Laufen im Kreis andersrum

[Udo]

Hallo,
bei einer Aufgabe komme ich einfach nicht weiter und bitte um Hilfe.

Zwei Personen (P1 und P2) laufen auf der gleichen Kreisbahn, aber
gegenläufig und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
P1 läuft im Gegenuhrzeigersinn, P2 im Uhrzeigersinn.

Betrachten wir die Kreisbahn als große Uhr, dann starten die beiden
Rücken an Rücken bei 12 Uhr bzw. 0 Uhr.
Sie treffen sich nach einer Weile genau bei 12 Uhr wieder.
P1 hat dann gerade 11 Runden hinter sich, P2 ist 7 Runden gelaufen.
Zwei Fragen hierzu:

a) an welcher Position treffen sie sich zum ersten Mal?
b) Wie oft begegnen sie sich insgesamt?

Ich sehe nicht so recht, ob und ggf. wie sich das mittels Modulo-
Rechnung lösen lässt.

Wäre für Hilfe dankbar, da ich hier ein Brett vor dem Kopf habe und
einfach nicht sehe, wie ich das geschickt lösen kann.

Bisherige Überlegung:
P1 ist nach einem 11-tel der Gesamtzeit auf der Uhr bei
Position 0 + 60/11 = 5.455 Minuten angekommen, da er im
Gegenuhrzeigersinn läuft.
P2 steht bei 60/7 = 8.571 Minuten nach einem 7-tel der Gesamtzeit.

Von hier aus krieg ich's jetzt irgendwie nicht zusammen.
Welche Überlegung führt zum Ziel?

Danke und Grüße
Udo

[Stefan Schmitz]

Am 02.08.2022 um 11:39 schrieb Udo:

> Bisherige Überlegung:
> P1 ist nach einem 11-tel der Gesamtzeit auf der Uhr bei
> Position 0 + 60/11 = 5.455 Minuten angekommen, da er im
> Gegenuhrzeigersinn läuft.
> P2 steht bei 60/7 = 8.571 Minuten nach einem 7-tel der Gesamtzeit.

Nach diesen Zeiten stehen beide exakt bei 12 Uhr, da sie dann eine Runde
geschafft haben.

Insgesamt haben sie nach der Gesamtzeit 18 Runden geschafft, davon P1 11
und P2 7. Wie ist ihre Position zueinander, wenn sie zusammen eine Runde
absolviert haben?

[Ralf Goertz]

Am Tue, 2 Aug 2022 02:39:27 -0700 (PDT)
schrieb Udo <udob...@googlemail.com>:

> Hallo,
> bei einer Aufgabe komme ich einfach nicht weiter und bitte um Hilfe.
>
> Zwei Personen (P1 und P2) laufen auf der gleichen Kreisbahn, aber
> gegenläufig und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
> P1 läuft im Gegenuhrzeigersinn, P2 im Uhrzeigersinn.
>
> Betrachten wir die Kreisbahn als große Uhr, dann starten die beiden
> Rücken an Rücken bei 12 Uhr bzw. 0 Uhr.
> Sie treffen sich nach einer Weile genau bei 12 Uhr wieder.
> P1 hat dann gerade 11 Runden hinter sich, P2 ist 7 Runden gelaufen.
> Zwei Fragen hierzu:
>
> a) an welcher Position treffen sie sich zum ersten Mal?
> b) Wie oft begegnen sie sich insgesamt?
>
> Ich sehe nicht so recht, ob und ggf. wie sich das mittels Modulo-
> Rechnung lösen lässt.

Nehmen wir o.B.d.A an, dass P1 für eine Runde genau eine Stunde braucht.
Dann benötigt P2 11/7 Stunden für eine Runde. Sei t der Zeitpunkt, zu
dem sie sich das erste mal treffen, dann gilt also 60-t=11t/7 =>
60=18t/7 => t=70/3 also treffen sie sich an der Position 23 Minuten und
20 Sekunden.

Das kommt zumindest überschlagsmäßig hin. Da P1 schneller rückwärts
läuft als P2 vorwärts müssen sie sich vor 30 Minuten treffen. Die Anzahl
solltest du jetzt selbst ausrechnen können.

[Udo]

Stefan Schmitz schrieb am Dienstag, 2. August 2022 um 12:12:36 UTC+2:

> Insgesamt haben sie nach der Gesamtzeit 18 Runden geschafft, davon P1 11
> und P2 7. Wie ist ihre Position zueinander, wenn sie zusammen eine Runde
> absolviert haben?

