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Umkehrfunktion gesucht
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Michael Koch
Jan 12, 2022, 2:27:49 PM1/12/22
to
Hallo,
ich stehe vor diesem Problem und komme nicht weiter.
Der Vektor [x1,y1,z1] ist normiert, hat also den Betrag 1.
Zu diesem Vektor wird jetzt ein gegebener Vektor [a, b, c] addiert:
[x2, y2, z2] = [x1+a, y1+b, z1+c]
Dieser Vektor wird jetzt wieder auf die Länge 1 normiert:
r = sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)
[x3, y3, z3] = [x2/r, y2/r, z2/r]
Gesucht ist die Umkehrfunktion, also [x3, y3, z3] ist gegeben und [x1,y1,z1] ist gesucht. Ist das lösbar?
Gruß
Michael
ich stehe vor diesem Problem und komme nicht weiter.
Der Vektor [x1,y1,z1] ist normiert, hat also den Betrag 1.
Zu diesem Vektor wird jetzt ein gegebener Vektor [a, b, c] addiert:
[x2, y2, z2] = [x1+a, y1+b, z1+c]
Dieser Vektor wird jetzt wieder auf die Länge 1 normiert:
r = sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)
[x3, y3, z3] = [x2/r, y2/r, z2/r]
Gesucht ist die Umkehrfunktion, also [x3, y3, z3] ist gegeben und [x1,y1,z1] ist gesucht. Ist das lösbar?
Gruß
Michael
Michael Koch
Jan 12, 2022, 3:02:51 PM1/12/22
to
Zusätzlich können wir noch davon ausgehen, dass a, b und c im Intervall [-0.99 ... +0.99] liegen.
Rainer Rosenthal
Jan 12, 2022, 3:24:23 PM1/12/22
to
Ich schreibe
O = [ 0, 0, 0] für den Koordinatenursprung,
P1 = [x1, y1, z1] und
P2 = [x2, y2, z2] und
P3 = [x3, y3, z3] und
v = [ a, b, c].
Ich wiederhole Deine Konstruktion mit diesen Abkürzungen:
Du gelangst durch die Addition P1 + v zu einem Punkt P2.
Weil P2 durch Normierung zu P3 wird, ist P2 = L*P3, L = Länge von P.
Wir haben also P1 + v = L*P3.
Den Vorgang drehen wir jetzt um:
Auf der Geraden t*P3, t > 0, bilden wir für jedes t den Punkt
X(t) = t*P3 - v
Auf der von den X(t) gebildeten Geraden gibt es mindestens einen Punkt
X(t1) mit Abstand 1 zum Ursprung O. Im Allgemeinen wird es noch einen
zweiten Punkt X(t2) geben mit Abstand 1 zum Ursprung O.
Einer dieser Punkte ist dann der gesuchte Punkt P1, denn es gilt
X(t1) + v = t1*P3
und
X(t2) + v = t2*P3, d.h. beide erfüllen die Bedingung für P1:
P1 + v = L*P3 mit positiver reeller Zahl L.
Gruß,
Rainer
Rainer Rosenthal
Jan 12, 2022, 3:27:37 PM1/12/22
to
Am 12.01.2022 um 20:42 schrieb Stefan Ram:
> der Oberfläche der Einheitskugel kennt, kann man nicht
> wissen, über welchen Zwischenpunkt (x1/r, y1/r, z1/r) der
> Weg geführt hat, und daher (x1, y1, z1) nicht mehr ermitteln.
Du hast nicht berücksichtigt, dass der Vektor v = [a, b, c] ja auch
bekannt ist.
Gruß,
Rainer
> der Oberfläche der Einheitskugel kennt, kann man nicht
> wissen, über welchen Zwischenpunkt (x1/r, y1/r, z1/r) der
> Weg geführt hat, und daher (x1, y1, z1) nicht mehr ermitteln.
Du hast nicht berücksichtigt, dass der Vektor v = [a, b, c] ja auch
bekannt ist.
Gruß,
Rainer
Andreas Leitgeb
Jan 12, 2022, 3:34:39 PM1/12/22
to
sagen wir r'*[x3, y3, z3] mit r'>0
ist also r' * [x3, y3, z3] - [a, b, c] == [x1,y1,z1], und [x1,y1,z1]
liegt auf der Einheitskugel - mehr wissen wir davon nicht mehr,
also: (r'*x3-a)^2+(r'*y3-b)^2+(r'*z3-c)^2 == 1 nach r' auflösen.
Da die Normierung ([x2, y2, z2] -> [x3, y3, z3]) jedenfalls mit einem
positiven r passiert sein musste, kann man negative Lösungen für r'
ausschließen, aber je nach [a, b, c] ist es durchaus möglich, dass die
hier umzukehrende Operation gar nicht injektiv war, eine eindeutige
Rückrechnung also gar nicht immer möglich ist, sondern nur dann, wenn
r' eine Doppellösung ist, oder die zwei Lösungen für r' verschiedenes
Vorzeichen haben.
