Abstand auf Torus
Martin Stoll
ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
bestimmen im Sinne von Geodäten.
Der erste Punkt liegt auf der oberen Seite auf dem Torus der
zweite liegt auf einem zweiten Kreis, 60° weiter auf dem Torus,
auf der unteren Seite des Torus. Ich suche nun den Punkt bei dem
die Entfernung aussen herum genauso gross ist wie innen herum.
Wie kann ich vorgehen?
Mit dem allgemeinen Vorgehen ueber Euler-Lagrange bin ich erstmal
nicht weiter gekommen.GIbt es eine Idee wie ich quasi aussen und
innen herum messen kann?
Viele Gruesse,
Martin
Hero
einen grossen Duchmesser und wenn Du ihn anschneidest hast Du einen
kleinen Duchmesser r. Der grosse innere oder aeussere Durchmesser
unterscheidet sich von dem mittleren grossen Durchmesser um +/- r.
Einen von den dreien wird man wohl R nennen. Jetzt wirst Du auch wohl
Koordinaten auf dem Torus haben, sogar rechtwinklige, lauter kleine
Kreise, alle von gleichem Duchmesser, als wenn Du Kuchenstuecke
abschneidest. Darfst Du noch nicht, erst Aufgabe loesen. Diese Stuecke
sind keilfoermig, gel? Rechtwinklig dazu sind auf dem Torus verschieden
grosse Kreise, ein innerster, ein aeusserster, einer oben, einer,
worauf der Kranz aufliegt, usw. Hoffentlich hast Du nun eine Formel
fuer die Laenge des Wegs auf der Torus-Oberflaeche zwischen zwei
Punkten. Damit kommt man weiter. Sonst muessen wir danach suchen.
Erstmal so weit, aber vielleicht wissen andere mehr
Gruss
Hero
Thomas Mautsch
>
> ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> bestimmen im Sinne von Geodäten.
> Der erste Punkt liegt auf der oberen Seite auf dem Torus der
> zweite liegt auf einem zweiten Kreis, 60° weiter auf dem Torus,
> auf der unteren Seite des Torus. Ich suche nun den Punkt bei dem
> die Entfernung aussen herum genauso gross ist wie innen herum.
> Wie kann ich vorgehen?
So einfach, wie Hero sich die Sache vorstellt,
wird es leider nicht, jedenfalls nicht ohne Approximationen.
Ich tippe mal, Du meinst mit Torus
einen Rotationstorus im dreidimensionalen Euklidischen Raum
und nicht einen flachen Torus.
Im letzten Fall waere die Antwort sehr einfach,
im ersten ist die Antwort auf Deine zweite Frage,
wie man entscheidet, ob der kuerzeste Weg auf
einen Rotationstorus im dreidimensionalen Euklidischen Raum
"innen" oder "aussen" auf dem Torus herumfuehrt
Thema einer Arbeit, die erst dieses Jahr veroeffentlicht wurde:
Gravesen, J.; Markvorsen, St.; Sinclair, R.; Tanaka, M.
"The cut locus of a torus of revolution."
Asian J. Math. 9 (2005), no. 1, 103-120.
Der "Cut Locus" (Uebersetzung ist mir leider im Moment entfallen)
eines Punktes P auf dem Torus ist der Ort derjenigen Punkte,
die von P aus durch mehr als eine Geodaete kuerzester Laenge
erreichbar sind, also genau die "Linie" die die kuerzesten Geodaeten,
die "innen" um den Torus herumfuehren von denen trennt,
die "aussen" herumfuehren.
Ich zitiere am besten Mal das Ergebnis der obigen Arbeit.
Es geht um den Torus
(sqrt(x^2+y^2)-R)^2 + z^2 = r^2.
"The cut locus of a poit P=(x0,0,z0) with x0>0 on the torus
is the union of
(i) the opposite meridian y=0, x<0,
(ii) a (piecewise C^1) Jordan curve which intersects
the opposite meridian at a single point and is
freely homotopic to each parallel,
(see Figure 1 in Section 5) and, if P is sufficiently
far from the inner equator, i.e., if x0 > c2 for some
positive constant c2 ( > R-r ),
(iii) a pair of subarcs of the parallel z=-z0,
each with a conjugate point of P as one endpoint
and joining
* only the Jordan curve of (ii) if c2<x0<c1 form some c1,
(see Figure 2 in Section 5)
* both of the above if c0 = c1 (see Figure 3 in Section 5) or
* only the meridian of (i) if c1<x0, (see Figure 4 in Section 5)
and their other endpoint."
