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Torus als kartesisches Produkt zweier Kreise
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Ralf Goertz
Feb 21, 2023, 6:42:02 AM2/21/23
to
Hi,
ich beschäftige mich gerade ein wenig mit algebraischer Topologie, die
ich immer für notorisch schwer gehalten und deshalb bisher eher
ignoriert habe. Es gibt eine recht anschauliche einführende Vorlesung
auf youtube von Norman Wildberger (der übrigens ebenfalls Probleme mit
Mengenlehre, Unendlichkeit und den reellen Zahlen hat, wie ein gewisser
Akteur hier, der dies aber auf eine wesentlich angenehmere,
bescheidenere und kompetentere Art und Weise als jener vertritt).
Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften. Nun ist es
aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
des ℝ³ schlängelt" (das innere des Schlauchs), während die Schleife b um
das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von ℝ³ verbunden und
deshalb nicht beschränkt ist. Ist das nicht ein Widerspruch? Oder darf
ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
nicht betrachten? Ich schätze, dass ℝ⁴\T zusammenhängend ist (sozusagen
über die vierte, „ungenutze“ Dimension verbunden) und sich der
Widerspruch auflöst. Stimmt das?
Falls das übrigens alles trivial oder Unsinn ist, dann beweist das nur,
dass ich meiner bisherigen Ignoranz dem Thema gegenüber wohl aus dem
richtigen Grund frönte.
ich beschäftige mich gerade ein wenig mit algebraischer Topologie, die
ich immer für notorisch schwer gehalten und deshalb bisher eher
ignoriert habe. Es gibt eine recht anschauliche einführende Vorlesung
auf youtube von Norman Wildberger (der übrigens ebenfalls Probleme mit
Mengenlehre, Unendlichkeit und den reellen Zahlen hat, wie ein gewisser
Akteur hier, der dies aber auf eine wesentlich angenehmere,
bescheidenere und kompetentere Art und Weise als jener vertritt).
Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften. Nun ist es
aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
des ℝ³ schlängelt" (das innere des Schlauchs), während die Schleife b um
das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von ℝ³ verbunden und
deshalb nicht beschränkt ist. Ist das nicht ein Widerspruch? Oder darf
ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
nicht betrachten? Ich schätze, dass ℝ⁴\T zusammenhängend ist (sozusagen
über die vierte, „ungenutze“ Dimension verbunden) und sich der
Widerspruch auflöst. Stimmt das?
Falls das übrigens alles trivial oder Unsinn ist, dann beweist das nur,
dass ich meiner bisherigen Ignoranz dem Thema gegenüber wohl aus dem
richtigen Grund frönte.
Tom Bola
Feb 21, 2023, 6:58:51 AM2/21/23
to
Tom Bola
Feb 21, 2023, 7:21:02 AM2/21/23
to
Ralf Goertz schrieb:
> Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade ein wenig mit algebraischer Topologie, die
> ich immer für notorisch schwer gehalten und deshalb bisher eher
> ignoriert habe. Es gibt eine recht anschauliche einführende Vorlesung
> auf youtube von Norman Wildberger (der übrigens ebenfalls Probleme mit
> Mengenlehre, Unendlichkeit und den reellen Zahlen hat, wie ein gewisser
> Akteur hier, der dies aber auf eine wesentlich angenehmere,
> bescheidenere und kompetentere Art und Weise als jener vertritt).
> Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
> Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
> unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
> Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
> erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften.
> Nun ist es
> aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
> des R³ schlängelt" (das innere des Schlauchs), während die Schleife b um
> das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von R³ verbunden und
unabhängig von einem sie einbettenden Raum sind, so dass zBl die
Kleinsche Flasche eben nicht "per se" selbstdurchdringend ist.
> Ich schätze, dass R4\T zusammenhängend ist (sozusagen
> Falls das übrigens alles trivial oder Unsinn ist, dann beweist das nur,
> dass ich meiner bisherigen Ignoranz dem Thema gegenüber wohl aus dem
> richtigen Grund frönte.
Ach was ¯\_(ツ)_/¯
> Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade ein wenig mit algebraischer Topologie, die
> ich immer für notorisch schwer gehalten und deshalb bisher eher
> ignoriert habe. Es gibt eine recht anschauliche einführende Vorlesung
> auf youtube von Norman Wildberger (der übrigens ebenfalls Probleme mit
> Mengenlehre, Unendlichkeit und den reellen Zahlen hat, wie ein gewisser
> Akteur hier, der dies aber auf eine wesentlich angenehmere,
> bescheidenere und kompetentere Art und Weise als jener vertritt).
> Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
> Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
> unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
> Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
> erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften.
> Nun ist es
> aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
> das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von R³ verbunden und
> deshalb nicht beschränkt ist. Ist das nicht ein Widerspruch? Oder darf
> ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
> nicht betrachten?
Ich habe vor langer Zeit mal gelernt, dass Manifolds wie der Torus
> ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
> nicht betrachten?
unabhängig von einem sie einbettenden Raum sind, so dass zBl die
Kleinsche Flasche eben nicht "per se" selbstdurchdringend ist.
> Ich schätze, dass R4\T zusammenhängend ist (sozusagen
> über die vierte, „ungenutze“ Dimension verbunden) und sich der
> Widerspruch auflöst. Stimmt das?
Passt zur Kleinschen Flasche und hört sich daher gut an! ;)
> Widerspruch auflöst. Stimmt das?
> Falls das übrigens alles trivial oder Unsinn ist, dann beweist das nur,
> dass ich meiner bisherigen Ignoranz dem Thema gegenüber wohl aus dem
> richtigen Grund frönte.
