Kommt ein Element mehrfach vor in einer Menge?

[Ernst Baumann]

Hallo allerseits,
darf in einer Menge ein Element mehrfach vorkommen, oder ist das
verboten?
Ist also
M1 = { 7, 7} keine Menge, aber M2 = {7} ist eine Menge?

Falls in einer Menge ein Element _nicht_mehrfach vorkommen darf:
Warum ist das so ?

mfg
Ernst

[WM]

On 13 Okt., 17:33, car...@web.de (Ernst Baumann) wrote:
> Hallo allerseits,
> darf in einer Menge ein Element mehrfach vorkommen, oder ist das
> verboten?
> Ist also
> M1 = { 7, 7} keine Menge, aber M2 = {7} ist eine Menge?

Beide sind Mengen: M1 = M2.

>
> Falls in einer Menge ein Element _nicht_mehrfach vorkommen darf:
> Warum ist das so ?

Man müsste zur Unterscheidung indizieren: 7_1, 7_2. Dann geht es.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Es geht bei Deiner Frage um die Schreibweise.
Wenn Du weiï¿œt, dass a und b in der Menge M sind und sonst nichts,
dann ist es sinnvoll zu schreiben: M = { a, b}.

Wenn sich herausstellt, dass a = b = 7 ist, dann sagt das simple
Einsetzen, dass es sich um die Menge M = { 7, 7} handelt. Und
diese Menge ist identisch mit der Menge M = { 7}.

Denn: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen auch
Element der anderen ist. Die Menge { 7, 7} enthï¿œlt nur die 7 als
Element, auch wenn sie mehrfach hingeschrieben wurde.

Die Antwort lautet also: M1 ist eine Menge, und sie ist gleich M2.

Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[WM]

On 13 Okt., 17:33, car...@web.de (Ernst Baumann) wrote:

In geschweiften Klammern besteht keine Ordnung (im Gegensatz zu einer
Folge). Die Notierung eines Namens besagt dort nur, dass das
bezeichnete Element zur Menge gehört. Wenn man es mehrfach sagt, so
ändert das nichts

Gruß, WM.

[Ernst Baumann]

>On 13 Okt., 17:33, car...@web.de (Ernst Baumann) wrote:
>> Hallo allerseits,
>> darf in einer Menge ein Element mehrfach vorkommen, oder ist das
>> verboten?
>> Ist also

>> M1 =3D { 7, 7} keine Menge, aber M2 =3D {7} ist eine Menge?
>
>Beide sind Mengen: M1 =3D M2.

>>
>> Falls in einer Menge ein Element _nicht_mehrfach vorkommen darf:
>> Warum ist das so ?
>

>Man m=FCsste zur Unterscheidung indizieren: 7_1, 7_2. Dann geht es.
>
Habe bei Wikipedia gelesen, dass ein Element in einer Menge genau nur
einmal vorkommen darf.
Demnach ist {7 ; 7} keine Menge.

Was stimmt nun ?

PS:
In einer sogenannten Multimenge darf ein Ekement dagegen mehffach
vorkommen.

mfg
Ernst

[Roland Franzius]

Am 13.10.2011 18:26, schrieb WM:
> On 13 Okt., 17:33, car...@web.de (Ernst Baumann) wrote:
>> Hallo allerseits,
>> darf in einer Menge ein Element mehrfach vorkommen, oder ist das
>> verboten?
>> Ist also
>> M1 = { 7, 7} keine Menge, aber M2 = {7} ist eine Menge?
>>
>> Falls in einer Menge ein Element _nicht_mehrfach vorkommen darf:
>> Warum ist das so ?
>
> In geschweiften Klammern besteht keine Ordnung (im Gegensatz zu einer
> Folge). Die Notierung eines Namens besagt dort nur, dass das

> bezeichnete Element zur Menge geh�rt. Wenn man es mehrfach sagt, so
> �ndert das nichts

Das Reden in Mengen eignet sich ausgezeichnet f�r �ltere mit allm�hlich
versagenden Kurzzeitged�chtnis.

--

Roland Franzius

[Michael Klemm]

Ernst Baumann wrote:

> In einer sogenannten Multimenge darf ein Element dagegen mehrfach
> vorkommen.

Multimengen sind spezielle Mengen, Zum Beispiel ist
{6, 6, (7, 7)} eine zweielementige Menge mit den
beiden Elementen 6 und (7,7). Statt (7,7) darf man
auch {7, {7}} schreiben. Dann hat man wieder
eine Menge mit zwei verschiedenen Elementen.

Gru�
Michael

[Ernst Baumann]

>
>Multimengen sind spezielle Mengen, Zum Beispiel ist
>{6, 6, (7, 7)} eine zweielementige Menge mit den
>beiden Elementen 6 und (7,7). Statt (7,7) darf man
>auch {7, {7}} schreiben. Dann hat man wieder
>eine Menge mit zwei verschiedenen Elementen.
>

1)
Aber
(7,7) ungleich {7, {7}}
Stimmt das ?

2)

Habe bei Wikipedia gelesen, dass ein Element in einer Menge genau nur
einmal vorkommen darf.
Demnach ist {7 ; 7} keine Menge.

Stimmt das ?

mfg
Ernst

[Ernst Baumann]

>>
>> Falls in einer Menge ein Element _nicht_mehrfach vorkommen darf:
>> Warum ist das so ?
>
>Es geht bei Deiner Frage um die Schreibweise.

>Wenn Du wei�t, dass a und b in der Menge M sind und sonst nichts,

>dann ist es sinnvoll zu schreiben: M = { a, b}.
>
>Wenn sich herausstellt, dass a = b = 7 ist, dann sagt das simple
>Einsetzen, dass es sich um die Menge M = { 7, 7} handelt. Und
>diese Menge ist identisch mit der Menge M = { 7}.
>
>Denn: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen auch

>Element der anderen ist. Die Menge { 7, 7} enth�lt nur die 7 als

>Element, auch wenn sie mehrfach hingeschrieben wurde.
>
>Die Antwort lautet also: M1 ist eine Menge, und sie ist gleich M2.
>

Entschuldigung, habe die email von Michael vor deiner email gelesen
und deshalb nochmals unnoetig an Michael gepostet.

mfg
Ernst

[Michael Klemm]

Ernst Baumann wrote:

Sch�n, dann sind Dir also Rainers Angaben klar.

Gru�
Michael

[Carsten Vogel]

Also eine Menge Leute haben auf diesen Thread geantwortet:
M_{poster}= { Micheal, Ernst, Rainer, Carsten, Roland, Michael, Roland,
Ernst, WM, Michael, Roland, Ernst }.

Wie m�chtig ist M_{poster}?

|M_{poster}| = ?

[Rainer Rosenthal]

Am 13.10.2011 19:30, schrieb Roland Franzius:

> Am 13.10.2011 18:26, schrieb WM:

>> In geschweiften Klammern besteht keine Ordnung (im Gegensatz zu einer
>> Folge). Die Notierung eines Namens besagt dort nur, dass das

>> bezeichnete Element zur Menge gehï¿œrt. Wenn man es mehrfach sagt, so
>> ï¿œndert das nichts
>
> Das Reden in Mengen eignet sich ausgezeichnet fï¿œr ï¿œltere mit allmï¿œhlich
> versagenden Kurzzeitgedï¿œchtnis.

Ich kann an der Aussage von WM nichts erkennen, was diese despektierliche
ï¿œuï¿œerung verdient. Jï¿œngeren mangelt es halt manchmal an Benimm.

Gruￜ,
RR

[Klaus-R. Loeffler]

Franz Fritsche <franz.f...@fernuni-hagen.de> wrote:

> Am Fri, 14 Oct 2011 00:56:26 +0200 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> > Am 13.10.2011 19:30, schrieb Roland Franzius:
> >> Am 13.10.2011 18:26, schrieb WM:
> >>>
> >>> In geschweiften Klammern besteht keine Ordnung (im Gegensatz zu einer
> >>> Folge). Die Notierung eines Namens besagt dort nur, dass das

> >>> bezeichnete Element zur Menge geh�rt. Wenn man es mehrfach sagt, so
> >>> �ndert das nichts
> >>>
> >> Das Reden in Mengen eignet sich ausgezeichnet f�r �ltere mit allm�hlich
> >> versagenden Kurzzeitged�chtnis.
> >>

> > Ich kann an der Aussage von WM nichts erkennen, was diese despektierliche

> > �u�erung verdient. J�ngeren mangelt es halt manchmal an Benimm.
>
> Naja, vielleicht kannst DU ja -im Gegensatz zu mir- die mathematische
> Bedeutung des Satzes "In geschweiften Klammern besteht keine Ordnung (im
> Gegensatz zu einer Folge)" verstehen.

Anstatt zu formulieren "Die zuf�llig durch die Reihenfolge beim
Aufschreiben innerhalb der Elemente induzierte Ordnung ist f�r die Menge
unwesentlich", hat WM im Hinblick auf den Adressaten der Antwort eine
einfachere Formulierung gew�hlt.

Zusammen mit RR haben wohl auch die meisten anderen Leser das so
verstanden.

Gru�, Klaus-R.

[Helmut Richter]

On Fri, 14 Oct 2011, Stefan Ram wrote:

> r...@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:

> >Es steht Dir aber frei, eine Mengenlehre zu ver�ffentlichen,
> >in der Du dies definierst und dann wahlweise erlaubst oder
> >verbietest.

Nur w�re dann der Mengenbegriff nicht derselbe wie im Rest der Mathematik.
Sowas tut man nicht.

Man kann nat�rlich einen *anderen* Begriff "Multimenge" definieren, wobei
diese �hnliche Eigenschaften wie Mengen haben, aber Elemente auch mehrfach
zulassen. Im endlichen Fall (alle Beispiele hier mit den geschweiften
Klammern waren endlich) ist auch ziemlich klar, was gemeint ist und wie
man eine solche Multimenge mit Hilfe der Begriffe definiert, die in der
Mathematik �blich sind. Es ist aber mitnichten klar, wie man das f�r
solche Multimengen erweitert, die manche Elemente unendlich oft enthalten
k�nnen. (Ja, ich wei�, das geht, und ich w�sste auch, wie mans macht. Aber
definieren muss mans trotzdem, was genau gemeint ist, sonst kommt Unfug
heraus.)

Endliche Multimengen haben �brigens eine Eigenschaft, die endliche Mengen
nicht haben: Die M�chtigkeit der Vereinigung zweier Multimengen ist die
Summe der M�chtigkeiten diser beiden Mengen.

Und sie haben auch eine interessante Eigenschaft, die f�r Mengen ziemlich
trivial ist: Hat man eine Menge oder Multimenge von nat�rlichen Zahlen und
ersetzt in einem Schritt ein Element (also eine Zahl) durch beliebig, aber
endlich viele Elemente, deren Zahlenwert kleiner ist, dann kommt man nach
endlich vielen Schritten nicht mehr weiter. F�r endliche Mengen ist das
trivial, weil die M�chtigkeit durch das gr��te Element beschr�nkt ist, und
diese Schranke wird immer kleiner. F�r Multimengen ist das nicht so
einfach und eine nette �bungsaufgabe.

--
Helmut Richter

[Olaf Barheine]

> darf in einer Menge ein Element mehrfach vorkommen,

Nein.

"Eine Menge ist eine wohldefinerte Zusammenfassung verschiedener(!)
Objekte zu einem Ganzen." (Georg Cantor, 1895)

Gruￜ, Olaf

[Detlef Müller]

Wohl wahr, doch geht es (zumindest vielen) hier um die Frage,
ob die Notation {7,1,7} fï¿œr die Menge {7,1} zulï¿œssig ist.

Ich kenne einen Mathe-Kurs, in dem kurzerhand die Mehrfachnennung
in der aufzï¿œhlenden Notation verboten wird (vermutlich, um die
Teilnehmer nicht zu verwirren), das wirkt auf den ersten Blick
plausibel.

Ich halte das aber fï¿œr unpraktisch und angesichts von Mengen wie

{ z^2 | z ist Ganzzahlig }

fï¿œr inkonsistent.

Ich habe es in der Schule so gelernt, daￜ Mehrfachnennungen
stillschweigend ignoriert werden und damit passt alles ganz
gut zusammen.

Mehrheitlich scheint es auch so gehandhabt zu werden und in
konkreten Aufzï¿œhlungen kommt auch gewï¿œhnlich sowieso niemand auf
die Idee, mehr hin zu schreiben als nï¿œtig.

Gruￜ,
Detlef

--
Dr. Detlef Mï¿œller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

[Detlef Müller]

Nein, nach gï¿œngiger Konvention gilt: {7 ; 7} = {7}.

Beide Notationen sind Bezeichnungen der selben _einelementigen_
Menge, die erste ist nur unnï¿œtig lang und wird deshalb nicht
verwendet.

Im anderen Posting erwￜhne ich, daￜ manche Lehrbￜcher die
erste Notation einfach verbieten was imo. ungeschickt ist.

[Ralf Bader]

Detlef Müller wrote:

> Am 13.10.2011 20:35, schrieb Ernst Baumann:
>>>
>>> Multimengen sind spezielle Mengen, Zum Beispiel ist
>>> {6, 6, (7, 7)} eine zweielementige Menge mit den
>>> beiden Elementen 6 und (7,7). Statt (7,7) darf man
>>> auch {7, {7}} schreiben. Dann hat man wieder
>>> eine Menge mit zwei verschiedenen Elementen.
>>>
>> 1)
>> Aber
>> (7,7) ungleich {7, {7}}
>> Stimmt das ?
>>
>> 2)
>> Habe bei Wikipedia gelesen, dass ein Element in einer Menge genau nur
>> einmal vorkommen darf.
>> Demnach ist {7 ; 7} keine Menge.
>> Stimmt das ?
>>
>

> Nein, nach gängiger Konvention gilt: {7 ; 7} = {7}.

