Komposition unendlich oft differenzierbarer Funktionen
Karsten Weinert
immer noch auf der Suche nach einer Testfunktion (deren
C^unendlich-Eigenschaft leicht zu zeigen ist) bin ich auf folgende
Frage gestoßen:
Ist die Komposition zweier C^unendlich Funktionen wieder C^unendlich?
Was meinst du?
Viele Grüße,
Karsten.
JB
> Ist die Komposition zweier C^unendlich Funktionen wieder
> C^unendlich?
Ja klar. Diese Aussage wird als *Kettenregel* bezeichnet..
--
JB
Klaus-R. Löffler
>> Ist die Komposition zweier C^unendlich Funktionen wieder
>> C^unendlich?
>
> Ja klar. Diese Aussage wird als *Kettenregel* bezeichnet..
Möglicherweise wird irgendwo die Kettenregel so weitgehend formuliert. Ich
kenne sie allerdings nur als Aussage über die einmalige Differenzierbarkeit.
Und dann braucht man zur Folgerung der diskutierten Eigenschaft zusätzlich
die *Produktregel* der Differentialrechnung.
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
JB
> JB schrieb
>
>>> Ist die Komposition zweier C^unendlich Funktionen wieder
>>> C^unendlich?
>>
>> Ja klar. Diese Aussage wird als *Kettenregel*
>> bezeichnet..
>
> Möglicherweise wird irgendwo die Kettenregel so weitgehend
> formuliert.
Nein, ich habe nur schlampig gedacht.
--
JB
Joachim Albrecht
> immer noch auf der Suche nach einer Testfunktion
In der Tat: Das sind manche schlampig. Gerade gestern hat ein
Kollege in einem vielgerühmten Buch an dieser Stelle einen Fehler
gefunden, aber ich will den Autor natürlich nicht anschwärzen.
Generell gilt: Da Deine Testfunktion kompakten Träger haben soll,
müssen wir sie an den Enden, wo sie in die Nullfunktion übergehen
soll, kräftig abschmieren lassen. Bloß mit einem Polynom geht das
nicht. Von daher ist das von Dir ursprünglich genannte Beispiel
wohl schon eines der einfachsten.
Betrachten wir etwa eine Funktion, die für x < 0 immer Null sein
soll und rechts davon ungleich Null. Das kriegen wir mit einem
Polynom nie im Leben hin. Z. B. ist die zweite Ableitung des
Kandidaten x^2 (für x > 0) im Punkt Null 2. Generell ist die n-te
Ableitung eines Polynoms n-ten Grades in der Null gerade der
Leitkoeffizient, also ungleich Null.
Mahlzeit, Alm
Hendrik van Hees
[auf der Suche nach Testfunktionen]
Vgl. mal die "Mollifier function", die eine sehr wichtige Testfunktion ist.
Was erfüllt die denn nicht, was ihr wollt.
f:R^n->C
f(x)=exp[-1/(1-x^2)] für ||x||<1
=0 für ||x||>=1
x^2 bezeichnet hierbei das übliche Euklidische Skalarprodukt des R^n.
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Joachim Albrecht
> Vgl. mal die "Mollifier function"
Scherzbold! Mit der hat die Diskussion doch angefangen - sie war
dem Kandidaten zu kompliziert. Was ich bloß sagen wollte, ist:
Viel einfacher geht es wohl nicht. Wenn man es genau wissen will,
kommt man nicht darum herum, sich (mit l'Hospital und induktiv)
zu überlegen, wieso sie tatsächlich C-unendlich ist.
So long, Alm
Karsten Weinert
Naja, genau genommen habe ich diesen extra Thread gestartet, um der
Frage nach der Komposition unendlich diffbarer Funktionen nachzugehen.
Das Beispiel der "Mollifier-Funktion" habe ich inzwischen verstanden -
glaube ich (siehe http://userpage.fu-berlin.de/~kweinert/testfkt.pdf
(66Kb)). Aber wäre es nicht interessant zu wissen, ob die Komposition
von C^unendlich wieder C^unendlich ist? Aber ich habe keinen blassen
Schimmer, wie man das beweist, oder was als Gegenbeispiel geeignet
ist.
Viele Grüße,
Karsten.
Holger Walliser
Karsten Weinert schrieb:
[...]
> Aber wäre es nicht interessant zu wissen, ob die Komposition
> von C^unendlich wieder C^unendlich ist? Aber ich habe keinen blassen
> Schimmer, wie man das beweist, oder was als Gegenbeispiel geeignet
> ist.
>
> Viele Grüße,
> Karsten.
Aber in dem anderen Teilthread ist doch die Antwort darauf schon gegeben worden! Führe doch einfach ff. Überlegung
durch:
Seien f und g unndlich oft diffbare Fkt. Überlege Dir nun welche Gestalt der Ausdruck hat der nach n-maligem
Differenzieren von f nach g entsteht - das wird eine Summe von Produkten von Ausdrücken mit höchsten n-ten Ableitungen
von f und g sein was sich sicher Induktiv leicht zeigen läßt! Nun betrachte diesen Ausdruck und zeige auf Grund der
C_unendlich-Eigenschaft von f und g, daß dieser Ausdruck sicher noch einmal differenzierbar ist ( anwenden einfacher
Diff-Regeln ). Damit ist klar, daß die Annahme irgendeine m-te Ableitung der Verkettung von f und g sei nicht mehr
diffbar zu einem Widerspruch führen muß.
HTH und viele Grüße
Holger
Ralf Muschall
> die *Produktregel* der Differentialrechnung.
Wenn man die Multiplikation und Addition als Funktionen betrachtet
und das zu beweisende annimmt, reicht wieder die Kettenregel.
SCNR, Ralf
--
GS d->? s:++>+++ a C++++ UL+++ UH++ P++ L++ E+++ W- N++ o-- K- w--- !O M- V-
PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++ D? G+ e++++ h+ r? y?