Wahrscheinlichkeitsproblem: U-Boot und Schiff
Samuel Gyger
gekommen. Die Berechnung des Beispiels hat einige Probleme hervorgerufen,
die vom Lehrer angebotene Lösung überzeugt mich nicht und auch ein
statistischer Nachbau ergibt ein anderes Ergebnis.
Folgendes Beispiel:
Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche Kammern
getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
Nun folgende Lösungsidee:
Erstes Ereignis:
X ... Einschlagen eines Torpedos im Flugzeugträger (binomial verteilt)
X = 0,1,..., 8
P(X>=3) = 1 - P( X<= 2)
Daraus ergibt sich:
3
=====
\ / 8 \ k 8 - k
P(X >=3) = 1 - > | | 0.6 (1 - 0.6)
/ \ k /
=====
k = 0
P(X >=3) = 95%
Nun das zweite damit verknüpfte Ereignis, das eigentliche Problem. Ein
Torpedo trifft sicher eine leere Kammer.
Y ... Torpedos die weitere Kammern treffen.
Y = 0,1, .. , 7
Nun trafen wir die Annahme das auch dieses Ereignis binomial verteilt ist.
P(Y >= 2) = 1 - P( Y <= 1) -> Anforderung zum versenken des
Flugzeugträger.
Wahrscheinlichkeit für eine Kammer p = 1/8.
1
===== k 7 - k
\ / 7 \ /1\ / 1\
P(X >= 2) = 1 - > | | |-| |1 - -|
/ \ k / \8/ \ 8/
=====
k = 0
P(X >= 2) = 21.46%
Nun kann mit der Bayes Formel weiter argumentiert werden.
P(Y >= 2 | X >=3) = P(X >=3 | Y >= 2) * P(Y >= 2) / P( X >= 3)
-.- = P(Y >= 2) / P( x >= 3)
Daraus ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit für das Versinken des Schiffs
von
22.59%
Mir ist die ganze Argumentation vorallem für das zweite Ereignis nicht
ganz geheuer. Deshalb versuchte ich das Problem
mittels eines Programms statistisch nachzubilden und kam dabei auf ein
Ergebnis von 87%.
Das Programm findet man hier: http://pastebin.com/f78877fa4 (C Code).
Verwendet wurde dabei die Random (Gleichmässige Verteilung)
Funktion von C verwendet.
Ist vll. ein Fehler in der Argumentation vorhanden?
Samuel Gyger
Brian M. Scott
<gyger...@gmail.com> wrote in
<news:hd1lo3$ted$1...@news.eternal-september.org> in
de.sci.mathematik:
> Hallo, in unserem Mathematik Unterricht sind wir �ber
> folgendes Beispiel gekommen. Die Berechnung des
> Beispiels hat einige Probleme hervorgerufen, die vom
> Lehrer angebotene L�sung �berzeugt mich nicht und auch
> ein statistischer Nachbau ergibt ein anderes Ergebnis.
Zu Recht: jene L�sung ist falsch.
> Folgendes Beispiel:
> Ein U-Boot greift einen Flugzeugtr�ger mit 8 Torpedos an.
> Diese treffen den Flugzeugtr�ger unabh�ngig voneinander
> mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende
> Projektil, trifft auf gut Gl�ck eine von 8 Kammern die
> durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche
> Kammern getroffen sinkt der Flugzeugtr�ger. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den
> Flugzeugtr�ger.
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Torpedo den Flugzeugtr�ger
trifft: (2/5)^8 = 0,00065536.
Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Torpedo die letzten
sieben Kammern verfehlt: [(3/5)(1/8) + 2/5]^8 = (19/40)^8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass den ersten Kammer, und nur den
ersten, getroffen wird: (19/40)^8 - (2/5)^8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einen Kammer getroffen
wird: 8 * [(19/40)^8 - (2/5)^8] ~= 0,015489008477783203125.
Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Torpedo die letzten sechs
Kammern verfehlt: [(3/5)(1/4) + (2/5)]^8 = (11/20)^8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei Kammern, und
nur die ersten zwei, getroffen werden:
(11/20)^8 - 2 * (19/40)^8 + (2/5)^8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kammern getroffen
werden: 28 * [(11/20)^8 - 2 * (19/40)^8 + (2/5)^8] ~=
0,107681886749267578125. (28 = C(8, 2).)
Den Flugzeugtr�ger wird mit einer Wahrscheinlichkeit von
ungef�hr 1 - (0,10768189 + 0,01548901 + 0,00065536) =
0,87617374.
[...]
Brian
Stephan Gerlach
> die vom Lehrer angebotene Lösung überzeugt mich nicht
Mich auch nicht so richtig :-) .
> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
> den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
> Kammern die durch Schotten getrennt sind.
Aber nur, wenn das Projektil überhaupt trifft?! Denn der Beschreibung
nach zu urteilen trifft ein Projektil mit Wahrscheinlichkeit von 0.4 gar
nicht.
> Sind 3 unterschiedliche Kammern
> getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
>
> Nun folgende Lösungsidee:
>
> Erstes Ereignis:
> X ... Einschlagen eines Torpedos im Flugzeugträger (binomial verteilt)
Soll wohl heißen
X = [*Anzahl* der Torpedos, die den Flugzeugträger treffen].
Und diese Anzahl kann dann zwischen 0 und 8 alles sein:
> X = 0,1,..., 8
> P(X>=3) = 1 - P( X<= 2)
Das ist zwar gut und schön; aber mir scheint, als nütze diese
Wahrscheinlichkeit P(X>=3) für die Berechnung des eigentlichen
Ergebnisses relativ wenig.
Es kann sein, daß man stattdessen die Ereignisse X=3, X=4, ..., X=8 wohl
oder übel separat betrachten muß; siehe unten meine Ausführungen dazu.
> Daraus ergibt sich:
> 3
> =====
> \ / 8 \ k 8 - k
> P(X >=3) = 1 - > | | 0.6 (1 - 0.6)
> / \ k /
> =====
> k = 0
> P(X >=3) = 95%
Was natürlich noch lange nicht die Wahrscheinlichkeit für
"3 unterschiedliche(!) Kammern getroffen"
ist. Denn "X >= 3" schließt auch z.B. den Fall mit ein, daß 8 Torpedos
allesamt die gleiche Kammer treffen.
> Nun das zweite damit verknüpfte Ereignis, das eigentliche Problem. Ein
> Torpedo trifft sicher eine leere Kammer.
Unter der Bedingung, daß überhaupt irgendeiner trifft, ja.
Wenn man die einzelnen Torpedos als Einzelversuche betrachtet, dann
trifft der erste, der überhaupt trifft, eine der Kammern K1, ..., K8.
> Y ... Torpedos die weitere Kammern treffen.
Ist das irgendwie zu verstehen unter der Bedingung, daß schon einer (ein
'ausgewählter' Torpedo) getroffen hat?!
> Y = 0,1, .. , 7
>
> Nun trafen wir die Annahme das auch dieses Ereignis binomial verteilt ist.
Ein *Ereignis* ist überhaupt nicht binomial-verteilt. *Zufallsvariablen*
können binomialverteilt sein.
Y = [Anzahl der Torpedos, die weitere Kammern treffen unter der
Bedingung, daß bereits ein Torpedo (eine bestimmte Kammer?) getroffen hat]?