Wie nicht anders zu erwarten war,
haengt die Antwort auch von den Radien R und r des Torus ab.
Die andere Frage, wie man den Abstand zweier Punkte auf
dem Torus berechnen kann, ist wohl noch komplizierter.
Ich habe keine Ahnung, was darueber momentan bekannt ist.
> Mit dem allgemeinen Vorgehen ueber Euler-Lagrange bin ich erstmal
> nicht weiter gekommen.GIbt es eine Idee wie ich quasi aussen und
> innen herum messen kann?
Kein Wunder! Manchmal ist es uebrigend einfacher,
statt auf Laenge parametrisierter Geodaeten auf der Flaeche,
einfach nur Kurven auszurechnen, deren Bild die Geodaeten
durchlaeft, aber nicht in "Einheitszeit".
Solche Kurven t |-> x(t) muessen die Gleichung
det[ N(x(t) x'(t) x''(t) ] = 0
erfuellen, die aussagt,
dass die zweite Ableitung der Kurve im R^3
in der von der Tangente x' und der Normale N(x) zur Flaeche
im Punkt x(t) aufgespannten Ebene liegen muss.
(Der Ausdruck det[ N(x(t) x'(t) x''(t) ] / |x'(t)|^3
liefert uebrigens die geodaetische Kruemmung der Kurve x(t)
in der Flaeche - unabhaengig von der Parametrisierung der Kurve.)
Eine weitere Moeglichkeit fuer Rotationsflaechen der Form
x^2 + y^2 = g(z)^2
Geodaeten zu bestimmen, ist, die Flaeche durch
x = g(u) cos(v)
y = g(u) sin(v)
z = u
zu parametrisieren. -
In dieser Parametrisierung haben Geodaeten dann die Form:
v = C * int [ sqrt(1 +g'(u)^2)/[g(u) sqrt(g(u)^2-C^2) ] du.
Leider nur ist das Integral in dieser Formel fuer den Torus
nicht elementar loesbar.
Thomas Mautsch
> In news:<diapif$33q$1...@anderson.hrz.tu-chemnitz.de> schrieb Martin Stoll:
>> ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
>> bestimmen im Sinne von Geodäten.
>> Der erste Punkt liegt auf der oberen Seite auf dem Torus der
>> zweite liegt auf einem zweiten Kreis, 60° weiter auf dem Torus,
>> auf der unteren Seite des Torus. Ich suche nun den Punkt bei dem
>> die Entfernung aussen herum genauso gross ist wie innen herum.
>> Wie kann ich vorgehen?
>
> einen Rotationstorus im dreidimensionalen Euklidischen Raum
> und nicht einen flachen Torus.
> Im letzten Fall waere die Antwort sehr einfach,
> im ersten ist die Antwort auf Deine zweite Frage,
> wie man entscheidet, ob der kuerzeste Weg auf
> einen Rotationstorus im dreidimensionalen Euklidischen Raum
> "innen" oder "aussen" auf dem Torus herumfuehrt
> Thema einer Arbeit, die erst dieses Jahr veroeffentlicht wurde:
>
> Gravesen, J.; Markvorsen, St.; Sinclair, R.; Tanaka, M.
> "The cut locus of a torus of revolution."
> Asian J. Math. 9 (2005), no. 1, 103-120.
>
> Der "Cut Locus" (Uebersetzung ist mir leider im Moment entfallen)
> eines Punktes P auf dem Torus ist der Ort derjenigen Punkte,
> die von P aus durch mehr als eine Geodaete kuerzester Laenge
> erreichbar sind, also genau die "Linie" die die kuerzesten Geodaeten,
> die "innen" um den Torus herumfuehren von denen trennt,
> die "aussen" herumfuehren.
Im Internet finden sich uebrigens viele Anregungen
zu Fragen ueber Geodaeten und Schnittorte, z.B.
http://www2.mat.dtu.dk/info/mathematics/EmMa/cut_locus/clgif.html
http://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html
Hero
> In news:<diapif$33q$1...@anderson.hrz.tu-chemnitz.de> schrieb Martin Stoll:
> >
> > ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> > bestimmen im Sinne von Geodäten.
> wird es leider nicht, jedenfalls nicht ohne Approximationen.
der Oberflaeche haben wir noch nicht die laenge der Geodaete zwischen
zwei Punkten .
