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Tücke oder Heimtücke?
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Joachim Zink
Sep 20, 2021, 10:31:58 AM9/20/21
to
Hallo,
der Bitte von Alfred Flaßhaar entsprechend, transferiere ich
die zweite "Quader-Aufgabe "aus dem Kopfnuss-Thread hierher:
Sie stammt aus der gleichen (alten) Eingangs-Klausur, aus der
auch die andere Aufgabe stammt.
Hier die Aufgabe im Original-Wortlaut:
"Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
a=26 und b=24.
Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
Wenn man "zwei Objekte stehen senkrecht aufeinander" liest, wird man
sich - denke ich - aus der Schulzeit an Vektoren und das Skalaprodukt
erinnern und die Aufgabe vektoriell angehen.
Also folgende Lösungs-Strategie:
(1) Vektor-Bedingung:
Formulierung der Quader-Seiten a, b und h sowie der Raumdiagonalen
als Vektoren.
(2) Orthogonalitäts-Bedingung:
Die Raum-Diagonalen sollen senkrecht aufeinander stehen
(3) Skalarprodukt:
bei aufeinander senkrecht stehenden Vektoren SKP gleich Null.
(Mit 1)
Ich schreibe die Vektoren waagerecht, weil es sonst unübersichtlich wird.
(Die einfachen Buchstaben sollen ab hier für Vektoren stehen)
a = (26, 0, 0)
b = (0, 24, 0)
c = (0, 0, h)
Hier lauert(e) schon der erste Fallstrick: Manche gehen vollkommen schematisch vor und sagen sich: die Komponenten des dritten Vektors
kennt man nicht, also nennen wir sie halt einfach x, y und z.
Und damit hat man nicht alle Informationen aus der Aufgabe entnommen
und setzt zu allgemein an. In einer Klausur verliert man unnötig Zeit, bis
man's merkt.
(Weiter mit 2 und 3)
Nennen wir die Vektoren der Raumdiagonalen, die senkrecht aufeinander stehen sollen
D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
D2 (von rechts vorne unten nach links oben hinten)
als Vektoren ausgeschrieben:
D1 = a + b + c = ( 26, 24, h)
D2 = -a + b + c = (-26, 24, h)
Damit die senkrecht aufeinander stehen muss das Skalarprodukt 0 ergeben, also
-(26^2) + 24^2 + h^2 = 0, somit h^2 = 100 bzw.
Lösung: |h|=10
Und jetzt kommt meine Kritik:
In der Aufgabe heißt es: "Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
Jetzt kommt's drauf an, wie man "mögliche Werte" interpretiert.
Was heißt möglich? Möglich im Sinne von theoretisch möglich?
Oder möglich als in der Realität vorkommende, unterschiedliche Werte?
Wenn ich vektoriell rechne, bekomme ich nur einen real möglichen Wert,
der andere h=-10 ist in der Realität nicht möglich.
Klausurteilnehmer werden sich hier fragen:
"Hab ich was übersehen? Gibt es womöglich doch eine zweite Lösung?
Und wenn ja - wie lautet die?"
Vielleicht ist das zu sophistisch. Aber ich und einige andere sind darüber
heftig gestolpert.
Oder ist die Aufgabe womöglich noch heimtückischer in dem Sinne, dass
es tatsächlich doch eine zweite Lösung gibt, die nur nicht gleich offensichtlich wird, wenn man den o.b. vektoriellen Weg einschlägt?
Grüße Joachim
der Bitte von Alfred Flaßhaar entsprechend, transferiere ich
die zweite "Quader-Aufgabe "aus dem Kopfnuss-Thread hierher:
Sie stammt aus der gleichen (alten) Eingangs-Klausur, aus der
auch die andere Aufgabe stammt.
Hier die Aufgabe im Original-Wortlaut:
"Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
a=26 und b=24.
Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
Wenn man "zwei Objekte stehen senkrecht aufeinander" liest, wird man
sich - denke ich - aus der Schulzeit an Vektoren und das Skalaprodukt
erinnern und die Aufgabe vektoriell angehen.
Also folgende Lösungs-Strategie:
(1) Vektor-Bedingung:
Formulierung der Quader-Seiten a, b und h sowie der Raumdiagonalen
als Vektoren.
(2) Orthogonalitäts-Bedingung:
Die Raum-Diagonalen sollen senkrecht aufeinander stehen
(3) Skalarprodukt:
bei aufeinander senkrecht stehenden Vektoren SKP gleich Null.