Tom Bola
Feb 21, 2023, 8:04:51 AM2/21/23
to
Ralf Goertz schrieb:
> Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
> Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
> unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
> Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
> erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften. Nun ist es
> aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
> des R³ schlängelt" (das innere des Schlauchs), während die Schleife b um
> das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von R³ verbunden und
Auf Seite 18 von Analysis auf Mannigfaltigkeiten, Andreas Kriegl
email:andreas...@univie.ac.at wird aus einer Parametrisierung
von S1 x S1 entnommen, dass "ein Torus im R4 durch Einrollen einer
Ebene erzeugen lässt.
https://www.mat.univie.ac.at/~kriegl/Skripten/2013SS.pdf
Ich kann mir nicht vorstellen, dass das Einrollen einer Ebene
den R4 "unterbricht" (disconnects it).
Es ist natürlich (für mich) unmöglich, sich vorzustellen, wie
das Torus-Schlauchinnere mit dem R4 verbunden ist - das macht
auch diese Frage so allgemein interessant für (mich) Laien...
> Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
> Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
> unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
> Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
> erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften. Nun ist es
> aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
> das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von R³ verbunden und
> deshalb nicht beschränkt ist. Ist das nicht ein Widerspruch? Oder darf
> ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
> nicht betrachten? Ich schätze, dass R4\T zusammenhängend ist (sozusagen
> ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
> über die vierte, „ungenutze“ Dimension verbunden) und sich der
> Widerspruch auflöst. Stimmt das?
Ein möglicher Hinweis mag das hier sein:
> Widerspruch auflöst. Stimmt das?
Auf Seite 18 von Analysis auf Mannigfaltigkeiten, Andreas Kriegl
email:andreas...@univie.ac.at wird aus einer Parametrisierung
von S1 x S1 entnommen, dass "ein Torus im R4 durch Einrollen einer
Ebene erzeugen lässt.
https://www.mat.univie.ac.at/~kriegl/Skripten/2013SS.pdf
Ich kann mir nicht vorstellen, dass das Einrollen einer Ebene
den R4 "unterbricht" (disconnects it).
Es ist natürlich (für mich) unmöglich, sich vorzustellen, wie
das Torus-Schlauchinnere mit dem R4 verbunden ist - das macht
auch diese Frage so allgemein interessant für (mich) Laien...
Marc Olschok
Feb 21, 2023, 12:19:52 PM2/21/23
to
On Tue, 21 Feb 2023 12:42:00 Ralf Goertz wrote:
> Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade ein wenig mit algebraischer Topologie, die
> ich immer für notorisch schwer gehalten und deshalb bisher eher
> ignoriert habe. Es gibt eine recht anschauliche einführende Vorlesung
> auf youtube von Norman Wildberger (der übrigens ebenfalls Probleme mit
> Mengenlehre, Unendlichkeit und den reellen Zahlen hat, wie ein gewisser
> Akteur hier, der dies aber auf eine wesentlich angenehmere,
> bescheidenere und kompetentere Art und Weise als jener vertritt).
> Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
> Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
> unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
> Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
> erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften. Nun ist es
> aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
> des ℝ³ schlängelt" (das innere des Schlauchs), während die Schleife b um
> das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von ℝ³ verbunden und
> deshalb nicht beschränkt ist. Ist das nicht ein Widerspruch? Oder darf
> ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
> nicht betrachten?[...]
> Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade ein wenig mit algebraischer Topologie, die
> ich immer für notorisch schwer gehalten und deshalb bisher eher
> ignoriert habe. Es gibt eine recht anschauliche einführende Vorlesung
> auf youtube von Norman Wildberger (der übrigens ebenfalls Probleme mit
> Mengenlehre, Unendlichkeit und den reellen Zahlen hat, wie ein gewisser
> Akteur hier, der dies aber auf eine wesentlich angenehmere,
> bescheidenere und kompetentere Art und Weise als jener vertritt).
> Jedenfalls frage ich mich folgendes. Der Torus T wird als kartesisches
> Produkt zweier Kreise interpretiert, die im Prinzip ja nicht
> unterscheidbar sind, von daher gehe ich davon aus, dass die beiden
> Schleifen a und b, die die (abelsche) Fundamentalgruppe des Torus
> erzeugen, eigentlich auch nicht unterscheidbar sein dürften. Nun ist es
> aber so, dass die eine Schleife a sich „um eine beschränkte Teilmenge
> des ℝ³ schlängelt" (das innere des Schlauchs), während die Schleife b um
> das „Loch“ führt, das an sich ja mit dem Rest von ℝ³ verbunden und
> deshalb nicht beschränkt ist. Ist das nicht ein Widerspruch? Oder darf
> ich die Eigenschaften des Raums, in dem die Fläche eingebettet ist,
Es ist zwar so, dass R^3\T aus einem beschränkten und einem unbeschränkten
Gebiet besteht, aber letztlich beranden beide Schleifen auch das
unbeschränkte Gebiet. Anschaulich formuliert, wenn Du mit a reist und
beide Arme senkrecht zum Torus ausstreckst, ist ein Arm im beschränkten
Gebiet und der andere Arm im unbeschränkten Gebiet. Aber das gilt auch,
wenn Du mit b reist, weil die entsprechende Kreislinie ebenfalls auf T liegt.
v.G.
--
M.O.
Tom Bola
Feb 21, 2023, 12:57:52 PM2/21/23
to
Marc Olschok schrieb:
> On Tue, 21 Feb 2023 12:42:00 Ralf Goertz wrote:
>> nicht betrachten?[...]
>
> Es ist zwar so, dass R^3\T aus
Da ist doch aber vom Einbettungsraum R^4\T die Rede...
>> nicht betrachten?[...]