>
> Beide Notationen sind Bezeichnungen der selben _einelementigen_

> Menge, die erste ist nur unnötig lang und wird deshalb nicht
> verwendet.
>
> Im anderen Posting erwähne ich, daß manche Lehrbücher die

> erste Notation einfach verbieten was imo. ungeschickt ist.

Lehrbücher wofür? Fürs Murmelspielen? "Die Menge der Lösungen der Gleichung
x^2 + ax + b = 0 ist {A,B}, wobei A und B gewisse Ausdrücke in den
Koeffizienten sind", wird angesichts des Umstandes, daß die beiden Lösungen
manchmal zusammenfallen, wie ausgedrückt? Sind diese Lehrbücher auch sonst
der (komischen) Ansicht, daß redundante oder auch nur potentiell oder
fallweise redundante Notationen verboten seien?

Ralf

[monikalierhaus-450.000euro]

Ralf Bader schrieb:

>> Nein, nach g�ngiger Konvention gilt: {7 ; 7} = {7}.

>>
>> Beide Notationen sind Bezeichnungen der selben _einelementigen_

>> Menge, die erste ist nur unn�tig lang und wird deshalb nicht
>> verwendet.
>>
>> Im anderen Posting erw�hne ich, da� manche Lehrb�cher die

>> erste Notation einfach verbieten was imo. ungeschickt ist.
>

> Lehrb�cher wof�r? F�rs Murmelspielen?

> "Die Menge der L�sungen der Gleichung x^2 + ax + b = 0 ist {A,B},
> wobei A und B gewisse Ausdr�cke in den Koeffizienten sind",

Ja das ist ganz grosse Klasse! Und es entspricht dem Willen
der Geld-Rettungsgesellschaft, die durch das Vorr�cken der
interdisziplin�ren Zusammenf�hrung von Philosophie, der Mutter
aller Wissenschaften, auch mit einer ihrer T�chter, hier der
Mathematik, t�glich im Bedauern der beamtlich-�ffentlichen
GEZ-B�rsenmeldungen �ber den nur geringen Anstieg des Dachs
von wenigen Prozent zum Ausdruck kommt.

[Carsten Vogel]

Am 15.10.2011 00:33, schrieb Franz Fritsche:
> Am Fri, 14 Oct 2011 19:45:43 +0200 schrieb Franz Fritsche:
> Dabei bezeichnen /a/ und /b/ _beliebige_ Objekte; also nicht notwendiger-
> weise zwei _verschiedene_ Objekte.
> Da "x = 7 oder x = 7" logisch äquivalent zu "x = 7" ist, kann man das
> vereinfachen zu:

>> Für alle x: x e {7, 7} genau dann, wenn x e {7}.


Erstaunlich fachlich und sehr angenehm zu lesen. Vielen Dank.

Eher als Fußnote zu verstehen:

M_1 := { a, b }, mit a = b und
M_2 := { a }

sind identisch.
M_1 = M_2, es sind nur verschiedene Darstellungen/Repräsentationen ein
und desselben.

So wie bei den Brüchen:
0,5 = 1/2 = 2/4 = ((1/2) / 1)) = ((1/4) / 2) sind unterschiedliche
Darstellungen ein und derselben Zahl.

de.sci.mathematik?

[Ernst Baumann]

Dank alle alle fuer die Postings,
mir faellt dazu noch folgendes ein:

G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G }

f : M --> G
f ( {x,y} ) = x - y
ist eine Abbildung.

Dies ist falsch, weil gelten muesste:
f( {3,4} ) = 3-4 = -1
und
f( {3,4} ) = f( {4,3} ) = 4-3 = 1
Dies widerspricht der Eindeutigkeit.
Ist meine Ueberlegung richtig ?

Was muesste man machen, um eine Abbildung zu bekommen?
Muesste man eine Reihenfolge auf den Mengen mit (maximal) zwei
Elemente erzeugen


mfg
Ernst

[Carsten Vogel]

Am 16.10.2011 11:22, schrieb Ernst Baumann:
> Dank alle alle fuer die Postings,
> mir faellt dazu noch folgendes ein:
>
> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G }

Ja.

> f : M --> G
> f ( {x,y} ) = x - y
> ist eine Abbildung.

Ja.

> Dies ist falsch, weil gelten muesste:
> f( {3,4} ) = 3-4 = -1
> und

Falsches falsch. Es gilt f({3,4}) = 3-4 = (-1).

> f( {3,4} ) = f( {4,3} ) = 4-3 = 1
> Dies widerspricht der Eindeutigkeit.

Nein. Hier vermischen sich der Gedanke von Symmetrieeigenschaften einer
Funktion, Darstellungen und minimale Darstellung einer Menge in
Mengenschreibweise und der Begriff Ordnung auf einer Menge, bzw.
Halbordnung.

> Ist meine Ueberlegung richtig ?
> Was muesste man machen, um eine Abbildung zu bekommen?
> Muesste man eine Reihenfolge auf den Mengen mit (maximal) zwei
> Elemente erzeugen

Eine Ordnung, die im Allgemeinen auch vorausgesetzt wird.

f({x,y}) = sgn(x-y) * (x-y)

Stichworte: Differenz/Abstandsfunktion, Betragsfunktion

[Norbert Dragon]

* Ernst Baumann schreibt:

> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G}

> f : M --> G
> f ( {x,y} ) = x - y
> ist eine Abbildung.

Falsch: Deine Funktion wäre, was das Argument von f betrifft,
eine Abbildung der Menge {M}, die M als Element enthält, in
die ganzen Zahlen.

Eine Funktion von M nach G ist eine Teilmenge f des
kartesischen Produktes M x G, die für jedes x aus M genau ein
(x,y) aus M x G enthält.

Wie Du selbst bemerkst, ist das von Dir angegebene f keine
Funktion von M nach G, allerdings schon deshalb, weil das Paar
({x,y}, x-y) kein Element von M x G ist

--
Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

[emmigrand]

Norbert Dragon schrieb:

Sind Funktionen nicht Abbildungen zwischen beliebigen Mengen?

[x] Ja.
Dann ist für diese Benennung doch egal, ob irgendwelche Elemente
von Definitionsmenge und Zielmenge übereinstimmen (Letzere Begriffe
sind aus http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik) ).

[Carsten Schultz]

Am 16.10.11 13:14, schrieb Norbert Dragon:

Ich glaube, Du hast Dich irgendwo verlesen. {x,y} ist doch, wenn x und
y ganze Zahlen sind, ein Element von M.

Gruß

Carsten

--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.

[emmigrand]

[ Nochmal "etwas genauer"... ]

Norbert Dragon schrieb:

> * Ernst Baumann schreibt:
>
>> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
>> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G}
>
>> f : M --> G
>> f ( {x,y} ) = x - y
>> ist eine Abbildung.
>
>
> Falsch: Deine Funktion wäre, was das Argument von f betrifft,
> eine Abbildung der Menge {M}, die M als Element enthält, in
> die ganzen Zahlen.

Nein. Aber wie kommst du denn nur auf eine Menge {M} ...

> Eine Funktion von M nach G ist eine Teilmenge f des
> kartesischen Produktes M x G,

Ja.

> die für jedes x aus M genau ein
> (x,y) aus M x G enthält.

Nein. Sondern: ... die für jedes Element {x,y} aus M ein Element
z aus G enthält, wobei die diese Funktion in der Menge aller Relationen
zwischen M und G, der Menge M x G, enthalten ist.

> Wie Du selbst bemerkst, ist das von Dir angegebene f keine
> Funktion von M nach G, allerdings schon deshalb, weil das Paar
> ({x,y}, x-y) kein Element von M x G ist

Das ist einfach falsch weil trivialerweise jedes Paar ({x,y}, x-y)
Element von M x G ist.

[Rainer Rosenthal]

Am 16.10.2011 11:22, schrieb Ernst Baumann:

> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G }
>
> f : M --> G
> f ( {x,y} ) = x - y
> ist eine Abbildung.
>
> Dies ist falsch, weil gelten muesste:

> ...

> Ist meine Ueberlegung richtig ?

Ja.

> Was muesste man machen, um eine Abbildung zu bekommen?

Kommt drauf an, was Du mit den zwei (nicht notwendig verschiedenen)
Elementen der zweielementigen Menge {x,y} anstellen möchtest. Falls Du
"die Differenz" als Funktionswert haben möchtest, dann bietet sich an,
den Betrag |x-y| zu wählen.

Wenn Du das Produkt zuordnen möchtest {x,y} -> x*y, bekommst Du ebenfalls
eine Abbildung, weil das Ergebnis wohldefiniert ist. Ist das Ergebnis aber
von der Reihenfolge abhängig, wie das bei x-y (ungleich y-x im Allgemeinen)
der Fall ist, dann ist das i.A. Ergebnis *nicht* wohldefiniert, d.h. da steht
etwas nur auf den ersten Blick sinnvoll scheinendes.

Siehe zum Beispiel http://de.wikipedia.org/wiki/Wohldefiniertheit, worin
weitere Beispiele zu finden sind, dass es Zuordnungsvorschriften gibt, die
nicht zur Definition einer Funktion taugen.

War das jetzt hilfreich?

Gruß,
Rainer

[Klaus-R. Loeffler]

Das ist keine Frage zu einem Problem, das speziell Mengen angeht,
sondern betrifft die Repräsentanten- bzw. Darstellungsunabhängigkeit bei
Zuordnungen. {3, 4} und {4, 3} sind Darstellungen der gleichen Menge wie
3/9 und 2/6 Darstellungen der gleichen rationalen Zahl sind. Auch hier
wäre eine Funktion f mit einer Vorschrift wie f(p/q) = p+q sinnlos.

Klaus-R.

[emmigrand]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 16.10.2011 11:22, schrieb Ernst Baumann:
>> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
>> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G }
>>
>> f : M --> G
>> f ( {x,y} ) = x - y
>> ist eine Abbildung.
>>
>> Dies ist falsch, weil gelten muesste:
>> ...
>> Ist meine Ueberlegung richtig ?
>
> Ja.

Dort steht also diese Überlegung:

>> Dies ist falsch, weil gelten muesste:

>> f( {3,4} ) = 3-4 = -1
>> und
>> f( {3,4} ) = f( {4,3} ) = 4-3 = 1
>> Dies widerspricht der Eindeutigkeit.

>> Ist meine Ueberlegung richtig ?

>> Was muesste man machen, um eine Abbildung zu bekommen?
>
> Kommt drauf an, was Du mit den zwei (nicht notwendig verschiedenen)
> Elementen der zweielementigen Menge {x,y} anstellen möchtest.

Die ganze Darstellung ist imho formal nicht ganz richtig...

Die Mengen {x,y} und {y,x} sind ja "im Sinne von M" nicht identisch.

(Der "innere Aufbau" seiner Elemente ist M egal, denn für M ist jedes
seiner Elemente formal "atomar".)

Es stellen sich "allerdings" manche dieser Mengen als identisch heraus
im Falle von x=y, aber das macht beide nicht formal zur gleichen Menge
aus Sicht von M. (Aus Sicht von M sind die Mengen {x,y} und {y,x} aber
auch im Falle von x=y (formal) verschieden.)

D.h. man hat aus Sicht von M Paare, in denen die Reihenfolge zählt,

f(x,y) = x - y

und

f( {3,4} ) =/= f( {4,3} )

so dass in sofern Norbert Dragon Recht hat (wobei allerdings seine
bisher gegebene Argumentation falsch ist).

Dein restlichen Betrachtungen beziehen sich nicht auf

f : M --> G
f ( {x,y} ) = x - y

sondern auf

f : M --> G
f ( m | x Teilmenge m) = z; x,z Element G, m Element M

denn die "Interna" (d.h. hier die y) sind für M ja formal gar nicht
"sichtbar".

Aber vielleicht sehe ich das falsch?

[emmigrand]

[ Nachtrag ]

Emmi Grand schrieb:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>...

> Die ganze Darstellung ist imho formal nicht ganz richtig...
>
> Die Mengen {x,y} und {y,x} sind ja "im Sinne von M" nicht identisch.
>
> (Der "innere Aufbau" seiner Elemente ist M egal, denn für M ist jedes
> seiner Elemente formal "atomar".)

Für M sind {x,y} und {y,x} irgendwelche Elemente mit 2 verschiedenen
Indizes und fertig.

Es werden doch nicht automatisch die Elemente einer Mengenlehre
"vermengt", d.h. aus Element-Äpfeln werden doch per Mengenlehre
keine Mengen von Atomen, deren Orte nun nicht mehr zählen, weil
sie (formal) als Elemente einer Menge betrachtet werden!

Wenn "()" geordnete Tupel bezeichnen, wäre imho formal "richtiger":

G sei die Menge aller ganzen Zahlen,
M = { (n,m) | n,m Element von G }

f : M --> G
f (x,y) = x-y; (x,y) Element von M ist eine Abbildung.

Wenn man also eine Menge M mit ungeordneten Elementen {x,y} MEINT, dann
darf man nicht erwarten, dass durch diese Benennung {x,y} = {y,x} wird!

