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Abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar
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Rainer Rosenthal
Oct 17, 2023, 8:24:34 AM10/17/23
to
Am 17.10.2023 um 06:25 schrieb Ralf Bader:
bezüglich ...
#
# "Testfrage", RB 15.10.2023, 02:56
# ---------------------------------
# Es sei z die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl.
# Kann es dann eine Folge (a_i)_(i e IN) abzählbarer
# Ordinalzahlen geben, die im Sinne der erwähnten(*)
# Ordnungstopologie gegen z konvergiert?
#
... folgende Auflösung ...
>
> Die Vereinigung a = U(a_i)_(i e IN) ist eine abzählbare Ordinalzahl,
> und kein a_i liegt in dem Intervall (a,z); damit kann die Folge
> (a_i) in der Ordnungstopologie nicht gegen z konvergieren.
>
Oh, raffiniert! Auf Anhieb scheint es paradox, als ob der Grenzwert zur
Folge gehört. Klingt fast so lustig wie die falsche Aussage "die
Vereinigung endlicher Mengen" ist stets eine endliche Menge". Aber dann,
auf den zweiten Blick, wird es klar: abzählbar viele Ordinalzahlen des
Typs "abzählbar" sind sehr wenige im Vergleich zu allen, d.h. wenn ich
abzählbar viele vereinige, dann kann das Ergebnis abzählbar sein, ohne
zu den vereinigten Mengen zu gehören [dazu weiter unten der Gedanke
OOPS]. Und es /muss/ sogar so sein.
Beweisbar ist das sofort mit dem ersten Diagonalargument des berühmten
Mathematikers Georg Cantor, von dem manche hier in dsm schon öfter etwas
gelesen haben. Sei nämlich d: N -> N x N eine gemäß Cantor existierende
Primärdiagonalisierung(**). Jedes der a_i ist abzählbar, jedes seiner
Elemente kann also eindeutig als a_i(j) beschrieben werden. Zu jedem
Element e von a gibt es ein i mit e € a_i, d.h. es ist e = a_i(j).
Damit ist also eine Abzählung von a möglich:
Zu e = a_i(j) bestimme k mit d(k) = (i,j) und definiere a(k) = e.
Anmerkung: Anklänge an Cantors zweites Diagonalargument sind ebenfalls
da, denn auch dort steht man mit Listen von Zahlen dumm da, wenn man
/alle/ auflisten möchte. Die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl ist
auch so ein Fiesling. Ich gebe zu, dass ich als Mengenlehre-Laie von
diesem Zeitgenossen bisher noch nicht gehört oder gelesen hatte. Besten
Dank für die interessante Testfrage!
~~ * ~~ * ~~
Mir huscht gerade der Verdacht durch den Kopf, dass vielleicht Folgendes
gezeigt werden kann:
Behauptung OOPS
Wenn die Vereinigung a = U(a_i)_(i e IN) eine abzählbare Ordinalzahl
ist, wobei alle a_i abzählbare Ordinalzahlen sind, dann gilt:
Wenn es ein n mit a_n = a gibt, dann ist a = omega.
Gruß,
RR
P.S. Das Wort "Netz" im unten zitierten Wikipedia-Artikel war mir in dem
Zusammenhang unbekannt. Könnte es einfach durch das Wort "Menge" ersetzt
werden? Ist es also nur verwendet worden, um das Auge nicht zu ermüden?
Oder ist "Netz" schon im Sinne von Halb- oder sonstiger Ordnung zu
verstehen?
(*) Erwähnt von Tom Bola, 14.10.2023 15:44 im Thread
"Neues aus Mückenhausen: IN ist eine endliche Menge!"
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Wikipedia:
Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes
von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz
aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung.
Oder, "genauer" noch, die englische Wiki:
A nonzero ordinal that is not a successor is called a limit ordinal.
One justification for this term is that a limit ordinal is the limit
in a topological sense of all smaller ordinals under the order topology.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(**) Rainer Rosenthal, 02.10.2023 im Thread "Bijektionen von Abbildungen"
Primärdiagonalisierung
Eine Auflistung aller Zahlenpaare natürlicher Zahlen.
bezüglich ...
#
# "Testfrage", RB 15.10.2023, 02:56
# ---------------------------------
# Es sei z die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl.
# Kann es dann eine Folge (a_i)_(i e IN) abzählbarer
# Ordinalzahlen geben, die im Sinne der erwähnten(*)
# Ordnungstopologie gegen z konvergiert?
#
... folgende Auflösung ...
>
> Die Vereinigung a = U(a_i)_(i e IN) ist eine abzählbare Ordinalzahl,
> und kein a_i liegt in dem Intervall (a,z); damit kann die Folge
> (a_i) in der Ordnungstopologie nicht gegen z konvergieren.
>
Oh, raffiniert! Auf Anhieb scheint es paradox, als ob der Grenzwert zur
Folge gehört. Klingt fast so lustig wie die falsche Aussage "die
Vereinigung endlicher Mengen" ist stets eine endliche Menge". Aber dann,
auf den zweiten Blick, wird es klar: abzählbar viele Ordinalzahlen des
Typs "abzählbar" sind sehr wenige im Vergleich zu allen, d.h. wenn ich
abzählbar viele vereinige, dann kann das Ergebnis abzählbar sein, ohne
zu den vereinigten Mengen zu gehören [dazu weiter unten der Gedanke
OOPS]. Und es /muss/ sogar so sein.
Beweisbar ist das sofort mit dem ersten Diagonalargument des berühmten
Mathematikers Georg Cantor, von dem manche hier in dsm schon öfter etwas
gelesen haben. Sei nämlich d: N -> N x N eine gemäß Cantor existierende
Primärdiagonalisierung(**). Jedes der a_i ist abzählbar, jedes seiner
Elemente kann also eindeutig als a_i(j) beschrieben werden. Zu jedem
Element e von a gibt es ein i mit e € a_i, d.h. es ist e = a_i(j).
Damit ist also eine Abzählung von a möglich:
Zu e = a_i(j) bestimme k mit d(k) = (i,j) und definiere a(k) = e.
Anmerkung: Anklänge an Cantors zweites Diagonalargument sind ebenfalls
da, denn auch dort steht man mit Listen von Zahlen dumm da, wenn man
/alle/ auflisten möchte. Die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl ist
auch so ein Fiesling. Ich gebe zu, dass ich als Mengenlehre-Laie von
diesem Zeitgenossen bisher noch nicht gehört oder gelesen hatte. Besten
Dank für die interessante Testfrage!
