Offene Probleme in der Geometrie
Rainer Rosenthal
lesbare Zusammenschau offener Probleme, wobei die
geometrischen sich hier befinden:
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/open.html
Ich kann jedem hier empfehlen, sich die interessanten
Fragestellungen von Gerhard Woeginger (zusammen mit
guten Lösungen von dortigen Lesern) in de.rec.denksport
anzuschauen. Aber in d.s.m. brauchen wir doch auch was.
Für uns hier möchte ich aus dem angegebenen Link eines
herausgreifen, was verflixt einfach ausschaut:
...however it is open whether there are even
seven points at integer distances in general
position (no three in a line and no four on
a circle).
Übersetzt:
...jedoch ist offen, ob es sieben Punkte in
allgemeiner Lage gibt, deren Abstände alle
ganzzahlig sind (keine drei auf einer Geraden
und keine 4 auf einem Kreis).
Wenn das nix ist! Und die anderen Fragen machen auch alle
einen guten Eindruck. Z.B. das 7-Farben-Problem.
Ansonsten viel Spass mit Musik, Bibel und dem Inneren des
Kosmos :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
--
P.S. and no, this not homework :-)
Florian Schaudel
54909.news.uni-berlin.de:
> ...jedoch ist offen, ob es sieben Punkte in
> allgemeiner Lage gibt, deren Abstände alle
> ganzzahlig sind (keine drei auf einer Geraden
> und keine 4 auf einem Kreis).
Das ist in der Tat ein recht interessantes Problem, auch wenn ich es
eindeutig der Zahlentheorie und nicht der Geometrie zuordnen würde, da es
letztendlich doch um die Lösung eines diophantischen Gleichungssystems mit
Randbedingungen geht.
Aber naja, Fermat hat sich ja letztendlich auch als geometrisches Problem
erwiesen.
Gruss, Florian
Rainer Rosenthal
Florian Schaudel wrote
> Das ist in der Tat ein recht interessantes Problem,
> auch wenn ich es eindeutig der Zahlentheorie und
> nicht der Geometrie zuordnen würde
In de.rec.denksport wurde eine Weile kräftig über
Punkte im Kreis mit Radius diskutiert. Auf dem Umweg
über sci.math erfuhr ich von der Äquivalenz mit Kreis-
Packungen. Und dazu gab es schöne Seiten der Uni
Magdeburg (E. Specht):
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci14.html
Diese Seite z.B. gibt Aufschluss darüber, wie man es
anstellen muss, möglichst viele Punkte in einem Kreis
mit Radius 5 unterzubringen, so dass kein Abstand
kleiner als 3 ist. Geometrie? Oder Zahlentheorie?
Auf jeden Fall sehr anregend und an Kaleidoskop-Schauen
erinnernd.
Wenn ich mir einen kleinen Ruck gebe, dann schaffe ich es
trotz der Hitze noch, eine Folge ins OEIS zu schieben
( http://www.research.att.com/~njas/sequences/ )
von der ich allerdings erst ganze 2 (in Worten zwei)
Elemente habe:
6, 18, .....
Das sind nämlich die einzigen mir bekannten Anzahlen k von
Punkten mit d(k) = d(k+1), wobei mit d(k) der grösste Minimal-
abstand bezeichnet ist, den man beim Platzieren von k Punkten
im Einheitskreis erreichen kann.
Schaut man sich die Konfigurationen allerdings an, dann hat man
es in beiden Fällen mit ringförmiger Anordnung mit Loch in der
Mitte zu tun. Da hinein passt dann der Punkt k+1.
Sobald die Hitze nachlässt, sollte doch mit etwas Fleiss eine
andere Ring-Konstellation zu finden sein, die auch wieder ein
passendes Loch in der Mitte lässt ...
Vermutet
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Loerke
> eindeutig der Zahlentheorie und nicht der Geometrie zuordnen würde, da es
> letztendlich doch um die Lösung eines diophantischen Gleichungssystems mit
> Randbedingungen geht.
> Aber naja, Fermat hat sich ja letztendlich auch als geometrisches Problem
> erwiesen.
Ich weiß nicht, ob es (noch) sinnvoll ist, zwischen (rein) zahlentheoretischen
und geometrischen Problemen zu unterscheiden. Die "Geometrie" die benutzt
wurde, um Fermat zu lösen, ist genau die Geometrie, mit der man Diophantische
Gleichungen bzw. Gleichungssysteme löst.
klaus
Hermann Kremer
>In sci.math.research war ein Hinweis auf eine überaus
>lesbare Zusammenschau offener Probleme, wobei die
>geometrischen sich hier befinden:
>
>http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/open.html
... und díe anderen hier:
=====================================
Von: Stanley Rabinowitz <Stan.Ra...@comcast.net>
Betreff: Books about unsolved math problems
Newsgroups: sci.math.research
Datum: Samstag, 9. August 2003 23:01
I have compiled a list of hundreds of mathematics problem books.
It can be found at
http://www.mathpropress.com/mathBooks/bookFrames.html
Of particular interest to this group is the sublist of
about two dozen books of unsolved problems.
(Click on "special" to see them.)
--
=====================================
Von: Richard and Geraldine Pinch <pi...@chalcedon.demon.co.uk>
Betreff: Re: Books about unsolved math problems
Newsgroups: sci.math.research
Datum: Montag, 11. August 2003 13:14
> Now wouldn't be nice if someone also compiled a page of links to various
> lists of open mathematical problems on the Internet.
You may like to visit
http://dmoz.org/Science/Math/Research/Open_Problems/
Richard Pinch
--
=====================================
>Ansonsten viel Spass mit Musik, Bibel und dem Inneren des
>Kosmos :-)
... und wo bleiben die Saurier?
Grüße
Hermann
--
Rainer Rosenthal
Hermann Kremer wrote
>
> ... und wo bleiben die Saurier?
>
Ja stimmt. Wo bleiben die eigentlich? Ich
vermisse sie seit einem Freitag vor gut
über 60 Millionen Jahren. Es war damals
übrigens auch ganz schön heiss, wenn ich
mich recht erinnere.
Gruss,
Rainer
--
Wer nicht von 6000 Jahren sich weiss
Rechenschaft zu geben
Bleib' im Dunkeln, mag von
Tag zu Tage leben.
(Goethe)
Florian Schaudel
>
> ...jedoch ist offen, ob es sieben Punkte in
> allgemeiner Lage gibt, deren Abstände alle
> ganzzahlig sind (keine drei auf einer Geraden
> und keine 4 auf einem Kreis).
>
Wirklich ein spannendes Problem (und ziemlich schwer noch dazu). Aber wie
wärs mit einem kleinen Wettbewerb:
3 solche Punkte sind trivial, bei 4 muss man schon ein bischen nachdenken.
Wer findet die meisten ?
Gruss, Florian
Jens Voss
>
> ...
> Wer nicht von 6000 Jahren sich weiss
> Rechenschaft zu geben
> Bleib' im Dunkeln, mag von
^ unerfahren (sonst reimt sich's auch so schlecht)
> Tag zu Tage leben.
> (Goethe)
Oder war Deine Version Absicht, und Du hast nur 'nen
Smiley vergessen?
Gruß,
Jens
Rainer Rosenthal
Jens Voss wrote
> Oder war Deine Version Absicht, und Du hast nur 'nen
> Smiley vergessen?
Nee, das hatte ich so im Hinterkopf. Es war einmal ein
Aufstazthema, das mir so garnicht recht einleuchten
wollte. Ich habe es nicht genommen und den Titel offen-
bar falsch in mir drin gespeichert. Danke für die
Reparatur.
Das Smilen ist mir übrigens ziemlich vergangen, weil ich
jetzt innerhalb weniger tage zum dritten Mal mein NT
neu hochziehen darf - mit Mailverlust und allem was das
Herz begehrt ... :-(((((
Gruss,
Rainer
Klaus Nagel
Florian Schaudel schrieb:
Ich biete fünf Punkte:
A = ( 0, 0)
B = ( 8, 0)
C = (-301/16, 117/16*W15) ~ (-18.812500, 28.321191)
D = ( 187/16, 77/16*W15) ~ ( 11.687500, 18.638732)
E = ( 21/4, 3/ 4*W15) ~ ( 5.250000, 2.904738)
mit W15 = Wurzel(15).
Die ganzzahligen Abstände sind:
| B C D E
------------------
A | 8 34 22 6
B | 39 19 4
C | 32 35
D | 17
Ich kann noch nicht garantieren, daß nicht vier Punkte auf einem Kreis
liegen. Zumindest kommt kein gleichschenkliges Trapez vor, denn alle
Abstände sind verschieden. (Die Eckpunkte eines gleichschenkligen
Trapezes liegen auf einem Kreis!)
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
>
> | B C D E
> ------------------
> A | 8 34 22 6
> B | 39 19 4
> C | 32 35
> D | 17
>
> Ich kann noch nicht garantieren, daß nicht vier Punkte
> auf einem Kreis liegen.
Aber E liegt zwischen B und C, weil nämlich
|BC| = 39 = 4 + 35 = |BE| + |EC|
(Hat nicht jemand eine ganz einfach zu bedienende Download-
Seite, damit ich mein NT wieder OK kriege ?-( )
Gruss,
Rainer
--
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
> Klaus Nagel wrote
>
>> | B C D E
>>------------------
>>A | 8 34 22 6
>>B | 39 19 4
>>C | 32 35
>>D | 17
>>
>>Ich kann noch nicht garantieren, daß nicht vier Punkte
>>auf einem Kreis liegen.
>>
>
> Aber E liegt zwischen B und C, weil nämlich
>
> |BC| = 39 = 4 + 35 = |BE| + |EC|
>
Hallo Rainer,
im Gegensatz zu mir hast Du gut aufgepaßt. Hier ist ein neuer Versuch:
A = ( 0, 0)
B = ( 0, 8)
C = ( 23, 30*W6) ~ ( 23, 73.484692)
D = ( 38, 24*W6) ~ ( 38, 58.787754)
E = ( 43, 14*W6) ~ ( 43, 34.292856)
mit W6 = Wurzel(6) ~ 2.449489743 .
Die Abstände sind:
| B C D E
------------------
A | 8 77 70 55
B | 75 66 49
C | 21 44
D | 25
Prüf es bitte wieder sorgfältig nach. Möglicherweise liegen B,C,D und E
auf einem Kreis.
Gruß,
Klaus Nagel
Florian Schaudel
online.de:
> Prüf es bitte wieder sorgfältig nach. Möglicherweise liegen B,C,D und E
> auf einem Kreis.
Ist zumindest numerisch weit weg davon. Ich denke, diese 5-Punkt Lösung
gilt.
Gruss, Florian
Florian Schaudel
online.de:
> >
> >> Prüf es bitte wieder sorgfältig nach. Möglicherweise liegen B,C,D
> >> und E auf einem Kreis.
> >>
> >
> > Ist zumindest numerisch weit weg davon. Ich denke, diese 5-Punkt
> > Lösung gilt.
> Da mußt Du Dich verrechnet haben, denn ich habe gerade festgestellt, daß
> sogar alle fünf Punkte auf einem Kreis liegen. Der Mittelpunkt ist
Sorry, ich weiss es ist heiss heute. Du hattest Dich in Deinem Posting
verschrieben:
> B = ( 0, 8)
Du meintest aber offensichtlich
B=(8,0)
sonst sind die Abstände nämlich nicht ganzzahlig! Hätt mir aber auch
auffallen können !
Gruss, Florian
P.S.: Die neue Lösung prüf ich sorgfältiger
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> C = ( 5/23 , (140/391)*W195) ~ ( 0.217391, 84.999722)
>
> mit W195 = Wurzel(195) ~ 13.96424004
>
>
> Ich bitte, das Ergebnis sorgfältig zu prüfen.
>
Hallo Klaus,
(140/391)*W195 ist nicht grösser als 84.
Das Bild, das ich mir aufgrund der Koordinaten
gemalt hatte, schien OK. Aber dann wollte ich
noch ganz sicher gehen und habe die Basis-Koordi-
naten nochmal nachgerechnet ...
Falls einfach ein Abschreibfehler vorliegt, dann
sei so gut, ihn zu berichtigen. Denn es ist nicht
sinnvoll, dass ich jetzt rate, was Du gemeint hattest.
Vielleicht kannst Du auch Dein "Kochrezept" verraten?
