minus mal minus
Dr. Rudolf Sponsel
ich schleppe das Thema aus einer anderen Liste mal
in die, in die es eigentlich gehoert. Meine Fragen:
Worauf geht minus * minus = + zurueck?
1) a) Definition, b) Axiome, c) Ableitung (Satz) aus a,b)
oder gibt es mehrere Moeglichkeiten, zu dieser Geltung
zu gelangen?
2) Ist eine Arithmetik denkbar, in der minus * minus = -
gilt?
3) Mathe-Didaktisch: mit welchen anschaulichen Beispielen
kann man - * - = + Mathe-Laien nahebringen? Wie soll
man mit dem Gegenbeispiel umgehen: Schulden mal Schulden
= Guthaben?
--
Gute Zeiten
Rudolf Sponsel, Erlangen
http://www.sgipt.org/
Till Potinius
schriebst am Thu, 24 May 2001 13:42:58 +0200:
>1) a) Definition, b) Axiome, c) Ableitung (Satz) aus a,b)
> oder gibt es mehrere Moeglichkeiten, zu dieser Geltung
> zu gelangen?
Gesunder Menschenverstand. Wenn man etwas negatives von etwas
wegnimmt, wird das kann man auch etwas positives dazutun.
>2) Ist eine Arithmetik denkbar, in der minus * minus = -
> gilt?
keine Ahnung
>3) Mathe-Didaktisch: mit welchen anschaulichen Beispielen
> kann man - * - = + Mathe-Laien nahebringen? Wie soll
> man mit dem Gegenbeispiel umgehen: Schulden mal Schulden
> = Guthaben?
Gott sei Dank addieren Schulden sich, sie multiplizieren sich nicht.
Schulden plus Schulden = Pleite
MFG,
Till Potinius
--
Wissen ist Macht,
Nichts wissen macht nichts
Michael Toalster
schrieb am Don, 24. Mai 2001 13:42:58 +0200:
>3) Mathe-Didaktisch: mit welchen anschaulichen Beispielen
> kann man - * - = + Mathe-Laien nahebringen? Wie soll
> man mit dem Gegenbeispiel umgehen: Schulden mal Schulden
> = Guthaben?
"Plus" kann als Aktion interpretiert werden, "etwas soundsooft tun",
aber auch finanziell, "x DM Besitz". Wenn ich Dir dreimal je ein
Fuenfmarkstueck gebe, hast Du 15 DM meht als vorher, denn
(+3) * (+5) = +15.
"Minus" kann "etwas soundsooft wegnehmen" bedeuten, aber auch "Schulden".
Wenn ich dreimal Deine Schulden ueber je 5 DM uebernehme, bist Du 15 DM
besser gestellt als vorher, denn auch (-3) * (-5) = +15.
In "Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers" von Martin Gardner (gibt's auch auf
deutsch, ich habe aber nur das Original zur Hand) gibt es ein Kapitel
"Negative Numbers" mit zwei Modellen (die man selber etwa aus Holz nachbauen
koennte), die (-)*(-)=(+) vielleicht anschaulicher begreifbar machen.
schoenen Gruss
Michael Toalster
Markus Rüttiger
Dr. Rudolf Sponsel wrote:
> Hallo Mathematisch-Kundige,
>
> ich schleppe das Thema aus einer anderen Liste mal
> in die, in die es eigentlich gehoert. Meine Fragen:
>
> Worauf geht minus * minus = + zurueck?
>
> 1) a) Definition, b) Axiome, c) Ableitung (Satz) aus a,b)
> oder gibt es mehrere Moeglichkeiten, zu dieser Geltung
> zu gelangen?
Also das geht, wenn ich mich nicht irre auf die Körperaxiome zurück.
Es gibt ja sozusagen ein Axiomensystem auf dem die ganze Mathematik beruht.
Diese wären
1. Die Körperaxiome
2. Anordnungsaxiome
3. Vollständigkeitaxiom
Ich möchte aber nun nur auf die Körperaxiome eingehen, da hier die
Fragestellung behandelt wird.
Wenn das rechnen so funktionieren soll wie man es sich so vorstellt müssen
ein paar Eingenschaften erfüllt sein. (hier nur für die Multiplikation)
1.Assoziativgesetz:
a(bc)=(ab)c für alle a,b,c "Element R"
2. Kommutativgesetz:
ab=ba für alle a,b "Element R"
3. Existenz des neutralen Elements
a*1=a für 1 und a "Element R"
4. Existenz des Inversen Elements:
a* a"hoch minus 1"=1
(für den Beweis benötigen wir dann noch das Negative der Addition-->
a+(-a)=0)
5.Distributivgesetz: (Verbindung von Additon und Multiplikation)
a(b+c)=ab+ac
Nun zu dem Beweis, da wir ja nun das entsprechende Handwerkszeug besitzen.
für -*-=+ kann man richtigerweise auch schreiben ( statt mit 1 kann man
dies auch mit a ungleich 0 rechnen)
(-1)*(-1)=1
mit 1+(-1)=0 folgt mit Multiplikation mit (-1)
(-1)+(-1)*(-1)=0
daraus folgt dann weiter
(-1)*(-1)=-(-1)=1
Dieser Beweis zeigt auch, dass 1 ungleich 0 sein muss!!
Aus
> 2) Ist eine Arithmetik denkbar, in der minus * minus = -
> gilt?
Das müsste aus dem obigen Beweis folgend umöglich sein.
Hoffe ich konnte helfen!!
Gruss Markus
KK
"Dr. Rudolf Sponsel" <dr.rudol...@t-online.de> wrote:
> 3) Mathe-Didaktisch: mit welchen anschaulichen Beispielen
> kann man - * - = + Mathe-Laien nahebringen? Wie soll
> man mit dem Gegenbeispiel umgehen: Schulden mal Schulden
> = Guthaben?
Das ist kein Gegenbeispiel, sondern ein Beispiel, naemlich fuer
unsaubere Notation. Schulden * Schulden ergibt irgendeine Groesse in
Euro^2, Guthaben dagegen ist doch wohl etwas in Euro.
Lukas-Fabian Moser
<dr.rudol...@t-online.de> wrote:
>1) a) Definition, b) Axiome, c) Ableitung (Satz) aus a,b)
> oder gibt es mehrere Moeglichkeiten, zu dieser Geltung
> zu gelangen?
Ich nehme an, du sprichst von reellen Zahlen (bzw. Teilmengen davon,
da funktioniert das im Wesentlichen genauso): dort folgt das aus den
Körperaxiomen. Ein Weg, das zu zeigen, ist folgender:
Man benötigt die Eindeutigkeit des inversen bzgl. der Addition. Aus a
+ (-a) = 0 und (-a) + (-(-a)) = 0 folgt dann a = -(-a).
Weiter benötigt man die Beziehung (-a)*b = -(a*b). Das zeigt man so:
(-a)*b + a*b = (-a + a) * b = 0*b = 0.
Schließlich ergibt sich
(-a)*(-b) = -(a * (-b)) = -(-(a*b)) = a*b.