~~ * ~~ * ~~
Mir huscht gerade der Verdacht durch den Kopf, dass vielleicht Folgendes
gezeigt werden kann:
Behauptung OOPS
Wenn die Vereinigung a = U(a_i)_(i e IN) eine abzählbare Ordinalzahl
ist, wobei alle a_i abzählbare Ordinalzahlen sind, dann gilt:
Wenn es ein n mit a_n = a gibt, dann ist a = omega.
Gruß,
RR
P.S. Das Wort "Netz" im unten zitierten Wikipedia-Artikel war mir in dem
Zusammenhang unbekannt. Könnte es einfach durch das Wort "Menge" ersetzt
werden? Ist es also nur verwendet worden, um das Auge nicht zu ermüden?
Oder ist "Netz" schon im Sinne von Halb- oder sonstiger Ordnung zu
verstehen?
(*) Erwähnt von Tom Bola, 14.10.2023 15:44 im Thread
"Neues aus Mückenhausen: IN ist eine endliche Menge!"
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Wikipedia:
Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes
von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz
aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung.
Oder, "genauer" noch, die englische Wiki:
A nonzero ordinal that is not a successor is called a limit ordinal.
One justification for this term is that a limit ordinal is the limit
in a topological sense of all smaller ordinals under the order topology.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(**) Rainer Rosenthal, 02.10.2023 im Thread "Bijektionen von Abbildungen"
Primärdiagonalisierung
Eine Auflistung aller Zahlenpaare natürlicher Zahlen.
Rainer Rosenthal
Oct 17, 2023, 10:11:26 AM10/17/23
to
Am 17.10.2023 um 14:24 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Anmerkung: Anklänge an Cantors zweites Diagonalargument sind ebenfalls
> da, denn auch dort steht man mit Listen von Zahlen dumm da, wenn man
> /alle/ auflisten möchte. Die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl ist
> auch so ein Fiesling. Ich gebe zu, dass ich als Mengenlehre-Laie von
> diesem Zeitgenossen bisher noch nicht gehört oder gelesen hatte. Besten
> Dank für die interessante Testfrage!
>
Dieser "Fiesling" ist sehr wahrscheinlich die Wohlordnung der reellen
>
> Anmerkung: Anklänge an Cantors zweites Diagonalargument sind ebenfalls
> da, denn auch dort steht man mit Listen von Zahlen dumm da, wenn man
> /alle/ auflisten möchte. Die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl ist
> auch so ein Fiesling. Ich gebe zu, dass ich als Mengenlehre-Laie von
> diesem Zeitgenossen bisher noch nicht gehört oder gelesen hatte. Besten
> Dank für die interessante Testfrage!
>
Zahlen.
Richtig geraten?
Darum auch die Verbindung zum zweiten Diagonalargument, mit dem die
Nichtabzählbarkeit der reellen Zahlen bewiesen wurde.
Gruß,
RR
Ralf Bader
Oct 17, 2023, 2:52:52 PM10/17/23
to
momentanen Kenntnis, ohne jetzt irgendwo nachzuschauen (als
Mengenlehre-Laie hast Du Dich ja bereits geoutet, was meint also der
Mengenlehre-Laie, worum es sich bei einer Ordinalzahl handelt?)
> Gruß,
> RR
>
> P.S. Das Wort "Netz" im unten zitierten Wikipedia-Artikel war mir in dem
> Zusammenhang unbekannt. Könnte es einfach durch das Wort "Menge" ersetzt
> werden? Ist es also nur verwendet worden, um das Auge nicht zu ermüden?
> Oder ist "Netz" schon im Sinne von Halb- oder sonstiger Ordnung zu
> verstehen?
https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_set
https://en.wikipedia.org/wiki/Net_(mathematics)
> (*) Erwähnt von Tom Bola, 14.10.2023 15:44 im Thread
> "Neues aus Mückenhausen: IN ist eine endliche Menge!"
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> Wikipedia:
> Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes
> von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz
> aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung.
>
>
> Oder, "genauer" noch, die englische Wiki:
>
> A nonzero ordinal that is not a successor is called a limit ordinal.
> One justification for this term is that a limit ordinal is the limit
> in a topological sense of all smaller ordinals under the order topology.
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
erste und nicht die zweite ist.
> (**) Rainer Rosenthal, 02.10.2023 im Thread "Bijektionen von Abbildungen"
> Primärdiagonalisierung
> Eine Auflistung aller Zahlenpaare natürlicher Zahlen.
>
Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
angesehenen omega?)
Martin Vaeth
Oct 17, 2023, 2:54:13 PM10/17/23
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
Wenn Du deren Negation annimmst, hast Du falsch geraten.
Die Aussage, dass die erste überabzählbare Ordinalzahl die
Mächtigkeit des Kontinuums hat, ist nämlich genau die übliche
Formulierung der Kontinuumshypothese.
Und die sog. große Kontinuumshypothese ist die Aussage, dass für
jede Kardinalzahl \kappa die Nachfolgerkardinalzahl (also die
kleinste echt mächtigere Ordinalzahl) bereits die Mächtigkeit der
Potenzmenge von \kappa hat.
> Am 17.10.2023 um 14:24 schrieb Rainer Rosenthal:
>>
>> Die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl ist auch so ein Fiesling.
[...]
>>
>> Die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl ist auch so ein Fiesling.
>
> Dieser "Fiesling" ist sehr wahrscheinlich die Wohlordnung der reellen
> Zahlen.
> Richtig geraten?
Wenn Du die Kontinuumshypothese annimmst, hast Du richtig geraten.
> Dieser "Fiesling" ist sehr wahrscheinlich die Wohlordnung der reellen
> Zahlen.
> Richtig geraten?
Wenn Du deren Negation annimmst, hast Du falsch geraten.
Die Aussage, dass die erste überabzählbare Ordinalzahl die
Mächtigkeit des Kontinuums hat, ist nämlich genau die übliche
Formulierung der Kontinuumshypothese.
Und die sog. große Kontinuumshypothese ist die Aussage, dass für
jede Kardinalzahl \kappa die Nachfolgerkardinalzahl (also die
kleinste echt mächtigere Ordinalzahl) bereits die Mächtigkeit der
Potenzmenge von \kappa hat.