Denn ich habe noch keine Idee, wie man gezielt auf
solche Lösungen hinsteuern kann. Aber wenn ich mich
recht entsinne, gibt das Conway-Buch "Zahlenzauber"
dazu etwas her. Ich werde also den PC mal kurz ab-
\?x§§*-'}} - tüüüt - tüüüüt
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
> Klaus Nagel wrote
>
>
>>C = ( 5/23 , (140/391)*W195) ~ ( 0.217391, 84.999722)
>>
>>mit W195 = Wurzel(195) ~ 13.96424004
>>
>>
Hallo Florian und Rainer,
entschuldigt bitte die Schreibfehler, es muß richtig heißen
C = ( 5/23 , (140/23)*W195) ~ ( 0.217391, 84.999722)
^^
> Vielleicht kannst Du auch Dein "Kochrezept" verraten?
> Denn ich habe noch keine Idee, wie man gezielt auf
> solche Lösungen hinsteuern kann. Aber wenn ich mich
> recht entsinne, gibt das Conway-Buch "Zahlenzauber"
> dazu etwas her.
Das Buch habe ich leider nicht. Ich bin bei der Berechnung so vorgegangen:
Den Punkt A lege ich fest nach (0,0), den Punkt B auf die x-Achse nach
(b,0). In der äußersten Schleife variiere ich b.
Dann berechne ich eine Anzahl von Punkten in der oberen Halbebene, die
von A und B ganzzahlige Abstände haben. Anschaulich zeichnet man Kreise
mit Radien 1,2,3,4... um A und B, und die Schnittpunkte zweier Kreise
liefern die gesuchte Punktmenge. Es sieht aus wie das Interferenzmuster
zweier Kreiswellen. Aus dieser Punktmenge suche ich Tripel, deren
Abstände alle ganzzahlig sind, und prüfe, ob drei auf einer Geraden oder
vier auf einem Kreis liegen.
Das Ganze passiert in einem C-Programm mit Gleitkommarechnung. Die
gefundenen Lösungen prüfe ich mit Maple darauf, ob die Abstände wirklich
ganzzahlig sind, und bestimme die exakte Darstellung der Koordinaten.
Bei dieser Handarbeit sind mir wohl die Schreibfehler unterlaufen.
Eine größere Anzahl von Lösungen habe ich abgelegt unter
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.dat
Ein Bild mit zwei Lösungen für den Abstand AB = 23 steht unter
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.jpg (Vorsicht 250kB)
Bei dem Bild sind die Punkte A und B unten in der Mitte, die
Dreiecksecken sind C,D und E. Die Zahlen an den Ecken stammen aus der
internen Numerierung der Punkte.
Genügt das als Kochrezept? Bei |AB| = 66 ,wenn ich mich recht erinnere,
gibt es zwei Lösungen, die zwei Punkte gemeinsam haben. Das liefert
sechs Punkte, die bis auf ein Paar, ganzzahlige Abstände haben.
Gruß,
Klaus Nagel
Klaus G
Für den Abstand BC erhalte ich 69.406...
Gruß
Klaus G.
Klaus Nagel
Klaus G schrieb:
>
> Für den Abstand BC erhalte ich 69.406...
Vielen Dank für das Nachprüfen. Es liegt an meinem Schreibfehler,
Florian Schaudel hat schon darauf hingewiesen. Statt
B = (0 , 8) muß es heißen B = (8 , 0).
Allerdings ist dieses Beispiel schon hinfällig, weil alle fünf Punkte
auf einem Kreis liegen. Hoffentlich bessere Lösungen findest Du in
meinen neueren Beiträgen.
Gruß,
Klaus Nagel
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo !
Nur eine Bemerkung zum Problemkreis:
Eine ähnliche Fragestellung:
Kann ein Quadrat mit einer ganzzahligen Seitenlänge einen Punkt
enthalten,dessen Abstand von jeder Ecke eine ganze Zahl ist ?
Auch hier handelt es sich um ein noch nicht gelöstes
(zahlentheoretisches)Problem.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Rainer Rosenthal
Wolfgang Kirschenhofer wrote
> Kann ein Quadrat mit einer ganzzahligen Seitenlänge
> Punkt enthalten, dessen Abstand von jeder Ecke eine
> ganze Zahl ist?
> Auch hier handelt es sich um ein noch nicht gelöstes
> (zahlentheoretisches)Problem.
Hallo Wolfgang,
manchmal frage ich mich, ob man *überhaupt* was weiss :-)
Bitte nenne doch eine Quelle für dieses wunderschöne
Problem.
All dieses Gerede über Platonismus verpufft doch angesichts
solcher handfester Existenzfragen.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Wolfgang Kirschenhofer
> Wolfgang Kirschenhofer wrote
>
>
>>Kann ein Quadrat mit einer ganzzahligen Seitenlänge
>>ganze Zahl ist?
>>Auch hier handelt es sich um ein noch nicht gelöstes
>>(zahlentheoretisches)Problem.
>
>
> Hallo Wolfgang,
>
> manchmal frage ich mich, ob man *überhaupt* was weiss :-)
> Bitte nenne doch eine Quelle für dieses wunderschöne
> Problem.
>
> All dieses Gerede über Platonismus verpufft doch angesichts
> solcher handfester Existenzfragen.
>
> Gruss,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
Hallo Rainer !
Die Quelle: Victor Klee,Stan Wagon: Alte und neue ungelöste Probleme
in der Zahlentheorie und Geometrie der Ebene.Birkhäuser,1997,ISBN
3-7643-5308-2. Ein sehr lesenswertes Buch.
Grüße,
Wolfgang
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
>
> Ein Bild mit zwei Lösungen für den Abstand AB = 23 steht unter
>
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.jpg
>
> Dreiecksecken sind C,D und E.
Hallo Klaus,
erst einmal gratuliere ich Dir zu den Resultaten Deiner kräftigen
Bearbeitung des Themas. Diese dat-Datei habe ich noch nicht einmal
richtig gelesen. Ich bin noch dabei, die Lösung aus dem genannten
Bild zu bestaunen, die ja auch diejenige ist, die ich kritisch
getestet habe und in meinem Excelblatt von allen Seiten aus betrachte.
Ich gestehe, dass schon diese 5 Punkte mit ihren ganzzahligen
Abständen etwas Zauberhaftes haben.
> Die Zahlen an den Ecken stammen aus der internen Numerierung
> der Punkte.
> Genügt das als Kochrezept?
Nun, das "C=23" hat mich etwas verwirrt. Kannst Du das bitte noch
aufklären? Vielleicht ist einfach gemeint "c=23", d.h. |AB|=23.
Ein Gedanke: die interne Nummerierung ist wenig aussagekräftig und
könnte durch die Spezialkoordinaten (a,b) ersetzt werden. Dabei
ist a der Abstand von A und b der Abstand von B.
Deine obige Lösung lautet dann in Kurzform:
"Basis 23 mit den Punkten (85,88), (56,51) und (37,21)"
Und wenn man den Kopf schief hält, dann sieht man die folgende dazu
äquivalente Lösung:
"Basis 88 mit den Punkten (41,56), (73,37) und (88,23)"
Es gibt natürlich noch einige weitere Beschreibungen, die alle nur
genau diese eine Situation charakterisieren.
Es würde mich freuen, wenn diese Sichtweise nicht bloss kurz und
lustig wäre sondern auch in irgendeiner Weise hilfreich bei der
weiteren Forschung.
Ich werde mir jetzt doch noch Deine Situations-Sammlung genauer
anschauen, weil diese Fragestellung wirklich fasziniert. Wer weiss,
vielleicht hilft das Training ja noch bei den Linealen, die ziemlich
beleidigt in irgendwelchen Hirnwindungen stecken ...
Es grüsst herzlich
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> Eine größere Anzahl von Lösungen habe ich abgelegt unter
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.dat
>
Hallo Klaus,
inzwischen habe ich begonnen, die Daten genauer anzuschauen
und dabei meine Bezeichnungsweise zu testen. Und siehe da,
ich kann schon einen ersten Erfolg vermelden.
Für den Abstand AB = 41 bietest Du vier Lösungen, wobei die
erste und die dritte identisch sind.
Meine normierte Darstellung ergab:
Erste Lösung:
Basis BD=85, Punkte B=(65,60), A=(104,61), C=(116,39)
Dritte Lösung:
Basis CD=85, Punkte A=(65,60), B=(104,61), E=(116,39)
Dabei habe ich die Lösungen so gedreht und gespiegelt, dass
sie sich möglichst ähnlich sehen: "schiefe Baskenmütze", also
etwa so:
* *
*
* *
Unten die Basis und oben die drei restlichen Punkte von rechts
nach links, identifiziert durch das Paar der Äbstände zum
linken bzw. rechten Basis-Endpunkt.
Es ist ein etwas aufwendiges Hand-Verfahren, mit dem ich an Deine
Daten herangehe, so das ich mich über diesen ersten Erfolg schon
freue. Mir ist aufgefallen, dass die Entfernung 85 gerne mit der
41 zusammen auftritt. Allerdings ist das etwas keck, weil ich noch
viel zu wenig genau angeschaut habe. Es dürfte Dich freuen, dass
Deine mühsam ermittelten Zahlen nicht in einem "Zahlenfriedhof"
landen. Bzw. dass zumindest eine Autopsie angeordnet wurde :-)
Gruss,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb
> Es ist ein etwas aufwendiges Hand-Verfahren, mit dem ich an Deine Daten
> herangehe, so das ich mich über diesen ersten Erfolg schon freue.
Hallo Rainer,
ich habe inzwischen Deine Anregungen aufgegriffen und bezeichne die
Punkte durch ihre ganzzahligen Abstände von A und B. Auch habe ich das C
durch |AB| ersetzt. Ich suche jetzt nach 6-Punkt-Lösungen, indem ich
immer, wenn ich fünf Punkte gefunden habe, nach einem suche, der von
allen ganzzahligen Abstand hat. Einige habe ich schon gefunden,
allerdings verletzen sie stets die Geraden- oder die Kreisbedingung.
> Es dürfte Dich freuen, dass Deine mühsam ermittelten Zahlen nicht in
> einem "Zahlenfriedhof" landen. Bzw. dass zumindest eine Autopsie
> angeordnet wurde :-)
>
Das freut mich wirklich. Das C-Programm ist in den zwei Tagen auf über
500 Zeilen angewachsen, dabei wollte ich nur ein wenig herumprobieren.
Das 6-Punkte-Problem ist vielleicht zu schaffen. In das 7-Punkte-Problem
ist sicher schon soviel Elektronengehirnschmalz gesteckt worden, daß man
kaum ein positives Beispiel finden wird. Um zu zeigen, daß es unmöglich
ist, müßte man mehr von Zahlentheorie verstehen. Das gleiche gilt für
Wolfgang Kirschenhofers schöne Quadrataufgabe.
Gruß,
Klaus Nagel
Klaus Nagel
Einige der Fünfpunktlösungen können jetzt als Bild betrachtet werden:
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/sieben.htm
Gruß,
Klaus Nagel
Thorsten Steiner
Klaus Nagel wrote:
> Einige der Fünfpunktlösungen können jetzt als Bild betrachtet werden:
>
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/sieben.htm
Gar nicht mal schlecht ! :)
Da du ja die Verbindungslinien zwischen den Punkten eingezeichnet hast -
gibt es vielleicht irgendwelche bestimmte Eigenschaften, die für die durch
die Verbindungslinien gebildeten Gebiete ?
MfG
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> Einige der Fünfpunktlösungen können jetzt als Bild betrachtet werden:
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/sieben.htm
>
Sehr schön!!!
Das müsste direkt de.rec.denksport-Leser abwerben helfen :-)
Was hältst Du von folgender Idee:
Die ganzzahligen Dreiecke [s1,s2,s3] bilden die Bausteine,
aus denen die grösseren Kunstwerke gebaut werden sollen.
Nur wenige taugen für eine zulässige 4-Punkte-Lösung.
Sie können in die Schatzkiste "4 Punkte" getan werden.
In die Schatzkiste "5 Punkte" kommen nur Kopien solcher
[s1,s2,s3] aus "4 Punkte", die sich in einer 5-er-Lösung
bewährt haben.
Die krass vielen Querverbindungen, die bei noch grösseren
Kunstwerken notwendig sind, schränken die Auswahl an möglichen
Elementen dann noch weiter ein, wobei es hilfreich sein
könnte, dass man nur auf einem ziemlich dünnen Vorrat zurück-
greifen kann.
Beispiel: Basis DE=85, Punkte B=(65,60), A=(104,61), C=(116,39)
schematisch (Festbreitenschrift!) ohne die inneren Abstände:
A
41
B 69
65 C
39
D 85 E
besteht aus den "10 Kostbarkeiten", wobei 10 = "5 über 3" ist:
[AB,BC,CA] [AB,BE,EA] [AB,BD,DA] [AD,DE,EA] [AD,DC,CA]
[AE,EC,CA] [BD,DE,EB] [BD,DC,CB] [BE,EC,CB] [DE,EC,CD]
also aus
[41,69,44] [41,60,61] [41,65,104] [104,85,61] [104,116,44]
[61,39,44] [65,85,60] [65,116,69] [60,39,69] [85,39,116]
Ich bin leider etwas in Eile und hoffe, nicht allzuviele Schreib-
fehler gemacht zu haben.
