Das Lineal

175 views
Skip to first unread message

Ganzhinterseher

unread,
Dec 15, 2021, 7:09:49 AM12/15/21
to
Stell Dir ein Lineal mit Teilstrichen vor, auf dem zwischen 0 und 1 sämtliche Stammbrüche 1/n markiert sind, so dass kein einziger fehlt --- vorausgesetzt natürlich, es gibt sämtliche Stammbrüche und sie können alle markiert sein. Könnte es sein, dass Dein Lineal dann einen mehr oder weniger enthält als meines?

Nein!

Trotzdem kann man nach Cantor alle Teilstriche in Bijektion mit den natürlichen Zahlen setzen, so dass kein einziger übrig bleibt.

Wäre das der Fall, so würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen. Das ist nicht möglich. Wie kann man in einem linearen schrittweisen Prozess einen letzten Schritt vermeiden? Nur durch Auflösung der Linearität.

Tatsächlich hat jede tatsächlich definierbare Schrittmenge einen letzten Schritt, aber diese potentielle Unendlichkeit kann sich aus o.g. Grunde nicht über alle Schritte erstrecken. Deswegen sind Bijektionen zwischen unendlichen Mengen per se nicht möglich.

Gruß, WM

Michael Klemm

unread,
Dec 15, 2021, 7:39:57 AM12/15/21
to
Ich würde da 1/n den n-ten Stammbruch nennen.
Gruß
Michael

Andreas Leitgeb

unread,
Dec 15, 2021, 8:44:43 AM12/15/21
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Trotzdem kann man nach Cantor alle Teilstriche in Bijektion mit den natürlichen
> Zahlen setzen, so dass kein einziger übrig bleibt.

Ja, sicher.

> Wäre das der Fall, so würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen.

So ein Nährboden, aus dem so seltsame Schlussfolgerungen auswachsen,
ist offenbar schwer mit Misskonzeptionen vorkontaminiert...

> Das ist nicht möglich.

Soweit so klar... es "würde" ja aber ohnehin gar nicht, also kein Problem.

Stefan Schmitz

unread,
Dec 15, 2021, 10:00:26 AM12/15/21
to
Ah, jetzt verstehe ich das Konzept.

Man fängt einfach irgendwo mit dem Abzählen an und stellt dann fest,
dass zu den unendlich vielen Elementen noch die endlich vielen
hinzukommen, die man am Anfang ausgelassen hat.

So kann man auch beweisen, dass es mehr natürliche Zahlen als natürliche
Zahlen gibt.

Ganzhinterseher

unread,
Dec 15, 2021, 1:11:39 PM12/15/21
to
> Ich würde da 1/n den n-ten Stammbruch nennen.

Das würde ich auch. Aber wenn alle Stammbrüche individuell abzählbar wären, so dass keiner fehlt, so müsste ein letzter abgezählt werden. Wenn keiner übrig bleibt, geht es nämlich nicht "immer so weiter".

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 15, 2021, 1:19:38 PM12/15/21
to
Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 15. Dezember 2021 um 14:44:43 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Trotzdem kann man nach Cantor alle Teilstriche in Bijektion mit den natürlichen
> > Zahlen setzen, so dass kein einziger übrig bleibt.
> Ja, sicher.

Man könnte sie aber keinesfalls in Bijektion mit ℕ U { } setzen, denn die Striche können sich nicht vermehren.

> > Wäre das der Fall, so würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen.
> So ein Nährboden, aus dem so seltsame Schlussfolgerungen auswachsen,
> ist offenbar schwer mit Misskonzeptionen vorkontaminiert...

Ein linearer Prozess wie das Abzählen liefert für jeden endlichen Anfangsabschnitt eine letzte Zahl. Wenn alle Teilstriche abgezählt werden könnten, so dass keiner übrig bleibt, so wäre ein letzter unausweichlich.

Misskonzeptionen erwachsen lediglich aus der Annahme, dass alle abgezählt werden, obwohl "es immer so weiter geht" und also offensichtlich nicht alle abgezählt werden.

Gruß, WM

JVR

unread,
Dec 15, 2021, 3:31:56 PM12/15/21
to
Vermutlich haben Sie schonmal von Induktion gehört. Eine Umbenennung der Striche auf Ihrem Lineal n -> n+1 per
Induktion - und vielleicht kapieren Sie damit sogar, wieso sich nichts 'vermehrt' usw usw - aber eher unwahrscheinlich,
denn mit dem Kapieren klappt es ja nicht so recht bei Ihnen.
Message has been deleted

Ganzhinterseher

unread,
Dec 15, 2021, 5:05:13 PM12/15/21
to
JVR schrieb am Mittwoch, 15. Dezember 2021 um 21:31:56 UTC+1:
> On Wednesday, December 15, 2021 at 7:19:38 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Ein linearer Prozess wie das Abzählen liefert für jeden endlichen Anfangsabschnitt eine letzte Zahl. Wenn alle Teilstriche abgezählt werden könnten, so dass keiner übrig bleibt, so wäre ein letzter unausweichlich.
> >
> > Misskonzeptionen erwachsen lediglich aus der Annahme, dass alle abgezählt werden, obwohl "es immer so weiter geht" und also offensichtlich nicht alle abgezählt werden.
> >
> Vermutlich haben Sie schonmal von Induktion gehört.

Natürlich, schon in einer Diskussion zum Binären Baum, der jetzt ja wieder saisonal interessant wird, sagte P. Webb: "induction won't take you from 'all finite n' to 'infinite n'." In dieser Diskussion hast Du Dir übrigens den stärksten Schnitzer Deiner Karriere geleistet (ich kenne Deine Arbeiten, so vorhanden, zwar nicht, aber schlimmere Verletzungen mathematischen Denkens sind kaum denkbar): "You are apparently trying to appeal to a theorem that says that if a_n < A for all n then lim a_n =< A. This statement is false in the context;" [Jürgen Rennenkampff]. Wer so etwas sagt, ist in mathematischen Fragen nicht ernstzunehmen.

Aber zurück zum Thema: Ja, Induktion erstreckt sich nicht auf dunkle Zahlen. Sie gilt für die potentiell unendliche Menge definierbarer Zahlen.

> Eine Umbenennung der Striche auf Ihrem Lineal n -> n+1 per Induktion

Umbenennungen ändern weder die Positionen noch die Gesamtzahl der Striche.

> - und vielleicht kapieren Sie damit sogar, wieso sich nichts 'vermehrt' usw usw

Genau. Diese Gesamtzahl |ℕ| ist konstant, unvermehrbar und unverminderbar. Und das ist der Grund dafür, dass keine Bijektion zwischen ℕ U {0} und |ℕ| besteht.

Gruß, WM

JVR

unread,
Dec 15, 2021, 5:36:00 PM12/15/21
to
Ich habe Ihnen seinerzeit vermutlich erklärt, dass der Limes einer Folge von der Topologie des Raumes abhängt, zu dem
die Elemente der Folge gehören. Eine allfällige Ordnung desselben Raumes ist von der Topologie völlig unabhängig.
Zweifellos habe ich Ihnen seinerzeit Beispiele zu Ihrem Denkfehler gegeben.
Es ist mir natürlich klar, dass Ihre Vorstellungskraft begrenzt ist, und dass Sie, wenn Sie den Unsinn schreiben, den Sie laufend von sich geben, immer nur an die reellen Zahlen mit der kanonischen Metrik und Ordnung denken. In diesem Spezialfall
ist Ihre Behauptung, wie jeder Anfänger weiß, zufälligerweise richtig und ich gratuliere zu diesem ungewöhnlichen Ereignis.

Den Quatsch mit der 'Gesamtzahl der Striche' erzählen Sie ruhig weiterhin, damit jedermann merkt, dass Sie trivialste
Zusammenhänge nicht kapieren können.




Stefan Schmitz

unread,
Dec 15, 2021, 6:03:28 PM12/15/21
to
Am 15.12.2021 um 23:05 schrieb Ganzhinterseher:

> Genau. Diese Gesamtzahl |ℕ| ist konstant, unvermehrbar und unverminderbar. Und das ist der Grund dafür, dass keine Bijektion zwischen ℕ U {0} und |ℕ| besteht.

Eine Bijektion zwischen einer Zahl und einer unendlichen Menge wäre auch
überraschend.

JVR

unread,
Dec 15, 2021, 6:17:58 PM12/15/21
to
In Mückenhausen kommt das aber vielleicht öfters vor.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 15, 2021, 6:53:46 PM12/15/21
to
Hallo alle zusammen,

den Fullquote am Anfang habe ich jetzt mal entfernt. Am 15.12.21 19:11,
schrieb Ganzhinterseher:
> […] wenn alle Stammbrüche individuell abzählbar wären, […]

Unabhängig von der Frage, welche Information mir das Wort »individuell« in
diesem Zusammenhang liefern soll: ja, Stammbrüche sind abzählbar.

> […] so dass keiner fehlt, […]

Das ist eine Formulierung, die nur bei endlichen Mengen einen Sinn ergibt.

> […] so müsste ein letzter abgezählt werden. […]

Falsch! Genau in diesem Punkt unterscheiden sich endliche und abzählbar
unendliche Mengen voneinander.

> […] Wenn keiner übrig bleibt, geht es nämlich nicht "immer so weiter".