Martin Vaeth
Oct 17, 2023, 3:37:02 PM10/17/23
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Am 17.10.2023 um 06:25 schrieb Ralf Bader:
> bezüglich ...
> #
> # "Testfrage", RB 15.10.2023, 02:56
> # ---------------------------------
> # Es sei z die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl.
> # Kann es dann eine Folge (a_i)_(i e IN) abzählbarer
> # Ordinalzahlen geben, die im Sinne der erwähnten(*)
> # Ordnungstopologie gegen z konvergiert?
> #
Ja, ich wollte Ralf auch schon zu dieser Übungsaufgabe
> Am 17.10.2023 um 06:25 schrieb Ralf Bader:
> bezüglich ...
> #
> # "Testfrage", RB 15.10.2023, 02:56
> # ---------------------------------
> # Es sei z die kleinste nichtabzählbare Ordinalzahl.
> # Kann es dann eine Folge (a_i)_(i e IN) abzählbarer
> # Ordinalzahlen geben, die im Sinne der erwähnten(*)
> # Ordnungstopologie gegen z konvergiert?
> #
gratulieren: Wenn man sich mit der Thematik auskennt,
ist die Antwort offensichtlich, und ansonsten muss man
sich wohl erst so weit einlesen, *dass* man sich mit der
Thematik auskennt.
> ... folgende Auflösung ...
> >
> > Die Vereinigung a = U(a_i)_(i e IN) ist eine abzählbare Ordinalzahl,
> > und kein a_i liegt in dem Intervall (a,z); damit kann die Folge
> > (a_i) in der Ordnungstopologie nicht gegen z konvergieren.
> >
>
> Oh, raffiniert! Auf Anhieb scheint es paradox, als ob der Grenzwert zur
> Folge gehört.
Ich wage mal die Behauptungen:
Wenn die Menge {a_i:i e IN} kein Maximum hat, dann ist a der Grenzwert
der Folge a_i - unabhängig von der Nummerierung - und a muss dann
zwangsläufig eine Limes-Ordinalzahl sein.
(Beides scheint mir offensichtlich zu sein, auch wenn ich für den
Beweis wohl ziemlich nachdenken müsste. Insbesondere bin ich nicht
sicher, ob man "unabhängig von der Nummerierung" auch ersetzen
könnte durch "unabhängig von der Wahl der gerichteten Quasiordnung").
Wenn die Menge {a_i:i e IN} jedoch ein Maximum hat, ist dieses
Maximum natürlich a, und die Sache ist komplizierter.
In diesem Fall wage ich die Behauptung:
Wenn a *keine* Limesordinalzahl ist, dann konvergiert die Folge nur
dann gegen a, wenn a_i = a für alle bis auf endlich viele i gilt.
Wenn a jedoch zufälligerweise Limesordinalzahl ist, konvergiert die
Folge aber auch dann gegen a, falls U{a_i: a_i != a} = a gilt,
wieder unabhängig von der Nummerierung.
> Klingt fast so lustig wie die falsche Aussage
> "die Vereinigung endlicher Mengen" ist stets eine endliche Menge.
überabzählbare Ordinalzahl aleph_1 die Gleichheit
aleph_1 = U { alpha : alpha ist abzählbare Ordinalzahl }
erfüllt. Ja, daraus kann man schließen, dass tatsächlich sogar schon
aleph_1 = { alpha : alpha ist abzählbare Ordinalzahl }
gilt.
Tatsächlich argumentiert man umgekehrt (Satz von Hartog):
Wenn man aleph_1 durch die rechte Seite oben definiert, dann
kann man daraus folgern, dass aleph_1 nicht abzählbar sein
kann und daher die kleinste überabzählbare Ordinalzahl sein muss.
Den selben Schluss kann man mit jeder Kardinalzahl \kappa machen:
{ alpha : alpha ist Ordinalzahl der Mächtigkeit höchstens \kappa }
ist eine Ordinalzahl, die echt mächtiger ist als \kappa.
Dies ist die Nachfolgerkardinalzahl von \kappa.
> Wenn die Vereinigung a = U(a_i)_(i e IN) eine abzählbare Ordinalzahl
> ist, wobei alle a_i abzählbare Ordinalzahlen sind
> Wenn es ein n mit a_n = a gibt, dann ist a = omega.
Nein, das Maximum muss keineswegs omega sein. Das Maximum kann
z.B. omega + 1 oder omega + 70 oder die Limesordinalzahl
omega + omega sein oder noch eine viel größere Limesordinalzahl
oder auch eine größere Nachfolgerzahl wie omega + omega + 1.
> P.S. Das Wort "Netz" im unten zitierten Wikipedia-Artikel war mir in dem
> Zusammenhang unbekannt. Könnte es einfach durch das Wort "Menge" ersetzt
> werden?
> Oder ist "Netz" schon im Sinne von Halb- oder sonstiger Ordnung zu
> verstehen?
Letzteres. Für ein Netz ist eine gerichtete Quasiordnung
> verstehen?
wesentlich. Der Begriff der Konvergenz eines Netzes hängt eng
mit dieser Quasiordnung zusammen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Netz_(Topologie)
Der Begriff der Konvergenz einer "Menge" ist ohne Angabe
einer Quasiordnung nicht definiert. (Außer, bei der "Menge"
handelt es sich um einen Filter, aber das ist wieder eine
andere Geschichte.)
Rainer Rosenthal
Oct 17, 2023, 4:03:03 PM10/17/23
to
Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>
> Was ist denn Deiner Meinung nach eine Ordinalzahl? Also auf Basis Deiner
> momentanen Kenntnis, ohne jetzt irgendwo nachzuschauen (als
> Mengenlehre-Laie hast Du Dich ja bereits geoutet, was meint also der
> Mengenlehre-Laie, worum es sich bei einer Ordinalzahl handelt?)
>
Ich bin immerhin ein belesener Laie und weiß, dass Cantor die
>
> Was ist denn Deiner Meinung nach eine Ordinalzahl? Also auf Basis Deiner
> momentanen Kenntnis, ohne jetzt irgendwo nachzuschauen (als
> Mengenlehre-Laie hast Du Dich ja bereits geoutet, was meint also der
> Mengenlehre-Laie, worum es sich bei einer Ordinalzahl handelt?)
>
Ordinalzahlen aus der Betrachtung geordneter Mengen gewonnen hat, wobei
nur Wohlordnungen zugelassen sind. (Jede nichtleere Teilmenge hat ein
kleistes Element.)
