leere Menge offen und abgeschlossen?
Dominic Maier
Kann mir jemand erklären, weshlab die leere Menge sowohl offen, als auch
abgeschlossen ist?
Weshalb sind IR^n und {} die einzigen Teilmengen von IR^n mit dieser
Eigenschaft?
Angenommen {} ist sowohl offen als auch abgeschlossen, dann ist doch
IR^n das Komplement zur leeren Menge auf IR^n, oder? Folglich ist auch
IR^n abgeschlossen UND offen.
Aber dann könnte ich doch auch sagen, dass wenn ich irgendeine beliebige
Menge A als Teilmenge von sich selbst betrachte, die leere Menge das
Komplement dazu ist und folglich auch A die Eigenschaften offen und
abgeschlossen erhält?
Gruß
Dominic
Martin Fuchs
> abgeschlossen ist?
Was kennst Du denn für Definitionen für offen und abgeschlossen?
Erfüllt die leere Menge diese Definitionen?
> Angenommen {} ist sowohl offen als auch abgeschlossen, dann ist doch
> IR^n das Komplement zur leeren Menge auf IR^n, oder? Folglich ist auch
> IR^n abgeschlossen UND offen.
Naja, nicht ganz. Wenn Du weißt, dass {} offen ist, dann ist |R^n als
das Komplement abgeschlossen, allerdings folgt daraus noch nicht zwangsläufig,
dass |R^n offen ist (was es allerdings ist).
> Aber dann könnte ich doch auch sagen, dass wenn ich irgendeine beliebige
> Menge A als Teilmenge von sich selbst betrachte, die leere Menge das
> Komplement dazu ist und folglich auch A die Eigenschaften offen und
> abgeschlossen erhält?
Falls Deine Menge A "zufällig" ein metrischer Raum ist, dann gilt
dies tatsächlich.
mf
Rainer Rosenthal
Dominic Maier wrote
> Kann mir jemand erklären, weshalb die leere Menge
> sowohl offen, als auch abgeschlossen ist?
Wenn auf der Menge X eine Topologie erklärt ist, dann
weiss man, was die offenen Mengen sind. Und per definitionem
gehören die leere Menge {} und der ganze Raum X dazu.
Weil "abgeschlossen" definiert ist als "Komplement von offen",
d.h.
A abgeschlossen <==> X\A offen
und weil {} = X\X und X = X\{} gilt, sollte das klar sein.
>
> Weshalb sind IR^n und {} die einzigen Teilmengen von
> IR^n mit dieser Eigenschaft?
Das hat die Natur so eingerichtet :-)
Genauer gesagt: Da Du ohne weitere Zusätze vom R^n sprichst, darf
man annehmen, dass Du die natürliche Topologie meinst, bei der
eine Menge M genau dann offen ist, wenn um alle ihre Punkte eine
Kugel gelegt werden kann, die ganz zu M gehört.
Ich kenne den Beweis der genannten Tatsache nicht, aber er könnte
vielleicht wie folgt gehen: ich laufe von einem Punkt P in M zu
einem Punkt P' im Komplement M' = X\M. Wenn M sowohl offen als auch
abgeschlossen ist, gilt das offenbar auch für M'.
Irgendwann werden wir mal einen Grenzpunkt G treffen, bei dem wir
von der Menge M zur Menge M' kommen. Kann er zu M gehören? Nein,
denn ein kleines Stück des weiteren Weges zu P' gehört ja auch
noch zu M, weil um G eine Kugel aus M-Punkten liegt. Er wäre also
kein Grenzpunkt. Aus gleichen Gründen kann er aber auch nicht zu
M' gehören. Tja, aber wenn er nicht zu M gehört, dann muss er ja
zum Komplement, d.h. zu M' gehören ... Widerspruch.
