Unterscheidet man in der Mathematik zwischen (mindestens) zwei Klassen von irrationalen Zahlen?
Manfred Ullrich
"Generierungs-Gesetzm��igkeit" beliebig genau angeben kann, wie z.B.:
Pi, e, Wurzel(2) usw.
Gru�
Manfred
Gottfried Helms
> Nämlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man mit einer
> "Generierungs-Gesetzmäßigkeit" beliebig genau angeben kann, wie z.B.:
> Pi, e, Wurzel(2) usw.
>
> Gruß
> Manfred
>
Habe ich noch nicht gesehen. Die klassische Unterscheidung ist
* algebraisch - wurzel aus einem finiten Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten
* transzendental - nicht algebraisch
Die Folge der Ziffern, also der Koeffizienten der Potenzreihe
z = d0 + d1*10 + d2*10^2 + d3*10^3 + ...
die mit einer Zahl z verbunden ist / die zur Darstellung der Zahl z
benötigt wird, hängt meist eher "zufällig" mit der Frage einer Gesetz-
mäßigkeit zusammen. Deshalb ist auch umgekehrt die Frage ob man
-wenn eine Gesetzmßigkeit der Ziffernfolge erkennbar ist- es sich
um eine algebraische oder transzendente Zahl handelt, bis auf bestimmte
Klassen von Gesetzmäßigkeiten, ich sag mal: "zufällig".
Deswegen kann ich mir kaum vorstellen, daß außer z.B. bei periodischen
rationalen Zahlen oder eben bei bestimmten Gesetzmäßigkeiten für
die Ziffernfolgen (z.B. anwachsende Anzahl zusammenhängender Nullen,
Liouville-Zahlen), "in der Mathematik" dieses Kriterium eine besondere
Bedeutung hätte, für die man viel (professionelle) Forschungszeit
investieren würde...
Just an opinion -
Gottfried
Willi =??B?TcO2aHJpbmc=?=
> Nämlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man mit
> einer "Generierungs-Gesetzmäßigkeit" beliebig genau angeben kann, wie
> z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>
> Gruß
> Manfred
Wahrscheinlich meinst Du die berechenbaren Zahlen. Man findet etwas über sie in Wikipedia.
Grüße
Willi
Martin Fuchs
> Nämlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man
> mit einer
> "Generierungs-Gesetzmäßigkeit" beliebig genau angeben kann, wie z.B.:
> Pi, e, Wurzel(2) usw.
Es gibt den Begriff der "berechenbaren reellen Zahlen", vielleicht
meinst du dies.
mf
Manfred Ullrich
"Willi Möhring" <wmo...@gwdg.de> schrieb im Newsbeitrag news:iibd7c$1sas$1...@gwdu112.gwdg.de...
> Manfred Ullrich wrote:
>
>> Nï¿œmlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man mit
>> einer "Generierungs-Gesetzmￜￜigkeit" beliebig genau angeben kann, wie
>> z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>>
>> Manfred
>
> Wahrscheinlich meinst Du die berechenbaren Zahlen. ...
Nein, ich meine (berechenbare) irrationale Zahlen.
Gruￜ
Manfred
Superintendent Krause
> "Willi Möhring" <wmoe...@gwdg.de> schrieb im Newsbeitragnews:iibd7c$1sas$1...@gwdu112.gwdg.de...
>
> > Manfred Ullrich wrote:
>
> >> N mlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man mit
> >> einer "Generierungs-Gesetzm igkeit" beliebig genau angeben kann, wie
> >> z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>
> >> Gru
>
> > Wahrscheinlich meinst Du die berechenbaren Zahlen. ...
>
> Nein, ich meine (berechenbare) irrationale Zahlen.
>
> Gru
Stammt die Definition aus Göttingen ?
1920 hat der Deutsche ja viel Wissenschaft gemacht, denn eine
Anstellung an der Uni WAR DER EINZIGE JOB IM DEUTSCHEN REICHE !
mock
>
> Deswegen kann ich mir kaum vorstellen, daß außer z.B. bei periodischen
> rationalen Zahlen oder eben bei bestimmten Gesetzmäßigkeiten für
> die Ziffernfolgen (z.B. anwachsende Anzahl zusammenhängender Nullen,
> Liouville-Zahlen), "in der Mathematik" dieses Kriterium eine besondere
> Bedeutung hätte, für die man viel (professionelle) Forschungszeit
> investieren würde...
>
weil man nur endlich viele Ziffern mit bspw. ⅓ oder √2 vergleichen
kann. Die Berechenbarkeit sagt also nur etwas über berechnete Zahlen
aus und ist damit tautologisch.
Vogel
news:4d4923b3$0$6874$9b4e...@newsspool2.arcor-online.net:
> Nämlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man
> mit einer "Generierungs-Gesetzmäßigkeit" beliebig genau angeben kann,
> wie z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>
So ein Quark!
>
Jede irationale Zahl lässt sich irgendwie berechnen. Erst daraus weiss man
dass sie irational ist, denn niemand kann an einer endlichen Anfangssequenz
erkennen ob diese zu einer irationalen Zahl gehört.
>
mock
>
> Jede irationale Zahl lässt sich irgendwie berechnen. Erst daraus weiss man
> dass sie irational ist, denn niemand kann an einer endlichen Anfangssequenz
> erkennen ob diese zu einer irationalen Zahl gehört.
>
abhängig, ob irgend jemand weiss, dass diese Zahl irrational ist. Dass
niemand ein Beispiel einer nicht berechenbaren irrationalen Zahl geben
kann, heisst nicht, es gäbe keine.
Trotzdem würde mich ein Beweis der Existenz solcher Zahlen
interessieren.
Manfred Ullrich
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag news:Xns9E80DE12F...@130.133.4.10...
> "Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> wrote in
> news:4d4923b3$0$6874$9b4e...@newsspool2.arcor-online.net:
>
>> mit einer "Generierungs-Gesetzmￜￜigkeit" beliebig genau angeben kann,
>> wie z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>>
> So ein Quark!
>>
>
Da ich weiￜ, wie schwer Dir "selber denken" fￜllt, wundert mich Deine Antwort nicht.
Manfred
Wolfgang Thumser
> Dass niemand ein Beispiel einer nicht berechenbaren irrationalen Zahl geben
> kann, heisst nicht, es gäbe keine.
>
> Trotzdem würde mich ein Beweis der Existenz solcher Zahlen
> interessieren.
Sei M die Menge aller natuerlichen Zahlen m, fuer welche die m-te
Turingmachine mit Input m stoppt. Diese Menge M ist nicht rekursiv
(und nach Churchs These auch nicht berechenbar), aber rekursiv
aufzaehlbar.
Weiter sei i = 0,... diejenige reelle Zahl, deren n-te Nachkomma-
stelle genau dann 1 ist (und sonst 0), falls n zu M gehoert.
i ist offenbar angebbar (s.o.), irrational und nicht berechenbar.
Gruss Wolfgang
Vogel
>
> "Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:Xns9E80DE12F...@130.133.4.10...
>> "Manfred Ullrich" <manfred...@web.de> wrote in
>> news:4d4923b3$0$6874$9b4e...@newsspool2.arcor-online.net:
>>
>>> Nämlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge
>>> man mit einer "Generierungs-Gesetzmäßigkeit" beliebig genau angeben
>>> kann, wie z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>>>
>> So ein Quark!
>>>
>> Jede irationale Zahl lässt sich irgendwie berechnen. ......
>>
>
> Da ich weiß, wie schwer Dir "selber denken" fällt, wundert mich Deine
> Antwort nicht.
>
Nein das weisst du nicht, sonst hättest du nicht so eine dumme Frage
gestellt.
>
Vogel
news:345c8b32-6868-4071...@d17g2000vbn.googlegroups.com:
> On 2 Feb., 21:50, Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
>>
>> Jede irationale Zahl l�sst sich irgendwie berechnen. Erst daraus
>> weiss man dass sie irational ist, denn niemand kann an einer
>> endlichen Anfangssequenz erkennen ob diese zu einer irationalen Zahl
>> geh�rt.
>>
> Das ist unlogisch, denn die Irrationalit�t einer Zahl ist nicht davon
> abh�ngig, ob irgend jemand weiss, dass diese Zahl irrational ist.
>
Verdreh mir nicht die Worte im Satze. Das steht bei mir so ja auch nicht
geschrieben. Erst richtig lesen, dann richtig verstehen, dann kommentieren.
Wenn man nicht weiss ob eine Zahl irational ist, kann man nat�rlich auch
nicht �ber deren Irationalit�t diskutieren.
>
Ja sogar, ich sagte, dass dies noch nicht einmal eine Eigenschaft einer
Zahl ist, sondern ihrer Darstellung in einem Zahlensystem. Das ist aber
Kryptik. Ich sprach davon woran eine irationale Zahl zu erkennen ist.
>
Keinesfalls an einer endlichen Aufz�hlung von Ziffern und jede Aufz�hlung
kann nur endlich sein.
>
Also braucht es eine Beziehung, Regel, usw. welche f�r eine bestimmte Zahl
die Eigenschaft "irational" belegt.
>
Das war der Sinn meiner Aussage.
>
Vogel
>
> Trotzdem würde mich ein Beweis der Existenz solcher Zahlen
> interessieren.
>
Der Beweis der Existenz führt sich am einfachsten durch Konstruktion so
einer Zahl nach der Regel der Definition solcher Zahlen.
>
Eine irationale Zahl ist eine unendliche Summe rationaler(Brüche ganzer
Zahlen) Zahlen. Das Ergebnis ist auf jeden Fall eine Zahl, also existiert
es.
>
Schwieriger ist es für eine bestimmte Zahl, welche aus einer Beziehung,
Regel hervorgeht, zu beweisen, dass diese zu so einer Summe führt. Dieser
Beweis lässt sich keinesfall durch Aufzählung der Ziffern führen, da die
Anzahl der Ziffern einer irationalen Zahl unendlich gross ist, aber jede
Aufzählung kann nur endlich sein.
>
Jede endliche Summe rationaler(ganzzahlige Brüch) Zahlen hat entweder
eine endliche Anzahl von Nachkommastellen oder ist unendlich periodisch.
>
Daher zum Irrtum des OP, man kann jede irationale Zahl beliebig genau
angeben. Wäre dies anders, hätte die reale Achse nichterreichbare Lücken.
Das ist daher kein Unterscheidungsmerkmal wie der OP meinte.
>
Die Unterscheidung des OP
>
"Nämlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge man
mit einer _Generierungs-Gesetzmässigkeit_ beliebig genau angeben kann"
>
gibt es nicht.
>
Torn Rumero DeBrak
Dann kannst du sicher zeigen, ob die Zahl A
größer oder gleich oder kleiner ist als die Zahl B,
wenn
A := sqrt(5) + sqrt(22+2*sqrt(5))
und
B := sqrt(11 + 2*sqrt(29)) +
sqrt(16 - 2*sqrt(29) + 2*sqrt(55 - 10*sqrt(29)) )
WM
Hallo Wolfgang,
da keine Turingmaschine (und auch sonst niemand) ohne Aussetzer bis
10^10^100 zählen kann (unabhängig von der dafür verfügbaren Zeit),
ist. Dein Beweis kein Existenzbeweis, sondern allenfalls ein
"Existenzbeweis" im Sinne Hilberts. Wir wissen aber, dass diese Art
von "Beweisen" etwa auf der Stufe früher Gottesbeweise steht,
zumindest aber - um einen physikalischen Vergleich zu ziehen - zur
vorheisenbergschen Weltanschauung gehört.
Gruß, WM
fiesh
> da keine Turingmaschine (und auch sonst niemand) ohne Aussetzer bis
Chuck Norris kann das.
--
fiesh
Detlef Bosau
> On 3 Feb., 00:11, Wolfgang Thumser<wothum...@gmx.de> wrote:
>> Hallo mock,
>>
>>> Dass niemand ein Beispiel einer nicht berechenbaren irrationalen Zahl geben
>>
>>> Trotzdem w�rde mich ein Beweis der Existenz solcher Zahlen
>>> interessieren.