>2) Ist eine Arithmetik denkbar, in der minus * minus = -
> gilt?
Das würde, wie gezeigt, den Körperaxiomen widersprechen; man müßte
also eines oder mehrere davon aufgeben.
Lukas
Roland Harnau
[...]
>>2) Ist eine Arithmetik denkbar, in der minus * minus = -
>> gilt?
>
>Das würde, wie gezeigt, den Körperaxiomen widersprechen; man müßte
>also eines oder mehrere davon aufgeben.
Nimm F_2=Z/2Z. Da ist 1=-1, also (-1)*(-1)=-1 .
roland
Christian Palmes
Daß "-*- = +" ergibt, wird teilweise auch durch das Permanenzprinzip
begründet. Nehmen wir z.B. die Gerade g(x)=(-1)*x.
....
x = 5 --> g(x)= -5
x = 4 --> g(x)= -4
...
x=1 --> g(x)=-1
x=0 --> g(x)= 0
x=-1 --> g(x)=1= (-1)*(-1)= +(1*1)=1 // Hier -1 anzunehmen, wäre nicht
im Sinne dieser "Folge".
x=-2 -->g(x)=2=(-1)*(-2)=+(1*2)=2
x=-3 --> g(x)=3
....
Es ist hierbei natürlich vorausgesetzt, daß (+) * (-) = (-) ist. Das ist
aber wohl klar, oder?
Gruß Christian
Lukas-Fabian Moser
<roland...@gmx.de> wrote:
>>Das würde, wie gezeigt, den Körperaxiomen widersprechen; man müßte
>>also eines oder mehrere davon aufgeben.
>Nimm F_2=Z/2Z. Da ist 1=-1, also (-1)*(-1)=-1 .
Oops, natürlich Fehler bei mir. Meine Argumentation ist nur dann
korrekt, wenn im behandelten Körper auch wirklich -a != a für alle a
!= 0 ist.
Lukas
Rolf Krahl
schrieb Roland Harnau <roland...@gmx.de>:
Naja, Rudolf meinte vermutlich doch eher "Ist eine Arithmetik denkbar,
in der minus * minus = plus nicht gilt?" Zumindest ist die Frage so
von Lukas-Fabian verstanden und beantwortet worden. Die ganze Frage
hat nur wenig Sinn, wenn minus und plus dasselbe sind.
--
Rolf Krahl <rolf....@gmx.net>
Rolf Krahl
schrieb Markus Rüttiger <mar...@ruettiger.net>:
>
> 1.Assoziativgesetz:
> a(bc)=(ab)c für alle a,b,c "Element R"
> 2. Kommutativgesetz:
> ab=ba für alle a,b "Element R"
> 3. Existenz des neutralen Elements
> a*1=a für 1 und a "Element R"
> 4. Existenz des Inversen Elements:
> a* a"hoch minus 1"=1
Multiplikative Kommutativität und multiplikatives Inverses brauchst Du
hier garnicht. Das von Dir gezeigte gilt daher auch für Ringe (die
nicht notwendigerweise kommutativ sind).
> (für den Beweis benötigen wir dann noch das Negative der Addition-->
> a+(-a)=0)
>
> 5.Distributivgesetz: (Verbindung von Additon und Multiplikation)
> a(b+c)=ab+ac
>
> Nun zu dem Beweis, [...]
>
> mit 1+(-1)=0 folgt mit Multiplikation mit (-1)
>
> (-1)+(-1)*(-1)=0
> daraus folgt dann weiter
> (-1)*(-1)=-(-1)=1
> Dieser Beweis zeigt auch, dass 1 ungleich 0 sein muss!!
Tut er das? Wo denn? Der triviale Körper, der nur aus {0} besteht,
erfüllt alle Körperaxiome und dort ist 0 = 1.
--
Rolf Krahl <rolf....@gmx.net>
Franz Lemmermeyer
> Hallo Mathematisch-Kundige,
>
> ich schleppe das Thema aus einer anderen Liste mal
> in die, in die es eigentlich gehoert. Meine Fragen:
>
> Worauf geht minus * minus = + zurueck?
Kommt aus Diophants Arithmetica: dort hat er die Regel formuliert,
weil er beobachtet hat, dass (a-b)(c-d) = ac - bc - ad + bd ist, wenn
a > b und c > d (negative Zahlen hat er nicht gekannt, oder zumindest
nicht benutzt). Am einfachsten laesst sich das wohl geometrisch ueber
Flaecheninhalte plausibel machen (man nehme ein Rechteck mit
Seiten a und c etc ...).
Geht man von Peano aus, so kann man nach Definition von
Addition und eingeschraenkter Subtraktion natuerlich die obige
Regel beweisen. Danach setzt man die Operationen so auf Z
fort, dass die Regel erhalten bleibt. Wenn man auf die Regel
verzichtet, kann man natuerlich auch - * - = - definieren, bekommt
dann aber keine rechte Struktur mehr zusammen.
franz
Martin Spoden
> Tut er das? Wo denn? Der triviale Körper, der nur aus {0} besteht,
> erfüllt alle Körperaxiome und dort ist 0 = 1.
Ich habe immer nur Definitionen/Axiome gesehen, die
0 != 1 implizierten. Wie sehen denn die Axiome aus,
die 0 = 1 zulassen?
MfG,
Martin
Dr. Rudolf Sponsel
> Daß "-*- = +" ergibt, wird teilweise auch durch das Permanenzprinzip
> begründet. Nehmen wir z.B. die Gerade g(x)=(-1)*x.
>
> ....
> x = 5 --> g(x)= -5
> x = 4 --> g(x)= -4
> ...
> x=1 --> g(x)=-1
> x=0 --> g(x)= 0
> x=-1 --> g(x)=1= (-1)*(-1)= +(1*1)=1 // Hier -1 anzunehmen, wäre nicht
> im Sinne dieser "Folge".
> x=-2 -->g(x)=2=(-1)*(-2)=+(1*2)=2
> x=-3 --> g(x)=3
> ....
>
Vielen Dank.
> Es ist hierbei natürlich vorausgesetzt, daß (+) * (-) = (-) ist. Das ist
> aber wohl klar, oder?
Nein.
Nach der guten Aufnahme hier, trau ich mich das mal
zu sagen. Ich finde das nicht klar. Ich kann mir
gut vorstellen, dass
(+) * (-) = '+-'
oder
(+) * (-) = +
oder
(+) * (-) = '?'
ergeben koennte, moeglicherweise sogar in Abhaengig-
keit von der Richtung oder Reihenfolge.
Ich werde das dumpfe Gefuehl nicht los, dass hier
Definitorisches, hineinspielt. Aber: 'dumpfes Gefuehl'
ist eben kein Argument.
Dr. Rudolf Sponsel
Mag sein, aber hier geht es doch um die Didaktik,
um Anschauung, Begreifbar- und Verstaendlich
machen. In einer anderen Mail wurde ich gefragt,
ob denn wohl klar sei, dass (+) * (-) = (-) ergebe.
