Und nochmal Geometrie: Perplex (nicht komplex)

[Udo]

Vorgestellt wird eine Optimierungs-Aufgabe (MiniMax-Aufgabe), die an
mehreren Stellen im Netz zu finden ist.

Zunächst die Aufgabenstellung:
Eine V-förmige Rinne soll aus einem 30 cm breiten Blechstreifen so
geformt werden, dass der Durchfluss (Querschnitt) maximal wird.
Welche Breite b und welche Höhe h muss die Rinne bekommen, damit
möglichst viel Wasser hindurchströmt, wenn sie randvoll gefüllt ist.
Skizze: https://ibb.co/ygQCHsT Figur 1

Man findet diese Aufgabe mit Lösung z.B. hier:

https://dk4ek.de/mathematik/extrem.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=Cn0zLts9y8M

Der Durchfluss wird genau dann maximal, wenn das Querschnittsdreieck
sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig ist.

Den vorgestellten Lösungen ist gemeinsam, dass sie wie selbstverständlich
und ohne Begründung von dem Spezialfall ausgehen, dass die Rinne symmetrisch
ist, also als Querschnitt ein gleichschenkliges Dreieck hat.
In diesem Fall ist die Lösung vergleichsweise simpel, man muss lediglich eine
etwas unbequeme Wurzelfunktion zweimal differenzieren (Kettenregel).

Die angegebene Lösung ist (zufällig) richtig, der Spezialfall liefert
das korrekte Ergebnis.

Aber den Beweis für den allgemeinen Fall bleiben die Problemlöser schuldig.
Es wird nicht gezeigt, dass das gefundene Querschnittsdreick (gleichschenklig
und gleichzeitig rechtwinklig) das größte unter allen möglichen Dreiecken ist,
wenn die Rinne auch asymmetrisch sein darf, z.B. so:
https://ibb.co/ygQCHsT Figur 2

Und diese Aufgabe ist dann nicht mehr simpel, da sich mit Veränderung der
Dreiecksseite b auch die Höhe h ändert.
D.h. die Zielfunktion der MiniMax-Aufgabe:
A = 1/2*b*h
ist von zwei Variablen abhängig:
A = f(b, h)

Wie kann man beweisen, dass unter allen möglichen Dreiecken, die für den
Rinnenquerschnitt in Frage kommen, das Dreieck des Spezialfalles
(rechtwinklig
und gleichschenklig) wirklich das mit dem größten Flächeninhalt ist?

Schöne Wochenendgrüße
Udo

[Martin Vaeth]

Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Vorgestellt wird eine Optimierungs-Aufgabe (MiniMax-Aufgabe)

Das ist eine reine Maximierungsaufgabe oder (je nach Formulierung)
eine Maximierungsaufgabe mit einer Nebenbedingung.

Ich fasse sie mal so zusammen: Gesucht ist ein Dreieck maximaler
Fläche unter allen Dreicken, bei der die Summe zweier
nebeneinanderliegender Seitenlängen a und b einen maximal
vorgegeben Wert W > 0 hat. Offensichtlich erfüllen die
Maximaldreiecke sogar die Gleichheit a + b = W.

Dazu berechnen wir die Fläche F eines solchen Dreicks in
Abhängigkeit des Winkels gamma zwischen a und b (für den wir ja
keine Einschränkung haben). Die Höhe über der Seite b des Dreiecks
ist h_b = a sin(gamma), also erfüllt die gesuchte Fläche F für
das betrachtete Dreieck:

2F = b h_b = ab sin(gamma).

Diese Größe ist zu maximieren. Da gamma keinerlei Einschränkungen
unterliegt (außer zwischen 0 und pi zu liegen), erhalten wir für
das Maximum also die Bedingung sin(gamma) = 1, also gamma = pi/2.

Es verbleibt noch, das Produkt ab unter der Nebenbedingung a + b = W
zu maximieren. Das kann man mit Lagrange machen oder einfach b = W - a
einsetzen: a(W-a) = Wa - a^2.
Jetzt kann man entweder Differentialrechnung benutzen oder beobachten,
dass dies eine (bzgl. a) nach unten geöffnete Parabel ist, also
insbesondere symmetrisch bzgl. der Senkrechten durch den Scheitelpunkt.
Die Schnittpunkte der Parabel mit der a-Achse sind a = 0 und a = W,
der Scheitelpunkt hat also die a-Koordinate W/2.

Wie immer man vorging: Das Maximum wird (nicht überraschend) genau
für a = b = W/2 angenommen.

Wie schon Udo vermutet hat, ist das maximierende Dreieck also
gleichseitig (bzgl. a und b) und hat zwischen a und b einen rechten
Winkel.

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:

>
> gleichseitig (bzgl. a und b)

gleichschenklig meinte ich natürlich.

[Stefan Schmitz]

Da würde ich mich von der Breite lösen und eine Querseite als gegeben
annehmen. Dann kannst du unter allen Dreiecken mit Seitenlängen a und
30-a (nur der Winkel ist noch variabel) den größtmöglichen Flächeninhalt
bestimmen. Das ist beim rechten Winkel der Fall, weil dann die Höhe
gleich der anderen Seite ist und damit maximal wird. Mit Seite a kannst
du also maximal 1/2 a * (30-a) = 15a -a^2 erreichen. Wenn du das dann
nach a maximierst, kommt a=15 heraus.

Die präsentierte Lösung ist unnötig kompliziert.

[Dieter Heidorn]

Udo schrieb:

> Zunächst die Aufgabenstellung:
> Eine V-förmige Rinne soll aus einem 30 cm breiten Blechstreifen so
> geformt werden, dass der Durchfluss (Querschnitt) maximal wird.
> Welche Breite b und welche Höhe h muss die Rinne bekommen, damit
> möglichst viel Wasser hindurchströmt, wenn sie randvoll gefüllt ist.
> Skizze: https://ibb.co/ygQCHsT Figur 1
>
> Man findet diese Aufgabe mit Lösung z.B. hier:
>
> https://dk4ek.de/mathematik/extrem.pdf
> https://www.youtube.com/watch?v=Cn0zLts9y8M
>

> Wie kann man beweisen, dass unter allen möglichen Dreiecken, die für den
> Rinnenquerschnitt in Frage kommen, das Dreieck des Spezialfalles
> (rechtwinklig
> und gleichschenklig) wirklich das mit dem größten Flächeninhalt ist?
>

Hallo Udo,

hilft dir der Hinweis "Ellipse" vielleicht weiter?

Dieter Heidorn

[Roalto]

Da braucht man doch gar nicht zu rechnen.
man verdoppelt das Dreieck zu einem Viereck gleicher Seitenlänge.
Nun weiss man, dass das Quadrat das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist.
Also h=Sqrt(a)/2 qed.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Stephan Gerlach]

Roalto schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 10. Dezember 2022 um 18:08:18 UTC+1:
>> Udo schrieb:
>>> Zunächst die Aufgabenstellung:
>>> Eine V-förmige Rinne soll aus einem 30 cm breiten Blechstreifen so
>>> geformt werden, dass der Durchfluss (Querschnitt) maximal wird.
>>> Welche Breite b und welche Höhe h muss die Rinne bekommen, damit
>>> möglichst viel Wasser hindurchströmt, wenn sie randvoll gefüllt ist.
>>> Skizze: https://ibb.co/ygQCHsT Figur 1
>>>
>>> Man findet diese Aufgabe mit Lösung z.B. hier:
>>>
>>> https://dk4ek.de/mathematik/extrem.pdf
>>> https://www.youtube.com/watch?v=Cn0zLts9y8M
>>>
>>> Wie kann man beweisen, dass unter allen möglichen Dreiecken, die für den
>>> Rinnenquerschnitt in Frage kommen, das Dreieck des Spezialfalles
>>> (rechtwinklig
>>> und gleichschenklig) wirklich das mit dem größten Flächeninhalt ist?
>>>
>> Hallo Udo,
>>
>> hilft dir der Hinweis "Ellipse" vielleicht weiter?
>>
>> Dieter Heidorn
> Da braucht man doch gar nicht zu rechnen.
> man verdoppelt das Dreieck zu einem Viereck gleicher Seitenlänge.

Kann man machen.

> Nun weiss man, dass das Quadrat das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist.

... unter der Voraussetzung eines konstanten Umfangs.

Dennoch: Das verlagert das Problem lediglich vom Dreieck zu einem
Viereck. Woher weiß man die genannte Aussage mit dem Quadrat?
Es ist nicht a priori klar, daß alle Seiten gleich lang sowie alle
Innenwinkel rechte Winkel sein müssen.
Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.

> Also h=Sqrt(a)/2 qed.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Martin Vaeth]

Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schreib:
> Roalto schrieb:

>
>> Nun weiss man, dass das Quadrat das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist.

"Nun weiss man" ist immer ein toller Beweis!

> Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
> dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.

Es ist sogar klar ein *schwereres* Problem, da die Vordopplung von
Dreiecken zu einem Parallelogramm führt, hier aber sogar über
*beliebige* Vierecke maximiert werden soll - in der Formulierung
ist nicht einmal die Konvexität des Vierecks a-priori klar.
Nun weiss man aber doch die Lösung des isoperimetrischen Problems
für n Geradenstücken und rektifizierbaren Kurven von jeweils
vorgegebener Gesamtlänge!?

[Roalto]

Na, das hab ich doch geschrieben

> Dennoch: Das verlagert das Problem lediglich vom Dreieck zu einem
> Viereck. Woher weiß man die genannte Aussage mit dem Quadrat?
> Es ist nicht a priori klar, daß alle Seiten gleich lang sowie alle
> Innenwinkel rechte Winkel sein müssen.
> Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
> dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.

OH, ich dachte, das ist jedem bekannt. Das ist Schulstoff.
Sei A=x*y , U=2x+2y , U=4*15
A=x*(30-x) , A'=30-2x. 0=30-2x, x=15. qed

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Roalto]

OMG.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Martin Vaeth]

Roalto <Roa...@online.de> schrieb:

>> Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
>> dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.
>
> OH, ich dachte, das ist jedem bekannt. Das ist Schulstoff.

Selbst ich von einem Bayerischen Gymnasium kann mich nicht
erinnern, das für *allgemeine* Vierecke jemals durchgenommen
zu haben. Das ist etwa genauso Schulstoff wie das verwandte
isoperimetrische Problem: *Könnte* man zwar machen und mit
Schulmitteln zeigen, aber die Lehrzeit wird lieber mit Rechnen
statt mit Mathematik gefüllt, weil sonst der Leherer von den
Eltern Keile bekäme, etwas durchzunehmen, was nicht
prüfungsrelevant ist.

> Sei A=x*y , U=2x+2y , U=4*15

Hier nimmst Du für U bereits ein Parallelogramm an (beweist
also keinesfalls die von Dir behauptete allgemeinere Aussage
über Vierecke). Und für A nimmst Du sogar ein Rechteck an,
was Du laut Aufgabenstellung aber nicht darst.

Für die allgemeine Lösung das gegebenen Problems gehört
*mindestens* der Beweis für Parallelogramme, also eine
geeignete Formel für die Fläche eines Parallelogramms
(z.B. mit einem der Winkel) an der man sieht, dass das
Maximum ein Rechteck sein muss.

Insgesamt läuft die Lösung über Parallelogramme also *exakt*
auf die von mir gegebene Lösung der Maximimerung der
Dreiecksfläche hinaus (was natürlich nicht verwunderlich ist):
Erst weist man nach, dass der Winkel zwischen den beiden
Seiten ein rechter sein muss, und danach läuft es auf das
Berechnen der Maximalstelle der nach unten geöffneten
Parabel x*(30-x) hinaus:

> A=x*(30-x) , A'=30-2x. 0=30-2x, x=15. qed

Letzteres macht man in der Schule hingegen bereits vor der
Differentialrechnung (zumindest war das seinerzeit in Bayern
nach so; hat sich vielleicht inzwischen geändert).

[Udo]

@ Martin Vaeth
> Dazu berechnen wir die Fläche F eines solchen Dreiecks in

> Abhängigkeit des Winkels gamma zwischen a und b (für den wir ja
> keine Einschränkung haben).

Verstehe ich das richtig?
Du benennst den Winkel alpha aus meiner Ursprungsskizze
https://ibb.co/ygQCHsT Figur 2 um in gamma?
Und entsprechen meine Seiten a und c bei Dir jetzt den Seiten a und b?
Ich versteh's nicht ganz.

In meiner Skizze benenne die Punkte des Dreiecks im Gegenuhrzeigersinn
mit A, B, C. Der tiefste Punkt der Rinne ist B.
Entsprechend liegen die Winkel, gamma also bei Punkt C.
Laut meiner Ursprungsskizze (Figur 2) entspricht der von Dir angegebene
Winkel zwischen a und b dem Winkel alpha.

@ Dieter Heidorn

> hilft dir der Hinweis "Ellipse" vielleicht weiter?