> RR: Ist "Netz" etwas wie Halb- oder sonstige Ordnung?
>
> Es ist etwas Geordnetes hineinverwurstet. Lies
> https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_set
> https://en.wikipedia.org/wiki/Net_(mathematics)
>
> Es ist etwas Geordnetes hineinverwurstet. Lies
> https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_set
> https://en.wikipedia.org/wiki/Net_(mathematics)
>
>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>> Wikipedia:
>> Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes
>> von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz
>> aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung.
>>
>> Englische Wiki:
>> Wikipedia:
>> Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes
>> von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz
>> aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung.
>>
>> A nonzero ordinal that is not a successor is called a limit ordinal.
>> One justification for this term is that a limit ordinal is the limit
>> in a topological sense of all smaller ordinals under the order topology.
>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Genau das hat mich mißtrauisch gemacht, da die genauere Aussage die
> erste und nicht die zweite ist.
>
>
>> One justification for this term is that a limit ordinal is the limit
>> in a topological sense of all smaller ordinals under the order topology.
>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Genau das hat mich mißtrauisch gemacht, da die genauere Aussage die
> erste und nicht die zweite ist.
>
>
> Spoiler (bitte erst die obige Meinungsfrage über Ordinalzahlen beantworten)
>
Sportlich wie ich bin, sende ich diese Antwort-Mail ab, ohne zu spoilen.
>
Lasse mich nachher überraschen. Danke für die Antwort.
Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
Oct 17, 2023, 4:53:35 PM10/17/23
to
Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>
>
> Spoiler (bitte erst die obige Meinungsfrage über Ordinalzahlen beantworten)
>
Done.
>
>
> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
> angesehenen omega?)
>
Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
0, 1, 2, 3, ... usw.,
also alle natürlichen Zahlen (mit 0).
Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu denken.
Dann kombiniere ich additiv:
x+1, x+2, x+3, ... usw.
und multiplikativ:
2x, 3x, 4x, ... usw.
und gemischt (Hülle der Operationen Addition und Multiplikation)
~~~ Pause
Ich habe einen Verdacht: zwar ist das Polynom x - 1 ein Polynom mit der
Unbestimmten x und einem natürlichzahligen Koeffizienten, aber ich soll
so etwas wohl eher nicht betrachten. Die Beschreibung von M müsste wohl
modifiziert werden (auch eine Übungsaufgabe :-) )
~~~ weiter nach Pause
2x+1, 2x+2, ... 3x+1, 3x+2, ... usw.
Als nächstes kommen die Potenzen von x ins Spiel:
x^2, x^3, x^4, ... usw.
Die zu betrachtende Menge M ist die additiv/multiplikative Hülle der
genannten Elemente.
Es will mir scheinen, als hätte ich nun alle abzählbaren Ordinalzahlen
in anderer Form vor mir.
Die gesuchte Isomorpie bildet x+1 = 1+x auf omega+1 ab.
Allgemein werde ich ein Polynom nach fallenden Potenzen von x anordnen
und dann "x" durch "omega" ersetzen. Aus "k*x" mit Koeffizient k mache
ich "omega*k" (Nicht-Kommutativität der Ordinalzahl-Multiplikation[1])
Beispiele:
1. das eben erwähnte x+1 ===> omega+1
2. 3+14*x^3+x^17 ===> x^17+14*x+3 ===> omega^17 + omega*14 + 3
Nach all diesen vielen Zeilen komme ich zu dem Schluss:
M ist isomorph zur Vereinigung ALLER abzählbaren Ordinalzahlen, also zum
"Fiesling", wenn ich M wohl-ordnen darf.
~~ * ~~ * ~~
Zahlen zwischen 0 und 1 vor mir mit x = 10^(-1) und Ziffern 0 bis 9.
Die Menge M ist etwas Ähnliches, aber mit "Ziffern" beliebiger Größe,
und mit dem Symbol x, wobei x^k die Stellenposition k markiert.
Hübsche Hirn-Gymnastik, danke.
Gruß,
RR
[1] Ich gebe zu, dass ich hier spickeln musste, weil ich nicht (mehr)
wusste, ob man omega + omega = 2 * omega schreibt oder omega * 2.
Das ist reine Konvention, und die habe ich hier nachgelesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik
Rainer Rosenthal
Oct 17, 2023, 5:00:18 PM10/17/23
to
Am 17.10.2023 um 21:36 schrieb Martin Vaeth:
>
>> RR (OOPS): Wenn es ein n mit a_n = a gibt, dann ist a = omega.
Ich ahnte es, denn ich hatte es husch-husch hingeschrieben.
Der Name war Programm :-)
Gruß und Dank,
Rainer
>
>> RR (OOPS): Wenn es ein n mit a_n = a gibt, dann ist a = omega.
>
> Nein, das Maximum muss keineswegs omega sein. Das Maximum kann
> z.B. omega + 1 oder omega + 70 oder die Limesordinalzahl
> omega + omega sein oder noch eine viel größere Limesordinalzahl
> oder auch eine größere Nachfolgerzahl wie omega + omega + 1.
>
... oops!
> Nein, das Maximum muss keineswegs omega sein. Das Maximum kann
> z.B. omega + 1 oder omega + 70 oder die Limesordinalzahl
> omega + omega sein oder noch eine viel größere Limesordinalzahl
> oder auch eine größere Nachfolgerzahl wie omega + omega + 1.
>
Ich ahnte es, denn ich hatte es husch-husch hingeschrieben.
Der Name war Programm :-)
Gruß und Dank,
Rainer
Rainer Rosenthal
Oct 17, 2023, 7:02:15 PM10/17/23
to
Am 17.10.2023 um 22:53 schrieb Rainer Rosenthal:
> Ich habe einen Verdacht: zwar ist das Polynom x - 1 ein Polynom mit der
> Unbestimmten x und einem natürlichzahligen Koeffizienten, aber ich soll
> so etwas wohl eher nicht betrachten. Die Beschreibung von M müsste wohl
> modifiziert werden (auch eine Übungsaufgabe :-) )
Quatsch, sorry.
> Ich habe einen Verdacht: zwar ist das Polynom x - 1 ein Polynom mit der
> Unbestimmten x und einem natürlichzahligen Koeffizienten, aber ich soll
> so etwas wohl eher nicht betrachten. Die Beschreibung von M müsste wohl
> modifiziert werden (auch eine Übungsaufgabe :-) )
Ein Polynom in x hat die Form "Summe a_i*x^i (i=0..n)", und danach hat
das Polynom x - 1 = (-1)*x^0 + 1*x^1 die Koeffizienten (-1) und 1, d.h.
es sind nicht alle Koeffizienten natürlichzahlig.
