Euler-Zitat: Wurzel(ab) = Wurzel(a)*Wurzel(b) auch für negative a und b

[Rainer Rosenthal]

Am 31.08.2021 um 20:53 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal 31.08.2021
>> Ganzhinterseher 31.08.2021
>>> Fritz Feldhase 30.08.2021
>>>> Ah ja, sie stützen Ihre Erkenntnisse also auf Eulers Bücher.
>>>>
>>> Ja, allerdings ohne seinen Fehler W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)).
>>>
>> Ups, der große Euler hat das wirklich irgendwo hingeschrieben?
>> Dann ist -1 = W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)) = W(1) = 1, also -1 = 1.
>> Kannst Du bitte schreiben, wo das steht?
>>
> 148. Moreover, as √𝑎 multiplied by √𝑏 makes √𝑎𝑏, we shall have √6
for the value of √−2 multiplied by √−3; and √4, or 2, for the value of
the product of √−1 by √−4. Thus we see that two imaginary numbers,
multiplied together, produce a real, or possible one.
>
> Leonhard Euler: Elements of Algebra. p. 51, This book is based on the
1828 edition of John Hewlett’s 1822 translation of Leonhard Euler’s
Vollständige Anleitung zur Algebra, itself published in 1765.
>

Hallo Wolfgang,

danke für das Zitat! Ich schreibe im Folgenden W(x) für Wurzel aus x.
Ich konnte es auch in meiner Reclam-Ausgabe "Algebra" von L. Euler
nachlesen. Zuerst habe ich sehr gestaunt, weil da wirklich steht:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
148. Da ferner W(a) mit mit W(b) multiplicirt W(ab) giebt, so wird W(-2)
mit W(-3) multiplicirt W(6) geben. Eben so wird W(-1) mit W(-4)
multiplicirt W(4), das ist 2, geben. Hieraus sieht man, daß zwei
unmögliche Zahlen mit einander multiplicirt eine mögliche oder wirkliche
Zahl hervorbringen.
Wenn aber W(-3) mit W(5) multiplicirt wird, so bekommt man W(-15). Oder
eine mögliche Zahl mit einer unmöglichen multiplicirt, giebt stets etwas
Unmögliches.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Aber dann habe ich genauer hingeschaut und finde im Absatz davor:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
147. Da -a so viel ist als +a mit -1 multiplicirt, und die Quadratwurzel
aus einem Product gefunden wird, wenn man die Quadratwurzel aus den
Factoren mit einander multiplicirt (121), so ist Wurzel aus a mit -1
multiplicirt oder W(-a) so viel als W(a) mit W(-1) multiplicirt. [...]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Und der Verweis auf die Abschnitte 121 ff klärt alles!
Euler hatte nämlich eine andere Definition von Quadratwurzel als wir
heute. Für ihn gab es nicht "die" Quadratwurzel von x, sondern er
bezeichnete jede Zahl w als Quadratwurzel von x, die w^2 = x erfüllt.
Das deckt sich nicht mit der heutigen Definition, aber damit ist in
Absatz 148 nichts Falsches! Als W(6) bezeichnet Euler jede Zahl, deren
Quadrat 6 ist, also sowohl -6 als auch +6.

Hier ist der entsprechende auf 121 folgende Abschnitt:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
122. Nun wollen wir auch betrachten, welche Bewandtniß es mit den
Zeichen plus und minus bei den Quadraten hat. Es erhellt sogleich, daß,
wenn die Wurzel das Zeichen + hat, oder eine Positivzahl ist, wie wir
bisher angenommen haben, das Quadrat derselben auch eine Positivzahl
sein muß, weil + mit + multiplicirt + giebt. Also wird das Quadrat von
+a sein +aa. Wenn aber die Wurzel eine Negativzahl ist, als -a, so wird
ihr Quadrat +aa sein, gerade so als wenn die Wurzel +a wäre; folglich
ist +aa eben so wohl das Quadrat von +a als auch von -a; es können daher
von jedem Quadrat zwei Quadratwurzeln angegeben werden, deren eine
positiv, die andere negativ ist. Also ist die Quadratwurzel von 25 so
wohl +5 als auch -5, weil +5 mit +5 multiplicirt, und auch -5 mit -5
multiplicirt, +25 giebt.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nun bin ich wieder beruhigt, denn dass Euler mit seinem Absatz 148
geradewegs in die Sackgasse -1 = 1 rennt, konnte ich mir einfach nicht
vorstellen.

Wenn Du schreibst, dass Du Eulers Bücher nutzt "ohne seinen Fehler",
dann ist das sehr selbstgefällig und der vermeintliche Fehler beruht auf
oberflächlicher Beschäftigung mit Eulers Werk. Gerade sehe ich, dass Du
inzwischen sogar geschrieben hast:
"Ich habe seinen Namen auch nicht genannt, als ich sein Beispiel für -6
= 6 in "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin
(2015) angeführt habe."
Du verwendest dabei eine Konvention über den Gebrauch des Terminus
"Wurzel von x", die heutzutage gebräuchlich ist, die Euler aber
ausdrücklich(!) nicht verwendet, wie Abschnitt 122 zeigt.
Die Bezeichnung "Frechheit" in der Antwort von Michael Klemm ist nicht
ganz falsch, wie Du vielleicht einsiehst.

Ich war sehr erschrocken, als es den Anschein hatte, mein Held Leonhard
Euler hätte solchen Blödsinn verzapft, der geradewegs zu solchem Unsinn
wie -1 = 1 oder -6 = 6 führt. Natürlich bedanke ich mich trotz allem,
dass Du mir die Stelle in Eulers "Algebra" gezeigt hast. Und eine neue
Auflage Deines Buches ist nicht nötig, weil Du den falschen Beweis für
-6 = 6 ja freundlicherweise nicht als "sein Beispiel für -6 = 6"
bezeichnet hast.

Ich staune, dass Du Euler solchen Blödsinn zutraust.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, September 1, 2021 at 2:08:15 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> Ich staune, dass Du Euler solchen Blödsinn zutraust.

Man muss es leider sagen: Mückenheim versteht in der Regel nicht, was in den Zitaten die er oft und gerne anführt eigentlich (an mathematisch Relevantem) gesagt bzw. behauptet wird. (Die Ursachen dafür sind hinlänglich bekannt.) Ich könnte nun zahllose Beispiele anführen, um meine Behauptung zu untermauern, aber wozu?

[Rainer Rosenthal]

...

>
> Ich staune, dass Du Euler solchen Blödsinn zutraust.
>

Sorry, der Blödsinn kann nicht schön geredet werden :-(

Abschnitt 148 erlaubt wirklich:
1 = W(1) = W((-1)*(-1)) = W(-1)*W(-1) = -1.
Und das ist nun einmal Blödsinn.

Der Hinweis auf die heutige Konvention, nur die positive Lösung der
Gleichung w^2 = a als W(a) zu bezeichnen, hat mit dem Problem gar nichts
zu tun. Dass nach Eulers Abschnitt 122 sowohl 1 als auch -1 als W(1)
bezeichnet werden dürfen, ist lediglich unschön, und es wäre in der Tat
albern, daraus 1 = W(1) = -1 folgern zu wollen.

Seien wir also froh, dass mein Held Euler nicht vom Sockel gestoßen
wurde :-)

Die ernsthafte Frage bleibt: wo hat Euler ein Resultat "hervorgezaubert"
unter Anwendung seines fehlerhaften Rezepts?

Gruß,
RR

P.S. Postings von mir mit Uhrzeit zwischen 1 Uhr nachts und 7 Uhr früh
bitte immer ignorieren!

[Michael Klemm]

Das Wort "imaginary" hatte selbst 1822 noch eine andere Bedeutung als heute, wie man an der deutschen Version deutlich erkennt. "Eingebildet" ist nicht das selbe wie "unmöglich", wie man an WM deutlich sieht.

Gruß
Michael

[Rainer Rosenthal]

Bleibt doch einfach mal sachlich, bitte!

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 07:56 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Abschnitt 148 erlaubt wirklich:

> 1 = W(1) = W((-1)*(-1)) = W(-1)*W(-1) = -1. (SCHLIMM)

> Und das ist nun einmal Blödsinn.
>

> ... Dass nach Eulers Abschnitt 122 sowohl 1 als auch -1 als W(1)

> bezeichnet werden dürfen, ist lediglich unschön, und es wäre in der Tat
> albern, daraus 1 = W(1) = -1 folgern zu wollen.
>

Ich bitte um Verzeihung, dass ich noch immer nicht "zu Potte" komme mit
der Sache.

So wie ich es oben hingeschrieben habe, steckt leider immer noch etwas
von der zu vermeidenden Albernheit drin.
Denn die Zeile (SCHLIMM) hat den Aufbau 1 = W(1) = ... = -1.
Ich habe also noch immer nicht den Fehler herausgearbeitet, der nun mal
leider drin steckt in Eulers Abschnitt 148.

Ich muss auf die Definition W(a)*W(a) = a zurückgehen, denn dann zeigt
sich der Blödsinn in unangreifbarer Weise:

Gemäß Eulers Abschnitt 148 ist das hier korrekt:
1 = W(1)*W(1) = W(1*1) = W((-1)*(-1)) = -1

Ich habe da aber echt ein Problem. Könnte Euler nicht treuherzig fragen:
"Warum so kompliziert? Ihr wisst doch, was ich meine, und nun schreibt
Ihr schon wieder 1 = ... = W(1*1) = ... = -1 und meint, Ihr hättet mir
einen Fehler nachgewiesen. Ich sag doch aber immer (s. 122), dass sowohl
W(1) = 1 als auch W(1) = -1 zulässige und wahre Aussagen sind. Wozu die
Pingelei?" (L. Euler, private communication).

Gruß,
Rainer

[Ralf Goertz]

Am Wed, 1 Sep 2021 09:37:27 +0200
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

>
> Gemäß Eulers Abschnitt 148 ist das hier korrekt:
> 1 = W(1)*W(1) = W(1*1) = W((-1)*(-1)) = -1

„Warum so kompliziert?“ 1=W(1)=-1 (noch SCHLIMMER)

> Ich habe da aber echt ein Problem. Könnte Euler nicht treuherzig
> fragen: "Warum so kompliziert? Ihr wisst doch, was ich meine, und nun
> schreibt Ihr schon wieder 1 = ... = W(1*1) = ... = -1 und meint, Ihr
> hättet mir einen Fehler nachgewiesen. Ich sag doch aber immer (s.
> 122), dass sowohl W(1) = 1 als auch W(1) = -1 zulässige und wahre
> Aussagen sind. Wozu die Pingelei?" (L. Euler, private communication).

Ich bin ja eine bisschen neidisch auf deine(?) private Kommunikation mit
Euler. Aber irgendwie gebe ich ihm Recht. Es ist klar, was gemeint ist.
Das Gleichheitszeichen bei einer zweiwertigen Funktion zu verwenden,
geht nur, wenn man weiß, was man tut. Und Euler wusste es.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 09:51 schrieb Ralf Goertz:
>
> „Warum so kompliziert?“ 1=W(1)=-1 (noch SCHLIMMER)
>

> Ich bin ja eine bisschen neidisch auf deine(?) private Kommunikation mit

:-)

> Euler. Aber irgendwie gebe ich ihm Recht. Es ist klar, was gemeint ist.
> Das Gleichheitszeichen bei einer zweiwertigen Funktion zu verwenden,
> geht nur, wenn man weiß, was man tut. Und Euler wusste es.
>

Es wurde behauptet, Euler habe einen Fehler gemacht, und ich hatte in
einem langen nächtlichen Posting versucht, dem zu widersprechen mit
Hinweis darauf, dass bei Euler als "Quadratwurzel einer Zahl a" jede
Zahl w gilt mit w^2 = a. Dabei beschränkt er a nicht auf die reellen
Zahlen, soweit ich sehen konnte.

Beim Nachdenken am Morgen erschien mir meine Argumentation als falsch,
und ich habe schweren Herzens für "hier irrte Euler" plädiert.

Vielleicht war meine nächtliche Überlegung, die sich auf die Lektüre von
Eulers "Algebra" stützte, doch OK. Eine Gleichungskette 1 = ... = -1
muss üblicherweise als falsch bezeichnet werden, aber wenn darin ein
Kettenglied die Form "... = W(x) = ..." hat, gilt die Unschuldsvermutung.

Die Wahrheit von mathematischen Aussagen abhängig zu machen von der
Hochachtung für den Zitierten, geht mir voll gegen den Strich. Auch ein
Euler darf sich irren. Weil er aber Euler ist, muss ich mir sehr genau
überlegen, ob ich mit meinem Urteil richtig liege. Dabei ist es auf
jeden Fall hilfreich gewesen, seinen Abschnitt 122(*) zu lesen und zur
Kenntnis zu nehmen, dass von ihm (entgegen heutiger Konvention) sowohl 1
als auch -1 als Quadratwurzel W(1) der Zahl 1 bezeichnet werden.

Gruß,
Rainer

(*)

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 02:08:15 UTC+2:
> Am 31.08.2021 um 20:53 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal 31.08.2021
> >> Ganzhinterseher 31.08.2021
> >>> Fritz Feldhase 30.08.2021
> >>>> Ah ja, sie stützen Ihre Erkenntnisse also auf Eulers Bücher.
> >>>>
> >>> Ja, allerdings ohne seinen Fehler W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)).
> >>>
> >> Ups, der große Euler hat das wirklich irgendwo hingeschrieben?
> >> Dann ist -1 = W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1)) = W(1) = 1, also -1 = 1.
> >> Kannst Du bitte schreiben, wo das steht?
> >>
> > 148. Moreover, as √𝑎 multiplied by √𝑏 makes √𝑎𝑏, we shall have √6
> for the value of √−2 multiplied by √−3; and √4, or 2, for the value of
> the product of √−1 by √−4. Thus we see that two imaginary numbers,
> multiplied together, produce a real, or possible one.
> >
> > Leonhard Euler: Elements of Algebra. p. 51, This book is based on the
> 1828 edition of John Hewlett’s 1822 translation of Leonhard Euler’s
> Vollständige Anleitung zur Algebra, itself published in 1765.
> >
>

Da liegst Du aber falsch, wie der vollständige Absatz 147 zeigt:

√−4 is equal to √4 multiplied by √−1, or equal to 2√−1 because √4 is equal to 2;

Er verwendet also sehr wohl die heutige Konvention, sonst wäre W(4) nicht 2 sondern +/- 2.

>
> Hier ist der entsprechende auf 121 folgende Abschnitt:
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> 122. Nun wollen wir auch betrachten, welche Bewandtniß es mit den
> Zeichen plus und minus bei den Quadraten hat. Es erhellt sogleich, daß,
> wenn die Wurzel das Zeichen + hat, oder eine Positivzahl ist, wie wir
> bisher angenommen haben, das Quadrat derselben auch eine Positivzahl
> sein muß, weil + mit + multiplicirt + giebt. Also wird das Quadrat von
> +a sein +aa. Wenn aber die Wurzel eine Negativzahl ist, als -a, so wird
> ihr Quadrat +aa sein, gerade so als wenn die Wurzel +a wäre; folglich
> ist +aa eben so wohl das Quadrat von +a als auch von -a; es können daher
> von jedem Quadrat zwei Quadratwurzeln angegeben werden, deren eine
> positiv, die andere negativ ist. Also ist die Quadratwurzel von 25 so
> wohl +5 als auch -5, weil +5 mit +5 multiplicirt, und auch -5 mit -5
> multiplicirt, +25 giebt.
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Nun bin ich wieder beruhigt, denn dass Euler mit seinem Absatz 148
> geradewegs in die Sackgasse -1 = 1 rennt, konnte ich mir einfach nicht
> vorstellen.

Er tut es aber trotzdem.

>
> Wenn Du schreibst, dass Du Eulers Bücher nutzt "ohne seinen Fehler",
> dann ist das sehr selbstgefällig und der vermeintliche Fehler beruht auf
> oberflächlicher Beschäftigung mit Eulers Werk.

Ich habe diesen Fehler nicht selbst gefunden, sondern ihn vor vielen Jahren im Buch eines vermutlich sehr "renommierten" Mathematikers gelesen. Die Stelle in seiner Algebra habe ich nur rausgesucht, weil ich mich an die Originalquelle nicht mehr erinnern kann.

