Wahrscheinlichkeitstabelle
Klaas-Hendrik Poelstra
Ich hab ein kleines Problem eher allgemeiner Art - zum besseren
Verständnis erfinde ich mal ein kleines Beispiel:
Man hat 5 Kästchen (A bis E) und 5 Steine (1 bis 5). In jedem Kästchen
ist ein Stein. Man weiß aber nicht, welcher Stein in welchem Kästchen
ist.
Dafür hat man eine Tabelle mit den Spalten 'A' bis 'E' und den Zeilen
'1' bis '5' gegeben, in der angegeben ist, mit welcher
Wahrscheinlichkeit Stein i im Kästchen x ist (Wahrscheinlichkeiten
willkürlich vorgegeben).
Da sich in jedem Kästchen ein Stein befindet und jeder Stein in einem
Kästchen liegt, ist klar, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten
jeder Zeile und die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeder Spalte immer
100% ergeben muss. Jetzt wird ein Kästchen geöffnet und es stellt sich
heraus, dass sich der gefundene Stein im geöffneten Kästchen befindet
(Ach nee^^). Gleichzeitig wird klar, dass sich in dem geöffneten
Kästchen kein anderer Stein befinden kann und dass der gefundene Stein
in keinem anderen Kästchen liegen kann - die Tabelle muss also
angepasst werden. Die Zelle für das geöffnete Kästchen und den
gefundenen Stein erhält die Wahrscheinlichkeit 100%. In alle anderen
Zellen derselben Zeile und derselben Spalte wird die
Wahrscheinlichkeit 0% eingetragen. Aber was ist mit den übrigen
Zellen?
So... ich hoffe, man kann jetzt verstehen, worauf ich hinaus will :-)
Ich wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte!
Gruß,
SuperGreenhorn
Bastian Erdnuess
> Smile
>
> Ich wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte!
>
> Gruß,
> khp
Das kann man so leider nicht sagen. Dafür reicht die Information im
Allgemeinen nicht aus.
Das kann man schon am Beispiel mit nur 3 Steinen und 3 Kästchen sehen.
Es gibt die folgenden 6 Möglichkeiten die Kuglen auf die Kästchen zu
verteilen:
Fall 1 1 2 3 1/2
Fall 2 1 3 2 0
Fall 3 2 1 3 0
Fall 4 2 3 1 1/4
Fall 5 3 1 2 1/4
Fall 6 3 2 1 0
Hier soll Fall 1 bedeuten, dass im Kästchen A der 1. Stein, im Kästchen
B der 2. Stein und im Kästchen C der 3. Stein liegt. Außerdem habe ich
noch eine Wahrscheinlichkeit (hier 1/2) dazugeschrieben, mit der der
Fall eintreten soll. Analog bedeutet Fall 6, dass der 3. Stein im
Kästchen A, der 2. Stein im Kästchen B und der 1. Stein im Kästchen C
liegt. Dieser Fall soll aber nie eintreten.
Der erste Stein liegt im ersten Kästchen, wenn der 1. oder der 2. Fall
eintritt. Das geschieht mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 (hier kann nur
der 1. Fall eintreten, eigenlich steht hier die Summe der
Wahrscheinlichkeiten, mit denen Fall 1 oder Fall 2 eintreten).
Auf gleiche Weise bekommen wir auch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen
ein anderer beliebiger Stein in einem beliebigen Kästchen liegt. Das
entspricht deiner Tabelle. Diese sieht folgendermaßen aus:
Kästchen A B C
Stein 1 1/2 1/4 1/4
Stein 2 1/4 1/2 1/4
Stein 3 1/4 1/4 1/2
Angenommen wir machen nun Kästchen A auf und entdecken darin Stein 3,
dann wissen wir, dass Fall 5 oder 6 eingetreten sein muss. Da Fall 6
nicht eintreten kann, ist sicher Fall 5 eingetreten. Stein 1 liegt also
sicher in Kästchen B und Stein 2 sicher in Kästchen C. Die Tabelle sieht
nun so aus:
Kästchen A B C
Stein 1 0 1 0
Stein 2 0 0 1
Stein 3 1 0 0
Wäre allerdings zu Anfang die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu den
Fällen folgendermaßen gewesen
Fall 1 1 2 3 1/4
Fall 2 1 3 2 1/4
Fall 3 2 1 3 1/4
Fall 4 2 3 1 0
Fall 5 3 1 2 0
Fall 6 3 2 1 1/4
hätten wir die gleiche Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten erhalten,
dass die einzelnen Steine in den einzelnen Kästchen liegen:
Kästchen A B C
Stein 1 1/2 1/4 1/4
Stein 2 1/4 1/2 1/4
Stein 3 1/4 1/4 1/2
Fänden wir nun aber Stein 3 in Kästchen A, wüssten wir sicher, dass Fall
6 eingetreten ist. Daher sieht die Tabelle danach so aus:
Kästchen A B C
Stein 1 0 0 1
Stein 2 0 1 0
Stein 3 1 0 0
Wäre also die zugrundeliegende Fallverteilung nicht bekannt, hätte uns
die Information, dass in Kästchen A Stein 3 liegt keine Information
darüber gebracht, wie nun Stein 2 und Stein 3 auf Kästchen B und C
aufgeteilt sind. Und die Fallverteilung geht leider nicht eindeutig aus
der Stein/Kästchen-Tabelle hervor.