Das ist im neuen Jahrtausend mein erster Versuch eines topologischen
Beweises, und ich hoffe, dass er nicht allzu unmathematisch ausge-
fallen ist. Die zugrundeliegenden Eigenschaften des R^n, die ich
beim Beweis verwendet habe, heissen wohl "wegzusammenhängend" und
"vollständig" - aber da will ich mich nicht festlegen. Die Fachbe-
griffe sind mir entschwunden mangels Übung.
>
> Angenommen {} ist sowohl offen als auch abgeschlossen, dann ist doch
> IR^n das Komplement zur leeren Menge auf IR^n, oder? Folglich ist auch
> IR^n abgeschlossen UND offen.
Häh? Das hattest Du doch selbst schon oben geschrieben, dass das so ist.
>
> Aber dann könnte ich doch auch sagen, dass wenn ich irgendeine beliebige
> Menge A als Teilmenge von sich selbst betrachte, die leere Menge das
> Komplement dazu ist und folglich auch A die Eigenschaften offen und
> abgeschlossen erhält?
Hoppla, komische Auffassung von "Komplement", die Du da hast.
Das Komplement einer Menge A in R^n ist doch i.A. nicht die leere Menge,
ausser A ist selbst gleich R^n. Das Komplement von A sind alle die
Punkte des R^n, die nicht zu A gehören.
(Falls Du allerdings A selbst mit der induzierten Topologie als
eigenen topologischen Raum auffasst, dann ist *in_dieser_Topologie*
tatsächlich A sowohl offen als auch abgeschlossen. Das darf man aber
nicht durcheinanderbringen.)
Ich bin verblüfft, dass so vergleichsweise schwierige topologische
Fragen behandelt werden, wo offenbar noch die Mengenlehre etwas wackelt.
Nimm's mir nicht übel, vielleicht kannst Du das näher erläutern?
Handelt es sich um einen Crash-Kurs oder um die Rache der Uni, weil Du
gestreikt hast?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Gastfreund aus Korinth
> Angenommen {} ist sowohl offen als auch abgeschlossen, dann ist doch IR^n
> das Komplement zur leeren Menge auf IR^n, oder? Folglich ist auch IR^n
> abgeschlossen UND offen.
Ja.
> Aber dann könnte ich doch auch sagen, dass wenn ich irgendeine beliebige
> Menge A als Teilmenge von sich selbst betrachte, die leere Menge das
> Komplement dazu ist und folglich auch A die Eigenschaften offen und
> abgeschlossen erhält?
In der Tat ist das richtig. In diesem Fall betrachtest Du A als
topologischen Raum und in jedem topologischen Raum X sind sowohl X als
auch {} offen und abgeschlossen. Ein topologischer Raum X heißt
*zusammenhängend*, wenn die einzigen Unterräume, die gleichzeitig offen
und abgeschlossen sind, X und {} sind.
GaK
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Dominic Maier
Rainer Rosenthal wrote:
> Dominic Maier wrote
>
>
>>Kann mir jemand erklären, weshalb die leere Menge
>>sowohl offen, als auch abgeschlossen ist?
>
>
> Wenn auf der Menge X eine Topologie erklärt ist, dann
> weiss man, was die offenen Mengen sind. Und per definitionem
> gehören die leere Menge {} und der ganze Raum X dazu.
> Weil "abgeschlossen" definiert ist als "Komplement von offen",
> d.h.
> A abgeschlossen <==> X\A offen
>
> und weil {} = X\X und X = X\{} gilt, sollte das klar sein.
>
Ok, danke, das ist dann klar. Ich wusste nicht, dass das so definiert
ist und hatte mir überlegt, ob ich um jedes Element der leeren Menge
eine Kugel legen kann, die in der leeren Menge liegt, aber da {} keine
Elemente enthält macht das irgendwie keinen Sinn.
> Hoppla, komische Auffassung von "Komplement", die Du da hast.
Oh, sorry, ich habe mir gerade nochmal die Definition von
"abgeschlossen" angeschaut. Das stand X aus IR^n sei abgeschlossen, gdw.
IR^n\X offen ist.
