Beispiel einer Testfunktion
Karsten Weinert
ich verbrachte den heutigen Nachmittag damit, mir ein Beispiel einer
Testfunktion anzusehen:
f: IR^n --> IR
x |--> (0, falls |x|>= 1) oder (exp(-1/(1-x^2)), falls |x|<1),
wobei x^2=x1^2+x2^2+...+xn^2.
Mir ist nicht ganz klar, warum die Funktion unendlich oft
differenzierbar sein soll.
Wichtig ist schonmal, dass -1/(1-x^2) ein zweifache (negative)
Polstelle
auf dem Rand des Traegers (|x|==1) hat, denn sonst ist die Funktion
bzw ihre Ableitung unstetig.
Aber warum ist sie jetzt unendlich oft differenzierbar? Im Buch, wo
ich das Beispiel fand (W.Walter, Einfuehrung in die Theorie der
Distributionen), steht nur: Kettenregel, und dass 1-x^2 und e^(-1/t)
unendlich oft differenzierbar seien.
Aber die wiederholte Anwendung der Kettenregel wird schnell komplex:
Schreiben wir f= exp(Q(x)), dann ist
f'=Q'e^Q,
f''=(Q''+Q')e^Q
f'''=(Q'''+Q''+Q''Q'+(Q')^2) e^Q
Wie kann man jetzt begruenden, dass der erste Faktor nie eine
Polstelle bekommt?
Und wie kann man begruenden, dass die hoeheren Ableitungen von f
stetig an |x|==1 sind?
Ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand da einen Ratschlag geben
könnte.
Viele Gruesse,
Karsten.
Joachim Albrecht
> Wie kann man jetzt begruenden, dass der erste Faktor nie eine
> Polstelle bekommt?
> Und wie kann man begruenden, dass die hoeheren Ableitungen von f
> stetig an |x|==1 sind?
Der erste Faktor geht nie so schnell gegen unendlich, wie der
zweite, e^Q, gegen Null geht. Ne, die alte Sache: Kein Polynom
wächst so schnell wie die Exponentialfunktion. Damit ist der Grenz-
wert der Funktion und aller ihrer Ableitungen am Rand Null, das ist
auch der Wert der Nullfunktion und ihrer Ableitungen und es stückt
also stetig an.
OK? Grüße, Alm
Karsten Weinert
ist,
wobei P,Q rationale Funktionen, warum kann es dann nicht sein, dass P
an x1 ein Pol hat und Q(x1) aber nicht oder einen Pol mit +\infty?
Viele Grüße,
Karsten
Christopher Creutzig
> f: IR^n --> IR
> x |--> (0, falls |x|>= 1) oder (exp(-1/(1-x^2)), falls |x|<1),
> Aber warum ist sie jetzt unendlich oft differenzierbar? Im Buch, wo
> ich das Beispiel fand (W.Walter, Einfuehrung in die Theorie der
> Distributionen), steht nur: Kettenregel, und dass 1-x^2 und e^(-1/t)
> unendlich oft differenzierbar seien.
>
> Aber die wiederholte Anwendung der Kettenregel wird schnell komplex:
> Schreiben wir f= exp(Q(x)), dann ist
Folg doch der Anleitung und betrachte f(x) = g(h(x)) mit h(x) = 1-x^2
und g(x) = exp(-1/t). Dann ist f^(n)(x) eine Summe von Termen der
Form g^(k)(h(x))*h'(x)*P(x) mit einem Polynom P. g^(k)(h(x)) ist
exp(-1/(1-x^2))/(1-x^2)^(2*k), ist also im offenen Intervall (-1, 1)
stetig und beschränkt (weil die Exponentialfunktion schneller gegen 0
geht als jede rationale Funktion). h'(x) geht für |x| -> 1 gegen 0
und P(x) bleibt als Polynom natürlich beschränkt.
--
+--+
+--+|
|+-|+ Christopher Creutzig (c...@mupad.de)
+--+ Tel.: 05251-60-5525
Karsten Weinert
Summendarstellung der Ableitungen (und der Link nach Mupad in der Sig
als Ratschlag, Computeralgebra zu verwenden) halfen mir sehr, eine
Lösung zu erarbeiten. Ich habe sie geTeXt und sie ins Web gestellt
unter
http://userpage.fu-berlin.de/~kweinert/testfkt.pdf
(66KB). Feedback dazu ist sehr erwünscht!
Viele Grüße,
Karsten.
Thomas Mautsch
[ ... ]
> halfen mir sehr, eine
> Lösung zu erarbeiten. Ich habe sie geTeXt und sie ins Web gestellt unter
>
> http://userpage.fu-berlin.de/~kweinert/testfkt.pdf
>
> (66KB). Feedback dazu ist sehr erwünscht!
Sehr ansprechend!
Ich glaube, Du kannst
im mittleren Teil mit der Ableitung von Kompositionen
etwas Arbeit sparen, wenn Du verwendest, dass Deine Testfunktion
e^(-1/(1-x^2))
gleich dem Produkt
f(x+1)*f(1-x)
ist mit
f(x) = e^(-1/x) für x>0 und 0 sonst
Dann brauchst Du nur noch, dass das Produkt unendlich oft differenzierbarer
Funktionen auch unendlich oft differenzierbar ist,
was mittels vollst. Induktion DIREKT aus der einfachen Leibnitzregel folgt.
Aber das ist Geschmackssache.
Ansonsten wünsche ich noch einen schönen Abend.
Mit Grüßen
Thomas
Karsten Weinert
> Ich glaube, Du kannst
> im mittleren Teil mit der Ableitung von Kompositionen
> etwas Arbeit sparen, wenn Du verwendest, dass Deine Testfunktion
>
> e^(-1/(1-x^2))
>
> gleich dem Produkt
> f(x+1)*f(1-x)
>
> ist mit
> f(x) = e^(-1/x) für x>0 und 0 sonst
Gute Idee, aber ich bekomme immer
1/(x+1)+1/(1-x)=2/(1-x^2)
heraus. Tut mir leid, dass ich viel zu spät antworte.
Viele Grüße,
Karsten.
Thomas Mautsch
:-7
Danke für die Verbesserung.
Gruß
Thomas
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"And so you have thirteen tens,
And you take away seven,
And that leaves five...
Well, six actually.
But the idea is the important thing. ..." [Tom Lehrer, "New Math"]
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