Dieser Einstieg ist intuitiv, wenn man drauf kommt.

18 = 11 + 7
1 = 11/18 + 7/18
P1 läuft von einer Runde 11/18,
P2 läuft 7/18, und
7/18 von 60 Minuten sind gerade 23 Minuten 20 Sekunden.
Das gleiche Ergebnis, das Ralf errechnet hat.

[Udo]

Ralf Goertz schrieb am Dienstag, 2. August 2022 um 12:12:40 UTC+2:

> Nehmen wir o.B.d.A an, dass P1 für eine Runde genau eine Stunde braucht.
> Dann benötigt P2 11/7 Stunden für eine Runde. Sei t der Zeitpunkt, zu
> dem sie sich das erste mal treffen, dann gilt also 60-t=11t/7 =>
> 60=18t/7 => t=70/3 also treffen sie sich an der Position 23 Minuten und
> 20 Sekunden.

Danke für die Hilfe.
Die Rechnung hab ich verstanden.

> Das kommt zumindest überschlagsmäßig hin. Da P1 schneller rückwärts
> läuft als P2 vorwärts müssen sie sich vor 30 Minuten treffen. Die Anzahl
> solltest du jetzt selbst ausrechnen können.

Ich hab trotzdem immer noch nicht ganz den Durchblick.
Kann es sein, dass sie P1 und P2 18 mal begenen?

[Brigitta Jennen]

Udo schrieb am Dienstag, 2. August 2022 um 13:30:18 UTC+2:

> Ich hab trotzdem immer noch nicht ganz den Durchblick.
> Kann es sein, dass sie P1 und P2 18 mal begenen?

Ja - es sind genau 18 Begegnungen.
Vielleicht hilft folgende Vorstellung weiter: Würde nur P1 laufen und P2 stillstehen,
so gäbe es 11 Begegnungen. Umgekehrt, wenn P1 steht und nur P2 läuft, ergeben
sich 7 Begegnungen. Zusammen also 18.
Mit einer ähnlichen Überlegung kann man nun auch die Frage beantworten, wie
häufig P1 die Person P2 überholen würde, wenn beide in die gleiche Richtung liefen.
Dies wären gerade 11 - 7 = 4 Überholungen, wobei man aufpassen muss, dass man das
letzte Zusammentreffen, wenn beide wieder bei 12 Uhr angekommen sind,
nicht als Überholvorgang mitzählt.
Nette Aufgabe, die man schön auf Planeten-/Satellitenumläufe übertragen kann.

[Stephan Gerlach]

Udo schrieb:

> Hallo,
> bei einer Aufgabe komme ich einfach nicht weiter und bitte um Hilfe.
>
> Zwei Personen (P1 und P2) laufen auf der gleichen Kreisbahn, aber
> gegenläufig und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

v1 ... Betrag der Geschwindigkeit von P1
v2 ... Betrag der Geschwindigkeit von P2

> P1 läuft im Gegenuhrzeigersinn, P2 im Uhrzeigersinn.
>
> Betrachten wir die Kreisbahn als große Uhr, dann starten die beiden
> Rücken an Rücken bei 12 Uhr bzw. 0 Uhr.
> Sie treffen sich nach einer Weile genau bei 12 Uhr wieder.
> P1 hat dann gerade 11 Runden hinter sich, P2 ist 7 Runden gelaufen.

Daraus kann man schlußfolgern (Beweis: einfach bzw. Übungsaufgabe):

v1/v2 = 11/7.

O.B.d.A. kann man annehmen:
v1 = 11 [irgendeine_Einheit]
v2 = 7 [irgendeine_Einheit]

> Zwei Fragen hierzu:
>
> a) an welcher Position treffen sie sich zum ersten Mal?

Physikalische (Standard-)Methode (der Kinematik):

Lege für beide Körper ein gemeinsames Bezugssystem fest.
Stelle dann für beide Körper die Weg-Zeit-Gesetze s1(t) und s2(t) auf.
Löse dann s1(t)=s2(t) nach t auf; das ist die Zeit, nach der sich die
beiden Körper treffen.
Setze dieses t in s1(t) oder s2(t) ein.

In diesem Beispiel:
------------------
Bezugssystem: Beim Start legen wir fest t=0, bei 12 Uhr ist s=0.

Weg-Zeit-Gesetz für P1 bzw. P2:
s1 = v1 * t
s2 = -v2 * t + u

gleichsetzen:
s1 = s2
v1 * t = -v2 * t + u

nach t umstellen:
t = u/(v1+v2)

t in s1 einsetzen:

s1 = v1 * u/(v1 + v2).

