Umkehrfunktion für f(x,y)
Sascha Bub
ich sitze gerade daran, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion
f(x,y)=y+1/2(x+y)(x+y+1) eine Bijektion ist. Ich dachte mir, es wäre
vielleicht günstig, zunächst die Umkehrfunktion von f(x,y) zu bilden. Ich
habe aber nirgends gefunden, wie man eine solche von einer Funktion, die von
zwei Variablen abhängt, berechnen kann. Es wäre nett, wenn mir jemand
weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
Sascha
Martin Fuchs
Eine Funktion hat nur dann eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv ist.
Bijektivität liegt vor <=> die Funktion ist injektiv und surjektiv
1. Injektivität.
betrachte f(a,b) = f(c,d) und zeige, dass (a,b) = (c,d)
aber: f(-1,1) = 1 + 1/2*(-1+1)*(-1+1+1) = 1
f( -2,1) = 1 + 1/2*(-2+1)*(-2+1+1) = 1
Also ist f schon mal nicht injektiv, damit kann es auch nicht surjektiv sein und es gibt keine Umkehrfunktion.
(Es lassen sich jedoch vermutlich Def.- und Wertebereich so einschränken, dass f in diesen Bereichen dann bijektiv ist,
aber darauf zielte Deine Frage ja nicht ab)
Martin
Hermann Kremer
>Hallo,
>
>ich sitze gerade daran, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion
>vielleicht günstig, zunächst die Umkehrfunktion von f(x,y) zu bilden. Ich
>habe aber nirgends gefunden, wie man eine solche von einer Funktion, die von
>zwei Variablen abhängt, berechnen kann. Es wäre nett, wenn mir jemand
>weiterhelfen könnte.
Hmm, das sieht aus wie die Cantor-Abbildung Q -> N.
Versuche die Kehrfunktion mal so:
2*n = 2*y + (x+y)*(x+y+1) = 2*y + x^2 + 2*x*y + y^2 + x + y =
= 2*y + (x+y)^2 + (x+y)
d.h. für gegebenes n muß
2*n = u^2 + u + 2*y = u*(u+1) + 2*y = 2*[u*(u+1)/2] + 2*y =
= 2*T(u) + 2*y
--> n = T(u) + y , u = x + y
gelten, wobei T(u) die u-te Dreieckszahl ist.
--> Zu gegebenem n suche man die nächstkleinere Dreieckszahl T(u);
die Differenz n - T(u) liefert y, und u - y liefert x .
Grüße
Hermann
--
PS: Siehe dazu auch die letzten Postings von Paul Ebermann und mir im
Thread Frage zu ((u+u^2) / 2 ) - 1 = v^3 .
>
>Viele Grüße
>
>Sascha
>
>
>
Martin Fuchs
mf
"Martin Fuchs" <ma...@mafu-online.de> schrieb im Newsbeitrag news:aamqr6$c227v$1...@ID-134512.news.dfncis.de...
Martin Fuchs
> Versuche die Kehrfunktion mal so:
Hallo Hermann,
ich kenne die Cantor-Abbildung zwar nicht, aber wie kann eine von 2 Variablen abhängige Funktion
von Q nach |N abbilden?
Martin
jb
Rationale Zahlen haben einen Zähler und einen Nenner.
--
Janos Blazi
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jb
>> (Es lassen sich jedoch vermutlich
>> Def.- und Wertebereich so einschränken, dass f in diesen Bereichen dann
>> bijektiv ist, aber darauf zielte Deine Frage ja nicht ab)
Diese Vermutung ist leicht zu belegen. Wenn wit z.B. den Definitionsbereich
auf einen einzigen Wert (Tupel) beschränken...
Sascha Bub
etwas vergessen habe: den Definitionsbereich anzugeben. Er besteht in diesem
Fall aus allen ganzen positiven Zahlen einschließlich der Null.
"jb" <egro...@yahoo.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3ccf0...@news.newsgroups.com...
Sascha Bub
N -> N, wobei N die Menge der ganzen positiven Zahlen (einschließlich der
Null) ist.
Da bei Umkehrfunktionen aus S -> T wird, gehe ich davon aus, dass bei einer
Abbildung f: N x N -> N die Umkehrabbildung durch f^-1: N -> N x N
beschrieben werden kann. Wie kann ich eine Vorschrift definieren, die als
Funktionswert ein Zahlenpaar liefert (das geht etwas über meine
Schulmathematik hinaus)? Muss ich zwei Vorschriften finden, je eine für x
und y, oder muss ich anders vorgehen?
Vielen Dank unterdessen für die bisherigen Antworten auf meine Frage
Sascha
Hermann Kremer
>Martin Fuchs wrote:
>
>>> Hmm, das sieht aus wie die Cantor-Abbildung Q -> N.
>>> Versuche die Kehrfunktion mal so:
>>
>> Hallo Hermann,
>>
>> ich kenne die Cantor-Abbildung zwar nicht, aber wie kann eine von 2
>> Variablen abhängige Funktion von Q nach |N abbilden?
>
>Rationale Zahlen haben einen Zähler und einen Nenner.
Hallo Janos,
Cantor-Abbildung: Abzählen der positiven rationalen Zahlen y/x, x,y € N+ .
1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, ...
Du hast recht: Q -> N ist mißverständlich, gemeint ist natürlich (N+)^2 -> N+ .
Gruß
Hermann
--
Hermann Kremer
>
>N -> N, wobei N die Menge der ganzen positiven Zahlen (einschließlich der
>Null) ist.
(0,0) -> 0
(1,0) -> 1
(0,1) -> 2
(2,0) -> 3
(1,1) -> 4
(0,2) -> 5
usw.