Aber wenn's so ins nicht-elementare Integrieren geht, dann erstmal
anschaulich, also einfach mal so einen Gummiring, Schwimmreifen,
Styroporring (fuer den Adventskranz) genommen, die punkte markiert und
jetzt mit zwei stueckchen Schnur gleichweite Punkte gesucht oder
erstmal die Geodaete zweier Punkte. Also im Kleinen geht das ja ganz
gut, aber wenn die Gerade durch die beiden Punkte ( = direkte
3D-Verbindung) nicht mehr im Koerperinneren des Torus verlaeuft, muss
man dann aussen rum oder innen?
Thomas hat natuerlich was Tolles gefunden.
Viel Spass
Hero
PS Suchmaschine-Stichwoerter: Torus distance
Hero
Hero wrote:
> Thomas Mautsch wrote:
> > In news:<diapif$33q$1...@anderson.hrz.tu-chemnitz.de> schrieb Martin Stoll:
> > >
> > > ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> > > bestimmen im Sinne von Geodäten.
> > So einfach, wie Hero sich die Sache vorstellt,
> > wird es leider nicht, jedenfalls nicht ohne Approximationen.
> da hast Du sicher Recht.
>, dann erstmal
> anschaulich, also einfach mal so einen Gummiring, Schwimmreifen,
> Styroporring (fuer den Adventskranz) genommen, die punkte markiert und
> jetzt mit zwei stueckchen Schnur gleichweite Punkte gesucht oder
> erstmal die Geodaete zweier Punkte. Also im Kleinen geht das ja ganz
> gut, aber wenn die Gerade durch die beiden Punkte ( = direkte
> 3D-Verbindung) nicht mehr im Koerperinneren des Torus verlaeuft, muss
> man dann aussen rum oder innen?
Also man hat zwei Punkte deren Verbindungsgerade zum Teil durch den
Torus-Korper verlaeuft, dann ein Stueck "durch die Luft", und dann
wieder durch den Torus-Koerper. Die zwei neuen Schnittpunkte mit der
Torus-Oberflaeche kann ich kuerzest geodaetisch verbinden, wenn ich den
Ring aufschneide und im Inneren meinem Bindfaden spanne. Diese Linie
hat aber einen Knick mit den beiden anderen Abschnitten, wo ich den
Bindfaden aussen spannen muss, also wird es noch etwas Kuerzeres auf
der Oberflaeche geben.
Aber da kommt bei mir die Frage auf, muss eine Geodaete auf einem Torus
immer in einer Ebene liegen, oder darf sie auch eine Verwindung haben ?
Muss es also eine Kurve in einer Ebene mit einer Kruemmung (ggf
oertlich veraenderlichen) sein, oder ist eine Raumkurve mit Kruemmung
und Torsion(Windung) kuerzer?
Viel Spass
Hero
Hero
Hero wrote:
> Hero wrote:
> > Thomas Mautsch wrote:
> > > In news:<diapif$33q$1...@anderson.hrz.tu-chemnitz.de> schrieb Martin Stoll:
> > > >
> > > > ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> > > > bestimmen im Sinne von Geodäten.
> > > So einfach, wie Hero sich die Sache vorstellt,
> > > wird es leider nicht, jedenfalls nicht ohne Approximationen.
> > da hast Du sicher Recht.
> ...
> >, dann erstmal
> > anschaulich,
> Also man hat zwei Punkte deren Verbindungsgerade zum Teil durch den
> Torus-Korper verlaeuft, dann ein Stueck "durch die Luft", und dann
> wieder durch den Torus-Koerper. Die zwei neuen Schnittpunkte mit der
> Torus-Oberflaeche kann ich kuerzest geodaetisch verbinden, wenn ich den
> Ring aufschneide und im Inneren meinem Bindfaden spanne. Diese Linie
> hat aber einen Knick mit den beiden anderen Abschnitten, wo ich den
> Bindfaden aussen spannen muss, also wird es noch etwas Kuerzeres auf
> der Oberflaeche geben.
> Aber da kommt bei mir die Frage auf, muss eine Geodaete auf einem Torus
> immer in einer Ebene liegen, oder darf sie auch eine Verwindung haben ?
> Muss es also eine Kurve in einer Ebene mit einer Kruemmung (ggf
> oertlich veraenderlichen) sein, oder ist eine Raumkurve mit Kruemmung
> und Torsion(Windung) kuerzer?