(Mit 1)
Ich schreibe die Vektoren waagerecht, weil es sonst unübersichtlich wird.
(Die einfachen Buchstaben sollen ab hier für Vektoren stehen)
a = (26, 0, 0)
b = (0, 24, 0)
c = (0, 0, h)
Hier lauert(e) schon der erste Fallstrick: Manche gehen vollkommen schematisch vor und sagen sich: die Komponenten des dritten Vektors
kennt man nicht, also nennen wir sie halt einfach x, y und z.
Und damit hat man nicht alle Informationen aus der Aufgabe entnommen
und setzt zu allgemein an. In einer Klausur verliert man unnötig Zeit, bis
man's merkt.
(Weiter mit 2 und 3)
Nennen wir die Vektoren der Raumdiagonalen, die senkrecht aufeinander stehen sollen
D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
D2 (von rechts vorne unten nach links oben hinten)
als Vektoren ausgeschrieben:
D1 = a + b + c = ( 26, 24, h)
D2 = -a + b + c = (-26, 24, h)
Damit die senkrecht aufeinander stehen muss das Skalarprodukt 0 ergeben, also
-(26^2) + 24^2 + h^2 = 0, somit h^2 = 100 bzw.
Lösung: |h|=10
Und jetzt kommt meine Kritik:
In der Aufgabe heißt es: "Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
Jetzt kommt's drauf an, wie man "mögliche Werte" interpretiert.
Was heißt möglich? Möglich im Sinne von theoretisch möglich?
Oder möglich als in der Realität vorkommende, unterschiedliche Werte?
Wenn ich vektoriell rechne, bekomme ich nur einen real möglichen Wert,
der andere h=-10 ist in der Realität nicht möglich.
Klausurteilnehmer werden sich hier fragen:
"Hab ich was übersehen? Gibt es womöglich doch eine zweite Lösung?
Und wenn ja - wie lautet die?"
Vielleicht ist das zu sophistisch. Aber ich und einige andere sind darüber
heftig gestolpert.
Oder ist die Aufgabe womöglich noch heimtückischer in dem Sinne, dass
es tatsächlich doch eine zweite Lösung gibt, die nur nicht gleich offensichtlich wird, wenn man den o.b. vektoriellen Weg einschlägt?
Grüße Joachim
Ralf Goertz
Sep 20, 2021, 10:52:13 AM9/20/21
to
Am Mon, 20 Sep 2021 07:31:57 -0700 (PDT)
schrieb Joachim Zink <zinkj...@googlemail.com>:
Ich habe noch nicht richtig darüber nachgedacht. Aber ein Quader hat 8
Ecken. Mit einem Paar Raumdiagonalen sind vier davon „belegt“. Was ist
mit den anderen vier?
schrieb Joachim Zink <zinkj...@googlemail.com>:
Ecken. Mit einem Paar Raumdiagonalen sind vier davon „belegt“. Was ist
mit den anderen vier?
Rainer Rosenthal
Sep 20, 2021, 5:00:08 PM9/20/21
to
Am 20.09.2021 um 16:31 schrieb Joachim Zink:
>
> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> a=26 und b=24.
> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>
> Wenn man "zwei Objekte stehen senkrecht aufeinander" liest, wird man
> sich - denke ich - aus der Schulzeit an Vektoren und das Skalaprodukt
> erinnern und die Aufgabe vektoriell angehen.
>
Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
>
> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> a=26 und b=24.
> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>
> Wenn man "zwei Objekte stehen senkrecht aufeinander" liest, wird man
> sich - denke ich - aus der Schulzeit an Vektoren und das Skalaprodukt
> erinnern und die Aufgabe vektoriell angehen.
>
mit AB = CD = a und AD = BC = b, das den Boden des Quaders bildet.
Und senkrecht darüber im Abstand h sehe ich den Deckel A'B'C'D', so dass
also gilt: AA' = BB' = CC' = DD' = h sowie A'B' = C'D' = a und A'D' =
B'C' = b.
Ohne Skizze wäre ich aufgeschmissen. Die brauche ich, um mir die
Raumdiagonalen vorzustellen. Das sind sie alle: AC', CA', BD', DB'.
Jetzt kommen zwei wichtige Feststellungen.
F1: Wenn sich zwei Raumdiagonalen schneiden, bilden sie die Diagonalen
eines Rechtecks.
F2: Wenn sich die Diagonalen eines Rechtecks senkrecht schneiden, ist
das Rechteck ein Quadrat.