Wenn ich ehrlich bin, muss ich sagen, dass mir
das auch nicht klar ist. Ich koennte auf Anhieb
nicht sagen, was grundsaetzlich gegen folgendes
spraeche ('+-', '?' neue 'Zahlen'):
(+) * (-) = '+-'
oder
(+) * (-) = +
oder
(+) * (-) = '?'
Das Ganze koennte noch von der Reihenfolge abhaengig
gemacht werden, die Matrixmultiplikation ist ja auch
nicht kommutativ.
Die ´+-' Variante haette z. B. in der Psychologie
und Psychotherapie eine nuetzliche Deutung als Ambi-
valenzkonflikt; demnach waeren moeglicherweise z. B.
'Ambivalenz-Zahlen' sinnig. Vielleicht ist das aber
Unsinn, weil schon schon gut durch die Vektorrechnung
abgedeckt: Motive als Vektoren macht Sinn.
Christian Palmes
> > aber wohl klar, oder?
>
> Nein.
> Nach der guten Aufnahme hier, trau ich mich das mal
> zu sagen. Ich finde das nicht klar. Ich kann mir
> gut vorstellen, dass
>
> (+) * (-) = '+-'
> oder
> (+) * (-) = +
> oder
> (+) * (-) = '?'
>
> ergeben koennte, moeglicherweise sogar in Abhaengig-
> keit von der Richtung oder Reihenfolge.
Das kann man Anschaulich allerdings klar machen:
(+) * (-) = (-)
Beispiel:
5 * (-6) = 5 * 6 * (-1) = 30 * (-1)
* (-1) bedeutet nun aber eine "Umdrehung, Negierung" auf der Zahlengerade. Und
somit lautet das Ergebnis -30.
> Ich werde das dumpfe Gefuehl nicht los, dass hier
> Definitorisches, hineinspielt. Aber: 'dumpfes Gefuehl'
> ist eben kein Argument.
Sicher, ohne Definitionen geht es nicht. Allerdings dürften diese
Vorzeichenregeln als Intuitiv klar gelten, da man damit schon immer zu tun
gehabt hat (auch schon als kleines Kind). Das hat zur Folge, daß die Logik
dieser grundsätzlichen Regeln irgendwie klar sein sollte. Wenn man es ganz
genau wissen möchte, so wird wahrscheinlich irgendein Axiomsystem in der
Mathematik existieren.
Gruß Christian
Rolf Krahl
schrieb Martin Spoden <Martin.Spo...@urz.uni-heidelberg.de>:
> Huhu!
>
>> Tut er das? Wo denn? Der triviale Körper, der nur aus {0} besteht,
>> erfüllt alle Körperaxiome und dort ist 0 = 1.
>
> Ich habe immer nur Definitionen/Axiome gesehen, die
> 0 != 1 implizierten.
Implizierten? Wie das denn? Daß ein Körper nicht der Nullkörper sein
soll, ist unabhängig von den Körperaxiomen und muß daher ggf. separat
gefordert werden.
> Wie sehen denn die Axiome aus,
> die 0 = 1 zulassen?
Ganz genau so, wie Du sie kennst. Spiel sie doch mal an dem
Nullkörper durch, es paßt alles.
--
Rolf Krahl <rolf....@gmx.net>
Matthias Lein
wenn man "0" als das neutrale Element der Addition und "1" als das
neutrale Element der Multiplikation in z.B. den reellen Zahlen
sieht, stimmt das auch soweit.
Im trivialen Körper ({0},*,+) gibt es ja nur die "0", deshalb ist die
"0" hier neutrales Element von "+" *und* "*", sowie das Inverse bzgl.
"+" *und* "*" ...
Vielleicht kann Martin seine Äußerung noch näher erklären, ich finde 0=1
im trivialen Körper nicht gerade anschaulich, da die Menge auf der die
beiden Abbildungen definiert sind die "1" ja garnicht enthält.
Ciao,
Matthias.
--
Matthias Lein <matt...@chemie.uni-marburg.de>
http://www.chemie.uni-marburg.de/~matthias/anschrift.html
ICQ# 47019058 PGP2.6.3iKeyID: F7B0EFD5
- Linux the choice of a GNU Generation -
KK
wrote:
> Implizierten? Wie das denn? Daß ein Körper nicht der Nullkörper sein
> soll, ist unabhängig von den Körperaxiomen und muß daher ggf. separat
> gefordert werden.
Eigentlich ist es Teil der Koerperaxiome, es wird aber sehr haeufig
vergessen oder unter den Tisch gekehrt. In den Gruppenaxiomen der
Multiplikation steht sonst "Es gibt ein neutrales Element 1!=0." o.s.ae.
Es gibt keinen Nullkoerper.
KK
KK
"Dr. Rudolf Sponsel" <dr.rudol...@t-online.de> wrote:
> > Es ist hierbei natürlich vorausgesetzt, daß (+) * (-) = (-) ist. Das ist
> > aber wohl klar, oder?
>
> Nein.
> Nach der guten Aufnahme hier, trau ich mich das mal
> zu sagen. Ich finde das nicht klar. Ich kann mir
> gut vorstellen, dass
>
> (+) * (-) = '+-'
> oder
> (+) * (-) = +
> oder
> (+) * (-) = '?'
>
> ergeben koennte, moeglicherweise sogar in Abhaengig-
> keit von der Richtung oder Reihenfolge.
>
> Ich werde das dumpfe Gefuehl nicht los, dass hier
> Definitorisches, hineinspielt. Aber: 'dumpfes Gefuehl'
> ist eben kein Argument.
Mhm. Der Beweis von + * - = - steht auch schon in Lukas-Fabians posting
von gestern. Geh' doch die Beweise einfach mal Schritt fuer Schritt
durch; einen anderen Zugang zum vollstaendigen Verstaendnis von
Mathematik gibt es nicht, und besonders schwer ist das bei den paar
Axiomen auch nicht.
KK
Gerhard Bukow
-a * -a = -a ?:(-a)
-a * -a -a
-------- = ---- ? T
-a -a
1
-a = -a * --- ? T
-a
-a = 1
Hier faellt auf, dass 1 nicht negativ ist.
Waere - * - = - wahr, so muesste 1 negativ sein.
Martin Spoden
> das auch nicht klar ist. Ich koennte auf Anhieb
> nicht sagen, was grundsaetzlich gegen folgendes
> spraeche ('+-', '?' neue 'Zahlen'):
>
> (+) * (-) = '+-'
> oder
> (+) * (-) = +
> oder
> (+) * (-) = '?'
>
> Das Ganze koennte noch von der Reihenfolge abhaengig
> gemacht werden, die Matrixmultiplikation ist ja auch
> nicht kommutativ.
Die Zeichen '+' und '-' müssen erst einmal
bewertet werden, bevor man Aussagen machen
kann. Typischerweise wird '-' als additives
Inverses verstanden. Aus der ausgezeichneten
Eins ('+') werden die Vorzeichen (Signum)
eines Objekts hergeleitet.
Die Frage ist nun, wie Multiplikation auf
diese Elemente wirkt, die wir ja durch Addition
gewonnen haben. Also muß man Multiplikation
definieren.
