Ebene Figur mit Schnittzahlmenge {2,3,4}

[Rainer Rosenthal]

Wie bekannt, schneidet eine Gerade einen Kreis in 0, 1 oder 2 Punkten.
0: die Gerade geht außen vorbei,
1: die Gerade berührt den Kreis,
2: die Gerade schneidet den Kreis.

Ich sage dafür kurz, der Kreis hat die Schnittzahlmenge {0,1,2}.

Es ist interessant, Figuren mit anderen Schnittzahlmengen zu ersinnen.
Die im Titel genannte Schnittzahlmenge {2,3,4} stammt aus einem meiner
ersten Versuche, mit dem Thema zu spielen, nachdem ich davon erfuhr.

Ich habe auch Punktmengen für {0,2,3,4} finden können.

Echt verrückt wird es aber, wenn man auf Suche nach {0,2,3} geht.
Auf Anhieb scheint das Thema eher etwas für de.rec.denksport zu sein.
Bei {1,2} oder {2} gehört es aber definitiv in den Mathematikbereich.

Darum auch eine Definition:
Für eine Menge M in der euklidischen Ebene ist die Schnittzahlmenge S(M)
definiert als die Menge der Kardinalzahlen der Schnittmengen von M mit
den Geraden in der Ebene:
S(M) = {card(g geschnitten mit M) | g Gerade in der Ebene}.

Schreibe ich "unendlich" für 2^Aleph0, dann hat eine Gerade G die
Schnittzahlmenge S(G) = {0,1,"unendlich"} wegen dieser drei Fälle:
0: die andere Gerade g ist parallel zu G,
1: die andere Gerade g schneidet G,
"unendlich": die andere Gerade g ist gleich G.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Tom Bola]

Rainer Rosenthal schrieb:

Interessant. Spontan ist mir beim Lesen die Frage eingefallen, was
eine Figur ist. Der Kreis war bereits erwähnt. Meine Überlegung war
nämlich, ob es noch andere Figuren gibt, die eine Schnittstellenzahl
von 1 haben können. Eine Parabel wäre natürlich ebenso machbar, aber
ist eine Parabel auch eine Figur im Sinne der Aufgabenstellung?

[Ralf Goertz]

Am Mon, 20 Jun 2022 10:54:57 +0200
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Wie bekannt, schneidet eine Gerade einen Kreis in 0, 1 oder 2 Punkten.
> 0: die Gerade geht außen vorbei,
> 1: die Gerade berührt den Kreis,
> 2: die Gerade schneidet den Kreis.
>
> Ich sage dafür kurz, der Kreis hat die Schnittzahlmenge {0,1,2}.
>
> Es ist interessant, Figuren mit anderen Schnittzahlmengen zu ersinnen.
> Die im Titel genannte Schnittzahlmenge {2,3,4} stammt aus einem
> meiner ersten Versuche, mit dem Thema zu spielen, nachdem ich davon
> erfuhr.
>
> Ich habe auch Punktmengen für {0,2,3,4} finden können.
>
> Echt verrückt wird es aber, wenn man auf Suche nach {0,2,3} geht.
> Auf Anhieb scheint das Thema eher etwas für de.rec.denksport zu sein.
> Bei {1,2} oder {2} gehört es aber definitiv in den Mathematikbereich.
>
> Darum auch eine Definition:
> Für eine Menge M in der euklidischen Ebene ist die Schnittzahlmenge
> S(M) definiert als die Menge der Kardinalzahlen der Schnittmengen von
> M mit den Geraden in der Ebene:
> S(M) = {card(g geschnitten mit M) | g Gerade in der Ebene}.

Das heißt, M ist eine ebene Figur? Da muss es doch aber noch mehr
Bedingungen geben als dass M eine Menge von Punkten der Ebene ist, denn
sonst ist die Aufgabe ja trivial. (Für card=n ∈ ℕ wähle eine Gerade g
und definiere M als Teilmenge von g mit card(M)=n, für unendlich wähle
M=g.)

Was also ist eine ebene Figur? Wikipedia ist da auch nicht sehr exakt.

[Ralf Goertz]

Am Mon, 20 Jun 2022 15:23:54 +0200
schrieb Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid>:

Okay, nicht trivial, wenn S(M) mehr als ein Element hat, aber trotzdem
belibt die Frage:

[Rainer Rosenthal]

Ja, Figur steht für "Menge in der Ebene, die man schön malen und sich
vorstellen kann".
Das Formale habe ich ja ohne den Ausdruck "Figur" formuliert.
Die Parabel ist also sehr wohl solch eine Figur, aber Du kannst Dir auch
exotische Spiralen oder sonstwas denken.
Um allerdings ein M mit S(M) = {2,3,4} zu finden, muss man etwas
knobeln. Ich jedenfalls habe dazu ein Weilchen gebraucht.
Und dann konnte ich auch {0,2,3,4} realisieren.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 20.06.2022 um 15:26 schrieb Ralf Goertz:
>
> Okay, nicht trivial, wenn S(M) mehr als ein Element hat, aber trotzdem
> belibt die Frage:
>
>> Was also ist eine ebene Figur? Wikipedia ist da auch nicht sehr exakt.
>

Wieso ist S(M) = {2} trivial?

Trivial ist S(M) = {0}.
Sehr leicht ist {0,1}.
Für {0,1,2} gibt es den Kreis, aber auch die Parabel und viele andere
offene Figuren.

Unter einer "ebenen Figur" verstehe ich jede Punktmenge in der Ebene.

Gruß,
Rainer

[Tom Bola]

Ralf Goertz schrieb:

> Am Mon, 20 Jun 2022 10:54:57 +0200
> schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> ...

> Was also ist eine ebene Figur? Wikipedia ist da auch nicht sehr exakt.

Ist es insbesondere ein *geschlossener* Kurvenzug?

[Tom Bola]

Rainer Rosenthal schrieb:

Man könnte sagen "Kurve in der Ebene" und wenn du sagst, das eine Parabel
gültig ist, dann könnte man vielleicht sagen "geschlossener Kurve in der Ebene".

[Tom Bola]

Rainer Rosenthal schrieb:

Vielleicht: "Geschlossener Kurvenzug in der Ebene"?

"Zusammenhängende Punktmenge" lieber nicht, weil auch Kleckse derartiges sind...

