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Zahlendreher - falsche Zahl finden
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Dr. Andreas J. Bittner
Dec 4, 2013, 7:01:58 AM12/4/13
to
Hallo,
da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
Mein Kontostand (Bank) wies gegenï¿œber meinem Kontostand (Buchhaltung)
eine Differenz von genau 18 Euros auf.
Zuerst dachte ich, ich hï¿œtte die falsche Verpflegungspauschale (6, 12
oder 18 Eus) eingetragen, weil ich annahm, bei irgendwelchen Zahlungen
(Kontogebï¿œhr etc.) sind die Zahlen ja immer "krumm", also mit Cent-Betrï¿œgen.
Heute fand ich, daￜ ich an einer Stelle 297,17 statt richtig 279,17
eingetragen hatte -- gefunden mit /brute force/ (also alles nachsehen).
Interessanterweise haben die beiden vertauschten Zahlen (7, 9) die
Differenz 2, also genau das was 18 an der 20 (wï¿œre Fehler an der
10er-Stelle) fehlt.
Ich hatte mir, um die Suche zu vereinfachen, die Frage gestellt, welche
2- und 3-stelligen Zahlen gibt es, deren Differenz genau 18 betrï¿œgt,
wenn man 2 (benachbarte) Ziffern vertauscht bzw. wie kann ich mir leicht
(OpenOffice Calc) eine Liste solcher Zahlen erstellen.
Die Differenz gibts auch bei den Paaren (213, 231; 257, 275) und
vermutlich allen, deren Ziffern die Differenz 2 haben (zumindest, wenn
sie direkt benachbart sind) und nicht die erste Stelle getauscht wird
(123, 213: 90).
Gibt es ein(e) einfache(s) Formel/Schema, um aus einer beliebigen
Differenz (z. B. der 18 Euro) auf die vertauschten Ziffern zu schlieï¿œen?
Und wie sieht eine Vertauschung ï¿œbernï¿œchster Nachbarn (123, 321) aus?
Und bei n-steligen Zahlen, wenn ich die Paare 1,n (n <= m) tausche? Wie
geht man sowas am besten an?
Danke fï¿œr Antworten
Andreas
da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
Mein Kontostand (Bank) wies gegenï¿œber meinem Kontostand (Buchhaltung)
eine Differenz von genau 18 Euros auf.
Zuerst dachte ich, ich hï¿œtte die falsche Verpflegungspauschale (6, 12
oder 18 Eus) eingetragen, weil ich annahm, bei irgendwelchen Zahlungen
(Kontogebï¿œhr etc.) sind die Zahlen ja immer "krumm", also mit Cent-Betrï¿œgen.
Heute fand ich, daￜ ich an einer Stelle 297,17 statt richtig 279,17
eingetragen hatte -- gefunden mit /brute force/ (also alles nachsehen).
Interessanterweise haben die beiden vertauschten Zahlen (7, 9) die
Differenz 2, also genau das was 18 an der 20 (wï¿œre Fehler an der
10er-Stelle) fehlt.
Ich hatte mir, um die Suche zu vereinfachen, die Frage gestellt, welche
2- und 3-stelligen Zahlen gibt es, deren Differenz genau 18 betrï¿œgt,
wenn man 2 (benachbarte) Ziffern vertauscht bzw. wie kann ich mir leicht
(OpenOffice Calc) eine Liste solcher Zahlen erstellen.
Die Differenz gibts auch bei den Paaren (213, 231; 257, 275) und
vermutlich allen, deren Ziffern die Differenz 2 haben (zumindest, wenn
sie direkt benachbart sind) und nicht die erste Stelle getauscht wird
(123, 213: 90).
Gibt es ein(e) einfache(s) Formel/Schema, um aus einer beliebigen
Differenz (z. B. der 18 Euro) auf die vertauschten Ziffern zu schlieï¿œen?
Und wie sieht eine Vertauschung ï¿œbernï¿œchster Nachbarn (123, 321) aus?
Und bei n-steligen Zahlen, wenn ich die Paare 1,n (n <= m) tausche? Wie
geht man sowas am besten an?
Danke fï¿œr Antworten
Andreas
Ulrich D i e z
Dec 4, 2013, 9:26:33 AM12/4/13
to
Dr. Andreas J. Bittner schrieb:
> Hallo,
>
> da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
> Mein Kontostand (Bank) wies gegenï¿œber meinem Kontostand (Buchhaltung)
> eine Differenz von genau 18 Euros auf.
Angenommen, es sind Ziffern vertauscht worden.
Eine der beiden das "Tauschpaar" bildenden Ziffern habe den Wert a.
Die andere der beiden das "Tauschpaar" bildenden Ziffern habe den Wert b.
