Gammafunktion
Wolfgang Draxinger
Tutoriums-Blatt (i.e. Vorbereitung zu einem Tutorium, die nicht
bewertet wird, spicken also erlaubt ;-)) zur Thermodynamik steht
eine Aufgabe zur Gammafunktion.
\Gamma(x) = \int_{0}^{\inf} t^{1-x} e^{-t} dt
Unter anderem ist die Funktionalgleichung
\Gamma(N+1) = N \Gamma(N)
zu zeigen. Allerdings leidet mein Hirn nach diesem "Horror"-Tag
unter Informationsüberlastung und ich hab nicht die geringste
Idee, wie ich da rangehe*. Gib mir mal jemand bitte einen
ordentlichen Schubs in die richtige Richtung. Oder gleich die
komplette Lösung ;-)
Wolfgang Draxinger
*) Und mich jetzt durch Mathebücher zu ackern habe ich genauso
wenig Lust, wie mit Google MathWorld zu durchforsten, auf der
Hauptseite zur Gamma-Fkt. steht nichts dazu, wie man das
beweist.
--
E-Mail address works, Jabber: hexa...@jabber.org, ICQ: 134682867
Jannick Asmus
> Ich steh gerade ein wenig auf dem Schlauch. Auf dem aktuellen
> Tutoriums-Blatt (i.e. Vorbereitung zu einem Tutorium, die nicht
> bewertet wird, spicken also erlaubt ;-)) zur Thermodynamik steht
> eine Aufgabe zur Gammafunktion.
>
> \Gamma(x) = \int_{0}^{\inf} t^{1-x} e^{-t} dt
>
> Unter anderem ist die Funktionalgleichung
>
> \Gamma(N+1) = N \Gamma(N)
>
> zu zeigen. Allerdings leidet mein Hirn nach diesem "Horror"-Tag
> Idee, wie ich da rangehe*. Gib mir mal jemand bitte einen
> ordentlichen Schubs in die richtige Richtung. Oder gleich die
Vielleicht partielle Integration? Aber Vorsicht: Hier sind uneigentliche
Integrale im Spiel!
> Wolfgang Draxinger
>
> *) Und mich jetzt durch MathebÃŒcher zu ackern habe ich genauso
> wenig Lust, wie mit Google MathWorld zu durchforsten, auf der
> Hauptseite zur Gamma-Fkt. steht nichts dazu, wie man das
> beweist.
Gruß
J.
Bastian Erdnuess
> Ich steh gerade ein wenig auf dem Schlauch. Auf dem aktuellen
> Tutoriums-Blatt (i.e. Vorbereitung zu einem Tutorium, die nicht
> bewertet wird, spicken also erlaubt ;-)) zur Thermodynamik steht
> eine Aufgabe zur Gammafunktion.
>
> \Gamma(x) = \int_{0}^{\inf} t^{1-x} e^{-t} dt
^^^
Hier muss aber x-1 statt 1-x stehen, sonst hauts net ganz hin.
Bastian
Hendrik van Hees
> Ich steh gerade ein wenig auf dem Schlauch. Auf dem aktuellen
> Tutoriums-Blatt (i.e. Vorbereitung zu einem Tutorium, die nicht
> bewertet wird, spicken also erlaubt ;-)) zur Thermodynamik steht
> eine Aufgabe zur Gammafunktion.
>
> \Gamma(x) = \int_{0}^{\inf} t^{1-x} e^{-t} dt
>
> Unter anderem ist die Funktionalgleichung
>
> \Gamma(N+1) = N \Gamma(N)
>
> zu zeigen. Allerdings leidet mein Hirn nach diesem "Horror"-Tag
> unter Informationsüberlastung und ich hab nicht die geringste
> Idee, wie ich da rangehe*. Gib mir mal jemand bitte einen
> ordentlichen Schubs in die richtige Richtung. Oder gleich die
> komplette Lösung ;-)
Well *streng* *guck*. Aber weil Du's bist:
Erst mal mußt Du die Gammafunktion richtig hinschreiben:
\Gamma(x)=\int_0^{\infty} dt t^{x-1} e^{-t},
und das ist auch nicht die ganze Gamma-Funktion, sondern nur für Re x>0.