Wir haben die oben genannten 4 Raumdiagonalen, die auf 6 verschiedene
Weisen zum Schnitt gebracht werden können. Aus Symmetriegründen gibt es
nur drei wesentlich verschiedene Fälle zu betrachten.
Fall 1: AC' schneiden mit CA'. Wegen F1 und F2 ist ACC'A' ein Quadrat.
Darum ist AC = CC', Wurzel(a^2+b^2) = h, somit h = Wurzel(1252) ~ 35,4.
Fall 2: AC' schneiden mit BD'. Wegen F1 und F2 ist ABC'D' ein Quadrat.
Darum ist AB = BC', a = Wurzel(b^2+h^2), h^2 = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) =
100, d.h. h = 10.
Fall 3: AC' schneiden mit DB'. Wegen F1 und F2 ist ADC'B' ein Quadrat.
Darum ist AD = DC', b = Wurzel(a^2+h^2), h^2 = b^2 - a^2 < 0, keine
Lösung für h.
Die Höhe h des Quaders ist entweder h = 10 oder h = Wurzel(1252) ~ 35,4.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
P.S. Die Klausur hätte ich wegen massiver Zeitüberschreitung vergeigt.
Spaß hat sie trotzdem gemacht.
Rainer Rosenthal
Sep 20, 2021, 5:10:55 PM9/20/21
to
Am 20.09.2021 um 16:52 schrieb Ralf Goertz:
>>
>> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
>> a=26 und b=24.
>> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
>> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
>> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>>
>
>>
>> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
>> a=26 und b=24.
>> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
>> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
>> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>>
>
> Ich habe noch nicht richtig darüber nachgedacht. Aber ein Quader hat 8
> Ecken. Mit einem Paar Raumdiagonalen sind vier davon „belegt“. Was ist
> mit den anderen vier?
>
Wenn Du eine Skizze machst gemäß meiner Lösung, denn siehst Du, dass
> Ecken. Mit einem Paar Raumdiagonalen sind vier davon „belegt“. Was ist
> mit den anderen vier?
>
beispielsweise die Raumdiagonalen AC' und CA' das Rechteck ACC'A'
aufspannen, das wie eine Wand die Punktepaare B, B' und D, D' trennt.
Warum fragst Du nach den anderen vier Punkten?
Gruß,
Rainer
Fritz Feldhase
Sep 20, 2021, 10:26:18 PM9/20/21
to
On Monday, September 20, 2021 at 11:00:08 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 20.09.2021 um 16:31 schrieb Joachim Zink:
> >
> > "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> > a=26 und b=24.
> > Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> > des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> > Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
> >
> > Wenn man "zwei Objekte stehen senkrecht aufeinander" liest, wird man
> > sich - denke ich - aus der Schulzeit an Vektoren und das Skalaprodukt
> > erinnern und die Aufgabe vektoriell angehen.
> >
> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
> mit AB = CD = a und AD = BC = b, das den Boden des Quaders bildet.
> Und senkrecht darüber im Abstand h sehe ich den Deckel A'B'C'D', so dass
> also gilt: AA' = BB' = CC' = DD' = h sowie A'B' = C'D' = a und A'D' =
> B'C' = b.
>
> Ohne Skizze wäre ich aufgeschmissen. Die brauche ich, um mir die
> Raumdiagonalen vorzustellen. Das sind sie alle: AC', CA', BD', DB'.
Gleiche Vorgehensweise, gleiche Ergebnisse.
> Am 20.09.2021 um 16:31 schrieb Joachim Zink:
> >
> > "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> > a=26 und b=24.
> > Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> > des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> > Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
> >
> > Wenn man "zwei Objekte stehen senkrecht aufeinander" liest, wird man
> > sich - denke ich - aus der Schulzeit an Vektoren und das Skalaprodukt
> > erinnern und die Aufgabe vektoriell angehen.
> >
> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
> mit AB = CD = a und AD = BC = b, das den Boden des Quaders bildet.
> Und senkrecht darüber im Abstand h sehe ich den Deckel A'B'C'D', so dass
> also gilt: AA' = BB' = CC' = DD' = h sowie A'B' = C'D' = a und A'D' =
> B'C' = b.
>
> Ohne Skizze wäre ich aufgeschmissen. Die brauche ich, um mir die
> Raumdiagonalen vorzustellen. Das sind sie alle: AC', CA', BD', DB'.
Nur habe ich mir lediglich "2 Fälle" angesehen, weil ja nur nach 2 möglichen Werten für h gefragt war.