Auf der Einheitskugel gibt es je nach [a, b, c] auch Vektoren, die
nicht auf dem beschrieben Weg zustandegekommen sein können, und zwar
d.u.n.d. wenn die Länge des Vektors [a, b, c] echt größer als 1 ist.
Je länger der Vektor [a, b, c] (jenseits der Länge 1), desto kleiner
die Bildmenge der Operation.
Andreas Leitgeb
Jan 12, 2022, 3:44:00 PM1/12/22
to
Nachtrag zur Zusatz-angabe, dass [a,b,c] eine Länge < 1 hat:
Damit ist nun gewährleistet, dass jedes [x3,y3,z3] auf der
Einheitskugel ein eindeutiges [x1,y1,z1] hat.
Die Eindeutigkeit ergibt sich dann dadurch, dass der "+/- wurzel(...)"-teil
bei der Lösung der quadratischen Gleichung dann stets (betragsmäßig)
größer ist, als der Teil vor der Wurzel, und somit nur das "+"
zu einer positiven Lösung für r' führt.
Damit ist nun gewährleistet, dass jedes [x3,y3,z3] auf der
Einheitskugel ein eindeutiges [x1,y1,z1] hat.
Die Eindeutigkeit ergibt sich dann dadurch, dass der "+/- wurzel(...)"-teil
bei der Lösung der quadratischen Gleichung dann stets (betragsmäßig)
größer ist, als der Teil vor der Wurzel, und somit nur das "+"
zu einer positiven Lösung für r' führt.
Andreas Leitgeb
Jan 12, 2022, 3:46:56 PM1/12/22
to
Stefan Ram <r...@zedat.fu-berlin.de> wrote:
> Ich hatte den Teiltext "[x3, y3, z3] ist gegeben und
> [x1,y1,z1 ] ist gesucht" berücksichtigt.
>
> Das, was Du meinst, wäre meiner Meinung nach statt dessen:
> "[ x3, y3, z3 ]und[ a, b, c ]sind gegeben und[ x1, y1, z1 ]
> ist gesucht".
Weiter oben im Text des OP: "... ein gegebener Vektor [a, b, c] ..."
also ist auch [a, b, c] gegeben.
> Ich hatte den Teiltext "[x3, y3, z3] ist gegeben und
> [x1,y1,z1 ] ist gesucht" berücksichtigt.
>
> Das, was Du meinst, wäre meiner Meinung nach statt dessen:
> "[ x3, y3, z3 ]und[ a, b, c ]sind gegeben und[ x1, y1, z1 ]
> ist gesucht".
Weiter oben im Text des OP: "... ein gegebener Vektor [a, b, c] ..."
also ist auch [a, b, c] gegeben.
Michael Koch
Jan 12, 2022, 3:52:28 PM1/12/22
to
>
> Weiter oben im Text des OP: "... ein gegebener Vektor [a, b, c] ..."
> also ist auch [a, b, c] gegeben.
Wir können auch davon ausgehen dass der Betrag des Vektors [a, b, c] kleiner als 1 ist.
Gruß
Michael
Andreas Leitgeb
Jan 12, 2022, 4:17:22 PM1/12/22
to
gesehen, oder nur meinen Kommentar an Stefan?
Rainer Rosenthal
Jan 12, 2022, 5:01:35 PM1/12/22
to
Am 12.01.2022 um 21:52 schrieb Michael Koch:
> Wir können auch davon ausgehen dass der Betrag des Vektors [a, b, c] kleiner als 1 ist.
Damit gibt es stets zwei Lösungen.
> Wir können auch davon ausgehen dass der Betrag des Vektors [a, b, c] kleiner als 1 ist.
Die eindeutige Lösung ergibt sich nämlich nur in dem Fall, dass P3
senkrecht ist zu P1.
Und dann ist |t*P3-P1| minimal für t = 0.
Wir wissen, dass P1 = X(t) = t*P3 - v ist, also v = t*P3 - P1.
Darum |v| = |t*P3-P1| >= |0*P3-P1| = |O-P1| = |P1| = 1.
Eindeutige Lösung P1 gibt es also nur für v >= 1.
Gruß,
Rainer
Rainer Rosenthal
Jan 12, 2022, 5:10:54 PM1/12/22
to
Am 12.01.2022 um 21:43 schrieb Andreas Leitgeb:
> Nachtrag zur Zusatz-angabe, dass [a,b,c] eine Länge < 1 hat:
>
> Damit ist nun gewährleistet, dass jedes [x3,y3,z3] auf der
> Einheitskugel ein eindeutiges [x1,y1,z1] hat.
>
Oh, das ist ja lustig. Nach meinen Überlegungen und Skizzen ist es
> Nachtrag zur Zusatz-angabe, dass [a,b,c] eine Länge < 1 hat:
>
> Damit ist nun gewährleistet, dass jedes [x3,y3,z3] auf der
> Einheitskugel ein eindeutiges [x1,y1,z1] hat.
>
gerade umgekehrt. Ich hatte gerade bewiesen, dass nur mit Länge >= 1
eine eindeutige Lösung erreichbar ist. Ich nenne wieder [a,b,c] = v.