Abgesehen davon, daß (nur ich?) nicht ganz sicher bin, was *genau* mit Y
gemeint ist, müßte man sich fragen, ob die Annahme, daß Y
binomialverteilt sein soll, richtig ist.
> P(Y >= 2) = 1 - P( Y <= 1) -> Anforderung zum versenken des
> Flugzeugträger.
Das krankt nun ebenfalls daran, daß (mir?) nicht ganz klar ist, was Y
sein soll. Natürlich folgt aus "Flugzeugträger versenkt", daß mindestens
3 verschiedene Kammern getroffen werden sollen. Ich versuch's mal
anders; seien X und Z wie folgendermaßen erklärt:
X = [Anzahl der Torpedos, die den Flugzeugträger überhaupt treffen]
Z = [Anzahl der Kammern, die getroffen werden]
X kann also zwischen 0 und 8 alles sein; Z (vor allem irgendwelche
Wahrscheinlichkeiten, die Z betreffen) hängt in gewisser Weise davon ab,
wie groß X ist.
Logisch exakt bedeutet das fragliche Ereignis "Flugzeugträger versenkt"
nach meinem Verständnis:
"Flugzeugträger versenkt"
= (X>=3) UND (Z>=3)
= (X>=3) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]
= {(X=3) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]}
ODER {(X=4) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]}
ODER {(X=5) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]}
ODER {(X=6) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]}
ODER {(X=7) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]}
ODER {(X=8) UND NICHT[(Z=1) ODER (Z=2)]}
Damit wurde das Ereignis "Flugzeugträger versenkt" zerlegt in disjunkte
Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit berechenbar ist.
Wir müssen im Prinzip für k = 3, ..., 8 folgende Wahrscheinlichkeiten
berechnen und aufaddieren:
P(X=k) * P[NICHT(Z=1 oder Z=2) | X=k]
= P(X=k) * [1 - P(Z=1 oder Z=2 | X=k)]. (1)
Was ist hierbei P(X=k)? Da X binomialverteilt ist mit Parametern n=8 und
p=0.6, gilt
P(X=k) = (8 über k)*0.6^k*0.4^(8-k). (2)
Das war noch einfach.
Nun aber: Was ist P(Z=1 oder Z=2 | X=k)? Das ist (in Worten) die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter der Bedingung(!) von k treffenden
Torpedos diese k Torpedos in 1 oder 2 Kammern landen. Diese
Wahrscheinlichkeit läßt sich aber kombinatorisch bestimmen, nach der
Formel [günstige_Fälle]/[mögliche_Fälle], da jede mögliche Verteilung
der k Torpedos auf die 8 Kammern gleichwahrscheinlich ist.
Insgesamt gibt es dabei 8^k 'mögliche' Verteilungen der k Torpedos auf 8
Kammern.
Weiter gibt es genau 8 'günstige' Verteilungen der k Torpedos, bei denen
die k Torpedos sich auf genau 1 Kammer verteilen. (#)
Fehlen noch diejenigen 'günstigen' Verteilungen, bei denen sich die k
Torpedos auf genau 2 Kammern verteilen: Zunächst gibt es (8 über 2)
Möglichkeiten, *welche* 2 der 8 Kammern die k Torpedos treffen. Seien
dies K1 und K2. Dann gibt es weiter 2^k Möglichkeiten, *wie* sich die k
Torpedos auf K1 und K2 Kammern aufteilen; dabei muß man aber wieder die
beiden Möglichkeiten abziehen, daß alle 8 Torpedos entweder nur in K1
oder nur in K2 sind. Denn diese Möglichkeiten wurden schon gezählt,
siehe oben (#). Also mal P(Z=1 oder Z=2 | X=k) zusammengefaßt:
P(Z=1 oder Z=2 | X=k) = [günstige_Fälle]/[mögliche_Fälle]
= [8 + (8 über 2)*(2^k-2)]/8^k. (3)
Nun setzen wir Formel (3) und (2) in (1) ein:
P(X=k) * P[NICHT(Z=1 oder Z=2) | X=k]
= (8 über k)*0.6^k*0.4^(8-k) * [1 - [8 + (8 über 2)*(2^k-2)]/8^k].
Das ganze wie gesagt von k = 3 bis 8 aufsummieren, und es sollte genau
die gesuchte Wahrscheinlichkeit rauskommen (wenn ich nix übersehen habe...).
Falls ich das alles richtig in meinen Taschenrechner eingetippt habe,
kommt raus
P("Flugzeugträger versenkt")
= Summe_{k=3 bis 8} P(X=k) * P[NICHT(Z=1 oder Z=2) | X=k]
= 0,8761737448.
> Wahrscheinlichkeit für eine Kammer p = 1/8.
Genauer: Das ist die Wahrscheinlichkeit für
"ein bestimmter Torpedo, von dem bekannt ist, daß er überhaupt trifft,
trifft eine bestimmte der 8 Kammern".
> 1
> ===== k 7 - k
> \ / 7 \ /1\ / 1\
> P(X >= 2) = 1 - > | | |-| |1 - -|
> / \ k / \8/ \ 8/
> =====
> k = 0
> P(X >= 2) = 21.46%
Warum jetzt wieder auf einmal X?
Hier wurde davon ausgegangen, daß man das Abfeuern von 7 bestimmten
Tornados als Bernoulli-Kette betrachtet; P(X>=2) beschreibt dann die
Wahrscheinlichkeit für
"Unter 7 abgefeuerten Tornados, von denen bekannt ist, daß sie das Ziel
treffen, sind höchstens 2, die eine bestimmte Kammer treffen".
Mir ist nicht klar, wie dieser Wert zur Berechnung von
P("Flugzeugträger versenkt")
beitragen soll.
> Nun kann mit der Bayes Formel weiter argumentiert werden.
>
> P(Y >= 2 | X >=3) = P(X >=3 | Y >= 2) * P(Y >= 2) / P( X >= 3)
>
> -.- = P(Y >= 2) / P( x >= 3)
>
> Daraus ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit für das Versinken des Schiffs
> von
> 22.59%
Da wurde "irgendwas" ausgerechnet, was aber mit der eigentlichen Frage
IMO nicht viel zu tun hat. Außerdem ist wie erwähnt unklar, was genau Y
sein soll.
Der Wert erscheint mir überdies viel zu niedrig.
> Mir ist die ganze Argumentation vorallem für das zweite Ereignis nicht
> ganz geheuer.
So richtig klar ist mir auch nicht, was da eigentlich gerechnet wurde.
Soll nun etwa
P(Y >= 2 | X >=3) = P("Flugzeugträger versenkt")
gelten?
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Roland Damm
Samuel Gyger wrote:
> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
> den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
> Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche Kammern
> getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
Bin wahrlich kein Experte, aber geht die Rechnung vielleicht so:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die 1. Kammer vom 1. Torpedo nicht getroffen
wird, ist 1-0.6/8 (60% Trefferwahrscheinlichkeit, verteilt auf 8 Kammern). =
92.5%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die anderen 7 Torpedos diese Kammer
verfahren liegt bei 92.5%^8=0.53596...
Selbiges gilt für die anderen Kammern (?), also auch für die 2., 3....