> Gerade sehe ich, dass Du
> inzwischen sogar geschrieben hast:
> "Ich habe seinen Namen auch nicht genannt, als ich sein Beispiel für -6
> = 6 in "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin
> (2015) angeführt habe."
> Du verwendest dabei eine Konvention über den Gebrauch des Terminus
> "Wurzel von x", die heutzutage gebräuchlich ist, die Euler aber
> ausdrücklich(!) nicht verwendet, wie Abschnitt 122 zeigt.

Dann lies bitte Absatz 147 nochmal ganz.

> Die Bezeichnung "Frechheit" in der Antwort von Michael Klemm ist nicht
> ganz falsch, wie Du vielleicht einsiehst.

Er postet in der Regel Frechheiten, weshalb ich das nicht so tragisch sehe.

>
> Ich war sehr erschrocken, als es den Anschein hatte, mein Held Leonhard
> Euler hätte solchen Blödsinn verzapft, der geradewegs zu solchem Unsinn
> wie -1 = 1 oder -6 = 6 führt.

Das tut er aber.

> Ich staune, dass Du Euler solchen Blödsinn zutraust.

Ich staune, dass Du es nicht tust. Aber wahrscheinlich findest Du auch eine Interpretation, wonach seine Falschmeldung zur geographischen Höhe von Magdeburg keine ist.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Euler hat meinem Eindruck nach versucht , das bis dahin unmögliche Rechnen mit Wurzeln negativer Zahlen möglich zu machen. Ob er dabei die Resultate seiner Versuche als positive oder negative Signale ansah, ist schwer zu beurteilen.

Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 12:44:44 UTC+2:

> Beim Nachdenken am Morgen erschien mir meine Argumentation als falsch,
> und ich habe schweren Herzens für "hier irrte Euler" plädiert.

Hallo Rainer, dann entschuldige bitte meine harte Reaktion.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Du postest in der Regel harte Reaktionen, weshalb ich das nicht so
tragisch sehe. Inzwischen bin ich ja nochmal ins Schwanken geraten und
sehe es nicht als Fehler an, wenn Euler auf Basis von Abschnitt 122
Gleichungsketten der Form "1 = ... = W(1) = ... = -1" schreibt.

Dein Hinweis auf Abschnitt 147, in dem er W(4) = 2 verwendet, ist da
kein ernst zu nehmendes Gegenargument, weil Euler (laut Abschnitt 122)
sich die Freiheit gönnt, W(4) = 2 oder W(4) = -2 zu nutzen, so wie es
ihm gerade passt. Mit Beispiel 25 statt 4 steht es dort explizit:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Also ist die Quadratwurzel von 25 so wohl +5 als auch -5, weil +5
mit +5 multiplicirt, und auch -5 mit -5 multiplicirt, +25 giebt.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

Hallo Rainer,

es macht m. E. keinen Sinn, an einen historischen Text (wie diesen) moderne Maßstäbe anlegen zu wollen.

Fest steht, das Euler viele interessante Resultate erhalten hat, die vielfach auch heute noch als gültig angesehen werden, wobei er aber in vielen Fällen über keine "präzisen Methoden" verfügt hat, um diese Ergebnisse zu erhalten/erzielen.

[Ralf Bader]

Die Grundlagen der Analysis wurden seit der Zeit von Euler zweimal
völlig umgebaut. Euler kannte keine komplexe Zahlenebene, und auch keine
reellen Zahlen im heutigen Sinne, hatte hingegen ein illustres und heute
nicht mehr gebräuchliches Sortiment an Arten von Zahlen; Näheres z.B. in
Detlef D. Spalt: Die Analysis im Wandel und im Widerstreit ..., cf.
https://www.researchgate.net/publication/315347425_Detlef_D_Spalt_Die_Analysis_im_Wandel_und_im_Widerstreit_Eine_Formierungsgeschichte_ihrer_Grundbegriffe_Verlag_Karl_Alber_2015_xxvii762_Seiten_ISBN_978-3-495-48740-2
für eine Rezension dieses Buchs.

Die Sache mit der Quadratwurzel ist bei Euler so oder so verkorkst, um
es mal platt auszudrücken. Eine "Wurzel" die zwei Werte haben kann,
bewirkt, daß ein Ausdruck wie W(a)+W(b) i.a. bereits 4 Werte haben kann.
Euler war eben genial genug, um sich in diesen Fallstricken nicht zu
verfangen, andere waren das wohl nicht.

[jvr]

On Wednesday, September 1, 2021 at 3:05:35 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

Wurzeln sind mehrdeutige Funktionen. Jede von Eulers Gleichungen gilt für einen der möglichen Werte,
nicht unbedingt für alle.
Nirgends sehe ich eine Kette von Gleichungen, für die das nicht so ist. Dass Mückenheim das nicht kapiert,
ist nicht erstaunlich. Er kapiert ja auch sonst fast nichts.

Quadratrwurzeln? Schrecklich schwierig.
Definition der natürlichen Zahlen? Völlig unverständlich.
Reelle Zahlen? Soweit kommt er nie.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 18:58 schrieb Ralf Bader:
>
> Die Grundlagen der Analysis wurden seit der Zeit von Euler zweimal
> völlig umgebaut. Euler kannte keine komplexe Zahlenebene, und auch keine
> reellen Zahlen im heutigen Sinne, hatte hingegen ein illustres und heute
> nicht mehr gebräuchliches Sortiment an Arten von Zahlen; Näheres z.B. in
> Detlef D. Spalt: Die Analysis im Wandel und im Widerstreit ..., cf.
> https://www.researchgate.net/publication/315347425_Detlef_D_Spalt_Die_Analysis_im_Wandel_und_im_Widerstreit_Eine_Formierungsgeschichte_ihrer_Grundbegriffe_Verlag_Karl_Alber_2015_xxvii762_Seiten_ISBN_978-3-495-48740-2
>
> für eine Rezension dieses Buchs.
>
> Die Sache mit der Quadratwurzel ist bei Euler so oder so verkorkst, um
> es mal platt auszudrücken. Eine "Wurzel" die zwei Werte haben kann,
> bewirkt, daß ein Ausdruck wie W(a)+W(b) i.a. bereits 4 Werte haben kann.
> Euler war eben genial genug, um sich in diesen Fallstricken nicht zu
> verfangen, andere waren das wohl nicht.
>

Danke für den Hinweis auf das Buch und die Rezension, die ich mir eben
durchgelesen habe.

Der Ausdruck "verkorkst" ist wesentlich milder als "Fehler". Die
Qualifizierung der im Thread-Thema genannten Gleichung als "Fehler"
beruht darauf, dass die "verkorkste" Erläuterung in Abschnitt 122
ignoriert wurde. Der Ausdruck "verkorkst" beruht auf der Anlegung
moderner Maßstäbe. Man kann solche alten Werke anschauen, oder es auch
sein lassen. Ich habe mit Freude meine alte Reclam-Ausgabe der "Algebra"
durchgeblättert und weiter hinten hübsche zahlentheoretische Probleme
besprochen gefunden sowie einige Zahlenfolgen entdeckt, die teilweise im
OEIS (https://oeis.org/) sind, teilweise aber erst noch hineingestellt
werden könnten (z.B. von mir).

Ich bin zufrieden damit, dies Thema aus dem Wurzelgleichungs-Thema
ausgegliedert zu haben und bedanke mich für die Diskussionsbeiträge.

Gruß,
RR

[jvr]

Es darf hier natürlich jeder jeden Unsinn erzählen. Aber wenn Anfänger wie du und
Mückenheim meinen, sie hätten bei Euler Fehler gefunden, würde ich raten, nochmal
zu überlegen, bevor ihr euch hier blamiert.

Zu Eulers Zeiten war die Ausdrucksweise anders als heute.
Jede von Eulers Aussagen ist in irgendeinem Sinn korrekt. Wenn Mückenheim meint, er
könne Fehler in Eulers elementarem Algebrabuch finden, dann werden ihn sogar seine
ganzhinterwalder Schüler auslachen. Hoffentlich.

[Ganzhinterseher]

jvr schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 20:05:03 UTC+2:

> Wurzeln sind mehrdeutige Funktionen. Jede von Eulers Gleichungen gilt für einen der möglichen Werte,
> nicht unbedingt für alle.

Er hat die Wurzel aus 4 als 2 angegeben. Deswegen ist seine Behauptung falsch. Aber die Experten im Schönreden von Cantors Unsinn werden auch keine Probleme haben, Eulers Irrtum in den Meereshöhen von Berlin und Magdeburg als für seine Zeit korrekt anzuerkennen.

> Nirgends sehe ich eine Kette von Gleichungen, für die das nicht so ist.

Woraus bestehen denn Deine Scheuklappen? Die Sache mit Euler haben übrigens Leute aufgedeckt, die mit absoluter Sicherheit mehr von Mathematik verstanden haben als Du.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Achgottchen, er war genial genug die Wurzel aus 4 als 2 anzugeben - ohne Minus. Deswegen ist seine Behauptung falsch. Aber die Experten im Schönreden von Cantors Unsinn werden auch keine Probleme haben, Eulers Irrtum in den Meereshöhen von Berlin und Magdeburg als für seine Zeit korrekt anzuerkennen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 15:05:35 UTC+2:
> Am 01.09.2021 um 13:31 schrieb Ganzhinterseher:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 12:44:44 UTC+2:
> >
> >> Beim Nachdenken am Morgen erschien mir meine Argumentation als falsch,
> >> und ich habe schweren Herzens für "hier irrte Euler" plädiert.
> >
> > Hallo Rainer, dann entschuldige bitte meine harte Reaktion.
> >
> Du postest in der Regel harte Reaktionen, weshalb ich das nicht so
> tragisch sehe. Inzwischen bin ich ja nochmal ins Schwanken geraten und
> sehe es nicht als Fehler an, wenn Euler auf Basis von Abschnitt 122
> Gleichungsketten der Form "1 = ... = W(1) = ... = -1" schreibt.
>
> Dein Hinweis auf Abschnitt 147, in dem er W(4) = 2 verwendet, ist da
> kein ernst zu nehmendes Gegenargument,

Warum nicht? Auch bei W(16) wählt er nur die 4.

> weil Euler (laut Abschnitt 122)
> sich die Freiheit gönnt, W(4) = 2 oder W(4) = -2 zu nutzen, so wie es
> ihm gerade passt.

Er hat richtig erkannt, dass beides gewählt werden kann. Er hat aber nirgendwo behauptet, dass 1 = W(1) = -1. Für ein Vorzeichen muss er sich also in einer Gleichung entscheiden. Das liefert für den positiven Wert entweder W(-3) * W(-2) oder (1-)W(-3) * (-1)W(-2). Die freie Wahl des Vorzeichens ist somit belanglos. Er hat einen Fehler gemacht. Der Fehler ist unter experten bekannt , und lediglich die Spinner hier, die sich für Experten halten, versuchen ihn zu verteidigen. Da solltest Du Dich nicht anschließen, sondern das lesen, was erschreibt: W(16) = 4.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Warum nicht? Weder unter Berlin noch Magdeburg in Richtung Erdmittelpunkt (wo?) ist "das" Meer. Da die Meeresabflächen sich nicht genau zu einer mathematischen Sphere zusammensetzen lassen, sind hier geeignete Konventionen von entscheidender Bedeutung.

Gruß
Michael

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 20:06:10 UTC+2:

> Der Ausdruck "verkorkst" ist wesentlich milder als "Fehler". Die
> Qualifizierung der im Thread-Thema genannten Gleichung als "Fehler"
> beruht darauf, dass die "verkorkste" Erläuterung in Abschnitt 122
> ignoriert wurde.

Aber diese Erläuterung in Absatz 150 ist nicht verkorkst: the square root of − 𝑎 is both +√−𝑎 and −√−𝑎; but we must not confound the signs + and –, which are before the radical sign √, with the sign which comes after it.

Sie zeigt, dass Dein Entschuldigungsversuch nicht greift.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 21:03 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Aber diese Erläuterung in Absatz 150 ist nicht verkorkst: the square root of − 𝑎 is both +√−𝑎 and −√−𝑎; but we must not confound the signs + and –, which are before the radical sign √, with the sign which comes after it.
>
> Sie zeigt, dass Dein Entschuldigungsversuch nicht greift.
>

Leonhard Euler hat Deutsch geschrieben. Ich schreibe wieder W(x) für die
Quadratwurzel aus x und zitiere aus der Reclam-Ausgabe der "Algebra":
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
150. Da nun aber nach der Anmerkung (122) die Quadratwurzel jeder Zahl
immer einen doppelten Werth hat, nämlich so wohl negativ als auch
positiv genommen werden kann, indem z.B. W(4) so wohl +2 als auch -2
ist, und überhaupt für die Quadratwurzel aus a so wohl +W(a) als auch
-W(a) geschrieben werden kann, so gilt dies auch bei den unmöglichen
Zahlen; und die Quadratwurzel aus -a ist so wohl +W(-a) als auch -W(-a),
wobei man die Zeichen + und -, welche vor das Wurzel-Zeichen gesetzt
werden, von dem Zeichen, das hinter dem Wurzelzeichen steht, wohl
unterscheiden muß.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Das Wort "Entschuldigungsversuch" ist ja nun völlig daneben.
Du schreibst am 31.08.2021 um 14:44, Du würdest Eulers Bücher nutzen,
allerdings (Zitat) "ohne seinen Fehler W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1))".

Links steht -1 und rechts steht W(1), und Du bezeichnest die
Gleichsetzung als "Fehler". Sie ist ein Fehler nach heutiger Konvention,
aber W(1) = -1 ist kein Fehler nach Eulers Anmerkung 122.

Es wäre angebracht, dass Du Dich dafür entschuldigst, diese Anmerkung
nicht gelesen zu haben. Und jetzt zitierst Du obendrein Anmerkung 150,
die explizit Bezug nimmt auf 122.

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 21:40:59 UTC+2:
> Am 01.09.2021 um 21:03 schrieb Ganzhinterseher:
> >
> > Aber diese Erläuterung in Absatz 150 ist nicht verkorkst: the square root of − 𝑎 is both +√−𝑎 and −√−𝑎; but we must not confound the signs + and –, which are before the radical sign √, with the sign which comes after it.
> >
> > Sie zeigt, dass Dein Entschuldigungsversuch nicht greift.
> >
> Leonhard Euler hat Deutsch geschrieben. Ich schreibe wieder W(x) für die
> Quadratwurzel aus x und zitiere aus der Reclam-Ausgabe der "Algebra":
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> 150. Da nun aber nach der Anmerkung (122) die Quadratwurzel jeder Zahl
> immer einen doppelten Werth hat, nämlich so wohl negativ als auch
> positiv genommen werden kann, indem z.B. W(4) so wohl +2 als auch -2
> ist, und überhaupt für die Quadratwurzel aus a so wohl +W(a) als auch
> -W(a) geschrieben werden kann, so gilt dies auch bei den unmöglichen
> Zahlen; und die Quadratwurzel aus -a ist so wohl +W(-a) als auch -W(-a),
> wobei man die Zeichen + und -, welche vor das Wurzel-Zeichen gesetzt
> werden, von dem Zeichen, das hinter dem Wurzelzeichen steht, wohl
> unterscheiden muß.

genau. Deshalb greift Dein Entschuldigungsversuch nicht. Welche Vorzeichen vor der Wurzel Euler auch wählt, deas Ergebnis ist immer falsch.

>
>
> Das Wort "Entschuldigungsversuch" ist ja nun völlig daneben.
> Du schreibst am 31.08.2021 um 14:44, Du würdest Eulers Bücher nutzen,
> allerdings (Zitat) "ohne seinen Fehler W(-1)*W(-1) = W((-1)*(-1))".

Richtig.

>
> Links steht -1 und rechts steht W(1), und Du bezeichnest die
> Gleichsetzung als "Fehler". Sie ist ein Fehler nach heutiger Konvention,
> aber W(1) = -1 ist kein Fehler nach Eulers Anmerkung 122.

Das Ergebnis seiner Rechnung ist ein Fehler nach jeder Konvention, es sei denn man setzt in ein und derselben Zeile ohne weitere Erklärung mal das eine und mal das andere Vorzeichen. Aber Euler nutzt offensichtlich die heutige Konvention, denn wo er Wurzel tatsächlich zieht, sind sie positiv. Allein hier tut er es nicht. Das ist ein Fehler!