Aus den Distributivgesetzen folgt für jede
Instanz eines Körpers, daß
-1 * -1 = 1
(ich glaube, das hat schon irgendjemand hier
bewiesen, sonst vgl. LA 1- oder Ana 1-Lehrbuch)
> Die ´+-' Variante haette z. B. in der Psychologie
> und Psychotherapie eine nuetzliche Deutung als Ambi-
> valenzkonflikt; demnach waeren moeglicherweise z. B.
> 'Ambivalenz-Zahlen' sinnig. Vielleicht ist das aber
> Unsinn, weil schon schon gut durch die Vektorrechnung
> abgedeckt: Motive als Vektoren macht Sinn.
Ambivalenz als Konkurrenz oder als Widerspruch?
Entsprechend würde ich Optimierung oder Logik einsetzen
als Hilfsmittel. Was soll denn diese '+-'-Variante können,
was man mit bestehenden Techniken nicht kann?
Auch manchmal das Rad neu erfindend,
Martin
Martin Spoden
> im trivialen Körper nicht gerade anschaulich, da die Menge auf der die
> beiden Abbildungen definiert sind die "1" ja garnicht enthält.
Darum ging es mir ja:
Wie will man denn ein Körperelement "1" gegenüber der "0"
auszeichnen? Mit 0 = 1 [was ich manchmal "Wochenendsgleichung"
nenne, um die Mathematik mal ruhen zu lassen] folgt auch
unmittelbar, daß + von * ununterscheidbar ist. Damit haben wir
eine Gruppe - und eben keinen Körper, da das ja ein Konstrukt
mit _zwei_ Operationen sein soll!
Wir haben also immer {0,1} als Teilmenge des Körpers.
Das ist also der minimale Körper F_2.
Außerdem erlaubt 0 != 1 die äquivalente Charakterisierung,
daß für jeden Körper K gelten muß:
- (K,+) ist eine Gruppe mit neutralem Element 0
- (K \ {0},*) ist eine Gruppe mit neutralem Element 1
- Es gelten die Distributivgesetze
Tschüs,
Martin
KK
"Dr. Rudolf Sponsel" <dr.rudol...@t-online.de> wrote:
> KK wrote:
> > Das ist kein Gegenbeispiel, sondern ein Beispiel, naemlich fuer
> > unsaubere Notation. Schulden * Schulden ergibt irgendeine Groesse in
> > Euro^2, Guthaben dagegen ist doch wohl etwas in Euro.
>
> Mag sein, aber hier geht es doch um die Didaktik,
> um Anschauung, Begreifbar- und Verstaendlich
> machen. In einer anderen Mail wurde ich gefragt,
> ob denn wohl klar sei, dass (+) * (-) = (-) ergebe.
In der Mathematik ist es beim "Begreif- und Verstaendlich machen" in
aller Regel wichtig, gerade nicht schwammig, unpraezise und ein bisschen
falsch zu argumentieren. Um etwas mathematisch wirklich zu verstehen,
darf man eben *nicht* anschaulich argumentieren. Und gerade bei so
elementaren Sachen wie diesen hier ist das auch ueberhaupt nicht noetig.
Das man in der Mathematik normalerweise ganz genau sagen kann, wovon man
spricht und warum etwas etwas stimmt, ist sehr wertvoll und wichtig und
nicht irgendwie laestig und undidaktisch.
KK
Rolf Krahl
schrieb matt...@chemie.uni-marburg.de (Matthias Lein):
>
> Im trivialen Körper ({0},*,+) gibt es ja nur die "0", deshalb ist
> die "0" hier neutrales Element von "+" *und* "*", sowie das Inverse
> bzgl. "+" *und* "*" ...
>
> Vielleicht kann Martin seine Äußerung noch näher erklären, ich finde 0=1
> im trivialen Körper nicht gerade anschaulich, da die Menge auf der die
> beiden Abbildungen definiert sind die "1" ja garnicht enthält.
Naja, doch, er enthält schon die "1", nämlich 0. "1" ist ja nichts
anderes, als das Symbol für das neutrale Element bzgl. "+", und das
ist im Nullkörper ja gerade die 0.
Andererseits gilt, sei R ein Ring mit 1 und 0 = 1, dann ist R = {0}.
Beweis:
Zunächst gilt in jedem Ring stets 0 * a = 0 (a in R beliebig):
0 * a = 0 + 0 * a
= (-a + a) + 0 * a
= -a + (1 * a + 0 * a)
= -a + (1 + 0) * a
= -a + 1 * a
= -a + a
= 0
Wenn nun 0 = 1 gilt, dann folgt daraus
a = 1 * a = 0 * a = 0
D.h. jedes beliebige Element in R ist gleich 0, also R = {0}.
Also gilt in jedem Ring mit 1, mit der einen Ausnahme des trivialen
Nullkörpers, 0 \neq 1.
--
Rolf Krahl <rolf....@gmx.net>
Martin Spoden
> aller Regel wichtig, gerade nicht schwammig, unpraezise und ein bisschen
> falsch zu argumentieren. Um etwas mathematisch wirklich zu verstehen,
> darf man eben *nicht* anschaulich argumentieren. Und gerade bei so
> elementaren Sachen wie diesen hier ist das auch ueberhaupt nicht noetig.
> Das man in der Mathematik normalerweise ganz genau sagen kann, wovon man
> spricht und warum etwas etwas stimmt, ist sehr wertvoll und wichtig und
> nicht irgendwie laestig und undidaktisch.
Es ist sehr wertvoll, wichtig, aber auch laestig.
Der hohe Wert hat den Preis, daß man seine Anschauung und Vorurteile
immer wieder begraben muß. Die Anschauung ist ein erfolgreiches Mittel
in der Didaktik - und oft kann man die Beweisidee anschaulich besser
rüberbringen als mit bloßen Formeln. Daß man z.B. im Beweis natürlich
dann noch Fallunterscheidungen machen muß, die man in der Anschauung
nicht gesehen hat, ist klar.
Der Mix macht's.
Martin
KK
Martin Spoden <Martin.Spo...@urz.uni-heidelberg.de> wrote:
> > Das man in der Mathematik normalerweise ganz genau sagen kann, wovon man
> > spricht und warum etwas etwas stimmt, ist sehr wertvoll und wichtig und
> > nicht irgendwie laestig und undidaktisch.
>
> Es ist sehr wertvoll, wichtig, aber auch laestig.
> Der hohe Wert hat den Preis, daß man seine Anschauung und Vorurteile
> immer wieder begraben muß. Die Anschauung ist ein erfolgreiches Mittel
> in der Didaktik - und oft kann man die Beweisidee anschaulich besser
> rüberbringen als mit bloßen Formeln. Daß man z.B. im Beweis natürlich
> dann noch Fallunterscheidungen machen muß, die man in der Anschauung
> nicht gesehen hat, ist klar.
>
> Der Mix macht's.