Vermutung: Die kuerzeste Verbindungslinie auf einer Oberflaeche eines
Torus liegt in einer Ebene (ist nicht gewunden, bzw hat keine Torsion)
und in derselben Ebene liegt die Verbindungsgerade (Direkte
3D-Verbindung) der beiden Punkte. Fuer den Fall, dass ein Teil der
Verbindung beider Punkte nicht durch das Innere des Torus-Koerpers
laeuft, gibt es maximal 4 Schnittebenen mit dem Torus, die alle diese
Verbindungslinie enthalten, auf denen je zwei Torus-Innere-Gebiete
liegen, die genau durch einen Punkt verbunden sind. Eine von diesen
vier Ebenen zeigt dann die kuerzeste Oberflaechenverbindung der beiden
Punkte. ( Verbinde einfach die beiden Punkte und nimm dies als Achse,
um der Du eine ebene drehst. Diese Ebene hat nun immer eine oder zwei
Schnittflaechen/ Schnittbereiche mit dem Torus-Koerper, und dazwischen
gibt es einen Winkel, wo zwei Bereiche genau durch einen Punkt
verbunden sind. Etwas weiter gedreht, hat man zwei Bereiche, etwa
zurueck hat man einen Bereich).
Dieser eine Punkt ist natuerlich auch interessant.
Also, wenn das stimmt und das auch noch jemand beweisen koente, dann
hat der sich ein dickes Stueck Torus-Kranzkuchen verdient.
Guten Appetit
Hero
Narasimham
> Hallo,
>
> ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> bestimmen im Sinne von Geodäten.
> Der erste Punkt liegt auf der oberen Seite auf dem Torus der
> zweite liegt auf einem zweiten Kreis, 60° weiter auf dem Torus,
> auf der unteren Seite des Torus. Ich suche nun den Punkt bei dem
> die Entfernung aussen herum genauso gross ist wie innen herum.
> Wie kann ich vorgehen?
>
> Mit dem allgemeinen Vorgehen ueber Euler-Lagrange bin ich erstmal
> innen herum messen kann?
>
> Viele Gruesse,
> Martin
Hoeffentlich das ist keine HausAufgabe dass Sie von hier loesen lassen
wollen...
(r,z,th) sei die polar Koordinaten, bequemer als Rechtwinkligen weil
Torus Rotationsymmetrisch ist.
Es ist moeglich th, der polare Winkel zu entwerten,wie in der folgenden
Ableitung:
Meridian : (r-h)^2 + z^2 = a^2 .[a = Torus Radius, h = Abstand bis
KreisMitte].
Satz von Clairuat (Euler- Lagrange ist schon dadrin enthalten fuer
Rotationskoerper) : r * sin(si) = ro = minimal Kreis Radius wo alle
geodaetische Linie Tangent werden. ( ro < r < h+a ).
Von Differential Dreiecken in Meridian und Tangent Ebene kriegt man:
dr/d th = r sin(ph) / tan (si), und endlich,
th = integral [ dr / r*sqrt( (r/ro)^2-1 )* ( 1 - ((r-h)/a)^2 ) ].
Ich glaube die analytische Loesung ist moeglich durch eine quadratische
Gleichung, eine je für innen und aussen.
Vielleicht das ist zu viel abgekuertzt, darf ich an Hero bitten für
notwendige Erklärungen, Konzept und Sprache.. :). MfG, Narasimham
Narasimham
> Ich glaube die analytische Loesung ist moeglich durch eine quadratische
Gleichung
weil Nenner unter Quadratwurzel hat grad 4, Loesungen sind Elliptischen
Integrals/ Jacobi Funktionen.
> eine je für innen und aussen.
Ist aber gleichgültig, mit richtigen Rangbedingungen sind die beide
Fälle möglich aus der selben Gleichung.
Hero
> Martin Stoll wrote:
> > Hallo,
> >
> > ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> > bestimmen im Sinne von Geodäten.
>
> notwendige Erklärungen, Konzept und Sprache.. :). MfG, Narasimham
Nrasimham, ich fuehle mich geehrt, dass Du mir dies zutraust. Du
ueberschaetzt mich wohl, Thomas kann dies sicher besser.
Zum Einstieg und damit ich auch lerne: was ist was?
Ein Torus ist wie ein Fahrrad-schlauch. Nun hat man zwei Arten von
Koordinatensystemen, eine Sorte 3D und eine Sorte auf der Oberflaeche.
