Vertracktes algebraisches Problem

[Udo]

Hallo,
die Menge aller (x,y)-Paare, die folgende Gleichung lösen,
soll bestimmt werden:

(x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1

Bevor ich zu rechnen beginne, probiere ich mal ein paar Werte aus
und finde, dass
(0,0), (1,-1) und (-1,1) Lösungs-Paare sind, die obige Gleichung erfüllen.

Das Lösungspaar (0,0) zeigt mir, dass ich aufpassen muss, nicht
irgendwann versehentlich durch Null zu dividieren.

Genau das passiert, wenn ich folgendermaßen vorgehe:
Substitution
u = sqrt(1 + x^2)
u^2 = (1 + x^2) .....(1)

dann steht da:

(x + u)(y + u) = 1
xy + uy + xu + u^2 = 1 oder umgeordnet
u^2 + u(x+y) = 1 - xy

teilweise Rücksubstitution mit (1):
(1 + x^2) + u(x+y) = 1 - xy
u(x + y) = -xy - x^2 = -(x^2 + xy) = -x(x + y)

wenn ich jetzt durch (x+y) dividiere, passiert der Fehler,
ich dividiere durch Null (was mir nicht gleich aufgefallen ist).
So geht's also nicht.

Frage 1:
Sind die oben gefundenen beiden Lösungspaare die einzigen, die die
Gleichung erfüllen?
Frage 2:
Welchen Rechenweg schlägt man hier geschickterweise ein, um alle
Lösungen zu bestimmen?

Danke und Grüße
Udo

[Alfred Flaßhaar]

Am 20.04.2022 um 17:09 schrieb Udo:
> Hallo,
> die Menge aller (x,y)-Paare, die folgende Gleichung lösen,
> soll bestimmt werden:
>
> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1
>

(...)

Sind Lösungen nur in den ganzen Zahlen gesucht oder wo noch?

[Udo]

Alfred Flaßhaar schrieb am Mittwoch, 20. April 2022 um 17:22:39 UTC+2:

> Sind Lösungen nur in den ganzen Zahlen gesucht oder wo noch?

Die Aufgabe macht keine näheren Angaben.
Ich denke mal, alle reellen Zahlen sind erlaubt.

[Alfred Flaßhaar]

p. s.

Bevor Du rechnest, schau den linken Term genauer an.

[Alfred Flaßhaar]

3. bin. Formel ...

[Dieter Heidorn]

Udo schrieb:

> Hallo,
> die Menge aller (x,y)-Paare, die folgende Gleichung lösen,
> soll bestimmt werden:
>
> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1
>
> Bevor ich zu rechnen beginne, probiere ich mal ein paar Werte aus
> und finde, dass
> (0,0), (1,-1) und (-1,1) Lösungs-Paare sind, die obige Gleichung erfüllen.
>

> Frage 1:
> Sind die oben gefundenen beiden Lösungspaare die einzigen, die die
> Gleichung erfüllen?

Nein :-)

> Frage 2:
> Welchen Rechenweg schlägt man hier geschickterweise ein, um alle
> Lösungen zu bestimmen?
>

Meine Idee dazu ist: Ausmultiplizieren, geschickt zusammenfassen und
ausklammern:

(x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1

xy + x*sqrt(1 + x^2) + y*sqrt(1 + x^2) + (1 + x^2) = 1

x*sqrt(1 + x^2) + 1 + x^2 + xy + y*sqrt(1 + x^2) = 1

x*(x + sqrt(1 + x^2)) + y*(x + sqrt(1 + x^2)) = 0

x = -y.

Gruß,
Dieter.