Der Betrag der Differenz der Werte der das Tauschpaar bildenden Ziffern
sei mit k bezeichnet: |a -b| = k ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 (Gleichung 1).
Durch Vertauschung erhï¿œht sich der Wert einer der beiden Ziffern also um k
und der Wert der anderen Ziffer erniedrigt sich um k .
Angenommen, die X-te Ziffer und die x-te Ziffer mit X > x seien
vertauscht worden.
Der Betrag der Differenz d zwischen Kontostand (Bank) und
Kontostand (Buchhaltung) ergibt sich dann zu
|d| = (10^(X-1)) * k - (10^(x-1)) * k ; X > x
|d| = (10^(X-1) - 10^(x-1) ) * k ; X > x
bzw
|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = k ; X > x (Gleichung 2).
Einsetzen von (Gleichung 1) in (Gleichung 2) ergibt:
|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 ; X > x (Gleichung 3).
[ Wenn (Gleichung 3) fï¿œr gegebene X,x, |d| nicht diophantisch lï¿œsbar ist
(, weil der Quotient auf der linken Seite des Relationszeichens keine natï¿œrliche
Zahl < 10 darstellt), kommen keine entsprechenden "Zifferdreher" in Betracht.
Auch lustig ist die Frage, wie es bei mehreren Zifferdrehern aussieht ... ]
Beim erstgenannten Fall betrï¿œgt die Differenz zwischen Kontostand (Bank)
und Kontostand (Buchhaltung) 18 und es ist die erste Ziffer (Einerziffer)
mit der zweiten Ziffer (Zehnerziffer) vertauscht worden - also:
|d| = 18 ; X=2; x=1 .
Einsetzen dieser Werte fï¿œr |d|, X und x in (Gleichung 3) ergibt:
18 / (10^(2-1) - 10^(1-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
18 / ( 10 - 1 ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
18 / 9 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
2 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
Die Betragsangabe fï¿œhrt zur Fallunterscheidung [1] :
Fall 1:
a - b = -2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a + 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 7 ; b = 9
oder a = 6 ; b = 8
oder a = 5 ; b = 7
oder a = 4 ; b = 6
oder a = 3 ; b = 5
oder a = 2 ; b = 4
oder a = 1 ; b = 3
oder a = 0 ; b = 2
In Worten:
Wenn eine erste und eine zweite Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 7 mit einer 9 oder eine 6 mit einer 8 oder eine 5 mit einer 7
oder eine 4 mit einer 6 oder eine 3 mit einer 5 oder eine 2 mit einer 4 oder eine 1 mit
einer 3 oder eine 0 mit einer 2 vertauscht worden ist.
Fall 2:
a - b = 2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a - 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 9 ; b = 7
oder a = 8 ; b = 6
oder a = 7 ; b = 5
oder a = 6 ; b = 4
oder a = 5 ; b = 3
oder a = 4 ; b = 2
oder a = 3 ; b = 1
oder a = 2 ; b = 0
In Worten:
Wenn eine erste und eine zweite Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 9 mit einer 7 oder eine 8 mit einer 6 oder eine 7 mit einer 5
oder eine 6 mit einer 4 oder eine 5 mit einer 3 oder eine 4 mit einer 2 oder eine 3 mit
einer 1 oder eine 2 mit einer 0 vertauscht worden ist.
[1] "Anschaulich" gesprochen stellt die Fallunterscheidung die Unterscheidung
danach dar, ob der Kontostand (Bank) gegenï¿œber dem Kontostand (Buchhaltung)
zu gross oder zu klein ist und die beiden Fï¿œlle liefern einander entsprechende
"vertauschte" Zifferpaare.
(Gleichung 3) steht auch in Zusammenhang mit der Frage,
wie es bei einer Vertauschung einer ersten mit einer dritten Ziffer aussieht,
denn in so einem Fall wï¿œre bei dreistelligen Zahlen anzusetzen mit
X = 3 und x = 1 und |d| = |123 - 321| = 198 -- dies eingesetzt in (Gleichung 3)
ergibt:
198 / (10^(3-1) - 10^(1-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
198 / (10^2 - 10^0 ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
198 / 99 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
2 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
Die Betragsangabe fï¿œhrt zur Fallunterscheidung [1] :
Fall 1:
a - b = -2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a + 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 7 ; b = 9
oder a = 6 ; b = 8
oder a = 5 ; b = 7
oder a = 4 ; b = 6
oder a = 3 ; b = 5
oder a = 2 ; b = 4
oder a = 1 ; b = 3
oder a = 0 ; b = 2
In Worten:
Wenn eine erste und eine dritte Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 7 mit einer 9 oder eine 6 mit einer 8 oder eine 5 mit einer 7
oder eine 4 mit einer 6 oder eine 3 mit einer 5 oder eine 2 mit einer 4 oder eine 1 mit
einer 3 oder eine 0 mit einer 2 vertauscht worden ist.
