70^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2

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Rainer Rosenthal

unread,
Aug 19, 2022, 5:16:51 PMAug 19
to
Diese erstaunliche und erfreuliche Identität besagt, dass die Summe der
ersten 24 Quadratzahlen selbst eine Quadratzahl ist, nämlich das Quadrat
von 70.

Leider lässt sich kein 70 x 70 Quilt nähen mit 24 quadratischen Flicken
mit Seitenlängen 1 bis 24, aber es war tatsächlich die Beschäftigung mit
der Zerlegung von Rechtecken in Quadrate, durch die ich auf die
Identität aufmerksam wurde. Dazu unten einige Lesetipps [1] [2] [3].

Ich beginne diesen potentiell unendlichen Thread, weil hinter der
Identität die Zauberwelt der Gruppentheorie zu bestaunen ist:
"Die Existenz eines solchen ganzzahligen Vektors mit Lorentz-Norm 0
beruht auf der Tatsache, dass 1^2 + 2^2 + ... + 24^2 eine Quadratzahl
ist (nämlich 70^2)."
(Meine Übersetzung(*) aus https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice )

Auch zahlentheoretisch hat es die im Titel genannte Identität in sich,
wie man im englischen Wikipedia-Artikel lesen kann (meine Übersetzung):
"Die Zahl 24 ist die einzige ganze Zahl größer als 1 mit dieser
Eigenschaft. Diese Vermutung wurde von Édouard Lucas ausgesprochen, aber
der Beweis gelang erst viel später mittels elliptischer Funktionen." (**)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[1] Anderson, S. "Perfect Rectangles, Perfect Squares."
http://www.squaring.net/.
[2] https://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html
[3] https://mathworld.wolfram.com/MrsPerkinssQuilt.html

(*) Der entsprechende deutsche Artikel über den "Leech lattice" enthält
diese Identität nicht und ist auch sonst sehr mager:
https://de.wikipedia.org/wiki/Leech-Gitter

(**) Beim Übersetzen von "elliptic functions" war ich im Zweifel, ob ich
das nicht mit "elliptische Kurven" übersetzen sollte, aber es scheint
egal zu sein, weil die Verwandtschaft sehr eng ist. Zumindest lese ich
das aus z.B. diesem Papier
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/mpim/89-23/fulltext.pdf
wo es heißt:
"Wegen ihrer Tiefe und der Vielfalt ihrer Zusammenhänge mit anderen
Gebieten gehört die Theorie der elliptischen Kurven zu den schönsten in
der Mathematik. Sie erscheint in der Funktionentheorie in der Gestalt
der Theorie der elliptischen Funktionen, deren Entwicklung durch GauB,
Abel und Jacobi zu den Höhepunkten der Mathematik des 19ten Jahrhunderts
gehört."
Siehe auch Franz Lemmermeyer:
https://www.matheraetsel.de/texte/elliptic_curve.pdf

Tom Bola

unread,
Aug 19, 2022, 5:20:09 PMAug 19
to
Rainer Rosenthal schrieb:

70^2 =
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+
19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2
Interessant.

Glaube ich jedenfalls.

Tom Bola

unread,
Aug 19, 2022, 5:40:52 PMAug 19
to
Rainer Rosenthal schrieb:

70^2 =
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19
^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2

Nicht ablenken !!

Diese Newsgroup ist defacto seit Jahren fest reserviert für ein anderes Thema.

Liebsten Gruss, Mann, und viele, viele Grüsse auch sonst!

News.Individual.NET

unread,
Aug 20, 2022, 7:17:09 AMAug 20
to
Am 19.08.2022 um 23:16 schrieb Rainer Rosenthal:

70^2 =
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+
19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2

kann man da nicht schreiben:
0 ^2 = 1 + 0 = 1 => 0 / 1 = 0 | R: 1 !!!

