Winkel mit Zirkel und Lineal
Benno Hartwig
mit Zirkel und Lineal konstruieren?
Alle Vielfachen von 15° fallen ins Auge.
Was geht ggf. noch?
Kennt ihr eine Seite, die darüber was erzählt?
Winkelteilung mit Zirkel und Lineal funktionert,
wenn man durch 1,2,4,8,16... teilem möchte.
3 geht nicht.
Gehen auch noch andere ganzzahligen Teiler
als die Zweierpotenzen?
Benno
Thomas Nordhaus
>Welche Winkel mit ganzzahligen Grad-Angaben lassen sich eigentlich
>mit Zirkel und Lineal konstruieren?
>Alle Vielfachen von 15° fallen ins Auge.
>Was geht ggf. noch?
>Kennt ihr eine Seite, die darüber was erzählt?
In Michael Artin, Algebra, Kapitel 3 steht:
Ein Winkel theta ist konstruierbar, wenn cos(theta) eine
konstruierbare Zahl ist. Konstruierbare reelle Zahlen sind algebraisch
und ihr Grad über Q ist eine Zweierpotenz. Wenn man zeigen kann, dass
eine Zahl z.B. einen Grad 3 über Q hat, dann weiss man, dass sie nicht
konstruierbar ist. Artin sagt aber auch, dass die Umkehrung nicht
gilt. Es gibt algebraische Zahlen mit Grad 4, die nicht konstruierbar
sind. Er verweist auf ein späteres Kapitel (Galois-Theorie). So weit
mein Buchwissen...
Thomas
Klaus Nagel
Benno Hartwig hat geschrieben:
> Welche Winkel mit ganzzahligen Grad-Angaben lassen sich eigentlich
> mit Zirkel und Lineal konstruieren?
> Alle Vielfachen von 15° fallen ins Auge.
> Winkelteilung mit Zirkel und Lineal funktionert,
> wenn man durch 1,2,4,8,16... teilem möchte.
> 3 geht nicht.
Drei geht! Man kann das regelmäßige Fünfeck konstruieren und erhält 72°.
Die Differenz zu 60° ist 12°, zweimal halbiert ergibt 3°.
Gruß,
Klaus Nagel
Peter Niessen
Aus der HP von Joachim Mohr:
http://delphi.zsg-rottenburg.de/mathe.html
Lange Zeit war das Problem, welche Vielecke sich mit Zirkel und Lineal
konstruieren lassen ungelöst. Erst Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gelang
die Konstruktion aller regelmäßiger n-Ecke, soweit möglich, nämlich außer
dem Quadrat die regelmäßigen n-Ecke für n=3; 5; 17; 257; 65537; ...
einschließlich aller möglichen Verdopplungen und Produkte.
Genauer: Gauß bewies, dass ein reguläres n-Eck genau dann konstruierbar
ist, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und von verschiedenen
Fermatschen Primzahlen ist.
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
Florian Greinecker
Eine Fermatsche Primzahl ist eine Zahl der Form 2^{2^t}+1 welche prim
ist.
C.F.Gauß 1796:
Das regelmäßige n-Eck ist genau dann konstruierbar (mit zirkel und
Lineal) wenn
n=2^k*p_1*p_2*p_3*....*p_n wobei die p_i paarweise verschiedene
Primzahlen sind und k größergleich 0.
Axel Schmitz-Tewes
>
> Lange Zeit war das Problem, welche Vielecke sich mit Zirkel und Lineal
> konstruieren lassen ungelöst. Erst Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gelang
> die Konstruktion aller regelmäßiger n-Ecke,
gemeint ist wohl der Nachweis der Konstruierbarkeit. Die Konstruktion
ist noch ein weiteres Problem. Soviel ich weiß hat es im 19.Jahrhunbdert
tatsächlich einen Menschen gegeben, der die Konstruktion eines 65537 -
Ecks durchgeführt hat ;-)
Axel
> Genauer: Gauß bewies, dass ein reguläres n-Eck genau dann konstruierbar
> ist, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und von verschiedenen
> Fermatschen Primzahlen ist.