[Rainer Rosenthal]

Am 20.06.2022 um 19:30 schrieb Tom Bola:
>
> Man könnte sagen "Kurve in der Ebene" und wenn du sagst, das eine Parabel
> gültig ist, dann könnte man vielleicht sagen "geschlossener Kurve in der Ebene".

Ellipsen sind geschlossen, Parabeln sind offen.
Kurven sind nur spezielle, nett anzusehende Teilmengen der Ebene.
Die Schnittzahlmenge S(M) kann man für jede Teilmenge M der euklidischen
Ebene definieren, und das hatte ich bereits gemacht.

Hier auch gleich die Antwort auf Deine anderswo geschriebene Bemerkung:
TB: "Zusammenhängende Punktmenge" lieber nicht,
TB: weil auch Kleckse derartiges sind...

Kleckse sind durchaus erlaubt, aber für S(M) = {2,3,4} unbrauchbar, weil
S(Klecks) dann auch "unendlich" enthalten müsste.

Gruß,
RR

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 20.06.2022 um 12:59 schrieb Tom Bola:
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>
>>> Wie bekannt, schneidet eine Gerade einen Kreis in 0, 1 oder 2 Punkten.
>>> 0: die Gerade geht außen vorbei,
>>> 1: die Gerade berührt den Kreis,
>>> 2: die Gerade schneidet den Kreis.
>>>
>>> Ich sage dafür kurz, der Kreis hat die Schnittzahlmenge {0,1,2}.
>>>
>>> Es ist interessant, Figuren mit anderen Schnittzahlmengen zu ersinnen.
>>> Die im Titel genannte Schnittzahlmenge {2,3,4} stammt aus einem meiner
>>> ersten Versuche, mit dem Thema zu spielen, nachdem ich davon erfuhr.
>>>
>>> Ich habe auch Punktmengen für {0,2,3,4} finden können.
>>>
>>> Echt verrückt wird es aber, wenn man auf Suche nach {0,2,3} geht.
>>> Auf Anhieb scheint das Thema eher etwas für de.rec.denksport zu sein.
>>> Bei {1,2} oder {2} gehört es aber definitiv in den Mathematikbereich.
>>>
>>> Darum auch eine Definition:
>>> Für eine Menge M in der euklidischen Ebene ist die Schnittzahlmenge S(M)
>>> definiert als die Menge der Kardinalzahlen der Schnittmengen von M mit
>>> den Geraden in der Ebene:
>>> S(M) = {card(g geschnitten mit M) | g Gerade in der Ebene}.

[...]

> Ja, Figur steht für "Menge in der Ebene, die man schön malen und sich
> vorstellen kann".

:-)

> Das Formale habe ich ja ohne den Ausdruck "Figur" formuliert.

Demnach muß die Menge M überhaupt keine Voraussetzung erfüllen, wie z.B.
- zusammenhängend
- einfach zusammenhängend
- Lebesgue-meßbar
- (stückweise) "glatter" Rand
- eine (evtl. stetige oder differenzierbare) Kurve sein
...

Was mir spontan einfiel, ist nur, daß der Rand dG einer echt konvexen
Teilmenge G des R^2, der in diesem Fall eine spezielle geschlossene
Kurve ist (speziell, weil eben das Innere der Kurve konvex ist)

S(dG) = {0;1;2}

erfüllt.
Zumindest erscheint das anschaulich klar (ohne Beweis), und es ist IMHO
lediglich eine Verallgemeinerung des Kreis-Beispieles.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Rainer Rosenthal]

Am 20.06.2022 um 10:54 schrieb Rainer Rosenthal:
> Wie bekannt, schneidet eine Gerade einen Kreis in 0, 1 oder 2 Punkten.
> 0: die Gerade geht außen vorbei,
> 1: die Gerade berührt den Kreis,
> 2: die Gerade schneidet den Kreis.
>
> Ich sage dafür kurz, der Kreis hat die Schnittzahlmenge {0,1,2}.
>

Die Definition von "Schnittzahlmenge":

>
> Für eine Menge M in der euklidischen Ebene ist die Schnittzahlmenge S(M)
> definiert als die Menge der Kardinalzahlen der Schnittmengen von M mit
> den Geraden in der Ebene:
> S(M) = {card(g geschnitten mit M) | g Gerade in der Ebene}.
>
> Schreibe ich "unendlich" für 2^Aleph0, dann hat eine Gerade G die
> Schnittzahlmenge S(G) = {0,1,"unendlich"} wegen dieser drei Fälle:
> 0: die andere Gerade g ist parallel zu G,
> 1: die andere Gerade g schneidet G,
> "unendlich": die andere Gerade g ist gleich G.
>

Das Wort "Figur" im Titel hat für Verunsicherung gesorgt. Es ist in der
Tat sehr unbestimmt, welche Punktmengen in der euklidischen Ebene als
"Figur" zu bezeichnen sind.

Es wurde gefragt, ob ein "Klecks" auch eine zulässige Menge M sei.
Das ist in der Tat so. Ist er ein berandetes zusammenhängendes Gebiet M,
dann ist die 0 sicher in S(M), weil jede am Klecks vorbei gehende Gerade
0 Schnittpunkte mit ihm gemeinsam hat. Kann man eine Gerade so ziehen,
dass sie in genau einem Punkt berührt, dann ist auch 1 in S(M). Gibt es
eine Gerade, die in genau n Punkten berührt, dann gehört auch n zu S(M).
Und schließlich gehört auch "unendlich" zu S(M), wenn M ein Klecks ist.

Aber gerade die Vielfalt der "Figuren" macht den Reiz der Aufgabe aus.
Bisher war für S(M) = {2,3,4} noch kein Vorschlag gekommen. Nur Mut, ich
habe das rausgekriegt, also kann das jeder (und jede) rauskriegen. Ich
habe sogar mit meiner 9-jährigen Enkelin darüber diskutieren können, und
sie hat einige kreative Vorschläge gehabt. Verblüffend fand ich ihren
Vorschlag, die ganze Ebene als M zu nehmen. Dann ist S(M) = {"unendlich"}.

