Die schönste aller Formeln
Peter Niessen
Bekanntlich gilt ja:
exp(i phi)=(cos phi +i*sin phi)
oder noch schöner exp(i*pi)=-1
Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? War das Gauss?
Die Entdeckung muss ja wie Weihnachten und Ostern auf einen Tag gewesen
sein, und dem entsprechend viel Wirbel verursacht haben. Weiss da jemand
genaueres?
Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen
Alessandro Macrì
> Hallo zusammen!
>
> Bekanntlich gilt ja:
> exp(i phi)=(cos phi +i*sin phi)
> oder noch schöner exp(i*pi)=-1
> Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? War das Gauss?
Spontan fällt mir da nur "Euler-Formel" ein.
> Die Entdeckung muss ja wie Weihnachten und Ostern auf einen Tag gewesen
> sein, und dem entsprechend viel Wirbel verursacht haben. Weiss da jemand
> genaueres?
Äh, ja ... äh... das ... äh ... nein!
ciao
--
Alessandro Macrì "panta rhei" (Heraklit)
Tel +49 89 2180-4059 alessand...@ifi.lmu.de
Fax +49 89 2180-4054 http://www.ifi.lmu.de/~macri
LMU München, LFE Bioinformatik, Amalienstr. 17, 80333 München, Zi. 201
Peter Niessen
> On Mon, 9 Aug 2004, Peter Niessen wrote:
>
>> Hallo zusammen!
>>
>> Bekanntlich gilt ja:
>> exp(i phi)=(cos phi +i*sin phi)
>> oder noch schöner exp(i*pi)=-1
>> Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? War das Gauss?
>
> Spontan fällt mir da nur "Euler-Formel" ein.
Stimmst! Wie kam ich auf Gauss?
>> Die Entdeckung muss ja wie Weihnachten und Ostern auf einen Tag gewesen
>> sein, und dem entsprechend viel Wirbel verursacht haben. Weiss da jemand
>> genaueres?
>
> Äh, ja ... äh... das ... äh ... nein!
Warten wir mal ab was der Ober-Experte Hermann meint :-)
Hoffentlich hat Der nicht gerade Hitzefrei :-)
Hermann Kremer
Nö ;-)
OK, am schönsten ist die Darstellung e^(i*pi) + 1 = 0 , darin kommen nämlich
die 5 wichtigsten Zahlen der Mathematik vor: 0, 1, e, pi, i .
Leonhard Euler stimmt:
Introductio in Analysin Infinitorum, Auctore Leonardo Eulero, Professore
Regio Berolinensi, & Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanum
Socio. 2 Bände.
Lausannae, apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios, 1748
Annotierung dazu siehe Euler-Archiv
http://www.eulerarchive.org/ --> Eneström E101, E102
Sowohl das lateinische Original (momentan aus technischen Gründen nur
Bd. 1) als auch eine französische Übersezung (beide Bde) gibt es online
in Paris:
http://math-sahel.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/edbm_LiNuM/LiNuM/LiNuM.html?format=complete&
type=html&au_op=contains&au=Euler
Und Weihnachten und Ostern auf einen Tag ... Euler kannte ja die von
Abraham de Moivre für *ganzzahlige* n aufgestellte Formel
( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x) ,
und er kannte auch die Taylor-Reihen für sin(x), cos(x) und exp(x) ...
Grüße
Hermann
--
Julius Schnieders
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb im Newsbeitrag
news:cf8l66$gk0$1...@online.de...
> OK, am schönsten ist die Darstellung e^(i*pi) + 1 = 0 , darin kommen
nämlich
> die 5 wichtigsten Zahlen der Mathematik vor: 0, 1, e, pi, i .
>
Hmmm,
ich finde e^(2*i*pi)-1=0 noch schöner :-)
Julius
FrAKaLlI
>Bekanntlich gilt ja:
>exp(i phi)=(cos phi +i*sin phi)
>oder noch schöner exp(i*pi)=-1
>Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? War das Gauss?
>Die Entdeckung muss ja wie Weihnachten und Ostern auf einen Tag gewesen
>sein, und dem entsprechend viel Wirbel verursacht haben. Weiss da jemand
>genaueres?
Bei mir (und nicht nur bei mir) ist exp(iphi)=cos phi +i*sin phi nichts anderes
als die Definitionsgleichung
fuer die Cosinus- und Sinusfunktion. Welchen Zusammenhang meinst Du genau?
J.M.
Und warum sind Sinus, Kosinus, und Exp so definiert, wie sie definiert sind?
Alles reiner Zufall? Komisch nur, dass die alten Griechen schon Pi aber
keine Funktionentheorie kannten ;-).
Jan
Christian Schroeder
> Und warum sind Sinus, Kosinus, und Exp so definiert, wie sie definiert sind?
> Alles reiner Zufall? Komisch nur, dass die alten Griechen schon Pi aber
> keine Funktionentheorie kannten ;-).
Nebenher: Noch komischer ist, daß die Griechen Pi zu 3.16 bestimmt
hatten (ohne Computer, nicht schlecht) und die Amerikaner (ich weiß
nicht mehr, in welchem Bundesstaat) im 19. Jahrhundert einen
Gesetzesvorschlag machten, Pi per Gesetz auf zwei oder auf vier
festzulegen. Darüber ist bis heute nicht abgestimmt worden, steht also
noch aus...
--
Gruß Chris
Wir müssen uns Sisyphos als glücklichen Menschen vorstellen!
Peter Niessen
Nun genau diesen!
Das als Definitionsgleichung ist moderner Kram :-) geht ja auch ohne
komplexe Zahlen.
Ist doch eine Entdeckung erster Güte das scheinbar völlig
unzusammenhängendes wie Polynome und Winkelfunktionen im komplexen sich
guten Tag sagen. Wer hätte sich das vor Newton oder Taylor träumen können?
i und so nannte man Ziferi miraculi so richtig geheuer war das weder
Leibnitz, Cardano, oder anderen aus der Zeit.
Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen
Ps.: Realname wäre eine nette Geste
Ist ja hier nicht die Group: Peitsch mich aus aber sag es keinem :-)
Peter Niessen
> Peter Niessen schrieb in Nachricht ...
>>Am Mon, 9 Aug 2004 17:51:27 +0200 schrieb Alessandro Macrì:
>>> On Mon, 9 Aug 2004, Peter Niessen wrote:
>>>
>>>> Hallo zusammen!
>>>>
>>>> Bekanntlich gilt ja:
>>>> exp(i phi) = (cos phi + i*sin phi)
>>>> oder noch schöner exp(i*pi) = -1
>>>> Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? War das Gauss?
>>>
>>> Spontan fällt mir da nur "Euler-Formel" ein.
>>
>>Stimmst! Wie kam ich auf Gauss?
>>
>>>> Die Entdeckung muss ja wie Weihnachten und Ostern auf einen Tag gewesen
>>>> sein, und dem entsprechend viel Wirbel verursacht haben. Weiss da jemand
>>>> genaueres?
>>>
>>> Äh, ja ... äh... das ... äh ... nein!
>>
>>Warten wir mal ab was der Ober-Experte Hermann meint :-)
>>Hoffentlich hat Der nicht gerade Hitzefrei :-)
>
> Nö ;-)
Fein auch und Hallo!
> OK, am schönsten ist die Darstellung e^(i*pi) + 1 = 0 , darin kommen nämlich
> die 5 wichtigsten Zahlen der Mathematik vor: 0, 1, e, pi, i .
Na gut :-)
> Leonhard Euler stimmt:
>
> Introductio in Analysin Infinitorum, Auctore Leonardo Eulero, Professore
> Regio Berolinensi, & Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanum
> Socio. 2 Bände.
> Lausannae, apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios, 1748
>
> Annotierung dazu siehe Euler-Archiv
> http://www.eulerarchive.org/ --> Eneström E101, E102
>
> Sowohl das lateinische Original (momentan aus technischen Gründen nur
> Bd. 1) als auch eine französische Übersezung (beide Bde) gibt es online
> in Paris:
> http://math-sahel.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/edbm_LiNuM/LiNuM/LiNuM.html?format=complete&
> type=html&au_op=contains&au=Euler
Man auch! Gemein!
Französisch kann ich nicht und mein Latein ist arg eingerostet (geht eh
bloss bis zum kleinem Latrinum)
Früher war ja mal Deutsch "die" Lingua Franca der Wissenschaft aber naja:
Hat man ja selber verbockt. (Lesetipp im Kontext: Die neue SDW zu Emmy
Nöther => Meine Herren! Wir sind keine Badeanstalt!)
> Und Weihnachten und Ostern auf einen Tag ... Euler kannte ja die von
> Abraham de Moivre für *ganzzahlige* n aufgestellte Formel
Stimmst, das habe ich übersehen! Aber Moivre kannte doch wohl kaum den
Zusammenhang? AFAIK war das doch ein ZUL-Beweis.
> ( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x) ,
>
> und er kannte auch die Taylor-Reihen für sin(x), cos(x) und exp(x) ...
Hm da ist was dran. Es *springt* einem ja dann förmlich ins Auge.
Klärt aber nicht ganz die Frage:
Ich stelle mir schon vor, das der Entdecker wie ein kleines Kind durchs
Zimmer gehüpft ist. Sowas feines: Kegelschnitte Polynome Wikelfunktionen im
Komplexen *fast* das selbe! Das muss doch eingeschlagen haben wie Bombe.
> Grüße
> Hermann
Auch Grüße!
Ps:
Hast Du Dir meinen Alkuin-Versuch schon zur Brust genommen?
Herman the Hermit
> Ps.: Realname wäre eine nette Geste
> Ist ja hier nicht die Group: Peitsch mich aus aber sag es keinem :-)
<http://www.realname-diskussion.info>
Ciao,
Herman
Hero
".. noch schöner.." und auch über "diesen wunderschönen Zusammenhang" .
Wenn schon Saure-Gurken-Zeit ist, dann will ich mal gegenanstänkern:
Was macht die Schönheit der Gleichung ? : Zahlen wie 1,0,pi, Operationen
wie +,* und Potenz - noch nicht mal ein kleines Integralzeichen drin.
Schönheit "offenbart" sich häufig in Bildern, bestimmte Zahlenfolgen in
Blütenmustern, die Teilbarkeit einer Zahl können Kinder als Tanz aufführen.
Mir fällt zu dieser schönen Formel nur:"Kehrt,marsch!" ein -
und Euch ?
Möge sich Euch das Wetter nicht bald nach dieser Formel ändern
Hero
Hermann Kremer
>J.M. schrieb:
>
>> Und warum sind Sinus, Kosinus, und Exp so definiert, wie sie definiert sind?
>> Alles reiner Zufall? Komisch nur, dass die alten Griechen schon Pi aber
>> keine Funktionentheorie kannten ;-).
>
>Nebenher: Noch komischer ist, daß die Griechen Pi zu 3.16 bestimmt
>hatten (ohne Computer, nicht schlecht)
Archimedes von Syrakus: 223/71 < pi < 22/7
> und die Amerikaner (ich weiß
>nicht mehr, in welchem Bundesstaat) im 19. Jahrhundert einen
>Gesetzesvorschlag machten, Pi per Gesetz auf zwei oder auf vier
>festzulegen. Darüber ist bis heute nicht abgestimmt worden, steht also
>noch aus...
Indiana 1897 ... ist aber eine Urban Legend ...
http://www-personal.umich.edu/~jlawler/aux/pi.html
http://www.math.byu.edu/~lfrancis/tim's-page/indiana-pi.html
http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node18.html
Daraus wurde dann 1998 bzgl. Alabama ein Aprilscherz gemacht:
http://www.nmsr.org/alabama.htm
Grüße
Hermann
--
Peter Niessen
Altbekannt aber kein schöner Stil
Ist schon nett wenn einer Seinen richtigen Namen nutzt! Ist ja eh kein
Problem den richtigen Namen zu finden (Suchmaschinen sind was feines :-))
Und warum sollte ich ausgerechnet einem "grünen Bettvorleger" antworten?