Mit "ganz genau sagen" meine ich ja nicht, dass man ellenlange Formeln
aufschreiben muss. Natuerlich kann ein Mathematiker einem anderen kurz
anschaulich einen Beweis erklaeren. Aber wenn der andere dass dann
verstanden hat, kann er es selber beliebig praezise erklaeren, eventuell
mit ein bisschen Arbeit und nachdenken. Wenn nicht, dann hat er's eben
doch nicht ganz verstanden. Auf gar keinen Fall sollte man glauben, man
haette irgendwas begriffen, nur weil man eine vage anschauliche
Vorstellung davon hat. Das ist nur dann berechtigt, wenn man selbst in
der Lage ist, aus dieser Anschauung notfalls etwas praezises zu machen.
Wenn man mathematisch nicht so bewandert ist, dann sollte man bei ganz
einfachen Sachen wie Rechnen mit Koerperaxiomen erst einmal die Formeln
nachvollziehen. Anders versteht man die Mathematik schlicht und einfach
nicht. So ist das nun einmal; mathematisches Verstaendnis erfordert
Arbeit.
KK
Markus Rüttiger
Ja ich denke mal, das er das tut. Zudem wollte ich dies nur für die reellen
("element R" in den Axiomen")Zahlen beweisen. Sicher, wenn man die Menge
reduziert muss man Abstriche machen.
Wo nimmt du bei deinen Operationen die 1 her?? Wenn die Menge auf der du
Operationen ausführst nur aus der Menge mit dem Element {0} besteht. Wie
kommst du auf die 1?
Gruss Markus
Boudewijn Moonen
>
> Christian Palmes wrote:
>
>
> > Es ist hierbei natürlich vorausgesetzt, daß (+) * (-) = (-) ist. Das ist
> > aber wohl klar, oder?
>
> Nein.
> Nach der guten Aufnahme hier, trau ich mich das mal
> zu sagen. Ich finde das nicht klar. Ich kann mir
> gut vorstellen, dass
>
> (+) * (-) = '+-'
> oder
> (+) * (-) = +
> oder
> (+) * (-) = '?'
>
> ergeben koennte, moeglicherweise sogar in Abhaengig-
> keit von der Richtung oder Reihenfolge.
>
Wenn man die negativen Zahlen zum ersten Mal einfuehrt, muss
man natuerlich die Rechenregeln, die fuer sie gelten sollen,
erst einmal festlegen. Ein moegliches Vorgehen dafuer ist
das schon zitierte "Permanenzprinzip": Man moechte, dass
moeglichst viele fuer das Rechnen mit natuerlichen Zahlen
geltende Regeln erhalten bleiben.
Was heisst z.B. 5*3? Heisst eben, nehme fuenf mal die drei,
also addiere fuenfmal die 3 auf, also 3+3+3+3+3 = 15.
Wie interpretiert man dann 5*(-3)? Nun, analog: Heisst eben,
nehme fuenf mal die minus drei, also addiere fuenfmal die
-3 auf, also (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15.
Also setzt man fest: Fuer a, b > 0 is a*(-b) := -(a*b)
(Setzt natuerlich voraus, dass man vorher die Regel
(-a)+(-b) = -(a+b) akzeptiert.)
Wie interpretiert man nun (-5)*3? Minus fuenfmal die 3 zu sich
selbst addieren macht keinen Sinn. Nun erinnert man sich aber
einer weiteren Rechenregel, naemlich des Kommutativgesetzes
der Multiplikation. Also fordert man nach dem Permanenzprinzip
(-5)*3 := 3*(-5) = -15 = -(5*3)
und analog allgemein
(-a)*b := b*(-a) := -(b*a) .
Da a*b = b*a folgt dann
(-a)*b = a*(-b) .
>
> Ich werde das dumpfe Gefuehl nicht los, dass hier
> Definitorisches, hineinspielt.
>
Klar tut es das. Zahlen und das Rechnen mit ihnen sollen uns
ja u.a. helfen - entgegen anderslautenden in dieser Gruppe
geaeusserten Ansichten - uns in der Realitaet zurechtzufinden,
also ist es sinnvoll, angemessene Rechenregeln festzulegen,
die Zahlen zu sinnvollen, und nicht sinnlosen, mathematischen
Objekten macht.
>
> Aber: 'dumpfes Gefuehl' ist eben kein Argument.
>
Oh nein. Leider ist diese Erkenntnis nicht verbreitet genug... :-)
MfG
--
Boudewijn Moonen
Institut fuer Photogrammetrie der Universitaet Bonn
Nussallee 15
D-53115 Bonn
GERMANY
e-mail: Boudewij...@ipb.uni-bonn.de
Tel.: GERMANY +49-228-732910
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Marcell Kluth
> -a = 1
> Hier faellt auf, dass 1 nicht negativ ist.
> Waere - * - = - wahr, so muesste 1 negativ sein.
Fuer a = -1 gilt das doch...
--
Die Unendlichkeit hat Ihre eigenen Gesetze
Roland Harnau
Nun gut, damit hast die Körper der Charakteristik 2 ausgeschlossen.
Nehmen wir als nächstes F_3. Da gilt 2=-1 und -2=1, also
(-2)*(-1)=(-1)
Das, was du zu zeigen beabsichtigst, kannst du nicht *allein* aus den
Körperaxiomen folgern. Siehe dazu auch das Posting von Pether Hubert
zur "Anordnung" von Körpern.
roland
Dr. Rudolf Sponsel
zunaechst mal vielen Dank wie auch allen anderen.
> On Thu, 24 May 2001 13:42:58 +0200, "Dr. Rudolf Sponsel"
> <dr.rudol...@t-online.de> wrote:
>
> >1) a) Definition, b) Axiome, c) Ableitung (Satz) aus a,b)
> > oder gibt es mehrere Moeglichkeiten, zu dieser Geltung
> > zu gelangen?
>
> Ich nehme an, du sprichst von reellen Zahlen (bzw. Teilmengen davon,
> da funktioniert das im Wesentlichen genauso): dort folgt das aus den
> Körperaxiomen. Ein Weg, das zu zeigen, ist folgender:
>
> Man benötigt die Eindeutigkeit des inversen bzgl. der Addition. Aus a
> + (-a) = 0 und (-a) + (-(-a)) = 0 folgt dann a = -(-a).
Ich moechte hier gleich noch mal nachfragen:
Nach welcher Regel wird der Ausdruck "-(-a)" gebildet
und was bedeutet er? Auch der Gebrauch und Sinn der
Klammer ist mir nicht so recht klar.
Moeglicherweise habe ich veraltete, zu rigide oder auch
nur falsche Vorstellungen. Die sehen ungefaehr so aus:
1) Es gibt einen Zeichenvorrat: a,b,c, ...
2) Aus dem Zeichenvorrat werden elementere mathematische
Ausdruecke gebildet, z.B. a, b, c, ....
3) Hinzukommen Hilfsausdruecke "(", ")", ..., die
a) Ordnungen von Operationen festlegen helfen sollen
b) Zusammengehoeren-Ordnung festlegen helfen sollen
4) Elementare Ausdruecke koennen verknuepft werden,
z. B. a @ b, a @ c, ...