[Udo]

Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 20. April 2022 um 18:04:20 UTC+2:

> Meine Idee dazu ist: Ausmultiplizieren, geschickt zusammenfassen und
> ausklammern:
> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1
> xy + x*sqrt(1 + x^2) + y*sqrt(1 + x^2) + (1 + x^2) = 1
>
> x*sqrt(1 + x^2) + 1 + x^2 + xy + y*sqrt(1 + x^2) = 1
>
> x*(x + sqrt(1 + x^2)) + y*(x + sqrt(1 + x^2)) = 0
>
> x = -y.
>

O Elend. Dass ich das nicht gesehen habe!
Das Osterwochende mit sinnlosem Rumrechnen verbracht :-)
Ganz herzlichen Dank an Dich, Dieter.
Und auch an Alfred, über dessen Hinweis zur 3. binomischen Formel ich noch grüble ...
(Die Aufgabe hat übrigens einen kristallographischen Hintergrund, wenn man bestimmte
Röntgenspektren von Adamantan-ähnlichen Strukturen analysiert).
Gruß Udo

> Gruß,
> Dieter.

[Alfred Flaßhaar]

Am 20.04.2022 um 18:23 schrieb Udo:
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 20. April 2022 um 18:04:20 UTC+2:
>

(...)

Nicht grübeln, nimm Dieters Lösung und setze ein. Durch scharfes
Hingucken siehst Du dann die 3. bin. Formel und hättest die Lösung auch
ohne Rechnung erhalten.

Gruß, Alfred

[Andreas Leitgeb]

Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Hallo,
> die Menge aller (x,y)-Paare, die folgende Gleichung lösen,
> soll bestimmt werden:
>
> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1

Vorweg mal: ist das die originale Aufgabe, dass
beide Faktoren in ihrem jeweiligen Wurzel-ausdruck
nur die Variable "x" drin haben?

> Frage 2:
> Welchen Rechenweg schlägt man hier geschickterweise ein, um alle
> Lösungen zu bestimmen?

Generell würde sich hier eine Fall-unterscheidung anbieten:
Fall 1) x+y=0: dann würde man das in die ursprüngliche Gleichung
einsetzen, und nach der einzigen verbleibenden Variablen lösen.
Fall 2) x+y<>0: dann kann man die Division durchführen und weitere
Lösungen suchen.

[Stefan Schmitz]

Wenn man weiß, dass x = -y ist, steht da tatsächlich die 3. bin. Formel.
Aber wie kommt man darauf, wenn man das nicht weiß?

[Udo]

Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 20. April 2022 um 19:00:06 UTC+2:

> Vorweg mal: ist das die originale Aufgabe, dass
> beide Faktoren in ihrem jeweiligen Wurzel-ausdruck
> nur die Variable "x" drin haben?

Ja - das ist die originale Aufgabe.
Ich glaube, ich weiß, warum Du fragst.
Eine nahezu identische Aufgabe findet sich unter YouTube bei „Mind Your decision“ von Presh Talwalker, nur dass dort im zweiten Term, wo y vorkommt, das y auch unter der Wurzel steht.
Aber die oben gepostete Aufgabe stammt tatsächlich aus der physikalischen Chemie, wo Kristallstrukturen analysiert werden.

[Stephan Gerlach]

Stefan Schmitz schrieb:

In der Formel kommt nur ein einziges Mal y vor.
Das bedeutet, hier funktioniert auch die "direkte Methode":
Ohne irgendwas "geschickt zu sehen", kann man einfach direkt nach y
umstellen, und dann soweit wie möglich vereinfachen:

(x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1

y = 1/(x + sqrt(1 + x^2)) - sqrt(1 + x^2)
= 1/(x+sqrt(1+x^2)) - sqrt(1+x^2)*(x+sqrt(1+x^2))/(x+sqrt(1+x^2))
= [1 - sqrt(1+x^2)*(x+sqrt(1+x^2))] / (x + sqrt(1 + x^2))
= [1 - x * sqrt(1+x^2) - (sqrt(1+x^2))^2] / (x + sqrt(1 + x^2))
= [1 - x * sqrt(1+x^2) - (1+x^2)] / (x + sqrt(1 + x^2))
= (1 - x * sqrt(1+x^2) - 1 - x^2) / (x + sqrt(1 + x^2))
= (- x * sqrt(1 + x^2) - x^2) / (x + sqrt(1 + x^2))
= - x * (sqrt(1 + x^2) + x) / (x + sqrt(1 + x^2))
= -x.