Ja den Namen gibt es! Ist ein Lehrer und meint seine Schüler würden da
nicht durchblicken! Oberalbern!
Ergo => Beschränke es auf NG's wie HAU-MICH und dann auch besser per
Googel. Ansonsten stehst Du blitzschnell ohne Hose vor allen!
Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen
Ps: Weil wir schon bei NG-Regeln sind => in das Subjekt kommt nun ein [OT]
und ein f'up an dich per mail
Hermann Kremer
>Am Mon, 9 Aug 2004 22:00:43 +0200 schrieb Hermann Kremer:
>> Peter Niessen schrieb in Nachricht ...
>>>Am Mon, 9 Aug 2004 17:51:27 +0200 schrieb Alessandro Macrì:
>>>> On Mon, 9 Aug 2004, Peter Niessen wrote:
Hallo Peter,
>Stimmt, das habe ich übersehen! Aber Moivre kannte doch wohl kaum den
>Zusammenhang? AFAIK war das doch ein ZUL-Beweis.
>
>> ( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x) ,
Die Moivre-Formel ist recht einfach mittels vollständiger Induktion und den
Additionstheoremen für Sinus und Cosinus zu beweisen, was de Moivre
auch getan hat. Wenn man jetzt
cos(x) + i*sin(x) = ( cos(x/n) + i*sin(x/n) )^n , n = 1, 2, 3, ...
setzt und für ein festes x den Wert von n gegen oo gehen läßt, dann geht
cos(x/n) gegen cos(0) -> 1 und sin(x/n) gegen x/n , und die rechte
Seite geht gegen
lim{n->oo} (1 + i*x/n)^n ,
und dieser Grenzwert war Euler natürlich bekannt. Das war wohl die Motivation
für ihn, es mal mit cos(x) + i*sin(x) = exp(i*x) zu versuchen, und ...
>> ... und er kannte auch die Taylor-Reihen für sin(x), cos(x) und exp(x) ...
>
>
>Hm da ist was dran. Es *springt* einem ja dann förmlich ins Auge.
>Klärt aber nicht ganz die Frage:
>Ich stelle mir schon vor, das der Entdecker wie ein kleines Kind durchs
>Zimmer gehüpft ist. Sowas feines: Kegelschnitte Polynome Winkelfunktionen im
>Komplexen *fast* das selbe! Das muss doch eingeschlagen haben wie Bombe.
Hmm, man sollte mal die "Introductio ..." lesen oder das, was Moritz Cantor darüber
im dritten Band seiner vierbändigen "Vorlesungen über Geschichte der Mathematik"
schreibt:
http://makeashorterlink.com/?X12E53B77
--> Band 3, S. 699 ff
>PS:
>Hast Du Dir meinen Alkuin-Versuch schon zur Brust genommen?
Ja. Hast Du meine Email nicht erhalten? Ich möchte noch einige Ergänzungen
anfügen und muß dazu noch etwas recherchieren ... Ist aber nicht vergessen ;-)
Grüße
Hermann
>Auch Grüße!
Hendrik van Hees
> Die Moivre-Formel ist recht einfach mittels vollständiger Induktion
> und den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus zu beweisen, was de
> Moivre auch getan hat. Wenn man jetzt
>
> cos(x) + i*sin(x) = ( cos(x/n) + i*sin(x/n) )^n , n = 1, 2, 3,
> ...
>
> setzt und für ein festes x den Wert von n gegen oo gehen läßt, dann
> geht
> cos(x/n) gegen cos(0) -> 1 und sin(x/n) gegen x/n , und die
> rechte Seite geht gegen
>
> lim{n->oo} (1 + i*x/n)^n ,
>
> und dieser Grenzwert war Euler natürlich bekannt. Das war wohl die
> Motivation
> für ihn, es mal mit cos(x) + i*sin(x) = exp(i*x) zu versuchen, und
> ...
Wieso sollte er nicht einfach die Reihenentwicklung der
Exponentialfunktion benutzt haben:
exp(i x)=1+i x -1/2! x^2 -i/3! x^3 +-...
Jetzt hat Euler sicher ohne Bauchschmerzen die Reihen nach Real- und
Imaginärteil (x sei reell vorausgesetzt) sortiert:
exp(i x)=1-x^2/2!+x^4/4!-+...+i(x-x^3/3!+-...)=cos x + i sin x
Heute wissen wir freilich, daß das Umordnen wegen der absoluten
Konvergenz von Potenzreihen im Inneren des Konvergenzintervalls erlaubt
ist. Euler hat sich darum aber wohl nicht gekümmert.
--
Hendrik van Hees Cyclotron Institute
Phone: +1 979/845-1411 Texas A&M University
Fax: +1 979/845-1899 Cyclotron Institute, MS-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ College Station, TX 77843-3366
Peter Niessen
> Hermann Kremer wrote:
>
>
>> Die Moivre-Formel ist recht einfach mittels vollständiger Induktion
>> und den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus zu beweisen, was de
>> Moivre auch getan hat. Wenn man jetzt
>>
>> cos(x) + i*sin(x) = ( cos(x/n) + i*sin(x/n) )^n , n = 1, 2, 3,
>> ...
>>
>> setzt und für ein festes x den Wert von n gegen oo gehen läßt, dann
>> geht
>> cos(x/n) gegen cos(0) -> 1 und sin(x/n) gegen x/n , und die
>> rechte Seite geht gegen
>>
>> lim{n->oo} (1 + i*x/n)^n ,
>>
>> und dieser Grenzwert war Euler natürlich bekannt. Das war wohl die
>> Motivation
>> für ihn, es mal mit cos(x) + i*sin(x) = exp(i*x) zu versuchen, und
>> ...
>
> Wieso sollte er nicht einfach die Reihenentwicklung der
> Exponentialfunktion benutzt haben:
>
> exp(i x)=1+i x -1/2! x^2 -i/3! x^3 +-...
Aber Holla Hendrik!
Wenn man es denn weiß so wie Du ist das SUPEREINFACH! Nur:
Darauf kommen muss man erstmal! Zumindest für mich war der Zusammenhang ein
echtes AHA-Erlebniss. Und nun denke Dich mal ins Mittelalter zurück! Klar
war da garnix. Schau dir mal die erste Reihenentwicklung bei Newton an
(Steht in Heuser ANA1 und AFAIK auf Grabstein) das ist sowas von "kraus"
aber halt genial :-)
Und mit Komplex hatte Newton oder sein Gegenpart Leibnitz nicht wirklich
einen Vertrag. Das war ein schlichtes Rätsel. Nicht desto trotz hat man
schon mit Winkelfunktionen gerechnet => Tycho Brahe, Kepler , Kopernikus
usw.
> Jetzt hat Euler sicher ohne Bauchschmerzen die Reihen nach Real- und
> Imaginärteil (x sei reell vorausgesetzt) sortiert:
Exatemont! Hat Er das? Liegt für uns so ganz einfach auf der Hand! Und es
springt einem (mit heutigem Wissen) förmlich in die Augen.
> exp(i x)=1-x^2/2!+x^4/4!-+...+i(x-x^3/3!+-...)=cos x + i sin x
> Heute wissen wir freilich, daß das Umordnen wegen der absoluten
> Konvergenz von Potenzreihen im Inneren des Konvergenzintervalls erlaubt
> ist. Euler hat sich darum aber wohl nicht gekümmert.
DAS hatte Euler nicht nötig!
Was Euler oder auch Gauss durch schlichtes (aber richtiges) Vermuten
bewiesen haben, ist wohl Legende. Und mit Sicherheit eine faszienierende
Geschichte.
Herman the Hermit
> Ist schon nett wenn einer Seinen richtigen Namen nutzt!
Was jemand ins "From: " schreibt, ist seine Verantwortung, nicht deine.
> Und warum sollte ich ausgerechnet einem "grünen Bettvorleger" antworten?
Musst du nicht, denn wem du antwortest und sogar was du liest, ist deine
Verantwortung, nicht seine.
Solltest du auf Punkt 14 der Netiquette anspielen, darf ich dich auf dsnu
verweisen (Dauerbrennerthema seit ca. 15 Jahren).
> Ps: Weil wir schon bei NG-Regeln sind => in das Subjekt kommt nun ein [OT]
> und ein f'up an dich per mail
Wenn du damit das F'up2poster meinst, dann geht das, wenn es befolgt
wird, an dich, nicht an mich.
Ciao,
Her"Subject repariert"man
Markus Becker
Alessandro Macrì wrote:
> Spontan fällt mir da nur "Euler-Formel" ein.
snip
> Äh, ja ... äh... das ... äh ... nein!
Was mir dazu einfällt ist, daß ich damals ganz deutlich
gespürt habe, daß mir der Mathe-Prof da an der Tafel
mit dieser Formel eine, äh, naja, wie sagt man? ziem-
liche Weisheit nähergebracht hat. Das war Gänsehaut,
obwohl ich nur E-Techniker bin.
Markus
Gottfried Helms
> Hmm, man sollte mal die "Introductio ..." lesen oder das, was Moritz Cantor darüber
> im dritten Band seiner vierbändigen "Vorlesungen über Geschichte der Mathematik"
> schreibt:
> http://makeashorterlink.com/?X12E53B77
> --> Band 3, S. 699 ff
>
>
Klasse Ressource, wieder mal (Werd' ich mir zu Weihnachten wünschen ;-) )
Fokussierter wird der Erkenntnisprozeß des Zusammenhangs auf S 689 (also
1 Block vorher) beschrieben.
Gruß -
Gottfried
Jutta Gut
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
> Euler kannte ja die von
> Abraham de Moivre für *ganzzahlige* n aufgestellte Formel
>
> ( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x) ,
Wie ist man eigentlich auf die Idee gekommen, eine komplexe Zahl
als cos(phi) + i*sin(phi) zu schreiben? Wenn man sie in der Gauß'schen
Zahlenebene aufzeichnet, drängt sich das ja auf, aber de Moivre hatte
diese geometrische Interpretation ja noch nicht zur Verfügung. Oder hat
er das ganz unanschaulich aus den Addirionstheoremen für Sinus und Cosinus
abgeleitet?
Grüße
Jutta
FrAKaLlI
>Und warum sind Sinus, Kosinus, und Exp so definiert, wie sie definiert sind?
>Alles reiner Zufall? Komisch nur, dass die alten Griechen schon Pi aber
>keine Funktionentheorie kannten ;-).
exp(i phi) ist eine Lösung der Dgl y'' =-y. Re(exp(i phi)) = cos phi und
Im(exp(i phi)) = sin phi sind reelle Lösungen. Das stellt einen Zusammenhang
her.
Zudem spannen cos und sin den Vektorraum der reellen Lösungen auf.
Hermann Kremer
>Peter Niessen schrieb über "Die schönste aller Formeln" und über
>".. noch schöner.." und auch über "diesen wunderschönen Zusammenhang" .
>Wenn schon Saure-Gurken-Zeit ist, dann will ich mal gegenanstänkern:
>Was macht die Schönheit der Gleichung ? : Zahlen wie 1,0,pi, Operationen
>wie +,* und Potenz - noch nicht mal ein kleines Integralzeichen drin.
>Schönheit "offenbart" sich häufig in Bildern, bestimmte Zahlenfolgen in
>Blütenmustern, die Teilbarkeit einer Zahl können Kinder als Tanz aufführen.
>Mir fällt zu dieser schönen Formel nur:"Kehrt,marsch!" ein -
>und Euch ?
Hallo Hero,
wir wissen ja, daß Du komplexe Funktionen nicht magst ;-)
Der Begriff "schön" kann in der Mathematik nur informell gebraucht werden.