Über das "genau dann" kann man sich hier auch streiten. Aber das "dann"
hat er sicher gezeigt.
Axel
Benno Hartwig
"Axel Schmitz-Tewes" <a...@in-telegence.net> schrieb
> > Lange Zeit war das Problem, welche Vielecke sich mit Zirkel und Lineal
> > konstruieren lassen ungelöst. Erst Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gelang
> > die Konstruktion aller regelmäßiger n-Ecke,
> gemeint ist wohl der Nachweis der Konstruierbarkeit. Die Konstruktion
> ist noch ein weiteres Problem. Soviel ich weiß hat es im 19.Jahrhunbdert
> tatsächlich einen Menschen gegeben, der die Konstruktion eines 65537 -
> Ecks durchgeführt hat ;-)
Ist es der, der damit gegen 1803 begonnen hatte
und der dann 1896 das 'Fertig' vermeldete?
SCNR
Benno
Jutta Gut
"Axel Schmitz-Tewes" <a...@in-telegence.net> schrieb
> Soviel ich weiß hat es im 19.Jahrhunbdert
> tatsächlich einen Menschen gegeben, der die Konstruktion eines 65537 -
> Ecks durchgeführt hat ;-)
Ja, angeblich war das ein fleißiger, aber eher unbegabter Student,
den man an der Universität Göttingen loswerden wollte, indem man ihm
dieses Thema aufgab, Die haben nicht schlecht gestaunt, als er 10 Jahre
später mit einem Koffer voll Berechnungen ankam :-)
Heinrich Tietze (Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus
alter und neuer Zeit) schreibt: "Diese überaus fleißige Arbeit ...
erwähnt Felix Klein, Vorträge über ausgewählte Fragen der
Elementargeometrie, ausgearbeitet von F. Tägert, Leipzig, 1895, S. 13."
Vielleicht hat ja Hermann einen Link dazu.
>> Genauer: Gauß bewies, dass ein reguläres n-Eck genau dann konstruierbar
>> ist, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und von verschiedenen
>> Fermatschen Primzahlen ist.
>
> Über das "genau dann" kann man sich hier auch streiten. Aber das "dann"
> hat er sicher gezeigt.
Soviel ich weiß, hat Gauß das "Genau dann" gezeigt.
Grüße
Jutta
Daniel Arnold
> Ja, angeblich war das ein fleißiger, aber eher unbegabter Student,
> den man an der Universität Göttingen loswerden wollte, indem man ihm
> dieses Thema aufgab, Die haben nicht schlecht gestaunt, als er 10 Jahre
> später mit einem Koffer voll Berechnungen ankam :-)
Unter http://134.76.163.65/agora_docs/52586TABLE_OF_CONTENTS.html
kann man seine Arbeit begutachten.
Gruss, Daniel
Hermann Kremer
>"Axel Schmitz-Tewes" <a...@in-telegence.net> schrieb
>
>> Soviel ich weiß hat es im 19.Jahrhunbdert
>> tatsächlich einen Menschen gegeben, der die Konstruktion eines 65537 -
>> Ecks durchgeführt hat ;-)
>
>Ja, angeblich war das ein fleißiger, aber eher unbegabter Student,
>den man an der Universität Göttingen loswerden wollte, indem man ihm
>dieses Thema aufgab, Die haben nicht schlecht gestaunt, als er 10 Jahre
>später mit einem Koffer voll Berechnungen ankam :-)
Nö, das ist ein Gerücht - der Professor, der das Thema vorgeschlagen
haben soll, soll übrigens der Zahlentheoretiker Edmund Landau
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Landau.html
in Göttingen gewesen sein.