Speziell mit u=1, v1=11, v2=7:

s1 = 11/(11+7) = 11/18.

Dieser Weg s1 wird, da es der Weg von P1 ist, von 12 Uhr aus gegen den
Uhrzeigersinn gemessen (mathematisch positiver Drehsinn).

BTW: Es kann aufgrund dieses Ergebnisses für die weitere Betrachtung
zweckmäßig sein, den Umfang auf 18 zu normieren, also u=18 zu setzen.

Vielleicht stellt man sich dazu am besten eine Uhr vor, die gegen den
Uhrzeigersinn mit ganzen Zahlen von 1 bis 18 beschriftet ist.
Mit dieser Sichtweise treffen sich beide erstmals bei Position 11.

> b) Wie oft begegnen sie sich insgesamt?

18-mal, wenn man den Start nicht mitzählt, aber das letzte Treffen mitzählt.
Die Treffpunkte sind:
11, 4, 15, 8, 1, 12, 5, 16, 9, 2, 13, 6, 17, 10, 3, 14, 7, 0.

Hinweis: Man kann (mit Rechnung modulo 11) hier auch direkt begründen,
daß es 18 Treffen sind, ohne die einzelnen Treffpunkte alle auszurechnen.
(Beweis/Begründung: Übungsaufgabe)

> Ich sehe nicht so recht, ob und ggf. wie sich das mittels Modulo-
> Rechnung lösen lässt.

a) würde ich gar nicht mit Modulo-Rechnung lösen; bei b) hingegen kann
man im Prinzip alles Modulo 11 rechnen, quasi aus Sicht von P1
(stattdessen modulo 7, also aus Sicht von P2, geht auch).

> Wäre für Hilfe dankbar, da ich hier ein Brett vor dem Kopf habe und
> einfach nicht sehe, wie ich das geschickt lösen kann.
>
> Bisherige Überlegung:
> P1 ist nach einem 11-tel der Gesamtzeit auf der Uhr bei
> Position 0 + 60/11 = 5.455 Minuten angekommen, da er im
> Gegenuhrzeigersinn läuft.
> P2 steht bei 60/7 = 8.571 Minuten nach einem 7-tel der Gesamtzeit.

Nach Möglichkeit nicht in Dezimalbrüchen rechnen; das wird zu kompliziert.

> Von hier aus krieg ich's jetzt irgendwie nicht zusammen.
> Welche Überlegung führt zum Ziel?

Für a) wie gesagt am einfachsten die oben beschriebene
"Physik-Kinematik-Methode"; da muß man wenig dabei nachdenken.
Bei b) muß man sich dafür entscheiden, aus wessen Sicht man die Aufgabe
weiter betrachtet (P1 oder P2), und dann modulo seiner Geschwindigkeit
rechnen.

Was vielleicht noch wesentlich ist, ist ganz am Anfang
v1/v2 = 11/7
und die Überlegung/Idee, daß man keine konkreten Werte für die
Geschwindigkeiten braucht, aber o.B.d.A. einfach v=11 und v2=7 setzen
kann. Das vereinfacht alles.

--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Stephan Gerlach]

Stephan Gerlach schrieb:

[...]

> Vielleicht stellt man sich dazu am besten eine Uhr vor, die gegen den
> Uhrzeigersinn mit ganzen Zahlen von 1 bis 18 beschriftet ist.
> Mit dieser Sichtweise treffen sich beide erstmals bei Position 11.

Ach so, falls das irgendwie als Uhrzeit angegeben werden soll:

Die Position 11 wird aus Sicht von P1 gemessen, die gegen den
Uhrzeigersinn läuft.
Falls man diese Position auf einer "normalen" Uhr, also *im*
Uhrzeigersinn und z.B. in Minuten angeben will:

Dann wird aus Position 11 die Position 7 (aus Sicht von P2, die im
Uhrzeigersinn läuft).
Insgesamt gab es 18 Positionen; eine normale Uhr hat eine
60-Minuten-Einteilung. Sei x die gesuchte Minuten-Position, dann gilt:

x/60 = 7/18
x = 7*60/18 = 7*10/3 = 70/3
x = 23,333333333... min.

[Ulrich D i e z]

Am 02.08.22 um 11:39 schrieb Udo:

> Zwei Personen (P1 und P2) laufen auf der gleichen Kreisbahn, aber
> gegenläufig und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

Was heisst "unterschiedliche Geschwindigkeiten"?