Worüber ich vielleicht noch etwas nachdenken werde, sind einfachste
Mengen aus nur wenigen Punkten. Passend angeordnet kann ich eine Menge M
von 6 Punkten finden mit S(M) = {0,1,2,3,4}. Lösung nach dem spoiler.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de


...



...


... spoiler space ...


...


...


Ich betrachte 4 Punkte A, B, C, D, die in einer Linie liegen und 2
Punkte E und F, die nur mit Punkt A in einer Linie liegen.
M sei die Menge M = {A,B,C,D,E,F}.
Dann ist S(M) = {0,1,2,3,4}.
Beweis:
0 ist in S(M), weil es Geraden gibt, die keinen der Punkte berühren.
1 ist in S(M), weil es Geraden gibt, die nur durch A gehen.
2 ist in S(M) wegen der Geraden BE.
3 ist in S(M) wegen der Geraden AE, die auch durch F geht.
4 ist in S(M) wegen der Geraden AB, auf der auch C und D liegen.
Andere Schnittzahlen gibt es nicht, q.e.d.

[Rainer Rosenthal]

Am 20.06.2022 um 22:18 schrieb Stephan Gerlach:
>
> Was mir spontan einfiel, ist nur, daß der Rand dG einer echt konvexen
> Teilmenge G des R^2, der in diesem Fall eine spezielle geschlossene
> Kurve ist (speziell, weil eben das Innere der Kurve konvex ist)
>
> S(dG) = {0;1;2}
>
> erfüllt.
> Zumindest erscheint das anschaulich klar (ohne Beweis), und es ist IMHO
> lediglich eine Verallgemeinerung des Kreis-Beispieles.
>

So ist es. Mit meinem neuesten Posting wollte ich der
Experimentierfreude einen Schubs geben :-)

Wir haben gesehen, dass auch nicht-geschlossene Kurven M die
Schnittzahlenmenge {0,1,2} haben können (z.B. Parabel).

Wer hat den ersten Vorschlag für das Rätsel in der Titelzeile?
OK, ich bin schon ein klein wenig stolz, dass ich es gefunden hatte.
Anfangs ging es mir wie Euch, dass ich mich erst einmal zurecht finden
musste. Aber dann macht es Spaß, und ich darf bereits andeuten, dass
sich noch knallharte Mathematik dahinter verbirgt. Aber auch schon die
Spielerei mit den 6 Punkten A bis F und S = {0,1,2,3,4} war interessant
und ist ausbaufähig.

Gruß,
Rainer

[Tom Bola]

Rainer Rosenthal schrieb:

> ...

> Bisher war für S(M) = {2,3,4} noch kein Vorschlag gekommen. Nur Mut, ich
> habe das rausgekriegt, also kann das jeder (und jede) rauskriegen.

Das scheint spontan einfach zu sein, denn z.B. durch einen Halbmond,
also durch eine "ausreichend konkave" Sichel, kann man Linien mit 2,3,4
Schnittpunkten ziehen - aber ich finde nichts, das nicht ebenfalls die
Möglichkeit bietet, aussen eine Tangente anzulegen.

Es sei denn die Spitze eines Dreiecks ist verboten! Dann könnte man
die grössere Seite der Sichel zu einem Dreieck machen, wie hier, wobei
man durch die Punkte rechts eine Gerade und links eine Parabel zieht,
die 3 erhält man z.B. durch den senkrechten Strich der das innere
Parabelstück an ihrem Ursprung berührt:

.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.

? ;)

[Rainer Rosenthal]

Guter Ansatz. Und "Spitze des Dreiecks verboten" kannst Du selbst
entscheiden.
Du bestimmst selbst, wie Deine Menge aussehen soll. Und wenn Du sagst
"Sichel ohne die Spitzen", dann ist das völlig OK.
Wie Du aber richtig schreibst, machen Dir die Tangenten einen Strich
durch die Rechnung, weil sie Schnittzahl 1 liefern. Und es können auch
Geraden in größerer Entfernung vorbei gehen. Die liefern die Zahl 0.
Und damit hast Du {0,1,2,3,4} statt {2,3,4}.

Tipp: Die Gesamtfigur darf ja aus Teilfiguren bestehen, und ähnlich wie
eine Parabel darf sich eine Figur auch ins Unendliche erstrecken.

Gruß,
RR

[Pether Hubert]

Am 20.06.22 um 22:49 schrieb Tom Bola:

M kann nicht beschränkt sein, weil 0 nicht in S(M) liegt. Auch kann M
keine Gerade oder such nur eine Strecke enthalten, weil "unendlich"
nicht in S(M) liegt. Wir brauchen also eine Menge, die wirklich jede
Gerade in der Ebene mindestens zweimal schneidet. Möglicherweise findet
sich ein geeigneter Funktionsgraph. Sorry, weiter bin ich noch nicht
gekommen.

Ciao
Pether

[Pether Hubert]

Am 20.06.22 um 23:21 schrieb Ingrid:
[...]

> M kann nicht beschränkt sein, weil 0 nicht in S(M) liegt.  Auch kann M
> keine Gerade oder such nur eine Strecke enthalten, weil "unendlich"
> nicht in S(M) liegt.  Wir brauchen also eine Menge, die wirklich jede
> Gerade in der Ebene mindestens zweimal schneidet.  Möglicherweise findet
> sich ein geeigneter Funktionsgraph.  Sorry, weiter bin ich noch nicht
> gekommen.

Möglicherweise auch zwei geeignete Funktionsgraphen?
Wie wär's mit M = { (x, y) \in R² | y = ±(x² - 1) }? Wenn ich mich
nicht irre, müßte es das tun (ich weiß, das ist noch kein ganz exakter
Beweis).

Ciao
Pether

[Stefan Schmitz]

Am 20.06.2022 um 22:18 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 20.06.2022 um 22:18 schrieb Stephan Gerlach:
>>
>> Was mir spontan einfiel, ist nur, daß der Rand dG einer echt konvexen
>> Teilmenge G des R^2, der in diesem Fall eine spezielle geschlossene
>> Kurve ist (speziell, weil eben das Innere der Kurve konvex ist)
>>
>> S(dG) = {0;1;2}
>>
>> erfüllt.
>> Zumindest erscheint das anschaulich klar (ohne Beweis), und es ist
>> IMHO lediglich eine Verallgemeinerung des Kreis-Beispieles.
>>
>
> So ist es. Mit meinem neuesten Posting wollte ich der
> Experimentierfreude einen Schubs geben :-)
>
> Wir haben gesehen, dass auch nicht-geschlossene Kurven M die
> Schnittzahlenmenge {0,1,2} haben können (z.B. Parabel).
>
> Wer hat den ersten Vorschlag für das Rätsel in der Titelzeile?