In Wirklichkeit war es aber kein Student, sondern ein Mathematiklehrer am
Gymnasium in Lingen namens Johann Hermann Gustav Hermes (1846-1912):
===========================
Johann Hermann Gustav Hermes:
Born in Königsberg on the 20 th June 1846.
Study of mathematics 1866 - 1870 at the Unversity there. PhD 1879.
Since 1873 teacher at the Progymnasium des königlichen
Waisenhauses Königsberg in Preussen.
Since 1883 Oberlehrer there.
Since 1893 Professor at the Gymnasium Georgianum in Lingen.
Since 1899 Professor and director of the Realgymnasium Osnabrück.
Died 8 th June 1912 in Bad Oeynhausen.
The Math Forum [Historia Matematica]
===========================
>Heinrich Tietze (Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus
>alter und neuer Zeit) schreibt: "Diese überaus fleißige Arbeit ...
>erwähnt Felix Klein, Vorträge über ausgewählte Fragen der
>Elementargeometrie, ausgearbeitet von F. Tägert, Leipzig, 1895, S. 13."
>Vielleicht hat ja Hermann einen Link dazu.
Hat er ... sogar mehr als einen ;-))
http://www.google.com/groups?selm=bv6k2e$k8c$1...@online.de
In dem Posting habe ich auch einen Link auf den 17-seitigen
Aufsatz von J. Hermes angegeben, der von Felix Klein am 5. Mai
1894 der Königlichen Gesellschaft des Wissenschaften zu Göttingen
vorgelegt wurde - der enthält aber nur die Rechnungen, die Zeichnungen
dazu liegen in dem berühmten Koffer in Göttingen.
>>> Genauer: Gauß bewies, dass ein reguläres n-Eck genau dann konstruierbar
>>> ist, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und von verschiedenen
>>> Fermatschen Primzahlen ist.
>>
>> Über das "genau dann" kann man sich hier auch streiten. Aber das "dann"
>> hat er sicher gezeigt.
>
>Soviel ich weiß, hat Gauß das "Genau dann" gezeigt.
Yep, IIRC steht es in seinen "Disquisitones arithmeticae" von 1801 ...
Grüße
Hermann
--
Jutta Gut
"Hermann Kremer" <hermann...@onlinehome.de> schrieb
> Jutta Gut schrieb
> >Ja, angeblich war das ein fleißiger, aber eher unbegabter Student,
> >den man an der Universität Göttingen loswerden wollte, indem man ihm
> >dieses Thema aufgab, Die haben nicht schlecht gestaunt, als er 10 Jahre
> >später mit einem Koffer voll Berechnungen ankam :-)
>
>
> Nö, das ist ein Gerücht - der Professor, der das Thema vorgeschlagen
> haben soll, soll übrigens der Zahlentheoretiker Edmund Landau
> http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Landau.html
> in Göttingen gewesen sein.
Ich habe ja befürchtet, dass das eine urban legend ist ;-)
> >Vielleicht hat ja Hermann einen Link dazu.
>
> Hat er ... sogar mehr als einen ;-))
> http://www.google.com/groups?selm=bv6k2e$k8c$1...@online.de
Danke!
Der Ernesto Pascal, der da erwähnt wird, hat ja wohl nichts mit
Blaise Pascal zu tun, oder?
Grüße
Jutta
Hermann Kremer
>"Hermann Kremer" schrieb ...
>> Jutta Gut schrieb ...
Oh, da bin ich wirklich überfragt ... aber möglich wär's, in
http://www.dm.unito.it/sism/m_italiani/biografie/tricomi/pascalern.html
steht "... da famiglia di lontane origini francesi ...", und Babelfish meint
dazu:
-------------------------
Ernesto PASCAL (1865-1940)
Born to Naples from family of far French origins, the 7 - 2 - 1865 and ivi died
the 25 - 1 - 1940.