Ich nehme an, sowohl P1 als auch P2 läuft, solange der Lauf dauert, mit
betragsmäßig konstanter Geschwindigkeit, aber die beiden betragsmäßig
konstanten Geschwindigkeiten sind betragsmäßig voneinander verschieden.

> P1 läuft im Gegenuhrzeigersinn, P2 im Uhrzeigersinn.
>
> Betrachten wir die Kreisbahn als große Uhr, dann starten die beiden
> Rücken an Rücken bei 12 Uhr bzw. 0 Uhr.

Dass die beiden "starten" läuft vermutlich der Annahme zuwider, sie
seien, solange der Lauf dauert, jeweils mit betragsmäßig konstanter
Geschwindigkeit unterwegs, denn "starten" impliziert eine Phase der
Beschleunigung.
In Phasen der Beschleunigung sind Geschwindigkeiten betragsmäßig
nicht konstant. Aber sei es drum.

> Sie treffen sich nach einer Weile genau bei 12 Uhr wieder.
> P1 hat dann gerade 11 Runden hinter sich, P2 ist 7 Runden gelaufen.
> Zwei Fragen hierzu:
>
> a) an welcher Position treffen sie sich zum ersten Mal?
> b) Wie oft begegnen sie sich insgesamt?

In der besagten Weile/in der nicht näher bestimmten Zeitspanne legen
sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke zurück, die 18 Kreisbahnlängen
entspricht.

zu b) Wie oft sie einander während des Laufes begegnen kann man streng genommen
nicht sagen, denn im Aufgabentext steht zwar etwas über eine Begegnung bei
der 12Uhr-Position, aber es steht nicht da, dass der Lauf bei dieser
Begegnung endet.
Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während
des Laufes insgesamt 18 mal: Da sie gegenläufig unterwegs sind begegnen sie
einander nämlich immer dann, wenn sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke
zurückgelegt haben, die einem ganzzahligen Vielfachen einer Kreisbahnlänge
entspricht. Und das passiert 18 mal.

P1 lauft also 11/18 einer Gesamtstrecke gegen den Uhrzeigersinn
in der Zeitspanne, in der P2 7/18 einer Gesamtstrecke im Uhrzeigersinn
läuft.

zu a) Welchen "Uhrzeiger" willst du für die Positionsangabe verwenden?
Den Minutenzeiger? Den Stundenzeiger?
Im Aufgabentext ist von 0 Uhr/12 Uhr die Rede. Das sind "Stundenzeiger-
Positionen".
P1 und P2 begenen einander zum erstenmal wenn sie eine Gesamtstrecke
zurückgelegt haben, die dem Einfachen einer Kreisbahnlänge
entspricht. P1 hat dann 11/18 dieser Gesamtstrecke, also dieser
Kreisbahnlänge, gegen den Uhrzeigersinn zurückgelegt. P2 hat
dann 7/18 dieser Gesamtstrecke, also dieser Kreisbahnlänge im
Uhrzeigersinn zurückgelegt.

Welche Minutenzeigerposition entspricht 7/18 einer Kreisbahnlänge?
Welche Stundenzeigerposition entspricht 7/18 einer Kreisbahnlänge?

Dreisatz:

Eine Kreisbahnlänge entspricht der Minutenzeigerposition 0 Minuten = 60 Minuten.
7/18 einer Kreisbahnlänge entspricht der
Minutenzeigerposition 60 Minuten *(7/18)= 23 + 1/3 Minuten.

Eine Kreisbahnlänge entspricht der Stundenzeigerposition 0 Uhr = 12 Uhr.
7/18 einer Kreisbahnlänge entspricht der
Stundenzeigerposition 12 Uhr *(7/18)= 4 + 2/3 Uhr = 4:40 Uhr.

(Mit Stundenzeigerpositionen ist es aber so eine Sache, denn sie beziehen
sich auf Uhren, bei denen man auf den Minutenzeiger verzichten kann, weil
der Stundenzeiger sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, sodass man sich
die Minuten der angebrochenen Stunde auch an der Position des
Stundenzeigers erschliessen kann.
Es gibt aber auch Uhren, bei denen der Stundenzeiger sich nicht konstant
bewegt und zB um 4:40 Uhr noch genau dort steht, wo er um 4 Uhr stand, und
erst Schlag 5 Uhr von der 4 Uhr-Position zur 5 Uhr-Position springt, sodass
man bei solchen Uhren für die Kenntnis der genauen Uhrzeit auf den
Minutenzeiger angewiesen ist.)