Der Fall "Länge von v = 1" hat die eindeutige Lösung
P1 = X(0) = 0*P3 - v = -v. Wie man sieht, ist |P1| = |-v| = |v| = 1.
Gruß,
Rainer
Rainer Rosenthal
Jan 12, 2022, 5:49:55 PM1/12/22
to
Am 12.01.2022 um 21:24 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Ja, ist lösbar, allerdings gibt es i.A. zwei Lösungen.
>
Irgendwie ist es wohl etwas spät ...
>
> Ja, ist lösbar, allerdings gibt es i.A. zwei Lösungen.
>
Das muss ich mir morgen nochmal in Ruhe anschauen, sorry.
Gruß,
RR
Andreas Leitgeb
Jan 12, 2022, 5:51:29 PM1/12/22
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Am 12.01.2022 um 21:43 schrieb Andreas Leitgeb:
>> Nachtrag zur Zusatz-angabe, dass [a,b,c] eine Länge < 1 hat:
>> Damit ist nun gewährleistet, dass jedes [x3,y3,z3] auf der
>> Einheitskugel ein eindeutiges [x1,y1,z1] hat.
> Oh, das ist ja lustig. Nach meinen Überlegungen und Skizzen ist es
> gerade umgekehrt. Ich hatte gerade bewiesen, dass nur mit Länge >= 1
> eine eindeutige Lösung erreichbar ist.
Abgesehen davon, dass ich auch selber einen Denkfehler haben könnte,
> Am 12.01.2022 um 21:43 schrieb Andreas Leitgeb:
>> Nachtrag zur Zusatz-angabe, dass [a,b,c] eine Länge < 1 hat:
>> Damit ist nun gewährleistet, dass jedes [x3,y3,z3] auf der
>> Einheitskugel ein eindeutiges [x1,y1,z1] hat.
> Oh, das ist ja lustig. Nach meinen Überlegungen und Skizzen ist es
> gerade umgekehrt. Ich hatte gerade bewiesen, dass nur mit Länge >= 1
> eine eindeutige Lösung erreichbar ist.
bin ich mir meiner Deutung schon ziemlich sicher:
Denke dir mal einfach einen "ganz kurzen" v, also etwa von der Länge
eines eps. Wenn du dieses v zu einem Punkt auf der Einheitskugel addierst
und dann normierst, also entlang der Geraden durch den Ursprung den
Punkt wieder auf die Einheitskugel setzt, ohne dabei an 0 vorbeizugehen,
glaubst du dann wirklich, dass noch ein anderer ursprünglicher Punkt P1
zum gleichen Ergebnis P3 führen könnte?
Nun zum anderen Fall: denke dir einen v = [ 0, 0, Ackermann(42,42)]
Egal, zu welchem Punkt der Einheitskugel man das dazuzählt, und dann
normiert, wird das Ergebnis "verdammt nah" zum Nordpol sein. Ob der
Punkt P1 nun auf der selben Hemisphäre wie das sich ergebende P3 ist,
oder auf der anderen... ist da nachträglich nicht mehr festzustellen:
also 2 mögliche Lösungen.
Rainer Rosenthal
Jan 12, 2022, 6:00:59 PM1/12/22
to
Am 12.01.2022 um 23:51 schrieb Andreas Leitgeb:
>
> Abgesehen davon, dass ich auch selber einen Denkfehler haben könnte,
> bin ich mir meiner Deutung schon ziemlich sicher:
>
> Denke dir mal einfach einen "ganz kurzen" v, also etwa von der Länge
> eines eps. Wenn du dieses v zu einem Punkt auf der Einheitskugel addierst
> und dann normierst, also entlang der Geraden durch den Ursprung den
> Punkt wieder auf die Einheitskugel setzt, ohne dabei an 0 vorbeizugehen,
> glaubst du dann wirklich, dass noch ein anderer ursprünglicher Punkt P1
> zum gleichen Ergebnis P3 führen könnte?
>
Danke, wie ich schon sagte, es war wohl schon etwas spät.
>
> Abgesehen davon, dass ich auch selber einen Denkfehler haben könnte,
> bin ich mir meiner Deutung schon ziemlich sicher:
>
> Denke dir mal einfach einen "ganz kurzen" v, also etwa von der Länge
> eines eps. Wenn du dieses v zu einem Punkt auf der Einheitskugel addierst
> und dann normierst, also entlang der Geraden durch den Ursprung den
> Punkt wieder auf die Einheitskugel setzt, ohne dabei an 0 vorbeizugehen,
> glaubst du dann wirklich, dass noch ein anderer ursprünglicher Punkt P1
> zum gleichen Ergebnis P3 führen könnte?
>
Ich hatte anscheinend plötzlich ein anderes P3 mitspielen lassen.
Morgen werde ich es sicher besser durchschauen.
Es war ja nicht alles schlecht, was ich da gezeichnet hatte :-)
Hoffe ich ...
