Diese erstaunliche und erfreuliche Identität besagt, dass die Summe der
ersten 24 Quadratzahlen selbst eine Quadratzahl ist, nämlich das Quadrat
von 70.
Leider lässt sich kein 70 x 70 Quilt nähen mit 24 quadratischen Flicken
mit Seitenlängen 1 bis 24, aber es war tatsächlich die Beschäftigung mit
der Zerlegung von Rechtecken in Quadrate, durch die ich auf die
Identität aufmerksam wurde. Dazu unten einige Lesetipps [1] [2] [3].
Ich beginne diesen potentiell unendlichen Thread, weil hinter der
Identität die Zauberwelt der Gruppentheorie zu bestaunen ist:
"Die Existenz eines solchen ganzzahligen Vektors mit Lorentz-Norm 0
beruht auf der Tatsache, dass 1^2 + 2^2 + ... + 24^2 eine Quadratzahl
ist (nämlich 70^2)."
(Meine Übersetzung(*) aus
https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice )
Auch zahlentheoretisch hat es die im Titel genannte Identität in sich,
wie man im englischen Wikipedia-Artikel lesen kann (meine Übersetzung):
"Die Zahl 24 ist die einzige ganze Zahl größer als 1 mit dieser
Eigenschaft. Diese Vermutung wurde von Édouard Lucas ausgesprochen, aber
der Beweis gelang erst viel später mittels elliptischer Funktionen." (**)
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
[1] Anderson, S. "Perfect Rectangles, Perfect Squares."
http://www.squaring.net/.
[2]
https://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
[3]
https://mathworld.wolfram.com/MrsPerkinssQuilt.html
(*) Der entsprechende deutsche Artikel über den "Leech lattice" enthält
diese Identität nicht und ist auch sonst sehr mager:
https://de.wikipedia.org/wiki/Leech-Gitter
(**) Beim Übersetzen von "elliptic functions" war ich im Zweifel, ob ich
das nicht mit "elliptische Kurven" übersetzen sollte, aber es scheint
egal zu sein, weil die Verwandtschaft sehr eng ist. Zumindest lese ich
das aus z.B. diesem Papier
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/mpim/89-23/fulltext.pdf
wo es heißt:
"Wegen ihrer Tiefe und der Vielfalt ihrer Zusammenhänge mit anderen
Gebieten gehört die Theorie der elliptischen Kurven zu den schönsten in
der Mathematik. Sie erscheint in der Funktionentheorie in der Gestalt
der Theorie der elliptischen Funktionen, deren Entwicklung durch GauB,
Abel und Jacobi zu den Höhepunkten der Mathematik des 19ten Jahrhunderts
gehört."
Siehe auch Franz Lemmermeyer:
https://www.matheraetsel.de/texte/elliptic_curve.pdf