Glaube nicht.
Klar erinnert das "Rinnenproblem" an die Gärtnerkonstruktion einer Ellipse.
Aber: Der Brennpunktabstand ändert sich, wenn ich den dritten Punkt
(in meiner Ursprungsskizze Punkt B) ändere.
Insofern erkenne ich noch nicht, wie mir der Hinweis auf die Ellipse
weiterhelfen kann.

@ Roalto

> man verdoppelt das Dreieck zu einem Viereck gleicher Seitenlänge.

> Nun weiss man, dass das Quadrat das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist.

> Also h=Sqrt(a)/2 qed.

Welches Dreieck? Es gibt eine Unzahl.
Die möglichen Dreiecke haben (meistens) einen unterschiedlichen Umfang, sodass
mir die "Quadratur" nur weiterhilft, wenn ich den Umfang kenne.

Dank an alle für die Beiträge.
Die meisten der hier vorgestellten Gedanken hab ich auch durchgespielt und bin
doch noch nicht zu einem wirklich schlüssigen Beweis gelangt.

Deshalb war ich "perplex", wie ich im Betreff geschrieben habe.

Für mich ist das Problem noch nicht ganz gelöst.
Oder ich hab die Argumentation nicht verstanden.

Grüße Udo

[Martin Vaeth]

Udo <udob...@googlemail.com> schrieb:

> @ Martin Vaeth
>> Dazu berechnen wir die Fläche F eines solchen Dreiecks in
>> Abhängigkeit des Winkels gamma zwischen a und b (für den wir ja
>> keine Einschränkung haben).
>
> Verstehe ich das richtig?
> Du benennst den Winkel alpha aus meiner Ursprungsskizze
> https://ibb.co/ygQCHsT Figur 2 um in gamma?

Ich habe mir das nicht angesehen und sehe dort jetzt nur
die Buchstaben b und h.

Bei *mir* bedeuten a und b die beiden "unteren" ("gesuchten")
Seiten der Rinne (und zugleich die Länge dieser Seiten); die dritte
Dreiecksseite bezeichne ich z.B. mit c und entsprechend den
gegenüberliegenden Winkel (also den zwischen a und b) mit gamma.

> In meiner Skizze benenne die Punkte des Dreiecks im Gegenuhrzeigersinn
> mit A, B, C. Der tiefste Punkt der Rinne ist B.
> Entsprechend liegen die Winkel, gamma also bei Punkt C.

OK, nehmen wir Deine Notation. Dann ist also gesucht die Länge der
Strecke c = AB und die Länge der Strecke a = BC (mit der Voraussetzung
c + a = 30) sowie der Winkel beta zwischen den beiden am Punkt B.

Wir berechnen die Fläche F des Dreiecks mit der Formel
2F = Grundlinie * Höhe
Als Grundlinie nehmen wir c = AB; die zugehörige Höhe h_c
ist der Abstand des Punkts C zur Geraden durch A und B, also
h_c = a sin beta. Die zugehörige Formel für die Fläche lautet also
2F = ac sin beta.
Da wir beta unabhängig von a und c wählen können, ohne irgendeine
Voraussetzung zu verletzen, wählen wir beta natürlich so, dass
sin beta maximal wird, also den Wert 1 hat: beta muss der rechte
Winkel sein. Anschließend muss man nur noch ac unter der
Voraussetzung a + c = 30 maximieren, was hier jetzt schon mehrmals
vorgeführt wurde und z.B. auf das Berechnen der a-Koordinate des
Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel (30 - a)a
zurückgeführt werden kann.

[Dieter Heidorn]

Udo schrieb:

> @ Dieter Heidorn
>> hilft dir der Hinweis "Ellipse" vielleicht weiter?
>
> Glaube nicht.
> Klar erinnert das "Rinnenproblem" an die Gärtnerkonstruktion einer Ellipse.
> Aber: Der Brennpunktabstand ändert sich, wenn ich den dritten Punkt
> (in meiner Ursprungsskizze Punkt B) ändere.
> Insofern erkenne ich noch nicht, wie mir der Hinweis auf die Ellipse
> weiterhelfen kann.
>

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P der euklidischen Ebene, deren
Entfernungen von zwei festen Punkten (den Brennpunkten F_1 und F_2) eine
konstante Summe haben. Ist der Wert dieser Summe gleich der Breite L des
Bleches, das zu einer Rinne geknickt werden soll, dann liegen die
Knickpunkte P auf einer Ellipse mit

F_1P + F_2P = l_1 + l_2 = L = 2a ; a: große Halbachse

Abbildung siehe hier: https://ibb.co/Dbc4WrG

Die Breite B der Rinne ist dann

B = 2e ; e = F_1M = MF_2: Exzentrizität,
M: Mittelpunkt der Ellipse

Mit a und e erhält man auch noch die kleine Halbachse:

b^2 = a^2 - e^2.

Wandert P auf der Ellipse, dann ändert sich der Flächeninhalt A des
Dreiecks F_1F_2P:

A = 1/2 * 2e * y ; y: y-Koordinate von P

Gesucht ist die Höhe, also y, für welche der Flächeninhalt des Dreiecks
maximal wird.

Diese ergibt sich unter Verwendung der Mittelpunktsgleichung der
Ellipse:

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

y = b * sqrt(1 - x^2/a^2)

Damit ist

A = 1/2 * 2e * y

= 1/2 * B * b * sqrt(1 - x^2/a^2)

Wie man sieht, wird A für x = 0 maximal. Das bedeutet: Das Dreieck mit
maximalem Flächeninhalt ist gleichschenklig mit F_1P = F_2P = L/2. Sein
Flächeninhalt ist

A = 1/2 * B * b

Für die kleine Halbachse ergibt sich dann

b^2 = (L/2)^2 - e^2 = (L/2)^2 - (B/2)^2

und damit

A = 1/2 * B * 1/2 * sqrt(L^2 - B^2)

= 1/4 * sqrt(B^2*L^2 - B^4)

Die Blechbreite L ist gegegeben, die Rinnenbreite B ist noch so zu
bestimmen, dass A(B) maximal wird. Dies ist der Fall, wenn

B = L/sqrt(2).

Mit deinem Beispielwert L = 30 cm erhält man:

B = 21,21 cm

Die Höhe h der Rinne ist

h = b = B/2 = 10,61 cm.

Dieter Heidorn

[Udo]

Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 12:34:14 UTC+1:

> OK, nehmen wir Deine Notation ...

Herzlichen Dank, jetzt kann ich alles nachvollziehen.
Stefan Schmitz hatte in seinem Beitrag auch schon darauf hingewiesen, dass diese
Vorgehensweise zum Ziel führt.
Ich kann keinen "Pferdefuß" erkennen und freu mich einfach über die klare
Beweisführung. Super!
Grüße Udo

Die anderen Beiträge, insbesondere die ausführliche Rechnung von Dieter Heidorn,
muss ich mir noch im Detail anschauen.
Auch hierfür großen Dank. Ich weiß die Mühe zu schätzen!

[Udo]

Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 13:44:22 UTC+1:

> Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P der euklidischen Ebene, deren
> Entfernungen von zwei festen Punkten (den Brennpunkten F_1 und F_2) eine
> konstante Summe haben. Ist der Wert dieser Summe gleich der Breite L des
> Bleches, das zu einer Rinne geknickt werden soll, dann liegen die
> Knickpunkte P auf einer Ellipse mit
>
> F_1P + F_2P = l_1 + l_2 = L = 2a ; a: große Halbachse
>
> Abbildung siehe hier: https://ibb.co/Dbc4WrG

> ...

Ich kann alles nachvollziehen, und trotzdem bleibt mir ein Rest-Verständnis-Problem,
was die Ellipse betrifft.
Was, wenn ich anders vorgehe, ähnlich wie bei der Gärtnerkonstruktion?

Ich nehme ein kartesisches Koordinatensystem und lege den Punkt A unseres
"Querschnittsdreiecks" in den Ursprung, also A(0,0).
Dort schlage ich einen Nagel ein, an dem ich eine Schnur der Länge 30 cm
befestige, die zunächst senkrecht nach unten hängt.

Der Punkt B unseres Dreiecks soll irgendwo im vierten Quadranten liegen,
der Punkt C wieder auf der x-Achse und zwar so, dass Strecke AB + Strecke BC
gerade 30 ergeben.

Jetzt greife ich auf der Schnur eine Strecke ab, die mir einen Punkt B auf
der Schnur liefert. Wenn ich die Strecke AB größer als 15 cm mache, kann ich
die x-Achse, wo Punkt C liegen soll, nicht mehr schneiden, erhalte also kein
Rinnen-Dreieck. Die Strecke AB muss also kleiner als 15 cm sein.

Nun halte ich die Schnur straff und bewege den Punkt B irgendwo in den vierten
Quadranten. Dort schlage ich einen zweiten Nagel ein, an dem ich die Schnur
befestige. Den "Rest-Schwanz" der Schnur strecke ich jetzt wieder und führe
ihn in Richtung x-Achse, bis er diese schneidet, dies liefert den Punkt C.

Bei dieser Vorgehensweise liegt die Menge aller möglichen Punkte B nicht auf
einer Ellipse, da sich der Abstand AC ändert. Die Punkte A und C sind keine
fixen Brennpunkte.
Ich hab noch nicht ganz verstanden, warum Deine tolle Herleitung
richtig ist - sie ist es - und was an meiner Vorstellung falsch ist.

Vielen Dank für Deine Hilfe!
Grüße Udo
>
> Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Udo schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 13:44:22 UTC+1:
>
>> Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P der euklidischen Ebene, deren
>> Entfernungen von zwei festen Punkten (den Brennpunkten F_1 und F_2) eine
>> konstante Summe haben. Ist der Wert dieser Summe gleich der Breite L des
>> Bleches, das zu einer Rinne geknickt werden soll, dann liegen die
>> Knickpunkte P auf einer Ellipse mit
>>
>> F_1P + F_2P = l_1 + l_2 = L = 2a ; a: große Halbachse
>>
>> Abbildung siehe hier: https://ibb.co/Dbc4WrG
>> ...
>
> Ich kann alles nachvollziehen, und trotzdem bleibt mir ein Rest-Verständnis-Problem,
> was die Ellipse betrifft.
> Was, wenn ich anders vorgehe, ähnlich wie bei der Gärtnerkonstruktion?
>

Die Gärtnerkonstruktion ergibt eine Ellipse - ein anderes Vorgehen muss
nicht auf eine Ellipse führen. Es ist dann aber auch für die
vorgestellte Überlegung, die auf der Verwendung einer Ellipse beruht,
untauglich.

> Ich nehme ein kartesisches Koordinatensystem und lege den Punkt A unseres
> "Querschnittsdreiecks" in den Ursprung, also A(0,0).
> Dort schlage ich einen Nagel ein, an dem ich eine Schnur der Länge 30 cm
> befestige, die zunächst senkrecht nach unten hängt.
> > Der Punkt B unseres Dreiecks soll irgendwo im vierten Quadranten liegen,
> der Punkt C wieder auf der x-Achse und zwar so, dass Strecke AB + Strecke BC
> gerade 30 ergeben.
>

Dann sind A und C die Brennpunkte der Ellipse, auf der die Punkte B
liegen, deren Abstandssumme zu den Brennpunkten AB + BC = L = 2a ist.
Da B im vierten Quadranten liegt, ist gewährleistet, dass L > AC ist.

A(0,0) C
-----*-------------*-------> x
\ ´
l_1 \ ´ l_2 l_1 + l_2 = L = const
\ ´
*
B

Der Mittelpunkt M der Ellipse befindet sich zwischen A und C auf der
x-Achse: x_M = AC/2, y_M = 0. Der Nachweis, dass das Dreieck mit
maximalem Flächeninhalt gleichseitig mit AB = BC ist, ergibt sich wie
bereits beschrieben, man muss nur die andere Lage des Mittelpunktes in
der Gleichung der Ellipse berücksichtigen:

(x - x_M)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Das ist der Sinn des ersten Überlegungsschrittes - und dazu ist noch gar
kein konkreter Wert für L und/oder B nötig. Es muss nur die Punktmenge
betrachtet werden, deren Abstandssumme zu A und C - die zunächst frei
gewählt wurden - um zu zeigen, dass das "Rinnendreieck" maximalen
Flächeninhaltes gleichschenklig bei B ist.

Im zweiten Überlegungsschritt wird dann gezeigt, dass für das Dreieck
mit maximalem Flächeninhalt zwischen gegebenem L und gesuchter
Rinnenbreite B der Zusammenhang B = L/sqrt(2) besteht.

> Ich hab noch nicht ganz verstanden, warum Deine tolle Herleitung
> richtig ist - sie ist es - und was an meiner Vorstellung falsch ist.
>

Mir scheint, dass du die Lage von A und C für variabel hältst. Das ist
sie nicht: A und C werden bei der allgemeinen Überlegung auf der x-Achse
als feste Punkte gesetzt und es wird die Menge der Punkte B betrachtet,
die konstante Abstandssumme AB + BC = L zu A und C haben.

