Ableitung nach konjugiert komplexem
Martin Keiter
z sei eine komplexe Zahl, z* sei das komplex konjugierte Gegenstueck.
Dann ist
d
-- z = 1
dz
klar. Was ist aber
d
-- z
dz*
bzw.
d
-- z*
dz
?
danke!
--
Meine Mailadresse funktioniert!
Sebastian Holzmann
> z sei eine komplexe Zahl, z* sei das komplex konjugierte Gegenstueck.
>
> d
> -- z
> dz*
>
> bzw.
> d
> -- z*
> dz
Die Konjugation ist nicht (komplex) differenzierbar.
hoff...@fho-emden.de
Sebastian Holzmann schrieb:
Aha.
In Ostfriesland (im Gegensatz zu Bremen) erhält man:
d/dz (z*) = d/dz (e^-x) = d/dz (z^-1) = -z^-2
Schönen Gruß --Gernot Hoffmann
Roland Franzius
> Hi,
>
> z sei eine komplexe Zahl, z* sei das komplex konjugierte Gegenstueck.
> Dann ist
>
> d
> -- z = 1
> dz
>
> klar. Was ist aber
>
> d
> -- z
> dz*
>
> bzw.
> d
> -- z*
> dz
Komplexe "Richtungs"ableitungen Wirtinger/Poincarè:
x=1/2 (z+z*)
y=1/2 (-i z + i z*)
->
Ableitung bei konstantenm z*
d/dz =1/2 (d/dx - i d/dy)
und konstantem z
d/dz*=1/2 (d/dx + i d/dy)
-> dz*/dz=0 && dz/dz*=0
z und z* sind zwei algebraisch linear unabängige Variable. Die
Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich zusammenfassen in
d/dz* f(z,z*) = 0 <-> f(z,z*) holomorph.
Man schreibt dann historisch verkürzt für holomorphe Funktionen eben nur
noch f(z) statt f(z,z*), f unabhängig von z*.
--
Roland Franzius
Sebastian Holzmann
Bitte was?
Thomas Plehn
> Hi,
>
> z sei eine komplexe Zahl, z* sei das komplex konjugierte Gegenstueck.
> Dann ist
>
> d
> -- z = 1
> dz
>
> klar. Was ist aber
>
> d
> -- z
> dz*
>
> bzw.
> d
> -- z*
> dz
>
> ?
>
> danke!
>
( conj(z+h) - conj(z) ) / h
= ( conj(z) + conj(h) - conj(z) ) / h
= conj(h) / h
sei nun h = r*e^(i\phi), also ist obiges gleich
= r*e^(-i\phi) / r*e^(i\phi)
= e^(-2i\phi)
was natürlich auch der Limes für r --> 0 ist.
damit ist das Ergebnis insbesondere für alle Richtungen in denen h gegen
0 streben kann verschieden, denn dass Ergebnis ist abhängig von \phi
die Definition der komplexen Differenzierbarkeit fordert aber das der
Differenzquotient unabhängig von der Richtung in der h gegen 0 strebt
existiert und vor allem stets das gleiche ergibt.
Martin Keiter
Dir und allen anderen Antwortern Dank!
Thomas Plehn <tpl...@gmx.de> schrieb:
>
> ( conj(z+h) - conj(z) ) / h
>
>= ( conj(z) + conj(h) - conj(z) ) / h
>
>= conj(h) / h
>
> sei nun h = r*e^(i\phi), also ist obiges gleich
>
>= r*e^(-i\phi) / r*e^(i\phi)
>
>= e^(-2i\phi)
>
> was natürlich auch der Limes für r --> 0 ist.
>
> damit ist das Ergebnis insbesondere für alle Richtungen in denen h gegen
> 0 streben kann verschieden, denn dass Ergebnis ist abhängig von \phi
>
> die Definition der komplexen Differenzierbarkeit fordert aber das der
> Differenzquotient unabhängig von der Richtung in der h gegen 0 strebt
> existiert und vor allem stets das gleiche ergibt.
prima erklaert, danke!
Leider hilft es mit beim Verstaendnis meines eigentlichen Problems nich
nicht so recht weiter - ich versuche mal es so weit als moeglich zu
vereinfachen:
Eine Funktion f(z_i,z_i*) soll durch variation der z_i minimiert werden.
dabei wird (in der Literatur) gesagt, die Variationen der z_i und der
z_i* seien unabhaengig. Mir will das nicht einleuchten, denn z_i* laesst
sich ja aus z_i bestimmen. Wo mache ich denn da den Denkfehler?
Martin
--
Meine Mailadresse funktioniert!
Roland Franzius
>
> Eine Funktion f(z_i,z_i*) soll durch variation der z_i minimiert werden.
> dabei wird (in der Literatur) gesagt, die Variationen der z_i und der
> z_i* seien unabhaengig. Mir will das nicht einleuchten, denn z_i* laesst
> sich ja aus z_i bestimmen. Wo mache ich denn da den Denkfehler?
Das Minimum der reelen Funktion von zwei reellen varaiblen
f:(x,y)-> a x^2+ b x y +c y^2 + d x + e y + g,
und darin gehts ja immer im Wesentlichen, bestimmt man zB als Punkt der
gemeinsamen Nullstelle zweier anabhängiger Richtungsableitungen
d_x f =2 a x + b y + d = 0 && d_y f= 2 c y + b x + e = 0 && x,y reell
Als komplexes Problem hat man also zu schreiben
~f: (z=x+iy, w=x-iy) -> a/4 (z+w)^2 + b i /4 (z+w)(z-w) + ...
mit d_z ~f =0 && d_w ~f =0 && z^*=w
Dabei sind zunächst z und w zwei unabhängige komplexe Variable, so dass
die Regeln der Linearisierung komplex angewandt werden können.
Die Nebenbedingung, dass z^*=w wird bei der Suche nach Minima per
Differentialrechnung im C^2 also erst zum Schluß durch Einschränkung auf
den R^2 des Ursprungsproblems durchgeführt.
In der physikalischen Literatur wird dieser Punkt per Rezept überspielt,
in der mathematischen findet man ihn nur in anspruchsvolleren
Darstellungen, die für das Thema der Lösung reeller Extremalprobleme
über komplexe Erweiterungen aber kaum einer liest.
--
Roland Franzius
Roland Franzius
Das Extremum der reellen Funktion von zwei reellen Variablen
f:(x,y)-> a x^2+ b x y +c y^2 + d x + e y + g,
und darin gehts ja immer im Wesentlichen, bestimmt man zB als Punkt der
gemeinsamen Nullstelle zweier anabhängiger Richtungsableitungen
d_x f =2 a x + b y + d = 0
&& d_y f= 2 c y + b x + e = 0
&& x,y reell
Als komplexes Problem hat man also zu schreiben
~f: (z=x+iy, w=x-iy) -> a/4 (z+w)2 + b i /4 (z+w)(z-w) + ...
mit d_z ~f =0
&& d_w ~f =0
&& z^*=w
Dabei sind zunächst z und w zwei unabhängige komplexe Variable, so dass
die Regeln der Linearisierung und suche komplex angewandt werden können.
Die Nebenbedingung, dass z^*=w wird bei der Suche nach Minima per
Differentialrechnung im C^2 also erst zum Schluß durch Einschränkung auf
den R^2 des Ursprungsproblems durchgeführt.
In der physikalischen Literatur wird dieser Punkt per Rezept überspielt,
in der mathematischen findet man ihn nur in anspruchsvolleren
Darstellungen, die für das Thema der Lösung reeller Extremalprobleme
über komplexe Erweiterungen aber kaum jemand liest.
--
Roland Franzius