In Worten nochmal die wichtigsten Schritte:
* nach y umstellen
* Hauptnenner bilden
* im Zähler Klammern auflösen
* Wurzel und ()^2 heben sich auf
* Minus-Klammer auflösen
* 1 und -1 heben sich auf
* im Zähler -x ausklammern
* (sqrt(1 + x^2) + x) mit (x + sqrt(1 + x^2)) kürzen.

Dann kommt ganz "automatisch" y = -x raus.

Das ist vielleicht nicht die eleganteste Methode, aber wie gesagt kommt
man so ziemlich "direkt" "ohne Nachdenken" zu einem Ergebnis.

Natürlich sollte man den Fall betrachten, daß bei der Division der
Nenner=0 sein könnte:

x + sqrt(1 + x^2) = 0
sqrt(1 + x^2) = -x
(sqrt(1 + x^2))^2 = (-x)^2
1 + x^2 = x^2
1 = 0 falsche Aussage
Das geht nicht, der Nenner ist also niemals 0.

(Beachte, daß die Schritte bei der Nenner-Betrachtung keine äquivalenten
Umformungen sind (Übung: welcher Schritt genau ist keine
Äquivalenzumformung?), was aber hier egal ist.)


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Carlo XYZ]

Stephan Gerlach schrieb am 21.04.22 um 02:39:

Dieter Heidorns Lösung gefällt mir besser, weil sie
erstens ganz ohne Division auskommt und zweitens nur
Äquivalenzumformungen beinhaltet, ohne dass sonderlich
viel Nachdenken erforderlich wäre. Ich würde sie etwas
umformulieren. Setze der Kürze halber w_x = sqrt(1+x^2).

(x+w_x)(y+w_x) = 1

gdw. [ ausmultiplizieren ]

xy + (x+y)w_x + (w_x)^2 = 1

gdw. [ (w_x)^2 ausrechnen, 1 subtrahieren und zusammenfassen ]

(x+y)(x+w_x) = 0

gdw. [ es gibt keine Nullteiler ]

x=-y ODER x=-w_x

gdw. [ im betrachteten Fall ist x=-w_x äquivalent zu FALSE ]

x=-y .

[Udo]

Stephan Gerlach schrieb am Donnerstag, 21. April 2022 um 02:22:52 UTC+2:

> In der Formel kommt nur ein einziges Mal y vor.
> Das bedeutet, hier funktioniert auch die "direkte Methode":
> Ohne irgendwas "geschickt zu sehen", kann man einfach direkt nach y
> umstellen, und dann soweit wie möglich vereinfachen:

Danke für Deine ausführliche Rechnung.
Jetzt sehe ich auch, wo ich mich verrechnet habe, ich war auf dem gleichen Weg.
(Man sollte sich halt nicht verrechnen ...)

> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1
> y = 1/(x + sqrt(1 + x^2)) - sqrt(1 + x^2)
> = 1/(x+sqrt(1+x^2)) - sqrt(1+x^2)*(x+sqrt(1+x^2))/(x+sqrt(1+x^2))
> = [1 - sqrt(1+x^2)*(x+sqrt(1+x^2))] / (x + sqrt(1 + x^2))
> = [1 - x * sqrt(1+x^2) - (sqrt(1+x^2))^2] / (x + sqrt(1 + x^2))
> = [1 - x * sqrt(1+x^2) - (1+x^2)] / (x + sqrt(1 + x^2))
> = (1 - x * sqrt(1+x^2) - 1 - x^2) / (x + sqrt(1 + x^2))
> = (- x * sqrt(1 + x^2) - x^2) / (x + sqrt(1 + x^2))
> = - x * (sqrt(1 + x^2) + x) / (x + sqrt(1 + x^2))
> = -x.
>
> In Worten nochmal die wichtigsten Schritte:
> * nach y umstellen
> * Hauptnenner bilden
> * im Zähler Klammern auflösen
> * Wurzel und ()^2 heben sich auf
> * Minus-Klammer auflösen
> * 1 und -1 heben sich auf
> * im Zähler -x ausklammern
> * (sqrt(1 + x^2) + x) mit (x + sqrt(1 + x^2)) kürzen.
>