Fall 2:
a - b = 2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a - 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 9 ; b = 7
oder a = 8 ; b = 6
oder a = 7 ; b = 5
oder a = 6 ; b = 4
oder a = 5 ; b = 3
oder a = 4 ; b = 2
oder a = 3 ; b = 1
oder a = 2 ; b = 0
In Worten:
Wenn eine erste und eine dritte Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 9 mit einer 7 oder eine 8 mit einer 6 oder eine 7 mit einer 5
oder eine 6 mit einer 4 oder eine 5 mit einer 3 oder eine 4 mit einer 2 oder eine 3 mit
einer 1 oder eine 2 mit einer 0 vertauscht worden ist.
[1] "Anschaulich" gesprochen stellt die Fallunterscheidung die Unterscheidung
danach dar, ob der Kontostand (Bank) gegenï¿œber dem Kontostand (Buchhaltung)
zu gross oder zu klein ist und die beiden Fï¿œlle liefern einander entsprechende
"vertauschte" Zifferpaare.
Ulrich
> Hallo,
>
> da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
> Mein Kontostand (Bank) wies gegenï¿œber meinem Kontostand (Buchhaltung)
> eine Differenz von genau 18 Euros auf.
Eine der beiden das "Tauschpaar" bildenden Ziffern habe den Wert a.
Die andere der beiden das "Tauschpaar" bildenden Ziffern habe den Wert b.
Der Betrag der Differenz der Werte der das Tauschpaar bildenden Ziffern
sei mit k bezeichnet: |a -b| = k ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 (Gleichung 1).
Durch Vertauschung erhï¿œht sich der Wert einer der beiden Ziffern also um k
und der Wert der anderen Ziffer erniedrigt sich um k .
Angenommen, die X-te Ziffer und die x-te Ziffer mit X > x seien
vertauscht worden.
Der Betrag der Differenz d zwischen Kontostand (Bank) und
Kontostand (Buchhaltung) ergibt sich dann zu
|d| = (10^(X-1)) * k - (10^(x-1)) * k ; X > x
|d| = (10^(X-1) - 10^(x-1) ) * k ; X > x
bzw
|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = k ; X > x (Gleichung 2).
Einsetzen von (Gleichung 1) in (Gleichung 2) ergibt:
|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 ; X > x (Gleichung 3).
[ Wenn (Gleichung 3) fï¿œr gegebene X,x, |d| nicht diophantisch lï¿œsbar ist
(, weil der Quotient auf der linken Seite des Relationszeichens keine natï¿œrliche
Zahl < 10 darstellt), kommen keine entsprechenden "Zifferdreher" in Betracht.
Auch lustig ist die Frage, wie es bei mehreren Zifferdrehern aussieht ... ]
Beim erstgenannten Fall betrï¿œgt die Differenz zwischen Kontostand (Bank)
und Kontostand (Buchhaltung) 18 und es ist die erste Ziffer (Einerziffer)
mit der zweiten Ziffer (Zehnerziffer) vertauscht worden - also:
|d| = 18 ; X=2; x=1 .
Einsetzen dieser Werte fï¿œr |d|, X und x in (Gleichung 3) ergibt:
18 / (10^(2-1) - 10^(1-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
18 / ( 10 - 1 ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
18 / 9 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
2 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
Die Betragsangabe fï¿œhrt zur Fallunterscheidung [1] :
Fall 1:
a - b = -2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a + 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 7 ; b = 9
oder a = 6 ; b = 8
oder a = 5 ; b = 7
oder a = 4 ; b = 6
oder a = 3 ; b = 5
oder a = 2 ; b = 4
oder a = 1 ; b = 3
oder a = 0 ; b = 2
In Worten:
Wenn eine erste und eine zweite Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 7 mit einer 9 oder eine 6 mit einer 8 oder eine 5 mit einer 7
oder eine 4 mit einer 6 oder eine 3 mit einer 5 oder eine 2 mit einer 4 oder eine 1 mit
einer 3 oder eine 0 mit einer 2 vertauscht worden ist.
Fall 2:
a - b = 2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a - 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 9 ; b = 7
oder a = 8 ; b = 6
oder a = 7 ; b = 5
oder a = 6 ; b = 4
oder a = 5 ; b = 3
oder a = 4 ; b = 2
oder a = 3 ; b = 1
oder a = 2 ; b = 0
In Worten:
Wenn eine erste und eine zweite Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 9 mit einer 7 oder eine 8 mit einer 6 oder eine 7 mit einer 5
oder eine 6 mit einer 4 oder eine 5 mit einer 3 oder eine 4 mit einer 2 oder eine 3 mit
einer 1 oder eine 2 mit einer 0 vertauscht worden ist.
