Viviani-Kurve
Jutta Gut
Die Viviani-Kurve (oder Vivianisches Fenster) entsteht, wenn eine Kugel von
einem Zylinder mit halb so großem Faius geschnitten wird:
http://www.mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml
Auf dieser Seite heißt es, dass das Restvolumen der Kurve (wenn man aus der
anderen Halbkugel auch ein Fenster ausschneidet) 16/9*r^3 beträgt. Ich kann
das nicht nachrechnen- Kann mir jemand einen Anstoß geben? (Bitte kein
Mathematica-Ergebnis - das habe ich schon selbst probiert -, sondern wenn
möglich eines, dass ich mit der Hand nachvollziehen kann.)
Danke
Jutta
Jutta Gut
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb
>
> Die Viviani-Kurve (oder Vivianisches Fenster) entsteht, wenn eine Kugel
> von einem Zylinder mit halb so großem Faius geschnitten wird:
> Danke
> Jutta
Roalto
Guckst du hier.
www.iazd.uni-hannover.de/~pigors/ingenieure/dateien/maple/MI_6_4B.pdf
>> Danke
>> Jutta
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Enthusiasmus ist das schönste Wort der Welt.
Jutta Gut
"Roalto" <Roa...@online.de> schrieb
Wolfgang Kirschenhofer
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb im Newsbeitrag
news:2cffd$4971d31b$d52f93dc$12...@news.chello.at...
Hallo Jutta!
Der Faktor 16/9 gilt für die ganze Kugel, für die Halbkugel ist der Faktor
8/9.
Ich rechne es jetzt für die Halbkugel vom Radius R und einem Zylinder mit
dem Radius R/2 vor:
Die Halbkugel vom Radius R hat die Gleichung x^2+y^2+z^2=R^2 mit z>=0.
Der Zylinder mit dem Radius R/2 und dem Mittelpunkt M=(R/2 , 0) hat die
Gleichung x^2+y^2=R*x und z>=0.
Das Volumen V, das ein Zylinder und Halbkugel einschließen, berechnet man am
einfachsten mit Hilfe von Zylinderkoordinaten (r, phi, z).
Es ist x=r*cos(phi), y=r*sin(phi) , z=z>=0
Die Kugelgleichung in Zylinderkoordinaten lautet dann: z^2 = R^2 - r^2 .
Und die Zylindergleichung: r = R*cos(phi) mit - Pi/2 <= phi <= + Pi/2 .
Für das Volumenelement dV in Zylinderkoordinaten gilt: dV=r*dr*dphi*dz .
Es ist dann V = Int(z=0. . sqrt(R^2-r^2) Int (r=0. . R*cos(phi) Int(phi=-
Pi/2 . . +Pi/2) dV .
Wir integrieren zuerst nach z, dann nach r (weil ja r noch von phi abhängt)
und zuletzt nach phi.
Zuerst nach z integriert, ergibt:
V = Int(phi=-Pi/2 . . +Pi/2) ( Int(r=0 . . R*cos(phi)) (sqrt(R^2-r^2)*r*dr))
dphi
= (2/3)*R^3*Int(phi=0 . . Pi/2)(1 - sin^3(phi)) dphi = (2/3)*R^3*(Pi/2 -
2/3).
Bei zwei Zylindern (Vivianisches Fenster) hat man dann das Volumen
2*V= (4/3)*R^3*(Pi/2 - 2/3).
Da die Halbkugel das Volumen (2/3)*Pi*R^3 hat, hat der Restkörper nach
Herausnahme der beiden Zylinder das Volumen (8/9)*R^3.
Macht man das mit der ganzen Kugel, dann hat der Restkörper das Volumen
(16/9)*R^3.
Liebe Grüße,
Wolfgang
Wolfgang Kirschenhofer
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb im Newsbeitrag
news:2ce68$4971faa2$d52f93dc$49...@news.chello.at...
Hallo Jutta!
Den Hinweis von Rolf habe ich jetzt erst gesehen:
Grüße,
Wolfgang
Wolfgang Kirschenhofer
"Wolfgang Kirschenhofer" <w.kirsc...@kstp.at> schrieb im Newsbeitrag
news:12322127...@news.aic.at...
> abhängt) Fehler: ^^^^^^^^^^^^^^
und zuletzt nach phi.
> Zuerst nach z integriert, ergibt:
>
> V = Int(phi=-Pi/2 . . +Pi/2) ( Int(r=0 . . R*cos(phi))
> (sqrt(R^2-r^2)*r*dr)) dphi
>
> = (2/3)*R^3*Int(phi=0 . . Pi/2)(1 - sin^3(phi)) dphi = (2/3)*R^3*(Pi/2 -
> 2/3).
>
> Bei zwei Zylindern (Vivianisches Fenster) hat man dann das Volumen
> 2*V= (4/3)*R^3*(Pi/2 - 2/3).
> Da die Halbkugel das Volumen (2/3)*Pi*R^3 hat, hat der Restkörper nach
> Herausnahme der beiden Zylinder das Volumen (8/9)*R^3.
> Macht man das mit der ganzen Kugel, dann hat der Restkörper das Volumen
> (16/9)*R^3.
>
> Liebe Grüße,
> Wolfgang
>
Hallo Jutta!
Kleine Korrektur: r hängt nicht von phi ab, sondern die obere
Integrationsgrenze enthält noch phi.
Grüße , Wolfgang
Oliver Jennrich
Und ich dachte schon, ich müsse nachschauen, was denn wohl ein Faius
ist. Da kannste mal sehen, welchen Ruf du genießt ;-)
--
Space - The final frontier
Jutta Gut
"Wolfgang Kirschenhofer" <w.kirsc...@kstp.at> schrieb
>> Der Faktor 16/9 gilt für die ganze Kugel, für die Halbkugel ist der
>> Faktor 8/9.
>> Ich rechne es jetzt für die Halbkugel vom Radius R und einem Zylinder mit
>> dem Radius R/2 vor:
Danke dir auch. Ich habe zuerst versucht, die horizontalen
Querschnittsflächen zu berechnen, aber da ist kein schöner Ausdruck
herausgekommen :-(
lg Jutta