Bis später,
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hannes Petersen
> Einige der Fünfpunktlösungen können jetzt als Bild betrachtet werden:
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/sieben.htm
Da kommt nur eine Textseite (zudem mit geschindluderten Umlauten).
Was muss man speziellen einstellen, um die Lösungen zu sehen?
/Hannes
Klaus Nagel
Hannes Petersen schrieb:
Ich weiß nicht, was bei Dir schief läuft. Bei mir funktioniert es unter
Linux: Netscape Version 7.0
XP: Netscape Version 6.2
Internet Explorer Version 6.0.2600.0000
Wegen des Java-Applets muß Java erlaubt sein. Unter Netscape 7 reagieren
Applets zuweilen nicht auf die Knöpfe, auch bei Programmen die schon
seit Jahren liefen. Manchmal hilft Nachladen.
Falls jemand Abhilfe weiß oder auch Schwierigkeiten hat, bitte melden
mit Angabe des Betriebsystems und Browsers.
Gruß,
KLaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> >>Einige der Fünfpunktlösungen können jetzt als Bild betrachtet werden:
> >>http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/sieben.htm
> Ich weiß nicht, was bei Dir schief läuft. Bei mir funktioniert es unter
> Linux: Netscape Version 7.0
> XP: Netscape Version 6.2
> Internet Explorer Version 6.0.2600.0000
Bei mir funktioniert es ebenfalls perfekt:
NT: Internet Explorer 5.0
Ich hänge gleich noch einen Kommentar zu einer der Lösungen
hier mit an:
Tripel 23300 23181 6518
A = ( 0.000000, 0.000000)
B = ( 59.000000, 0.000000)
C = ( -23.177966, 213.747004)
D = ( -30.161017, 209.843544)
E = ( 127.330508, 50.556321)
Abstände B C D E
A : 59 215 212 137
B : 229 228 85
C : 8 222
D : 224
Das sieht etwa so aus:
===================================
C
D
E
A B
===================================
Witzig ist daran, dass die unteren Punkte von
den beiden oberen jeweils Entfernungen (d,c)
haben mit sehr kleiner Differenz c-d:
Differenz 1 bei Punkt B: 229 - 228 = 1
Differenz 2 bei Punkt E: 224 - 222 = 2
Differenz 3 bei Punkt A: 215 - 212 = 3
Als Geometrie-Freund protestiere ich energisch gegen
die Versuche aus dem Zahlentheorie-Lager, dieses Problem
der 7 Punkte für sich zu reklamieren :-)
Denn was sehen wir hier? 3 Punkte A, B und E auf einem
Beinahe-Kreis, die sich die Sehne CD gegenüber anschauen.
Wären ihre Peripheriewinkel gleich, dann lägen sie tat-
sächlich auf einem Kreis und diese witzige Konstellation
wäre niemals berühmt und ins Netz genagelt geworden.
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Nagel
will, dann findet er mein C-Programm unter
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/sechs.c
Gruß,
Klaus Nagel
Hannes Petersen
> Hannes Petersen schrieb:
> > Klaus Nagel schrie:
> > Da kommt nur eine Textseite (zudem mit geschindluderten Umlauten).
> > Was muss man speziellen einstellen, um die Lösungen zu sehen?
Pffrt! Ich schalte doch kein Java ein; erst recht nicht bei Links aus
dem Usenet. Du hattest von Bildern gesprochen.
/Hannes
Peter Niessen
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:bhbap1$vtods$1...@ID-54909.news.uni-berlin.de...
Hallo an alle betroffenen:
Am Kommandoprompt;
shutdown -a
eingeben
Danach Virenscanner laufen lassen
hoffe das hilft
Peter
Klaus Nagel
Gesucht habe ich nach sechs oder sieben Punkten mit ganzzahligen
Abständen und so, daß keine drei von ihnen auf einer Geraden liegen und
keine vier auf einem Kreis. Gefunden habe ich 16 Punkte, deren 120
Abstände ganzzahlig sind. Keine drei liegen auf einer Geraden, aber
leider liegen alle auf einem Kreis; der Nullpunkt ist sein Mittelpunkt,
der Radius beträgt 942.5.
P1 = ( 906.5 , 258)
P2 = ( 821.5 , 462)
P3 = ( 501.5 , 798)
P4 = ( 213.5 , 918)
Die übrigen zwölf Punkte ergeben sich aus Spiegelung an den Achsen.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> Gefunden habe ich 16 Punkte, deren 120 Abstände ganzzahlig
> sind. Keine drei liegen auf einer Geraden, aber leider liegen
> alle auf einem Kreis;
Hallo Klaus,
das ist immerhin ein schönes Zwischenergebnis, für das sicher
recht viel Computerzeit benötigt wurde. Vielleicht kriegst Du
ja doch noch die 6-er-Familie zusammen. Und damit wärest Du
an der Front der Forschung. So erstaunlich das auch scheinen
will. Dein C-Programm habe ich zwar heruntergeladen, komme aber
nur gelegentlich an den PC und spiele momentan lieber den
Wurzel-Polizisten :-)
Über dieser 5-Punkte-Lösung, bei der den beiden Punkten C,D mit
8-er-Abstand drei Punkte mit nahezu gleichen Abständen gegen-
überliegen (A mit (212,215), B mit (228,229) und C mit (222,224)),
habe ich immer wieder staunend gebrütet.
"Brüten" ist der richtige Ausdruck: ich suche eine schöne Formel,
die zum 5-Tupel (AB,AC,BC,AD,BD) die Länge CD ergibt, also:
(AB,AC,BC,AD,BD) ----> CD
Diese Formel muss allerlei Symmetrien aufweisen, denn wenn
(a,b,c,d,e) ----> f
dann gilt auch
(f,e,c,d,b) ----> a
sowie
(a,e,d,c,b) ----> f
und
(b,f,d,c,a) ----> e
usw.
Das funkelt wie ein Kristall :-)
Gruss,
Rainer Rosentall
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Rainer Rosenthal
> ...jedoch ist offen, ob es sieben Punkte in
> allgemeiner Lage gibt, deren Abstände alle
> ganzzahlig sind (keine drei auf einer Geraden
> und keine 4 auf einem Kreis).
>
In de.rec.denksport hat Gerhard Wöginger gerade wieder
eine ganze Ladung netter Aufgaben abgeladen. Eine davon
ist sehr verwandt mit dem aktuellen Forschungsprojekt:
======================================================
Gegeben sind n>=4 Punkte in der Ebene, sodass alle
paarweisen Abstaende ganze Zahlen sind.
Zeige: Mindestens ein Sechstel dieser Abstaende
sind dann durch 3 teilbar.
======================================================
Weil Klaus Nagel viele Lösungen zu n=5 ins Netz gestellt
hat unter
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.dat
habe ich gleich mal nachgeschaut. Für n=5 haben wir
"5 über 2" = 10 paarweise Abstände und es ist 10/6 > 1,
so dass also mindestens eine der Differenzen durch 3
teilbar sein muss.
Tatsächlich habe ich zwei Überraschungen erlebt:
Erstens eine Lösung, bei der *alle* Abstände durch 3
teilbar waren :-) Und zweitens eine Lösung, bei der
nur einer der Abstände durch 3 teilbar war.
Wenn alle durch 3 teilbar sind, dann folgt daraus, dass
es sich nur um eine im Massstab 3 aufgeblasene kleinere
Lösung handelt. Und das ist in der Tat so:
Kleine Lösung (Die Nummer 1):
A = ( 0.000000, 0.000000)
B = ( 23.000000, 0.000000)
C = ( 0.217391, 84.999722)
D = ( 23.130435, 50.999833)
E = ( 31.673913, 19.124937)
Abstände B C D E
A : 23 85 56 37
B : 88 51 21
C : 41 73
D : 33
Die mit 3 multiplizierte Lösung (die Nummer 72):
A = ( 0.000000, 0.000000)
B = ( 69.000000, 0.000000)
C = ( 0.652174, 254.999166)
D = ( 69.391304, 152.999500)
E = ( 95.021739, 57.374812)
Abstände B C D E
A : 69 255 168 111
B : 264 153 63
C : 123 219
D : 99
Der sehr interessante Fall, dass das von Gerhard Wöginger
genannte Minimum angenommen wird, ist die Nummer 88 in
der Sammlung von Klaus Nagel:
A = ( 0.000000, 0.000000)
B = ( 73.000000, 0.000000)
C = ( -62.438356, 246.206116)
D = ( 181.342466, 134.873682)
E = ( 177.130137, 105.170883)
Abstände B C D E
A : 73 254 226 206
B : 281 173 148
C : 268 278
D : 30 <------ Nur der Abstand DE
ist durch 3 teilbar.
Mit besten Grüssen
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Rainer Rosenthal
> In de.rec.denksport ... Gerhard Wöginger ...
> ======================================================
> Gegeben sind n>=4 Punkte in der Ebene, sodass alle
> paarweisen Abstaende ganze Zahlen sind.
> Zeige: Mindestens ein Sechstel dieser Abstaende
> sind dann durch 3 teilbar.
> ======================================================
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.dat
> ... die Nummer 88 in der Sammlung von Klaus Nagel:
>
> A = ( 0.000000, 0.000000)
> B = ( 73.000000, 0.000000)
> C = ( -62.438356, 246.206116)
> D = ( 181.342466, 134.873682)
> E = ( 177.130137, 105.170883)
>
> Abstände B C D E
> A : 73 254 226 206
> B : 281 173 148
> C : 268 278
> D : 30 <------ Nur der Abstand DE
> ist durch 3 teilbar.
Wie Hermann Jurksch in d.r.d. richtig feststellt, bilden die
Punkte A, B, C, D dieser Konfiguration ein Gegenbeispiel gegen
die von Gerhard Wöginger genannten Aussage.
Könnte es sein, dass hier irgendwo ein Rechenfehler steckt?
Ich vermute (und hoffe) doch, dass hinter der obigen Behauptung
eine pfiffige Beobachtung steckt, so dass sie wirklich wahr ist.
Ich hoffe, dass ich morgen zum Überprüfen komme. Aber wer immer
sich daran macht, ist herzlich willkommen.
Meine Versuche in Richtung Beweis der Behauptung sind noch recht
dürftig. Ich starte mit einer Konfiguration von 4 Punkten:
Durch A und B ist die Strecke c begrenzt. Zu den Punkten C und C'
gehören die Strecken a=BC, a'=BC', b=AC, b'=AC'
C c = AB
a = BC
D b = AC
a' = BD
b' = AD
A B [Bezeichnungsweise wie Beispiel 88]
Ich versuche mir klarzuwerden, warum d = CD nun durch 3 teilbar
sein muss, falls die anderen 5 Strecken es nicht sind. Falls der
Satz von Gerhard Wöginger wahr ist, muss das ja so sein.
Ich erhalte d = sqrt((x'-x)^2+(y'-y)^2) mit den Hilfsgrössen
x = S /(2c) y = sqrt(b^2-x^2)
und
x' = T /(2c) y' = sqrt(b'^2-x'^2)
wobei S = (b^2 + c^2 - a^2) und T = (b'^2 + c^2 - a'^2)
Es ergibt sich dann dieser Ausdruck für d^2:
d^2 = [(T-S)^2 + P*Q - 2*sqrt(P*Q)] / (4*c^2)
wobei P = 4 * b^2 * c^2 - S^2
und Q = 4 * b'^2 * c^2 - T^2
Nun versuche ich mir zu überlegen, was davon ganzzahlig zu sein hat
und wie ich ausnutzen kann, dass das Quadrat einer nicht durch 3
teilbaren ganzen Zahl den Rest 1 lässt bei Division durch 3.
Daraus folgt ja sofort, dass S und T gleich 0 mod 3 sind. Ich deute
das hier bloss an, weil mir noch nichts recht Gescheites weiter
eingefallen ist.
Leider ist evtl. auch in diesen Formeln noch der Wurm drin, denn der
Versuch, zu später Stunde doch "schnell noch" ein Reultat vorweisen
zu können, ist kläglich gescheitert :-( Gebe ich in die angegebenen
Formeln die Zahlenwerte aus dem Beispiel ein, dann kommt Unsinn heraus.
Also stimmen die Formeln nicht oder ich habe mich bei "schnell mal"
wieder vertan.
Also versucht habe ich's.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
Du mußt gute Augen haben, daß Du diese Abweichung entdeckt hast!
Der Abstand |CD| beträgt nicht 268
sondern 268.00000006747...