>
> Es wäre angebracht, dass Du Dich dafür entschuldigst, diese Anmerkung
> nicht gelesen zu haben. Und jetzt zitierst Du obendrein Anmerkung 150,
> die explizit Bezug nimmt auf 122.

Ich habe beide und mehr gelesen und stelle fest, dass Du sie nicht verstanden hast.
>
Gruß, WM

[jvr]

Mücke, Sie verstehen offenbar garnichts. Bei Euler kommen jede Menge Zweideutigkeiten
vor. Etwa wenn er mit divergenten Reihen operiert und denen gelegentlich einen endlichen
Wert zuschreibt. Wenn er = 'unendlich' schreibt, oder 'unendlich mal unendlich' usw.
Ähnlich ist es hier, nur viel eindeutiger und unproblematischer: Die Quadratwurzel - das
ist, in der Tat, ungefähr ihr Niveau.
Dass ein Wirrkopf wie Sie das nicht kapieren kann, ist nicht überraschend. Wenn er alle
seine Behauptungen rigoros bewiesen hätte, dann würden Sie noch weniger verstehen.
Nebenbeigesagt - bei Riemann kommen auch viele Behauptungen vor, die er nicht
beweist, von denen man die genaue Bedeutung bis heute nicht versteht und die manchmal falsch
sind.
Wann werden Sie eigentlich ihre neue Definition der natürlichen Zahlen publizieren?

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 22:59 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 21:40:59 UTC+2:
>>
>> Links steht -1 und rechts steht W(1), und Du bezeichnest die
>> Gleichsetzung als "Fehler". Sie ist ein Fehler nach heutiger Konvention,
>> aber W(1) = -1 ist kein Fehler nach Eulers Anmerkung 122.
>
> Das Ergebnis seiner Rechnung ist ein Fehler nach jeder Konvention

Nach Anmerkung 122 ist W(1) = -1 kein Fehler.

Schauen wir uns doch einmal die auch von Dir studierte Anmerkung 122 an
und insbesondere das Beispiel:

"Also ist die Quadratwurzel von 25 so wohl +5 als auch -5, weil +5 mit
+5 multiplicirt, und auch -5 mit -5 multiplicirt, +25 giebt."

Wenden wir das nun auf die Zahl 1 an statt 25:

Die Quadratwurzel von 1 ist sowohl +1 als auch -1, weil +1 mit +1
multipliziert, und auch -1 mit -1 multipliziert, +1 giebt.

Oder mit der von mir bzw. Klaus-R. Loeffler gewählten Bezeichnung:

Es ist W(1) sowohl +1 als auch -1, weil (+1)*(+1) = 1 ist und weil
(-1)*(-1) = 1 ist.

Oder kurz: W(1) = 1 ist genau so erlaubt wie W(1) = -1.
Wie hier schon mehrfach gesagt, ist es eine Kinderei, dem großen Euler
mit Spitzfindigkeiten zu kommen, wenn er ausführlich und für jeden
mitdenken Wollenden(!) darlegt, wie er Zahlen bezeichnen will, deren
Quadrat gleich einer gegebenen Größe (Wert) ist, und in welcher Weise er
sie für praktische Rechnungen und Untersuchungen einsetzen will.

Für mich war es beruhigend, nicht nur die hämisch zitierte Anmerkung 147
lesen zu können, sondern die gesamte Passage mit der Begründung in 122.
Der Verweis auf ach so kluge Mathematiker, von denen Du auf diesen
"fürchterlichen Schnitzer" hingewiesen wurdest, ist nicht viel
erwachsener als die Drohung auf dem Kinderspielplatz: "Mein großer
Bruder wird dich verhauen!".

Gruß,
RR

[jvr]

On Wednesday, September 1, 2021 at 10:59:57 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

Da Professor Dr. Ganzhintermberg Mühe hat, mit Eulers Zweideutigkeiten
klar zu kommen, sei hier die Einleitung zu dem Kinderbüchlein zitiert. Übrigens
enthält die Reclam-Ausgabe auch eine ausführliche 'Biographisch-wissenschaftsgeschichtliche
Einleitung'.

Mithin: Der Schneiderlehring hat's verstanden, also müsste es Mücke eigentlich auch gelingen, wenn
er sich etwas Mühe geben würde. Vielleicht erklärt Euler sogar die dunklen, die durchsichtigen und
die schillernden, die irisierenden Zahlen.

Zitat:
Man überliefert hiermit den Liebhabern der höheren Rechenkunst ein Werk, davon schon vor zwei Jahren eine russische Übersetzung zum Vorschein gekommen ist.

Die Absicht des weltberühmten Verfassers den demselben war, ein Lehrbuch anzufertigen, aus welchem ein jeder ohne eigene Kenntnisse die Algebra leicht fassen und gründlich erlernen könnte.

Der Verlust seines Gesichts erweckte in ihm diesen Gedanken und durch seinen stets geschäftigen Geist angetrieben, zögerte er nicht, seinen Vorsatz umsetzen. Zu diesem Zwecke erwählte er sich einen jungen Menschen, den er mit sich aus Berlin zur Aufwertung genommen hatte und der ziemlich fertig rechnen kann, sonst aber nicht den geringsten Begriff von der Mathematik hatte: Er war seines Handwerks ein Schneider und gehörte, was seine Fähigkeiten betraf, zu den mittelmäßigen Köpfen. Dem ungeachtet hat er nicht nur alles wohl begriffen, was ihm sein großer Lehrer vorsagte und zu schreiben befahl, sondern er wurde dadurch in kurzer Zeit in die Lage versetzt, die in der Folge vorkommenden schweren Buchstaben-Rechnungen ganz alleine auszuführen und alle ihm vorgelegten algebraischen Aufgaben mit viel Fertigkeit zu lösen.

Dies preist um so viel mehr den Vortrag und die Lehrart des gegenwärtigen Werks an, da der Lehrling, der es geschrieben, begriffen und ausgeführt hat, ansonsten nicht die geringste Hilfe von irgendeinem anderen als seinem zwar berühmten, aber des Gesichts beraubten Lehrers genossen hat.

Außer diesem für sich schon großen Vorzug werden die Kenner besonders die Lehre von den Logarithmen und ihre Verbindung mit dem übrigen Rechnungsarten, so wie auch die für die Auflösung der kubischen und biquadratischen Gleichungen gegebenen Methoden mit Vergnügen lesen und bewundern. Die Liebhaber der diophantischen Aufgaben aber werden sich über den letzten Abschnitt des zweiten Teils freuen, in welchem diese Aufgaben in einem angenehmen Zusammenhang vorgetragen und alle zu ihrer Auflösung erforderlichen Kunstgriffe erklärt worden sind.

[jvr]

On Wednesday, September 1, 2021 at 10:59:57 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

Übrigens - falls Herr Professor Dr Ganzhintermberg sich zu Gemüte zu führen wünscht,
was Euler verstanden hat im Bezug auf Quadratwurzeln und ähnlich schwierige Themen,
so sei er auf Band 2, Nr. 127 etseq hingewiesen.
Bekanntlich geht exp(ix) = cos x + i*sin x auf Euler zurück. Daher war ihm sogar Mehrdeutigkeit
des Logarithmus klar usw usw

[Michael Klemm]

Ja, die Sprache Eulers ist völlig in Ordnung. Heute sagt man zum Beispiel, dass die Gleichung x^2 = 0 wie andere quadratische Gleichungen zwei Lösungen besitzt.

Gruß
Michael

[Alfred Flaßhaar]

Am 01.09.2021 um 18:58 schrieb Ralf Bader:

> On 09/01/2021 03:31 PM, Fritz Feldhase wrote:
>> On Wednesday, September 1, 2021 at 3:05:35 PM UTC+2, Rainer Rosenthal
>> wrote:
>>> Am 01.09.2021 um 13:31 schrieb Ganzhinterseher:
>>>> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um
>>>> 12:44:44 UTC+2:
>>>>

(...)

>
> Die Sache mit der Quadratwurzel ist bei Euler so oder so verkorkst, um
> es mal platt auszudrücken. Eine "Wurzel" die zwei Werte haben kann,
> bewirkt, daß ein Ausdruck wie W(a)+W(b) i.a. bereits 4 Werte haben kann.
> Euler war eben genial genug, um sich in diesen Fallstricken nicht zu
> verfangen, andere waren das wohl nicht.
>

Nicht umsonst wird in der deutschen Übersetzung von 1883 (Verlag Reclam,
liegt mir vor mit Nachdruck von 1959 mit einem exellenten biografischen
Vorwort von J. E. Hofmann, Stuttgart) im Kapitel 13 nach der vorherigen
Einführung der natürlichen/ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen
auch im Falle von "Wurzel aus negativer Zahl" von imaginären bzw.
unmöglichen Zahlen gesprochen im Gegensatz zu den vorher definierten
möglichen Zahlen. Was aus meiner Sicht im Buch etwas locker/unbegründet
gehandhabt wird ist die Anwendung der Wurzel-/Potenzrechenregeln auch
auf negative und damit auch auf unmögliche Zahlen. Das steht aber in
keinem Widerspruch zu dem, was heutzutage übliche Lehrmeinung ist.

Aus der Euler-Biografie von Rüdiger Thiele (liegt mir auch vor) ist mehr
indirekt zu schlußfolgern, daß das Buch "Vollständige Anleitung zur
Algebra" sicherlich nicht als richtungsweisendes Fundamentalwerk verfaßt
wurde. Vielmehr sollte es die Algebra möglichst verständlich der
interessierten Allgemeinheit zugängig gemacht werden. Dies würde auch am
ehesten Eulers Naturell als geduldigen verständnisvollen Lehrer entsprechen.

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 01:15:09 UTC+2:

> Oder kurz: W(1) = 1 ist genau so erlaubt wie W(1) = -1.
> Wie hier schon mehrfach gesagt, ist es eine Kinderei, dem großen Euler
> mit Spitzfindigkeiten zu kommen, wenn er ausführlich und für jeden
> mitdenken Wollenden(!) darlegt, wie er Zahlen bezeichnen will, deren
> Quadrat gleich einer gegebenen Größe (Wert) ist, und in welcher Weise er
> sie für praktische Rechnungen und Untersuchungen einsetzen will.

Dass auch -1 quadriert 1 ergibt, war ihm genau so klar wie uns heute. Das hat aber nichts mit dem Hauptwert der Wurzel zu tun. Weshalb wohl setzt er W(4) = 2? Kannst Du eine Stelle anführen, in der er die negative Wurzel wählt (außer der als fehlerhaft beanstandeten)?

>
> Für mich war es beruhigend, nicht nur die hämisch zitierte Anmerkung 147
> lesen zu können, sondern die gesamte Passage mit der Begründung in 122.

Dann wird Dich das folgende Zitat auch nicht beunruhigen, denn Du findest ja immer einen Ausweg: Eulers Einführung hat sich allgemein durchgesetzt, W(4) ist +2 und nicht -2, denn "so läßt man doch an diesem Orte gewöhnlich nur den Hauptwert, d.h. die reellen und positiven Lösungen gelten" (§ 97) Introductio in Analysin Infinitorum. (1748) Reprint der deutschen Übersetzung (Euler schrieb meistens Latein und nicht deutsch) Springer 1983.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Michael Klemm schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 10:35:17 UTC+2:

> Ja, die Sprache Eulers ist völlig in Ordnung. Heute sagt man zum Beispiel, dass die Gleichung x^2 = 0 wie andere quadratische Gleichungen zwei Lösungen besitzt.

Das sagte er auch. Leider haben einige "Experten" hier daraus geschlossen, dass sein Verständnis der Wurzel ein veraltetes war. Weit gefehlt! Er hat das moderne Verständnis in seinem wohl berühmtesten Buch Introductio in Analysin Infinitorum (1748)eingeführt, so wie vieles, was wir heute noch benutzen. Das ist sicher bemerkenswerter und wichtiger, als einen kleinen Fehler mit seinem veralteten Verständnis schönreden zu wollen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 18:58:43 UTC+2:

> Die Sache mit der Quadratwurzel ist bei Euler so oder so verkorkst, um
> es mal platt auszudrücken.

Das ist eine Beleidigung. Er hat lediglich einen Fehler gemacht. Kein Grund zu pauschaler Verurteilung.

> Eine "Wurzel" die zwei Werte haben kann,
> bewirkt, daß ein Ausdruck wie W(a)+W(b) i.a. bereits 4 Werte haben kann.
> Euler war eben genial genug, um sich in diesen Fallstricken nicht zu
> verfangen, andere waren das wohl nicht.

Nein, Euler hat einen klaren Ausweg beschrieben: Obwohl a^(5/2) an und für sich ebensowohl gleich -a^2*W(a) als gleich +a^2*W(a) sein kann, so kommt hier doch nur der letztere Wert dafür in Betracht.

"so läßt man doch an diesem Orte gewöhnlich nur den Hauptwert, d.h. die reellen und positiven Lösungen gelten" ist übrigens im Original gesperrt gedruckt. Er scheint dem also einige Wichtigkeit beigemessen zu haben.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Michael Klemm schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 20:59:17 UTC+2:

> Warum nicht? Weder unter Berlin noch Magdeburg in Richtung Erdmittelpunkt (wo?) ist "das" Meer. Da die Meeresabflächen sich nicht genau zu einer mathematischen Sphere zusammensetzen lassen, sind hier geeignete Konventionen von entscheidender Bedeutung.
>

Eine Differenz von 21 m lässt sich schon bestimmen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

jvr schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 23:50:33 UTC+2:
> Bei Euler kommen jede Menge Zweideutigkeiten
> vor. Etwa wenn er mit divergenten Reihen operiert und denen gelegentlich einen endlichen
> Wert zuschreibt. Wenn er = 'unendlich' schreibt, oder 'unendlich mal unendlich' usw.

Wenn er oo(oo+1)/2 schreibt, so ist das keine Zweideutigkeit, sondern Unsinn.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Alfred Flaßhaar schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 11:25:43 UTC+2:
> Was aus meiner Sicht im Buch etwas locker/unbegründet
> gehandhabt wird ist die Anwendung der Wurzel-/Potenzrechenregeln auch
> auf negative und damit auch auf unmögliche Zahlen. Das steht aber in
> keinem Widerspruch zu dem, was heutzutage übliche Lehrmeinung ist.

Ich weiß natürlich nicht, woher Du die heutige Lehrmeinung kennst. In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten. [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl.., De Gruyter, Berlin (2015)]

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

jvr schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 20:24:21 UTC+2:

> Es darf hier natürlich jeder jeden Unsinn erzählen. Aber wenn Anfänger wie du und
> Mückenheim meinen, sie hätten bei Euler Fehler gefunden, würde ich raten, nochmal
> zu überlegen, bevor ihr euch hier blamiert.

Doch, da gibt es mehrere.

>
> Zu Eulers Zeiten war die Ausdrucksweise anders als heute.
> Jede von Eulers Aussagen ist in irgendeinem Sinn korrekt.

Weshalb wundere ich mich nicht, dass Du sogar Cantors Transfinitien verteidigst? Jede von Cantors Aussagen ist doch in irgendeinem Sinn korrekt. Auf denn, lasst uns sinnstiftende Argumente finden. Für den Anfang kann man das aktual Unendliche mit dunklen Zahlen durchaus verteidigen.

> Wenn Mückenheim meint, er
> könne Fehler in Eulers elementarem Algebrabuch finden, dann werden ihn sogar seine
> ganzhinterwalder Schüler auslachen. Hoffentlich.

Ich erwähne bereits seit vielen Jahren in meiner Geschichte der Mathematik Vorlesung Eulers Fehler zur Höhe von Magdeburg, stets behaglich und mit dem Hinweis versehen, dass es jedem kleinen Gelehrten große Freude bereitet, einen kleinen Fehler bei einem der größten Gelehrten zu finden. Den Fehler im Algebrabuch habe ich in diesem Zusammenhang niemals erwähnt, sondern lediglich in der Mathematikvorlesung von der Anwendung abgeraten.