Dieter Heidorn

[Roalto]

<Snip

> @ Roalto
> > man verdoppelt das Dreieck zu einem Viereck gleicher Seitenlänge.
> > Nun weiss man, dass das Quadrat das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist.
> > Also h=Sqrt(a)/2 qed.
>
> Welches Dreieck? Es gibt eine Unzahl.
> Die möglichen Dreiecke haben (meistens) einen unterschiedlichen Umfang, sodass
> mir die "Quadratur" nur weiterhilft, wenn ich den Umfang kenne.

1. kenn ich den 2*30.
2. jedes Viereck kann man in ein Rechteck umwandeln. Mit gleichem Umfang.

> Dank an alle für die Beiträge.
> Die meisten der hier vorgestellten Gedanken hab ich auch durchgespielt und bin
> doch noch nicht zu einem wirklich schlüssigen Beweis gelangt.
>
> Deshalb war ich "perplex", wie ich im Betreff geschrieben habe.
>
> Für mich ist das Problem noch nicht ganz gelöst.
> Oder ich hab die Argumentation nicht verstanden.
>
> Grüße Udo

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Roalto]

Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 10:32:59 UTC+1:
> Roalto <Roa...@online.de> schrieb:
> >> Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
> >> dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.
> >
> > OH, ich dachte, das ist jedem bekannt. Das ist Schulstoff.

> Snip

> > Sei A=x*y , U=2x+2y , U=4*15
> Hier nimmst Du für U bereits ein Parallelogramm an (beweist
> also keinesfalls die von Dir behauptete allgemeinere Aussage
> über Vierecke). Und für A nimmst Du sogar ein Rechteck an,
> was Du laut Aufgabenstellung aber nicht darst.

Das ist nur eine Nebenrechnung zum Beweis, dass das Quadrat
das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist und hat nichts mit
der Form der Rinne zu tun
Jedes Viereck kann in ein Rechteck gleichen Umfangs gewandelt werden

> Für die allgemeine Lösung das gegebenen Problems gehört
> *mindestens* der Beweis für Parallelogramme, also eine
> geeignete Formel für die Fläche eines Parallelogramms

Wozu das denn?

Viel Spass weitehin
Roalto

[Martin Vaeth]

Roalto <Roa...@online.de> wrote:
> Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 10:32:59 UTC+1:
>> Roalto <Roa...@online.de> schrieb:
>> >> Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
>> >> dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.
>> >
>> > OH, ich dachte, das ist jedem bekannt. Das ist Schulstoff.
>> Snip
>> > Sei A=x*y , U=2x+2y , U=4*15
>> Hier nimmst Du für U bereits ein Parallelogramm an (beweist
>> also keinesfalls die von Dir behauptete allgemeinere Aussage
>> über Vierecke). Und für A nimmst Du sogar ein Rechteck an,
>> was Du laut Aufgabenstellung aber nicht darst.
>
> Das ist nur eine Nebenrechnung zum Beweis, dass das Quadrat
> das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist

Es ist eben nur die Nebenrechnung für die viel einfachere
Aussage, dass das Quadrat das *Rechteck* mit maximalem
Flächeninhalt und vorgegebenem Umfang ist. Den Beweis der
Aussage für beliebige Vierecke Aussage hast Du nicht einmal
skizziert, aber trotzdem QED dahinter geschrieben, als wenn
Du damit die Behauptung bewiesen hättest.

> und hat nichts mit der Form der Rinne zu tun.

Eben: Diese Rechnung reicht für eine Rinne mit zunächst
unbekanntem Winkel - wie im Problem gestellt - nicht aus.

> Jedes Viereck kann in ein Rechteck gleichen Umfangs
> gewandelt werden

Ja, aber dadurch wird i.A. nicht das Volumen erhalten,
das ja die interessierende Größe ist und für den
Beweis untersucht werden muss.

>> Für die allgemeine Lösung das gegebenen Problems gehört
>> *mindestens* der Beweis für Parallelogramme, also eine
>> geeignete Formel für die Fläche eines Parallelogramms
>
> Wozu das denn?

Weil Du für eine allgemeine Rinne nur ein Parallelogramm
und kein Rechteck erhältst. Du musst also *mindestens*
nachweisen, dass unter allen Parallelogrammen gleichen
Umfangs das Quadrat dasjenige mit der größten Fläche ist.
Natürlich kannst Du das auch gleich allgemeiner für alle
Vierecke gleichen Umfangs nachweisen (unter Benutzung
einer geeigneten Formel für die Fläche eine allgemeinen
Vierecks), aber das ist eben noch ein bisschen schwerer
und noch weiter von Schulstoff entfernt. Es nur für
Rechtecke nachzuweisen, reicht eben keinesfalls.

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:

>
>> Jedes Viereck kann in ein Rechteck gleichen Umfangs
>> gewandelt werden
>
> Ja, aber dadurch wird i.A. nicht das Volumen erhalten,

Statt "das Volumen" meinte ich natürlich "die Fläche".

[Roalto]

Mann, das ist doch der Witz! Bei Vierecken gleichen UMFANGS
hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.
Das war in der Aufgabe gesucht
Wenn du das nicht nachvollziehen kannst, so nimm es als Hausaufgabe, das zu zeigen.
Es ist nicht schwer.
(betrachte die Diagonalen im Viereck, die halbe Summe ist die Diagonale im Rechteck)

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Udo]

Roalto schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 18:45:10 UTC+1:
Udo schrieb:

> > Welches Dreieck? Es gibt eine Unzahl.
> > Die möglichen Dreiecke haben (meistens) einen unterschiedlichen Umfang, sodass
> > mir die "Quadratur" nur weiterhilft, wenn ich den Umfang kenne.

> 1. kenn ich den 2*30.

Ich glaube, ich verstehe Dich nicht richtig.
Nehmen wir das "supersymmetrische Lösungsdreieck" (gleichschenklig und rechtwinklig)
dann sind die beiden Schenkel je 15 LE, die dritte Seite haben wir mit b=21.21 LE bestimmt.
Der Umfang ist damit U = 2*15 + 21.21 =51.21 und nicht 2*30.
Oder meinst Du das irgendwie anders?

> Roalto

[Udo]

?
Halber Rechteckumfang = a+b = Sqrt(Diagonalenlänge = Sqrt(a^2+b^2)?

> Viel Spass weiterhin
> Roalto

[Udo]

> Halber Rechteckumfang = a+b = Sqrt(Diagonalenlänge = Sqrt(a^2+b^2)?

Falsche Klammersetzung, sorry. Muss natürlich heißen:
Halber Rechteckumfang = a + b = Sqrt(Diagonalenlänge) = Sqrt(a^2+b^2)?

[Stefan Schmitz]

Am 12.12.2022 um 11:40 schrieb Roalto:
> Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 20:57:22 UTC+1:
>> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
>>>
>>>> Jedes Viereck kann in ein Rechteck gleichen Umfangs
>>>> gewandelt werden
>>>
>>> Ja, aber dadurch wird i.A. nicht das Volumen erhalten,
>> Statt "das Volumen" meinte ich natürlich "die Fläche".
>
> Mann, das ist doch der Witz! Bei Vierecken gleichen UMFANGS
> hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.
> Das war in der Aufgabe gesucht
> Wenn du das nicht nachvollziehen kannst, so nimm es als Hausaufgabe, das zu zeigen.

Du hast behauptet, es zu beweisen, aber einfach nur postuliert.

> Es ist nicht schwer.
> (betrachte die Diagonalen im Viereck, die halbe Summe ist die Diagonale im Rechteck)

Halbe Summe von was?
Und was hat die Fläche eines allgemeinen Vierecks mit einem Rechteck zu tun?

[Stefan Schmitz]

Er will das Dreieck ja zum Viereck verdoppeln. In dessen Umfang taucht
die dritte Seite nicht mehr auf.

[Martin Vaeth]

Roalto <Roa...@online.de> schrieb:

> Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 20:57:22 UTC+1:
>> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:

>> > Roalto <Roa...@online.de> schrieb:

>> >> Jedes Viereck kann in ein Rechteck gleichen Umfangs
>> >> gewandelt werden
>> >
>> > Ja, aber dadurch wird i.A. nicht das Volumen erhalten,
>> Statt "das Volumen" meinte ich natürlich "die Fläche".
>
> Mann, das ist doch der Witz! Bei Vierecken gleichen UMFANGS
> hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.

Der Witz ist, dass Deine Aussage über "Umwandlung in ein
Rechteck gleichen Volumens" nichts zum Beweis dieser
Behauptung beiträgt, und der Beweis der Einschränkung der
Behauptung auf Rechtecke (den Du als Beweis der vollen
Behauptung ausgeben wolltest) eben nur diese Einschränkung
zeigt.

Dein Problem ist nicht, dass die Behauptung inkorrekt wäre -
ich habe ja schon auf die Analogie mit der isoperimetrischen
Ungleichung hingewiesen - sondern dass Du zwei unzureichende
Versuche unternommen hast, diese zu beweisen, nachdem Du sie
erst als trivial hingestellt hast.

Ich habe Dich jeweils auf deren Unzulänglichkeit hingewiesen,
zusammen mit einer Skizze für eien korrekten Beweis der
Behauptung sowohl für die Einschränkung auf Parallelogramme
als auch den allgemeinen Fall und insbesondere mit dem Hinweis,
dass beide dieser Beweise zwangsläufig Formeln für
die Fläche benötigen (und dass der Beweis im einfacheren
Parallelogramm-Fall praktisch identisch zu meinem vorherigen
Beweis der ursprünglichen Behauptung über Dreiecke ist).

> Wenn du das nicht nachvollziehen kannst

Dieser Satz ist als Antwort auf mein Posting schlichtweg
eine Unverschämtheit. Deinen nächsten Beweisversuch in
Form eines Halbsatzes, für den Du offensichtlich gemäß
meines Hinweises irgendeine Formel für die Berechnung
der Fläche eines allgemeinen Vierecks nachgeschlagen hast,
habe ich nicht genauer angeschaut, denn für mich ist bei
diesem Ton jetzt
EOD

[Roalto]

Martin Vaeth schrieb am Montag, 12. Dezember 2022 um 19:07:56 UTC+1:
> Roalto <Roa...@online.de> schrieb:
> > Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 11. Dezember 2022 um 20:57:22 UTC+1:
> >> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
> >> > Roalto <Roa...@online.de> schrieb:
> >> >> Jedes Viereck kann in ein Rechteck gleichen Umfangs
> >> >> gewandelt werden
> >> >
> >> > Ja, aber dadurch wird i.A. nicht das Volumen erhalten,
> >> Statt "das Volumen" meinte ich natürlich "die Fläche".
> >
> > Mann, das ist doch der Witz! Bei Vierecken gleichen UMFANGS
> > hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.
> Der Witz ist, dass Deine Aussage über "Umwandlung in ein
> Rechteck gleichen Volumens" nichts zum Beweis dieser
> Behauptung beiträgt, und der Beweis der Einschränkung der
> Behauptung auf Rechtecke (den Du als Beweis der vollen
> Behauptung ausgeben wolltest) eben nur diese Einschränkung
> zeigt.

Offenbar bist du nicht in der Lage richtig zu lese. Es geht um den UMFANG,
und nicht um das Volumen.

> Dein Problem ist nicht, dass die Behauptung inkorrekt wäre -
> ich habe ja schon auf die Analogie mit der isoperimetrischen
> Ungleichung hingewiesen - sondern dass Du zwei unzureichende
> Versuche unternommen hast, diese zu beweisen, nachdem Du sie
> erst als trivial hingestellt hast.

Ich dachte, ich könnte bei dir ein Mindestmass an trivialen Geometriesätzen voraussetzen
>Snip

> > Wenn du das nicht nachvollziehen kannst

> Dieser Satz ist als Antwort auf mein Posting schlichtweg
> eine Unverschämtheit.

Ich bin schon der Auffassung, dass es sich um Tatsache handelt
und nicht um eine Unverschämtheit.

> Form eines Halbsatzes, für den Du offensichtlich gemäß
> meines Hinweises irgendeine Formel für die Berechnung
> der Fläche eines allgemeinen Vierecks nachgeschlagen hast,
> habe ich nicht genauer angeschaut, denn für mich ist bei
> diesem Ton jetzt

Ganz allgemeiner Tipp: vielleicht solltest mal besser lesen.
Es geht um den UMFANG, in Worten - UMFANG- ,von Vierecken

> EOD

Damit kann ich wunderbar leben!

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Roalto]

Ja, genau. Der Umfang ist 2*Blechbreite. Man kann das natürlich auch berechnen,
wie ihr das gemacht habt.
Aber ich dachte, es wäre ein Geometrieproblem. Mit einfachen geometrischen
Sätzen kann man beweisen, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck
mit rechtem Winkel handelt.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Stefan Schmitz]

Am 13.12.2022 um 10:50 schrieb Roalto:

> Ganz allgemeiner Tipp: vielleicht solltest mal besser lesen.
> Es geht um den UMFANG, in Worten - UMFANG- ,von Vierecken

Nein, es geht um die *Fläche*, die maximiert werden soll.