Die Menge der Stammbrüche ist in dem Sinne vollständig abzählbar, dass jeder
Stammbruch theoretisch ganz ausgeschrieben werden kann, wie groß die
natürliche Zahl im Nenner immer sein mag. Dennoch gibt es keinen »kleinsten
Stammbruch«, genauso wie es keine »größte definierbare natürliche Zahl«
gibt. Das können weder »Cuursor« noch »Lineale« ändern. Unendliche Mengen,
gleichgültig ob sie abzählbar oder überabzählbar sind, verhalten sich eben
in wichtigen Punkten anders als endliche Mengen. That’s all.

>Gruß, WM

Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Ralf Bader

unread,
Dec 15, 2021, 8:21:14 PM12/15/21
to
Der Mückenheimsche Schwachsinn beruht auf Annahmen wie:
- eine Menge entsteht dadurch, daß man sie mit jedem eizelnen Element,
"individuell" eines nach dem anderen, befüllt
- dabei ist zwangsläufig eines der eingefüllten Elemente das letzte
- unendliche Mengen gibt es nur als "potentiell unendliche"; das sind
solche, bei denen man mit dem sukzessiven Einfüllen der Elemente nicht
fertig wird, aber es gibt immer das Element, bis zu dem man gelangt ist,
und wenn man später weitermacht, kommt man wieder zum (vorläufig)
letzten Element; "potentiell unendliche Mengen" sind endlich, aber sie
können wachsen.
- bei einer Abbildung f:A->B wird sukzessive jedes einzelne Element von
A auf ein Element von B abgebildet; die Abbildung wird Element für
Element handgeklöppelt.
- gäbe es aktual unendliche Mengen, so müßten auch diese
(kontrafaktisch, denn es geht halt nicht) durch sukzessives Hantieren
mit undnlich vielen Elementen gebildet werden. Auch dann wäre ein
Element da, mit dem zuletzt hantiert wurde. Und ein vorletztes usw.
Die gäbe es in einer aktual unendlichen Menge der natürlichen Zahlen,
und das sind die "dunklen Zahlen".

Wenn man eine Reihe von Dingen nacheinander in die Hand nimmt und wieder
weglegt, dann war eines der Dinge das letzte, das man in die Hand
genommen hat. Auf solchen Vorstellungen beruht Mückenheims Gefasel, es
"würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen", und im Rahmen solcher
Vorstellungen wird es auch verständlich.


Juergen Ilse

unread,
Dec 15, 2021, 9:47:33 PM12/15/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Stell Dir ein Lineal mit Teilstrichen vor, auf dem zwischen 0 und 1 sämtliche Stammbrüche 1/n markiert sind, so dass kein einziger fehlt --- vorausgesetzt natürlich, es gibt sämtliche Stammbrüche und sie können alle markiert sein. Könnte es sein, dass Dein Lineal dann einen mehr oder weniger enthält als meines?
>
> Nein!
>
> Trotzdem kann man nach Cantor alle Teilstriche in Bijektion mit den natürlichen Zahlen setzen, so dass kein einziger übrig bleibt.
>
> Wäre das der Fall, so würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen.

Warum sollte das so sein? Bei der Abzaehlung der natuerlichen Zahlen gibt
es ja ebenfalls keine "letzte natuerliche Zahl", und trotzdem ist die
Identitaet zweifellos eine bijektive Abbildung der natuerlichen Zahlen
auf sich selbst, obwohl es keine "leetzte natuerliche Zahl" gibt.
Warum sollte das bei der "Abzaehlung" der Stammbrueche mit der einfachen
Funktion "f(n)=1/n" nicht der Fall sein? Ist dass wieder so eine raetsel-
hafte "Erkenntnis" aus der "Mueckematik"?

> Das ist nicht möglich. Wie kann man in einem linearen schrittweisen Prozess einen letzten Schritt vermeiden? Nur durch Auflösung der Linearität.

Eine bijektive Funktion von A auf B ist aber kein "schrittweiser Prozess"
sondern eine Teilmenge von A X B.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 15, 2021, 10:00:40 PM12/15/21
to
Hallo alle zusammen,

am 15.12.21 23:00, schrieb WM:
> Diese Gesamtzahl |ℕ| ist konstant, unvermehrbar und unverminderbar.

Hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)#M%C3%A4chtigkeit_bei_endlichen_Mengen

steht, dass |X| die Mächtigkeit der Menge X ist. Bei _endlichen_ Mengen ist
|X| identisch mit der Anzahl der Elemente (WM sagt »Gesamtzahl«) der Menge
X. Bei abzählbar unendlichen Mengen kann von einer »Gesamtzahl« bzw. einer
Anzahl an Elementen dieser Menge nicht mehr sinnvoll gesprochen werden.
Deshalb muss die Mächtigkeit |X| der Menge X in diesem Fall anders
definiert werden. Das geschieht durch Bijektion. Da es eine solche
»Gesamtzahl«, das heißt eine feste Anzahl an Elementen, weder bei abzählbar
unendlichen noch bei überabzählbar unendlichen Mengen gibt, kann auch nicht
in einer irgendwie sinnvollen Interpretation davon gesprochen werden, diese
»Gesamtzahl« sei »konstant, unvermehrbar und unverminderbar«.

> Und das ist der Grund dafür, dass keine Bijektion zwischen ℕ U { } und |ℕ| besteht.

Ich bin jetzt kein Mathematiker, aber ich vermute, dass da eher stehen
sollte:

»Und das ist der Grund dafür, dass keine Bijektion zwischen |ℕ U {0}| und
|ℕ| besteht.«

Oder in Worten: »[…] dass keine Bijektion zwischen allen Elementen der Menge
der natürlichen Zahlen mit Null und allen Elementen der natürlichen Zahlen
ohne Null« bestehe.

Insoweit der Satz so gemeint ist, ist er meiner Ansicht nach einfach
Quatsch. Genauer: Hier findet, meine ich, einfach eine Verwechslung der
Eigenschaften endlicher mit den Eigenschaften abzählbar unendlicher Mengen
statt.

In jedem Hotel mit endlich vielen vollständig belegten Zimmern muss immer
ein Gast ausziehen, bevor ein neuer Gast einziehen kann. Solange ich eine
beliebig hohe, aber endliche Zahl n habe, so, dass ich die beiden Mengen

A:={1, 2, 3, … n}
B:={0, 1, 2, … n}

habe, solange hat Menge B ein Element mehr als Menge A und ist somit
mächtiger.

Sobald ich aber n gegen unendlich laufen lasse, ist das nicht mehr der Fall.
In Hilberts Hotel gibt es unendlich viele Zimmer, die vollständig mit
unendlich vielen Gästen belegt sind. Wenn nun ein neuer Gast (die Null)
hinzukommt, dann müssen nur alle Gäste auf einen Gongschlag gleichzeitig
aus ihren Zimmern treten und ein Zimmer weiter gehen. Dann wird ein Zimmer
frei und die Null kann einziehen, ohne dass ein anderer Gast ausziehen
müsste.

Mit anderen Worten: es lässt sich eine Bijektion zwischen allen Elementen
der Menge der natürlichen Zahlen mit Null mit allen Elementen der
natürlichen Zahlen ohne Null herstellen, ohne dass etwas übrigbleibt (auch
keine »dunklen Zahlen«). In _diesem Sinne_ könnte davon gesprochen werden,
beide Mengen hätten »gleich viele« Elemente. Besser ist aber, zu sagen,
dass beide Mengen gleich mächtig sind, weil das weniger zu Verwechslungen
mit den Eigenschaften endlicher Mengen Anlass gibt. Achtung: Dass nichts
übrigbleibt, erfordert _nicht_ dass es ein »letztes Element« geben soll.

Dass das geht, lässt sich auch durch ein einfaches Denkexperiment zeigen.
Zunächst wird eine Bijektion zwischen den ersten paar Elementen der
natürlichen Zahlen mit Null und den entsprechenden Elementen der
natürlichen Zahlen ohne Null hergestellt, so:

0 1 2 3 4
| | | | |
1 2 3 4 5

Und jetzt fragen wir uns, wie weit dieses Spiel fortgesetzt werden kann. Die
Antwort ist: unendlich lange, ohne dass wir bei einer der beiden Mengen auf
ein »letztes Element« stoßen werden, das einen Abbruch erzwingen würde. Aus
diesem Grund kann _jedem_ der abzählbar unendlich vielen Elemente der Menge
der natürlichen Zahlen mit Null genau eines der abzählbar unendlich vielen
Elemente der Menge der natürlichen Zahlen ohne Null zugeordnet werden. Die
Bijektion ist vollständig, ohne »letzte Elemente« zu haben. QED.

Richtig wären WMs Sätze nur in folgender Form (die er natürlich ablehnen
wird):

»Da die Mengen der natürlichen Zahlen mit und ohne Null jeweils abzählbar
unendlich sind, kann bei beiden Mengen nicht von einer Gesamtzahl an
Elementen gesprochen werden. Unter anderem aus diesem Grund besteht
zwischen beiden Mengen eine Bijektion, die ohne Rest aufgeht. Sie sind
gleich mächtig.«

Anmerkung:
Dass ich die Elemente beider Mengen so dargestellt habe, dass die kleinste
Zahl ganz links steht und die Zahlen nach rechts immer um die Einheit 1
größer werden, hat nur etwas damit zu tun, dass das ganze Problem in dieser
Weise am einfachsten darstellbar ist. Theoretisch notwendig für eine
Bijektion ist das nicht.

