
> Wenn Du eine genaue Anweisung
> geben k�nntest, wie es weiter geht, dann w�re das meiner Meinung nach
> KEINE irrationale Zahl. Oder?
Liouville-Konstante (http://de.wikipedia.org/wiki/Liouville-Zahl) ist
transzendent, durch eine Formel anggebbar und besteht nur aus 0 und 1.
Gru�
Thomas
Christian Gollwitzer
>
> > Nur vom Verst�ndnis her, kommen nicht alle beliebigen endlichen
> > Ziffernfolgen sowohl in PI als auch E vor?
>
> So versteh ich das auch: jede beliebige Ziffernfolge kommt in jeder
> beliebigen irrationalen Zahl (die muss nicht mal transzendent sein) vor.
Nein, das ist falsch. Diese Eigenschaft hei�t "normal"
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number und gilt nicht f�r jede
irrationale Zahl. Irrational bedeutet, dass sich die Zahl nicht als
Bruch p/q schreiben l�sst, mit p,q � Z.
Sollte jetzt bewiesen werden, dass pi und e normal sind, dann lie�e sich
in der Tat aus einer endlichen Ziffernfolge gar nichts schlie�en. Wenn
eine davon nicht normal ist, braucht man nur eine beliebige Ziffernfolge
suchen, die darin nicht enthalten ist. Die Herkunft ist aber nie f�r
alle beliebigen Abschnitte entscheidbar, da z.B. alle einzelnen
Dezimalziffern sowohl in pi als auch e enthalten sind.
Christian
Florian Stock
"Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> writes:
> Wie ginge es weiter mit dieser Zahl? Wenn Du eine genaue Anweisung
> geben k�nntest, wie es weiter geht, dann w�re das meiner Meinung nach
> KEINE irrationale Zahl. Oder?
ich denke man koennte auch einfach die binaere Darstellung von
pi, e, sqrt(2) (oder irgendeiner anderen irrationalen Zahl) nehmen. Im
Dezimalsystem waere der Wert naetuerlich ein anderer, eine rationale
Darstellung gaebe es fuer diese Zahl im Dezimalsystem natuerlich immer
noch nicht. Und enthalten wuerde sie nichts anderes als 0en und 1en.
Es gibt also (sogar ueberabzaehlbar viele) irrationale Zahlen, die NICHT
jede Folge von Ziffern enthalten.
Florian
Mark Wunscheid
ich denke nicht, dass dies unter den genannten Bedingungen m�glich ist.
Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles was wir
je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi ist kodiert
jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikst�ck, jede
Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
Und was mir im Zusammenhang mit der Geschichte der Zahl pi immer wieder
auff�llt, ist die Ungenauigkeit die sie �ber die Jahrtausende immer mal
wieder annahm, eigentlich l��t sich pi doch auch mit den Mitteln des
Altertums experimentell auf locker 3 bis 4 oder je nach Aufwand gar auf 5
Stellen nach dem Komma bestimmen.
Gr��e
Mark
mock
> Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enthält alles was wir
> je wußten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi ist kodiert
> jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikstück, jede
> Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
>
... vorausgesetzt, Pi ist normal.
Erstaunlich, dass die Suche nach Bailey's Formel in Pi selbst so
schwer ist, wo sie doch ca. unendlich oft drin steht.
Sebastian Biallas
> Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles was
> wir je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi ist
> kodiert jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes
> Musikst�ck, jede Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus
> Vergangenheit und Zukunft enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
Strenggenommen ist das �berhaupt nicht interessant. Das gilt n�mlich
auch f�r die Zahl:
0,01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738...
> Und was mir im Zusammenhang mit der Geschichte der Zahl pi immer wieder
> auff�llt, ist die Ungenauigkeit die sie �ber die Jahrtausende immer mal
> wieder annahm, eigentlich l��t sich pi doch auch mit den Mitteln des
> Altertums experimentell auf locker 3 bis 4 oder je nach Aufwand gar auf
> 5 Stellen nach dem Komma bestimmen.
Daf�r braucht man erstmal Dezimalzahlen bzw -br�che.
--
Gru�,
Sebastian
Jutta Gut
"Mark Wunscheid" <spam...@gmx.gmx> schrieb
>
> Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles was
> wir je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi ist
> kodiert jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes
> Musikst�ck, jede Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus
> Vergangenheit und Zukunft enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
Da sind die Affen an der Schreibmaschine aber genauso effizient. (Kennt
jemand �brigens "Die Bibliothek von Babel" von J.L Borges?)
>
> Und was mir im Zusammenhang mit der Geschichte der Zahl pi immer wieder
> auff�llt, ist die Ungenauigkeit die sie �ber die Jahrtausende immer mal
> wieder annahm, eigentlich l��t sich pi doch auch mit den Mitteln des
> Altertums experimentell auf locker 3 bis 4 oder je nach Aufwand gar auf 5
> Stellen nach dem Komma bestimmen.
Wahrscheinlich war das den Leuten damals einfach nicht so wichtig. F�r
praktische Zwecke reichte anscheinend die N�herung 3 oder 3 1/8.
Gr��e
Jutta
Peter Heckert
> Mark Wunscheid wrote:
>> Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles
>> was wir je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi
>> ist kodiert jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme,
>> jedes Musikst�ck, jede Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus
>> Vergangenheit und Zukunft enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
>
> Strenggenommen ist das �berhaupt nicht interessant. Das gilt n�mlich
> auch f�r die Zahl:
>
> 0,01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738...
>
1280*800*24 Bits und z�hle diesen, mit 0 beginnend, einmal bis zum
�berlauf durch. Dann erh�lt man alle 2^(1280*800*24) Bilder, die mein
derzeitiger Bildschirm (und vermutlich auch die Netzhaut des
menschlichen Auge) darstellen kann ;-) D.h. das ganze Web inklusive
Sourcen und aller gel�schte Kommentare und die Sourcen von Windows und
und sind auch drin. Nat�rlich auch alles, was hier noch gepostet werden
wird ;-)
Und jede Menge MP3's in Hex-oder anderer Darstellung.*g*
Sie enth�lt aber nicht die vollst�ndige Dezimalbruchdarstellung der Zahl
1/3 ;-)
Die ist in PI aber auch nicht drin.
Peter
Peter Heckert
> Sebastian Biallas schrieb:
>> Mark Wunscheid wrote:
>> 0,01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738...
>>
> So hoch muss man garnicht greifen: Man nehme einen Bin�rz�hler mit
> 1280*800*24 Bits und z�hle diesen, mit 0 beginnend, einmal bis zum
> �berlauf durch. Dann erh�lt man alle 2^(1280*800*24) Bilder, die mein
> derzeitiger Bildschirm
Nat�rlich ist auch die ganze Bibliothek von Alexandria drin in
Faksimilies aller denkbaren Qualit�tsstufen, in Infrarot usw.
Das eigentliche Problem ist aber, diese Informationen zu finden. Denn
fast alles, was in dieser Datei drin ist, ist statistisches Rauschen.
Man findet einfach nichts vern�nftiges darin. :-) Die Chance, im Lotto
zu gewinnen, ist unendlich gr�sser.
Peter
Jutta Gut
"Ralf . K u s m i e r z" <m...@privacy.invalid> schrieb
> X-No-Archive: Yes
>
> begin quoting, 3 1/4, 3 1/5, 3 1/6, 3 1/7, 3 8/57, 3 9/64, 3 10/71, 3
> 11/78, 3 12/85, 3 13/92, 3 14/99, 3 15/106, 3 16/113
> Jutta Gut schrieb:
>
>> Wahrscheinlich war das den Leuten damals einfach nicht so wichtig. F�r
>> praktische Zwecke reichte anscheinend die N�herung 3 oder 3 1/8.
>
Ich wei�, aber diese N�herung stammt erst von Archimedes. Vorher benutzte
man 3, 3 1/8 oder (in �gypten) (16/9)^2.
Gr��e
Jutta
Stephan Gerlach
>
> "Marko Renner" <marko....@gmx.de> schrieb:
>> 0,101001000100001000001....
>> ist irrational, aber darin kommt nicht jede beliebige Zahlenfolge vor.
>>
> Wie ginge es weiter mit dieser Zahl?
Allgemein: Es kommen k 0-en, danach eine 1, danach k+1 0-en, danach eine
1, danach k+2 0-en, danach eine 1,...
> Wenn Du eine genaue Anweisung
> geben k�nntest, wie es weiter geht,
Kann man ja, s.o.
> dann w�re das meiner Meinung nach
> KEINE irrationale Zahl. Oder?
Oder. Selbst f�r "bekannte" irrationale Zahlen wie pi, e und sqrt(2)
kann man "eine Anweisung angeben, wie es weiter geht"; wenn auch diese
Anweisung nicht so trivial ist wie die Anweisung bei der obigen
irrationalen Zahl.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Rainer Rosenthal
>
>> 0,101001000100001000001....
>> ist irrational
>>
> Wie ginge es weiter mit dieser Zahl? Wenn Du eine genaue Anweisung
> KEINE irrationale Zahl. Oder?
Jede rationale Zahl hat eine abbrechende oder periodisch endende
Dezimalentwicklung. Obige Zahl hat ersichtlich keine periodische
werdende Dezimaldarstellung, ist also nicht rational und damit
irrational (irrational = nicht rational).
Die Frage "wie ginge es weiter" fï¿œhrt Dich schnell auf die
sogenannten Dreieckszahlen, denn die Stellen nach dem Komma, an denen
eine 1 steht, sind die folgenden: 1, 3, 6, 10, ... bei denen die
Differenzen aufeinander folgender Zahlen stets um 1 wachsen:
3-1 = 2
6-3 = 3
10-6 = 4
usw.
Dafï¿œr gibt es eine einfache Formel: T(n) = n*(n+1)/2.
Du rechnest sofort nach, dass das passt: T(1)=1, T(2)=3, T(4)=10 usw.
Man kann also sagen, wie es mit der obigen Zahl weitergeht:
an jeder Stelle, die gleich einem T(n) ist, steht eine 1, sonst steht
dort eine 0. Eine andere Art, die Stellen s zu beschreiben, an denen
eine 1 stehen muss, ist diese: 1+8*s muss eine Quadratzahl sein.
Das siehst Du daran, dass s = n(n+1)/2 eine quadratische Gleichung ist.
In Normalform gebracht: 2s = n^2 + n, also n^2 + n - 2s = 0.
Mit Mitternachtsformel n = 1/2*(-1+-sqrt(1+8s)) siehst Du, dass
sqrt(1+8s) eine ganze Zahl sein muss, damit n ganz sein kann. Also
muss 1+8s eine Quadratzahl sein, damit s = T(n) sein kann.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Manfred Ullrich
"Stephan Gerlach" <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> schrieb im Newsbeitrag news:gvp7v2$jo4$02$1...@news.t-online.com...
> Manfred Ullrich schrieb:
>>
>> Wenn Du eine genaue Anweisung
>> geben k�nntest, wie es weiter geht,
>
> Kann man ja, s.o.
>
>> dann w�re das meiner Meinung nach
>> KEINE irrationale Zahl. Oder?
>
> Oder. Selbst f�r "bekannte" irrationale Zahlen wie pi, e und sqrt(2) kann man "eine Anweisung angeben, wie es weiter geht"; wenn
> auch diese Anweisung nicht so trivial ist wie die Anweisung bei der obigen irrationalen Zahl.
>
>
z.B. pi - die Anweisung dazu f�hrt, dass alle Ziffern sich aus einer
unendlichen Summe aller unendlichen Teile der Anweisung ergeben,
oder ob wie bei
0,101001000100001...
klar ersichtlich ist, was als n�chstes usw. kommt?
Also bei pi m�sste ich mit gro�er (unendlicher?) M�he alle Teilrechnungen
der Reihe ausf�hren, bei 0,101001... kann ich (zack-zack) einfache alles
hinschreiben.
Gru�
Manfred
Stephan Gerlach
>
> "Stephan Gerlach" <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> schrieb im
> Newsbeitrag news:gvp7v2$jo4$02$1...@news.t-online.com...
>> Manfred Ullrich schrieb:
>>>
>>> Wenn Du eine genaue Anweisung
>>> geben k�nntest, wie es weiter geht,
>>
>> Kann man ja, s.o.
>>
>>> dann w�re das meiner Meinung nach
>>> KEINE irrationale Zahl. Oder?
>>
>> Oder. Selbst f�r "bekannte" irrationale Zahlen wie pi, e und sqrt(2)
>> kann man "eine Anweisung angeben, wie es weiter geht"; wenn auch diese
>> Anweisung nicht so trivial ist wie die Anweisung bei der obigen
>> irrationalen Zahl.
>>
>>
> Stephan, ist es aber nicht ein wesentlicher Unterschied, ob - wie bei
> z.B. pi - die Anweisung dazu f�hrt, dass alle Ziffern sich aus einer
> unendlichen Summe aller unendlichen Teile der Anweisung ergeben,
Eine "Anweisung, wie es weiter geht" w�re bei pi z.B.
- man beginne mit 1
- man subtrahiere 1/3
- man addiere 1/5
- man subtrahiere 1/7
- man addiere 1/9
- man subtrahiere 1/11
...
Man kriegt somit nat�rlich i.a. nicht bei jeder "Elementar-Anweisung"
unmittelbar eine neue Ziffer von pi; in dieser Hinsicht unterscheidet
sich pi von 0,101001000100001...
> oder ob wie bei
> 0,101001000100001...
> klar ersichtlich ist, was als n�chstes usw. kommt?
Auch bei 0,101001000100001... k�nnte man genauso vorgehen wie bei pi:
- man beginne mit 0
- man addiere 1/10
- man addiere 1/1000
- man addiere 1/1000000
- man addiere 1/10000000000
- man addiere 1/1000000000000000
...
Hier kriegt man "zuf�lligerweise" i.a. bei jeder "Elementar-Anweisung"
unmittelbar eine neue Ziffer der betreffenden Zahl.
> Also bei pi m�sste ich mit gro�er (unendlicher?) M�he alle Teilrechnungen
> der Reihe ausf�hren, bei 0,101001... kann ich (zack-zack) einfache alles
> hinschreiben.
Daraus, da� bei einer Zahl jede Elementar-Anweisung unmittelbar zu
(mindestens) einer neuen Dezimalstelle f�hrt, folgt allerdings noch
lange nicht, da� diese Zahl rational w�re. D.h. meine Ausf�hrungen oben
sind vielleicht "anschaulich", aber bez�glich (Ir-)Rationalit�t der
betreffenden Zahl letztenendes irrelevant.
Entscheidend f�r die Rationalit�t der Zahl ist einzig und allein, ob
sich die Zahl als ganzzahliger Bruch p/q darstellen l��t. Oder
�quivalent dazu (diese �quivalenz IMHO nicht mal "unmittelbar"
einsichtig), da� die Dezimalbruch-Entwicklung der Zahl periodisch ist.
Und letzteres ist bei 0,101001000100001... offensichtlich(!) *nicht* der
Fall.
Stephan Gerlach
> Peter Heckert schrieb:
>
>> So hoch muss man garnicht greifen: Man nehme einen Bin�rz�hler mit
>> 1280*800*24 Bits und z�hle diesen, mit 0 beginnend, einmal bis zum
>> �berlauf durch. Dann erh�lt man alle 2^(1280*800*24) Bilder, die mein
>> derzeitiger Bildschirm
> Nat�rlich ist auch die ganze Bibliothek von Alexandria drin in
> Faksimilies aller denkbaren Qualit�tsstufen, in Infrarot usw.
>
> Das eigentliche Problem ist aber, diese Informationen zu finden.
Wenn man nur lange genug sucht, nicht...
> Denn
> fast alles, was in dieser Datei drin ist, ist statistisches Rauschen.
Ja.
> Man findet einfach nichts vern�nftiges darin. :-) Die Chance, im Lotto
> zu gewinnen, ist unendlich gr�sser.
Kommt drauf an, wie lange man in der betreffenden Zahl nach welcher
Zeichenfolge ("Information") sucht.
Stephan Gerlach
> Mark Wunscheid wrote:
>> Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles
>> was wir je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi
>> ist kodiert jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme,
>> jedes Musikst�ck, jede Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus
>> Vergangenheit und Zukunft enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
>
> Strenggenommen ist das �berhaupt nicht interessant. Das gilt n�mlich
> auch f�r die Zahl:
>
> 0,01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738...
Die ist gut! Eine normale Zahl, die allerdings nicht "sehr zuf�llig"
erscheint; kann man doch z.B. "einigerma�en genau" sagen, *wo* z.B. die
Ziffernfolge 6785903492917049375769493 vorkommt.
Mit Hilfe dieser Zahl sollte sich nun sogar die Riemann-Hypothese
beweisen bzw. widerlegen lassen, indem man einfach die Zahl aufschreibt
und abwartet, bis Beweis (bzw. Widerlegung) da steht ;-) . Wenn man eine
obere Schranke f�r die L�nge des Beweises der Riemann-Hypothese h�tte,
k�nnte man sogar sagen, *wann* die Riemann-Hypothese ungef�hr bewiesen
w�rde.
Ulrich Lange
> begin quoting, Jutta Gut schrieb:
>
>>> 3 1/4, 3 1/5, 3 1/6, 3 1/7, 3 8/57, 3 9/64, 3 10/71, 3
>>> 11/78, 3 12/85, 3 13/92, 3 14/99, 3 15/106, 3 16/113
>
>>>> Wahrscheinlich war das den Leuten damals einfach nicht so wichtig. F�r
>>>> praktische Zwecke reichte anscheinend die N�herung 3 oder 3 1/8.
>>> 22/7 ist besser:
>> Ich wei�, aber diese N�herung stammt erst von Archimedes. Vorher benutzte
>> man 3, 3 1/8 oder (in �gypten) (16/9)^2.
>
> Interessant w�re: Wie kam Archimedes darauf?
Durch Anwendung der "Exhaustionsmethode", die man als Vorl�ufer der
modernen Integralrechnung ansehen kann (Konkret hat er die Kreisfl�che
zwischen zwei regelm��igen 96-Ecken eingesperrt und kam so auf die
Absch�tzung 223/71 < pi < 22/7).
> Woher nahmen andere ihre
> N�herungen, wie kamen sie auf diese, wof�r verwendeten sie sie, und
> warum ausgerechnet die?
[...]
> Wann ist eine N�herung (aus damaliger Sicht) eigentlich "gut"?
In der Geschichte der Mathematik unterscheidet man ja (vielleicht ein
bisschen grob) zwischen der "babylonischen" und der "griechischen"
Mathematik, wobei erstere eher als die Anf�nge der "Ingenieurmathematik"
und letztere als Beginn der "reinen" Mathematik angesehen wird.
Insofern hatten IMHO "Babylonier" und "Griechen" sicher auch
unterschiedliche Kriterien daf�r, was "gute N�herungen" sind (�hnlich
wie das heute bei Ingenieuren und Mathematikern auch der Fall ist).
--
Gru�, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
Norbert Marrek
>
> begin quoting, Ulrich Lange schrieb:
>
...
>
> Du wei�t es also auch nicht...
>
> F�r die Griechen war Geometrie offenbar Selbstzweck, aber wof�r
> brauchten die �gypter Pi?
>
>
Um die Piramiden zu bauen ;-)
Ernsthaft, es scheint so zu sein, dass bei einigen Pyramiden im
Verh�ltnis BasisKantenl�nge zu H�he die Zahl Pi steckt.
Einige Autoren sind der Meinung, dass dieses Verh�ltnis
durch Abrollen einen Messrades entstand.
Aloha,
Norbert
Christopher Creutzig
> Man findet einfach nichts vern�nftiges darin. :-) Die Chance, im Lotto
> zu gewinnen, ist unendlich gr�sser.
Daf�r stehen die Lottozahlen f�r die n�chsten vier Jahre auch mit drin. :-)
--
Man kann auf seinem Standpunkt stehen,
aber man sollte nicht darauf sitzen.
(Erich K�stner)
Albrecht
"Mark Wunscheid" <spam...@gmx.gmx> wrote:
> "Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:4a1baf37$0$31329$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
> > Angenommen, jemand zeigt zwei Ziffern-Folgen (z.B. 100 Ziffern) und sagt,
> > dass seien Ziffern von pi und e ein ganzes St�ck rechts vom Komma. Aber er
> > sagt nicht, wie weit weg, sie k�nnen auch unterschiedlich weit weg sein.