In meinem Statement hatte ich dann wohl fälschlicherweise angenommen,
dass ich IR^n durch eine andere beliebige Menge ersetzen kann. (wenn ich
das oben richtig verstanden habe geht das nur, wenn auf der
entsprechenden Menge eine Topologie erklärt ist...)
>
> Ich bin verblüfft, dass so vergleichsweise schwierige topologische
> Fragen behandelt werden, wo offenbar noch die Mengenlehre etwas wackelt.
> Nimm's mir nicht übel, vielleicht kannst Du das näher erläutern?
> Handelt es sich um einen Crash-Kurs oder um die Rache der Uni, weil Du
> gestreikt hast?
Also das Problem wurde in Ana I mal in einer Bemerkung erwähnt. Es hat
mich ziemlich verwirrt, weshalb das so sein sollte...*g*
Vielleicht kannst du mir ja ein gutes Buch über Topologie empfehlen das
ich schon im 1.Sem. lesen kann...
Gruß
Dominic
Paul Ebermann
> Rainer Rosenthal wrote:
> > Dominic Maier wrote
> >
> >>Kann mir jemand erklären, weshalb die leere Menge
> >>sowohl offen, als auch abgeschlossen ist?
>
> Ok, danke, das ist dann klar. Ich wusste nicht, dass das so definiert
> ist und hatte mir überlegt, ob ich um jedes Element der leeren Menge
> eine Kugel legen kann, die in der leeren Menge liegt, aber da {} keine
> Elemente enthält macht das irgendwie keinen Sinn.
Doch, gerade das macht Sinn:
Für jedes Element der leeren Menge gilt jede
beliebige Aussage, also auch die, dass man eine
Kugel drum legen kann, die selbst eine Teilmenge
der leeren Menge ist.
Rainer ist etwas allgemeiner rangegangen:
In jedem topologischen Raum ist nämlich die
leere Menge offen.
(Und der R^n mit den von dir durch "Kugeln um
jedes Element" definieren offenen Mengen bildet
einen topologischen Raum.)
Paul
Paul Ebermann
> Dominic Maier wrote
>
> > Kann mir jemand erklären, weshalb die leere Menge
> > sowohl offen, als auch abgeschlossen ist?
>
> Wenn auf der Menge X eine Topologie erklärt ist, dann
> weiss man, was die offenen Mengen sind. Und per definitionem
> gehören die leere Menge {} und der ganze Raum X dazu.
Oft wird in Ana I der Begriff der Topologie höchstens
erwähnt, und man definiert offene/abgeschlossene Mengen
nur auf dem R^n. (Wir haben damals alles mit "metrischen
Räumen" aufgezogen).
(Eine speziellere Begründung für die Tatsache, dass {} offen ist,
habe ich schon im anderen Posting geliefert.)
> Weil "abgeschlossen" definiert ist als "Komplement von offen",
> d.h.
> A abgeschlossen <==> X\A offen
>
> und weil {} = X\X und X = X\{} gilt, sollte das klar sein.
>
> >
> > Weshalb sind IR^n und {} die einzigen Teilmengen von
> > IR^n mit dieser Eigenschaft?
>
> Das hat die Natur so eingerichtet :-)
> Genauer gesagt: Da Du ohne weitere Zusätze vom R^n sprichst, darf
> man annehmen, dass Du die natürliche Topologie meinst, bei der
> eine Menge M genau dann offen ist, wenn um alle ihre Punkte eine
> Kugel gelegt werden kann, die ganz zu M gehört.
>
> Ich kenne den Beweis der genannten Tatsache nicht, aber er könnte
> vielleicht wie folgt gehen: [...]
>
> Das ist im neuen Jahrtausend mein erster Versuch eines topologischen
> Beweises, und ich hoffe, dass er nicht allzu unmathematisch ausge-
> fallen ist. Die zugrundeliegenden Eigenschaften des R^n, die ich
> beim Beweis verwendet habe, heissen wohl "wegzusammenhängend" und
> "vollständig" - aber da will ich mich nicht festlegen. Die Fachbe-
> griffe sind mir entschwunden mangels Übung.
