Fermat's großer Satz

[Jaosch]

Hallo,

auf einer Website zu Beal's Vermutung fand ich:

"Fermat claimed his method involved infinite descent..."

was sich vmtl. auf den von Fermat's behaupteten Beweis seines großen Satzes beziehen soll.

Hat man so einen Hinweis seitens Fermat tatsächlich gefunden?

jaosch

[Ganzhinterseher]

Fermat hat diese Methode benutzt, wie vor ihm schon Johannes Campanus von Novarra im 13. Jahrhundert. Euler bewies mittels descente infinie (wie vermutlich Fermat selbst) dass a^4 + b^4 = c^4 mit ganzen Zahlen unmöglich ist. Über seinen "Beweis" des großen Satzes hat Fermat außer der Randnotiz nie etwas gesagt, sondern vermutlich sehr bald erkannt, dass er den Beweis nicht hatte, aber nicht bedacht, dass sein Sohn seine Bücher verkaufen würde.

Gruß, WM

[Jaosch]

Ah ok, ich dachte Fermat gilt als Erfinder dieser Methode. Es gibt anscheinend einen Beweis von Euler für den Fall n=3 (mit dieser Methode). So weit ich das beurteilen kann hebt der aber sehr auf den Zusammenhängen der dritten Potenz ab und ist dabei schon nicht mehr so zugänglich wie der für n=4.
Dann bezieht sich o.g. Zitat wohl auf etwas anderes, danke.

jaosch

[Dieter Heidorn]

Jaosch schrieb:

Ja, hat man - siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlicher_Abstieg
(oder auch hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent )

In der genannten Quelle 2:
Fermat, Brief an Huygens 1659, zitiert in André Weil, Number theory,
an approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser
1984, S. 75
wird aus dem Brief von Fermat an Huygens zitiert:

|"As ordinary methods, such as are found in the books, are inadequate to
| proving such difficult propositions, I discovered at last a most
| singular mathod ... which I called the infinite descent. At first I
| used it only to prove negative assertions such as: 'No number of the
| form 3n - 1 can be written as x^2 + 3y^2', 'There is no right-angled
| triangle in numbers whose area is a square' ... To apply it to
| affirmative questions is much harder, so that, when I had to prove
| that 'Every prime of the form 4n + 1 is a sum of two squares', I found
| myself in a sorry plight ('en belle pleine'). But at last such
| questions proved amenable to my method ..."

Dieter Heidorn

[Jaosch]

Hallo Dieter Heidorn, welche Freude...

...ja, wobei sich das u.a. nur auf einen einzelnen Fall (n=4) des großen Satzes bezieht, nicht aber auf den "demonstrationem mirabilem".
Und mit den "such questions" kann der nicht gemeint sein, da dann "negative assertions" gefragt wären.

Es wäre interessant ob die Profis eine *vermeintliche* "demonstrationem mirabilem" Fermats vermuten (also einen Trugschluß so wie das WM oben anklingen lässt)
Immerhin hat man ja hunderte Jahre gesucht. Da muss doch einer über den gleichen Trugschluß gestolpert sein (wenn es den gibt).
Hätte er angesichts eines Trugschlusses in einem "demonstrationem mirabilem" seine Randnotiz nicht gestrichen?

jaosch

[Dieter Heidorn]

Jaosch schrieb:

> Hallo Dieter Heidorn, welche Freude...
>
> ...ja, wobei sich das u.a. nur auf einen einzelnen Fall (n=4) des großen Satzes bezieht,

Das ist richtig. Den Großen Fermatschen Satz hat Fermat meines Wissens
nicht beweisen können. Deine Frage hatte ich so verstanden, dass du
nach einem Hinweis suchtest, dass Fermat die Methode "unendlicher
Abstieg" erwähnt und verwendet hat. Das ist nachweislich der Fall.

> Es wäre interessant ob die Profis eine *vermeintliche* "demonstrationem mirabilem" Fermats vermuten (also einen Trugschluß so wie das WM oben anklingen lässt)

Dazu ist mir nichts bekannt - aber vielleicht wissen die Profis
in dieser NG mehr.

> Hätte er angesichts eines Trugschlusses in einem "demonstrationem mirabilem" seine Randnotiz nicht gestrichen?

Warum sollte er - es handelte sich ja nicht um eine Veröffentlichung
sondern um eine private Notiz.