Diese ausführliche Zusammenstellung ist prima!
Da wird das nochmals vollkommen klar.
(ist für jemanden wie mich, der ein bisschen eingerostet ist, sehr hilfreich).
Gruß U.

[Udo]

Carlo XYZ schrieb am Donnerstag, 21. April 2022 um 04:57:51 UTC+2:
...

> Dieter Heidorns Lösung gefällt mir besser, weil sie
> erstens ganz ohne Division auskommt und zweitens nur
> Äquivalenzumformungen beinhaltet, ohne dass sonderlich
> viel Nachdenken erforderlich wäre. Ich würde sie etwas
> umformulieren. Setze der Kürze halber w_x = sqrt(1+x^2).
>
> (x+w_x)(y+w_x) = 1
>
> gdw. [ ausmultiplizieren ]
>
> xy + (x+y)w_x + (w_x)^2 = 1
>
> gdw. [ (w_x)^2 ausrechnen, 1 subtrahieren und zusammenfassen ]
>
> (x+y)(x+w_x) = 0
>
> gdw. [ es gibt keine Nullteiler ]
>
> x=-y ODER x=-w_x
>
> gdw. [ im betrachteten Fall ist x=-w_x äquivalent zu FALSE ]
>
> x=-y .

Das ist sehr elegant.
Kurz und total übersichtlich.
(Mit meiner Substitution war ich nah dran, hab's dann aber versemmelt :-(
Jetzt ist das Dank der Hilfe aller klar).

Die von Stefan aufgeworfene Frage, ob das die "originale" Aufgabe sei, hatte ich
mit ja beantwortet.
Wenn im zweiten Term, wie von ihm vermutet, unter der Wurzel ebenfalls y steht,
ergibt sich eine andere Gleichung, die es auch in sich hat:

x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + y^2)) = 1

Einen wunderbaren Lösungsweg gibt Presh Talwalker in seinem Video an:

https://www.youtube.com/watch?v=MBUdaAz11V8

Grüße und Danke nochmals an alle
Udo

[Carlo XYZ]

Udo schrieb am 21.04.22 um 11:08:

> Wenn im zweiten Term [...] unter der Wurzel ebenfalls y steht,

> ergibt sich eine andere Gleichung, die es auch in sich hat:
>
> x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + y^2)) = 1
>
> Einen wunderbaren Lösungsweg gibt Presh Talwalker in seinem Video an:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=MBUdaAz11V8

Ganz nett. Aber auch da geht es einfacher / anschaulicher,
wie den Kommentaren unter dem Video zu entnehmen ist.

[Ulrich D i e z]

Am 20.04.22 um 17:09 schrieb Udo:

> Hallo,
> die Menge aller (x,y)-Paare, die folgende Gleichung lösen,
> soll bestimmt werden:
>
> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1

> Frage 1:
> Sind die oben gefundenen beiden Lösungspaare die einzigen, die die
> Gleichung erfüllen?

Nein.

> Frage 2:
> Welchen Rechenweg schlägt man hier geschickterweise ein, um alle
> Lösungen zu bestimmen?

Ich würde "y=(x+y)-x" setzen und dann teilweise ausmultiplizieren
und dann die "Dritte binomische Formel" anwenden:

(x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1; x in R; y in R

Im folgenden erspare ich es mir, jedesmal "; x in R; y in R" dazuzuschreiben.