Die "Zeigerpositionen" an denen P1 und P2 einander begegnen sagen nichts
darüber aus, wie lange es jeweils zeitlich dauert bis P1 und P2 einander
begegnen.


Indem Uhrzeit nicht als Zeitangabe, sondern als Positionsangabe ins
Spiel gebracht wird, soll Verwirrung gestiftet werden.

Die Aufgabe wäre vielleicht noch verwirrender wenn P1 und P2 nicht
gegenläufig sondern in gleicher Richtung laufen würden.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich.

[Stefan Schmitz]

Am 10.08.2022 um 06:12 schrieb Ulrich D i e z:

> (Mit Stundenzeigerpositionen ist es aber so eine Sache, denn sie beziehen
> sich auf Uhren, bei denen man auf den Minutenzeiger verzichten kann, weil
> der Stundenzeiger sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, sodass man sich
> die Minuten der angebrochenen Stunde auch an der Position des
> Stundenzeigers erschliessen kann.
> Es gibt aber auch Uhren, bei denen der Stundenzeiger sich nicht konstant
> bewegt und zB um 4:40 Uhr noch genau dort steht, wo er um 4 Uhr stand, und
> erst Schlag 5 Uhr von der 4 Uhr-Position zur 5 Uhr-Position springt, sodass
> man bei solchen Uhren für die Kenntnis der genauen Uhrzeit auf den
> Minutenzeiger angewiesen ist.)

So eine Uhr habe ich noch nie gesehen, und ich fände sie auch ziemlich
verwirrend, weil es kurz vor 5 nach fast genau 4 aussieht.
Zudem erfordert sie eine aufwendigere Mechanik. Wer baut so etwas?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 10, 2022 at 6:11:09 AM UTC+2, Ulrich D i e z wrote:

> Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während
> des Laufes insgesamt 18 mal: Da sie gegenläufig unterwegs sind begegnen sie
> einander nämlich immer dann, wenn sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke
> zurückgelegt haben, die einem ganzzahligen Vielfachen einer Kreisbahnlänge
> entspricht. Und das passiert 18 mal.

Super Erklärung/Begründung, finde ich.

[Ulrich D i e z]

Am 10.08.22 um 14:18 schrieb Fritz Feldhase:

Danke. Ich hoffe, es war nicht ironisch gemeint. (Im Moment bin ich nicht in
einem Zustand, in dem ich alle Subtilitäten erkennen würde. Ggfs bitte ich
um Nachsicht.)

Aber vielleicht besser:

Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während

des Laufes insgesamt 18 mal: Der Startpunkt des Laufes ist ein Ort, an dem
sie einander begegnen, nämlich zB zu Anfang des Laufes. Orte, an denen sie einander
begegnen, seien als Begegnungspunkt bezeichnet. Der Startpunkt des Laufes ist
also ein Begegnungspunkt. Da sie gegenläufig unterwegs sind, legen sie von
einem Begegnungspunkt zum nächsten zusammengenommen immer eine Strecke von einer
Kreisbahnlänge zurück. Da sie - ausgehend von einem Begegnungspunkt, dem
Startpunkt - zusammengenommen insgesamt eine Strecke von 18 Kreisbahnlängen
zurücklegen, ist das Szenario, ausgehend von einem Begegnungspunkt zusammengenommen
eine Strecke von einer Kreisbahnlänge zurückzulegen, und einander dann wieder
zu begegnen, 18 mal gegeben, sodass sie einander also, wenn man den Start, bei
dem sie sich ja auch begegnen, nicht mitrechnet, insgesamt 18 mal begegnen.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 10, 2022 at 3:29:11 PM UTC+2, Ulrich D i e z wrote:
> Am 10.08.22 um 14:18 schrieb Fritz Feldhase:
> > On Wednesday, August 10, 2022 at 6:11:09 AM UTC+2, Ulrich D i e z wrote:
> > >
> > > Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während
> > > des Laufes insgesamt 18 mal: Da sie gegenläufig unterwegs sind begegnen sie
> > > einander nämlich immer dann, wenn sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke
> > > zurückgelegt haben, die einem ganzzahligen Vielfachen einer Kreisbahnlänge
> > > entspricht. Und das passiert 18 mal.
> > >
> > Super Erklärung/Begründung, finde ich.
> >

> Danke. Ich hoffe, es war nicht ironisch gemeint. [...]

Ganz und gar nicht. Diese Erklärung ist rchtig gut.

[Udo]

Herzlichen Dank an alle.
Ich finde die unterschiedlichen Ansätze bzw. Herangehensweisen sehr spannend.
Auch dafür, dass das detailliert vorgerechnet wurde, sage ich ein großes Danke.