>Gruß, WM

Viele Grüße

Marcus Gloeder

unread,
Dec 15, 2021, 10:25:38 PM12/15/21
to
Hallo Ralf, hallo alle zusammen,

Vielen Dank für Deine Antwort. :-)

Am 16.12.21 02:21, schrieb Ralf Bader:
> […] und im Rahmen solcher
>Vorstellungen wird es auch verständlich.

Ja. Jedenfalls ist das plausibel, das heißt, es macht jede von WMs
Änderungen nachvollziehbar.

Nur ist die Vorstellung, Mengen würden dadurch entstehen, dass sie
sukzessive mit Elementen gefüllt werden (Element für Element) einfach
Unfug. Genauer: es ist meiner Ansicht nach eine konkretistische
Vorstellung, die die Entwicklung eines Verständnisses für die recht
abstrakten Zusammenhänge in der Mathematik (hier: Mengenlehre) von
vornherein verhindert.

Zusammen mit der Neigung von WM, die physikalischen Grenzen der realen Welt
in die Mathematik einführen zu wollen, führt das für mich eigentlich zu der
Frage, ob WM überhaupt zu abstraktem (theoretischen) Denken fähig ist.

Viele Grüße

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 4:58:11 AM12/16/21
to
JVR schrieb am Mittwoch, 15. Dezember 2021 um 23:36:00 UTC+1:
> On Wednesday, December 15, 2021 at 11:05:13 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > "You are apparently trying to appeal to a theorem that says that if a_n < A for all n then lim a_n =< A. This statement is false in the context;" [Jürgen Rennenkampff]. Wer so etwas sagt, ist in mathematischen Fragen nicht ernstzunehmen.

> Ich habe Ihnen seinerzeit vermutlich erklärt, dass der Limes einer Folge von der Topologie des Raumes abhängt, zu dem
> die Elemente der Folge gehören. Eine allfällige Ordnung desselben Raumes ist von der Topologie völlig unabhängig.

Deine Aussage ist falsch. Da helfen keine Ausflüchte oder "Erklärungen", denn es ging um

> die reellen Zahlen mit der kanonischen Metrik und Ordnung denken. In diesem Spezialfall
> ist Ihre Behauptung, wie jeder Anfänger weiß, zufälligerweise richtig

Du offenbar nicht.

> Den Quatsch mit der 'Gesamtzahl der Striche' erzählen Sie ruhig weiterhin, damit jedermann merkt, dass Sie trivialste
> Zusammenhänge nicht kapieren können.

Du behauptest also, dass das Lineal seine Strichzahl bei Bedarf, also in Abhängigkeit von geplanten "Bijektionen" ändern könnte? Eine Ansicht, die man aber vertreten muss, um die Mengenlehre akzeptieren zu können.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 5:00:00 AM12/16/21
to
Typo. Es besteht keine Bijektion zwischen ℕ U {0} und ℕ, denn |ℕ| =/= |ℕ| + 1.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 5:17:57 AM12/16/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 00:53:46 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> den Fullquote am Anfang habe ich jetzt mal entfernt. Am 15.12.21 19:11,
> schrieb Ganzhinterseher:
> > […] wenn alle Stammbrüche individuell abzählbar wären, […]
>
> Unabhängig von der Frage, welche Information mir das Wort »individuell« in
> diesem Zusammenhang liefern soll:

Es beschreibt die Eigenschaft, den Stammbruch von allen anderen unterscheiden zu können. Das ist möglich für die ersten wie 1/1, 1/2, 1/3, ... aber nicht für die zwischen allen individuell definierbaren und 0.

Kurz: Eine individuell definierbare natürliche Zahl besitzt einen endlichen Anfangsabschnitt {1, 2, 3, ..., n}. Das tun nicht alle natürlichen Zahlen, denn
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀

> > […] so dass keiner fehlt, […]
>
> Das ist eine Formulierung, die nur bei endlichen Mengen einen Sinn ergibt.

Sie beschreibt die Grundvoraussetzung der Bijektion.
>
> > […] so müsste ein letzter abgezählt werden. […]
>
> Falsch! Genau in diesem Punkt unterscheiden sich endliche und abzählbar
> unendliche Mengen voneinander.

Für linear angeordnete Mengen, die vollständig manipulierbar sind, ist es offensichtlich. Wären alle natürlichen Zahlen definierbar, dann müsste per Subtraktion von endlichen Anfangsabschnitten ℕ \ {1, 2, 3, ..., n} die leere Menge erreichbar sein. Es bleiben aber in jedem Falle unendliche Endsegmente {n, n+1, n+2, ...} übrig.
>
> > […] Wenn keiner übrig bleibt, geht es nämlich nicht "immer so weiter".
>
> Die Menge der Stammbrüche ist in dem Sinne vollständig abzählbar, dass jeder
> Stammbruch theoretisch ganz ausgeschrieben werden kann, wie groß die
> natürliche Zahl im Nenner immer sein mag.

Falsch. Jeder vollständig ausgeschriebene gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch fast alle folgen: ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀.

> Dennoch gibt es keinen »kleinsten
> Stammbruch«, genauso wie es keine »größte definierbare natürliche Zahl«
> gibt.

Das kann zweierlei bedeuten: Entweder existieren nur potentiell unendliche Mengen, oder es existieren zwar alle, sind aber nicht anordbar, also dunkel.

> Das können weder »Cuursor« noch »Lineale« ändern.

Man kann an Lineale glauben, deren Striche sich nach Gusto verändern. Ich tue das nicht.

> Unendliche Mengen,
> gleichgültig ob sie abzählbar oder überabzählbar sind, verhalten sich eben
> in wichtigen Punkten anders als endliche Mengen.

Eben. Es gibt einen stets endlichen Teil der sich wie alle endlichen Mengen verhält, und der Rest ist nicht vorhanden oder nicht individuell manipulierbar. Zumindest die logische Grundlage sollte auch jeder Matheologe verstehen, der an variable Stichmengen glaubt:

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀ .

Das hat übrigens nichts mit MatheRealismus zu tun, sondern lediglich mit Logik.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 5:44:32 AM12/16/21
to
Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 02:21:14 UTC+1:
> On 12/16/2021 12:53 AM, Marcus Gloeder wrote:

> - bei einer Abbildung f:A->B wird sukzessive jedes einzelne Element von
> A auf ein Element von B abgebildet; die Abbildung wird Element für
> Element handgeklöppelt.

Eine Abbildung unter Beteiligung der Menge ℕ kann man bis zu jedem definierbaren Term a_n individuell untersuchen. Wären alle definierbar, so könnte man alle individuell untersuchen. Natürlich auch einen letzten, wenn es denn bis ω und darüber hinaus weiterginge.

Was sollte dies verhindern?

> - gäbe es aktual unendliche Mengen, so müßten auch diese
> (kontrafaktisch, denn es geht halt nicht) durch sukzessives Hantieren
> mit undnlich vielen Elementen gebildet werden. Auch dann wäre ein
> Element da, mit dem zuletzt hantiert wurde. Und ein vorletztes usw.
> Die gäbe es in einer aktual unendlichen Menge der natürlichen Zahlen,
> und das sind die "dunklen Zahlen".

Denn sie lassen sich nicht individuell manipulieren und daher auch nicht ordnen oder abbilden. Aber nach Voraussetzung sind sie vorhanden.
>
> Wenn man eine Reihe von Dingen nacheinander in die Hand nimmt und wieder
> weglegt, dann war eines der Dinge das letzte, das man in die Hand
> genommen hat. Auf solchen Vorstellungen beruht Mückenheims Gefasel, es
> "würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen", und im Rahmen solcher
> Vorstellungen wird es auch verständlich.

Nun bleibt noch die Frage, weshalb man die Vollständigkeit der linear wohlgeordneten Menge ℕ voraussetzt, die Konsequenzen der linearen Ordnung aber nicht erkennt. Deswegen habe ich das Lineal mit allen markierten Stammbrüchen eingeführt. Wer dies als konstant erkennt, weiß, dass alle Cantorschen "Bijektionen" nur den kleinen potentiell unendlichen Anfang der unendlichen Mengen betreffen, woraus sofort klar wird, dass alle abz. Mengen dieselbe Kardinalität haben. Es ist kein kontraintuitiver Aufwand nötig, um bedauernswerten Studenten "klarzumachen" oder zu "beweisen", dass es genau so viele Primzahlen wie algebraische Zahlen gibt. Man kann sie beliebig weit nummerieren, selbst Zahlen der Form n*10^10^10^1000. Denn die Unendlichkeit ist eben sehr groß. Aber vollständig wird diese Abzählung niemals. Beweis: Sie erstreckt sich nur bis n in

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Immer bleiben fast alle Zahlen dunkel. Nun kann man noch die Notbremse ziehen und behaupten, dass die Annahme der dunklen Menge eine Quantorenvertauschung bedeutet und in Wirklichkeit alle natürlichen Zahlen im Rest ℵo definierbar wären. Es bleiben also immer fast alle undefiniert, aber es bleibt doch keine undefiniert. Nur kann man die meisten nicht angeben. Das führt dann zu solchen Aussagen wie: Jedes Endsegment ist unendlich und erzeugt einen unendlichen Schnitt mit allen Vorgängern, aber alle unendlichen Endsegmente haben einen leeren Schnitt. Klarer kann man die Mathematik nicht verletzen. Der Schnitt ist ℕ\L, wo L die verbliebene Elemente darstellt. In allen unendlichen Endsegmenten sind das unendlich viele.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 5:57:24 AM12/16/21
to
Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 03:47:33 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Wäre das der Fall, so würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen.
> Warum sollte das so sein?