Mein Epsilon war zu grob. Damit ist die Welt wieder in Ordnung.
Inzwischen verfolge ich einen anderen Ansatz, der solche Fehler
vermeidet. Ich habe schon viele Sextette im ganzzahligen Abstand
gefunden, leider verletzen sie immer noch die Kreis- oder
Geradenbedingung. Gerhard Wögingers Behauptung traf zu bei allen
betrachteten Fällen.
Gruß,
Klaus Nagel
Wolfgang Kirschenhofer
>
>
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Rainer Rosenthal
>>
>>
>>> In de.rec.denksport ... Gerhard Wöginger ...
>>> ======================================================
>>> Gegeben sind n>=4 Punkte in der Ebene, sodass alle
>>> paarweisen Abstaende ganze Zahlen sind.
>>> Zeige: Mindestens ein Sechstel dieser Abstaende
>>> sind dann durch 3 teilbar.
>>> ======================================================
>>>
>>
>>> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.dat
>>> ... die Nummer 88 in der Sammlung von Klaus Nagel:
>>>
>>> A = ( 0.000000, 0.000000)
>>
>
>
>
>>> B = ( 73.000000, 0.000000)
>>> C = ( -62.438356, 246.206116)
>>> D = ( 181.342466, 134.873682)
>>> E = ( 177.130137, 105.170883)
>>>
>>> Abstände B C D E
>>> A : 73 254 226 206
>>> B : 281 173 148
>>> C : 268 278
>>> D : 30 <------ Nur der Abstand DE
>>> ist durch 3 teilbar.
> Der Abstand |CD| beträgt nicht 268
> sondern 268.00000006747...
>
> Mein Epsilon war zu grob. Damit ist die Welt wieder in Ordnung.
> Inzwischen verfolge ich einen anderen Ansatz, der solche Fehler
> vermeidet. Ich habe schon viele Sextette im ganzzahligen Abstand
> gefunden, leider verletzen sie immer noch die Kreis- oder
> Geradenbedingung. Gerhard Wögingers Behauptung traf zu bei allen
> betrachteten Fällen.
>
> Gruß,
> Klaus Nagel
Hallo Klaus !
Ich habe mich mit dem obigen Problem zu wenig auseinandergesetzt,
einerseits aus Zeitmangel,andererseits,weil es mir zu kompliziert ist.
Trotzdem eine Bemerkung dazu:
Gilt |AB|=73 , |AC|=254 , |AD|=226 , |BC|=281 und |BD|=173 ,dann gilt
C = ( - 4558/73 , 40*sqrt(201894)/73 ) und
D = ( 13238/73 , 12*sqrt(673190)/73 ) und daher
|CD| = sqrt(736667376-13440*sqrt(693433785))/73 und dies ist nicht
ganzzahlig,wie Du ja selbst schon festgestellt hast.
Die Näherungswerte meiner genauen Werte stimmen mit Deinen
Näherungwerten überein.
Die Behauptung von Gerhard Wöginger halte ich für richtig,kann sie
aber noch nicht begründen (vermutlich gar nicht so schwierig).
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
>
> Du mußt gute Augen haben, daß Du diese Abweichung entdeckt hast!
>
> Der Abstand |CD| beträgt nicht 268
> sondern 268.00000006747...
>
> Mein Epsilon war zu grob. Damit ist die Welt wieder in Ordnung.
Hallo Klaus,
die Welt ist sogar * S * E * H * R * in Ordnung!
Denn ich hatte mir es doch so gewünscht, als ich schrieb:
> > Könnte es sein, dass hier irgendwo ein Rechenfehler steckt?
> > Ich vermute (und hoffe) doch, dass hinter der obigen Behauptung
> > eine pfiffige Beobachtung steckt, so dass sie wirklich wahr ist.
Unbeirrt von der unglaublich kleinen kleinen Abweichung setzt sich
die Beobachtung durch, dass diese Lösung nicht korrekt ist. Erinnert
an "die Prinzessin auf der Erbse" :-)
Ich habe meine Formel repariert und mit all Deinen fast 100 Lösungen
zum 5-Punkte-Thema abgeglichen. Sie ergibt zu den 5 paarweisen
Abständen von 4 Punkten den sechsten Abstand. Und ich will sie
so lange anstarren, bis sie mir zeigt, was es mit der Durch-3-
Teilbarkeit auf sich hat *grimmig-schau*.
Diese feine Pointe werde ich sofort in de.rec.denksport melden.
Klaus G
Die vorstehenden Punkte (abgesehen von Punkt A und B) haben
Koordinaten, die
sechs Nachkommastellen aufweisen. Die entsprechenden Abstände KÖNNEN
dann gar nicht ganzzahlig sein. Die Abstandsmatrix zeigt nur gerundete
Werte!!
Gruß
Klaus G.
Wolfgang Kirschenhofer
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> wrote in message news:<bhr1c7$2aee1$2...@ID-54909.news.uni-berlin.de>...
>>Rainer Rosenthal
.................................................
>>Kleine Lösung (Die Nummer 1):
>>
>>A = ( 0.000000, 0.000000)
>>B = ( 23.000000, 0.000000)
>>C = ( 0.217391, 84.999722)
>>D = ( 23.130435, 50.999833)
>>E = ( 31.673913, 19.124937)
>
>
> Die vorstehenden Punkte (abgesehen von Punkt A und B) haben
> Koordinaten, die
> sechs Nachkommastellen aufweisen. Die entsprechenden Abstände KÖNNEN
> dann gar nicht ganzzahlig sein. Die Abstandsmatrix zeigt nur gerundete
> Werte!!
>
> Gruß
> Klaus G.
Hallo Klaus G. !
Deine Argumentation ist nicht richtig,denn es gilt nämlich:
A = ( 0.000000, 0.000000)
B = ( 23.000000, 0.000000)
C = ( 0.217391, 84.999722) = ( 5/23 , 140*sqrt(195)/23 )
D = ( 23.130435, 50.999833) = (532/23 , 84*sqrt(195)/23 )
E = ( 31.673913, 19.124937) = (1457/46 , 63*sqrt(195)/46 )
Für diese exakten Werte stimmen alle von Klaus Nagel angegebenen
ganzzahligen Abstände:
Abstände B C D E
A : 23 85 56 37
B : 88 51 21
C : 41 73
D : 33
Gruß,
Wolfgang Kirschenhofer
Wolfgang Kirschenhofer
Klaus Nagel schrieb:
Rainer Rosenthal schrieb:
Rainer Rosenthal
In de.rec.denksport ... Gerhard Wöginger ...
======================================================
Gegeben sind n>=4 Punkte in der Ebene, sodass alle
paarweisen Abstaende ganze Zahlen sind.
Zeige: Mindestens ein Sechstel dieser Abstaende
sind dann durch 3 teilbar.
======================================================
...........
Der Abstand |CD| beträgt nicht 268
sondern 268.00000006747...
Mein Epsilon war zu grob. Damit ist die Welt wieder in Ordnung.
....................................................
Gruß,
Klaus Nagel
Hallo Klaus !
Ich habe mich mit dem obigen Problem zu wenig auseinandergesetzt,
einerseits aus Zeitmangel,andererseits,weil es mir zu kompliziert ist.
Trotzdem eine Bemerkung dazu:
Gilt |AB|=73 , |AC|=254 , |AD|=226 , |BC|=281 und |BD|=173 ,dann gilt
C = ( - 4558/73 , 40*sqrt(201894)/73 ) und
D = ( 13238/73 , 12*sqrt(673190)/73 ) und daher
|CD| = sqrt(736667376-13440*sqrt(693433785))/73 und dies ist nicht
ganzzahlig,wie Du ja selbst schon festgestellt hast.
Die Näherungswerte meiner genauen Werte stimmen mit Deinen
Näherungwerten überein.
Die Behauptung von Gerhard Wöginger halte ich für richtig,kann sie
aber noch nicht begründen (vermutlich gar nicht so schwierig).
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo Rainer ! Hallo Klaus !
Ergänzend noch zum Fall |AB|=23 :
A = ( 0.000000, 0.000000)
B = ( 23.000000, 0.000000)
C = ( 0.217391, 84.999722) = ( 5/23 , 140*sqrt(195)/23 )
D = ( 23.130435, 50.999833) = (532/23 , 84*sqrt(195)/23 )
E = ( 31.673913, 19.124937) = (1457/46 , 63*sqrt(195)/46 )
Abstände B C D E
A : 23 85 56 37
B : 88 51 21
C : 41 73
D : 33
Bei den von mir angegebenen exakten Koordinatenwerten stimmen die von
Klaus angegebenen Abstände exakt.
Um alles andere auch durchzurechnen,müßte ich in DERIVE ein Programm
schreiben.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Klaus Nagel
Klaus G schrieb:
> Die vorstehenden Punkte (abgesehen von Punkt A und B) haben
> Koordinaten, die
> sechs Nachkommastellen aufweisen. Die entsprechenden Abstände KÖNNEN
> dann gar nicht ganzzahlig sein. Die Abstandsmatrix zeigt nur gerundete
> Werte!!
Es ist genau umgekehrt. Die Koordinaten habe ich nur zur Bequemlichkeit
angegeben, um schnell eine Skizze machen zu können. Die Lösung wird
durch die ganzzahlige Abstandsmatrix beschrieben, wobei die Abstände zu
A und B schon genügen. Legt man A in den Nullpunkt und B auf die
x-Achse, so lassen sich alle Koordinaten in der Form (p,q*w) bestimmen.
Dabei sind p und q rational, während w die Quadratwurzel aus einer
ganzen Zahl ist und für alle Punkte gleich bleibt. Bei meinem neuen
Ansatz gehe ich von Koordinaten dieser Form aus.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus G wrote
> >
> > A = ( 0.000000, 0.000000)
> > B = ( 23.000000, 0.000000)
> > C = ( 0.217391, 84.999722)
> > D = ( 23.130435, 50.999833)
> > E = ( 31.673913, 19.124937)
>
> Die vorstehenden Punkte (abgesehen von Punkt A und B) haben
> Koordinaten, die sechs Nachkommastellen aufweisen. Die
> entsprechenden Abstände KÖNNEN dann gar nicht ganzzahlig sein.
> Die Abstandsmatrix zeigt nur gerundete Werte!!
>
Es ist umgekehrt: Die angegebenen Koordinaten sind gerundet.
Die Abstandsmatrix zeigt die exakten ganzzahligen Werte.
Als einfaches Beispiel betrachten wir mal:
A = ( 0.000000, 0.707107)
B = ( 0.707107, 0.000000)
Hier ist der Abstand exakt gleich 1, weil die Zahl 0.707107
die Hälfte von 1.414214 ist und den gerundeten Wert für
sqrt(2)/2 darstellen soll.
Dass eine gewisse Gefahr darin liegt, aus "grosse Nähe" auf
"Exaktheit" zu schliessen, wurde ja gerade durch die als
Nicht-Lösung entlarvte Kontellation Nr. 88 aus der feinen
Sammlung von Klaus Nagel klar:
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/fuenfpunkte.dat
Andererseits ist es eine schöne Sache und Applaus wert, dass
Klaus Nagel hier eine solche umfangreiche Sammlung von
Konstellationen angelegt hat, unter denen sich viele exakte
Lösungen befinden. Er hat ja selbst in einem ersten Posting
dazu geschrieben, dass er zweistufig vorgeht: 1. eine solche
Konstellation suchen, die genügend ganzzahlig aussieht im
Rahmen der Rechengenauigkeit seines C-Programms und 2. die
Kandidaten mittels Mathematica einer weiteren Prüfung auf
Exaktheit unterziehen.
Ich habe inzwischen meine Formel überprüft, die zu den
5 Abständen c=AB, a=BC, b=AC, a'=BD, b'=AD das Quadrat
des Abstandes d = CD liefert. Sie lautet
_____________________
1 [ 2 2 | / 2 2 2 2 ]
---- [ -2*S*T + H + H' - 2*|/ (H' - T )*(H - S ) ]
4c^2 [ ' ]
S = b^2 + c^2 - a^2
wobei T = b'^2 + c^2 - a'^2
H = 2bc, H' = 2b'c
Zweck der Übung ist, durch scharfes Hinsehen und Ausnutzen
der Tatsache, dass das Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren
Zahl den Rest 1 lässt modulo 3, zu beweisen, dass gilt:
Sind a,b,c,a' und b' ganze Zahlen und nicht
durch 3 teilbar, und ist d eine ganze Zahl,
dann ist aber d durch 3 teilbar.