[1] "Anschaulich" gesprochen stellt die Fallunterscheidung die Unterscheidung
danach dar, ob der Kontostand (Bank) gegenï¿œber dem Kontostand (Buchhaltung)
zu gross oder zu klein ist und die beiden Fï¿œlle liefern einander entsprechende
"vertauschte" Zifferpaare.
(Gleichung 3) steht auch in Zusammenhang mit der Frage,
wie es bei einer Vertauschung einer ersten mit einer dritten Ziffer aussieht,
denn in so einem Fall wï¿œre bei dreistelligen Zahlen anzusetzen mit
X = 3 und x = 1 und |d| = |123 - 321| = 198 -- dies eingesetzt in (Gleichung 3)
ergibt:
198 / (10^(3-1) - 10^(1-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
198 / (10^2 - 10^0 ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
198 / 99 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
2 = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
Die Betragsangabe fï¿œhrt zur Fallunterscheidung [1] :
Fall 1:
a - b = -2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a + 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 7 ; b = 9
oder a = 6 ; b = 8
oder a = 5 ; b = 7
oder a = 4 ; b = 6
oder a = 3 ; b = 5
oder a = 2 ; b = 4
oder a = 1 ; b = 3
oder a = 0 ; b = 2
In Worten:
Wenn eine erste und eine dritte Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 7 mit einer 9 oder eine 6 mit einer 8 oder eine 5 mit einer 7
oder eine 4 mit einer 6 oder eine 3 mit einer 5 oder eine 2 mit einer 4 oder eine 1 mit
einer 3 oder eine 0 mit einer 2 vertauscht worden ist.
Fall 2:
a - b = 2 ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a - 2 = b ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10
-> a = 9 ; b = 7
oder a = 8 ; b = 6
oder a = 7 ; b = 5
oder a = 6 ; b = 4
oder a = 5 ; b = 3
oder a = 4 ; b = 2
oder a = 3 ; b = 1
oder a = 2 ; b = 0
In Worten:
Wenn eine erste und eine dritte Ziffer vertauscht worden sind, kann es in diesem Fall
sein, dass entweder eine 9 mit einer 7 oder eine 8 mit einer 6 oder eine 7 mit einer 5
oder eine 6 mit einer 4 oder eine 5 mit einer 3 oder eine 4 mit einer 2 oder eine 3 mit
einer 1 oder eine 2 mit einer 0 vertauscht worden ist.
[1] "Anschaulich" gesprochen stellt die Fallunterscheidung die Unterscheidung
danach dar, ob der Kontostand (Bank) gegenï¿œber dem Kontostand (Buchhaltung)
zu gross oder zu klein ist und die beiden Fï¿œlle liefern einander entsprechende
"vertauschte" Zifferpaare.
Ulrich
Klaus-R. Loeffler
Dec 4, 2013, 12:50:06 PM12/4/13
to
Dr. Andreas J. Bittner <AndreasJ...@gmx.de> wrote:
> Hallo,
>
> da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
> Mein Kontostand (Bank) wies gegen�ber meinem Kontostand (Buchhaltung)
> Hallo,
>
> da ich meine Buchhaltung selbst mache, mache ich auch die Fehler selbst.
> eine Differenz von genau 18 Euros auf.
>
> Zuerst dachte ich, ich h�tte die falsche Verpflegungspauschale (6, 12
>
> oder 18 Eus) eingetragen, weil ich annahm, bei irgendwelchen Zahlungen
> (Kontogeb�hr etc.) sind die Zahlen ja immer "krumm", also mit Cent-Betr�gen.
>
> Heute fand ich, da� ich an einer Stelle 297,17 statt richtig 279,17
> eingetragen hatte -- gefunden mit /brute force/ (also alles nachsehen).
>
> Interessanterweise haben die beiden vertauschten Zahlen (7, 9) die
> Differenz 2, also genau das was 18 an der 20 (w�re Fehler an der
>
> Interessanterweise haben die beiden vertauschten Zahlen (7, 9) die
> 10er-Stelle) fehlt.
>
> Ich hatte mir, um die Suche zu vereinfachen, die Frage gestellt, welche
> 2- und 3-stelligen Zahlen gibt es, deren Differenz genau 18 betr�gt,
>
> Ich hatte mir, um die Suche zu vereinfachen, die Frage gestellt, welche
> wenn man 2 (benachbarte) Ziffern vertauscht bzw. wie kann ich mir leicht
> (OpenOffice Calc) eine Liste solcher Zahlen erstellen.
>
> Die Differenz gibts auch bei den Paaren (213, 231; 257, 275) und
> vermutlich allen, deren Ziffern die Differenz 2 haben (zumindest, wenn
> sie direkt benachbart sind) und nicht die erste Stelle getauscht wird
> (123, 213: 90).