Weil die Menge ℕ eine lineare Anordnung besitzt.

> Bei der Abzaehlung der natuerlichen Zahlen gibt
> es ja ebenfalls keine "letzte natuerliche Zahl", und trotzdem ist die
> Identitaet zweifellos eine bijektive Abbildung der natuerlichen Zahlen
> auf sich selbst, obwohl es keine "leetzte natuerliche Zahl" gibt.

Die Identität ist eine Symmetrierelation, die nicht erfordert, dass die einzelnen Elemente tatsächlich definierbar sind. Sie sind es nicht, wie sich an

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

zeigt.

> Warum sollte das bei der "Abzaehlung" der Stammbrueche mit der einfachen
> Funktion "f(n)=1/n" nicht der Fall sein?

Es ist dort genau so der Fall: Symmetrie. Aber ℵo Stammbrüche bleiben dunkel. Meine Behauptung ist: Könnten man auch die dunklen in Abbildungen verwenden, dann wäre natürlich die identische Abbildung möglich, aber niemals eine Bijektion zwischen

ℕ U {0} und ℕ

denn die Teilstriche vermehren sich nicht!

> Eine bijektive Funktion von A auf B ist aber kein "schrittweiser Prozess"
> sondern eine Teilmenge von A X B.

Das ist wieder so eine matheologene Behauptung. Eine Bijektive Abbildung unter Beteiligung von ℕ lässt sich Schritt für Schritt bis zu jeder individuell definierbaren Zahl n untersuchen. Wenn es irgendwann nicht mehr geht und kein schrittweiser Prozess mehr ist, dann muss das einen Grund haben.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 6:08:14 AM12/16/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 04:00:40 UTC+1:
> Bei abzählbar unendlichen Mengen kann von einer »Gesamtzahl« bzw. einer
> Anzahl an Elementen dieser Menge nicht mehr sinnvoll gesprochen werden.

Warum nicht?

Warum kann man jeden endlichen Anfangsabschnitt von ℕ summieren: n(n+1)/2, aber nicht ℕ selbst?

> Deshalb muss die Mächtigkeit |X| der Menge X in diesem Fall anders
> definiert werden. Das geschieht durch Bijektion.

Aber es wird nicht vorausgesetzt, dass die Bijektion alle Elemente erfasst. Also müssen alle existieren.

> Da es eine solche
> »Gesamtzahl«, das heißt eine feste Anzahl an Elementen, weder bei abzählbar
> unendlichen noch bei überabzählbar unendlichen Mengen gibt

Wie kann man denn feststellen, dass alle Elemente abgezählt werden?

>, kann auch nicht
> in einer irgendwie sinnvollen Interpretation davon gesprochen werden, diese
> »Gesamtzahl« sei »konstant, unvermehrbar und unverminderbar«.

Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 6:16:14 AM12/16/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 04:25:38 UTC+1:
> Hallo Ralf, hallo alle zusammen,
>
> Vielen Dank für Deine Antwort. :-)
>
> Am 16.12.21 02:21, schrieb Ralf Bader:
> > […] und im Rahmen solcher
> >Vorstellungen wird es auch verständlich.
> Ja. Jedenfalls ist das plausibel, das heißt, es macht jede von WMs
> Änderungen nachvollziehbar.
>
> Nur ist die Vorstellung, Mengen würden dadurch entstehen, dass sie
> sukzessive mit Elementen gefüllt werden (Element für Element) einfach
> Unfug. Genauer: es ist meiner Ansicht nach eine konkretistische
> Vorstellung, die die Entwicklung eines Verständnisses für die recht
> abstrakten Zusammenhänge in der Mathematik (hier: Mengenlehre) von
> vornherein verhindert.

Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich bis zu jedem definierbaren n so nachvollziehen. Das geschieht auch in der Mengenlehre durch Zermelos oder v. Neumanns Definition. Es sind ununterbrochene Ketten.

Aber mein Linealbeispiel nimmt ja nur die vollständige Existenz aller Teilstriche an. Wenn sie nicht akzeptiert wird, dann gibt es auch keine Überabzählbarkeitsbeweise, weder nach Cantor, noch nach Hessenberg. Dort muss man die vollständigen Mengen ℕ oder sogar P(ℕ) voraussetzen. Es kommt also in jedem Fall zu einem Widerspruch.

Gruß, WM

Stefan Schmitz

unread,
Dec 16, 2021, 6:55:12 AM12/16/21
to
Es ist also |ℕ U {0}| = |ℕ| + 1, demnach also auch

|{n+1; n aus ℕ U {0}}| = |ℕ| + 1,

also |ℕ| = |ℕ| + 1.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 16, 2021, 7:25:38 AM12/16/21
to
Am 16.12.21 12:08, schrieb Ganzhinterseher:
>Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.

Das ist Quatsch. Bei jedem beliebigen Stammbruch (1/n) gibt es einen
Stammbruch (1/(n+1)), der kleiner ist. Es gibt keinen »kleinsten«
Stammbruch, weil es keine »größte« natürliche Zahl gibt, die im Nenner
stehen könnte. Dennoch werden vom »Lineal« (das eigentlich der Zahlenstrahl
ist) alle Stammbrüche gleichzeitig erfasst. Vollständig.

Andreas Leitgeb

unread,
Dec 16, 2021, 7:44:51 AM12/16/21
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.

Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*, könnte das
kein Mensch. Warum also diese sinnlose Ablenkung?

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 7:49:11 AM12/16/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:25:38 UTC+1:
> Am 16.12.21 12:08, schrieb Ganzhinterseher:
> >Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.
> Das ist Quatsch. Bei jedem beliebigen Stammbruch (1/n) gibt es einen
> Stammbruch (1/(n+1)), der kleiner ist.

Diese Relation existiert nur für definierbare Zahlen:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

> Es gibt keinen »kleinsten«
> Stammbruch, weil es keine »größte« natürliche Zahl gibt, die im Nenner
> stehen könnte.

Richtig. Das bedeutet, dass es die meisten gar nicht gibt oder dass sie nicht definirebar sind.

> Dennoch werden vom »Lineal« (das eigentlich der Zahlenstrahl
> ist) alle Stammbrüche gleichzeitig erfasst. Vollständig.

Dann sind sie auch da auf dem Lineal, wo wir sie uns als markiert vorstellen können. Für die ersten n Stammbrüche geht es jedenfalls. Für die anderen geht es, wenn sie existieren.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 7:51:35 AM12/16/21
to
Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:44:51 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.
> Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*, könnte das
> kein Mensch.

Es muss kein Mensch sie markieren. Wenn sie alle da sind, sind sie von selbst da.

> Warum also diese sinnlose Ablenkung?

Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass aktual unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen haben.

Gruß, WM

Marcus Gloeder

unread,
Dec 16, 2021, 8:21:58 AM12/16/21
to
Am 16.12.21 13:49, schrieb Ganzhinterseher:
>Dann sind sie auch da auf dem Lineal, wo wir sie uns als markiert vorstellen können. Für die ersten n Stammbrüche geht es jedenfalls. Für die anderen geht es, wenn sie existieren.

Cursor. Lineale. Konkretistischer Unfug.

Das Problem ist schlicht, dass Du mit großer Beständigkeit die Eigenschaften
der realen Welt in die Mathematik einführen willst. Das ist aber einfach
Quatsch. In der (physikalischen) Realität gibt es immer Grenzen.
Beispielsweise kannst Du auf ein reales Lineal nicht unendlich viele
Striche zeichnen. Diese Grenzen in die Mathematik einführen zu wollen,
verhindert von vornherein jedes Verständnis für die abstrakten,
denkmöglichen Zusammenhänge in der derselben, insbesondere für die
Eigenschaften, die abzählbar unendliche und überabzählbar unendliche Mengen
haben und die sie von endlichen Mengen unterscheiden.

>Gruß, WM

Marcus Gloeder

unread,
Dec 16, 2021, 8:28:30 AM12/16/21
to
Am 16.12.21 13:51, schrieb Ganzhinterseher:
>Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass aktual unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen haben.

Jetzt phantasiert WM und redet wirr.

JVR

unread,
Dec 16, 2021, 8:38:54 AM12/16/21
to
On Thursday, December 16, 2021 at 2:28:30 PM UTC+1, Marcus Gloeder wrote:
> Am 16.12.21 13:51, schrieb Ganzhinterseher:
> >Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass aktual unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen haben.
> Jetzt phantasiert WM und redet wirr.

Macht nichts - den Troll einfach brav weiter bedienen!

