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WT: verallgemeinerte Inverse: Infimum und Definitionsbereich
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Paul Menzel
Apr 28, 2012, 10:15:42 AM4/28/12
to
Liebe Leute,
zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
Inverse eingeführt.
Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].
Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
die Gleichheit
X(ω) = g(U(ω))
gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.
Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
folgendermaßen definiert.
g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
Hierzu habe ich zwei Fragen.
1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wäre folgende Definition
äquivalent?
g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}
2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
Liebe Grüße,
Paul
[1] http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110477
zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
Inverse eingeführt.
Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].
Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
die Gleichheit
X(ω) = g(U(ω))
gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.
Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
folgendermaßen definiert.
g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
Hierzu habe ich zwei Fragen.
1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wäre folgende Definition
äquivalent?
g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}
2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
Liebe Grüße,
Paul
[1] http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110477
Paul Menzel
Apr 29, 2012, 5:17:20 PM4/29/12
to
Liebe Leute,
Am Sat, 28 Apr 2012 14:15:42 +0000 schrieb Paul Menzel:
> zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
> Inverse eingeführt.
>
> Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
> Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].
das soll natürlich U : Ω → ℝ heißen.
> Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
> die Gleichheit
>
> X(ω) = g(U(ω))
>
> gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.
>
> Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
> folgendermaßen definiert.
>
> g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
>
> Hierzu habe ich zwei Fragen.
>
> 1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
> doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wäre folgende Definition
> äquivalent?
>
> g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}
>
> 2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
Liebe Grüße und gute Nacht,
Paul
> [1] http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110477
Am Sat, 28 Apr 2012 14:15:42 +0000 schrieb Paul Menzel:
> zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
> Inverse eingeführt.
>
> Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
> Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].
> Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
> die Gleichheit
>
> X(ω) = g(U(ω))
>
> gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.
>
> Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
> folgendermaßen definiert.
>
> g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
>
> Hierzu habe ich zwei Fragen.
>
> 1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
> doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wäre folgende Definition
> äquivalent?
>
> g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}
>
> 2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
Paul
> [1] http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110477
Christopher Creutzig
May 1, 2012, 4:53:58 AM5/1/12
to
On 4/28/12 4:15 PM, Paul Menzel wrote:
> g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
> g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
> 2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
Weil das Infimum für 0 und 1 ggf. nicht existiert. Nimm so etwas wie
F(x)=(1+erf(x))/2, die kumulative Verteilungsfunktion einer
Normalverteilung. Oder irgendeine andere Verteilung mit unbeschränktem
Träger.
--
> Wenn man nicht weiß. worüber man schreibt, sollte man es vielleicht
> einfach ganz lassen. (Jens Müller)
Neben Usenet, Blogs und Co. auch noch die komplette Presse
abzuschaffen finde ich zu weitgehend. (Thomas Hochstein)
Ivo Siekmann
May 1, 2012, 5:16:21 AM5/1/12
to
On 30/04/12 9:17 AM, Paul Menzel wrote:
> Liebe Leute,
>
>
> Am Sat, 28 Apr 2012 14:15:42 +0000 schrieb Paul Menzel:
>
>> zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
>> Inverse eingeführt.
>>
>> Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
>> Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].
>
> das soll natürlich U : Ω → ℝ heißen.
>
>> Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
>> die Gleichheit
>>
>> X(ω) = g(U(ω))
>>
>> gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.
>>
>> Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
>> folgendermaßen definiert.
>>
>> g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
>>
>> Hierzu habe ich zwei Fragen.
>>
>> 1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
>> doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wäre folgende Definition
>> äquivalent?
>>
>> g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}
>> 2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
Lieber Paul,
> Liebe Leute,
>
>
> Am Sat, 28 Apr 2012 14:15:42 +0000 schrieb Paul Menzel:
>
>> zur Simulation von reellen Zufallsgrößen wird die verallgemeinerte
>> Inverse eingeführt.
>>
>> Sei (Ω, σF, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (ℝ, B) ein Messraum.
>> Die reelle Zufallsvariable U : σF → B sei gleichverteilt auf [0; 1].
>
> das soll natürlich U : Ω → ℝ heißen.
>
>> Gesucht ist eine messbare Funktion g: [0; 1] → ℝ, sodass für alle ω ∈ Ω
>> die Gleichheit
>>
>> X(ω) = g(U(ω))
>>
>> gilt, wobei X der zu simulierenden reellen Verteilungsfunktion F genügt.
>>
>> Die gesuchte Lösung für g ist die verallgemeinerte Inverse. Diese ist
>> folgendermaßen definiert.
>>
>> g(x) ≔ inf{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} mit x ∈ (0; 1)
>>
>> Hierzu habe ich zwei Fragen.
>>
>> 1. Da die Verteilungsfunktion F rechtsstetig ist, muss dieses Infimum
>> doch für x ∈ (0; 1) existieren, oder? Somit wäre folgende Definition
>> äquivalent?
>>
>> g(x) ≔ min{y ∈ ℝ : F(y) ≥ x}
>> 2. Warum ist es nötig das offene Intervall (0; 1) zu wählen?
die Randwerte 0 und 1 waeren schon problematisch, wenn man eine
Verteilungsfunktion hat, die sich ganz normal invertieren kann, wenn man
also gar keine verallgemeinerte Umkehrfunktion braucht.
Beispiel: Exponential-Verteilung. Diese hat die Verteilungsfunktion
F(y)=1-exp(-y/\lambda) fuer ein positives \lambda, falls y groesser oder
gleich 0 und 0 falls y negativ ist.
Die Menge {y ∈ ℝ : F(y) ≥ x} ist dann leer fuer x=1, hat also auch kein
Infimum, fuer x=0 enthaelt sie alle reellen Zahlen. Auch dafuer
existiert kein Infimum.
Deshalb schliesst man die Randwerte besser aus.
Ivo
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