> Die Höhe h des Quaders ist entweder h = 10 oder h = Wurzel(1252) ~ 35,4.
> P.S. Die Klausur hätte ich wegen massiver Zeitüberschreitung vergeigt.
> Spaß hat sie trotzdem gemacht.
Same, same.
> Spaß hat sie trotzdem gemacht.
Message has been deleted
Fritz Feldhase
Sep 20, 2021, 11:21:18 PM9/20/21
to
On Monday, September 20, 2021 at 4:31:58 PM UTC+2, zinkj...@googlemail.com wrote:
> Hallo,
> der Bitte von Alfred Flaßhaar entsprechend, transferiere ich
> die zweite "Quader-Aufgabe "aus dem Kopfnuss-Thread hierher:
>
> Sie stammt aus der gleichen (alten) Eingangs-Klausur, aus der
> auch die andere Aufgabe stammt.
>
> Hier die Aufgabe im Original-Wortlaut:
>
> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> a=26 und b=24.
> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>
> [...]
> Hallo,
> der Bitte von Alfred Flaßhaar entsprechend, transferiere ich
> die zweite "Quader-Aufgabe "aus dem Kopfnuss-Thread hierher:
>
> Sie stammt aus der gleichen (alten) Eingangs-Klausur, aus der
> auch die andere Aufgabe stammt.
>
> Hier die Aufgabe im Original-Wortlaut:
>
> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> a=26 und b=24.
> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>
>
> In der Aufgabe heißt es: "Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>
> Jetzt kommt's drauf an, wie man "mögliche Werte" interpretiert.
> Was heißt möglich? Möglich im Sinne von theoretisch möglich?
> Oder möglich als in der Realität vorkommende, unterschiedliche Werte?
<grins> Da es sich um eine mathematische Aufgabe handelt, spielt die Frage, ob das Ergebnis in der (physikalischen) Realität vorkommt (oder nicht), wohl eher keine große Rolle. Aber vermutlich meinst Du damit die Bedingung, dass die Höhe eines Quaders > 0 sein muss. (Ich gehe davon aus, dass in der Geometrie Quader schon so definiert sind. Don't ask!)
> In der Aufgabe heißt es: "Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
>
> Jetzt kommt's drauf an, wie man "mögliche Werte" interpretiert.
> Was heißt möglich? Möglich im Sinne von theoretisch möglich?
> Oder möglich als in der Realität vorkommende, unterschiedliche Werte?
Kurz: Es geht hier wohl darum, zwei verschiede Werte > 0 für h zu finden.
> Wenn ich vektoriell rechne, bekomme ich nur einen real möglichen Wert,
So würde es wohl ein Physiker ausdrücken. :-P
Jedenfalls ist/wäre -10 keine Lösung weil es in der _Geometrie_ keinen Quader mit einer Seitenlänge von -10 gibt.
> Klausurteilnehmer werden sich hier fragen:
> "Hab ich was übersehen? Gibt es womöglich doch eine zweite Lösung?
Und die Antworten lauten [nach reiflicher Überlegung]: "Ja, ich habe etwas übersehen. Es gibt noch ein zweite Lösung."
> Und wenn ja - wie lautet die?"
> Vielleicht ist das zu sophistisch. Aber ich und einige andere sind darüber
> heftig gestolpert.
> Oder ist die Aufgabe womöglich noch heimtückischer in dem Sinne, dass es tatsächlich doch eine zweite Lösung gibt,
> die nur nicht gleich offensichtlich wird, wenn man den o.b. vektoriellen Weg einschlägt?
"D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
D2 (von rechts vorne unten nach links oben hinten)"
D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
betrachtest, solltest Du auf die zweite Lösung kommen.
M. E. WIRKLICH "gemein" wäre wohl die Formulierung
"Berechnen Sie alle möglichen Werte für h!"
gewesen.
Ralf Goertz
Sep 21, 2021, 2:42:29 AM9/21/21
to
Am Mon, 20 Sep 2021 23:10:52 +0200
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:
Hm, ich bin etwas verwirrt. Habe deine Lösung noch nicht gelesen.
(Sollte ich vielleicht, um mich nicht zu blamieren. 😁) Aber ist es
nicht offensichtlich, dass ich frage? Es muss doch (mindestens) zwei
Paare von Raumdiagonalen geben, die senkrecht aufeinander stehen könnten
oder nicht? Also kann es doch gut sein, dass es zwei verschiedene
(positive) Lösungen geben kann, auch wenn ich zugebe, dass da eine
Symmterie vorhanden sein könnte, die das verhindert. (Ich bin
geometrically challenged.) Ich hatte Joachim so verstanden, dass es für
ihn schleierhaft ist, wie das der Fall sein könnte.