Die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. ebenso nicht getroffen wird, liegt also
bei ebenso, die Wahrscheinlichkeit, dass beide nicht getroffen werden also
bei 0.535...^2=0.287, die Wahrscheinlichkeit, dass die Kammern 1-6 nicht
getroffen werden also bei 0.53...^6=0.0237.
Nun überlebt das Schiff aber nicht nur, wenn genau die Kammern 1-6 nicht
getroffen wurden, sondern bei jeder Kombination, bei der 6 beliebige Kammern
nicht getroffen wurden. Es gibt 24 solche Kombinationen. Jede lässt das
Schiff überleben, es geht also nur unter, wenn die eine _nicht_ eintritt
_und_ die andere auch nicht und... ->
Wahrscheinlichkeit zum Überleben = 1- (1-0.0237)^24 = 0.4377
Dazu kommt jetzt allerdings noch die Wahrscheinlichkeit zu überleben, wenn
nur eine oder keine Kammer getroffen wurde, denn bis jetzt wurde nur von
Fällen ausgegangen, in denen 6 Kammern heile bleiben. Der Wert dürfte sich
also noch (etwas?) vergrößern; Der Fall das kein Torpedo trifft ist
jedenfalls quasi vernachlässigbar, der Fall dass 7 Kammern heile bleiben
macht IMO auch nur 1% aus.
An die Experten: Stecken in diesem Ansatz richtige Gedanken drin? :-)
CU Rollo
Samuel Gyger
> Den Flugzeugträger wird mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 1 -
> (0,10768189 + 0,01548901 + 0,00065536) = 0,87617374.
Danke für den Lösungsansatz, ich werde deine Lösung allerdings erst
Nacharbeiten müssen bevor ich hier genauer darauf eingehen kann.
Am Sat, 07 Nov 2009 00:59:12 +0100 schrieb Stephan Gerlach:
> Soll wohl heißen
> X = [*Anzahl* der Torpedos, die den Flugzeugträger treffen].
>
Korrekt, das war die Annahme. Formulierung war mein Fehler.
> Was natürlich noch lange nicht die Wahrscheinlichkeit für "3
> unterschiedliche(!) Kammern getroffen" ist. Denn "X >= 3" schließt auch
> z.B. den Fall mit ein, daß 8 Torpedos allesamt die gleiche Kammer
> treffen.
>
Dieses Ereignis sollte nur Ausdrücken ob ein Torpedo einschlägt oder
nicht. Deshalb das zweite Ereignis dazu.
>> Y ... Torpedos die weitere Kammern treffen.
>
> Ist das irgendwie zu verstehen unter der Bedingung, daß schon einer (ein
> 'ausgewählter' Torpedo) getroffen hat?!
> [..]
> Y = [Anzahl der Torpedos, die weitere Kammern treffen unter der
> Bedingung, daß bereits ein Torpedo (eine bestimmte Kammer?) getroffen
> hat]?
Das ist die richtige Definition für das Ereignis.
> Ein *Ereignis* ist überhaupt nicht binomial-verteilt. *Zufallsvariablen*
> können binomialverteilt sein.
Mein Fehler.
> Abgesehen davon, daß (nur ich?) nicht ganz sicher bin, was *genau* mit Y
> gemeint ist, müßte man sich fragen, ob die Annahme, daß Y
> binomialverteilt sein soll, richtig ist.
Dieser Punkt machte mich im Unterricht stutzig.
>
>> P(Y >= 2) = 1 - P( Y <= 1) -> Anforderung zum versenken des
>> Flugzeugträger.
>
> Das krankt nun ebenfalls daran, daß (mir?) nicht ganz klar ist, was Y
> sein soll. Natürlich folgt aus "Flugzeugträger versenkt", daß mindestens
> 3 verschiedene Kammern getroffen werden sollen.
Das war die Annahme das wenn genügend Torpedos einschlagen und eine
Kammer bereits getroffen war noch mind. zwei weitere Kammern getroffen
werden müssen. Und diese Wahrscheinlichkeit sollte hier berechnet werden.
> Warum jetzt wieder auf einmal X?
Wieder ein Fehler von mir, sollte Y meinen.
Die Berechnung geht von der Voraussetzung aus das 3 Torpedos das Schiff
fix treffen. 1. trifft bereits eine leere Kammer und nun die
Wahrscheinlichkeit das 2 weitere eine Kammer treffen. Da der Einschlag
zufällig verteilt sein sollte. Dachten wir man könnte dies auch so
rechnen. Stutzig machte wiederum das die zweite Berechnung unabhängig von
dein eingeschlagenen Torpedos sein sollte.
>> Nun kann mit der Bayes Formel weiter argumentiert werden.
> >
>> P(Y >= 2 | X >=3) = P(X >=3 | Y >= 2) * P(Y >= 2) / P( X >= 3)
>>
>> -.- = P(Y >= 2) / P( x >= 3)
>>
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit das noch zwei weitere Kammern geflutet
werden mit der Voraussetzung das mind. 3 Torpedos einschlagen. Der erste
Ausdruck muss war sein da mind. 3 Torpedos getroffen haben müssen wenn 2
+1 Kammer geflutet sind. Dadurch reduziert sich die Berechnung auf die
Wahrscheinlichkeit das 2 + 1 Kammer geflutet sind durch die
Wahrscheinlichkeit das 3 Torpedos das Schiff treffen.
Diese Idee müsste ja eigentlich richtig sein wenn man P(Y >= 2) richtig
ausrechnen würde, oder?
> Der Wert erscheint mir überdies viel zu niedrig.
Ist er laut des statistischen Versuchs auch.
> So richtig klar ist mir auch nicht, was da eigentlich gerechnet wurde.
> Soll nun etwa
> P(Y >= 2 | X >=3) = P("Flugzeugträger versenkt") gelten?
Ja, wie bereits oben erläutert, leider sind meine Definition der
Ereignisse nicht so genau gewesen, sry wegen der Umstände.
Danke auch dir für deinen Lösungsansatz, werde die beiden Lösungen aber
erst erarbeiten müssen. Werde mein Endresultat dann noch einmal schreiben.
Samuel Gyger
Alfred Heiligenbrunner
>
> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
> den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
> Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche Kammern
> getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
>
Sei n die Anzahl der schon getroffenen Tanks. Am Anfang ist n = 0.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Schuss n um 1 zu erhöhen, ist
0.6 * (8-n) / 8.
Mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1 - 0.6 * (8-n) / 8) bleibt n, wie es ist.
Ich würde daraus eine Markoff-Kette mit den Zuständen n=0, n=1, ... n=8
machen und nachsehen, wo ich nach 8 Schüssen bin. (Geht relativ einfach
mit Multiplikation der Übergangsmatrix.)
Ich erhalte das selbe Ergebnis wie du und Brian: Das Schiff sinkt mit
Wahrscheinlichkeit
358880765859/409600000000 = 0.87617...
Alfred Heiligenbrunner
> Samuel Gyger schrieb am 06.11.2009 18:17:
>>
>> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese
>> treffen den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer
>> Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut
>> Glück eine von 8 Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3
>> unterschiedliche Kammern getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit
>> welcher Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
>>
> Ich würde es ja so lösen.
> Sei n die Anzahl der schon getroffenen Tanks. Am Anfang ist n = 0.
> Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Schuss n um 1 zu erhöhen, ist
> 0.6 * (8-n) / 8.
> Mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1 - 0.6 * (8-n) / 8) bleibt n, wie es ist.
