Waermeleitungsgleichung in einer Dimension

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Carla Schneider

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Jul 4, 2021, 7:19:15 AMJul 4
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Kann man im Web an vielen Stellen und mit verschiedenen Beispielen finden.
Leider finde ich das hier nicht:

Man hat einen unendlich langen waermeisolierten Stab der ueberall konstant auf Temperatur T1>T0 ist.
Der wird zur Zeit t=0 mit einem Waermebad hier z.B. eine Mischung aus Wasser und Eis
bei der immer konstanten Temperatur T0 verbunden.

Gesucht ist die Zeit-Funktion die den Waermefluss vom Stab ins Waermebad
bestimmt, der Asymptotische Abfall fuer t->unendlich waere auch recht wenn man die Funktion
nicht angeben kann.

Alfred Flaßhaar

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Jul 4, 2021, 8:17:04 AMJul 4
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Die Wärmeisolierung wird beim Eintauchen in die Kälte entfernt? Der Stab
wird vollständig ins Kältemittel eingetaucht? Abkühlung erfolgt ohne
Einfluß auf das Kältebad bzw. seine Erwärmung? Wenn Letzteres nicht
gilt, dann wird das Problem ein ebenes (Stabquerschnitt mit
Kühlmittelumgebung).

Eine Lösung des eindim. Falls wird in

Smirnow, Lehrgang der Höheren Mathematik, Teil II, S. 546-553,

vorgerechnet. Du mußt nur noch Anfangs- und Randbedingungen anpassen.

Gruß, Alfred Flaßhaar

Carla Schneider

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Jul 5, 2021, 4:18:41 AMJul 5
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Alfred Flaßhaar wrote:
>
> Am 04.07.2021 um 13:22 schrieb Carla Schneider:
> > Kann man im Web an vielen Stellen und mit verschiedenen Beispielen finden.
> > Leider finde ich das hier nicht:
> >
> > Man hat einen unendlich langen waermeisolierten Stab der ueberall konstant auf Temperatur T1>T0 ist.
> > Der wird zur Zeit t=0 mit einem Waermebad hier z.B. eine Mischung aus Wasser und Eis
> > bei der immer konstanten Temperatur T0 verbunden.
> >
> > Gesucht ist die Zeit-Funktion die den Waermefluss vom Stab ins Waermebad
> > bestimmt, der Asymptotische Abfall fuer t->unendlich waere auch recht wenn man die Funktion
> > nicht angeben kann.
> >
> Die Wärmeisolierung wird beim Eintauchen in die Kälte entfernt? Der Stab
> wird vollständig ins Kältemittel eingetaucht?

Gemeint war dass der Anfang des Stabes also die Stirnflaeche mit dem Waermebad
in Kontakt gebracht wird und der Rest des Stabs isoliert bleibt.


> Abkühlung erfolgt ohne
> Einfluß auf das Kältebad bzw. seine Erwärmung?

So soll es sein, die Temperatur am Anfang des Stabes wird konstant auf der
des Kaeltebades gehalten.
Das ganze soll ja ein eindimensionales Problem werden, Waermeleitung
im Stab nur in Stabrichtung betrachtet werden.

> Wenn Letzteres nicht
> gilt, dann wird das Problem ein ebenes (Stabquerschnitt mit
> Kühlmittelumgebung).
>
> Eine Lösung des eindim. Falls wird in
>
> Smirnow, Lehrgang der Höheren Mathematik, Teil II, S. 546-553,
>
> vorgerechnet. Du mußt nur noch Anfangs- und Randbedingungen anpassen.
Ab Seite 580 bei meiner Ausgabe. Sowas habe ich aber auch schon woanders gefunden.
Man kann damit das Problem loesen, aber muesste sich erst mal einarbeiten.
Ich hatte gehofft irgenwo eine fertige Loesung zu finden.

Alfred Flaßhaar

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Jul 5, 2021, 5:00:15 AMJul 5
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Am 05.07.2021 um 10:22 schrieb Carla Schneider:
> Alfred Flaßhaar wrote:
>>
>> Am 04.07.2021 um 13:22 schrieb Carla Schneider:

(...)
>
> So soll es sein, die Temperatur am Anfang des Stabes wird konstant auf der
> des Kaeltebades gehalten.
> Das ganze soll ja ein eindimensionales Problem werden, Waermeleitung
> im Stab nur in Stabrichtung betrachtet werden.

Es handelt es sich also um den einseitig begrenzten Stab. Der wird
ebenfalls im Smirnow (bei mir an S. 556) mit fertiger Lösung vorgerechnet.

Meine alten Übungsaufgaben dazu (part. DGL der theor. Physik) aus dem
Wintersemester 68-69 sind leider alle irgendwo hin verstreut worden. Ich
kann also auf die Schnelle nur im Bücherschrank Staub putzen.

Carla Schneider

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Jul 5, 2021, 6:16:44 AMJul 5
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Andreas Mattheiss wrote:
>
> Hallo Clara,
>
> Am Sun, 04 Jul 2021 13:22:42 +0200 schrieb Carla Schneider:
>
> > Kann man im Web an vielen Stellen und mit verschiedenen Beispielen finden.
> > Leider finde ich das hier nicht:
> >
> > Man hat einen unendlich langen waermeisolierten Stab der ueberall konstant
> > auf Temperatur T1>T0 ist. Der wird zur Zeit t=0 mit einem Waermebad hier
> > z.B. eine Mischung aus Wasser und Eis bei der immer konstanten Temperatur
> > T0 verbunden.
>
> der Schluesselbegriff ist hier "halbunendlicher Koerper" - dann klappt's
> auch mit der Suche :-). Mir hat das hier gut gefallen:
>
> https://tu-dresden.de/ing/maschinenwesen/iet/ressourcen/dateien/kwt/lehre/Folien_Vorlesung.pdf

Da fehlt das Kapitel in dem erklaert wird was die Variablen bedeuten...

>
> >
> > Gesucht ist die Zeit-Funktion die den Waermefluss vom Stab ins Waermebad
> > bestimmt, der Asymptotische Abfall fuer t->unendlich waere auch recht
> > wenn man die Funktion nicht angeben kann.
>
> Die Waermestromdichte bei x=0 findest Du bei (2.6).

Carla Schneider

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Jul 8, 2021, 3:50:28 AMJul 8
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Die Loesung aus dem Netz ist gefunden sie steht in
https://www.cheric.org/files/education/cyberlecture/e201501/e201501-401.pdf
Auf Seite 39.

Der Waermestrom geht mit 1/Wurzel(Zeit) .
Kann man das auch durch Ueberlegungen herausfinden, ohne rechnen ?
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