[Norbert Dragon]

* Carsten Schultz schreibt:

>* Norbert Dragon schrieb:

>>* Ernst Baumann hatte geschrieben:

>>> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
>>> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G}

>>> f : M --> G
>>> f ( {x,y} ) = x - y
>>> ist eine Abbildung.
>>
>>
>> Falsch: Deine Funktion wäre, was das Argument von f betrifft,
>> eine Abbildung der Menge {M}, die M als Element enthält, in
>> die ganzen Zahlen.
>>
>> Eine Funktion von M nach G ist eine Teilmenge f des
>> kartesischen Produktes M x G, die für jedes x aus M genau ein
>> (x,y) aus M x G enthält.
>>
>> Wie Du selbst bemerkst, ist das von Dir angegebene f keine
>> Funktion von M nach G, allerdings schon deshalb, weil das Paar
>> ({x,y}, x-y) kein Element von M x G ist
>>

> Ich glaube, Du hast Dich irgendwo verlesen. {x,y} ist doch, wenn x und
> y ganze Zahlen sind, ein Element von M.

> Gruß

> Carsten



--

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

[Rainer Rosenthal]

Am 16.10.2011 15:02, schrieb Emmi Grand:
>
> Die ganze Darstellung ist imho formal nicht ganz richtig...
>
> Die Mengen {x,y} und {y,x} sind ja "im Sinne von M" nicht identisch.
>

Irrtum: zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element
der einen auch Element der anderen Menge ist. Es muss also jedes Element
a aus A auch Element von B sein, und jedes Element b aus B muss auch
Element von A sein.

Demnach sind die beiden Mengen M1 = {x,y} und M2 = {y,x} gleich.
Der Beweis fällt leicht, weil ein Element der einen Menge nur x
oder y sein kann und somit auch Element der anderen Menge ist.


Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[emmigrand]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 16.10.2011 15:02, schrieb Emmi Grand:
>>
>> Die ganze Darstellung ist imho formal nicht ganz richtig...
>>
>> Die Mengen {x,y} und {y,x} sind ja "im Sinne von M" nicht identisch.
>>
> Irrtum: zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element
> der einen auch Element der anderen Menge ist.

Um diese Trivia geht es doch schon lange nicht mehr...

Denn es sind anderererseit ELEMENTE von Mengen atomar, d.h. sie
tragen einen Index {...}_i vollkommen ungeachtet ihres Inhaltes.

(Sonst kann man gar nicht sinnvoll Mengensysteme formulieren.)

> Es muss also jedes Element a aus A auch Element von B sein, und
> jedes Element b aus B muss auch Element von A sein.

Wenn du das als Bedingung für die AUFNAHME in eine Menge betrachtest,
dann kannst du das als Eingabe-Filter benutzen; das gilt aber nicht
für GEBEBENE Mengen (z.B. intuitiv einsehbar für unendliche Mengen
ohne explizite Wohlordnung). Dann kann sich natürlich nachträglich
herausstellen, dass 2 Elemente identisch (gegeben worden) sind.

> Demnach sind die beiden Mengen M1 = {x,y} und M2 = {y,x} gleich.

Nein, nicht aus Sicht von M, die kennt nur ihre Elemente M_i.

Und vor allem ist ist BESONDERS DANN diese Zeile formal strikt falsch:

f ({x,y}) = x-y

weil f ({x,y}) ein Widerspruch ist, denn per Mengendefinition
gilt ja bereits f ({x,y}) = f ({y,x}), was immer das bedeutet!

Alles zusammen geht nicht - du kannst nicht f ({x,y}) = x-y sagen,
wenn {x,y} = {y,x}, denn das impliziert x-y = y-x, Widerspruch, qed.

Du hast das bloss nicht gemerkt, weil du es nicht sehen konntest:

die Schreibweise f ({x,y}) = ... (samt damit verbundenen Denken)
ist sogar immer formal falsch.

Entweder ist {x,y} = {y,x} richtig UND dann hat f ({x,y}) = f ({y,x})
keinen Sinn, weil du dafür das Axiom x-y = y-x brauchst, d.h. deine
eigene Arithmetik.

Hast du das jetzt verstanden?

[Rainer Rosenthal]

Am 16.10.2011 17:04, schrieb Emmi Grand:
>>>
>> Irrtum: zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element
>> der einen auch Element der anderen Menge ist.
>
> Um diese Trivia geht es doch schon lange nicht mehr...
>

Um die Trivia geht es *immer*. Sie bilden die Basis, und solange es
da Verständnisprobleme gibt, muss man sich darum kümmern.

> die Schreibweise f ({x,y}) = ... (samt damit verbundenen Denken)
> ist sogar immer formal falsch.

Nein, durch f({x,y}) = x*y bekommt man eine Abbildung von der Menge
aller höchstens zweielementigen Teilmengen der ganzen Zahlen in die
Menge der ganzen Zahlen. Was sollte daran falsch sein, und wer hätte
danach ein Problem, f({5,17}) zu berechnen? Ich komme auf 85, und Du
sicherlich auch.

> Entweder ist {x,y} = {y,x} richtig UND dann hat f ({x,y}) = f ({y,x})
> keinen Sinn, weil du dafür das Axiom x-y = y-x brauchst, d.h. deine
> eigene Arithmetik.
>
> Hast du das jetzt verstanden?

Dieser Satz lautet "Entweder ..., weil ..., d.h. ..." und ist damit von
vornherein schwer verständlich. Immerhin habe ich verstanden, dass Dir
noch nicht klar geworden ist, dass f({x,y}) nur dann etwas Definiertes
darstellen kann, wenn in der Definition die Reihenfolge von x und y keine
Rolle spielen. Beim Versuch, f({x,y}) = x-y als Definition zu verwenden,
erleidet man Schiffbruch.

Dass {x,y} = {y,x} richtig ist, hattest Du bereits korrekt als trivial
bezeichnet.

"imho" ist die Abkürzung für "in my humble opinion" und signalisiert, dass
man eine gewisse Unsicherheit verspürt bei einer Behauptung. Von solcher
Unsicherheit spüre ich eher nichts, auch wenn dieser Thread von Dir mit den
Worten eingeleitet wurde:

"Die ganze Darstellung ist imho formal nicht ganz richtig ..."

Du versuchst zu nerven, und das gelingt Dir recht gut. Du bist damit in
dsm in sehr guter Gesellschaft, und ich wünsche Dir darin weiter gute
Unterhaltung: willkommen im Club!
Eventuelle sinnvolle Rückfragen beantworte ich gerne noch, durchaus auch
per Mail.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[emmigrand]

Rainer Rosenthal:

>>> Irrtum: zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element
>>> der einen auch Element der anderen Menge ist.
>>
>> Um diese Trivia geht es doch schon lange nicht mehr...
>>
> Um die Trivia geht es *immer*. Sie bilden die Basis, und solange es
> da Verständnisprobleme gibt, muss man sich darum kümmern.
>
>> die Schreibweise f ({x,y}) = ... (samt damit verbundenen Denken)
>> ist sogar immer formal falsch.
>
> Nein,

Doch. Denn das führt zu manifesten Wiedersprüchen bei nichtkommutativen
Operatoren, s. *) unten.

> durch f({x,y}) = x*y bekommt man eine Abbildung von der Menge
> aller höchstens zweielementigen Teilmengen der ganzen Zahlen in die
> Menge der ganzen Zahlen. Was sollte daran falsch sein,

Es ist eine unzureichende, weil nur manachmal zutreffende Schreibweise:

f({x,y}) ist nicht eindeutig (bezüglich der Reihenfolge der Argumente).

f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.

f({x,y}) = x-y hat GAR KEINEN Sinn, weil "-" Reihenfolge voraussetzt.

> und wer hätte danach ein Problem, f({5,17}) zu berechnen?

> Ich komme auf 85, und Du sicherlich auch.

Willst du gern ein bisschen angeben oder provozieren?

>> Entweder ist {x,y} = {y,x} richtig UND dann hat f ({x,y}) = f ({y,x})
>> keinen Sinn, weil du dafür das Axiom x-y = y-x brauchst, d.h. deine
>> eigene Arithmetik.
>>
>> Hast du das jetzt verstanden?
>
> Dieser Satz lautet "Entweder ..., weil ..., d.h. ..." und ist damit von
> vornherein schwer verständlich. Immerhin habe ich verstanden, dass Dir
> noch nicht klar geworden ist, dass f({x,y}) nur dann etwas Definiertes
> darstellen kann, wenn in der Definition die Reihenfolge von x und y keine
> Rolle spielen.

JA! Es ist eine NICHT verallgemeinerbare Verkürzung! Und deshalb
sprach ich immer von "formal" falsch.

> Beim Versuch, f({x,y}) = x-y als Definition zu verwenden,
> erleidet man Schiffbruch.

*) Na prima, du stimmst also zu.

Ja, und deshalb ist, wie ich sagte "imho" der Ausdruch f({x,y}) = ...
FORMAL NICHT empfehlenswert.

> Dass {x,y} = {y,x} richtig ist, hattest Du bereits korrekt als trivial
> bezeichnet.

ABER DANN hat der Ausdruck f({x,y}) = x-y keinen Sinn! Denn er impliziert
(x-y) = (y-x)! (Wegen {x,y} = {y,x} und f({x,y}) = x-y)

> "imho" ist die Abkürzung für "in my humble opinion" und signalisiert,
> dass man eine gewisse Unsicherheit verspürt bei einer Behauptung.

Du must mir nix rein dichten - imho bezieht sich hier darauf, dass
auch ungeschickte Notation nicht per Dekret einzelner verschwindet,
d.h. ich gestehe mit "imho" ein, dass ich die Welt nicht ändern werde.

> Von solcher Unsicherheit spüre ich eher nichts, auch wenn dieser
> Thread von Dir mit den
> Worten eingeleitet wurde:
> "Die ganze Darstellung ist imho formal nicht ganz richtig ..."

Mannomann... bist du schwer von Begriff: es ist ein Vorschlag, der
wohl kaum die Welt ändern wird, und er ist nicht wichtig, weil er
eben nur die formale Darstellung, betrifft.

> Du versuchst zu nerven, und das gelingt Dir recht gut.

Nein, du spinnst einfach.

Du bist eben einfach ein bisschen unterbelichtet, wie du oben
wieder für jedermann deutlich ersichtlich in Stein gemeisselt hast.

[Carsten Schultz]

Am 16.10.11 17:53, schrieb Emmi Grand:

> Rainer Rosenthal:
>
>>>> Irrtum: zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn jedes Element
>>>> der einen auch Element der anderen Menge ist.
>>>
>>> Um diese Trivia geht es doch schon lange nicht mehr...
>>>
>> Um die Trivia geht es *immer*. Sie bilden die Basis, und solange es
>> da Verständnisprobleme gibt, muss man sich darum kümmern.
>>
>>> die Schreibweise f ({x,y}) = ... (samt damit verbundenen Denken)
>>> ist sogar immer formal falsch.

^^^^^ ^^^^^^

>>
>> Nein,
>
> Doch. Denn das führt zu manifesten Wiedersprüchen bei nichtkommutativen
> Operatoren, s. *) unten.
>
>> durch f({x,y}) = x*y bekommt man eine Abbildung von der Menge
>> aller höchstens zweielementigen Teilmengen der ganzen Zahlen in die
>> Menge der ganzen Zahlen. Was sollte daran falsch sein,
>
> Es ist eine unzureichende, weil nur manachmal zutreffende Schreibweise:

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

>
> f({x,y}) ist nicht eindeutig (bezüglich der Reihenfolge der Argumente).
>
> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.
>
> f({x,y}) = x-y hat GAR KEINEN Sinn, weil "-" Reihenfolge voraussetzt.
>
>> und wer hätte danach ein Problem, f({5,17}) zu berechnen?
>
>> Ich komme auf 85, und Du sicherlich auch.
>
> Willst du gern ein bisschen angeben oder provozieren?
>

Was willst Du hier eigentlich? Du schreibst hauptsächlich Unfug, das
aber mit Bestimmtheit.

[Rainer Rosenthal]

Am 16.10.2011 17:53, schrieb Emmi Grand:
>
>> und wer hätte danach ein Problem, f({5,17}) zu berechnen?
>> Ich komme auf 85, und Du sicherlich auch.
>
> Willst du gern ein bisschen angeben oder provozieren?
>

Ich gebe damit an, dass ich in der Lage bin, vernünftige Frage-
stellungen von Kauderwelch unterscheiden zu können und gebe
auf provozierende Postings gerne provozierende Rückmeldungen,
allerdings nicht allzu oft.

Dein Bedarf an Lernen scheint gedeckt, also lasse ich es mal
gut sein.

Gute Besserung,
Rainer

[emmigrand]

Carsten Schultz schrieb:

>>>> die Schreibweise f ({x,y}) = ... (samt damit verbundenen Denken)
>>>> ist sogar immer formal falsch.
> ^^^^^ ^^^^^^

OK, gemeint ist, dass es wünschenswert ist, Argumente von Funktionen
in einer definierten Reihenfolge zu übergeben. Gemeint ist also:

Es sollte immer als formal falsch angesenen werden, wenn Ausdrücke
auftauchen wie: f (Argumente in unspezifizierter Reihenfolge).

Stimmst du dem etwa nicht zu?

>> Doch. Denn das führt zu manifesten Wiedersprüchen bei nichtkommutativen
>> Operatoren, s. *) unten.
>>
>>> durch f({x,y}) = x*y bekommt man eine Abbildung von der Menge
>>> aller höchstens zweielementigen Teilmengen der ganzen Zahlen in die
>>> Menge der ganzen Zahlen. Was sollte daran falsch sein,
>>

>> Es ist eine unzureichende, weil nur manchmal zutreffende Schreibweise:
> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

OK, richtig ist: ... nur manchmal nicht widersprüchliche Schreibweise.

Stimmst du dem zu?