Im Zusammenhang mit mathematischen Sätzen, Formeln oder Beweisen ist ein
solcher "schön", wenn er mit möglichst wenigen und einfachen Worten einen
sehr weiten Bereich abdeckt - und die Euler'sche Relation
cos(x) + i*sin(x) = exp(i*x)
deckt ja so ziemlich die ganze Funktionentheorie ab ...
Grüße
Hermann
--
Rainer Rosenthal
"Hero" schrieb
> Schönheit "offenbart" sich häufig in Bildern, bestimmte Zahlenfolgen in
> Blütenmustern, die Teilbarkeit einer Zahl können Kinder als Tanz
aufführen.
> Mir fällt zu dieser schönen Formel nur:"Kehrt,marsch!" ein -
> und Euch ?
Hallo Hero,
also "Blütenmuster" kannst Du heute bei mir haben. Zirkel raus
und los! (Siehe "Besonders schlanke Konstruktionen").
Zu dem Tanz habe ich vor kurzem folgenden fiesen Scherz gehört:
Wird ein Waldorfler gefragt: Wieviel ist zwei plus drei.
Antwortet der: Vielleicht vier? Ist aber auch egal, ich will
jetzt tanzen.
Das mit dem "Kehrt, marsch!" kannst Du bitte noch etwas erläutern?
> Möge sich Euch das Wetter nicht bald nach dieser Formel ändern
Wahnsinnig starker Tee wieder mal, gelle?
Gruss,
Rainer
--
Rainer Rosenthal, r.ros...@web.de _____________________
| _ | |
| (_) | Zu gegebenem Kreis und Punkten A und P finde |
| A P | Kreispunkte B und C mit area(ABC)=maximum. |
|__________|___(Ingmar Rubin in de.sci.mathematik) ________|
Hermann Kremer
Im wesentlichen ja ...
( cos(x) + i*sin(x) )^2 = cos^2(x) - sin^2(x) + i*2*sin(x)*cos(x) =
= cos(2*x) + i*sin(2*x)
usw. ... und jetzt vollständige Induktion ...
OK, in
Abraham de Moivre: Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis.
London 1730
sieht es formal etwas anders aus, ist aber inhaltlich genau diese Identität,
siehe Cantor, Bd. 3, S. 646: http://makeashorterlink.com/?X12E53B77
Grüße
Hermann
--
>Grüße
>Jutta
Hendrik van Hees
> Im wesentlichen ja ...
>
> ( cos(x) + i*sin(x) )^2 = cos^2(x) - sin^2(x) + i*2*sin(x)*cos(x)
> =
> = cos(2*x) + i*sin(2*x)
>
> usw. ... und jetzt vollständige Induktion ...
> OK, in
> Abraham de Moivre: Miscellanea analytica de seriebus et
> quadraturis. London 1730
> sieht es formal etwas anders aus, ist aber inhaltlich genau diese
> Identität,
> siehe Cantor, Bd. 3, S. 646: http://makeashorterlink.com/?X12E53B77
Dann doch nochmal gefragt. Kannte Euler wirklich die Exponentialreihe
nicht, wie hier im Thread behauptet? Das glaube ich Euch nicht so ganz,
denn Euler hat doch schon sehr souverän und erfolgreich (selbst
divergente ;-)) Reihen summiert. Leibniz auch, auf den immerhin (oder
angeblich?) das schöne Beispiel
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k=1/2
zurückgeht.
Hermann Kremer
Ja, dort auch ... ich dachte eher an S. 707.
Übrigens habe ich in der
Festschrift zur Feier des 200. Geburtstags LEONHARD EULERs.
Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften mit
Einschluss ihrer Anwendungen, begründet von Moritz Cantor,
25. Heft, Leipzig und Berlin: B.G. Teubner 1907
http://makeashorterlink.com/?C66D22609
auf Seite 97 entdeckt, daß Euler seine Relation bereits seit mindestens
1743 kannte und sie in dem Paper
L. Euler: De summis serierum reciprocarum ex potestatibus
numerorum naturalium ortarum dissertatio altera.
Miscellanea Berolinensia ad incrementum scienciarum 7(1743), S. 172-192
Eneström Nr. E061
http://www.bbaw.de/bibliothek/digital/index.html
veröffentlicht hat.
Bei der BBAW (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften) sind
übrigens (fast) sämtliche in preußischen Zeitschriften veröffentlichten Arbeiten
von Leonhard Euler online, insgesamt 133 ...
Grüße
Hermann
--
>
>Gruß -
>
>Gottfried
Peter Niessen
> "Hero" schrieb
>
>> Schönheit "offenbart" sich häufig in Bildern, bestimmte Zahlenfolgen in
>> Blütenmustern, die Teilbarkeit einer Zahl können Kinder als Tanz
> aufführen.
>> Mir fällt zu dieser schönen Formel nur:"Kehrt,marsch!" ein -
>> und Euch ?
>
> Hallo Hero,
>
> also "Blütenmuster" kannst Du heute bei mir haben. Zirkel raus
> und los! (Siehe "Besonders schlanke Konstruktionen").
>
> Zu dem Tanz habe ich vor kurzem folgenden fiesen Scherz gehört:
> Wird ein Waldorfler gefragt: Wieviel ist zwei plus drei.
> Antwortet der: Vielleicht vier? Ist aber auch egal, ich will
> jetzt tanzen.
>
> Das mit dem "Kehrt, marsch!" kannst Du bitte noch etwas erläutern?
>
>> Möge sich Euch das Wetter nicht bald nach dieser Formel ändern
>
> Wahnsinnig starker Tee wieder mal, gelle?
Hallo Rainer!
Ich sage das mal so:
Faszinierend ist doch das Mathematik ohne Rücksicht auf Realität irgendwas
herausfindet und dann kommt ein Physiker wie Hendrik und sagt: Ich habe ein
Problem!
Bleistift: Partikel in the Box. Was macht das Elektron?
Dann kommt der Mathematiker und sagt: Och das hat hat Fourier schon lange
gefunden. Und Heisenberg (nicht Hendrik! soviel Ehre da muss Er noch dran
arbeiten ;-)) schnappt sich den "Uraltkram" und bastelt ein bis heute
faszinierendes Modell der Elektronenhülle. Wenn man da nicht ins staunen
kommt, verstehe ich die Welt nicht mehr. Irgendwer (Einstein?) hat mal
gesagt: Der liebe Gott der Mathematik hat für alles eine Lösung.
Hero Wunders
> Hero
Uiuiui. Noch ein Hero. Sowas trifft man selten (ich heiße auch so).
Kennst du noch jemanden mit dem Vornamen Hero (ich nicht)?
Tschüss
Hero Wunders
Hero
oder noch schöner exp(i*pi)=-1
Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? "
Abraham de Moivre für *ganzzahlige* n aufgestellte Formel
( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x)
War es nicht Cotes, der schon 1714 schrieb:
e hoch (i*@) = cos @ + i* sin @
?
"Wie ist man eigentlich auf die Idee gekommen, eine komplexe Zahl
als cos(phi) + i*sin(phi) zu schreiben? " Das möchte ich auch gern wissen,
Jutta.
Was war denn die originale Schreibweise bei Cotes 1714, de Moivre 1728 ?
i* sin oder ( sqrt (-1) ) * sin oder Sqrt( (-sin)*(-sin) )
Mit Gruß von
Hero
Jutta Gut
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
>
> ( cos(x) + i*sin(x) )^2 = cos^2(x) - sin^2(x) + i*2*sin(x)*cos(x) =
> = cos(2*x) + i*sin(2*x)
>
> usw. ... und jetzt vollständige Induktion ...
> OK, in
> Abraham de Moivre: Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis.
> London 1730
> sieht es formal etwas anders aus, ist aber inhaltlich genau diese Identität,
> siehe Cantor, Bd. 3, S. 646: http://makeashorterlink.com/?X12E53B77
Danke für den Link.
Das ist ja witzig: in der Formulierung von de Moivre kommt überhaupt
kein i bzw. sqrt(-1) vor. Implizit allerdings schon, weil l^2-1
negativ ist und daher sqrt(l^2-1) imaginär.
Die Formel läuft darauf hinaus, dass
cos B = Re (cos nB + i*sin nB)^1/n
Da lob ich mir doch die heutige Schreibweise mit i ;-)
Grüße
Jutta
J.M.
Schon seltsam, dass man für solch einen einfachen Sachverhalt die
Differentialrechnung braucht....
Jan
Alfred Fla?haar
> "Hero" schrieb
>
(...)
> Wahnsinnig starker Tee wieder mal, gelle?
Hierzu ein altes Seeräuberrezept: 4/3 Rum, den Rest mit Tee aufgießen.
Aber im Ernst: Warum sollte Mathematikern nicht auch mal etwas "unter
die Haut" gehen? Vielleicht ist es gerade die einfache Struktur der
"schönen Formel", hinter der sich eine enorme Komplexität verbirgt. Da
ist auch etwas Philosophisches daran. Und wenn es Physikern gestattet
ist, aus der Unschärferelation philosophisch-weltanschauliche Dinge
abzuleiten, dann sollte die Kleinigkeit mit der schönen Formel
zumindest diskussionswürdig sein.
Vermutlich dürfte es gut in Eulers Weltanschauung gepaßt haben, daß so
weitreichende Zusammenhänge wie die schöne Formel eine einfache
Struktur besitzen.
Freundliche Grüße,
Alfred Flaßhaar
David Kastrup
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> wrote in message news:<2nvbdmF...@uni-berlin.de>...
> > "Hero" schrieb
> >
> (...)
>
> > Wahnsinnig starker Tee wieder mal, gelle?
>
> Hierzu ein altes Seeräuberrezept: 4/3 Rum, den Rest mit Tee aufgießen.
Kein Problem für den Mathematiker. Man fängt mit 4 Teilen Rum an, in
die man Teeblätter kippt. Dann destilliert man 3 Teile ab, bis nur
noch 1 Teil halbwegs normaler Tee übrigbleibt. Den schüttet man weg
und kippt sich stattdessen das Destillat hinter die Binde.
--
David Kastrup, Kriemhildstr. 15, 44793 Bochum
Hermann Kremer
Hermann Kremer wrote:
>Dann doch nochmal gefragt. Kannte Euler wirklich die Exponentialreihe
>nicht, wie hier im Thread behauptet?
Euler kannte sie, und im Thread wurde IMO auch nicht behauptet, daß er
sie nicht gekannt habe. Er kam aber erst über die de Moivre'sche Formel
cos(x) + i*sin(x) = (cos(x/n) + i*sin(x/n))^n
auf die Idee, die Reihen von cos(x) und sin(x) mal mit der Reihe von exp(x)
für imaginäres Argument i*x zu vergleichen ...
>Das glaube ich Euch nicht so ganz,
>denn Euler hat doch schon sehr souverän und erfolgreich (selbst
>divergente ;-)) Reihen summiert. Leibniz auch, auf den immerhin (oder
>angeblich?) das schöne Beispiel
>
> \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k = 1/2
>
>zurückgeht.
Es geht auf ihn zurück ...
Gemäß einer Anekdote soll übrigens der Mönch und Mathematiker
Guido Grandi
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Grandi.html
mittels dieser Reihe die Beziehung
1 = 0
bewiesen und damit einen theologischen Gottesbeweis geführt haben,
(... creatio ex nihilo ...), s. z.B. ganz unten auf
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono2/Grandi.html
Diese Story ist allerdings mit sehr großer Vorsicht zu genießen, denn G. Grandi
war ein recht guter Mathematiker und Professor für Mathematik an der U. Pisa
(no pun intended ;-), bekannt vor allem durch seine Untersuchungen
geometrischer Kurven höherer Ordnung wie der Viersiera der Agnesi,
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Witch.html
und der Rosenkurven
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Rhodonea.html .