Gruß,
Rainer
Andreas Leitgeb
Jan 12, 2022, 7:18:02 PM1/12/22
to
Noch was: Ich habe nicht gemeint, dass mit |v|>1 eine Umkehrung für
jedes P3 uneindeutig wäre, sondern dass es nur mit so einem v
die Operation nicht mehr injektiv ist.
Mit einem netten kleinen CAS am Handy ("HiPER Calc")
habe ich mir mal die quadratische Gleichung nach r lösen lassen,
wobei hier die Variablen nach v = [a,b,c] und P3 = [x,y,z]
definiert sind. Da P3 auf dem Einheitskreis vorausgesetzt wird,
lass ich den Quotienten weg, der da sonst (x^2 + y^2 + z^2)
gewesen wäre:
r = a x + b y + c z +/-
sqrt( 2 a b x y + 2 a c x z + 2 b c y z
+ x^2 - b^2 x^2 - c^2 x^2
+ y^2 - a^2 y^2 - c^2 y^2
+ z^2 - a^2 z^2 - b^2 z^2 )
das ist weiter gleich:
r = a x + b y + c z +/-
sqrt( 2 a b x y + 2 a c x z + 2 b c y z
+ x^2 ( 1 - b^2 - c^2 )
+ y^2 ( 1 - a^2 - c^2 )
+ z^2 ( 1 - a^2 - b^2 ) )
Aus "Symmetrie-gründen" kann man nun z.B. P3 als [0,0,1] festlegen:
r = c +/- sqrt( 1 - a^2 - b^2 )
Da sieht man schon: wenn die auf P3 normal stehende Komponente von v
länger als 1 ist, dann gibts keine Lösung, wenn diese Komponente
genau 1 ist, gibts eine doppellösung
und wenn man dann den v über Länge R und vertikal-komponente c
parametrisiert:
r = c +/- sqrt( 1 - (R^2 - c^2) ) =
c +/- sqrt( c^2 + 1 - R^2 )
dann kriegt man schon ein Gefühl, wie es bei R < 1 keine negative
Determinante geben kann, und der Wurzel-ausdruck garantiert größer
ist, als das c davor, und somit die Lösungen verschiedenes Vorzeichen
haben, und nur eine davon dann gilt.
Ist jedoch R ein bisschen größer als 1, dann ist es genau umgekehrt,
und man kriegt einen Wurzelausdruck der etwas kleiner als c ist, und
somit je nach c zwei positive oder zwei negative(also keine) Lösungen.
qed ;-)
jedes P3 uneindeutig wäre, sondern dass es nur mit so einem v
die Operation nicht mehr injektiv ist.
Mit einem netten kleinen CAS am Handy ("HiPER Calc")
habe ich mir mal die quadratische Gleichung nach r lösen lassen,
wobei hier die Variablen nach v = [a,b,c] und P3 = [x,y,z]
definiert sind. Da P3 auf dem Einheitskreis vorausgesetzt wird,
lass ich den Quotienten weg, der da sonst (x^2 + y^2 + z^2)
gewesen wäre:
r = a x + b y + c z +/-
sqrt( 2 a b x y + 2 a c x z + 2 b c y z
+ x^2 - b^2 x^2 - c^2 x^2
+ y^2 - a^2 y^2 - c^2 y^2
+ z^2 - a^2 z^2 - b^2 z^2 )
das ist weiter gleich:
r = a x + b y + c z +/-
sqrt( 2 a b x y + 2 a c x z + 2 b c y z
+ x^2 ( 1 - b^2 - c^2 )
+ y^2 ( 1 - a^2 - c^2 )
+ z^2 ( 1 - a^2 - b^2 ) )
Aus "Symmetrie-gründen" kann man nun z.B. P3 als [0,0,1] festlegen:
r = c +/- sqrt( 1 - a^2 - b^2 )
Da sieht man schon: wenn die auf P3 normal stehende Komponente von v
länger als 1 ist, dann gibts keine Lösung, wenn diese Komponente
genau 1 ist, gibts eine doppellösung
und wenn man dann den v über Länge R und vertikal-komponente c
parametrisiert:
r = c +/- sqrt( 1 - (R^2 - c^2) ) =
c +/- sqrt( c^2 + 1 - R^2 )
dann kriegt man schon ein Gefühl, wie es bei R < 1 keine negative
Determinante geben kann, und der Wurzel-ausdruck garantiert größer
ist, als das c davor, und somit die Lösungen verschiedenes Vorzeichen
haben, und nur eine davon dann gilt.
Ist jedoch R ein bisschen größer als 1, dann ist es genau umgekehrt,
und man kriegt einen Wurzelausdruck der etwas kleiner als c ist, und
somit je nach c zwei positive oder zwei negative(also keine) Lösungen.
qed ;-)
Michael Koch
Jan 14, 2022, 7:56:53 AM1/14/22
to
Ich möchte mich ganz herzlich für eure Antworten bedanken, die mir sehr weitergeholfen haben.