Unter t^{x-1} ist dabei exp[(x-1) ln t] zu verstehen, wobei ln t entlang
der positiven reellen Achse reell ist (Hauptzweig des ln).
Nun gilt
\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty} dt t^x exp(-t)
Das integrieren wir partiell mit
u(t)=t^x, v'(t)=exp(-t)
u'(t)=x t^{x-1}, v(t)=-exp(-t)
Für Re x>0 ist ergo
u(t) v(t)|_0^{\infty}=0
und damit
\Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} x t^{x-1} exp(-t)=x \Gamma(x).
Mehr zur Gammafunktion findest Du in dem kurzen Abschnitt 5.3.1 auf S. 144
meines QFT-Skripts (keine Panik, das läßt sich unabhängig vom
physikalischen Kontext lesen):
http://cyclotron.tamu.edu/hees/publ/lect.pdf
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:he...@comp.tamu.edu
Gerry Ford
"Hendrik van Hees" <he...@comp.tamu.edu> wrote in message
news:awbQj.30509$KJ1....@newsfe19.lga...
> Wolfgang Draxinger wrote:
>
>> Ich steh gerade ein wenig auf dem Schlauch. Auf dem aktuellen
>> Tutoriums-Blatt (i.e. Vorbereitung zu einem Tutorium, die nicht
>> bewertet wird, spicken also erlaubt ;-)) zur Thermodynamik steht
>> eine Aufgabe zur Gammafunktion.
>>
>> \Gamma(x) = \int_{0}^{\inf} t^{1-x} e^{-t} dt
>>
>> Unter anderem ist die Funktionalgleichung
>>
>> \Gamma(N+1) = N \Gamma(N)
>>
>> zu zeigen. Allerdings leidet mein Hirn nach diesem "Horror"-Tag
>> unter Informationsüberlastung und ich hab nicht die geringste
>> Idee, wie ich da rangehe*. Gib mir mal jemand bitte einen
>> ordentlichen Schubs in die richtige Richtung. Oder gleich die
>> komplette Lösung ;-)
>
> Well *streng* *guck*. Aber weil Du's bist:
>
> Erst mal mußt Du die Gammafunktion richtig hinschreiben:
>
> \Gamma(x)=\int_0^{\infty} dt t^{x-1} e^{-t},
>
> und das ist auch nicht die ganze Gamma-Funktion, sondern nur für Re x>0.
> Unter t^{x-1} ist dabei exp[(x-1) ln t] zu verstehen, wobei ln t entlang
> der positiven reellen Achse reell ist (Hauptzweig des ln).
>
> Nun gilt
>
> \Gamma(x+1)=\int_0^{\infty} dt t^x exp(-t)
good notation here. I like puttting dt in front.
>
> Das integrieren wir partiell mit
>
> u(t)=t^x, v'(t)=exp(-t)
> u'(t)=x t^{x-1}, v(t)=-exp(-t)
>
> Für Re x>0 ist ergo
>
> u(t) v(t)|_0^{\infty}=0
>
> und damit
>
> \Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} x t^{x-1} exp(-t)=x \Gamma(x).
>
> Mehr zur Gammafunktion findest Du in dem kurzen Abschnitt 5.3.1 auf S. 144
> meines QFT-Skripts (keine Panik, das läßt sich unabhängig vom
> physikalischen Kontext lesen):
>
> http://cyclotron.tamu.edu/hees/publ/lect.pdf
>
> --
> Hendrik van Hees Texas A&M University
> Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
> Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
> http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:he...@comp.tamu.edu
>
Was ich alles in der letzen Woche ueber Texaner geschrieben habe muss ich
nun zurueck nehmen.
--
"Life in Lubbock, Texas, taught me two things: One is that God loves you
and you're going to burn in hell. The other is that sex is the most
awful, filthy thing on earth and you should save it for someone you love."
~~ Butch Hancock