Und bezüglich Reihensummationen durch Leibniz gibt es auch noch die
folgende Story:
http://www.google.com/groups?selm=c835i7$arh$1...@online.de
Grüße
Hermann
--
Hermann Kremer
Ja, in der Tat ... die kam aber erst später:
-----------------------------------------------------------------------------------
Earliest Uses of Symbols for Constants: Last revision: Dec. 29, 2001
-----------------------------------------------------------------------------------
i for the imaginary unit was first used by Leonhard Euler (1707-1783) in a
memoir presented in 1777, but not published until 1794 in his "Institutionum
calculi integralis."
On May 5, 1777, Euler addressed to the St. Petersburg Academy the paper
"De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen
per logarithmos et arcus circulares integrare licet," which was published
posthumously in his "Institutionum calculi integralis," second ed., vol. 4,
pp. 183-194, Impensis Academiae Imperialis Scientiarum, Petropoli, 1794 :
Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi nisi per
imaginaria procedendo, formulam littera i in posterum designabo, ita ut sit
i*i = -1 ideoque 1/i = -i.
According to Cajori, the next appearance of i in print is by Gauss in 1801 in
the "Disquisitiones Arithmeticae". Carl Boyer believes that Gauss' adoption of i
made it the standard. By 1821, when Cauchy published "Cours d'Analyse", the use
of i was rather standard, and Cauchy defines i as "as if was a real quantity
whose
square is equal to -1."
Throughout his "Introductio ...", Euler consistently writes sqrt(-1), denoting by
i
the "numerus infinite magnus" [namely, an infinitely large number]. Nonetheless,
there are very few occasions where Euler chose i with a different meaning. Thus,
chapter XXI (volume 2) of Euler's "Introductio" contains the first appearance of i
as "quantitas imaginaria" :
Cum enim numerorum negativorum Logarithmi sint imaginarii (...) erit log(-n)
quantitas imaginaria, quae sit = i.
The citation above is from "Introductio in analysin infinitorum," Lausannae,
Apud Marcum-Michaelem Bousquet & socios, M.DCC.XLVIII (1748).
Please note that, in this fascinating passage about logarithms, Euler does not
introduce the symbol i such that i^2 = -1.
[This entry was contributed by Julio González Cabillón.]
-----------------------------------------------------------------------------------
Hero
Peter, im ersten Beitrag findest Du
e hoch (i * pi) = cos pi + i * sin pi
schön, und dann rechnest Du eine Seite aus und findest es nun
e hoch (i* pi) = - 1
noch schöner. Warum rechnest Du nicht noch weiter:
23.14069.. hoch( sqrt ( - 1 )) = - 1
Ist die Schönheit jetzt hin ?
Rainer, danke Dir für:
"Das mit dem "Kehrt, marsch!" kannst Du bitte noch etwas erläutern? "
als Multiplikation Richtung umdrehen und dies wird von Peter
einmal direkt als "-1" und einmal kompliziert ausgedrückt.
Alfred, Du sprichst von "der "schönen Formel", hinter der sich eine
enorme Komplexität verbirgt." Welche denn ? Das finde ich
diskussionswürdig, oder gibt's hier nur "Mathematik ohne Rücksicht auf
Realität", Peter ?
Hermann möchte " mit möglichst wenigen und einfachen Worten einen sehr
weiten Bereich (abdecken)". Wenn man nun i in der Formel durch die
erste Ableitung der Funktion f(x+i*y)= - y + i * x ersetzen würde,
hätte man ja einen Bereich, der sich ins holomorphe erstrecken
würde...
Kurz zum Tee . Bis ins 17. Jahrhundert flogen die Möven über
Ostfriesland häufig auf dem Rücken ( die konnnten das Elend nicht mit
ansehen) bis der Tee-Import unser Alkoholismus-Problem entscheidend
löste. Kein Alkohol in den Tee, Realität pur - die schönere Droge.
Alfred und David, das Geheimnis eines guten Tees ist das Wasser, mit
dem er zubereitet wird. Bei mir löst er mein assoziatives Denken, und
so fiel mir doch noch ein Bild zur Formel ein, in Hermann's
Lieblingsform :
e hoch (i * pi) + 1 = 0
Wenn +1 eine Einheit in Grundrichtung durch einen ausgestreckten Arm
dargestellt wird, dann kann ich den ersten Teil der Formel durch
Ausstrecken des anderen Arms darstellen, schön als Gleichung.
Mit einem Körnchen Zucker kann ich den ersten Teil aber auch dynamisch
auffassen, als Bewegung eines Arms im Halbkreis (wie ein Regenbogen)
von einer Seite zur anderen - und damit habe ich den "Indalo" von
Andalusien (zigtausend Jahre alte Zeichnung). Na ja,
ich hab mir positive Mühe gegeben.
Also, was ist der Sinn von
23.14069.. hoch( sqrt ( - 1 )) = - 1
und was ist mit Cotes ( als Zeichen wurde i erst 1777 von Euler
verwendet) und Juttas Frage ?
Ich wünsche Euch mindestens soviel Spaß, wie ich habe.
Hero
Hermann Kremer
>>>oder noch schöner exp(i*pi)=-1
>>Wer nun aber hat diesen wunderschönen Zusammenhang gefunden? "
>Hermann Kremer schrieb:"Euler kannte ja die von
>Abraham de Moivre für *ganzzahlige* n aufgestellte Formel
>
> ( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x)
>
>War es nicht Cotes, der schon 1714 schrieb:
> e hoch (i*@) = cos @ + i* sin @ ?
Hmm, ich vermute, Du meinst die von Roger Cotes (1682-1716)
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cotes.html
gefundene Faktorisierung
x^(2n) + a^(2n) = PROD{k=1,3,...,2n-1} (x^2 - 2*a*x*cos(k*pi/(2*n)) + a^2) .
Die kann man zwar schön im Komplexen mittels Kreisteilungsgleichung und
Cosinus-Satz beweisen, aber ich habe drüber nur gefunden, daß sie R. Cotes
in geometrischer Verkleidung angegeben hatte, siehe z.B.
http://makeashorterlink.com/?X12E53B77 Cantor: Vorlesungen, Bd 3, S. 410 - 411.
R. Coates hat zwar 1714 den Aufsatz
Logometria.
Philosophical Transactions of the Royal Society Vol. 29, No. 338 (1714),
S. 5-47
veröffentlicht, aber darin ging es im wesentlichen um Logarithmen und die
numerische Berechnung von Logarithmentafeln ... und dort taucht auch
erstmals im Druck die Zahl e = 2.718281.... auf 12 Dezimalstellen genau
auf:
http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/may99/0002.html
>"Wie ist man eigentlich auf die Idee gekommen, eine komplexe Zahl
>als cos(phi) + i*sin(phi) zu schreiben? " Das möchte ich auch gern wissen,
>Jutta.
>Was war denn die originale Schreibweise bei Cotes 1714,
???
>de Moivre 1728 ?
sqrt(negative Zahl)
>i* sin oder ( sqrt (-1) ) * sin oder Sqrt( (-sin)*(-sin) )
Nö, i kam erst später, s. meine Anwort auf Jutta's Posting.
Grüße
Hermann
--
>Mit Gruß von
>Hero
Rainer Rosenthal
"Hero" schrieb
> 23.14069.. hoch( sqrt ( - 1 )) = - 1
> Ist die Schönheit jetzt hin ?
Ja, und auch das Wetter ist deutlich schlechter geworden :-((
> Rainer, danke Dir für:
> "Das mit dem "Kehrt, marsch!" kannst Du bitte noch etwas erläutern? "
> Minus eins heißt doch eine Einheit in Gegenrichtung zur Zählrichtung,
> als Multiplikation Richtung umdrehen und dies wird von Peter
> einmal direkt als "-1" und einmal kompliziert ausgedrückt.
Gern geschehen.
> Ich wünsche Euch mindestens soviel Spaß, wie ich habe.
Danke gleichfalls.
Gruss,
Rainer
Jutta Gut
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
> Gemäß einer Anekdote soll übrigens der Mönch und Mathematiker
> Guido Grandi
> http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Grandi.html
> mittels dieser Reihe die Beziehung
> 1 = 0
> bewiesen und damit einen theologischen Gottesbeweis geführt haben,
> (... creatio ex nihilo ...), s. z.B. ganz unten auf
> http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono2/Grandi.html
> Diese Story ist allerdings mit sehr großer Vorsicht zu genießen, denn G. Grandi
> war ein recht guter Mathematiker
Ich könnte mir vorstellen, dass er ein mathematisches Paradox als
Stichwortbringer für eine theologische Überlegung benutzt hat, so
wie das heute noch manche Philosophen tun (kennt jemand das Buch
"Eleganter Unsinn"?)
Grüße
Jutta
Hermann Kremer
>"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
>
>> Gemäß einer Anekdote soll übrigens der Mönch und Mathematiker
>> Guido Grandi
>> http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Grandi.html
>> mittels dieser Reihe die Beziehung
>> 1 = 0
>> bewiesen und damit einen theologischen Gottesbeweis geführt haben,
>> (... creatio ex nihilo ...), s. z.B. ganz unten auf
>> http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono2/Grandi.html
>> war ein recht guter Mathematiker
>
>Ich könnte mir vorstellen, dass er ein mathematisches Paradox als
Ja, und die Diskussion darüber scheint sehr heftig und polemisch gewesen
zu sein, wie man den beiden Aufsätzen von Luigi Tenea:
http://www.emis.de/cgi-bin/Zarchive?an=0100.24408
--> ganz unten und nächste Seite
entnehmen kann.
Möglicherweise haben dabei auch G. W. Leibniz und Christian Wolff
http://www.fact-index.com/c/ch/christian_wolff__philosopher_.html
mitgemischt, denn es gibt einen (lateinisch geschriebenen) offenen Brief
von Leibnitz an den 'Vir Celeberrime' Christian Wolf in Halle:
http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-21151
--> S. 382 - 387
der 1713 in den Supplementen der Leipziger Acta Eruditorum abgedruckt
wurde und in dem Leibnitz direkt auf G. Grandi eingeht; ich nehme an, er
bezieht sich auf das Grandi'sche Buch
Quadratura circuli et hyperbolae.
Pisa: Ex Typographia Francisci Bindi, 1703 .
Vielleicht gehe ich der Sache mal nach ...
>... so
>wie das heute noch manche Philosophen tun (kennt jemand das Buch
>"Eleganter Unsinn"?)
Hmm, ich nicht ...
Jutta Gut
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
> Jutta Gut schrieb
> >... so
> >wie das heute noch manche Philosophen tun (kennt jemand das Buch
> >"Eleganter Unsinn"?)
>
> Hmm, ich nicht ...
Eleganter Unsinn
von Alan Sokal, Jean Bricmont
C.H.Beck, 1999
"Vor rund drei Jahren sorgte eine Skandal auf beiden Seiten des Atlantiks
für heiße Dikussionen unter Gelehrten und Feuilletonisten. Alan Sokal, ein
New Yorker Physikprofessor, veröffentlichte damals in einer angesehenen
amerikanischen Soziologie-Fachzeitschrift einen pseudowissenschaftlichen
Artikel, den er mit theoretischen Absurditäten aus Physik und Mathematik
spickte. Damit tat er, was seiner Meinung nach in der aktuellen
Geisteswissenschaft ohnehin gang und gäbe ist: die Verfremdung der hard
sciences in den Werken der postmodernen Theoretiker.
In diesem Buch dokumentiert der Urheber seinen "Scherz". Neben einem
gründlichen Kommentar zu dem Artikel, der hier freilich nicht fehlt,
liefern die Autoren eine eingehende Diskussion wichtiger postmoderner
Theoretiker, die ausgiebig in der Naturwissenschaft gewildert haben. In
Einzelkapiteln wird aufgeschlüsselt, wie fahrlässig Lacan, Kristeva,
Deleuze und Guattari, Virilio, Baudrillard und andere mit Axiomen der
Mathematik und Physik umgehen."