Du hast noch immer nicht den Ansatz eines Beweises für die Behauptung
gebracht, dass die bei einem *beliebigen* Viereck höchstens so groß wie
bei einem Quadrat gleichen Umfangs sein kann. Nur für Rechtecke hast du
es getan.

[Martin Vaeth]

Roalto <Roa...@online.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb am Montag, 12. Dezember 2022 um 19:07:56 UTC+1:
>> >> Statt "das Volumen" meinte ich natürlich "die Fläche".
>> >
>> > Mann, das ist doch der Witz! Bei Vierecken gleichen UMFANGS
>> > hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.
>> Der Witz ist, dass Deine Aussage über "Umwandlung in ein
>> Rechteck gleichen Volumens" nichts zum Beweis dieser
>> Behauptung beiträgt, und der Beweis der Einschränkung der
>> Behauptung auf Rechtecke (den Du als Beweis der vollen
>> Behauptung ausgeben wolltest) eben nur diese Einschränkung
>> zeigt.
>
> Offenbar bist du nicht in der Lage richtig zu lese.

Der einzige Grund, weshalb ich trotz des EOD antworte, ist
dieser Typo. Offensichtlich bist Du nicht in der Lage, einen
offensichtlichen Typo als solchen zu erkennen.

Genauer: Du *willst* ihn nicht erkennen, weil Du statt desen
Deine Unverschämtheit fortsetzen willst.

>> sondern dass Du zwei unzureichende Versuche unternommen
>> hast, diese zu beweisen, nachdem Du sie
>> erst als trivial hingestellt hast.
>
> Ich dachte, ich könnte bei dir ein Mindestmass an
> trivialen Geometriesätzen voraussetzen

Nachdem ich mehrmals darauf hingewiesen hatte, dass dieser
Satz nicht *ganz* so trivial ist, wie Du behauptest - auf
jeden Fall kein allgemein bekannter Schulstoff - war Dir
diese meine Ansicht über den Satz seit mehreren Postings
bekannt. Du hast Dich dadurch sogar genötigt gesehen, Dich
an zwei (unzureichenden) Beweisen für den Satz zu versuchen,
und beide Male habe ich Dir geschrieben *weshalb* Dein Beweis
unzureichend.

Das als Rechtfertigung für Deine Unverschämtheit vorzuschieben
(also für die Behauptung, dass ich gar nicht verstünde, um was
für einen Satz es ginge, obwohl ich ihn im Gegensatz zu Dir
jeweis vollständig und ohne Typo [wie leider im allerletzten
Posting] hingeschrieben hatte), ist mehr als dürftig.

Aber Du setzt noch einen drauf:

>> Dieser Satz ist als Antwort auf mein Posting schlichtweg
>> eine Unverschämtheit.
>
> Ich bin schon der Auffassung, dass es sich um Tatsache handelt
> und nicht um eine Unverschämtheit.

[weitere Unverschämtheiten entsorgt]

Damit ist nicht nur EOD in diesem Thread, sondern du bist
in meinem Killfile. Mit so jemandem werde ich nicht mehr
diskutieren.

[Roalto]

Da bin aber richtig betrübt.
Viel Spass weiterhin
Roalto

[Roalto]

Stefan Schmitz schrieb am Dienstag, 13. Dezember 2022 um 14:26:56 UTC+1:
> Am 13.12.2022 um 10:50 schrieb Roalto:
>
> > Ganz allgemeiner Tipp: vielleicht solltest mal besser lesen.
> > Es geht um den UMFANG, in Worten - UMFANG- ,von Vierecken
> Nein, es geht um die *Fläche*, die maximiert werden soll.

Doch, zum Beweis der Umwandlung eines beliebigen Vierecks in
ein Rechteck gleichen Umfangs wird nur der Umfang benutzt.
Die Fläche ist egal. Die Flächen müssen nicht gleich sein.

>
> Du hast noch immer nicht den Ansatz eines Beweises für die Behauptung
> gebracht, dass die bei einem *beliebigen* Viereck höchstens so groß wie
> bei einem Quadrat gleichen Umfangs sein kann. Nur für Rechtecke hast du
> es getan.

Na, das ist ja schon mal was!
Nun verwandle ich das Viereck in ein Rechteck gleichen Umfangs, dann wäre alles bewiesen?
(muss ich zeigen, wie man das macht? Das ist Schulstoff 7./8. Klasse oä)

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Stefan Schmitz]

Das Verwandeln ist ja nun wirklich keine Kunst: einfach Umfang berechnen
und ein Rechteck dieses Umfangs zeichnen.
Was fehlt, ist der Beweis, dass dieses Rechteck mindestens den gleichen
Flächeninhalt hat.

[Roalto]

Mit Zirkel und Lineal, wie die Geometrie es erfordert?
(Rechnen kann jeder)

> Was fehlt, ist der Beweis, dass dieses Rechteck mindestens den gleichen
> Flächeninhalt hat.

Nein, das ist unwichtig!!
Es ist nur wichtig, den gleichen Umfang zu haben.
Jedes beliebige Viereck in ein beliebiges Rechteck umwandeln, dann
das Rechteck in das einzig wahre Quadrat umwandeln.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist irrelevant.
(Für das Rechteck gilt A=x*y, dabei sind x und y beliebig, sie müssen
nur die Formel für den Umfang=2x+2y erfüllen)

Man kann ja gleich sofort das einzig wahre Quadrat aus dem beliebigen Viereck erzeugen.
Nochmals: alle haben den gleichen Umfang, das ist die Voraussetzung, sonst nichts.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Stefan Schmitz]

Am 14.12.2022 um 15:00 schrieb Roalto:
> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 14. Dezember 2022 um 09:48:53 UTC+1:
>> Am 14.12.2022 um 01:54 schrieb Roalto:
>>> Stefan Schmitz schrieb am Dienstag, 13. Dezember 2022 um 14:26:56 UTC+1:
>>>> Am 13.12.2022 um 10:50 schrieb Roalto:
>>>>
>>>>> Ganz allgemeiner Tipp: vielleicht solltest mal besser lesen.
>>>>> Es geht um den UMFANG, in Worten - UMFANG- ,von Vierecken
>>>> Nein, es geht um die *Fläche*, die maximiert werden soll.
>>> Doch, zum Beweis der Umwandlung eines beliebigen Vierecks in
>>> ein Rechteck gleichen Umfangs wird nur der Umfang benutzt.
>>> Die Fläche ist egal. Die Flächen müssen nicht gleich sein.
>>>>
>>>> Du hast noch immer nicht den Ansatz eines Beweises für die Behauptung
>>>> gebracht, dass die bei einem *beliebigen* Viereck höchstens so groß wie
>>>> bei einem Quadrat gleichen Umfangs sein kann. Nur für Rechtecke hast du
>>>> es getan.
>>> Na, das ist ja schon mal was!
>>> Nun verwandle ich das Viereck in ein Rechteck gleichen Umfangs, dann wäre alles bewiesen?
>>> (muss ich zeigen, wie man das macht? Das ist Schulstoff 7./8. Klasse oä)
>> Das Verwandeln ist ja nun wirklich keine Kunst: einfach Umfang berechnen
>> und ein Rechteck dieses Umfangs zeichnen.
>
> Mit Zirkel und Lineal, wie die Geometrie es erfordert?
> (Rechnen kann jeder)

So etwas haben wir in der Schule nie gemacht. Ich finde auch keine
Google-Treffer.

>> Was fehlt, ist der Beweis, dass dieses Rechteck mindestens den gleichen
>> Flächeninhalt hat.
>
> Nein, das ist unwichtig!!
> Es ist nur wichtig, den gleichen Umfang zu haben.
> Jedes beliebige Viereck in ein beliebiges Rechteck umwandeln, dann
> das Rechteck in das einzig wahre Quadrat umwandeln.
> Der Flächeninhalt des Rechtecks ist irrelevant.
> (Für das Rechteck gilt A=x*y, dabei sind x und y beliebig, sie müssen
> nur die Formel für den Umfang=2x+2y erfüllen)
>
> Man kann ja gleich sofort das einzig wahre Quadrat aus dem beliebigen Viereck erzeugen.
> Nochmals: alle haben den gleichen Umfang, das ist die Voraussetzung, sonst nichts.

Du bist ja wirklich lustig. Behauptest, dass das Quadrat das Viereck
maximaler Fläche ist, und begründest das damit, dass die Fläche
irrelevant sei. Möchtest du Mückenheim Konkurrenz machen?

[Carlo XYZ]

Roalto wrote on 14.12.22 01:54:

> Stefan Schmitz schrieb am Dienstag, 13. Dezember 2022 um 14:26:56 UTC+1:
>> Am 13.12.2022 um 10:50 schrieb Roalto:
>>
>>> Ganz allgemeiner Tipp: vielleicht solltest mal besser lesen.
>>> Es geht um den UMFANG, in Worten - UMFANG- ,von Vierecken
>> Nein, es geht um die *Fläche*, die maximiert werden soll.
> Doch, zum Beweis der Umwandlung eines beliebigen Vierecks in
> ein Rechteck gleichen Umfangs wird nur der Umfang benutzt.
> Die Fläche ist egal. Die Flächen müssen nicht gleich sein.

Natürlich nicht. Darum geht es ja gerade.

>> Du hast noch immer nicht den Ansatz eines Beweises für die Behauptung
>> gebracht, dass die bei einem *beliebigen* Viereck höchstens so groß wie
>> bei einem Quadrat gleichen Umfangs sein kann. Nur für Rechtecke hast du
>> es getan.
> Na, das ist ja schon mal was!

Nicht genug, um zu zeigen, dass bei gleichem Umfang
unter den Vierecken das Quadrat die größte Fläche hat.

> Nun verwandle ich das Viereck in ein Rechteck gleichen Umfangs, dann wäre alles bewiesen?

Nein! Du möchtest dein Logikmodul in die Grundreinigung geben.

Du darfst auch gerne nach Zenodoros googlen. Oder das hier lesen:

<https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-sagacity-of-circles-a-history-of-the-isoperimetric-problem>

[Roalto]

> > Nein, das ist unwichtig!!
> > Es ist nur wichtig, den gleichen Umfang zu haben.
> > Jedes beliebige Viereck in ein beliebiges Rechteck umwandeln, dann
> > das Rechteck in das einzig wahre Quadrat umwandeln.
> > Der Flächeninhalt des Rechtecks ist irrelevant.
> > (Für das Rechteck gilt A=x*y, dabei sind x und y beliebig, sie müssen
> > nur die Formel für den Umfang=2x+2y erfüllen)
> >
> > Man kann ja gleich sofort das einzig wahre Quadrat aus dem beliebigen Viereck erzeugen.
> > Nochmals: alle haben den gleichen Umfang, das ist die Voraussetzung, sonst nichts.
> Du bist ja wirklich lustig. Behauptest, dass das Quadrat das Viereck
> maximaler Fläche ist, und begründest das damit, dass die Fläche
> irrelevant sei. Möchtest du Mückenheim Konkurrenz machen?

Oh, du hast entschlossen polemisch zu werden? Ich kann das auch.
Allgemein gesprochen: Es ist klar, dass Mückenheim blöden Quatsch in puncto
seines Gedankengebäudes schreibt.
Aber: der intellektuelle Abstand zwischen dir und Mückenheim beträgt Lichtjahre.
Ich geh später noch mal darauf ein.
Nach deiner eigenen Aussage ist dein Wissen über Geometrie stark unterbelichtet.
Dann ist es auch kein Wunder, dass du nichts verstehst.
Aber das kennt man ja: nichts wissen, aber mitreden wollen, das scheinst du zu sein.

>Zitat

>> Was fehlt, ist der Beweis, dass dieses Rechteck mindestens den gleichen
>> Flächeninhalt hat.

>Zitatende

Wenn ich mal fragen dürfte, welches Rechteck meinst du und welchen Flächeninhalt
müsste es dann haben?