Unzulaessig zunaechst: a @@ b, a @@@ b, ....
Es gibt positive +a, +b, +c, ... und negative Aus-
drücke -a, -b, -c, ...
Wichtige Verknuepfungen sind die Operationen
Addition, Substraktion, Multi...
5) Bei Operationen sind die Bedeutungen der Ordnungen
(Reihenfolge wichtig).
Ist die Reihenfolge einer Verknuepfung invariant
bezueglich ihrer Bedeutung, kann also die Anordnung
vertauscht werden, heisst die Verknuepfung symmetrisch,
beim rechnen heisst sie kommutativ:
a @ b gleich b @ a.
6) Inverse: Sei a gegeben so heisse -a Inverse zu a.
Die Inverse hebt die Bedeutung eines Ausdrucks auf
(macht ihn nichtig, ist die Gegenoperation).
Hat man die "0" schon beim Koerper oder wird die
implizit durch die Koerper-Axiome eingefuehrt (was
hat man schon alles und woher weiss man, dass man
nicht zirkulaer ist?)
So weit mal. Was bedeutet nun "-(-a)" oder "+(+a)"?
Kann ich jetzt sagen: "(-a)" hebt (a) auf und folgend:
"-(-a)" hebt (-a) auf? Letzeres erscheint aber mehrdeu-
tig: aufheben1 -> a, aufheben2 -> 0. Gemeint ist natuer-
lich: hebt (-) von (-a) auf.
Von welchem Axiom des Koerpers kommt man nach welcher
Regel nun zu "-(-a)" und was heisst das genau?
Ich sag's mal platt fuer mich: die Koerperaxiome und
ihrer genaue Bedeutung der Zeichen und Anordnung sind
mir nicht ganz klar.
In diesem Zusammenhang wage ich gleich noch mal eine
Frage: Sind nicht Vorzeichen und Operationszeichen
zwei paar Stiefel, warum verwendet man dann nicht
auch zwei Zeichen, das wuerde die Klarheit doch enorm
erhoehen?
KK
Das ist schon alles ganz o.k. so. Die "0" kommt daher, dass die
Koerperaxiome verlangen, dass es ein Element mit den Eigenschaften der 0
gibt. Dieses Element schreibt man dann natuerlich auch 0. Was meinst Du
mit "zirkulaer"? Man postuliert in den Axiomen ja ein Objekt nach dem
anderen. Wichtig ist hauptsaechlich, dass die Axiome sich nicht
widersprechen; dass tuen sie nicht, weil es ja Koerper gibt.
> So weit mal. Was bedeutet nun "-(-a)" oder "+(+a)"?
> Kann ich jetzt sagen: "(-a)" hebt (a) auf und folgend:
> "-(-a)" hebt (-a) auf? Letzeres erscheint aber mehrdeu-
> tig: aufheben1 -> a, aufheben2 -> 0. Gemeint ist natuer-
> lich: hebt (-) von (-a) auf.
> Von welchem Axiom des Koerpers kommt man nach welcher
> Regel nun zu "-(-a)" und was heisst das genau?
-a ist ein Inverses zu a bezueglich der Addition, dass nach einem
Koerperaxiom existiert. D.h. -a ist ein Element mit (-a) + a = 0. -(-a)
ist entsprechend ein Inverses zu -a, also ein Element mit (-(-a)) + (-a)
= 0. Und dann kann man halt zeigen, dass -(-a)=a und dass die Inversen
eindeutig sind.
> In diesem Zusammenhang wage ich gleich noch mal eine
> Frage: Sind nicht Vorzeichen und Operationszeichen
> zwei paar Stiefel, warum verwendet man dann nicht
> auch zwei Zeichen, das wuerde die Klarheit doch enorm
> erhoehen?
Man definiert a - b als a + (-b). Das sind natuerlich historisch
bedingte Notationen. Aber Missverstaendnisse sind bei der Notation
eigentlich ausgeschlosssen.
KK
Christian Palmes
>
> Nach welcher Regel wird der Ausdruck "-(-a)" gebildet
> und was bedeutet er? Auch der Gebrauch und Sinn der
> Klammer ist mir nicht so recht klar.
Die Klammer bedeutet per Definition, daß zuerst das gemacht wird, was in
der Klammer steht. Das "-" vor a bedeutet, daß das Inverse Elemente
bezüglich der Addition gemeint ist. Also a + (-a) = 0. Das ist ein
Körperaxiom. -(-a) bedeutet eben, daß Du das Inverse Element von a bildest
und von diesem Element nochmal das Inverse. Man kann dann mit den
Körperaxiomen beweisen, daß -(-a)=a sein muß.
> So weit mal. Was bedeutet nun "-(-a)" oder "+(+a)"?
> Kann ich jetzt sagen: "(-a)" hebt (a) auf und folgend:
> "-(-a)" hebt (-a) auf? Letzeres erscheint aber mehrdeu-
> tig: aufheben1 -> a, aufheben2 -> 0. Gemeint ist natuer-
> lich: hebt (-) von (-a) auf.
Aufheben ist nicht richtig formuliert.
Das inverse Element der Addition ist so definiert, daß eine Addition des
nicht inversen Elements mit diesem das Neutrale Element ergibt. Also a +
(-a) = 0. Und 0 ist per Definition dieses neutrale Element, was eindeutig
ist, was man auch beweisen kann.
> Von welchem Axiom des Koerpers kommt man nach welcher
> Regel nun zu "-(-a)" und was heisst das genau?
Das habe ich Dir ja gemailt.
> Ich sag's mal platt fuer mich: die Koerperaxiome und
> ihrer genaue Bedeutung der Zeichen und Anordnung sind
> mir nicht ganz klar.
Vielleicht solltest Du sie mehrmals durchlesen. Bei mir hats auch ein
bißchen gedauert. Nicht aufgeben ;-)
> In diesem Zusammenhang wage ich gleich noch mal eine
> Frage: Sind nicht Vorzeichen und Operationszeichen
> zwei paar Stiefel, warum verwendet man dann nicht
> auch zwei Zeichen, das wuerde die Klarheit doch enorm
> erhoehen?
Das Operationszeichen ist wie folgt definiert:
x -y : = x + (-y)
Das steht aber auch in dem, was ich Dir gemailt habe. Am besten alles
nochmal durchlesen.
Gruß Christian
Lukas-Fabian Moser
<dr.rudol...@t-online.de> wrote:
>Nach welcher Regel wird der Ausdruck "-(-a)" gebildet
>und was bedeutet er? Auch der Gebrauch und Sinn der
>Klammer ist mir nicht so recht klar.
Nun, -a ist definiert als diejenige (eindeutig bestimmte, wie man
zeigen kann) Zahl, die zu a addiert 0 ergibt. Nennen wir sie nun der
Einfachheit halber b, also b := -a. Dann ist b auch eine Zahl, von der
man das Inverse -b bilden kann, so daß b + (-b) = 0 ist. Und dieses
Inverse -b ist nun gleich -(-a). Die Klammer dient ausschließlich zur
(optischen) Abtrennung.