>
> Gibt es ein(e) einfache(s) Formel/Schema, um aus einer beliebigen
> Differenz (z. B. der 18 Euro) auf die vertauschten Ziffern zu schlie�en?
> (OpenOffice Calc) eine Liste solcher Zahlen erstellen.
>
> Die Differenz gibts auch bei den Paaren (213, 231; 257, 275) und
> vermutlich allen, deren Ziffern die Differenz 2 haben (zumindest, wenn
> sie direkt benachbart sind) und nicht die erste Stelle getauscht wird
> (123, 213: 90).
>
> Gibt es ein(e) einfache(s) Formel/Schema, um aus einer beliebigen
> Und wie sieht eine Vertauschung �bern�chster Nachbarn (123, 321) aus?
> Und bei n-steligen Zahlen, wenn ich die Paare 1,n (n <= m) tausche? Wie
> geht man sowas am besten an?
>
> Danke f�r Antworten
> geht man sowas am besten an?
>
> Andreas
Hallo Andreas,
da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
ist die Differenz immer durch 9 teilbar; genauer: Wenn die Differenz d
zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist, sind irgendwo Einer- und
Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden. Betr�gt die Differenz
d mindestens 90, so sind eine Zehner- und eine Hunderterziffer mit
Differenz d/90 vertauscht worden.
Vorausgesetzt wird dabei, dass die betrachtete Zahl dreistellig ist und
genau einmal zwei benachbarte Ziffern vertauscht wurden.
Gru�, Klaus-R.
Dr. Andreas J. Bittner
Dec 5, 2013, 4:57:09 PM12/5/13
to
Hallo Ulrich,
sorry for TOFU, aber danke fï¿œr die sehr ausfï¿œhrliche Erklï¿œrung, ich hab
sie gelesen, so einigermaï¿œen verstanden und werde mich noch ausfï¿œhrlich
damit beschï¿œftigen.
Spannend finde ich, daￜ auch bei dem "Abstand" 2 (1. und 3. statt 2.
Ziffer vertauscht) genau das gleiche rauskommt, ich hￜtte vermutet, daￜ
das von der Stelle (1er, 10er, 100er,...) abhï¿œngt.
Danke und schï¿œnen Abend!
Andreas
Am 04.12.13 15:26, schrieb Ulrich D i e z:
>
> Ulrich
>
sorry for TOFU, aber danke fï¿œr die sehr ausfï¿œhrliche Erklï¿œrung, ich hab
sie gelesen, so einigermaï¿œen verstanden und werde mich noch ausfï¿œhrlich
damit beschï¿œftigen.
Spannend finde ich, daￜ auch bei dem "Abstand" 2 (1. und 3. statt 2.
Ziffer vertauscht) genau das gleiche rauskommt, ich hￜtte vermutet, daￜ
das von der Stelle (1er, 10er, 100er,...) abhï¿œngt.
Danke und schï¿œnen Abend!
Andreas
Am 04.12.13 15:26, schrieb Ulrich D i e z:
> Dr. Andreas J. Bittner schrieb:
>
>
> Angenommen, es sind Ziffern vertauscht worden.
>
> [snip]
>
>
> Ulrich
>
Dr. Andreas J. Bittner
Dec 5, 2013, 5:18:04 PM12/5/13
to
Am 04.12.13 18:50, schrieb Klaus-R. Loeffler:
> [snip]
Hah!!! "Wenn die Differenz d zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist,
aber wie ich aus Deiner Antwort ein "grep ...." (iSv suche alle NNNxy
und NNNyx) formulieren k�nnte (das war mein Hintergedanke), um den
falschen Eintrag in der Liste zu finden... wei� ich immer noch nicht.
Gut, ich habs ja mit /brute force/ gefunden...
Diese Quersummen sind mir irgendwie unheimlich. Sie kommen mir vor als
n�hme man einen Topf Spaghetti (L�nge 0...9), "mixe" sie irgendwie durch
und erhalte Spaghettist�cke *einer* L�nge (der Quersumme, auch 0...9, je
nach L�nge der Spaghetti) und kann eine Aussage �ber die urspr�nglichen
Spaghetti machen.
Aus mir wird kein Ramanujan mehr...
Danke & Gr��e
Andreas
> [snip]
> Hallo Andreas,
>
> da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
> ist die Differenz immer durch 9 teilbar; genauer: Wenn die Differenz d
> zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist, sind irgendwo Einer- und
> Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden. Betr�gt die Differenz
> d mindestens 90, so sind eine Zehner- und eine Hunderterziffer mit
> Differenz d/90 vertauscht worden.
> Vorausgesetzt wird dabei, dass die betrachtete Zahl dreistellig ist und
> genau einmal zwei benachbarte Ziffern vertauscht wurden.
Hallo Klaus!