Block 1:
--------
1 2
----------V-----------v----
1 ^2 = 2 + 1 = 3 => 1 / 2 = 1 => 1 - 1 = 0 | R: 0
2 ^2 = 4 + 2 = 6 => 6 / 3 = 2 => 2 - 2 = 0 | R: 0
3 ^2 = 9 + 3 = 12 => 12 / 4 = 3 => 3 - 3 = 0 | R: 0
4 ^2 = 16 + 4 = 20 => 20 / 5 = 4 => 4 - 4 = 0 | R: 0 <--
5 ^2 = 25 + 5 = 30 => 30 / 6 = 5 => 5 - 5 = 0 | R: 0 <--
6 ^2 = 36 + 6 = 42 => 42 / 7 = 6 => 6 - 6 = 0 | R: 0
7 ^2 = 49 + 7 = 56 => 56 / 8 = 7 => 7 - 7 = 0 | R: 0
8 ^2 = 64 + 8 = 72 => 72 / 9 = 8 => 8 - 8 = 0 | R: 0
9 ^2 = 81 + 9 = 90 => 90 / 10 = 9 => 9 - 9 = 0 | R: 0
10 ^2 = 100 + 10 = 111 => 111 / 11 = 10 => 10 - 10 = 0 | R: 0
..

Block 7 => 7 mal 10 := 70 Werte:
--------------------------------
..
70 ^2 = 4900 + 70 = 4970 => 4970 / 70 = 71 | R:1 !!!


1. die 24 liegt zwischen Marke 1 => 16 und 25
2. die 24 liegt zwischen Marke 2 => 20 und 30

4:) (: 5
16 * 25
= -----------
20 * 30
4:) (:5

4 * 4
= ----------- = 16/30 = 8/15 | Rest: 1
5 * 6

= 8 + 15 + Rest: 1
= 24


oder:

+--- ( 25 - 16) = ( 9 )
/
---+ ( 30 - 25) = ( 5 )


4 + 5 = 9 => 9 - 5 = 4
5 + 4 = 9 => 9 - 4 = 5

Sie müssen nur die Kurbel durch die Lasche ziehn...

Gruß, paule32


Rainer Rosenthal

unread,
Aug 20, 2022, 9:00:15 AMAug 20
to
Am 20.08.2022 um 13:17 schrieb News.Individual.NET:
> Am 19.08.2022 um 23:16 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> 70^2 =
> 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+
>
> 19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2
>
> kann man da nicht schreiben:
>  0 ^2 =   1 +   0 =   1  =>   0 /  1                  = 0  | R: 1  !!!
>
Kann man schon, aber warum?
Wenn man was machen möchte, was mit dem Thema zu tun hat, dann könnte
man Folgendes probieren.

1^2 = 1 ist ein Quadrat (Erfolg #1).

1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 ist kein Quadrat.

1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 ist kein Quadrat.

usw.

Du wirst feststellen, dass ab jetzt lange keine Quadrate mehr kommen.
Wenn Du durchhältst und Dich nicht verrechnet hast, wirst Du bei
... + 24^2 wieder Erfolg haben (Erfolg #2).
Aber das war's dann auch schon. Mehr Erfolge sind nicht drin.

Wie ich bereits schrieb, hat das ein gewisser Édouard Lucas zwar
vermutet, bewiesen werden konnte es aber erst später. Wahrscheinlich mit
einer Zeichnung *grins*.

GRuß,
RR

P.S. Ich weiß, dass Du eine schwere Kindheit hattest, aber Du könntest
mein Alter erleichtern, wenn Du weniger Stuss schreiben würdest.
Ich weiß, dass Du diese Bitte unbedingt kommentieren musst.
Versuche, die Antwort mit maximal 120 Zeichen zu formulieren, bitte!

paule32

unread,
Aug 22, 2022, 8:41:31 AMAug 22
to
Am 20.08.2022 um 15:00 schrieb Rainer Rosenthal:
> P.S. Ich weiß, dass Du eine schwere Kindheit hattest, aber Du könntest
> mein Alter erleichtern, wenn Du weniger Stuss schreiben würdest.
> Ich weiß, dass Du diese Bitte unbedingt kommentieren musst.
> Versuche, die Antwort mit maximal 120 Zeichen zu formulieren, bitte!

