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Inkongruenz (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223) elegant beweisen?
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Ulrich D i e z
May 5, 2022, 4:22:01 PM5/5/22
to
Hallo,
zur Ablenkung von meinen Schmerzen beschäftige ich mich mit einfachen
Dingen aus der Zahlentheorie und komme in meiner gesundheitsbedingten
mentalen Ausgebremstheit bei einem Problemchen nicht so recht weiter,
das für Profis eine leichte Fingerübung sein dürfte:
Gibt es einen Trick, wie man, ohne den Term auf der linken Seite auszurechnen
und durch 223 zu dividieren, und ohne auf sonstige Weise im Kopf mit großen
Zahlen herum zu jonglieren, auf einfache/elegante Weise die Gültigkeit der
Inkongruenz
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
bzw
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod (37*6 + 1))
zeigen/widerlegen kann?
223 und 37 sind Primzahlen.
Ich stehe gerade auf dem Schlauch und wäre dankbar für einen Schubser in
die richtige Richtung.
Ich vermute, ich übersehe gerade irgendeine Folgerung aus irgendeinem
Satz von Euler oder Mersenne oder Jacobi oder Fermat oder Gauss oder ...
Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
1^5 + 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
6 =/= 0 (mod 223)
, aber wenn man diesen Weg geht, wie zeigt man dann elegant,
dass 2^37 == 1 (mod 223)?
Ich habe Potenzrechenspielchen gespielt um es auszurechnen,
2^37
== (2^8)^4 * 2^5
== 256^4*32
== (223+33)^4 * 32
== 33^4 * 32
== (33^2)^2 * 32
== 1089^2 * 32
== (223*4+197)^2 * 32
== 197^2 * 32
== 197*197*32
== 197*6304
== 197*(223*28+60)
== 197*60
== 11820
== 223*53+1 == 1 (mod 223)
, aber es muss doch auch was Eleganteres geben, was es einem erspart,
im schmerzenden Kopf mit vier- bis fünfstelligen Zahlen zu jonglieren.
Außerdem:
Wenn man diesen Weg _nicht_ geht, kann man den Spieß umdrehen und
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
, sofern auf andere Weise bewiesen, nutzen, um zu zeigen, dass
2^37 == 1 (mod 223) bzw 2^37 - 1 == 0 (mod 223), denn es ist
(2^37 - 1)( (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 ) = (2^37)^6 - 1
, und somit
(2^37 - 1)( (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 )
== (2^37)^6 - 1
== 2^(37*6) - 1
== 2^222 - 1 --gemäß kleinem Satz von Fermat--
== 0 (mod 223)
, sodass man sagen könnte, aus
(2^37 - 1)( (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 ) == 2^222 - 1 == 0 (mod 223)
und
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
folgt
2^37 - 1 == 0 (mod 223) bzw 2^37 == 1 (mod 223).
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
zur Ablenkung von meinen Schmerzen beschäftige ich mich mit einfachen
Dingen aus der Zahlentheorie und komme in meiner gesundheitsbedingten
mentalen Ausgebremstheit bei einem Problemchen nicht so recht weiter,
das für Profis eine leichte Fingerübung sein dürfte:
Gibt es einen Trick, wie man, ohne den Term auf der linken Seite auszurechnen
und durch 223 zu dividieren, und ohne auf sonstige Weise im Kopf mit großen
Zahlen herum zu jonglieren, auf einfache/elegante Weise die Gültigkeit der
Inkongruenz
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
bzw
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod (37*6 + 1))
zeigen/widerlegen kann?
223 und 37 sind Primzahlen.
Ich stehe gerade auf dem Schlauch und wäre dankbar für einen Schubser in
die richtige Richtung.
Ich vermute, ich übersehe gerade irgendeine Folgerung aus irgendeinem
Satz von Euler oder Mersenne oder Jacobi oder Fermat oder Gauss oder ...
Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
1^5 + 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
6 =/= 0 (mod 223)
, aber wenn man diesen Weg geht, wie zeigt man dann elegant,
dass 2^37 == 1 (mod 223)?