>> f({x,y}) ist nicht eindeutig (bezüglich der Reihenfolge der Argumente).

Stimmst du dem zu?

>> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.

Stimmst du dem zu?

>> f({x,y}) = x-y hat GAR KEINEN Sinn, weil "-" Reihenfolge voraussetzt.

Stimmst du dem zu?

> Was willst Du hier eigentlich?

Das könnte ich dich ebenfalls fragen.

Antort: Ich will konkret sagen, dass ich Ausdrücke der Sorte

f (Argumente in unspezifizierter Reihenfolge), wie z.B.

f({x,y}) = ...

für mindestens ungeschickt halte, AUCH wenn sie MANCHMAL nicht
direkt widersprüchlich sind. Z.B. ist f({x,y}) = x*y nur dann
nicht widersprüchlich bzw. falsch, wenn man von vorneherein
nichtkommutative Multiplikation ausschliesst, WIE Z.B. bei NMATRIZEN.

[emmigrand]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Dein Bedarf an Lernen scheint gedeckt

Ich habe noch folgende Fragen:

f({x,y}) = ... führt manchmal zu Widersprüchen.

Stimmst du dem zu?

f({x,y}) ist nicht eindeutig (bezüglich der Reihenfolge der Argumente).

Stimmst du dem zu?

f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.

Stimmst du dem zu?

f({x,y}) = x-y hat GAR KEINEN Sinn, weil "-" Reihenfolge voraussetzt.

Stimmst du dem zu?

Ausdrücke der Sorte

f (Argumente in unspezifizierter Reihenfolge), wie z.B.

f({x,y}) = ...

sind mindestens ungeschickt halte, AUCH wenn sie MANCHMAL nicht

direkt widersprüchlich sind. Z.B. ist f({x,y}) = x*y nur dann
nicht widersprüchlich bzw. falsch, wenn man von vorneherein nicht

kommutative Multiplikation ausschliesst, WIE Z.B. bei MATRIZEN.

Stimmst du dem zu?

[Ralf Bader]

Naja, sie hat da schon einen gewissen zutreffenden Punkt.

Stelle dir vor, du programmierst ein CAS, das folgendes kann und die
betreffenden Objekte kennt:
- ganze (oder rationale) Zahlen und arithmetische Operationen mit diesen
- endliche Mengen solcher Zahlen, und geeignete Operationen mit diesen
(Bildung kartesischer Produkte, Bestimmung der Elementeanzahl einer Menge,
Auswahl eines beliebigen Elements aus einer Menge und Bildung der
Restmenge - somit ist z.B. die Berechnung der Summe der Elemente einer
Menge möglich)
- zahlen- oder mengenwertige Variable, Funktionsdefinitionen
- Variable, deren Wert k-elementige Mengen sind, für ein festes k
Mit diesen Mitteln kannst Du mit dem CAS eine "Funktion" zu definieren
versuchen, die einer zweielementigen Menge die Differenz ihrer Elemente
zuordnet. Wie sorgst Du dafür, daß dieser Versuch zu einer Fehlermeldung
führt? Stelle Dir vor, du hast das CAS so programmiert, daß es für den
Benutzer unsichtbar gewisse Bezeichnungen für die Elemente von Mengen
verwendet; so ähnlich wie die Bezeichnungen x und y für die Elemente einer
Menge im OP. Diese Bezeichnungen gibt es nur in der Implementierung, "aus
Sicht der Mengen" aber nicht.

Allerdings gibt es diese Problematik auch nur "aus Sicht des CAS", im Rahmen
des OP lautet die Antwort schlicht, daß die hypothetische Funktion f nicht
wohldefiniert ist. Das kann ein Computerprogramm aber nicht so einfach
feststellen.


Ralf

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Allerdings gibt es diese Problematik auch nur "aus Sicht des CAS",

Weshalb denn? Darf man nicht allgemein über Notation nachdenken?

> im Rahmen des OP lautet die Antwort schlicht, daß die hypothetische
> Funktion f nicht wohldefiniert ist.

Aber kann denn überhaupt irgendeine "Funktion" der Form

f( {A, B} ) = f(A) o f(B)

von vorneherein im ALLGEMEINEN Fall wohldefiniert sein!?

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Allerdings gibt es diese Problematik auch nur "aus Sicht des CAS",

Weshalb denn? Darf man nicht allgemein über Notation nachdenken?

> im Rahmen des OP lautet die Antwort schlicht, daß die hypothetische
> Funktion f nicht wohldefiniert ist.

Aber kann denn überhaupt irgendeine "Funktion" der Form

f( {A, B} ) = A o B

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Diese Bezeichnungen gibt es nur in der Implementierung, "aus
> Sicht der Mengen" aber nicht.

Gemeint ist, dass Teil der Definition von Mengen ist, dass Mengen
aus Elementen bestehen, die allein deren Index unterschiedlich macht.

Man kann doch nicht z.B. definieren: Mengen bestehen aus Elementen,
die selbst Mengen sind, deren Elemente in jeder Menge einmalig sind!

Man kann eben nichts von den Elementen jeder Menge verlangen,
äh, eben aber nur aus Sicht der sie enthaltenden Menge.

Klingt simpel, ist es aber nicht, die Implikationen von Mengensystemen
sind nicht leicht zu überschauen...

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Diese Bezeichnungen gibt es nur in der Implementierung, "aus
> Sicht der Mengen" aber nicht.

Gemeint ist, dass Teil der Definition von Mengen ist, dass Mengen
aus Elementen bestehen, die allein deren Index unterschiedlich macht.

Anders geht es nicht.

Man kann doch nicht z.B. definieren: Mengen bestehen aus Elementen,

die vielleicht und oft selbst Mengen sind, wobei die Elemente jedes
Elementes dort einmalig sind!

Man kann da nichts von den Elementen jeder Menge verlangen, äh, aber
eben "nur aus Sicht der sie enthaltenden Menge" - die kann ihrerseits
keinerlei Details über ihre Elemente "wissen"!

Aber auf jeder beliebigen sonstigen Ebene darf man sehr wohl alles
mögliche über all diese Mengen und Elemente sagen und muss es auch,
wenn Mathe überhaupt etwas über triviale Definitionen hinaus sagen
und in Erfahrung bringen will.

Klingt simpel, ist es aber nicht - die Implikationen von Mengensystemen

[emmigrand]

Emmi Grand schrieb:

> Ralf Bader schrieb:
>
>> Diese Bezeichnungen gibt es nur in der Implementierung, "aus
>> Sicht der Mengen" aber nicht.
>
> Gemeint ist, dass Teil der Definition von Mengen ist, dass Mengen
> aus Elementen bestehen, die allein deren Index unterschiedlich macht.
> Anders geht es nicht.

Beispiel: Eine Menge M bestehe aus 10 verschiedenen Äpfeln.

> Man kann doch nicht z.B. definieren: Mengen bestehen aus Elementen,
> die vielleicht und oft selbst Mengen sind, wobei die Elemente jedes
> Elementes dort einmalig sind!

Beispiel weiter: Sollte sich jedoch erweisen, dass mindestens ein Apfel
identische Elemente enthält, dann war die Menge M gar keine Menge und
das CAS hängt sich auf - alternativ hoffentlich der Theoretiker.

Lösung: Man legt fest, dass alle Äpfel Elemente, aber selbst keine
Mengen sind. So bleiben CAS und Mengenlehre immer schön "bei sich".

Leider geht DAS aber nun nicht bei der Konstruktion f({x,y}) = ...,
weil {x,y} eben dummerweise explizit Elemente enthält und weil
der Ausdruck f({x,y}) "irgendwie" darauf zugreift und nicht geordnet.

[emmigrand]

Emmi Grand schrieb:

Antwort:
Nein, denn der allgemeine Fall erfordert wegen seiner Allgemeinheit
strikt, dass die Reihenfolge der Argumente definiert ist - freilich
ist es DANN Sache Funktion, ob sie von dieser Reihenfolge Gebrauch
macht. Und das andere ist Form von spezieller Spass-Notation einer
SCHON DESHALB möglicherweise hypothetischen Funktion.

LOL, da steckt man die Hypothese von der hypothetischen Funktion
gleich vorab in die Notation...

Naja, ich verstehe natürlich auch, dass es sein könnte, dass einer
der besonders originellen Lehrer, gerade auch von hier, sich diese
Notation EXTRA ausgedacht haben, um den Mathematik-Studenten zu
veranlassen, es zu sehen, dass eine solche Aufgabenstellung eventuell
eine nur "hypothetischen Funktion" bereits per Notation impliziert...

Oder wie der Herr gern zum Knecht sagt: shut up and calculate.

Ich hoffe mit den ganzen unerreichten Genies (LOL, z.B. Rosenthal)
hier, dass sich meine leider ungefragt eintretende mengentheoretische
Neugier nun wieder für ein Weilchen erledigt hat. Und mehr wollt ihr
Psoychotiker ja auch gar nicht.

[emmigrand]

Emmi Grand schrieb:

> Aber kann denn überhaupt irgendeine "Funktion" der Form
>
> f( {A, B} ) = A o B
>
> von vorneherein im ALLGEMEINEN Fall wohldefiniert sein!?

Nein, sondern die Form impliziert

f( {A, B} ) = A o B = B o A

so dass das Beispiel des OP impliziert:

f( {x,y} ) = x-y = y-x

was hier alle Lösungen auf Elemente {x,x} von M einschränkt.

[Carsten Schultz]

Am 16.10.11 18:13, schrieb Emmi Grand:

> Carsten Schultz schrieb:
>
>>>>> die Schreibweise f ({x,y}) = ... (samt damit verbundenen Denken)
>>>>> ist sogar immer formal falsch.
>> ^^^^^ ^^^^^^
>
> OK, gemeint ist, dass es wünschenswert ist, Argumente von Funktionen
> in einer definierten Reihenfolge zu übergeben. Gemeint ist also:
>
> Es sollte immer als formal falsch angesenen werden, wenn Ausdrücke
> auftauchen wie: f (Argumente in unspezifizierter Reihenfolge).
>
> Stimmst du dem etwa nicht zu?
>

Die Funktion f hat hier ein Argument, nämlich {x,y}.

Wie würdest Du denn z.B. die Funktion

f({x,y})=x*y

notieren wollen, wenn sie denn definiert werden sollte? Dabei sei * die
Multiplikation zweier ganzer Zahlen.

>>> Doch. Denn das führt zu manifesten Wiedersprüchen bei nichtkommutativen
>>> Operatoren, s. *) unten.
>>>
>>>> durch f({x,y}) = x*y bekommt man eine Abbildung von der Menge
>>>> aller höchstens zweielementigen Teilmengen der ganzen Zahlen in die
>>>> Menge der ganzen Zahlen. Was sollte daran falsch sein,

Genau.

Gruß

Carsten

[emmigrand]

Klaus-R. Loeffler schrieb:

Ja, und deshalb ist der Ausdruck

f ( {x,y} ) = x - y

sinnlos und daher falsch, einfach weil er überhaupt nicht definiert ist.

Weder ein Mensch noch eine Maschine könnten ersehen, was zu tun ist,
weil nicht definiert ist, was x und y sind.

Deshalb impliziert diese Form oder Notation als einzig mögliche Definition

f( {x,y} ) = x-y = y-x

wofür nur "Elemente" {x,x} von M in Frage kommen.

Auf diese Weise kann falsche Notation von selbst ad absurdum gehen.

[emmigrand]

Carsten Schultz schrieb:

> Wie würdest Du denn z.B. die Funktion
>
> f({x,y})=x*y
>
> notieren wollen, wenn sie denn definiert werden sollte?

f({x,y})= x*y = y*x

Siehe: Message-ID: <201110162115.UTC.j7fhgr$jsh$1...@tioat.net>

Gruss

[Ralf Bader]

Emmi Grand wrote:

> Emmi Grand schrieb:
>
>> Aber kann denn überhaupt irgendeine "Funktion" der Form
>>
>> f( {A, B} ) = A o B
>>
>> von vorneherein im ALLGEMEINEN Fall wohldefiniert sein!?
>
> Nein, sondern die Form impliziert

Die Form oder Formel alleine impliziert überhaupt nichts. Nur eine Aussage
kann etwas implizieren, und eine Form(el) ist keine Aussage (Merksatz 1;
hier aktive Großschwurbelanten faseln davon, daß "die
Realität" "konsistent" sei, und die Mathematik ihre Konsistenz daher
beziehen solle. Das ist ein Blödsinn, denn die Realität ist weder
konsistent noch inkonsistent, sie ist. Konsistenz ist eine Relation
zwischen Aussagen, ebenso wie Implikation)

> f( {A, B} ) = A o B = B o A
>
> so dass das Beispiel des OP impliziert:
>
> f( {x,y} ) = x-y = y-x
>
> was hier alle Lösungen auf Elemente {x,x} von M einschränkt.

WENN
- M, X Mengen sind
- M_2 := { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von M }
- f:M_2 -> X eine Abbildung, so daß es eine Abbildung g:MxM -> X gibt mit
f( {A, B} ) = g(A,B), für alle A,B e M
DANN ist g(A,B) = f( {A, B} ) = f( {B, A} ) = g(B,A), für alle A,B e M
Das ist ein (in ZFC auch formal beweisbarer) Satz.

Wenn die Konklusion, wie im Fall des OP, falsch ist, muß eine Prämisse
falsch sein, und das ist in diesem Fall "f:M_2 -> X eine Abbildung": Dieses
f muß eine Teilmenge von M_2 x X sein, das die von Norbert Dragon
angegebene Bedingung erfüllt: Zu jedem m e M_2 gibt es genau ein Element
(m,f(m)) in f. Die Abbildungseigenschaft von f kann man dadurch nachweisen,
daß man ein Verfahren angibt, um zu beliebig vorgegebenem m ein Element
(m,f(m)) in f zu finden, und zusätzlich zeigt, daß das so bestimmte das
einzige Element der Form (m,?) in f ist.