> (r,z,th) sei die polar Koordinaten, bequemer als Rechtwinkligen weil
> Torus Rotationsymmetrisch ist.
Ist dies eine Art Erdkugel, um deren Aequator jetzt der Schlauch liegt.
Dan ist r der Abstand vom Mittelpunkt ( wo sonst die Achse des Fahrrads
ist) bis zu einem Punkt auf der Oberflaeche des Schlauchs. Und man hat
zwei Winkel, wie auf der Erdkugel : Laengen- und Breiten.
Hier einfach mal einen Winkel vom Fahrradventil aus in der
Aequatorebene, bei Dir:.... ( z oder th)
und einen Winkel uber der Aequator ebene ( geneigt zur Achse hin) , da
der Schlauch nicht so dick ist , brauchen wir im Beispiel nur 5 Grad.
Bei Dir bezeichnet mit .... ( z oder theta?)
Jetzt haben wir noch zwei Radien, der eine ist von der Fahrradache bis
zum Schlauch:...(so 50 cm)
oder bis zur Schlauchmitte:...(etwa 53 cm)
oder bis zum Schlauchaussenrand....(etwa 56 cm)
und der andere liegt im Inneren des Schlauchs ( so drei Centimeter)..
Deine Bezeichnungen einfuegen.
> Es ist moeglich th, der polare Winkel zu entwerten,wie in der folgenden
> Ableitung:
>
> Meridian : (r-h)^2 + z^2 = a^2 .[a = Torus Radius, h = Abstand bis
> KreisMitte].
Unter Meridian verstehtst Du nur eine Schnittlinie senkrecht zum
Schlauch, also einen Kreis mit 3cm radius , richtig?
Das waer dann eine Linie auf der Oberflaeche des Torus.
Was ist h ? Abstand von... bis Kreismitte (Fahrradachse oder im Inneren
des Schlauchs)
Wo ist der Nullpunkt des Meridians, beim ventil ?
Und was ist die Zweite Art von Koordinaten ? Rechtwinklig zum Meridian,
also Kreise auf dem Schlauch von 53 +/- 3 cm ?
> Satz von Clairuat ...
Hier kann Thomas oder sonst jemand besser helfen.
Erstmal vielen Dank fuer die Ehre
und viel plaisier
Hero
Hero
Hero wrote:
> Hero wrote:
> > Hero wrote:
> > > Thomas Mautsch wrote:
> > > > In news:<diapif$33q$1...@anderson.hrz.tu-chemnitz.de> schrieb Martin Stoll:
> > > > >
> > > > > ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> > > > > bestimmen im Sinne von Geodäten.
> > > > So einfach, wie Hero sich die Sache vorstellt,
> > > > wird es leider nicht, jedenfalls nicht ohne Approximationen.
> > > da hast Du sicher Recht.
> > ...
> > >, dann erstmal
> > > anschaulich,
> > Jetzt wird's eigentlich interessant.
> > Also man hat zwei Punkte deren Verbindungsgerade zum Teil durch den
> > Torus-Korper verlaeuft, dann ein Stueck "durch die Luft", und dann
das ist einer von vier Faellen.
Da gibt es noch den Fall, dass die Verbindungslinie nur durch das
Innere des Torus-Koerpers laeuft. Dann den Fall, dass sie nur "durch
die Luft", also gar nicht durchs Innere geht.
Und schliesslich: ein Abschnitt der Verbindungslinie geht durchs
Innere, ein zweiter Abschnitt "durch die Luft".
In allen Faellen vermute ich die kuerzeste Oberflaechen-verbindung
(Geodaete) als nicht verwunden, als in einer Ebene liegend, in der
natuerlich auch die direkte 3D-Verbindung liegt.
Gruss
Hero
Rudi Menter
Gruss Hero
LOL COOL
DIZIANZA MATTIMALE
--
Hero
> Hero wrote:
> > Hero wrote:
> > > Hero wrote:
> > > > Thomas Mautsch wrote:
> > > > > In news:<diapif$33q$1...@anderson.hrz.tu-chemnitz.de> schrieb Martin Stoll:
> > > > > >
> > > > > > ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> > > > > > bestimmen im Sinne von Geodäten.
> > > > > So einfach, wie Hero sich die Sache vorstellt,
> > > > > wird es leider nicht, jedenfalls nicht ohne Approximationen.
> > > > da hast Du sicher Recht.