Die Gleichung

(x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1

ist -- bedenke, dass y = (x + y) - x -- äquivalent zu
(x + sqrt(1 + x^2)) * ((x + y) - x + sqrt(1 + x^2)) = 1
und ist -- teilweise ausmultiplizieren -- äquivalent zu
(x + sqrt(1 + x^2)) * (x + y) + (x + sqrt(1 + x^2)) * (-x + sqrt(1 + x^2)) = 1
und ist -- "Dritte binomische Formel" -- äquivalent zu
(x + sqrt(1 + x^2)) * (x + y) + (1 + x^2) - x^2 = 1
und ist -- "Wegheben von x^2 - x^2" -- äquivalent zu
(x + sqrt(1 + x^2)) * (x + y) + 1 = 1
und ist -- Subtraktion von 1 auf beiden Seiten der Gleichung -- äquivalent zu
(x + sqrt(1 + x^2)) * (x + y) = 0.

In Fällen, in denen alle dieser einander äquvalenten Gleichungen wahr sind, ergibt
mindestens einer der beiden Faktoren auf der linken Seite der letzten dieser
Gleichungen den Wert 0:

Betrachtung: x + sqrt(1 + x^2) = 0

1. Es ist sqrt(0 + x^2) = abs(x).
2. Es ist sqrt(1 + x^2) > abs(x).
3. Es ist x + sqrt(1 + x^2) > x + abs(x).

Für x <= 0 ist x + abs(x) = 0 und aus 3. ergibt sich x + sqrt(1 + x^2) > 0,
sodass die Gleichung x + sqrt(1 + x^2) = 0 keine Lösung mit x <= 0 hat.

Für x > 0 ist x + abs(x) = 2x und 2x > 0 und aus 3. ergibt sich
x + sqrt(1 + x^2) > 2x > 0, sodass die Gleichung x + sqrt(1 + x^2) = 0
keine Lösung mit x > 0 hat.

Die Gleichung x + sqrt(1 + x^2) = 0 hat keine Lösung.

Man kann auch ohne Äquivalenz folgern und einen "Beweis durch Widersprch"
führen:

Aus x + sqrt(1 + x^2) = 0
folgt durch Subtraktion von x: sqrt(1 + x^2) = -x
, woraus wiederum durch Quadrieren folgt: 1 + x^2 = x^2
, woraus wiederum durch Subtraktion von x^2 folgt: 1 = 0.
D.h. aus der Annahme, x + sqrt(1 + x^2) = 0 sei wahr, folgt die
Existenz einer Zahl 1, die einer Zahl 0 gleich ist, also die
Existenz eines Elementes, welches im verwendeten Kalkül nicht
enthalten ist. Die Annahme, x + sqrt(1 + x^2) = 0 sei wahr, ist
im verwendeten Kalkül nicht haltbar.


Betrachtung: x + y = 0 <-> x = -y

Schlussfolgerung:

{ (x,y) | (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2)) = 1; x in R; y in R }
=
{ (x,y) | x = -y; x in R; y in R }



Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Am 21.04.22 um 04:57 schrieb Carlo XYZ:

> Dieter Heidorns Lösung gefällt mir besser, weil sie
> erstens ganz ohne Division auskommt und zweitens nur
> Äquivalenzumformungen beinhaltet, ohne dass sonderlich
> viel Nachdenken erforderlich wäre.

So, wie ich es sehe, beinhaltet der Rechenweg von Stephan Gerlach
auch nur Äquivalenzumformungen. Sehe ich es falsch?

ZB ist Division durch (x + sqrt(1 + x^2)) definiert:

Es ist sqrt(1 + x^2) > abs(x)

bzw x + sqrt(1 + x^2) > x + abs(x).

Im Fall x <= 0 ist x + abs(x) = 0; in diesem Fall ist also
x + sqrt(1 + x^2) > x + abs(x)
äquvalent zu x + sqrt(1 + x^2) > 0.