Ich kann mich nur mehr erinnern, dass einer der zitierten Philosophen
sqrt(-1) als Metaphr für das männliche Gschlechtsorgan genommen hat :-)
Mehr unter
http://makeashorterlink.com/?K50022E09
Grüße
Jutta
Christian Stapfer
Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
Ich finde: dann doch lieber postmodernes Philosophie-
und Soziologiegeschwafel - es ist offensichtlich harmloser
(und im übrigen ein angemessener *Spiegel* nachgerade
grotesker gesellschaftlicher Verhältnisse).
Gruss,
Christian
Rainer Rosenthal
"Jutta Gut" schrieb
>
> Ich kann mich nur mehr erinnern, dass einer der
> das männliche Geschlechtsorgan genommen hat :-)
Was ist daran so wundersam? Ist nicht "I pfui!"
ein stereotyper Ausdruck für "alles unter der
Gürtellinie"? Der betreffende Philosoph hat das "i"
so sehr mit dem "i-pfui" in Verbindung gebracht,
dass er sofort diese Freudsche Verbindung herstellte,
als er "i = sqrt(-1)" gelernt hatte.
Diese meine manchem vielleicht etwas gewagt anmutende
Analyse passt jedenfalls recht gut zu Christian
Stapfers Kommentar:
(und im übrigen ein angemessener *Spiegel*
nachgerade grotesker gesellschaftlicher
Verhältnisse).
--
Rainer Rosenthal, r.ros...@web.de _____________________
| _ | A on circle with center M. With A=0, M=1 let |
| (_) | R = 3/2. Construct I(!): RI//PM, MI_|_PI |
| A P | B,C = cut(PI,circle) ==> area(ABC)=maximum |
|__________|_(http://chephip.free.fr/ie/sol117d_en.html)___|
Hero
Cotes (1682-1716)..."
Nein, ich meinte so was wie unter
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions.html
steht:
"...The 18th Century saw trigonometric functions of a complex variable
being studied. Johann Bernoulli found the relation between sin-1z and
log z in 1702 while Cotes, in a work published in 1722 after his death,
showed that
ix = log(cos x + i sin x ).
De Moivre published his famous theorem
(cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx
in 1722 while Euler, in 1748, gave the formula
(equivalent to that of Cotes )
exp(ix) = cos x + i sin x .
The hyperbolic trigonometric functions were introduced by Lambert .
Article by: J J O'Connor and E F Robertson
JOC/EFR June 1996
Na, dan werd ich mal versuchen Cotes zu studieren.
Grüße
Hero
Hero
stellen, wenn wir über die Schönheit ihrer Gleichungen diskutieren,
können uns aber doch nicht auf "Aah" und "Ooh" beschränken. Ich wollte
die Gleichung nicht in ihrer Ehre angreifen und möchte das
freundschaftliche Rum-Gerangel schon mathematisch fortsetzen (Ob eine
psychologische Betrachtung, etwa nach der Wiener Schule (Freud) da
hilft, muß man mal abwarten).
Pi als Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser und e als Konstante
eines gleichmäßigen Wachstums ergeben miteinander potenziert doch auch
eine Zahl, eben 23.14069.... Warum ist es gerade diese Zahl, jetzt
noch mit dem "imaginären" potenziert und von minus Eins so
verschieden, wie nur was, trotzdem der minus Eins wertmäßig gleich ?
Da kann man doch drüber reden (ein Tipp, addiert mal 535.491655.. dazu
oder stöbert auf meiner Webseite
http://1iz.de
herum).
Unser Kunstlehrer brachte uns bei, über Schönheit zu reden, indem er
uns zwei Bilder vergleichen ließ. Nun habe ich zwar keine zweite
Gleichung, die
e hoch (i*@) = cos @ + i* sin @
e hoch (i*@) = 1 hoch r
oder , damit's etwas deutlicher wird
e hoch (i*@) = ( - 1) hoch (2*r)
bzw
e hoch (i* @) = ( - 1 ) hoch ( @/ pi)
wobei r für (lateinisch) Umdrehung steht.
Grüße
Hero
Hendrik van Hees
> Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
> Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
> Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
Na ja, und die Philosophen, Soziologen und sonstige
Geistes"wissenschaftler" haben das Gedankengut geliefert, die die
Entwicklung und Konstruktion dieser Vernichtungswaffen erst
hervorgerufen haben. Man denke da nur an den Marxismus. Insofern ist
der Vorwurf, die Naturwissenschaftler und Mathematiker seien
Massenmörder wenigstens dadurch wieder ausgeglichen, daß auch die
Geistes"wissenschaftler" ihre Leichen im Keller haben ;-)). SCNR.
> Ich finde: dann doch lieber postmodernes Philosophie-
> und Soziologiegeschwafel - es ist offensichtlich harmloser
> (und im übrigen ein angemessener *Spiegel* nachgerade
> grotesker gesellschaftlicher Verhältnisse).
Wer weiß, welche Ideologie sich noch dereinst auf den Postmodernismus
gründen wird. Spinner gibt's ja leider immer wieder, die solches
Geschreibsel ernst nehmen.
Roland Harnau
[...]
> Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern, Chemikern
> und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
> Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
Welche Mathematiker? Btw: In Pierre Cartiers Aufsatz /A Mad Day's
Work: Fom Grothendieck to Connes and Kontsevich, The Evolution of
Concepts of Space and Symmetry/ lese ich gerade:
"Grothendieck did not derive his inspiration from physics and its
mathematical problems. Not that his mind was incapable of grasping
this area - he had thought about it secretly before 1967 - but the
moral principles that he adhered to relegate physics to the outer
darkness, especially after Hiroshima."
Roland
Gottfried Helms
> "Christian Stapfer" <n...@dev.nil> writes:
> [...]
>
>>Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern, Chemikern
>>und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>>Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>
>
> Welche Mathematiker?
Nun, zumindest Einstein fand am Ende seines Lebens, er habe
den Pazifismus zu unrecht enttäuscht und meinte -nach Hiroshima-
er würde ein nächstes Leben lieber als Handwerker als als Physiker/
Mathematiker anfangen. Leonardo da Vinci hat seine U-Boot-
Konstruktionen verheimlicht, wegen eben diesem Problem.
Aber dieses sind Ausnahmen. Es ist wohl kaum denkbar, daß
Massenvernichtungswaffen, seien es Atombomben oder chemische
Waffen (bereits im 1. Weltkrieg, übrigens von völlig unmarxistischen
Wissenschaftlern) ohne hochbezahlte Physiker,Chemiker und
Mathematiker entwickelt worden wären - selbst wenn die
militärische Geheimhaltung ihrer Namen vollständig und
erfolgreich sein könnte/ hätte sein können, und wir würden
keinen einzigen kennen.
Gottfried Helms
Alfred Flaßhaar
"Hendrik van Hees" <he...@comp.tamu.edu> schrieb im Newsbeitrag
news:2o9diqF...@uni-berlin.de...
> Christian Stapfer wrote:
>
> > Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
> > Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
> > Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>
> Na ja, und die Philosophen, Soziologen und sonstige
> Geistes"wissenschaftler" haben das Gedankengut
als "Verpackung" entsprechend der jeweils aktuellen
Interessenlage
> geliefert, die die
> Entwicklung und Konstruktion dieser Vernichtungswaffen erst
> hervorgerufen haben. Man denke da nur an den Marxismus.
Mir fallen neben diesem -ismus noch weitere -ismen ein, die
geschichtlich gesehen eine viel längere Zeit zur Verfügung
haben/hatten, um ihre bekannten "Wohltaten" zu verbreiten. Und
als Physiker weißt du ja - es sind die Wechselwirkungen und nicht
die Gedanken, die Tatsachen schaffen ;-).
> Wer weiß, welche Ideologie sich noch dereinst auf den
Postmodernismus
> gründen wird. Spinner gibt's ja leider immer wieder, die
solches
> Geschreibsel ernst nehmen.
Es wird aber hoffentlich stets ernsthafte Menschen geben, die
sich über Entwicklungen in gesellschaftlichen und ökonomischen
Strukturen Gedanken machen und dabei von Tatsachen ausgehen, wie
es auch Marx zu seiner Zeit tat. Und dann gab es davor noch
Holbach, ...
Freundliche Grüße,
Alfred Flaßhaar
Christian Möller
> Christian Stapfer wrote:
>
>> Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
>> Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>> Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>
> Na ja, und die Philosophen, Soziologen und sonstige
> Geistes"wissenschaftler" haben das Gedankengut geliefert, die die
> Entwicklung und Konstruktion dieser Vernichtungswaffen erst
> hervorgerufen haben. Man denke da nur an den Marxismus. Insofern ist
> der Vorwurf, die Naturwissenschaftler und Mathematiker seien
> Massenmörder wenigstens dadurch wieder ausgeglichen, daß auch die
> Geistes"wissenschaftler" ihre Leichen im Keller haben ;-)). SCNR.
Was hast du eigentlich gegen Geistes"wissenschaften", wo doch
Mathematik die Geists"wissenschaft" par excellence ist und
z.B. ein Soziologe viel mehr "Natur"wissenschaft betreibt als alle
Mathematiker aller Aeonen zusammen?
MfG Christian
Rainer Rosenthal
"Hero" schrieb
> ???
Hallo Hero,
sei doch so nett und picke aus all den angefangenen
Gedanken und Bemerkungen einen raus und stelle ihn
mir bitte so dar, dass ich eine Chance habe, ihn
zu verstehen.
Mir ist nicht klar, ob Du etwas fragst oder ob Du etwas
zeigen möchtest. Oder ob Du etwas zeigen möchtest und
dabei fragst ob es neu sei.
Danke,
Rainer
--
Rainer Rosenthal, r.ros...@web.de _____________________
| _ | A auf Kreis um M. Mit A=0, M=1 setze R = 3/2. |
| (_) | Punkt I: RI parallel PM, MI senkrecht PI. |
| A P | B,C auf PI und Kreis ==> area(ABC) = maximum. |
|__________|__(http://chephip.free.fr/ie/sol117d_en.html)__|
Hendrik van Hees
> Was hast du eigentlich gegen Geistes"wissenschaften", wo doch
> Mathematik die Geists"wissenschaft" par excellence ist und
> z.B. ein Soziologe viel mehr "Natur"wissenschaft betreibt als alle
> Mathematiker aller Aeonen zusammen?
Hm, man müßte die Mathematik ausgliedern und einfach als eigenständige
Wissenschaft ansehen. Sie als Geisteswissenschaft zu bezeichnen ist
schon eine Beleidigung für alle Mathematiker (duck).
Peter Niessen
> Christian Stapfer wrote:
>
>> Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
>> Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>> Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>
> Na ja, und die Philosophen, Soziologen und sonstige
> Geistes"wissenschaftler" haben das Gedankengut geliefert, die die
> Entwicklung und Konstruktion dieser Vernichtungswaffen erst
> hervorgerufen haben. Man denke da nur an den Marxismus.
Wieso das? Bislang habe habe ich Dich ganz entgegen Deinen Angriffen gegen
Philosophie für einen guten Philosophen gehalten. Auch wenn Du das nicht
wahr haben willst: Du stehst mit Deiner Neugier die Welt erkennen zu wollen
in allerbester philosophischer Tradition!
Das "moderne" Philosophen da ein Trauerspiel abgeben? Keine Frage!
Aber Marx? Was kann denn der denn für die Verbrecher die in seinem Namen
gehandelt haben? Schau Dir seine Schriften mal an. Bringt wirklich was.
Gerade für Naturwissenschaftler.