Stefan Schmitz

unread,
Dec 16, 2021, 8:57:00 AM12/16/21
to
Am 16.12.2021 um 13:49 schrieb Ganzhinterseher:
> Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:25:38 UTC+1:
>> Es gibt keinen »kleinsten«
>> Stammbruch, weil es keine »größte« natürliche Zahl gibt, die im Nenner
>> stehen könnte.
>
> Richtig. Das bedeutet, dass es die meisten gar nicht gibt oder dass sie nicht definirebar sind.

Dann sollte es ja kein Problem sein, aus diesen meisten einen
beispielhaft zu nennen.

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 9:58:54 AM12/16/21
to
Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 14:57:00 UTC+1:
> Am 16.12.2021 um 13:49 schrieb Ganzhinterseher:
> > Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:25:38 UTC+1:
> >> Es gibt keinen »kleinsten«
> >> Stammbruch, weil es keine »größte« natürliche Zahl gibt, die im Nenner
> >> stehen könnte.
> >
> > Richtig. Das bedeutet, dass es die meisten gar nicht gibt oder dass sie nicht definierbar sind.
> Dann sollte es ja kein Problem sein, aus diesen meisten einen
> beispielhaft zu nennen.

Das ist kein Problem. Die individuell definierbaren Stammbrüche bilden eine potentiell unendliche Kollektion. Das ändert aber nichts daran, dass fast alle entweder gar nicht existieren oder dunkel sind und bleiben.

Also wähle einfach den kleinsten, den Du wählen kannst, vielleicht Grahams Zahl 1/G. Und am besten gleich noch einen kleineren 1/G^G^G. Das wäre doch schon mal was. Trotzdem bleiben ℵo Stammbrüche dunkel, wenn sie denn überhaupt existieren. Aber wenn sie existieren, dann ist ihre Zahl bestimmt nicht variabel.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 10:08:27 AM12/16/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 14:21:58 UTC+1:
> Am 16.12.21 13:49, schrieb Ganzhinterseher:
> >Dann sind sie auch da auf dem Lineal, wo wir sie uns als markiert vorstellen können. Für die ersten n Stammbrüche geht es jedenfalls. Für die anderen geht es, wenn sie existieren.
> Cursor. Lineale. Konkretistischer Unfug.
>
> Das Problem ist schlicht, dass Du mit großer Beständigkeit die Eigenschaften
> der realen Welt in die Mathematik einführen willst.

Unsinn. Unendliche Mengen haben mit der Realität absolut nichts zu tun. Ich möchte nur den Matheologen zeigen, wie inkonsistent sie sind. Wenn eine Menge vollständig und fertig ist, dann kann man sie vollständig behandeln. Man kann zum Beispiel die Menge aller Stammbrüche von der Menge aller reellen Zahlen subtrahieren. Tut man das, dann hat man keine schwammig definierte Menge von Elementen, sondern eine präzise Gesamtzahl entfern.

> In der (physikalischen) Realität gibt es immer Grenzen.
> Beispielsweise kannst Du auf ein reales Lineal nicht unendlich viele
> Striche zeichnen.

Deswegen ist mein Beispiel nicht real, aber so anschaulöich, dass auch schwächer Köpfe es verstehen sollten.

> Diese Grenzen in die Mathematik einführen zu wollen,
> verhindert von vornherein jedes Verständnis für die abstrakten,
> denkmöglichen Zusammenhänge in der derselben, insbesondere für die
> Eigenschaften, die abzählbar unendliche und überabzählbar unendliche Mengen
> haben und die sie von endlichen Mengen unterscheiden.

Es geht nicht um abstrakte Denkmöglichkeiten, sondern um intellektuelles Versagen, das so weit geht, für die Menge unendlicher Endsegmenten einen leeren Schnitt zu behaupten.

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 11:07:30 AM12/16/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 02:21:14 UTC+1:
>> On 12/16/2021 12:53 AM, Marcus Gloeder wrote:
>
>> - bei einer Abbildung f:A->B wird sukzessive jedes einzelne Element von
>> A auf ein Element von B abgebildet; die Abbildung wird Element für
>> Element handgeklöppelt.
>
> Eine Abbildung unter Beteiligung der Menge ℕ kann man bis zu jedem definierbaren Term a_n individuell untersuchen. Wären alle definierbar, so könnte man alle individuell untersuchen. Natürlich auch einen letzten, wenn es denn bis ω und darüber hinaus weiterginge.
>
> Was sollte dies verhindern?

Die Nichtexistenz eiines "letzten Elements" bei (aktual) unendlichen Mengen.

>> - gäbe es aktual unendliche Mengen, so müßten auch diese
>> (kontrafaktisch, denn es geht halt nicht) durch sukzessives Hantieren
>> mit undnlich vielen Elementen gebildet werden. Auch dann wäre ein
>> Element da, mit dem zuletzt hantiert wurde. Und ein vorletztes usw.
>> Die gäbe es in einer aktual unendlichen Menge der natürlichen Zahlen,
>> und das sind die "dunklen Zahlen".
>
> Denn sie lassen sich nicht individuell manipulieren und daher auch nicht ordnen oder abbilden. Aber nach Voraussetzung sind sie vorhanden.

Selbstverstaendlich lassen sich auch auf (aktuel) unendlichen Mengen
Ordnungsrelationen definieren.

>> Wenn man eine Reihe von Dingen nacheinander in die Hand nimmt und wieder
>> weglegt, dann war eines der Dinge das letzte, das man in die Hand
>> genommen hat. Auf solchen Vorstellungen beruht Mückenheims Gefasel, es
>> "würde bei der Abzählung ein letzter vorkommen", und im Rahmen solcher
>> Vorstellungen wird es auch verständlich.
>
> Nun bleibt noch die Frage, weshalb man die Vollständigkeit der linear wohlgeordneten Menge ℕ voraussetzt, die Konsequenzen der linearen Ordnung aber nicht erkennt.

Wenn SIE sie nicht erkennen, ist das IHR Problem.

Tchuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ralf Bader

unread,
Dec 16, 2021, 11:46:41 AM12/16/21
to
On 12/16/2021 11:44 AM, Ganzhinterseher wrote:

das übliche idiotische Geschwafel

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 12:17:59 PM12/16/21
to
Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 17:07:30 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Denn sie lassen sich nicht individuell manipulieren und daher auch nicht ordnen oder abbilden. Aber nach Voraussetzung sind sie vorhanden.
> Selbstverstaendlich lassen sich auch auf (aktuel) unendlichen Mengen
> Ordnungsrelationen definieren.

Nicht für alle natürlichen Zahlen, denn dann wäre eine letzte vor ω unvermeidlich.

> > Nun bleibt noch die Frage, weshalb man die Vollständigkeit der linear wohlgeordneten Menge ℕ voraussetzt, die Konsequenzen der linearen Ordnung aber nicht erkennt.
> Wenn SIE sie nicht erkennen, ist das IHR Problem.

Du erkennst nicht einmal, was dieser Satz bedeutet.
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Gruß, WM

Ralf Bader

unread,
Dec 16, 2021, 12:38:06 PM12/16/21
to
On 12/16/2021 01:51 PM, Ganzhinterseher wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:44:51
> UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>>> Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal
>>> markieren.
>> Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*,
>> könnte das kein Mensch.
>
> Es muss kein Mensch sie markieren. Wenn sie alle da sind, sind sie
> von selbst da.

Solches Gefasel ändert doch nichts an der Blödsinnigkeit Ihrer
Aufforderung, sich etwas vorzustellen, was es nicht geben kann.

>> Warum also diese sinnlose Ablenkung?
>
> Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass
> aktual unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen
> haben.

Beliebige Mengen haben eine präzise Kardinalität. Daß es echte
Teilmengen geben kann mit der selben Kardinalität ändert nichts daran,
daß die Kardinalität einer Menge präzise definiert ist. Wohlgeordneten
Mengen kommt eine präzise definierte Ordinalzahl zu. Jede Teilmenge
einer wohlgeordneten Menge erbt eine Wohlordnung von der Obermenge, und
wenn es sich um eine echte Teilmenge handelt, dann kommt ihr eine
kleinere Ordinalzahl zu (auch wenn sie sich von der Obermenge nur um ein
Element unterscheidet).

Ihr Linealbeispiel ist schon deshalb blödsinnig, weil es zur
Verwechslung von Ordinalität und Kardinalität einlädt. Mückenheim, Sie
schwafeln nichts als saublöden Scheißdreck daher. Normal befähigte
Personen kapieren das Obige in ein paar Tagen (ob man die Theorie für
sinnvoll hält, ist dann wieder ein anderer Punkt). Sie, Mückenheim,
kapieren es nachweislich in Jahrzehnten nicht. Was soll man davon
halten, wenn nicht, daß Sie für Mathematik zu blöde sind?



Andreas Leitgeb

unread,
Dec 16, 2021, 2:07:42 PM12/16/21
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:44:51 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.
>> Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*, könnte das
>> kein Mensch.
> Es muss kein Mensch sie markieren. Wenn sie alle da sind, sind sie von selbst da.

Das gilt dann aber auch für *alle* Stammbrüche, etwa am Zahlenstrahl.

Die sind da ganz von selbst.

>> Warum also diese sinnlose Ablenkung?
> Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass aktual
> unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen haben.