Was mich noch reizt (wie schon in einem anderen Posting ge-
schrieben), ist, die Symmetrie sichtbar zu machen, die in
dem leicht unhandlichen obigen Ausdruck F für
d = F(c,a,b,a',b') (1)
stecken muss. Ich will nicht alles Gesagte wiederholen
sondern begnüge mich mit dem Hinweis, dass aus (1) sofort
auch folgt:
c = F(d,a,a',b,b') (2)
Ein faszinierendes Thema mit einer hübschen Zwischen-Pointe,
die durch den merkwürdigen Zufall zustandekam, dass in
einem parallelen Thread die Teilbarkeit durch 3 für genau
dieses Thema angesprochen worden war.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
>
> Es ist genau umgekehrt.
Meine Antwort begann genauso. Und am Ende des Postings habe
ich eine längliche Formel notiert sowie nochmal meinen
Wunsch nach Symmetrie-Erkennung geäussert.
Just eben lese ich in de.rec.denksport, dass Hermann Jurksch
eine verflixt richtig aussehende Lösung zum 3-teilbar-Thema
gepostet hat. Die darin vorkommenden Gleichungen scheinen
mir alles zu enthalten, was ich für mein Symmetrie-Glück
benötige :-)
> Bei meinem neuen Ansatz gehe ich von Koordinaten dieser
> Form aus.
Viel Glück. Man darf gespannt sein.
Rainer Rosenthal
Wolfgang Kirschenhofer wrote
> Die Behauptung von Gerhard Wöginger halte ich für
> richtig, kann sie aber noch nicht begründen
> (vermutlich gar nicht so schwierig).
Hermann Jurksch in de.rec.denksport hat diese wichtige
Formel entdeckt, die wirklich nicht schwierig ist, weil
sie mit nur 3 Grundrechenarten auskommt (-:
a*a*b*b*d*d - a*a*c*c*d*d - b*b*c*c*d*d +
c*c*c*c*d*d + c*c*d*d*d*d - a*a*b*a*e*e +
b*b*b*b*e*e + a*a*c*c*e*e - b*b*c*c*e*e -
b*b*d*d*e*e - c*c*d*d*e*e + b*b*e*e*e*e +
a*a*a*a*f*f - a*a*b*b*f*f - a*a*c*c*f*f +
b*b*c*c*f*f - a*a*d*d*f*f - c*c*d*d*f*f -
a*a*e*e*f*f - b*b*e*e*f*f + d*d*e*e*f*f +
a*a*f*f*f*f = 0
Meine lang gesuchte "Symmetrie" scheint mir mit der
Beobachtung zusammenzuhängen, dass man die 6 Verbindungen
von 4 Punkten nicht in einem Zug durchlaufen kann.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Wolfgang Kirschenhofer
> Wolfgang Kirschenhofer wrote
>
>
>>Die Behauptung von Gerhard Wöginger halte ich für
>>richtig, kann sie aber noch nicht begründen
>>(vermutlich gar nicht so schwierig).
>
>
> Hermann Jurksch in de.rec.denksport hat diese wichtige
> Formel entdeckt, die wirklich nicht schwierig ist, weil
> sie mit nur 3 Grundrechenarten auskommt (-:
>
> a*a*b*b*d*d - a*a*c*c*d*d - b*b*c*c*d*d +
> c*c*c*c*d*d + c*c*d*d*d*d - a*a*b*a*e*e +
> b*b*b*b*e*e + a*a*c*c*e*e - b*b*c*c*e*e -
> b*b*d*d*e*e - c*c*d*d*e*e + b*b*e*e*e*e +
> a*a*a*a*f*f - a*a*b*b*f*f - a*a*c*c*f*f +
> b*b*c*c*f*f - a*a*d*d*f*f - c*c*d*d*f*f -
> a*a*e*e*f*f - b*b*e*e*f*f + d*d*e*e*f*f +
> a*a*f*f*f*f = 0
>
Hallo Rainer !
Danke für Deine Mitteilung.Du sagst mir aber nichts Neues.
Ich hatte bereits vor einigen Tagen folgendes hergeleitet - jetzt mit
der Bezeichnung von Hermann Jurksch - :
b^2 + c^2 - 2*(x_3*x_4 + sqrt(b^2-(x_3)^2)*sqrt(c^2-(x_4)^2))=f^2 ,
wobei x_3:= (b^2+a^2-d^2)/(2*a) und x_4:= (c^2+a^2-e^2)/(2*a) (1)
Das ist aber äquivalent zu
(b^2+c^2-2*x_3*x_4-f^2)^2 - 4*(b^2-(x_3)^2)*(c^2- (x_4)^2) = 0
Diese letzte Gleichung ist laut DERIVE äquivalent zur obigen Gleichung
von Hermann Jurksch.
Wegen meiner Gleichung (1) habe ich auch obige Bemerkung in der
Klammer geschrieben.Ich hatte gestern schon Überlegungen zu den
primitiven pythagoräischen Zahlentripeln (x,y,z) angestellt.
Es ist immer entweder x oder y durch 3 teilbar ,wenn x^2+y^2=z^2, mit
(x,y,z) primitives Tripel, ist.
(Beweis ist leicht mit Hilfe von Kongruenzen mod 3).
Weiter kam ich nicht,denn dann sah ich schon den Beweis von Hermann
Jurksch,der - so wie Bertram Felgenhauer - ein ausgezeichneter
Mathematiker ist;mit diesen beiden kann ich natürlich nicht "mithalten".
Praktisch habe ich aber dann noch weiter umgeformt,um die Kordinaten
von Klaus Nagels Punkten C,D,E bequem und exakt zu berechnen.
Ich bin folgendermaßen vorgegangen,wobei ich jetzt wieder meine
Bezeichnung verwende:
Reihenfolge der 5 Punkte sei A,B,C,D,E .Mit A=(0,0) und B=(g_12,0).
Bezeichnung: g_ij = ganzzahlige Distanz der Punkte mit Nummer i und
Nummer j.
C=(x_3,y_3) usw.
Es gilt dann: y_3 = 2*F(ABC)/g_12 , x_3=sqrt((g_13)^2- (y_3)^2)
y_4=2*F(ABD)/g_12 , x_4 =sqrt((g_14)^2- (y_4)^2) und
y_5=2*F(ABE)/g_12 , x_5 =sqrt((g_15)^2- (y_5)^2)
F(ABC) usw. bedeutet der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ,den man
bequem mittels der Formel von Heron ausrechnet.
Zu den praktischen Ergebnissen:Siehe meine vorangehenden zwei Beiträge.
Herzliche Grüße,
Wolfgang
Klaus Nagel
Klaus G schrieb:
>>A = ( 0.000000, 0.000000)
>>B = ( 23.000000, 0.000000)
>>C = ( 0.217391, 84.999722)
>>D = ( 23.130435, 50.999833)
>>E = ( 31.673913, 19.124937)
>>
>
> Die vorstehenden Punkte (abgesehen von Punkt A und B) haben
> Koordinaten, die
> sechs Nachkommastellen aufweisen. Die entsprechenden Abstände KÖNNEN
> dann gar nicht ganzzahlig sein.
Dieses Argument verstehe ich nicht. Beispielsweise gilt für
x = 0.658944
y = 0.752192
exakt x^2 + y^2 = 1.
Gruß,
Klaus Nagel
Klaus G
Einverstanden. Dann sollte man aber die xy-Werte immer exakt
hinschreiben, damit das ganze nachvollziehbar ist.
Was die Lage der Punkte auf einem Kreis angeht, was wäre denn da der
einfachste Prüfalgorithmus?
Gruß
Klaus G.
Wolfgang Kirschenhofer
Klaus G schrieb:
> Wolfgang Kirschenhofer <ki...@kstp.at> wrote in message news:<3F43E0EC...@kstp.at>...
>
>>Klaus G schrieb:
>>
>>>"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> wrote in message news:<bhr1c7$2aee1$2...@ID-54909.news.uni-berlin.de>...
>>>.......................................................
>>>
>>>>Rainer Rosenthal
>>>
>>.................................................
>>Hallo Klaus G. !
>>
>>Deine Argumentation ist nicht richtig,denn es gilt nämlich:
>>
>>A = ( 0.000000, 0.000000)
>>B = ( 23.000000, 0.000000)
>>C = ( 0.217391, 84.999722) = ( 5/23 , 140*sqrt(195)/23 )
>>D = ( 23.130435, 50.999833) = (532/23 , 84*sqrt(195)/23 )
>>E = ( 31.673913, 19.124937) = (1457/46 , 63*sqrt(195)/46 )
>
>
> Einverstanden. Dann sollte man aber die xy-Werte immer exakt
> hinschreiben, damit das ganze nachvollziehbar ist.
Siehe auch Beitrag von Klaus Nagel,9:13 .
> Was die Lage der Punkte auf einem Kreis angeht, was wäre denn da der
> einfachste Prüfalgorithmus?
Bei 5 Punkten kein Problem: 5 Kreisgleichungen (durch jeweils 3
bestimmte Punkte gehend) aufstellen und bei jeder Gleichung jeweils
eine Überprüfung.
Zum einfachsten Prüfalgorithmus bei vielen Punkten fragst Du am besten
Klaus Nagel.
> Gruß
> Klaus G.
Gruß,
Wolfgang Kirschenhofer
Wolfgang Kirschenhofer
Klaus G schrieb:
> Wolfgang Kirschenhofer <ki...@kstp.at> wrote in message news:<3F43E0EC...@kstp.at>...
>
>>Klaus G schrieb:
>>
>>>"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> wrote in message news:<bhr1c7$2aee1$2...@ID-54909.news.uni-berlin.de>...
>>>.......................................................
>>>
>>>>Rainer Rosenthal
>>>
>>.................................................
>>Hallo Klaus G. !
>>
>>Deine Argumentation ist nicht richtig,denn es gilt nämlich:
>>
>>A = ( 0.000000, 0.000000)
>>B = ( 23.000000, 0.000000)
>>C = ( 0.217391, 84.999722) = ( 5/23 , 140*sqrt(195)/23 )
>>D = ( 23.130435, 50.999833) = (532/23 , 84*sqrt(195)/23 )
>>E = ( 31.673913, 19.124937) = (1457/46 , 63*sqrt(195)/46 )
>
>
> Einverstanden. Dann sollte man aber die xy-Werte immer exakt
> hinschreiben, damit das ganze nachvollziehbar ist.
Siehe auch Beitrag von Klaus Nagel,9:13 .
> Was die Lage der Punkte auf einem Kreis angeht, was wäre denn da der
> einfachste Prüfalgorithmus?
Bei 5 Punkten kein Problem: 5 Kreisgleichungen (durch jeweils 3
Klaus Nagel
Wolfgang Kirschenhofer schrieb:
> Siehe auch Beitrag von Klaus Nagel,9:13 .
Hallo Wolfgang,
Deine Uhr geht schon länger um eine Stunde vor, die Antworten auf Deine
Fragen werden oft schon vor diesen eingeordnet. Diese Zeitangabe ist bei
mir 10:13.
>
>> Was die Lage der Punkte auf einem Kreis angeht, was wäre denn da der
>> einfachste Prüfalgorithmus?
>
>
> Bei 5 Punkten kein Problem: 5 Kreisgleichungen (durch jeweils 3
> bestimmte Punkte gehend) aufstellen und bei jeder Gleichung jeweils eine
> Überprüfung.
> Zum einfachsten Prüfalgorithmus bei vielen Punkten fragst Du am besten
> Klaus Nagel.
Ich arbeite zur Zeit an sechs Punkten, da bestimme ich für alle (6 über
3)=20 Tripel den Mittelpunkt des Kreises durch diese drei Punkte. Wenn
zwei Mittelpunkte übereinstimmen, liegen mindestens vier Punkte auf
einem Kreis. Ein Mittelpunkt läßt sich aus zwei linearen Gleichungen
bestimmen. Weil diese Untersuchung nicht zeitkritisch ist, habe ich
keinen Aufwand in eine Beschleunigung gesteckt. Meistens scheitert ein
Ansatz schon an der Ganzzahligkeit, zur Kreisuntersuchung kommt es nur
selten. Ein Problem könnten wieder Rundungsfehler werden. Sollte ich
damit auf die Nase fallen, dann bringe ich auch die
Mittelpunktsbestimmung in Integerform mit Koordinaten vom Typ
(m,n*Wurzel(p)), m,n,p ganz.
Gruß,
Klaus Nagel
Wolfgang Kirschenhofer
>
> Wolfgang Kirschenhofer schrieb:
>
>> Siehe auch Beitrag von Klaus Nagel,9:13 .
>
>
> Hallo Wolfgang,
>
> Deine Uhr geht schon länger um eine Stunde vor, die Antworten auf Deine
> Fragen werden oft schon vor diesen eingeordnet. Diese Zeitangabe ist bei
> mir 10:13.