Zwei Parabeln, eine nach oben geöffnet und eine nach unten, die sich
schneiden. Eine Gerade kann dann zwar an einer der beiden vorbeilaufen
oder sie nur tangieren, das geht aber nicht mit beiden.

[Rainer Rosenthal]

Prima!

Und jetzt bitte {0,2,3,4}.
Ist wirklich kniffliger.
Finde ich.

Dank und Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 20.06.2022 um 23:21 schrieb Pether Hubert:
>
> M kann nicht beschränkt sein, weil 0 nicht in S(M) liegt.  Auch kann M
> keine Gerade oder such nur eine Strecke enthalten, weil "unendlich"
> nicht in S(M) liegt.  Wir brauchen also eine Menge, die wirklich jede
> Gerade in der Ebene mindestens zweimal schneidet.  Möglicherweise findet
> sich ein geeigneter Funktionsgraph.  Sorry, weiter bin ich noch nicht
> gekommen.
>

Danke fürs Mit-Rätseln!
Erste Lösung hat Stefan Schmitz gerade angegeben.
Das ist übrigens auch die, die ich im Sinn hatte.

Gruß und Dank fürs Mitmachen,
Rainer

P.S. Ich kann versprechen, dass hinter diesen Aufwärmübungen
erstaunliche Mathematik lauert. Hat mich aus den Socken gehauen.

[Rainer Rosenthal]

Sorry, Du warst ja sogar schneller als Stefan Schmitz und hast genau
seine (und meine) Lösung angegeben.
Tut mir leid, ich hatte nicht in der zeitlichen Reihenfolge geantwortet,
mein Newsreader hat mir erst Stefans Antwort gezeigt, und ich habe auf
Dein erstes Posting geantwortet, ohne das zweite gesehen zu haben.

Ist ja nicht schlimm. Im Gegenteil, den "ganz exakten Beweis" brauchst
Du nun nicht mehr, weil wir nun eine Mehrheit bilden :-)

Ein exakter Beweis könnte natürlich nicht schaden, aber vielleicht ist
die Zeit kreativer genutzt, wenn wir nach weiteren topologisch nicht
äquivalenten Mengen M suchen oder mit anderen S(M) spielen.

Gru und Gratulation,
Rainer

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, June 21, 2022 at 12:12:12 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 20.06.2022 um 23:40 schrieb Stefan Schmitz:
> > Am 20.06.2022 um 22:18 schrieb Rainer Rosenthal:
> >>
> >> Wer hat den ersten Vorschlag für das Rätsel in der Titelzeile?
> >
> > Zwei Parabeln, eine nach oben geöffnet und eine nach unten, die sich
> > schneiden. Eine Gerade kann dann zwar an einer der beiden vorbeilaufen
> > oder sie nur tangieren, das geht aber nicht mit beiden.
> >
> Prima!

Hat eine vertikale Gerade, die durch einen dieser Schnittpunkte geht, nicht nur einen Schnittpunkt mit der _gesamten_ Figur? (Doppelte Zählung für ein und denselben Punkt erscheint mir nicht als sinnvoll/korrekt.)

[Tom Bola]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 20.06.2022 um 23:40 schrieb Stefan Schmitz:
>> Am 20.06.2022 um 22:18 schrieb Rainer Rosenthal:
>>>
>>> Wer hat den ersten Vorschlag für das Rätsel in der Titelzeile?
>>
>> Zwei Parabeln, eine nach oben geöffnet und eine nach unten, die sich
>> schneiden. Eine Gerade kann dann zwar an einer der beiden vorbeilaufen
>> oder sie nur tangieren, das geht aber nicht mit beiden.
>
> Prima!

Ich war damals noch bei einem geschlossenen Kurvenzug...

> Und jetzt bitte {0,2,3,4}.
> Ist wirklich kniffliger.
> Finde ich.

Optisch fällt mir dazu spontan ein, dass beide parabelähnliche Kurven
dann beide einfach, wie gehabt, von negativ unendlichem x mit positiven
und negativen y laufen aber bei wachsendem positiven x beide gegen eine
endliche Asymptote y_a laufen.

Rechts davon läuft dann zusätzlich die Gerade, die die Figur nicht
berührt durch die Ebene und der Rest ist wie gehabt, insbesondere
gibt es wieder keine 1.

[Pether Hubert]

Am 21.06.22 um 00:31 schrieb Rainer Rosenthal:

> Am 20.06.2022 um 23:33 schrieb Pether Hubert:
>> Möglicherweise auch zwei geeignete Funktionsgraphen?
>> Wie wär's mit M = { (x, y) \in R² | y = ±(x² - 1) }?  Wenn ich mich
>> nicht irre, müßte es das tun (ich weiß, das ist noch kein ganz exakter
>> Beweis).
> Sorry, Du warst ja sogar schneller als Stefan Schmitz und hast genau
> seine (und meine) Lösung angegeben.

Ja, nur leider ist meine Lösung falsch. Betrachte die beiden Geraden x
= 1 und x = -1. Beide schneiden M nur in jeweils einem Punkt.

Man kann allgemeiner sogar sagen, daß, wenn eine Lösung aus den Graphen
zweier Funktionen besteht, diese Funktionen sich nicht schneiden können,
weil ich sonst immer eine Parallele zur y-Achse durch einen der
Schnittpunkte der Graphen nehmen kann, die dann M natürlich nur in einem
Punkt schneidet.

Ciao
Pether

[Martin Vaeth]

Stefan Schmitz <ss...@gmx.de> schrieb:

Das war auch meine erste Idee, aber es geht nicht, weil es Geraden gibt,
die nur durch den Schnittpunkt gehen. Lokales Deformieren bei den
Schnittpunkten reicht auch nicht aus, weil man dann die Konvexität von
einer der beiden Kurven verliert, und es dann Geraden mit mehr als 4
Schnittpunkten gibt.