> >
> > Lie�e sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
>
>
> ich denke nicht, dass dies unter den genannten Bedingungen m�glich ist.
>
> Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles was wir
> je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi ist kodiert
> jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikst�ck, jede
> Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
> enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
Glaubst Du das? Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
codiert? Wenn ja, dann w�rde sich pi und e nur rational unterscheiden,
meine ich.
Wenn nein, in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
"je wu�ten und kannten und kennen werden"?
Gru�
Albrecht
Gus Gassmann
> In article <gvjmgj$jn...@online.de>,
> "Mark Wunscheid" <spamf...@gmx.gmx> wrote:
>
>
>
>
>
> > "Manfred Ullrich" <manfred.ullr...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
> >news:4a1baf37$0$31329$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
> > > Angenommen, jemand zeigt zwei Ziffern-Folgen (z.B. 100 Ziffern) und sagt,
> > > sagt nicht, wie weit weg, sie können auch unterschiedlich weit weg sein.
>
> > > Ließe sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
>
> > ich denke nicht, dass dies unter den genannten Bedingungen möglich ist.
>
> > Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enthält alles was wir
> > jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikstück, jede
> > Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
>
> Glaubst Du das? Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> meine ich.
Glaubst Du das wirklich? Ich denke, in der Ziffernfolge von pi nach
z.B. dem String "Durch diese hohle Gasse muss er kommen" zu suchen,
ist offensichtlich unsinnig. Vielleicht koenntest Du erwarten, die
ASCII-werte dieses Strings zu finden, also 068 117 114 099 104 032 ...
Dementsprechend solltest Du auch weder den Buchstaben 'e' noch die
Ziffernfolge 271828... erwarten, allenfalls eine Kodierung einer
Formel wie
e = sum{n = 0;inf} 1/n!
vielleicht als
101 032 061 032 115 118 109 ... 033.
Wenn pi normal ist, dann sollte diese Ziffernfolge vorkommen, und zwar
unendlich oft.
WM
> In article <gvjmgj$jn...@online.de>,
> "Mark Wunscheid" <spamf...@gmx.gmx> wrote:
>
>
>
>
>
> >news:4a1baf37$0$31329$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
> > > Angenommen, jemand zeigt zwei Ziffern-Folgen (z.B. 100 Ziffern) und sagt,
> > > sagt nicht, wie weit weg, sie können auch unterschiedlich weit weg sein.
>
> > > Ließe sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie stammen?
>
> > ich denke nicht, dass dies unter den genannten Bedingungen möglich ist.
>
> > Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enthält alles was wir
> > jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikstück, jede
> > Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
>
> Glaubst Du das? Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> meine ich.
> Wenn nein, in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
Wenn pi unendlich viele Stellen besitzt und normal ist, und wenn, wie
manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
in pi vor. Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
von pi unendlich oft vorkommen.
An solchen Intellekterbissen erkennt man ein unendliches Vertrauen in
die Unendlichkeit und deren Nichtüberprüfbarkeit.
Gruß, WM
Helmut Richter
> Wenn pi unendlich viele Stellen besitzt und normal ist, und wenn, wie
> manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
> vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
> in pi vor. Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
> Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
> unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
> von pi unendlich oft vorkommen.
Nein. denselben Fehler macht hier jemand st�ndig in the Threads �ber
Bin�rb�ume.
--
Helmut Richter
WM
> On Fri, 5 Jun 2009, WM wrote:
> > Wenn pi unendlich viele Stellen besitzt und normal ist, und wenn, wie
> > manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
> > vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
> > in pi vor. Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
> > Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
> > unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
> > von pi unendlich oft vorkommen.
>
> Nein.
Schön zu hören, dass wenigstens solcher Unsinn von wenigstens einem
Mengenlehrer abgelehnt wird.
> denselben Fehler macht hier jemand ständig in the Threads über
> Binärbäume.
Viel schlimmer! Den Fehler machen viele Mengenlehrer in vielen Threads
über Binärbäume, denn die Tatsache, dass nicht mehr Pfadenden als
Knoten existieren können, ist ebenso offensichtlich wie die, dass ein
Pfad nicht mehrfach sich selbst enthalten kann.
Gruß, WM
WM
> Thomas Plehn schrieb:
>
> > Ziffernfolgen sowohl in PI als auch E vor?
>
> So versteh ich das auch: jede beliebige Ziffernfolge kommt in jeder
> beliebigen irrationalen Zahl (die muss nicht mal transzendent sein) vor.
Ja, und im aktual Unendlichen finden wir sogar die Ziffernfolge von pi
vielfältig in der Ziffernfolge von pi erblühen. Eine von unendlich
vielen fällt hier ab
3.141592653589793238462643383279502884
197169399375105820974944592307816
4062862089986280348253421170679821480865
132823066470938446095505822317253594081284811174
50284102701938521105559644622948954930381
964428810975665933446128475648
23378678316527120190914564856
69234603486104
54326648213393607260249141273724587006606
31558817488152092096282925409171
5364367892590360011330530548
82046652138414695194151160
9433057270365
75
959195
309218611738193
2611793105118548074462
37996274956735188575272489122793
81830119491298336733624
4065664308602139494
639522473719070
217986094370277053921717
629317675238
46748184676694051
3200056812714526
35608277857713427577
8960917363717872146844090122495
34301465495853710507922796892589
23542019956112129021960864034418159813629
774771309960518707211349999998372978049
9
51
05973173
2
81609631
859502445945534690830264252230825334
4685035261931...
...
Und die Folge der zur Konstruktion der Teilfolge auszulassenden
Folgenglieder findet man selbstverständlich auch in der Folge (und in
der Teilfolge).
Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie 49
Gruß, WM
Carsten Schultz
> Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie 49
Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21 geht
am Kern des Problems vorbei. Es wird vor allem nicht klar, was nun der
Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der dafür
sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
An welcher Stelle würde der Beweis versagen, würde er auf die ganzen
Zahlen angewandt?
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Ralf Bader
> WM schrieb:
>> Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
>> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie 49
>
> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21 geht
> am Kern des Problems vorbei. Es wird vor allem nicht klar, was nun der
> Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der dafür
> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
> An welcher Stelle würde der Beweis versagen, würde er auf die ganzen
> Zahlen angewandt?
Du meinst, wo der "Beweis" für die geraden Zahlen versagen würde? Für die
ganzen Zahlen funktioniert er ja, und nach dem Mückenheimschen
Korrektheitskriterium (weder die von ihm indoktrinierten Studenten noch ein
durchschnittliches Fußgängerzonenpublikum findet einen Fehler) ist der
Beweis richtig. Daß er dummerweise für die geraden Zahlen ebenfalls
funktioniert, ist vermutlich ein neuer Nachweis dafür, daß die Menge der
geraden Zahlen nicht existiert. Oder so.
Ralf
--
How lucky we are that Cantor introduced curly brackets! But it was no
he who introduced the silly distinction between a and {a} that enables
so called mathematicians to build card houses on nothing.
(Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, FH Augsburg, in sci.math, 03/13/09)
Helmut Richter
> WM schrieb:
> > Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
> > http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie 49
>
> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21 geht
> am Kern des Problems vorbei. Es wird vor allem nicht klar, was nun der
> Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der daf�r
> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
Es hei�t da als Beispiel:
60 = 30 * 2 = 10 * 6
Nun sind 30, 2, 10 und 6 alle vier in den geraden Zahlen unzerlegbar.
Damit haben wir eine mehrdeutige Zerlegung in unzerlegbare Elemente, und
das Beispiel ist *soweit* (und wie wir sehen werden *nur* soweit) als
Beispiel komplett.
Die geraden Zahlen sind insofern ein etwas ungl�ckliches Beispiel, als es
dort keine 1 gibt. Damit ist keine Zahl Teiler von sich selbst.
Man k�nnte zwar auch so unzerlegbare und prime Elemente definieren:
- c ist unzerlegbar, wenn aus c=ab folgt, dass c|a oder c|b.
- c ist prim, wenn schon aus c|ab folgt, dass c|a oder c|b.
Das Wort "schon" ist hier nat�rlich unpassend, weil aus c=ab mitnichten
folgt, dass c|ab, wie es sonst gegeben ist.
Nehmen wir wieder das Beispiel von oben: 30 * 2 = 10 * 6.
30 teilt 10*6, aber weder 10 noch 6. Damit ist 30 *nicht* prim, wiewohl
unzerlegbar.
> An welcher Stelle w�rde der Beweis versagen, w�rde er auf die ganzen
> Zahlen angewandt?
Schaunmer mal.
(p-q)*P = p*P - q*P = q*Q - q*P = q*(Q-P) < q*Q
(30-10) * 2 = ... = 10 * (6-2) < 10-6
(30-10) enth�lt nicht den Faktor 10, da 30 und 10 prim.
Passt eh nicht, weil eben 30 nicht prim ist, nur unzerlegbar.
Der Beweis beruht also wesentlich auf der Verwechslung der Eigenschaften,
unzerlegbar zu sein (vulgo: keine eigentlichen Faktoren zu haben) und prim
zu sein (vulgo: Teiler von mindestens einem Faktor eines Vielfachen zu
sein). Die sind hier aber nicht identisch.
Man k�nnte nat�rlich das Beispiel zu retten versuchen, indem man das mit
*wirklich* primen Elementen noch einmal versucht. Keine Ahnung, obs geht.
Eine etwas �bersichtlichere Struktur w�ren die nat�rlichen Zahlen
kongruent 1 mod 3 mit der Multiplikation. Die haben wenigstens eine 1, so
dass jedes Element wenigstens von sich selbst Teiler ist. Mehrdeutige
Zerlegungen in unzerlegbare Elemente gibts dort auch: 4 * 25 = 10 * 10.
--
Helmut Richter
Carsten Schultz
> On Sat, 6 Jun 2009, Carsten Schultz wrote:
>
>> WM schrieb:
>>> Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
>>> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie 49
>> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21 geht
>> am Kern des Problems vorbei. Es wird vor allem nicht klar, was nun der
>> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
>
>
> 60 = 30 * 2 = 10 * 6
>
> Nun sind 30, 2, 10 und 6 alle vier in den geraden Zahlen unzerlegbar.
> Damit haben wir eine mehrdeutige Zerlegung in unzerlegbare Elemente, und
> das Beispiel ist *soweit* (und wie wir sehen werden *nur* soweit) als
> Beispiel komplett.
>
Du erklärst das jetzt aber nicht mir, oder? Falls doch, dann
entschuldige ich mich für die undeutliche Formulierung oben.
Ralf Bader
> On Sat, 6 Jun 2009, Carsten Schultz wrote:
>
>> WM schrieb:
>> > Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
>> > http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie 49
>>
>> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21 geht
>> am Kern des Problems vorbei. Es wird vor allem nicht klar, was nun der
>> Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der dafür
>> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
...
> Der Beweis beruht also wesentlich auf der Verwechslung der Eigenschaften,
> unzerlegbar zu sein (vulgo: keine eigentlichen Faktoren zu haben) und prim
> zu sein (vulgo: Teiler von mindestens einem Faktor eines Vielfachen zu
> sein). Die sind hier aber nicht identisch.
Und daß sie in Z identisch sind, ist gerade der von Carsten genannte "Kern
des Problems", demgegenüber der von Mückenheim dargestellte "Beweis" der
triviale Teil des Gesamtarguments (für die eindeutige Primfaktorzerlegung)
ist. Eigentlich war ich darauf gespannt, was für eine Ausrede sich
Mückenheim einfallen läßt.
Helmut Richter
> Du erkl�rst das jetzt aber nicht mir, oder? Falls doch, dann
> entschuldige ich mich f�r die undeutliche Formulierung oben.
Haupts�chlich mir selbst:
Irgendwie hat mich mal die Frage interessiert, wieviel von der
Unterscheidung unzerlegbar/prim �brigbleibt, wenn man ein beliebiges
kommutatives Monoid zugrundelegt, wo die K�rzungsregel gilt, also die
Kanonen von Ringen und Idealen bei der Spatzenjagd zuhause l�sst.
Interessanterweise ziemlich alles: um ein- und mehrdeutige multiplikative
Zerlegungen zu betrachten, braucht es keine Addition. Das Beispiel im
letzten Absatz meines Beitrages ist aus eigenem Recht interessant, obwohl
es da weit und breit keine Ringe oder Ideale gibt.
Deswegen hat mich jetzt interessiert, wie der M�ckenheimsche Beweis im
Lichte *solcher* Teilbarkeitstheorie aussieht, also ohne die Kenntnisse
aus der Ringtheorie mit einzusetzen. Dass der Wurm schon ganz am Anfang
liegt, habe ich erst nach einer Weile gemerkt.
Eine andere Frage von damals ist noch offen: kann man einem kommutativen
Monoid, wo die K�rzungsregel gilt, ansehen, ob es vielleicht das
multiplikative Monoid eines Rings oder Halbrings ist, und gegebenenfalls
die Addition dazudefinieren? Oder wenigstens, ob es in einen Ring
einbettbar ist? Konkret am Beispiel: gibt es zur Multiplikation in {x aus
Z : x = 1 (mod 3)} eine passende Addition, oder warum nicht?
--
Helmut Richter
Albrecht
<bb486af6-06c7-4919...@n21g2000vba.googlegroups.com>,
Gus Gassmann <horand....@googlemail.com> wrote:
> On Jun 4, 5:15�pm, Albrecht <albrecht.st...@t-online.de> wrote:
> > In article <gvjmgj$jn...@online.de>,
> > �"Mark Wunscheid" <spamf...@gmx.gmx> wrote:
> >
> >
> >
> >
> >
> > > "Manfred Ullrich" <manfred.ullr...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
> > >news:4a1baf37$0$31329$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
> > > > Angenommen, jemand zeigt zwei Ziffern-Folgen (z.B. 100 Ziffern) und
> > > > sagt,
> > > > dass seien Ziffern von pi und e ein ganzes St�ck rechts vom Komma. Aber
> > > > er
> > > > sagt nicht, wie weit weg, sie k�nnen auch unterschiedlich weit weg
> > > > sein.
> >
> > > > Lie�e sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie
> > > > stammen?
> >
> > > ich denke nicht, dass dies unter den genannten Bedingungen m�glich ist.
> >
> > > Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enth�lt alles was
> > > wir
> > > je wu�ten und kannten und je wissen und kennen werden. In pi ist kodiert
> > > jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikst�ck,
> > > jede
> > > Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
> > > enthalten, wir wissen blo� nicht genau wo.
> >
> > Glaubst Du das? Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> > codiert? Wenn ja, dann w�rde sich pi und e nur rational unterscheiden,
> > meine ich.
>
> Glaubst Du das wirklich? Ich denke, in der Ziffernfolge von pi nach
> z.B. dem String "Durch diese hohle Gasse muss er kommen" zu suchen,
> ist offensichtlich unsinnig. Vielleicht koenntest Du erwarten, die
> ASCII-werte dieses Strings zu finden, also 068 117 114 099 104 032 ...
>
> Dementsprechend solltest Du auch weder den Buchstaben 'e' noch die
> Ziffernfolge 271828... erwarten,
Nun, mir ging es nat�rlich um die Ziffernfolge von e. Die Aussage war,
dass pi alles enth�lt, was wir je wissen k�nnen, damit wohl auch jede
Ziffernfolge von e. Wer k�nnte nun behaupten, wir w�ssten, dass pi
_nicht die ganze Ziffernfolge_ von e enth�lt? Wer kann das wie beweisen?
Gru�
Albrecht
Ulrich Lange
> Nun, mir ging es nat�rlich um die Ziffernfolge von e. Die Aussage war,
> dass pi alles enth�lt, was wir je wissen k�nnen,
Das ist eine �berinterpretation der Aussage "pi ist (vermutlich) eine
normale Zahl".
"Normale Zahl" zu sein hei�t: "Jede endliche Ziffernfolge der L�nge k
kommt in den ersten n Nachkommastellen (n hinreichend gro�) mit
relativer H�ufigkeit von ungef�hr 10^{-k} in der Ziffernfolge von pi
vor". Aus dieser Eigenschaft folgt *nichts* �ber das Auftreten von
beliebiger unendlicher Ziffernfolgen (es sei denn, man ist bekennender
Quantorenlegasteniker).
Im Gegenteil: Die Normalit�t schlie�t das Auftreten vieler unendlicher
Ziffernfolgen aus. Z.B. kann pi nicht die unendliche Folge
01001000100001.... enthalten, da sonst f�r hinreichend gro�es n die
relative H�ufigkeit der Ziffernfolge "23456789" (zum Beispiel) gegen
Null und nicht gegen 10^{-8} geht.
> damit wohl auch jede Ziffernfolge von e.
Wie gesagt: jede *endliche* Teil-Ziffernfolge von e ist tats�chlich in
pi enthalten (falls pi tats�chlich normal ist), was aber nichts �ber die
*ganze* Ziffernfolge aussagt.
> Wer k�nnte nun behaupten, wir w�ssten, dass pi
> _nicht die ganze Ziffernfolge_ von e enth�lt? Wer kann das wie beweisen?
Wenn pi und e beide normal sind, ist nicht (zumindest nicht sofort)
ausgeschlossen, da� pi die ganze Ziffernfolge von e enth�lt. Keine
Ahnung, ob dazu was bekannt ist (Allerdings g�be es dann ein n e IN, so
da� pi - n*e e IQ. Das k�nnte ein Ansatzpunkt f�r einen Gegenbeweis sein).
Christopher Creutzig
> Im Gegenteil: Die Normalit�t schlie�t das Auftreten vieler unendlicher
> Ziffernfolgen aus. Z.B. kann pi nicht die unendliche Folge
> 01001000100001.... enthalten, da sonst f�r hinreichend gro�es n die
Aber pi k�nnte diese Ziffernfolge an Positionen enthalten, die z.B.
eine arithmetische Progression haben. (Ob das jenseits einer
Zahlenmystik irgendwen interessiert, ist eine ganz andere Frage.)
>> Wer k�nnte nun behaupten, wir w�ssten, dass pi
>> _nicht die ganze Ziffernfolge_ von e enth�lt? Wer kann das wie beweisen?
>
> Wenn pi und e beide normal sind, ist nicht (zumindest nicht sofort)
> ausgeschlossen, da� pi die ganze Ziffernfolge von e enth�lt. Keine
Auch hier ist es wieder durchaus m�glich, die Fragestellung so zu
erweitern, dass man sich fragt, ob es eine einfache streng monoton
steigende Funktion f: IN -> IN gibt, so dass die n-te Stelle von e (in
welcher Basis eigentlich?) der f(n)-ten Stelle von pi entspricht.
> Ahnung, ob dazu was bekannt ist (Allerdings g�be es dann ein n e IN, so
> da� pi - n*e e IQ. Das k�nnte ein Ansatzpunkt f�r einen Gegenbeweis sein).
Wimre kann es so ein n nicht geben, denn $irgendwer hat meiner
Erinnerung nach gezeigt, dass, wenn pi und e �ber (Q algebraisch
abh�ngig sind, das Minimalpolynom mindestens Grad 8 oder 9 haben m�sste.
Aber mir f�llt partout nicht mehr ein, wo ich das gelesen zu haben meine.
Ulrich Lange
> Ulrich Lange wrote:
>
>> Im Gegenteil: Die Normalit�t schlie�t das Auftreten vieler unendlicher
>> Ziffernfolgen aus. Z.B. kann pi nicht die unendliche Folge
>> 01001000100001.... enthalten, da sonst f�r hinreichend gro�es n die
>
> Aber pi k�nnte diese Ziffernfolge an Positionen enthalten, die z.B.
> eine arithmetische Progression haben. (Ob das jenseits einer
> Zahlenmystik irgendwen interessiert, ist eine ganz andere Frage.)
Ja. Ich bin davon ausgegangen, da� es nur um aufeinanderfolgende Ziffern
in der Dezimaldarstellung von pi geht, weil diese Erweiterung auf
beliebige Positionen IMHO trivial ist (siehe unten).
>>> Wer k�nnte nun behaupten, wir w�ssten, dass pi
>>> _nicht die ganze Ziffernfolge_ von e enth�lt? Wer kann das wie beweisen?