>>
>> Sei M die Menge aller natuerlichen Zahlen m, fuer welche die m-te
>> Turingmachine mit Input m stoppt. Diese Menge M ist nicht rekursiv
>> (und nach Churchs These auch nicht berechenbar), aber rekursiv
>> aufzaehlbar.
>>
>> Weiter sei i = 0,... diejenige reelle Zahl, deren n-te Nachkomma-
>> stelle genau dann 1 ist (und sonst 0), falls n zu M gehoert.
>>
>> i ist offenbar angebbar (s.o.), irrational und nicht berechenbar.
>
> Hallo Wolfgang,
> da keine Turingmaschine (und auch sonst niemand) ohne Aussetzer bis
Nat�rlich kann sie das.
Nur Du kannst uns nicht mal sagen, was eine Turingmaschine �berhaut ist
- bestenfalls irgend ein ergoogletes Zeug, als wenn Du mit Nietowski und
Lukaschik um die Wette forscht.
Himmel, kannst Du nicht _einmal_ den Rand halten, wenn Du nicht wei�t,
wovon Du redest.
Und bei Turingmaschinen wei�t Du _nicht_, wovon Du redest.
Bobo
> On 02/03/2011 10:47 AM, WM wrote:
>> da keine Turingmaschine (und auch sonst niemand) ohne Aussetzer bis
>> 10^10^100 z�hlen kann (unabh�ngig von der daf�r verf�gbaren Zeit),
>
> Nat�rlich kann sie das.
Du verstehst was WM mit "Aussetzer" meint? Bitte kl�r uns auf.
> Nur Du kannst uns nicht mal sagen, was eine Turingmaschine �berhaut ist
Wie kommst Du zu dem Schluss?
> Und bei Turingmaschinen wei�t Du _nicht_, wovon Du redest.
Woher wei�t Du das?
--
Bobo
Detlef Bosau
> Detlef Bosau <detlef...@Use-Author-Supplied-Address.invalid> wrote:
>> On 02/03/2011 10:47 AM, WM wrote:
>
>>> da keine Turingmaschine (und auch sonst niemand) ohne Aussetzer bis
>>> 10^10^100 z�hlen kann (unabh�ngig von der daf�r verf�gbaren Zeit),
>> Nat�rlich kann sie das.
>
> Du verstehst was WM mit "Aussetzer" meint? Bitte kl�r uns auf.
>
Ich verstehe das genausowenig wie WM.
Eine TM hat keine Aussetzer.
>> Nur Du kannst uns nicht mal sagen, was eine Turingmaschine �berhaut ist
>
> Wie kommst Du zu dem Schluss?
>
>> Und bei Turingmaschinen wei�t Du _nicht_, wovon Du redest.
>
> Woher wei�t Du das?
Das mu� ich Dir gegen�ber nicht erl�utern.
Du wei�t, wovon Du redest? Nein? Dann schreib Deine Bewerbungen.
Hier ist de.sci.mathematik und nicht de.horst.macht.bewerbertraining.
Vogel
@daniel-new.mch.sbs.de:
> Am 03.02.2011 04:06, schrieb Vogel:
>> "Manfred Ullrich"<manfred...@web.de> wrote in
>> news:4d49e0c5$0$7661$9b4e...@newsspool1.arcor-online.net:
>>
>>>
>>> "Vogel"<vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>> news:Xns9E80DE12F...@130.133.4.10...
>>>> "Manfred Ullrich"<manfred...@web.de> wrote in
>>>> news:4d4923b3$0$6874$9b4e...@newsspool2.arcor-online.net:
>>>>
>>>>> N�mlich "normale" irrationale Zahlen und jenen, deren Ziffernfolge
>>>>> man mit einer "Generierungs-Gesetzm��igkeit" beliebig genau angeben
>>>>> kann, wie z.B.: Pi, e, Wurzel(2) usw.
>>>>>
>>>> So ein Quark!
>>>>>
>>>> Jede irationale Zahl l�sst sich irgendwie berechnen. ......
>>>>
>>>
>>> Da ich wei�, wie schwer Dir "selber denken" f�llt, wundert mich Deine
>>> Antwort nicht.
>>>
>> Nein das weisst du nicht, sonst h�ttest du nicht so eine dumme Frage
>> gestellt.
>>>
>
> Dann kannst du sicher zeigen, ob die Zahl A
> gr��er oder gleich oder kleiner ist als die Zahl B,
> wenn
>
> A := sqrt(5) + sqrt(22+2*sqrt(5))
> und
> B := sqrt(11 + 2*sqrt(29)) +
> sqrt(16 - 2*sqrt(29) + 2*sqrt(55 - 10*sqrt(29)) )
>
Du glaubst doch nicht, dass ich nur zu deinem Spass so eine
Kindergartenrechnung mache. Vor allen Dingen weil sie nichts beweist und
von so etwas auch nicht die Rede war.
>
--
Selber denken macht klug.
Wolfgang Thumser
> da keine Turingmaschine (und auch sonst niemand) ohne Aussetzer bis
> 10^10^100 z锟絟len kann (unabh锟絥gig von der daf锟絩 verf锟絞baren Zeit),
> ist. Dein Beweis kein Existenzbeweis, sondern allenfalls ein
> "Existenzbeweis" im Sinne Hilberts.
ich bin nicht ganz sicher, ob ich Dich richtig verstehe, deshalb ein
noch einfacheres Beispiel: Betrachte i=0,100100001000000100000000100...,
genauer: Betrachte folgenden Algorithmus A zur potentiellen Bestimmung
der n-ten Dezimalstelle dieser Zahl i (der auch durch ein Turingprogramm
realisierbar ist):
A: Fuer die Eingabe einer natuerlichen Zahl n liefere genau dann
1 (und sonst 0) als n-te Dezimalstelle von i zurueck, falls n
eine Quadratzahl ist.
Akzeptierst Du die offenbar endliche Zeichenkette der Darstellung von
A als Beschreibungsmoeglichkeit von i (ich kann mir kaum eine
konstruktivere Darstellung dieser Irrationalzahl denken)?
Wenn ja, dann ist meine urspruengliche Antwort zur Beschreibung von M
ebenso konstruktiv.
Wenn nein, dann weiss ich nicht, was Du unter einer Irrationalzahl
ueberhaupt verstehst (Konkreter als die Angabe eines Algorithmus in
Form einer endlichen Zeichenkette zur potentiellen Bestimmbarkeit
einer Dezimalstelle kann man doch gar nicht sein).
Gruss Wolfgang
WM
Hallo Wolfgang,
Das Existenzproblem ist ein sehr tiefgehendes. Um das, was ich mir
dazu überlegt habe, darzustellen, muss ich etwas weiter ausholen.
Eine Zahl besitzt eine Zifferndarstellung, wenn man alle Ziffern
angeben kann.
Der gewöhnliche Taschenrechner zum Beispiel kann natürliche Zahlen bis
9 E 99 darstellen, aber ganz sicher nicht die Zahl z =
10110111011110111110 (jedenfalls meiner aus den achtziger Jahren kann
es nicht).
Das bedeutet, die meisten natürlichen Zahlen zwischen 0 und 9^99
besitzen in diesem System (Taschenrechner) keine Zifferndarstellung.
Man kann unter Benutzung meines Taschenrechners also niemals die z-te
Stelle einer irrationalen Zahl ausrechnen, weil man z überhaupt nicht
formulieren kann.
Diese Überlegung gilt für jedes System, also auch für das Universum,
nur dass dort maximal 10^100 Stellen in Folge benannt werden können,
wo der Taschenrechner eben nur 10 kann. Deswegen gibt es keine
Zifferndarstellung für irrationale Zahlen oder rationale Zahlen mit
Periodenlängen > 10^100.
Eine Zahl kann man aber als existierend bezeichnen (und ich will das
tun), wenn zwei Mathematiker sich über ihre Identität eindeutig
verständigen können. Dazu gehören natürlich die bekannten Märtyrer wie
e und pi und phi und log2 und W(2). Also ein idealer Kreis und sein
Durchmesser oder das Quadrat mit der Diagonale oder einfach die Formel
W(2)* W(2) = 2 erlauben die Identifikation dieser Zahlen, ohne im
(unerlangbaren) Besitzt der Dezimaldarstellung zu sein.
Dazu gehört auch Dein Beispiel in der Formulierung
> i=0,100100001000000100000000100...,
und der äquivalenten Formulierung
> Fuer die Eingabe einer natuerlichen Zahl n liefere genau dann
> 1 (und sonst 0) als n-te Dezimalstelle von i zurueck, falls n
> eine Quadratzahl ist.
In dieser endlichen Definition benötigst Du keine Angabe der einzelnen
Stellen. Ich stelle mir das vor, wie wenn jemand am sicheren Ufer des
Sees der Zahlen steht und von dort eine Konstruktion ausführt, z. B.
Steinchen über das Eis rutschen lässt. Das ist eine sichere Sache.
Doch wenn man bei jeder Stelle nachschauen muss, ob dort ein Steinchen
hingelegt werden soll oder nicht, wenn man sich also auf das Eis
begeben muss, dann bricht man unweigerlich irgendwann ein. Und das ist
der Fall bei Turingmaschinen (oder Dezimalziffernfolgen) die kein
allgemeines Bildungsgesetz besitzen, sondern wo tatsächlich jede
Stelle untersucht werden muss. Wie im Falle des Taschenrechners schon
bei elfstelligen Zahlen, müssen auch diese Versuche früher oder später
(bei 10^100-stelligen Zahlen) scheitern.
> Wenn ja, dann ist meine urspruengliche Antwort zur Beschreibung von M
> ebenso konstruktiv.
Deine ursprüngliche Definition: "Sei M die Menge aller natuerlichen
Zahlen m, fuer welche die m-te Turingmachine mit Input m stoppt",
umfasst eine Menge von weniger als 10^100 Zahlen. Mehr sind nicht
adressierbar. Keine Maschine und kein Kopf kann das. Die Annahme, es
ginge, ist eine bewusste Falschannahme.
>
> Wenn nein, dann weiss ich nicht, was Du unter einer Irrationalzahl
> ueberhaupt verstehst (Konkreter als die Angabe eines Algorithmus in
> Form einer endlichen Zeichenkette zur potentiellen Bestimmbarkeit
> einer Dezimalstelle kann man doch gar nicht sein).
Wie gesagt, ich verstehe darunter eine nicht rationale Zahl, über die
man sich eindeutig verständigen kann.
Natürlich können wir uns auch über das Kontinuum (0, 1) verständigen
oder über die Menge |N - aber wir können uns nicht über jedes Element
dieser Mengen verständigen.
Gruß, WM
Torn Rumero DeBrak
> Torn Rumero DeBrak<nos...@nowhere.com> wrote in news:iidml9$nse$1
> @daniel-new.mch.sbs.de:
>
>> Am 03.02.2011 04:06, schrieb Vogel:
>>> "Manfred Ullrich"<manfred...@web.de> wrote in
>>> news:4d49e0c5$0$7661$9b4e...@newsspool1.arcor-online.net:
>>>
>>>>
>>>> "Vogel"<vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>>> news:Xns9E80DE12F...@130.133.4.10...
>>>>> Jede irationale Zahl lässt sich irgendwie berechnen. ......
>>>>>
>>
>> Dann kannst du sicher zeigen, ob die Zahl A
>> wenn
>>
>> A := sqrt(5) + sqrt(22+2*sqrt(5))
>> und
>> B := sqrt(11 + 2*sqrt(29)) +
>> sqrt(16 - 2*sqrt(29) + 2*sqrt(55 - 10*sqrt(29)) )
>>
> Du glaubst doch nicht, dass ich nur zu deinem Spass so eine
> Kindergartenrechnung mache. Vor allen Dingen weil sie nichts beweist und
> von so etwas auch nicht die Rede war.
>>
>
Großmäulig verkündest du die Berechenbarkeit und kannst selber
eine "Kindergartenrechnung" nicht ausführen. Das war ja
zu erwarten. Und mit "meinem Spass" hat das weniger
zu tun als dir die Chance zu geben, deine
miese Reputation in Bezug auf Mathematik etwas zu heben.
Also: du Nichtskönner bist also unfähiger als Kinder
im Kindergarten. Schön zu wissen.