>
> Ich würde daraus eine Markoff-Kette mit den Zuständen n=0, n=1, ... n=8
> machen und nachsehen, wo ich nach 8 Schüssen bin. (Geht relativ einfach
> mit Multiplikation der Übergangsmatrix.)
Upps...
Es genügt, die Zustände n=0, n=1, n=2 und n>=3 zu betrachten. (Der
letztere Zustand geht mit Wahrscheinlichkeit 1 in sich selbst über.)
4 Zustände anstatt 9, das macht die Matrix noch handlicher.
Vogel
> Hallo, in unserem Mathematik Unterricht sind wir über folgendes
> Beispiel gekommen. Die Berechnung des Beispiels hat einige Probleme
> hervorgerufen, die vom Lehrer angebotene Lösung überzeugt mich nicht
>
Mich auch nicht. Ein Lehrer sollte f�r alles was er tut eine logische
Begr�ndung liefern k�nnen, ansonsten ist es hirnloeses Denken.
>
> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese
> treffen den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut
> Glück eine von 8 Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3
> unterschiedliche Kammern getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit
> welcher Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
>
Ob alle 8 Torpedos auf einmal oder nacheinander abgeschossen werden ist
irelevant. Das heisst wir haben einen Versuch der unter den gleichen
Bedingungen 8 mal wiederholt wird, die nat�rlich alle gleichzeitig
stattfinden k�nnen.
>
Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
pk8 = p^k*q^(8-k)*C38
>
Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
p(k) = Ck8/2^8
>
Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
pk = pk8*p(k)
>
Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
>
p = p3+p4+...+p8
>
So einfach kann Mathematik sein ;-)
>
--
Selber denken macht klug.
Vogel
130.133.1.18:
Korrektur:
>>
> Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
> pk8 = p^k*q^(8-k)*Ck8
Jutta Gut
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb
> Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
> pk8 = p^k*q^(8-k)*C38
>>
> Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
> p(k) = Ck8/2^8
>>
> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
> pk = pk8*p(k)
>>
> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
>>
> p = p3+p4+...+p8
>>
> So einfach kann Mathematik sein ;-)
Ja, aber war ist mit den F�llen, dass das Schiff z.B. 5mal getroffen wird,
aber nur 3 verschiedene Kammern? Die hast du in deiner Rechnung nicht
ber�cksichtigt.
Gr��e
Jutta
Bastian Erdnüß
> Samuel Gyger <gyger...@gmail.com> wrote in
> news:hd1lo3$ted$1...@news.eternal-september.org:
>
>> Beispiel gekommen. Die Berechnung des Beispiels hat einige Probleme
>>
> Mich auch nicht. Ein Lehrer sollte f?r alles was er tut eine logische
> Begr?ndung liefern k?nnen, ansonsten ist es hirnloeses Denken.
>>
>> Ein U-Boot greift einen Flugzeugtr??ger mit 8 Torpedos an. Diese
>> treffen den Flugzeugtr??ger unabh??ngig voneinander mit einer
>> Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut
>> unterschiedliche Kammern getroffen sinkt der Flugzeugtr??ger. Mit
>> welcher Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den Flugzeugtr??ger.
>>
> Ob alle 8 Torpedos auf einmal oder nacheinander abgeschossen werden ist
> irelevant. Das heisst wir haben einen Versuch der unter den gleichen
> stattfinden k?nnen.
>>
> Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
>>
> Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
> p(k) = Ck8/2^8
Und was ist die logische Begründung für den letzten Schritt?
> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
> pk = pk8*p(k)
>>
> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
>>
> p = p3+p4+...+p8
Dann ist p > 2 ?
> So einfach kann Mathematik sein ;-)
"Herr Lehrer, Herr Lehrer, ich kann ganz schnell rechnen!
- So? Na, dann, was ist 5 Mal 3?
9!
- Ja, aber das ist ja falsch!
Ja, aber ganz schnell!"
[SCNR] Bastian
PS: Du könntest mal dein Character-Encoding deklarieren, damit die
Umlaute und so richtig ankommen. Schreib z. B.
CustomHeadersCount=3
CustomHeader1=Mime-Version: 1.0
CustomHeader2=Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1
CustomHeader3=Content-Transfer-Encoding: 8bit
in den Abschnitt [Compose] deiner xnews.ini wenn du iso-8859-1 benutzt,
oder pass es entsprechend an.
Stephan Gerlach
> Am Sat, 07 Nov 2009 00:59:12 +0100 schrieb Stephan Gerlach:
>
>> Soll wohl heißen
>> X = [*Anzahl* der Torpedos, die den Flugzeugträger treffen].
>>
> Korrekt, das war die Annahme. Formulierung war mein Fehler.
>
>> Was natürlich noch lange nicht die Wahrscheinlichkeit für "3
>> unterschiedliche(!) Kammern getroffen" ist. Denn "X >= 3" schließt auch
>> z.B. den Fall mit ein, daß 8 Torpedos allesamt die gleiche Kammer
>> treffen.
>>
> Dieses Ereignis sollte nur Ausdrücken ob ein Torpedo einschlägt oder
> nicht. Deshalb das zweite Ereignis dazu.
>
>>> Y ... Torpedos die weitere Kammern treffen.
>> Ist das irgendwie zu verstehen unter der Bedingung, daß schon einer (ein
>> 'ausgewählter' Torpedo) getroffen hat?!
>> [..]
>> Y = [Anzahl der Torpedos, die weitere Kammern treffen unter der
>> Bedingung, daß bereits ein Torpedo (eine bestimmte Kammer?) getroffen
>> hat]?
>
> Das ist die richtige Definition für das Ereignis.
Nur um sicher zu gehen: Ist Y wirklich eine Anzahl der *Torpedos*, oder
eine Anzahl von *Kammern*?
Falls ersteres:
Was ist Y hier
0 0 0 0 0 K1 K2 K2,
Y = 1, oder Y = 2?
Wenn man davon ausgeht, daß der 6. Torpedo getroffen hat (nämlich Kammer
K1), dann gibt es 2 Torpedos, die "weitere Kammern", also eine andere
Kammer als der 6. Torpedo, getroffen haben. Demnach wäre Y = 2. Wenn man
aber davon ausgeht, daß der 7. Torpedo getroffen hat (nämlich Kammer
K2), dann gibt es nur 1 Torpedo (nämlich den 6.), der "weitere Kammern"
als der 7. getroffen hat; demnach wäre Y = 1.
Da also Y in diesem Beispiel nicht wohldefiniert wäre, vermute ich, daß
Y vielleicht eine Anzahl von Kammern (und nicht Torpedos) sein sollte?!
Dann bräuchte man allerdings nicht (umständlich) definieren
Y = Anzahl 'weitere' getroffene Kammern,
sondern könnte gleich direkt mit
Z = Anzahl getroffene Kammern
rechnen, wie ich es in meiner Herleitung AFAIR schon getan habe. Mit
dieser Interpretation gälte übrigens Y = Z+1.
>> Abgesehen davon, daß (nur ich?) nicht ganz sicher bin, was *genau* mit Y
>> gemeint ist, müßte man sich fragen, ob die Annahme, daß Y
>> binomialverteilt sein soll, richtig ist.
>
> Dieser Punkt machte mich im Unterricht stutzig.