Smiley geändert:
:-) ===> :-(
Gruß,
RR
Martin Vaeth
Oct 18, 2023, 2:19:57 AM10/18/23
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
Es ist klar, dass es dabei um endliche Folgen (a_n, ..., a_0)
natürlicher Zahlen geht, wobei alle bis auf a_n (im Fall n > 0)
sogar 0 sein dürfen.
Für mich ist die "natürliche" Ordnung darauf die von N
(Abzählschema mit n und der Summe der a_k).
Ich habe eine ganze Zeit gebraucht, bis ich verstanden habe,
dass Ralf auf die lexikographische Ordnung hinaus will,
die tatsächlich eine Wohlordnung ist.
In der Tat entspricht Dein obiges Zählen den ersten
Elementen dieser Wohlordnung.
> Dann kombiniere ich additiv:
> x+1, x+2, x+3, ... usw.
Du "kombinierst" hier nicht additiv, sondern "zählst weiter",
was den Ordinalzahlen \omega + 1, \omega + 2, ... entspricht.
Leider sagst Du nicht, wo Du nach dem "usw." landen willst:
Natürlich bei 2x. Dies entspricht in der Tat der Ordinalzahl
\omega + \omega = \omega * 2
> und multiplikativ:
> 2x, 3x, 4x, ... usw.
Auch hier "kombinierst" Du nicht additiv, sondern "zählst weiter",
wobei Du wohl jeweils nx + 1, nx + 2, ... "übersrpingen" willst
(zumindest in der oben beschriebenen lexikographischen Ordnung).
Dies entspricht den Ordinalzahlen \omega * 2, \omega * 3, ...
> und gemischt (Hülle der Operationen Addition und Multiplikation)
Hier kommst Du plötzlich vom Zählen in die Algebra - die hat mit
der Ordnung nichts mehr zu tun. Vielmehr musst Du Dir überlegen,
was nach der Folge 2x, 3x, ... kommen soll.
In der oben beschriebenen lexikographischen Ordnung wäre das x^2.
Dies entspricht dann der Ordinalzahl \omega * omega = \omega^2.
Und danach geht das "Zählen" weiter mit
2x^2, 3x^2, ..
(wobei man zwischen den Kommas in der Ordnung jeweils noch
nx^2 + 1, nx^2 + 2, ...
nx^2 + x, nx^2 + x + 1, nx^2 + x + 2, ...
nx^2 + 2x, ...
...
gedacht einfügen muss).
Dies entspricht (\omega^2) * 2, (\omega^2) * 3, ...
> Es will mir scheinen, als hätte ich nun alle abzählbaren Ordinalzahlen
> in anderer Form vor mir.
Schön wärs: Natürlich ist die Menge aller betrachteten Polynome
abzählbar, also selbst "nur" eine abzählbare Ordinalzahl mit
der beschriebenen lexikographischen Ordnung.
Der Trick mit der Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese ist ja,
dass Du es *prinzipiell* (mit Mitteln von ZFC) nicht schaffen kannst,
ein Schema anzugeben, das tatsächlich alle abzählbaren Ordinalzahlen
umfasst: Sonst würde man ja die erste überabzählbare Ordinalzahl
"kennen" und damit vermutlich die Kontinuumshypothese entscheiden
können.
Die von den Polynomen beschriebene Ordinalzahl kann man vermutlich
noch irgendwie mit bekannten Ordinalzahloperationen erfassen, aber
ich bin mit diesen Operationen nicht vertraut genug, um den
Namen diesr Ordinalzahl bestimmen zu können.
Ralf, kannst Du bitte die Auflösung geben, wie man diese
Kardinalzahl nennt?
> Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>
>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
>> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
>> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
>> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
>> angesehenen omega?)
>
> Nett!
> Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
> 0, 1, 2, 3, ... usw.,
> also alle natürlichen Zahlen (mit 0).
> Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
> Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu denken.
Ich muss zugeben, dass ich Ralf's Frage erst nicht verstanden habe:
>
>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
>> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
>> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
>> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
>> angesehenen omega?)
>
> Nett!
> Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
> 0, 1, 2, 3, ... usw.,
> also alle natürlichen Zahlen (mit 0).
> Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
> Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu denken.
Es ist klar, dass es dabei um endliche Folgen (a_n, ..., a_0)
natürlicher Zahlen geht, wobei alle bis auf a_n (im Fall n > 0)
sogar 0 sein dürfen.
Für mich ist die "natürliche" Ordnung darauf die von N
(Abzählschema mit n und der Summe der a_k).
Ich habe eine ganze Zeit gebraucht, bis ich verstanden habe,
dass Ralf auf die lexikographische Ordnung hinaus will,
die tatsächlich eine Wohlordnung ist.
In der Tat entspricht Dein obiges Zählen den ersten
Elementen dieser Wohlordnung.
> Dann kombiniere ich additiv:
> x+1, x+2, x+3, ... usw.
was den Ordinalzahlen \omega + 1, \omega + 2, ... entspricht.
Leider sagst Du nicht, wo Du nach dem "usw." landen willst:
Natürlich bei 2x. Dies entspricht in der Tat der Ordinalzahl
\omega + \omega = \omega * 2
> und multiplikativ:
> 2x, 3x, 4x, ... usw.
wobei Du wohl jeweils nx + 1, nx + 2, ... "übersrpingen" willst
(zumindest in der oben beschriebenen lexikographischen Ordnung).
Dies entspricht den Ordinalzahlen \omega * 2, \omega * 3, ...
> und gemischt (Hülle der Operationen Addition und Multiplikation)
der Ordnung nichts mehr zu tun. Vielmehr musst Du Dir überlegen,
was nach der Folge 2x, 3x, ... kommen soll.
In der oben beschriebenen lexikographischen Ordnung wäre das x^2.
Dies entspricht dann der Ordinalzahl \omega * omega = \omega^2.
Und danach geht das "Zählen" weiter mit
2x^2, 3x^2, ..
(wobei man zwischen den Kommas in der Ordnung jeweils noch
nx^2 + 1, nx^2 + 2, ...
nx^2 + x, nx^2 + x + 1, nx^2 + x + 2, ...
nx^2 + 2x, ...