>
> Es ist zwar so, dass R^3\T aus
Alfred Flaßhaar
Feb 21, 2023, 12:59:10 PM2/21/23
to
Am 21.02.2023 um 18:34 schrieb Stefan Ram:
> dann müßte man diese Einbettung explizit angeben. Wenn ich
> einen Torus als kartesisches Produkte zweier topologischer
> Räume mit der Produkttopologie konstruiere, ist zunächst
> keine Einbettung gegeben. (Anschaulich ist uns natürlich
> allen klar, wie man einen Torus in den R³ einbettet, aber
> jemand könnte ihn ja auch in einen anderen Raum einbetten.)
>
> Die Frage der Eindeutigkeit der beiden Faktoren kann man
> bereites ohne eine Topologie rein mengentheoretisch betrachten.
> Zur Vereinfachung wähle ich als Faktoren sogar die einfache Menge
> M={1}. Das kartesische Produkt M×M ist {(1,1)}. Natürlich ist 1=1,
> aber die eine 1 steht im Paar links und die andere rechts.
> Das Paar hat also wirklich /zwei/ Komponenten (die beide
> gleich 1 sind) und nicht etwa nur eine Komponente, auch wenn
> der Wert der ersten Komponente gleich dem Wert der zweiten
> Komponente ist.
>
Ein früher beliebtes Buch zu diesen Themen war:
Pontrjagin, Topological Groups
Die Produktbildung wird darin allerdings als topologisches Produkt
bezeichnet. Übungsaufgaben waren dann z. B.: Produkt von Kreis und
Gerade, von Gerade und Punkt, ...
> nob...@nowhere.invalid (Marc Olschok) writes:
>> Es ist zwar so, dass R^3\T aus einem beschränkten und einem unbeschränkten
>> Gebiet besteht, aber letztlich beranden beide Schleifen auch das
>> unbeschränkte Gebiet.
>
> Man kann topologische Räume eingebettet betrachten, aber
>> Es ist zwar so, dass R^3\T aus einem beschränkten und einem unbeschränkten
>> Gebiet besteht, aber letztlich beranden beide Schleifen auch das
>> unbeschränkte Gebiet.
>
> dann müßte man diese Einbettung explizit angeben. Wenn ich
> einen Torus als kartesisches Produkte zweier topologischer
> Räume mit der Produkttopologie konstruiere, ist zunächst
> keine Einbettung gegeben. (Anschaulich ist uns natürlich
> allen klar, wie man einen Torus in den R³ einbettet, aber
> jemand könnte ihn ja auch in einen anderen Raum einbetten.)
>
> Die Frage der Eindeutigkeit der beiden Faktoren kann man
> bereites ohne eine Topologie rein mengentheoretisch betrachten.
> Zur Vereinfachung wähle ich als Faktoren sogar die einfache Menge
> M={1}. Das kartesische Produkt M×M ist {(1,1)}. Natürlich ist 1=1,
> aber die eine 1 steht im Paar links und die andere rechts.
> Das Paar hat also wirklich /zwei/ Komponenten (die beide
> gleich 1 sind) und nicht etwa nur eine Komponente, auch wenn
> der Wert der ersten Komponente gleich dem Wert der zweiten
> Komponente ist.
>
Ein früher beliebtes Buch zu diesen Themen war:
Pontrjagin, Topological Groups
Die Produktbildung wird darin allerdings als topologisches Produkt
bezeichnet. Übungsaufgaben waren dann z. B.: Produkt von Kreis und
Gerade, von Gerade und Punkt, ...
Tom Bola
Feb 21, 2023, 1:03:50 PM2/21/23
to
Stefan Ram schrieb:
> (Anschaulich ist uns natürlich
> allen klar, wie man einen Torus in den R³ einbettet, aber
> jemand könnte ihn ja auch in einen anderen Raum einbetten.)
Die Frage des OP ist, ob man bei Einbettung des Torus in den R^4 eine
Verbindung in das Innere des Torusschlauches hat oder nicht und warum.
Bei Einbettung in den R^3 hat man das natürlich nicht.
> (Anschaulich ist uns natürlich
> allen klar, wie man einen Torus in den R³ einbettet, aber
> jemand könnte ihn ja auch in einen anderen Raum einbetten.)
Verbindung in das Innere des Torusschlauches hat oder nicht und warum.
Bei Einbettung in den R^3 hat man das natürlich nicht.
Martin Vaeth
Feb 21, 2023, 7:37:31 PM2/21/23
to
Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:
> Der Torus T wird als kartesisches Produkt zweier Kreise interpretiert.
Ja. Der Standard-Torus ist homöomorph zu S¹ x S¹.
Das hat aber mit algebraischer Toplogie noch gar nichts zu
tun, sondern ist ganz "normale" Topologie.
Der Torus "ist" also S¹ x S¹, weil man in der Topolgie
homöomorphe Räume nicht unterscheidet.
> Nun ist es aber so, dass die eine Schleife a sich
> um eine beschränkte Teilmenge des ℝ³ schlängelt
> [...] Ist das nicht ein Widerspruch
Nein. In einem Fall geht es um den Torus, im anderen
Fall um eine Eigenschaft einer bestimmten Einbettung
des Torus in den ℝ³. Das eine hat erst mal mit dem
anderen nichts zu tun. Die Frage, welche Einbettungen
eines topologischen Raums es in einen anderen
topologischen Raum gibt, ist spannend, aber etwas
ganz anderes als nur die Betrachtung eines topologischen
Raums allein.
Und natürlich kannst Du wählen, welche der beiden
Kreiskopien Du auf die Kreiskopien im eingebetteten
Torus abbildets - insofern sind die Kreise natürlich
gleichberechtigt.
> Ich schätze, dass ℝ⁴\T zusammenhängend ist
Ohne Angabe der Einbettung ist die Frage nicht wohlgestellt.