Ich habe Potenzrechenspielchen gespielt um es auszurechnen,
2^37
== (2^8)^4 * 2^5
== 256^4*32
== (223+33)^4 * 32
== 33^4 * 32
== (33^2)^2 * 32
== 1089^2 * 32
== (223*4+197)^2 * 32
== 197^2 * 32
== 197*197*32
== 197*6304
== 197*(223*28+60)
== 197*60
== 11820
== 223*53+1 == 1 (mod 223)
, aber es muss doch auch was Eleganteres geben, was es einem erspart,
im schmerzenden Kopf mit vier- bis fünfstelligen Zahlen zu jonglieren.
Außerdem:
Wenn man diesen Weg _nicht_ geht, kann man den Spieß umdrehen und
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
, sofern auf andere Weise bewiesen, nutzen, um zu zeigen, dass
2^37 == 1 (mod 223) bzw 2^37 - 1 == 0 (mod 223), denn es ist
(2^37 - 1)( (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 ) = (2^37)^6 - 1
, und somit
(2^37 - 1)( (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 )
== (2^37)^6 - 1
== 2^(37*6) - 1
== 2^222 - 1 --gemäß kleinem Satz von Fermat--
== 0 (mod 223)
, sodass man sagen könnte, aus
(2^37 - 1)( (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 ) == 2^222 - 1 == 0 (mod 223)
und
(2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
folgt
2^37 - 1 == 0 (mod 223) bzw 2^37 == 1 (mod 223).
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
Andreas Leitgeb
May 6, 2022, 3:30:45 AM5/6/22
to
Ulrich D i e z <ud.usenetco...@web.de> wrote:
> Gibt es einen Trick, wie man, ohne den Term auf der linken Seite auszurechnen
> und durch 223 zu dividieren, und ohne auf sonstige Weise im Kopf mit großen
> Zahlen herum zu jonglieren, auf einfache/elegante Weise die Gültigkeit der
> Inkongruenz
>
> (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
Ein erster Schritt könnte mal sein, 2^37 mod 223 zu berechnen.
> Gibt es einen Trick, wie man, ohne den Term auf der linken Seite auszurechnen
> und durch 223 zu dividieren, und ohne auf sonstige Weise im Kopf mit großen
> Zahlen herum zu jonglieren, auf einfache/elegante Weise die Gültigkeit der
> Inkongruenz
>
> (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
Wenn das zahlenmäßig immernoch zu groß ist, kann man
ja 2^37 noch weiter zerlegen, z.b.: (2^10)^3 * 2^7,
und Faktor für Faktor einzeln modulo 223 rechnen.
[Spoiler: 2^37 mod 223 ist 1]
Ist dann erst einmal die Basis reduziert, verliert der ganze
Ausdruck seinen Schrecken...
Gute Besserung!
Alfred Flaßhaar
May 6, 2022, 5:10:27 AM5/6/22
to
Am 05.05.2022 um 22:22 schrieb Ulrich D i e z:
(...)
(a^6-1)/(a-1)
Alles Gute zur Genesung, Alfred
(...)
>
> (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
>
Vielleicht hilft die Umformung: Setze a=2^37, dann wird die Summe zu
> (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
>
(a^6-1)/(a-1)
Alles Gute zur Genesung, Alfred
Ulrich D i e z
May 6, 2022, 9:46:35 AM5/6/22
to
Am 06.05.22 um 09:30 schrieb Andreas Leitgeb:
Ich schrob ja selbst schon im Initialposting:
| Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
, was ja den "Spoiler" darstellt. Aber damit es insgesamt elegant ist,
müsste dann 2^37 == 1 (mod 223) auf elegante Art gezeigt werden.
Meine Art, das im Initialposting zu zeigen, finde ich nicht elegant
sondern langatmig.
Ich frage mich, ob es irgendeinen Satz gibt oder irgendeine
Konsequenz aus einem Satz, sodass man das ohne viele
Rechenschritte zeigen/begründen kann.
Ich habe die Befürchtung, ich übersehe da etwas Offensichtiches
und mache es deshalb unnötig langatmig.