>> Wenn pi und e beide normal sind, ist nicht (zumindest nicht sofort)
>> ausgeschlossen, da� pi die ganze Ziffernfolge von e enth�lt. Keine
>
> Auch hier ist es wieder durchaus m�glich, die Fragestellung so zu
> erweitern, dass man sich fragt, ob es eine einfache streng monoton
> steigende Funktion f: IN -> IN gibt, so dass die n-te Stelle von e (in
> welcher Basis eigentlich?) der f(n)-ten Stelle von pi entspricht.
Falls die Normalit�t (bzgl. einer bestimmten Basis) vorausgesetzt wird,
kann man die Funktion f ja ganz einfach induktiv konstruieren:
f(1) sei definiert also die kleinste Stelle von pi, die der ersten
Ziffer von e entspricht.
Sei f(n) bereits definiert und z die n+1-te Ziffer von e. Aufgrund der
Normalit�t gibt es unendlich viele m > f(n), so da� die m-te Ziffer von
pi gleich z ist. Setze f(n+1) = min{m>f(n) | m-te Ziffer von pi ist z}.
>> Ahnung, ob dazu was bekannt ist (Allerdings g�be es dann ein n e IN, so
>> da� pi - n*e e IQ. Das k�nnte ein Ansatzpunkt f�r einen Gegenbeweis sein).
>
> Wimre kann es so ein n nicht geben, denn $irgendwer hat meiner
> Erinnerung nach gezeigt, dass, wenn pi und e �ber (Q algebraisch
> abh�ngig sind, das Minimalpolynom mindestens Grad 8 oder 9 haben m�sste.
> Aber mir f�llt partout nicht mehr ein, wo ich das gelesen zu haben meine.
Interessant. Wei� jemand N�heres dazu bzw. wer $irgendwer gewesen sein
k�nnte?
Martin Vaeth
>
> Ja. Ich bin davon ausgegangen, dass es nur um aufeinanderfolgende Ziffern
> in der Dezimaldarstellung von pi geht, weil diese Erweiterung auf
Trivial? Ach so:
> Falls die Normalitaet (bzgl. einer bestimmten Basis) vorausgesetzt wird,
Aus einer vollkommen unbewiesenen Vermutung kann man natuerlich viel
folgern. Aber m.W. ist nicht bekannt, ob jede Ziffer in Pi unendlich
oft auftauchen muss (Ausnahme ist natuerlich die Basis 2, in der
die Behauptung tatsaechlich trivial ist).
Martin Vaeth
>
>> Wenn pi und e beide normal sind, ist nicht (zumindest nicht sofort)
>
> Auch hier ist es wieder durchaus m�glich, die Fragestellung so zu
> erweitern, dass man sich fragt, ob es eine einfache streng monoton
> steigende Funktion f: IN -> IN gibt, so dass die n-te Stelle von e (in
> welcher Basis eigentlich?) der f(n)-ten Stelle von pi entspricht.
Da man gemaess http://mathworld.wolfram.com/e.html
noch nicht einmal weiss, ob pi+e irrational ist, wird man vermutlich
von einer Antwort auf die erweiterte Fragestellung noch viel weiter
entfernt sein.
>> Ahnung, ob dazu was bekannt ist (Allerdings gaebe es dann ein n e IN, so
>> dass pi - n*e e IQ. Das koennte ein Ansatzpunkt fuer einen Gegenbeweis
>> sein).
"Ansatzpunkt" fuer einen Beweis wuerde ich das Formulieren der
Behauptung nicht gerade nennen... vor allem, wenn schon der
"Spezialfall" n=-1 (OK, gehoert nicht zu |N, scheint aber trotzdem
aehnlich geartet zu sein) ungeklaert ist.
> Wimre kann es so ein n nicht geben, denn $irgendwer hat meiner
> Erinnerung nach gezeigt, dass, wenn pi und e �ber (Q algebraisch
> abhaengig sind, das Minimalpolynom mindestens Grad 8 oder 9 haben
> muesste.
Laut obiger Webseite ist so etwas fuer pi+e und pi/e von Bailey und
Borwein nur fuer Koeffizienten in der Groessenordnung 10^9 verifiziert
worden.
WM
> WM schrieb:
>
> > Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
> >http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie49
>
> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21
Auf Folie 21 steht nichts über pi. Ich hatte auf Folie 49 verwiesen,
> geht
> am Kern des Problems vorbei.
Beschwerden bitte an Zermelo richten; von ihm stammt der Beweis.
> Es wird vor allem nicht klar, was nun der
> Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der dafür
> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
> An welcher Stelle würde der Beweis versagen, würde er auf die ganzen
> Zahlen angewandt?
Er wird auf die ganzen Zahlen angewandt und versagt dort nicht.
Aber die Frage, weshalb der Beweis für die geraden Zahlen nicht gilt,
habe ich mir selbstverständlich auch gestellt; immerhin ist der Beweis
von Zermelo, der bekanntlich auch einen ganz dicken Fehler gemacht
hat, indem er Dedekinds Erklärung für potentielle Unendlichkeit
missverstand und daraus ein Axiom für akzual logischen Unsinn
formuliert hat.
Meine Erklärung, weshalb Zermelos Beweis richtig ist, also nicht für
die geraden Zahlen gilt, ist diese:
Nehmen wir an, die kleinste gerade Zahl mit doppelter Zerlegung in den
geraen Zahlen sei pP = qQ. Dann ist
(p-q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q-P) < qQ
weiterhin richtig, aber es ist nicht ausgeschlossen, dass (p-q) durch
q teilbar ist.
Ich schreibe ja deshalb auf S. 21
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#296,21,Folie 21
(p-q) enthält nicht den Faktor q, da p und q prim.
Hast Du das vielleicht übersehen?
In der Vorlesung zeige ich das immer mit 16 = 8*2 = 4*4:
(8 - 4)2 = 8*2 - 4*2 = 4*4 - 4*2 = 4(4-2) = 4*2 < 4*4
Also alles ist richtig, nur ist (8 - 4)2 eben nicht von 4*2
verschieden.
Gruß, WM
WM
> On Sat, 6 Jun 2009, Carsten Schultz wrote:
> > WM schrieb:
> > > Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
> > >http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie49
>
> > Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21 geht
> > am Kern des Problems vorbei. Es wird vor allem nicht klar, was nun der
> > sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
>
>
> 60 = 30 * 2 = 10 * 6
>
> Nun sind 30, 2, 10 und 6 alle vier in den geraden Zahlen unzerlegbar.
> Damit haben wir eine mehrdeutige Zerlegung in unzerlegbare Elemente, und
> das Beispiel ist *soweit* (und wie wir sehen werden *nur* soweit) als
> Beispiel komplett.
>
> dort keine 1 gibt. Damit ist keine Zahl Teiler von sich selbst.
>
>
> - c ist unzerlegbar, wenn aus c=ab folgt, dass c|a oder c|b.
> - c ist prim, wenn schon aus c|ab folgt, dass c|a oder c|b.
>
> folgt, dass c|ab, wie es sonst gegeben ist.
>
> Nehmen wir wieder das Beispiel von oben: 30 * 2 = 10 * 6.
> 30 teilt 10*6, aber weder 10 noch 6. Damit ist 30 *nicht* prim, wiewohl
> unzerlegbar.
>
> > Zahlen angewandt?
>
> Schaunmer mal.
>
> (p-q)*P = p*P - q*P = q*Q - q*P = q*(Q-P) < q*Q
>
> (30-10) * 2 = ... = 10 * (6-2) < 10-6
>
>
> Passt eh nicht, weil eben 30 nicht prim ist, nur unzerlegbar.
>
> Der Beweis beruht also wesentlich auf der Verwechslung der Eigenschaften,
> unzerlegbar zu sein (vulgo: keine eigentlichen Faktoren zu haben) und prim
> zu sein (vulgo: Teiler von mindestens einem Faktor eines Vielfachen zu
> sein). Die sind hier aber nicht identisch.
Das ist mal wieder Mathemagie, die in den natürlichen Zahlen nichts zu
suchen hat. Dort ist jede Primzahl unzerlegbar und jede unzerlegbare
Zahl ist Primzahl.
>
> Man könnte natürlich das Beispiel zu retten versuchen, indem man das mit
> *wirklich* primen Elementen noch einmal versucht.
Da gibt's nichts zu retten. Der Beweis stammt von Zermelo. Und hier
irrte Zermelo nicht.
Wer absolut nicht versteht, was hier vorgeht, der zerlege doch einfach
60 = 30*2 = 10*6 mit geraden Unzerlegbaren
(30 - 10)*2 = 30*2 - 10*2 = 10*6 - 10*2 = 10*(6 - 2) = 10*4 < 60
Weder indoktrinierte Studenten noch ein durchschnittliches
Fußgängerzonenpublikum finden einen Fehler, denn es ist keiner da.
20*2 = 10*4 = 10*2*2 eine eindeutig in gerade Unzerlegbare zerlegbare
Zahl.
Gruß, WM
WM
> > entschuldige ich mich für die undeutliche Formulierung oben.
>
>
> Irgendwie hat mich mal die Frage interessiert, wieviel von der
In den natürlichen Zahlen bleibt davon gar nichts übrig. Im Rest ist
es eine reine Definitionssache.
> wenn man ein beliebiges
> kommutatives Monoid zugrundelegt, wo die Kürzungsregel gilt, also die
> Kanonen von Ringen und Idealen bei der Spatzenjagd zuhause lässt.
> Interessanterweise ziemlich alles: um ein- und mehrdeutige multiplikative
> Zerlegungen zu betrachten, braucht es keine Addition. Das Beispiel im
> letzten Absatz meines Beitrages ist aus eigenem Recht interessant, obwohl
> es da weit und breit keine Ringe oder Ideale gibt.
>
> Deswegen hat mich jetzt interessiert, wie der Mückenheimsche Beweis im
> Lichte *solcher* Teilbarkeitstheorie aussieht, also ohne die Kenntnisse
> aus der Ringtheorie mit einzusetzen. Dass der Wurm schon ganz am Anfang
> liegt, habe ich erst nach einer Weile gemerkt.
Hat Zermelo, von dem dieser schöne Beweis stammt, hier einen Wurm
geschossen?
Naja. Cantors Beweis habe ich früher auch in den höchsten Tönen
gepriesen, bis ich drauf kam, dass Cantor nur einen Wurm geschossen
hat. Also wenn Zermelo doch irgendwie falsch liegt, was ich allerdings
bisher nicht zu erkennen vermochte, dann bitte ich um Aufklärung.
Gruß, WM
WM
> Gus Gassmann <horand.gassm...@googlemail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > On Jun 4, 5:15 pm, Albrecht <albrecht.st...@t-online.de> wrote:
> > > In article <gvjmgj$jn...@online.de>,
> > > "Mark Wunscheid" <spamf...@gmx.gmx> wrote:
>
> > > > "Manfred Ullrich" <manfred.ullr...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
> > > >news:4a1baf37$0$31329$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
> > > > > Angenommen, jemand zeigt zwei Ziffern-Folgen (z.B. 100 Ziffern) und
> > > > > sagt,
> > > > > er
> > > > > sagt nicht, wie weit weg, sie können auch unterschiedlich weit weg
> > > > > sein.
>
> > > > > Ließe sich aus diesen Ziffernfolgen sicher ermitteln, woher sie
> > > > > stammen?
>
> > > > ich denke nicht, dass dies unter den genannten Bedingungen möglich ist.
>
> > > > Aber interessant ist ein ganz andrer Gedankengang, pi enthält alles was
> > > > wir
> > > > jedes Buch, jedes Bild, jeder Film, jede Tonaufnahme, jedes Musikstück,
> > > > jede
> > > > Erfindung, jeder Lebenslauf, einfach alles aus Vergangenheit und Zukunft
>
> > > Glaubst Du das? Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> > > meine ich.
>
> > Glaubst Du das wirklich? Ich denke, in der Ziffernfolge von pi nach
> > z.B. dem String "Durch diese hohle Gasse muss er kommen" zu suchen,
> > ist offensichtlich unsinnig. Vielleicht koenntest Du erwarten, die
> > ASCII-werte dieses Strings zu finden, also 068 117 114 099 104 032 ...
>
> > Dementsprechend solltest Du auch weder den Buchstaben 'e' noch die
> > Ziffernfolge 271828... erwarten,
>
> dass pi alles enthält, was wir je wissen können, damit wohl auch jede
> Ziffernfolge von e. Wer könnte nun behaupten, wir wüssten, dass pi
> _nicht die ganze Ziffernfolge_ von e enthält? Wer kann das wie beweisen?
Mit einem Rest von gesundem Menschenverstand, braucht man dafür keinen
Beweis. Wer aber tatsächlich akzeptiert, dass die Zahl pi aktual
komplett existiert und sich selbst zwei-, drei- oder aleph_0-mal
enthält, also aleph_0 Teilfolgen, die identisch mit der sie
enthaltenden Folge sind, dem gegenüber kann man gar nichts beweisen,
sondern allenfalls eine psychiatrische Untersuchung in Vorschlag
bringen.
Gruß, WM
WM
> Wie gesagt: jede *endliche* Teil-Ziffernfolge von e ist tatsächlich in
> pi enthalten (falls pi tatsächlich normal ist), was aber nichts über die
> *ganze* Ziffernfolge aussagt.
Was bliebe denn von e oder pi übrig, wenn man jede endliche
Ziffernfolge, die ja gar nichts aussagt, entfernte?
Gruß, WM
WM
wrote:
> Aber m.W. ist nicht bekannt, ob jede Ziffer in Pi unendlich
> oft auftauchen muss
Vieles deutet darauf hin, zum Beispiel die akribische Untersuchung der
ersten 1000 Stellen.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#291,51,Folie 51
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#290,52,Folie 52
Gruß, WM
Christopher Creutzig
>> Auch hier ist es wieder durchaus m�glich, die Fragestellung so zu
>> erweitern, dass man sich fragt, ob es eine einfache streng monoton
>> steigende Funktion f: IN -> IN gibt, so dass die n-te Stelle von e (in
>> welcher Basis eigentlich?) der f(n)-ten Stelle von pi entspricht.
>
> Falls die Normalit�t (bzgl. einer bestimmten Basis) vorausgesetzt wird,
> kann man die Funktion f ja ganz einfach induktiv konstruieren:
Ja, ich meinte aber schon eine �einfache� Funktion. Beispielsweise ein
Polynom kleinen Grades.
--
Man kann auf seinem Standpunkt stehen,
aber man sollte nicht darauf sitzen.
(Erich K�stner)
Carsten Schultz
> On 6 Jun., 14:25, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>>> Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
>>> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie49
>> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21
>
> Auf Folie 21 steht nichts über pi. Ich hatte auf Folie 49 verwiesen,
Warum so defensiv, ist Kritik nicht etwas Gutes?
>> geht
>> am Kern des Problems vorbei.
>
> Beschwerden bitte an Zermelo richten; von ihm stammt der Beweis.
>
Das ist völlig unerheblich.
>> Es wird vor allem nicht klar, was nun der
>> Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der dafür
>> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
>> An welcher Stelle würde der Beweis versagen, würde er auf die ganzen
>> Zahlen angewandt?
>
> Er wird auf die ganzen Zahlen angewandt und versagt dort nicht.
>
> Aber die Frage, weshalb der Beweis für die geraden Zahlen nicht gilt,
> habe ich mir selbstverständlich auch gestellt; immerhin ist der Beweis
> von Zermelo, der bekanntlich auch einen ganz dicken Fehler gemacht
> hat, indem er Dedekinds Erklärung für potentielle Unendlichkeit
> missverstand und daraus ein Axiom für akzual logischen Unsinn
> formuliert hat.
Ja, ja, schon klar.
> Meine Erklärung, weshalb Zermelos Beweis richtig ist, also nicht für
> die geraden Zahlen gilt, ist diese:
> Nehmen wir an, die kleinste gerade Zahl mit doppelter Zerlegung in den
> geraen Zahlen sei pP = qQ. Dann ist
>
> (p-q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q-P) < qQ
> weiterhin richtig, aber es ist nicht ausgeschlossen, dass (p-q) durch
> q teilbar ist.
> Ich schreibe ja deshalb auf S. 21
> http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#296,21,Folie 21
> (p-q) enthält nicht den Faktor q, da p und q prim.
>
> Hast Du das vielleicht übersehen?
>
Das hatte ich schon gesehen. In der Tat bin ich hier verwirrt worden,
weil ich nicht ausreichend nachgedacht habe. Die Aussage „wenn p-q
durch q teilbar ist, dann ist auch p durch q teilbar“ liegt ja nicht so
sehr daran, dass die Zahlen prim sind, sondern mehr daran, dass die
ganzen Zahlen ein Ring mit 1 sind. Ich hatte daher gedacht, hier würden
unbewiesene Eigenschaften von Primzahlen benutzt. Mein Fehler.
Was hier benutzt wird, ist also die Existenz der 1 sowie die Ordnung auf
den ganzen Zahlen.
> In der Vorlesung zeige ich das immer mit 16 = 8*2 = 4*4:
> (8 - 4)2 = 8*2 - 4*2 = 4*4 - 4*2 = 4(4-2) = 4*2 < 4*4
>
> Also alles ist richtig, nur ist (8 - 4)2 eben nicht von 4*2
> verschieden.
Richtig. Interessant wäre natürlich, an dieser Stelle auch ein
Gegenbeispiel in einem Ring mit 1 zu bringen, aber die leider etwas
komplizierter.
Jedenfalls war ich voreilig und habe wieder etwas gelernt.
Ralf Bader
> On 6 Jun., 14:25, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>> > Mehr *Pi*kanterien findet man hier:
>> >http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU03.PPT#294,49,Folie49
>>
>> Der Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung auf Folie 21
>
> Auf Folie 21 steht nichts über pi. Ich hatte auf Folie 49 verwiesen,
>> geht
>> am Kern des Problems vorbei.
>
> Beschwerden bitte an Zermelo richten; von ihm stammt der Beweis.
Der Beweis ist, entgegen meiner früheren Behauptung, korrekt.
>> Es wird vor allem nicht klar, was nun der
>> Unterschied zwischen den geraden und den ganzen Zahlen ist, der dafür
>> sorgt, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung im ersten Fall nicht gilt.
>> An welcher Stelle würde der Beweis versagen, würde er auf die ganzen
>> Zahlen angewandt?
>
> Er wird auf die ganzen Zahlen angewandt und versagt dort nicht.
>
> Aber die Frage, weshalb der Beweis für die geraden Zahlen nicht gilt,
> habe ich mir selbstverständlich auch gestellt; immerhin ist der Beweis
> von Zermelo, der bekanntlich auch einen ganz dicken Fehler gemacht
> hat, indem er Dedekinds Erklärung für potentielle Unendlichkeit
> missverstand und daraus ein Axiom für akzual logischen Unsinn
> formuliert hat.
>
> Meine Erklärung, weshalb Zermelos Beweis richtig ist, also nicht für
> die geraden Zahlen gilt, ist diese:
> Nehmen wir an, die kleinste gerade Zahl mit doppelter Zerlegung in den
> geraen Zahlen sei pP = qQ. Dann ist
>
> (p-q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q-P) < qQ
> weiterhin richtig, aber es ist nicht ausgeschlossen, dass (p-q) durch
> q teilbar ist.
Auch das ist zutreffend. Die kleinste nichteindeutige Zerlegung ergibt sich
für 36 = 6*6 = 2*18 (um überhaupt zerlegbar zu sein, muß die Zahl durch 4
teilbar sein, und für die Mehrdeutigkeit muß sie mindestens 2 ungerade
Primfaktoren enthalten). Hier ist p-q = 6-2 = 2*2. Wäre in den ganzen
Zahlen p-q = q*x, so p = q*(x+1), und da p und q prim sind, muß x+1=1 sein.
In den geraden Zahlen scheitert das i.a. an der fehlenden 1.
Im Ring der komplexen Zahlen der Form a+ib*sqrt(3), a, b ganz, zerfällt
4 = 2*2 = (1-sqrt(-3))*(1+sqrt(-3)) auf verschiedene Weise in unzerlegbare
Faktoren. Hier gibt es eine 1, aber keine (im Zermeloschen Beweis
verwendete) Anordnung.
Helmut Richter
> On 6 Jun., 17:59, Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
> > Der Beweis beruht also wesentlich auf der Verwechslung der Eigenschaften,
> > unzerlegbar zu sein (vulgo: keine eigentlichen Faktoren zu haben) und prim
> > zu sein (vulgo: Teiler von mindestens einem Faktor eines Vielfachen zu
> > sein). Die sind hier aber nicht identisch.