Im Falle des OP scheint das fragliche Verfahren so abzulaufen:
1 - wähle a e m
2 - wähle b e m, so daß entweder a != b oder m einelementig ist
3 - setze f(m) = a - b
Diese 3 Schritte stecken in der Zeile f ({x,y}) = x-y des OP. Das ist
Merksatz 2: Variable (wie a und b) müssen deklariert werden. Das erspart
es, sich über "die Sinnlosigkeit des Ausdrucks f ( {x,y} ) = x - y" den
Kopf zu zerbrechen.
Nach Ausführung von 1 sind die Schritte 2 und 3 strikt deterministisch; 1
hingegen ist dies nicht. Wenn man in einem solchen Verfahren einen
nichtdeterministischen Schritt hat, dann muß man nachweisen, daß das
Ergebnis von der bei diesem Schritt getroffenen Wahl unabhängig ist.
Angenommen, in Schritt 1 wird a' != a gewählt. Dann wird in Schritt 2
zwangsläufig b' = a gewählt, und in Schritt 3 wird f(m) = a' - b' = b - a
gesetzt. Und da b - a != a - b ist, ist die Sache an dieser Stelle
gescheitert.

Mit f(m) = a + b hätte das Verfahren funktioniert. Der anschließende
Schritt, "daß das so bestimmte das einzige Element der Form (m,?) in f
ist", ist in dem Fall trivial, wo f so definiert ist, daß seine Werte durch
eben dieses Verfahren bestimmt sind; f(m) könnte auch anders definiert
sein, etwa implizit als Lösung irgendeiner Gleichung, und das Verfahren
diente dann zur Bestimmung einer Lösung, und anschließend wäre zu zeigen,
daß diese Lösung die einzige ist. Auch ganz andere Beweisgänge zur
Feststellung der Funktionseigenschaft von f wären möglich.

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Emmi Grand wrote:
>
>> Emmi Grand schrieb:
>>
>>> Aber kann denn überhaupt irgendeine "Funktion" der Form
>>>
>>> f( {A, B} ) = A o B
>>>
>>> von vorneherein im ALLGEMEINEN Fall wohldefiniert sein!?
>>
>> Nein, sondern die Form impliziert
>
> Die Form oder Formel alleine impliziert überhaupt nichts.

Sagst du. Aber z.B. impliziert 1/2 = 1/3 eine Inkonsistenz, d.h.
hier die Form 1/a = 1/b, a=b, Einzelheiten schenken wir uns.

> Nur eine Aussage kann etwas implizieren, und eine Form(el) ist
> keine Aussage

Glaube ich nicht, aber darüber werde ich nachdenken und ggf. "berichten" ;)

> (Merksatz 1; hier aktive Großschwurbelanten faseln davon, daß "die
> Realität" "konsistent" sei, und die Mathematik ihre Konsistenz daher
> beziehen solle. Das ist ein Blödsinn, denn die Realität ist weder
> konsistent noch inkonsistent, sie ist.

Da rennst du meine offenen Türen ein.

> Konsistenz ist eine Relation zwischen Aussagen, ebenso wie Implikation)
>
>> f( {A, B} ) = A o B = B o A
>>
>> so dass das Beispiel des OP impliziert:
>>
>> f( {x,y} ) = x-y = y-x
>>
>> was hier alle Lösungen auf Elemente {x,x} von M einschränkt.
>
> WENN
> - M, X Mengen sind
> - M_2 := { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von M }
> - f:M_2 -> X eine Abbildung, so daß es eine Abbildung g:MxM -> X gibt mit
> f( {A, B} ) = g(A,B), für alle A,B e M
> DANN ist g(A,B) = f( {A, B} ) = f( {B, A} ) = g(B,A), für alle A,B e M
> Das ist ein (in ZFC auch formal beweisbarer) Satz.

Genau, wobei M in der Vorlage (mit M=G) des OP deiner M_2 entspricht
(so dass MxM dort nicht explizit auftaucht).

> Wenn die Konklusion, wie im Fall des OP, falsch ist, muß eine Prämisse
> falsch sein, und das ist in diesem Fall "f:M_2 -> X eine Abbildung": Dieses
> f muß eine Teilmenge von M_2 x X sein, das die von Norbert Dragon
> angegebene Bedingung erfüllt: Zu jedem m e M_2 gibt es genau ein Element
> (m,f(m)) in f. Die Abbildungseigenschaft von f kann man dadurch nachweisen,
> daß man ein Verfahren angibt, um zu beliebig vorgegebenem m ein Element
> (m,f(m)) in f zu finden, und zusätzlich zeigt, daß das so bestimmte das
> einzige Element der Form (m,?) in f ist.

Ja. Wobei Norbert Dragon falsch sagte, dass {(a,b), a-b}, a,b in M (ohne
jede Bedingung!) kein Element von M_2 x X sei, was trivial falsch ist.

> Im Falle des OP scheint das fragliche Verfahren so abzulaufen:
> 1 - wähle a e m
> 2 - wähle b e m, so daß entweder a != b oder m einelementig ist
> 3 - setze f(m) = a - b

Welches Verfahren!? Der OP sagt ganz konkret, was er meint in
Message-ID: <4e9aa217...@news.arcor.de>

G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G }
f : M --> G

f ( {x,y} ) = x - y, ist eine Abbildung.
Dies ist falsch, weil...

Weil f {x,y} ungleich f {y,x}. <-- Das aber ist Unsinn,
denn das E I N E Argument {y, x} KANN NICHT anders ausgewertet
werden als x o y = y o x, und fertig.

Fertig. Du kannst kein Programm schreiben, das f {x,y} auswertet,
ohne eine Reihenfolge von x,y bei einer Verknüpfung von x und y
zu benutzen.

Mehr muss ich nicht wissen. Sinnvoll wäre dagegen
z.B. f( {x,y} ) := {x-y, x-y}

> Diese 3 Schritte stecken in der Zeile f ({x,y}) = x-y des OP. Das ist
> Merksatz 2: Variable (wie a und b) müssen deklariert werden. Das erspart
> es, sich über "die Sinnlosigkeit des Ausdrucks f ( {x,y} ) = x - y" den
> Kopf zu zerbrechen.

Ja.
Wobei, wie gesagt, hier das "Problem" bereits in der STRUKTUR der Notation
steckt: f (keine Reihenfolge) := (irgendetwas, das von Reihenfolge abhängt).

> Nach Ausführung von 1 sind die Schritte 2 und 3 strikt deterministisch;
> 1 hingegen ist dies nicht.

Du bist "gutmütig" in der Auslegung des OP und der Erfindung der Schritte
1...3; aber der OP gab das nicht her! Ich denke dass er meinte, was
er schrieb...

> Wenn man in einem solchen Verfahren einen
> nichtdeterministischen Schritt hat, dann muß man nachweisen, daß das
> Ergebnis von der bei diesem Schritt getroffenen Wahl unabhängig ist.
> Angenommen, in Schritt 1 wird a' != a gewählt.

Es wird gar nichts gewählt, sondern es wird die Menge M aus GxG gebildet,
und dann per f({x,y})=x-y auf G "losgelassen" - und das ist alles ;)

> Dann wird in Schritt 2 zwangsläufig b' = a gewählt, und in Schritt 3
> wird f(m) = a' - b' = b - a gesetzt.
> Und da b - a != a - b ist, ist die Sache an dieser Stelle gescheitert.

Wenn du so weiter machst, dann rettet deine "Gutgläubigkeit" auch noch
(Zitat du) dieses äh ...-kapitalistische System vor dem Untergang UND
ZWAR versehentlich gegen die zarten Anfänge der Erneuerung, die wir sehen.

(Man kann eben nicht alles heilen, aber du machst das hier ja aus
mathematischer Passion... Jedenfalls ist die konkret GEGEBENE Notation
in sich inkonsistent, weil niemand ausser dir Schritte 1..x erfand ;)

> Mit f(m) = a + b hätte das Verfahren funktioniert.

LOL. Und nun schreib das bitte mal so mathematisch kurz hin wie der OP.

> Der anschließende
> Schritt, "daß das so bestimmte das einzige Element der Form (m,?) in f
> ist", ist in dem Fall trivial, wo f so definiert ist, daß seine Werte durch
> eben dieses Verfahren bestimmt sind; f(m) könnte auch anders definiert
> sein, etwa implizit als Lösung irgendeiner Gleichung, und das Verfahren
> diente dann zur Bestimmung einer Lösung, und anschließend wäre zu zeigen,
> daß diese Lösung die einzige ist. Auch ganz andere Beweisgänge zur
> Feststellung der Funktionseigenschaft von f wären möglich.

OP hat das vielleicht so "gesehen", bzw. ähnliches erwartet... Ich habe ja
auch erst etwas dazu gesagt, als Norbert offensichtliche Fehler hinschrieb.

Der OP jedenfalls hat allgemein gefragt, weshalb das "Verbot" von
Mengen {x, x, ...} Sinn macht und dann in seinem Posting
Message-ID: <4e9aa217...@news.arcor.de> eine Antwort versucht,
die genau DAS begründet, nämlich, weshalb das Verbot Sinn macht, und
zwar diametral anders als du, der du wirklich so ehrlich gutmütig bist,
die Notation des OP "retten" zu wollen - wobei du aber lustigerweise
die Absicht des OP seine These von der Korrektheit des "Verbotes" von
Mengen, die gleicher Elemente enthalten dürfen, gleich mit widerlegen
tätest ;)

Dass gleiche Mengen in Mengen verboten sind, hat übrigens auch einen
"praktischen" Sinn, wie mir heute u.a. klar wurde: eine wohldefinierte
Mächtigkeit, die nur gegeben ist, wenn man die "Willkür" multipler
gleicher Elemente verbietet, was umgedreht dazu führt, dass die Angabe
der Mächtigkeit erst dann korrekt erfolgen darf, wenn multiple Elemente
ausgeschlossen wurden, nicht nur im Falle von CASen...

Danke,
Gruss

[emmigrand]

[ Berichtigung ]

> Mehr muss ich nicht wissen. Sinnvoll wäre dagegen
> z.B. f( {x,y} ) := {x-y, x-y}

Es muss heissen:
z.B. f( {x,y} ) := {x-y, y-x}

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Mit f(m) = a + b hätte das Verfahren funktioniert.

Ja! Denn das entspricht genau meinem "Befund":

f( {x,y} ) = x o y = y o x

hier

f( {x,y} ) = x + y = y + x

Btw:
Jeder Physiker kennt Abba-Optik (der nicht-kommutativen Mathe) im Schlaf...

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Mit f(m) = a + b hätte das Verfahren funktioniert.

Oder noch mal viel (!) einfacher, in Message-ID:
<201110161329.UTC.j7em8a$bok$1...@tioat.net> hatte ich das beschrieben:

Wenn "()" geordnete Tupel bezeichnen...

G sei die Menge aller ganzen Zahlen,
M = { (n,m) | n,m Element von G }

f : M --> G
f (x,y) = x-y; (x,y) Element von M ist eine Abbildung.

Man definiert einfach die Elemente von M gleich als geordnete Paare
und geht über zu f(x,y), d.h. 2 Argumente, das geht auch per G x G,
aber man filtert dabei gleiche Elemente nicht weg... So einfach ist
das, sowohl für CASe als auch für Leute...

scnr... Gruss

[Carsten Schultz]

Am 16.10.11 23:16, schrieb Emmi Grand:

Wow, das zeigt natürlich, wie unsinnige „f({x,y})=“ ist.

[WM]

On 16 Okt., 23:19, Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:

> > Nein, sondern die Form impliziert
>
> Die Form oder Formel alleine impliziert überhaupt nichts. Nur eine Aussage
> kann etwas implizieren, und eine Form(el) ist keine Aussage

sinx = 2 ist eine (im Reellen) inkonsistente Aussage.

> (Merksatz 1;
> hier aktive Großschwurbelanten faseln davon, daß "die
> Realität" "konsistent" sei, und die Mathematik ihre Konsistenz daher
> beziehen solle. Das ist ein Blödsinn,

oder erscheint zumindest dem Unverständigen so.

Konsistent ist etwas, das keine inneren Widersprüche oder Spannungen
aufweist, die seine Einheit gefährden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Konsistenz

Gruß, WM

[Klaus-R. Loeffler]

Man kann allerdings (als Definierender!) solche Zeilen sinnvoll machen,
indem man durch zusätzliche Forderung einer bestimmten Darstellung in
der Definition die Darstellungsunabhängigkeit beseitigt.

Das tut man z.B. auch bei der (als Beispiel einer nur an den
irrationalen Stellen stetigen) Funktion auf [0; 1], die an den
irrationalen Stellen Wert 0, und an den rationalen Stellen p/q den Werth
1/q definiert ist, wobei p/q die reduzierte Darstellung ist (!!!).

So wäre die Definition
"Für X = {x,y} mit x<y : f(X) = x-y " sinnvoll .

In der Praxis würde man diese Abbildung allerdings anders erklären, z.B.
f bildet {X \in P(Z) | #(X) = 2} in Z ab mit der Abbildungsvorschrift
f(X) = max(X)-min(X) .

Klaus-R.

[Rainer Rosenthal]

Am 16.10.2011 18:17, schrieb Emmi Grand:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Dein Bedarf an Lernen scheint gedeckt
>
> Ich habe noch folgende Fragen:

sorry, hatte das zwar gestern schon geschrieben, aber beim
Absenden ist was schief gelaufen.