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:

>>>
>>> Wer hat den ersten Vorschlag für das Rätsel in der Titelzeile?
>>
>> Zwei Parabeln, eine nach oben geöffnet und eine nach unten, die sich
>> schneiden. Eine Gerade kann dann zwar an einer der beiden vorbeilaufen
>> oder sie nur tangieren, das geht aber nicht mit beiden.
>
> Prima!
>
> Und jetzt bitte {0,2,3,4}.
> Ist wirklich kniffliger.

Das scheint mir im Gegensatz zu {2,3,4} einfach:
Jetzt funktionieren die beiden geschnittenen Parabeln, wenn man die
Schnittpunkte entfernt.

[Rainer Rosenthal]

Gratulation, 100 Punkte!
Peinlich, peinlich ...

Am 21.06.2022 um 00:31 schrieb Rainer Rosenthal:
> den "ganz exakten Beweis" brauchst Du nun nicht mehr, weil wir nun
eine Mehrheit bilden :-)

Peter Huberth hat es inzwischen auch gesehen, die Mehrheit schmilzt :-)

Am 21.06.2022 um 00:31 schrieb Rainer Rosenthal:
> vielleicht ist die Zeit kreativer genutzt, wenn wir nach weiteren
> topologisch nicht äquivalenten Mengen M suchen

Tja, nicht "vielleicht", sondern "Ärmel aufkrempeln und los!".

Ist ja interessant, dass gleich vier Leute die Parabeln für eine Lösung
hielten (hier drei in dsm, und auch derjenige, der mich auf den
Problemkreis aufmerksam gemacht hatte. Ich sehe gerade, dass auch Martin
Vaeth die Parabeln auf den ersten Blick für gut hielt und dann aber das
Loch gefunden hat).

Für die Diskussion ist es aber gerade gut, wenn solche Irrtümer
auftauchen, denn dann wird die Auflösung um so spannender. Wie gesagt,
habe ich inzwischen mathematische Literatur zu dem Thema gefunden, die
mir (mit wasserdichtem Beweis) die Existenz einer ebenen Menge M mit
Schnittzahlmenge S(M) = {2,3,4} garantiert.

Urgs ... ich merke gerade, dass dieser geheimnisvolle Beweis NICHT die
Existenz einer ebenen Menge M mit S(M) = {0,2,3,4} garantiert, dass ich
aber eine solche konstruiert habe, und dass ich dabei hoffentlich nicht
auch etwas übersehen habe.

Guten Morgen und guten Tag!
Rainer (nach Bad im Bodensee, heute nur noch 21 Grad, vorgestern fast 24)

[Rainer Rosenthal]

Herrlich!
Das ist dann sogar eine Lösung, die von meiner wesentlich abweicht!

In Deiner Lösung gibt es genau drei Geraden mit Schnittzahl 0.
Ich habe eine Lösung für {0,2,3,4} mit genau zwei solchen Geraden.

Yippieh, freut mich echt, wie kreativ es gerade zugeht.

Gruß,
Rainer

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:

> Wie gesagt,
> habe ich inzwischen mathematische Literatur zu dem Thema gefunden, die
> mir (mit wasserdichtem Beweis) die Existenz einer ebenen Menge M mit
> Schnittzahlmenge S(M) = {2,3,4} garantiert.

WIMRE, gibt es einen Beweis für die Schnittzahlmenge S(M) = {2},
der aber essentiell das Auswahlaxiom benutzt. Wenn wir zu M zwei
Punkte hinzufügen, sind wird fertig.
Aber ob es ohne Auswahlaxiom geht, weiß ich nicht.

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:

Ich denke, für {2,3,4} habe ich eine Lösung: Eine Parabel mit ihrer
Spiegelung am Scheitelpunkt. Um die beiden senkrechten Geraden durch
den Scheitelpunkt auszuschließen, muss man von jeder dieser beiden
Geraden noch einen Punkt hinzufügen, wobei man darauf achten muss,
dass die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte nur eine der beiden
Parabeln schneidet.

[Stefan Schmitz]

Am 21.06.2022 um 08:07 schrieb Martin Vaeth:

Eine dort an eine der Parabeln angelegte Tangente hat dann mit dieser
keinen Schnittpunkt, mit der anderen einen.

[Ralf Goertz]

Am Mon, 20 Jun 2022 18:26:33 +0200
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Am 20.06.2022 um 15:26 schrieb Ralf Goertz:
> >
> > Okay, nicht trivial, wenn S(M) mehr als ein Element hat, aber
> > trotzdem belibt die Frage:
> >
> >> Was also ist eine ebene Figur? Wikipedia ist da auch nicht sehr
> >> exakt.
> >
>
> Wieso ist S(M) = {2} trivial?

Ja ich sollte vor dem Posten mehr nachdenken. Aber noch nicht jetzt. 😁
Wie wäre es für S(M)={2,3,4} mit der Menge

M={(x,±e^x) | x in ℝ} ∪ {(-1,0),(-3,0)}

2 (die x-Achse) und 3 ( Senkrechte durch x=-1) Schnittpunkte sollten
trivial sein. Und 4 müsste die Gerade durch (-1,0) und (-1,1) haben.

Welchen Fehler habe ich jetzt wieder gemacht?

[Ralf Goertz]

Am Tue, 21 Jun 2022 09:15:50 +0200
schrieb Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid>:

(0,3)

Argh

> Welchen Fehler habe ich jetzt wieder gemacht?

Mindestens diesen.

[Stefan Schmitz]

Was meinst du mit "Spiegelung am Scheitelpunkt"?

Zunächst hielt ich deinen Vorschlag für eine Lösung des Problems einer
senkrechten Geraden durch einen der Schnittpunkte zweier Parabeln. Aber
diese Gerade muss nicht unbedingt senkrecht sein, um nur die Figur nur
in diesem einen Punkt zu schneiden..

[Stefan Schmitz]

Jede Parallele zur x-Achse hat nur 1 Schnittpunkt.

[Ralf Goertz]

Am Tue, 21 Jun 2022 09:34:40 +0200
schrieb Stefan Schmitz <ss...@gmx.de>:

Argh. In der Tat (also außer die x-Achse selbst).

[Tom Bola]

Martin Vaeth schrieb:

Jesus... das ist so simpel, dass es schwer ist, darauf zu kommen...