MfG
Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 22. Mai 2023 um 14:05:11 UTC+2:
> Jaosch schrieb:

> > Hätte er angesichts eines Trugschlusses in einem "demonstrationem mirabilem" seine Randnotiz nicht gestrichen?
> Warum sollte er - es handelte sich ja nicht um eine Veröffentlichung
> sondern um eine private Notiz.

Ich habe bei mehrere Historikern gelesen, dass Fermat seine Notiz vermutlich sehr bald vergessen und nirgendwo in seiner Korrespondenz erwähnt hat. Hätte er etwas dazu geschrieben und dabei die descente infinie erwähnt, wäre das mit Sicherheit bekannt geworden.

Gruß, WM

[Jaosch]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 22. Mai 2023 um 14:05:11 UTC+2:
> Jaosch schrieb:

...

> > Hätte er angesichts eines Trugschlusses in einem "demonstrationem mirabilem" seine Randnotiz nicht gestrichen?
> Warum sollte er - es handelte sich ja nicht um eine Veröffentlichung
> sondern um eine private Notiz.

Also *wenn* seine originale Notiz in Latein das ausdrückt, was die gängige deutsche Übersetzung ausdrückt, dann bezweifle ich stark, dass es sich nur um eine persönliche Notiz handelt. Welchen Sinn hätte eine solche? Ganz ohne Hinweis auf die Vorgehensweise.
Und dann schwinge hier ganz klar "nur nichts verraten" mit. Und sein Hinweis auf den mangelnden Platz könnte dann sogar eine Art "Fopperei" gewesen sein, in dem Sinn, dass sein Beweis um ein Haar eben doch Platz gehabt hätte.
Andererseits: Hätte er bis zuletzt daran geglaubt, hätte er vmtl. seine Kollegen herausgefordert.
(Lt. Wikipedia vermutet man die Notiz im Zeitraum zwischen 1637 bis 1643, gegangen ist er 1665)
Daher erscheint mir jetzt auch die Version "Trugschluß erkannt und Notiz vergessen" am wahrscheinlichsten.
Aber das ist natürrlich alles spekulativ.

jaosch

[Ulrich D i e z]

Am 23.05.23 um 13:28 schrieb Jaosch:

> Also *wenn* seine originale Notiz in Latein das ausdrückt, was die gängige deutsche Übersetzung ausdrückt, dann bezweifle ich stark, dass es sich nur um eine persönliche Notiz handelt. Welchen Sinn hätte eine solche? Ganz ohne Hinweis auf die Vorgehensweise.
> Und dann schwinge hier ganz klar "nur nichts verraten" mit. Und sein Hinweis auf den mangelnden Platz könnte dann sogar eine Art "Fopperei" gewesen sein, in dem Sinn, dass sein Beweis um ein Haar eben doch Platz gehabt hätte.

Die Randnotiz von Fermat:

"Cubum autem in duos cubos aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos
et generaliter nullam in infinitum quadratum potestatem in duos eiusdem
nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exiguitas non caperet."

Übersetzung:
Es ist nicht möglich, einen Kubus in zwei Kuben oder ein Biquadrat in zwei
Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in zwei Potenzen
mit demselben Exponenten zu zerlegen. Ich habe hierfür einen wahrhaft
wunderbaren Beweis, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.

Vielleicht ging es um einen Beweis mit unendlichem Abstieg und auf
dem Rand war nicht genug Platz für Unendlichkeit.
Also eine Art Scherz.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jaosch]

Ulrich D i e z schrieb am Mittwoch, 24. Mai 2023 um 03:22:28 UTC+2:
...

> Vielleicht ging es um einen Beweis mit unendlichem Abstieg und auf
> dem Rand war nicht genug Platz für Unendlichkeit.
> Also eine Art Scherz.
>

...
Denkbar.
Allerdings soll er ja an anderer Stelle am Rand einen Beweis mit "infinite descent" notiert haben (die Fläche eines ganzzahlig-seitigen, rechtwinkligen Dreiecks kann kein Quadrat mit ganzzahliger Seitenlänge sein).
Vmtl. ohne das Attribut "mirabilem" (das wäre den Historikern sonst wohl aufgefallen).
Wäre interessant, ob der vor oder nach seiner "demonstrationem mirabilem"-Notiz datiert wird.

jaosch