Hier nochmal ein geometrischer Beweis.
Zeichne ein Rechteck(Punkte A,B,C,D; Seiten x,y,x,y ; y Grundlinie).
Zeichne eine Gerade (g) parallel zur Grundlinie mit Abstand zur Grundlinie durch das Rechteck.
Dann schlage einen Kreis (k) um A mit Radius x.
k schneidet g im Punkt D'. Von D' y auf g absetzen, schneidet g im Punkt C'. C' mit B verbinden.
Wir haben ein Parallelogramm mit gleichem Umfang, wie das Rechteck gezeichnet.
Nun zeichnen wir die Höhe des Parallelogramms (h) ein.
Was sieht ein hier selten anzutreffendes unvoreingenommenes Auge?
Die Länge von h ist kleiner als die Länge von x, daraus folgt:
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist kleiner als der des Rechtecks.
Was sieht man noch: Die Fläche ALLER Parallelogramme, die gleichen Umfang
haben, wie das Rechteck, sind kleiner.
Das war Schulstoff 7/8. Klasse.
Nochmal für Dummies: es geht nicht um eine Scherung des Rechtecks.
Kann man feststellen: Quadratfläche>Rechteckfläche >Parallelogrammfläche?
Für die Rinne reicht das.
Umwandlung eines allgemeinen Vierecks in ein Rhomboid.
Das ist zeichnerisch ziemlich aufwendig, deshalb machen wir das über eine
Formel von Bretschneider.
Wir nehmen A=1/4*Sqrt(4*e^2*f^2 - (b^2+d^2-a^2-c^2)^2) und nennen sie g.
A=Fläche eines allgemeinen Vierecks (v).
e,f= Diagonalen von v.
a,b,c,d=Seiten von v.
Diese Formel ist eine Folgerung aus einer anderen Formel von Bretschneider,
eine Awendung der Heron-Formel.
Der Term (b^2+d^2-a^2-c^2)^2 ist der sogenannte Korrekturterm, wir nennen ihn kt.
Aus der anderen Formel geht besser hervor, was Grundlage des Vorgehens ist,
der allgemeine Kosinussatz, dessen Korrekturterm -2ab*cos(gamma) ist
Der allgemeine Kosinussatz ist dir bekannt? Würde mich wundern,
Mückenheim kennt ihn sicherlich!

Zurück zu unserer Formel:
nach A ableiten, A' 0 setzen, Maximum ausrechnen? Kannst ja mal versuchen.
Lagrange-Multiplier Verfahren anwenden, könnte klappen.
Kennst du dieses Verfahren, wahrscheinlich nicht? Mückenheim kennt es sicherlich.
Wir betrachten den Korrekturterm kt.
2 Fälle kt>0; kt=0
Betrachten wir kt=0. Daraus folgt a=b und c=d oder a=b=c=d.
Dann ist A=e*f/2. Was ist das für ein geometrisches Gebilde? Ein Rhomboid (Parallelogramm)
Was ist wenn a=b=c=d? Eine Raute (Rhombus).
Für kt>0 ist A<e*f/2. Daraus folgt: der Flächeninhalt eines allgemeinen Vierecks
ist kleiner als der eines Rhomboids gleichen Umfangs.
Nun machen wir e und f gleich lang.
A=(e+f)/2*(e+f)/2 = 1/4e^2+1/4f^2+e*f/2 das ist Grösser als e*f/2
Gleich lange Seiten, gleich lange Diagonalen, was ist das? Ein Quadrat.
Also: Quadrat > Rhombus>=Rhomboid > allgemeines Viereck.
Zeichen > bezieht sich auf Flächeninhalt.

Mit Kenntnissen des Schulstoffes 7./8. Klasse, hier im Norden, ist das Rinnenproblem ohne Rechnerei
im Nu geometrisch gelöst. Es ist immer wieder bemerkenswert mit was für einen Tsunami an Unwissen
von "Protagonisten" (auch von dir) man konfrontiert wird. Vorher immer erst das Maul aufreissen und
"Kann nicht sein, kann nicht sein" rufen.
Selber delektieren sich diese an MinMax aufgaben, deren Schwierigkeit an Trivialität kaum zu
überbieten ist und spielen die grossen Könner.
Eigentlich wollte ich noch was zu deinem intellektuellen Niveau bzlg Mückenheim schreiben,
aber ich habe keine Lust mehr.
Ich belass es mit dem Spruch: Licet Jovi non licet bovi.
Mückenheim ist sicherlich kein Jovi, du aber ein bovi.

Aufgabe: Welches Dreieck hat maximalen Flächeninhalt von allen Dreiecken bei gleichem Umfang?
geht ganz leicht mit Lagrange-Multiplier Methode, Mückenheim könnte das.

Vielleicht doch besser eine einfache Prozentaufgabe?
100 Kg Kartoffeln werden eingelagert. Wassergehalt 99%.
Nach 3 Wochen wird nachgemessen, nur noch 98% Wassergehalt.
Wieviel wiegt der Kartoffelhaufen jetzt?
Doch noch zu schwer?

Frohen Herzens erwarte ich ein EOD von dir.
Viel Spass weiterhin
Roalto

[Martin Vaeth]

Carlo XYZ <carl...@invalid.invalid> schrieb:

>
> nach Zenodoros googlen. Oder das hier lesen:
>
> https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/
the-sagacity-of-circles-a-history-of-the-isoperimetric-problem

Vielen Dank für den Namen und den Link mit Zenodoros wunderschonem
geometrischen Beweis für das allgemeine n-Eck.

Hast Du zufällig auch eine Referenz für das verallgemeinerte
ebene isoperimetrische Problem, das ich hier im Thread einmal
angesprochen hatte:

Gegeben: Natürliche Zahl n und zwei Längen g, k
("Gerade", "Kurve").
Gesucht ist die rektifizierbare Jordankurve maximalen
Flächeninhalts der Gesamtlänge g + k, die mindestens n
Geradenstücke der Gesamtlänge g enthalten soll.

Offensichtlich kommt es für die Gestalt der Lösung nur auf
das Verhältnis v = k/g an.

Für v = 0 und n > 1 ist das natürlich Zenoderos Problem,
für n = 0 ist es das klassische isoperimetrische Problem.

Meine Überlegungen dazu:

Ich vermute, dass man mit ähnlichen Mitteln wie im
isoperimetrischen Problem zeigen kann, dass die Fläche konvex
ist und sich aus den Geradenstücken sowie Kreisbögen der
Gesamtlänge k zusammensetzt.
Damit wäre das Problem zumindest im Fall n = 1 (v > 1) gelöst.

Aber die allgemeine Lösung ist damit immer noch unklar.

Meine Vermutung: Es gibt genau eine Optimallösung (falls
n > 1 oder v > 1), und diese ist neben Obigem durch die
folgenden Eigenschaften bestimmt:

1. Kreisbögen und Geradenstücke wechseln sich ab.
2. Alle Geradenstücke haben die gleiche Länge (g / n).
3. Alle Kreisbögen haben die gleiche Länge (k / n).
4. Die Kreisbögen sind einander ähnlich
(gleicher Kreisradius).

Dass diese 4 Eigenschaften (zusammen mit der Konvexität)
einen eindeutigen Lösungskandidaten liefern, ist klar.
Alles andere kann ich derzeit nicht beweisen.

[Udo]

Roalto schrieb am Freitag, 16. Dezember 2022 um 23:19:56 UTC+1:
...

> Mit Kenntnissen des Schulstoffes 7./8. Klasse, hier im Norden, ist das Rinnenproblem ohne Rechnerei
> im Nu geometrisch gelöst.

> ...

> Selber delektieren sich diese an MinMax aufgaben, deren Schwierigkeit an Trivialität kaum zu
> überbieten ist und spielen die grossen Könner.

Schade!
Dass der von mir eröffnete Thread als "an Trivialität kaum zu überbieten" eingestuft wird,
tut weh. Jeder hat die Freiheit, auf Beiträge nicht zu antworten, wenn er sie als unter seinem
Niveau ansieht.

Ich möchte an die Zeit erinnern, als beispielhaft ein Hermann Kremer in diesem
Forum geduldig und nachsichtig Mitlesern unter die Arme gegriffen hat, bei denen
ein paar Kerzen weniger im Oberstübchen brannten als bei ihm selbst.

Dass etliche "Mathehelfer" dies hier immer noch tun, manchmal fast liebevoll,
ohne sich über die Trivialität von Aufgaben aufzuregen - dafür mein herzliches
Dankeschön!

Grüße und schönes Wochenende

[Roalto]

Oh, das tut mir aufrichtig leid. Das war so auch gar nicht gemeint.
Selbstverständlich warst du gar nicht gemeint. Es ging um die "Protagonisten",
für die es trivial sein müsste, diese Aufgabe zu lösen.
Es war mir wichtig, zu zeigen, dass es andere Methoden gibt, um dieses Problem zu lösen.
Dabei habe ich nur zu viel Vorwissen von Schulstoff bei manchem "Protagonisten" erwartet.
(ich bin erstaunt, dass sowas in Bayern wohl nicht Schulstoff ist).
Es ist immer erstaunlich, dass, wenn man mit anderen Beweisen Lösungen aufzeigt, sie sich
in ihre glänzende Parade gefahren sehen. Dann packen sie ihr Wissen aus über Sachen,
die mit dem Problem a priori gar nichts zu tun haben. (z.B. isoperimetrisches Problem)
Es ging nur um Vierecke alle gleichen Umfangs, deren Flächen man berechnen kann,
wozu braucht man dann die isoperimetrische Ungleichung?
Wenn sie, "die Protagonisten", die Argumentation nicht verstehen, wird sofort in den Polemikmodus
umgeschaltet. Aber das kann ich auch.
Mein Fehler war es, dass ich überhaupt einen anderen Weg zur Lösung des Problems aufzeigen wollte.
Mein Fehler war es zu viel Vorwissen auf anderem Gebiet erwartet habe.
Einer der "Protagonisten" benutzte Sätze über Parabeln, kam aber nicht auf die Idee, diese Sätze
zu beweisen.

Wenn du dich bezüglich meiner auf den Schlips getreten fühlst,
so möchte ich mich ausdrücklich dafür entschuldigen.

Das Wort Trivialität gehört in meinen Polemikmodus und war für den gemeint,
der mit Polemik anfing.
Du und die normalen User sind nicht gemeint gewesen.

Nebenbei bemerkt gibt es ja auch User, deren bemerkenswerteste Beiträge ihre
Fäkalienanwurfe an Mückenheim sind. (ekliges Verhalten)

Dir auch ein schönes Wochenende.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Martin Vaeth]

Udo <udob...@googlemail.com> schrieb:
> Roalto tobte am Freitag, 16. Dezember 2022 um 23:19:56 UTC+1:
[Ausfälligkeiten entsorgt]

>
> Dass der von mir eröffnete Thread als "an Trivialität kaum
> zu überbieten" eingestuft wird

Lass Dich nicht von einem Troll¹ ins Bockshorn jagen, sondern
steck ihn ins Killfile, wo Trolle hingehören!

Zum Thema "Trivialität": Beweise, bei denen es einen "Dreh"
gibt, erscheinen im Nachhinein immer trivial, wenn man diesen
Dreh erst einmal kennt. Fallen nicht sogar alle
"Proofs from the book" in diese Kategorie?

In diesem Fall besteht der "Dreh" tatsächlich in einem "Dreh";
das hätte ich vielleicht gleich zu Beginn meines ersten
Postings in dem Thread schreiben sollen:

Die Formel "2 * Fläche = Grundlinie * Höhe" ist aufgrund der
suggerierten Lage des Dreiecks aufgrund der Bezeichnungen
"Grundlinie" und "Höhe" irreführend (deshalb bist Du
vermutlich auch durch meine erstes Posting verwirrt worden):
Wenn man im suggerierten Bild als Grundlinie die
"Wasserlinie" und als Höhe die "Höhe" des Dreiecks nimmt,
macht man sich das Leben sehr schwer.
Man sollte das Dreieck erst so drehen, dass eine der beiden
"Begrenzungsseiten" der Rinne die Grundlinie ist. Dann sieht
man nämlich unmittelbar, dass bei festgehaltener Länge
dieser Begrenzungsseiten die Höhe genau dann maximal wird,
wenn der Winkel zwischen ihnen ein rechter ist.
Mathematisch präzise ist das die Tatsache, dass in der
Formel für die Höhe eines allgemeinen Dreiecks der Sinus
genau dann maximal wird, wenn der Winkel ein rechter ist.


¹ Der Kerl ist eindeutig ein Troll im Sinne der Definition
von https://de.wikipedia.org/wiki/Troll_(Netzkultur).
Aufgrund Deines Postings habe ich mir jetzt das zitierte
Posting ganz angeschaut, und muss sagen:
Der Troll versteht sein Handwerk!
Seine Polemik beginnt damit, sie dem Gesprächspartner
vorzuwerfen; sein x-ter Beweisversuch war zwar wieder
falsch, aber gespickt mit Beleidigungen; den Beweis
für Parallelogramme sowie die Tatsache, dass dies zur
Beantwortung Deiner Frage ausreicht - nur unter dieser
Voraussetzung kann er ja die Leute im Thread aufgrund
der "Trivialität" des Problems diffamieren - hat er
beides schamlos aus meinen Erklärungen geklaut.

Als hätte diese Gruppe unter *einem* Kerl dieser Sorte
nicht schon genug zu leiden.

[Rainer Rosenthal]

Am 17.12.2022 um 11:19 schrieb Udo:
> Ich möchte an die Zeit erinnern, als beispielhaft ein Hermann Kremer in diesem
> Forum geduldig und nachsichtig Mitlesern unter die Arme gegriffen hat

Hallo Udo, es geht auf Weihnachten zu, und da ist etwas Sentimentalität
passend. Ich hatte Hermann Kremer wiederholt als "guten Geist von dsm"
bezeichnet, weil ich ihn so kennengelernt habe.