"ALLES ist Eins, sagte der Budist" <-- das sind 32 Zeichen :D

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2022, 3:51:39 PMAug 22
to
Gut gemacht. Nur 2 kurze Anmerkumgen:

1. Hieß es "Buddhist"

und

2. sagt das eig. ein Buddhist eher nicht.

Aber trotzdem kein Stuß! Bravo. Weiter so.

Btw. Selbst wenn alles Eins ist, ist doch 2 + 3 eher 5 als 1, oder? Oder siehst Du das anders?

Dein Plan: 2 Brötchen für's Frühstück und 3 Brötchen für den Rest des Tages. Kaufst Du dann nur 1 Brötchen? (Eins für alle, alle für eins?)

paule32

unread,
Aug 22, 2022, 4:14:05 PMAug 22
to
Am 22.08.2022 um 21:51 schrieb Fritz Feldhase:
> Aber trotzdem kein Stuß! Bravo. Weiter so.
>
> Btw. Selbst wenn alles Eins ist, ist doch 2 + 3 eher 5 als 1, oder? Oder siehst Du das anders?
>
> Dein Plan: 2 Brötchen für's Frühstück und 3 Brötchen für den Rest des Tages. Kaufst Du dann nur 1 Brötchen? (Eins für alle, alle für eins?)

kann man da nicht jetzt von Vereinigungsmenge schreiben ?

Weil 2 Brötchen entstanden ja nicht aus dem gleichen Mehlkorn,
wie das 3 Brötchen aus anderen Mehlkörpern entstand.

Beide zusammen gegessen, landen im Bauch des Menschen, und sind
dort in der Nahrungskette - also alles zusammen (Eine Pampe).

Es soll ja auch so Leute geben, die Essen nur 2 Mahlzeiten;
trinken aber 3 Liter Waldmeisterbrause.

Alles zusammen kommt wieder in den Magen - bis es dann wieder
auf dem Tisch steht.

Tja so ist das Leben - ein kommen, ein gehen - ein geben und
nehmen.

Message has been deleted

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2022, 5:00:04 PMAug 22
to
On Monday, August 22, 2022 at 10:14:05 PM UTC+2, paule32 wrote:
>
> [...]
>
> Tja so ist das Leben - ein kommen, ein gehen - ein geben und
> nehmen.

In der Tat. Wieder 2 Anmerkungen:

1. Das waren wohl deutlich mehr als 120 Zeichen.

2. Der mathematische Gehalt Deines Posts war eher gering, würde ich sagen.

‐---------------------------------

Aber dennoch. Betrachten wir eine Menge A, die 2 Brotchen "enthält"

A = {Br', Br''} mit card(A) = 2

und eine Menge B, die 3 Brotchen enthält und kein Element mit A gemeinsam hat:

B = {Br*, Br**, Br***}, card(B) = 3, A n B = { }.

Dann gilt:

card(A u B) = 2 + 3 = 5.

Im Magen mögen die 5 Brötchen dann ihre "Identität" verlieren, aber beim Einkauf haben sie diese in der Regel noch. Du bezahlst ja beim Bäcker -in der Regel- für 5 Brötchen, und nicht nur für eines.

Merke: Die mengentheoretische Operation der Vereinigung arbeitet nicht wie ein Magen.

paule32

unread,
Aug 23, 2022, 4:59:23 AMAug 23
to
Am 22.08.2022 um 23:00 schrieb Fritz Feldhase:
> 2. Der mathematische Gehalt Deines Posts war eher gering, würde ich sagen.

ein wenig Spaß in der trockenen Theorie muss doch auch mal sein.
Hat doch der Roberto schon gesungen ...

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