Bastian
Klaas-Hendrik Poelstra
hmm... vielen Dank erstmal für die Antwort
klingt eigentlich alles ganz einleuchtend, aber wenn man nur eine
Stein-Kästchen Tabelle hat und keine Information über die
Fallverteilung (schließlich wird die Anzahl der möglichen Fälle bei
vielen Kästchen/Steinen sehr groß) - kann man dann gar keine
mathematisch begründete Hypothese aufstellen, wie die Tabelle
auszusehen hat, nachdem ein Kästchen aufgedeckt wurde? Klar, so genau
wären die Ergebnisse dann nicht, aber immerhin... :-)
Ich hab mal ein kleines Programm geschrieben und mit dessen Hilfe
versucht, das ganze Experimentell zu untersuchen. Allerdings kann ich
für die Richtigkeit nicht garantieren...
Hier ein paar Ergebnisse:
NUMMER EINS:
vorher
10% 70% 20%
20% 10% 70%
70% 20% 10%
nachher:
100,0% 000,0% 000,0%
000,0% 012,7% 087,3%
000,0% 087,3% 012,3%
NUMMER ZWEI:
vorher
50% 20% 30%
20% 30% 50%
30% 50% 20%
nachher:
100,0% 000,0% 000,0%
000,0% 037,8% 062,2%
000,0% 062,2% 037,8%
NUMMER DREI:
vorher
80% 10% 10%
10% 80% 10%
10% 10% 80%
nachher:
100,0% 000,0% 000,0%
000,0% 089,2% 010,8%
000,0% 010,8% 089,2%
Klaas-Hendrik Poelstra
wrote:
grrr... hab grad gemerkt, dass das völlig falsch und bescheuert ist,
was ich da gemacht habe. Geht wohl wirklich nicht...
Bastian Erdnuess
> grrr... hab grad gemerkt, dass das völlig falsch und bescheuert ist,
> was ich da gemacht habe. Geht wohl wirklich nicht...
Es könnte schon etwas geben, was man machen kann.
Für Fall I sieht nachher die Tabelle Folgendermaßen aus:
100% 000% 000%
000% 0-100% 0-100%
000% 0-100% 0-100%
Das sagt einem wirklich nichts. Man könnte höchstens den "Mittelwert"
nehmen.
100% 000% 000%
000% 050% 050%
000% 050% 050%
Für Fall II sieht aber die Tabelle nachher so aus:
100% 000% 000%
000% 0-40% 60%-100%
000% 60%-100% 0-40%
Das ist immerhin eine Einschränkung. Als "Mittelwert" könnte man
100% 000% 000%
000% 020% 080%
000% 080% 020%
nehmen. Ein Ähnliches Ergebnis hat man bei Fall III. Dort sieht die
Tabelle nachher so aus:
100,00% 000,00% 000,00%
000,00% 87,5-100% 0-12,5%
000,00% 0-12,5% 87,5-100%
Hier hat man auch immerhin Restriktionen erhalten.
Für den Fall mit 3 Steinen/Kästchen geht das noch recht einfach. Hat man
die Tabelle folgendermaßen vorgegeben:
a b 1-a-b
c d 1-c-d
1-a-c 1-b-c a+b+c+d-1
Kann man die 6 Möglichkeiten in Abhängingkeit von einer
Wahrscheinlichkeit p angeben:
1 2 3 p
1 3 2 a-p
2 1 3 a+b+c+d-1-p
2 3 1 1+p-a-b-d
3 1 2 1+p-a-c-d
3 2 1 d-p
Damit alle Wahrscheinlichkeiten positiv sind, muss gelten:
max {0, a + max{b,c} + d - 1} <= p <= min {a, d, a + b + c + d - 1}
Wird nun beispielsweise Stein 1 in Kästchen A gefunden, ist entweder
Fall 1 oder Fall 2 eingetreten. Die Summe der beiden
Wahrscheinlichkeiten ist a. Wenn nun bekannt ist, dass einer der beiden
Fälle eingetreten ist, ist daher Fall 1 mit W'kt p/a und Fall 2 mit W'kt
(a-p)/a eingetreten. Wenn p in einem kleineren Bereich, als zwischen 0
und a liegen muss, hat man also eine echte Einschränkung für die übrigen
Fälle.
Für den Fall mit 3 Steinen/Kästchen, kann man das alles noch "zu Fuß"
ausrechnen. Man braucht im allgemeinen für die Fallverteilung n!-1
Informationen. Für die Stein/Kästchen-Tabelle dagegen nur (n-1)^2
Informationen. Die Differenz von n!-1-(n-1)^2 Informationen erhält man
in der Fallverteilung in Form von freien Parametern. Bei n=3 ist die
Differenz 1 und daher ist auch nur ein freier Parameter (p) in der
Fallverteilung. Aber bei n=4 hat man schon 15 Parameter. Bei n=5 sogar
schon 103. Tendenz: schnell steigend.
Ich bin mir daher nicht sicher, ob man irgendwie geschickt auch
höherdimensionale Probleme auf ähnliche Weise in den Griff bekommt.
Bastian