Warum sollte jemand deinetwegen einen Unsinn "verstehen"? (von deinen
ehemaligen Studenten mal abgesehen)

Betrachte mal ℕ = { 1, 2, 3, ... }
dann ℕ° = ℕ u { 0 } = { 0, 1, 2, 3, ... }
dann ℕ°⁺¹ = { n+1 : n e ℕ° } = { 1, 2, 3, 4, ... }

Nach deiner WM-atik wäre also | ℕ | < | ℕ° | = | ℕ°⁺¹ |,
wenn aber offenbar ℕ°⁺¹ = ℕ

Klingelts da nicht, dass deine Ansicht von Gesamtzahlen von Elementen
unendlicher Mengen einfach zu naiv angesetzt und nicht zielführend ist?

Stefan Schmitz

unread,
Dec 16, 2021, 2:24:45 PM12/16/21
to
Beispiele für existierende kann hier wohl jeder beliebig viele nennen.
Ich fragte nach einem, der nicht existiert oder nicht definierbar ist.

Am liebsten hätte ich den größten und eine Erklärung, wodurch er sich
vom kleinsten definierbaren unterscheidet.

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 2:59:21 PM12/16/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Aber zurück zum Thema: Ja, Induktion erstreckt sich nicht auf dunkle Zahlen. Sie gilt für die potentiell unendliche Menge definierbarer Zahlen.

Mit vollstaendiger Induktion beweist man einen Sachverhalt fuer *alle*
*natuerlichen* Zahlen. Das haengt nich an irgendwelchen Eigenschaften
einzelner natuerlicher Zahlen, sondern daran, dass die (aktual unendliche)
Menge der natuerlichen Zahlen per Definition eine minimale induktive Menge
ist. Wenn man also beweist, dass der zu beweisende Sachverhalt fuer *alle*
Elemente einer *beliebigen* induktiven Menge gilt, so gilt er insbesondere
auch fuer alle Elemente jeder beliebigen Teilmenge dieser induktiven
Menge, also insbesondere fuer die natuerlichen Zahlen, die die minimale
induktive Menge sind. Es ist also voellig sinnlos darueber zu diskutieren,
ob man mit einem "sequentiellen durchlaufen" alls natuerlichen Zahlen
"erwischen wuerde", denn das muss man nicht beweisen. Wenn man beweist,
dass eine Aussage fuer eine *beliebige* induktive Menge gilt (und das tut
man bei der vollstaendigen Induktion, indem man die Aussage fuer die 1
beweist und zusaetzlich zeigt, dass wenn die Aussage fuer irgend ein n
gilt, sie auch fuer den Nachfolger von n gilt), dann gilt die Aussage
insbesondere auch fuer die "minimale induktive Menge" und das sind nun
mal eben die natuerlichen Zahlen.
SIE haben offenbar noch nicht einmal *diese* Grundlage der vollstaendigen
Induktion begriffen. Wenn also die vollstaendige Induktion nichts fuer
"dunkle Zahlen" beweist, koennen dunkle Zahlen nicht in |N enthalten sein
(denn das wuerde der Minimalitaet der natuerlichen Zahlen als induktive
Menge widersprechen).
Bezweifeln SIE dass die Menge der natuerlichen Zahlen eine minnimale
induktive Menge ist? Dann ruetteln SIE nicht nur an den ''Grrundfeesten
der Mathematik sonder n sogar an den Grundfesten der "Mueckematik" (auch
wenn SIE nicht ueberblicken koennen, dass dem so ist).

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 3:02:27 PM12/16/21
to
Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 18:38:06 UTC+1:
> On 12/16/2021 01:51 PM, Ganzhinterseher wrote:
> > Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:44:51
> > UTC+1:
> >> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> >>> Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal
> >>> markieren.
> >> Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*,
> >> könnte das kein Mensch.
> >
> > Es muss kein Mensch sie markieren. Wenn sie alle da sind, sind sie
> > von selbst da.
> Solches Gefasel ändert doch nichts an der Blödsinnigkeit Ihrer
> Aufforderung, sich etwas vorzustellen, was es nicht geben kann.

Dass es nicht alle Stammbrüche geben kann, mag durchaus sein. Aber wenn alle existieren, dann ist diese Menge unveränderlich.

> >> Warum also diese sinnlose Ablenkung?
> >
> > Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass
> > aktual unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen
> > haben.
> Beliebige Mengen haben eine präzise Kardinalität.

Kardinalität ist Unsinn. Alle potentiell unendlichen Mengen haben dieselbe Kardinalität. Es geht um den Rest, der jenseits aller individuell definierbaren Elemente liegt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Das Bild mit den Teilstrichen soll nur die Tatsache verdeutlichen, dass sich nichts dadurch ändert, dass jemand sich eine Abbildung von ℕ auf die Teilmenge der Primzahlen oder die Menge der Brüche in (0, 1] oder die Menge aller Brüche wünscht. Das wäre Mathematik nach Gutsherrenart. Das muss doch selbst in den schwächsten Kopf eingehen.

> Daß es echte
> Teilmengen geben kann mit der selben Kardinalität ändert nichts daran,
> daß die Kardinalität einer Menge präzise definiert ist.

Das Cantorsche Maß ist präzise und sinnlos. Es liefert von jeder Menge nur den Anfang und zeigt deswegen für alle dasselbe. Die vollständige Menge P(ℕ) wird für den Hessenbergschen Beweis gebraucht. Natürlich steht sie nicht zur Verfügung.


> Wohlgeordneten
> Mengen kommt eine präzise definierte Ordinalzahl zu.

Leider lassen sich nur ein paar Elemente wohlordnen.:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Weshalb kann man diese Aussage nicht akzeptieren? Weshalb versuchen alle damit konfrontierten Mathemaologen zu "beweisen", dass jede Zahl < ω definierbar ist. Wenn für alle definierbaren Zahlen gilt, dass der Abstand zu ω unendlich ist, dann liegt keine näher an ω.
>
> Ihr Linealbeispiel ist schon deshalb blödsinnig, weil es zur
> Verwechslung von Ordinalität und Kardinalität einlädt.

Da gibt es nichts zu verwechseln. Ordinalzahlen sind immer definiert. Dunkle Zahlen können keine Ordnung erlauben, denn sonst wäre eine die letzte vor ω. Da kann man lediglich "unendlich" oder kurz ℵo festlegen - allerdings nicht in der Bedeutung Cantors.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 3:06:23 PM12/16/21
to
Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 20:07:42 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:44:51 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> >> > Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.
> >> Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*, könnte das
> >> kein Mensch.
> > Es muss kein Mensch sie markieren. Wenn sie alle da sind, sind sie von selbst da.
> Das gilt dann aber auch für *alle* Stammbrüche, etwa am Zahlenstrahl.
>
> Die sind da ganz von selbst.

Richtig. Und sie sind unabhängig von jeder geplanten "Bijektion".

> >> Warum also diese sinnlose Ablenkung?
> > Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass aktual
> > unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen haben.
> Warum sollte jemand deinetwegen einen Unsinn "verstehen"? (von deinen
> ehemaligen Studenten mal abgesehen)
>
> Betrachte mal ℕ = { 1, 2, 3, ... }
> dann ℕ° = ℕ u { 0 } = { 0, 1, 2, 3, ... }
> dann ℕ°⁺¹ = { n+1 : n e ℕ° } = { 1, 2, 3, 4, ... }

Was sollte ℕ°⁺¹ sein? Alle natürlichen Zahlen und noch mehr?

> Klingelts da nicht, dass deine Ansicht von Gesamtzahlen von Elementen
> unendlicher Mengen einfach zu naiv angesetzt und nicht zielführend ist?

Sie ist unausweichlich, falls es alle gibt.

Gruß, WM

Stefan Schmitz

unread,
Dec 16, 2021, 3:10:47 PM12/16/21
to
Am 16.12.2021 um 21:06 schrieb Ganzhinterseher:
> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 20:07:42 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>>> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:44:51 UTC+1:
>>>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>>>>> Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.
>>>> Selbst, wenn es nur etwa 10^9 (1 Milliarde) Stammbrüche *gäbe*, könnte das
>>>> kein Mensch.
>>> Es muss kein Mensch sie markieren. Wenn sie alle da sind, sind sie von selbst da.
>> Das gilt dann aber auch für *alle* Stammbrüche, etwa am Zahlenstrahl.
>>
>> Die sind da ganz von selbst.
>
> Richtig. Und sie sind unabhängig von jeder geplanten "Bijektion".
>
>>>> Warum also diese sinnlose Ablenkung?
>>> Ich gebe dieses Beispiel, damit manch einer vielleicht versteht, dass aktual
>>> unendliche Mengen eine präzise Gesamtzahl von Elementen haben.
>> Warum sollte jemand deinetwegen einen Unsinn "verstehen"? (von deinen
>> ehemaligen Studenten mal abgesehen)
>>
>> Betrachte mal ℕ = { 1, 2, 3, ... }
>> dann ℕ° = ℕ u { 0 } = { 0, 1, 2, 3, ... }
>> dann ℕ°⁺¹ = { n+1 : n e ℕ° } = { 1, 2, 3, 4, ... }
>
> Was sollte ℕ°⁺¹ sein? Alle natürlichen Zahlen und noch mehr?

Die Definition steht da. Was ist an der Menge anders als ℕ, dass sie
nach deiner Lesart ein Element mehr hat?