Wenn Du die kanonische Einbettung T = M x {0} mit einem
Torus M in ℝ³ meinst, ist die Antwort natürlich positiv:
Allgemein kann man den Wegzusammenhang in diesem Fall sogar
für jede echte Teilmenge M des ℝ³ leicht nachrechnen.
Meiner Intuition nach ist ℝ⁴\T für jeden Raum T der
topologischen Dimension höchstens 2 zusammenhängend, also
insbesondere für jede Einbettung des Torus, aber es ist
auch möglich, dass ich mich täusche und man dazu etwas
mehr voraussetzen muss; eine C¹-glatte Einbettung sollte
in jedem Fall genügen.
> Der Torus T wird als kartesisches Produkt zweier Kreise interpretiert.
Ja. Der Standard-Torus ist homöomorph zu S¹ x S¹.
Das hat aber mit algebraischer Toplogie noch gar nichts zu
tun, sondern ist ganz "normale" Topologie.
Der Torus "ist" also S¹ x S¹, weil man in der Topolgie
homöomorphe Räume nicht unterscheidet.
> Nun ist es aber so, dass die eine Schleife a sich
> um eine beschränkte Teilmenge des ℝ³ schlängelt
Nein. In einem Fall geht es um den Torus, im anderen
Fall um eine Eigenschaft einer bestimmten Einbettung
des Torus in den ℝ³. Das eine hat erst mal mit dem
anderen nichts zu tun. Die Frage, welche Einbettungen
eines topologischen Raums es in einen anderen
topologischen Raum gibt, ist spannend, aber etwas
ganz anderes als nur die Betrachtung eines topologischen
Raums allein.
Und natürlich kannst Du wählen, welche der beiden
Kreiskopien Du auf die Kreiskopien im eingebetteten
Torus abbildets - insofern sind die Kreise natürlich
gleichberechtigt.
> Ich schätze, dass ℝ⁴\T zusammenhängend ist
Wenn Du die kanonische Einbettung T = M x {0} mit einem
Torus M in ℝ³ meinst, ist die Antwort natürlich positiv:
Allgemein kann man den Wegzusammenhang in diesem Fall sogar
für jede echte Teilmenge M des ℝ³ leicht nachrechnen.
Meiner Intuition nach ist ℝ⁴\T für jeden Raum T der
topologischen Dimension höchstens 2 zusammenhängend, also
insbesondere für jede Einbettung des Torus, aber es ist
auch möglich, dass ich mich täusche und man dazu etwas
mehr voraussetzen muss; eine C¹-glatte Einbettung sollte
in jedem Fall genügen.
Ralf Goertz
Feb 22, 2023, 4:18:19 AM2/22/23
to
Am Tue, 21 Feb 2023 17:19:50 -0000 (UTC)
schrieb nob...@nowhere.invalid (Marc Olschok):
Ah, das leuchtet ein, danke!
schrieb nob...@nowhere.invalid (Marc Olschok):
Ralf Goertz
Feb 22, 2023, 4:46:10 AM2/22/23
to
Am 22 Feb 2023 00:37:28 GMT
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
> Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:
> > Der Torus T wird als kartesisches Produkt zweier Kreise
> > interpretiert.
>
> Ja. Der Standard-Torus ist homöomorph zu S¹ x S¹.
> Das hat aber mit algebraischer Toplogie noch gar nichts zu
> tun, sondern ist ganz "normale" Topologie.
> Der Torus "ist" also S¹ x S¹, weil man in der Topolgie
> homöomorphe Räume nicht unterscheidet.
>
> > Nun ist es aber so, dass die eine Schleife a sich
> > um eine beschränkte Teilmenge des ℝ³ schlängelt
> > [...] Ist das nicht ein Widerspruch
>
> Nein. In einem Fall geht es um den Torus, im anderen
> Fall um eine Eigenschaft einer bestimmten Einbettung
> des Torus in den ℝ³. Das eine hat erst mal mit dem anderen nichts zu
> tun.
Okay, wie ich mir schon gedacht hatte.
> Die Frage, welche Einbettungen eines topologischen Raums es in einen
> anderen topologischen Raum gibt, ist spannend, aber etwas ganz anderes
> als nur die Betrachtung eines topologischen Raums allein. Und
> natürlich kannst Du wählen, welche der beiden Kreiskopien Du auf die
> Kreiskopien im eingebetteten Torus abbildets - insofern sind die
> Kreise natürlich gleichberechtigt.
>
> > Ich schätze, dass ℝ⁴\T zusammenhängend ist
>
> Ohne Angabe der Einbettung ist die Frage nicht wohlgestellt.
> Wenn Du die kanonische Einbettung T = M x {0} mit einem
> Torus M in ℝ³ meinst, ist die Antwort natürlich positiv:
> Allgemein kann man den Wegzusammenhang in diesem Fall sogar für jede
> echte Teilmenge M des ℝ³ leicht nachrechnen. Meiner Intuition nach ist
> ℝ⁴\T für jeden Raum T der topologischen Dimension höchstens 2
> zusammenhängend, also insbesondere für jede Einbettung des Torus, aber
> es ist auch möglich, dass ich mich täusche und man dazu etwas mehr
> voraussetzen muss; eine C¹-glatte Einbettung sollte in jedem Fall
> genügen.
Das wäre dann analog zu Kurven im ℝ³ oder? Da liegen ja auch zwei
Dimensionen dazwischen und wenn man C¹-Einbettung voraussetzt, können
diese Kurven nicht flächenfüllend sein und daher keine Teilmengen des ℝ³
separieren. Ginge das mit C⁰, also können Kurven unbeschränkte Flächen
füllen? Ich denke nein, denn ℝ² ist offen und eine Kurve hat [0,1] als
Urbild, was nicht offen ist. Andererseits muss die Fläche ja nicht offen
sein um zu separieren. Das heißt, eine S² füllende Kurve würde reichen,
ich meine aber im Beweis der Trivialität der Fundamentalgruppe von S²
gesehen zu haben, dass es solche Schleifen nicht gibt.