> Hat man die "0" schon beim Koerper oder wird die
> implizit durch die Koerper-Axiome eingefuehrt (was
> hat man schon alles und woher weiss man, dass man
> nicht zirkulaer ist?)
Nein, man muß sie haben. Die Körperaxiome sagen einem nicht, wo man
eine wie geartete Null findet, sondern fordern einfach, daß es eine
geben muß, damit man das ganze Gebilde "Körper" nennen darf. Die
Körperaxiome bilden die Definition eines Körpers; alles, was diese
Axiome "irgendwie" erfüllt, ist ein Körper. Das ist ähnlich wie im
Strafrecht, wo alles, was die Tatbestandsmerkmale von "Raub" erfüllt,
auch als "Raub" bezeichnet werden darf und speziell so behandelt wird,
wie "Raub" im allgemeinen verhandelt werden muß. (Bitte jetzt keine
juristischen Diskussionen anfangen, ich bin da absoluter Laie! :-)
>In diesem Zusammenhang wage ich gleich noch mal eine
>Frage: Sind nicht Vorzeichen und Operationszeichen
>zwei paar Stiefel, warum verwendet man dann nicht
>auch zwei Zeichen, das wuerde die Klarheit doch enorm
>erhoehen?
Doch, sie sind zwei paar Stiefel.
Es gibt bezüglich Addition/Subtraktion in einem Körper eigentlich nur
eine Operation, nämlich die Addition a + b. -a ist dagegen eine
Schreibweise für das Inverse von a bezüglich der Addition; genausogut
könnte man "a Stern" oder "a Strich" schreiben.
Für den Ausdruck a + (-b) gibt es nun die *Kurzschreibweise* a - b.
Man definiert also a - b := a + (-b). Natürlich könnte man sagen, daß
ist jetzt mißverständlich, aber in der Praxis bereitet die
Unterscheidung zwischen unären (-a) und binären (a - b) Operatoren
wohl kaum Probleme - die Schule jetzt einmal ausgenommen ;-).
Der Ausdruck "+a" ist mir in der Mathematik bislang nicht
untergekommen, ich kenne ihn nur vom kaufmännischen Rechnen.
Lukas
Dr. Rudolf Sponsel
> Das ist schon alles ganz o.k. so. Die "0" kommt daher, dass die
> Koerperaxiome verlangen, dass es ein Element mit den Eigenschaften der 0
> gibt. Dieses Element schreibt man dann natuerlich auch 0. Was meinst Du
> mit "zirkulaer"? Man postuliert in den Axiomen ja ein Objekt nach dem
In den zwei schoenen Seiten, die ich von Christian Palmes
(vielen Dank noch mal; ich vermelde mal positiv: es daemmert)
per PM bekam, steht am Anfang der Entwicklung der Koerper-
axiome zur Addition, dass die reellen Zahlen vorausgesetzt
seien. Da kam bei mir der Gedanke auf: was braucht man denn
alles, um die reellen Zahlen zu konstruieren? Muss man zur
Konstruktion der reellen Zahlen nicht schon etwas verwenden,
das man jetzt erst zur Verfuegung hat oder ist das eine ab-
wegige Idee?
Ganz allgemein verbinde ich mit beweisen folgende 'Ideee':
Man hat D(efinitionen), A(xiome), R(egeln) wie Ausdruecke
umgeformt werden duerfen und S(aetze), die aus D..., A...,
R... schon entstanden sind, die man also schon verwenden
darf, etwa, wenn man weiss, ein ein mathematisches Objekt
ein Koerper ist, dann kann man auf alle Saetze zugreifen,
die fuer Koerper eben schon bewiesen sind, was sozusagen
die Beweisarbeit erheblich vereinfacht und sehr praktisch
ist.
Nun fuehren aber vermutlich sehr unterschiedliche Wege
nach Rom, d.h. je nach Ansatz, Neigung oder Zufall wird
man von da oder dort kommen. Wenn einer dann eine Behauptung
zu beweisen anfaengt, wird gewoehnlich nicht dazu gesagt,
was sie/er schon alles annimmt. So stellt sich das quasi
aus meiner laienhaften Sicht dar. Es kann natuerlich sein,
dass alle mathematischen Insider schon wissen, was da
alles vorausgesetzt wird. Das, was in der Schule gewoehnlich
unter Voraussetzung angegeben wurde, ist meist nur das
*letzte Glied*: *aber von welcher Kette* eigentlich? Ist diese
laienhafte Sicht und 'Gretchenfrage' - von welcher Kette
eigentlich - falsch?
> Man definiert a - b als a + (-b). Das sind natuerlich historisch
> bedingte Notationen. Aber Missverstaendnisse sind bei der Notation
> eigentlich ausgeschlosssen.
Fuer Erwachsene und Studierende weitgehend ja.
Hm, ich habe ein Kind in kognitiver Therapie, das ungewoehn-
lich aber auf seine Weise nachvollziehbar denkt, aber nicht so,
wie das erwartet wird und daher grosse Probleme in der Schule
und auch in Mathe hat. Von einem strengen Standpunkt aus
denkt es 'nur anders', vom ueblichen aus, denkt es falsch.
Ein Teil der Probleme in der Mathematik-Didaktik, mutmasse
ich, kommt durch die unklare und mehrdeutige Notation,
unguenstige Bezeichnungen und mangelhafte Erklaerungen,
denn der Durchschnittsmensch ist ja keine MathematikerIn.
Es ist fuer Kinder psychologisch gesehen ausserordentlich
schwierig zu begreifen, dass "a - b als a + (-b)" zu ver-
stehen ist: ein und daselbe Zeichen wird fuer zwei ganz
unterschiedliche Bedeutungen, ja im Grunde gegensaetzliche,
verwendet. Was sagen denn die Mathematik-DidaktikerInnen
dazu? Gibt es eine Mathe-Didaktik-Newsgroup oder sind meine
Didaktikfragen auch hier willkommen?
Christian Palmes
[Zur Definition a - b := a + (-b)]
Streng genommen ist das erste Minuszeichen in dem a - b natürlich etwas
anderes als zweite bei a + (-b). Schon allein deswegen weil es binär ist, also
eine Verknüpfung darstellt. -b bestagt dagegen nur, daß das Inverse von b
gemeint ist. Auf vielen Taschenrechnern werden diese beiden "Minuszeichen"
auch unterschieden !!. Ich habe zwei, eine Programmierbaren und einen
"Schultauglichen (Rechenschieber genannt ;-)". Beide verfügen über zwei -
zeichen, die nicht vertauscht werden dürfen. Rechne einfach mal -5 + 4 und 4
-5. Der Unterschied wird Dir auffallen.
Es macht aber durchaus Sinn diese vereinfachende Schreibweise einzuführen,
weil das "-" in R eben eine besondere Bedeutung hat, da R angeordnet ist. Die
Differenz 45-40=5 sagt Dir hier, daß 5 Zahlen "dazwischen" liegen. Es lohnt
daher schon ein "-" einzuführen. Du schreibst für xy ja auch nicht immer
1*x*1*y.