Vogel
new.mch.sbs.de:
>
Vollidiot!
>
Wolfgang Thumser
> Eine Zahl kann man aber als existierend bezeichnen (und ich will das
> tun), wenn zwei Mathematiker sich über ihre Identität eindeutig
> verständigen können. [...]
> Dazu gehört auch Dein Beispiel in der Formulierung
>> i=0,100100001000000100000000100...,
> und der äquivalenten Formulierung
>> Fuer die Eingabe einer natuerlichen Zahl n liefere genau dann
>> 1 (und sonst 0) als n-te Dezimalstelle von i zurueck, falls n
>> eine Quadratzahl ist.
>
> In dieser endlichen Definition benötigst Du keine Angabe der einzelnen
> Stellen.
gut. So sehe ich das auch.
> Deine ursprüngliche Definition: "Sei M die Menge aller natuerlichen
> Zahlen m, fuer welche die m-te Turingmachine mit Input m stoppt",
> umfasst eine Menge von weniger als 10^100 Zahlen. Mehr sind nicht
> adressierbar. Keine Maschine und kein Kopf kann das. Die Annahme, es
> ginge, ist eine bewusste Falschannahme.
Diese Formulierung ist in der Tat zu "matheologisch". Es ist halt die
uebliche Standardformulierung, die zur Definition des urspruenglichen
i aber nicht gebraucht wir, ich reformuliere die Definition von i:
Sei i=0,... diejenige reelle Zahl, welche an n-ter Nachkommastelle
genau dann eine 1 besitzt (und sonst 0), wenn die n-te Turing
Machine mit Eingabe n stoppt.
Ein paar Bemerkungen. Diese Definition von i ist sicher eine endliche
Beschreibung in obigem Sinn. Allerdings ist aus logischen Gruenden
(und unabhaengig von der Groesse der realen Welt) wegen des Halte-
problems durch keine Berechnungsvorschrift entscheidbar, welche Ziffer
zu jeder einzelnen Stelle gehoert, genauer: Eine jede
Berechnungsvorschrift, die nach endlicher Zeit und mit Input n
schliesslich anhaelt und 0 oder 1 zurueck liefert, muss an mindestens
einer Stelle mit einem falschen Ergebnis scheitern (Man zeigt leicht
(und zwar konstruktiv), dass die Art der Aufzaehlung der Turing Machinen
und ihre speziellen Goedelisierungen durch natuerliche Zahlen n daran
nichts aendert).
Trotzdem koennen sich Mathematiker ueber i verstaendigen, und keine
Ziffer ist zweideutig definiert.
Die Frage ist also: Gewaehrst Du auch irrationalen Zahlen mit solchen
endlichen Beschreibungen eine Existenzberechtigung?
Gruss Wolfgang
Norbert Marrek
> Torn Rumero DeBrak<nos...@nowhere.com> wrote in news:iignt2$2ad$1@daniel-
> new.mch.sbs.de:
>
>
>>> "Manfred Ullrich"<manfred...@web.de> wrote in
>>> news:4d49e0c5$0$7661$9b4e...@newsspool1.arcor-online.net:
>>>
>>>>
>>>>>> "Vogel"<vo...@hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>>>>> news:Xns9E80DE12F...@130.133.4.10...
>> ...
>>>>>>>
>> ...
>>>>
>>>> Dann kannst du sicher zeigen, ob die Zahl A
>>>> wenn
>>>>
>>>> A := sqrt(5) + sqrt(22+2*sqrt(5))
>>>> und
>>>> B := sqrt(11 + 2*sqrt(29)) +
>>>> sqrt(16 - 2*sqrt(29) + 2*sqrt(55 - 10*sqrt(29)) )
>>>>
>>> Du glaubst doch nicht, dass ich nur zu deinem Spass so eine
>>> Kindergartenrechnung mache. Vor allen Dingen weil sie nichts
beweist und
>>> von so etwas auch nicht die Rede war.
>>
>>>
>> Groï¿œmï¿œulig verkï¿œndest du die Berechenbarkeit und kannst selber
>> eine "Kindergartenrechnung" nicht ausfï¿œhren. Das war ja
>> zu erwarten. Und mit "meinem Spass" hat das weniger
>> zu tun als dir die Chance zu geben, deine
>> miese Reputation in Bezug auf Mathematik etwas zu heben.
>> Also: du Nichtskï¿œnner bist also unfï¿œhiger als Kinder
>> im Kindergarten. Schï¿œn zu wissen.
>>
> Vollidiot!
>>
Zeig doch, was du kannst, statt zu pï¿œbeln.
Aloha,
Norbert
WM
> ich reformuliere die Definition von i:
>
> Sei i=0,... diejenige reelle Zahl, welche an n-ter Nachkommastelle
> genau dann eine 1 besitzt (und sonst 0), wenn die n-te Turing
> Maschine mit Eingabe n stoppt.
Hallo Wolfgang,
Ich glaube nicht, dass Du damit eine Zahl definierst.
Betrachte die Formulierung:
Sei i die reelle Zahl 0,..., welche an der n-ten Stelle die Ziffer 1
besitzt
und vergleiche sie mit der Formulierung:
Sei i die reelle Zahl 0,..., welche an der n-ten Stelle die Ziffer
d_n besitzt, wo d_n aus {0, 1, …, 9}.
Die erste Formulierung liefert, adressiert, identifiziert eine reelle
Zahl, nämlich 1/9, die zweite nicht.
>
> Ein paar Bemerkungen. Diese Definition von i ist sicher eine endliche
> Beschreibung in obigem Sinn. Allerdings ist aus logischen Gruenden
> (und unabhaengig von der Groesse der realen Welt) wegen des Halte-
> problems durch keine Berechnungsvorschrift entscheidbar, welche Ziffer
> zu jeder einzelnen Stelle gehoert, genauer: Eine jede
> Berechnungsvorschrift, die nach endlicher Zeit und mit Input n
> schliesslich anhaelt und 0 oder 1 zurueck liefert, muss an mindestens
> einer Stelle mit einem falschen Ergebnis scheitern (Man zeigt leicht
> (und zwar konstruktiv),
Ich bin kein Konstruktivist, sondern ich bin fest davon überzeugt,
dass wir die Realität der Welt, in der die Mathematik lebt,
berücksichtigen müssen. Die Mathematik ist nicht von ihrem Substrat zu
lösen. Dazu gehören Zeichen, Wörter, Bewusstsein, Logik, und vor
allem: Speicherplatz.
Konstruktivisten setzen voraus, dass alle natürlichen Zahlen
konstruiert werden können. Das ist falsch und wäre auch in einer
unendlichen Welt falsch - unabhängig vom Zeitaufwand.
Es ist klar, dass ich keine unkonstruierbare natürliche Zahl angeben
kann, aber es hat auch noch niemand eine aus einer Cantor-Liste
folgende Irrationalzahl angeben können. Trotzdem glaubt man, dass sie
existiert.
> dass die Art der Aufzaehlung der Turing Machinen
> und ihre speziellen Goedelisierungen durch natuerliche Zahlen n daran
> nichts aendert).
Hierzu möchte ich noch bemerken, was mir wichtig, aber vielen
Mathematikern unbekannt oder unwesentlich erscheint:
"Der wahre Grund für die Unvollständigkeit, welche allen formalen
Systemen der Mathematik anhaftet, liegt, wie im lI. Teil dieser
Abhandlung gezeigt werden wird {{der ist niemals erschienen}}, darin,
daß die Bildung immer höherer Typen sich ins Transfinite fortsetzen
läßt [...] während in jedem formalen System höchstens abzählbar viele
vorhanden sind. Man kann nämlich zeigen, daß die hier aufgestellten
unentscheidbaren Sätze durch Adjunktion passender höherer Typen (z. B.
des Typus omega zum System P) immer entscheidbar werden. Analoges gilt
auch für das Axiomensystem der Mengenlehre." [p. 191]
[Kurt Gödel: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und
Physik 38 (1931) S.173–198.]
Ohne Transfinites verschwindet Gödels Problem. Das Transfinite ist
aber auf die Existenz von unendlich vielen finiten Zahlen angewiesen.
> Trotzdem koennen sich Mathematiker ueber i verstaendigen, und keine
> Ziffer ist zweideutig definiert.
Das können Mathematiker angeblich auch bei der Diagonale von Cantors
Liste. Aber hier sehe ich einen Widerspruch, selbst wenn die Liste
unendlich viele Zeilen besitzt, nämlich folgenden:
In der folgenden Liste enthält jede Zeile mehr Einsen als alle
Vorgängerzeilen. Enthält die (in der Liste als Zeilenzahl nicht
vorhandene) "Grenzzeile" 0,111… mehr Einsen als alle Zeilen der Liste?
0,0
0,1
0,11
0,111
...
Wenn nein, so ist die (bei Ersetzung von 0 durch 1 entstehende)
Antidiagonalzahl 0,111… in der Liste enthalten. Widerspruch zu Cantors
Grund-Satz.
Wenn ja, so muss sich 0,111… durch mindestens eine 1 von allen
Listenzeilen unterscheiden. Widerspruch offensichtlich.
>
> Die Frage ist also: Gewaehrst Du auch irrationalen Zahlen mit solchen
> endlichen Beschreibungen eine Existenzberechtigung?
Gegenfrage: Wie lauten die ersten 3 Ziffern der Dezimaldarstellung
Deiner Zahl?
Gruß, WM
Albrecht
Natürlich ist die Mathematik eine Abstraktion von eben dieser
Wirklichkeit (Abstraktion sicher, das wird jeder klasische
Mathematiker unterschreiben. Nur der nächste Schritt, die Frage:
Abstraktion von was? wird gerne sophistisch verdunkelt). Und jetzt
stellt sich die Frage, wie weit abstrahiert werden kann. Cantor hat
mit seiner vollendeten Unendlichkeit eine Grenze überschritten, ab der
man nicht mehr von Abstraktion sondern vielleicht höchstens noch von
Metaphorisierung sprechen kann. Der Mathematik gehen nämlich jetzt
wesentliche Bezüge zu unserer Realität verloren. Aus einer stringenten
Abstraktion wird eine beliebige Fiktion mit beliebigen Regeln. Damit
wird aber die Anwendbarkeit auf bzw. Analogiefunktion zu unserer
Realität in Frage gestellt.
Um in der Mathematik Analogien zu unserer Wirklichkeit herstellen zu
können, kann m.E. ohne Zweifel von jeder Beschränktheit der Zeit, des
Raumes, der Materie, der Ressourcen, der Anzahl, der Speicherplätze
etc. abgesehen werden. Daher bin und werde ich kein Vertreter des
Ultrafinitismus, Wolfgang, auch wenn mich Deine Argumentation bzgl.
der Nicht-Realisierbarkeit von 10^100 Zahlen überzeugt. Ich sehe aber
den Sündenfall in der modernen Mathematik "nur" darin, von der
Unbeschränktheit des Unendlichen zur Vollendbarkeit des Unendlichen
übergegangen zu sein. Die banale Wurzel dieses Fehldenkens liegt
vielleicht in der hinteren Klammer des {1, 2, 3, ...} begründet, die
suggeriert, dass man das Unendliche deckeln könnte.
Um die elementarlogische Tatsache, dass in der Reihe aleph_0 vieler
Kardinalzahlen 1, 2, 3, ... die Kardinalzahl aleph_0 enthalten sein
müsste um eben aleph_0 viele zu sein, aus den Augen zu verlieren,
musste man eine komplexe Mengenlehre entwickeln, die die Formulierung
eines Größerbegriffes auf der Grundlage des Enthaltenseins entwickelt.
Dabei wird aber verkannt, dass "Menge" nicht eine neue Qualität
darstellt. Eine Menge kann nicht mehr sein als die Ansammlung ihrer
Elemente. Und daher kann allein durch Mengenbildung keine neue
Qualität hervorgerufen werden.