Ich denke, die Vollständigkeit von R^n braucht man
hier nicht (jeder wegezusammenhängende Raum X ist
zusammenhängend, d.h. X und {} sind die einzigen
Mengen, die offen und abgeschlossen sind). Man
braucht nur die Vollständigkeit des weg-parametrisierenden
Raumes, meist ein Intervall in R.
Hier ein paar Definitionen (auch für
Dominic oder andere interessierte Mitleser).
| Ein Tupel (X, tau) heißt topologischer Raum, wenn
| X eine Menge und tau eine Teilmenge der Potenzmenge
| von X ist, und folgende Bedingungen gelten:
|
| * X ist in tau
| * {} ist in tau
| * Sind U_1 und U_2 aus tau, dann ist
| auch ihre Schnittmenge aus tau.
| * Sind U_i, i in I aus tau, so ist
| auch die Vereinigung der U_i aus tau.
|
| tau heißt auch "Topologie auf X".
(Man kann nachprüfen, dass z.B. R^n und die Menge
der offenen Mengen (definiert durch Kugeln um jeden
Punkt) des R^n diese Bedingungen erfüllen. Gleiches
gilt für jeden metrischen Raum.)
Die Elemente von tau nennt man auch die offenen Mengen
von X. tau lässt man weg, wenn klar ist, was gemeint ist.
Wichtig bei der Topologie sind natürlich die
stetigen Abbildungen:
| Eine Abbildung f : X --> Y zwischen zwei topologischen
| Räumen heißt stetig, falls das Urbild jeder offenen Menge
| in Y eine offene Menge in Y ist.
Man kann nachrechnen, dass das im Falle des R^n (bzw.
eines metrischen Raumes) mit der "üblichen"
epsilon-delta-Stetigkeit zusammenfällt.
| Für eine Teilmenge M eines topologischen Raumes (X, tau_X)
| heißt die Menge
|
| tau_M := { U n M | U in tau_X }
|
| die induzierte Topologie auf M.
Man kann nachrechnen, dass das wirklich eine
Topologie ist. Für metrische Räume entspricht
das Einschränken der Metrik dem Einschränken
der Topologie.
Jetzt zum Thema:
| Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, falls
| es keine nichtleeren offenen Teilmengen U und V von X
| gibt, so dass U und V disjunkt sind und ihre Vereinigung
| ganz X ergibt.
Da das eine indirekte Definition ist, werden Beweise
zum Zusammenhang in der Regel indirekt geführt. Ein
Beispiel:
| In einem zusammenhängenden Raum sind X und {} sind die
| einzigen Mengen, die offen und abgeschlossen sind.
Beweis:
Gäbe es eine weitere Menge U, so dass U offen und
abgeschlossen ist, U nicht X und nichtleer,
wäre V := X \ U ebenfalls offen und nichtleer,
und V und U sind disjunkt, also wäre X nicht
zusammenhängend => Widerspruch, q.e.d.
(Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt
zusammenhängend, falls sie mit der induzierten
Topologie zusammenhängend ist.)
Man kann zeigen, dass Bilder von zusammenhängenden
Mengen unter stetigen Abbildungen wieder zusammenhängend
sind.
(Indirekt: Urbilder von disjunkten offenen
nichtleeren Mengen bleiben disjunkt und nichtleer,
bei stetigen Abbildungen auch offen.)
([0,1] ist im folgenden das Einheitsintervall,
mit der üblichen Topologie von R.)
Das Einheitsintervall [0,1] ist zusammenhängend -
hierfür ist die Vollständigkeit von R entscheidend
(jede abgeschlossene nichtleere Teilmenge in [0,1]
hat ein Minimum bzw. Maximum).
Das motiviert zu folgender Definition:
| Ein topologischer Raum X heißt bogen- oder
| wegzusammenhängend, falls es für je zwei Punkte
| x0 und x1 eine stetige Abbildung
|
| x : [0,1] --> X
|
| gibt, mit f(0) = x0 und f(1) = x1.
|
| x heißt Weg in X.