Im Fall x > 0 ist x + abs(x) = 2x und 2x > 0; in diesem Fall ist also
x + sqrt(1 + x^2) > x + abs(x)
äquvalent zu x + sqrt(1 + x^2) > 2x > 0.

Division durch (x + sqrt(1 + x^2)) läuft also nie auf eine Division durch 0 hinaus.

Es wird außerdem nur durch die Zahl 1 dividiert, was eine Äquivalenzumformung
darstellt.



MIt freundlichem Gruß

Ulrich

[Stephan Gerlach]

Carlo XYZ schrieb:

> Dieter Heidorns Lösung gefällt mir besser,...

Ja, mir auch :-) .
Ich schrieb ja auch, daß meine Methode nicht unbedingt die eleganteste sei.

> ... weil sie
> erstens ganz ohne Division auskommt...

Das kann man als Vorteil bzw. einfacher ansehen, ja.

> und zweitens nur
> Äquivalenzumformungen beinhaltet,...

Meine auch.

> ... ohne dass sonderlich
> viel Nachdenken erforderlich wäre...

Und genau hier würde ich widersprechen. Im Nachhinein(!) sieht die
Lösung von Dieter natürlich einfacher bzw. "besser" aus.

Aus didaktischer Sicht finde ich allerdings, daß man auf
"nach einer der beiden Variablen umstellen und danach(!) gucken, ob
irgendwas zu vereinfachen geht"
möglicherweise schneller/einfacher kommt als auf Dieters eleganteren
Rechenweg.
Vermutlich denke ich hier (zu?) sehr aus Sicht eines Schülers/Studenten,
der in einer Klausur schnell "irgendwie" auf einen Lösungsweg kommen muß.

Wobei allerdings "Klammern auflösen" - was ja in Diesers Lösungsweg
vorkommt - ein typischer Schüler-/Studenten-Reflex ist, wenn irgendwo in
einer Gleichung bzw. in einem Term Klammern stehen.

> ... Ich würde sie etwas

> umformulieren. Setze der Kürze halber w_x = sqrt(1+x^2).
>
> (x+w_x)(y+w_x) = 1
>
> gdw. [ ausmultiplizieren ]
>
> xy + (x+y)w_x + (w_x)^2 = 1
>
> gdw. [ (w_x)^2 ausrechnen, 1 subtrahieren und zusammenfassen ]
>
> (x+y)(x+w_x) = 0

Genau dieser Faktorisierungs-Schritt bzw. daß das hier so klappt ist
u.U. nicht für jedermann sofort offensichtlich. Das davor waren mehr
oder weniger "automatisierte" Schritte, über die man tatsächlich nicht
groß nachdenken muß (Klammern auflösen und gucken, ob sich anschließend
irgendwas aufhebt).

> gdw. [ es gibt keine Nullteiler ]
>
> x=-y ODER x=-w_x
>
> gdw. [ im betrachteten Fall ist x=-w_x äquivalent zu FALSE ]
>
> x=-y .
>

[Udo]

Ich fasse die sehr hilfreichen Beiträge mal kurz zusammen, weil man hieraus
vielleicht eine gewisse "Strategie" ableiten kann, wie man solche Ungetüme angeht.

Vorgestellte Methode(n)

(1) Alfred : Scharfes Hinsehen und 3. Binom erkennen
(2) Dieter : Ausmultiplizieren, geschickt zusammenfassen und ausklammern
(3) Stephan: "Direkte Methode", gleich nach y umstellen
(4) Carlo : Substitution w_x = sqrt(1+x^2), ansonsten Variante von Dieter
(5) Ulrich : Substitution y = (x + y) - x, ausmultiplizieren, 3. Binom

Wenn man - wie ich - etwas "eingerostet" ist, verfügt man zumindest noch
über die eintrainierten "Schülermechanismen", die einen leider nicht selten
ins Abseits führen.