>
> Ich arbeite zur Zeit an sechs Punkten, da bestimme ich für alle (6 über
> 3)=20 Tripel den Mittelpunkt des Kreises durch diese drei Punkte. Wenn
> zwei Mittelpunkte übereinstimmen, liegen mindestens vier Punkte auf
> einem Kreis. Ein Mittelpunkt läßt sich aus zwei linearen Gleichungen
> bestimmen. Weil diese Untersuchung nicht zeitkritisch ist, habe ich
> keinen Aufwand in eine Beschleunigung gesteckt. Meistens scheitert ein
> Ansatz schon an der Ganzzahligkeit, zur Kreisuntersuchung kommt es nur
> selten. Ein Problem könnten wieder Rundungsfehler werden. Sollte ich
> damit auf die Nase fallen, dann bringe ich auch die
> Mittelpunktsbestimmung in Integerform mit Koordinaten vom Typ
> (m,n*Wurzel(p)), m,n,p ganz.
>
> Gruß,
> Klaus Nagel
>
Hallo Klaus !
Besten Dank für Deine Informationen.
Meine Computer-Uhr ist korrekt eingestellt.Der Grund der
unterschiedlichen Zeitangaben ist vielleicht bei meinem News-Server zu
suchen.Die haben ohnehin ständig Probleme damit,ihren Kunden alle
Nachrichten weiter zu vermitteln.Ich hatte deshalb schon genug Ärger.
Falls Du eine Erklärung für die Zeitdifferenz hast,dann teile mir das
bitte mit.
Jetzt ist es 16:46.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Ralf Beyer
>
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> wrote in news:bh8tah$v24s4$1@ID-
> 54909.news.uni-berlin.de:
>
> >
> > ...jedoch ist offen, ob es sieben Punkte in
> > allgemeiner Lage gibt, deren Abstände alle
> > ganzzahlig sind (keine drei auf einer Geraden
> > und keine 4 auf einem Kreis).
> >
>
> wärs mit einem kleinen Wettbewerb:
>
> 3 solche Punkte sind trivial, bei 4 muss man schon ein bischen nachdenken.
>
> Wer findet die meisten ?
Ich kann mittlerweile schon 3 verschiedene Lösungen mit 6 Punkten bieten.
Davon lassen sich zwei sogar auf 7 Punkte mit ganzzahligen Abständen
erweitern. Allerdings sind dann entweder 3 Punkte auf einer Geraden oder
4 auf einem Kreis. Das beste, was ich bisher bieten kann:
7 Punkte mit ganzzahligen Abständen, *keine* 3 auf einer Geraden und
nur 2 Kreise, welche durch 4 Punkte gehen.
Falls es tatsächlich geht, muß ein Abstand >4000 sein. Mein Pentium II
400 hat da schon 5 Tage CPU-Zeit mit verbraten. Ich hefte die Lösungen
mal mit ran, da die Ausgabe meines Proggis von Umfang noch halbwegs
ertäglich ist. Wenn ich Zeit finde, bastel ich mal Bilder davon und
stelle sie ins Web.
Gruß Ralf
##################################################
pointset 1
##################################################
P1 ( 0.0000000000000000, 0.0000000000000000)
P2 ( 609.9999999999999644, 0.0000000000000000)
P3 ( 170.8000000000000184, 585.5999999999999872)
P4 ( -570.3278688524590300, 216.3934426229508378)
P5 ( -183.0327868852459083, -998.3606557377049384)
P6 ( 620.6950819672131025,-1245.9540983606556263)
##################################################
integer distances
##################################################
P2 <-> P1: 610
P3 <-> P1: 610
P4 <-> P1: 610
P5 <-> P1: 1015
P6 <-> P1: 1392
P3 <-> P2: 732
P4 <-> P2: 1200
P5 <-> P2: 1275
P6 <-> P2: 1246
P4 <-> P3: 828
P5 <-> P3: 1623
P6 <-> P3: 1886
P5 <-> P4: 1275
P6 <-> P4: 1886
P6 <-> P5: 841
integer distance test passed
linear test passed
on circle test passed
4 point test passed
##################################################
searching for point 7 ............
##################################################
pointset 2
##################################################
P1 ( 0.0000000000000000, 0.0000000000000000)
P2 ( 1768.9999999999999502, 0.0000000000000000)
P3 ( 1653.9508196721310895, 627.5409836065576563)
P4 ( -86.2413793103448256,-1766.8965517241379536)
P5 ( -201.2905596382136952,-1139.3555681175806526)
P6 ( 1567.7094403617863882,-1139.3555681175806526)
##################################################
integer distances
##################################################
P2 <-> P1: 1769
P3 <-> P1: 1769
P4 <-> P1: 1769
P5 <-> P1: 1157
P6 <-> P1: 1938
P3 <-> P2: 638
P4 <-> P2: 2562
P5 <-> P2: 2276
P6 <-> P2: 1157
P4 <-> P3: 2960
P5 <-> P3: 2562
P6 <-> P3: 1769
P5 <-> P4: 638
P6 <-> P4: 1769
P6 <-> P5: 1769
integer distance test passed
linear test passed
on circle test passed
4 point test passed
##################################################
searching for point 7 ............
##################################################
found:
P7 ( 783.8547201808932385, -569.6777840587902375)
##################################################
integer distances
##################################################
P7 <-> P1: 969
P7 <-> P2: 1138
P7 <-> P3: 1480
P7 <-> P4: 1480
P7 <-> P5: 1138
P7 <-> P6: 969
P7 P6 P1 are on same line
P7 P5 P2 are on same line
P7 P4 P3 are on same line
linear test failed
##################################################
found:
P7 ( 1021.5472018089315486, 543.2221594120972163)
##################################################
integer distances
##################################################
P7 <-> P1: 1157
P7 <-> P2: 924
P7 <-> P3: 638
P7 <-> P4: 2562
P7 <-> P5: 2080
P7 <-> P6: 1769
linear test passed
P7 P6 P2 P1 are on same circle
P7 P5 P4 P3 are on same circle
on circle test failed
##################################################
found:
P7 ( 546.1622385528547951,-1682.5777275296777801)
##################################################
integer distances
##################################################
P7 <-> P1: 1769
P7 <-> P2: 2080
P7 <-> P3: 2562
P7 <-> P4: 638
P7 <-> P5: 924
P7 <-> P6: 1157
linear test passed
P7 P6 P5 P1 are on same circle
P7 P4 P3 P2 are on same circle
on circle test failed
##################################################
pointset 3
##################################################
P1 ( 0.0000000000000000, 0.0000000000000000)
P2 ( 1850.0000000000000000, 0.0000000000000000)
P3 ( 1460.8108108108108780, 1135.1351351351353091)
P4 (-1498.7567567567565696, 1084.5405405405406185)
P5 ( -297.6324324324324166, -919.0054054054053622)
P6 ( 1485.4756756756755109, -307.6540540540545265)
##################################################
integer distances
##################################################
P2 <-> P1: 1850
P3 <-> P1: 1850
P4 <-> P1: 1850
P5 <-> P1: 966
P6 <-> P1: 1517
P3 <-> P2: 1200
P4 <-> P2: 3520
P5 <-> P2: 2336
P6 <-> P2: 477
P4 <-> P3: 2960
P5 <-> P3: 2704
P6 <-> P3: 1443
P5 <-> P4: 2336
P6 <-> P4: 3293
P6 <-> P5: 1885
integer distance test passed
linear test passed
on circle test passed
4 point test passed
##################################################
searching for point 7 ............
##################################################
found:
P7 ( 1498.7567567567565696,-1084.5405405405406185)
##################################################
integer distances
##################################################
P7 <-> P1: 1850
P7 <-> P2: 1140
P7 <-> P3: 2220
P7 <-> P4: 3700
P7 <-> P5: 1804
P7 <-> P6: 777
P7 P4 P1 are on same line
P7 P6 P3 are on same line
linear test failed
Rainer Rosenthal
Ralf Beyer wrote
>
> Ich kann mittlerweile schon 3 verschiedene Lösungen mit 6 Punkten bieten.
>
> pointset 1
> ##################################################
> P2 <-> P1: 610
> P3 <-> P1: 610
> P4 <-> P1: 610
Die Punkte P2, P3, P4 liegen also auf einem Kreis.
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Ralf Beyer
Ja klar. Aber das sind nur 3 Punkte. 3 Punkte liegen immer auf einem Kreis.
Hint: P1 liegt in der *Mitte* des Kreises durch P2, P3, P4.
Gruß Ralf
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
... und alle anderen Tripel auch :-), zum Glück, denn sonst lägen sie
auf einer Geraden.
Ich habe diese Lösung mit meinen Programmen bestätigt, Ralph
beglückwünscht und ihm ein Bild seiner Sechser-Lösung geschickt.
Gruß,
Klaus Nagel
Ralf Beyer
Ja, ich habe immer mit 4er Sets angefangen, wobei P1 in der Mitte
des Kreises durch P2, P3, P4 geht (alle weiteren Punkte dürfen
natürlich nicht auf diesem Kreis liegen). Dann habe ich die 4er
Sets aussortiert, bei denen P1,P3,P4 auf einer Geraden liegen.
Das war meine Startmenge. Daraus habe ich 5er Sets und dann die
6er gebastelt...
Das spart eine Menge Rechenarbeit im Vergleich zu dem Ansatz von
Klaus Nagel (Start mit 2er Set), stellt allerdings nicht sicher,
daß man tatsächlich alles findet (es wären durchaus 6er Sets mit
15 verschiedenen Abständen denkbar). Aber nur *so* kommt man
schnell in den Bereich mit Kantenlänge >1000.
Gruß Ralf
Rainer Rosenthal
Ralf Beyer wrote
> > > Ich kann mittlerweile schon 3 verschiedene
> > > Lösungen mit 6 Punkten bieten.
>
> Ja, ich habe immer mit 4er Sets angefangen, wobei P1 in der Mitte
> des Kreises durch P2, P3, P4 geht (alle weiteren Punkte dürfen
> natürlich nicht auf diesem Kreis liegen). Dann habe ich die 4er
> Sets aussortiert, bei denen P1,P3,P4 auf einer Geraden liegen.
> Das war meine Startmenge. Daraus habe ich 5er Sets und dann die
> 6er gebastelt...
>
> Das spart eine Menge Rechenarbeit im Vergleich zu dem Ansatz von
> Klaus Nagel (Start mit 2er Set), stellt allerdings nicht sicher,
> daß man tatsächlich alles findet (es wären durchaus 6er Sets mit
> 15 verschiedenen Abständen denkbar). Aber nur *so* kommt man
> schnell in den Bereich mit Kantenlänge >1000.
>
O Hilfe, was habe ich da verschusselt! Ich schliesse mich natürlich
eilig dem Glückwunsch von Klaus Nagel an.
Ich hatte auch schon Deine Lösung durch die "Mühle" geschickt:
a*a*b*b*d*d - a*a*c*c*d*d - b*b*c*c*d*d +
c*c*c*c*d*d + c*c*d*d*d*d - a*a*b*b*e*e +
b*b*b*b*e*e + a*a*c*c*e*e - b*b*c*c*e*e -
b*b*d*d*e*e - c*c*d*d*e*e + b*b*e*e*e*e +
a*a*a*a*f*f - a*a*b*b*f*f - a*a*c*c*f*f +
b*b*c*c*f*f - a*a*d*d*f*f - c*c*d*d*f*f -
a*a*e*e*f*f - b*b*e*e*f*f + d*d*e*e*f*f +
a*a*f*f*f*f = 0
als mir plötzlich Zweifel kamen - die sich als albern erwiesen haben,
sorry! (Die Mühlen-Formel von Hermann Jurksch ist im letzten Glied
der zweiten Zeile repariert worden; ich hatte sie heute früh falsch
getippt).
Ich bin noch dabei, sie in eine handlichere Form zu bringen.
Nochmals meinen Glückwunsch. Und das Bild von Klaus Nagel hätte
ich auch gerne. Oder hat er es bei sich "aufgehängt"? Das wäre
ja auch eine feine Sache.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Wolfgang Kirschenhofer
Ich schließe mich den Glückwünschen für Ralph Beyer ebenfalls an.Die
Richtigkeit der Abstände für den pointset1 habe ich mit DERIVE
nachgeprüft.Die Koordinaten der Punkte P2,P3,P4,P5 und P6 sind:
(610,0) ,(854/5,2928/5) , (-34790/61,13200/61) , (-11165/61,-60900/61)
und (189312/305,-380016/305) .
Rainer Rosenthal schrieb:
........................
>
> O Hilfe, was habe ich da verschusselt! Ich schliesse mich natürlich
> eilig dem Glückwunsch von Klaus Nagel an.