[Rainer Rosenthal]

Und wie eben von Stefan Schmitz erkannt, wieder ein schönes Beispiel für
"Überzeugend, elegant und - falsch":

Am 21.06.2022 um 08:50 schrieb Stefan Schmitz:
> Eine dort an eine der Parabeln angelegte Tangente hat dann mit dieser
> keinen Schnittpunkt, mit der anderen einen.

Meine {0,2,3,4} Lösung ist "Überzeugend, elegant und - richtig" :-)

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 21.06.2022 um 08:50 schrieb Stefan Schmitz:

*Daumen hoch!*

[Rainer Rosenthal]

Am 21.06.2022 um 08:16 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 21.06.2022 um 08:07 schrieb Martin Vaeth:
>>

>> {0,2,3,4} scheint mir im Gegensatz zu {2,3,4} einfach:

>> Jetzt funktionieren die beiden geschnittenen Parabeln, wenn man die
>> Schnittpunkte entfernt.
>
> Herrlich!
> Das ist dann sogar eine Lösung, die von meiner wesentlich abweicht!
>

Ups, SEHR wesentlich! Meine ist richtig :-)

Ich kann sie in zwei Versionen anbieten: unbeschränkt und beschränkt.

Unbeschränkt
============
M = {(x,y) | y = +/- 1/|x|}
Das sind 4 Hyperbeln, und es gilt S(M) = {0,2,3,4}.
0: Die Koordinatenachsen schneiden nicht.
2: Gerade x = 1 schneidet in {(1,1),(1,-1)}.
3: Gerade y = 2 - x tangiert im ersten Quadranten
und schneidet im 2. und 4. Quadranten.
4: Gerade y = 3 - x schneidet auch im ersten Quadranten.

Beschränkt
==========
Übungsaufgabe :-)
Hinweis: kann aus der obigen Lösung gefunden werden, wenn der Trick
angewendet wird, einzelne Punkte zu entfernen.

Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

War ja klar, dass Du da den richtigen Riecher hast.
Ich meinte genau dieses S(M) = {2}, als ich von richtig toller
Mathematik hinter dem Problem sprach.
Beim Suchen im Internet stieß ich auf eine Stelle in MathOverflow, von
der aus es dann gut weiterging.
https://mathoverflow.net/questions/21470/subset-of-the-plane-that-intersects-every-line-exactly-twice

Das Paper zu S(M) = {2} ist
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm4119.pdf
Intersections of prescribed power, type, or measure.
F. Bagemihl and P. Erdös
Siehe Korollar 2 auf Seite 61.

Bald wird es bei mir klingeln und für EUR 24,99 erhalte ich
***
*** An Invitation to Abstract Mathematics
*** von Béla Bajnok
***

Die Buchvorschau sagte mir nämlich
* Seite 44
Remark it is known that a point set that intersects every line in the
plane exactly twice does exist; however, one connot vizualize such a set
(cf. page 272).
* Seite 272
Theorem 17.22 There is a subset of the Euclidean plane that intersects
every line exactly twice.

Mit anderen Worten ist dies Theorem 17.22 genau die Aussage, dass es M
mit S(M) = {2} gibt.

Da habe ich doch nicht zu viel versprochen, dass es ein schönes Stück
Mathematik hinter der Fragestellung gibt, oder?

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Rainer Rosenthal]

Am 21.06.2022 um 08:44 schrieb Martin Vaeth:
>

> Ich denke, für {2,3,4} habe ich eine Lösung: Eine Parabel mit ihrer
> Spiegelung am Scheitelpunkt. Um die beiden senkrechten Geraden durch
> den Scheitelpunkt auszuschließen, muss man von jeder dieser beiden
> Geraden noch einen Punkt hinzufügen, wobei man darauf achten muss,
> dass die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte nur eine der beiden
> Parabeln schneidet.

Mit aller Vorsicht möchte ich zu dieser interessanten Lösung M mit S(M)
= {2,3,4} gratulieren.

Ich habe sie mir skizziert und kann keinen Fehler entdecken.
In meiner Skizze habe ich die Punkte (2,0) und (0,2) hinzugefügt.
Die Verbindungsgerade verläuft weit über der Parabel (x,-x^2).

Gruß,
Rainer

[Fritz Feldhase]

Kleine Variante, die mir wegen der "höheren Symmetrie" besser gefällt...

Wieder eine Parabel mit ihrer Spiegelung am Scheitelpunkt, aber ohne diesen Scheitelpunkt --- plus die Punkte (-2, 0) (0, 2), (2, 0) und (0, -2).

[Rainer Rosenthal]

Am 21.06.2022 um 11:23 schrieb Fritz Feldhase:
> On Tuesday, June 21, 2022 at 11:07:14 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
>> Am 21.06.2022 um 08:44 schrieb Martin Vaeth:
>>>
>>> Ich denke, für {2,3,4} habe ich eine Lösung: Eine Parabel mit ihrer
>>> Spiegelung am Scheitelpunkt. Um die beiden senkrechten Geraden durch
>>> den Scheitelpunkt auszuschließen, muss man von jeder dieser beiden
>>> Geraden noch einen Punkt hinzufügen, wobei man darauf achten muss,
>>> dass die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte nur eine der beiden
>>> Parabeln schneidet.

>> Mit aller Vorsicht möchte ich zu dieser interessanten Lösung M mit S(M)
>> = {2,3,4} gratulieren.

>

> Kleine Variante, die mir wegen der "höheren Symmetrie" besser gefällt...
>
> Wieder eine Parabel mit ihrer Spiegelung am Scheitelpunkt, aber ohne diesen Scheitelpunkt --- plus die Punkte (-2, 0) (0, 2), (2, 0) und (0, -2).

In der Tat eine sehr ansprechende Figur!
Prima!

Hast Du auch Verschönerungen für meine {0,2,3,4} parat?

Gruß,
RR

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:

>
> Das Paper zu S(M) = {2} ist
> http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm4119.pdf
> Intersections of prescribed power, type, or measure.
> F. Bagemihl and P. Erdös

Im ersten Satz des Papers steht, dass die Referenz für diesen Spezialfall
schon viel älter ist:
Stefan Mazurkiewicz, Sur un ensemble plan, Comptes rendus des seances de
la Societe des Sciences des Varsovic, Classe III, 4 (1914), 382-284.