OK, mit Cantor-Abbildung meinte ich die gleiche Funktion nur ohne Null - das
ist einfach die Abzählung der als Zahlenpaare (x,y) betrachteten positiven
rationalen Zahlen y/x entlang von Diagonalen im x-y-Punktgitter.
>Da bei Umkehrfunktionen aus S -> T wird, gehe ich davon aus, dass bei einer
>Abbildung f: N x N -> N die Umkehrabbildung durch f^-1: N -> N x N
>beschrieben werden kann. Wie kann ich eine Vorschrift definieren, die als
>Funktionswert ein Zahlenpaar liefert (das geht etwas über meine
>Schulmathematik hinaus)? Muss ich zwei Vorschriften finden, je eine für x
>und y ...
Ja. Für n |--> (x,y) suchst Du die größte Dreieckszahl T(u) <= n, dann
gilt
y = n - T(u)
x = u - y .
Die Dreieckszahlen sind T(0) = 0, T(1) = 1, T(2) = 3, T(3) = 6, T(4) = 10, ...
also gilt z.B. für
n = 3: T(2) = 3 --> y = n - T(2) = 0, x = 2 - 0 = 2 --> (2,0)
n = 4: T(2) = 3 --> y = 4 - T(2) = 1, x = 2 - 1 = 1 --> (1,1)
n = 5: T(2) = 3 --> y = 5 - T(2) = 2, x = 2 - 2 = 0 --> (0,2)
n = 6: T(3) = 6 --> y = 6 - T(3) = 0, x = 3 - 0 = 3 --> (3,0)
n = 7: T(3) = 6 --> y = 7 - T(3) = 1, x = 3 - 1 = 2 --> (2,1)
usw.
Grüße
Hermann
--
jb
> Cantor-Abbildung: Abzählen der positiven rationalen Zahlen y/x, x,y
> € N+ .
>
> 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
> 5/1, ...
>
> Du hast recht: Q -> N ist mißverständlich, gemeint ist natürlich (N+)^2
> -> N+ .
Das ist ein Mißverständnis. Ich habe nicht gemeint, daß Deine Beschreibung
mißverständlich war. Ich fand sie sehr klar.
Jürgen Edwartson
>> Also ist f schon mal nicht injektiv, damit kann es auch
>> nicht surjektiv sein und es gibt keine Umkehrfunktion. (Es
>> lassen sich jedoch vermutlich Def.- und Wertebereich so
>> einschränken, dass f in diesen Bereichen dann bijektiv ist,
>> aber darauf zielte Deine Frage ja nicht ab)
Wenn f immerhin C^1 ist, und für einen Punkt x_0 gilt
det(J_f(x_0))<>0, wobei J_f die Jacobimatrix ist, dann ist f in
einer Umgebung von x_0 bijektiv. (Fundamentalsatz über inverse
Abbildungen)
HTH
Jürgen
Christian Palmes
Martin Fuchs schrieb:
> > ich sitze gerade daran, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion
> > f(x,y)=y+1/2(x+y)(x+y+1) eine Bijektion ist. Ich dachte mir, es wäre
> > vielleicht günstig, zunächst die Umkehrfunktion von f(x,y) zu bilden. Ich
> > habe aber nirgends gefunden, wie man eine solche von einer Funktion, die von
> > zwei Variablen abhängt, berechnen kann. Es wäre nett, wenn mir jemand
> > weiterhelfen könnte.
>
> Eine Funktion hat nur dann eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv ist.
>
> Bijektivität liegt vor <=> die Funktion ist injektiv und surjektiv
>
> 1. Injektivität.
>
> betrachte f(a,b) = f(c,d) und zeige, dass (a,b) = (c,d)
>
> aber: f(-1,1) = 1 + 1/2*(-1+1)*(-1+1+1) = 1
> f( -2,1) = 1 + 1/2*(-2+1)*(-2+1+1) = 1
>
> Also ist f schon mal nicht injektiv, damit kann es auch nicht surjektiv sein
Warum soll denn aus nicht injektiv nicht surjektiv folgen?
z.B. :
f: |R-> |R(>=0)
x |-> |x|
Ist nicht injektiv, aber surjektiv.
Gruß Christian
Klaus D. Thull
"Sascha Bub" <Sasch...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:aan14d$hcl$01$1...@news.t-online.com...
> Nachdem ich meine Nachricht geschrieben habe, kam mir in den Sinn, dass
ich
> etwas vergessen habe: den Definitionsbereich anzugeben. Er besteht in
diesem
> Fall aus allen ganzen positiven Zahlen einschließlich der Null.
>
Um eine Aussage über die Surjektivität zu machen, müsste man dann auch noch
die Zielmenge kennen.
Gruß
Klaus
Martin Fuchs
Tippfehler, soll natürlich heissen "damit kann es auch nicht bijektiv sein"
mf
Sascha Bub
Frage zu bedanken. Das war das erste Mal, dass ich diese Newsgroup benutzt
habe, und ich war weniger überrascht, dass ich Beiträge, die mir
weiterhalfen lesen konnte (das erwartete ich schon irgendwie...), sondern
darüber, dass das so schnell geschah. Ich habe mittlerweile die Aufgabe
gelöst (ob gut, das weiß ich noch nicht), die Lösung ist aber zu
ausführlich, als dass ich sie hier in die Newsgroup stellen kann. Also danke
nochmal an alle, die mir geholfen haben, ich werde mich bestimmt wieder
melden, wenn ich eine Frage habe...
Viele Grüße
Sascha
"Sascha Bub" <Sasch...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:aampdi$ce4$02$1...@news.t-online.com...