Die Vereinigung von n vielen ersten Anfangsabschnitten der Klasse der
natürlichen Zahlen ergibt den Anfangsabschnitt n. Egal wieviele
Anfangsabschnitte das sind, wie (rießen-)groß n ist. Die Vereinigung
aller Anfangsabschnitte der natürlichen Zahlen kann nicht über deren
eigentliche Größen hinausgehen. Da es keinen größten Anfangsabschnitt
gibt, ergibt deren Vereinigung ganz einfach nichts anderes als sie
selbst, bzw., als unschädliche Sprachregelung, die echte Klasse der
natürlichen Zahlen - sonst nichts.
Gruß
Albrecht
Albrecht
Die Frage ist aber für mich (wenn ich mich hier mal in das
Zwiegespräch einschalten darf), ob man durch eine uferlose Definition
wie bspw.: "Die reellen Zahlen sind die Gesamtheit aller
unendlichstelligen Dezimalzahlen" solche Probleme löst bzw. besser in
den Griff bekommt. Gibt es nicht immer in der Mathematik, egal wie man
sie anlegt, irgendwo eine diffuse Grenze, in deren Bereich die
Exaktheit scheitern muss? Ist die Akzeptanz dieser Erkenntnis (z.B. in
Form der Gödelschen Unvollständigkeitssätze) nicht das eigenltich
revolutionäre in der modernen Mathematik (und nicht irgendwelche
Phantasien von aktualen Unendlichkeiten)?
Gruß
Albrecht
Wolfgang Thumser
>> Sei i=0,... diejenige reelle Zahl, welche an n-ter Nachkommastelle
>> genau dann eine 1 besitzt (und sonst 0), wenn die n-te Turing
>> Maschine mit Eingabe n stoppt.
> [...]
> und vergleiche sie mit der Formulierung:
> Sei i die reelle Zahl 0,..., welche an der n-ten Stelle die Ziffer
> d_n besitzt, wo d_n aus {0, 1, …, 9}.
>
> Die erste Formulierung liefert, adressiert, identifiziert eine reelle
> Zahl, nämlich 1/9, die zweite nicht.
ich denke, da besteht ein gewaltiger Unterschied, es ist bspw. sehr
leicht die ersten Dezimalstellen fuer das Turing i zu bestimmen
(i=0,000..., jedenfalls in der von Hermes "Aufzaehlbarkeit,
Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit", 1978 vorgeschlagenen Definition von
Turingmachine mit lexikographischer Goedelisierung). In diesem Fall
laeuft die Bestimmbarkeit einer Dezimalen auf das Verhalten eines
konkret vorliegenden Programmes hinaus, und jeder Programmierer und
Ingenieur wird jedenfalls fuer "practical purpose" Programme das
Verhalten (endless loop oder stoppt) und damit die ersten Ziffern
von i leicht bestimmen koennen. Deine Vergleichsformulierung hingegen
definiert ueberhaupt keinen nachvollziehbaren Algorithmus (geschweige
denn eine Turingmachine).
> Ich bin kein Konstruktivist, sondern ich bin fest davon überzeugt,
> dass wir die Realität der Welt, in der die Mathematik lebt,
> berücksichtigen müssen. Die Mathematik ist nicht von ihrem Substrat zu
> lösen. Dazu gehören Zeichen, Wörter, Bewusstsein, Logik, und vor
> allem: Speicherplatz.
Da sind wir uns einig. Aber auch in einer endlichen Welt laesst sich
die Bedeutung von Programmen (und als theoret. Pendant auch
Turingmachinen) nicht leugnen.
> Konstruktivisten setzen voraus, dass alle natürlichen Zahlen
> konstruiert werden können.
Das fuehrt zwar in die Philosophie, trotzdem: Ich glaube, sie setzen nur
voraus, dass mit jeder bereits konstruierten auch die naechste Zahl
konstruiert werden kann.
> Das ist falsch und wäre auch in einer
> unendlichen Welt falsch - unabhängig vom Zeitaufwand.
Genau.
> "Der wahre Grund für die Unvollständigkeit, welche allen formalen
> Systemen der Mathematik anhaftet, liegt, wie im lI. Teil dieser
> Abhandlung gezeigt werden wird {{der ist niemals erschienen}}, darin,
In Hilbert Bernays "Grundlagen der Mathematik", Band 2
ist der Beweis des 2. Goedelschen Unvollstaendigkeitssatz in aller
Ausfuehrlichkeit enthalten, ebenso in dem Klassiker von Joseph
Shoenfield "Mathematical Logic" mit Bezug zu Goedels "Functionals of
finite Type". Die technischen Details dieser Ableitungen sind fuer
viele Laien nicht nachvollziehbar (deshalb dieses immer fortwaehrende
Gerede ueber Goedel, dem sich selbst ein Roger Penrose in "Shadows
of the Mind" nicht entziehen konnte, aber das hat Solomon Feferman
ja bereits (re)pariert). Nach Teil I war jedem Logiker klar,
wie man UVS 2 ableiten kann, die Details auszufuellen ist eine
nette Uebungsaufgabe fuer Studenten mathematischer Logik und
Goedel war klar, dass dies keine Veroeffentlichung mehr wert ist.
Die Unvollstaendigkeitssaetze sind formale Ableitungen von
Zeichenketten und haben nicht das Geringste mit irgendwelchen
Ordinalzahlen der Mengenlehre zu tun, bestenfalls mit ordinalen
Bezeichnungssystemen, und die sind selbst fuer Ultrafinitisten
zu verstehen, aber ich schweife ab...
> Man kann nämlich zeigen, daß die hier aufgestellten
> unentscheidbaren Sätze durch Adjunktion passender höherer Typen (z. B.
> des Typus omega zum System P) immer entscheidbar werden. Analoges gilt
> auch für das Axiomensystem der Mengenlehre." [p. 191]
Wie gesagt, fuer Laien nicht immer leicht, zw. ONS und Ordinalzahlen
zu unterscheiden, aber das akademische Verschleierungsspiel wird ja
heute auch noch gespielt.
> In der folgenden Liste enthält jede Zeile mehr Einsen als alle
> Vorgängerzeilen. Enthält die (in der Liste als Zeilenzahl nicht
> vorhandene) "Grenzzeile" 0,111… mehr Einsen als alle Zeilen der Liste?
>
>
> 0,0
> 0,1
> 0,11
> 0,111
Da ich nicht weiss, was Du mit Grenzzeile meinst, interpretiere ich
sie als Vorschrift zur Erzeugung von Dezimalen in obigem Sinn:
Bei Eingabe einer natuerlichen Zahl, gebe 1 als Dezimale aus.
Die anderen Zeilen sind auch interpretationsbeduerftig: also bspw.
die dritte:
Bei Eingabe einer natuerlichen Zahl n , gebe 1 aus, falls n < 3, sonst 0
(oder ein Leerzeichen eben).
Mit dieser Interpretation unterscheidet sich die Grenzzahl 1/9 von
jeder einzelnen Zahl der Liste, die ja aus den Zahlen 0, 1/10, 11/100,
usw. besteht, das ist trivial. Manche sagen, sie unterscheide sich "von
allen", aber das ist absolut synonym zu "von jeder einzelnen",
jedenfalls im ueblichen mathematischen Jargon.
> Wenn nein, so ist die (bei Ersetzung von 0 durch 1 entstehende)
> Antidiagonalzahl 0,111… in der Liste enthalten. Widerspruch zu Cantors
> Grund-Satz.
Leider wird Cantors Beweis immer noch in dieser unseligen naiven
Form (mit den Puenktchen "...") im mathematischen Kindergarten
zelebriert; die Konsequenzen sieht man dann im Alter: "Was
das Haenschen nicht lernt..."
> Wenn ja, so muss sich 0,111… durch mindestens eine 1 von allen
> Listenzeilen unterscheiden. Widerspruch offensichtlich.
In der obigen Interpretation unterscheidet sich 0,111... von der
ersten Zeile in der ersten eins, von der zweiten Zeile in der zweiten,
von der dritten in der dritten,..., von der eintausendsten in der
eintausendsten, und so fort.
Also kann man mit einigem Fug und Recht sagen, dass sich 0,111...
von jeder einzelnen Zeile unterscheidet. Und manche sind geradezu
verliebt in die dazu voellig synonyme Sprechweise und sagen mit
voellig aequivalenter Bedeutung:
"Sie unterscheidet sich von allen."
>> Die Frage ist also: Gewaehrst Du auch irrationalen Zahlen mit solchen
>> endlichen Beschreibungen eine Existenzberechtigung?
>
> Gegenfrage: Wie lauten die ersten 3 Ziffern der Dezimaldarstellung
> Deiner Zahl?
s.o.
Gruss Wolfgang
Christopher Creutzig
> Am 04.02.2011 19:06, schrieb Vogel:
> Zeig doch, was du kannst,
Tut er/sie doch.
SCNR
--
Ich muss gestehen hier meist nur wahllos auf
Postings antworten zu können ohne sie gelesen zu haben.
(Eckard Blumschein)
WM
> es ist bspw. sehr
> leicht die ersten Dezimalstellen fuer das Turing i zu bestimmen
> (i=0,000..., jedenfalls in der von Hermes "Aufzaehlbarkeit,
> Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit", 1978 vorgeschlagenen Definition von
> Turingmachine mit lexikographischer Goedelisierung).
Hallo Wolfgang,
ich wusste nicht, dass Du eine bestimmte Turingmaschinerie
voraussetzt, sondern war der Meinung, dass Du ganz allgemein
argumentierst und nur das Halteproblem ansprichst. Bitte entschuldige.
Doch irgendwo muss die Möglichkeit der Stellenidentifizierung ja
offensichtlich versagen. Kann man das genauer eingrenzen?
>
> > Konstruktivisten setzen voraus, dass alle natürlichen Zahlen
> > konstruiert werden können.
>
> Das fuehrt zwar in die Philosophie, trotzdem: Ich glaube, sie setzen nur
> voraus, dass mit jeder bereits konstruierten auch die naechste Zahl
> konstruiert werden kann.
Ich bin nicht der Ansicht, dass dies in die Philosophie führt, sondern
es ist eine ganz handfeste, beweisbare und einschneidende
Beschränkung, die physikalisch experimentell nachprüfbar ist.
> > "Der wahre Grund für die Unvollständigkeit, welche allen formalen
> > Systemen der Mathematik anhaftet, liegt, wie im lI. Teil dieser
> > Abhandlung gezeigt werden wird {{der ist niemals erschienen}}, darin,
>
> In Hilbert Bernays "Grundlagen der Mathematik", Band 2
> ist der Beweis des 2. Goedelschen Unvollstaendigkeitssatz in aller
> Ausfuehrlichkeit enthalten,
[…]
> Nach Teil I war jedem Logiker klar,
> wie man UVS 2 ableiten kann, die Details auszufuellen ist eine
> nette Uebungsaufgabe fuer Studenten mathematischer Logik und
> Goedel war klar, dass dies keine Veroeffentlichung mehr wert ist.
Pardon, die Kommentarklammer habe ich nur versehentlich stehen lassen,
als ich den Text aus einem Kalenderblatt kopiert habe. Sie war
eigentlich nicht für Dich bestimmt.
>
> Die Unvollstaendigkeitssaetze sind formale Ableitungen von
> Zeichenketten und haben nicht das Geringste mit irgendwelchen
> Ordinalzahlen der Mengenlehre zu tun, bestenfalls mit ordinalen
> Bezeichnungssystemen, und die sind selbst fuer Ultrafinitisten
> zu verstehen, aber ich schweife ab...
So wie ich Gödels Beweis verstanden und wiedergegeben habe (Das
Kalenderblatt 091107 f) halte ich Gödels Aussage für zutreffend, dass
die Unentscheidbarkeit auf der Möglichkeit des Transfiniten beruht.
Bist Du da anderere Ansicht?
>
> > Man kann nämlich zeigen, daß die hier aufgestellten
> > unentscheidbaren Sätze durch Adjunktion passender höherer Typen (z. B.
> > des Typus omega zum System P) immer entscheidbar werden. Analoges gilt
> > auch für das Axiomensystem der Mengenlehre." [p. 191]
>
> Wie gesagt, fuer Laien nicht immer leicht, zw. ONS und Ordinalzahlen
> zu unterscheiden, aber das akademische Verschleierungsspiel wird ja
> heute auch noch gespielt.