Gruß und frohe Feiertage,
Rainer

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 17.12.22 11:01:

> Hast Du zufällig auch eine Referenz für das verallgemeinerte
> ebene isoperimetrische Problem, das ich hier im Thread einmal
> angesprochen hatte:
>
> Gegeben: Natürliche Zahl n und zwei Längen g, k
> ("Gerade", "Kurve").
> Gesucht ist die rektifizierbare Jordankurve maximalen
> Flächeninhalts der Gesamtlänge g + k, die mindestens n
> Geradenstücke der Gesamtlänge g enthalten soll.

Leider nein. Eine Seite mit genau dieser Parametrisierung
(Linien, Kurven, gegebene Längen) kenne ich nicht.

> Meine Vermutung: Es gibt genau eine Optimallösung (falls
> n > 1 oder v > 1), und diese ist neben Obigem durch die
> folgenden Eigenschaften bestimmt:
>
> 1. Kreisbögen und Geradenstücke wechseln sich ab.
> 2. Alle Geradenstücke haben die gleiche Länge (g / n).
> 3. Alle Kreisbögen haben die gleiche Länge (k / n).
> 4. Die Kreisbögen sind einander ähnlich
> (gleicher Kreisradius).

Klingt vernünftig, schon von der "Physik" her. Vielleicht
gibt es allgemeine Sätze zur Symmetrisierung bei Jordankurven?

> Dass diese 4 Eigenschaften (zusammen mit der Konvexität)
> einen eindeutigen Lösungskandidaten liefern, ist klar.
> Alles andere kann ich derzeit nicht beweisen.

Das kann auch daran liegen, dass es schwer ist :-)

[Martin Vaeth]

Carlo XYZ <carl...@invalid.invalid> schrieb:

> Martin Vaeth wrote on 17.12.22 11:01:
>
>> Hast Du zufällig auch eine Referenz für das verallgemeinerte
>> ebene isoperimetrische Problem, das ich hier im Thread einmal
>> angesprochen hatte:
>>
>> Gegeben: Natürliche Zahl n und zwei Längen g, k
>> ("Gerade", "Kurve").
>> Gesucht ist die rektifizierbare Jordankurve maximalen
>> Flächeninhalts der Gesamtlänge g + k, die mindestens n
>> Geradenstücke der Gesamtlänge g enthalten soll.
>
> Leider nein. Eine Seite mit genau dieser Parametrisierung
> (Linien, Kurven, gegebene Längen) kenne ich nicht.

Man könnte es vielleicht auch ganz anders formulieren.
Ich hatte halt irgendwas gesucht, das sowohl die
isoperimetrische Ungleichung als auch den "Spezialfall"
für Polygone enthält, der merkwürdigerweise eben gar kein
Spezialfall ist - zumindest sehe ich das nicht, auch wenn
die Analogie doch ins Auge sticht.

> Klingt vernünftig, schon von der "Physik" her. Vielleicht
> gibt es allgemeine Sätze zur Symmetrisierung bei Jordankurven?

Die populären Verallgemeinerungen des Problems sind alle
auf höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten (Minimalflächen,
Bestimmung relativistischer Masse u.ä.).
Und für Untersuchungen mit Gruppeninvarianten (ich weiß
nicht mal, welche Gruppe man hier nehmen sollte;
S_n x S^1/S_n?) hat man diese i.d.R. als *Voraussetzung*
und nicht als *Folgerung*.

[Stephan Gerlach]

Martin Vaeth schrieb:
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schreib:
>> Roalto schrieb:
>>
>>> Nun weiss man, dass das Quadrat das Viereck mit maximalem Flächeninhalt ist.
>
> "Nun weiss man" ist immer ein toller Beweis!
>
>> Die Quadrat-/Viereck-Aussage zu beweisen, dürfte weitgehend äquivalent
>> dazu sein, die fragliche Aussage über Dreiecke zu beweisen.
>
> Es ist sogar klar ein *schwereres* Problem, da die Vordopplung von
> Dreiecken zu einem Parallelogramm führt, hier aber sogar über
> *beliebige* Vierecke maximiert werden soll

Das stimmt in der Tat; die von mir genannte Äquivalenz gilt nur für den
Fall, daß man das Parallelogramm als Viereck bereits voraussetzt.

> - in der Formulierung
> ist nicht einmal die Konvexität des Vierecks a-priori klar.

Zumindest, daß das Viereck konvex sein muß, sollte sich relativ leicht
zeigen lassen (stark vereinfachte Begründung):
Angenommen, das Viereck wäre *nicht* konvex. Dann gibt es eine "nach
innen" gerichtete Ecke des Parallelogramms. Diese "klappt" man einfach
um die Strecke durch die beiden Nachbar-Punkte "nach außen" und erhält
ein flächen-größeres Viereck mit gleichem Umfang.

> Nun weiss man aber doch die Lösung des isoperimetrischen Problems
> für n Geradenstücken und rektifizierbaren Kurven von jeweils
> vorgegebener Gesamtlänge!?

Für den Fall n=3 und die Frage
"Welches Dreieck mit vorgegebenem Umfang hat den maximalen Flächeninhalt?"
könnte vielleicht sogar die "Brute-Force"-Methode Differentialrechnung
einer Funktion mit 2 Variablen ausreichen.
Die 2 Variablen könnten dann entweder [2 Seiten] oder [1 Seite und 1
Winkel] sein.

Hab's aber nicht ausprobiert.

--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Martin Vaeth]

Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb:

>
>> - in der Formulierung
>> ist nicht einmal die Konvexität des Vierecks a-priori klar.
>
> Zumindest, daß das Viereck konvex sein muß, sollte sich relativ leicht
> zeigen lassen (stark vereinfachte Begründung):

Deswegen schrieb ich auch "in der Formulierung" - man braucht halt
noch einen zusätzlichen Schritt zum Beweis der Konvexität.
Der Beweis, den Du gibst, ist übrigens i.W. der aus
https://de.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrisches_Problem
Aber wenngleich anschaulich sind beide Beweise nicht sehr rigoros.

> Für den Fall n=3 und die Frage
> "Welches Dreieck mit vorgegebenem Umfang hat den maximalen Flächeninhalt?"
> könnte vielleicht sogar die "Brute-Force"-Methode Differentialrechnung
> einer Funktion mit 2 Variablen ausreichen.

Das hat aber mit dem ursprünglichen Problem nichts mehr zu tun, weil
die Länge einer Seite da variieren kann: Nur die Länge von zwei Seiten
sind vorgegeben. Dort ist man beim 2-Seiten + Zwischenwinkel-Fall, und
für diesen Fall haben wir ja gesehen, dass man sogar mit einer
Funktion von 1 Variable auskommt, weil man den Zwischenwinkel
unabhängig optimieren kann.

Wenn man die Fragestellung verändert wie oben *braucht* man natürlich
den 3-Seiten-Fall, *muss* also für einen rein analytischen Beweis
den Satz von Heron heranziehen
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron
In diesen Satz geht der halbe Umfang s ein, und die Fläche ist dann
die Wurzel aus s(s-a)(s-b)(s-c), wobei a, b, c die Seitenlängen sind.
Multiplizieren mit 8/s zeigt: Für vorgegebenen Umfang U sucht man das
Maximum von f(a, b, c) = (U-2a)(U-2b)(U-2c) unter den
Nebenbedingungen g(a, b, c) = a + b + c = U und a, b, c >= 0.
Ohne Lagrange ist das eine üble Rechnerei. Mit Lagrange:
Da für a = 0, b = 0, oder c = 0 die Fläche 0 ist, muss das Maximum
im Inneren angenommen werden. Hoffen wir, dass wir genau einen
kritischen Punkt mit a, b, c > 0 finden:
Der Gradient von g ist (1, 1, 1) und hat überall maximalen Rang 1.
Der Gradient von f ist (-2)((U-2b)(U-2c), (U-2a)(U-2c), (U-2a)(U-2b)).
Für kritische Punkte müssen also alle Einträge im Gradienten gleich
sein: (U - 2b)(U - 2c) = (U - 2a)(U - 2c) = (U - 2a)(U - 2b).
Aus U = 2c folgt aus dieser Gleichung aber U = 2a oder U = 2b, also
a + c = U oder a + b = U, mithin b = 0 oder c = 0, ein Widerspruch.
Analog sieht man, dass auch die anderen Faktoren in diesen beiden
Gleichungen nicht 0 sind. Nach Kürzen dieser Faktoren erhält man
aus den Gleichungen aber sofort a = b = c.

Das wäre also ein analytischer Beweis für die eindeutige Lösung
des isoperimetrischen Problems für das Dreiecks.

Interessanterweise kann man für das Viereck nicht so einfach
argumentieren: Dort hängt die Fläche neben den 4 Seiten nämlich noch
von einem Winkel ab. Versuchen wir mal das analoge Vorgehen wie beim
ursprünglichen Problem (also dem Parallelogram). Als Ausgangspunkt
bietet sich daher für das doppelte der Fläche des allgemeine Viereck
die Formel

ab sin(beta) + cd sin(delta)

aus https://de.wikipedia.org/wiki/Viereck an. Der Haken an der Sache:
Einer der Winkel (beta oder delta) hängt in Wirklichkeit auf
komplizierte Weise von den anderen 5 Größen ab.

Mann kann aber *hoffen*, diese Abhängigkeit ignorieren zu können:
*Falls* man gleichzeitig sin(beta) = sin(delta) = 1 erreichen und
f(a, b, c, d) = ab + cd unter den Nebenbedingungen
g(a, b, c, d) = a + b + c + d = U (U = Umfang), a, b, c, d >= 0
maximieren kann, hat man natürlich das Maximum gefunden.
Mit Lagrange erkennt man sogar leichter als oben, dass
a = b = c = d = U/4 der einzig kritische Punkt im Inneren ist.
Also ist man fertig, und weiss, dass es ein Quadrat ist!?

Pustekuchen!!!ELF!!!!

Diesmal liegt das Maximum auf dem Rand, nämlich bei a = b = 0
und c = d = U/2 (oder nochmals auch bei a = b = U/2, c = d = 0).
Und der kritische Punkt im Inneren ist weder lokales Maximum
noch Minimum, sondern ein Sattelpunkt!

Natürlich ist für a = b = 0 bzw. c = d = 0 die Fläche 0,
aber das sieht man eben nicht anhand der obigen Formel, wenn
man die Abhängigkeit von einem der Winkel von den anderen
Größen ignoriert! Deswegen darf man diese Abhängigkeit für
einen analytischen Beweis nicht ignorieren, und hat es daher
mit einer ziemlich komplizierten Formel für die Vierecksfläche
zu tun.

Tstsächlich kenne ich nach wie vor keinen einzigen eleganten
*analytischen* Beweis für den Satz, dass die Fläche eines
Vierecks (genau) für das Quadrat maximal wird.
Ein Link zu einem sehr eleganten geometrischer Beweis sogar
für das allgemeine n-Polygon wurde aber ja schon gepostet!

[Ralf Bader]

Es sei ABC ein Dreieck; zunächst wird das flächengrößte Dreieck mit der
Seite AB und dem selben Umfang wie ABC gesucht. Die Fläche dieser
Dreiecke ist 1/2*l*h, wo l die Länge von AB und h die Höhe über AB des
betreffenden Dreiecks ist. Die dritten Ecken C der infragekommenden
Dreiecke liegen (wenn in einem Koordinatensystem AB auf der x-Achse und
der Mittelpunkt von AB im Ursprung liegt) auf einer Ellipse, deren
Gleichung von der Form a^2*x^2 + b^2*y^2 = c^2 sein sollte. Die
y-Koordinate eines Ellipsenpunktes ist die Höhe des Dreiecks über AB mit
diesem Punkt als Spitze C. Diese Höhe ist maximal, wenn die x-Koordinate
verschwindet. Also ist das gesuchte flächenmaximale Dreieck das
gleichschenklige.

In einem konvexen Viereck ABCD kann man dies anwenden auf die
Teildreiecke ABC, ADC über der Diagonalen AC, und dann auf die
Teildreiecke über der Diagonalen BD, und diese Teildreiecke durch die in
obiger Weise gebildeten flächengrößten ersetzen. Man erhält dann ein
Viereck EFGH, das umfangsgleich mit ABCD ist, nicht flächenkleiner als
ABCD und dessen Seiten alle gleichlang sind. In diesem Viereck sei M der
Schnittpunkt der Diagonalen. Das Viereck zerfällt in 4 rechtwinklige
Dreiecke, deren Hypotenuse eine der Vierecksseiten ist mit M als
gegenüberliegender Ecke. Die Menge der Spitzen aller rechtwinkligen
Dreiecke über der Vierecksseite als Hypotenuse liegen auf einem Kreis,
und aus Gründen wie im vorigen Absatz ist das gleichschenklige das
flächengrößte dieser Dreiecke. Und 4 dieser Dreiecke setzen sich wieder
zu einem Viereck zusammen, das umfangsgleich zu ABCD ist und unter allen
Vierecken dieses Umfangs das flächengrößte ist.