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
> Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:
> > Der Torus T wird als kartesisches Produkt zweier Kreise
> > interpretiert.
>
> Ja. Der Standard-Torus ist homöomorph zu S¹ x S¹.
> Das hat aber mit algebraischer Toplogie noch gar nichts zu
> tun, sondern ist ganz "normale" Topologie.
> Der Torus "ist" also S¹ x S¹, weil man in der Topolgie
> homöomorphe Räume nicht unterscheidet.
>
> > Nun ist es aber so, dass die eine Schleife a sich
> > um eine beschränkte Teilmenge des ℝ³ schlängelt
> > [...] Ist das nicht ein Widerspruch
>
> Nein. In einem Fall geht es um den Torus, im anderen
> Fall um eine Eigenschaft einer bestimmten Einbettung
> des Torus in den ℝ³. Das eine hat erst mal mit dem anderen nichts zu
> tun.
> Die Frage, welche Einbettungen eines topologischen Raums es in einen
> anderen topologischen Raum gibt, ist spannend, aber etwas ganz anderes
> als nur die Betrachtung eines topologischen Raums allein. Und
> natürlich kannst Du wählen, welche der beiden Kreiskopien Du auf die
> Kreiskopien im eingebetteten Torus abbildets - insofern sind die
> Kreise natürlich gleichberechtigt.
>
> > Ich schätze, dass ℝ⁴\T zusammenhängend ist
>
> Ohne Angabe der Einbettung ist die Frage nicht wohlgestellt.
> Wenn Du die kanonische Einbettung T = M x {0} mit einem
> Torus M in ℝ³ meinst, ist die Antwort natürlich positiv:
> Allgemein kann man den Wegzusammenhang in diesem Fall sogar für jede
> echte Teilmenge M des ℝ³ leicht nachrechnen. Meiner Intuition nach ist
> ℝ⁴\T für jeden Raum T der topologischen Dimension höchstens 2
> zusammenhängend, also insbesondere für jede Einbettung des Torus, aber
> es ist auch möglich, dass ich mich täusche und man dazu etwas mehr
> voraussetzen muss; eine C¹-glatte Einbettung sollte in jedem Fall
> genügen.
Dimensionen dazwischen und wenn man C¹-Einbettung voraussetzt, können
diese Kurven nicht flächenfüllend sein und daher keine Teilmengen des ℝ³
separieren. Ginge das mit C⁰, also können Kurven unbeschränkte Flächen
füllen? Ich denke nein, denn ℝ² ist offen und eine Kurve hat [0,1] als
Urbild, was nicht offen ist. Andererseits muss die Fläche ja nicht offen
sein um zu separieren. Das heißt, eine S² füllende Kurve würde reichen,
ich meine aber im Beweis der Trivialität der Fundamentalgruppe von S²
gesehen zu haben, dass es solche Schleifen nicht gibt.
Martin Vaeth
Feb 22, 2023, 10:12:38 PM2/22/23
to
Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:
flächenfüllend zu sein.
Aber Du hast es intuitiv genau erfasst: Um im ℝ^n ein beschränktes
Gebiet umschließen zu können, braucht man einen (n-1)-dimensionalen
Rand. Das ist "fast" die Definition der topologischen
(großen induktiven) Dimension. Deswegen eben meine Intuition, dass
das mit Mengen der topologischen Dimension n-2 nicht geht. Aber
die exakte Definition der induktiven Dimension ist schwierig,
und der Satz, dass der ℝ^n die topologische Dimension n hat,
ist wirklich tief. Die Intuition kann da leicht daneben liegen.
> Ginge das mit C⁰, also können Kurven unbeschränkte Flächen füllen?
Nein, aber das ist ebenfalls ein tiefer Satz:
Wenn Du *Überschneidungen* in den Kurven erlaubst, *können* C⁰ Kurven
Flächen füllen, sogar den ℝ^n und sogar unendlichdimensionale Räume.
Für *injektive* stetige Abbildungen gilt aber der Satz der
Dimensionstreue, d.h. das Bild hat die selbe topologische
Dimension wie der Definitionsbereich (zumindest für "genügend
gutartige" Definitionsbereiche).
Für injektive C¹-Abbildungen ist der Satz von der Dimenstreue
viel einfacher zu beweisen, weil man da den Satz über die
inverse/implizite Funktion hat, der sich (verhältnismäßig)
elementar beweisen lässt (einfach die Abbildung als
"Störung" der Linearisierung auffassen und Banachschen
Fixpunktsatz anwenden).
>
> Das wäre dann analog zu Kurven im ℝ³ oder? Da liegen ja auch zwei
> Dimensionen dazwischen und wenn man C¹-Einbettung voraussetzt, können
> diese Kurven nicht flächenfüllend sein und daher keine Teilmengen des ℝ³
> separieren.
Das sind zwei verschiedene Dinge: Separieren ist etwas weniger als
> Das wäre dann analog zu Kurven im ℝ³ oder? Da liegen ja auch zwei
> Dimensionen dazwischen und wenn man C¹-Einbettung voraussetzt, können
> diese Kurven nicht flächenfüllend sein und daher keine Teilmengen des ℝ³
> separieren.
flächenfüllend zu sein.
Aber Du hast es intuitiv genau erfasst: Um im ℝ^n ein beschränktes
Gebiet umschließen zu können, braucht man einen (n-1)-dimensionalen
Rand. Das ist "fast" die Definition der topologischen
(großen induktiven) Dimension. Deswegen eben meine Intuition, dass
das mit Mengen der topologischen Dimension n-2 nicht geht. Aber
die exakte Definition der induktiven Dimension ist schwierig,
und der Satz, dass der ℝ^n die topologische Dimension n hat,
ist wirklich tief. Die Intuition kann da leicht daneben liegen.