Bevor nicht eindeutig geklärt ist, was denn nun Y sein soll - v.a. vor
dem Hintergrund des obigen Beispiel-Versuchs-Ergebnisses
0 0 0 0 0 K1 K2 K2
(ist Y hier 1 oder 2?), bleibt die Antwort auf diese Frage weiter offen.
>>> P(Y >= 2) = 1 - P( Y <= 1) -> Anforderung zum versenken des
>>> Flugzeugträger.
>> Das krankt nun ebenfalls daran, daß (mir?) nicht ganz klar ist, was Y
>> sein soll. Natürlich folgt aus "Flugzeugträger versenkt", daß mindestens
>> 3 verschiedene Kammern getroffen werden sollen.
> Das war die Annahme das wenn genügend Torpedos einschlagen und eine
> Kammer bereits getroffen war noch mind. zwei weitere Kammern getroffen
> werden müssen. Und diese Wahrscheinlichkeit sollte hier berechnet werden.
Ist sie wohl nicht, wenn ich mir noch mal in deinem ersten Posting
angucke, was bei P(Y >= 2) berechnet wurde. Dort wurde die
Wahrscheinlichkeit berechnet für folgendes Ereignis:
"Unter 7 Torpedos, von denen man weiß(!), daß sie das U-Boot überhaupt
treffen, sind mindestens 2, die Kammer K4 treffen".
(Genausogut könnte ich dabei statt K4 irgendeine andere Kammer nehmen.)
Das scheint mir irgendwie was ganz anderes als das zu sein, was (der
Lehrer?) eigentlich berechnen wollte. Und bringt natürlich für die
Beantwortung der eigentlichen Fragestellung eher wenig...
>> Warum jetzt wieder auf einmal X?
>
> Wieder ein Fehler von mir, sollte Y meinen.
> Die Berechnung geht von der Voraussetzung aus das 3 Torpedos das Schiff
> fix treffen.
Das größere Problem sehe ich wie erwähnt darin, daß die Berechung von
P(X >= 2) davon ausgeht, daß 7 Torpedos treffen. Stichwort
Bernoulli-Kette der Länge 7; die 7 Einzel-Versuche sind hier 7
treffende(!) Torpedos.
> Stutzig machte wiederum das die zweite Berechnung unabhängig von
> dein eingeschlagenen Torpedos sein sollte.
Zu recht.
>>> Nun kann mit der Bayes Formel weiter argumentiert werden.
>> >
>>> P(Y >= 2 | X >=3) = P(X >=3 | Y >= 2) * P(Y >= 2) / P( X >= 3)
>>>
>>> -.- = P(Y >= 2) / P( x >= 3)
>>>
> In Worten: Die Wahrscheinlichkeit das noch zwei weitere Kammern geflutet
> werden mit der Voraussetzung das mind. 3 Torpedos einschlagen.
Ihr wolltet aber das Ereignis
"mindestens 3 Kammern werden geflutet".
Das ist äquivalent zu
"mindestens 3 Torpedos treffen das U-Boot UND mindestens 3 Kammern
werden geflutet".
Und ist was anderes als das, was du gerade in Worten beschrieben hast.
(Davon abgesehen, daß ihr wie erwähnt mit P(Y >= 2) was anderes
berechnet habt als 'geplant'.)
> Der erste
> Ausdruck muss war sein
Welcher Ausdruck muß wahr sein?
> da mind. 3 Torpedos getroffen haben müssen wenn 2
> +1 Kammer geflutet sind.
Logisch, aus
"3 Kammern geflutet", bzw. Z=3, mit Z definiert wie in meiner Lösung,
folgt zwingend
"mindestens 3 Torpedos haben das U-Boot getroffen"
bzw. X>=3.
> Dadurch reduziert sich die Berechnung auf die
> Wahrscheinlichkeit das 2 + 1 Kammer geflutet sind durch die
> Wahrscheinlichkeit das 3 Torpedos das Schiff treffen.
>
> Diese Idee müsste ja eigentlich richtig sein wenn man P(Y >= 2) richtig
> ausrechnen würde, oder?
Du meinst,
P(Y >= 2 | X >=3)
ergibt die Wahrscheinlichkeit für
"mindestens 3 Torpedos treffen das U-Boot UND 3 Kammern werden geflutet"
bzw.
(X >= 3) UND (Z >= 3)?
> Danke auch dir für deinen Lösungsansatz, werde die beiden Lösungen aber
> erst erarbeiten müssen.
Naja, ich habe versucht, meine Lösung einigermaßen didaktisch sinnvoll
zu erklären ;-) .
Stephan Gerlach
> Alfred Heiligenbrunner schrieb am 07.11.2009 17:08:
>
>> Ich würde es ja so lösen.
>> Sei n die Anzahl der schon getroffenen Tanks. Am Anfang ist n = 0.
>> Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Schuss n um 1 zu erhöhen, ist
>> 0.6 * (8-n) / 8.
>> Mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1 - 0.6 * (8-n) / 8) bleibt n, wie es
>> ist.
>>
>> Ich würde daraus eine Markoff-Kette mit den Zuständen n=0, n=1, ...
>> n=8 machen und nachsehen, wo ich nach 8 Schüssen bin. (Geht relativ
>> einfach mit Multiplikation der Übergangsmatrix.)
Auf diese elegante Lösung hätte ich auch drauf kommen sollen, v.a. vor
dem Hintergrund des Fadens "Wahrscheinlichkeitsfrage zu einem fiktiven
Spiel"... :-)
> Upps...
> Es genügt, die Zustände n=0, n=1, n=2 und n>=3 zu betrachten. (Der
> letztere Zustand geht mit Wahrscheinlichkeit 1 in sich selbst über.)
> 4 Zustände anstatt 9, das macht die Matrix noch handlicher.
Der Vollständigkeit halber, die Übergangsmatrix A ist
/ 2/5 3/5 0 0 \
A = | 0 19/40 21/40 0 |
| 0 0 11/20 9/20 |
\ 0 0 0 1 /
Nun berechne man A^8; das Element p_{0,3} in der rechten oberen Ecke von
A^8 beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang vom Zustand n=0
in den Zustand n>=3.
Alfred Heiligenbrunner
Ja, genau!
Folgendes ist mir dazu noch eingefallen.
Falls man A^8 mit der Hand ausrechnen muss, wirkt sich vorteilhaft aus,
dass 8 eine Zweierpotenz ist. Man kann A^8 = ((A^2)^2)^2 also durch
dreimaliges Quadrieren berechnen. (Oder: A2 = A.A; A4 = A2.A2; A8 = A4.A4.)
Dabei braucht man bei der letzten Matrizenmultiplikation gar nicht alle
Elemente berechnen, weil einen ja nur das Element in der ersten Zeile,
letzten Spalte interessiert. (Das Element A8(1,4) bzw. p_{0,3}, je nach
Nomenklatur.)
Dazu müssen in der vorletzten Matrix A4 nur die Elemente in der ersten
Zeile und die in der letzten Spalte bekannt sein (7 Elemente).
Lediglich von A2 müssen alle 16 Elemente berechnet werden.
Insofern scheint mir die Zahl 8 (Schüsse) vom Beispielgeber durchaus mit
Bedacht gewählt zu sein. Sie ermöglicht eine noch halbwegs akzeptable
Berechnung per Hand (was früher wohl häufig nötig war), ohne das
Beispiel gleich _zu_ einfach werden zu lassen.