Wenn man nun den Namen kennt, findet man auch den passenden
Wikipedia-Eintrag, der allerdings nicht die obige
Original-Referenz erwähnt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Mazurkiewicz_(Mengenlehre)

Ich verbinde mit dem Namen Mazurkiewicz übrigens ein ganz anderes
Gebiet als Mengenlehre:
https://en.wikipedia.org/wiki/
Knaster%E2%80%93Kuratowski%E2%80%93Mazurkiewicz_lemma

[Martin Vaeth]

Stefan Schmitz <ss...@gmx.de> schrieb:

>
> Was meinst du mit "Spiegelung am Scheitelpunkt"?

Punktspiegelung (oder in dem Fall äquivalent: Geradenspiegelung
an der Tangente). Beispielsweise y = +- cx^2 (c > 0).

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 20.06.2022 um 22:18 schrieb Stephan Gerlach:
>>
>> Was mir spontan einfiel, ist nur, daß der Rand dG einer echt konvexen
>> Teilmenge G des R^2, der in diesem Fall eine spezielle geschlossene
>> Kurve ist (speziell, weil eben das Innere der Kurve konvex ist)
>>
>> S(dG) = {0;1;2}
>>
>> erfüllt.
>> Zumindest erscheint das anschaulich klar (ohne Beweis), und es ist
>> IMHO lediglich eine Verallgemeinerung des Kreis-Beispieles.
>>
>
> So ist es. Mit meinem neuesten Posting wollte ich der
> Experimentierfreude einen Schubs geben :-)
>
> Wir haben gesehen, dass auch nicht-geschlossene Kurven M die
> Schnittzahlenmenge {0,1,2} haben können (z.B. Parabel).

Das Besondere bei der Parabel ist wohl, daß die Parabel als Menge M
unbeschränkt ist, und damit insbesondere keine geschlossene Kurve sein kann.

Allerdings kann man, wie mir scheint, den Parabel-Fall auf den Fall
einer konvexen Teilmenge des R^2 zurückführen. Eine Parabel "teilt" den
R^2 in zwei disjunkte Teilmengen auf, und einer dieser beiden Teile G
ist konvex.
Die Parabel ist dann einfach die oben erwähnte Randkurve dG.

> Wer hat den ersten Vorschlag für das Rätsel in der Titelzeile?

Noch nicht (keine Zeit), nur ein paar triviale Bemerkungen bzw.
Fälle/Beispiele dazu:

1.) Wenn M beschränkt ist, dann ist immer 0 ∈ S(M).
2.) Wenn M eine Strecke, einen Strahl oder eine Gerade enthält, dann ist
immer unendlich ∈ S(M).
3.) Wenn M eine (nichtleere) offene Teilmenge des R^2 ist, dann ist
immer unendlich ∈ S(M).
4.) Wenn M eine (nichtleere) offene Teilmenge enthält, dann ist immer
unendlich ∈ S(M) (ist Verallgemeinerung von 3.).
5.) Für eine offene konvexe Menge M gilt S(M) = {0;unendlich}, wenn M
nichttrivial ist (also M nichtleer und M!=R^2).
6.) M = {x} (einelementige Menge) gilt genau dann, wenn S(M) = {0;1}.
7.) Für M = {x;y} (zweielementige Menge) gilt S(M) = {0;1;2}.



--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Rainer Rosenthal]

Am 21.06.2022 um 23:17 schrieb Stephan Gerlach:

> 7.) Für M = {x;y} (zweielementige Menge) gilt S(M) = {0;1;2}.

Es gibt 6-elementige Mengen M mit S(M) = {0,1,2,3,4}.

Hier wittere ich Futter fürs OEIS, weil es für n-elementige Mengen M je
nach Anordnung unterschiedliche S(M) gibt.

Erst noch einmal die Definition wiederholt:
S(M) = {card(g geschnitten mit M) | g Gerade in der Ebene}.

Und hier eine mögliche Folgen-Definition:
a(n) = card({S(M) | M subset of R x R and card(M) = n})

Anmerkung: Auch wenn es unendlich viele M zu gegebenem n gibt, sind die
Schnittzahlen card(g geschnitten mit M) nie größer als n, d.h. a(n) ist
durch 2^n beschränkt.

Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 21.06.2022 um 08:44 schrieb Martin Vaeth:

> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:

>
> Ich denke, für {2,3,4} habe ich eine Lösung: Eine Parabel mit ihrer
> Spiegelung am Scheitelpunkt. Um die beiden senkrechten Geraden durch
> den Scheitelpunkt auszuschließen, muss man von jeder dieser beiden
> Geraden noch einen Punkt hinzufügen, wobei man darauf achten muss,
> dass die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte nur eine der beiden
> Parabeln schneidet.

Leider falsch, wie mir der Ideengeber für diese Knobelaufgabe heute
klarmachen konnte.

Der Punkt auf der y-Achse liegt nämlich auf einer Geraden mit Schnittzahl 5.

So traurig diese Mitteilung auch ist, er hat mir eine wirklich hübsche
Lösung für {2,3,4} genannt. Es sind drei Hyperbel-artige Kurven und ein
Punkt.

Linke Kurve: y = -|x| + 1/|x| für x < 0
Rechte Kurve: y = -|x| + 1/|x| für x > 0
Untere Kurve: y = -|x| - 1/(1+|x|)
Punkt: (0,0)

Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 23.06.2022 um 12:33 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 21.06.2022 um 08:44 schrieb Martin Vaeth:
>> Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
>>
>> Ich denke, für {2,3,4} habe ich eine Lösung: Eine Parabel mit ihrer
>> Spiegelung am Scheitelpunkt. Um die beiden senkrechten Geraden durch
>> den Scheitelpunkt auszuschließen, muss man von jeder dieser beiden
>> Geraden noch einen Punkt hinzufügen, wobei man darauf achten muss,
>> dass die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte nur eine der beiden
>> Parabeln schneidet.
>

> Leider falsch, ...
>

Aber mit Hyperbelform statt Parabelform sollte auch Deine Lösung
funktionieren. Und der Verschönerungstrick von FF geht auch noch.