>
> Das ist mal wieder Mathemagie, die in den nat�rlichen Zahlen nichts zu
> suchen hat. Dort ist jede Primzahl unzerlegbar und jede unzerlegbare
> Zahl ist Primzahl.
Anders ausgedr�ckt: Es kommt darauf an, welche Eigenschaften von
Primzahlen man benutzt. Benutzt man nur, dass sie unzerlegbar sind (dass
also aus p=ab folgt, dass a oder b gleich �1 sein muss), dann ist der
Beweis in Ordnung. Benutzt man aber, dass sie im pr�zisen Sinn prim sind
(dass also, wenn p|ab, dann p|a oder p|b), dann ist der Beweis hinf�llig,
weil das ja schon die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung ist, die man ja
erst zeigen will. Ebensowenig darf man nat�rlich benutzen, dass in den
nat�rlichen Zahlen "diese Mathemagie nichts zu suchen hat", weil die
Begriffe eh �bereinstimmen -- auch das will man ja erst zeigen.
Anscheinend wird aber wirklich nur benutzt, was man schon weiďż˝ und nicht,
was man erst zeigen will, und der Beweis ist in Ordnung.
Und das Gegenbeispiel mit den geraden Zahlen ist wirklich verwirrend, weil
wegen der fehlenden 1 bei den geraden Zahlen *alles* ganz anders ist als
bei den nat�rlichen oder ganzen. Das Beispiel mit den nat�rlichen Zahlen
mit Rest 1 mod 3 ist m.E. besser und zeigt denselben Mehrdeutigkeitseffekt
trotz vorhandener 1. Brauchbare Gegenbeispiele mit Ringen sind komplexer,
sind aber nach meinem Geschmack Overkill.
--
Helmut Richter
Ulrich Lange
> Ulrich Lange <ulrich...@invalid.invalid> schrieb:
>> Ja. Ich bin davon ausgegangen, dass es nur um aufeinanderfolgende Ziffern
>> in der Dezimaldarstellung von pi geht, weil diese Erweiterung auf
>> beliebige Positionen IMHO trivial ist [...]
>
> Trivial? Ach so:
>
>> Falls die Normalitaet (bzgl. einer bestimmten Basis) vorausgesetzt wird,
>
> Aus einer vollkommen unbewiesenen Vermutung kann man natuerlich viel
> folgern.
Sicher. Aber der ganze Thread dreht sich aber nun mal um die Frage "Was
wï¿œren die Konsequenzen, wenn pi normal wï¿œre?".
(Ich wollte mit meinen Beitrￜgen auch nur klarstellen, daￜ die
Konsequenzen weit weniger spektakulï¿œr und bizarr wï¿œren, als manche
Teilnehmer hier mutmaï¿œen.)
--
Gruￜ, Ulrich Lange
Ulrich Lange
> On 7 Jun., 10:58, Ulrich Lange <ulrich.la...@invalid.invalid> wrote:
>
>> pi enthalten (falls pi tats�chlich normal ist), was aber nichts �ber die
>> *ganze* Ziffernfolge aussagt.
>
> Was bliebe denn von e oder pi �brig, wenn man jede endliche
> Ziffernfolge, die ja gar nichts aussagt, entfernte?
Zwischen meiner Aussage und dieser Frage besteht -- au�er f�r bekennende
Quantorenlegastheniker -- kein Zusammenhang.
Es bringt doch nichts, wenn wir Dein bekanntes Problem mit der Tatsache,
da� eine Aussage, die f�r alle n e IN gilt, nicht zwangsl�ufig f�r ganz
IN gelten mu�, jetzt auch noch in der Variante "normale Zahlen" nochmal
durchkauen w�rden.
> Gru�, WM
Waren wir nicht schon mal bei "letzter Gru�"? Ich f�r meinen Teil w�rde
es gerne dabei belassen.
--
Martin Vaeth
> Martin Vaeth schrieb:
>>
>> Trivial? Ach so:
>>
>>> Falls die Normalitaet (bzgl. einer bestimmten Basis) vorausgesetzt wird,
>>
>> Aus einer vollkommen unbewiesenen Vermutung kann man natuerlich viel
>> folgern.
>
> Sicher. Aber der ganze Thread dreht sich aber nun mal um die Frage "Was
Ja, ich war auch nur verbluefft, weil ich mir bei der Antwort auf das
vorherige Posting gerade klargemacht hatte, dass diese Frage vermutlich
derzeit nicht beantwortet werden kann. (Wobei ich zugeben muss, dass
ich das vorherige Posting zunaechst unordentlich gelesen hatte und -
wegen des dort gegebenen Beispiels - gedacht hatte, dass eine spezielle
Klasse von Funktionen wie etwa arithmetische Progressionen gemeint sei).
Stephan Gerlach
> On 4 Jun., 22:15, Albrecht <albrecht.st...@t-online.de> wrote:
>> Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
>> meine ich.
>> Wenn nein, in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
>> "je wu�ten und kannten und kennen werden"?
>
> Wenn pi unendlich viele Stellen besitzt und normal ist, und wenn, wie
> manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
> vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
> in pi vor.
Bin mir nicht ganz sicher, was mit
"jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen"
gemeint ist. Wenn ich als "endliche Folge(n)" z.B. die (einelementige)
Folge (1) nehme, und aus diesen die unendliche Folge (1,1,1,...) bilde,
f�llt die dann auch darunter?
> Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
> Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
> unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
> von pi unendlich oft vorkommen.
Nein. "Eine Zahl x ist normal" bedeutet zwar, da� sie jede beliebige
*endliche* Ziffernfolge (unendlich oft) enthalten mu�. Aber nicht jede
beliebige *unendliche* Ziffernfolge. Denn dann k�nnte x ja gerade nicht
mehr jede endliche Ziffernfolge enthalten, und w�re demzufolge gar nicht
normal.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Stephan Gerlach
> Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> codiert?
Das kommt darauf an, was man unter "codiert" versteht. Wenn man als
"Codierung von e" eine der �blichen Darstellungsformeln f�r e betrachtet
(z.B. e = lim_n->oo (1+1/n)^n) und diese in Dezimal-Code umwandelt, ist
e nat�rlich in pi codiert. Wenn man als "Codierung von e" allerdings nur
die unendliche Dezimaldarstellung zul��t, ist e nat�rlich(?) nicht auf
diese Weise in pi codiert.
> Wenn ja, dann w�rde sich pi und e nur rational unterscheiden,
> meine ich.
Wenn man mit "Codierung" letztere Interpretation nimmt, ja.
> Wenn nein,...
Da, wie's aussieht, "nein" gilt:
Was hat das f�r einen Einflu� auf die Antwort auf die folgende Frage?
> ... in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
> "je wu�ten und kannten und kennen werden"?
Ulrich Lange
> Ulrich Lange wrote:
>
>>> Auch hier ist es wieder durchaus m�glich, die Fragestellung so zu
>>> erweitern, dass man sich fragt, ob es eine einfache streng monoton
>>> steigende Funktion f: IN -> IN gibt, so dass die n-te Stelle von e (in
>>> welcher Basis eigentlich?) der f(n)-ten Stelle von pi entspricht.
>> Falls die Normalit�t (bzgl. einer bestimmten Basis) vorausgesetzt wird,
>> kann man die Funktion f ja ganz einfach induktiv konstruieren:
>
> Ja, ich meinte aber schon eine �einfache� Funktion. Beispielsweise ein
> Polynom kleinen Grades.
Ach so. Jetzt habe ich, glaube ich, verstanden, worauf Du
hinauswolltest. Zur Kl�rung vielleicht folgende einfache Spielerei mit
einer anderen normalen Zahl:
Die "Champernowne-Zahl", die durch "Hintereinanderschreiben" aller
nat�rlichen Zahlen entsteht:
0.12345678910111213141516171920...
ist normal (zur Basis 10). Ich betrachte die "genau k-stelligen Zahlen".
Davon gibt es 9*10^{k-1} St�ck und diese stellen also 9*k*10^{k-1}
aufeinanderfolgende Ziffern in der Champernowne-Zahl. Die letzte Ziffer
dieses Ziffernblocks ist nat�rlich eine 9.
Das hei�t also, f�r
f(n) = sum(9*k*10^{k-1},k=1..n) = ((9*n-1)*10^n+1)/9
ist die f(n)-te Stelle der Champernowne-Zahl immer eine 9. Ich gehe mal
davon aus, da� Du dieses f auch noch als "einfach" bezeichnen w�rdest, oder?
Ich sehe ein, da� die Frage, was die "einfachste" Funktion f(n) ist, f�r
die die f(n)-te Stelle immer noch eine 9 ist, nicht trivial ist und
interessant sein k�nnte. Eine arithmetische Progression, also
f(n) = c + n*d
w�re ja hier z.B. schon zu "einfach", da ein mehr als d-stelliger
Ziffernblock, der keine 9 enth�lt, dann relative H�ufigkeit 0 h�tte (im
Widerspruch zur Normalit�t).
(Das Argument gegen das Auftauchen von 9ern in arithmetischer
Progression versagt nat�rlich bei der Frage, ob die Ziffern von e in
arithmetischer Progression in den Ziffern von pi auftauchen).
--
Gru�, Ulrich Lange
WM
wrote:
> WM schrieb:
>
> > On 4 Jun., 22:15, Albrecht <albrecht.st...@t-online.de> wrote:
> >> Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> >> meine ich.
> >> Wenn nein, in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
>
> > Wenn pi unendlich viele Stellen besitzt und normal ist, und wenn, wie
> > manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
> > vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
> > in pi vor.
>
> Bin mir nicht ganz sicher, was mit
> "jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen"
> gemeint ist. Wenn ich als "endliche Folge(n)" z.B. die (einelementige)
> Folge (1) nehme, und aus diesen die unendliche Folge (1,1,1,...) bilde,
Mich darfst Du da nicht fragen. Hier hieß es irgendwo:
„101 032 061 032 115 118 109 ... 033.
Wenn pi normal ist, dann sollte diese Ziffernfolge vorkommen, und zwar
unendlich oft.”
Das würde also eine unendliche Folge ergeben (möglicherweise mit
unendlich vielen möglicherweise verschieden langen Zwischenstücken).
Deswegen müsste, aus Gründen der Gleichberechtigung, jede endliche
Ziffernfolge von pi auch in pi vorkommen. Eine von unendlich vielen,
bestehend aus Einzelziffern, fällt hier ab:
3.141592653589793238462643383279502884
197169399375105820974944592307816
4062862089986280348253421170679821480865
132823066470938446095505822317253594081284811174
50284102701938521105559644622948954930381
964428810975665933446128475648
23378678316527120190914564856
69234603486104
54326648213393607260249141273724587006606
31558817488152092096282925409171
5364367892590360011330530548
82046652138414695194151160
9433057270365
75
959195
309218611738193
2611793105118548074462
37996274956735188575272489122793
81830119491298336733624
4065664308602139494
639522473719070
217986094370277053921717
629317675238
46748184676694051
3200056812714526
35608277857713427577
8960917363717872146844090122495
34301465495853710507922796892589
23542019956112129021960864034418159813629
774771309960518707211349999998372978049
9
51
05973173
2
81609631
859502445945534690830264252230825334
4685035261931...
...
>
> > Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
> > Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
> > unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
> > von pi unendlich oft vorkommen.
>
> Nein. "Eine Zahl x ist normal" bedeutet zwar, daß sie jede beliebige
> *endliche* Ziffernfolge (unendlich oft) enthalten muß.
Also auch jeden Anfangsabschnitt der Zahl pi mit n Ziffern. Die
Ziffern der Zahl pi sind die Vereinigung aller ihrer beliebig langen
endlichen Abschnitte. Mehr ist da einfach nicht drin. Eine Vereinigung
von komplett existierenden endlichen Abschnitten ist aber ein
endlicher Abschnitt – jedenfalls nach der Logik, die allein als
begründet und richtig zu betrachten ist:
... classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets
and their subsets .... Forgetful of this limited origin, one
afterwards mistook that logic for something above and prior to all
mathematics, and finally applied it, without justification, to the
mathematics of infinite sets. ... As Brouwer pointed out this is a
fallacy, the Fall and Original sin of set theory even if no paradoxes
result from it. (H. Weyl)
Die durch Zermelos bedauerliches Missverständnis der Dedekindschen
Plausibilitätsbetrachtung über das potentiell Unendliche leider
geschehene vollkommene Entwertung der Fregeschen Bemühungen zum
Quantorenproblem ist sicher ungeeignet, Licht in das Dunkel der
Unendlichkeit zu bringen.
Die Ziffernfolge ist entweder nicht vollständig existent, dann kann
auch nicht über das vollständige Enthaltensein derselben in sich
entschieden werden, oder es muss eine völlig unbegründete Abart von
Logik angewendet werden, wobei man ständig das potentiell Unendliche
und das aktual Unendliche verwechselt, wie es leider heute immer
wieder geschieht.
> Aber nicht jede
> beliebige *unendliche* Ziffernfolge. Denn dann könnte x ja gerade nicht
> mehr jede endliche Ziffernfolge enthalten, und wäre demzufolge gar nicht
> normal.
Nicht ohne Unterbrechung. Aber siehe obiges Beispiel: Dort ist eine
Teilfolge aller Einzelziffern in der Folge enthalten.
Selbstverständlich ist auch die Folge aller aufeinander folgenden
Ziffernpaare vorhanden (falls pi normal ist). Ebenso die Folge aller
aufeinander folgenden Tripel und n-Tupel für jedes n.
Pi enthält also sich selbst und alle seine Bruchstücke mit gehörigen
Zwischenräumen. Die Zeichenfolge von pi ist demnach länger als die
Zeichenfolge von pi, und zwar unendlich viel länger. Es ist dasselbe
Problem wie bei Tristram Shandy. Wunderbar unintuitiv. Allerdings nur
durch einen kleinen, aber folgenreichen Fehler in der Logik bedingt.
Gruß, WM
WM
wrote:
> Albrecht schrieb:
>
Wenn man als "Codierung von e" allerdings nur
> diese Weise in pi codiert.
Wenn man annimmt, dass alle Ziffern von pi und e existieren, dann ist
e natürlich in pi codiert, denn es ist jeder endliche Anfangsabschnitt
von e in pi codiert, und mehr als endliche Anfangsabschnitte kann man
mit endlichen natürlichen Zahlen nicht indizieren. e besteht nicht aus
mehr als allen endlichen Anfangsabschnitten, so wie N nicht mehr als
alle endlichen Zahlen enthält.
Gruß, WM
Stephan Gerlach
>>> manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
>>> vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
>>> in pi vor.
>> Bin mir nicht ganz sicher, was mit
>> "jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen"
>> gemeint ist. Wenn ich als "endliche Folge(n)" z.B. die (einelementige)
>> Folge (1) nehme, und aus diesen die unendliche Folge (1,1,1,...) bilde,
>
> Mich darfst Du da nicht fragen. Hier hie� es irgendwo:
> �101 032 061 032 115 118 109 ... 033.
> Wenn pi normal ist, dann sollte diese Ziffernfolge vorkommen, und zwar
Ach so, das.
> Das w�rde also eine unendliche Folge ergeben (m�glicherweise mit
> unendlich vielen m�glicherweise verschieden langen Zwischenst�cken).
Die oben erw�hnte Folge ist aber eine endliche Ziffernfolge. Die kommt
in jeder normalen Zahl (und falls pi normal ist, eben auch in pi) per
Definition vor.
> Deswegen m�sste, aus Gr�nden der Gleichberechtigung, jede endliche
> Ziffernfolge von pi auch in pi vorkommen.
Das ist doch eine Tautologie?! Das ist so, als ob ich sage "die Zahl
1234 enth�lt die Ziffernfolgen 1, 2, 3, 4, 12, 23, 34, 123, 234, 1234",
also ihre eigenen endlichen Ziffernfolgen.
> Eine von unendlich vielen,
> bestehend aus Einzelziffern, f�llt hier ab:
Was hei�t "f�llt hier ab"? Hei�t das "ist nicht in pi enthalten"?
>>> Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
>>> Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
>>> unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
>>> von pi unendlich oft vorkommen.
>> Nein. "Eine Zahl x ist normal" bedeutet zwar, da� sie jede beliebige
>> *endliche* Ziffernfolge (unendlich oft) enthalten mu�.
>
> Also auch jeden Anfangsabschnitt der Zahl pi mit n Ziffern.
Ja.
> Die
> Ziffern der Zahl pi sind die Vereinigung aller ihrer beliebig langen
> endlichen Abschnitte.
Was hei�t "Vereinigung von Abschnitten"? "Vereinigen" kann man 2 (oder
mehr) Mengen(!), aber keine Abschnitte. Nat�rlich kann ich die folgende
Vereinigungsmenge
{1} u {14} u {141} u {1415} u {14159} u ...
= {1, 14, 141, 1415, 14159, ...}
bilden; vielleicht war das gemeint. Da habe ich aber keine Abschnitte
vereinigt, sondern eben (in diesem Fall einelementige) Mengen. Als
Ergebnis einer Mengen-Vereinigung kommt auch eine Menge heraus.
> Mehr ist da einfach nicht drin. Eine Vereinigung
> von komplett existierenden endlichen Abschnitten ist aber ein
> endlicher Abschnitt
Wenn man "Abschnitt(e)" durch "Menge(n)" ersetzt:
Nicht notwendigerweise, sofern es eine unendliche Vereinigung ist; d.h.
wenn unendlich viele solcher endlichen Mengen vereinigt werden. Z.B. die
obige Menge enth�lt unendlich viele Elemente (die Zahl pi-3 ist BTW
allerdings nicht dabei...).
[...]
> Selbstverst�ndlich ist auch die Folge aller aufeinander folgenden
> Ziffernpaare vorhanden (falls pi normal ist). Ebenso die Folge aller
> aufeinander folgenden Tripel und n-Tupel f�r jedes n.
Ja, da bis hier die Ziffernfolgen endlich bleiben.
> Pi enth�lt also sich selbst
Das ist ja trivial...
> und alle seine Bruchst�cke
... das auch noch, siehe oben die Bemerkung zur Tautologie...
> mit geh�rigen Zwischenr�umen.
... das allerdings nicht mehr, sofern man auch unendliche Ziffernfolgen
zul��t. Will hei�en, in pi mu� *nicht* jede unendliche "Ziffernfolge aus
pi mit Zwischenr�umen" vorkommen; selbst wenn pi normal sein sollte.
> Die Zeichenfolge von pi ist demnach l�nger als die
> Zeichenfolge von pi, und zwar unendlich viel l�nger.
Diese Schlu�folgerung ist dann wohl so nicht ganz richtig.
Denn daraus, da� eine normale Zahl (worunter pi vielleicht f�llt) jede
*endlichen* Ziffernfolge enth�lt, folgt eben *nicht*, da� sie jede
*unendliche* Ziffernfolge (also insbesondere auch nicht
"bruchst�ckhafte" unendliche Ziffernfolgen aus sich selbst) enthalten mu�.
WM
wrote:
> WM schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 8 Jun., 15:02, Stephan Gerlach <mam99...@studserv.uni-leipzig.de>
> > wrote:
> >> WM schrieb:
>
> >>> Wenn pi unendlich viele Stellen besitzt und normal ist, und wenn, wie
> >>> manche meinen, jede endliche Folge von Zeichen unendlich oft darin
> >>> vorkommt, so kommt also jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen
> >>> in pi vor.
> >> Bin mir nicht ganz sicher, was mit
> >> "jede unendliche Folge dieser endlichen Folgen"
> >> gemeint ist. Wenn ich als "endliche Folge(n)" z.B. die (einelementige)
> >> Folge (1) nehme, und aus diesen die unendliche Folge (1,1,1,...) bilde,
>
> > Mich darfst Du da nicht fragen. Hier hieß es irgendwo:
> > „101 032 061 032 115 118 109 ... 033.
> > Wenn pi normal ist, dann sollte diese Ziffernfolge vorkommen, und zwar
>
> Ach so, das.
>
> > Das würde also eine unendliche Folge ergeben (möglicherweise mit
> > unendlich vielen möglicherweise verschieden langen Zwischenstücken).