Gruß Christian
P.S.: Bist Du sicher, daß Kinder die Rechengesetze mit Axiomen begründet haben
wollen??
Dr. Rudolf Sponsel
> P.S.: Bist Du sicher, daß Kinder die Rechengesetze mit Axiomen begründet haben
> wollen??
1) Erster Impuls: ;-)))
2) wenn es gut - spielerisch, anschaulich, einsichtig -
gemacht wird: ja.
3) Hm, ich bin mir sicher, dass die Kinder mit ihrer
Natuerlichkeit und Neugier, beim Versuchen Mathe zu
verstehen, jedwede Unterstuetzung verdienen, gerade
bei einer so bedeutsamen Angelegenheit wie Mathe.
Ist hier schon mal das Buch von: Stella Baruk (dt. 1989)
"Wie alt ist der Kapitän? Über den Irrtum in der Mathe-
matik". Basel: Birkhäuser. diskutiert worden? Das Buch
behandelt nicht die Irrtuemer der Grossen, sondern der
Kleinen und berichtet von den Experimenten der franzoe-
sischen Mathematik-DidaktikerInnen.
Klaus D. Thull
Mal ganz ausführlich:
(-1)*(-1)
= ((-1)*(-1)) + 0 0 ist neutrales Element der Addition
= ((-1)*(-1)) + ((-1) + 1) (-1) ist additives Inverses von 1
= (((-1)*(-1)) + (-1)) + 1 Assoziativgestzt der Addition
(mehrmals angewendet)
= (((-1)*(-1)) + (1*(-1))) + 1 1 ist neutrales Element der
Multiplikation
= (((-1) + 1)*(-1)) + 1 Distributivgesetz
= (0*(-1))+ 1 (-1) ist additives Inverses von 1
= 0 + 1 0*r=0 (s.u.)
=1 0 ist neutrales Element der Addition
Sei r ein beliebiges Element eines Ringes. Dann gilt
0
= (-0*r) + 0*r
= (-0*r) + ((0 + 0) * r)
= (-0*r) + (0*r + 0*r)
= ((-0*r) + 0*r) + 0*r
= 0 + 0*r
= 0*r
Axel Schmitz-Tewes
Hi, das geht noch ein bisserl kürzer:
(-1) * (-1) - 1 = (-1) * ( -1 +1 ) = (-1) * 0 = 0 qed.
wobei allerdings der zweite Teil Deiner Argumentation verwendet wurde.
Axel
Klaus D. Thull
Axel Schmitz-Tewes schrieb:
> Hi, das geht noch ein bisserl kürzer:
>
> (-1) * (-1) - 1 = (-1) * ( -1 +1 ) = (-1) * 0 = 0 qed.
>
> wobei allerdings der zweite Teil Deiner Argumentation verwendet wurde.
>
> Axel
Rehi, darüber könnten wir jetzt schön disputieren. Aber lassen wir das.
Ich habe absichtlich versucht, bei jeder Gleichung nur einen elementaren
(auf Ring-Axiomen beruhenden) Schritt durchzuführen.
In einem Ring hat man zunächst mal nur die Menge R und die beiden binären
Operationen Addition und Multiplikation. Die Subtraktion, die du im ersten
verwendest, ist erstmal nicht definiert; bei deiner ersten Gleichung hast du
einige Schritte zusammengefasst, was ich vermeiden wollte, und schließlich
wollte ich eine Gleichungskette, dei der am Anfang (-1)*(-1) und am Ende 1
steht.
Der Fragesteller scheint mir bzgl. der Mathematik ein Neueinsteiger zu sein
und ich halte es für angebracht, pingelich exakt zu argumentieren. Dass
(-1)*(-1)=1 gilt, wissen wir schließlich alle.
Ich schätze deine Beiträge
Gruß
Klaus
Axel Schmitz-Tewes
>
> Axel Schmitz-Tewes schrieb:
>
> > Hi, das geht noch ein bisserl kürzer:
> >
> > (-1) * (-1) - 1 = (-1) * ( -1 +1 ) = (-1) * 0 = 0 qed.
> >
> > wobei allerdings der zweite Teil Deiner Argumentation verwendet wurde.
> >
> > Axel
>
> Rehi, darüber könnten wir jetzt schön disputieren. Aber lassen wir das.
> Ich habe absichtlich versucht, bei jeder Gleichung nur einen elementaren
> (auf Ring-Axiomen beruhenden) Schritt durchzuführen.
>
> In einem Ring hat man zunächst mal nur die Menge R und die beiden binären
> Operationen Addition und Multiplikation. Die Subtraktion, die du im ersten
> verwendest, ist erstmal nicht definiert;
Die "Subtraktion" (ist keine Operation) ist einfach def. als Addition
des Inversen, also sieht es so aus:
(-1) * (-1) + (-1) = (-1) * ( (-1) + 1 ) = (-1) * 0 = 0 qed.
Ich denke, daß es jetzt eigentlich elementar klar ist. Im ersten Schritt
verwende ich das Distributivgesetz (Axiom) , der zweite ist doch wohl
sonnenklar :-) , und den dritten hast Du selbst erläutert. Ich sehe hier
absolut nicht _nicht_elementares :-)
> bei deiner ersten Gleichung hast du
> einige Schritte zusammengefasst, was ich vermeiden wollte,
Distributivgesetz ?
> und schließlich
> wollte ich eine Gleichungskette, dei der am Anfang (-1)*(-1) und am Ende 1
> steht.
Das allerdings ist Geschmackssache. Diejenige Zahl, die auf -1 addiert 0
ergibt ist nach Axiom 1.
>
> Der Fragesteller scheint mir bzgl. der Mathematik ein Neueinsteiger zu sein
> und ich halte es für angebracht, pingelich exakt zu argumentieren.
Ich stimme hier vollständig zu. Ich hatte gedacht, daß die Substitution
a - b := a + (-b) klar sei. Ich hoffe jetzt aber alles klargestellt zu
haben.
Axel
Dr. Rudolf Sponsel
>
> Der Fragesteller scheint mir bzgl. der Mathematik ein Neueinsteiger zu sein
> und ich halte es für angebracht, pingelich exakt zu argumentieren.
Fand ich ganz prima. Danke. So komisch es klingen
mag: als ich neulich darueber nachdachte, musste
ich mir gestehen, dass es mir gar nicht klar war:
(-1)*(-1)=(+1) und ich fragte mich: warum? Und
ploetzlich war gar nichts mehr klar. Das Gleiche
war es dann mit (-)*(+)=(-).
Allerdings habe ich bislang kein anschauliches
Modellbeispiel, womit ich es z. B. einer Putzfrau
anschaulich plausibel machen koennte. Na ja, viel-
leicht gibt es ja keines.
Die Beitraege hier fuehrten dann dazu, dass ich es
dann richtig 'hatte'. Auch die Sache mit F2 bzw.
K2 als Basis fuer Logikrechnen fand ich sehr in-
teressant.