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:
(Sollte ich vielleicht, um mich nicht zu blamieren. 😁) Aber ist es
nicht offensichtlich, dass ich frage? Es muss doch (mindestens) zwei
Paare von Raumdiagonalen geben, die senkrecht aufeinander stehen könnten
oder nicht? Also kann es doch gut sein, dass es zwei verschiedene
(positive) Lösungen geben kann, auch wenn ich zugebe, dass da eine
Symmterie vorhanden sein könnte, die das verhindert. (Ich bin
geometrically challenged.) Ich hatte Joachim so verstanden, dass es für
ihn schleierhaft ist, wie das der Fall sein könnte.
Joachim Zink
Sep 21, 2021, 6:06:27 AM9/21/21
to
Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 21. September 2021 um 05:21:18 UTC+2:
...
D3 in vektorieller Schreibweise: D3 = a + b - h = (26, 24, -h)
SKP= D1 o D3 = 26^2 + 24^2 - h^2 = 0
|h| = 10
Gleiche Lösung, oder überseh ich was?
> gewesen.
...
> Nein, ich glaube daran liegt es nicht. Du hast m. E. einfach nur den anderen "möglichen Fall"
> übersehen: Du, hattest oben die folgenden Vektoren/Raumdiagonalen betrachtet:
> "D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
> D2 (von rechts vorne unten nach links oben hinten)"
> Wenn Du (auf gleiche Weise) nun noch
> D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
> D3 (von links vorne oben nach rechts unten hinten)
>
> betrachtest, solltest Du auf die zweite Lösung kommen.
D1 in vektorieller Schreibweise: D1 = a + b + h = (26, 24, h)
> übersehen: Du, hattest oben die folgenden Vektoren/Raumdiagonalen betrachtet:
> "D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
> D2 (von rechts vorne unten nach links oben hinten)"
> Wenn Du (auf gleiche Weise) nun noch
> D1 (von links vorne unten nach rechts oben hinten) und
> D3 (von links vorne oben nach rechts unten hinten)
>
> betrachtest, solltest Du auf die zweite Lösung kommen.
D3 in vektorieller Schreibweise: D3 = a + b - h = (26, 24, -h)
SKP= D1 o D3 = 26^2 + 24^2 - h^2 = 0
|h| = 10
Gleiche Lösung, oder überseh ich was?
> gewesen.
Joachim Zink
Sep 21, 2021, 6:12:00 AM9/21/21
to
Kommando zurück!
Ich seh gerade, dass ich das Vorzeichen nicht beachtet habe.
Diese Raumdiagonalen ergebn die zweite gesuchte Lösung
h = 35.386
Ich seh gerade, dass ich das Vorzeichen nicht beachtet habe.
Diese Raumdiagonalen ergebn die zweite gesuchte Lösung
h = 35.386
Joachim Zink
Sep 21, 2021, 6:42:51 AM9/21/21
to
Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 20. September 2021 um 23:00:08 UTC+2:
...
Durch Deine kleine Nachlässigkeit (auf die späte Stunde zurückzuführen ...)
ist mir jetzt sofort ins Auge gesprungen, dass es zwei verschieden Lösungen
geben muss. Wären Grund- und Deckfläche tatsächlich quadratisch, würden
alle 4 Raumdiagonalen paarweise aufeinander senkrecht stehen.
Durch die rechteckige Grundfläche bedingt, sind die Raumdiagonalen nicht gleich
lang, womit zwei Lösungen anfallen.
Großen Dank für Deine kleine, Nachlässigkeit :-))
die hat mir die Augen geöffnet.
> das den Boden des Quaders bildet.
> ...
Den Rest hast Du sehr schön und verständlich dargestellt.
> Die Höhe h des Quaders ist entweder h = 10 oder h = Wurzel(1252) ~ 35,4.