Ich war bisher der Auffassung, dass ohne Transfinites Gödels
Unvollständigkeitssätze nicht gelten.
>
> > In der folgenden Liste enthält jede Zeile mehr Einsen als alle
> > Vorgängerzeilen. Enthält die (in der Liste als Zeilenzahl nicht
> > vorhandene) "Grenzzeile" 0,111… mehr Einsen als alle Zeilen der Liste?
>
> > 0,0
> > 0,1
> > 0,11
> > 0,111
>
> Da ich nicht weiss, was Du mit Grenzzeile meinst,
Nun, einfach den Grenzwert der Folge, deren Glieder ich
bequemlichkeitshalber untereinander aufgeführt habe. In der
gwöhnlichen Schreibweise lautet die Folge
0,0 ; =,1 ; 0,11 ; 0,111 ; …
>
> Mit dieser Interpretation unterscheidet sich die Grenzzahl 1/9 von
> jeder einzelnen Zahl der Liste, die ja aus den Zahlen 0, 1/10, 11/100,
> usw. besteht, das ist trivial. Manche sagen, sie unterscheide sich "von
> allen", aber das ist absolut synonym zu "von jeder einzelnen",
> jedenfalls im ueblichen mathematischen Jargon.
Es kommt mir hier nicht auf den Jargon, sondern auf die Bedeutung an.
>
> > Wenn ja, so muss sich 0,111… durch mindestens eine 1 von allen
> > Listenzeilen unterscheiden. Widerspruch offensichtlich.
>
> In der obigen Interpretation unterscheidet sich 0,111... von der
> ersten Zeile in der ersten eins
sowie allen folgenden Ziffern
> , von der zweiten Zeile in der zweiten,
sowie allen folgenden Ziffern
> von der dritten in der dritten
sowie allen folgenden Ziffern
> ,..., von der eintausendsten in der eintausendsten,
sowie allen folgenden Ziffern
> und so fort.
>
> Also kann man mit einigem Fug und Recht sagen, dass sich 0,111...
> von jeder einzelnen Zeile unterscheidet. Und manche sind geradezu
> verliebt in die dazu voellig synonyme Sprechweise und sagen mit
> voellig aequivalenter Bedeutung:
>
> "Sie unterscheidet sich von allen."
Bei Akzeptanz des Tertium non datur gibt es nur zwei Möglichkeiten:
Entweder 0,111… unterscheidet sich von allen Gliedern der Folge, oder
0,111… unterscheidet sich nicht von allen Gliedern der Folge. Im
letzteren Falle ist 0,111… einem der Glieder gleich.
Mich würde sehr interessieren, ob Du dies auch so siehst. Alles andere
ist relativ marginal. Aber diese Frage halte ich für essentiell.
Gruß, WM
Wolfgang Thumser
> So wie ich Gödels Beweis verstanden und wiedergegeben habe (Das
> Kalenderblatt 091107 f) halte ich Gödels Aussage für zutreffend, dass
> die Unentscheidbarkeit auf der Möglichkeit des Transfiniten beruht.
> Bist Du da anderere Ansicht?
in hinreichend starken, widerspruchsfreien formalen Ableitungssystemen
gibt es immer endliche Zeichenreihen, die zusammen mit ihrer Negation
nicht ableitbar sind. Ausgehend von dem Formalen System kann man sie
konstruieren und hinschreiben. Keine Referenz auf das Transfinite ist
dazu notwendig. Erst Widerspruchsfreiheitsbeweise benoetigen
(und zwar beweisbar sei Gentzen) Annahmen ueber transfinite Ordnungen,
diese sind aber auch fuer Finitisten als ONS akzeptabel. Aber
das ist ein ganz anderes Thema...
>>> 0,0
>>> 0,1
>>> 0,11
>>> 0,111
>>
>> Da ich nicht weiss, was Du mit Grenzzeile meinst,
>
> Nun, einfach den Grenzwert der Folge, deren Glieder ich
> bequemlichkeitshalber untereinander aufgeführt habe. In der
> gwöhnlichen Schreibweise lautet die Folge
> 0,0 ; =,1 ; 0,11 ; 0,111 ; …
>> Also kann man mit einigem Fug und Recht sagen, dass sich 0,111...
>> von jeder einzelnen Zeile unterscheidet. Und manche sind geradezu
>> verliebt in die dazu voellig synonyme Sprechweise und sagen mit
>> voellig aequivalenter Bedeutung:
>>
>> "Sie unterscheidet sich von allen."
>
> Bei Akzeptanz des Tertium non datur gibt es nur zwei Möglichkeiten:
> Entweder 0,111… unterscheidet sich von allen Gliedern der Folge, oder
Wir wissen doch bereits, dass es dies tut, wir wissen sogar fuer jede
einzelne Zeile, wo der Unterschied besteht. Deswegen ignorieren wir die
nicht zutreffende Alternative im Folgenden:
> 0,111… unterscheidet sich nicht von allen Gliedern der Folge. Im
> letzteren Falle ist 0,111… einem der Glieder gleich.
Was ich nicht verstehe ist, wo Du den Widerspruch in der Tatsache,
dass sich 1/9=0,111... von jedem einzelnen Glied der Folge
0, 1/10=0,1, 11/100=0,11, usw. unterscheidet, siehst. Nichts
anderes meint man aber, wenn man sagt, 1/9 unterscheide sich von
allen Gliedern der Folge.
Du scheinst zu schliessen (aber das ist eine Vermutung), dass in
diesem Fall 1/9 in seine Dezimalentwicklung eine 1 enhalten muss,
die in keinem der Glieder der Folge zu finden ist, und das sehe
ich nicht:
0,111 unterscheidet sich doch auch von jedem Glied der Folge
(und damit von allen)
0,011
0,101
0,110,
ohne dass 0,111 eine 1 enthaelt, die in keinem der Glieder vorkommt.
Gruss Wolfgang
WM
Hallo Wolfgang,
> > Bei Akzeptanz des Tertium non datur gibt es nur zwei Möglichkeiten:
> > Entweder 0,111… unterscheidet sich von allen Gliedern der Folge, oder
>
> Wir wissen doch bereits, dass es dies tut, wir wissen sogar fuer jede
> einzelne Zeile, wo der Unterschied besteht. Deswegen ignorieren wir die
> nicht zutreffende Alternative im Folgenden:
>
> > 0,111… unterscheidet sich nicht von allen Gliedern der Folge. Im
> > letzteren Falle ist 0,111… einem der Glieder gleich.
>
> Was ich nicht verstehe ist, wo Du den Widerspruch in der Tatsache,
> dass sich 1/9=0,111... von jedem einzelnen Glied der Folge
> 0, 1/10=0,1, 11/100=0,11, usw. unterscheidet, siehst. Nichts
> anderes meint man aber, wenn man sagt, 1/9 unterscheide sich von
> allen Gliedern der Folge.
>
> Du scheinst zu schliessen (aber das ist eine Vermutung), dass in
> diesem Fall 1/9 in seine Dezimalentwicklung eine 1 enhalten muss,
> die in keinem der Glieder der Folge zu finden ist, und das sehe
> ich nicht:
Weshalb verwendest Du dann im Folgenden eine leider nicht zutreffende
Analogie?
>
> 0,111 unterscheidet sich doch auch von jedem Glied der Folge
> (und damit von allen)
>
> 0,011
> 0,101
> 0,110,
>
> ohne dass 0,111 eine 1 enthaelt, die in keinem der Glieder vorkommt.
Ja, dort und in der gewöhnlichen Cantorschen Liste ist es möglich,
dass sich die Diagonalzahl von jeder Zeile unterscheidet, ohne mehr
Einsen als jede Zeile zu besitzen.
In meinem Beispiel ist eben dies aber nicht möglich. Wähle doch als
ein zutreffendes Analogon:
0.000
0,100
0,110
0,111
Kann sich eine fest gewählte Zahl, die nur Einsen als Nachkommaziffern
(kurz Einserfolge genannt) enthält, von allen Zahlen (oder von jeder
Zahl) dieser Liste unterscheiden? Das geht hier offensichtlich nur,
wenn sie mindestens 4 Einsen enthält.
Und nun zeigen wir das per Induktion für jede in dieser Form
aufgebaute Liste mit n Zahlen.
Ich weiß nicht, ob Du tatsächlich der Meinung bist, eine *fest
gewählte Einserfolge* (die Diagonalzahl) könne sich von jeder
endlichen Einserfolge unterscheiden, und dabei doch nicht mehr Einsen
als jede endliche Einserfolge besitzen. Ich kann diesen Schluss nicht
nachvollziehen - und ich kenne auch keinen Menschen persönlich, der
dies könnte.
Gruß, WM
WM
Hallo Wolfgang,
hier noch eine Ergänzung:
Bei der Betrachtung des Unendlichen gibt es immer zwei Perspektiven.
Wenn Du begründen kannst, warum Deine die bessere ist, wirst Du mich
an Deiner Seite finden.
Aus Deiner Perspektive stellt sich mein Listenbeispiel :
0,0
0,1
0,11
…
vermutlich so dar: Jede Zeile besitzt eine erste Nachkommaziffer Null
an einer natürlich indizierten Stelle. Ersetzt man alle diese ersten
Nullen durch Einsen, so erhält man eine Antidiagonalzahl mit Einsen an
allen natürlich indizierten Stellen, ohne "omegate Stelle" und ohne
eine erste Nachkommanull.
Die andere Perspektive:
Die obige Liste enthält die Zahlendarstellungen mit allen natürlichen
Anzahlen von Einsen. Sie enthält nicht den Grenzwert, also die
Zahlendarstellung 0,111… von 1/9.
Ergo muss sich letztere Anzahl von Einsen von allen natürlichen
Anzahlen von Einsen unterscheiden. Das geht in diesem Beispiel nicht
anders als durch eine Anzahl, die größer als alle natürlichen Anzahlen
ist.
Es existiert eine Zahl A, so dass für alle n in |N gilt n < A.
Welche Perspektive ist die richtige? Ich meine, keine. Deswegen ist
das aktual Unendliche eine willkürliche und nicht mathemathematische
Angelegenheit. Und wenn ich doch eine wählen müsste, so wäre es die
mit der positiven Rechtslage, also die zweite, denn eine
Zahlendarstellung kann man nur durch Ziffern identifizieren, nicht
durch ein Fehlen derselben (wie das Fehlen der ersten Nachkommanull
oben).
Gruß, WM
Holger Walliser
ich hoffe als Laie in diese Diskussion eingreifen zu d�rfen. Aus meiner
Sicht sollte hier folgendes angemerkt werden:
Du sagst:
in der Liste
(1) 0; 0,1; 0,11; 0,111
mit - hoffentlich - offensichtlicher Bildungsvorschrift kommt
1/9
nicht vor. Das ist wahr und darin sind wir uns einig! Dies - und darin
sind wir uns offenbar nicht mehr einig - stellt allerdings keinen
Widerspruch zum Cantorschen Diagonalargument dar.
Erweitere ich Deine Liste n�mlich in der Form
(1') 1/9; 0; 0,1; 0,11; 0,111
so kommt jetzt 1/9 in dieser Liste vor! Die - meiner Ansicht nach
wesentliche Idee des Diagonalarguments hei�t: Gib mir eine beliebige
Liste und ich kann Dir immer eine Zahl konstruieren, die in dieser Liste
nicht vorkommt - n�mlich die Diagonalzahl! Nun k�nntest Du nat�rlich
argumentieren "dann nehme ich eben diese Diagonalzahl zu der Liste
hinzu" - aber das Diagonalargument leistet dann eben Hilfe indem es
aussagt, da� es dann auch zu dieser neuen Liste wieder eine Zahl gibt -
die konstruierbar ist - welche zu dieser Liste nicht dazugeh�rt. "Es ist
also keine Kunst" eine Liste anzugeben zu der eine gewisse Zahl nicht
geh�rt. Ich k�nnte ja auch sagen in der Liste
(2) 1; 3; 5; 7;
mit hoffentlich ebenso erkennbarer Bildungsvorschrift kommt die 2 nicht
vor. Dies hat aber - wie oben hoffentlich erl�utert - mit dem
Diagonalargument nichts zu tun.