[Carlo XYZ]

Stephan Gerlach wrote on 20.12.22 03:41:

> Zumindest, daß das Viereck konvex sein muß, sollte sich relativ leicht
> zeigen lassen (stark vereinfachte Begründung):
> Angenommen, das Viereck wäre *nicht* konvex. Dann gibt es eine "nach
> innen" gerichtete Ecke des Parallelogramms. Diese "klappt" man einfach
> um die Strecke durch die beiden Nachbar-Punkte "nach außen" und erhält
> ein flächen-größeres Viereck mit gleichem Umfang.

Das scheint eine ausgesprochen "schlüpfrige" Angelegenheit zu sein.

<http://erikdemaine.org/papers/Flips_DCG20/paper.pdf>

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 20.12.22 05:13:

> Tstsächlich kenne ich nach wie vor keinen einzigen eleganten
> *analytischen* Beweis für den Satz, dass die Fläche eines
> Vierecks (genau) für das Quadrat maximal wird.

Gilt das hier als analytisch?

<https://math.stackexchange.com/questions/552961/proving-the-regular-n-gon-maximizes-area-for-fixed-perimeter>

[Martin Vaeth]

Der Beweis ist identisch mit dem klassischen von Zenodoros,
auf den Du früher mal verlinkt hattest (bis auf den Nachweis,
dass eine Maximallösung existiert, der in Deinem Link m.E.
gefehlt hat, aber eben einfach genug ist; merkwürdigerweise
fehlt in beiden Quellen der Nachweis der Konvexität.¹)
Ich würde den Beweis (vor allem der Konvexität) als rein
geometrisch oder sogar heuristisch bezeichnen.

Unter "analytisch" meinte ich schon so etwas wie:
Man bestimme das Maximum irgendeiner Funktion unter
geeigneten Nebenbedingungen (keine Ahnung, wie man für
allgemeine Polygone eine Zielfunktion finden will - schon
für Vierecke ist das ja schwierig genug).

Also bestenfalls der Existenzbeweis einer Maximallösung
wäre in diesem Sinne analytisch, wobei ich diesen Teil
sogar topologisch (oder bestenfalls analytisch-topologisch)
nennen würde.

¹ Was vielleicht daran liegt, dass der Beweis der Konvexität
gar nicht so leicht ist, obwohl sie doch so offensichtlich
zu sein scheint.
Der Nachweise der Konvexität mit dem "Umklapp"-Argument
ist für Polygone keinesfalls rigoros (und strenggenommen
auch schon nicht für Vierecke, wobei man letzteres
wohl mit genügend vielen Fallunterscheidungen rigoros
machen kann).
Für einen rigorosen Beweis braucht man wohl irgendeine Art
des Jordanschen Kurvensatzes oder sogar des Satzes von
Schoenflies für Polygone, und man muss dann ggf. erst einen
ganzen "Irrgarten entwirren" und dabei stets Fläche und
Polygonlänge im Blick haben: Es ist mir gar nicht klar,
wie man das rigoros machen soll.

[Martin Vaeth]

Ralf Bader <ba...@nefkom.net> schrieb:

>
> Es sei ABC ein Dreieck; zunächst wird das flächengrößte Dreieck mit der
> Seite AB und dem selben Umfang wie ABC gesucht.

Das ist exakt der erste Schritt aus Zenoderos klassischem Beweis,
der hier schon verlinkt wurde. Damit bekommt man sofort den
3-Ecks-Fall und mit einem trivialen zusätzlichen Schritt den
4-Ecks-Fall *wenn* man die Existenz einer Optimallösung voraussetzt
(und dann mit Widerspruch argumentiert).

Du versuchst Letzteres offensichtlich zu vermeiden, aber das geht
leider nicht so einfach, wie es scheint (den selben Fehler wie Du
hatte ich übrigens zunächst auch gemacht):

> In einem konvexen Viereck ABCD kann man dies anwenden auf die
> Teildreiecke ABC, ADC über der Diagonalen AC, und dann auf die
> Teildreiecke über der Diagonalen BD, und diese Teildreiecke durch die in
> obiger Weise gebildeten flächengrößten ersetzen.
> Man erhält dann ein Viereck EFGH, das umfangsgleich mit ABCD ist,

> und dessen Seiten alle gleichlang sind.

Die letzte Aussage ist leider falsch:
Im ersten Schritt machst Du nämlich die Paare (AB, BC) und (AD, CD)
gleich lang, wobei Du ggf. den längeren Teil kürzer machst, und
Im zweiten Schritt machst Du dann die Paare (AB, AD) und (BC, CD)
auf analoge Art gleich lang.
Dummerweise machst Du im zweiten Schritt u.U. das vorher Getane
wieder kaputt, so dass der erste Schritt nochmals wiederholt
werden muss. Ich vermute, bei geeigneten irrationalen Verhältnissen
musst Du unendlich oft wiederholen und zu einem Limes übergehen,
um mit dieser Argumentation zum Ziel kommen.

Wie es leichter geht, beschreibe ich gleich nochmal.

> In diesem Viereck sei M der Schnittpunkt der Diagonalen.
> Das Viereck zerfällt in 4 rechtwinklige Dreiecke

Wieso sollten sich die Diagonalen rechtwinklig schneiden?
Die obige Argumentation zeigt vielmehr: Unter allen Vierecken
eines gegebenen Umfangs U ist das flächengrößte eine Raute.

Diese Aussage kann man eben ohne Limes beweisen, wenn man
zunächst mit einem Kompaktheitsargument zeigt, dass es
ein flächengrößtes mit Umfang U gibt. Sobald man das weiß,
kann man feststellen, dass dieses einen Raute sein muss:
Sonst wären zwei nebeneinanderliegende Seiten verschieden
lang, und durch Anwenden der Vorüberlegung auf das
entsprechende Dreick (aus diesen Seiten und der
verbindenden Diagonale) erhält man einen Widerspruch.

(Wir haben sogar die stärkere Aussage gezeigt, dass das
Flächengrößte *nur* unter der Menge der Rauten zu finden ist.)

Dass unter den Rauten gleichen Umfangs die eindeutige
flächengrößte das Quadrat ist, ist jetzt so elementar,
dass ich mir das spare, zu zeigen: Wir hatten das Argument
sogar schon allgemeiner für Parallelogramme.

[Martin Vaeth]

Carlo XYZ <carl...@invalid.invalid> schrieb:

> Stephan Gerlach wrote on 20.12.22 03:41:
>
>> Zumindest, daß das Viereck konvex sein muß, sollte sich relativ leicht

>> zeigen lassen (stark vereinfachte Begründung): [...]

>
> Das scheint eine ausgesprochen "schlüpfrige" Angelegenheit zu sein.
>
> http://erikdemaine.org/papers/Flips_DCG20/paper.pdf

Leider habe ich das erst nach dem Abschicken meines Postings gesehen.

Hübsch, zumindest haben wir jetzt einen Beweis für den allgemeinen
Fall.

Für das Viereck sollte es trotzdem deutlich einfacher gehen:
Man muss halt als erstes nachweisen, dass höchstens *eine*
Ecke nichtkonvex sein kann (für Vierecke, deren Rand eine
Jordankurve bildet), und dass dies impliziert, dass ein
einmaliges Herausklappen überschneidungsfrei möglich ist.
Das geht sicher beides elementargeometrisch, auch wenn ich
im Moment nicht sehe, wie.

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 20.12.22 20:41:

> Für das Viereck sollte es trotzdem deutlich einfacher gehen:
> Man muss halt als erstes nachweisen, dass höchstens *eine*
> Ecke nichtkonvex sein kann (für Vierecke, deren Rand eine
> Jordankurve bildet), und dass dies impliziert, dass ein
> einmaliges Herausklappen überschneidungsfrei möglich ist.
> Das geht sicher beides elementargeometrisch, auch wenn ich
> im Moment nicht sehe, wie.

Huch. Ist das nicht ganz einfach?

Winkelsumme 360 Grad, konkave Ecke >180 Grad,
also höchstens eine vorhanden.

Sei ABC konkave Ecke, dann Strecke AC außerhalb,
nach Flip also innerhalb, deswegen kreuzungsfrei
(außer A und C).

Einziger Grenzfall zweimal 180 Grad, zweimal 0 Grad.

Übersehe ich etwas?

[Carlo XYZ]

Carlo XYZ wrote on 21.12.22 09:43:

> Einziger Grenzfall zweimal 180 Grad, zweimal 0 Grad.

Nö. Gar kein Grenzfall.

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 20.12.22 20:41:

> Für das Viereck sollte es trotzdem deutlich einfacher gehen:
> Man muss halt als erstes nachweisen, dass höchstens *eine*
> Ecke nichtkonvex sein kann (für Vierecke, deren Rand eine
> Jordankurve bildet), und dass dies impliziert, dass ein

Das mit der Jordankurve hatte ich zuerst überlesen.
Was mögen das für Vierecke sein, die diese Prämisse
nicht erfüllen? Gibt es da eine Subtilität, die ich
übersehen habe?

[Martin Vaeth]

Carlo XYZ <carl...@invalid.invalid> wrote:
> Martin Vaeth wrote on 20.12.22 20:41:
>
>> Für das Viereck sollte es trotzdem deutlich einfacher gehen:
>> Man muss halt als erstes nachweisen, dass höchstens *eine*
>> Ecke nichtkonvex sein kann (für Vierecke, deren Rand eine
>> Jordankurve bildet), und dass dies impliziert, dass ein
>
> Das mit der Jordankurve hatte ich zuerst überlesen.
> Was mögen das für Vierecke sein, die diese Prämisse
> nicht erfüllen? Gibt es da eine Subtilität, die ich
> übersehen habe?

http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/bzmu2011/
_BzMU11_2_Einzelbeitraege/BzMU11_GRAUMANN_G_Vierecke.pdf

[Martin Vaeth]

Carlo XYZ <carl...@invalid.invalid> schrieb:

> Martin Vaeth wrote on 20.12.22 20:41:
>
>> Für das Viereck sollte es trotzdem deutlich einfacher gehen:
>> Man muss halt als erstes nachweisen, dass höchstens *eine*
>> Ecke nichtkonvex sein kann (für Vierecke, deren Rand eine
>> Jordankurve bildet), und dass dies impliziert, dass ein
>> einmaliges Herausklappen überschneidungsfrei möglich ist.
>> Das geht sicher beides elementargeometrisch, auch wenn ich
>> im Moment nicht sehe, wie.
>
> Huch. Ist das nicht ganz einfach?

Machbar ist es sicher; über die Schwierigkeit kann man streiten.

> Winkelsumme 360 Grad

Bei einem überschlagenem Viereck beispielsweise ist
das falsch. Es stimmt "zufällig" noch bei Vierecken
mit einer konkaven Ecke, aber m.E. muss man für den
Beweis dafür bereits das hineinstecken, was Du damit
zeigen willst.

> Sei ABC konkave Ecke, dann Strecke AC außerhalb,
> nach Flip also innerhalb, deswegen kreuzungsfrei
> (außer A und C).

Das Argument verstehe ich nicht. Das Problem ist
nicht, dass die Strecke AC nach dem Schnitt etwas
überschneidet, sondern, dass eine der "geflippten"
Strecken AB oder BC eine andere Seite schneiden
*könnte*.
Dass das beim Viereck *nicht* geht, liegt grob
gesprochen nur daran, dass 4 Geradenstücke
zu wenig sind, um ein Gegenbeispiel zu basteln.
Bei einem Sechseck beispielsweise ist das kein
Problem, hier eine Skizze:

E\
\
\
\
\
\
\
A ___\F
\
\-----
B /C
/
/
/
/D

Weil ich die Skizze mit ASCII mache, habe ich die
Verbindungsstrecke zwischen D und E weglassen
müssen, und die Ecke F muss man sich deutlich
weiter nach unten gezogen vorstellen.
Aber ich glaube, dann ist klar, washalb das
"Umklappen" der konvexen Ecke ABC hier nicht
überschneidungsfrei passieren kann.

Klar, in diesem Beispiel hat man es mit einem
6-Eck zu tun, es ist also kein Gegenbeispiel in
dem Sinne (kann es ja auch nicht sein, weil die
Behauptung für 4-Ecke ja stimmt).
Aber man muss eben *zeigen*, dass so etwas bei
einem 4-Eck nicht passieren kann.

Wie schwierig das sein kann, sieht man, wenn man
versucht, die Behauptung für 5-Ecke zu zeigen:
Da *scheint* sie mir auch noch zu stimmen, aber
ganz sicher bin ich da schon nicht, und der
Grund - falls es richtig ist - scheint mit sehr
subtil zu sein (wenn ich eine der 5 Geraden
nur ganz leicht krümmen dürfte, könnte ich ein
Gegenbeispiel angeben).