Wie auch meine vektorielle Rechnung inzwischen ergeben hat, Dank Fritz's
Hinweis. Eigentlich hätte ich schon nach Alfreds Hinweis im alten Kopfnuss-
Thread stutzig werden sollen, bin aber wohl doch eher etwas begriffsstutzig :-)
Danke nochmals an alle für die interessanten Hinweise und die - wie ich
finde - schöne gemeinsame Lösung mit zwei völlig unterschiedlichen
Herangehensweisen:
Lösungsweg 1 als "Vektorianer" und
Lösungsweg 2 als "Geometriker"
Gruß Joachim
> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
>
> P.S. Die Klausur hätte ich wegen massiver Zeitüberschreitung vergeigt.
> Spaß hat sie trotzdem gemacht.
Ich hab spaßeshalber inzwischen alle Aufgabe der alten Klausur gerechnet.
Die meisten Aufgaben erfordern Übung voraussetzende, spezielle Einsichten.
Wären nicht auch einige leichtere Aufgaben dabei gewesen, hätte auch mir die
Zeit nie und nimmer gereicht.
...
> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
> mit AB = CD = a und AD = BC = b,
das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck.
> mit AB = CD = a und AD = BC = b,
Durch Deine kleine Nachlässigkeit (auf die späte Stunde zurückzuführen ...)
ist mir jetzt sofort ins Auge gesprungen, dass es zwei verschieden Lösungen
geben muss. Wären Grund- und Deckfläche tatsächlich quadratisch, würden
alle 4 Raumdiagonalen paarweise aufeinander senkrecht stehen.
Durch die rechteckige Grundfläche bedingt, sind die Raumdiagonalen nicht gleich
lang, womit zwei Lösungen anfallen.
Großen Dank für Deine kleine, Nachlässigkeit :-))
die hat mir die Augen geöffnet.
> das den Boden des Quaders bildet.
Den Rest hast Du sehr schön und verständlich dargestellt.
> Die Höhe h des Quaders ist entweder h = 10 oder h = Wurzel(1252) ~ 35,4.
Hinweis. Eigentlich hätte ich schon nach Alfreds Hinweis im alten Kopfnuss-
Thread stutzig werden sollen, bin aber wohl doch eher etwas begriffsstutzig :-)
Danke nochmals an alle für die interessanten Hinweise und die - wie ich
finde - schöne gemeinsame Lösung mit zwei völlig unterschiedlichen
Herangehensweisen:
Lösungsweg 1 als "Vektorianer" und
Lösungsweg 2 als "Geometriker"
Gruß Joachim
> Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
>
> P.S. Die Klausur hätte ich wegen massiver Zeitüberschreitung vergeigt.
> Spaß hat sie trotzdem gemacht.
Die meisten Aufgaben erfordern Übung voraussetzende, spezielle Einsichten.
Wären nicht auch einige leichtere Aufgaben dabei gewesen, hätte auch mir die
Zeit nie und nimmer gereicht.
Joachim Zink
Sep 21, 2021, 7:56:09 AM9/21/21
to
> Durch die rechteckige Grundfläche bedingt, sind die Raumdiagonalen nicht gleich
> lang, womit zwei Lösungen anfallen.
Es gibt lediglich zwei unterschiedliche Möglichkeiten, dass
Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
Rainer Rosenthal
Sep 21, 2021, 5:20:18 PM9/21/21
to
Am 21.09.2021 um 12:42 schrieb Joachim Zink:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 20. September 2021 um 23:00:08 UTC+2:
> ...
>> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
>> mit AB = CD = a und AD = BC = b,
>
> das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck.
>
Jawollo, danke.
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 20. September 2021 um 23:00:08 UTC+2:
> ...
>> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
>> mit AB = CD = a und AD = BC = b,
>
> das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck.
>
Ich möchte gerne eine kurze Version der Lösung präsentieren, die sich
mir nach einem längeren Versuch der Systematisierung aufgedrängt hat.
Vorab aber erst noch einmal die schöne Aufgabe:
# Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck
# mit den Seiten a=26 und b=24.
# Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden,
# wenn 2 Raumdiagonalen des Quaders senkrecht
# aufeinander stehen sollen?
# Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!
Gerne wiederhole ich die relevanten Feststellungen F1 und F2:
F1: Schneiden sich Raumdiagonalen, sind sie Diagonalen eines Rechtecks.
F2: Ein Rechteck mit senkrecht stehenden Diagonalen ist ein Quadrat.
Jetzt zum im Titel spaßeshalber genannten "Käse":
Ich stelle mir den Quader mit Grundfläche a x b und Höhe h als ein Stück
Käse vor, das von oben durch einen diagonalen senkrechten Schnitt in
zwei "Käse-Prismen" zerteilt wird. Die Schnittfläche soll ein Quadrat
sein. Also muss die Diagonale gleich der Höhe sein, m.a.W.
a^2 + b^2 = h^2. (1)
Das gibt schon mal die erste Lösung h = Wurzel(1252) ~ 35,4.