Viele Gr��e von
Holger
WM
> Gib mir eine beliebige
> Liste und ich kann Dir immer eine Zahl konstruieren, die in dieser Liste
Hallo Holger,
das ist der Punkt: "Gib mir eine beliebige Liste und eine beliebige
Ersetzungsvorschrift." Cantors Diagonalargument ist ein
Unmöglichkeitsbeweis. Das bedeutet, es muss für jede Liste und jede
Ersetzungsvorschrift gelten! (Ebenso wie Wurzel(2) = p/q für jede Wahl
von p und q einen Widerspruch erzeugen muss und auch erzeugt - nicht
nur für speziell präparierte Brüche.)
Folglich muss Cantors Idee auch die Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
mit der Ersetzungsvorschrift 0 --> 1 abdecken.
Das geschieht ja auch. 0,111... kommt in der Liste nicht vor, ist aber
die Diagonalzahl. das Problem, das sich nun auftut ist aber folgendes:
Alle endlichen Einserfolgen sind in der Liste enthalten, d.h. jede mit
einer natürlichen Zahl indizierte Stelle, an der eine 1 stehen kann,
ist dort vorhanden.
Die Zahl 0,111... kann sich aber nur auf eine einzige Art von jeder
Listenzahl unterscheiden, nämlich, indem sie mehr Einsen enthält als
alle.
Gruß, WM
Wolfgang Thumser
> Ich wei� nicht, ob Du tats�chlich der Meinung bist, eine *fest
> gew�hlte Einserfolge* (die Diagonalzahl) k�nne sich von jeder
> endlichen Einserfolge unterscheiden, und dabei doch nicht mehr Einsen
> als jede endliche Einserfolge besitzen. Ich kann diesen Schluss nicht
> nachvollziehen - und ich kenne auch keinen Menschen pers�nlich, der
> dies k�nnte.
wir sind uns doch bereits einig, dass sich 1/9 von jedem einzelnen
Glied der Folge 0, 1/10, 11/100, 111/1000,... unterscheidet.
Wir stimmen auch darin ueberein, dass 0,1111... die Dezimalentwicklung
von 1/9 ist, genauso wie 0, 0,1, 0,11, 0,111,... die entsprechenden
Dezimalentwicklungen obiger Folgenglieder sind.
Weiterhin ist unstrittig, dass zwei Brueche genau dann verschieden
sind, wenn sich ihre Dezimalentwicklungen an mindestens einer Stelle
unterscheiden, also:
0 unterscheidet sich von 0,111... (und zwar an der ersten Stelle)
0,1 unterscheidet sich von 0,111... (und zwar an der zweiten Stelle)
0,11 unterscheidet sich von 0,111... (und zwar an der dritten Stelle)
usw.
Daraus folgt, dass sich 0,111... von jedem einzelnen Dezimalbruch unter-
scheidet, und nach ueblichem Sprachgebrauch sagt man synonym dazu auch,
er unterscheide sich von allen.
Dabei ist es bis hierhin voellig belanglos, wie viele einsen er
enthaelt. Man koennte definieren, dass eine Dezimalentwicklung von i1
"mehr" einsen als eine von i2 besitzt, falls jede in i2 mit einer eins
belegte Position auch in i1 mit eins belegt ist, und es in i1
darueber hinaus mindestens eine mit eins belegte Position gibt, die
in i2 nicht mit eins belegt ist.
In diesem Sinne (und zunaechst _nur_ in diesem) besitzt 0,111...
mehr einsen als jeder einzelne Dezimalbruch (, und wieder voellig
sprachlich synonym mehr als alle).
Diese ganzen Trivialerkenntnisse haben doch mit diesem unseligen
(und in der Mathematik voellig verzichtbaren Begriff des "aktual
Unendlichen") nicht das geringste zu tun.
Gruss Wolfgang
Holger Walliser
Am 06.02.2011 12:26, schrieb WM:
> On 6 Feb., 12:15, Holger Walliser<walli...@t-online.de> wrote:
>> Gib mir eine beliebige
>> Liste und ich kann Dir immer eine Zahl konstruieren, die in dieser Liste
>> nicht vorkommt - nämlich die Diagonalzahl!
> Hallo Holger,
>
> das ist der Punkt: "Gib mir eine beliebige Liste
ACHTUNG
> und eine beliebige
> Ersetzungsvorschrift."
Davon ^^^^ war keine Rede! Du gibst mir eine Liste und ich kann
konstruktiv - durch eine Ersetzungsvorschrift oder wie auch immer - eine
reelle Zahl angeben, welche in dieser Liste nicht vorkommt! Für jede
fest vorgegebene Liste ist das auch völlig offensichlich. Cantors
Verdienst ist es gezeigt zu haben, daß keine noch so ausgeklügelte Liste
vollständig sein kann.
> Cantors Diagonalargument ist ein
> Unmöglichkeitsbeweis.
Das ist wahr
> Das bedeutet, es muss für jede Liste
ja
> und jede
> Ersetzungsvorschrift
s. o.
> gelten! (Ebenso wie Wurzel(2) = p/q für jede Wahl
> von p und q einen Widerspruch erzeugen muss und auch erzeugt - nicht
> nur für speziell präparierte Brüche.)
> Folglich muss Cantors Idee auch die Liste
> 0,0
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
> mit der Ersetzungsvorschrift 0 --> 1 abdecken.
>
> Das geschieht ja auch. 0,111... kommt in der Liste nicht vor, ist aber
> die Diagonalzahl. das Problem, das sich nun auftut ist aber folgendes:
>
> Alle endlichen Einserfolgen sind in der Liste enthalten, d.h. jede mit
> einer natürlichen Zahl indizierte Stelle, an der eine 1 stehen kann,
> ist dort vorhanden.
> Die Zahl 0,111... kann sich aber nur auf eine einzige Art von jeder
> Listenzahl unterscheiden, nämlich, indem sie mehr Einsen enthält als
> alle.
Das ist aus meiner Sicht eine "unzulässige" Formulierung! Ich sehe aber
sehr wohl was Dich stört. Ich bin mir nicht sicher ob man Cantors
Diagonalargument leicht auf eine eher adäquate Repräsentation der
reellen Zahlen übertragen kann - gehe aber mal schlicht davon aus. Deine
Kritik wirkt nur deshalb, weil wir zur Vereinfachung der Denkprozesse
die Dezimalbruchdarstellung im 10er-System als _Darstellung_ für die
reellen Zahlen verwenden. Diese Darstellung hat aber sowieso eine Reihe
von Problemen und - wie bereits gesagt - ich bin mir sicher, daß das
Diagonalargument auch in einer besseren Darstellung ausformuliert werden
kann.
> Gruß, WM
Viele Grüße von
Holger
WM
> > gew hlte Einserfolge* (die Diagonalzahl) k nne sich von jeder
> > endlichen Einserfolge unterscheiden, und dabei doch nicht mehr Einsen
> > als jede endliche Einserfolge besitzen. Ich kann diesen Schluss nicht
> > dies k nnte.
>
> wir sind uns doch bereits einig, dass sich 1/9 von jedem einzelnen
> Glied der Folge 0, 1/10, 11/100, 111/1000,... unterscheidet.
>
> Wir stimmen auch darin ueberein, dass 0,1111... die Dezimalentwicklung
> von 1/9 ist, genauso wie 0, 0,1, 0,11, 0,111,... die entsprechenden
> Dezimalentwicklungen obiger Folgenglieder sind.
>
> Weiterhin ist unstrittig, dass zwei Brueche genau dann verschieden
> sind, wenn sich ihre Dezimalentwicklungen an mindestens einer Stelle
> unterscheiden, also:
>
> 0 unterscheidet sich von 0,111... (und zwar an der ersten Stelle)
> 0,1 unterscheidet sich von 0,111... (und zwar an der zweiten Stelle)
> 0,11 unterscheidet sich von 0,111... (und zwar an der dritten Stelle)
> usw.
>
> Daraus folgt, dass sich 0,111... von jedem einzelnen Dezimalbruch unter-
> scheidet, und nach ueblichem Sprachgebrauch sagt man synonym dazu auch,
> er unterscheide sich von allen.
Hallo Wolfgang,
alles Obige ist richtig, und wir stimmen darin völlig überein, unter
der Voraussetzung, dass 0,111… ein sinnvoller und möglicher Ausdruck
ist, also eine fertige und unveränderliche Zahldarstellung (ohne die
das Cantorsche Argument in seiner populären Form nicht bestehen kann).
Um das zu prüfen, untersuche ich die Anzahl der Einsen in diesem
Ausdruck.
>
> Dabei ist es bis hierhin voellig belanglos, wie viele einsen er
> enthaelt.
Nein. Es geht hier um die Zahl 1/9 und deren feste, unveränderliche
Dezimaldarstellung 0,111….
> Man koennte definieren, dass eine Dezimalentwicklung von i1
> "mehr" einsen als eine von i2 besitzt, falls jede in i2 mit einer eins
> belegte Position auch in i1 mit eins belegt ist, und es in i1
> darueber hinaus mindestens eine mit eins belegte Position gibt, die
> in i2 nicht mit eins belegt ist.
Das ist eine sehr sinnvolle Definition. Ich habe sie implizit
vorausgesetzt, aber ich danke Dir für die explizite Darstellung.
Darüber hinaus sollten wir noch festhalten, dass es in den
betrachteten Einserfolgen keine Lücken gibt, wodurch die Sache
besonders einfach und übersichtlich wird.
>
> In diesem Sinne (und zunaechst _nur_ in diesem) besitzt 0,111...
> mehr einsen als jeder einzelne Dezimalbruch (, und wieder voellig
> sprachlich synonym mehr als alle).
Genau das ist meine Beobachtung. Dazu kommt nun noch, dass alle
endlich indizierten Einsen bereits zu Zahlen gehören, die in der Liste
stehen. Wenn also 0,111… mehr Einsen besitzt als alle Listenzahlen,
dann kann mindestens eine dieser Einsen nicht an einer endlich
indizierten Stelle Platz finden.
Gruß, WM
WM
> Hallo Wolfgang,
>
> Am 06.02.2011 12:26, schrieb WM:> On 6 Feb., 12:15, Holger Walliser<walli...@t-online.de> wrote:
> >> Gib mir eine beliebige
> >> Liste und ich kann Dir immer eine Zahl konstruieren, die in dieser Liste
> >> nicht vorkommt - nämlich die Diagonalzahl!
> > Hallo Holger,
>
> > das ist der Punkt: "Gib mir eine beliebige Liste
> ACHTUNG
> > und eine beliebige
> > Ersetzungsvorschrift."
>
> Davon ^^^^ war keine Rede! Du gibst mir eine Liste und ich kann
> konstruktiv - durch eine Ersetzungsvorschrift oder wie auch immer - eine
> reelle Zahl angeben, welche in dieser Liste nicht vorkommt!
Hallo Holger,
Du bist also nicht davon überzeugt, dass beliebige
Ersetzungsvorschriften funktionieren (ausgenommen natürlich die
sattsam bekannten Kinken mit den Neunerperioden)?
Cantor konnte dort gar kein Belieben geltend machen, denn er hatte nur
die beiden Zeichen W und M (er schrieb sie klein, aber das ändert
nichts).
> Für jede
> fest vorgegebene Liste ist das auch völlig offensichlich. Cantors
> Verdienst ist es gezeigt zu haben, daß keine noch so ausgeklügelte Liste
> vollständig sein kann.
Und mein Verdienst ist es, gezeigt zu haben, dass überhaupt keine
Liste vollständig sein kann, z. B. kann die Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
nicht alle natürlichen Zahlen in codierter Form enthalten ((0,111 =
3), weil sonst die fertige Diagonale der fertigen Liste eine nicht
endlich nummerierte Stelle besitzen müsste. Die "Menge aller
natürlichen Zahlen" ist also ein Traumgespinst, nichts Reales. Ohne
diese "Fertigkeit" ist aber nichts Transfinites darstellbar.