>
> da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
> ist die Differenz immer durch 9 teilbar; genauer: Wenn die Differenz d
> zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist, sind irgendwo Einer- und
> Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden. Betr�gt die Differenz
> d mindestens 90, so sind eine Zehner- und eine Hunderterziffer mit
> Differenz d/90 vertauscht worden.
> Vorausgesetzt wird dabei, dass die betrachtete Zahl dreistellig ist und
> genau einmal zwei benachbarte Ziffern vertauscht wurden.
Hah!!! "Wenn die Differenz d zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist,
sind irgendwo Einer- und Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden"
Sowas hatte ich �berlegt, m��te es geben -- und gibt's offenbar ja --
aber wie ich aus Deiner Antwort ein "grep ...." (iSv suche alle NNNxy
und NNNyx) formulieren k�nnte (das war mein Hintergedanke), um den
falschen Eintrag in der Liste zu finden... wei� ich immer noch nicht.
Gut, ich habs ja mit /brute force/ gefunden...
Diese Quersummen sind mir irgendwie unheimlich. Sie kommen mir vor als
n�hme man einen Topf Spaghetti (L�nge 0...9), "mixe" sie irgendwie durch
und erhalte Spaghettist�cke *einer* L�nge (der Quersumme, auch 0...9, je
nach L�nge der Spaghetti) und kann eine Aussage �ber die urspr�nglichen
Spaghetti machen.
Aus mir wird kein Ramanujan mehr...
Danke & Gr��e
Andreas
Klaus-R. Loeffler
Dec 6, 2013, 3:35:01 AM12/6/13
to
Dr. Andreas J. Bittner <AndreasJ...@gmx.de> wrote:
> Am 04.12.13 18:50, schrieb Klaus-R. Loeffler:
> > Dr. Andreas J. Bittner <AndreasJ...@gmx.de> wrote:
> >
> > [snip]
> > Hallo Andreas,
> >
> > da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
> > ist die Differenz immer durch 9 teilbar; genauer: Wenn die Differenz d
> > zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist, sind irgendwo Einer- und
> > Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden. Betr�gt die Differenz
> > d mindestens 90, so sind eine Zehner- und eine Hunderterziffer mit
> > Differenz d/90 vertauscht worden.
> > Vorausgesetzt wird dabei, dass die betrachtete Zahl dreistellig ist und
> > genau einmal zwei benachbarte Ziffern vertauscht wurden.
>
> Hallo Klaus!
>
> Hah!!! "Wenn die Differenz d zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist,
> sind irgendwo Einer- und Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden"
>
> Sowas hatte ich �berlegt, m��te es geben -- und gibt's offenbar ja --
> aber wie ich aus Deiner Antwort ein "grep ...." (iSv suche alle NNNxy
> und NNNyx) formulieren k�nnte (das war mein Hintergedanke), um den
> falschen Eintrag in der Liste zu finden... wei� ich immer noch nicht.
> Gut, ich habs ja mit /brute force/ gefunden...
>
Hallo Andreas,
> Am 04.12.13 18:50, schrieb Klaus-R. Loeffler:
> > Dr. Andreas J. Bittner <AndreasJ...@gmx.de> wrote:
> >
> > [snip]
> > Hallo Andreas,
> >
> > da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
> > ist die Differenz immer durch 9 teilbar; genauer: Wenn die Differenz d
> > zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist, sind irgendwo Einer- und
> > Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden. Betr�gt die Differenz
> > d mindestens 90, so sind eine Zehner- und eine Hunderterziffer mit
> > Differenz d/90 vertauscht worden.
> > Vorausgesetzt wird dabei, dass die betrachtete Zahl dreistellig ist und
> > genau einmal zwei benachbarte Ziffern vertauscht wurden.
>
> Hallo Klaus!
>
> Hah!!! "Wenn die Differenz d zwischen beiden Zahlen kleiner als 90 ist,
> sind irgendwo Einer- und Zehnerziffer mit Differenz d/9 vertauscht worden"
>
> Sowas hatte ich �berlegt, m��te es geben -- und gibt's offenbar ja --
> aber wie ich aus Deiner Antwort ein "grep ...." (iSv suche alle NNNxy
> und NNNyx) formulieren k�nnte (das war mein Hintergedanke), um den
> falschen Eintrag in der Liste zu finden... wei� ich immer noch nicht.
> Gut, ich habs ja mit /brute force/ gefunden...
>
viel mehr Information als die Differenz der Ziffern im Zahlendreher
liefert der Fehlbetrag nun mal nicht. Immerhin hast du ja noch die
Information durch das Vorzeichen: Wenn z.B. die Differenz (Korrektsumme
minus Falschsumme) - 81 betr�gt, wei�t du, dass du irgendwo 09 stat 90
stehen hast, oder wenn diese Differenz 63 betr�gt, sind steht entweder
anstelle eine korrekten 70, 61, 52 oder 43 die gespiegelte Zahl.