Die Anwendung, bei der ich auf dieses Problem gestoßen bin, ist folgende:
Ein Projektor mit einem 180° Fisheye-Objektiv wirft ein Bild in eine halbkugel-förmige Planetariums-Kuppel. Die Frage war, wie man das Bild verzerren muss, wenn sich das Projektionsobjektiv nicht im Zentrum der Kuppel befindet, sondern seitlich oder in der Höhe versetzt ist. Dank eurer Hilfe ist das Problem jetzt gelöst!
Gruß
Michael
Die Anwendung, bei der ich auf dieses Problem gestoßen bin, ist folgende:
Ein Projektor mit einem 180° Fisheye-Objektiv wirft ein Bild in eine halbkugel-förmige Planetariums-Kuppel. Die Frage war, wie man das Bild verzerren muss, wenn sich das Projektionsobjektiv nicht im Zentrum der Kuppel befindet, sondern seitlich oder in der Höhe versetzt ist. Dank eurer Hilfe ist das Problem jetzt gelöst!
Gruß
Michael
Stephan Gerlach
Jan 26, 2022, 9:00:35 PM1/26/22
to
Michael Koch schrieb:
Ja, und das sogar nicht nur im R^3, sondern in beliebigen Hilberträumen
(Vektorraum mit Skalarprodukt und zugehöriger Norm).
Vereinfachende Bezeichungen:
x = "Ausgangsvektor" mit Norm 1
a = zu addierender Vektor
y = "Ergebnisvektor" ebenfalls mit Norm 1
Weitere Bezeichnungen:
|z| = Norm von z
<b,c> = Skalarprodukt von b mit c
Laut deiner Konstruktion gilt |x|=1, |y|=1
und
y = 1/|x+a| * (x+a)
Umstellen nach x+a ergibt
x+a = |x+a| * y
y und x+a sind also parallel ("kollinear"), also existiert ein Faktor k mit
x+a = k * y
x = k*y - a. [1]
k ist gesucht, also bilden wir auf beiden Seiten die Norm zum Quadrat
(bzw. Skalarprodukt mit sich selber):
|x|² = |k*y-a|²
1² = k²*|y|² - 2*k*<y,a> + |a|²
0 = k² - 2<y,a>*k + |a|² - 1
Lösen mit pq-Formel:
k = <y,a> +- sqrt(<y,a>²-|a|²+1)
Beachte, daß es auf den Term unter der Wurzel ankommt
(größer/gleich/kleiner 0), ob es zwei, genau eine oder keine (relle)
Lösung(en) für k gibt.
Im Fall der Lösbarkeit folgt daraus durch einsetzen in [1]
x = [<y,a> +- sqrt(<y,a>²-|a|²+1)] * y - a.
Fertig!
Übungsaufgabe: Versuche, den (Spezial-)Fall der eindeutigen Lösbarkeit
geometrisch zu deuten.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
(Vektorraum mit Skalarprodukt und zugehöriger Norm).
Vereinfachende Bezeichungen:
x = "Ausgangsvektor" mit Norm 1
a = zu addierender Vektor
y = "Ergebnisvektor" ebenfalls mit Norm 1
Weitere Bezeichnungen:
|z| = Norm von z
<b,c> = Skalarprodukt von b mit c
Laut deiner Konstruktion gilt |x|=1, |y|=1
und
y = 1/|x+a| * (x+a)
Umstellen nach x+a ergibt
x+a = |x+a| * y
y und x+a sind also parallel ("kollinear"), also existiert ein Faktor k mit
x+a = k * y
x = k*y - a. [1]
k ist gesucht, also bilden wir auf beiden Seiten die Norm zum Quadrat
(bzw. Skalarprodukt mit sich selber):
|x|² = |k*y-a|²
1² = k²*|y|² - 2*k*<y,a> + |a|²
0 = k² - 2<y,a>*k + |a|² - 1
Lösen mit pq-Formel:
k = <y,a> +- sqrt(<y,a>²-|a|²+1)
Beachte, daß es auf den Term unter der Wurzel ankommt
(größer/gleich/kleiner 0), ob es zwei, genau eine oder keine (relle)
Lösung(en) für k gibt.
Im Fall der Lösbarkeit folgt daraus durch einsetzen in [1]
x = [<y,a> +- sqrt(<y,a>²-|a|²+1)] * y - a.
Fertig!
Übungsaufgabe: Versuche, den (Spezial-)Fall der eindeutigen Lösbarkeit
geometrisch zu deuten.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Andreas Leitgeb
Jan 27, 2022, 11:49:26 AM1/27/22
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> wrote:
> Beachte, daß es auf den Term unter der Wurzel ankommt
> (größer/gleich/kleiner 0), ob es zwei, genau eine oder keine (relle)
> Lösung(en) für k gibt.
Beachte, dass das ursprüngliche Problem schon lange beantwortet wurde,
> Beachte, daß es auf den Term unter der Wurzel ankommt
> (größer/gleich/kleiner 0), ob es zwei, genau eine oder keine (relle)
> Lösung(en) für k gibt.
und dass die Anzahl der Lösungen hier NICHT direkt vom Ausdruck unter der
Wurzel abhängt, sondern die Eindeutigkeit hier davon abhängt, dass nur
positive Lösungen der quadratischen Gleichung im Kontext gültig sind,
weil ein Vektor bei einer Normierung immer um positive Faktoren gestreckt
oder gestaucht wird. Diesen Normierungsfaktor (bzw dessen reziprok-Wert)
soll mit k ja berechnet werden.