> Ginge das mit C⁰, also können Kurven unbeschränkte Flächen füllen?
Wenn Du *Überschneidungen* in den Kurven erlaubst, *können* C⁰ Kurven
Flächen füllen, sogar den ℝ^n und sogar unendlichdimensionale Räume.
Für *injektive* stetige Abbildungen gilt aber der Satz der
Dimensionstreue, d.h. das Bild hat die selbe topologische
Dimension wie der Definitionsbereich (zumindest für "genügend
gutartige" Definitionsbereiche).
Für injektive C¹-Abbildungen ist der Satz von der Dimenstreue
viel einfacher zu beweisen, weil man da den Satz über die
inverse/implizite Funktion hat, der sich (verhältnismäßig)
elementar beweisen lässt (einfach die Abbildung als
"Störung" der Linearisierung auffassen und Banachschen
Fixpunktsatz anwenden).
Ralf Goertz
Feb 23, 2023, 4:03:11 AM2/23/23
to
Am 23 Feb 2023 03:12:34 GMT
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
…
Danke für die wie immer hochinteressanten Ausführungen, die auch meinen
Eindruck von Schwierigkeit des Themas bestätigen!
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
…
Danke für die wie immer hochinteressanten Ausführungen, die auch meinen
Eindruck von Schwierigkeit des Themas bestätigen!
Tom Bola
Feb 23, 2023, 6:49:13 AM2/23/23
to
Ralf Goertz schrieb:
Ist denn die Frage, ob zum Innerren des "Schlauches" eines in
den R^4 eingebetteten Torus eine Verbindung zu dessen Äußeren
über die 4.Dimension existiert, nun beantwortet worden? Wie?
den R^4 eingebetteten Torus eine Verbindung zu dessen Äußeren
über die 4.Dimension existiert, nun beantwortet worden? Wie?
Ralf Goertz
Feb 23, 2023, 7:08:57 AM2/23/23
to
Am Thu, 23 Feb 2023 12:49:10 +0100
schrieb Tom Bola <T...@bolamail.etc>:
Für mich ja. Siehe Martins Antwort (It depends…) auf mein OP fünf Knoten
oberhald dieses Posts.
schrieb Tom Bola <T...@bolamail.etc>:
oberhald dieses Posts.
Tom Bola
Feb 23, 2023, 11:58:16 AM2/23/23
to
Ralf Goertz schrieb:
Wovon hängt es ab, ob es einen (endlich langen) Weg vom Inneren
eines (S^1 x S^1)-Torus im R^4 zu seiner Aussenseite gibt?
eines (S^1 x S^1)-Torus im R^4 zu seiner Aussenseite gibt?
Martin Vaeth
Feb 23, 2023, 9:04:42 PM2/23/23
to
Tom Bola <T...@bolamail.etc> schrieb:
wenn mein vermuteter Satz aber richtig ist, auch davon nicht.
Um es nochmals klarer zu formulieren:
Vermutung: Jede Menge der topologischen (großen induktiven)
Dimension maximal n-2 hat im R^n ein zusammenhängendes
Komplement.
("große induktive" steht in Klammern, weil für separable
metrische Räume alle Definitionen der topologischen
Definitin äquivalent sind. Aber aus der Definition der
großen induktiven Definition kann man es vielleicht a
einfachsten folgern.)
Der Beweis der Vermutung - oder wahrscheinlich einer viel
allgemeineren Aussage, wenn man diese als solche erkennt -
findet sich vermutlich in klassischen Büchern über
Dimensionstheorie. (In Hurewicz/Wallmann würde ich als
erstes suchen, danach in Engelking oder Nagata.)
Insbesondere hat jede 2-dimensionale C^0-Untermannigfaltigkeit
des R^4 die topologische Dimension 2 und nach der Vermutung
somit kein Inneres.
Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
>>
>> Für mich ja. Siehe Martins Antwort (It depends…) auf mein OP fünf Knoten
>> oberhald dieses Posts.
>
> Wovon hängt es ab, ob es einen (endlich langen) Weg vom Inneren
> eines (S^1 x S^1)-Torus im R^4 zu seiner Aussenseite gibt?
Möglicherweise von der Einbettung oder ihrer Glattheit,
>> Für mich ja. Siehe Martins Antwort (It depends…) auf mein OP fünf Knoten
>> oberhald dieses Posts.
>
> Wovon hängt es ab, ob es einen (endlich langen) Weg vom Inneren
> eines (S^1 x S^1)-Torus im R^4 zu seiner Aussenseite gibt?
wenn mein vermuteter Satz aber richtig ist, auch davon nicht.
Um es nochmals klarer zu formulieren:
Vermutung: Jede Menge der topologischen (großen induktiven)
Dimension maximal n-2 hat im R^n ein zusammenhängendes
Komplement.
("große induktive" steht in Klammern, weil für separable
metrische Räume alle Definitionen der topologischen
Definitin äquivalent sind. Aber aus der Definition der
großen induktiven Definition kann man es vielleicht a
einfachsten folgern.)
Der Beweis der Vermutung - oder wahrscheinlich einer viel
allgemeineren Aussage, wenn man diese als solche erkennt -
findet sich vermutlich in klassischen Büchern über
Dimensionstheorie. (In Hurewicz/Wallmann würde ich als
erstes suchen, danach in Engelking oder Nagata.)
Insbesondere hat jede 2-dimensionale C^0-Untermannigfaltigkeit
des R^4 die topologische Dimension 2 und nach der Vermutung
somit kein Inneres.
Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
Martin Vaeth
Feb 23, 2023, 9:24:03 PM2/23/23
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
die Verallgemeinerung des Satzes von Schönfließ,
der den Jordanschen Kurvensatz verallgemeinert:
Der Satz von Schönfließ besagt, dass eine Jordankurve
den R^2 immer in zwei Gebiete unterteilt, die beide
homöomorph sind zu R^2.
Anders formuliert: Die Einbettung eines Kreisrands ist
stets der Rand der Einbettung ein Vollkreises.
Die entsprechende Aussage im R^3 über die Einbettung
einer Sphäre ist falsch! Das berühmte Gegenbeispiel
ist "Alexanders gehörnte Sphäre" (deren Komplement
nicht einfach zusammenhängend ist).
Für *glatte* Einbettungen ist der Satz aber wiederum
in einigen Dimensionen bekannt (zumindest im R^3,
aber möglicherweise sogar schon in allen Dimensionen
außer für die S^4, also den R^5).
In den verbliebenen Dimensionen ist es jedenfalls ein
bekanntes offenes Problem, das als extrem schwierig gilt.
> Die Intuition kann da leicht daneben liegen.
Ein Beispiel für ein sehr verwandtes offenes Problem ist
die Verallgemeinerung des Satzes von Schönfließ,
der den Jordanschen Kurvensatz verallgemeinert:
Der Satz von Schönfließ besagt, dass eine Jordankurve
den R^2 immer in zwei Gebiete unterteilt, die beide
homöomorph sind zu R^2.
Anders formuliert: Die Einbettung eines Kreisrands ist
stets der Rand der Einbettung ein Vollkreises.
Die entsprechende Aussage im R^3 über die Einbettung
einer Sphäre ist falsch! Das berühmte Gegenbeispiel
ist "Alexanders gehörnte Sphäre" (deren Komplement
nicht einfach zusammenhängend ist).
Für *glatte* Einbettungen ist der Satz aber wiederum
in einigen Dimensionen bekannt (zumindest im R^3,
aber möglicherweise sogar schon in allen Dimensionen
außer für die S^4, also den R^5).
In den verbliebenen Dimensionen ist es jedenfalls ein
bekanntes offenes Problem, das als extrem schwierig gilt.
Rainer Rosenthal
Feb 24, 2023, 4:34:22 AM2/24/23
to
Am 24.02.2023 um 03:04 schrieb Martin Vaeth:
> Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
> dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
> C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
Ich wette dagegen.
> Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
> dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
> C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
Nicht aus Überzeugung, sondern aus Neugier :-)
Wetteinsatz: ein Bier, wahlweise eine Tafel Schokolade.
Gruß,
Rainer R.
Tom Bola
Feb 24, 2023, 9:37:03 AM2/24/23
to
Martin Vaeth schrieb:
Besten Dank!
Tom Bola
Feb 24, 2023, 9:37:47 AM2/24/23
to
Martin Vaeth schrieb:
Grosses Danke nochmal!
Martin Vaeth
Feb 25, 2023, 1:04:43 AM2/25/23
to
im Moment kann ich das allerdings aus Zeitgründen nicht.
Was tun wir aber, aber bereits die Vermutung bekannt ist
(was ich ehrlich gesagt für sehr wahrscheinlich halte)?
Sagen wir fairerweise, dass dann die Wette unentschieden
ist (obwohl man spitzfindig behaupten könnte, dass der
Sachverhalt dann natürlich auch wohlbekannt ist).
Martin Vaeth
Feb 25, 2023, 1:41:50 AM2/25/23
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
Für abgeschlossene Teilmengen und die Hausdorff-Dimension
ist die Vermutung richtig:
https://math.stackexchange.com/questions/2730111/
can-a-set-of-hausdorff-codimension-2-disconnect-a-connected-open-set
(n-2)-dimensionale C^1-Untermannigaltigkeiten haben
natürlich die Hausdorff-Dimension n-2.
Wenn wir nun einen Satz finden, dass die
Hausdorff-Dimension nicht um 1 größer sein kann,
als die topologische Dimension, wäre aber auch
die ursprüngliche Vermutung bewiesen (zumindest
für abgeschlossene Mengen).
Ich denke aber immer noch, dass es sich auch
für nicht abgeschlossene Mengen (der
topologischen Dimension <=n-2) zeigen lassen sollte.
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
>> Am 24.02.2023 um 03:04 schrieb Martin Vaeth:
>>> Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
>>> dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
>>> C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
>>
>> Ich wette dagegen.
>> Nicht aus Überzeugung, sondern aus Neugier :-)
>>
>> Wetteinsatz: ein Bier, wahlweise eine Tafel Schokolade.
>
>> Am 24.02.2023 um 03:04 schrieb Martin Vaeth:
>>> Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
>>> dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
>>> C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
>>
>> Ich wette dagegen.
>> Nicht aus Überzeugung, sondern aus Neugier :-)
>>
>> Wetteinsatz: ein Bier, wahlweise eine Tafel Schokolade.
>
> Was tun wir aber, aber bereits die Vermutung bekannt ist
> [...]
> Sagen wir fairerweise, dass dann die Wette unentschieden
> ist
Entweder ist es unentschieden, oder ich habe gewonnen!
> ist
Für abgeschlossene Teilmengen und die Hausdorff-Dimension
ist die Vermutung richtig:
https://math.stackexchange.com/questions/2730111/
can-a-set-of-hausdorff-codimension-2-disconnect-a-connected-open-set
(n-2)-dimensionale C^1-Untermannigaltigkeiten haben
natürlich die Hausdorff-Dimension n-2.
Wenn wir nun einen Satz finden, dass die
Hausdorff-Dimension nicht um 1 größer sein kann,
als die topologische Dimension, wäre aber auch
die ursprüngliche Vermutung bewiesen (zumindest
für abgeschlossene Mengen).