Damit werden die Verd�chtigen doch schon massiv reduziert, wenn dies
auch gerade beim von dir genannten ung�nstigsten Beispiel 18 nat�rlich
immer noch neun Kandidaten liefert.
Gru�, Klaus-R.
totarefugium
Dec 6, 2013, 8:03:05 AM12/6/13
to
On 04.12.2013 18:50, Klaus-R. Loeffler wrote:
> da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
> ist die Differenz immer durch 9 teilbar
Hieraus l��t sich folgendes einfache Verfahren erstellen:
> da sich beim Vertauschen von zwei Ziffern die Quersumme nicht �ndert,
> ist die Differenz immer durch 9 teilbar
(1) Die durch den Zahlendreher verursachte Differenz d kann nur den
Betrag 9 oder ein Vielfaches von 9 aufweisen (im Beispiel war d = 18)
(2) Das kleinste m�gliche "Zahlendreherpaar" mit Differenz d lautet
{d/9, d/9+d}, wobei die einstellige Zahl eine 0 vorangestellt bekommt.
Das kleinste m�gliche Paar mit d=18 lautet demnach 02 und 20
(3) Die erste Komponente vergr��ere man um 11. Die entstehende Zahl
sowie diese mit vertauschten Ziffern bilden das jeweils n�chste
Zahlendreherpaar, solange die zweite Komponente noch zweistellig bleibt.
Dieser dritte Schritt liefert im Beispiel d=18 folgende m�gliche
Ziffernvertauschungen:
02 und 20
13 und 31
24 und 42
35 und 53
46 und 64
57 und 75
68 und 86
79 und 97
(4) Um Ziffernvertauschungen in dreistelligen Zahlen abzufangen, ist den
beiden Komponenten eine Ziffer von 1 bis 9, und zwar bei beiden
Komponenten jeweils die gleiche Ziffer, voranzustellen. Im Beispiel d=18
w�ren die m�glichen dreistelligen Paare also {102, 120}, {113, 131},
..., {202, 220}, {213, 231}, ..., {979, 997}
Selbstverst�ndlich w�re hier auch das von Dr. Bittner gefundene
Zahlenpaar {279, 297} mit enthalten.
MfG,
Michael Taktikos
Ulrich D i e z
Dec 5, 2013, 1:11:01 PM12/5/13
to
Dr. Andreas J. Bittner schrieb:
> Hallo Ulrich,
>
> sorry for TOFU, aber danke fï¿œr die sehr ausfï¿œhrliche Erklï¿œrung, ich hab
> sie gelesen, so einigermaï¿œen verstanden und werde mich noch ausfï¿œhrlich
> damit beschï¿œftigen.
>
> Spannend finde ich, daￜ auch bei dem "Abstand" 2 (1. und 3. statt 2.
> Ziffer vertauscht) genau das gleiche rauskommt, ich hￜtte vermutet, daￜ
> das von der Stelle (1er, 10er, 100er,...) abhï¿œngt.
Warum "ich hï¿œtte vernutet" bzw warum im Konjunktiv?
>
> sorry for TOFU, aber danke fï¿œr die sehr ausfï¿œhrliche Erklï¿œrung, ich hab
> sie gelesen, so einigermaï¿œen verstanden und werde mich noch ausfï¿œhrlich
> damit beschï¿œftigen.
>
> Spannend finde ich, daￜ auch bei dem "Abstand" 2 (1. und 3. statt 2.
> Ziffer vertauscht) genau das gleiche rauskommt, ich hￜtte vermutet, daￜ
> das von der Stelle (1er, 10er, 100er,...) abhï¿œngt.
Das klingt so nach nachtrï¿œglichem Anzweifeln.
Die Vermutung ist doch richtig, denn von den Stellenwerten der
vertauschten Ziffern hï¿œngt es ja unter anderem auch ab.
Anders ausgedrï¿œckt:
In meinem letzten Posting habe ich lediglich die Gleichung
|d| / (10^(X-1) - 10^(x-1) ) = |a -b| ; 0 <= a < 10 ; 0 <= b < 10 ; X > x (Gleichung 3).
- vom Betrag der Differenz d zwischen Kontostand (Bank) und
Kontostand (Buchhaltung)
- von den mit X und x bezeichneten _Stellenwerten_ der das Tauschpaar
bildenden Ziffern (wobei der Grossbuchtabe andeuten sollte, dass es
sich um die "hï¿œherwertige" Stelle handelt)
den (auch mit k bezeichneten) Betrag |a -b| der Differenz zwischen den
Werten a und b zweier vertauschter Ziffern berechnen kann.