Aber, wie Brian gezeigt hat, schafft man es mit mehr Denkarbeit auch mit
bedeutend weniger Rechenaufwand.
Bastian Erdnüß
> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
> den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
> Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche Kammern
> getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
Ich möchte mal kurz auf eine Zusammenhang zum Sammelbildchen-Problem
hinweisen, das hier erst neulich (vor ein oder zwei Jahren?)
ausführlicher besprochen wurde (ich finds grad nur nicht).
Die Frage nach der Anzahl K der zerstörten Kammern wenn die Anzahl N der
getroffenen Torpedos bekannt ist entspricht nun gerade dem
Sammelbildchen-Problem. Das wird (für mich) klar, wenn man sich den
stochastischen Prozess anguckt, der die Anzahl der Zerstörten Kammern
angibt:
(0) -8/8-> (1) -7/8-> (2) -6/8-> (3) -> ... -> (7) -1/8-> (8)
und man sich dann überlegt, wo man nach N Schritten landet.
Aus dem, was damals gemacht wurde, findet man dann schnell
P(K=k|N=n) = (k aus 8) sum[m=0..k] (-1)^m (m aus k) [(k-m)/8]^n
und mit dem Satz der tot. W'kt lässt sich einfach der Rest berechnen.
Allerdings finde ich es hier eleganter über die verfehlten Kammern zu
gehen und so bei der Trefferwahrscheinlichkeit die Möglichkeit das
Schiff zu verfehlen gleich mitzuberücksichtigen -- so wie es Brian
gemacht hat. Mit der Siebformel kommt man dann direkt zu
P(K=n) = (n aus 8) sum[k=0..n] (-1)^k (k aus n) (2/5+3/5*(n-k)/8)^8 .
Hierbei bezieht sich übrigens nur die letzte 8 im Exponenten auf die
Anzahl der Torpedos. Alle anderen 8er beziehen sich auf die Anzahl der
Kammern.
Bastian
Vogel
news:ba57d$4af7bfbe$d52f93dc$75...@news.chello.at:
>
> "Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb
>
>> Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
>> pk8 = p^k*q^(8-k)*Ck8
>>>
>> Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
>> p(k) = Ck8/2^8
(*)
>>>
>> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
>> pk = pk8*p(k)
>>>
>> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
>> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
>>>
>> p = p3+p4+...+p8
>>>
>> So einfach kann Mathematik sein ;-)
>
> Ja, aber war ist mit den F�llen, dass das Schiff z.B. 5mal getroffen
> wird, aber nur 3 verschiedene Kammern? Die hast du in deiner Rechnung
> nicht ber�cksichtigt.
>
Ja korrekt, das hatte ich �bersehen.
Man muss bei den einzelnen k nochmals von 1 bis k summieren. Da (*)
Aber zumindest geht aus meinem Posting schon mal die Logik hervor nach
der zu verfahren ist.
Wenn ich jedoch leses dass ein Lehrer sagt " wir nehmen eine BinV an",
dann ist das einer Lehranstalt nicht w�rdig.
Vogel
news:hd99pp$qh$1...@news2.rz.uni-karlsruhe.de:
> Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
>> Samuel Gyger <gyger...@gmail.com> wrote in
>> news:hd1lo3$ted$1...@news.eternal-september.org:
>>
>>> Hallo, in unserem Mathematik Unterricht sind wir ??ber folgendes
>>> Beispiel gekommen. Die Berechnung des Beispiels hat einige Probleme
>>> hervorgerufen, die vom Lehrer angebotene L??sung ??berzeugt mich
nicht
>>>
>> Mich auch nicht. Ein Lehrer sollte f?r alles was er tut eine logische
>> Begr?ndung liefern k?nnen, ansonsten ist es hirnloeses Denken.
>>>
>>> Ein U-Boot greift einen Flugzeugtr??ger mit 8 Torpedos an. Diese
>>> treffen den Flugzeugtr??ger unabh??ngig voneinander mit einer
>>> Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut
>>> Gl??ck eine von 8 Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3
>>> unterschiedliche Kammern getroffen sinkt der Flugzeugtr??ger. Mit
>>> welcher Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den Flugzeugtr??ger.
>>>
>> Ob alle 8 Torpedos auf einmal oder nacheinander abgeschossen werden
>> ist irelevant.
>> Das heisst wir haben einen Versuch der unter den gleichen
>> Bedingungen 8 mal wiederholt wird, die nat锟絩lich alle gleichzeitig
>> stattfinden k锟絥nen.
>>>
>> Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
>> pk8 = p^k*q^(8-k)*Ck8
>>>
>> Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
>> p(k) = Ck8/2^8
>
> Und was ist die logische Begr眉ndung f锟絩 den letzten Schritt?
>
Es gibt Ck8 verschiedene Kombinationen von 8 Kammern a je k.
Alle Kombinationen zusammen f锟絩 alle m锟絞lichen k ergeben 2^8.
Warscheinlichkeit = Anzahl g锟絥stiger Ereignisse/Anzahl aller m锟絞lichen
Ereignisse
>
>
>> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
>> pk = pk8*p(k)
>>>
>> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
>> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
>>>
>> p = p3+p4+...+p8
>
> Dann ist p > 2 ?
>
Wie kommst du da drauf?
>
>> So einfach kann Mathematik sein ;-)
>
> "Herr Lehrer, Herr Lehrer, ich kann ganz schnell rechnen!
> - So? Na, dann, was ist 5 Mal 3?
> 9!
> - Ja, aber das ist ja falsch!
> Ja, aber ganz schnell!"
>
Wie man sieht k锟絥nen einige noch nicht einmal das!
>
> [SCNR] Bastian
>
> PS: Du k枚nntest mal dein Character-Encoding deklarieren, damit die
> Umlaute und so richtig ankommen. Schreib z. B.
>
Sagt mir im Moment nichts, werde mich aber mal damit befassen.
Vielen Dank f锟絩 den Hinweis.
>
> CustomHeadersCount=3
> CustomHeader1=Mime-Version: 1.0
> CustomHeader2=Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1
> CustomHeader3=Content-Transfer-Encoding: 8bit
>
> in den Abschnitt [Compose] deiner xnews.ini wenn du iso-8859-1 benutzt,
> oder pass es entsprechend an.
--
Selber denken macht klug.
Vogel
news:hd99pp$qh$1...@news2.rz.uni-karlsruhe.de:
>
>> So einfach kann Mathematik sein ;-)
>
> "Herr Lehrer, Herr Lehrer, ich kann ganz schnell rechnen!
> - So? Na, dann, was ist 5 Mal 3?
> 9!
> - Ja, aber das ist ja falsch!
> Ja, aber ganz schnell!"
>
Nur mal so ein paar Gedanken abseits.
Wenn einer Butter auf'm Kopf hat sollte er nicht klugscheissern.
Das sollte er erst dann tun d�rfen, wenn er weiss was ein "stochastischer
Prozess" ist. Davor sollte er diese Worte nicht benutzen.
Vogel
>
> Ja, aber war ist mit den F�llen, dass das Schiff z.B. 5mal getroffen
> wird, aber nur 3 verschiedene Kammern? Die hast du in deiner Rechnung
> nicht ber�cksichtigt.