>
> in jeder normalen Zahl (und falls pi normal ist, eben auch in pi) per
> Definition vor.
Auch unendlich oft?
>
> > Deswegen müsste, aus Gründen der Gleichberechtigung, jede endliche
> > Ziffernfolge von pi auch in pi vorkommen.
>
> Das ist doch eine Tautologie?! Das ist so, als ob ich sage "die Zahl
> 1234 enthält die Ziffernfolgen 1, 2, 3, 4, 12, 23, 34, 123, 234, 1234",
> also ihre eigenen endlichen Ziffernfolgen.
>
Ich meine damit natürlich nicht die primäre Folge, aus der pi besteht,
sondern die Wiederholung der Folge 314 an einer späteren Stelle (und
unendlich vielen weiteren).
>
>
>
>
> > Eine von unendlich vielen,
> > bestehend aus Einzelziffern, fällt hier ab:
> Was heißt "fällt hier ab"?
Das sollte ein Wortspiel sein - vielleicht nicht gut gelungen. Schau
Dir die ersten Ziffern in der Senkrechten an. Dort ist die
Ziffernfolge von pi von oben nach unten geschrieben. Das beweist, wenn
es denn immer so weiter geht, dass pi die Ziffernfolge von pi nicht
nur in der primären Form enthält (alle Zeilen fortlaufend aneinander
gefügt, sondern dass die Ziffernfolge (unendlich oft) nochmals in der
primären enthalten ist.
> Heißt das "ist nicht in pi enthalten"?
>
> >>> Doch wie steht es mit sich nicht wiederholenden unendlichen
> >>> Folgen? Sind sie ausgeschlossen? Wohl kaum. Insbesondere sollte die
> >>> unendliche Folge der Ziffern von pi in der unendlichen Ziffernfolge
> >>> von pi unendlich oft vorkommen.
> >> Nein. "Eine Zahl x ist normal" bedeutet zwar, daß sie jede beliebige
> >> *endliche* Ziffernfolge (unendlich oft) enthalten muß.
>
> > Also auch jeden Anfangsabschnitt der Zahl pi mit n Ziffern.
>
> Ja.
>
> > Die
> > Ziffern der Zahl pi sind die Vereinigung aller ihrer beliebig langen
> > endlichen Abschnitte.
>
> Was heißt "Vereinigung von Abschnitten"? "Vereinigen" kann man 2 (oder
> mehr) Mengen(!), aber keine Abschnitte. Natürlich kann ich die folgende
> Vereinigungsmenge
> {1} u {14} u {141} u {1415} u {14159} u ...
> = {1, 14, 141, 1415, 14159, ...}
> bilden; vielleicht war das gemeint. Da habe ich aber keine Abschnitte
> vereinigt, sondern eben (in diesem Fall einelementige) Mengen. Als
> Ergebnis einer Mengen-Vereinigung kommt auch eine Menge heraus.
Unter Vereinigung von Abschnitten verstehe ich den Abschnitt, der
entsteht, wenn man alle Abschnitte
3
3,1
3,14
...
übereinande projiziert. Im endlichen Falle wäre 3,14 die Vereinigung
von 3 und 3,1 und 3,14.
>
> > Mehr ist da einfach nicht drin. Eine Vereinigung
> > von komplett existierenden endlichen Abschnitten ist aber ein
> > endlicher Abschnitt
>
> > Selbstverständlich ist auch die Folge aller aufeinander folgenden
> > Ziffernpaare vorhanden (falls pi normal ist). Ebenso die Folge aller
> > aufeinander folgenden Tripel und n-Tupel für jedes n.
>
> Ja, da bis hier die Ziffernfolgen endlich bleiben.
>
> > Pi enthält also sich selbst
>
> Das ist ja trivial...
>
> > und alle seine Bruchstücke
>
> ... das auch noch, siehe oben die Bemerkung zur Tautologie...
>
> > mit gehörigen Zwischenräumen.
>
> ... das allerdings nicht mehr, sofern man auch unendliche Ziffernfolgen
> zuläßt. Will heißen, in pi muß *nicht* jede unendliche "Ziffernfolge aus
> pi mit Zwischenräumen" vorkommen; selbst wenn pi normal sein sollte.
Wenn Du die oben "abfallende" Folge betrachtest, so enthält pi alle
Ziffern der Primärfolge mit Zwischenräumen. Das kann man ebenso für
alle Ziffernpaare
3,1...41...59...
und alle n-Tupel konstruieren.
>
> > Die Zeichenfolge von pi ist demnach länger als die
> > Zeichenfolge von pi, und zwar unendlich viel länger.
>
> Diese Schlußfolgerung ist dann wohl so nicht ganz richtig.
> Denn daraus, daß eine normale Zahl (worunter pi vielleicht fällt) jede
> *endlichen* Ziffernfolge enthält, folgt eben *nicht*, daß sie jede
> *unendliche* Ziffernfolge (also insbesondere auch nicht
> "bruchstückhafte" unendliche Ziffernfolgen aus sich selbst) enthalten muß.
Glaubst Du, dass pi alle seine endlichen Bruchstücke, zum Beispiel
alle Quadrupel, in der Form
3.141...5926...5358...9793...2384...6264...3383...2795...0288... [*]
enthält? Wenn Bijektionen irgendwelche Bedeutung besitzen, wie es die
Mengenlehre fordert, dann muss das so sein. Dann muss die Ziffernfolge
von pi wesentlich länger als die Ziffernfolge von pi sein, wobei unter
"länger" hier das einfache Maß verwendet wird:
Anzahl der Ziffern vom Anfang bis zum Auftreten der Ziffer x in der
Primärfolge und in der Sekundärfolge [*].
Gruß, WM
Stephan Gerlach
>>> �101 032 061 032 115 118 109 ... 033.
>>> Wenn pi normal ist, dann sollte diese Ziffernfolge vorkommen, und zwar
>> Ach so, das.
>>
>>> Das w�rde also eine unendliche Folge ergeben (m�glicherweise mit
>>> unendlich vielen m�glicherweise verschieden langen Zwischenst�cken).
>> in jeder normalen Zahl (und falls pi normal ist, eben auch in pi) per
>> Definition vor.
>
> Auch unendlich oft?
�hm... ja. Das ist AFAIK sogar in der Definition einer normalen Zahl mit
drin.
>>> Deswegen m�sste, aus Gr�nden der Gleichberechtigung, jede endliche
>>> Ziffernfolge von pi auch in pi vorkommen.
>> Das ist doch eine Tautologie?! Das ist so, als ob ich sage "die Zahl
>> 1234 enth�lt die Ziffernfolgen 1, 2, 3, 4, 12, 23, 34, 123, 234, 1234",
>> also ihre eigenen endlichen Ziffernfolgen.
>>
> Ich meine damit nat�rlich nicht die prim�re Folge, aus der pi besteht,
> sondern die Wiederholung der Folge 314 an einer sp�teren Stelle (und
> unendlich vielen weiteren).
Die Folge 314 ist eine endliche Zeichenfolge und taucht daher noch sehr
oft in pi auf. Immer unter der Vermutung, pi sei normal.
>>> Eine von unendlich vielen,
>>> bestehend aus Einzelziffern, f�llt hier ab:
>> Was hei�t "f�llt hier ab"?
>
> Das sollte ein Wortspiel sein - vielleicht nicht gut gelungen. Schau
> Dir die ersten Ziffern in der Senkrechten an. Dort ist die
> Ziffernfolge von pi von oben nach unten geschrieben.
Sieht sch�n aus. Diesen Effekt h�tte man vielleicht sogar einfacher
haben k�nnen; einfach den n�chsten Zeilenumbruch *immer* nach genau
einer Ziffer durchf�hren?! Oder meinetwegen auch, damit es nicht ganz so
trivial ist, mit
3.14
1592653589793238
4...
...
anfangen, d.h. gleich in der ersten Zeile zwar nach der 3 *nicht*
umbrechen, aber dann immer an n�chstm�glicher Stelle.
> Das beweist, wenn
> es denn immer so weiter geht,
"Wenn es denn immer so weiter geht" hei�t wohl "ich f�hre an geeigneter
Stelle einen Zeilenumbruch durch".
> dass pi die Ziffernfolge von pi nicht
> nur in der prim�ren Form enth�lt (alle Zeilen fortlaufend aneinander
> gef�gt, sondern dass die Ziffernfolge (unendlich oft) nochmals in der
> prim�ren enthalten ist.
Also praktisch als "L�cken-Ziffernfolgen".
>>> Die
>>> Ziffern der Zahl pi sind die Vereinigung aller ihrer beliebig langen
>>> endlichen Abschnitte.
>> Was hei�t "Vereinigung von Abschnitten"? "Vereinigen" kann man 2 (oder
>> mehr) Mengen(!), aber keine Abschnitte. Nat�rlich kann ich die folgende
>> Vereinigungsmenge
>> {1} u {14} u {141} u {1415} u {14159} u ...
>> = {1, 14, 141, 1415, 14159, ...}
>> bilden; vielleicht war das gemeint. Da habe ich aber keine Abschnitte
>> vereinigt, sondern eben (in diesem Fall einelementige) Mengen. Als
>> Ergebnis einer Mengen-Vereinigung kommt auch eine Menge heraus.
>
> Unter Vereinigung von Abschnitten verstehe ich den Abschnitt, der
> entsteht, wenn man alle Abschnitte
>
> 3
> 3,1
> 3,14
> ...
> �bereinande projiziert.
Ach so, das. Dazu k�nnte man auch einfach sagen "summiert".
Das, was da steht, ist ja gerade eine Folge von Partialsummen:
3
3+0,1 = 3,1
3+0,1+0,04 = 3,14
...
"Alle Abschnitte �bereinander projiziert" entspricht dann in diesem Fall
gerade "die komplette Reihe aufsummiert".
> Im endlichen Falle w�re 3,14 die Vereinigung
> von 3 und 3,1 und 3,14.
Wie schon geschrieben, das ist nichts anderes als "Summe". Oder auch
"drittes Folgenglied einer bestimmten Folge". Man kann es meinetwegen
auch Vereinigung nennen, aber das ist u.U. etwas irref�hrend, da der
Begriff Vereinigung schon anderweitige Bedeutung hat und Summe (im
unendlichen Fall hei�t's dann Reihe) es bereits voll trifft.
>> Will hei�en, in pi mu� *nicht* jede unendliche "Ziffernfolge aus
>> pi mit Zwischenr�umen" vorkommen; selbst wenn pi normal sein sollte.
>
> Wenn Du die oben "abfallende" Folge betrachtest, so enth�lt pi alle
> Ziffern der Prim�rfolge mit Zwischenr�umen. Das kann man ebenso f�r
> alle Ziffernpaare
>
> 3,1...41...59...
>
> und alle n-Tupel konstruieren.
Sollte stimmen, wenn ich richtig versteht, was du meinst. Mit
Ziffernfolge meinte (nur?) ich allerdings durchweg zusammenh�ngende(!)
Ziffernfolgen. Andernfalls, also wenn man auch Ziffernfolgen mit L�cken
zulie�e, enthielte z.B. auch die - rationale - Zahl
0.123456789012345678901234567890...
jede beliebige endliche oder unendliche (L�cken-)Ziffernfolge. Was
nahezu trivial ist.
> Glaubst Du, dass pi alle seine endlichen Bruchst�cke, zum Beispiel
> alle Quadrupel, in der Form
>
> 3.141...5926...5358...9793...2384...6264...3383...2795...0288... [*]
>
> enth�lt?
Naja, es sind ja *endliche* Bruchst�cke. Da jedes dieser Bruchst�cke
*unendlich* *oft* vorkommt, dann kann man diese Bruchst�cke auch
notwendigerweise in dieser Reihenfolge (mit L�cken dazwischen) vorfinden.
Alles unter der Annahme, pi sei normal.
> Wenn Bijektionen irgendwelche Bedeutung besitzen, wie es die
> Mengenlehre fordert, dann muss das so sein.
Dazu braucht man IMHO nicht mal Bijektionen bem�hen.
> Dann muss die Ziffernfolge
> von pi wesentlich l�nger als die Ziffernfolge von pi sein, wobei unter
> "l�nger" hier das einfache Ma� verwendet wird:
> Anzahl der Ziffern vom Anfang bis zum Auftreten der Ziffer x in der
> Prim�rfolge und in der Sekund�rfolge [*].
Nur zum Verst�ndnis: Ist nach dieser Auffassung auch die Ziffernfolge
von 123/999 "wesentlich l�nger" als die Ziffernfolge von 123/999?
123/999 = 0.123123123123..., oder anders geschrieben:
0.123
1231
2312
3123
1231
2312
...
Hier enth�lt die betreffende (in diesem Fall sogar rationale) Zahl
ebenfalls ihre eigenen endlichen Bruchst�cke (au�er vielleicht die 0 am
Anfang) beliebig oft.
WM
wrote:
> > Ich meine damit natürlich nicht die primäre Folge, aus der pi besteht,
> > sondern die Wiederholung der Folge 314 an einer späteren Stelle (und
> > unendlich vielen weiteren).
>
> Die Folge 314 ist eine endliche Zeichenfolge und taucht daher noch sehr
> oft in pi auf. Immer unter der Vermutung, pi sei normal.
Das setzen wir hier natürlich immer voraus.
>
> >>> Eine von unendlich vielen,
> >>> bestehend aus Einzelziffern, fällt hier ab:
> >> Was heißt "fällt hier ab"?
>
> > Das sollte ein Wortspiel sein - vielleicht nicht gut gelungen. Schau
> > Dir die ersten Ziffern in der Senkrechten an. Dort ist die
> > Ziffernfolge von pi von oben nach unten geschrieben.
>
> Sieht schön aus. Diesen Effekt hätte man vielleicht sogar einfacher
> haben können; einfach den nächsten Zeilenumbruch *immer* nach genau
> einer Ziffer durchführen?!
Das wäre dann nur die primäre Zeichenfolge gewesen. Deren Existenz
liefert keinen Widerspruch der Form pi ist länger als pi und doch
vollständig.
Oder meinetwegen auch, damit es nicht ganz so
> trivial ist, mit
>
> 3.14
> 1592653589793238
> 4...
> ...
>
> anfangen, d.h. gleich in der ersten Zeile zwar nach der 3 *nicht*
> umbrechen, aber dann immer an nächstmöglicher Stelle.
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Ich habe die erste Zeile
deshalb so lang gewählt, weil ich dem Leser einen leichten Vergleich
mit der "abfallenden Folge" ermöglichen wollte.
>
> > Unter Vereinigung von Abschnitten verstehe ich den Abschnitt, der
> > entsteht, wenn man alle Abschnitte
>
> > 3
> > 3,1
> > 3,14
> > ...
> > übereinande projiziert.
>
> Ach so, das. Dazu könnte man auch einfach sagen "summiert".
> Das, was da steht, ist ja gerade eine Folge von Partialsummen:
> 3
> 3+0,1 = 3,1
> 3+0,1+0,04 = 3,14
> ...
> "Alle Abschnitte übereinander projiziert" entspricht dann in diesem Fall
> gerade "die komplette Reihe aufsummiert".
Naja, bei der Folge 3, 3.1, 3.14 kann man nicht von Summation
sprechen, sonst hätte man ja 3, 6.1, 9.24. Deswegen sage ich lieber
übereinanderprojiziert oder kurz: vereinigt.
Diese Methode benutze ich gern, um zu zeigen, dass die vollständige
Ziffernfolge nichts weiter ist, als die Vereinigung aller endlichen
Ziffernfolgen - und damit selbst eine endliche Ziffernfolge.
Lediglich durch die vollkommen halt- und grundlose Behauptung, dass
eine unendliche Vereinigung endlicher Folgen eine unendliche Folge
ergibt, ohne dass eine unendliche Folge zu den vereinigten Folgen
gehört, kann sich die transfinite Mengenlehre den Anschein von
Seriosität geben. Diese Behauptung lässt sich aber leicht entkräften,
indem man zeigt, dass die unendliche Vereinigung der Folge 3, 3,
3, ... eben nur 3 ergibt und nichts Unendliches.
Ich wüsste gern, wer als Erster diesen vollkommen sinnlosen Satz
geprägt hat, dass eine unendliche Vereinigung von endlichen
Abschnitten einen unendlichen Abschnitt ergibt.
> >> Will heißen, in pi muß *nicht* jede unendliche "Ziffernfolge aus
> >> pi mit Zwischenräumen" vorkommen; selbst wenn pi normal sein sollte.
>
> > Wenn Du die oben "abfallende" Folge betrachtest, so enthält pi alle
> > Ziffern der Primärfolge mit Zwischenräumen. Das kann man ebenso für
> > alle Ziffernpaare
>
> > 3,1...41...59...
>
> > und alle n-Tupel konstruieren.
>
> Sollte stimmen, wenn ich richtig versteht, was du meinst. Mit
> Ziffernfolge meinte (nur?) ich allerdings durchweg zusammenhängende(!)
> Ziffernfolgen. Andernfalls, also wenn man auch Ziffernfolgen mit Lücken
> zuließe, enthielte z.B. auch die - rationale - Zahl
> 0.123456789012345678901234567890...
> jede beliebige endliche oder unendliche (Lücken-)Ziffernfolge. Was
> nahezu trivial ist.
Trivial ist auch, dass es nachts dunkel wird. Trotzdem hat die Analyse
dieser Beobachtung weitreichende Folgen. Wenn wir von aktualer
Unendlichkeit ausgehen, so besitzt eine Ziffernfolge alle Ziffern, in
dem Cantorschen Sinne, dass keine hinzugefügt werden kann.
Gerade bei solchen Zahlen wie pi wird klar (mir erscheint es
jedenfalls so), dass die unterschiedlich langen Ziffernfolgen diese
Interpretation des Unendlichen ausschließen. Natürlich gilt das auch
schon für rationale Zahlen.
>
> > Glaubst Du, dass pi alle seine endlichen Bruchstücke, zum Beispiel
> > alle Quadrupel, in der Form
>
> > 3.141...5926...5358...9793...2384...6264...3383...2795...0288... [*]
>
> > enthält?
>
> Naja, es sind ja *endliche* Bruchstücke. Da jedes dieser Bruchstücke
> *unendlich* *oft* vorkommt, dann kann man diese Bruchstücke auch
> notwendigerweise in dieser Reihenfolge (mit Lücken dazwischen) vorfinden.
> Alles unter der Annahme, pi sei normal.
Eben. Also ist die Ziffernfolge von pi (mit dem ersten Zwischenstück)
länger als die Ziffernfolge von pi (ohne das erste Zwischenstück).
>
> Nur zum Verständnis: Ist nach dieser Auffassung auch die Ziffernfolge
> von 123/999 "wesentlich länger" als die Ziffernfolge von 123/999?
> 123/999 = 0.123123123123..., oder anders geschrieben:
> 0.123
> 1231
> 2312
> 3123
> 1231
> 2312
> ...
> Hier enthält die betreffende (in diesem Fall sogar rationale) Zahl
> ebenfalls ihre eigenen endlichen Bruchstücke (außer vielleicht die 0 am
> Anfang) beliebig oft.
Ja, nur fällt es dort nicht so leicht auf. Wenn Du die Ziffernfolgen
123/999 = 0.123123123123123123123123...
und 0,......1......2......3.......1......2......3....
vergleichst, so stellst Du fest, dass bis zu der letzten
hingeschriebenen 3 oben und unten verschieden viele Ziffern vorhanden
sind. Aber das fällt kaum auf, insbesondere, wenn man die Pünktchen
weglässt. Bei den Folgen für pi wird es offensichtlicher.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
>
> Diese Methode benutze ich gern, um zu zeigen, dass die vollstï¿œndige
> Ziffernfolge nichts weiter ist, als die Vereinigung aller endlichen
> Ziffernfolgen - und damit selbst eine endliche Ziffernfolge.
>
Ich denke z.B. an das interessante mathematische Problem,
Primzahlen p_1, p_2, p_3, ..., p_n zu bestimmen, die eine
arithmetische Folge bilden.
Bis zu n=24 hat man inzwischen solche Folgen finden kï¿œnnen,
aber es gibt sogar den Beweis (Tao, wenn ich mich recht
erinnere), dass es beliebig lange solche Folgen geben kann.