Mit freundlichen Grüßen:
Peter Nießen
Paul Ebermann
> e hoch (i*@) = 1 hoch r
Soll dein @ ein 2*pi darstellen?
Paul
Christian Möller
> Christian Möller wrote:
>
>> Was hast du eigentlich gegen Geistes"wissenschaften", wo doch
>> Mathematik die Geists"wissenschaft" par excellence ist und
>> z.B. ein Soziologe viel mehr "Natur"wissenschaft betreibt als alle
>> Mathematiker aller Aeonen zusammen?
>
> Hm, man müßte die Mathematik ausgliedern und einfach als eigenständige
> Wissenschaft ansehen. Sie als Geisteswissenschaft zu bezeichnen ist
> schon eine Beleidigung für alle Mathematiker (duck).
Aha. Und wieso? Wo hat denn die Mathematik bitte ihren Ursprung, wenn
nicht im Geiste?
MfG Christian
Hermann Kremer
>"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
>> Jutta Gut schrieb
>
>> >... so
>> >wie das heute noch manche Philosophen tun (kennt jemand das Buch
>> >"Eleganter Unsinn"?)
>>
>> Hmm, ich nicht ...
>
>Eleganter Unsinn
>von Alan Sokal, Jean Bricmont
>C.H.Beck, 1999
OK, die Sokal-Story kenne ich natürlich ...
http://www.falter.at/heureka/archiv/98_5.htm
http://www.physics.nyu.edu/faculty/sokal/index.html
Grüße
Hermann
--
Hermann Kremer
>Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
>Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
Hmm, nicht alle Physiker, Chemiker und Mathematiker hießen Edward Teller ...
> Ich finde: dann doch lieber postmodernes Philosophie-
>und Soziologiegeschwafel - es ist offensichtlich harmloser
>(und im übrigen ein angemessener *Spiegel* nachgerade
>grotesker gesellschaftlicher Verhältnisse).
Und ob z.B. der "Clash of Cultures" wirklich h a r m l o s e r ist ...
Grüße
Hermann
--
>
>Gruss,
>Christian
>
>
Hermann Kremer
>Christian Stapfer wrote:
>
>> Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
>> Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>> Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>
>Na ja, und die Philosophen, Soziologen und sonstige
>Geistes"wissenschaftler" haben das Gedankengut geliefert, die die
>Entwicklung und Konstruktion dieser Vernichtungswaffen erst
>hervorgerufen haben. Man denke da nur an den Marxismus.
Hmm, ich denke da viel eher an einen anderen "Ismus", der sogar eine
"Deutsche Physik" und eine "Deutsche Mathematik" hervorgebracht
hat ...
Grüße
Hermann
--
Hermann Kremer
>Christian Möller wrote:
>
>> Was hast du eigentlich gegen Geistes"wissenschaften", wo doch
>> Mathematik die Geists"wissenschaft" par excellence ist und
>> z.B. ein Soziologe viel mehr "Natur"wissenschaft betreibt als alle
>> Mathematiker aller Aeonen zusammen?
>
>Hm, man müßte die Mathematik ausgliedern und einfach als eigenständige
>Wissenschaft ansehen.
Das wird aber, zumindest von Mathematikhistorikern, schon seit über 100
Jahren gemacht ... leider hat man sich aber immer noch nicht auf eine
einheitliche Bezeichnung geeinigt ... ich favorisiere die Bezeichnung
Strukturwissenschaft ...
Grüße
Hermann
--
Klaus Loerke
> >Wissenschaft ansehen.
>
> Das wird aber, zumindest von Mathematikhistorikern, schon seit über 100
> Jahren gemacht ... leider hat man sich aber immer noch nicht auf eine
> einheitliche Bezeichnung geeinigt ... ich favorisiere die Bezeichnung
> Strukturwissenschaft ...
Wie wäre es mit der Bezeichnung "Mathematik"?
klaus
Hermann Kremer
>Am Sun, 15 Aug 2004 10:25:13 -0500 schrieb Hendrik van Hees:
>>
>>> Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
>>> Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>>> Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>>
>> Na ja, und die Philosophen, Soziologen und sonstige
>> Geistes"wissenschaftler" haben das Gedankengut geliefert, die die
>> Entwicklung und Konstruktion dieser Vernichtungswaffen erst
>> hervorgerufen haben. Man denke da nur an den Marxismus.
>
>Aber Marx? Was kann denn der denn für die Verbrecher die in seinem Namen
>gehandelt haben?
Und insbesondere kann er nichts für die Implementierung seiner Theorie
durch einen Geistlichen der georgisch-orthodoxen Kirche names Iossip
Wissarjonowitsch Dschugaschwili ...
Grüße
Hermann
--
Hendrik van Hees
> Hmm, ich denke da viel eher an einen anderen "Ismus", der sogar eine
> "Deutsche Physik" und eine "Deutsche Mathematik" hervorgebracht
> hat ...
Hm, welchen Philosophen kann man das denn in die Schuhe schieben? Von
einer deutschen Mathematik habe ich allerdings noch nichts gehört. Die
"Deutsche Physik" jedenfalls war einfach nur Schwachsinn, auch wenn er
teilweise von Nobelpreisträgern verzapft wurde, die die moderne Physik
nicht verstanden haben.
Hendrik van Hees
> Christian Stapfer schrieb in Nachricht ...
>>Jutta Gut wrote
>>> "Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
>>> > Jutta Gut schrieb
>
>>Sicherlich war es weit "wissenschaftlicher" von Physikern,
>>Chemikern und Mathematikern, sich mit der Konstruktion von
>>Massenvernichtungswaffen grosses "Ansehen" zu verschaffen.
>
> Hmm, nicht alle Physiker, Chemiker und Mathematiker hießen Edward
> Teller ...
Dazu:
http://www.physicstoday.org/vol-57/iss-8/p51.html
Der Artikel über seine Physik ist leider nicht frei zugänglich, jedoch
auch sehr lesenswert. Wer also an einer Uni sitzt, die Zugang zu
Physics Today hat, sollte auch diesen Artikel lesen.
Hermann Kremer
>>Hermann, Du schriebst:"Hmm, ich vermute, Du meinst die von Roger
>>Cotes (1682-1716)..."
>
>Nein, ich meinte so was wie unter
>http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions.html
>steht:
>"...The 18th Century saw trigonometric functions of a complex variable
>being studied. Johann Bernoulli found the relation between arcsin(z) and
>log(z) in 1702 while Cotes, in a work published in 1722 after his death,
>showed that
> ix = log(cos x + i sin x ).
>
OK, das erwähnte Buch sind die nachgelassenen Schriften von Roger Cotes:
Robert Smith (Ed.)
Harmonia Mensurarum sive Analysis et Synthesis per rationum et
angulorum mensuras promotae: accedunt alia Opuscula mathematica
per Rogerum Cotesium.
Cambridge 1722.
Ich könnte mir vorstellen, daß Cotes (oder der Herausgeber Robert Smith,
sein Nachfolger auf dem Mathematik-Lehrstuhl in Cambridge), das durch
Differenzieren zeigen konnte:
[log(cos(x) + i*sin(x))]' = (i*cos(x) - sin(x))/(cos(x) + i*sin(x)) = i ,
ich habe aber in der mathematikhistorischen Literatur bisher noch keinen
Hinweis darauf gefunden.
>De Moivre published his famous theorem
> (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx
>in 1722 while Euler, in 1748, gave the formula
> (equivalent to that of Cotes )
> exp(ix) = cos x + i sin x .
>JOC/EFR June 1996
>
>Na, dann werd ich mal versuchen Cotes zu studieren.
Fein ... halte uns auf dem Laufenden ...
Grüße
Hermann
--
>Grüße
>Hero
Hero
ich versuchs.
Hei, alle anderen,
zuerst einmal habe ich einen Fehler gemacht, die Gleichung
e hoch (i*@) = 1 hoch r
ist falsch, scheußlich falsch.
In der Schule redeten wir über Schönheit, Schönheit eines Bildes,
welche Symbolik der Maler verwendet, wie ein Bild nach geometrischen
Linien konstruiert wurde (die Komposition),..
Peter redet über die Schönheit einer Gleichung. Es wird gesagt, daß
hier in einer schlichten Gleichung eine Reihe von wichtigen
mathematischen Symbolen (e,pi,i, 1..)zusammengefasst sind.
Und mehr kommt da nicht.
Also nehme ich die Geometrie:
In der rechten Seite von e hoch (i*@) = cos @ + i* sin @
steckt ein sich veränderndes rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1,
genauer die Summe der beiden Katheten (mit Richtung).
Ich vergleiche sie mit einer zweiten Gleichung:
e hoch (i*@) = ( - 1) hoch (2*r)
und hier steckt in der rechten Seite, wenn ich r von 0 bis 1/3
gehenlasse,wie sich eine Strecke um ein drittel Kreis dreht (wie
eine Fahrradspeiche) , bei r von 0 bis 1/2 erhalte ich einen
Halbkreis.
Was steckt aber nun in der linken Seite ?
Ein Hinweis dazu ist, daß man e hoch pi ausrechnet.
Nun bin ich mal gespannt.
Hero
Andreas Eder
> Hm, welchen Philosophen kann man das denn in die Schuhe schieben? Von
> einer deutschen Mathematik habe ich allerdings noch nichts gehört. Die
> "Deutsche Physik" jedenfalls war einfach nur Schwachsinn, auch wenn er
> teilweise von Nobelpreisträgern verzapft wurde, die die moderne Physik
> nicht verstanden haben.
Hmm, Teichmüller war glaube ich einer von denen. Gute Mathematik, aber
ansonsten brrr!
Andreas
--
Wherever I lay my .emacs, there's my $HOME.
Hermann Kremer
>Hendrik van Hees <he...@comp.tamu.edu> writes:
>
>> Hm, welchen Philosophen kann man das denn in die Schuhe schieben? Von
>> einer deutschen Mathematik habe ich allerdings noch nichts gehört. Die
>> "Deutsche Physik" jedenfalls war einfach nur Schwachsinn, auch wenn er
>> teilweise von Nobelpreisträgern verzapft wurde, die die moderne Physik
>> nicht verstanden haben.
Siehe auch http://www.aleph99.org/etusci/ks/index.htm
>Hmm, Teichmüller war glaube ich einer von denen. Gute Mathematik, aber
>ansonsten brrr!
Yep, der auch ... und der Hauptvertreter dieser "Wissenschaft" war
Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach.
Es gab sogar eine (1936 von L. Bieberbach gegründete) Zeitschrift
"Deutsche Mathematik" ...
http://wwwzenger.informatik.tu-muenchen.de/lehre/seminare/math_nszeit/SS03/vortraege/
---> de-math/
---> verfolgt/
http://hrz.upb.de/~apeck1/ns/ns.htm
die von 1936 (Bd. 1) bis 1942/43/44 (Bd. 7) in Leipzig erschien.
Siehe auch
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/archiv/pinl.html
Grüße
Hermann
--
Hero
Tut mir leid, daß war Quatsch, die Gleichung ist falsch.
Das richtige im gestrigen Brief.
Hero
Ach ja, @ steht für alpha und kan in sofern auch 2 * pi werden.
Hero
Tut mir leid, daß war Quatsch, die Gleichung ist falsch.
Hero
gefunden, unter
http://www.mathpages.com/home/kmath192/kmath192.htm
steht -leider finde ich den Namen des Besprechers nicht- :
"...we find that Cotes in 1714 was the first to note the fundamental
identity
ln[cos(q) + i sin(q)] = iq
where i = (Wurzelzeichen minus eins) . A generation later the great
Swiss mathematician Euler deduced the same result and expressed
it in the more familiar form
e(i@)=cos@ + i* sin @
This identity can be seen as an expression of the correspondence
between circular and hyperbolic measures, between exponential and
trigonometric measures, and between orthogonal and polar measures,
not to mention between real and complex measures, all of which
seemed to be within Cotes' grasp. He named the treatise containing
this result Harmonia Mensurarum, meaning "harmony of measures".