>
> f({x,y}) = ... führt manchmal zu Widersprüchen.
>
> Stimmst du dem zu?

Hatte ich bereits zugestimmt. In dem von Dir genannten
Fall f({x,y}) = x-y handelt es sich um einen Definitionsversuch,
der dem Kriterium der Wohldefiniertheit nicht genügt.

"Manchmal" ist ganz hervorragend formuliert, weil f({x,y}) = x*y
eine korrekte Definition ist. Als Beispiel hatte ich f({5,17}) = 85
angegeben, wobei ich x und y aus dem von Dir genannten Bereich,
also der Menge der ganzen Zahlen gewählt hatte.

> f({x,y}) ist nicht eindeutig (bezüglich der Reihenfolge der Argumente).
>
> Stimmst du dem zu?

Nein. Denn die Funktion hat nur *ein* Argument, nämlich eine Menge von
maximal zwei ganzen Zahlen.
Wie Du diese Menge notierst, ist ein ganz anderes Problem. Kein großes,
aber immerhin wichtig genug um darüber zu reden. Was es da zu sagen gibt,
hatte ich bereits getan und wiederhole es gerne: {x,y} = {y,x}.

> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.
>
> Stimmst du dem zu?

Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen, sondern
es war von ganzen Zahlen die Rede. "Nicht kommutative Mathematik" gibt es
nicht, sondern es gibt in der Mathematik nicht-kommutative Verknüpfungen, die
zum Beispiel in der Physik Anwendung finden.

> f({x,y}) = x-y hat GAR KEINEN Sinn, weil "-" Reihenfolge voraussetzt.
>
> Stimmst du dem zu?
>

Da kannst Du noch so oft fragen: ich bleibe beim "ja".

>
> Ausdrücke der Sorte
>
> f (Argumente in unspezifizierter Reihenfolge), wie z.B.
>
> f({x,y}) = ...
>
> sind mindestens ungeschickt halte, AUCH wenn sie MANCHMAL nicht
> direkt widersprüchlich sind. Z.B. ist f({x,y}) = x*y nur dann
> nicht widersprüchlich bzw. falsch, wenn man von vorneherein nicht
> kommutative Multiplikation ausschliesst, WIE Z.B. bei MATRIZEN.
>
> Stimmst du dem zu?

Nein. Ungeschickt ist es, alle solche Ausdrücke in einen Topf zu werfen
und sich dann darüber zu beschweren, dass sich in dem Topf Unsinniges neben
Sinnvollem befindet.

Alles was Du wirklich erkannt hast, ist(*):

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Eine Funktion f zu definieren, deren Argument eine
Menge ist und deren Funktionswert aus den Werten der
Elemente berechnet wird, erfordert Sorgfalt.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Dazu hatte ich auch bereits den Wikipedia-Link bzgl. "Wohldefiniertheit"
angegeben, der Dir zeigen kann, dass das Thema durchaus wichtig ist.

(*) Falls Du meinst, dass es ja gar nicht anders sein könne, als dass man
den Funktionswert aus den Werten der Elemente der Menge berechnet, dann gebe ich
Dir hier eine Definition für eine nicht-triviale Funktion mit dem von Dir
genannten Wertebereich: f({x,y}) = card({x,y}). Diese Funktion ist auch
wohldefiniert. Hier ist f({5,17}) = 2.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[emmigrand]

Rainer Rosenthal schrieb:

>> Ich habe noch folgende Fragen:
>
> sorry, hatte das zwar gestern schon geschrieben, aber beim
> Absenden ist was schief gelaufen.

OK.

>>
>> f({x,y}) = ... führt manchmal zu Widersprüchen.
>>
>> Stimmst du dem zu?
>
> Hatte ich bereits zugestimmt.

> "Manchmal" ist ganz hervorragend formuliert, weil f({x,y}) = x*y
> eine korrekte Definition ist.

Nicht im Falle von Matrizen, denn die kommutieren nicht.

>> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.
>>
>> Stimmst du dem zu?
>
> Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen

Ich schon, denn ich sprach allgemein von Schreibweise/Notation.

>> f({x,y}) = x-y hat GAR KEINEN Sinn, weil "-" Reihenfolge voraussetzt.
>>
>> Stimmst du dem zu?
>
> Da kannst Du noch so oft fragen: ich bleibe beim "ja".

Jetzt sei doch mal ein bisschen aufmerksam, auch wenn die Altersdemenz
dir das so noch schwer macht - die Rede war von konkret 3 Fällen:

- f({x,y}) = ... <-- Allgemeiner Fall von Notation, die rechts
vom "=" auf x und y zugreift (!), allgemein mit x o y

- f({x,y}) = x * y <-- Notation, die rechts vom "=" mit "*" auf
x und y zugreift.

- f({x,y}) = x - y <-- Notation, die rechts vom "=" mit "-" auf
x und y zugreift.

Wenn du dich jetzt an deine ferne Jugend erinnerst, dann entdeckst du
vielleicht den Zusammenhang: Dazu gab es 3 Fragen, und es gibt daher
3 mögliche Antworten (von denen du nur eine anders als die anderen
beiden beantwortest).

Was soll dein Gejammer, dass diese 3 Fragen 3 Antworten vertragen...
Letzteres war rhetorisch, also bitte, bitte behalte deine Antwort
für dich, du grosser (Leer-) Meister.

Vielleicht solltest du auch noch das hier ein bisschen lesen:
Message-ID: <1k9a32e.1m9s2681xdrvusN%mathe...@web.de>
aber bitte nur für eine Eigendemonstration deines mentalen Zustandes
benutzen, d.h. also bitte auch darauf NICHT "antworten"!

Es wäre sicherlich auch gut für dein Ego, deine Weisheiten wieder,
rund um die Uhr, mit deinesgleichen zu beschwatzen, d.h. am besten
wieder mit deiner Zwillingsseele WM.

Insbesondere kannst du so deine Erkenntnisse von "Wohldefiniertheit" gut
unterbringen - mir ging es ja nur ganz vorsichtig um passende Notation.

[emmigrand]

[ Nachtrag, zum Zwecke der allgemeinen Belustigung ]

Emmi Grand schrieb:

> Rainer Rosenthal schrieb:

>>> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.
>>>
>>> Stimmst du dem zu?
>>
>> Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen

Das müssen keine Matrizen sein. In der Physik sind nichtkommutative
Algebren auch für Observablen, also Zahlen, total allgegenwärtig,
siehe z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Klammer
http://de.wikipedia.org/wiki/Kanonische_Vertauschungsrelation
http://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Algebra
(Deshalb steht da oben in Klammern "Physik", aber das alles muss
man natürlich nicht wissen.)

[Ernst Baumann]

>
>War das jetzt hilfreich?
>
ja, vielen Dank
>
>Ist das Ergebnis aber von der Reihenfolge abhängig, wie das bei x-y
>(ungleich y-x im Allgemeinen) der Fall ist, dann ist das i.A.
>Ergebnis *nicht* wohldefiniert, d.h. da steht etwas nur auf den ersten
>Blick sinnvoll scheinendes.
>
Wie kann man dann eine Abbildung definieren, wenn das Ergebnis von der
Reihenfolge abhängt?
Mein Vorschlag.
n ist eine natürliche Zahl > 0 und fest vorgegeben.
M = { {x1, ..., xn} | {x1, ..., xn} Teilmenge von X}
Auf jedem Element von M, also auf jeder Menge {x1, ..., xn} sei eine
Reihenfolge definiert.
Formal spezifiziert.
r : M --> {1 , ..., n}
ist eine Abbildung (anschaulich eine Indizierung) mit der Eigenschaft:
Es gibt z1, ..., zn mit {x1, ..., xn} = {z1, ..., zn} und
r(z1) = 1 und ... und r(zn) = n

Nun definiert man z.B:
f( {a1, ..., an} ) = a1 - a2 - ... - an
wobei x1, ..., xn in "aufsteigender Reihenfolge" dargestellt sind.
Formal spezifiziert:
r(a1) = 1 und ... und r(an) = n

Fragen:
1) Ist diese Definition von f wohldefiniert ?

2) Darf man bei der _Darstellung_ einer Menge wie z.B:
{a1, ..., an} voraussetzen, dass diese eine bestimmte Reihenfolge hat?
Darf man also schreiben:
{y1, ..., yn} ist eine Menge mit einer Reihenfolge r

3) Gibt es eine besondere Darstellung einer Menge (mit Reihenfolge)?
Es muss doch eine Darstellung geben, an der man erkennt, ob eine Menge
eine Reihenfolge hat.

mfg
Ernst

[Detlef Müller]

Am 17.10.2011 17:25, schrieb Emmi Grand:
> [ Nachtrag, zum Zwecke der allgemeinen Belustigung ]
>
> Emmi Grand schrieb:
>
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>>>> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.
>>>>
>>>> Stimmst du dem zu?
>>>
>>> Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen
>

Das korrekte Zitat war:

"Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen,
sondern es war von ganzen Zahlen die Rede."

Und genau so war es auch.

> Das müssen keine Matrizen sein. In der Physik sind nichtkommutative

> Algebren auch für Observablen,[... blabla ...]

Pöbeln und Zitate fälschen dient im Allgemeinen weniger der
"allgemeinen Belustigung".

Erbärmlich.

ohne Gruß,
Detlef

[Ralf Bader]

Stefan Ram wrote:

> Ralf Bader <ba...@nefkom.net> writes:
>>eine Form(el) ist keine Aussage
>

> In der Mathematik und Logik schon.
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Formel_(Mathematik)
> http://de.wikipedia.org/wiki/Logische_Formel
>
> Du wolltest vielleicht sagen,
> »ein Term ist keine Aussage«.

Nein, wiollte ich nicht.

In dem Wikipedia-Artikel steht u.a.:
"Bekannte Beispiele für Formeln
Satz des Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2".
Das ist Unsinn. "a^2 + b^2 = c^2" ist eine bei der Formulierung des Satzes
von Pythagoras potentiell sehr nützliche Formel, jedoch ist sie nicht der
Satz von Pythagoras und sie ist auch keine Aussage. Eine Aussage kann man
durch Interpretation der Formel gewinnen. Das ist auch so in der Logik. Die
Formeln einer prädikatenlogischen Theorie sind keine Aussagen. Eine
Interpretation kann in diesem Fall durch die Konstruktion eines Modells
erfolgen.


Ralf

[emmigrand]

Detlef Müller schwurbelt sinnlos irgendwelche dämliche Scheisse:

> Emmi Grand schrieb:

>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>
>>>>> f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.
>>>>>
>>>>> Stimmst du dem zu?
>>>>
>>>> Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen
>>
> Das korrekte Zitat war:
> "Natürlich nicht, denn wir sprachen nicht über Mengen von Matrizen,
> sondern es war von ganzen Zahlen die Rede."

> Und genau so war es auch.

Ich, ABER Emmi, ich schrieb über Notation, du komischer Affe.

>> Das müssen keine Matrizen sein. In der Physik sind nichtkommutative
>> Algebren auch für Observablen

Ja. Ich schrieb:

f({x,y}) = x*y hat für nicht kommutative Mathematik (Physik) keinen Sinn.

> Pöbeln

Die unglückliche, aggressive, dümmliche, zankhafte Grundhaltung hat
das Rosenthal hier WIEDER mit gebracht. Der fühlt sich in seiner
Dämlichkeit nnämlich immer angegriffen und quasi "unterbewertet".

> und Zitate fälschen

LOL. Du Komiker bist ja richtig verblödet, denn Weglassen ist kein Fälschen.

> Erbärmlich.

> ohne Gruß

LOL, steck dir deinen Gruss in deine kranke Matschbirne, du Schwuchtel.

> Detlef

LOL. Du alte Schwuchtel bist immer zur Stelle, wenn sich deine
Mitschwuchteln wie Rosenthal gerne herumzanken wollen und ihre
Weisheiten aus den Mathebüchern zwanghaft unter die Leute seichen.

Bleibt doch einfach beim gegebenen Thema, ihr widerlichen Kretins...

[emmigrand]

Ralf Bader schrieb:

> Stefan Ram wrote:
>
>> Ralf Bader <ba...@nefkom.net> writes:
>>>eine Form(el) ist keine Aussage
>>
>> In der Mathematik und Logik schon.
>>
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Formel_(Mathematik)
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Logische_Formel
>>
>> Du wolltest vielleicht sagen,
>> »ein Term ist keine Aussage«.
>
> Nein, wiollte ich nicht.
>
> In dem Wikipedia-Artikel steht u.a.:
> "Bekannte Beispiele für Formeln
> Satz des Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2".
> Das ist Unsinn. "a^2 + b^2 = c^2" ist eine bei der Formulierung des Satzes
> von Pythagoras potentiell sehr nützliche Formel, jedoch ist sie nicht der
> Satz von Pythagoras und sie ist auch keine Aussage. Eine Aussage kann man
> durch Interpretation der Formel gewinnen.

Soll das heissen, dass deiner Auffassung nach eine Aussage wäre:

"Die Beziehung ( a^2 + b^2 = c^2 ) ist wahr für ebene Dreiecke"?

> Das ist auch so in der Logik. Die Formeln einer prädikatenlogischen
> Theorie sind keine Aussagen. Eine Interpretation kann in diesem Fall
> durch die Konstruktion eines Modells erfolgen.

Wie würdest du denn, also..., Ausdrücke wie A -> B nennen?