Gruß, WM
Wolfgang Thumser
> alles Obige ist richtig, und wir stimmen darin v�llig �berein, unter
> der Voraussetzung, dass 0,111� ein sinnvoller und m�glicher Ausdruck
> ist, also eine fertige und unver�nderliche Zahldarstellung (ohne die
> das Cantorsche Argument in seiner popul�ren Form nicht bestehen kann).
o.k., Cantors Argument kann in seiner ueblichen Form ohnehin nicht
bestehen, und zwar schon deshalb nicht, weil die Sprache von ZFC
(ihr Alphabet) diese komischen Puenktchen "..." nicht enthaelt.
Es ist in ZFC in dieser Form ueberhaupt nicht formalisierbar.
Und deswegen braucht 0,111... keine "fertige und unveraenderliche
Zahldarstellung" (was immer das ist) zu sein. Eine wesentliche
Errungenschaft formaler Systeme ist es ja gerade, diesen
philosophischen Unsinn entsorgt zu haben. Und Zitate von Cantor
in Bezug auf die moderne Mathematik (> 1967) sind diesbezueglich
ebenso hilfreich wie Aussagen von Parazelsus zur modernen Medizin.
Ich dachte, wir haetten uns darauf verstaendigt unter 0,111...
nichts weiter als eine Berechnungsvorschrift (aehnlich der
Schuldivision von 1/9) zur Erzeugung von Ziffern bei
_gegebenem_ Input zu verstehen. Die Puenktchen deuten lediglich
an, dass die endliche Berechnungsvorschrift vorliegt, ohne
sie nochmals explizit zu erwaehnen.
>> In diesem Sinne (und zunaechst _nur_ in diesem) besitzt 0,111...
>> mehr einsen als jeder einzelne Dezimalbruch (, und wieder voellig
>> sprachlich synonym mehr als alle).
Und zwar aus keinem anderen Grund, als dass die Berechnungsvorschrift
der Diagonalzahl fuer jede einzelne Listenvorschrift _mehr_ (i.o.S.)
einsen generieren kann. Mehr Information ist in 0,111... nicht
enthalten, und jede Ueberinterpretation dieses trivialen Sach-
verhalten fuehrt offenbar zu philosophischem Unsinn.
> Genau das ist meine Beobachtung. Dazu kommt nun noch, dass alle
> endlich indizierten Einsen bereits zu Zahlen geh�ren, die in der Liste
> stehen. Wenn also 0,111� mehr Einsen besitzt als alle Listenzahlen,
0,111... besitzt in dem oben exakt bestimmten Sinn mehr einsen
als jede einzelne Listenzahl, und fuer 0,111... genau wie fuer
jede einzelne Listenzahl gibt es keine anderen als durch die
jeweils zugehoerigen Vorschriften definierten Positionen (Inputs),
und die bestehen in allen Faellen aus natuerlichen Zahlen.
> dann kann mindestens eine dieser Einsen nicht an einer endlich
> indizierten Stelle Platz finden.
Die mit den Vorschriften gegebenen Inputs sind in allen Faellen
natuerliche Zahlen, nichts weiter.
Gruss Wolfgang
WM
> o.k., Cantors Argument kann in seiner ueblichen Form ohnehin nicht
> bestehen, und zwar schon deshalb nicht, weil die Sprache von ZFC
> (ihr Alphabet) diese komischen Puenktchen "..." nicht enthaelt.
> Es ist in ZFC in dieser Form ueberhaupt nicht formalisierbar.
> Und deswegen braucht 0,111... keine "fertige und unveraenderliche
> Zahldarstellung" (was immer das ist) zu sein.
Hallo Wolfgang,
Eine fertige und vollständige Darstellung aller natürlichen Zahlen ist
die nach ZFC existierende Menge omega. (Man bezeichnet das zwar in der
gegenwärtigen Mathematik nicht als aktual oder fertig unendlich, man
setzt die vollständige Existenz unendlicher Mengen, insbesondere der
Menge omega, aber voraus.) Eine Darstellung wären die Indizes der
Einsen in 0,111…
Ich beziehe mich aber gar nicht auf ZFC, sondern mir geht es nur um
die Frage:
Existiert die vollständige Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
…
die alle Einsen enthält, die an endlich indizierten Positionen möglich
sind, oder nicht?
Wenn ja, dann kann 0,111… nicht mehr Einsen als alle Listenzeilen
besitzen, kann sich also nicht von allen Listenzeilen unterscheiden.
Das zeigt, dass Cantors Diagonalargument versagt.
Wenn nein, dann macht das Unendlichkeitsaxiom ZFC inkonsistent. Denn
die vollständige Menge omega und damit alle ihre Elemente existieren
in ZFC per Axiom. Das bedeutet in leichter Umformung: Jede Zeile der
obigen unendlichen Liste, ob mit oder ohne Pünktchen notiert,
existiert.
Ich glaube nicht, dass es Zweck hat, hier mit Formalismen und
speziellen Interpretationen über diese einfache Sachlage
hinauszugehen. Das hieße mit Kanonen auf Spatzen schießen. Der oben
genannte Widerspruch ist so leicht verständlich und klar, dass ihn
sogar Laien verstehen können, und er lässt sich nicht beseitigen.
Gruß, WM
Wolfgang Thumser
> Eine fertige und vollständige Darstellung aller natürlichen Zahlen ist
> die nach ZFC existierende Menge omega. (Man bezeichnet das zwar in der
> gegenwärtigen Mathematik nicht als aktual oder fertig unendlich, man
> setzt die vollständige Existenz unendlicher Mengen, insbesondere der
> Menge omega, aber voraus.) Eine Darstellung wären die Indizes der
> Einsen in 0,111…
Du beschreibst lediglich eine verbreitete Fehlinterpretation des
Unendlichkeitsaxioms. Keine endliche Zeichenkette kann philosophischem
Unsinn rechtfertigen. Ein Beispiel aus der Theorie linearer
Ordnungen: Betrachte das Axiom
ExAy y!=x -> y < x (*)
Man koennte es in Anlehnung an das Unendlichkeitsaxiom das
Goettlichkeitsaxiom nenen, und mancher Matheologe koennte
es zum Beweis der allmaechtigen Groesse x als Inkarnation
Gottes heranziehen.
Ebensowenig wie die endliche Zeichenkette (*) etwas ueber
Gott sagt, sagt das Unendlichkeitsaxiom etwas ueber
aktuale oder vollstaendige Unendlichkeiten (was immer das in
beiden Faellen sein mag). So einfach ist das, und damit
eruebrigt sich natuerlich auch alles folgende.
Gruss Wolfgang
P.S.: Aehnlicher Unsinn wird heute noch in so mancher
Physikvorlesung verzapft. Da geht es um virtuelle Kraefte,
Verrueckungen (erinnert an Spiritismus) und infinitesimale
Drehungen, remember?
WM
On 6 Feb., 23:09, Wolfgang Thumser <wothum...@gmx.de> wrote:
> Du beschreibst lediglich eine verbreitete Fehlinterpretation des
> Unendlichkeitsaxioms
Hallo Wolfgang,
ich beschreibe die übliche Interpretation des Unendlichkeitsaxioms.
Dreh- und Angelpunkt jeder Mengenlehre, sei sie nun klassisch-naiv
oder axiomatisch wie ZFC oder NBG aufgebaut, ist die Existenz einer
induktiven Menge - und zwar deren fertige, vollständige,
unveränderliche, kurz aktuale Existenz. Wenn Du das für eine
Fehlinterpretation hältst, so sollte Dir auch die Konsequenz klar
sein, nämlich dass es ohne diese vollständige Menge keine
Überabzählbarkeit gibt. Das Cantorsche Diagonalargument kann nur dann
den Beweis einer nicht abzählbaren Menge liefern, wenn alle Elemente
der angenommenen unendlichen Folge vorhanden sind.
Doch wie dem auch sei, unter der Voraussetzung, dass die induktive
Menge vollständig existiert und das Diagonalargument in der üblichen
Form zum üblichen Ergebnis führt, kann ich die folgende Aussage
beweisen:
Die Anwendung des Diagonalargumentes auf eine spezielle Darstellung
aller Elemente der induktiven Menge (nämlich gleichzeitig unär und
als Anfangsabschnitte und als Dezimalzahlen) liefert ein weiteres
Element der als vollständig vorausgesetzten induktiven Mengen und
damit einen Widerspruch zur Annahme der Vollständigkeit.
Kannst Du damit übereinstimmen?
Gruß, WM
Wolfgang Thumser
>> Du beschreibst lediglich eine verbreitete Fehlinterpretation des
>> Unendlichkeitsaxioms
>
> ich beschreibe die übliche Interpretation des Unendlichkeitsaxioms.
Weit verbreitete Interpretationen sind i.d.R. "ueblich". Daraus folgt
das die uebliche Interpretation eine Fehlinterpretation ist:
Es ist unbestritten, dass die Konsistenz von ZFC unbewiesen ist. Daraus
folgt, dass man kein einziges Modell von ZFC kennt, welches fuer eine
Interpretation aber notwendig waere. In diesem strengen Sinne ist also
jede (und nicht nur die uebliche) Interpretation eine
Fehlinterpretation, easy as that...
> Dreh- und Angelpunkt jeder Mengenlehre, sei sie nun klassisch-naiv
> oder axiomatisch wie ZFC oder NBG aufgebaut, ist die Existenz einer
> induktiven Menge - und zwar deren fertige, vollständige,
> unveränderliche, kurz aktuale Existenz.
Ein frommer Wunsch, aber wie so viele Wuensche bisher unerfuellt.
> Wenn Du das für eine
> Fehlinterpretation hältst, so sollte Dir auch die Konsequenz klar
> sein, nämlich dass es ohne diese vollständige Menge keine
> Überabzählbarkeit gibt.
Man kann in ZFC zeigen, dass mit jedem Modell von ZFC auch ein
abzaehlbares Modell von ZFC existiert (eine Voraussetzung, die
beim Forcing immer wieder gern verwendet wird). Und in diesen
Modellen hat der Begriff der Ueberabzaehlbarkeit eine sehr
unuebliche Bedeutung.
> Das Cantorsche Diagonalargument kann nur dann
> den Beweis einer nicht abzählbaren Menge liefern, wenn alle Elemente
> der angenommenen unendlichen Folge vorhanden sind.
Das formalisierte Cantorsche Diagonalargument liefert den Existenz-
beweis ueberabzaehlbarer Mengen auch fuer abzaehlbare Modelle.
Man stellt sich unter "ueberabzaehlbar" faelschlicherweise etwas
"gigantisch Grosses" vor. Diese voellig unangemessene Vorstellung
ist es, welche einen in die Irre fuehrt. Daran mag Cantor bei
seiner komischen Zusammenfassung von Elementen zu einem Ganzen
noch gedacht haben,..., habe ich Parazelsus schon erwaehnt? SCNR
> Die Anwendung des Diagonalargumentes auf eine spezielle Darstellung
> aller Elemente der induktiven Menge (nämlich gleichzeitig unär und
> als Anfangsabschnitte und als Dezimalzahlen) liefert ein weiteres
> Element der als vollständig vorausgesetzten induktiven Mengen und
> damit einen Widerspruch zur Annahme der Vollständigkeit.
>
> Kannst Du damit übereinstimmen?
Ich bin kein Anhaenger der Mengenlehre, aber diese Aussage ist
in ZFC nicht formalisierbar. Und, ob Du es nun wahrhaben willst oder
nicht: Deine Argumente interessieren die moderne Mengenlehre
nicht (und das ist nicht negativ gemeint). In Ermangelung eines
Modells beziehen sich die Ergebnisse der Mengenlehre vor allem
auf die Rekonstruktion mathematischer Aussagen in einem einheitlichen
System (ala Bourbaki). Ihre Aussagen sind nur vage interpretierbar,
und alle partiellen Interpretationen haben ihre Schwaechen.
Und noch einmal:
1) Keiner kennt ein Modell von ZFC
2) Bis zum heutigen Zeitpunkt ist in dem formalen Ableitungssystem
ZFC, welches sich ausschliesslich mit der Konstruktion von
Zeichenketten befasst, kein Widerspruch abgeleitet worden.