10. On Cotes's death Smith collected most of Cotes's surviving papers.
In 1722 he published Cotes's 'In Harmonia Mensurarum et alia opuscula
Mathematica' together with some of his own theorems, and in 1738 he
published, with notes, Cotes's 'Hydrostatical and Pneumatical
Lectures'. "
Damit ist Peters Frage wohl beantwortet, aber hier finden wir auch
eine kurze Charakterisierung der Gleichung. Eben dies heißt doch
über Schönheit sprechen, oder ?
Dazu muß man die Gleichung auch verstehen.
Was ich nicht verstehe, ist, wo der Autor hier "hyperbolic measure"
sieht. Vielleicht kann mir jemand helfen. Dann verrate ich auch,
welche Form ich hier sehe (von wegen 23.14069...), oder wer weiß
es noch?
( Rainer und Jutta und alle anderen Geometer wird sicher das übrige
dieser Seite auch gefallen. Übrigens hat Cotes noch eine schöne Kurve,
die "Lituus", siehe auf
http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Lituus_dir/lituus.html
aber ich will nicht ablenken.)
Gruss
Hero
Peter Niessen
> Damit ist Peters Frage wohl beantwortet, aber hier finden wir auch
> eine kurze Charakterisierung der Gleichung. Eben dies heißt doch
> über Schönheit sprechen, oder ?
Ja!
Und vielen Dank an Dich. Ein sehr schöner Beitrag.
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> Was ich nicht verstehe, ist, wo der Autor hier "hyperbolic measure"
> sieht. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Ja, kann ich: Der natürliche Logarithmus wurde entdeckt, als man die
Fläche zwischen der Hyperbel y=1/x und der x-Achse berechnen wollte.
Grüße
Jutta
Peter Niessen
Hm
Ich dachte der natürliche Logarithmus ergab sich ganz von selber als Brigg
Neper und Konsorten nach einer geeigneten Basis für Logarithmentabellen
suchten.
Hermann Kremer
>
>gefunden, unter
>http://www.mathpages.com/home/kmath192/kmath192.htm
>steht -leider finde ich den Namen des Besprechers nicht- :
OK, das ist Kevin Brown aus Chattanooga, Tennessee:
http://math.southern.edu/kbrown.htm
>"...we find that Cotes in 1714 was the first to note the fundamental
>identity
> ln[cos(q) + i sin(q)] = iq
>where i = (Wurzelzeichen minus eins).
> [ ... ]
>On Cotes's death Smith collected most of Cotes's surviving papers.
>In 1722 he published Cotes's 'In Harmonia Mensurarum et alia opuscula
>Mathematica' together with some of his own theorems, and in 1738 he
>published, with notes, Cotes's 'Hydrostatical and Pneumatical Lectures'. "
Hmm, leider sagt K. Brown auch nichts näheres über das Cotes'sche
Manuskript ...
>A generation later the great
>Swiss mathematician Euler deduced the same result and expressed
>it in the more familiar form
> e(i@) = cos(@) + i*sin(@)
>This identity can be seen as an expression of the correspondence
>between circular and hyperbolic measures, between exponential and
>trigonometric measures, and between orthogonal and polar measures,
>not to mention between real and complex measures, all of which
>seemed to be within Cotes' grasp. He named the treatise containing
>this result Harmonia Mensurarum, meaning "harmony of measures".
>
>
>Damit ist Peters Frage wohl beantwortet, aber hier finden wir auch
>eine kurze Charakterisierung der Gleichung. Eben dies heißt doch
>über Schönheit sprechen, oder ?
>Dazu muß man die Gleichung auch verstehen.
>Was ich nicht verstehe, ist, wo der Autor hier "hyperbolic measure"
>sieht. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Ergänzend zu Jutta's Posting:
============================================
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (H)
Last revision: June 28, 2004
HYPERBOLA was probably coined by Apollonius, who, according to Pappus,
had terms for all three conic sections.
However, G. J. Toomer believes the names parabola and hyperbola are older than
Apollonius, based on an Arabic translation of Diocles' On burning mirrors.
Hyperbola was used in English in 1668 by Barrow in correspondence: "The rules I
sent you concerning the hyperbola, I cannot well exemplify."
Hyperbola also appears in English in 1668 in the Philosophical Transactions of
the Royal Society (OED2).
The term HYPERBOLIC FUNCTION was introduced by J. H. Lambert in 1768
[Ken Pledger].
HYPERBOLIC LOGARITHM. Because of the relation between natural logarithms
and the areas of hyperbolic sectors, natural logarithms came to be called hyperbolic
logarithms. The connection between natural logarithms and sectors was discovered
by Gregory St. Vincent (1584-1667) in 1647, according to Daniel A. Murray in
Differential and Integral Calculus (1908).
Abraham DeMoivre (1667-1754) used Hyperbolic Logarithm in English in his own
English translation of a paper presented to some friends on Nov. 12, 1733. His
translation appears in the second edition (1738) of The Doctrine of Chances.
Hyperbolic logarithm appears in 1743 in Emerson, Fluxions: "The Fluxion of any
Quantity divided by that Quantity is the Fluxion of the Hyperbolic Logarithm of
that Quantity" (OED2).
L. Euler called these logarithms "natural or hyperbolic" in 1748 in his
Introductio in Analysin Infinitorum, according to Dunham (page 26), who provides
a reference to Vol. I, page 97, of the Introductio.
HYPERBOLIC SINE and HYPERBOLIC COSINE. Vincenzo Riccati (1707-1775)
introduced hyperbolic functions in volume I of his Opuscula ad Res Physicas et
Mathematicas pertinentia of 1757. Presumably he used these terms, since he used
the notation Sh x and Ch x.
============================================
Und als "Eselsbrücke":
cos^2(x) + sin^2(x) = 1 definiert einen Kreis
cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1 definiert eine Hyperbel
> Dann verrate ich auch,
>welche Form ich hier sehe (von wegen 23.14069...), oder wer weiß
>es noch?
exp(i*(-i*pi)) = 23.14069263277927...
>(Rainer und Jutta und alle anderen Geometer wird sicher das übrige
>dieser Seite auch gefallen. Übrigens hat Cotes noch eine schöne Kurve,
>die "Lituus", siehe auf
>http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Lituus_dir/lituus.html
>aber ich will nicht ablenken.)
Der Cotes'sche Hirtenstab ist ebenfalls in
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Lituus.html
Grüße
Hermann
--
>Gruss
>Hero
Hermann Kremer
<news:10h9hukgl1pka$.1ahstqmn...@40tude.net>...
>Am Thu, 19 Aug 2004 16:15:15 +0200 schrieb Jutta Gut:
>> "Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
>>
>>> Was ich nicht verstehe, ist, wo der Autor hier "hyperbolic measure"
>>> sieht. Vielleicht kann mir jemand helfen.
>>
>> Ja, kann ich: Der natürliche Logarithmus wurde entdeckt, als man die
>> Fläche zwischen der Hyperbel y=1/x und der x-Achse berechnen wollte.
>
>Hm
>Neper und Konsorten nach einer geeigneten Basis für Logarithmentabellen
>suchten.
Nicht ganz: John Napier benutzte bei seinen Logarithmen tatsächlich nicht
die Basis e , sondern näherungsweise die Basis 1/e. Zur Geschichte von
e siehe z.B.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html
Grüße
Hermann
--
Hermann Kremer
>> "Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
>>
>>> Was ich nicht verstehe, ist, wo der Autor hier "hyperbolic measure"
>>> sieht. Vielleicht kann mir jemand helfen.
>>
>> Ja, kann ich: Der natürliche Logarithmus wurde entdeckt, als man die
>> Fläche zwischen der Hyperbel y=1/x und der x-Achse berechnen wollte.
>
>Hm
>Neper und Konsorten nach einer geeigneten Basis für Logarithmentabellen
>suchten.
OK, hier noch etwas ausführlicher ... aus einer früheren Antwort auf eine
Anfrage per Email - erinnert mich wieder daran, daß ich ja mal was über
die sog. prosthaphäretischen Formeln posten wollte:-)
=============================================
Newsgroups: sci.math
Betreff: Re: 2^x + 3^x = 5, and how C.F. Gauss would have solved that
Datum: Mittwoch, 16. Oktober 2002 20:55
[ ... ]
Meinst Du
| Man kannte auch vor der Erfindung der Logarithmen durch den schottischen
| Hobby-Mathematiker John Napier (1550-1617)
| http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Napier.html
| schon Methoden, um Multiplikationen durch Additionen zu ersetzen:
|
| Gegeben seien die beiden Zahlen A = (10^m)*a, B = (10^n)*b
| mit a, b < 1.
|
| Man suche in einer trigonomischen Tabelle die Winkel alpha, beta für
| cos(alpha) = a, cos(beta) = b ,
| dann ist wegen
| (cos(alpha - beta) + cos(alpha + beta))/2 = cos(alpha)*cos(beta) = a*b
| das Produkt A*B gleich
| A*B = 10^(m+n)*(cos(alpha - beta) + cos(alpha + beta))/2 .
|
| Man benötigt also 3 Additionen und muß 4-mal in einer Cosinus-Tabelle
| suchen.
oder
| Napier wollte das vereinfachen und kam auf die Idee, für bestimmte Zahlen
| x = sin(alpha) die Exponenten nap(x) zu berechnen, für die
|
| x = 10^7 * (1 - 1/10^7)^nap(x) ~= 10^7 * (1/e)^(nap(x)/10^7)
|
| gilt. Für den Faktor 10^7 gibt es einen Grund, es würde aber zu weit führen,
| den hier zu erklären. Seine Logarithmen, die er 1614 in dem Buch
| "Mirifici logarithmorum canonis descriptio"
| http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Bookpages/Napier10.jpeg
| http://www-math.sci.kun.nl/math/werkgroepen/gmfw/bronnen/napier1.html
| http://www-math.sci.kun.nl/math/werkgroepen/gmfw/bronnen/napiertabellen.html
| in London veröffentlichte, sind also durch
|
| nap(x) = 10^7 * ( ln(10^7) - ln(x) )
|
| definiert, und dafür gilt demnach die Rechenregel
|
| nap(x*y) = nap(x) + nap(y) - 10*7* ln(10^7) =
| = nap(x) + nap(y) - 161'180'956.5096 .
|
| Die Logarithmen, wie wir sie heute kennen, wurden von dem englischen
| Mathematiker Henry Briggs (1561-1630)
| http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Briggs.html
| aus den Napier'schen entwickelt und für die Basis b = 10 in dem Buch
| "Arithmetica logarithmica" 1624 veröffentlicht; eine Übersetzung davon
| kannst Du in
| http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Briggs/index.html
| finden.
oder beides?
Egal, es folgt ein kleines Privatissimum ...
Ersteres ist die Basisformel der sog. prosthaphäretischen ("... hinzufügenden
und wegnehmenden ...") Methode, es ist einfach eine Anwendung des
Additionstheorems
cos(alpha)*cos(beta) = (cos(alpha-beta) + cos(alpha+beta))/2
für alpha = arccos(a), beta = arccos(b) mit |a|, |b| < 1.
Beispiel:
A = 3 = 10*0.3 --> a = 0.3
B = 4 = 10*0.4 --> b = 0.4
alpha = arccos(a) = arccos(0.3) = 72°30'
beta = arccos(b) = arccos(0.4) = 66°40'
cos(alpha-beta) = cos( 5°50') = 0.9948
cos(alpha+beta) = cos(139°10') = -0.7556
------------------------------------------
Summe/2 = 0.2392/2 = 0.1196
somit
A*B = 100*a*b = 100*0.3*0.4 =
= 100*0.1196 = 11.96 --> Stimmt ...