@ Stephan Gerlach ...
Tolle Erklärung. Für mich sehr gut nachvollziehbar.
Der Hinweis mit der Vereinfachung - super!

@ Ulrich Diez ...

> Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während
> des Laufes insgesamt 18 mal: Da sie gegenläufig unterwegs sind begegnen sie
> einander nämlich immer dann, wenn sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke
> zurückgelegt haben, die einem ganzzahligen Vielfachen einer Kreisbahnlänge
> entspricht. Und das passiert 18 mal.

Auch ich finde das wie Fitz Feldhase eine Super-Erklärung.

Grüße Udo

[Ulrich D i e z]

Am 10.08.22 um 09:21 schrieb Stefan Schmitz:

> Am 10.08.2022 um 06:12 schrieb Ulrich D i e z:
>
>> (Mit Stundenzeigerpositionen ist es aber so eine Sache, denn sie beziehen
>> sich auf Uhren, bei denen man auf den Minutenzeiger verzichten kann, weil
>> der Stundenzeiger sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, sodass man sich
>> die Minuten der angebrochenen Stunde auch an der Position des
>> Stundenzeigers erschliessen kann.
>> Es gibt aber auch Uhren, bei denen der Stundenzeiger sich nicht konstant
>> bewegt und zB um 4:40 Uhr noch genau dort steht, wo er um 4 Uhr stand, und
>> erst Schlag 5 Uhr von der 4 Uhr-Position zur 5 Uhr-Position springt, sodass
>> man bei solchen Uhren für die Kenntnis der genauen Uhrzeit auf den
>> Minutenzeiger angewiesen ist.)
>
> So eine Uhr habe ich noch nie gesehen,

Zum ersten mal ist mir eine solche Uhr im Jahr 2009 aufgefallen - in dem Jahr
habe ich sie geschenkt bekommen.

> und ich fände sie auch ziemlich verwirrend, weil es kurz vor 5 nach fast genau 4 aussieht.

Dafür gibts bei solchen Uhren den Minutenzeiger.

> Zudem erfordert sie eine aufwendigere Mechanik. Wer baut so etwas?

In Hinblick auf die ursprüngliche Aufgabe ist die Frage nach solchen Uhren
zwar eine Diskussion um Kaisers Bart, aber da ich sie ausgelöst habe, gehe
ich darauf ein soweit möglich:

Ich weiss nicht genau, wer so etwas "mechanisch" baut.

Vielleicht jemand, der auch Schiffsuhren/mechanische Glasenuhren herstellt,
bei denen in einer Wache (Zweite Nachtwache 0-4 Uhr, Erste Tagwache 4-8 Uhr,
Zweite Tagwache: 8-12 Uhr, Dritte Tagwache: 12-16 Uhr, Vierte Tagwache:
16-20 Uhr, Erste Nachtwache: 20-0 Uhr; Zeitzonenverschiebungen bei Fahrten
in Ost-West-Richtung sind einzurechnen) das Halbstundenglas halbstündlich in
Doppelschlägen und ggfs einem Einzelschlag glast, um die Anzahl an Stunden
und ggfs einer halben Stunde seit dem letzten Wachwechsel anzugeben, und
der von daher sowieso Mechaniken im Angebot hat, bei denen nicht alles
mit konstanter Geschwindigleit immer gleich "tickt".

Ich kann mir vorstellen, dass es aufwendig ist, solche Uhren rein analog
zu machen.

Ich habe im Jahr 2009 eine Armband-Funkuhr mit Zeigern geschenkt bekommen,
die kaum eine Mechanik hat. Derjenige, der sie mir schenkte, meinte, sie
preiswert bei Aldi bekommen zu haben.
(Ich selbst würde so etwas nicht kaufen, weil ich mir nicht vorstellen kann,
dass bei solchen Dingen niemand ausgebeutet wird.)
Diese Armbanduhr empfängt die Zeitangabe über DCF77.
Der Sekundenzeiger dieser Uhr "hüpft" jede Sekunde eine Sekunde weiter.
Der Minutenzeiger dieser Uhr "hüpft" jede Minute eine Minute weiter.
Der Stundenzeiger dieser Uhr "hüpft" jede Stunde eine Stunde weiter.
Anfangs dachte ich, der Stundenzeiger sei stehengeblieben.
Deshalb ist mir das im Gedächtnis geblieben.