(Die Ableitungsregeln sind wie die Verkehrsregeln oeffentlich,
und es existiert keine verschworene Gemeinschaft, welche die
Ableitung eines formalen Widerspruchs unterdrueckt, tatsaechlich
sind durch Hinzunahme weiterer starker Kardinalzahlaxiome
formale Widersprueche aufgetreten, auf die von einem fuehrenden
Vertreter der Mengenlehre (Thomas Jech) sogar aufmerksam gemacht
wurde). Die Ableitung eines formalen Widerspruchs ist sogar
willkommen.
3) Inkonsistenzen, die durch Rekurs auf heutzutage fragwuerdige
Interpretationen zurueckzufuehren sind (und mit denen sich ein
Cantor noch beschaeftigt haben mag) sind in der heutigen Mengen-
lehre uninteressant.
4) Fragwuerdige Interpretationen entstehen IMHO durch eine Straffung
des Lehrstoffs (Analysisvorlesungen werden i.d.R immer noch unter
Zugrundelegung der ueberholten Naiven Mengenlehre begonnen). Ein
grundlegendes Verstaendnis der Mathematischen Logik und Mengenlehre,
wie sie heute Gegenstand der Forschung ist, setzt eine mindestens
4 semestrige intensive Beschaeftigung > 6 SWS voraus und kann nicht
'mal so nebenbei erworben werden.
5) Ich finde viele Deiner Argumente interessant und lesenswert.
Gruss Wolfgang
Wolfgang Thumser
so what?
Wolfgang Thumser
> Ich halte Deinen Standpunkt für (längst) überholt. :-)
das will ich hoffen! Ich hatte schon Bedenken, dass keiner
widerspricht.
Gruss Wolfgang
WM
> Es ist unbestritten, dass die Konsistenz von ZFC unbewiesen ist.
Hallo Wolfgang,
ich möchte noch einmal betonen, vermutlich ganz überflüssigerweise,
dass ich ZFC nicht besonders gut kenne und dass es mich auch nicht
weiter interessiert.
> Daraus
> folgt, dass man kein einziges Modell von ZFC kennt, welches fuer eine
> Interpretation aber notwendig waere. In diesem strengen Sinne ist also
> jede (und nicht nur die uebliche) Interpretation eine
> Fehlinterpretation, easy as that...
Wie gesagt, mir geht es um die Mathematik und dort besonders um die
Cantorschen Sätze über Zahlenmengen.
Alles, was ich gegen ZFC sagen kann und je dagegen gesagt habe, steht
unter dem Vorbehalt, dass man aus ZFC die übliche gegenwärtige
Mathematik inclusive der Cantorschen Sätze ableiten kann. Dazu gehört,
dass eine aktual unendliche Menge gibt (auch wenn man das "aktual"
meisten nur leise hinzudenkt - es folgt aus der zeitlosen und
vollständigen Existenz von Mengen). Dazu gehört die Existenz des
aleph_0, also wie Du gestern schon geschrieben hat, des Göttlichen, so
dass für
x, y aus |N U {aleph_0} gilt
ExAy y!=x -> y < x
>
> > Dreh- und Angelpunkt jeder Mengenlehre, sei sie nun klassisch-naiv
> > oder axiomatisch wie ZFC oder NBG aufgebaut, ist die Existenz einer
> > induktiven Menge - und zwar deren fertige, vollständige,
> > unveränderliche, kurz aktuale Existenz.
>
> Ein frommer Wunsch, aber wie so viele Wuensche bisher unerfuellt.
Hier verwirrst Du mich ein wenig, denn es gibt ja das
Unendlichkeitsaxiom.
>
> > Wenn Du das für eine
> > Fehlinterpretation hältst, so sollte Dir auch die Konsequenz klar
> > sein, nämlich dass es ohne diese vollständige Menge keine
> > Überabzählbarkeit gibt.
>
> Man kann in ZFC zeigen, dass mit jedem Modell von ZFC auch ein
> abzaehlbares Modell von ZFC existiert (eine Voraussetzung, die
> beim Forcing immer wieder gern verwendet wird). Und in diesen
> Modellen hat der Begriff der Ueberabzaehlbarkeit eine sehr
> unuebliche Bedeutung.
Gut, davon will ich nicht sprechen. Mich interessieren die Cantorschen
Sätze für die Zahlenmengen.
>
> > Das Cantorsche Diagonalargument kann nur dann
> > den Beweis einer nicht abzählbaren Menge liefern, wenn alle Elemente
> > der angenommenen unendlichen Folge vorhanden sind.
>
> Das formalisierte Cantorsche Diagonalargument liefert den Existenz-
> beweis ueberabzaehlbarer Mengen auch fuer abzaehlbare Modelle.
> Man stellt sich unter "ueberabzaehlbar" faelschlicherweise etwas
> "gigantisch Grosses" vor. Diese voellig unangemessene Vorstellung
> ist es, welche einen in die Irre fuehrt. Daran mag Cantor bei
> seiner komischen Zusammenfassung von Elementen zu einem Ganzen
> noch gedacht haben,..., habe ich Parazelsus schon erwaehnt? SCNR
Ja, das hattest Du. Aber daran gemessen wird in der gegenwärtigen
Mathematik immer noch das Arsen zur Therapie der Syphilis benutzt.
Denn selbst moderne Mathematiker betrachten die reelle Zahlenmenge als
viel größer als |N. Auch Cohen und Gödel haben vermutet, dass ||R|
wohl eine viel größere Mächtigkeit als aleph_1 besäße. Und in der
gängigen Maßtheorie kommt man mit einer abzählbaren Menge ja immer nur
auf 0.
>
> > Die Anwendung des Diagonalargumentes auf eine spezielle Darstellung
> > aller Elemente der induktiven Menge (nämlich gleichzeitig unär und
> > als Anfangsabschnitte und als Dezimalzahlen) liefert ein weiteres
> > Element der als vollständig vorausgesetzten induktiven Mengen und
> > damit einen Widerspruch zur Annahme der Vollständigkeit.
>
> > Kannst Du damit übereinstimmen?
>
> Ich bin kein Anhaenger der Mengenlehre, aber diese Aussage ist
> in ZFC nicht formalisierbar. Und, ob Du es nun wahrhaben willst oder
> nicht: Deine Argumente interessieren die moderne Mengenlehre
> nicht (und das ist nicht negativ gemeint).
Keine Ursache. Die moderne Mengenlehre interessiert mich ja auch
nicht. Und das ist auch nicht negativ gemeint. Zum Beispiel habe ich
vor 10 Jahren aufgehört, Schach zu spielen (was ich vorher 40 Jahre
lang mit Leidenschaft betrieben hatte). Und das heißt sicher nicht,
dass ich das Schachspiel in irgendeiner Weise verachte oder abwerten
will.
Mich interessiert die Aussage, dass eine induktiven Menge (im Sinne
der vollständigen Existenz) nicht widerspruchsfrei existieren kann.
Das ist immerhin eine Aussage, die den meisten gegenwärtigen
Mathematikern (die nicht Spezialisten auf Deinem Gebiet sind) sicher
neu oder gar unverschämt vorkommen wird.
> In Ermangelung eines
> Modells beziehen sich die Ergebnisse der Mengenlehre vor allem
> auf die Rekonstruktion mathematischer Aussagen in einem einheitlichen
> System (ala Bourbaki). Ihre Aussagen sind nur vage interpretierbar,
> und alle partiellen Interpretationen haben ihre Schwaechen.
Siehst Du, deshalb interessiert mich mehr die Mathematik, die aus der
Wirklichkeit extrahiert wurde und auf diese wieder angewandt werden
kann.(Und da ist schon bei Mengen mit 10^100 Elementen Schluss, so
dass Weiterungen gar nicht wirklich in Betracht kommen.) Denn wenn ich
diese "vage-Aussage" von Dir lese, so muss ich zu dem Schluss kommen,
dass ZFC und Schachspiel viel gemeinsam haben.
> 4 semestrige intensive Beschaeftigung > 6 SWS voraus und kann nicht
> 'mal so nebenbei erworben werden.
Da hast Du vermutlich Recht. Aber ich werde es nicht nachprüfen.
Ich wünsche Dir eine schöne Woche.
Vermutlich gehen bei Euch nun auch bald die Semesterferien an.
Übrigens nimmt das, worüber wir vor längerer Zeit sprachen, nun
langsam Gestalt an.
Gruß, WM
fiesh
> Es ist unbestritten, dass die Konsistenz von ZFC unbewiesen ist. Daraus
Es ist auch unbestritten, dass die Konsistenz von PA unbewiesen ist.
Ich wuerde sogar sagen, es ist unbestritten, dass diese wie deine
Aussage sinnfrei ist. So what?
--
fiesh
Wolfgang Thumser
> Es ist auch unbestritten, dass die Konsistenz von PA unbewiesen ist.
> Ich wuerde sogar sagen, es ist unbestritten, dass diese wie deine
> Aussage sinnfrei ist. So what?
The Tao is silent...
Gruss Wolfgang
Wolfgang Thumser
> Ich w�nsche Dir eine sch�ne Woche.
> Vermutlich gehen bei Euch nun auch bald die Semesterferien an.
> �brigens nimmt das, wor�ber wir vor l�ngerer Zeit sprachen, nun
> langsam Gestalt an.
ich danke Dir und gebe die Wuensche zurueck; vielleicht koennen wir
diese interessante Diskussion ja 'mal privat weiter fortsetzen.
Zwischenzeitlich hat sie ja ohnehin wieder die Opponenten auf den Plan
gerufen, und wenn es am schoensten ist, soll man bekanntlich aufhoeren.
Mit den besten Gruessen
Wolfgang
Ralf Bader
> Hallo Wolfgang,
>
>> Ich wünsche Dir eine schöne Woche.
>> Vermutlich gehen bei Euch nun auch bald die Semesterferien an.
>> Übrigens nimmt das, worüber wir vor längerer Zeit sprachen, nun
>> langsam Gestalt an.
>
> ich danke Dir und gebe die Wuensche zurueck; vielleicht koennen wir
> diese interessante Diskussion ja 'mal privat weiter fortsetzen.
Das dürfte empfehlenswert sein.
> Zwischenzeitlich hat sie ja ohnehin wieder die Opponenten auf den Plan
> gerufen, und wenn es am schoensten ist, soll man bekanntlich aufhoeren.
Ich war versucht, zu fragen, welche Argumente von Herrn Mückenheim
"interessant" wären. Nun ist "interessant" ein subjektives
Kriterium, und wenn die stattgehabte Diskussion diesem unterfallen soll,
dann verzichte ich auf die Frage.
Ralf
--
"Die Natur hat schon häufig natürliche Zahlen zerlegt, zum Beispiel...die
acht Beine einer Spinne in die vier Himmelsrichtungen." Prof. Dr. W.
Mückenheim, Mathematikkoryphäe der "Hochschule Augsburg", am 01.10.09 in
de.sci.mathematik
Bobo
> Man kann in ZFC zeigen, dass mit jedem Modell von ZFC auch ein
> abzaehlbares Modell von ZFC existiert [...]. Und in diesen
> Modellen hat der Begriff der Ueberabzaehlbarkeit eine sehr
> unuebliche Bedeutung.
Eigentlich nicht. Unabh�ngig von jeder Modelltheorie verstehe ich z.B.
den Satz "Es gibt keine Bijektion von IN auf IR". Dass es (falls ZFC
konsistent ist) abz�hlbare Modelle von ZFC gibt, �ndert nichts an diesem
Verst�ndnis.
--
Bobo
Bobo
> Am Tue, 8 Feb 2011 00:23:53 +0100 schrieb Franz Fritsche:
>
>> Am Tue, 08 Feb 2011 00:10:39 +0100 schrieb Ralf Bader:
>>>
>>> Wolfgang Thumser wrote:
>>>>
>>>> Zwischenzeitlich hat sie ja ohnehin wieder die Opponenten auf den Plan
>>>> gerufen, und wenn es am schoensten ist, soll man bekanntlich aufhoeren.
>>>>
>>> Ich war versucht, zu fragen, welche Argumente von Herrn Mückenheim
>>> "interessant" wären.
>
WTs Aussage ist dazu geeignet, dass sich WM glücklich fühlt. (Man geht
sozusagen respektvoll auseinander. ;-))
--
Bobo