Gruß, WM

[Alfred Flaßhaar]

Angefangen hat es im Kindesalter mit:
Obadovics: Taschenbuch Elementarmathematik,
und Kleine Enzyklopädie Mathematik

Später kamen während des Studiums hinzu:
Smirnow: Lehrgang der Höheren Mathematik
Mangoldt/Knopp: Einführung in die Höhere Mathematik


Und parallel zu Letzterem hat sich im Laufe der Jahre ein großer
Bücherschrank mit Literatur zu speziellen Themen gefüllt. Sie alle
aufzuzählen habe ich keine Lust.

Meine Lieblingsbücher daraus sind die Bände von Nathanson,
Hewitt/Stromberg, Shilov/Gurevich, Michlin, Ljusternik/Sobolew, Kamke,
Pontrjagin, Szarski, ...

Der Alexandroff "Einführung in die Mengenlehre" steht auch dort, dürfte
Dir aber nicht gefallen, ebenso wie mir Dein Buch nur wenig zusagt.

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Gus Gassmann]

On Thursday, 2 September 2021 at 09:56:35 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
[...]
> [...] In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten. [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl.., De Gruyter, Berlin (2015)]

Was auch immer "verboten" in diesem Zusammenhang heissen soll. Eigentlich kam es mir nie in den Sinn zu denken, dass du darunter verstehen könntest, dass die Formel *immer* falsch sein muss, auch für a = b = 1 + 0*i. Aber bei deinem heutigen Geisteszustand kann man das leider nicht mehr ausschliessen.

[jvr]

In so kurzer Zeit soviel Unsinn erzählen - das kann nicht jeder.

Euler hat also gemeint, Magdeburg liege unterhalb und nicht oberhalb der Havelmündung? Und was schließen Sie daraus?
Dass keine Landkarte greifbar war? Dass er nicht so gut sehen konnte wie Sie? Sie meinen, dass die Opfer Ihrer Mathestunde
daraus wichtige Schlüsse ziehen können?

"In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten."

Und sowas kommt in einer "Vorlesung" eines "Professors" an einer "University of Technology" vor?

Ich gebe Ihnen noch folgendes mit auf den Weg: Euler schreibt (das ist jetzt echt):
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = log(log \infty)

Was sagt der hochgelehrte Professor dazu?

a) welch ein Unsinn?
b) was hat er damit gemeint?
c) wie kommt er darauf?

[Jens Kallup]

Am 02.09.2021 um 14:52 schrieb Ganzhinterseher:
> Wenn er oo(oo+1)/2 schreibt, so ist das keine Zweideutigkeit, sondern Unsinn.

euch ist auch klar, das Division vor Multiplikation kommt ?

(oo + 1) (oo - 1) * (oo + 1) = (oo^2 - 1)
---------- = ------------------- -----------
2 2

f(M) := { 0, ... , n-1 } => oo - 1 = 0

W(oo^2) = (oo - 1) / 2 => 0 - 0 = 0/2 = 0

[Ganzhinterseher]

jvr schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 18:06:43 UTC+2:
> On Thursday, September 2, 2021 at 3:07:50 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > jvr schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 20:24:21 UTC+2:
> >
> > > Es darf hier natürlich jeder jeden Unsinn erzählen. Aber wenn Anfänger wie du und
> > > Mückenheim meinen, sie hätten bei Euler Fehler gefunden, würde ich raten, nochmal
> > > zu überlegen, bevor ihr euch hier blamiert.
> > Doch, da gibt es mehrere.
> > >
> > > Zu Eulers Zeiten war die Ausdrucksweise anders als heute.
> > > Jede von Eulers Aussagen ist in irgendeinem Sinn korrekt.
> > Weshalb wundere ich mich nicht, dass Du sogar Cantors Transfinitien verteidigst? Jede von Cantors Aussagen ist doch in irgendeinem Sinn korrekt. Auf denn, lasst uns sinnstiftende Argumente finden. Für den Anfang kann man das aktual Unendliche mit dunklen Zahlen durchaus verteidigen.
> > > Wenn Mückenheim meint, er
> > > könne Fehler in Eulers elementarem Algebrabuch finden, dann werden ihn sogar seine
> > > ganzhinterwalder Schüler auslachen. Hoffentlich.
> > Ich erwähne bereits seit vielen Jahren in meiner Geschichte der Mathematik Vorlesung Eulers Fehler zur Höhe von Magdeburg, stets behaglich und mit dem Hinweis versehen, dass es jedem kleinen Gelehrten große Freude bereitet, einen kleinen Fehler bei einem der größten Gelehrten zu finden. Den Fehler im Algebrabuch habe ich in diesem Zusammenhang niemals erwähnt, sondern lediglich in der Mathematikvorlesung von der Anwendung abgeraten.

> In so kurzer Zeit soviel Unsinn erzählen - das kann nicht jeder.

Du führst es doch gerade wieder vor.

>
> Euler hat also gemeint, Magdeburg liege unterhalb und nicht oberhalb der Havelmündung? Und was schließen Sie daraus?

Dass er einen Fehler gemacht hat, indem er die Entfernung vom Zusammenfluss und den dadurch bedingte Höhenunterschied nicht berücksichtigt hat.

> Dass keine Landkarte greifbar war? Dass er nicht so gut sehen konnte wie Sie? Sie meinen, dass die Opfer Ihrer Mathestunde
> daraus wichtige Schlüsse ziehen können?

Ja, zum Beispiel, dass die u.a. hier herrschende Devotion vor Genies, die keinen Fehler zugeben darf, nicht angebracht ist.

> "In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten."
> Und sowas kommt in einer "Vorlesung" eines "Professors" an einer "University of Technology" vor?

University of Applied Sciences.

>
> Ich gebe Ihnen noch folgendes mit auf den Weg: Euler schreibt (das ist jetzt echt):
> 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = log(log \infty)
>
> Was sagt der hochgelehrte Professor dazu?
>
> a) welch ein Unsinn?
> b) was hat er damit gemeint?
> c) wie kommt er darauf?

Eulers Primzahlbeweis habe ich in der Geschichte der Mathematik auf Nachfrage auch schon gezeigt.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Gus Gassmann schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 15:56:14 UTC+2:
> On Thursday, 2 September 2021 at 09:56:35 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> [...]
> > [...] In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten. [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl.., De Gruyter, Berlin (2015)]
>
> Was auch immer "verboten" in diesem Zusammenhang heissen soll. Eigentlich kam es mir nie in den Sinn zu denken, dass du darunter verstehen könntest, dass die Formel *immer* falsch sein muss,

Das habe ich auch nicht gesagt. Außerdem enthält mein Buch nur Eulers Fehler. In der Vorlesung habe ich auf Nachfrage weitere Beispiele gezeigt.

Gruß, WM

[Ulrich Diez]

Ganzhinterseher schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 14:56:35 UTC+2:

> Ich weiß natürlich nicht, woher Du die heutige Lehrmeinung kennst. In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten. [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl.., De Gruyter, Berlin (2015)]

Ich habe mir auf die Schnelle folgendes überlegt:

W_{k} sei Kurzschreibweise für die Menge {t| t*t = k}

Wurzel(k) bzw W(k) sei Kurzschreibweise für
"ein (bestimmtes) Element der Menge W_{k}".

Z.B.: W_{4}={-2;2}

W(k) bedeute in diesem Posting also etwas anderes als
in den übrigen Postings der letzten Tage.

-----------------------------------------------------------------

In der Schule hat man gelernt:

Sei a+ib ; a in R; b in R eine komplexe Zahl.

Man erhält sämtliche Elemente, die die Menge W_{a+ib} ihrer
(Quadrat-)Wurzeln darstellen, indem man den Ausdruck

pm( sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2) + i*sgn(b)*sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2) )

für alle Fälle berechnet.

-----------------------------------------------------------------

( v -- nicht negatives reelles _V_ielfaches )

Für den Fall a = vA und b = vB ; v in R ; v >= 0 ist dies
äquivalent zu:

Sei vA+ivB ; A in R; B in R; v in R ; v >= 0 eine komplexe Zahl.

Man erhält die Elemente, die die Menge W_{vA+ivB}=W_{v(A+1B)} ihrer
(Quadrat-)Wurzeln darstellen, indem man den Ausdruck

pm( sqrt((sqrt((vA)^2+(vB)^2)+(vA))/2) + i*sgn(vB)*sqrt((sqrt((vA)^2+(vB)^2)-(vA))/2) )

für alle Fälle berechnet.

-----------------------------------------------------------------

Satz:

Sei vA+ivB ; A in R; B in R; v in R ; v >= 0 eine komplexe Zahl.

Die Elemente, die die Menge W_{vA+ivB}=W_{v(A+iB)} ihrer Quadratwurzeln
darstellen, kann man erhalten, sowohl,
indem man jedes Element von W_{A+iB} mit sqrt(v) multipliziert,
als auch,
indem man jedes Element von W_{A+iB} mit -sqrt(v) multipliziert.

Beweis:


Betrachtung für den Fall v = 0:

Es ist: W_{vA+ivB}=W_{v(A+iB)}=W_{0(A+iB)}=W_{0}={0}.

D.h. in diesem Fall ist 0 das einzige Element der Menge
W_{vA+ixB} = W_{v(A+iB)}.

In diesem Fall ist sqrt(v)=0 und -sqrt(v)=0.

Jedes Element der Menge W_{A+iB} mit 0 zu multiplizieren
läuft darauf hinaus, dass man nur das Element 0 erhält.


Betrachtung für den Fall v > 0:

Folgende Bedingungen sind in diesem Fall erfüllt:

A in R; B in R; v in R ; v > 0

In diesem Fall ist: v = abs(v).
In diesem Fall ist: sgn(vB) = sgn(B)
In diesem Fall erhält man sämtliche Elemente der Menge
W_{vA+ivB} = W_{v*(A+iB)}, bei der es sich um die Menge der
Quadratwurzeln der komplexen Zahl vA+ivB = v*(A+iB) handelt,
durch das Berechnen aller Fälle des folgenden Ausdrucks bzw
aller Fälle eines der auf diesen Ausdruck nachfolgenden
Ausdrücke:

pm(sqrt((sqrt((vA)^2+(vB)^2)+vA)/2) + i*sgn(vB)*sqrt((sqrt((vA)^2+(vB)^2)-vA)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

Innerhalb der Wurzeln v^2 ausklammern, ausserdem ist sgn(vB) = sgn(B):

= pm(sqrt((sqrt((v^2)(A^2+B^2))+vA)/2) + i*sgn(B)*sqrt((sqrt((v^2)(A^2+B^2))-vA)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

Da sowohl (v^2) als auch (A^2+B^2) reell und nicht negativ sind, kann man die
inneren Wurzeln zu Produkten "auseinanderziehen":

= pm(sqrt((sqrt(v^2)*sqrt(A^2+B^2)+vA)/2) + i*sgn(B)*sqrt((sqrt(v^2)*sqrt(A^2+B^2)-vA)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

Es ist sqrt(v^2) = abs(v):

= pm(sqrt((abs(v)*sqrt(A^2+B^2)+vA)/2) + i*sgn(B)*sqrt((abs(v)*sqrt(A^2+B^2)-vA)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

Mit v in R; v > 0 ist abs(v)=v:

= pm(sqrt((v*sqrt(A^2+B^2)+vA)/2) + i*sgn(B)*sqrt((v*sqrt(A^2+B^2)-vA)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

v ausklammern:

= pm(sqrt(v*(sqrt(A^2+B^2)+A)/2) + i*sgn(B)*sqrt(v*(sqrt(A^2+B^2)-A)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

Mit A in R und B in R ist
sowohl (sqrt(A^2+B^2)+A)/2) >=0 und (sqrt(A^2+B^2)+A)/2) in R
als auch (sqrt(A^2+B^2)-A)/2) >= 0 und (sqrt(A^2+B^2)-A)/2) in R.
Es ist auch v in R; v > 0

Also kann man wieder Produkte bilden:

= pm(sqrt(v)*sqrt((sqrt(A^2+B^2)+A)/2) + i*sgn(B)*sqrt(v)*sqrt((sqrt(A^2+B^2)-A)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

sqrt(v) ausklammern:

= sqrt(v) * pm( sqrt((sqrt(A^2+B^2)+A)/2) + i*sgn(B)*sqrt((sqrt(A^2+B^2)-A)/2)); A in R; B in R; v in R ; v > 0

Weil im hinteren Faktor "pm" steht, kann beim vorderen Faktor auch pm stehen, man erhält
dann jedes Element der Menge W_{A+iB} lediglich etwas öfter:

= pm(sqrt(v)) * pm( sqrt((sqrt(A^2+B^2)+A)/2) + i*sgn(B)*sqrt((sqrt(A^2+B^2)-A)/2) ); A in R; B in R; v in R ; v > 0

-----------------------------------------------------------------

Man kann jetzt auch sagen:

Multiplikation einer Wurzel der komplexen Zahl A+iB mit einer Wurzel
der nicht-negativen(!!!) reellen Zahl v ergibt eine Wurzel der
komplexen Zahl vA+viB = v(A+iB).

Oder auch so:

Es ist W(vA+viB) = W(v(A+iB)) = sqrt(v)*W(A+iB); A in R; B in R; v in R ; v >= 0

Es ist
entweder - mit W(v)=sqrt(v): W(vA+viB) = W(v(A+iB)) = W(v)*W(A+iB); A in R; B in R; v in R ; v >= 0
oder - mit W(v)=-sqrt(v): W(vA+viB) = W(v(A+iB)) = -W(v)*W(A+iB); A in R; B in R; v in R ; v >= 0.

Es gibt also Fälle, in denen die Umformung erlaubt ist.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ganzhinterseher]

Ulrich Diez schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 19:46:43 UTC+2:
> Ganzhinterseher schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 14:56:35 UTC+2:
>
> > Ich weiß natürlich nicht, woher Du die heutige Lehrmeinung kennst. In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten. [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl.., De Gruyter, Berlin (2015)]
> Ich habe mir auf die Schnelle folgendes überlegt:

Nicht nötig. In meinem Buch erwähne ich nur Eulers Fehler. Auf Nachfrage auch weitere Beispiele, aber natürlich gibt es auch Beispiele, die keine Probleme machen.

Gruß, WM

[Gus Gassmann]

Lesen kannst du mit Sicherheit auch nicht mehr. *DU* hast geschrieben:

"In meinem Buch jedenfalls wird W(a*b) = W(a)*W(b) für komplexe Zahlen ausdrücklich verboten."

Also solltest du eigentlich erklären können, was du mit diesem "Verbot" meinst. (Und nein, dein stinkiges Buch werde ich mir nicht zulegen, nur um dieses Zitat nachzuprüfen.)

[Fritz Feldhase]

On Thursday, September 2, 2021 at 7:46:43 PM UTC+2, Ulrich Diez wrote:

> Ich habe mir auf die Schnelle folgendes überlegt:
>
> W_{k} sei Kurzschreibweise für die Menge {t| t*t = k}
>

> Z.B.: W_{4}={-2;2}
>
> Wurzel(k) bzw W(k) sei Kurzschreibweise für
> "ein (bestimmtes) Element der Menge W_{k}".

Ja, das ist gar nicht so abwegig. In Hilberts epsilon-Kalkül (bzw. einem Prädikatenlogik erster Stufe, die um den epsilon-Operator erweitert ist) gibt es dafür sogar einen eigenen Operator (nämlich epsilon).

Da könnte man W() so definieren:

W(k) = epsilonx x e W_{k} (mit k e ...was auch immer...)

-------------------

In diese Zusammenhang vielleicht ganz interessant ist der Begriff der "multi-valued function":

https://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function

Da steht dann so was, wie

" wurzel(4) = {2, -2} "

Siehe_ https://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function#Examples

Sieht mir sehr nach Deinem W_{4} ={-2;2} aus. :-P

Also scheinst Du mit Deinen Überlegungen auf einem guten Weg zu sein. :-P

[Michael Klemm]

Euler hat ja gar nicht die Höhe über NN für Magdeburg bestimmt oder bestimmen wollen, wie Du unterstellst.
Gruß
Michael

[jvr]

Nee, Mücke, den Beweis der obenstehende Aussage haben Sie mit Sicherheit nicht 'gezeigt' und auch nicht
verstanden. Ganz nebenbei: Euler hat sie nicht bewiesen.
Sie verwechseln offenbar die Behauptung mit der einfacheren Aussage, dass die Reihe divergiert, was
Sie vermutlich auch nicht ohne abzuschreiben beweisen können.