[Detlef Müller]

Am 17.10.2011 18:04, schrieb Ernst Baumann:
>>
>> War das jetzt hilfreich?
>>
> ja, vielen Dank
>>
>> Ist das Ergebnis aber von der Reihenfolge abhängig, wie das bei x-y
>> (ungleich y-x im Allgemeinen) der Fall ist, dann ist das i.A.
>> Ergebnis *nicht* wohldefiniert, d.h. da steht etwas nur auf den ersten
>> Blick sinnvoll scheinendes.
>>
> Wie kann man dann eine Abbildung definieren, wenn das Ergebnis von der
> Reihenfolge abhängt?
> Mein Vorschlag.
> n ist eine natürliche Zahl> 0 und fest vorgegeben.
> M = { {x1, ..., xn} | {x1, ..., xn} Teilmenge von X}
> Auf jedem Element von M, also auf jeder Menge {x1, ..., xn} sei eine
> Reihenfolge definiert.
> Formal spezifiziert.
> r : M --> {1 , ..., n}

Ich denke, Du meinst r : m --> {1 , ..., n} mit m aus M ?!

> ist eine Abbildung (anschaulich eine Indizierung) mit der Eigenschaft:
> Es gibt z1, ..., zn mit {x1, ..., xn} = {z1, ..., zn} und
> r(z1) = 1 und ... und r(zn) = n
>

Wobei das r ja von m={x1, ..., xn} aus M abhängt, deshalb wäre
r_m(z1), ... r_m(zn) angebrachter, da die Abbildung r für jede
Teilmenge m aus M verschieden sein wird.

> Nun definiert man z.B:
> f( {a1, ..., an} ) = a1 - a2 - ... - an
> wobei x1, ..., xn in "aufsteigender Reihenfolge" dargestellt sind.
> Formal spezifiziert:
> r(a1) = 1 und ... und r(an) = n
>
> Fragen:
> 1) Ist diese Definition von f wohldefiniert ?
>

Ja.

> 2) Darf man bei der _Darstellung_ einer Menge wie z.B:
> {a1, ..., an} voraussetzen, dass diese eine bestimmte Reihenfolge hat?

Nein, das muß man dazu sagen. Die Reihenfolge ist ja gar keine
Eigenschaft der Menge, sondern des geordneten Tupels
(a1, ..., an), welches der Menge {a1, ..., an} zugeordnet wurde.

> Darf man also schreiben:
> {y1, ..., yn} ist eine Menge mit einer Reihenfolge r
>

Ich würde dann sagen:
"wobei y1, ..., yn bzüglich r sortiert sind."

> 3) Gibt es eine besondere Darstellung einer Menge (mit Reihenfolge)?
> Es muss doch eine Darstellung geben, an der man erkennt, ob eine Menge
> eine Reihenfolge hat.
>

Natürlich kann man eine Menge z.B. von Zahlen aufsteigend oder fallend
sortiert hinschreiben.

Das ändert aber doch an der Menge nichts. Das Wesen einer Menge ist doch
gerade, daß sie _keine_ Reihenfolge hat - sonst wäre es ja eben ein
geordnetes n-Tupel.

Aber es dürfte doch kein Thema sein, etwa:

T={y1, ..., yn} mit y1 <= y2 <= ... <= yn
oder eben (*) r_T(r_i)<=r_T(y(i+1)), i=1,...,n-1

zu schreiben, oder?
Man kann auch einmal am Anfang sagen "Im Folgenden seien in
den Darstellungen {y1, ..., yn} stets die y1, ..., yn gemäß
(*) sortiert.

Damit hat man aber implizit die Abbildung
m -> (r_m^(-1)(1), r_m^(-1)(2), ..., r_m^(-1)(n)
der Abbildung F: D -> W vorgeschaltet mit
D Teilmenge von X^n der n-Tupel (x1,...,xn) mit r(x1)<=...<=r(xn).

Sprich: r:M->X^n kümmert sich um die Mehrdeutigkeiten,
indem es F:D --> W mit eindeutigen Tupeln füttert.
Zusammen ist dann f = F o r dann tatsächlich automatisch
wohldefiniert.
Wahrscheinlich hast Du damit das ausformuliert, was einige
hier meinten, wenn sie behaupteten die Funktion
f: M --> W, m |--> f(m),
die ja ganz offenkundig nur ein einziges Element, die Menge m,
als Argument hat, hinge von n Variablen ab.

Gemeint war dort wohl die hier als F bezeichnete Abbildung
D aus X^n --> W.

Gruß,
Detlef

--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

[Hans CraueI]

Stefan Ram schrieb

> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> writes:
>> (*) Falls Du meinst, dass es ja gar nicht anders sein könne, als dass man
>> den Funktionswert aus den Werten der Elemente der Menge berechnet, dann gebe ich
>> Dir hier eine Definition für eine nicht-triviale Funktion mit dem von Dir
>> genannten Wertebereich: f({x,y}) = card({x,y}). Diese Funktion ist auch
>> wohldefiniert.
>

> Was ist denn ihr Definitionsbereich? (Sollte dieser nicht eine Menge sein?

Die Potenzmenge. Das ist offenkundig eine Menge, wie schon der
Name zum Ausdruck bringt.

> Ist diese Menge selber wohlbestimmt? Was ist beispielsweise ihre Kardinalität?)

Was soll das bedeuten: "eine Menge ist wohlbestimmt"? Oder, anders
gefragt: Gib mal ein Beispiel einer nicht wohlbestimmten Menge.

Die Kardinalitaet der Potenzmenge einer Menge M ist 2^card(M).

Die Zuordnung, die einem Element der Potenzmenge ihre Kardinalitaet
zuweist, definiert ein Mass, welches genau dann endlich ist, wenn M
endlich ist und welches genau dann sigma-endlich ist, wenn M abzaehlbar
ist; ein Radon-Mass ist es allerdings etwa auf Q trotz Abzaehlbarkeit
von Q nicht.

Dies Mass ist jedoch auf der in diesem Fred betrachteten Menge
wenig interessant. Tatsaechlich ist die betrachtete Menge gerade
das Urbild von {1,2} bzgl. dieses Masses. Man kann das Urbild von 2
und damit die gesamte Menge noch etwas besser darstellen als
W = {{x,y} : x < y} (x und y stets aus R), so dass man wegen der
leicht verifizierbaren Feststellung W = {{x,y} : x > y} weitere
interessante Schluesse ziehen kann.

Hans CraueI

[emmigrand]

Ernst Baumann schrieb:

> Dank alle alle fuer die Postings,
> mir faellt dazu noch folgendes ein:
>
> G sei die Menge aller ganzen Zahlen.
> M = { {n,m} | {n,m} ist Teilmenge von G }
>
> f : M --> G
> f ( {x,y} ) = x - y
> ist eine Abbildung.
>
> Dies ist falsch, weil gelten muesste:
> f( {3,4} ) = 3-4 = -1
> und
> f( {3,4} ) = f( {4,3} ) = 4-3 = 1
> Dies widerspricht der Eindeutigkeit.
> Ist meine Ueberlegung richtig ?
>
> Was muesste man machen, um eine Abbildung zu bekommen?

Z.B. schreiben:

f ( {x,y} ) =
{
x - y: x > y
y - x: y > x
}

[Christopher Creutzig]

On 10/14/11 4:55 PM, Stefan Ram wrote:

> Es steht Dir aber frei, eine Mengenlehre zu veröffentlichen,
> in der Du dies definierst und dann wahlweise erlaubst oder
> verbietest.

Multimengen sind vielleicht nicht sonderlich gebräuchlich, aber auch
nicht wirklich unbekannt.

--
Das ist doch immerhin ein Stueck weniger schlecht
als ich dachte. (Hans Crauel)

[Hans CraueI]

Stefan Ram schrieb

> Hans CraueI <crauel...@freenet.de> writes:
>> Was soll das bedeuten: "eine Menge ist wohlbestimmt"?
>

> Es bedeutet, daß die gegebene Beschreibung keine Menge bestimmt.
> Darin bezeichnet »eine Menge« also nichts.

Warum sagt man dann nicht einfach "das ist keine Menge"?
Was soll das Geschwurbel, aeh, die Nominalphrase `die Menge
ist nicht wohlbestimmt', welche zudem ihrerseits nicht
wohlbestimmt ist?

> Ein Beispiel ist »Die Komplementärmenge der leeren Menge.«
> Wenn man sagt »Diese Komplementärmenge ist nicht
> wohlbestimmt« meint man damit eigentlich, daß die
> Nominalphrase »Die Komplementärmenge der leeren Menge« keine
> Menge bezeichnet.

Die Komplementaermenge der leeren Menge ist in jeder
sigma-Algebra von fundamentaler Bedeutung. Sie ist aber
einfach zu erhalten: Zunaechst nimmt man das Komplement
der Komplementaermenge der gesamten Grundmenge; das ist
natuerlich die Grundmenge selbst. Dann beobachtet man,
dass die Komplementaermenge der Grundmenge gerade die
leere Menge ist -- und schon hat man ihr Komplement.
Das funktioniert natuerlich mit jeder Menge, ist doch
die leere Menge gerade dadurch ausgezeichnet, dass sie
Teilmenge jeder Menge ist.

> Das ist ähnlich, wie wenn man sagt »Die Söhne des Gottes Zeus
> existieren nicht.« Auch hier macht man formal eine Aussage über
> die Söhne des Gottes Zeus, aber tatsächlich eine Aussage über
> die Nominalphrase (Beschreibung) »Die Söhne des Gottes Zeus« und
> zwar, daß diese Nominalphrase nichts bezeichnet. Daher kann man
> auch in diesem Fall kein Beispiel für einen solchen Sohn angeben.

Gegenbeispiele: Apollon, Hephaistos, Pan, Hermes, Herakles,
Perseus, ...
Irgendwie scheint mir da eine Nominalphrase aus dem Ruder
gegangen zu sein.

> Man darf also »eine Menge ist nicht wohlbestimmt« nicht so
> wörtlich nehmen.

Was die Frage, wozu eine derartige Formulisationierung
nutzen soll, umso berechtigter erscheinen laesst.

Hans CraueI

[Ernst Baumann]

>> Wie kann man dann eine Abbildung definieren, wenn das Ergebnis von der
>> Reihenfolge abhängt?
>> Mein Vorschlag.
>> n ist eine natürliche Zahl> 0 und fest vorgegeben.
>> M = { {x1, ..., xn} | {x1, ..., xn} Teilmenge von X}
>> Auf jedem Element von M, also auf jeder Menge {x1, ..., xn} sei eine
>> Reihenfolge definiert.
>> Formal spezifiziert.
>> r : M --> {1 , ..., n}
>
>Ich denke, Du meinst r : m --> {1 , ..., n} mit m aus M ?!
>

Ja, du hast recht.
Aber ich habe eiinen weiteren Fehler von mir entdeckt:
Ich habe vergessen folgendes vorauszusetzen:
| M | = n
Hätte ich das nicht gemacht, waere die folgende Abbildung nicht
wohldefiniert:
h( {a1, a2,a3} ) = a1 + a2 + a3
Denn:
h( {2, 5, 5 } ) = 2 + 5 + 5 = 12
h( {2, 2, 5 } ) = 2 + 5 + 5 = 2 + 2 + 5 = 9
also
12 = h( {2, 5, 5 } ) = h( {2, 2, 5 } ) = 9
also 12 = 9

Bist du damit einverstanden?

>
>> ist eine Abbildung (anschaulich eine Indizierung) mit der Eigenschaft:
>> Es gibt z1, ..., zn mit {x1, ..., xn} = {z1, ..., zn} und
>> r(z1) = 1 und ... und r(zn) = n
>>
>Wobei das r ja von m={x1, ..., xn} aus M abhängt, deshalb wäre
>r_m(z1), ... r_m(zn) angebrachter, da die Abbildung r für jede
>Teilmenge m aus M verschieden sein wird.
>

Das koennte man so machen.
Da mir aber eine einzige Reihenfolge (z.B. alphabetische Sortierung)
genügt, um eine wohldefinierte Abbildung (siehe unten) zu erhalten
(und darum geht es mir), meine ich, dass man das so lassen koennte.

Damit:
Es sei eine Abbildung gegeben mit:
h( (x1, ..., xn) ) , wobei (x1, ..., xn) ein n-Tupel ist, wobei die
x1, ..., xn alle _verschieden_ sind (d.h: | {a1, ..., an} | = n )
Dann ist folgende Abbildung wohlformuliert:
f ( {a1, ..., an} ) = h ( ( r^(-1)(1), ..., r^(-1)(n) ) )

Bist du damit einverstanden?

Damit hat man ein Schema, wie man wohldefinierte Abbildungen bekommen
kann (wenn man von einer Menge ausgeht).


mfg
Ernst

[emmigrand]

Carsten Schultz schrieb:

> schrieb Emmi Grand:
>> Carsten Schultz schrieb:
>>
>>> Wie würdest Du denn z.B. die Funktion
>>>
>>> f({x,y})=x*y
>>>
>>> notieren wollen, wenn sie denn definiert werden sollte?
>>
>> f({x,y})= x*y = y*x
>>
>> Siehe: Message-ID: <201110162115.UTC.j7fhgr$jsh$1...@tioat.net>
>>
>
> Wow, das zeigt natürlich, wie unsinnige „f({x,y})=“ ist.

Nur als allgemeine, "generische" Form, Funktionsparameter unterzubringen;
in vielen trivialen Fällen ist diese spezielle Darstellung natürlich
besonders interessant und anziehend (und wär mir sonst nicht aufgefallen).

Wichtig war mir nur, dass man bei Interesse bemerkt, dass die Darstellung
vom allgemeinen Verknüpfungsoperator nicht allgemein unabhängig ist.