Wer diese Uhr gebaut hat, weiss ich nicht. Ich kann nur hoffen, dass sie
dabei nicht ausgebeutet wurden. Wenn es Probleme gibt, soll man sich laut
Garantiekarte, auf der "Krontaler" steht, in Münster an ein Service-Center
einer Globaltronics GmbH & Co. KG wenden, die ihren Sitz offenbar in Hamburg
hat.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Stephan Gerlach]

Udo schrieb:

> Herzlichen Dank an alle.
> Ich finde die unterschiedlichen Ansätze bzw. Herangehensweisen sehr spannend.
> Auch dafür, dass das detailliert vorgerechnet wurde, sage ich ein großes Danke.
>
> @ Stephan Gerlach ...
> Tolle Erklärung. Für mich sehr gut nachvollziehbar.
> Der Hinweis mit der Vereinfachung - super!

JFTR, hier die Begründung für b) mit Modulo-Rechnung (hatte ich als
Übungsaufgabe gegeben, aber egal, nun ist Zeit für die Auflösung):

Wir erinnern uns:
In meiner Erklärung hatte ich den Kreis in eine "Uhr" mit Punkten von 1
bis 18 bezeichnet, wobei man die 18 besser als 0 bezeichnen sollte, da
18 ≡ 0 mod 18
ist.

Der erste Treffpunkt der beiden Personen wurde (bei mir) als 11
berechnet. Die weiteren Treffpunkte ergeben sich nun, wenn man
fortwährend 11 addiert, aber immer modulo 18 rechnet.
Fortwährend 11 addieren (1-mal, 2-mal, ..., k-mal,...) bedeutet aber
nichts anderes, als 0 (die Startposition) + k*11 zu rechnen, aber das
eben modulo 18.
Die Frage "wann treffen sie sich wieder bei 12:00 Uhr" bedeutet
"wann treffen sie sich wieder bei Position 0".

D.h. man sucht k (wie oft ich 11 addieren muß), so daß
k*11 ≡ 0 mod 18
ist.
Für alle k ∈ {1; 2; ...; 17}
ist aber
k*11 ungleich 0 mod 18,
weil 11 und 18 teilerfremd sind.
Wählt man aber k=18, dann ist
k*11 = 18*11 ≡ 0 mod 18.
Damit ist gezeigt, daß das kleinste k, so daß
k*11 ≡ 0 mod 18
ist, k=18 ist.

> @ Ulrich Diez ...
>> Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während
>> des Laufes insgesamt 18 mal: Da sie gegenläufig unterwegs sind begegnen sie
>> einander nämlich immer dann, wenn sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke
>> zurückgelegt haben, die einem ganzzahligen Vielfachen einer Kreisbahnlänge
>> entspricht. Und das passiert 18 mal.
>
> Auch ich finde das wie Fitz Feldhase eine Super-Erklärung.

Ja, die ist relativ gut und kommt hier ohne Modulo-Erklärung aus.

[Ulrich D i e z]

Am 12.08.22 um 00:34 schrieb Stephan Gerlach:

>> @ Ulrich Diez ...
>>> Wenn der Lauf bei dieser Begegnung endet, dann begegnen sie einander während
>>> des Laufes insgesamt 18 mal: Da sie gegenläufig unterwegs sind begegnen sie
>>> einander nämlich immer dann, wenn sie zusammengenommen eine Gesamtstrecke
>>> zurückgelegt haben, die einem ganzzahligen Vielfachen einer Kreisbahnlänge
>>> entspricht. Und das passiert 18 mal.
>>
>> Auch ich finde das wie Fitz Feldhase eine Super-Erklärung.
>
> Ja, die ist relativ gut und kommt hier ohne Modulo-Erklärung aus.

Alles ist relativ. ;-)

Die Fragen, wie der Stundenzeiger oder der Minutenzeiger an den Begegnungspunkten
von P1 und P2 "steht", und bei den wievielten Begegnungen der Stundenzeiger auf der
12 Uhr/0 Uhr-Position bzw der Minutenzeiger der Uhr auf der 0-ten Minute/60-ten
Minute steht, lassen sich auch anschaulich beantworten:

Jedesmal wenn P1 und P2 einander wieder begegnen, haben sie seit der letzten
Begegnung zusammengenommen eine Strecke zurückgelegt, die einer Kreisbahnlänge
entspricht.

P1 hat dann immer 11/18 dieser Gesamtstrecke gegen den Uhrzeigersinn
zurückgelegt.
P2 hat dann immer 7/18 dieser Gesamtstrecke im Uhrzeigersinn
zurückgelegt.

Diese Strecken addieren sich bei den einzelnen Personen auf.