...
gedacht einfügen muss).
Dies entspricht (\omega^2) * 2, (\omega^2) * 3, ...
> Es will mir scheinen, als hätte ich nun alle abzählbaren Ordinalzahlen
> in anderer Form vor mir.
abzählbar, also selbst "nur" eine abzählbare Ordinalzahl mit
der beschriebenen lexikographischen Ordnung.
Der Trick mit der Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese ist ja,
dass Du es *prinzipiell* (mit Mitteln von ZFC) nicht schaffen kannst,
ein Schema anzugeben, das tatsächlich alle abzählbaren Ordinalzahlen
umfasst: Sonst würde man ja die erste überabzählbare Ordinalzahl
"kennen" und damit vermutlich die Kontinuumshypothese entscheiden
können.
Die von den Polynomen beschriebene Ordinalzahl kann man vermutlich
noch irgendwie mit bekannten Ordinalzahloperationen erfassen, aber
ich bin mit diesen Operationen nicht vertraut genug, um den
Namen diesr Ordinalzahl bestimmen zu können.
Ralf, kannst Du bitte die Auflösung geben, wie man diese
Kardinalzahl nennt?
Jens Kallup
Oct 18, 2023, 2:29:10 AM10/18/23
to
Am 2023-10-18 um 08:19 schrieb Martin Vaeth:
> Ralf, kannst Du bitte die Auflösung geben, wie man diese Kardinalzahl nennt?
bestimmt irgendwas mit rekursive Folge wie:
> Ralf, kannst Du bitte die Auflösung geben, wie man diese Kardinalzahl nennt?
A - Z
AA - AZ
AAA - AAZ
AAAA - AAAZ
...
mit einen Lexer würde man definieren:
[A-Z] lex
und über die Grammatik:
start : lex FOLGE start
FOLGE : lex
: FOLGE '|' FOLGE
;
wobei hier das '|' die Abgrenzung zur nächsten Folge darstellt,
und "start" das Startsymbol A darstellt.
Jens
--
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Rainer Rosenthal
Oct 18, 2023, 3:14:09 AM10/18/23
to
Am 18.10.2023 um 08:19 schrieb Martin Vaeth:
zur Aufgabe von Ralf Bader ...
#
# Betrachte die Menge M der Polynome in einer Unbestimmten x mit
# natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher naheliegenden Weise
# ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr alltägliche
# Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
# angesehenen omega?)
#
Zuerst einmal muss ich mir im Klaren sein, was zu M gehört, bevor ich
mir Gedanken über eine Ordnung auf M mache. Darum schrieb ich:
#RR Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
#RR 0, 1, 2, 3, ... usw.,
#RR also alle natürlichen Zahlen (mit 0)."
Mein "usw." ist ein ganz harmloses "weiter". Da kommt *nichts* anderes
mehr außer natürlichen Zahlen. Das ist ja der Witz bei Ralfs Aufgabe,
wie mir scheint.
#RR Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
#RR Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu
#RR denken.
Statt x als mysteriöses "unendlich" einzuführen, stellt Ralf Bader es
als harmlose "Unbestimmte x" vor und lässt mich rätseln, welchen
Zusammenhang mit Ordinalzahlen ich wohl herausfinden werde.
#RR Dann kombiniere ich additiv:
#RR x+1, x+2, x+3, ... usw.
> Du "kombinierst" hier nicht additiv, sondern "zählst weiter",
> was den Ordinalzahlen \omega + 1, \omega + 2, ... entspricht.
> Leider sagst Du nicht, wo Du nach dem "usw." landen willst:
> Natürlich bei 2x. Dies entspricht in der Tat der Ordinalzahl
> \omega + \omega = \omega * 2
>
Nein, ich kombiniere tatsächlich, ohne auf Ordnungszahlen zu schielen.
Ich muss doch erst einmal die Menge M in voller Pracht entdecken. Die
Elemente von M haben die Form Summe{i=0..n} a_i * x^i mit natürlichen
a_i. Das sind alles Kombinationen, nämlich Summen von Produkten.
#RR Es will mir scheinen, als hätte ich nun alle abzählbaren
#RR Ordinalzahlen in anderer Form vor mir.
> Schön wärs: Natürlich ist die Menge aller betrachteten Polynome
> abzählbar, also selbst "nur" eine abzählbare Ordinalzahl mit
> der beschriebenen lexikographischen Ordnung.
Jo, leider wahr. Hmmmmpffff ... *grübel*
Offenbar habe ich den Isomorphismus zwar beschrieben, aber noch nicht
verstanden.
> Ralf, kannst Du bitte die Auflösung geben, wie man diese
> Kardinalzahl nennt?
Warum denn schon aufgeben?
Hat doch gerade erst angefangen, interessant zu werden. Wir haben doch
keinen Zeitdruck.
@Ralf Bader: Psssssst!
Gruß,
Rainer
zur Aufgabe von Ralf Bader ...
#
# Betrachte die Menge M der Polynome in einer Unbestimmten x mit
# natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher naheliegenden Weise
# ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr alltägliche
# Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
# angesehenen omega?)
#
>
> Ich muss zugeben, dass ich Ralf's Frage erst nicht verstanden habe:
> Es ist klar, dass es dabei um endliche Folgen (a_n, ..., a_0)
> natürlicher Zahlen geht, wobei alle bis auf a_n (im Fall n > 0)
> sogar 0 sein dürfen.
>
> Für mich ist die "natürliche" Ordnung darauf ...
> Ich muss zugeben, dass ich Ralf's Frage erst nicht verstanden habe:
> Es ist klar, dass es dabei um endliche Folgen (a_n, ..., a_0)
> natürlicher Zahlen geht, wobei alle bis auf a_n (im Fall n > 0)
> sogar 0 sein dürfen.
>
Zuerst einmal muss ich mir im Klaren sein, was zu M gehört, bevor ich
mir Gedanken über eine Ordnung auf M mache. Darum schrieb ich:
#RR Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
#RR 0, 1, 2, 3, ... usw.,
#RR also alle natürlichen Zahlen (mit 0)."
Mein "usw." ist ein ganz harmloses "weiter". Da kommt *nichts* anderes
mehr außer natürlichen Zahlen. Das ist ja der Witz bei Ralfs Aufgabe,
wie mir scheint.
#RR Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
#RR Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu
#RR denken.