Gruß,
Rainer

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Am 21.06.2022 um 23:17 schrieb Stephan Gerlach:
>
>> 7.) Für M = {x;y} (zweielementige Menge) gilt S(M) = {0;1;2}.

Erstmal weitere triviale Bemerkungen/Fälle:

8.) Wenn M endlich ist, dann ist immer 0 ∈ S(M).
(ist Spezialfall von 1.)
9.) Wenn M endlich ist, dann ist immer 1 ∈ S(M).
10.) Wenn M höchstens abzählbar ist, dann immer 0 ∈ S(M).
(Das ist eine Verallgemeinerung von 8., und der Beweis ist
möglicherweise zumindest nicht unmittelbar klar.)

Aus 1.), 8.), 9.) und 10.) folgt zum Beispiel, daß man, wenn man die
Elemente 0 und 1 in S(M) "vermeiden" will, schon überabzählbare und
unendliche Mengen M braucht, z.B. offene Mengen im R^2 oder unendliche
Kurven.

> Es gibt 6-elementige Mengen M mit S(M) = {0,1,2,3,4}.

Nimm eine Gerade g und markiere 4 verschiedene Punkte P1, P2, P3, P4 auf
g. Durch einen dieser Punkte (z.B. P1) zeichne eine weitere Gerade h,
die nicht mit g identisch ist, und markiere auf h 2 weitere
(zusätzliche) Punkte Q1 und Q2.

Oder anschaulich erklärt: Zeichne 6 Punkte auf eine Strecke und "knicke"
die Strecke genau am dritten Punkt "um".

M = {P1;P2;P3;P4;Q1;Q2}

sollte S(M) = {0,1,2,3,4} erfüllen.

> Hier wittere ich Futter fürs OEIS, weil es für n-elementige Mengen M je
> nach Anordnung unterschiedliche S(M) gibt.

Ja. Wenn alle 6 Punkte auf einer Gerade liegen, gilt

S(M) = {0,1,6}.

Wenn die Punkte hingegen z.B. ein regelmäßiges Sechseck bilden,

S(M) = {0,1,2}.

[Stephan Gerlach]

Rainer Rosenthal schrieb:

Ist mit "einzelne Punkte entfernen" einfach gemeint "wähle eine
Teilmenge aus M"? Denn falls tatsächlich nur einzelne Punkte entfernt
werden im Sinne von "endlich viele", dann ist die "neue" Menge immer
noch unbeschränkt.

Einfach die 4 Hyperbel-Teile an geeigneter Stelle "abschneiden"?!
Z.B. wenn man das als Graphen der beiden Funktionen
f(x) = 1/x und g(x) = -1/x betrachtet:

Einfach die Definitionsbereiche einschränken auf z.B. die Vereinigung
offener Intervalle
D_f = (-10, -1/10) ∪ (1/10, 10)
D_g = (-10, -1/10) ∪ (1/10, 10)

Das funktioniert aber nicht, da so immer 1 ∈ S(M) ist.

[Stephan Gerlach]

Fritz Feldhase schrieb:

Ich will ja nicht die Lösungen "kaputtmachen", aber:
Könnte es sein, daß dabei 5 ∈ S(M) ist?!

Wähle z.B. eine "fast vertikale" Gerade g durch den Punkt (0, 2). Drehe
diese Gerade "ganz wenig" um den Punkt (0, 2) und erhalte eine Gerade h.

h verläuft durch den Punkt (0, 2) und schneidet sowohl die ursprüngliche
als auch die gespiegelte Parabel jeweils zweimal.

[Stephan Gerlach]

Martin Vaeth schrieb:

Kann es sein, daß bei dieser Lösung eventuell 5 ∈ S(M) ist?
(Siehe auch meine Antwort an Fritz F.)

Problem ist IMHO der zusätzliche Punkt auf der vertikalen Gerade durch
den Scheitelpunkt. Man könnte durch diesen Punkt immer(?!) eine "fast
vertikale" Gerade finden, der jede der beiden Parabeln zweimal schneidet.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, June 28, 2022 at 2:20:36 AM UTC+2, Stephan Gerlach wrote:

> Könnte es sein, daß dabei 5 ∈ S(M) ist?!

Ja, ich denke, Du hast Recht. :-P

Wieder mal ein schönes Beispiel für "Überzeugend, elegant und - falsch", würde ich sagen.

Ein bisschen analytische Geometrie würde das wohl leicht beweisen können. Aber dazu bin ich -ehrlich gesagt- zu faul. :-P

[Rainer Rosenthal]

Am 28.06.2022 um 02:38 schrieb Stephan Gerlach:
> Fritz Feldhase schrieb:

>>
>> Wieder eine Parabel mit ihrer Spiegelung am Scheitelpunkt,
>> aber ohne diesen Scheitelpunkt --- plus die Punkte (-2, 0) (0, 2), (2,
>> 0) und (0, -2).
>
> Ich will ja nicht die Lösungen "kaputtmachen", aber:
> Könnte es sein, daß dabei 5 ∈ S(M) ist?!
>

So ist es, und ich hatte das vor einer Weile bereits hier gemeldet:

Am 23.06.2022 um 12:33 schrieb Rainer Rosenthal:
>

> Leider falsch, wie mir der Ideengeber für diese Knobelaufgabe heute
> klarmachen konnte.
>
> Der Punkt auf der y-Achse liegt nämlich auf einer Geraden mit
> Schnittzahl 5.
>

> Wähle z.B. eine "fast vertikale" Gerade g durch den Punkt (0, 2). Drehe
> diese Gerade "ganz wenig" um den Punkt (0, 2) und erhalte eine Gerade h.
>
> h verläuft durch den Punkt (0, 2) und schneidet sowohl die ursprüngliche
> als auch die gespiegelte Parabel jeweils zweimal.
>

Weil ich fleißig bin und gerade vom Zwang befreit bin, konkrete
Hochstapeleien zu widerlegen, habe ich "ein bisschen analytische
Geometrie" betrieben. Die Gerade y = mx+b geht durch den Punkt (0,b) auf
der y-Achse und schneidet die untere Parabel y = -x^2 genau dann in zwei
Punkten, wenn für die Steigung m gilt: m^2 > 4*|b|.

Im genannten Fall b = 2 also immer dann, wenn die Steigung größer ist
als Wurzel 8.

Gruß,
Rainer