Wenn der Startpunkt den 0-ten Begegnungspunkt darstellt, begegnen sie
einander zum x-ten mal wenn P1 x*(11/18) Kreisbahnlängen gegen den Uhrzeigersinn
zurückgelegt hat, bzw wenn P2 x*(7/18) Kreisbahnlängen im Uhrzeigersinn
zurückgelegt hat.
Dabei hat P1 dann floor(x*(11/18)) vollständige Kreisbahnlängen gegen den
Uhrzeigersinn zurückgelegt, ggfs zuzüglich einem Bruchteil einer
Kreisbahnlänge.
Dabei hat P2 dann floor(x*(7/18)) vollständige Kreisbahnlängen im Uhrzeigersinn
zurückgelegt, ggfs zuzüglich einem Bruchteil einer Kreisbahnlänge.

Ausgehend von P2 ergibt sich damit für die Zeigerposition bei der x-ten
Begegnung:

Minutenzeigerposition = x*(7/18)*60 - floor(x*(7/18))*60 -te Minute
Stundenzeigerposition = x*(7/18)*12 - floor(x*(7/18))*12 Uhr/-te Stunde

( Man kann salopp auch sagen:
Auf 7 Kreisbahhnlängen = 7*12 Uhr (Stundenzeigerposition) =
84 Uhr (Stundenzeigerposition) kommen für P2 achtzehn Begegnungen.
Die erste Begegnung ist also bei 84/18 Uhr (Stundenzeigerposition)
= 14/3 Uhr (Stundenzeigerposition) = 4 2/3 Uhr (Stundenzeigerposition).

Ausgehend von der Start-Stundenzeigerposition 0 Uhr ändert sich die
Stundenzeigerposition von einer Begegnung zur nächsten im Uhrzeigersinn um
14/3 = 4 2/3 Stunden.

Bei der x-ten Begegnung steht der Stundenzeiger auf
0 + x*(14/3) - floor(x*(14/3)/12)*12 Uhr/-te Stunde
= x*(7/18)*12 - floor(x*(7/18))*12 Uhr/-te Stunde. )

P1 und P2 begegnen einander immer dann bei der 12-Uhr-Position wenn P2 ein
ganzzahliges Vielfaches einer Kreisbahnlänge zurückgelegt hat, wenn also
die zurückgelegten x*7/18 Kreisbahnlängen y Kreisbahnlängen entsprechen,
wobei x (die Anzahl an Begegnungen) und y (die Anzahl an zurückgelegten
ganzen Kreisbahnlängen) nicht-negative ganze Zahlen sein müsssen,
sodass sich die in nicht-negativen ganzen Zahlen zu lösende lineare
diophantische Gleichung
x*7/18 = y bzw 7x - 18y = 0 ergibt.
Da 7 und 18 teilerfremd sind und 0 restlos durch 1 teilbar ist, ist die
Lösung
x = 18k und y = 7k; k in Z; k > 0.

D.h., sie begegnen einander auf Stundenzeigerposition 12 Uhr/0 Uhr bzw
Minutenzeigerposition 60-te Minute/0-te Minute nur bei solchen Begegnungen, die
der Bewerkstelligung einer Anzahl an Begegnungen entsprechen, bei der es sich
um ein nicht-negatives ganzzahliges Vielfachesn von 18 handelt.

Da 11 und 18 auch teilerfremd sind, ergibt sich die selbe Erkenntnis entsprechend
auch wenn man die Sache anhand der Position von P1 berechnet.

Entsprechend kann man die Zeigerposition bei der x-ten Begegnung auch
ausgehend von P1 berechnen:

Minutenzeigerposition = x*(-11/18)*60 - floor(x*(-11/18))*60-te Minute
Stundenzeigerposition = x*(-11/18)*12 - floor(x*(-11/18))*12 Uhr/-te Stunde

(Nicht verwirren lassen:
Für positive Argumente ist der Funktionswert der floor-Funktion betragsmäßig
kleiner oder gleich dem Argument.
Für negative Argumente ist der Funktionswert der floor-Funktion betragsmäßig
größer oder gleich dem Argument. ... )

Zum Beispiel für die fünfte Begegnung ergibt sich folgende Stundenzeigerposition:

5*(7/18)*12 - floor(5*(7/18))*12 Uhr = 11 1/3 Uhr = 11:20 Uhr
bzw
5*(-11/18)*12 - floor(5*(-11/18))*12 Uhr = 11 1/3 Uhr = 11:20 Uhr


Mit freundlichem Gruß

Ulrich