Es gilt:
| Jeder wegezusammenhängender Raum ist
| zusammenhängend.
(Auch dies beweist man typischerweise
indirekt, ähnlich wie Rainer dies getan hat).
(Auch diese Definition kann man auch auf
"Mengen in topologischen Räumen" erweitern,
indem man diese einfach mit der induzierten
Topologie betrachtet.)
Beispiele:
* Im R^n kann man die Wege direkt hinschreiben:
x(t) = (1-t)*x0 + t*x1,
der Raum ist also wegezusammenhängend.
* Alle Teilmengen des R^1 (mit der induzierten
Topologie) sind zusammenhängend genau dann, wenn
sie wegzusammenhängend sind - das sind genau
die Intervalle.
* Offene Teilmengen des R^n sind zusammenhängend
genau dann, wenn sie wegezusammenhängend sind.
* Im R^2 (und natürlich auch in den höheren R^n)
gibt es aber schon Teilmengen, die (mit der induzierten
Topologie) zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend
sind. Ich habe in Ana I das Beispiel "Floh mit Kamm"
kennengelernt:
X := [0,1]x{0} u { 1/n | n in N}x[0,1] u {(1,0)}
Das ist eine Strecke auf der X-Achse, auf der
(in immer kleineren Abständen) Strecken parallel
zur y-Achse angebracht sind (der Kamm) - und
zusätzlich der Punkt (1,0) (Floh).
Der Floh lässt sich mit keinem Punkt des Kammes
durch einen Weg verbinden, aber trotzdem enthält
jede offene Menge, die den Floh enthält, schon
unendlich viele Punkte des Kammes (und der Kamm
ist ja wegzusammenhängend, also zusammenhängend.)
Damit ist X zusammenhängend, aber nicht
wegzusammenhängend.
Frohe Weihnachten
Paul
Rainer Rosenthal
Paul Ebermann wrote
> Ich habe in Ana I das Beispiel "Floh mit Kamm"
> kennengelernt:
>
> X := [0,1]x{0} u { 1/n | n in N}x[0,1] u {(1,0)}
> ??--??--??--??--??--??--??--??--??--??---^^^^^^^
Hallo Paul,
das Beispiel kannte ich noch nicht. Ob ich es
verstanden habe, wird sich zeigen, wenn Du mir
bestätigst, dass einklich was anderes gemeint
war als das, was Du geschieben hattest, nämlich:
X := [0,1]x{0} u { 1/n | n in N}x[0,1] u {(0,1)}
Das ist natürlich eine rhetorische Frage, weil (1,0)
ja schon in dem ersten Teil [0,1]x{0} drin ist.
Dies topologische Rabulieren hat mich immer sehr
fasziniert, aber es fehlt halt leider die Übung.
Um so schöner, dass Du mir gerade ein solches
Beispiel hast zeigen können, das den Unterschied
zwischen "zusammenhängend" und "wegzusammenhängend"
beleuchtet.
Das mit der "Vollständigkeit" hatte ich vermutet,
weil ich ja einen Grenzpunkt G benötigt hatte in
meiner Beweisführung. Und wenn ich mir das jetzt
nochmal durch den Kopf gehen lasse, denke ich, dass
meine Vermutung berechtigt ist:
Betrachte mal die rationalen Zahlen Q mit der natürlichen
Topologie. Sei M die Menge aller rationalen Zahlen q
mit q^2 < 2. Dann ist das Komplement M' die Menge aller
q mit q^2 > 2. Beide Mengen sind offen, wie man leicht
sieht. Als Komplemente voneinander sind sie also auch
beide abgeschlossen. So was Gemeines kann einem doch
bloss passieren, weil die rationalen Zahlen so "löcherig"
sind. Die "Vollständigkeit" ist also doch wichtig, falls
damit die fehlende Eigenschaft bezeichnet wird.