Mit der später vom OP nachgelieferten Zusatz-angabe, wonach | [a,b,c] | < 1
ist, ist die Eindeutigkeit der Lösung von mir bereits bewiesen worden.
Stephan Gerlach
Jan 27, 2022, 8:10:29 PM1/27/22
to
Andreas Leitgeb schrieb:
Hatte ich später auch bemerkt; allerdings hatte ich meine Lösung schon
länger fast(!) fertig, aber wegen "fast" noch nicht abgeschickt, was nun
nachgeholt wurde.
Zudem finde ich bei derartigen Aufgaben Lösungen eleganter/einfacher,
die möglichst ohne "ausartende" Koordinaten-Darstellungen auskommen.
Ich persönlich "ärgere" mich jedenfalls nicht so gern mit den 3
Koordinaten x1, x2, x3 herum, sondern fasse das lieber einfach zu einem
Vektor x zusammen. Aber das ist Geschmackssache :-) .
> ... und dass die Anzahl der Lösungen hier NICHT direkt vom Ausdruck unter der
dort unerwähnt/unbemerkt) so raus.
Also es gibt (rechnerisch) immer 2 Lösungen für k, aber da k = |x+a|
ist, muß k>0 sein, damit k im Kontext gültig ist; klingt logisch :-) .
Somit gibt es "tatsächlich" nur dann 2 Lösungen für k (also mehrdeutige
Lösbarkeit), wenn beide Lösungen positiv sind, was für
|a|>1
der Fall sein dürfte. Natürlich nur unter der (zusätzlichen)
Voraussetzung, daß der gesamte Term <y,a>²-|a|²+1 unter der Wurzel
positiv ist.
> Mit der später vom OP nachgelieferten Zusatz-angabe, wonach | [a,b,c] | < 1
> ist, ist die Eindeutigkeit der Lösung von mir bereits bewiesen worden.
Ja.
"Bei mir" folgt das aus der Darstellung für die kleinere der beiden
Lösungen k (mit Minus vor der Wurzel)
k = <y,a> - sqrt(<y,a>²-|a|²+1)
und der Bedingung k<0 für die Eindeutigkeit. Einfach obige Darstellung
kleiner 0 setzen und nach |a|² auflösen, schon steht's da.
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> wrote:
>> Beachte, daß es auf den Term unter der Wurzel ankommt
>> (größer/gleich/kleiner 0), ob es zwei, genau eine oder keine (relle)
>> Lösung(en) für k gibt.
>
> Beachte, dass das ursprüngliche Problem schon lange beantwortet wurde, ...
>> Beachte, daß es auf den Term unter der Wurzel ankommt
>> (größer/gleich/kleiner 0), ob es zwei, genau eine oder keine (relle)
>> Lösung(en) für k gibt.
>
Hatte ich später auch bemerkt; allerdings hatte ich meine Lösung schon
länger fast(!) fertig, aber wegen "fast" noch nicht abgeschickt, was nun
nachgeholt wurde.
Zudem finde ich bei derartigen Aufgaben Lösungen eleganter/einfacher,
die möglichst ohne "ausartende" Koordinaten-Darstellungen auskommen.
Ich persönlich "ärgere" mich jedenfalls nicht so gern mit den 3
Koordinaten x1, x2, x3 herum, sondern fasse das lieber einfach zu einem
Vektor x zusammen. Aber das ist Geschmackssache :-) .
> ... und dass die Anzahl der Lösungen hier NICHT direkt vom Ausdruck unter der
> Wurzel abhängt, sondern die Eindeutigkeit hier davon abhängt, dass nur
> positive Lösungen der quadratischen Gleichung im Kontext gültig sind,
> weil ein Vektor bei einer Normierung immer um positive Faktoren gestreckt
> oder gestaucht wird. Diesen Normierungsfaktor (bzw dessen reziprok-Wert)
> soll mit k ja berechnet werden.
Ja stimmt, und das kommt sogar in meiner Berechnung (allerdings von mir
> positive Lösungen der quadratischen Gleichung im Kontext gültig sind,
> weil ein Vektor bei einer Normierung immer um positive Faktoren gestreckt
> oder gestaucht wird. Diesen Normierungsfaktor (bzw dessen reziprok-Wert)
> soll mit k ja berechnet werden.
dort unerwähnt/unbemerkt) so raus.
Also es gibt (rechnerisch) immer 2 Lösungen für k, aber da k = |x+a|
ist, muß k>0 sein, damit k im Kontext gültig ist; klingt logisch :-) .
Somit gibt es "tatsächlich" nur dann 2 Lösungen für k (also mehrdeutige
Lösbarkeit), wenn beide Lösungen positiv sind, was für
|a|>1
der Fall sein dürfte. Natürlich nur unter der (zusätzlichen)
Voraussetzung, daß der gesamte Term <y,a>²-|a|²+1 unter der Wurzel
positiv ist.