Und jetzt stellen wir den Käseklotz auf die Grundfläche b x h, so dass
er Höhe a hat. Und dann zerschneiden wir ihn in der gleichen Weise.
Da wir nur die Streckennamen a, b, h zyklisch vertauscht haben, lautet
die Quadrat-Bedingung jetzt:
b^2 + h^2 = a^2. (2)
Das gibt dann die zweite Lösung h = Wurzel(a^2-b^2) = 10.
Und schließlich stellen wir den Klotz auf die Grundfläche h x a, so dass
er die Höhe b hat. Die Quadratbedingung ist nun äquivalent zu
h^2 + a^2 = b^2. (3)
Für die gegebenen Werte a > b gibt es dazu keine Lösung.
Ich glaube, dass ich diese Version in der Kürze der Klausurzeit
zumindest hätte aufschreiben können. Um darauf zu kommen, es so einfach
präsentieren zu können, habe ich offensichtlich wesentlich länger
gebraucht. Aber erstens bin ich zufrieden damit, einen Haufen
vollgekritzelter Zettel wegwerfen zu können, und zweitens haftet der
Aufgabe nun nichts mehr von einem Tückenheim an, und ich wage es, einem
Mitdiskutanten zu widersprechen, der schrieb:
# M. E. WIRKLICH "gemein" wäre wohl die Formulierung
# "Berechnen Sie alle möglichen Werte für h!"
Herzlich grüßend,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Carlo XYZ
Sep 21, 2021, 8:22:12 PM9/21/21
to
Rainer Rosenthal schrieb am 21.09.21 um 23:20:
> F1: Schneiden sich Raumdiagonalen, sind sie Diagonalen eines Rechtecks.
> F2: Ein Rechteck mit senkrecht stehenden Diagonalen ist ein Quadrat.
>
> Jetzt zum im Titel spaßeshalber genannten "Käse":
> Ich stelle mir den Quader mit Grundfläche a x b und Höhe h als ein Stück
> Käse vor, das von oben durch einen diagonalen senkrechten Schnitt in
> zwei "Käse-Prismen" zerteilt wird. Die Schnittfläche soll ein Quadrat
> sein. Also muss die Diagonale [der Grundfläche] gleich der Höhe sein, ..
Eine sehr schöne Lösung, bravo!
> F1: Schneiden sich Raumdiagonalen, sind sie Diagonalen eines Rechtecks.
> F2: Ein Rechteck mit senkrecht stehenden Diagonalen ist ein Quadrat.
>
> Jetzt zum im Titel spaßeshalber genannten "Käse":
> Ich stelle mir den Quader mit Grundfläche a x b und Höhe h als ein Stück
> Käse vor, das von oben durch einen diagonalen senkrechten Schnitt in
> zwei "Käse-Prismen" zerteilt wird. Die Schnittfläche soll ein Quadrat
Eine sehr schöne Lösung, bravo!
Alfred Flaßhaar
Sep 22, 2021, 1:43:32 AM9/22/21
to
zu beweisen. ;-)
Freundlicher Morgengruß zum Herbstanfang, Alfred Flaßhaar
Rainer Rosenthal
Sep 22, 2021, 2:44:38 AM9/22/21
to
Am 21.09.2021 um 23:20 schrieb Rainer Rosenthal:
> [eine schöne Lösung]
Herzlichen Dank für die Komplimente.
Gruß,
RR
> [eine schöne Lösung]
Herzlichen Dank für die Komplimente.
Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
Sep 22, 2021, 2:55:35 AM9/22/21
to
Am 22.09.2021 um 07:43 schrieb Alfred Flaßhaar:
>
> Applaus. Ist nur noch die Invarianz der Lösung gegenüber der Käsesorte
> zu beweisen. ;-)
>
Guter Hinweis, danke.
>
> Applaus. Ist nur noch die Invarianz der Lösung gegenüber der Käsesorte
> zu beweisen. ;-)
>
Für sehr weichen Käse gilt der Satz natürlich nicht. Er gilt nur
asymptotisch für
lim H -> oo
wobei H der Härtegrad des Käses ist.
Gruß,
Rainer
Joachim Zink
Sep 22, 2021, 11:55:57 AM9/22/21
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 21. September 2021 um 23:20:18 UTC+2:
> Am 21.09.2021 um 12:42 schrieb Joachim Zink:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 20. September 2021 um 23:00:08 UTC+2:
> > ...