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
> Ulrich D i e z <ud.usenetco...@web.de> wrote:
>> Gibt es einen Trick, wie man, ohne den Term auf der linken Seite auszurechnen
>> und durch 223 zu dividieren, und ohne auf sonstige Weise im Kopf mit großen
>> Zahlen herum zu jonglieren, auf einfache/elegante Weise die Gültigkeit der
>> Inkongruenz
>>
>> (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
>
> Ein erster Schritt könnte mal sein, 2^37 mod 223 zu berechnen.
[...]
>> Gibt es einen Trick, wie man, ohne den Term auf der linken Seite auszurechnen
>> und durch 223 zu dividieren, und ohne auf sonstige Weise im Kopf mit großen
>> Zahlen herum zu jonglieren, auf einfache/elegante Weise die Gültigkeit der
>> Inkongruenz
>>
>> (2^37)^5 + (2^37)^4 + (2^37)^3 + (2^37)^2 + (2^37)^1 + 1 =/= 0 (mod 223)
>
> Ein erster Schritt könnte mal sein, 2^37 mod 223 zu berechnen.
> [Spoiler: 2^37 mod 223 ist 1]
Danke schön. ;-)
Ich schrob ja selbst schon im Initialposting:
| Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
müsste dann 2^37 == 1 (mod 223) auf elegante Art gezeigt werden.
Meine Art, das im Initialposting zu zeigen, finde ich nicht elegant
sondern langatmig.
Ich frage mich, ob es irgendeinen Satz gibt oder irgendeine
Konsequenz aus einem Satz, sodass man das ohne viele
Rechenschritte zeigen/begründen kann.
Ich habe die Befürchtung, ich übersehe da etwas Offensichtiches
und mache es deshalb unnötig langatmig.
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
Stefan Schmitz
May 6, 2022, 10:23:39 AM5/6/22
to
Am 06.05.2022 um 15:46 schrieb Ulrich D i e z:
> Ich schrob ja selbst schon im Initialposting:
>
> | Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
>
> , was ja den "Spoiler" darstellt. Aber damit es insgesamt elegant ist,
> müsste dann 2^37 == 1 (mod 223) auf elegante Art gezeigt werden.
>
> Meine Art, das im Initialposting zu zeigen, finde ich nicht elegant
> sondern langatmig.
>
> Ich frage mich, ob es irgendeinen Satz gibt oder irgendeine
> Konsequenz aus einem Satz, sodass man das ohne viele
> Rechenschritte zeigen/begründen kann.
Im OP hast du ja schon den kleinen Fermatschen Satz benutzt. Vielleicht
> Ich schrob ja selbst schon im Initialposting:
>
> | Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
>
> , was ja den "Spoiler" darstellt. Aber damit es insgesamt elegant ist,
> müsste dann 2^37 == 1 (mod 223) auf elegante Art gezeigt werden.
>
> Meine Art, das im Initialposting zu zeigen, finde ich nicht elegant
> sondern langatmig.
>
> Ich frage mich, ob es irgendeinen Satz gibt oder irgendeine
> Konsequenz aus einem Satz, sodass man das ohne viele
> Rechenschritte zeigen/begründen kann.
hilft der auch hier weiter:
(2^37)^6 = 2^222 === 1 (mod 223)
Jetzt bräuchte man nur noch einen Satz der Art
a^n == 1 (mod p) => a == 1 (mod p)
Allgemein gilt das nicht, wie man am Fall a=2, n=3, p=7 sieht.
Ulrich D i e z
May 6, 2022, 12:53:28 PM5/6/22
to
Am 06.05.22 um 16:23 schrieb Stefan Schmitz:
Satz von Euler?
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
Andreas Leitgeb
May 6, 2022, 2:39:13 PM5/6/22
to
>> Ein erster Schritt könnte mal sein, 2^37 mod 223 zu berechnen.
>> [Spoiler: 2^37 mod 223 ist 1]
>
>
> Ich schrob ja selbst schon im Initialposting:
> | Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
Ups, naja, hab wohl zu voreilig den restlichen Text gekürzt..., sorry.
> | Es ist 2^37 == 1 (mod 223) , und damit wird die Sache einfach:
(waren einfach zuviele Ziffern und so...)
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