> Mit der später vom OP nachgelieferten Zusatz-angabe, wonach | [a,b,c] | < 1
> ist, ist die Eindeutigkeit der Lösung von mir bereits bewiesen worden.
"Bei mir" folgt das aus der Darstellung für die kleinere der beiden
Lösungen k (mit Minus vor der Wurzel)
k = <y,a> - sqrt(<y,a>²-|a|²+1)
und der Bedingung k<0 für die Eindeutigkeit. Einfach obige Darstellung
kleiner 0 setzen und nach |a|² auflösen, schon steht's da.
Ulrich D i e z
Jan 28, 2022, 1:42:18 PM1/28/22
to
Am 12.01.22 um 20:27 schrieb Michael Koch:
> Der Vektor [x1,y1,z1] ist normiert, hat also den Betrag 1.
> Zu diesem Vektor wird jetzt ein gegebener Vektor [a, b, c] addiert:
> [x2, y2, z2] = [x1+a, y1+b, z1+c]
> Dieser Vektor wird jetzt wieder auf die Länge 1 normiert:
> r = sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)
> [x3, y3, z3] = [x2/r, y2/r, z2/r]
>
> Gesucht ist die Umkehrfunktion, also [x3, y3, z3] ist gegeben und [x1,y1,z1] ist gesucht. Ist das lösbar?
Der Ausgangs-Vektor [x_1,y_1,z_1] zeigt also vom Ursprung auf einen Punkt
der Oberfläche der Einheitskugel, und die Summe der Vektoren [x_1,y_1,z_1]
und [a, b, c] ergibt nicht den Nullvektor, denn der ließe sich nicht
auf 1 normieren.
D.h. der Fall "a=-x_1 und b=-y_1 und c=-z_1" ist ausgeschlossen.
Sei der neue auf 1 normierte Bild-Vektor: [x_3, y_3, z_3]
mit
x_3 = (x1 + a)/sqrt((x1 + a)^2+(x2 + b)^2+(x3 + c)^2)
y_3 = (x2 + b)/sqrt((x1 + a)^2+(x2 + b)^2+(x3 + c)^2)
z_3 = (x3 + c)/sqrt((x1 + a)^2+(x2 + b)^2+(x3 + c)^2)
ebenfalls ein Vektor, der vom Ursprung auf einen Punkt der
Oberfläche der Einheitskugel zeigt.
D.h. es muss mindestens einen positiven "Streckfaktor"
k geben, sodass
sqrt((k*(x_3) - a)^2 + (k*(y_3) - b)^2 + (k*(z_3) - z)^2) = 1.
Wenn man den Bild-Vektor [x_3, y_3, z_3] um den "richtigen"
dieser Streckfaktoren streckt, und [a, b, c] davon subtrahiert,
ergibt sich der Ausgangsvektor.
In dieser Gleichung ist nur k unbekannt:
sqrt(
(k^2*(x_3)^2 -2k*(x_3)a + a^2) +
(k^2*(y_3)^2 -2k*(y_3)b + b^2) +
(k^2*(z_3)^2 -2k*(z_3)c + c^2) +
) = 1
bzw
k^2((x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2) + k*2(-x_3-y_3-z_3) + (a^2+b^2+c^2-1) = 0
bzw
k_{1/2} = (-(-x_3-y_3-z_3)
pm
sqrt( (-x_3-y_3-z_3)^2 - 4((x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2)(a^2+b^2+c^2-1) ) / (2((x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2))
Auf die Frage, welche Beziehungen zwischen x_3, y_3, z_3, a, b und c
bestehen müssen, damit diese Gleichung Lösungen hat, bei denen
entweder nur k_1 oder nur k_2 positiv ist, habe ich im Moment
keine Lust.
Anschaulich:
Sei U der Ursprung der Einheitskugel.
Sei P_1 der Punkt U + [x_1, y_1, z_1].
Sei P_A der Punkt U + [x_1, y_1, z_1] + [a, b, c].
Sei g_1 die Gerade, die durch P_1 verläuft und parallel zur Stecke UP_A verläuft,
mit der Richtung [x_3, y_3, z_3].
P_1 ist ein Punkt, den g_1 und die Oberfläche der Einheitskugel gemeinsam haben.
Wenn [x_1, y_1, z_1] und [x_3, y_3, z_3] senkrecht zueinander stehen,
dann berühren g_1 und die Oberfläche der Einheitskugeln einander im
Punkt P_1 und die Sache ist eindeutig.
Wenn [x_1, y_1, z_1] und [x_3, y_3, z_3] nicht senkrecht zueinander stehen,
dann "durchstößt" g_1 an zwei Punkten die Oberfläche der Einheitskugel,
In diesem Fall:
P_1 ist einer der beiden Punkte, an dem g_1 die Oberfläche der Einheitskugel
durchstößt.
Sei P_1' der andere der beiden Punkte, an dem g_1 die Oberfläche der
Einheitskugel durchstößt.