[jvr]

Ich habe mir angeschaut, was Sie in letzter Zeit in diesem erlauchten Forum sonst alles zu erzählen gewusst
haben aus Ihrer regen Forschertätigkeit an der berühmten Hochschule für Gebrauchswissenschaften zu
Augsburg in Bayerisch-Schwaben.
Dabei wurde mir klar, dass Ihr Geisteszustand sich deutlich verschlechtert hat seit ich hier zum letztenmal
hineingeschaut habe.
Deshalb entschuldige ich mich, und gebe zu, dass die Frage nach der Konvergenz der Summe der reziproken
Primzahlen darauf zielte, Ihre unverschuldete Geistesschwäche zu demonstrieren. Ich ziehe diese Frage
deshalb in aller Form zurück und wünsche baldige Genesung.

[Ganzhinterseher]

Michael Klemm schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 21:11:26 UTC+2:
> Ganzhinterseher schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 14:49:12 UTC+2:
> > Michael Klemm schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 20:59:17 UTC+2:
> >
> > > Warum nicht? Weder unter Berlin noch Magdeburg in Richtung Erdmittelpunkt (wo?) ist "das" Meer. Da die Meeresabflächen sich nicht genau zu einer mathematischen Sphere zusammensetzen lassen, sind hier geeignete Konventionen von entscheidender Bedeutung.
> > >
> > Eine Differenz von 21 m lässt sich schon bestimmen.

> Euler hat ja gar nicht die Höhe über NN für Magdeburg bestimmt oder bestimmen wollen, wie Du unterstellst.

Wo unterstelle ich das? Es ging nur um den Höhenunterschied.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

jvr schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 22:10:50 UTC+2:

> > > Ich gebe Ihnen noch folgendes mit auf den Weg: Euler schreibt (das ist jetzt echt):
> > > 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = log(log \infty)
> > >
> > > Was sagt der hochgelehrte Professor dazu?
> > >
> > > a) welch ein Unsinn?
> > > b) was hat er damit gemeint?
> > > c) wie kommt er darauf?
> > Eulers Primzahlbeweis habe ich in der Geschichte der Mathematik auf Nachfrage auch schon gezeigt.

> den Beweis der obenstehende Aussage haben Sie mit Sicherheit nicht 'gezeigt' und auch nicht
> verstanden.

Auf Nachfrage extemporiere ich ihn gewöhnlich. Aber Du kannst ja einmal nachsehen, ob in der Niederschrift Fehler zu finden sind: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI02.PPT, Appendix.

> Ganz nebenbei: Euler hat sie nicht bewiesen.
Sie verwechseln offenbar die Behauptung mit der einfacheren Aussage, dass die Reihe divergiert,

Ein *Beweis* findet sich auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Primzahlen). Ob Euler ihn so geführt hat, möchte ich jetzt nicht nachprüfen, denn mein Thema ist der Beweis, dass Cantor irrte. Siehe dazu den neuen Thread.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, September 3, 2021 at 1:16:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> mein Thema ist der Beweis, dass Cantor irrte.

Ja, schon klar. Damit sind Sie ja nicht allein. Siehe:

Crank Dot Net | Cantor was wrong
| http://www.crank.net/cantor.html

[jvr]

On Friday, September 3, 2021 at 1:16:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> jvr schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 22:10:50 UTC+2:
>

[...]

> > > Eulers Primzahlbeweis habe ich in der Geschichte der Mathematik auf Nachfrage auch schon gezeigt.
> > den Beweis der obenstehende Aussage haben Sie mit Sicherheit nicht 'gezeigt' und auch nicht
> > verstanden.
> Auf Nachfrage extemporiere ich ihn gewöhnlich. Aber Du kannst ja einmal nachsehen, ob in der Niederschrift Fehler zu finden sind: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI02.PPT, Appendix.

[...]
Der erste Fehler ist auf Zeile 3.
Es ist fast unmöglich Material dieser Art abzuschreiben, ohne Fehler zu machen, wenn man keine Ahnung hat, worum es geht.

[Stephan Gerlach]

Ralf Goertz schrieb:
> Am Wed, 1 Sep 2021 09:37:27 +0200
> schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:
>
>> Gemäß Eulers Abschnitt 148 ist das hier korrekt:
>> 1 = W(1)*W(1) = W(1*1) = W((-1)*(-1)) = -1
>
> „Warum so kompliziert?“ 1=W(1)=-1 (noch SCHLIMMER)
>
>> Ich habe da aber echt ein Problem. Könnte Euler nicht treuherzig
>> fragen: "Warum so kompliziert? Ihr wisst doch, was ich meine, und nun
>> schreibt Ihr schon wieder 1 = ... = W(1*1) = ... = -1 und meint, Ihr
>> hättet mir einen Fehler nachgewiesen. Ich sag doch aber immer (s.
>> 122), dass sowohl W(1) = 1 als auch W(1) = -1 zulässige und wahre
>> Aussagen sind. Wozu die Pingelei?" (L. Euler, private communication).
>
> Ich bin ja eine bisschen neidisch auf deine(?) private Kommunikation mit
> Euler. Aber irgendwie gebe ich ihm Recht. Es ist klar, was gemeint ist.
> Das Gleichheitszeichen bei einer zweiwertigen Funktion zu verwenden,
> geht nur, wenn man weiß, was man tut.

Das Problem läßt sich ganz einfach dadurch beheben, indem man Indizes
benutzt:

W_1(1) = 1
W_2(1) = -1

Bei n-ten Wurzeln aus (irgendwelchen) komplexen Zahlen wird es ja auch
üblicherweise(?) so gemacht: Wn_1(z), Wn_2(z), ... Wn_n(z), wobei Wn
hier für die n-te(n) Wurzel(n) aus z steht.

> Und Euler wusste es.

Davon ist wohl auszugehen. Wobei, wenn man die Diskussion sieht, seine
Notation anscheinend noch nicht in jedem Fall so exakt - und dadurch
evtl. doppeldeutig und mißverständlich - war wie heute.
Bzw. er hat das offenbar eher lax gehandhabt.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Ganzhinterseher]

Stephan Gerlach schrieb am Freitag, 3. September 2021 um 19:06:22 UTC+2:

> Das Problem läßt sich ganz einfach dadurch beheben, indem man Indizes
> benutzt:
>
> W_1(1) = 1
> W_2(1) = -1
>
> Bei n-ten Wurzeln aus (irgendwelchen) komplexen Zahlen wird es ja auch
> üblicherweise(?) so gemacht: Wn_1(z), Wn_2(z), ... Wn_n(z), wobei Wn
> hier für die n-te(n) Wurzel(n) aus z steht.
>
> > Und Euler wusste es.
>
> Davon ist wohl auszugehen.

Das hat er ausdrücklich erwähnt.

> Wobei, wenn man die Diskussion sieht, seine
> Notation anscheinend noch nicht in jedem Fall so exakt - und dadurch
> evtl. doppeldeutig und mißverständlich - war wie heute.

Euler hat den Hauptwert, wenn nicht geschaffen, so doch jedenfalls verwendet.
Da gibt es nichts zu deuteln oder misszuverstehen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

jvr schrieb am Freitag, 3. September 2021 um 14:29:18 UTC+2:
> On Friday, September 3, 2021 at 1:16:48 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > jvr schrieb am Donnerstag, 2. September 2021 um 22:10:50 UTC+2:
> >
> [...]
> > > > Eulers Primzahlbeweis habe ich in der Geschichte der Mathematik auf Nachfrage auch schon gezeigt.
> > > den Beweis der obenstehende Aussage haben Sie mit Sicherheit nicht 'gezeigt' und auch nicht
> > > verstanden.
> > Auf Nachfrage extemporiere ich ihn gewöhnlich. Aber Du kannst ja einmal nachsehen, ob in der Niederschrift Fehler zu finden sind: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI02.PPT, Appendix.
> [...]
> Der erste Fehler ist auf Zeile 3.

Besten Dank. Werde ich demnächst berichtigen. Auch für weitere Meldungen stets dankbar.

> Es ist fast unmöglich Material dieser Art abzuschreiben, ohne Fehler zu machen, wenn man keine Ahnung hat, worum es geht.

Au contraire. Gerade wer nichts versteht, wird den letzten i-Punkt säuberlich nachzeichnen.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 01.09.2021 um 22:59 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 1. September 2021 um 21:40:59 UTC+2:
>>
>> Links steht -1 und rechts steht W(1), und Du bezeichnest die
>> Gleichsetzung als "Fehler". Sie ist ein Fehler nach heutiger Konvention,
>> aber W(1) = -1 ist kein Fehler nach Eulers Anmerkung 122.
>
> Das Ergebnis seiner Rechnung ist ein Fehler nach jeder Konvention, es sei denn man setzt in ein und derselben Zeile ohne weitere Erklärung mal das eine und mal das andere Vorzeichen. Aber Euler nutzt offensichtlich die heutige Konvention, denn wo er Wurzel tatsächlich zieht, sind sie positiv. Allein hier tut er es nicht. Das ist ein Fehler!

An anderer Stelle (Thread "Behauptung A: Jede Abbildung {0} U N --> N
ist nicht injektiv") ging es weiter:
Am 08.11.2021 um 11:55 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 08.11.2021 um 11:51 schrieb Ganzhinterseher:
>> Hast Du denn inzwischen wenigstens Eulers Fehler verstanden? Oder
auch noch nicht?
>>
> Doch, ich habe ihn verstanden. Aber ich habe ihm verziehen.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Um von eigenen Fehlern abzulenken, hat Ganzhinterseher (WM) später noch
einmal nachgehakt (Thread "Dunkle Zahlen - einfach erklärt"):
Am 17.11.2021 um 10:31 schrieb Ganzhinterseher:
> Was erwartest Du noch? Die von Dir geforderte Entschuldigung,
> dass ich Eulers Fehler genannt habe?

Ich hoffe, die weiteren Ablenkungsmanöver damit unterbunden zu haben.

Um aber auch was Konstruktives beizutragen:

Ganz wunderbar, dass Du auf Eulers Fehler hingewiesen hast.
Ich hatte in dem Zusammenhang gerne in seiner "Algebra" gestöbert.
Zu meiner großen Freude habe ich kürzlich ein Papier[1] des von Dir
leider unterschätzten Franz Lemmermeyer zu Gesicht bekommen, in dem er
sich auf Kapitel 12 im zweiten Abschnitt von Teil 2 der "Algebra"
bezieht (Seite 446 in meiner Reclam-Ausgabe, Punkt 181.)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[1] Euler’s trick and second 2-descents,
Franz Lemmermeyer, Öncil Öztürün
https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.391.8156&rep=rep1&type=pdf

[Jens Kallup]

ehm, Rainer,

irgendwie habe ich das Gefühl bekommen, das sich irgendwie *ALLES*
wiederholt, nur in anderer Art verpackt.

Habe Deinen Link mal aufgesucht, und mir kams echt schaurig meinen
Rücken runter, und mit anderen Formaten verglichen.

Bis auf die Zahlen und den Symbol-Wirrwahr, konnte ich ein Muster
feststellen, welches den normalen Schüler schon in der Klasse 8
beigebracht wird.

Damit meine ich auch die Formel: c ^2 = a ^2 + b ^2.

Dämmert mir da was ?

:-)

Grüße, und kölle Helau,

Euer Schreiberling, Jens

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 15:25:29 UTC+1:

> Ganz wunderbar, dass Du auf Eulers Fehler hingewiesen hast.

Wie ich schon sagte, habe ich das nicht Eulers wegen getan, sondern um mein Vorgehen gegen Einsprüche abzusichern.

> Ich hatte in dem Zusammenhang gerne in seiner "Algebra" gestöbert.
> Zu meiner großen Freude habe ich kürzlich ein Papier[1] des von Dir
> leider unterschätzten Franz Lemmermeyer zu Gesicht bekommen,

Ich schätze da überhaupt nichts, weder unter noch über, denn ich kenne seine Werke nicht und habe auch nicht vor, sie zu lesen. Ich habe nur festgestellt, dass er bewusst oder fahrlässig Verleumdungen gestreut hat, die sich ganz leicht widerlegen lassen, zum Beispiel über die undefinierte Menge reeller Zahlen und andere geradezu alberne Behauptungen.

Gruß, WM

[Ralf Bader]

Dann betrachten wir mal die Rezension der Rezension.
https://expydoc.com/doc/9455587/bedauerlicherweise-konnte-im-zentralblatt-die-rezension-m...

Lemmermeyer: "Unglücklicherweise setzt der Autor aber
seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik
(dazu zählen die Errungenschaften der letzt
en 2500 Jahre: die Existenz von Geraden,
Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung eini
ger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten
wie die von irrationalen Zahlen) au
ch in diesem “Lehrbuch” fort. "

Mückenheim: "Das ist falsch. Ich bestreite weder die Ex
istenz von irrationalen Zahlen noch die von ..."

Mückenheim, offensichtlich sind Sie bereits damit überfordert, den Sinn
der Lemmermeyerschen Aussage zu erfassen. Insbesondere behauptet
Lemmermeyer hier nicht, daß die Existenz irrationaler Zahlen im Machwerk
für die ersten Semester bestritten würde. Sie wurde von Ihnen an anderer
Stelle bestritten, in Ihrem "Feldzug", der in diesem "Lehrbuch"
fortgesetzt wird, mithin anderswo begonnen worden sein muß.

Lemmermeyer: "Das beginnt mit dem unsäglichen Vorwort,
in dem den Lesern erklärt wird, dass
praktisch alle Sätze, die in diesem Buch
bewiesen werden (oder auch nicht), falsch sind;
in den Worten des Autors: sie “leiden Ausnahmen”. "

Mückenheim: "Dieser Satz ist ein bekanntes Zitat von Abel zu
Sätzen Cauchys."

Ja und? Abel kann trotzdem nichts dafür, wenn Sie sich diesen Satz zu
eigen machen. Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.
Weiter steht in Ihrem Vorspann des Machwerks: "Mit der Endlichkeit einer
jeden Menge ist auch die Menge aller Ziffern einer Zahl endlich." Daraus
folgt allerdings, daß es keine irrationalen Zahlen gibt.

Mückenheim: "Mein [also Abels] Satz bezieht sich
darauf, dass es unmöglich ist und für im
mer bleiben wird, Irrationalzahlen wie
◊
2 oder
π
mit einem relativen Fehler < 1/2
10
100
ihres Wertes darzustellen. An dieser Tatsache bin
ich unschuldig. Ihre Erkenntnis sollte
nicht verdrängt oder bestraft werden. "

Die Behauptung ist, daß es zu jeder irrationalen Zahl und vorgegebenem
Fehler rationale Zahlen gibt, so daß die Differenz der Beträgre dieser
Zahlen den Fehler unterschreitet. Über eine "darstellbarkeit", was auch
immer das genau sein mag, wird damit weder etwas behauptet noch ausgesagt.

Mückenheim; "Selbstverständlich existieren irrational
e Zahlen, aber nicht ihre vollständigen
Dezimaldarstellungen. Das
sollte ein Mathematiker
zu unterscheiden wissen. "

Jetzt befinden wir uns in Ihrer Wahnwelt. Es wäre zu umständlich, das
hier aufzudröseln, aber kein Mathematiker ist der Ansicht, man könne
einen nichtabbrechenden Dezimalbruch Ziffer für Ziffer vollständig
aufschreiben, oder dergleichen. Dezimalbruchentwicklungen irrationaler
Zahlen sind ideale, nicht materielle Gegenstände.

Mückenheim: "ch lehne die Mengenlehre nicht ab. Ich lehne ihre
transfiniten Teile ab. Auch das sollte
ein Mathematiker zu
unterscheiden wissen. "

Die Mengenlehre besteht aus ihren "transfiniten Teilen".