Statt x als mysteriöses "unendlich" einzuführen, stellt Ralf Bader es
als harmlose "Unbestimmte x" vor und lässt mich rätseln, welchen
Zusammenhang mit Ordinalzahlen ich wohl herausfinden werde.
#RR Dann kombiniere ich additiv:
#RR x+1, x+2, x+3, ... usw.
> Du "kombinierst" hier nicht additiv, sondern "zählst weiter",
> was den Ordinalzahlen \omega + 1, \omega + 2, ... entspricht.
> Leider sagst Du nicht, wo Du nach dem "usw." landen willst:
> Natürlich bei 2x. Dies entspricht in der Tat der Ordinalzahl
> \omega + \omega = \omega * 2
>
Ich muss doch erst einmal die Menge M in voller Pracht entdecken. Die
Elemente von M haben die Form Summe{i=0..n} a_i * x^i mit natürlichen
a_i. Das sind alles Kombinationen, nämlich Summen von Produkten.
#RR Es will mir scheinen, als hätte ich nun alle abzählbaren
#RR Ordinalzahlen in anderer Form vor mir.
> Schön wärs: Natürlich ist die Menge aller betrachteten Polynome
> abzählbar, also selbst "nur" eine abzählbare Ordinalzahl mit
> der beschriebenen lexikographischen Ordnung.
Offenbar habe ich den Isomorphismus zwar beschrieben, aber noch nicht
verstanden.
> Ralf, kannst Du bitte die Auflösung geben, wie man diese
> Kardinalzahl nennt?
Hat doch gerade erst angefangen, interessant zu werden. Wir haben doch
keinen Zeitdruck.
@Ralf Bader: Psssssst!
Gruß,
Rainer
Rainer Rosenthal
Oct 18, 2023, 4:17:12 AM10/18/23
to
Am 17.10.2023 um 22:53 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>>
>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
>> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
>> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
>> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie
>> mystisch angesehenen omega?)
>>
>
> Nett!
> Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
> 0, 1, 2, 3, ... usw.,
> also alle natürlichen Zahlen (mit 0).
> Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
> Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu denken.
> ...
>>
>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
>> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
>> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
>> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie
>> mystisch angesehenen omega?)
>>
>
> Nett!
> Ich fange mal mit den Konstanten Polynomen an und finde in M dies:
> 0, 1, 2, 3, ... usw.,
> also alle natürlichen Zahlen (mit 0).
> Nach den drei Pünktchen kommt die Unbestimmte x als erste Neuerung.
> Dies x ist das "alltägliche Polynom", es ist also x gleich omega zu denken.
> Die gesuchte Isomorpie bildet x+1 = 1+x auf omega+1 ab.
> Allgemein werde ich ein Polynom nach fallenden Potenzen von x anordnen
> und dann "x" durch "omega" ersetzen. Aus "k*x" mit Koeffizient k mache
> ich "omega*k" (Nicht-Kommutativität der Ordinalzahl-Multiplikation[1])
> Beispiele:
> 1. das eben erwähnte x+1 ===> omega+1
> 2. 3+14*x^3+x^17 ===> x^17+14*x+3 ===> omega^17 + omega*14 + 3
>
> Nach all diesen vielen Zeilen komme ich zu dem Schluss:
> [Quatsch gelöscht]
> Allgemein werde ich ein Polynom nach fallenden Potenzen von x anordnen
> und dann "x" durch "omega" ersetzen. Aus "k*x" mit Koeffizient k mache
> ich "omega*k" (Nicht-Kommutativität der Ordinalzahl-Multiplikation[1])
> Beispiele:
> 1. das eben erwähnte x+1 ===> omega+1
> 2. 3+14*x^3+x^17 ===> x^17+14*x+3 ===> omega^17 + omega*14 + 3
>
> Nach all diesen vielen Zeilen komme ich zu dem Schluss:
>
Neuer Gedanke: alle diese "k*x^n + rest" werden dominiert von x^n.
Gemäß Isomorphie also durch omega^n.
Ich habe mal die Vokabel "kofinal" gehört. Sie passt hier vielleicht:
die Folge omega^1, omega^2, ... omega^n, ... ist kofinal zu der mit M zu
identifizierenden Ordinalzahl. Bitte um Verzeihung für das ins Unreine
Gesprochene. Das Resultat meiner Überlegung sieht aber sauber aus.
Daher mein "intelligent guess":
M ist in natürlicher Weise isomorph zu omega^omega.
Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
Oct 18, 2023, 5:02:55 AM10/18/23
to
Am 18.10.2023 um 10:17 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 17.10.2023 um 22:53 schrieb Rainer Rosenthal:
>> Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>>>
>>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome
>>> in einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In
>>> welcher naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl?
>>> (Welches sehr alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als
>>> irgendwie mystisch angesehenen omega?)
>>>
>
> Am 17.10.2023 um 22:53 schrieb Rainer Rosenthal:
>> Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>>>
>>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome
>>> in einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In
>>> welcher naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl?
>>> (Welches sehr alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als
>>> irgendwie mystisch angesehenen omega?)
>>>
>
> M ist in natürlicher Weise isomorph zu omega^omega.
> [gemäß x ~ omega]
Auch nach etwas Fahrradfahren an der frischen Luft gefällt mir diese
Auflösung.
omega^omega ist definiert als die Menge {omega^n, n € N} mit der
Ordnung, die durch die Exponenten gegeben ist.
Jede Ordinalzahl h kleiner als omega^omega hat die Form
h = a_n * omega^n + ... (kleinere Potenzen) und entspricht dem Element
h' = a_n * x^n + ... in M.
In M ist h' < x^(n+1) gemäß lexikographischer Ordnung (Martin Vaeth).
Tut mir Leid, ich muss die Versuche der Präzisierung wegen dringender
Echtzeitgeschäfte abbrechen. Die Richtung stimmt :-)
Gruß,
RR
Rainer Rosenthal
Oct 18, 2023, 5:46:32 AM10/18/23
to
Am 18.10.2023 um 08:19 schrieb Martin Vaeth:
zu Ralf Baders Aufgabe ...
>>
>>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
>>> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
>>> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
>>> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
>>> angesehenen omega?)
>>
>
>>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome in
>>> einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In welcher
>>> naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl? (Welches sehr
>>> alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als irgendwie mystisch
>>> angesehenen omega?)
>>
>
> Die von den Polynomen beschriebene Ordinalzahl kann man vermutlich
> noch irgendwie mit bekannten Ordinalzahloperationen erfassen, aber
> ich bin mit diesen Operationen nicht vertraut genug, um den
> Namen diesr Ordinalzahl bestimmen zu können.