Ralf Bader

unread,
Dec 16, 2021, 3:25:10 PM12/16/21
to
On 12/16/2021 09:02 PM, Ganzhinterseher wrote:

idiotischen Scheißdreck

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 4:30:34 PM12/16/21
to
Die Menge ℕ U { 0 } hat eine Element mehr als die Menge ℕ. Die Menge ℕ°⁺¹ hat genau so viele Elemente wie die Menge ℕ°, also |ℕ + 1. Das lässt sich zwar nicht durch eine Bijektion zeigen, weil eben die meisten Elemente dunkel sind, aber es zeigt sich durch eine einfache Symmetrieüberlegung.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 4:39:45 PM12/16/21
to
Man kann einige dunkle Zahlen definieren, weil die Menge der definierten Zahlen potentiell unendlich ist. Es gibt aber keine Möglichkeit, undefinierbare Zahlen zu definieren. Es gibt die Möglichkeit, die größte natürliche Zahl zu bezeichnen, zum Beispiel als Grossone G, oder G/2 oder G/10. Aber dadurch erfolgt keine Definition mit Hilfe von endlichen Anfangsabschnitten.
>
> Am liebsten hätte ich den größten und eine Erklärung, wodurch er sich
> vom kleinsten definierbaren unterscheidet.

Es gibt keinen kleinsten definierbaren Stammbruch, weil es keine größte definierbare natürliche Zahl gibt. Aber nach jeder definieren folgen noch ℵ₀ undefinierte, unter denen ℵ₀ undefinierbar sind.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 4:44:05 PM12/16/21
to
Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 21:25:10 UTC+1:
> On 12/16/2021 09:02 PM, Ganzhinterseher wrote:
>
> idiotischen Scheißdreck

Wenn Du lieber auf der Stufe verharrst, wonach sich die Menge der natürlichen Zahlen je nach Bedarf ändert, dann kann ich Dir nicht helfen. Das Bild mit dem Lineal vor Augen sollte es eigentlich jedem nicht total verkrusteten Kopf gelingen, sich von der elastischen Unendlichkeit zu lösen.

Gruß, WM

Stefan Schmitz

unread,
Dec 16, 2021, 4:46:11 PM12/16/21
to
Ich verstehe die Symmetrieüberlegung nicht, aber erkenne durch einfaches
Hinsehen, dass sie exakt die selben Elemente wie ℕ enthält.
Trotzdem ist es bei dir eins mehr. Welches habe ich übersehen?

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 4:52:37 PM12/16/21
to
Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 20:59:21 UTC+1:
> Hallo,
>
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Aber zurück zum Thema: Ja, Induktion erstreckt sich nicht auf dunkle Zahlen. Sie gilt für die potentiell unendliche Menge definierbarer Zahlen.
>
> Mit vollstaendiger Induktion beweist man einen Sachverhalt fuer *alle*
> *natuerlichen* Zahlen.

Man beweist per Induktion, dass die Menge aller endlichen Anfangsabschnitte von ℕ subtrahiert werden kann, ohne die Menge wesentlich zu verkleinern. Das ist aber auch so bekannt:
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Induktion erfasst also nur alle definierbaren Zahlen.

> Wenn man also beweist, dass der zu beweisende Sachverhalt fuer *alle*
> Elemente einer *beliebigen* induktiven Menge gilt, so gilt er insbesondere
> auch fuer alle Elemente jeder beliebigen Teilmenge dieser induktiven
> Menge, also insbesondere fuer die natuerlichen Zahlen, die die minimale
> induktive Menge sind.

Das ist oben bewiesen für ℕ_def.

> Es ist also voellig sinnlos darueber zu diskutieren,
> ob man mit einem "sequentiellen durchlaufen" alls natuerlichen Zahlen
> "erwischen wuerde", denn das muss man nicht beweisen.

Man muss aber beweisen, dass die Menge der Mächtigkeit ℵo induktiv ist. Sie ist es nicht.

Wenn man beweist,
> dass eine Aussage fuer eine *beliebige* induktive Menge gilt (und das tut
> man bei der vollstaendigen Induktion, indem man die Aussage fuer die 1
> beweist und zusaetzlich zeigt, dass wenn die Aussage fuer irgend ein n
> gilt, sie auch fuer den Nachfolger von n gilt), dann gilt die Aussage
> insbesondere auch fuer die "minimale induktive Menge" und das sind nun
> mal eben die natuerlichen Zahlen.

ℕ_def. Sie sind es auch, die aus Endsegmenten entfernt werden können. Die unendlich vielen dort verbleibenden Zahlen gehören nicht dazu. Sonst würden sie durch "n ∉ E(n+1)" entfernt werden und eine leeres Endsegment hinterlassen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 4:58:26 PM12/16/21
to
Nehmen wir an, dass alle natürlichen Zahlen definierbar wären, was sie nicht sind, dann würde die Menge ℕ°⁺¹ alle natürlichen Zahlen und ω enthalten, denn dann besäße ℕ ein letztes, größtes Element, zu dem 1 addiert würde.

Gruß, WM

Andreas Leitgeb

unread,
Dec 16, 2021, 5:35:30 PM12/16/21
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 20:07:42 UTC+1:
>> Betrachte mal ℕ = { 1, 2, 3, ... }
>> dann ℕ° = ℕ u { 0 } = { 0, 1, 2, 3, ... }
>> dann ℕ°⁺¹ = { n+1 : n e ℕ° } = { 1, 2, 3, 4, ... }
> Was sollte ℕ°⁺¹ sein? Alle natürlichen Zahlen und noch mehr?

Wie oben beschrieben. In Worten für mathematisch weniger begabte:

Ausgehend von ℕ wird ℕ° so gebildet, dass zur Menge ℕ° alle Elemente
von ℕ und ein weiteres Element 0, das nicht in ℕ ist, hinzugefügt
wird. Naive Geister vermuten eine damit einhergehende "Vergrößerung"
der Menge im (Un-)Sinne einer um 1 erhöhten Gesamtzahligkeit von ℕ°.

Ausgehend von ℕ° wird ℕ°⁺¹ so gebildet, dass zu jeder einzelnen
Zahl aus ℕ° jeweils 1 addiert wird. Ganz offensichtlich ändert
das selbst für obengenannte naive Geister nichts an der Anzahl
der Elemente...

Am Ende ist dann aber die Menge ℕ°⁺¹ mit der Menge ℕ identisch.

> Sie ist unausweichlich,

... zumindest, falls das Ziel weitere Jahre sinnlosen Geschafels sind.

Ralf Bader

unread,
Dec 16, 2021, 6:00:37 PM12/16/21
to
Was sich zeigt ist, daß Sie für diese Dinge zu blöde sind.

Stefan Schmitz

unread,
Dec 16, 2021, 6:01:12 PM12/16/21
to
Dann gib doch das zusätzliche Element ohne diese falsche Annahme an.

die Menge ℕ°⁺¹ alle natürlichen Zahlen und ω enthalten, denn dann besäße
ℕ ein letztes, größtes Element, zu dem 1 addiert würde.

Was ist denn ω?

Und welche Rolle spielt es für die Anzahl, ob zu dem "letzten größten
Element" irgendwas addiert wird?

Ralf Bader

unread,
Dec 16, 2021, 6:08:12 PM12/16/21
to
Ihre Vermutungen über die Stufe, auf der ich verharre, sind genauso
saublöd wie Ihr sonstiges Gefasel.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 16, 2021, 7:13:59 PM12/16/21
to
Hallo alle zusammen,

am 16.12.21 21:02, schrieb Ganzhinterseher:
>∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Aha. Da ℕ_def = ℕ gilt, folgt daraus, dass ℵo = 0 ist.

>[…] allerdings nicht in der Bedeutung Cantors.

Schon klar.

>Gruß, WM

Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 9:31:31 PM12/16/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 17:07:30 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>
>> > Denn sie lassen sich nicht individuell manipulieren und daher auch nicht ordnen oder abbilden. Aber nach Voraussetzung sind sie vorhanden.
>> Selbstverstaendlich lassen sich auch auf (aktuel) unendlichen Mengen
>> Ordnungsrelationen definieren.
>
> Nicht für alle natürlichen Zahlen, denn dann wäre eine letzte vor ω unvermeidlich.

S/unvermeidlich/nicht existent/

Da *JEDE* natuerliche Zahl einen (eindeutigen) Nachfolger besitzt,der
selbst wieder eine natuerliche Zahl ist, omega aber *keine* natuerliche
Zahl ist, kann es keine "letzte Zahl vor omega" geben. Das ist eigentlich
so trivial, dass es eigentlich gar keiner Erklaerung bedarf. SIE sind
aber offensichtlich dennoch nicht in der Lage, diese Trivialitaet zu
begreifen.