Lemmermeyer: "doch dann erscheint auf S. 20 aus heite
rem Himmel folgende Definition: “Sei
α
eine
reelle Zahl. Eine lineare Abbildung f is
t eine Abbildung mit den Eigenschaften f(x
1
+ x
2
)
= f(x
1
)+f(x
2
) und f(
α
x) =
α
f(x).” Bei dieser Definition ist
so ziemlich alles falsch, was man
falsch machen kann: reelle Zahlen wurden noch nicht eingeführt; "

Mückenheim: "Die Zahlenmengen einschließlich der natür
lichen, ganzen, rationalen, reellen und
komplexen Zahlen werden auf
S. 8 eingeführt - übrigens in allen drei Auflagen. "

Dann schauen wir mal auf die S. 8; "Die Menge der reellen Zahlen ist
̧IR = { x | x besitzt eine Dezimaldarstellung }." Das ist also Ihrer
Meinung nach eine "Einführung" der reellen Zahlen, die, wie wir eben
erfahren haben, im Falle der Irrationalität KEINE vollständige
Dezimaldarstellung besitzen.

Lemmermeyer: "Definitionsbereich und Bildbereich der A
bbildung sind nicht festgelegt, wodurch die
Addition x
1
+x
2
, die der Bilder oder die Multiplikation mit
α
keinen Sinn macht"

Mückenheim: "Auf S. 19 ist definiert: A
bbildungen von Z
ahlenmengen auf Zahlen
mengen bezeichnet
man meist als
Funktionen
. Alle Folgen und alle Funkti
onen sind also Abbildungen.
Danach folgen Beispiele für Relationen mit Z
ahlen. Offensichtlich sind die Objekte aus
Definitionsbereich und Bildbereich solche,
für die Addition und Multiplikation definiert
sind. Es kann nicht erwartet werden, dass a
lle relevanten Definitionen auf jeder Seite
wiederholt werden. "

Mückenheim, Sie sollen nicht die Definition des Begriffs
Definitionsbereich wiederholen, sondern Sie sollen angeben, was der
Definitionsbereich einer "linearen Abbildung" ist, was hier im
wesentlichen bereits dadurch hätte geschehen können, daß diese
Abbildung, wenn die Terminologie schon eingeführt ist, als Funktion
deklariert worden wäre.

Und dann kommt noch der Kracher mit der Mückenheimschen "Verbesserung"
der Definition der Stetigkeit einer Funktion. Daß Sie zu blöde sind,
Mückenheim, zu verstehen, daß das so nicht geht, haben Sie bereits oft
genug nachgewiesen.

Es ist also in Lemmermeyers Rezension kein Fehler zu finden.

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 22:26:29 UTC+1:
> On 11/19/2021 10:39 AM, Ganzhinterseher wrote:

> Dann betrachten wir mal die Rezension der Rezension.
> https://expydoc.com/doc/9455587/bedauerlicherweise-konnte-im-zentralblatt-die-rezension-m...
>
> Lemmermeyer: "Unglücklicherweise setzt der Autor aber
> seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik
> (dazu zählen die Errungenschaften der letzt
> en 2500 Jahre: die Existenz von Geraden,
> Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung eini
> ger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten
> wie die von irrationalen Zahlen) au
> ch in diesem “Lehrbuch” fort. "
>
> Mückenheim: "Das ist falsch. Ich bestreite weder die Ex
> istenz von irrationalen Zahlen noch die von ..."
>
> Mückenheim, offensichtlich sind Sie bereits damit überfordert, den Sinn
> der Lemmermeyerschen Aussage zu erfassen. Insbesondere behauptet
> Lemmermeyer hier nicht, daß die Existenz irrationaler Zahlen im Machwerk
> für die ersten Semester bestritten würde.

Er behauptet eine Fortsetzung.

> Sie wurde von Ihnen an anderer
> Stelle bestritten, in Ihrem "Feldzug", der in diesem "Lehrbuch"
> fortgesetzt wird, mithin anderswo begonnen worden sein muß.

Nein, er lügt auch hier, genau so wie Du. Ich habe die Existenz von Kreisen, Geraden, oder irrationalen Zahlen nirgendwo bestritten. Lediglich Dezimaldarstellungen existieren nicht. Aber die gehören auch nicht zu den Errungenschaften der Mathematik. Außerdem behauptet er eine Fortsetzung in dem Buch, die nicht stattfindet, da sie niemals begonnen hat.

>
> Lemmermeyer: "Das beginnt mit dem unsäglichen Vorwort,
> in dem den Lesern erklärt wird, dass
> praktisch alle Sätze, die in diesem Buch
> bewiesen werden (oder auch nicht), falsch sind;
> in den Worten des Autors: sie “leiden Ausnahmen”. "
>
> Mückenheim: "Dieser Satz ist ein bekanntes Zitat von Abel zu
> Sätzen Cauchys."
>
> Ja und? Abel kann trotzdem nichts dafür, wenn Sie sich diesen Satz zu
> eigen machen.

Der Satz passt genau auf die Situation der Mathematik. Zahlen, die im gesamten Universum nicht darstellbar sind, sind nun einmal nicht darstellbar.

> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.

Für nicht darstellbare Zahlen sind die Sätze nicht anwendbar.

> Weiter steht in Ihrem Vorspann des Machwerks: "Mit der Endlichkeit einer
> jeden Menge ist auch die Menge aller Ziffern einer Zahl endlich." Daraus
> folgt allerdings, daß es keine irrationalen Zahlen gibt.

Nein, das folgt eben nicht. Jede gegen x konvergente Folge besitzt endlich viele definierbare Terme (auf die möglicherweise ℵo dunkle Terme folgen, möglicherweise auch ein großes Nichts) und dann der Grenzwert, der eine durch die Formel der Folge genau definierte Zahl ist, auch wenn sie keine Dezimaldarstellung besitzt.

>
> Mückenheim: "Mein [also Abels] Satz bezieht sich
> darauf, dass es unmöglich ist und für im
> mer bleiben wird, Irrationalzahlen wie
> ◊
> 2 oder
> π
> mit einem relativen Fehler < 1/2
> 10
> 100
> ihres Wertes darzustellen. An dieser Tatsache bin
> ich unschuldig. Ihre Erkenntnis sollte
> nicht verdrängt oder bestraft werden. "

So ist es.

>
> Die Behauptung ist, daß es zu jeder irrationalen Zahl und vorgegebenem
> Fehler rationale Zahlen gibt, so daß die Differenz der Beträgre dieser
> Zahlen den Fehler unterschreitet.

Diese Behauptung ist eben falsch. 10^10^100 Ziffern kann man nicht angeben und auch nicht besser approximieren.

> Mückenheim; "Selbstverständlich existieren irrational
> e Zahlen, aber nicht ihre vollständigen
> Dezimaldarstellungen. Das
> sollte ein Mathematiker
> zu unterscheiden wissen. "
>
> Jetzt befinden wir uns in Ihrer Wahnwelt. Es wäre zu umständlich, das
> hier aufzudröseln, aber kein Mathematiker ist der Ansicht, man könne
> einen nichtabbrechenden Dezimalbruch Ziffer für Ziffer vollständig
> aufschreiben, oder dergleichen.

Jeder Mathematiker, der an die Cantor-Liste glaubt und vor allem an überabzählbar viele reelle Zahlen, für die also keine Formel existiert, glaubt das. Auch wenn die meisten gar nicht wissen, dass sie das glauben.

> Dezimalbruchentwicklungen irrationaler
> Zahlen sind ideale, nicht materielle Gegenstände.

Mathematik ist auf materielle Realität angewiesen, jedenfalls wenn sie nicht bloßes Geschwafel sein soll.

>
> Mückenheim: "ch lehne die Mengenlehre nicht ab. Ich lehne ihre
> transfiniten Teile ab. Auch das sollte
> ein Mathematiker zu
> unterscheiden wissen. "
>
> Die Mengenlehre besteht aus ihren "transfiniten Teilen".

Die Mengenlehre besteht aus ihren sinnvollen und nützlichen Grundlagen wie dem Zeichensatz und Operationen zwischen endlichen Mengen. Der transfinite Teil ist falsch und damit jedenfalls mathematisch nutzlos.

Für Anfänger ist das völlig in Ordnung. Keiner meiner Studenten hat je versucht, reelle Zahlen mit mehr als 10^50 Ziffern zu schreiben. Und die Definition als Grenzwerte von Folge kann natürlich erst nach der Einführung von Folgen geschehen.

Alle Folgen und alle Funktionen sind Abbildungen. Abbildungen von Zahlenmengen auf Zahlenmengen bezeichnet man meist als Funktionen. Definitionsbereich, Wertebereich, Bildbereich. Alles schon geschehen.

>
> Und dann kommt noch der Kracher mit der Mückenheimschen "Verbesserung"
> der Definition der Stetigkeit einer Funktion. D

Ja, besser als alle Vorgängerversuche.

> daß das so nicht geht,

Dann zeige einmal, welche Vorteile die alte Definition haben soll.

>
> Es ist also in Lemmermeyers Rezension kein Fehler zu finden.

Wer von so blindem Hass und Vorurteil getrieben ist wie Du, dem mag das so erscheinen.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
> Und dann kommt noch der Kracher mit der Mückenheimschen "Verbesserung"
> der Definition der Stetigkeit einer Funktion. Daß Sie zu blöde sind,
> Mückenheim, zu verstehen, daß das so nicht geht, haben Sie bereits oft
> genug nachgewiesen.

Eine auch fuer Schueler gaengige, verstaendliche und handhabbare
Definition der Stetigkeit biete das "Epsilon-Delta-Kriterium":
"Eine Funktion heisst stetig in x0, wenn es fuer jedes Epsilon
groesser 0 ein Delta groesser 0 gibt, so dass aus |x-x0| < Delta
fogt, dass |f(x)-f(x0)< < Epsilon folgt fuer alle x aus dem
Definitionsbereich von f(); dass x0 aus dem Definitionsbereich
von f() sein soll, habe ich zwar nicht extra ausgefuehrt, aber
das sollte an dieser Stelle selbstverstaendlich sein).

Wie pflegt denn Herr Mueckenheim Stetigkeit zu definieren=

Tschuess,
Juegen Ilse (juergenqusenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.

Seit Goedel wissen wird, dass es noch eine dritte Moeglichkeit gibt:
Die Aussage kann "unentscheidbar" sein. Jede mathematische Theorie
ist entweder unvollstaendig (es gibt unentscheidbare Aussagen) oder
widerspruechlch (es lassen sich Widersprueche aus den Axiomen her-
leiten).

> Für nicht darstellbare Zahlen sind die Sätze nicht anwendbar.

Niemand kann die *vollstaendige* Dezimaldarstellung einer irrationalen
Zahl aufschreiben, aber es *existiert* eine solche Dezimaldarstellung,
deren endliche Teilfolgen die irrationale Zahl auf beliebige Genauigkeit
annaehern koennen. Sprich betrachtet man die Folge der endlichen Anfangs-
abschnitte dieser "unendllichen Dezimaldarstellun", so laesst sich fuer
jedes Epsilon groesser 0 eine natuerliche Zahl n finden, so dass alle
Folgenglieder mit einem Index groesser n "dichter am Grenzwert der Folge"
sprich an der irrationalen Zahl liegen.

Die Definition des Grenzwertes einer Folge kann man wie folgt formulieren:

x heisst Grenzwert der Zahlenfolge a(n), wenn es zu jedem Eosilon groesser
0 eine natuerliche Zahl n gibt, so dass aus m > n folgt, dass |a(m)-x|
kleiner als Epsilon ist (die Aehnlichkeit mit dem Epsilon-Delta-Kriterium
fuer die Stetigkeit ist unverkennbar).

Ich weiss nicht, ob es bei Herrn Mueckenheim ein Definition des
Grenzwertes gibt, ober ob bei ihm der Begriff des Grenzwerts
"intuitiv gegeben" und durch die "Logik" definiert ist ...).

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Dieter Heidorn]

Juergen Ilse schrieb:

> Wie pflegt denn Herr Mueckenheim Stetigkeit zu definieren?
>

So:

"Zur formalen Prüfung der Stetigkeit gibt es zwei äquivalente
Definitionen, die Epsilon-Delta-Definition und die Folgen-Definition.

Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0, wenn es
zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für alle
x e |R mit 0 < |x – x_0| < delta gilt |f(x) – f(x_0)| < eps.

Anmerkung: Eine heute weit verbreitete Definition fordert nur, dass
für alle x e D ( nicht |R ) mit |x – x_0| < delta gilt
|f(x) – f(x_0)| < eps. Damit sind auch Indexfunktionen stetig, was
jedoch dem Grundgedanken der Stetigkeit reeller Funktionen
zuwiderläuft.

Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0 e D , wenn
für jede Folge (x_n) mit xn =/= x_0 und Grenzwert x_0 gilt:
lim f(x_n) = f(x_0).
n-->inf
Da dies für jede Folge gelten muss, kann man auch
lim f(x) = f(x0) schreiben."
x->x0

(Math. f.d. ersten Sem., 3. Aufl., S.199)

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Dieter Heidorn schrieb:

[Juergen Ilse]

Hallo,

Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb:

>> Wie pflegt denn Herr Mueckenheim Stetigkeit zu definieren?
>
> So:
>
> "Zur formalen Prüfung der Stetigkeit gibt es zwei äquivalente
> Definitionen, die Epsilon-Delta-Definition und die Folgen-Definition.
>
> Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0, wenn es
> zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für alle

> x e |R ^E ^B mit 0 < |x – x_0| < delta gilt |f(x) – f(x_0)| < eps.

Was bedeuten hier die "^E" und "^B"? Und warum schreibt er da
0 < |x-x_0| < delta, wenn doch |x-x_0| < delta voellig ausreicht? Der Fall
x=x_0 muss als Trivialitaet nicht zwingend ausgeschlossen werden, und
der Betrag kann ohnehin niemals kleiner 0 sein.

> Anmerkung: Eine heute weit verbreitete Definition fordert nur, dass

> für alle x e D^E ^H ( nicht |R^B ) mit |x – x_0| < delta gilt

> |f(x) – f(x_0)| < eps. Damit sind auch Indexfunktionen stetig, was
> jedoch dem Grundgedanken der Stetigkeit reeller Funktionen
> zuwiderläuft.

???
Auch hier ist mir nicht unbedingt klar, was mit "^E", "^H" und "^B" gemeint
sein soll. Abegsehen davon: warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf
Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?

> Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0 ^Ee D , wenn
> für jede Folge (x_n) mit xn =/=^L x_0 und Grenzwert x_0 gilt:

> lim f(x_n) = f(x_0).
> n-->inf
> Da dies für jede Folge gelten muss, kann man auch
> lim f(x) = f(x0) schreiben."
> x->x0

Warum sollte man ein solches Kriterium verwenden? Da man daann die
Gernzwertbedingung fuer *jede* *beliebige* Folge mit diesem Grenzwert
beweisen muesste, ist dieses Kriterium in der Anwendung doch i.d.R,
*wesentlich* sperriger als das Epsilon-Delta-Kriterium und ich sehe
darin wirklich absolut keine Vorteile.

Danke fuer die Aufklaerung, wie er Stetigkeit in seinem Machwerk definiert.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Alfred Flaßhaar]

Am 21.11.2021 um 18:03 schrieb Juergen Ilse:
> Hallo,
>
> Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
>> Juergen Ilse schrieb:

(...)

>> Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0 ^Ee D , wenn
>> für jede Folge (x_n) mit xn =/=^L x_0 und Grenzwert x_0 gilt:
>> lim f(x_n) = f(x_0).
>> n-->inf
>> Da dies für jede Folge gelten muss, kann man auch
>> lim f(x) = f(x0) schreiben."
>> x->x0
>
> Warum sollte man ein solches Kriterium verwenden? Da man daann die
> Gernzwertbedingung fuer *jede* *beliebige* Folge mit diesem Grenzwert
> beweisen muesste, ist dieses Kriterium in der Anwendung doch i.d.R,
> *wesentlich* sperriger als das Epsilon-Delta-Kriterium und ich sehe
> darin wirklich absolut keine Vorteile.
>

Der Unterschied zur gleichmäßigen Stetigkeit wird für Einsteiger dadurch
evtl. deutlicher?

Wochenendgruß, Alfred Flaßhaar

[Jens Kallup]

Am 21.11.2021 um 18:03 schrieb Juergen Ilse:

> *wesentlich* sperriger als das Epsilon-Delta-Kriterium und ich sehe
> darin wirklich absolut keine Vorteile.

tjor, ich auch nicht.

|x - x_0| = {0}.

weil:
x := 0 => | 0 - 0_0 | = 0 => {0}.
| 0 - 0_1 | = 0
| 0 - 0_2 | = 0
...
x := 1 => | 1 - 1_0 | = 0 => {0}.
| 1 - 1_1 | = 0
| 1 - 1_2 | = 0
...

wird hier über die Zubereitung von Käse diskutiert ;-).
Spaß ...