[Rainer Rosenthal]

Am 17.10.2011 16:30, schrieb Stefan Ram:

> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> writes:
>> (*) Falls Du meinst, dass es ja gar nicht anders sein könne, als dass man
>> den Funktionswert aus den Werten der Elemente der Menge berechnet, dann gebe ich
>> Dir hier eine Definition für eine nicht-triviale Funktion mit dem von Dir
>> genannten Wertebereich: f({x,y}) = card({x,y}). Diese Funktion ist auch
>> wohldefiniert.
>

> Was ist denn ihr Definitionsbereich? (Sollte dieser nicht eine Menge sein?

> Ist diese Menge selber wohlbestimmt? Was ist beispielsweise ihre Kardinalität?)
>

Meine Aussage war aus dem Zusammenhang zu verstehen. Es geht von Anfang
in in diesem Thread um Funktionen, deren Argumente die Form {x,y} haben,
wobei x und y zwei nicht notwendig verschiedene ganze Zahlen sind.

Oh, ich sehe gerade, dass ich mich verschrieben hatte:
"mit dem von Dir genannten Wertebereich" sollte heißen
"mit dem von Dir genannten Definitionsbereich".

Sorry.

Also nochmal langsam zum Mitschreiben:
Wir bezeichnen mit M die Menge aller nicht-leeren, maximal 2-elementigen
Teilmengen der Menge der ganzen Zahlen.
Jedes Element von M kann dann geschrieben werden als {x,y}, wobei x und y
zwei nicht notwendig verschiedene ganze Zahlen sind.

Funktionen f, die auf M definiert sind, können dadurch definiert sein,
dass der Funktionswert f({x,y}) aus den Elementen x und y errechnet wird,
aber das muss nicht sein. Dazu hatte ich das Beispiel f({x,y}) = card({x,y})
angegeben. Der Bildbereich dieser Funktion f ist offenbar {1,2}.

Wird f({x,y}) aus x und y berechnet, dann muss die Berechnung B symmetrisch
in x und y sein: B(x,y) = B(y,x), damit f wohldefiniert ist.

Es wurde festgestellt, dass B(x,y) = x-y diese Eigenschaft nicht hat, und
dass deswegen der Definitionsversuch f({x,y}) = x-y zum Scheitern verurteilt
ist.

Dagegen ist im Falle von B(x,y) = x*y die Symmetrie gewahrt. Wohlgemerkt:
solange es sich bei x und y um ganze Zahlen und bei * um die gewöhnliche
Multiplikation handelt.

Ich wollte "schon" Schluss machen mit diesem Posting, als mich plötzlich
die Frage ansprang, ob man auch für f({x,y}) = card({x,y}) eine Berechnung
B basteln könne, die aus den Werten von x und y das Ergebnis berechnet.

Da es spät ist, denke ich laut und langsam:
card({x,y}) ist genau dann 1, wenn x=y ist, wenn also x-y gleich 0 ist.
Ich stelle fest, dass (x-y)(y-x) immer negativ ist, wenn x und y verschieden
sind. Jetzt benötige ich nur eine Funktion T auf den ganzen Zahlen, die
folgende Eigenschaften hat:

T(z) = 2 für z < 0
und
T(z) = 1 für z = 0 (*)
und
T(z) egal für z > 0

Wie schön, dass es die Vorzeichenfunktion signum gibt:

signum(z) = -1 für z < 0
signum(z) = 0 für z = 0
signum(z) = 1 für z > 0

Dann muss ich nur definieren T(z) = 1 - signum(z) und die Anforderungen (*)
sind erfüllt.

So, dann habe ich also die Antwort auf die mich angesprungen habende Frage:

Die durch f({x,y}) = card({x,y}) gegebene Funktion
kann aus den Werten von x und y wie folgt berechnet
werden:
f({x,y} = B(x,y)
wobei
B(x,y) = 1 - signum((x-y)*(y-x))
ist.

Offenbar gilt B(x,y) = B(y,x) für alle x und y, womit also f wohldefiniert ist.

Anmerkung: gab es da nicht einen Trick, die signum Funktion mittels Grundschul-
Rechenarten zu berechnen? Oder brauchte man für signum(z) dazu sowas wie
min(z,0) und max(z,0)? Das kriege ich jetzt nicht mehr gebacken. Gute Nacht.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[emmigrand]

Rainer Rosenthal schrieb:

yessir - cool...

> Anmerkung: gab es da nicht einen Trick, die signum Funktion mittels Grundschul-
> Rechenarten zu berechnen?

Die Minus-Norm?

> Oder brauchte man für signum(z) dazu sowas wie
> min(z,0) und max(z,0)?
> Das kriege ich jetzt nicht mehr gebacken.

Ich weiss nicht...

> Gute Nacht.

Ja. Der verdammte Schlaf ist uns heilig (Nur da gibts leider
massiv gezielte Wachstumshormone in den Dendritenbahnen...).

Gruß
www.www.www

[Gus Gassmann]

On Oct 17, 9:14 pm, r...@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) wrote:

> Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> writes:
> >Am 17.10.2011 16:30, schrieb Stefan Ram:
> >>Was ist denn ihr Definitionsbereich? (Sollte dieser nicht eine Menge sein?
> >>Ist diese Menge selber wohlbestimmt? Was ist beispielsweise ihre Kardinalität?)
> >Meine Aussage war aus dem Zusammenhang zu verstehen. Es geht von Anfang
> >in in diesem Thread um Funktionen, deren Argumente die Form {x,y} haben,
> >wobei x und y zwei nicht notwendig verschiedene ganze Zahlen sind.
>

>   Ach so. Ich hatte vergessen, daß es sich um ganze Zahlen handeln soll.
>   Dann ist der Definitionsbereich natürlich eine wohlbestimmte Menge.

>
> >aber das muss nicht sein. Dazu hatte ich das Beispiel f({x,y}) = card({x,y})
> >angegeben. Der Bildbereich dieser Funktion f ist offenbar {1,2}.
>

>   Ja.

>
> >Ich wollte "schon" Schluss machen mit diesem Posting, als mich plötzlich
> >die Frage ansprang, ob man auch für f({x,y}) = card({x,y}) eine Berechnung
> >B basteln könne, die aus den Werten von x und y das Ergebnis berechnet.
>

>   Das kommt darauf an, welche Basisfunktionen man für
>   die Spezifikation einer Berechnung zugrundelegt, siehe auch
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Berechenbarkeit

>
>   .
>
> >Anmerkung: gab es da nicht einen Trick, die signum Funktion mittels Grundschul-
> >Rechenarten zu berechnen?
>

>   Das würde mich auch mal interessieren. Ich vermute: In der
>   Mathematik nicht (wenn man wirklich nur »x+y«, »x-y«, »x·y« und
>   »x/y« verwenden darf). Auf einem bestimmten Prozessor könnte
>   es natürlich Tricks geben.

F(x,y) = x und G(x,y) = y sind auf R^2 stetig. Also sind es auch F+G,
F-G, F*G und F/G, wenn G=/= 0 (und wenn G=0, dann ist F/G nicht
definiert. Durch diese Verknüpfungen stetiger Funktionen lasses sich
also unstetige Funktion nicht herstellen. (Mir ist nicht einmal klar,
wie du mit Hilfe von |x| eine Signumfunktion herstellen willst.)

> >Oder brauchte man für signum(z) dazu sowas wie
> >min(z,0) und max(z,0)? Das kriege ich jetzt nicht mehr gebacken. Gute Nacht.
>

>   Der Betrag »|x|« würde ja auch schon reichen. Hat man eines
>   von »Betrag« oder »Signum« oder »min« oder »max« oder "<",
>   dann kann man alles andere damit notieren, hat man aber
>   keines davon, sondern nur die Grundrechenarten, dann geht es
>   nicht (vermute ich).

[Detlef Müller]

Am 17.10.2011 22:58, schrieb Ernst Baumann:
>>> Wie kann man dann eine Abbildung definieren, wenn das Ergebnis von der
>>> Reihenfolge abhängt?
>>> Mein Vorschlag.
>>> n ist eine natürliche Zahl> 0 und fest vorgegeben.
>>> M = { {x1, ..., xn} | {x1, ..., xn} Teilmenge von X}
>>> Auf jedem Element von M, also auf jeder Menge {x1, ..., xn} sei eine
>>> Reihenfolge definiert.
>>> Formal spezifiziert.
>>> r : M --> {1 , ..., n}
>>
>> Ich denke, Du meinst r : m --> {1 , ..., n} mit m aus M ?!
>>
> Ja, du hast recht.
> Aber ich habe eiinen weiteren Fehler von mir entdeckt:
> Ich habe vergessen folgendes vorauszusetzen:
> | M | = n
> Hätte ich das nicht gemacht, waere die folgende Abbildung nicht
> wohldefiniert:

Richtig, das ist hierfür nötig.

>>
>>> ist eine Abbildung (anschaulich eine Indizierung) mit der Eigenschaft:
>>> Es gibt z1, ..., zn mit {x1, ..., xn} = {z1, ..., zn} und
>>> r(z1) = 1 und ... und r(zn) = n
>>>
>> Wobei das r ja von m={x1, ..., xn} aus M abhängt, deshalb wäre
>> r_m(z1), ... r_m(zn) angebrachter, da die Abbildung r für jede
>> Teilmenge m aus M verschieden sein wird.
>>
> Das koennte man so machen.
> Da mir aber eine einzige Reihenfolge (z.B. alphabetische Sortierung)
> genügt, um eine wohldefinierte Abbildung (siehe unten) zu erhalten
> (und darum geht es mir), meine ich, dass man das so lassen koennte.
>

nein, das geht nicht.
X={1,2,3} und n=2. Sortierung: nach Größe.

Was ist r(2)?

für m={1,2} ist r_m(2)=1, r^-1(2)=2
für m={2,3} ist r_m(2)=2, r^-1(2)=3

r(2) bzw. r^-1(2) macht also ohne m zu berücksichtigen
keinen Sinn.

> Damit:
> Es sei eine Abbildung gegeben mit:
> h( (x1, ..., xn) ) , wobei (x1, ..., xn) ein n-Tupel ist, wobei die
> x1, ..., xn alle _verschieden_ sind (d.h: | {a1, ..., an} | = n )
> Dann ist folgende Abbildung wohlformuliert:
> f ( {a1, ..., an} ) = h ( ( r^(-1)(1), ..., r^(-1)(n) ) )
>
> Bist du damit einverstanden?
>

Bis auf die Sache mit den für jedes
{a1, ..., an} verschiedenen r durchaus.

> Damit hat man ein Schema, wie man wohldefinierte Abbildungen bekommen
> kann (wenn man von einer Menge ausgeht).
>

[Ernst Baumann]

Hallo Detlef,
Schon heute mittag ist mir aufgefallen, dass ich etwas Falsches
geschrieben habe.

1)
Korrektur:
Du hast recht, die Reihenfolge hängt von der Menge ab.
Also:
f({a1, ..., an}) = h( ( (r({a1, ..., an})^(-1))(1), ..., (r({a1, ...,
an})^(-1))(n) ) )

Ist es so korrekt?

2)
Ich erklaere mal warum ich das brauche:
Ich beschaeftige mich gerade mit durch Schlussregeln induktiv
definierte Mengen (das ist eigentlich die exakte Formalisierung von
solchen Begriffen wie "rekursiv definierte" Menge der Terme bzw.
Formeln)

Um eine Menge induktiv zu definieren benutzt man Schlussregeln, wie
z.B:
{ (a1, b1) , (a2, b2) }
--------------------------------
(a,b)

Bei dieser Schlussregel soll außerdem noch a nur von a1 und a2
abhaengen und
b nur von b1 und b2 abhaengen.

Beispiel:
Regelmenge
{ (a1, b1) , (a2, b2) }
--------------------------------
(a1+a2, b1+b2)

mit Axiome:

----------
(2, 6)
und
----------
(1, 7)


Damit lässt sich dann ableiten:
{ (2, 6) , (1, 7) }
--------------------------------
(3, 13)


Wie formalisiert man das?
Mein Vorschlag:
a = f1({a1,a2})
und
b = g1({b1,b2})
also
{ (a1, b1) , (a2, b2) }
---------------------------------
(f1({a1,a2}) , g1({b1,b2}))

Wobei es auch noch andere Schlussregeln geben kann, wie z.B:
{ (a1, b1) , (a2, b2) }
---------------------------------
(f2({a1,a2}) , g2({b1,b2}))


Was meinst du dazu?


mfg
Ernst

PS:
Man koennte sich jetzt z.B. die Frage stellen:
Suche alle (3,?) die Element der induktiv definierten Menge sind.

[Hans CraueI]

Gus Gassmann schrieb

> F(x,y) = x und G(x,y) = y sind auf R^2 stetig. Also sind es auch F+G,
> F-G, F*G und F/G, wenn G=/= 0 (und wenn G=0, dann ist F/G nicht
> definiert. Durch diese Verknüpfungen stetiger Funktionen lasses sich
> also unstetige Funktion nicht herstellen. (Mir ist nicht einmal klar,
> wie du mit Hilfe von |x| eine Signumfunktion herstellen willst.)

Die Signum-Funktion laesst sich ueber

S(x) = lim ((x+h)+(x-h))/(|x+h|+|x-h|)

mit Grenzwert fuer h gegen 0 definieren. Fuer x ungleich 0 ist es
klar, fuer x = 0 auch. Und die Betragsfunktion bekommt man mittels
|x| = sqrt(x^2).
Also alles Verknuepfungen stetiger Funktionen.

Hans CraueI