Der OP hatte ja nach einem entsprechend elementaren Buch
gefragt, in dem sowas behandelt wird. Ich werde mal die
Augen offenhalten, was er so vorgeschlagen bekommen wird.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
--
"Rabulieren" hat nur drei Einträge bei Google
Paul Ebermann
> Paul Ebermann wrote
>
> > Ich habe in Ana I das Beispiel "Floh mit Kamm"
> > kennengelernt:
> >
> > X := [0,1]x{0} u { 1/n | n in N}x[0,1] u {(1,0)}
> > ??--??--??--??--??--??--??--??--??--??---^^^^^^^
>
> Hallo Paul,
>
> das Beispiel kannte ich noch nicht. Ob ich es
> verstanden habe, wird sich zeigen, wenn Du mir
> bestätigst, dass einklich was anderes gemeint
> war als das, was Du geschieben hattest, nämlich:
>
> X := [0,1]x{0} u { 1/n | n in N}x[0,1] u {(0,1)}
Au. Ja, du hast recht.
(Mit den Koordinaten komme ich immer durcheinander ...)
> Das mit der "Vollständigkeit" hatte ich vermutet,
> weil ich ja einen Grenzpunkt G benötigt hatte in
> meiner Beweisführung.
Eigentlich hast du ja gebraucht, dass der
Weg keine Löcher hat. Dazu reicht es, wenn
es einen nichtlöchrigen Weg gibt, in der Menge
selbst können immer noch Löcher sein.
> Und wenn ich mir das jetzt
> nochmal durch den Kopf gehen lasse, denke ich, dass
> meine Vermutung berechtigt ist:
>
> Betrachte mal die rationalen Zahlen Q mit der natürlichen
> Topologie. Sei M die Menge aller rationalen Zahlen q
> mit q^2 < 2. Dann ist das Komplement M' die Menge aller
> q mit q^2 > 2. Beide Mengen sind offen, wie man leicht
> sieht. Als Komplemente voneinander sind sie also auch
> beide abgeschlossen. So was Gemeines kann einem doch
> bloss passieren, weil die rationalen Zahlen so "löcherig"
> sind. Die "Vollständigkeit" ist also doch wichtig, falls
> damit die fehlende Eigenschaft bezeichnet wird.
Die rationalen Zahlen sind ja nicht nur
"nicht vollständig" (das ist auch R^2 \ {0})
sondern sogar "total unzusammenhängend", d.h.
alle zusammenhängenden Teilmengen sind
einelementig (oder leer).
Betrachte X := R^n \ Q^n.
Diese Menge ist ziemlich löchrig (in jeder
Umgebung eines Punktes gibt es unendlich viele
"Löcher"), also nicht vollständig, aber für
n > 1 wegzusammenhängend.
Wichtig ist hier, dass die den "Weg" parametrisierende
Menge zusammenhängend ist, und wenn man ein Intervall
nimmt, braucht man dafür die Vollständigkeit von R.
Ein etwas allgemeinerer Satz:
| Ein topologischer Raum X ist zusammenhängend, gdw.
| es für je zwei Punkte x, y aus X eine zusammenhängende
| Menge Y und eine Funktion f : Y --> X gibt, so dass
| x und y im Bild von f sind.
Paul
Rainer Rosenthal
Paul Ebermann wrote
> Wichtig ist hier, dass die den "Weg" parametrisierende
> Menge zusammenhängend ist, und wenn man ein Intervall
> nimmt, braucht man dafür die Vollständigkeit von R.
Ich fühle mich dadurch nur nochmal bestätigt, dass ich
dem OP nix Falsches erzählt habe, als ich "Vollständigkeit"
gemurmelt hatte.
Seine Frage war ja:
Weshalb sind IR^n und {} die einzigen
Teilmengen von IR^n mit dieser Eigenschaft?
