Extrempunkte und Nullstellen
Martin Brehmer
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
Ist folgende Aussage korrekt oder falsch:
Zwischen zwei Nullstellen liegt ein Extrempunkt
Martin
Norbert Marrek
Alfred Flaßhaar
Gruß, Alfred Flaßhaar
Martin Brehmer
>> http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle
>>
> Bleibt noch zu zeigen, daß die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.
Wie ist dann aber die doppelte Nullstelle von x^2 zu zählen?
Helmut Richter
> Wie ist dann aber die doppelte Nullstelle von x^2 zu z�hlen?
Und was gilt f�r f(x) = 0 ?
--
Helmut Richter
Martin Brehmer
>
> Und was gilt für f(x) = 0 ?
Ein Extrempunkt bei x_0 ist doch so festgelegt, dass f'(x_0) = 0 und ein
Vorzeichenwechsel von f'(x) in der Umgebung von x_0, oder?
Mit der Folge, dass für f(x) = 0 die ursprüngliche Aussage, dass zwischen
zwei Nullstellen stets ein Extrempunkt liegen muss, nicht stimmt.
Carsten Schultz
>>> Wie ist dann aber die doppelte Nullstelle von x^2 zu zählen?
>> Und was gilt für f(x) = 0 ?
>
> Ein Extrempunkt bei x_0 ist doch so festgelegt, dass f'(x_0) = 0 und ein
> Vorzeichenwechsel von f'(x) in der Umgebung von x_0, oder?
Nein, ein lokales Extremum ist per Definition so, dass es eine Umgebung
von x_0 gibt, so dass die Einschränkung von f auf diese Umgebung bei x_0
ein globales Extremum hat.
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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Alfred Flaßhaar
Entscheidend für die Anwendbarkeit des Satzes von Rolle ist die Eigenschaft
des Intervalles, in dem die Funktion stetig (abgeschlossenes Intervall) und
differenzierbar (offenes Intervall) ist. Jetzt müßte es "klingeln"?
Gruß, Alfred Flaßhaar
Jutta Gut
"Martin Brehmer" <klabau...@gmail.com> schrieb
Wo ist das Problem? Die Funktion f(x) = x^2 hat nur eine Nullstelle und ist
daher irrelevant für die Frage, was zwischen zwei Nullstellen ist.
Man kann es aber auch so auffassen, dass die doppelte Nullstelle der
Grenzfall von zwei verschiedenen Nullstellen ist, deren Abstand gegen 0
geht. Dann muss auch die dazwischenliegende Extremstelle mit der Nullstelle
zusammenfallen, und siehe da: f(x) hat bei 0 ein Minimum.
Grüße
Jutta
Klaus-R. Loeffler
> Norbert Marrek wrote:
> > Am 10.01.2010 20:17, schrieb Martin Brehmer:
> >> Hallo
> >> Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
> >> Ist folgende Aussage korrekt oder falsch:
> >> Zwischen zwei Nullstellen liegt ein Extrempunkt
> >>
> >> Martin
> >
> > Stimmt:
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle
> >
> Bleibt noch zu zeigen, da� die Voraussetzungen des Satzes erf�llt sind.
>
Eingentlich nicht, falls das "des Satzes" sich auf den Satz von Rolle
bezieht, da dieser nichts �ber Extrema aussagt, sondern sie lediglich
f�r seinen Beweis f�r den Fall nicht-konstanter Funktionen benutzt. Der
zum Rolle-Beweis und auch hier verwendbare Satz ist der Satz �ber die
Existenz von Minimum und Maximum stetiger Funktionen auf kompakten
Intervallen.
Und dessen Voraussetzungen sind f�r eine im konkreten Fall auf das
Intervall zwischen zwei Nullstellen eingeschr�nkte ganzrationale
Funktion sicher erf�llt.
(Entschuldige, Alfred, die Belehrung �ber etwas, was du nat�rlich wei�t,
aber missverst�ndlich ausgedr�ckt hast.)
Klaus-R.
Alfred Flaßhaar
insbesondere dem Fragenden hilft, ist gut. Meine Bemerkung war als kleine
Stichelei gedacht, �ber die so wichtigen und oft schlampig behandelten
Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit in Bezug auf Eigenschaften der
Definitionsbereiche als Mengen nachzudenken.
Gru�, Alfred
Detlef Müller
für
x^3 = lim_{a->0+} x(x-a)(x-2a) ...
zwischen 0 und a liegt immer ein Maximum ...
Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Klaus-R. Loeffler
> >> Wie ist dann aber die doppelte Nullstelle von x^2 zu z�hlen?
> >
> > Und was gilt f�r f(x) = 0 ?
>
> Ein Extrempunkt bei x_0 ist doch so festgelegt, dass f'(x_0) = 0 und ein
> Vorzeichenwechsel von f'(x) in der Umgebung von x_0, oder?
> Mit der Folge, dass f�r f(x) = 0 die urspr�ngliche Aussage, dass zwischen
> zwei Nullstellen stets ein Extrempunkt liegen muss, nicht stimmt.
Nein, ein (lokaler) Extrempunkt liegt nach Definition bei x_0 dann vor,
wenn es eine Umgebung von x_0 gibt, �ber der die Funktion nicht sowohl
kleinere als auch gr��ere Werte als f(x_0) annimmt.
Dass f differenzierbar ist, wird dabei nicht vorausgesetzt.
Und wenn f in einer ganzen Umgebung von x_0 differenzierbar ist, ist
lediglich lediglich f'(x_0)=0 eine notwendige Bedingung; eine konstante
Funktion nimmt an jeder Stelle ihren Extremwert an.
Klaus-R.