>
>
Ok, ich hab mir deinen Einwand nochmals genauer angeschaut.
Die Bedingung das Schiff zu versenken ist, MINDESTENS 3 Kammern zu
treffen.
Wird das Schiff also z.Bsp. 5 mal getroffen aber nur 3 verschiedene
Kammern, ist dies betreff der Zielsetzung kein anderes Ereignis als 5
Kammern zu treffen. Sind 5 Kammern getroffen so sind auch 3 getroffen.
Das Ziel ist auch damit erf�llt. Mehr will man nicht wissen.
Bastian Erdnüß
> eart...@web.de (Bastian =?UTF-8?Q?Erdn=C3=BC=C3=9F?=) wrote in
> news:hd99pp$qh$1...@news2.rz.uni-karlsruhe.de:
>
> > Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
> >> Samuel Gyger <gyger...@gmail.com> wrote in
> >>> treffen den Flugzeugtr??ger unabh??ngig voneinander mit einer
> >>> Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut
> >>> Gl??ck eine von 8 Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3
> >>> unterschiedliche Kammern getroffen sinkt der Flugzeugtr??ger. Mit
> >>> welcher Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den Flugzeugtr??ger.
> >>>
> >> Ob alle 8 Torpedos auf einmal oder nacheinander abgeschossen werden
> >> ist irelevant.
> >> Das heisst wir haben einen Versuch der unter den gleichen
> >> stattfinden k?nnen.
> >>>
> >> pk8 = p^k*q^(8-k)*Ck8
> >>>
> >> Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
> >> p(k) = Ck8/2^8
> >
> >
> Es gibt Ck8 verschiedene Kombinationen von 8 Kammern a je k.
> Warscheinlichkeit = Anzahl g?nstiger Ereignisse/Anzahl aller m?glichen
> Ereignisse
Du nimmst dabei dann aber (implizit) an, dass z. B. die Ausgänge "es
wurde genau eine bestimmte Kammer getroffen" und "es wurden genau zwei
bestimmte Kammern getroffen" gleichwahrscheinlich sind. Nach dem, was
Brian und Stephan gerechnet haben ist das aber nicht so.
> >> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
> >> pk = pk8*p(k)
> >>>
> >> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
> >> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
> >>>
> >> p = p3+p4+...+p8
> >
> > Dann ist p > 2 ?
> >
> Wie kommst du da drauf?
Gute Frage. Scheinbar hab ich den Ausdruck falsch in meinen
Taschenrechner eingegeben. Jetzt bekomm ich nur mehr was um die 0.2
raus.
Bastian
Vogel
Das nehme ich ja auch nicht an. Ich nehme genaugenommen gar nichts an.
Ich verwende nur die m�glichen Kombinationen. Kombinatorik zu verstehen
ist das Alphabet der Statistik.
Vielleicht versucht du nochmal zu verstehen was ich schrieb.
Jedenfalls ist es richtig was ich schrieb.
>
>> >> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen
>> >> ist: pk = pk8*p(k)
>> >>>
>> >> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
>> >> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern, zu treffen
>> >>>
>> >> p = p3+p4+...+p8
>> >
>> > Dann ist p > 2 ?
>> >
>> Wie kommst du da drauf?
>
> Gute Frage. Scheinbar hab ich den Ausdruck falsch in meinen
> Taschenrechner eingegeben. Jetzt bekomm ich nur mehr was um die 0.2
> raus.
>
Du wirst dich wundern, ich habe dazu gar keinen Rechner gebraucht,
sondern nur Logik. Soll jetzt kein Selbstlob sein, sondern zeigen dass
man Dinge rein analytisch richtig durchdenken kann.
Bastian Erdnüß
> >> Es gibt Ck8 verschiedene Kombinationen von 8 Kammern a je k.
> >> Alle Kombinationen zusammen f?r alle m?glichen k ergeben 2^8.
> >> Warscheinlichkeit = Anzahl g?nstiger Ereignisse/Anzahl aller
> >> m?glichen Ereignisse
> >
> > wurde genau eine bestimmte Kammer getroffen" und "es wurden genau zwei
> > bestimmte Kammern getroffen" gleichwahrscheinlich sind. Nach dem, was
> > Brian und Stephan gerechnet haben ist das aber nicht so.
> >
> Das nehme ich ja auch nicht an. Ich nehme genaugenommen gar nichts an.
> Vielleicht versucht du nochmal zu verstehen was ich schrieb.
> Jedenfalls ist es richtig was ich schrieb.
Ich hab nicht den Eindruck, dass dich mein Einwand groß interessiert.
Naja, du kannst dir noch mal angucken, wann man die Formel
W'kt = Günstige/Mögliche
anwenden kann (Stichwort: Laplace-Experiment) und was bei dir die
gleichwahrscheinlichen Ausgänge sein sollen. Oder du kannst es lassen.
Bastian
Stephan Gerlach
> Moin,
>
> Samuel Gyger wrote:
>
>> Ein U-Boot greift einen Flugzeugträger mit 8 Torpedos an. Diese treffen
>> den Flugzeugträger unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit
>> von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut Glück eine von 8
>> Kammern die durch Schotten getrennt sind. Sind 3 unterschiedliche Kammern
>> getroffen sinkt der Flugzeugträger. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
>> versenkt das U-Boot den Flugzeugträger.
>
> Bin wahrlich kein Experte, aber geht die Rechnung vielleicht so:
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass die 1. Kammer vom 1. Torpedo nicht getroffen
> wird, ist 1-0.6/8 (60% Trefferwahrscheinlichkeit, verteilt auf 8 Kammern). =
> 92.5%.
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die anderen 7 Torpedos diese Kammer
> verfahren liegt bei 92.5%^8=0.53596...
>
> Selbiges gilt für die anderen Kammern (?), also auch für die 2., 3....
Wenn man die *unbedingte* Wahrscheinlichkeit für (z.B.) Kammer 2 meint
P("Kammer 2 wird nicht getroffen"),
stimmt das. Allerdings sind die Ereignisse
"Kammer 1 wird getroffen" und "Kammer 2 wird getroffen"
stochastisch abhängig.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. ebenso nicht getroffen wird, liegt also
> bei ebenso, die Wahrscheinlichkeit, dass beide nicht getroffen werden also
> bei 0.535...^2=0.287,
Das würde gelten, wenn
"Kammer 1 wird getroffen" und "Kammer 2 wird getroffen"
stochastisch unabhängig wären. Nur dann könntest du die unbedingten
Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Ereignisse einfach multiplizieren,
also 0.535... * 0.535... rechnen.
> die Wahrscheinlichkeit, dass die Kammern 1-6 nicht
> getroffen werden also bei 0.53...^6=0.0237.
Genau diese Rechnung geht dann eben nicht.
> Nun überlebt das Schiff aber nicht nur, wenn genau die Kammern 1-6 nicht
> getroffen wurden, sondern bei jeder Kombination, bei der 6 beliebige Kammern
> nicht getroffen wurden. Es gibt 24 solche Kombinationen.
Unabhängig davon, daß diese Überlegung nun nicht funktionieren wird, s.o.:
Wie kommst auf 24? Du willst doch ausrechnen "wieviele Möglichkeiten
gibt es, aus 8 Kammern 6 auszuwählen, welche nicht getroffen werden",
oder? Das wären (8 über 6) = (8 über 2) = (8*7)/(1*2) = 28.