After it are graduated to Naples in 1887 followed course of improvement to Pisa
(1887-88) and Göttingen (1888-89) where earned the estimazione of the Klein,
that it was of great usefullness for its fast rise after the return in
Italy where in 1890 to the single ones 25 years gained the competition for the
chair of infinitesimale Calculation to the University of Pavia. In 1907 it
passed to the University of Naples, donde not more movements.
The plentiful mathematical production of the Pascal - also touching it varies
arguments to you of analysis and also of geometry, etc. - a remarkablly unitary
character has, being characterized from one decided prevalence of the
algorithmic-formal side. In it he detaches a large memory on the shapes
differentiates them of order and degree whichever, in which To he develops a
species of differential calculus them absolute, plus general of that one of the
Curbastro Curly, than but he has not up to now given to place to some important
application. Also remarkable they are a work group on sure integrals for special
equations differentiates them; a field but in which the Pascal to its insaputa
it had been precede\uto from the Yugoslav M. Petrovich (1968-1921). The P. also
has carried out a remarkable trattatistica activity and - although it is
incurred in some sviste, sometimes rough - some its books, p. es. that one on
the determining ones, have been not little usefullness for the studies matemati
to us in Italy.
In its last years the P. that, although its pompous and authoritarian
temperament, was decidedly hostile to the died fascismo and was remained a lot
shaken for the unripe one in war of the Alberto son (v.), was one species of
esule in native land.
One introduced more times (1895, 1901 and 1911) to the competitions pel Real
prize of the Academy of the Members of the Accademia dei Lincei but it always
remained soccombente, although that once (1901) the prize did not come
attributed to some.
He was associate of the Academy na. of the Members of the Accademia dei Lincei,
the Ist. Lombardic, etc.
Necr.: Rend. Ist. Lombardic (3) 12 (1939-40), 162-170 (L. Berzolari); Rend. Acc.
Ski. Naples (4) 12 (1941-42), 54-82 (M. Picone)
Tricomi, 1962
-------------------------
Grüße
Hermann
--
>
>Grüße
>Jutta
Axel Schmitz-Tewes
>
> "Axel Schmitz-Tewes" <a...@in-telegence.net> schrieb
>
> >
> > Über das "genau dann" kann man sich hier auch streiten. Aber das "dann"
> > hat er sicher gezeigt.
>
> Soviel ich weiß, hat Gauß das "Genau dann" gezeigt.
>
Vor einiger Zeit ( ein paar Jahren ? ) Gab es hier schon 'mal eine
Diskussion mit Franz Lemmermeyer zu diesem Thema. Wir haben da über die
entsprechenden Passagen in den Disquisitiones diskutiert. Und soweit ich
mich erinnere, sind wir auf die Theorie eines jungen Franzosen gestoßen
( der Name ist mir entfallen ) , die benötigt wird.
Klar, wenn man moderne Körpertheorie hineinsteckt, kann man mit den
Argumenten von Gauß natürlich beide Richtungen beweisen, aber _ohne_,
und das ist die Situation von Gauß, reicht es m.W. nur für die
sinnfällige.
Wir könnten hier das vielleicht zuende führen, wenn die exakte
Argumentation aufgeführt wird für die Gegenrichtung.
Axel
Axel Schmitz-Tewes
>
> Axel Schmitz-Tewes schrieb in Nachricht <news:416CDD5F...@in-telegence.net>...
>
> >Vor einiger Zeit ( ein paar Jahren ? ) Gab es hier schon 'mal eine
> >Diskussion mit Franz Lemmermeyer zu diesem Thema. Wir haben da über die
> >entsprechenden Passagen in den Disquisitiones diskutiert. Und soweit ich
> >mich erinnere, sind wir auf die Theorie eines jungen Franzosen gestoßen
> >( der Name ist mir entfallen ) , die benötigt wird.
>
> http://www.google.com/groups?threadm=38a54...@goliath.newsfeeds.com
>
yep, super, was man alles noch im WEB finden kann. Danke.
Axel