Gruß, Jens

[Dieter Heidorn]

Juergen Ilse schrieb:

> Hallo,
>
> Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
>> Juergen Ilse schrieb:
>>> Wie pflegt denn Herr Mueckenheim Stetigkeit zu definieren?
>>
>> So:
>>
>> "Zur formalen Prüfung der Stetigkeit gibt es zwei äquivalente
>> Definitionen, die Epsilon-Delta-Definition und die Folgen-Definition.
>>
>> Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0, wenn es
>> zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für alle
>> x e |R ^E ^B mit 0 < |x – x_0| < delta gilt |f(x) – f(x_0)| < eps.
>
> Was bedeuten hier die "^E" und "^B"?

Das muss daran liegen, dass der Text, der Sonderzeichen enthält, aus
einem pdf kopiert wurde. Bei mir erschien der eingefügte Text dann
richtig - also ohne "^E" und "^B". Wenn sie bei dir auftreten kannst du
sie streichen. Es heißt natürlich (auch im Originaltext) richtig x e |R.

> Und warum schreibt er da
> 0 < |x-x_0| < delta, wenn doch |x-x_0| < delta voellig ausreicht?
>

Frag' mich was leichteres...

>> Anmerkung: Eine heute weit verbreitete Definition fordert nur, dass
>> für alle x e D^E ^H ( nicht |R^B ) mit |x – x_0| < delta gilt
>> |f(x) – f(x_0)| < eps. Damit sind auch Indexfunktionen stetig, was
>> jedoch dem Grundgedanken der Stetigkeit reeller Funktionen
>> zuwiderläuft.
>
> ??? > Auch hier ist mir nicht unbedingt klar, was mit "^E", "^H" und "^B"
gemeint
> sein soll.
>

Siehe oben.

> Abegsehen davon: warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf
> Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?
>
>> Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0 ^Ee D , wenn
>> für jede Folge (x_n) mit xn =/=^L x_0 und Grenzwert x_0 gilt:
>> lim f(x_n) = f(x_0).
>> n-->inf
>> Da dies für jede Folge gelten muss, kann man auch
>> lim f(x) = f(x0) schreiben."
>> x->x0
>
> Warum sollte man ein solches Kriterium verwenden? Da man daann die
> Gernzwertbedingung fuer *jede* *beliebige* Folge mit diesem Grenzwert
> beweisen muesste, ist dieses Kriterium in der Anwendung doch i.d.R,
> *wesentlich* sperriger als das Epsilon-Delta-Kriterium und ich sehe
> darin wirklich absolut keine Vorteile.
>
> Danke fuer die Aufklaerung, wie er Stetigkeit in seinem Machwerk definiert.
>

Gern geschehen.

Dieter Heidorn

[Carlo XYZ]

Juergen Ilse schrieb am 21.11.21 um 15:01:

> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
>>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.
>
> Seit Goedel wissen wird, dass es noch eine dritte Moeglichkeit gibt:
> Die Aussage kann "unentscheidbar" sein. Jede mathematische Theorie
> ist entweder unvollstaendig (es gibt unentscheidbare Aussagen) oder
> widerspruechlch (es lassen sich Widersprueche aus den Axiomen her-
> leiten).

Dir wurde schonmal erklärt, dass dies auf einer
unzulässigen Vereinfachung deinerseits besteht.
Vor allem der erste Satz ist einfach falsch:
"unentscheidbar" ist keine dritte Möglichkeit
neben "wahr" und "falsch", sondern eine spezielle
Art der Unbeweisbarkeit. Der zweite Satz ist auch
falsch. Zum Beispiel ist Presburger-Arithmetik
sowohl vollständig als auch widerspruchsfrei
und entscheidbar:

<https://de.wikipedia.org/wiki/Presburger-Arithmetik>

<http://www.philipp.ruemmer.org/princess.shtml>

Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
daran auszusetzen.

[Ganzhinterseher]

Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 21:38:10 UTC+1:

> >>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
> >>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.

> Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
> von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
> daran auszusetzen.

Aber ich. "Jede Irrationalzahl kann beliebig genau rational approximiert werden" ist falsch.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 18:38:59 UTC+1:
> Juergen Ilse schrieb:

> > Und warum schreibt er da
> > 0 < |x-x_0| < delta, wenn doch |x-x_0| < delta voellig ausreicht?
> >
> Frag' mich was leichteres...

Weil damit die Stetigkeit der Punktfolge f(n) = n für n ∈ ℕ ausgeschlossen wird.

> > Abegsehen davon: warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf
> > Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?

Ich bespreche nur reelle (und komplexe) Zahlen in meinem Buch. Ich möchte niemandem beibringen, dass f(n) = 1 für n ∈ ℕ eine stetige Funktion in ℝ ist.

Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Ganzhinterseher schrieb am 22.11.21 um 10:41:

Das bleibt dir unbenommen, nur solltest du dann damit
rechnen, in einer Matheprüfung durchzufallen.

Das hat aber nichts mit meiner Feststellung zu tun,
dann das von JI fälschlicherweise dir zugeordnete
Bezugszitat lautet so:

`Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze

prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie

sind wahr oder falsch.'

.. worin nichts von Irrationalzahlen zu lesen ist.

[Alfred Flaßhaar]

Am 22.11.2021 um 10:41 schrieb Ganzhinterseher:
> Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 21:38:10 UTC+1:
>
>>>>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
>>>>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.

Das ist ja auch nicht Steuerrecht.

>
>> Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
>> von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
>> daran auszusetzen.
>
> Aber ich. "Jede Irrationalzahl kann beliebig genau rational approximiert werden" ist falsch.
>

Kettenbrüche sind Dir anscheinend unbekannt? Da hast Du aber starke
Gegner: Perron, Olds, Khintchine, ... Die schaffst Du nicht.
Deine Beiträge zum Erkenntnisgewinn werden immer seltsamer ...

Gruß, Alfred Flaßhaar

[JVR]

Da heute Montag ist, bin ich bereit mich wieder an Ihrer Weiterbildung zu beteiligen:

1. Stetigkeit ist nicht eine Eigenschaft einer Funktion alleine, sondern
2. Stetigkeit einer Funktion wird mit Bezug auf die Topologie von Bild- und Urbildraum definiert
3. In Einführungsbüchern zur Analysis, speziell in solchen für Nichtmathematiker, wird in der Regel
immer nur von metrischen Räumen gesprochen. Jede Metrik induziert eine Topologie, weshalb man
sich um letztere nicht mehr kümmern muss und fröhlich und korrekt seine Schüler, die sowieso
nichts kapieren, mit Epsilon und Delta traktieren kann.
4. Summa summarum: Ob die Funktion f(n) = a_n, von N -> G, stetig ist, wobei G irgendein (topologischer) Raum
ist, hängt von der Topologie von N und G ab.
5. Soll ich Ihnen erklären, was eine Topologie ist? Nee, dazu habe ich keine Lust.

[Ganzhinterseher]

Alfred Flaßhaar schrieb am Montag, 22. November 2021 um 11:18:15 UTC+1:
> Am 22.11.2021 um 10:41 schrieb Ganzhinterseher:
> > Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 21:38:10 UTC+1:
> >
> >>>>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
> >>>>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.
> Das ist ja auch nicht Steuerrecht.
> >
> >> Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
> >> von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
> >> daran auszusetzen.
> >
> > Aber ich. "Jede Irrationalzahl kann beliebig genau rational approximiert werden" ist falsch.
> >
> Kettenbrüche sind Dir anscheinend unbekannt?

Was für eine gehässige Anschuldigung. Nein, sind sie nicht. Siehe zum Beispiel https://www.hs-augsburg.de/homes/mueckenh/GU/GU03.PPT, Folie 23.
Ich habe natürlich Dezimalbrüche gemeint. Selbstverständlich gibt es andere Approximationsmethoden, die voll greifen, zu Beispiel die entsprechenden Formeln für Folgen und Reihen (der Kettenbruch ist nichts weiter als eine solche Formel) oder die Darstellung in der Basis dieser Irrationalzahl.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Carlo XYZ schrieb am Montag, 22. November 2021 um 11:06:23 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb am 22.11.21 um 10:41:
> > Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 21:38:10 UTC+1:
> >
> >>>>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
> >>>>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.
> >
> >> Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
> >> von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
> >> daran auszusetzen.
> >
> > Aber ich. "Jede Irrationalzahl kann beliebig genau rational approximiert werden" ist falsch.
> Das bleibt dir unbenommen, nur solltest du dann damit
> rechnen, in einer Matheprüfung durchzufallen.

Ein intelligenter Prüfer würde sicher nach der Begründung fragen und diese auch verstehen.

>
> Das hat aber nichts mit meiner Feststellung zu tun,
> dann das von JI fälschlicherweise dir zugeordnete
> Bezugszitat lautet so:
>
> `Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie
> sind wahr oder falsch.'
>
> .. worin nichts von Irrationalzahlen zu lesen ist.

Die beliebig genaue Approximierbarkeit jeder Irrationalzahl ist ein solcher Satz. Er wurde bei Bader sogar zitiert: "Die Behauptung ist, daß es zu jeder irrationalen Zahl und vorgegebenem Fehler rationale Zahlen gibt, so daß die Differenz der Beträgre dieser
Zahlen den Fehler unterschreitet." Dieser Satz ist falsch. Viele andere sind falsch oder werden es für ausreichend große Zahlen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Montag, 22. November 2021 um 12:24:38 UTC+1:
> On Monday, November 22, 2021 at 10:52:44 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 18:38:59 UTC+1:
> > > Juergen Ilse schrieb:
> > > > Und warum schreibt er da
> > > > 0 < |x-x_0| < delta, wenn doch |x-x_0| < delta voellig ausreicht?
> > > >
> > > Frag' mich was leichteres...
> > Weil damit die Stetigkeit der Punktfolge f(n) = n für n ∈ ℕ ausgeschlossen wird.
> > > > Abegsehen davon: warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf
> > > > Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?
> > Ich bespreche nur reelle (und komplexe) Zahlen in meinem Buch. Ich möchte niemandem beibringen, dass f(n) = 1 für n ∈ ℕ eine stetige Funktion in ℝ ist.
> >

> 1. Stetigkeit ist nicht eine Eigenschaft einer Funktion alleine, sondern

Die Stetigkeit einer reellen Funktion im Raum ℝ oder ℝ^3 mit der von mit dort erklärten Metrik ist eine Eigenschaft dieser Funktion allein.

Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Ganzhinterseher schrieb am 22.11.21 um 14:54:

> Carlo XYZ schrieb am Montag, 22. November 2021 um 11:06:23 UTC+1:

>> .. worin nichts von Irrationalzahlen zu lesen ist.
>

> Die beliebig genaue Approximierbarkeit jeder Irrationalzahl ...

Ich sagte dir bereits, und das war auch schon zu Beginn an
klar ersichtlich, dass ich mich nicht auf Irrationalzahlen
bezog.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, November 21, 2021 at 6:03:07 PM UTC+1, Juergen Ilse wrote:
> Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb:
> > >
> > > Wie pflegt denn Herr Mueckenheim Stetigkeit zu definieren?
> > >
> > So:
> >
> > "Zur formalen Prüfung der Stetigkeit gibt es zwei äquivalente
> > Definitionen, die Epsilon-Delta-Definition und die Folgen-Definition.
> >
> > Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0, wenn es
> > zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für alle

> > x e IR mit 0 < |x – x_0| < delta gilt |f(x) – f(x_0)| < eps."

Es fällt auf, dass hier f offenbar auf ganz IR definiert sein muss, damit diese Definition "Sinn macht" (auf eine bestimmte Funktion f und ein x ihres Definitionsbereichs angewendet werden kann).

Das ist natürlich unsinnig. Damit könnte man dann nicht eimal die Funktion f: IR \ {0} --> IR mit f(x) = 1/x für alle x e IR \ {0} --> IR auf Stetigkeit hin untersuchen. Ist f im Punkt x = 1 stetig?

> warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?

Gute Frage. Siehe meine Überlegung oben.

Die Angabe eines Definitionsbereichs D_f c IR für f scheint in diesem Zusammenhang sinnvoll und zweckmäßig zu sein.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion#Definition

Hier zeigt sich die selbe Schwäche, die Franz L. schon im Hinblick auf "lineare Abbildungen" angemahnt hat:

"...dann erscheint auf S. 20 aus heiterem Himmel folgende Definition: “Sei α eine reelle Zahl. Eine lineare Abbildung f ist eine Abbildung mit den Eigenschaften f(x1 + x2) = f(x1)+f(x2) und f(αx) = αf(x).” Bei dieser Definition ist so ziemlich alles falsch, was man falsch machen kann [...] Definitionsbereich und Bildbereich der Abbildung sind nicht festgelegt [etc.]"

Ganz offensichtlich hat Herr Mückenheim nicht verstanden, was eine Abbildung (bzw. Funktion) ist und wie sie in der heutigen Mathematik definiert ist.

Seine Auslassungen in Bezug auf die von Cantor angegebene Abbildung von IN auf die Menge der (nicht neg.) Brüche haben das ja schon zur Genüge deutlich gemacht.

[JVR]

On Monday, November 22, 2021 at 4:45:24 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:
> On Sunday, November 21, 2021 at 6:03:07 PM UTC+1, Juergen Ilse wrote:
> > Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
> > > Juergen Ilse schrieb:
> > > >
> > > > Wie pflegt denn Herr Mueckenheim Stetigkeit zu definieren?
> > > >
> > > So:
> > >
> > > "Zur formalen Prüfung der Stetigkeit gibt es zwei äquivalente
> > > Definitionen, die Epsilon-Delta-Definition und die Folgen-Definition.
> > >
> > > Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0, wenn es
> > > zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für alle
> > > x e IR mit 0 < |x – x_0| < delta gilt |f(x) – f(x_0)| < eps."
>
> Es fällt auf, dass hier f offenbar auf ganz IR definiert sein muss, damit diese Definition "Sinn macht" (auf eine bestimmte Funktion f und ein x ihres Definitionsbereichs angewendet werden kann).
>
> Das ist natürlich unsinnig. Damit könnte man dann nicht eimal die Funktion f: IR \ {0} --> IR mit f(x) = 1/x für alle x e IR \ {0} --> IR auf Stetigkeit hin untersuchen. Ist f im Punkt x = 1 stetig?
> > warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?
> Gute Frage. Siehe meine Überlegung oben.
>

Weil man den Begriff nicht verstanden hat, zum Beispiel.
Mückenheims Schwierigkeiten beginnen mit den Grundbegriffen der Analysis -
Stetigkeit und Limes. Die wird er auch nie überwinden.

[Ralf Bader]

In der Tat. Eine übliche Definition der Stetigkeit geht dann so:
Sei D c IR, f:D->IR eine Funktion, x0 e D. Dann ist f stetig in x0, wenn
gilt: Zu jedem eps>0 existiert delta>0, so daß für alle x e D mit
|x-x0|<delta gilt: |f(x)-f(x0)|<eps.

Damit ist insbesondere jede Funktion, deren Definitionsbereich eine
diskrete Teilmenge von IR, z.B. IN oder gar nur ein einzelner Punkt
ist, stetig. Das mißfällt Mückenheim, und deshalb steht in seinem
Machwerk eine epochale Verbesserung dieser Definition:
Sei D c IR, f:D->IR eine Funktion, x0 e D. Dann ist f stetig in x0, wenn
gilt: Zu jedem eps>0 existiert delta>0, so daß für alle x e IR mit
|x-x0|<delta gilt: |f(x)-f(x0)|<eps.

Das ist Blödsinn, weil ja gar nicht alle x e IR mit |x-x0|<delta in D
liegen müssen. Nach Mückenheimlogik folgt aber aus der Klausel "daß für
alle x e IR mit |x-x0|<delta gilt:...", daß dies der Fall sei; d.h.,
nach Mückenheimlogik impliziert eine Aussage der Form Ax:P(x), daß für
alle x dieses P(x) wohldefiniert sei.

Andere Autoren erreichen den von Mückenheim gewünschten Ausschluß
diskreter Punkte bei der Stetigkeit durch folgende Fassung:
Sei D c IR, f:D->IR eine Funktion, und in D liege ein x0 enthaltendes
offenes Intervall...