Wï¿œrdest Du in diesem Falle auch sagen, dass es unendlich lange
Primzahlfolgen dieser Art gebe?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> > Ziffernfolge nichts weiter ist, als die Vereinigung aller endlichen
> > Ziffernfolgen - und damit selbst eine endliche Ziffernfolge.
>
> Wie ist es denn mit einer verwandten Fragestellung?
> Ich denke z.B. an das interessante mathematische Problem,
> Primzahlen p_1, p_2, p_3, ..., p_n zu bestimmen, die eine
> arithmetische Folge bilden.
Ist man da noch nicht weiter?
Ich gebe immer Eulers berühmte Folge als Beispiel an, verweise aber
darauf, dass heutzutage mit Computern sicherlich schon bessere
Ergebnisse vorhanden sind.
"Euler fand die längste Primzahlfolge:
n(n+1) + 41 liefert Primzahlen für n = 0 bis n = 39
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 ..."
nicht ganz arithmetisch, zugegeben, aber es würde mich doch
interessieren, ob Euler da inzwischen übertroffen worden ist und ob es
quadratische oder meinetwegen auch kubische oder höhere Folgen mit
noch mehr Primzahlen gibt --- wenn hier schon einmal ein Folgen- und
Reihenexperte am andern Ende der Leitung sitzt.
> aber es gibt sogar den Beweis (Tao, wenn ich mich recht
> erinnere), dass es beliebig lange solche Folgen geben kann.
> Würdest Du in diesem Falle auch sagen, dass es unendlich lange
> Primzahlfolgen dieser Art gebe?
Ich würde sagen, dass die Menge aller endlichen Primzahlfolgen
potentiell unendliche Anzahl und potentiell unendliche Länge besitzt,
denn zu jeder kann man eine weitere und größere finden, wenn das auch
nicht so einfach wie bei den natürlichen Zahlen ist.
Nach meinem Verständnis ist in diesem potentiellen Sinne unendlich,
was übertroffen werden kann, wie weit man auch geht. Das sind aber
beide Eigenschaften: Anzahl und Länge. Beide sind stets endlich.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist potentiell unendlich. Das
bedeutet, jede vorgegeben Menge natürlicher Zahlen ist endlich, aber
zu jeder Menge kann man eine größere finden. (Eine Behauptung, für
"alle natürlichen Zahlen" ist ebenso sinnlos [s. das heutige
Kalenderblatt] wie die Behauptung: "ich beginne mal eben mit der
größten natürlichen Zahl"). Dieselbe Unendlichkeit besteht für die
natürlichen Zahlen selbst. Die natürlichen Zahlen(größen) sind
potentiell unendlich (ebenso wie die Längen der Tao-Folgen).
Darstellung der Zahlen als Summe von Einsen, wie sie Cantor
vorschwebte:
1
1+1
1+1+1
...
Oder Ziffernfolgen, wie ich sie oft verwende:
0,1
0,11
0,111
...
Jede ist endlich, aber zu jeder kann ich eine größere angeben. Die
Entsprechung von Zahlenmenge und Zahlengröße ist doch so einfach durch
eine Bijektion zu sehen:
n = n,
wobei links die Größe (Anzahl der Einsen) und rechts die Anzahl der
Zahlen von 1 bis n steht. Ein aktual Unendlich kommt weder links noch
rechts vor, und wenn, dann auf beiden Seiten gleichzeitig. Deshalb
habe ich die schon oft kolportierte Aussage gemacht, und stehe auch
weiterhin dazu: Eine aktual unendliche Menge natürlicher Zahlen ist
nicht möglich ohne eine aktual unendliche natürliche Zahl (und
letztere ist *natürlich* ausgeschlossen).
Deshalb gibt es meines Erachtens auch keine Ziffernfolge, wie sie
durch die Schreibweise 0,111... impliziert wird, also mit einer
niemals endenden Anzahl von Einsen. Jede derartige Ziffernfolge ist
endlich, doch kann man an jede eine weitere 1 anhängen. Alle Einsen
hat man niemals angehängt. Daher ist die Ziffernfolge potentiell
unendlich.
Aber das darf nicht mit dem Verständnis der Sprache verwechselt
werden: Es gibt die Darstellung 1/9 und die dasselbe aussagende
Darstellung 0,111... Beides sind endliche Wörter mit drei bzw. acht
Zeichen, Abkürzungen für das Ergebnis einer "mit mathematischer
Präzision" erfolgten Teilung der Einheit in neun Teile, worüber man
sprechen kann (und deshalb nicht schweigen muss).
Gruß, WM
Stephan Gerlach
> On 10 Jun., 22:56, Stephan Gerlach <mam99...@studserv.uni-leipzig.de>
> wrote:
>>
>>> Unter Vereinigung von Abschnitten verstehe ich den Abschnitt, der
>>> entsteht, wenn man alle Abschnitte
>>> 3
>>> 3,1
>>> 3,14
>>> ...
>> Ach so, das. Dazu k�nnte man auch einfach sagen "summiert".
>> Das, was da steht, ist ja gerade eine Folge von Partialsummen:
>> 3
>> 3+0,1 = 3,1
>> 3+0,1+0,04 = 3,14
>> ...
>> gerade "die komplette Reihe aufsummiert".
>
> Naja, bei der Folge 3, 3.1, 3.14 kann man nicht von Summation
Es wurden ja auch nicht die Folgenglieder 3, 3.1, 3.14 summiert, sondern
die Folgenglieder 3, 0.1, 0.04. Dieses Prinzip ist ja bei *jeder*
Summenbildung so:
1.) Man hat einmal eine "urspr�ngliche" Folge. Diese ist hier
3, 0.1, 0.04, ...
2.) Und dann hat man die Partialsummenfolge, die durch Summation der
urspr�nglichen Folge entsteht. Diese Partialsummenfolge ist hier
3, 3.1, 3.14, ...
> Deswegen sage ich lieber
> �bereinanderprojiziert oder kurz: vereinigt.
Du kannst es meinetwegen gern "vereinigt" nennen, wenn du magst. F�r das
Genannte gibt es aber eben bereits den Begriff "summiert". "Vereinigt"
suggeriert zudem, da� es sich um Mengen handelt.
> Diese Methode benutze ich gern, um zu zeigen, dass die vollst�ndige
> Ziffernfolge nichts weiter ist, als die Vereinigung aller endlichen
> Ziffernfolgen
Mit dem (wie gesagt durchaus zutreffenden) Begriff "Summe" ausgedr�ckt:
Die vollst�ndige (zusammengesetzte!) Ziffernfolge nichts weiter ist, als
die Summe aller Folgenglieder der Folge 3, 0.1, 0.04, ...
> - und damit selbst eine endliche Ziffernfolge.
Mit dem Begriff "Summe" ausgedr�ckt hie�e diese Behauptung "�bersetzt":
Die Summe von Folgengliedern mit endlicher Dezimalbruch-Entwicklung hat
wieder endliche Dezimalbruch-Entwicklung.
Hier stimmt's aber dann wohl nicht mehr, selbst wenn man deine
Terminologie verwendet:
Die 'Vereinigung' von endlichen Ziffernfolgen ist nur solange
notwendigerweise endlich, wie nur *endlich* *viele* dieser endlichen
Ziffernfolgen 'vereinigt' werden. Dazu braucht man nicht mal pi zu
bem�hen; da tut's im Prinzip jede Zahl mit nicht abbrechender
Dezimalbruch-Entwicklung.
> Lediglich durch die vollkommen halt- und grundlose Behauptung, dass
> eine unendliche Vereinigung endlicher Folgen eine unendliche Folge
> ergibt, ohne dass eine unendliche Folge zu den vereinigten Folgen
> geh�rt, kann sich die transfinite Mengenlehre den Anschein von
> Seriosit�t geben.
Geht es nun um Folgen [bzw. Partialsummenfolgen] und deren Grenzwert
[bzw. Reihe], oder um Mengen und deren (unendliche) Vereinigung?
> Diese Behauptung l�sst sich aber leicht entkr�ften,
> indem man zeigt, dass die unendliche Vereinigung der Folge 3, 3,
> 3, ... eben nur 3 ergibt und nichts Unendliches.
Hier sollte man die Begriffe "Folge", "Menge" und "Vereinigung" nicht
durcheinander w�rfeln. Betrachtet man die Folge 3, 3, 3,... als
*Mengen*, so schreibt man genauer - in der Mengenschreibweise - {3},
{3}, {3}, ... Die unendliche Vereinigung dieser Mengenfolge ist dann
tats�chlich die einelementige Menge {3}; endlicher geht's kaum.
Daraus folgt aber nicht, da� das f�r *jede* unendliche Vereinigung
endlicher Mengen so ist; also da� jede unendliche Vereinigung endlicher
Mengen wieder endlich w�re.
> Ich w�sste gern, wer als Erster diesen vollkommen sinnlosen Satz
> gepr�gt hat, dass eine unendliche Vereinigung von endlichen
> Abschnitten einen unendlichen Abschnitt ergibt.
"Unendliche Vereinigung von endlichen Abschnitten", damit sind also dann
wieder die Summen S der Form
S =
Summe_{n=1 bis unendlich} (10^{-n}*[n-te Nachkommastelle einer Zahl])
gemeint. Jede Partialsummenfolge bis zu einem endlichen N, also von n=1
bis n=N, ist so ein "endlicher Abschnitt". Die gesamte Summe kann aber
durchaus ein "unendlicher Abschnitt" sein. Das ist keine gar zu
schwierige Erkenntnis, wenn man "unendlich" hier definiert als "es gibt
keine nat�rliche Zahl N_0, so da� die Dezimalbruch-Entwicklung von S
nach der N_0-ten Nachkommastelle abbricht".
>> Andernfalls, also wenn man auch Ziffernfolgen mit L�cken
>> zulie�e, enthielte z.B. auch die - rationale - Zahl
>> 0.123456789012345678901234567890...
>> jede beliebige endliche oder unendliche (L�cken-)Ziffernfolge. Was
>> nahezu trivial ist.
>
> Trivial ist auch, dass es nachts dunkel wird.
Das h�ngt von der Definition von "nachts" und "dunkel" sowie diversen
Randbedingungen ab...
WM
wrote:
> WM schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 10 Jun., 22:56, Stephan Gerlach <mam99...@studserv.uni-leipzig.de>
> > wrote:
>
> >>> Unter Vereinigung von Abschnitten verstehe ich den Abschnitt, der
> >>> entsteht, wenn man alle Abschnitte
> >>> 3
> >>> 3,1
> >>> 3,14
> >>> ...
> >> Ach so, das. Dazu könnte man auch einfach sagen "summiert".
> >> Das, was da steht, ist ja gerade eine Folge von Partialsummen:
> >> 3
> >> 3+0,1 = 3,1
> >> 3+0,1+0,04 = 3,14
> >> ...
> >> gerade "die komplette Reihe aufsummiert".
>
> > Naja, bei der Folge 3, 3.1, 3.14 kann man nicht von Summation
>
> Es wurden ja auch nicht die Folgenglieder 3, 3.1, 3.14 summiert, sondern
> die Folgenglieder 3, 0.1, 0.04. Dieses Prinzip ist ja bei *jeder*
> Summenbildung so:
Aber mir kommt es darauf an aus der Folge
3, 3.1, 3.14 die Folge 3,14 zu erzeugen.
Dort wir es nämlich deutlich, dass die Vereinigung nichts weiter als
eines der vereinigten Elemente ist.
Wenn wir diese besondere Art der Vereinigung, einmal mit V bezeichnen,
so gilt
3 V 3.1 V 3.14 = 3,1 V 3,14 = 3,14.
Und das ist für jede Vereinigung von Anfangsabschnitten so, die nur
aus endlichen Abschnitten besteht. Wie viele es sind, ist ganz
gleichgültig. Zum Beispiel gilt
3 V 3 V 3 V 3.1 V 3.14 = 3,14.
> 1.) Man hat einmal eine "ursprüngliche" Folge. Diese ist hier
> 3, 0.1, 0.04, ...
> 2.) Und dann hat man die Partialsummenfolge, die durch Summation der
> ursprünglichen Folge entsteht. Diese Partialsummenfolge ist hier
> 3, 3.1, 3.14, ...
Das ist mir nicht ganz unbekannt.
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/M20.PPT#320,22,Folie
22
>
> > Deswegen sage ich lieber
> > übereinanderprojiziert oder kurz: vereinigt.
>
> Du kannst es meinetwegen gern "vereinigt" nennen, wenn du magst. Für das
> Genannte gibt es aber eben bereits den Begriff "summiert". "Vereinigt"
> suggeriert zudem, daß es sich um Mengen handelt.
Für die Vereinigung von Anfangsabschnitten, wie sie z.B. zum
Verständnis des binären Baums unerlässlich ist, nützt die Summation
von Partialsummenfolgen wenig.
> Hier stimmt's aber dann wohl nicht mehr, selbst wenn man deine
> Terminologie verwendet:
> Die 'Vereinigung' von endlichen Ziffernfolgen ist nur solange
> notwendigerweise endlich, wie nur *endlich* *viele* dieser endlichen
> Ziffernfolgen 'vereinigt' werden. Dazu braucht man nicht mal pi zu
> bemühen; da tut's im Prinzip jede Zahl mit nicht abbrechender
> Dezimalbruch-Entwicklung.
Natürlich, zum Beispiel
0,1
0,11
0,111
...
Deine obige Aussage ist falsch. Die Vereinigung ist solange endlich
wie nur endliche Abschnitte vereinigt werden. Ich weiß nicht wer als
Erster auf die Idee kam, das Ergebnis wäre von der Anazahl der
vereinigten Abschnitte abhängig.
Das ist etwa so, als wenn man einen schwere Wagen aus dem Acker bergen
möchte und kein Abschnleppseil besitzt. Nach Deiner Lesart genügt es,
laut zu rufen: Die Richtung stimmt. Weshalb sollte das wohl so sein?
>
> > Lediglich durch die vollkommen halt- und grundlose Behauptung, dass
> > eine unendliche Vereinigung endlicher Folgen eine unendliche Folge
> > ergibt, ohne dass eine unendliche Folge zu den vereinigten Folgen
> > gehört, kann sich die transfinite Mengenlehre den Anschein von
> > Seriosität geben.
>
> Geht es nun um Folgen [bzw. Partialsummenfolgen] und deren Grenzwert
> [bzw. Reihe], oder um Mengen und deren (unendliche) Vereinigung?
Das eine ist ein Beispiel für das andere. Ursprünglich hat Cantor das
für die Menge aller natürlichen Zahlen gefordert. Über die Indizes der
Dezimalziffern kommt man aber sehr schnell auf Anfangsabschnitte von
Ziffernfolgen.
>
> > Diese Behauptung lässt sich aber leicht entkräften,
> > indem man zeigt, dass die unendliche Vereinigung der Folge 3, 3,
> > 3, ... eben nur 3 ergibt und nichts Unendliches.
>
> Hier sollte man die Begriffe "Folge", "Menge" und "Vereinigung" nicht
> durcheinander würfeln. Betrachtet man die Folge 3, 3, 3,... als
> *Mengen*, so schreibt man genauer - in der Mengenschreibweise - {3},
> {3}, {3}, ... Die unendliche Vereinigung dieser Mengenfolge ist dann
> tatsächlich die einelementige Menge {3}; endlicher geht's kaum.
Und nicht anders ist es bei der Übereinanderprojektion oder
Vereinigung V von Anfangsabschnitten.
> Daraus folgt aber nicht, daß das für *jede* unendliche Vereinigung
> endlicher Mengen so ist; also daß jede unendliche Vereinigung endlicher
> Mengen wieder endlich wäre.
Eben das folgt aus der Logik, die man leider vollkommen misshandelt
hat. Siehe das Kalenderblatt 090609 oder etwas ausführlicher:
Brouwer opened our eyes and made us see how far classical mathematics,
nourished by a belief in the "absolute" that transcends all human
possibilities of realization, goes beyond such statements as can claim
real meaning and truth founded on evidence. According to this view and
reading of history, classical logic was abstracted from the
mathematics of finite sets and 276 their subsets. (The word finite is
here to be taken in the precise sense that the members of such set are
explicitly exhibited one by one.) Forgetful of this limited origin,
one afterwards mistook that logic for something above and prior to all
mathematics, and finally applied it, without justification, to the
mathematics of infinite sets. This is the Fall and Original sin of set
theory even if no paradoxes result from it. Not that contradictions
showed up is surprising, but that they showed up at such a late stage
of the game! (H. Weyl)
>
> > Ich wüsste gern, wer als Erster diesen vollkommen sinnlosen Satz
> > geprägt hat, dass eine unendliche Vereinigung von endlichen
> > Abschnitten einen unendlichen Abschnitt ergibt.
>
> "Unendliche Vereinigung von endlichen Abschnitten", damit sind also dann
> wieder die Summen S der Form
>
> S =
> Summe_{n=1 bis unendlich} (10^{-n}*[n-te Nachkommastelle einer Zahl])
>
> gemeint. Jede Partialsummenfolge bis zu einem endlichen N, also von n=1
> bis n=N, ist so ein "endlicher Abschnitt". Die gesamte Summe kann aber
> durchaus ein "unendlicher Abschnitt" sein. Das ist keine gar zu
> schwierige Erkenntnis, wenn man "unendlich" hier definiert als "es gibt
> keine natürliche Zahl N_0, so daß die Dezimalbruch-Entwicklung von S
> nach der N_0-ten Nachkommastelle abbricht".
Diese Überlegung basiert auf einer kleinen Unschärfe im Denken.
>
> >> Andernfalls, also wenn man auch Ziffernfolgen mit Lücken
> >> zuließe, enthielte z.B. auch die - rationale - Zahl
> >> 0.123456789012345678901234567890...
> >> jede beliebige endliche oder unendliche (Lücken-)Ziffernfolge. Was
> >> nahezu trivial ist.
>
> > Trivial ist auch, dass es nachts dunkel wird.
>
> Das hängt von der Definition von "nachts" und "dunkel" sowie diversen
> Randbedingungen ab...
Nein. Weder nachts noch dunkel hängt davon ab. Es ist auch nicht
Definitionssache, dass wir nicht fliegen können und dass es nicht
aktual unendlich viele natürliche Zahlen geben kann.
Gruß, WM
Albrecht
Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote:
> Albrecht schrieb:
>
> > Damit wirft sich eine kleine Frage auf: Ist in pi auch e
> > codiert?
>
> Das kommt darauf an, was man unter "codiert" versteht. Wenn man als
> "Codierung von e" eine der �blichen Darstellungsformeln f�r e betrachtet
> (z.B. e = lim_n->oo (1+1/n)^n) und diese in Dezimal-Code umwandelt, ist
> e nat�rlich in pi codiert.
Das meine ich eben nicht.
> Wenn man als "Codierung von e" allerdings nur
> die unendliche Dezimaldarstellung zul��t, ist e nat�rlich(?) nicht auf
> diese Weise in pi codiert.
Damit behauptest Du, erwartungsgem��, dass es in der Dezimaldarstellung
von pi keine Stelle m gibt, ab der ununterbrochen die Ziffern der
Dezimaldarstellung der Zahl e auftaucht. Kannst Du das auch mehr als nur
behaupten?
Andererseits, wo liegt der Unterschied zwischen der M�glichkeit, dass es
in der Dezimaldarstellung von pi eine Stelle m gibt ab der die Ziffern
der Dezimaldarstellung der Zahl e ununterbrochen auftaucht und der
M�glichkeit, dass es in pi eine Stelle m gibt ab der die Ziffernfolge
von e in unterbrochener Reihe auftaucht. Letzteres ist ja als gewi�
anzusehen.
>
> > Wenn ja, dann w�rde sich pi und e nur rational unterscheiden,
> > meine ich.
>
> Wenn man mit "Codierung" letztere Interpretation nimmt, ja.
Eben.
>
> > Wenn nein,...
>
> Da, wie's aussieht, "nein" gilt:
> Was hat das f�r einen Einflu� auf die Antwort auf die folgende Frage?
>
> > ... in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
> > "je wu�ten und kannten und kennen werden"?
Da wir beliebig lange Strings der Dezimaldarstellung von e "wu�ten und
kannten und kennen werden" stelle ich eben die Frage wieso diese nicht
zu dem was wir "wu�ten und kannten und kennen werden" geh�ren sollen.