> Ich hatte auch schon Deine Lösung durch die "Mühle" geschickt:
>
> a*a*b*b*d*d - a*a*c*c*d*d - b*b*c*c*d*d +
> c*c*c*c*d*d + c*c*d*d*d*d - a*a*b*b*e*e +
> b*b*b*b*e*e + a*a*c*c*e*e - b*b*c*c*e*e -
> b*b*d*d*e*e - c*c*d*d*e*e + b*b*e*e*e*e +
> a*a*a*a*f*f - a*a*b*b*f*f - a*a*c*c*f*f +
> b*b*c*c*f*f - a*a*d*d*f*f - c*c*d*d*f*f -
> a*a*e*e*f*f - b*b*e*e*f*f + d*d*e*e*f*f +
> a*a*f*f*f*f = 0
>
> als mir plötzlich Zweifel kamen - die sich als albern erwiesen haben,
> sorry! (Die Mühlen-Formel von Hermann Jurksch ist im letzten Glied
> der zweiten Zeile repariert worden; ich hatte sie heute früh falsch
> getippt).
>
> Ich bin noch dabei, sie in eine handlichere Form zu bringen.
Mit der Bezeichnung von Hermann Jurksch lautet eine handlichere Form:
(b^2+c^2-2*x_3*x_4-f^2)^2 = 4*(b^2-(x_3)^2)*(c^2-(x_4)^2) (1)
wobei x_3= (b^2+a^2-d^2)/(2*a) und x_4 = (c^2+a^2-e^2)/(2*a) ist.
Man leitet dies entweder so her wie Hermann Jurksch oder aus dem
Kosinussatz angewendet auf das Dreieck ACD:
b^2+c^2-2*b*c*cos(phi)=f^2 ,wobei phi der Winkel zwischen den Seiten
AD und AC ist (f ist der Abstand zwischen D und C).
2*b*c*cos(phi) ist aber das Skalarprodukt der Vektoren (x_3,y_3) und
(x_4,y_4).Es gilt daher
b^2+c^2 - 2*(x_3*x_4 + y_3*y_4)= f^2 .Nun ist aber
y_3=sqrt(b^2-(x_3)^2) und y_4 = sqrt(c^2-(x_4)^2) .Setzt man dies ein
und bringt die Wurzeln durch Quadrieren weg, erhält man dann Gleichung
(1).
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Paul Ebermann
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > Deine Uhr geht schon länger um eine Stunde vor, die Antworten auf Deine
> > Fragen werden oft schon vor diesen eingeordnet. Diese Zeitangabe ist bei
> > mir 10:13.
>
> Meine Computer-Uhr ist korrekt eingestellt.Der Grund der
> unterschiedlichen Zeitangaben ist vielleicht bei meinem News-Server zu
> suchen.Die haben ohnehin ständig Probleme damit,ihren Kunden alle
> Nachrichten weiter zu vermitteln.Ich hatte deshalb schon genug Ärger.
> Falls Du eine Erklärung für die Zeitdifferenz hast,dann teile mir das
> bitte mit.
> Jetzt ist es 16:46.
Deine Zeitzone ist falsch eingestellt.
Wir haben Sommerzeit, was dein Rechner nicht
zu wissen scheint ...
(Deine Zeitzone ist auf UTC+0100 (=MEZ)
eingestellt, die Uhr aber auf UTC+0200
(= MESZ).)
Unsere Newsreader übersetzen das dann, so
dass es aussieht, als wäre deine Uhr falsch ...
Paul
Wolfgang Kirschenhofer
> "Wolfgang Kirschenhofer" skribis:
.................................................
> Deine Zeitzone ist falsch eingestellt.
> Wir haben Sommerzeit, was dein Rechner nicht
> zu wissen scheint ...
>
> (Deine Zeitzone ist auf UTC+0100 (=MEZ)
> eingestellt, die Uhr aber auf UTC+0200
> (= MESZ).)
>
> Unsere Newsreader übersetzen das dann, so
> dass es aussieht, als wäre deine Uhr falsch ...
>
>
> Paul
Hallo Paul !
Herzlichen Dank für Deine wichtige Information.
Ich hatte tatsächlich nicht auf Winter/Sommerzeit-Automatik gestellt.
Ich habe das jetzt geändert und mußte dann die Uhr um 1 Stunde
zurückstellen.Die Zeitzone erscheint bei mir in folgender Form:
GMT+01:00 Berlin,Bern,Brüssel,Rom,Stockholm,Wien.
Sollten die Einstellungen wieder nicht stimmen,dann teile mir das
bitte mit.
Besten Dank.
Grüße,
Wolfgang
Ralf Beyer
>
> Ich hatte auch schon Deine Lösung durch die "Mühle" geschickt:
>
> a*a*b*b*d*d - a*a*c*c*d*d - b*b*c*c*d*d +
> c*c*c*c*d*d + c*c*d*d*d*d - a*a*b*b*e*e +
> b*b*b*b*e*e + a*a*c*c*e*e - b*b*c*c*e*e -
> b*b*d*d*e*e - c*c*d*d*e*e + b*b*e*e*e*e +
> a*a*a*a*f*f - a*a*b*b*f*f - a*a*c*c*f*f +
> b*b*c*c*f*f - a*a*d*d*f*f - c*c*d*d*f*f -
> a*a*e*e*f*f - b*b*e*e*f*f + d*d*e*e*f*f +
> a*a*f*f*f*f = 0
>
> als mir plötzlich Zweifel kamen - die sich als albern erwiesen haben,
> sorry! (Die Mühlen-Formel von Hermann Jurksch ist im letzten Glied
> der zweiten Zeile repariert worden; ich hatte sie heute früh falsch
> getippt).
Den Test habe ich auch in mein Programm integriert (das
ist der "4 point test") und ihn für alle (6 über 4) = 15
Möglichkeiten geprüft.
> Ich bin noch dabei, sie in eine handlichere Form zu bringen.
Am besten wäre eine, die man auch in 64 bit Integer-Arithmetik
verwenden kann. In meinem Proggi habe ich dafür 128 bit Floats
genommen, um mir den Ärger mit dem Integer-Overflow zu
ersparen.
> Nochmals meinen Glückwunsch. Und das Bild von Klaus Nagel hätte
> ich auch gerne. Oder hat er es bei sich "aufgehängt"? Das wäre
> ja auch eine feine Sache.
Das Bild liegt jetzt unter https://hfwg.dyndns.org/sechser.jpg
Gruß Ralf
Hermann Jurksch
> Den Test habe ich auch in mein Programm integriert (das
> ist der "4 point test") und ihn für alle (6 über 4) = 15
> Möglichkeiten geprüft.
Wie suchst Du eigentlich? Suchst Du aus einer Datenbank der
k-Lösungen solche mit gemeinsamer k-1-Lösung oder brute force?
MfG
Hermann
Rainer Rosenthal
Hermann Jurksch wrote
>
> Wie suchst Du eigentlich?
Hallo Hermann,
es freut mich sehr, dass Du auch in de.sci.mathematik
hereinschaust. Hier habe ich eine Mitteilung aus sci.math,
bei der die Tinte noch feucht ist:
======================== von anonymous ====================================
see http://www.isthe.com/chongo/tech/math/n-cluster/index.html
You might like to check this reference out. I did the programming work and
found the examples, and had Landon check my work.
The existance of 7 points might be checked, if we had an efficient way to
find
Heron triangles sharing a common side.
You simply pick 5 such triangles and then check conditions on the 3rd point
not
on the common side, so that none are on a circle or line.
Conditions get a bit more sticky as we climb up the dimensions.
We did a lot of searching, Landon had access to Amdahl supercomputers, so
the
search space was quite extensive, I believe the extents went past 27,000.
Randall
======================== /von anonymous ===================================
Mein dummer Einwand gegen Ralfs Lösung mit
> P2 <-> P1: 610
> P3 <-> P1: 610
> P4 <-> P1: 610
war aus einer Abneigung gegen "zu glatte" Lösungen gekommen. Dabei
ist die Sache doch so einfach: Man kann unter den Lösungen nochmal
die speziell kennzeichnen, die ganz besonders spektakulär sind.
Mit den Worten von anonymous/Randall von der genannten Seite:
prime n-cluster: An n-cluster where the greatest
common divisor of the mutual distances = 1
Mein Einwand wird also weniger dumm, wenn ich ihn umdeute als einen
Hinweis darauf, dass Ralfs Lösung nicht prim ist.
Aber prima und d.s.m.-prim ist sie natürlich auf alle Fälle :-)
Wenn ich die 6-er-Lösung auf der Webseite auf die schnelle richtig
interpretiert habe, dann könnte es die von Ralf sein, denn die dort
angegebene Lösung lautet
(0,0) (546,272) (132,720) (960,720) (546,-1120) (1155,-540)
und hat öfter den Abstand 610. Ich muss jetzt aber zu einem Termin
flitzen.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Rainer Rosenthal wrote
>
> prime n-cluster: An n-cluster where the greatest
> common divisor of the mutual distances = 1
>
Nee, leider nicht. Denn dass sämtliche paarweisen
Distanzen teilerfremd sind, kann für n > 4 gar nicht
sein, wie wir seit kurzem wissen. So hatte ich aber
in einem Anfall von Schnell-Leseschwäche diese
Definition gedeutet :-(
Als "prim" wird einfach eine Konstellation bezeichnet,
die nicht durch simple ganzzahlige Vergrösserung aus
einer anderen hervorgeht.
Die Dummheit war hoffentlich in den Haarspitzen, die
mir eben der Friseur abgeschnitten hat. Oder wächst
Dummheit nach?
Ich habe immer noch dies "Gefühl", als müsse "allgemeine
Lage" etwas sein, was total unkonstruiert und ohne jeden
Bezug zur Welt der Kreise und Geraden aussehen sollte.
Man beschimpfe mich deswegen bitte nicht. Ich könnte mir
vorstellen, dass die Fragestellung zur "allgemeinen Lage"
durchaus mathematisch interessant sein *könnte*. Ich
stelle diesen Gedanken ganz friedlich zur Diskussion.
Um es aber korrekt zu formulieren, muss ich so sagen:
Nachdem "allgemeine Lage" eindeutig definiert war als
Keine 3 Punkte auf einer Geraden und
keine 4 Punkte auf einem Kreis
ist es unsinnig, den Begriff umdeuten zu wollen. So wie
mit dem Begriff "prime Lösung" aber gewisse Lösungen
ausgezeichnet werden, schlage ich den Begriff "nicht-
elementare Lösung" vor für solche, die für 4 Punkte
auch ausschliessen, dass einer der Mittelpunkt des Kreises
durch die anderen drei ist. Also die Lösungen, auf die
Ralf Beyer bereits hingewiesen hat, weil sie bei seiner
Suche nicht entdeckt werden.
Und um das online-Denken zum Ende zu führen:
Vier Punkte heissen "kreisverwandt", wenn sie
zu Peripherie oder Mittelpunkt eines Kreises
gehören.
Und ich definiere
Eine n-Punkte-Lösung (n-cluster) heisst
euklidisch (euklidean), wenn 3 Punkte
auf einer Geraden liegen oder 4 Punkte
kreisverwandt sind.
Jetzt habe ich wenigstens klar gesagt, wo mich der Schuh
gedrückt hat. Notfalls muss ich halt die Zehnägel auch
noch schneiden :-)
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus G
Anzumerken ist, daß beim "n-cluster" auch die Koordinaten ganzzahlig
sind, während in diesem Thread auch nichtganzzahlige Werte betrachtet
werden.
Die Anzahl der Lösungen im ersten Fall ist sicher <= Anzahl im
allgemeinen Fall.
Klaus G.
Hermann Jurksch
> Wenn ich die 6-er-Lösung auf der Webseite auf die schnelle richtig
> interpretiert habe, dann könnte es die von Ralf sein, denn die dort
> angegebene Lösung lautet
> (0,0) (546,272) (132,720) (960,720) (546,-1120) (1155,-540)
> und hat öfter den Abstand 610. Ich muss jetzt aber zu einem Termin
> flitzen.
Hm, langsam müßte man eine Literaturrecherche machen, was überhaupt
bekannt ist, z.B. ist bewiesen, daß es für n=8 keine Lösungen gibt,
gibt es untere Schranken für den kleinsten Abstand zweier Punkte in
Abhängigkeit von n (schätze daß der recht explosionsartig ansteigt) usw.
MfG
Hermann
Wolfgang Kirschenhofer
> "Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> wrote in message news:<bi7261$5s5gc$1...@ID-54909.news.uni-berlin.de>...
>
>>Hermann Jurksch wrote
>>
>
>>
>>see http://www.isthe.com/chongo/tech/math/n-cluster/index.html
.................................................................................