>
Nachdem ich erneut geraten habe, dass M isomorph zu omega^omega ist,
> noch irgendwie mit bekannten Ordinalzahloperationen erfassen, aber
> ich bin mit diesen Operationen nicht vertraut genug, um den
> Namen diesr Ordinalzahl bestimmen zu können.
>
will es mir scheinen, dass ich das beim Altmeister Cantor sicherlich
direkt nachlesen könnte. Das will ich mir demnächst anschauen.
Kenner der Geschichte des Unendlichen können die Stelle sicher im
Handumdrehen angeben.
Sie müssten dazu natürlich ahnen, worum es geht :-)
Gruß,
Rainer
Martin Vaeth
Oct 18, 2023, 3:05:49 PM10/18/23
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
Ich hatte fälschlicherweise angenommen, dass wir viel schnelleres
Wachstum hätten, also dass kx^3 bereits (omega^omega)^k entspräche
und kx^4 dann Potenztürmen omega^omega^.... der Höhe \omega * k.
Grob gesprochen wollte ich also jeweils die vorherige Operation
iterieren (erst +, dann *, dann ^, dann Potenztürme usw.):
In der Zahlentheorie ist das die Ackermann-Funktion A,
und ich hatte angenommen, dass es sich bei Ralfs Ordinalzahl
um ein Analogon der Ackermann-Funktion an der Stelle
(omega, omega) handelt, also A(omega,omega).
Aber wie gesagt: Das war ein Denkfehler, und Du hast recht, dass
es sich bei Ralfs Ordinalzahl "nur" um das "ordinäre"
omega^omega handelt.
Jetzt frage ich mich natürlich, ob diese "Ordinal-Ackermann-Zahl"
(die ja definitiv existiert, auch wenn ihre genaue Definition
ziemlich technisch sein dürfte) auch eine schöne
Veranschaulichung wie \omega^omega hat.
Vermutlich dürfte die Antwort auf diese Frage irgendwas mit der
zahlentheoretischen Ackermann-Funktion zu tun haben...
>> Am 17.10.2023 um 22:53 schrieb Rainer Rosenthal:
>>> Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>>>>
>>>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome
>>>> in einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In
>>>> welcher naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl?
>>>> (Welches sehr alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als
>>>> irgendwie mystisch angesehenen omega?)
>>>>
>>
>> M ist in natürlicher Weise isomorph zu omega^omega.
>> [gemäß x ~ omega]
>
> Auch nach etwas Fahrradfahren an der frischen Luft gefällt mir diese
> Auflösung.
>
> omega^omega ist definiert als die Menge {omega^n, n € N} mit der
> Ordnung, die durch die Exponenten gegeben ist.
Ja, Du hast recht: kx^n ist in der Ordnung einfach omega^n * k.
>>> Am 17.10.2023 um 20:52 schrieb Ralf Bader:
>>>>
>>>> Dann eine weitere Übungsaufgabe: betrachte die Menge M der Polynome
>>>> in einer Unbestimmten x mit natürlichzahligen Koeffizienten. In
>>>> welcher naheliegenden Weise ist M isomorph zu einer Ordinalzahl?
>>>> (Welches sehr alltägliche Polynom übernimmt dabei die Rolle des als
>>>> irgendwie mystisch angesehenen omega?)
>>>>
>>
>> M ist in natürlicher Weise isomorph zu omega^omega.
>> [gemäß x ~ omega]
>
> Auch nach etwas Fahrradfahren an der frischen Luft gefällt mir diese
> Auflösung.
>
> omega^omega ist definiert als die Menge {omega^n, n € N} mit der
> Ordnung, die durch die Exponenten gegeben ist.
Ich hatte fälschlicherweise angenommen, dass wir viel schnelleres
Wachstum hätten, also dass kx^3 bereits (omega^omega)^k entspräche
und kx^4 dann Potenztürmen omega^omega^.... der Höhe \omega * k.
Grob gesprochen wollte ich also jeweils die vorherige Operation
iterieren (erst +, dann *, dann ^, dann Potenztürme usw.):
In der Zahlentheorie ist das die Ackermann-Funktion A,
und ich hatte angenommen, dass es sich bei Ralfs Ordinalzahl
um ein Analogon der Ackermann-Funktion an der Stelle
(omega, omega) handelt, also A(omega,omega).
Aber wie gesagt: Das war ein Denkfehler, und Du hast recht, dass
es sich bei Ralfs Ordinalzahl "nur" um das "ordinäre"
omega^omega handelt.
Jetzt frage ich mich natürlich, ob diese "Ordinal-Ackermann-Zahl"
(die ja definitiv existiert, auch wenn ihre genaue Definition
ziemlich technisch sein dürfte) auch eine schöne
Veranschaulichung wie \omega^omega hat.
Vermutlich dürfte die Antwort auf diese Frage irgendwas mit der
zahlentheoretischen Ackermann-Funktion zu tun haben...
Rainer Rosenthal
Oct 18, 2023, 6:41:27 PM10/18/23
to
Am 18.10.2023 um 21:05 schrieb Martin Vaeth:
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
Nochmals Dank für die Übungsaufgabe an Ralf Bader.
Gruß,
Rainer
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>>>
>>> M ist in natürlicher Weise isomorph zu omega^omega.
>>> [gemäß x ~ omega]
>>
>> Auch nach etwas Fahrradfahren an der frischen Luft gefällt mir diese
>> Auflösung.
>>
>> omega^omega ist definiert als die Menge {omega^n, n € N} mit der
>> Ordnung, die durch die Exponenten gegeben ist.
>
> Ja, Du hast recht: kx^n ist in der Ordnung einfach omega^n * k.
>
Hui, das freut mich natürlich!
>>> M ist in natürlicher Weise isomorph zu omega^omega.
>>> [gemäß x ~ omega]
>>
>> Auch nach etwas Fahrradfahren an der frischen Luft gefällt mir diese
>> Auflösung.
>>
>> omega^omega ist definiert als die Menge {omega^n, n € N} mit der
>> Ordnung, die durch die Exponenten gegeben ist.
>
> Ja, Du hast recht: kx^n ist in der Ordnung einfach omega^n * k.
>
Nochmals Dank für die Übungsaufgabe an Ralf Bader.
Gruß,
Rainer
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