Gru�
Albrecht
Stephan Gerlach
> In article <h0j2nt$n70$01$1...@news.t-online.com>,
> Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote:
>
>> Wenn man als "Codierung von e" allerdings nur
>> die unendliche Dezimaldarstellung zul��t, ist e nat�rlich(?) nicht auf
>> diese Weise in pi codiert.
>
> Damit behauptest Du, erwartungsgem��, dass es in der Dezimaldarstellung
> von pi keine Stelle m gibt, ab der ununterbrochen die Ziffern der
> Dezimaldarstellung der Zahl e auftaucht. Kannst Du das auch mehr als nur
> behaupten?
Unter Beachtung von <http://mathworld.wolfram.com/e.html>:
Nein.
Ich h�tte vermutet, da� es ein Resultat g�be, das besagt, da� pi und e
*nicht* rational voneinander abh�ngen. �berraschend, das es ein
derartiges Resultat (noch?) nicht gibt.
> Andererseits, wo liegt der Unterschied zwischen der M�glichkeit, dass es
> in der Dezimaldarstellung von pi eine Stelle m gibt ab der die Ziffern
> der Dezimaldarstellung der Zahl e ununterbrochen auftaucht und der
> M�glichkeit, dass es in pi eine Stelle m gibt ab der die Ziffernfolge
> von e in unterbrochener Reihe auftaucht.
Das ist nach meinem Verst�ndnis doch 2-mal dieselbe Aussage?!
Oder ist "Ziffern der Dezimaldarstellung der Zahl e ununterbrochen" was
anderes als "Ziffernfolge von e in unterbrochener Reihe"?
> Letzteres ist ja als gewi�
> anzusehen.
Das ist doch gerade das, was fraglich/unbekannt ist; also ob �quivalent
dazu folgendes gilt:
>>> Wenn ja, dann w�rde sich pi und e nur rational unterscheiden,
>>> meine ich.
>>
>> Was hat das f�r einen Einflu� auf die Antwort auf die folgende Frage?
>>
>>> ... in welchem Sinne unterscheidet sich dann e von allem was wir
>>> "je wu�ten und kannten und kennen werden"?
>
> Da wir beliebig lange Strings der Dezimaldarstellung von e "wu�ten und
> kannten und kennen werden"
Beliebig lange *endliche* Strings.
> stelle ich eben die Frage wieso diese nicht
> zu dem was wir "wu�ten und kannten und kennen werden" geh�ren sollen.
Die beliebig langen endlichen Strings geh�ren dazu (vorausgesetzt,
irgendein Computer rechnet "immer mehr" Dezimalstellen von e aus).
Rainer Rosenthal
>>> Ziffernfolge nichts weiter ist, als die Vereinigung aller endlichen
>>> Ziffernfolgen - und damit selbst eine endliche Ziffernfolge.
>> Wie ist es denn mit einer verwandten Fragestellung?
>> Ich denke z.B. an das interessante mathematische Problem,
>> Primzahlen p_1, p_2, p_3, ..., p_n zu bestimmen, die eine
>> arithmetische Folge bilden.
>
> Ist man da noch nicht weiter?
> darauf, dass heutzutage mit Computern sicherlich schon bessere
> Ergebnisse vorhanden sind.
> n(n+1) + 41 liefert Primzahlen fï¿œr n = 0 bis n = 39
> 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 ..."
> interessieren, ob Euler da inzwischen ï¿œbertroffen worden ist und ob es
> quadratische oder meinetwegen auch kubische oder hï¿œhere Folgen mit
> noch mehr Primzahlen gibt --- wenn hier schon einmal ein Folgen- und
> Reihenexperte am andern Ende der Leitung sitzt.
f(n) = 1/4*(n^5-133*n^4+6729*n^3-158379*n^2+1720294*n-6823316)
ergibt fï¿œr n=0 bis 56 lauter Zahlen, deren Absolutbetrag eine Primzahl
ist. Die kleinste unter diesen ist |f(18)| = 383. Es wird Deine Studenten
sicher freuen, wenn sie sich das mal durch den Computer bestï¿œtigen lassen.
Mein "Expertentum" speist sich daraus, dass ich zuschaue, was sich in
den Al Zimmermann Wettbewerben tut. Und da wurden 2006 erstaunliche
Exemplare zu Tage gefï¿œrdert, wie bei Wolfram nachlesbar ist:
http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html
"Primzahlen generierende Polynome" trifft ja genau die Generalisierung
von arithmetischen Folgen, die Du oben angesprochen hast.
>
>> aber es gibt sogar den Beweis (Tao, wenn ich mich recht
>> erinnere), dass es beliebig lange solche Folgen geben kann.
>> Wï¿œrdest Du in diesem Falle auch sagen, dass es unendlich lange
>> Primzahlfolgen dieser Art gebe?
>
> Ich wï¿œrde sagen, dass die Menge aller endlichen Primzahlfolgen
> potentiell unendliche Anzahl und potentiell unendliche Lï¿œnge besitzt,
> denn zu jeder kann man eine weitere und grￜￜere finden, wenn das auch
> nicht so einfach wie bei den natï¿œrlichen Zahlen ist.
"Nicht ganz so einfach" ist die Untertreibung des Tages :-)
Was Du angesprochen hast, ist zu meinem Thema verwandt, aber doch
wiederum recht verschieden. ï¿œber die Anzahl von Primzahlen in
arithmetischen Folgen gibt es einen berï¿œhmten Satz von Dirichlet:
Es sei m eine natï¿œrliche Zahl und a eine zu m teilerfremde
natï¿œrliche Zahl. Dann enthï¿œlt die arithmetische Folge
a, a+m, a+2m, a+3m, ... unendlich viele Primzahlen.
(Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichletscher_Primzahlsatz ).
Leider sind diese arithmetischen Folgen nicht stets mit Primzahlen
besetzt, aber das Phantastische ist, dass sich beweisen lï¿œsst, dass
es beliebig lange arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen
bestehen! Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Terence_Tao
Besondere Beachtung in der mathematischen Gemeinschaft fand
sein Beweis, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen
von Primzahlen gibt, den er zusammen mit Ben Green aufstellte.
Die lï¿œngste (2008) bekannte arithmetische Progression von
Primzahlen hat die Lï¿œnge 25.
Oho, die von mir genannte Zahl 24 hatte ich also falsch in Erinnerung,
man hat also bereits eine 25-gliedrige arithmetische Folge gefunden, die
aus lauter Primzahlen besteht. Viele spannende Details finden sich hier:
http://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression
> Nach meinem Verstï¿œndnis ist in diesem potentiellen Sinne unendlich,
> was ï¿œbertroffen werden kann, wie weit man auch geht. Das sind aber
> beide Eigenschaften: Anzahl und Lï¿œnge. Beide sind stets endlich.
>
> Die Menge der natï¿œrlichen Zahlen ist potentiell unendlich. Das
> bedeutet, jede vorgegeben Menge natï¿œrlicher Zahlen ist endlich, aber
> zu jeder Menge kann man eine grￜￜere finden. (Eine Behauptung, fￜr
> "alle natï¿œrlichen Zahlen" ist ebenso sinnlos [s. das heutige
> Kalenderblatt] wie die Behauptung: "ich beginne mal eben mit der
> grￜￜten natￜrlichen Zahl"). Dieselbe Unendlichkeit besteht fￜr die
> natￜrlichen Zahlen selbst. Die natￜrlichen Zahlen(grￜￜen) sind
> potentiell unendlich (ebenso wie die Lï¿œngen der Tao-Folgen).
>
> Darstellung der Zahlen als Summe von Einsen, wie sie Cantor
> vorschwebte:
> 1
> 1+1
> 1+1+1
> ...
>
> Oder Ziffernfolgen, wie ich sie oft verwende:
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
> Jede ist endlich, aber zu jeder kann ich eine grￜￜere angeben. Die
> Entsprechung von Zahlenmenge und Zahlengrￜￜe ist doch so einfach durch
> eine Bijektion zu sehen:
>
> n = n,
>
> wobei links die Grￜￜe (Anzahl der Einsen) und rechts die Anzahl der
> Zahlen von 1 bis n steht. Ein aktual Unendlich kommt weder links noch
> rechts vor, und wenn, dann auf beiden Seiten gleichzeitig. Deshalb
> habe ich die schon oft kolportierte Aussage gemacht, und stehe auch
> weiterhin dazu: Eine aktual unendliche Menge natï¿œrlicher Zahlen ist
> nicht mï¿œglich ohne eine aktual unendliche natï¿œrliche Zahl (und
> letztere ist *natï¿œrlich* ausgeschlossen).
>
> Deshalb gibt es meines Erachtens auch keine Ziffernfolge, wie sie
> durch die Schreibweise 0,111... impliziert wird, also mit einer
> niemals endenden Anzahl von Einsen. Jede derartige Ziffernfolge ist
> endlich, doch kann man an jede eine weitere 1 anhï¿œngen. Alle Einsen
> hat man niemals angehï¿œngt. Daher ist die Ziffernfolge potentiell
> unendlich.
>
> Aber das darf nicht mit dem Verstï¿œndnis der Sprache verwechselt
> werden: Es gibt die Darstellung 1/9 und die dasselbe aussagende
> Darstellung 0,111... Beides sind endliche Wï¿œrter mit drei bzw. acht
> Zeichen, Abkï¿œrzungen fï¿œr das Ergebnis einer "mit mathematischer
> Prï¿œzision" erfolgten Teilung der Einheit in neun Teile, worï¿œber man
> sprechen kann (und deshalb nicht schweigen muss).
>
Meine Frage war, ob Du sagen wï¿œrdest, dass es unendlich lange
arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Albrecht
Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote:
Man kann die Fragestellung noch weiter aufziehen, indem man nicht von
speziellen g-adischen Darstellung von irrationalen Zahlen spricht (z.B.
eben von der Dezimaldarstellung), sondern eine Zahl als die Gesamtheit
ihrer g-adischen Darstellungen ansieht (was sie ja auch ist. Eine
spezielle g-adische Darstellung ist ja nur eine Art Realisierung des
Konzeptes, das hinter der Zahl steckt.).
Nun vermute ich, dass es zu jeder irrationalen Zahl x ein g gibt, so das
die g-adische Darstellung von x normal ist.
Was speziell zu untersuchen w�re ist, ob es zu jedem Paar irrationaler
Zahlen x und y eine gemeinsame g-adische Darstellung gibt, in denen
beide normal sind. W�re dem so, so w�re nicht beweisbar, dass es
�berhaupt zwei irrationale Zahlen gibt, die sich um einen irrationalen
Betrag unterscheiden.
?
Gru�
Albrecht
WM
> WM schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 11 Jun., 13:28, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> >> WM schrieb:
>
> >>> Ziffernfolge nichts weiter ist, als die Vereinigung aller endlichen
> >>> Ziffernfolgen - und damit selbst eine endliche Ziffernfolge.
> >> Wie ist es denn mit einer verwandten Fragestellung?
> >> Ich denke z.B. an das interessante mathematische Problem,
> >> Primzahlen p_1, p_2, p_3, ..., p_n zu bestimmen, die eine
> >> arithmetische Folge bilden.
>
> > Ist man da noch nicht weiter?
> > darauf, dass heutzutage mit Computern sicherlich schon bessere
> > Ergebnisse vorhanden sind.
> > n(n+1) + 41 liefert Primzahlen für n = 0 bis n = 39
> > 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 ..."
> > interessieren, ob Euler da inzwischen übertroffen worden ist und ob es
> > quadratische oder meinetwegen auch kubische oder höhere Folgen mit
> > noch mehr Primzahlen gibt --- wenn hier schon einmal ein Folgen- und
> > Reihenexperte am andern Ende der Leitung sitzt.
>
> f(n) = 1/4*(n^5-133*n^4+6729*n^3-158379*n^2+1720294*n-6823316)
>
> ist. Die kleinste unter diesen ist |f(18)| = 383. Es wird Deine Studenten
>
> Mein "Expertentum" speist sich daraus, dass ich zuschaue, was sich in
> den Al Zimmermann Wettbewerben tut. Und da wurden 2006 erstaunliche
>
> "Primzahlen generierende Polynome" trifft ja genau die Generalisierung
> von arithmetischen Folgen, die Du oben angesprochen hast.
>
>
>
> >> aber es gibt sogar den Beweis (Tao, wenn ich mich recht
> >> erinnere), dass es beliebig lange solche Folgen geben kann.
> >> Primzahlfolgen dieser Art gebe?
>
> > Ich würde sagen, dass die Menge aller endlichen Primzahlfolgen
> > potentiell unendliche Anzahl und potentiell unendliche Länge besitzt,
> > denn zu jeder kann man eine weitere und größere finden, wenn das auch
> > nicht so einfach wie bei den natürlichen Zahlen ist.
>
> "Nicht ganz so einfach" ist die Untertreibung des Tages :-)
>
> Was Du angesprochen hast, ist zu meinem Thema verwandt, aber doch
> arithmetischen Folgen gibt es einen berühmten Satz von Dirichlet:
>
> Es sei m eine natürliche Zahl und a eine zu m teilerfremde
> natürliche Zahl. Dann enthält die arithmetische Folge
> a, a+m, a+2m, a+3m, ... unendlich viele Primzahlen.
>
> (Siehehttp://de.wikipedia.org/wiki/Dirichletscher_Primzahlsatz).
>
> Leider sind diese arithmetischen Folgen nicht stets mit Primzahlen
> es beliebig lange arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen
>
> Besondere Beachtung in der mathematischen Gemeinschaft fand
> sein Beweis, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen
> von Primzahlen gibt, den er zusammen mit Ben Green aufstellte.
> Primzahlen hat die Länge 25.
>
> Oho, die von mir genannte Zahl 24 hatte ich also falsch in Erinnerung,
> man hat also bereits eine 25-gliedrige arithmetische Folge gefunden, die
> aus lauter Primzahlen besteht. Viele spannende Details finden sich hier:http://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression
>
>
>
>
>
> > was übertroffen werden kann, wie weit man auch geht. Das sind aber
> > beide Eigenschaften: Anzahl und Länge. Beide sind stets endlich.
>
> > Die Menge der natürlichen Zahlen ist potentiell unendlich. Das
> > bedeutet, jede vorgegeben Menge natürlicher Zahlen ist endlich, aber
> > zu jeder Menge kann man eine größere finden. (Eine Behauptung, für
> > Kalenderblatt] wie die Behauptung: "ich beginne mal eben mit der
> > potentiell unendlich (ebenso wie die Längen der Tao-Folgen).
>
> > Darstellung der Zahlen als Summe von Einsen, wie sie Cantor
> > vorschwebte:
> > 1
> > 1+1
> > 1+1+1
> > ...
>
> > Oder Ziffernfolgen, wie ich sie oft verwende:
> > 0,1
> > 0,11
> > 0,111
> > ...
> > Entsprechung von Zahlenmenge und Zahlengröße ist doch so einfach durch
> > eine Bijektion zu sehen:
>
> > n = n,
>
> > Zahlen von 1 bis n steht. Ein aktual Unendlich kommt weder links noch
> > rechts vor, und wenn, dann auf beiden Seiten gleichzeitig. Deshalb
> > habe ich die schon oft kolportierte Aussage gemacht, und stehe auch
> > nicht möglich ohne eine aktual unendliche natürliche Zahl (und
>
> > Deshalb gibt es meines Erachtens auch keine Ziffernfolge, wie sie
> > durch die Schreibweise 0,111... impliziert wird, also mit einer
> > niemals endenden Anzahl von Einsen. Jede derartige Ziffernfolge ist
> > hat man niemals angehängt. Daher ist die Ziffernfolge potentiell
> > unendlich.
>
> > Aber das darf nicht mit dem Verständnis der Sprache verwechselt
> > werden: Es gibt die Darstellung 1/9 und die dasselbe aussagende
> > Zeichen, Abkürzungen für das Ergebnis einer "mit mathematischer
> > Präzision" erfolgten Teilung der Einheit in neun Teile, worüber man
> > sprechen kann (und deshalb nicht schweigen muss).
>
> arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
Hallo Rainer,
großen Dank erstmal für die vielen nützlichen Hinweise, die ich mir in
Ruhe anschauen muss. (Auch Deinen Beitrag in sci.logic, den ich fast
übersehen hätte, habe ich gerade eben beantwortet.) Nochmal zu Deiner
letzten Frage: Ich sage: Es gibt keine unendlich große Zahl und keine
unendlich lange Folge und überhaupt nichts, das als Unendliches so vor
sich hin existiert.
Unendlich, und zwar allein potentiell unendlich, ist eine Richtung,
ein Entwicklungsprozess, der nur auf Mengen von endlichen Elementen
definiert sein kann.
Wenn ich in diesem Sinne sage: Die natürlichen Zahlen sind unendlich",
dann meine ich dass sowohl ihre Anzahl als auch ihre Größen keine
obere Grenze besitzen. Aber jede Zahl und jede Menge ist endlich.
Gruß, WM
Markus Sigg
> ... W�re dem so, so w�re nicht beweisbar, dass es
> Betrag unterscheiden.
Wie w�re es mit sqrt(2) und 2*sqrt(2)?
Gru�,
Markus Sigg
Ulrich Lange
>
> Nun vermute ich, dass es zu jeder irrationalen Zahl x ein g gibt, so das
> die g-adische Darstellung von x normal ist.
Diese Vermutung ist wohl falsch, siehe z.B. Greg Martin: Absolute
abnormal numbers, http://arxiv.org/abs/math/0006089v2
--
Gru�, Ulrich Lange
Rainer Rosenthal
> Meine Frage war, ob Du sagen wï¿œrdest, dass es unendlich lange
> arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
Hallo Wolfgang,
vielleicht magst Du diese Frage doch noch beantworten?
Und zwar nicht aus der Ecke "Unendlich gibt's ja sowieso
nicht" sondern mit einer speziell auf diese Frage passenden
elementar-mathematischen Aussage? Es ist nï¿œmlich hï¿œbsch,
sich anzuschauen, warum es so kompliziert ist, ï¿œberhaupt
einigermassen lange "Primzahl-Leitern" zu bilden.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Albrecht
Ulrich Lange <ulrich...@invalid.invalid> wrote:
> Albrecht schrieb:
> >
> > Nun vermute ich, dass es zu jeder irrationalen Zahl x ein g gibt, so das
> > die g-adische Darstellung von x normal ist.
>
> Diese Vermutung ist wohl falsch, siehe z.B. Greg Martin: Absolute
> abnormal numbers, http://arxiv.org/abs/math/0006089v2
Interessant.
Gru�
Albrecht
WM
> > arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
>
> Hallo Wolfgang,
>
> vielleicht magst Du diese Frage doch noch beantworten?
> Und zwar nicht aus der Ecke "Unendlich gibt's ja sowieso
> nicht" sondern mit einer speziell auf diese Frage passenden
> sich anzuschauen, warum es so kompliziert ist, überhaupt
> einigermassen lange "Primzahl-Leitern" zu bilden.
Hallo Rainer,
ich weiß nicht, ob Dir das Folgende elementar mathematisch genug ist,
aber ich kann meine Meinung nur folgendermaßen ausdrücken:
In meinem Verständnis gibt es keine unendlich lange arithmetische
Folge, die nur aus Primzahlen besteht, denn jede Primzahlfolge ist
endlich.
Ich würde aber sagen, dass die Menge der Primzahlfolgen (oder die
Folge der z. B. nach Länge oder Anfangsglied geordneten Folge der
Primzahlfolgen) potentiell unendlich ist, weil es zu jeder Länge eine
größere Länge gibt.
Dasselbe gilt für jede Zahlenfolge wie z. B. 1, 2, 3, ...
Diese Zahlenfolge bezeichne ich als potentiell unendlich, weil zu
jeder bekannten größten (An-)Zahl eine noch größere gefunden werden
kann. Da aber alle gefundenen eine endliche Menge bilden, ist jede
temporäre Manifestation endlich, genau so wie jede natürliche Zahl
endlich ist.
Stellen wir die natürlichen Zahlen unär dar, so sieht man, dass das
Dreieck
1
11
111
...
weder nach unten noch nach rechts eine Schranke besitzt. (Wenn aber
der Gesamthöhe eine Zahl omega zugeordnet werden könnte, dann müsste
dieselbe Zahl auch der Gesamtbreite zugeordnet werden.)