>>Wenn ich die 6-er-Lösung auf der Webseite auf die schnelle richtig
>>interpretiert habe, dann könnte es die von Ralf sein, denn die dort
>>angegebene Lösung lautet
>>
>> (0,0) (546,272) (132,720) (960,720) (546,-1120) (1155,-540)
>>
>>und hat öfter den Abstand 610. Ich muss jetzt aber zu einem Termin
>>flitzen.
>>
>>Gruss,
>>Rainer Rosenthal
>>r.ros...@web.de
>
>
> Anzumerken ist, daß beim "n-cluster" auch die Koordinaten ganzzahlig
> sind, während in diesem Thread auch nichtganzzahlige Werte betrachtet
> werden.
> Die Anzahl der Lösungen im ersten Fall ist sicher <= Anzahl im
> allgemeinen Fall.
> Klaus G.
Hallo !
Nur eine Bemerkung dazu:
Streckt man Ralph Beyers pointset1 Lösung mit dem Faktor 305=5*61
,dann erhält man den folgenden 6_2-Cluster:
P_1= (0,0),P_2=(186050,0),P_3=(52094,178608),P_4= (- 173950 , 66000) ,
P_5=(-55825,- 304500) , P_6=(189312,- 380016)
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Rainer Rosenthal
Klaus G
>
> Anzumerken ist, daß beim "n-cluster" auch die Koordinaten ganzzahlig
> sind, während in diesem Thread auch nichtganzzahlige Werte betrachtet
> werden.
> Die Anzahl der Lösungen im ersten Fall ist sicher <= Anzahl im
> allgemeinen Fall.
Die Koordinaten sind vollkommen ohne Bedeutung.
Wichtig ist lediglich die Abstandsmatrix.
Wolfgang Kirschenhofer hat auf den Umstand aufmerksam gemacht,
dass die Punkte von Ralf Beyer alle rational sind und mit dem
Faktor 305 gestreckt ebenfalls ganze Zahlen sind.
Hier ist sogar eine Kongruenz-Abbildung:
========================================
Bezeichnet man mit phi den kleinen Winkel des pythagoräischen
Dreiecks mit den Seiten 272, 546, 610 , d.h. also
phi = atan(272/546)
und mit M die daraus gebaute Transformationsmatrix
[ - cos(phi) - sin(phi) ]
M = [ ]
[ - sin(phi) + cos(phi) ]
[ - 546 ]
sowie mit T den Translationsvektor T = [ ]
[ - 272 ]
dann stellt man fest, dass gilt:
M*(P1+T) = B M*(P2+T) = A M*(P3+T) = C
M*(P4+T) = D M*(P5+T) = F M*(P6+T) = E
Dabei sind A,B,C,D,E,F die Punkte P1 bis P6 von Ralf, wie
sie in der schönen Zeichnung von Klaus Nagel erscheinen.
(Ist sie schon online? Ich hatte sie per Mail erhalten.)
Und P1 bis P6 bezeichnen die in der n-cluster Seite gegebenen
Punkte mit ganzzahligen Koordinaten:
(0,0) (546,272) (132,720) (960,720) (546,-1120) (1155,-540)
die hier schön abgebildet ist:
http://www.isthe.com/chongo/tech/math/n-cluster/6-cluster.html
Bei Gelegenheit der Berechnung der Transformation sind mir
noch diverse weitere Symmetrien aufgefallen, die die
"euklidische Natur" dieser 6-er-Lösung weiter aufzeigen.
So sind z.B. insgesamt drei gleichseitige Dreiecke vorhanden,
wovon zwei auch noch die selbe Basis haben.
D.h. es gibt sich senkrecht kreuzende Verbindungsgeraden.
"Senkrecht" würde ich bei nicht-euklidischen Punktmengen auch
gerne ausgeschlossen wissen. An der Definition könnte man ja
noch schrauben
Die Transformationsrechnung hat Spass gemacht, auch wenn (oder
gerade weil?) die Übung fehlt.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Rainer Rosenthal wrote
> So sind z.B. insgesamt drei gleichseitige Dreiecke vorhanden,
^^^^^^^^^^^^^^
ich meinte gleichschenklige, sorry!
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
>
> ...jedoch ist offen, ob es sieben Punkte in allgemeiner Lage gibt,
> deren Abstände alle ganzzahlig sind (keine drei auf einer Geraden und
> keine 4 auf einem Kreis).
>
Es tauchte die Frage auf, warum vier Punkte auf einem Kreis verboten
sind. Ein Grund ist sicher, daß man leicht beliebig viele Punkte mit
ganzzahligem Abständen auf einem Kreis konstruieren kann:
Zwei Punkte im Winkelabstand phi auf einem Kreis mit Radius r haben den
Abstand 2*r*sin(phi/2). Man wählt phi so, daß cos(phi/2) und sin(phi/2)
rational sind, etwa cos(phi/2) = 4/5 und sin(phi/2) = 3/5. Nach den
Additionstheoremen für den Kosinus und Sinus sind dann auch die Kosinus
und Sinus der Vielfachen von phi/2 rational. Nimmt man eine Folge von
Punkten jeweils im Winkelabstand phi, so sind sämtliche Abstände
rational. Mit einem Radius, der Vielfaches der Nenner aller Abstände
ist, erhält man ganzzahlige Abstände. Der Radius wird dabei schnell
riesengroß.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> Es tauchte die Frage auf, warum vier Punkte auf einem Kreis verboten
> sind. Ein Grund ist sicher, daß man leicht beliebig viele Punkte mit
> ganzzahligem Abständen auf einem Kreis konstruieren kann:
>
> Man wählt phi so, daß cos(phi/2) und sin(phi/2) rational sind,
> Nach den Additionstheoremen für den Kosinus und Sinus ...
Danke für die Erklärung. Da es sein kann, dass jemand den Sonntag
nutzen möchte für die Beschäftigung mit dem Thema, möchte ich
die beiden Lösungen aus "Unsolved Problems in Number Theory" [1],
Kapitel D20 präsentieren, die 6 Punkte in ganzzahligem Abstand
zeigen. Ausführlicheres zu diesem Kapitel D20 ist in Vorbereitung.
Die 6-er-Lösung von UPINT sieht so aus:
E F
C D
A B
Was aussieht wie parallele Linien, sind auch wirklich
parallele Linien! AB || CD || EF und AC || BE || DF
sowie AD || CF.
Die Distanzmatrix ist
B C D E F
----------------------------
A 68 85 131 158 2*87
B 127 87 2*85 158
C 2*68 87 131
D 127 85
E 68
Übrigens wird in UPINT auf die Arbeit der Leute verwiesen,
deren Website mit n-Clustern mir genannt worden war!
Und es war das erklärte Ziel dieser Truppe, sich *nur*
solche Konstellationen mit ganzzahligen Koordinaten zu
suchen! Daher ist die obige Konstellation doppelt kostbar,
weil sie mit diesem Programm nicht hat gefunden werden
können. Schade - Dein Programm *hätte* diese Löung doch
finden können?
In UPINT befindet sich dann übrigens noch eine weitere
Lösung, die durch "Inversion an einem konzentrischen Kreis"
entstanden sein soll. Sie hat die Distanzmatrix
B C D E F
----------------------------
A 171 198 319 205 279 Alles nochmal mit
B 243 190 134 198 Zauberformel geprüft,
C 253 143 171 weil das Bild in UPINT
D 124 88 etwas schief gezeichnet
E 76 war!
Als "Zauberformel" bezeichne ich die von Hermann Jurksch vorge-
stellte Formel, die für Punkte P1 bis P4 und die Strecken
a=P1-P2, b=P1-P3, c=P1-P4, d=P2-P3, e=P2-P4, f=P3-P4
so lautet:
a*a*b*b*d*d - a*a*c*c*d*d - b*b*c*c*d*d
+ c*c*c*c*d*d + c*c*d*d*d*d - a*a*b*b*e*e
+ b*b*b*b*e*e + a*a*c*c*e*e - b*b*c*c*e*e
- b*b*d*d*e*e - c*c*d*d*e*e + b*b*e*e*e*e
+ a*a*a*a*f*f - a*a*b*b*f*f - a*a*c*c*f*f
+ b*b*c*c*f*f - a*a*d*d*f*f - c*c*d*d*f*f
- a*a*e*e*f*f - b*b*e*e*f*f + d*d*e*e*f*f
+ a*a*f*f*f*f
= 0
------------------------
[1] Richard K.Guy
Unsolved Problems in Number Theory Volume 1
Springer Verlag 1994
ISBN 0-387-94289-0
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
Hermann Jurksch wrote
>
> Hm, langsam müßte man eine Literaturrecherche machen,
> was überhaupt bekannt ist, z.B. ist bewiesen, daß es
> für n=8 keine Lösungen gibt, gibt es untere Schranken
> für den kleinsten Abstand zweier Punkte in Abhängigkeit
> von n (schätze daß der recht explosionsartig ansteigt)
> usw.
Das Buch UPINT (Unsolved Problems in Number Theory) hat
in Kapitel D20 eine Übersicht auf dreieinhalb Seiten
inklusive Literaturangaben. Hier die vollständigen Angaben
zu diesem sehr empfehlenswerten Buch:
Richard K.Guy
Unsolved Problems in Number Theory Volume 1
Springer Verlag 1994
ISBN 0-387-94289-0
Gleich zu Beginn des Kapitels werden zwei 6-er-Lösungen
präsentiert. (Siehe unten und anderes Posting heute).
Ich habe vor, in einem weiteren Posting mehr aus D20 zu
referieren. Vorab erst einmal die deutschen Literatur-Hinweise
aus UPINT:
M. Altwegg, Ein Satz über Mengen von Punkten mit ganzzahliger
Entfernung
Elem. Math., 7(1952) 56-58.
H. Harborth, Antwort auf eine Frage von P. Erdös nach fünf
Punkten mit ganzzahligen Abständen
Elem. Math., 26(1971) 112-113
Auch die Verfasser der Webseite über "n-cluster" sind genannt:
L. C. Noll & D. I. Bell, n-clusters for 1 < n < 7
Math. Comput., 53(1989) 439 - 444
************ Beginn des Kapitels *********************
*** D20 Six general points at rational distances ****
D20 Sechs Punkte in allgemeiner Lage mit rationalen Abständen
Die erste Ausgabe dieses Buchs hatte gefragt "gibt es 6 Punkte
in der Ebene, keine 3 auf einer Geraden, keine 4 auf einem Kreis,
deren paarweise Differenzen alle rational sind?"
Leech hat gezeigt, dass man eine solche Konfiguration erhalten
kann, indem man 6 Kopien eines Dreiecks zusammenfügt, dessen
Seiten und Seitenhalbierende (sides and medians) alle rational
sind. Solche Dreiecke wurden schon von Euler studiert (siehe D21):
Das einfachste hat Seiten 68, 85, 87 und als Seitenhalbierende
die Hälften von 158, 131, 127 [Fig. 14(a)]
****
Diese Figur 14(a) stelle ich in der schon geposteten Form vor,
die für die Text-Darstellung besser geeignet ist. Festbreiten-
schrift ist aber notwendig:
E F
Die Konfiguration
14(a) - Skizze
Daten und Erklärung
C D folgen
A B
Was aussieht wie parallele Linien, sind auch wirklich
parallele Linien! AB || CD || EF und AC || BE || DF
sowie AD || CF.
Die Distanzmatrix ist
B C D E F
----------------------------
A 68 85 131 158 2*87
B 127 87 2*85 158
C 2*68 87 131
D 127 85
E 68
*** Ende der Figur 14(a)
Harborth & Kemnitz haben gezeigt, dass die Konstruktion minimal
ist unter den angegebenen Voraussetzungen.
Eine verwandte Konfiguration erhält man durch Inversion an einem
konzentrischen Kreis. Die 6 Dreiecke sind dann ähnlich aber nicht
mehr kongruent. [Anm. beim Übersetzen: diese invertierte Figur
ist nicht abgebildet, wie ich irrtümlich geschrieben hatte].
* Kann irgendeine dieser Konstruktionen
erweitert werden?
* Oder gibt es irgendeine Menge mit mehr
als sechs solcher Punkte?
Kemnitz hat eine unsymmetrische Punktmenge von 6 Punkten in ganz-
zahligem Abstand herausgefunden. Von den 15 Abständen sind 13
verschieden, der grösste ist 319 [Fig. 14(b)].
****
Diese Figur 14(b) stelle ich in der schon geposteten Form vor, d.h.
nur als Distanzmatrix. Es handelt sich um ein schief liegendes
5-eck mit den Punkten A, B, C, D, F aussen und Punkt E innen:
B C D E F
----------------------------
A 171 198 319 205 279
B 243 190 134 198
C 253 143 171
D 124 88
E 76
*** Ende der Figur 14(b)
... wird fortgesetzt
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de