[offen und abgeschlossen zugleich zu sein]
Eine befriedigende Antwort muss doch auf die Grundeigen-
schaften von R^n eingehen. Zwischen zwei Punkten des R^n
kann man sehr leicht einen geraden Weg basteln. Und wenn
man annimmt, es gäbe eine nichttriviale zugleich offene
und abgeschlossene Menge M, dann ist auch R^n \ M eine
solche Menge. Nimmt man den geraden Weg zwischen zwei
Punkten P in M und P' in M', so ist die Existenz eines
Grenzpunktes G auf dieser Geraden von entscheidender
Bedeutung für das Gelingen des Widerspruchsbeweises.
>
> Ein etwas allgemeinerer Satz:
>
> | Ein topologischer Raum X ist zusammenhängend, gdw.
> | es für je zwei Punkte x, y aus X eine zusammenhängende
> | Menge Y und eine Funktion f : Y --> X gibt, so dass
> | x und y im Bild von f sind.
>
Mit dieser Definition habe ich gravierende Probleme, weil
sie mir geradezu zirkelschlussartig vorkommt:
Ich habe da also einen topologischen Raum X und will schauen,
ob er zusmmenhängend sei. Gemäss obigem Satz schnappe ich mir
irgendeinen schon als zusammenhängend bekannten Raum, suche
nach solch einer Funktion und gebe irgendwann ergebnislos auf.
Danach nehme ich den nächsten als zusammenhängend bekannten
Raum, suche wieder (ergebnislos) eine solche Funktion usw.
Ab wann darf ich sagen: X ist nicht zusammenhängend? Ich kann
doch unmöglich *alle* zusammenhängenden Räume durchforsten.
Womöglich gehört X zu einer bislang unbekannten Spezies von
zusammenhängenden topologischen Räumen? Und dann brauche ich
ja bloss die identische Abbildung f: X --> X zu betrachten
und - siehe da - für je zwei Punkte x, y aus X sind x und y
im Bild von f. Das ist zwar nicht absonderlich zwingend :-),
aber es ist auch nicht widersprüchlich.
Jetzt staune ich selbst über meine Haarspalterei. Aber ich
stehe erst mal zu meinem Einwand.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Paul Ebermann
> Paul Ebermann wrote
>
> > Wichtig ist hier, dass die den "Weg" parametrisierende
> > Menge zusammenhängend ist, und wenn man ein Intervall
> > nimmt, braucht man dafür die Vollständigkeit von R.
>
> Ich fühle mich dadurch nur nochmal bestätigt, dass ich
> dem OP nix Falsches erzählt habe, als ich "Vollständigkeit"
> gemurmelt hatte.
Ja, falsch ist es nicht.
Ich wollte bloß darauf hinweisen, dass es auch
nichtvollständige (weg)zusammenhängende Räume gibt.
> > Ein etwas allgemeinerer Satz:
> >
> > | Ein topologischer Raum X ist zusammenhängend, gdw.
> > | es für je zwei Punkte x, y aus X eine zusammenhängende
> > | Menge Y und eine Funktion f : Y --> X gibt, so dass
> > | x und y im Bild von f sind.
> >
>
> Mit dieser Definition habe ich gravierende Probleme, weil
> sie mir geradezu zirkelschlussartig vorkommt:
Das ist keine Definition, sondern (hast du ja
netterweise mitzitiert) ein Satz.
> Ich habe da also einen topologischen Raum X und will schauen,
> ob er zusmmenhängend sei. Gemäss obigem Satz schnappe ich mir
> irgendeinen schon als zusammenhängend bekannten Raum, suche
> nach solch einer Funktion und gebe irgendwann ergebnislos auf.
> Danach nehme ich den nächsten als zusammenhängend bekannten
> Raum, suche wieder (ergebnislos) eine solche Funktion usw.
> Ab wann darf ich sagen: X ist nicht zusammenhängend? Ich kann
> doch unmöglich *alle* zusammenhängenden Räume durchforsten.
Ja, in der Praxis hilft die Richtung "==>" nicht viel.