Für mich kann ich sagen, dass ich (1) nicht erkannt habe.
(2) und (4) habe ich versucht, substituiert, und war nahe dran, hab mich aber
leider verrechnet und diesen Weg aufgegeben.
Die direkte Methode von Stephan (3) war auch mir nahe liegend und ich hab sie
ein Stück weit verfolgt, mich aber auch hier leider verrechnet.
Die Methode von Ulrich (5) finde ich elegant, wenn auch rechentechnisch
etwas aufwändiger.

Fazit und Konsequenz für die Vorgehensweise:
- Grundlagen (Rechentechniken) wiederholen, um "Verrechnen" zu minimieren.
- Systematisches Abarbeiten der obigen Liste

# Scharfes Hinsehen - erkennt man was?
# Ausmultiplizieren, zusammenfassen, direkt nach y auflösen
# Versuch der Substitution

Wenn das alles nicht zum Ziel führt - hier fragen :-))

Danke nochmals an alle und zum Schluss noch eine kurze Frage:
Natürlich sind solche "Rechenaufgaben" keine höhere Mathematik und ich habe
meist ein wenig ein mulmiges Gefühl, wenn ich so was relativ "einfaches" oder ein
elementargeometrisches Problem hier poste.
(Wenn es die Threads des Weisen (oder Waisen) aus Augsburg hier nicht gäbe,
hätte ich bei solchen Aufgaben mehr als Bedenken).
Was sollte Eurer Meinung nach - von Hausaufgaben abgesehen - eher nicht
gepostet werden?

Grüße Udo

[Ulrich D i e z]

Am 22.04.22 um 12:31 schrieb Udo:

> Die Methode von Ulrich (5) finde ich elegant, wenn auch rechentechnisch
> etwas aufwändiger.

Mein Rechengang ist nur eine Variation, den Hinweis von Alfred Flaßhaar
zu beherzigen:

Wenn man den Ausdruck

(x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2))

betrachtet, fällt ja ins Auge: Wenn da statt des Koeffizienten
y der Koeffizient -x stehen würde, hätte man mit x=b und
sqrt(1 + x^2) = a einen Ausdruck der Form (b+a)*(-b+a), also
etwas, was nach der 3. binom. Formel a^2 - b^2 ergibt, wobei
man die Wurzel in dem Ausdruck, der a darstellt, los wird.

Also habe ich mir überlegt, wie man das wenigstens teilweise
hinbekommen könnte und bin dazu auf die Idee gekommen,
y=(x+y)-x zu setzen...

Elegant finde ich meine Rechengänge meistens nicht - ich bin
ja schon froh wenn sie korrekt sind. ;-)

> Danke nochmals an alle und zum Schluss noch eine kurze Frage:
> Natürlich sind solche "Rechenaufgaben" keine höhere Mathematik

In der heutigen Zeit brauchst Du Dir da wohl keine Sorgen machen:

Heutzutage wird alles, was nicht über eine App auf dem Smartphone
erledigt werden kann, oder was man selbst schwierig findet, als
höhere Mathematik empfunden.

Symptomatisch ist zB auch die Umbenennung des "Mangoldt-Knopp"
von "Einführung in die Höhere Mathematik" in "Höhere Mathematik",
ohne in den Nachdrucken mit dem umbenannten Titel am Inhalt
etwas zu ändern.

Ich habe auch schon Internetkorrespondenzen miterlebt, in denen
Leute Matheprobleme gelöst haben wollten, aber nicht, indem man
ihnen die Grundlagen und/oder ihre Irrtümer erklärt, sondern
ihnen sagt, mit was für einem Programm-Quelltext sie ihr
Computer-Algebra-System oder ihre Taschenrechner-App auf dem
Smartphone/Tablet-PC füttern sollen.