[ Zu den das Tauschpaar bildenden Ziffern gehï¿œren also die Werte
a und b und bezogen auf die Zahl(en), zu der diese Ziffern gehï¿œren, die
Stellenwerte X und x.]
Wenn man diesen (auch mit k bezeichneten) Betrag berechnet hat,
kann man alle Fï¿œlle bzw alle zu den Stellenwerten X und x gehï¿œrenden
Ziffernpaare a,b mit |a -b| = k auflisten.
Im ersten von Dir gegebenen Fall |d| = 18, x=1, X=2 hat sich |a -b| = k = 2
ergeben und um mï¿œgliche "Zahlendreher" zu erhalten, galt es, alle Ziffernpaare
a,b mit |a -b| = 2 aufzulisten.
Im zweiten von Dir gegebenen Fall war von Dir "die Sache anders herum
aufgezogen", denn hier hast Du mit 123 <-> 321 nicht irgendwelche
Differenzen, sondern direkt den Zahlendreher und damit das Tauschziffernpaar
a,b und damit den Betrag |a -b| der Differenz der Werte des Tauschziffenpaares
vorgegeben.
Dabei wurde eben die erste mit der dritten Ziffer vertauscht, also X=3, x=1
und es wurde ausserdem die Ziffer mit dem Wert 3 mit der Ziffer mit dem
Wert 1 vertauscht bzw, da |3 -1| = 2, von vorneherein ein Ziffernpaar a,b
herausgepickt mit |a -b| = k = 2 .
Deine Vorgabe war also von vorneherein ein Fall mit |a -b| = k = 2 .
Was ich hier getan habe, war, aufzeigen, wie man auf mï¿œgliche Zahlendreher
kommt, wenn man statt des Zahlendrehers nur die sich ergebende Differenz |d|
mit |d| = |321 - 123| = 198 kennt. Aber da man hier ja von einem Fall mit
|a -b| = k = 2 ausgegangen war, ist es eigentlich nicht verwunderlich, sondern
zu erwarten, auch hier dahin zu kommen, alle Ziffernpaare a,b mit |a -b| = k =2
auflisten zu mï¿œssen. Jedenfalls hï¿œtte ich unter den gegebenen Voraussetzungen
alles andere beï¿œngstigend gefunden ;-)
Was mich fasziniert hat, war, wie Klaus-R. Loeffler aufgezeigt hat, wie das
Problem mit den Zahlendrehern mit der Theorie der Kongruenzen verknï¿œpft ist.
Es ist nï¿œmlich so, dass die Zahl 10 und die Zahl 1 bezogen auf die Division durch 9
den selben Rest, nï¿œmlich 1, haben.
Man schreibt dafï¿œr 10 = 1 (mod 9) .
Mit
10 = 1 (mod 9) gilt mit m in {0 und N} auch:
10^m = 1^m (mod 9) und mit a in {0 und N} auch:
a*(10^m) = a*(1^m) (mod 9) und auch:
Summe_{k=1..n}{a_k*(10^(m_k))} = Summe_{k=1..n}{a_k*(1^(m_k))} (mod 9)
bzw kï¿œrzer:
P(10) = P(1) (mod 9) .
In Worten:
Im Stellenwertsystem zur Basis 10 haben (durch Ziffern a_k dargestellte)
Zahlen bezogen auf die Division durch 9 den selben Rest wie ihre Quersummen.
Daraus wiederum folgt:
Wenn bei zwei Zahlen die Quersumme gleich ist, haben sie bezogen auf die
Division durch 9 den selben Rest.
Die Differenz zweier Zahlen, die bezogen auf die Division durch 9 den selben Rest
haben, ist restlos durch 9 teilbar.
( Beispiel:
<Zahl 1> und <Zahl 2> haben beide bezogen auf die Division durch 9 den Rest r.
Man kann ansetzen: <Zahl 1> = U*9 + r ; <Zahl 2> = V*9 + r ;
<Zahl 1> - <Zahl 2> = U*9 + r - V*9 + r = U*9 - V*9 = (U-V) * 9 . )
Wenn sich die Dezimaldarstellungen zweier Zahlen nur dadurch unterscheiden, dass
Ziffern miteinander vertauscht sind, dann haben sie die selbe Quersumme und somit
bezogen auf die Division durch 9 den selben Rest und somit ist ihre Differenz
restlos durch 9 teilbar.
Bei einem Zahlendreher macht diese Differenz auch die Differenz zwischen
Kontostand (Bank) und Kontostand (Buchhaltung) aus.
Umkehrschluss:
Wenn die Differenz zwischen Kontostand (Bank) und Kontostand (Buchhaltung)
nicht restlos durch 9 teilbar ist, ist ausgeschlossen, dass ihr Zustandekommen
nur "Zahlendrehern" zu "verdanken" ist.
Ulrich
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