> > > ...
> > > >, dann erstmal
> > > > anschaulich,
> > > Jetzt wird's eigentlich interessant.
> In allen Faellen vermute ich die kuerzeste Oberflaechen-verbindung
> (Geodaete) als nicht verwunden, als in einer Ebene liegend, in der
> natuerlich auch die direkte 3D-Verbindung liegt.
(In meinem Buch steht, dass dann der Binormalenvektor konstant ist).
Man sieht leicht, dass Stetigkeit fuer die Geodaete nicht reicht, sie
muss differenzierbar sein. Beweis: Stetig und nicht differenzierbar
heisst, die Kurve hat anschaulich einen Knick, also kann man durch
Spannen des Verbindungsfadens den Knick wenigstens abrunden und so die
Laenge verkuerzen.
Schwieriger ist das mit der Ebene.
Hier noch eine gleichwertige Vermutung. Wenn die Geodaete auf einer
Oberflaeche verwunden ist, nicht in einer Ebene liegt, dann gibt es
eine Art Huegel oder ein Tal und dort muss man einen Umweg waehlen.
Genauso muss man ja ueberhaupt den Umweg ueber die Oberflaeche waehlen,
weil die direkte Verbindung nicht erlaubt ist.
Aber erst fuer den Beweis darf man sich einen doughnut erlauben.
Hero
Christopher Creutzig
> In allen Faellen vermute ich die kuerzeste Oberflaechen-verbindung
> (Geodaete) als nicht verwunden, als in einer Ebene liegend, in der
> natuerlich auch die direkte 3D-Verbindung liegt.
Da drängt sich doch die Frage auf: unter welchen Bedingungen an eine im
R^3 eingebettete Fläche stimmt das für alle ihre Geodäten?
Christopher
Norbert Marrek
Gegenbeispiele liefern Geodäten auf dem Kegel. Sie sind
i.A. keine Kegelschnitte.
Aloha,
Norbert
Hero
mir aber ein Beispiel liefern, also mal vier Punkte einer Geodaeten auf
einer Kegeloberflaeche, die nicht auf einem Kegelschnitt liegen, denn
das seh ich einfach nicht.
Hyperlola
Hero
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> Fuer den Kegelschnitt muesstest Du
> mir aber ein Beispiel liefern, also mal vier Punkte einer Geodaeten auf
> einer Kegeloberflaeche, die nicht auf einem Kegelschnitt liegen, denn
> das seh ich einfach nicht.
Zeichne eine Gerade auf einen Kreissektor und rolle ihn zu einem Kegel
zusammen. Die Gerade wird zu einer geodätischen Linie, aber sicher zu keinem
Kegelschnitt.
Grüße
Jutta
Narasimham
http://img450.imageshack.us/img450/6599/torusgeodesic7ze.png
schaut ununterbrochene geodetische Linien um den Schlauch zeichnet auf
einem kreisförmigen Torus. Er wird zu den Maßen h = 3, Schlauchradius
= 1, äußerer Äquator des Radius = 3+1, innerer Äquator des Radius =
3-1, r * sin(si) = 1,85 gezeichnet mit Mathematika.
Zum Weitermachen.. Von einem gegebenen Ausgangspunkt und von einer
gegebenen Länge ist der Lokus/Ort ein J-Kreis ( Jacobi - Kreis? bin
nicht sicher) Loop/Endlosschleife. Wenn Längeunterschied auch gegeben
wird, gibt es 4 Punkte, die beide Bedingung erfüllen. Wählen Sie
irgendeinen Punkt auf dem Torus. Wählen Sie einen Anfangswinkel si1
zum Meridian. Zeichnen Sie die geodetische Linie der genügenden
Länge L, um über äußeren Äquator bei polarer Winkel 60 grad
(Länge der Kugel, Longitude) für die erste Linie hinauszugehen.
Beschließen Sie ein anderes si2 ungefähr die Ergänzung vom
ehemaligen( pi - si1), damit zweite Linie über inneren Äquator
hinausgeht. Mit Iteration (mit oder ohne Simulation) finden Sie genaues
si2 wenn der gleiche polare Winkel 60 grad erreichen ist.
MfG Narasimham
Thomas Mautsch
> Christopher Creutzig schrieb:
>> Hero wrote:
>>>In allen Faellen vermute ich die kuerzeste Oberflaechen-verbindung
>>>(Geodaete) als nicht verwunden, als in einer Ebene liegend, in der
>>>natuerlich auch die direkte 3D-Verbindung liegt.