Besser ist die andere:
Wenn wir wissen, dass wir je zwei Punkte mit dem Bild
einer zusammenhängenden Menge verbinden können, ist
der ganze Raum zusammenhängend.
(Daher ist insbesondere jeder bogenzusammenhängende
Raum zusammenhängend.)
> Womöglich gehört X zu einer bislang unbekannten Spezies von
> zusammenhängenden topologischen Räumen? Und dann brauche ich
> ja bloss die identische Abbildung f: X --> X zu betrachten
> und - siehe da - für je zwei Punkte x, y aus X sind x und y
> im Bild von f.
Deswegen ist ja die Richtung "==>" trivial
zu beweisen, und ich konnte sie einfach mit
in den Satz aufnehmen :-)
Um das nützlicher zu machen, wäre es gut, eine
besser handhabbare Teilklasse K der zusammenhängenden
Räume zu haben, so dass man sagen kann:
Ist X zusammenhängend, dann gibt es zu je zwei
Punkten x und y von X einen Raum Y aus K, und eine
stetige Abbildung x : Y --> X, so dass x und y
in f(Y) liegen.
Gibt es da schon Ergebnisse, für die K echt kleiner
als die Klasse aller zusammenhängenden Räume ist?
Ein analoger Satz gilt übrigens für den
Wegezusammenhang, hier ist die Teilklasse
gerade K = { [0,1] }.
Paul
Rainer Rosenthal
Paul Ebermann
>
> Um das nützlicher zu machen, wäre es gut, eine
> besser handhabbare Teilklasse K der zusammenhängenden
> Räume zu haben, so dass man sagen kann:
>
> Ist X zusammenhängend, dann gibt es zu je zwei
> Punkten x und y von X einen Raum Y aus K, und eine
> stetige Abbildung x : Y --> X, so dass x und y
> in f(Y) liegen.
>
> Gibt es da schon Ergebnisse, für die K echt kleiner
> als die Klasse aller zusammenhängenden Räume ist?
>
> Ein analoger Satz gilt übrigens für den
> Wegezusammenhang, hier ist die Teilklasse
> gerade K = { [0,1] }.
Hallo Paul,
die bisherige Debatte hat mir Spass gemacht und Du hast
mir freundlicherweise einiges zusammengetragen, was als
Erinnerungshilfe dient. Es würde mich sehr freuen, wenn
die von Dir gestellte Frage hier in d.s.m. noch weiter
erörtert würde. So spitzfindig und überspitzt ich auch
in den Satz (ja, keine Definition, ok) hineingepiekst
hatte: Interessant ist das allemal. Besonders durch die
Parallele zum Wegzusammenhang.
Gruss,
Rainer
Michael Hoppe
> (Falls Du allerdings A selbst mit der induzierten Topologie als
> eigenen topologischen Raum auffasst, dann ist *in_dieser_Topologie*
> tatsächlich A sowohl offen als auch abgeschlossen.
Aber es kann noch mehr Teilmengen von A geben, die sowohl abgeschlossen
als auch offen sind. Betrachte A := [0, 1] u [2, 3], versehen mit der
Teilraumtopologie.
Michael
Rainer Rosenthal
Michael Hoppe wrote
>
> Aber es kann noch mehr Teilmengen von A geben, die
> sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Betrachte
> A := [0, 1] u [2, 3], versehen mit der Teilraumtopologie.
Hallo Michael,
danke für den Hinweis, aber wenn mich meine durch
die gerade durchlebte Weihnachts-*hicks*-Feier
getrübten Sinne nicht täuschen, dann ging es mir
bloss darum, den Begriff "Komplement" beim OP
zu hinterfragen, welchselber etwas wackelig schien.
Die Thematik "Wegzusammenhang" und "Zusammenhang" hat
Paul Ebermann in der Zwischenzeit schon sehr schön
"für jedermann" präsentiert, wofür ihm hier ein
erneutes 3-mal-Hoch gesungen sei.
Prost und viele Lebkuchen,
Rainer R.