[weitere Gedanken gesnippt]
> An die Experten: Stecken in diesem Ansatz richtige Gedanken drin? :-)
Der Anfang war ja nicht schlecht ;-) .
BTW: Das richtige Ergebnis steht ja nun mehrfach im Faden nachlesbar.
Roland Damm
Stephan Gerlach wrote:
> [weitere Gedanken gesnippt]
>
>> An die Experten: Stecken in diesem Ansatz richtige Gedanken drin? :-)
>
> Der Anfang war ja nicht schlecht ;-) .
Besten Dank.
CU Rollo
Stephan Gerlach
> Samuel Gyger <gyger...@gmail.com> wrote:
>
>> Ein U-Boot greift einen FlugzeugtrÀger mit 8 Torpedos an. Diese
>> treffen den FlugzeugtrÀger unabhÀngig voneinander mit einer
>> Wahrscheinlichkeit von 0.6. Jedes treffende Projektil, trifft auf gut
>> unterschiedliche Kammern getroffen sinkt der FlugzeugtrÀger. Mit
>> welcher Wahrscheinlichkeit versenkt das U-Boot den FlugzeugtrÀger.
>>
> Ob alle 8 Torpedos auf einmal oder nacheinander abgeschossen werden ist
> irelevant. Das heisst wir haben einen Versuch der unter den gleichen
> stattfinden kï¿œnnen.
> Die Wsch. das Schiff k-mal zu treffen ist (BinV):
> pk8 = p^k*q^(8-k)*C38
Wenn p (in diesem Fall) 0.6 ist.
C38 sollte wohl irgendwie (8 ï¿œber k) sein?!
> Die Wsch. k verschiedene Kammern zu treffen ist:
> p(k) = Ck8/2^8
Auch falls Ck8 hierbei fï¿œr (8 ï¿œber k) stehen sollte:
Nein.
> Die Wsch. das Schiff k-mal UND k verschieden Kammern zu treffen ist:
> pk = pk8*p(k)
Soll p(k) die *bedingte* Wahrscheinlichkeit fï¿œr
"k verschiedene Kammern werden getroffen"
unter der Bedingung
"das Schiff wird k-mal getroffen"
sein?
> Die Wsch. das Schiff zu versenken ist:
> 3Kammern, ODER, 4Kammern, ODER...8Kammern,
Ja, du meinst hier vermutlich das Richtige.
> zu treffen
> p = p3+p4+...+p8
Das stimmt dann natï¿œrlich nicht mehr, da p3 *nicht* die
Wahrscheinlichkeit fï¿œr
"genau 3 Kammern werden getroffen"
ist. Du selbst(!) bist ja oben davon ausgegangen, daￜ p3 stattdessen die
Wahrscheinlichkeit fï¿œr
"das Schiff wird 3-mal getroffen UND genau 3 Kammern werden getroffen"
ist; das ist was anderes als
"genau 3 Kammern werden getroffen".
Stephan Gerlach
> eart...@web.de (Bastian =?UTF-8?Q?Erdn=C3=BC=C3=9F?=) wrote in
> news:hdbvun$o5s$1...@news2.rz.uni-karlsruhe.de:
>
>> Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
>>
>>> Es gibt Ck8 verschiedene Kombinationen von 8 Kammern a je k.
>>> Alle Kombinationen zusammen f?r alle m?glichen k ergeben 2^8.
>>> Warscheinlichkeit = Anzahl g?nstiger Ereignisse/Anzahl aller
>>> m?glichen Ereignisse
>> wurde genau eine bestimmte Kammer getroffen" und "es wurden genau zwei
>> bestimmte Kammern getroffen" gleichwahrscheinlich sind. Nach dem, was
>> Brian und Stephan gerechnet haben ist das aber nicht so.
>>
> Das nehme ich ja auch nicht an.
Dir ist es vielleicht nur nicht unmittelbar bewuￜt, daￜ in deiner
Argumentation implizit die Annahme der von Bastian erwï¿œhnten
Gleichwahrscheinlichkeit eingeht.
> Ich nehme genaugenommen gar nichts an.
> Ich verwende nur die mï¿œglichen Kombinationen.
Wenn man irgendwelche Wahrscheinlichkeiten kombinatorisch berechnen
will, also mit der Formel "gï¿œnstige/mï¿œgliche", dann geht man dabei davon
aus, daￜ alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind.
Ein hï¿œufiger(?) Fehler ist es, diese Formel zu benutzen in Fï¿œllen, wo
sie eigentlich gar nicht angebracht ist.
> Vielleicht versucht du nochmal zu verstehen was ich schrieb.
Ich glaube, das hat er. Oder wie hï¿œtte er sonst den kleinen Fehler in
deiner Argumentation entdecken sollen ;-) .
> Jedenfalls ist es richtig was ich schrieb.
Daￜ
p(k) = Ck8/2^8
die Wahrscheinlichkeit fï¿œr
"es werden genau k verschiedene Kammern getroffen"
wￜre, ist jedenfalls *nicht* richtig. Das liegt wie erwￜhnt daran, daￜ
von den 2^8 mï¿œglichen Elementarereignissen nicht alle
gleichwahrscheinlich sind. Bezeichnet + "getroffen" und - "daneben", so
sind z.B. die Elementarereignisse ("Trefferbilder")
+ + + + + + + -
und
+ - - - - - - -
nicht gleichwahrscheinlich. Das wï¿œren sie nur dann, wenn die
prinzipielle Trefferwahrscheinlichkeit fï¿œr jeden Torpedo bei 0.5(!) und
nicht bei 0.6 lï¿œge.
Bastian Erdnuess
> Bezeichnet + "getroffen" und - "daneben", so
> sind z.B. die Elementarereignisse ("Trefferbilder")
> + + + + + + + -
> und
> + - - - - - - -
> nicht gleichwahrscheinlich. Das w�ren sie nur dann, wenn die
> prinzipielle Trefferwahrscheinlichkeit f�r jeden Torpedo bei 0.5(!) und
> nicht bei 0.6 l�ge.
Bist du dir da sicher? Mir erscheint das zweite Trefferbild wesentlich
Wahrscheinlicher als das erste. Wenn man die Wahrscheinlichkeit das
Schiff zu treffen nochmal reduziert, sogar noch umso mehr.
Bastian
Stephan Gerlach
> Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote:
>
>> Bezeichnet + "getroffen" und - "daneben", so
>> sind z.B. die Elementarereignisse ("Trefferbilder")
>> + + + + + + + -
>> und
>> + - - - - - - -
>> nicht gleichwahrscheinlich. Das w�ren sie nur dann, wenn die
>> prinzipielle Trefferwahrscheinlichkeit f�r jeden Torpedo bei 0.5(!) und
>> nicht bei 0.6 l�ge.
>
> Bist du dir da sicher?
Nein.
Ich hatte beim Schreiben tempor�r die Ereignisse
A = "Kammer K_j wird getroffen"
und
B = "Torpedo T_j trifft das Schiff"
verwechselt. Wenn P(B)=0.5 ist (was ich oben voraussetzte), folgt noch
lange nicht, da� P(A)=0.5 ist. Und P(A)=0.5 w�re aber Voraussetzung
daf�r, da� die oben genannten Trefferbilder gleichwahrscheinlich sind.