>>
>>
>> Da drängt sich doch die Frage auf: unter welchen Bedingungen an eine im
>> R^3 eingebettete Fläche stimmt das für alle ihre Geodäten?
>>
> i.A. keine Kegelschnitte.
Gegenbeispiele liefern fast alle Flaechen im R^3,
unter anderem auch jeder eingebettete Torus -
auch, wenn Hero das anders zu sehen scheint.
Das Folgende sollte gelten:
===================================================
Jede zusammenhaengende immergierte Flaeche im R^3,
deren Geodaeten ALLE ebene Kurven im R^3 sind,
ist Teil einer runden Sphaere oder einer Ebene.
===================================================
Mit folgender Begruendung:
Liegt eine Geodaete in einer Ebene, so heisst das,
dass alle Vektoren erster und zweiter Ableitungen dieser Kurve
in dieser Ebene liegen.
Andererseits ist eine Kurve auf einer Flaeche im R^3
Geodaete dieser Flaeche genau dann,
wenn in jedem Punkt der Kurve die Flaechennormale in diesem Punkt
in der von der ersten und zweiten Ableitung der Kurve
aufgespannten Ebene liegt.
Will heissen: Wenn die Geodaete durch zwei Punkte einer Flaeche
in einer Ebene des R^3 liegen soll,
so muessen diese beiden Punkte und ihre beiden Normalen
in einer Ebene im R^3. - Das ist fuer generische Punkte
auf einer generischen Flaeche im R^3 kaum der Fall
und schon gar nicht (wie Hero fuer den Torus behauptet)
fuer *alle* Punkte einer Flaeche,
es sei denn, die Flaeche ist sehr speziell.
Mit diesem Verfahren -
zwei Punkte nehmen, durch die eine Geodaete verlaufen soll,
dann anschauen, in welche Richtung die Normale im zweiten Punkte
von der Ebene durch die Normale im ersten Punkt und durch
den zweiten Punkt abweicht -
sollte es einem eigentlich, wenn die Punkte nahe genug beieinander liegen,
moeglich sein, zu sagen, ob die kuerzeste Geodaete
durch diese beiden Punkte von dieser Ebene
mehr nach links oder nach rechts abweicht.
Falls jemand von Euch an einem Beweis
der oben stehenden Behauptung interessiert waere,
wuerde ich nochmals drueber nachdenken...
Ansonsten alles Gute
Thomas
Thomas Mautsch
>===================================================
> Jede zusammenhaengende immergierte Flaeche im R^3,
> deren Geodaeten ALLE ebene Kurven im R^3 sind,
> ist Teil einer runden Sphaere oder einer Ebene.
>===================================================
Habe gerade bei einer mittaegliche Googlesuche
eine DiffGeo-Uebungsaufgabe gefunden, die den Beweis
genau dieses Problems abfragt:
Aufgabe 2 in http://www.dpmms.cam.ac.uk/~gpp24/es3dg.pdf .
Als Hinweis steht dort, man soll das Ergebnis
von Aufgabe 2 in http://www.dpmms.cam.ac.uk/~gpp24/es2dg.pdf
benutzen:
Eine auf Bogenlaenge s parametrisierte Kurve
mit Torsion tau(s) =/= 0 und
Ableitung der Kruemmung dk(s)/ds =/= 0
fuer alle s ist genau dann in einer Sphaere enthalten,
wenn der Ausdruck
R^2 + (dR/ds)^2 * T^2
fuer R := 1/k und T := 1/tau konstant ist.
Narasimham
>zusammen. Die Gerade wird zu einer geodätischen Linie, aber sicher zu >keinem Kegelschnitt.
Ja. Kann man dieses auch praktisch überprüfen. Rollen Sie ein Blatt
Papier zu einem Kegel wie o.g., um die Ränder zu beobachten ... 1)Die
verbogene Ränder liegen nicht mehr in einer Fläche und 2) haben sogar
mehrere Selbstschneidungen... Eigenschaften, die zu keinem Kegelschnitt
gehören.
Hero
Thomas Mautsch wrote:
...
Also kein Kranzkuchen fuer mich. Von wegen Raumgefuehl und dann macht
man sich auch noch Begruendungen dafuer zurecht. Find ich ja schade,
aber toll Geometrie gelernt. Dafuer wird fuer Norbert und Jutta ein
Glas Sekt beim naechsten dsm-Treffen faellig, von wegen der Kegelform.