Ich denke aber immer noch, dass es sich auch
für nicht abgeschlossene Mengen (der
topologischen Dimension <=n-2) zeigen lassen sollte.
Martin Vaeth
Feb 25, 2023, 1:47:10 AM2/25/23
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> wrote:
> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
>> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
>>> Am 24.02.2023 um 03:04 schrieb Martin Vaeth:
>>>> Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
>>>> dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
>>>> C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
>>>
>>> Ich wette dagegen.
>>> Nicht aus Überzeugung, sondern aus Neugier :-)
>>>
>>> Wetteinsatz: ein Bier, wahlweise eine Tafel Schokolade.
>>
>> Was tun wir aber, aber bereits die Vermutung bekannt ist
>> [...]
>> Sagen wir fairerweise, dass dann die Wette unentschieden
>> ist
>
> Entweder ist es unentschieden, oder ich habe gewonnen!
> Für abgeschlossene Teilmengen und die Hausdorff-Dimension
> ist die Vermutung richtig:
> https://math.stackexchange.com/questions/2730111/
> can-a-set-of-hausdorff-codimension-2-disconnect-a-connected-open-set
Zu früh gepostet: In der zweiten Antwort wird die Vermutung
> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
>> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
>>> Am 24.02.2023 um 03:04 schrieb Martin Vaeth:
>>>> Falls die Vermutung falsch sein sollte, möchte ich wetten,
>>>> dass sie zumindest für kompakte (n-2)-dimensionale
>>>> C^1-Untermannigfaltigkeiten des R^n bekannt ist...
>>>
>>> Ich wette dagegen.
>>> Nicht aus Überzeugung, sondern aus Neugier :-)
>>>
>>> Wetteinsatz: ein Bier, wahlweise eine Tafel Schokolade.
>>
>> Was tun wir aber, aber bereits die Vermutung bekannt ist
>> [...]
>> Sagen wir fairerweise, dass dann die Wette unentschieden
>> ist
>
> Entweder ist es unentschieden, oder ich habe gewonnen!
> Für abgeschlossene Teilmengen und die Hausdorff-Dimension
> ist die Vermutung richtig:
> https://math.stackexchange.com/questions/2730111/
> can-a-set-of-hausdorff-codimension-2-disconnect-a-connected-open-set
für die topologischen Dimension bewiesen (wenn auch nur für
den kompakten Fall).
Also unentschieden....
Martin Vaeth
Feb 25, 2023, 2:21:30 AM2/25/23
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
bekannt unter dem Namen "Mazurkiewicz's Theorem" und zu
finden als Satz 1.8.19 in R. Engelking "Dimension Theory":
Sei G ein Gebiet im R^n (also offen und zusammenhängend),
und M eine Teilmenge der induktiven Dimension höchstens
n-2. Dann ist G\M sogar "kontinuums"-zusammenhängend,
d.h. je zwei Punkte liegen in einer zusammenhängenden
kompakten Teilmenge von G\M.
>
> Vermutung: Jede Menge der topologischen (großen induktiven)
> Dimension maximal n-2 hat im R^n ein zusammenhängendes
> Komplement.
Die Vermutung ist richtig; eine Verallgemeinerung ist
> Vermutung: Jede Menge der topologischen (großen induktiven)
> Dimension maximal n-2 hat im R^n ein zusammenhängendes
> Komplement.
bekannt unter dem Namen "Mazurkiewicz's Theorem" und zu
finden als Satz 1.8.19 in R. Engelking "Dimension Theory":
Sei G ein Gebiet im R^n (also offen und zusammenhängend),
und M eine Teilmenge der induktiven Dimension höchstens
n-2. Dann ist G\M sogar "kontinuums"-zusammenhängend,
d.h. je zwei Punkte liegen in einer zusammenhängenden
kompakten Teilmenge von G\M.
Rainer Rosenthal
Feb 25, 2023, 11:24:17 AM2/25/23
to
Gruß,
Rainer
Tom Bola
Feb 25, 2023, 1:00:00 PM2/25/23
to
Martin Vaeth schrieb:
Und das enspricht *genau* der Erwartung, die man (oder jemand)
von der Welt ("Realität") hat und (auch) das hört man daher sehr
gern, wenigstens für den allgemeinsten Fall ;)
von der Welt ("Realität") hat und (auch) das hört man daher sehr
gern, wenigstens für den allgemeinsten Fall ;)
Martin Vaeth
Feb 25, 2023, 11:28:19 PM2/25/23
to
Tom Bola <T...@bolamail.etc> schrieb:
Ja. Wenngleich auch klar ist, dass diese Erwartung nicht
vollkommen trivial ist, weil Mengen eben sehr kompliziert
sein können, und der Begriff der topologischen Dimension
für alle Mengen definiert sein muss, auch für die wildesten
Fraktale. Wenn man ein bisschen mehr voraussetzt
(Abgeschlossenheit von M) wird der Beweis, dass G\M
zusammenhängend ist (und damit wegzusammenhängend, da
trivialerweise lokal wegzusammenhängend), schon sehr viel
einfacher: Der steht im Buch von Engelking etwas weiter
vorne und ist sehr viel elementarer.
vollkommen trivial ist, weil Mengen eben sehr kompliziert
sein können, und der Begriff der topologischen Dimension
für alle Mengen definiert sein muss, auch für die wildesten
Fraktale. Wenn man ein bisschen mehr voraussetzt
(Abgeschlossenheit von M) wird der Beweis, dass G\M
zusammenhängend ist (und damit wegzusammenhängend, da
trivialerweise lokal wegzusammenhängend), schon sehr viel
einfacher: Der steht im Buch von Engelking etwas weiter
vorne und ist sehr viel elementarer.
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