Wenn die Strecke P_1 P_1' länger ist als die Strecke UP_A, dann ist die Sache
eindeutig.
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
> Der Vektor [x1,y1,z1] ist normiert, hat also den Betrag 1.
> Zu diesem Vektor wird jetzt ein gegebener Vektor [a, b, c] addiert:
> [x2, y2, z2] = [x1+a, y1+b, z1+c]
> Dieser Vektor wird jetzt wieder auf die Länge 1 normiert:
> r = sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)
> [x3, y3, z3] = [x2/r, y2/r, z2/r]
>
> Gesucht ist die Umkehrfunktion, also [x3, y3, z3] ist gegeben und [x1,y1,z1] ist gesucht. Ist das lösbar?
der Oberfläche der Einheitskugel, und die Summe der Vektoren [x_1,y_1,z_1]
und [a, b, c] ergibt nicht den Nullvektor, denn der ließe sich nicht
auf 1 normieren.
D.h. der Fall "a=-x_1 und b=-y_1 und c=-z_1" ist ausgeschlossen.
Sei der neue auf 1 normierte Bild-Vektor: [x_3, y_3, z_3]
mit
x_3 = (x1 + a)/sqrt((x1 + a)^2+(x2 + b)^2+(x3 + c)^2)
y_3 = (x2 + b)/sqrt((x1 + a)^2+(x2 + b)^2+(x3 + c)^2)
z_3 = (x3 + c)/sqrt((x1 + a)^2+(x2 + b)^2+(x3 + c)^2)
ebenfalls ein Vektor, der vom Ursprung auf einen Punkt der
Oberfläche der Einheitskugel zeigt.
D.h. es muss mindestens einen positiven "Streckfaktor"
k geben, sodass
sqrt((k*(x_3) - a)^2 + (k*(y_3) - b)^2 + (k*(z_3) - z)^2) = 1.
Wenn man den Bild-Vektor [x_3, y_3, z_3] um den "richtigen"
dieser Streckfaktoren streckt, und [a, b, c] davon subtrahiert,
ergibt sich der Ausgangsvektor.
In dieser Gleichung ist nur k unbekannt:
sqrt(
(k^2*(x_3)^2 -2k*(x_3)a + a^2) +
(k^2*(y_3)^2 -2k*(y_3)b + b^2) +
(k^2*(z_3)^2 -2k*(z_3)c + c^2) +
) = 1
bzw
k^2((x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2) + k*2(-x_3-y_3-z_3) + (a^2+b^2+c^2-1) = 0
bzw
k_{1/2} = (-(-x_3-y_3-z_3)
pm
sqrt( (-x_3-y_3-z_3)^2 - 4((x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2)(a^2+b^2+c^2-1) ) / (2((x_3)^2+(y_3)^2+(z_3)^2))
Auf die Frage, welche Beziehungen zwischen x_3, y_3, z_3, a, b und c
bestehen müssen, damit diese Gleichung Lösungen hat, bei denen
entweder nur k_1 oder nur k_2 positiv ist, habe ich im Moment
keine Lust.
Anschaulich:
Sei U der Ursprung der Einheitskugel.
Sei P_1 der Punkt U + [x_1, y_1, z_1].
Sei P_A der Punkt U + [x_1, y_1, z_1] + [a, b, c].
Sei g_1 die Gerade, die durch P_1 verläuft und parallel zur Stecke UP_A verläuft,
mit der Richtung [x_3, y_3, z_3].
P_1 ist ein Punkt, den g_1 und die Oberfläche der Einheitskugel gemeinsam haben.
Wenn [x_1, y_1, z_1] und [x_3, y_3, z_3] senkrecht zueinander stehen,
dann berühren g_1 und die Oberfläche der Einheitskugeln einander im
Punkt P_1 und die Sache ist eindeutig.
Wenn [x_1, y_1, z_1] und [x_3, y_3, z_3] nicht senkrecht zueinander stehen,
dann "durchstößt" g_1 an zwei Punkten die Oberfläche der Einheitskugel,
In diesem Fall:
P_1 ist einer der beiden Punkte, an dem g_1 die Oberfläche der Einheitskugel
durchstößt.
Sei P_1' der andere der beiden Punkte, an dem g_1 die Oberfläche der
Einheitskugel durchstößt.
Wenn die Strecke P_1 P_1' länger ist als die Strecke UP_A, dann ist die Sache
eindeutig.
Mit freundlichem Gruß
Ulrich
Ulrich D i e z
Jan 28, 2022, 2:55:45 PM1/28/22
to
Am 28.01.22 um 19:43 schrieb Ulrich D i e z:
> Wenn die Strecke P_1 P_1' länger ist als die Strecke UP_A, dann ist die Sache
> eindeutig.
Diesen Satz streiche ich.
Ich muss nochmal nachdenken, wie ich die Bedingung für
Eindeutigkeit richtig formuliere.
> Wenn die Strecke P_1 P_1' länger ist als die Strecke UP_A, dann ist die Sache
> eindeutig.
Ich muss nochmal nachdenken, wie ich die Bedingung für
Eindeutigkeit richtig formuliere.
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