Beim Durchlesen von Wikipedia denke ich, dass
man für Vierecke einen rigorosen Beweis durch
Betrachten der Diagonalen und der 4 mit den
Rändern gebildeten Dreiecken führen kann:

Optisch ist klar, dass - wenn der Rand eine
Jordankurve und eine Ecke konvex ist - eine
Diagonale inner- und eine außerhalb liegt,
und dass die 2 der 4 oben erwähnten Dreiecke,
die die "Diagonale außerhalb" als gemeinsame
Seite haben, die Zusatzeigenschaft haben,
dass eines eine Teilmenge des anderen ist:
Wenn man das alles weiß, dann kann man das
kleine Dreieck (was das mit der konkaven
Ecke sein muss) nach "außen" klappen, und
landet dabei dann eben vollständig außerhalb
des anderen Dreiecks, insbesondere nicht auf
einer der beiden anderen Vierecksseiten.

Jetzt muss man "nur noch" dieses "optisch klare"
zeigen: Der Beweis ist hier noch lange nicht
fertig...

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 21.12.22 19:22:

>> Winkelsumme 360 Grad
>
> Bei einem überschlagenem Viereck beispielsweise ist
> das falsch.

Stimmt leider :-(( Danke.

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 21.12.22 18:08:

> http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/bzmu2011/
> _BzMU11_2_Einzelbeitraege/BzMU11_GRAUMANN_G_Vierecke.pdf

Ein nettes Papierchen!

Ich denke, man kann deine 2 Behauptungen (höchstens
1 konkave Ecke, nach 1 Flip überschneidungsfrei und
konvex) an dem Bildchen auf Seite 2 auch geometrisch
rigoros nachvollziehen.

Behauptung 1 folgt direkt: die 7 Fälle sind exhaustiv.

Behauptung 2 folgt aus einer (allerdings nicht sehr
"schönen") Fallunterscheidung. Seien die 7 Bereiche
R0...R6 benannt, R0 der in der Mitte, R1 der konvexe,
die anderen gegen Uhrzeigersinn. Es gibt leider nur
zwei direkt symmetrische Paare, also 5 Fälle. Alle
möglichen Flips führen von Rx, x!=1, nach R1, das
selber bereits in der gewünschten Form ist.

Für Fünfecke ... Mhm :-)

PS Eine bescheidene Bitte: solchen langen URL's
muss ich händisch kopieren und dann Stellen suchen,
wo ein Blank oder ein carriage-return eingefügt ist,
diese dann löschen, und erst dann kann ich sie nach
paste im Browser öffnen. Wenn du sie aber in <...>
einschließt, funktioniert "Klick darauf".

[Ralf Bader]

Dieser Einwand ist zugkräftig für (n!=4)-Ecke, aber für 4-Ecke
funktioniert es so.

> Wie es leichter geht, beschreibe ich gleich nochmal.
>
>> In diesem Viereck sei M der Schnittpunkt der Diagonalen.
>> Das Viereck zerfällt in 4 rechtwinklige Dreiecke
>
> Wieso sollten sich die Diagonalen rechtwinklig schneiden?

Weil Wikipedia es sagt :-). Und weil in einem gleichschenkligen Dreieck
die vom Schnittpunkt der beiden gleichlangen Seiten auf die dritte
gefällte Höhe diese dritte halbiert.

[Martin Vaeth]

Ralf Bader <ba...@nefkom.net> schrieb:

>>
>> Die letzte Aussage ist leider falsch:
>> Im ersten Schritt machst Du nämlich die Paare (AB, BC) und (AD, CD)
>> gleich lang, wobei Du ggf. den längeren Teil kürzer machst, und
>> Im zweiten Schritt machst Du dann die Paare (AB, AD) und (BC, CD)
>> auf analoge Art gleich lang.
>> Dummerweise machst Du im zweiten Schritt u.U. das vorher Getane
>> wieder kaputt, so dass der erste Schritt nochmals wiederholt
>> werden muss. Ich vermute, bei geeigneten irrationalen Verhältnissen
>> musst Du unendlich oft wiederholen und zu einem Limes übergehen,
>> um mit dieser Argumentation zum Ziel kommen.
>
> Dieser Einwand ist zugkräftig für (n!=4)-Ecke, aber für 4-Ecke
> funktioniert es so.

Stimmt: Du bist nicht "kreisförmig" vorgegangen, um die Dreiecke
gleichseitig zu machen (wo mein Einwand berechtigt wäre), sondern
gehst jeweils bei den gegenüber liegenden Dreiecken vor.
Dadurch stellst Du im ersten Schritt eine Symmetrie bzgl. derjenigen
Diagonalen her, die die (möglicherweise) bewegten Ecken verbindet.
Der zweite Schritt verändert nun nur die Dreiecke, die auf jeweils
einer Symmetrieseite sind, und eben wegen der bestehenden
Achsensymmetrie bleibt diese dabei erhalten; daher wir die
vorher erhaltene Gleichseitigkeit nicht zerstört.
Clever!

>> Wieso sollten sich die Diagonalen rechtwinklig schneiden?
>
> Weil Wikipedia es sagt :-).

Mein Fehler: Aus dem weiter unten beschriebenen Grund hatte
ich hier ein Parallelogramm im Kopf, bei dem das natürlich
nicht so sein muss.

Deine Argumentation von Raute zu Quadrat scheint mir aber
trotzdem unnötig kompliziert (wenngleich sie den Vorteil hat,
sich für n-Ecke erweitern zu lassen, weil es sich wohl um
eine Variante der klassischen Argumentation dafür handelt).

Zur Erinnerung ist hier nochmals die (m.E.) kürzere Argumentation,
die wir bereits früher hatten (sogar für Dreiecke, die nicht
unbedingt gleichschenklig sind, d.h. im Parallelogrammfall):

Du hast eine Raute bestehend aus einem gleichschenkligen
Dreieck und einer symmetrischen Kopie davon. Wir haben noch die
Freiheit der Wahl des dazwischenliegenden Winkels. Wenn man einen
der gleichen Schenkel als Grundlinie auffasst, wird die
zugehörige Höhe (und damit die Fläche) des Dreiecks genau für
den rechten Winkel maximal.

[Stephan Gerlach]

Martin Vaeth schrieb:

[...]
> Insgesamt läuft die Lösung über Parallelogramme also *exakt*
> auf die von mir gegebene Lösung der Maximimerung der
> Dreiecksfläche hinaus (was natürlich nicht verwunderlich ist):
> Erst weist man nach, dass der Winkel zwischen den beiden
> Seiten ein rechter sein muss, und danach läuft es auf das
> Berechnen der Maximalstelle der nach unten geöffneten
> Parabel x*(30-x) hinaus:
>
>> A=x*(30-x) , A'=30-2x. 0=30-2x, x=15. qed
>
> Letzteres macht man in der Schule hingegen bereits vor der
> Differentialrechnung (zumindest war das seinerzeit in Bayern
> nach so; hat sich vielleicht inzwischen geändert).

Die Maximalstelle der nach unten geöffneten Parabel wird (zumindest in
Sachsen) auch vor der Differentialrechnungberechnet, allerdings idR
nicht unter dieser Bezeichnung, sondern (meistens) als x-Koordinate des
Scheitelpunktes bezeichnet.

Im Rahmen von Extremwertaufgaben (z.B. "welches Rechteck mit gegebenem
Umfang hat maximalen Flächeninhalt") kommt das Ganze zudem (vor der
Differentialrechnung) äußerst selten vor.

[Stephan Gerlach]

Martin Vaeth schrieb:

> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>> Martin Vaeth schrieb:
>>
>>> - in der Formulierung
>>> ist nicht einmal die Konvexität des Vierecks a-priori klar.
>> Zumindest, daß das Viereck konvex sein muß, sollte sich relativ leicht
>> zeigen lassen (stark vereinfachte Begründung):
>
> Deswegen schrieb ich auch "in der Formulierung" - man braucht halt
> noch einen zusätzlichen Schritt zum Beweis der Konvexität.
> Der Beweis, den Du gibst, ist übrigens i.W. der aus
> https://de.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrisches_Problem
> Aber wenngleich anschaulich sind beide Beweise nicht sehr rigoros.

Ja, man müßte formal definieren, was genau man unter einem Viereck
versteht (einschließlich Spezial-/Sonderfälle) sowie präzisieren, was
man unter "nach innen gerichtete Ecke" und "umklappen" versteht.

>> Für den Fall n=3 und die Frage
>> "Welches Dreieck mit vorgegebenem Umfang hat den maximalen Flächeninhalt?"
>> könnte vielleicht sogar die "Brute-Force"-Methode Differentialrechnung
>> einer Funktion mit 2 Variablen ausreichen.

[...]

> Wenn man die Fragestellung verändert wie oben *braucht* man natürlich
> den 3-Seiten-Fall, *muss* also für einen rein analytischen Beweis
> den Satz von Heron heranziehen
> https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron
> In diesen Satz geht der halbe Umfang s ein, und die Fläche ist dann
> die Wurzel aus s(s-a)(s-b)(s-c), wobei a, b, c die Seitenlängen sind.
> Multiplizieren mit 8/s zeigt: Für vorgegebenen Umfang U sucht man das
> Maximum von f(a, b, c) = (U-2a)(U-2b)(U-2c) unter den
> Nebenbedingungen g(a, b, c) = a + b + c = U und a, b, c >= 0.

Der Vollständigkeit wegen:
Hier braucht man wohl noch die (ziemlich einfache?!) Aussage, daß eine
Maximalstelle der positiven Funktion f=A^2 zugleich eine Maximalstelle
der Funktion A ist, wenn A eine positive Funktion ist (unabhängig von
der Anzahl der Variablen von A bzw. f; hier: 3 Variablen a, b, c).

Oder einfach ausgedrückt: "Man kann die Wurzel bei der Fläche A für die
Maximum-Bestimmung weglassen."

> Ohne Lagrange ist das eine üble Rechnerei. Mit Lagrange:
> Da für a = 0, b = 0, oder c = 0 die Fläche 0 ist, muss das Maximum
> im Inneren angenommen werden. Hoffen wir, dass wir genau einen
> kritischen Punkt mit a, b, c > 0 finden:
> Der Gradient von g ist (1, 1, 1) und hat überall maximalen Rang 1.
> Der Gradient von f ist (-2)((U-2b)(U-2c), (U-2a)(U-2c), (U-2a)(U-2b)).
> Für kritische Punkte müssen also alle Einträge im Gradienten gleich
> sein: (U - 2b)(U - 2c) = (U - 2a)(U - 2c) = (U - 2a)(U - 2b).
> Aus U = 2c folgt aus dieser Gleichung aber U = 2a oder U = 2b, also
> a + c = U oder a + b = U, mithin b = 0 oder c = 0, ein Widerspruch.
> Analog sieht man, dass auch die anderen Faktoren in diesen beiden
> Gleichungen nicht 0 sind. Nach Kürzen dieser Faktoren erhält man
> aus den Gleichungen aber sofort a = b = c.
>
> Das wäre also ein analytischer Beweis für die eindeutige Lösung
> des isoperimetrischen Problems für das Dreiecks.

Es gäbe dann (zumindest theoretisch) noch die Variante (ohne Satz von
Heron) mit
A = 1/2 * a * b * sin(gamma)
mit u = a + b + c
und
c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma), also
u = a + b + sqrt(a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma)),
also mit gamma statt c.
Das dürfte nach dem Satz von der Erhaltung der Schwierigkeit aber
mindestens genauso schwierig werden wie dein Rechenweg (vermutlich sogar
viel komplizierter).

> Interessanterweise kann man für das Viereck nicht so einfach
> argumentieren: Dort hängt die Fläche neben den 4 Seiten nämlich noch
> von einem Winkel ab.

Allgemein von 5 "irgendwelchen" voneinander unabhängigen Größen. Denkbar
wären auch 4 Seiten + eine Diagonale (wobei ich nicht sicher bin, ob das
in jedem Fall funktioniert).

Ein Problem (im Vergleich zum Dreieck) könnte sein, daß die
Vierecksfläche von (mindestens?) 5 von einander unabhängigen Größen
abhängt; im Gegensatz zum Dreieck, wo es bloß 3 sind.

(JFTR: Bei der Fünfeckfläche dürfte man schon 7 unabhängige Größen
benötigen?!)

> Tstsächlich kenne ich nach wie vor keinen einzigen eleganten
> *analytischen* Beweis für den Satz, dass die Fläche eines
> Vierecks (genau) für das Quadrat maximal wird.

Eine Idee wäre, mit allen 4 Viereckseiten + einer Diagonale zu arbeiten
(und damit ganz ohne Winkel).
Ich bin aber grad' nicht sicher, ob das korrekt und zielführend wäre.

Der Flächeninhalt A wäre dann die Summe aus 2 Wurzel-Termen nach
Heron-Formel, was man im Gegensatz zur Dreieckfläche nicht einfach so
quadrieren kann (siehe meine Bemerkung "der Vollständigkeit wegen..."
oben) und dann eine sehr einfache Funktion erhält.

> Ein Link zu einem sehr eleganten geometrischer Beweis sogar
> für das allgemeine n-Polygon wurde aber ja schon gepostet!