Genau so kann man die arithmetischen Primzahlfolgen hinschreiben,
soweit man sie kennt, z. B. wenn man bei gleicher Länge immer nur die
mit kleinster erster Zahl auswählt:
2
2, 3
3, 5, 7
...
Ich sehe zwischen den beiden Skizzen eigentlich keinen grundlegenden
Unterschied. Du?
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
>>> arithmetische Folgen gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
>> Hallo Wolfgang,
>>
>> vielleicht magst Du diese Frage doch noch beantworten?
>> Und zwar nicht aus der Ecke "Unendlich gibt's ja sowieso
>> nicht" sondern mit einer speziell auf diese Frage passenden
>> sich anzuschauen, warum es so kompliziert ist, ï¿œberhaupt
>> einigermassen lange "Primzahl-Leitern" zu bilden.
>
> ich weiￜ nicht, ob Dir das Folgende elementar mathematisch genug ist,
> aber ich kann meine Meinung nur folgendermaï¿œen ausdrï¿œcken:
> In meinem Verstï¿œndnis gibt es keine unendlich lange arithmetische
> Folge, die nur aus Primzahlen besteht, denn jede Primzahlfolge ist
> endlich.
> Ich wï¿œrde aber sagen, dass ...
Hallo Wolfgang,
nein, das war nicht das worauf ich abgezielt hatte. Probiere doch einfach
mal, fï¿œnf Primzahlen zu finden, die eine arithmetische Progression bilden.
Dann schau Dir an, wieso diese Folge nicht verlï¿œngerbar ist und suche nach
einem richtig kernigen Grund dafï¿œr. Das fï¿œhrt dann zu einem wirklich
einfachen Argument, und das meinte ich mit elementar-mathematisch.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> Hallo Wolfgang,
>
> nein, das war nicht das worauf ich abgezielt hatte. Probiere doch einfach
> mal, fünf Primzahlen zu finden, die eine arithmetische Progression bilden.
Hallo Rainer,
ich wähle
(1769267·2340000 - 1) + (1061839·2456789 - 1769267·2340000)·n
> Dann schau Dir an, wieso diese Folge nicht verlängerbar ist und suche nach
> einem richtig kernigen Grund dafür.
Die Folge ist aber verlängerbar. Und wäre sie es nicht, so würde ich
eine andere suchen (oder besser warten, bis jemand sie gefunden hat).
> Das führt dann zu einem wirklich
> einfachen Argument, und das meinte ich mit elementar-mathematisch.
Ja aber warum so umständlich? Statt Primzahlfolgen kann man doch
einfach Folgen natürlicher Zahlen verwenden, z. B. 1, 2, 3, ..., n.
Da sind sogar die Anfangsglieder immer dieselben. Um die
arithmetischen Primzahlfolgen etwas realistischer zu modellieren,
könnte man auch folgende Folgen betrachten:
1
2, 4 wobei nur gerade Zahlen < 5 vorkommen dürfen.
3, 6, 9 wobei nur einstellige Zahlen vorkommen dürfen.
4, 8, 12, 16 wobei keine Zahl größer als 17 sein soll.
und so weiter. Mit den Nebenbedingungen sehe ich keinen Unterschied
mehr zu Deinen Primzahlfolgen.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> On 14 Jun., 14:18, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
>> Hallo Wolfgang,
>>
>> nein, das war nicht das worauf ich abgezielt hatte. Probiere doch einfach
>
> Hallo Rainer,
>
> ich wï¿œhle
> (1769267ￜ2340000 - 1) + (1061839ￜ2456789 - 1769267ￜ2340000)ￜn
>
>> Dann schau Dir an, wieso diese Folge nicht verlï¿œngerbar ist und suche nach
>> einem richtig kernigen Grund dafï¿œr.
>
> Die Folge ist aber verlï¿œngerbar. Und wï¿œre sie es nicht, so wï¿œrde ich
> eine andere suchen (oder besser warten, bis jemand sie gefunden hat).
>
Hallo Wolfgang,
Fï¿œr n=0 ergibt sich 4140084779999 = 7*591440682857, was nicht prim ist,
und fï¿œr n=1 ergibt sich eine gerade Zahl. Ich weiss also nicht recht,
warum Du diese Folge angefï¿œhrt hast.
Das mit den fï¿œnf Primzahlen war durchaus hilfreich gemeint. Zum einen
ist es nicht so schwierig, solch eine Primzahl-Leiter mit 5 Stufen
zu finden, und ausserdem kann man wirklich mathematisch argumentieren,
wieso eine solche Folge, wenn sie aus nicht allzu riesigen Zahlen besteht,
nicht verlï¿œngerbar sein kann.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
WM
> WM schrieb:
>
>
>
>
>
> > On 14 Jun., 14:18, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>
> >> Hallo Wolfgang,
>
> >> nein, das war nicht das worauf ich abgezielt hatte. Probiere doch einfach
>
> > Hallo Rainer,
>
> > ich wähle
> > (1769267·2340000 - 1) + (1061839·2456789 - 1769267·2340000)·n
>
> >> Dann schau Dir an, wieso diese Folge nicht verlängerbar ist und suche nach
> >> einem richtig kernigen Grund dafür.
>
> > eine andere suchen (oder besser warten, bis jemand sie gefunden hat).
>
> Hallo Wolfgang,
>
> und für n=1 ergibt sich eine gerade Zahl. Ich weiss also nicht recht,
> warum Du diese Folge angeführt hast.
Hallo Rainer,
sorry, ich habe sie direkt aus Wikipedia von der von Dir angegeben
Seite kopiert. Dabei sind die Exponenten wohl zu Faktoren geworden.
>
> Das mit den fünf Primzahlen war durchaus hilfreich gemeint. Zum einen
> ist es nicht so schwierig, solch eine Primzahl-Leiter mit 5 Stufen
> zu finden, und ausserdem kann man wirklich mathematisch argumentieren,
> wieso eine solche Folge, wenn sie aus nicht allzu riesigen Zahlen besteht,
> nicht verlängerbar sein kann.
Das glaube ich Dir. Dasselbe Argument gilt aber auch für die Folgen
von mir mit künstlich eingeführten oberen Schranken.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> Rainer Rosenthal wrote:
>> Das mit den fï¿œnf Primzahlen war durchaus hilfreich gemeint. Zum einen
>> ist es nicht so schwierig, solch eine Primzahl-Leiter mit 5 Stufen
>> zu finden, und ausserdem kann man wirklich mathematisch argumentieren,
>> wieso eine solche Folge, wenn sie aus nicht allzu riesigen Zahlen besteht,
>> nicht verlï¿œngerbar sein kann.
>
> Das glaube ich Dir. Dasselbe Argument gilt aber auch fï¿œr die Folgen
> von mir mit kï¿œnstlich eingefï¿œhrten oberen Schranken.
Das ist bestimmt nicht so. Denn wie ich bereits sagte, gibt es ein
spezifisches elementar-mathematisches Argument dafï¿œr, dass eine
5-sprossige Primzahl-Leiter wie z.B.
5, 11, 17, 23, 29
mit Differenz 6 nicht verlï¿œngert werden kann, ja, dass sogar keine
einzige weitere Leiter mit diesem Sprossen-Abstand 6 existiert, die
ï¿œberhaupt nur die Lï¿œnge 5 erreicht. Um so etwas zu bekommen, muss
man wenigstens den Sprossenabstand 30 haben. Beispiel:
7, 37, 67, 97, 127
Wie Du siehst, ist es hilfreich, genau hinzuschauen. Dann kommt das
gute und griffige mathematische Argument bald herbei, das einem
zeigt, dass trotz grossartiger Leistung von Terence Tao ("es gibt
beliebig lange Primzahl-Leitern") keine unendlich lange Primzahl-
Leiter existieren kann.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Jakob Creutzig
> zeigt, dass trotz grossartiger Leistung von Terence Tao
*Green* und Tao. Muss hart sein, Ko-Autor eines Megastars
zu sein..
Best,
Jakob
WM
> WM schrieb:
>
> > Rainer Rosenthal wrote:
> >> ist es nicht so schwierig, solch eine Primzahl-Leiter mit 5 Stufen
> >> zu finden, und ausserdem kann man wirklich mathematisch argumentieren,
> >> wieso eine solche Folge, wenn sie aus nicht allzu riesigen Zahlen besteht,
>
> > Das glaube ich Dir. Dasselbe Argument gilt aber auch für die Folgen
> > von mir mit künstlich eingeführten oberen Schranken.
>
> Das ist bestimmt nicht so. Denn wie ich bereits sagte, gibt es ein
> 5-sprossige Primzahl-Leiter wie z.B.
>
> 5, 11, 17, 23, 29
>
> einzige weitere Leiter mit diesem Sprossen-Abstand 6 existiert, die
> man wenigstens den Sprossenabstand 30 haben. Beispiel:
>
> 7, 37, 67, 97, 127
>
> Wie Du siehst, ist es hilfreich, genau hinzuschauen. Dann kommt das
> gute und griffige mathematische Argument bald herbei, das einem
> zeigt, dass trotz grossartiger Leistung von Terence Tao ("es gibt
> beliebig lange Primzahl-Leitern") keine unendlich lange Primzahl-
> Leiter existieren kann.
Hallo Rainer,
das glaube ich doch auch! Aber was hat es mit der Frage des aktual
Unendlichen zu tun? Auch die von mir angeführten Folgen können keine
unendliche Länge besitzen. Und selbst eine beliebige Folge natürlicher
Zahlen kann keine unendliche Länge besitzen. Sicher stimmst Du Borel
zu, wenn er sagt, dass eine bestimmte (natürlich unbekannte)
natürliche Zahl niemals überschritten wird. Es gibt zwar beliebig
lange Zahl-Leitern, trotzdem kann keine unendlich lange Zahl-Leiter
existieren.
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> On 14 Jun., 23:38, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> WM schrieb:
>>
>>> Rainer Rosenthal wrote:
>>>> ist es nicht so schwierig, solch eine Primzahl-Leiter mit 5 Stufen
>>>> zu finden, und ausserdem kann man wirklich mathematisch argumentieren,
>>>> wieso eine solche Folge, wenn sie aus nicht allzu riesigen Zahlen besteht,
>>> Das glaube ich Dir. Dasselbe Argument gilt aber auch fï¿œr die Folgen
>>> von mir mit kï¿œnstlich eingefï¿œhrten oberen Schranken.
>> Das ist bestimmt nicht so. Denn wie ich bereits sagte, gibt es ein
>> 5-sprossige Primzahl-Leiter wie z.B.
>>
>> 5, 11, 17, 23, 29
>>
>> einzige weitere Leiter mit diesem Sprossen-Abstand 6 existiert, die
>> man wenigstens den Sprossenabstand 30 haben. Beispiel:
>>
>> 7, 37, 67, 97, 127
>>
>> Wie Du siehst, ist es hilfreich, genau hinzuschauen. Dann kommt das
>> gute und griffige mathematische Argument bald herbei, das einem
>> zeigt, dass trotz grossartiger Leistung von Terence Tao ("es gibt
>> beliebig lange Primzahl-Leitern") keine unendlich lange Primzahl-
>> Leiter existieren kann.
>
> Hallo Rainer,
>
> das glaube ich doch auch! Aber was hat es mit der Frage des aktual
> unendliche Lï¿œnge besitzen. Und selbst eine beliebige Folge natï¿œrlicher
> Zahlen kann keine unendliche Lï¿œnge besitzen. Sicher stimmst Du Borel
> zu, wenn er sagt, dass eine bestimmte (natï¿œrlich unbekannte)
> natï¿œrliche Zahl niemals ï¿œberschritten wird. Es gibt zwar beliebig
> lange Zahl-Leitern, trotzdem kann keine unendlich lange Zahl-Leiter
> existieren.
Hallo Wolfgang,
ich bitte Dich auf Knien um ein elementar-mathematisches Argument.
Dazu hatte ich bereits kleine Beispiele gebracht, denn Dein erster
Ansatz litt ja unter unanschaulichen Zahlen, die obendrein noch
gewissen Kopier-Problemen zum Opfer gefallen waren.
Vielleicht ist auch dies noch ein hilfreicher Hinweis:
Die Zahlen 3,5,7 bilden eine 3-sprossige Primzahl-Leiter mit
Sprossenabstand 2. Gibt es noch weitere 3-sprossige Primzahl-
Leitern mit Sprossen-Abstand 2?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Stephan Gerlach
[...]
>>>> Ach so, das. Dazu k�nnte man auch einfach sagen "summiert".
>>>> Das, was da steht, ist ja gerade eine Folge von Partialsummen:
>>>> 3
>>>> 3+0,1 = 3,1
>>>> 3+0,1+0,04 = 3,14
>>>> ...
>>>> "Alle Abschnitte �bereinander projiziert" entspricht dann in diesem Fall
>>>> gerade "die komplette Reihe aufsummiert".
>>> Naja, bei der Folge 3, 3.1, 3.14 kann man nicht von Summation
>>> sprechen, sonst h�tte man ja 3, 6.1, 9.24.
>> Es wurden ja auch nicht die Folgenglieder 3, 3.1, 3.14 summiert, sondern
>> die Folgenglieder 3, 0.1, 0.04. Dieses Prinzip ist ja bei *jeder*
>> Summenbildung so:
>
> Aber mir kommt es darauf an aus der Folge
> 3, 3.1, 3.14 die Folge 3,14 zu erzeugen.
"Aus einer (3 *Folgen*glieder gro�en?) *Folge* eine (Zeichen?)Folge
erzeugen"; da sollte man schon genau aufpassen, da� man den Begriff
"Folge" nicht doppeldeutig verwendet.
> Dort wir es n�mlich deutlich, dass die Vereinigung nichts weiter als
> eines der vereinigten Elemente ist.
> Wenn wir diese besondere Art der Vereinigung,
F�r welche Objekte ist diese 'Vereinigung' nun genau definiert?
Wie ich das verstehe, f�r Folgen der Form (#)
a_0 = d0
a_1 = d0,d1
a_2 = d0,d1d2
a_3 = d0,d1d2d3
...
Wobei das jetzt *Zahlen*folgen in "herk�mmlichen" Sinne sind. Und wobei
diese Zahlenfolgen die besondere Eigenschaft besitzen, da� die
*Dezimalziffern*folgen der einzelnen *Zahlen*folgenglieder untereinander
eine besondere Struktur aufweisen; d0, d1, d2, d3 sind aus
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. F�r eine Zahlenfolge, deren erste Folgendglieder z.B.
a_0 = 3
a_1 = 3.1
a_2 = 3.14
a_3 = 3.152
...
sind, ergibt diese 'Vereinigung' keinen Sinn.
> einmal mit V bezeichnen,
> so gilt
> 3 V 3.1 V 3.14 = 3,1 V 3,14 = 3,14.
> Und das ist f�r jede Vereinigung von Anfangsabschnitten so, die nur
> aus endlichen Abschnitten besteht. Wie viele es sind, ist ganz
> gleichg�ltig. Zum Beispiel gilt
> 3 V 3 V 3 V 3.1 V 3.14 = 3,14.
Dann k�nnte man mehrfach auftretende Folgenglieder vielleicht gleich
ganz weglassen (z.B. in einer formalen Definition von V). Wenn man
Aussagen �ber mathematische Objekte - in diesem Fall �ber die
'Vereinigung' V - anstellt, ist es zweckm��ig, eine ordentliche
Definition des betreffenden Objekts zu haben.
Z.B. k�nnte man dieses V formal folgenderma�en definieren; ich wei�
nicht, ob das exakt deiner Vorstellung davon entspricht:
Gegeben sei eine Folge (a_n)_{n�|N} rationaler Zahlen der Form (#)
(siehe oben). Es sei M das Mengensystem
M = {alle endlichen Mengen A, die nur aus Folgengliedern dieser Folge
bestehen}.
Dann sei die 'Vereinigung' V definiert als Abbildung
V : M --> IR
gem��
V(A) = [dasjenige Element aus A mit der l�ngsten Dezimalziffernfolge].
>> Die 'Vereinigung' von endlichen Ziffernfolgen ist nur solange
>> notwendigerweise endlich, wie nur *endlich* *viele* dieser endlichen
>> Ziffernfolgen 'vereinigt' werden. Dazu braucht man nicht mal pi zu
>> bem�hen; da tut's im Prinzip jede Zahl mit nicht abbrechender
>> Dezimalbruch-Entwicklung.
>
> Nat�rlich, zum Beispiel
>
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
>
> Deine obige Aussage ist falsch. Die Vereinigung ist solange endlich
> wie nur endliche Abschnitte vereinigt werden.
Und genau an der Stelle ist u.U. eine exakte Definition von V sinnvoll,
um dar�ber zu disuktieren, ob die Aussage falsch oder wahr ist. F�r eine
geeignete Definition von V hast du wom�glich sogar recht.
Ich ging wie schon erw�hnt davon aus, da� V nur auf paarweise
verschiedene Abschnitte wirkt; andernfalls k�nnte man nat�rlich als
unendliche 'Vereinigung'
3 V 3 V 3 V ... bilden
und erhielte als Ergebnis 3, also einen endlicher Abschnitt.
> Ich wei� nicht wer als
> Erster auf die Idee kam, das Ergebnis w�re von der Anazahl der
> vereinigten Abschnitte abh�ngig.
Ohne zu wissen, ob 3 V 3 "zul�ssig" ist oder nicht, kann man dar�ber
�berhaupt keine Aussage treffen.
> Das ist etwa so, als wenn man einen schwere Wagen aus dem Acker bergen
> m�chte und kein Abschnleppseil besitzt. Nach Deiner Lesart gen�gt es,
> laut zu rufen: Die Richtung stimmt.
Der Zusammenhang zu Zahlenfolgen, Dezimalziffernfolgen, Abschnitten und
V ist nicht ganz klar.
WM
>
> ich bitte Dich auf Knien um ein elementar-mathematisches Argument.
Hallo Rainer,
In welcher Form? Ich bin wirklich nicht böswillig, aber ich verstehe
nicht, worin Du einen Unterschied siehst zwischen einer Primzalfolge
wie 3, 5, 7 und einer Folge einstelliger ungerader Dezimalzahlen wie
1, 3, 5, 7, 9. Könntest Du versuchen, den von Dir hier wahrgenommenen
Unterschied mit Bezug zum Unendlichen etwas genauer auszudrücken?
> Dazu hatte ich bereits kleine Beispiele gebracht, denn Dein erster
> Ansatz litt ja unter unanschaulichen Zahlen, die obendrein noch
> gewissen Kopier-Problemen zum Opfer gefallen waren.
Also hier sind angeblich 17 PZ in Folge:
2960886048458003 + 2346233·23#·n
Ich habe es nicht nachgerechnet. Aber was soll der Unterschied zu
einer Folge von 17 natürlichen Zahlen sein, die kleiner als 18 sind?
> Vielleicht ist auch dies noch ein hilfreicher Hinweis:
> Die Zahlen 3,5,7 bilden eine 3-sprossige Primzahl-Leiter mit
> Sprossenabstand 2. Gibt es noch weitere 3-sprossige Primzahl-
> Leitern mit Sprossen-Abstand 2?
Kaum, da eine von ihnen durch 3 teilbar sein müsste. Aber ebensowenig
gibt es noch weitere Folgen einstelliger natürlicher Zahlen mit 9
Gliedern. Wie gesagt, ich sehe leider nicht, worauf Du hinaus willst.
Gruß, WM
WM
wrote:
> Für welche Objekte ist diese 'Vereinigung' nun genau definiert?
> Wie ich das verstehe, für Folgen der Form (#)
Ich habe gerade einen Beweis zum binären Baum ins Netz gestellt, der
die hier geführte Diskussion vermutlich überflüssig macht:
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/c61185bcc95dbd64?hl=de&scoring=d&
Gruß, WM
Jakob Creutzig
>> Vielleicht ist auch dies noch ein hilfreicher Hinweis:
>> Die Zahlen 3,5,7 bilden eine 3-sprossige Primzahl-Leiter mit
>> Sprossenabstand 2. Gibt es noch weitere 3-sprossige Primzahl-
>> Leitern mit Sprossen-Abstand 2?
>
> Kaum, da eine von ihnen durch 3 teilbar sein m�sste.
Ich bin ehrlich verbluefft.
Jakob