> >> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
> >> mit AB = CD = a und AD = BC = b,
> >
> > das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck.
> >
> Jawollo, danke.
Sorry, ich wollte nicht oberlehrerhaft sein.
> Am 21.09.2021 um 12:42 schrieb Joachim Zink:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 20. September 2021 um 23:00:08 UTC+2:
> > ...
> >> Ich bin eher geometrisch geschult und sehe ein Quadrat ABCD in der Ebene
> >> mit AB = CD = a und AD = BC = b,
> >
> > das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck.
> >
> Jawollo, danke.
Aber mir hat erstaunlicherweise genau das die Augen göffnet.
Grundflächen stellt, ist für mich noch einleuchtender als jede noch so saubere
Quaderskizze. Toll!
Für mich ist das die Musterlösung.
Frdl. Grüße
Joachim
Andreas Leitgeb
Sep 23, 2021, 5:02:42 AM9/23/21
to
Joachim Zink <zinkj...@googlemail.com> wrote:
> Hier die Aufgabe im Original-Wortlaut:
>
> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> a=26 und b=24.
> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
Es gibt drei mögliche Paare von Raumdiagonalen.
> Hier die Aufgabe im Original-Wortlaut:
>
> "Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten
> a=26 und b=24.
> Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn 2 Raumdiagonalen
> des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
> Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!"
Dazu halten wir einen Eckpunkt des Quaders A (und die dazugehörige
Raumdiagonale) fest.
Von A gehen drei Kanten weg, zu den Punkten
B = A+(26,0,0), D = A+(0,24,0) und E = A + (0,0,h)
Durch diese Punkte gibt es dann auch jeweils eine Raumdiagonale,
die mit der durch A geschnitten werden kann.
Die Ebene der geschnittenen Raumdiagonalen geht dabei immer durch
eine der Kanten des Quaders, also durch AB, AD oder AE. In dieser
Ebene stellen sich die Raumdiagonalen des Quaders als Diagonalen
eines Rechtecks dar, die genau dann einen rechten Winkel einnehmen,
wenn das Rechteck ein Quadrat ist.
Daher ist die Rechtwinkel-bedingung genau dann erfüllt, wenn eine
der Seitendiagonalen genausolang wie die dazu vertikale Kante des
Quaders ist.
Das ist bei h=10 ganzzahlig erfüllt, weil da das 5,12,13er rechtwnklige
Dreieck ein Gastspiel gibt: sqrt(10²+24²) (die Seitendiagonale)
ist 26 und somit gleich der anderen Kante.
Ein weiteres Raumdiagonalenpaaar führt zu keiner (reellen) Lösung, weil
keine Höhe über der Länge 26 zu einer Seitendiagonale von 24 führen kann.
Die dritte Variante und zweite Lösung muss dann also sein, dass die
Höhe gleich der Bodendiagonale ist, also h=sqrt(24²+26²).
Gilt das so als Lösung?
Rainer Rosenthal
Sep 23, 2021, 12:57:33 PM9/23/21
to
Am 23.09.2021 um 11:02 schrieb Andreas Leitgeb:
>
> [... Lösung ...]
Meine 'anrüchige' Lösung enthält einen "Dreh", der mich freut:
Die Schnitte durch den wie ein Bleiklotz da liegenden Quader waren eine
Herausforderung für perpektivisches Skizzieren. Der senkrechte Schnitt
war noch am leichtesten zu visualisieren und führte zu einer abh-Formel.
Der 'Dreh' war die tatsächliche Drehung des Klotzes, die ganz von selbst
zur bha-Formel und hab-Formel führen.
Gruß,
Rainer
>
> [... Lösung ...]
>
> Gilt das so als Lösung?
>
Ja, komplett richtig, nachvollziehbar und ... geruchsfrei.
> Gilt das so als Lösung?
>
Meine 'anrüchige' Lösung enthält einen "Dreh", der mich freut:
Die Schnitte durch den wie ein Bleiklotz da liegenden Quader waren eine
Herausforderung für perpektivisches Skizzieren. Der senkrechte Schnitt
war noch am leichtesten zu visualisieren und führte zu einer abh-Formel.
Der 'Dreh' war die tatsächliche Drehung des Klotzes, die ganz von selbst
zur bha-Formel und hab-Formel führen.
Gruß,
Rainer
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