>> > Nun bleibt noch die Frage, weshalb man die Vollständigkeit der linear wohlgeordneten Menge ℕ voraussetzt, die Konsequenzen der linearen Ordnung aber nicht erkennt.
>> Wenn SIE sie nicht erkennen, ist das IHR Problem.
>
> Du erkennst nicht einmal, was dieser Satz bedeutet.
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Er bedeutet "Fuer alle Elemente n der Menge |N_def gilt:
Die Differenzmenge von |N und der (endlichen) Menge aller
natuerlichen Zahlen kleiner oder gleich n hat die Maechtigkeit
aleph0"

Das ist nicht weiter ueberraschen, denn die Fifferenzmenge von |N und
*jeder* *beliebigen* endlichen Menge hat die Maechtigkeit aleph0. Da
also sogar die viel allgemeinere Aussage gilt, ist die Gueltigkeit der
von IHNEN behauptweten Aussage nicht ueberraschend. Allerdings sagt die
von IHNEN Behauptete Aussage nur etwas ueber die Differenzmengen von |N
und einer beliebigen *endlichen* Menge aus.
(denn alle Mengen {1, 2, 3, ..., n} *sind* endlich)
Ueber Differenzmengen *unendlicher* Mengen besagt IHRE Aussage *gar* *nichts*.
Wie oft hat man IHNEN das nun bereits erklaert?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 9:34:24 PM12/16/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Marcus Gloeder schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 13:25:38 UTC+1:
>> Am 16.12.21 12:08, schrieb Ganzhinterseher:
>> >Wenn es alle Stammbrüche gibt, dann kann man sie auf dem Lineal markieren.
>> Das ist Quatsch. Bei jedem beliebigen Stammbruch (1/n) gibt es einen
>> Stammbruch (1/(n+1)), der kleiner ist.
>
> Diese Relation existiert nur für definierbare Zahlen:
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Wo ist da eine Relation? Ich sehe dort eine Aussage, aber keine Relation.
Kennen SIE noch nicht einmal den Unterschied zwischen einer Aussage und
einer Relation? Wie (mathematisch) unfaehiig sind SIE eigentlich?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 9:46:14 PM12/16/21
to
Hallo,

Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
> Beliebige Mengen haben eine präzise Kardinalität. Daß es echte
> Teilmengen geben kann mit der selben Kardinalität ändert nichts daran,
> daß die Kardinalität einer Menge präzise definiert ist. Wohlgeordneten
> Mengen kommt eine präzise definierte Ordinalzahl zu. Jede Teilmenge
> einer wohlgeordneten Menge erbt eine Wohlordnung von der Obermenge, und
> wenn es sich um eine echte Teilmenge handelt, dann kommt ihr eine
> kleinere Ordinalzahl zu (auch wenn sie sich von der Obermenge nur um ein
> Element unterscheidet).

Die Menge |N\{1} ist eine echte Teilmenge von |N.
Der Menge |N kommt die (Lines-) Ordinalzahl omega zu. Welche (kleinere)
Ordinalzahl kommt dann der (echten) Teilmenge |N\{1} von |N zu?
Die Frage meine ich ernst, es soll keine eine Provokation sein.
Ich hatte ja schon erwaehnt, dass ich mich bis vor kurzem ajhrzehntelang
kaum noch mit Mathematik beschaeftigt hatte, und auch noch nie ein wirk-
licher Experte in Mengenlehre war.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 9:55:25 PM12/16/21
to
Hallo,

Marcus Gloeder <m.gl...@gmx.de> wrote:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 16.12.21 21:02, schrieb Ganzhinterseher:
>>∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
>
> Aha. Da ℕ_def = ℕ gilt, folgt daraus, dass ℵo = 0 ist.

Nein. In der von WM genannten Differenzmenge handelt es sich immer um eine
Differenzmenge von |N mit einer *endlichen* Menge, denn fuer *JEDE* natuer-
liche Zahl n element |N ist die Menge {1, 2, 3, ..., n} (sprich die Menge
aller k element |N mit k <= n) eine endliche Menge. Aus der Tatsache dass fuer
*JEDE* endliche Menge M gilt, dass |N \ M die Maechtigkeit aleph0 hat, folgt
keineswegs, dass aleph0 = 0 waere.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 10:21:00 PM12/16/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 20:59:21 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Aber zurück zum Thema: Ja, Induktion erstreckt sich nicht auf dunkle Zahlen. Sie gilt für die potentiell unendliche Menge definierbarer Zahlen.
>>
>> Mit vollstaendiger Induktion beweist man einen Sachverhalt fuer *alle*
>> *natuerlichen* Zahlen.
>
> Man beweist per Induktion, dass die Menge aller endlichen Anfangsabschnitte von ℕ subtrahiert werden kann, ohne die Menge wesentlich zu verkleinern.

Nein (zumal in den meisten Induktionsbeweisen noch nicht einmal irgend ein
erkennbarer Zusammenhang zu "endlichen Anfangsabschnitten der natuerlichen
Zahlen" besteht). Es ist so, wie ich bereits erlaeutert habe:
Da die natuerlichen Zahlen die minimale induktive Menge sind, ist jede
Aussage, die man fuer eine (beliebige) induktive Menge beweist, auch
fuer die Menge der natuerlcihen Zahlen bewiesen. *DARAUF* basiert die
Beweisidee der vollstaendigen Induktion, und das rein gar nicht mit
"endlichen Anfaangsabschnitten der natuerlichen Zahlen" zu tun.
Mit dem Beweisverfahren der vollstaendigen Induktion beweist man die
zu beweisende Behauptung fuer eine (beliebige) induktive Menge, woraus
dann sofort die Behauptung fuer alle natuerlichen Zahlen folgt, weil
die Menge der natuerlichen Zahlen die minimal induktivwe Menge und
damit Teilmenge *jeder* induktiven Menge sind.

> Das ist aber auch so bekannt:
> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
> Induktion erfasst also nur alle definierbaren Zahlen.

Vollstaendige Induktion "erfasst" alle Elemente einer "iinduktiven Menge",
ud daraus folgt, dass ddie zu beweisende Aussage auch fuer alle Elemente
der "minimalen induktiven Menge" gilt, die Teilmenge *jeder* induktiven
Menge ist. Diese minnimale induktive Menge ist aber (nach Definition der
natuerlichen Zahlen) die Menge der natuerlichen Zahlen. Wenn also "nicht
definierbare Zahlen" nicht "erfasst" werden,. koennen diese "nicht defi-
nierbaren Zahlen" keine Elemente der natuerlichen Zahlen sein.
Haben SIE jetzt mit IHRER Argumentation versehentlich den Beweis geliefert,
dass es keine "undefinierbaren natuerlichen Zahlen" gibt?
;-)

>> Wenn man also beweist, dass der zu beweisende Sachverhalt fuer *alle*
>> Elemente einer *beliebigen* induktiven Menge gilt, so gilt er insbesondere
>> auch fuer alle Elemente jeder beliebigen Teilmenge dieser induktiven
>> Menge, also insbesondere fuer die natuerlichen Zahlen, die die minimale
>> induktive Menge sind.
>
> Das ist oben bewiesen für ℕ_def.

Es spielt keine Rolle, fuer was sie meinen etwas bewiesen zu haben.
Mit vollstaendiger Induktion beweist man, dass die zu beweisende Aussage
fuer eine *induktive Menge* gilt, und da die natuerlichen Zahlen Teil-
mneg *jeder* *beliebigen* induktiven Menge sind, ist die Aussage fuer
*alle* natuerlichen Zahlen bewiesen.
Sind SIE wirklich zu beschraenkt, um das zu begreifen?

>> Es ist also voellig sinnlos darueber zu diskutieren,
>> ob man mit einem "sequentiellen durchlaufen" alls natuerlichen Zahlen
>> "erwischen wuerde", denn das muss man nicht beweisen.
>
> Man muss aber beweisen, dass die Menge der Mächtigkeit ℵo induktiv ist. Sie ist es nicht.

Warum sollte man das? Im Beweisverfahren der vollstaendigen Induktion
kommt der Begriff der Maechtigkeit von Mengen gar nicht vor (auch nicht
als Voraussetzung) und er spielt auch keine Rolle fuer die Tatsache, dass
die (aktual) unendliche Menge der natuerlichen Zahlen ein Teilmenge *jeder*
induktiven Menge ist. Ausserdem besagt das Unendlichkeitsaxiom, dass es
die (aktual unendliche) Menge der natuerlichen Zahlen gibt.

> Wenn man beweist,
>> dass eine Aussage fuer eine *beliebige* induktive Menge gilt (und das tut
>> man bei der vollstaendigen Induktion, indem man die Aussage fuer die 1
>> beweist und zusaetzlich zeigt, dass wenn die Aussage fuer irgend ein n
>> gilt, sie auch fuer den Nachfolger von n gilt), dann gilt die Aussage
>> insbesondere auch fuer die "minimale induktive Menge" und das sind nun
>> mal eben die natuerlichen Zahlen.
>
> ℕ_def.

|N_def ist offensichtlich (so es denn existiert und eine Menge ist)
Teilmenge der natuerlichen Zahlen, also ist |N_def entweder nicht
induktiv oder identisch mit |N, weil |N die minimale induktive Menge ist.
Stimmen SIE mir darin zu?
Folglich hat |N_def (so es denn existieren sollte) rein gar nichts mit
vollstaendiger Induktion zu tun.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 17, 2021, 12:26:01 AM12/17/21
to
Am 16.12.21 22:58, schrieb Ganzhinterseher:
>Nehmen wir an, dass alle natürlichen Zahlen definierbar wären, was sie nicht sind, […]

Doch, natürlich sind sie das.

>dann […] besäße ℕ ein letztes, größtes Element, zu dem 1 addiert würde.

Unfug.

>Gruß, WM

Viele Grüße

Marcus Gloeder

unread,
Dec 17, 2021, 1:26:19 AM12/17/21