---
Letzteres ist die Napier'sche Definition seiner Logarithmen nap(x). Im Gegensatz
zu einer weitverbreiteten Meinung waren das n i ch t die natürlichen Logarithmen.
Der Hintergrund für die ziemlich skurrile Formel
nap(x): diejenige Zahl, für die x := 10^7 * (1 - 1/10^7)^nap(x) gilt
zur Darstellung einer Zahl x ist, daß vor etwa 1620 die Dezimalbrüche
noch nicht erfunden waren, und man den Nachkommateil nichtganzer Zahlen
daher entweder als gewöhnliche Brüche
3.7 = 3+7/10 = 3+1/2+1/5 = 3+3/5+1/10 usw.
geschrieben hat, oder, genau wie bei Winkeln, als Minuten, Sekunden, Terzen
usw. (Minute = minuta prima, Sekunde = minuta secunda, Terz = minuta tertia ...):
3.7 = 3 + 7/10 = 3 + 42/60 = 3:42m
oder, insbesondere bei Tabellen, sämtliche Zahlen einfach mit einem genügend
großen Faktor multipliziert hat, sodaß nur noch ganze Zahlen auftraten. Ein
damals sehr gängiger Faktor war 10^7, der stammte aus der von Georg Joachim
Rhaeticus 1551 als "Canon Doctrinae Triangulorum" veröffentlichen ersten
vollständigen 7-stelligen Sinus-/Cosinus-Tafel.
Die Umkehrung
nap(x) = 10^7 * ( ln(10^7) - ln(x) )
basiert jetzt einfach auf (1 - 1/10^7)^(10^7) ~= e^(-1) = 1/e .
BTW, die damals verfügbaren trigonometrischen Tafeln enthielten meistens auch
nicht sin(), cos(), tan(), cot() wie heute, sondern so absonderliche Sachen
wie
Versinus(x) = ver(x) = 1 - cos(x) = 2*sin^2(x/2)
Halbversinus(x) = hav(x) = (1 - cos(x))/2 = sin^2(x/2)
Coversinus(x) = cov(x) = 1 - sin(x)
Secans(x) = sec(x) = 1/cos(x)
Cosecans(x) = csc(x) = 1/sin(x) ,
wobei Vers(x) gerade die zur Sehne 2*sin(x) gehörende Bogenhöhe im
Einheitskreis-Sektor mit Zentriwinkel 2*x und Peripheriewinkel x ist ;-))
Und mit dem Secans kann man auch prosthaphäretisch dividieren:
alpha = arccos(a), beta = arccos(1/b) --> b = 1/cos(beta) = sec(beta) ...
So, Privatissimum zu Ende ... ich hoffe, es ist jetzt etwas klarer geworden.
[ ... ]
=============================================
Grüße
Hermann
--
Hero
das ist's Geometerin.
Zur log-Entwicklung aus "Kleine Enzyclopädie Mathematik"(Thun und
Frankfurt 1984) und Lancelot Hogben:
Um Zahlen einfach zu multiplizieren übersetzten Paul Wittich und
Christoph Clavius 1593 sie in sin- und cos-Werte und benutzten das Additionstheorem.
Dann kam logsin und logcos, weil man den Kreis in (verschiedenbreite)
Streifen gleicher Winkelunterschiede zerschnitt.
Und Neper verglich arithmetische und geometrische Folgen (also schon
1614 veränderliche Größen) und hatte als Basis
zehnmillionen mal e hoch ( minus Eins durch zehmillionen)
Zur log-Entwicklung und Hyperbel hab ich nicht's gefunden.
Danke für's Lob, Peter. Ich hab mal nen Kluntje in's Gurkenglas getan,
mit Rum-stänkern ist's vorbei und da keiner
Ich sehe was, was Du nicht siehst... spielen will
sieht auch keiner eine Spirale.
Über Subjektives zu reden, also über "schön" , "schlecht" oder
gute und böse Mathematiker zu reden, ist nicht leicht.
Also mal objektiv, was ist nun das imaginäre an i?
In e hoch (i * pi) = - 1 könnte man eine Definition für i sehen,
aber....
...wie ist noch der log definiert, eben..
keine Definiton von i.
Gibt es noch andere wunderschöne Gleichungen ?
Ja, für einige ist
i²=j²=k²=ijk=-1 schön, etwa John Baez
http://math.ucr.edu/home/baez/dublin/
Wie man dort sieht, sind für Tevian die Octonians
noch schöner. Dann möchte ich mal meinen Geschmack outen:
da sqrt -1 in i verwandelt (durch e hoch (i * pi) = - 1 ausgedrückt)
am Anfang stand und
da meine Webseite nicht nur
http://1iz.de
heißt, sondern auch
http://i-is-no-longer-imaginary.gmxhome.de
und
da über Wessel mit Hamilton 1835 das "imaginäre" eine Ende fand,
möchte ich seine wunderschöne Gleichung hier eingravieren:
i = ( 0 , 1 )
Tschüss ( bis spätestens nach dem Lesen von Cotes)
Hero
Jutta Gut
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
> Peter Niessen schrieb in Nachricht
> >Ich dachte der natürliche Logarithmus ergab sich ganz von selber als Briggs,
> >Neper und Konsorten nach einer geeigneten Basis für Logarithmentabellen
> >suchten.
>
> Nicht ganz: John Napier benutzte bei seinen Logarithmen tatsächlich nicht
> die Basis e , sondern näherungsweise die Basis 1/e. Zur Geschichte von
> e siehe z.B.
> http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html
>
Unsere Vorstellung vom Logarithmus als Hochzahlen war Napier noch fremd,
deswegen hat sich damals die Frage nach der Basis gar nicht gestellt.
Er hat einfach Tafeln für das praktische Rechnen zusammengestellt.
Erst Jakob Bernoulli ist draufgekommen, dass man diese Logarithmen als
Umkehrung der Exponentialfunktion erhält.
(Das steht auch in diesem Artikel.)
Das sich die Napier'schen Logarithmen im nachhinein als Logarithmen
zur Basis 1/e herausgestellt haben, ist eher Zufall.
Grüße
Jutta
Hermann Kremer
>
>Zur log-Entwicklung aus "Kleine Enzyclopädie Mathematik"(Thun und
>Frankfurt 1984) und Lancelot Hogben:
>Um Zahlen einfach zu multiplizieren übersetzten Paul Wittich und
>Christoph Clavius 1593 sie in sin- und cos-Werte und benutzten das
>Additionstheorem.
Hmm, Christoph Klau aka. Clavius (1538-1612) aus Bamberg und
Paul Wittich (1546-1586) aus Breslau benutzten zwar diese sog.
"prosthaphäretische Methode", aber sie haben sie nicht erfunden;
das war vielmehr etwa 100 Jahre früher Johann Werner (1468-1522)
aus Nürnberg ... siehe auch meine Antwort auf Peter's Posting ;-)
Christoph Clavius wird im Zusammenhang mit der Prostkaphäresis
wohl deshalb genannt, weil er sie 1608 in einem Buch beschrieb.
Paul Wittich wird im Zusammenhang mit der Prosthaphäresis wohl
deshalb genannt, weil er als Mitarbeiter von Tycho Brahe (1546-1601)
in Hveen sie letzterem vermutlich beibrachte.
[ ... ]
>Also mal objektiv, was ist nun das imaginäre an i?
Gar nichts ... das Wort "imaginär" ist historisch ...
>In e hoch (i * pi) = - 1 könnte man eine Definition für i sehen,
>aber.... ...wie ist noch der log definiert, eben... keine Definiton von i.
Hä? ... ln(exp(i*pi)) = i*pi ...
Meinst Du sowas wie i = (1/pi)*ln(-1) ?
>Gibt es noch andere wunderschöne Gleichungen ?
>Ja, für einige ist i² = j² = k² = ijk = -1 schön, etwa John Baez
>http://math.ucr.edu/home/baez/dublin/
Yep, wenn jemand die Quaternionen des William Rowan Hamilton
mag ;-))
>Wie man dort sieht, sind für Tevian die Octonians
>noch schöner. Dann möchte ich mal meinen Geschmack outen:
>da sqrt(-1) in i verwandelt (durch e hoch (i * pi) = -1 ausgedrückt)
>am Anfang stand und da meine Webseite nicht nur http://1iz.de
>heißt, sondern auch http://i-is-no-longer-imaginary.gmxhome.de
>und da über Wessel mit Hamilton 1835 das "imaginäre" ein Ende
>fand, möchte ich seine wunderschöne Gleichung hier eingravieren:
>
> i = ( 0 , 1 )
OK, nichts dagegen ;-))
Grüße
Hermann
--
Andrew Doughty
>Hero schrieb in Nachricht ...
>>Jetzt habe ich wenigstens eine Besprechung von Cotes Gleichung
>>gefunden, unter
>>http://www.mathpages.com/home/kmath192/kmath192.htm
>>steht -leider finde ich den Namen des Besprechers nicht- :
>
>OK, das ist Kevin Brown aus Chattanooga, Tennessee:
>http://math.southern.edu/kbrown.htm
The Kevin Brown who does MathPages is not in Tennessee. I believe he
lives in Seattle, Washington.
Hermann Kremer
>On Thu, 19 Aug 2004 "Hermann Kremer" wrote:
>>Hero schrieb in Nachricht ...
>>>Jetzt habe ich wenigstens eine Besprechung von Cotes Gleichung
>>>gefunden, unter
>>>http://www.mathpages.com/home/kmath192/kmath192.htm
>>>steht -leider finde ich den Namen des Besprechers nicht- :
>
>
>The Kevin Brown who does MathPages is not in Tennessee. I believe he
>lives in Seattle, Washington.
Thanks. I think you are right. According to www.coolwhois.com the MathPages
is registered in WA.
regards
Hermann
--
Hermann Kremer
[ ... ]
>Tschüss ( bis spätestens nach dem Lesen von Cotes )
Vielleicht hilft die folgende Rezension:
http://www.emis.de/cgi-bin/Zarchive?an=0111.00403
Grüße
Hermann
--
>Hero
Hero
was andere über dieses Wort "hyperbolisch"wissen:
"HYPERBOLA was probably coined by Apollonius.."
oder stammt von "..Diocles' On burning mirrors..."
(kleiner Umweg zu
http://www.robert-temple.com
und über seine crystal sun wieder zurück)
(Hyperbol, das wär doch ein schöner Name für Hermann, denn..)
Nö,"hyperballein kommt von übertreffen"
Apollonius schreibt in Conics (=Kegelschnitte) etwa,
daß im dritten Buch seinerer Conics die meisten Theoreme neu sind
und daß Euclid das Thema nicht so wie er ausgearbeitet hat und nicht
so erfolgreich. Also ist wohl nicht so schlimm, daß Euclids Conics
(noch) nicht wieder aufgetaucht sind. Nun hat Euclid aber bereits
in den Elementen die Grundlagen der kegelschnitte,beschreieben,
die drei Arten der "Flächenanlegung" und eine davon heißt nicht
umsonst "hyperbolisch".
Überraschung:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/geogl2.htm
Flog hier eine Eule nach Athen ?
Vielen Dank für die Rezension von Cotes.
Gruß
Hero
P.S.Hermann fragt:"Meinst Du sowas wie i = (1/pi)*ln(-1) ? "
Ja, wenn man denkt, die Formel definiere i, dann stößt man auf den
ln ( - 1). Und also bleibt die Formel der Anfang von der Rolle von i
als imäginären.
Axel Schmitz-Tewes
Napier hat viel über die Basis seines Logarithmus nachgedacht. Er
benutzte dabei wohl Interpolationsargumente und erste zarte Versuche in
der Differentialrechnung, die sich hier wohl hinter
'Geschwindigkeitsüberlegungen' verbargen.
Axel