Deshalb ist Mückenheims Machwerk das einzige mir bekannte Buch, in dem
die Definition der Stetigkeit verkorkst ist.

[Torn Rumero DeBrak]

Kleines Beispiel:

Nehmen wir einmal die Menge M = { 1, 2 }. Auf ihr gibt es z.B. die
Topologien T1 = { {}, {1, 2} } und T2 = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }.

Die Funktion
f: (M, T2) -> (M, T1), mit f(1) = 2 und f(2) = 1 ist nun stetig
(denn jedes Urbild eine Elementes aus T1 ist ein Element von T2)

während die Funktion
g: (M, T1) -> (M, T2), mit g(1) = 2 und g(2) = 1 nicht stetig ist
(denn das Urbild von z.B. {1} ist nicht in T1).

D.h.: auch wenn die Zuordnungsvorschriften zweier Funktionen gleich sind
und sie dieselben Definitionsmengen und Bildmengen besitzen, so hängt
die Eigenschaft "Stetigkeit" doch von den verwendeten Topologien ab.

Bemerkung: Da ja g die Umkehrabbildung von f ist, haben wir hier ein
Beispiel einer stetigen Funktion, deren Umkehrfunktion nicht stetig ist.

[Ralf Bader]

Was ist denn in Ihrem Verhau eine "Formel" oder eine "voll greifende
Approximationsmethode"? Naja, das haben Sie ja schon früher nicht
gewußt. Ein unregelmäßiger Dezimalbruch ist also keine "Formel", ein
unregelmäßiger Kettenbruch aber schon. Wenn Ihre, mit den Gewohnheiten
von Trollen unvereinbare, Produktion mehrhundertseitiger Ergüsse über
Ihren Krampf dies nicht ausschließen würde, würde man vermuten, daß Sie
einen mit Ihrem idiotischen Scheiß verarschen wollen.

[Ganzhinterseher]

Eine endliche Formel wie die Summe für e oder der Kettenbruch für die stetige Teilung.

> Ein unregelmäßiger Dezimalbruch ist also keine "Formel", ein
> unregelmäßiger Kettenbruch aber schon.

Nein, nur Kettenbrüche, die durch endliche Formeln darstellbar sind, sind selbst endliche Formeln, zum Beispiel Brounckers 4/pi oder Eulers pi/2. Eulers Ableitung von Brounckers Kettenbruch ist hier im Anhang angegeben: https://www.hs-augsburg.de/homes/mueckenh/HI/HI03.PPT, die auf der nächsten Seite folgende Kettenbruchentwicklung für pi ist keine endliche Formel.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Montag, 22. November 2021 um 18:58:32 UTC+1:
> On 11/22/2021 04:45 PM, Fritz Feldhase wrote:
> > On Sunday, November 21, 2021 at 6:03:07 PM UTC+1, Juergen Ilse

> >>> Definition. Die Funktion f(x) ist genau dann stetig in x_0, wenn
> >>> es zu jeder Zahl eps > 0 eine Zahl delta > 0 gibt, so dass für
> >>> alle x e IR mit 0 < |x – x_0| < delta gilt |f(x) – f(x_0)| <
> >>> eps."
> >
> > Es fällt auf, dass hier f offenbar auf ganz IR definiert sein muss,
> > damit diese Definition "Sinn macht" (auf eine bestimmte Funktion f
> > und ein x ihres Definitionsbereichs angewendet werden kann).

Nein, das ist nicht der Fall. Wie kommst Du auf diese falsche Idee? Das würde doch ebenso für |x – x_0| < delta gelten wie für 0 < |x – x_0| < delta.

> >
> > Das ist natürlich unsinnig. Damit könnte man dann nicht eimal die
> > Funktion f: IR \ {0} --> IR mit f(x) = 1/x für alle x e IR \ {0} -->
> > IR auf Stetigkeit hin untersuchen. Ist f im Punkt x = 1 stetig?

Natürlich kann man das. Sie ist in jedem Punkte x > 0 stetig.

> Andere Autoren erreichen den von Mückenheim gewünschten Ausschluß
> diskreter Punkte bei der Stetigkeit durch folgende Fassung:
> Sei D c IR, f:D->IR eine Funktion, und in D liege ein x0 enthaltendes
> offenes Intervall...

Also wird x - x_0 > 0 erreicht. Genau wie bei mir.

>
> Deshalb ist Mückenheims Machwerk das einzige mir bekannte Buch, in dem
> die Definition der Stetigkeit verkorkst ist.

Also hast Du sie immer noch nicht verstanden. Das ändert nichts an der Qualität.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Auch nicht auf den Satz von Bolzano Weierstrass? Mein Zitat von Abel habe ich jedenfalls auf solche Fälle bezogen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 22. November 2021 um 16:45:24 UTC+1:
> On Sunday, November 21, 2021 at 6:03:07 PM UTC+1, Juergen Ilse wrote:

> > warum sollte man die Stetigkeit zwingend auf Funktionen mit den reellen Zahlen als Definitionsmenge beschraenken?

Ich tat es, weil ich nur diesen Fall behandele.

Gruß, WM

[Ralf Bader]

Offenkundig sind Sie zu blöde, um zu erfassen, was ich geschrieben habe.
Denn wie eigentlich immer haben Sie das Wichtige weggestrichen und
kaprizieren sich in dämlichen Antworten auf das Nebensächliche. Nicht
offenkundig, aber sehr wahrscheinlich sind Sie sogar zu dämlich, um zu
sehen, wer hier was geschrieben hat. Weshalb Sie mich mit Ihrem
dämlichen "wird x - x_0 > 0 erreicht" vollquatschen, verstehe wiederum
ich nicht (aber es interessiert mich auch nicht wirklich).

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 21:38:10 UTC+1:
>> >>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
>> >>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.
>
>> Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
>> von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
>> daran auszusetzen.

Ich habe nie behauptet, dass das von WM gewesen waere.

> Aber ich. "Jede Irrationalzahl kann beliebig genau rational approximiert werden" ist falsch.

Nein (zuminndest sofern mit "beliebig genau" gemeint ist: fuer jede
irrationale Zahl fuer jedes epsilon>0 existiert eine rationale
Annaeherung der irrationalen Zahl, die sich von der rationalen
Annaeherung um weniger als epsilon unterscheidet). Nein der Fall
epsilon=0 ist damit nicht eingeschlossen, weil dann waere epsilon
ja nicht groesser 0 ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Aber ich. "Jede Irrationalzahl kann beliebig genau rational approximiert werden" ist falsch.
>> Das bleibt dir unbenommen, nur solltest du dann damit
>> rechnen, in einer Matheprüfung durchzufallen.

In einer *echten* Mathematik vorlesung (nicht in dem Geschwurbel, dass
SIE den Studenten unterzujubeln versuchen) ist die Behauptung, jede
irrationalzahl liesse sich beliebig genau durch rationale Zahlen
approximieren, *wahr*.

> Die beliebig genaue Approximierbarkeit jeder Irrationalzahl ist ein solcher Satz. Er wurde bei Bader sogar zitiert: "Die Behauptung ist, daß es zu jeder irrationalen Zahl und vorgegebenem Fehler rationale Zahlen gibt, so daß die Differenz der Beträgre dieser
> Zahlen den Fehler unterschreitet." Dieser Satz ist falsch.

Ist er nicht.

> Viele andere sind falsch oder werden es für ausreichend große Zahlen.

Vielleicht in der Mueckematik, aber das ist eben ein gravierender
Unterschied zwischen IHRER "Mueckematik" und echter "Mathematik".

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Carlo XYZ <carl...@invalid.invalid> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am 21.11.21 um 15:01:
>
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>>>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
>>>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.
>>
>> Seit Goedel wissen wird, dass es noch eine dritte Moeglichkeit gibt:
>> Die Aussage kann "unentscheidbar" sein. Jede mathematische Theorie
>> ist entweder unvollstaendig (es gibt unentscheidbare Aussagen) oder
>> widerspruechlch (es lassen sich Widersprueche aus den Axiomen her-
>> leiten).
>
> Dir wurde schonmal erklärt, dass dies auf einer
> unzulässigen Vereinfachung deinerseits besteht.

Ich haette "jedes hinreichend komplexe rekursiccv aufzaehlbare formale
System" statt "jede mathematische Theorie" schreiben muessen.

> Vor allem der erste Satz ist einfach falsch:
> "unentscheidbar" ist keine dritte Möglichkeit
> neben "wahr" und "falsch", sondern eine spezielle
> Art der Unbeweisbarkeit.

Was man nicht beweisen kann, ist (ohne entsprechende Erweiterung des
Axiomensystems, was dann aber die mathematischwe Theorie *veraendern*
wuerde) weder beweisbar wahr noch beweisbar falsch. Oder anders formu-
liert: Fuer eine unentscheidbare (nicht beweisbare) Aussage A kann
sowohl "A" als auch "nicht A" als Axiom zum bisherigen Axiomensystem
hinzugefuegt werden, und das so entstaandene neue Axiomensystem ist
genau dann widerspruchsfrei, wenn das urspruengliche Axiomensystem wider-
spruchsfrei war.

> Der zweite Satz ist auch
> falsch. Zum Beispiel ist Presburger-Arithmetik
> sowohl vollständig als auch widerspruchsfrei
> und entscheidbar:
>
> <https://de.wikipedia.org/wiki/Presburger-Arithmetik>

Du hast recht. Die Presburger-Arithmetik ist im Sinne des ersten Goelschen
Unvollstaendigkeitssatzes nicht "hinreichend komplex", da darin die Multi-
plikation der natuerlichen Zahlen nicht darstellbar ist.

> Außerdem stammt das Zitat nicht von WM, sondern
> von Ralf Bader, und ich habe inhaltlich nichts
> daran auszusetzen.

Das es kein WM-Zitat ist, ist aus der Anzahl der Quote-Zeichhen fuer
jeden, der darrauf achtet problemlos erkennbar. Ich haette vielleicht
die weitere Einleitungszeile mitzitieren sollen (zugegeben), aber der
Satz wurde von mir nur mitzitiert, um den Kontext der von WM zitierten
Aussage zu erhalten.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Alfred Flaßhaar]

Am 23.11.2021 um 19:14 schrieb Juergen Ilse:
(...)

> Nein (zuminndest sofern mit "beliebig genau" gemeint ist: fuer jede
> irrationale Zahl fuer jedes epsilon>0 existiert eine rationale
> Annaeherung der irrationalen Zahl, die sich von der rationalen
> Annaeherung um weniger als epsilon unterscheidet). Nein der Fall
> epsilon=0 ist damit nicht eingeschlossen, weil dann waere epsilon
> ja nicht groesser 0 ...
>

... und eine irrationale Zahl wäre dann plötzlich rational. Hört doch
endlich mal auf, über sinnloses Zeug zu diskutieren.

SCNR

[Carlo XYZ]

Juergen Ilse schrieb am 23.11.21 um 19:40:

>>>> Ändert aber nichts daran, daß mathematische Sätze
>>>> prinzipiell keine "Ausnahmen leiden", sondern sie sind wahr oder falsch.

>>> Seit Goedel wissen wird, dass es noch eine dritte Moeglichkeit gibt:
>>> Die Aussage kann "unentscheidbar" sein. Jede mathematische Theorie
>>> ist entweder unvollstaendig (es gibt unentscheidbare Aussagen) oder
>>> widerspruechlch (es lassen sich Widersprueche aus den Axiomen her-
>>> leiten).
>>
>> Dir wurde schonmal erklärt, dass dies auf einer
>> unzulässigen Vereinfachung deinerseits besteht.
>
> Ich haette "jedes hinreichend komplexe rekursiccv aufzaehlbare formale
> System" statt "jede mathematische Theorie" schreiben muessen.
>
>> Vor allem der erste Satz ist einfach falsch:
>> "unentscheidbar" ist keine dritte Möglichkeit
>> neben "wahr" und "falsch", sondern eine spezielle
>> Art der Unbeweisbarkeit.
>
> Was man nicht beweisen kann, ist (ohne entsprechende Erweiterung des
> Axiomensystems, was dann aber die mathematischwe Theorie *veraendern*
> wuerde) weder beweisbar wahr noch beweisbar falsch. Oder anders formu-

Das ist nicht richtig. Für jede Theorie steht für jede in ihrer Sprache
formulierte Aussageform eindeutig fest, ob sie wahr ist (d.h.: zur
Theorie gehört) oder nicht (d.h.: nicht zur Theorie gehört). Oben
behauptetest du allerdings, es gäbe noch eine dritte Möglichkeit.

> liert: Fuer eine unentscheidbare (nicht beweisbare) Aussage A kann
> sowohl "A" als auch "nicht A" als Axiom zum bisherigen Axiomensystem
> hinzugefuegt werden, und das so entstaandene neue Axiomensystem ist
> genau dann widerspruchsfrei, wenn das urspruengliche Axiomensystem wider-
> spruchsfrei war.

"Spezielle Art der Unbeweisbarkeit" soll ausgeschrieben bedeuten:
"Algorithmisch nicht beweisbar": d.h., es gibt keinen Algorithmus,
der für eine in der Sprache der Theorie formulierte Aussageform
mit "ja" bzw. mit "nein" stoppt, je nachdem, ob sie wahr oder
falsch ist. Dies ist die heute allgemein übliche (und auch die
Gödels Unentscheidbarkeitssatz und per Fortsetzung auch seinem
Unvollständigkeitssatz zugrunde liegende) Definition des Begriffs
"unentscheidbar", selbst wenn er gelegentlich (und offenbar auch
bei dir) anders in Gebrauch sein sollte.

Was du demgegenüber oben beschreibst, ist gemeinhin die Eigenschaft
"unvollständig" und nicht die Eigenschaft "unentscheidbar": d.h.,
die Eigenschaft, dass es eine Aussage derart gibt, dass die Theorie
konsistent (anders gesagt: widerspruchsfrei) bleibt, ob man nun diese
Aussage als wahr oder als falsch annimmt. Insbesondere kann diese
Aussage nicht /in der Theorie selbst/ bewiesen werden; was aber nicht
ausschließt, dass eine andere Theorie existiert, in der sie bewiesen
werden kann.

Bringt man beide Begriffe zusammen, gibt es sowohl entscheidbare
unvollständige, als auch unentscheidbare vollständige Theorien.
Entscheidbare und vollständige hatten wir ja schon. Natürlich
gibt es auch welche, die unentscheidbar und unvollständig sind.

<https://en.wikipedia.org/wiki/Gödel%27s_incompleteness_theorems>

<https://math.stackexchange.com/questions/3017207/example-of-incomplete-but-decidable-theory-and-of-complete-and-undecidable-the>

<https://math.stackexchange.com/questions/3537792/if-a-theory-is-incomplete-does-that-mean-there-is-a-formula-which-is-undecidabl>

[Carlo XYZ]

Carlo XYZ schrieb am 24.11.21 um 03:01:

> Das ist nicht richtig. Für jede Theorie steht für jede in ihrer Sprache
> formulierte Aussageform eindeutig fest, ob sie wahr ist (d.h.: zur
> Theorie gehört) oder nicht (d.h.: nicht zur Theorie gehört).

Ergänzung: Denn allgemein wird eine Theorie einfach als eine Menge von
"wahren" (bzw. als "wahr" designierten) Aussageformen definiert; alle
anderen sind per Definition "falsch". Siehe:

<https://en.wikipedia.org/wiki/Theory_(mathematical_logic)#General_theories_(as_expressed_in_formal_language)>

[Fritz Feldhase]

Dann "behandeln" Sie also die Funktion f(x) = 1/x mit D_f = IR \ {0} offenbar nicht. Das ist wirklich sehr bedauerlich. Auch log(x) wird dann einen ziemlich schweren Stand haben bei Ihnen, ja sogar schon sqrt(x), etc.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, November 23, 2021 at 12:04:10 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > On 11/22/2021 04:45 PM, Fritz Feldhase wrote:

> > > Es fällt auf, dass hier f offenbar auf ganz IR definiert sein muss,
> > > damit diese Definition "Sinn macht" (auf eine bestimmte Funktion f
> > > und ein x ihres Definitionsbereichs angewendet werden kann).
> > >
> Nein, das ist nicht der Fall.

Doch, das ist bei Ihrer Definition der Fall.