Je mehr ich über Mathematik lerne bzw aufschnappe bzw davon
mitbekomme, desto mehr halte ich mich für einen schlechten
Mathematiker/Rechner. Aber trotzdem versuchen viele Leute in
meiner Umgebung, mir den Nimbus eines Mathe-Nerds, der sich
auskenne, aufzudrücken, was mir überhaupt nicht gefällt, weil
die Leute nicht realisieren, dass sie damit nur ein "Unter den
Blinden ist der Einäugige König"-Szenarium aufbauen. Oder
anders ausgedrückt: Es ist Glorifikation der Defizite durch
solche, die noch defizitärer sind und es deshalb nicht
realisieren. Und das ist peinlich.

> und ich habe
> meist ein wenig ein mulmiges Gefühl, wenn ich so was relativ "einfaches" oder ein

[...]> elementargeometrisches Problem hier poste.

> Was sollte Eurer Meinung nach - von Hausaufgaben abgesehen - eher nicht
> gepostet werden?

Dieses Gefühl kenne ich.

Eine zeitlang habe ich immer zuerst auf schule.mathe gefragt und
nur dann hier gepostet wenn ich dort nicht weiterkam.

Für den Fall, dass Englisch kein Problem darstellt, kann ich die
Plattform Mathematics StackExchange, unter
<https://math.stackexchange.com/>
empfehlen.

Dort steht ganz oben auf der Seite:

Mathematics Stack Exchange is a question and answer site for people
studying math _at any level_ and professionals in related fields.




Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Udo]

Ulrich D i e z schrieb am Freitag, 22. April 2022 um 14:44:30 UTC+2:

> Mein Rechengang ist nur eine Variation, den Hinweis von Alfred Flaßhaar
> zu beherzigen:
>
> Wenn man den Ausdruck
> (x + sqrt(1 + x^2)) * (y + sqrt(1 + x^2))
> betrachtet, fällt ja ins Auge: Wenn da statt des Koeffizienten
> y der Koeffizient -x stehen würde, hätte man mit x=b und
> sqrt(1 + x^2) = a einen Ausdruck der Form (b+a)*(-b+a), also
> etwas, was nach der 3. binom. Formel a^2 - b^2 ergibt, wobei
> man die Wurzel in dem Ausdruck, der a darstellt, los wird.
>
> Also habe ich mir überlegt, wie man das wenigstens teilweise
> hinbekommen könnte und bin dazu auf die Idee gekommen,
> y=(x+y)-x zu setzen...
>

Das ist schon trickreich, und ich finde auch elegant.
Ich hab's trotz Alfreds Hinweis einfach nicht gesehen, weil ich auf die Wurzeln
wie das Kaninchen auf die Schlange geblickt habe.
Dank der Barmherzigen, die hier mitgelesen haben, bin ich ein großes Stück
weitergekommen.
Das tolle hier finde ich, dass die Dinge sehr ausführlich vorgerechnet wurden,
man ist sich nicht zu schade, ein wenig Nachhilfe zu erteilen.
Für mich ist das nicht selbstverständlich.
Würde sich diese Gruppe mal irgendwo treffen (was ich hiermit anrege),
würde ich einen ausgeben.

> Eine zeitlang habe ich immer zuerst auf schule.mathe gefragt und
> nur dann hier gepostet wenn ich dort nicht weiterkam.

Ebenso.
Dass Schule.mathe tot ist, finde ich sehr schade. Die Antworten dort waren
meiner Meinung nach didaktisch meist ziemlich gut und die Leute
geduldig (und dankbar).

>
> Für den Fall, dass Englisch kein Problem darstellt, kann ich die
> Plattform Mathematics StackExchange, unter
> <https://math.stackexchange.com/>
> empfehlen.
>
> Dort steht ganz oben auf der Seite:
>
> Mathematics Stack Exchange is a question and answer site for people
> studying math _at any level_ and professionals in related fields.
>

Oh, das ist wirklich Klasse!
Danke für diesen Link.
Und wegen des Englischen: Es gibt ja Deepl. Der übersetzt auch mathematische
Sachen meist ziemlich gut :-)

Grüße U.
>
> Mit freundlichem Gruß
>
> Ulrich