Norbert hat's sofort gesehen, dass die Vermutung schon auf dem Kegel
scheitert und Jutta's Beweis ist super-einsichtig.
Und Thomas bekommt zwei Doughnuts, einen fuer die Cut-Locus Linien und
den zweiten fuer die mathematisch elegante Vektorschulung nach
Christopher's Frage. Gleich mal ausprobieren, ob ich es kapiert hab.
Wenn ich mich auf einer Raumlinie bewege, dann hab ich einen
Fahrtrichtungsvektor, den Geschwindigkeitsvektor. Aendert sich die
Groesse der Geschwindigkeit nicht, dann hat der die Laenge Eins. Und in
diesem Fall ist die zweite Ableitung ein Vektor rechtwinklig dazu, in
Richtung Kruemmungskreismittelpunkt (ein Beschleunigungsvektor), ein
Hauptnormalenvektor.Verlaueft die Fahrt nun auf einer Oberflaeche, dann
hat diese in jedem Punkt eine Tangentialebene und senkrecht darauf der
Flaechennormalen-Vektor. Liegen beide, also Flaechennormale und
Hauptnormale der Kurve, auf einer Geraden, dann ist die Raumlinie fuer
diese Flaeche in diesem Punkt geodaetisch. Beispiel einer Raumkurve,
die ganz auf einer Ebene und also keine Verwindung/Torsion hat, sei mal
ein Kreis. Der Hauptnormalenvektor liegt auch stets in dieser Ebene.
Lege ich den Kreis (Ring) jetzt auf einen Kegel, dann ist die
Tangentialebene fuer jeden Punkt nicht rechtwinklig zur Kreisebene.
Also ist der Kreis keine Geodaete. Ebenso, wenn ich ihn auf eine Kugel
lege, und er ist kleiner als der Aequator, ist also ein Breitenkreis
und somit hier auch keine Geodaete.
Oder wenn ich einen Zylinder schief abschneide. Ich erhalte eine
Ellipsenflaeche, Fahrtrichtung und Senkrechte dazu, die Hauptnormale,
liegen in der Ebene der Ellipse. Aber die Hauptnormale zeigt nicht, bzw
nur selten, zur Zylinderachse, und auch nie im rechten Winkel, waehrend
die Tangenten-Ebene-Normale des Zylinders immer rechtwinklig von der
Zylinderachse weg weist. Keine Geodaete. Dagegen ist eine
Schraubenlinie (eine aufgerollte Gerade) wohl eine. Alles richtig?
Klar ist, dass Narasimham sich einen richtig schoenen Kranzkuchen
verdient hat, hat er doch Martin's Problem geloest. Damit es noch
besser wird, darf er das erste Stueck entlang so einer Geodaete
herausschneiden (jeweils bis zur Mittellinie des "Schlauchs"
schneiden), wie er sie uns gezeichnet hat:
http://img450.imageshack.us/img450/6599/torusgeodesic7ze.png
(Oder hat man dann immer noch einen zusammenhaengenden Koerper ?).
Viel Spass
Hero
Hero
.....
Herzlichen Glueckwunsch. Du hast es geschafft. Martin kann zufrieden
sein. Und vielen Dank fuer die schoene Zeichnung.
Deine Skizze ist sehr hilfreich ( wenn a =1 muss allerdings h=3 etwas
groesser gezeichnet sein, aber das begreife ich wohl), nur wo Du si
oder ro herbekommst, das sehe ich nicht. Und ebenso, was ist z und was
th (theta) ? Dann kann ich mich auch an Clairuat versuchen. Das scheint
mir ein interessanter Satz, aber im Internet finde ich nichts
verstehbares dazu.
Herzliche Gruesse
Hero
Thomas Mautsch
wie man den folgenden Satz fast rein geometrisch beweisen kann:
In news:<slrndl6qdm....@beltrami.math.ethz.ch> schrieb Thomas Mautsch:
[ ... ]
>===================================================
> Jede zusammenhaengende immergierte Flaeche im R^3,
> deren Geodaeten ALLE ebene Kurven im R^3 sind,
> ist Teil einer runden Sphaere oder einer Ebene.
>===================================================
Den Anfang des Beweises hatte ich schon geschrieben:
Liegt eine Geodaete in einer Ebene, bedeutet das,
dass die Tangente der Geodaete und deren "Kruemmungsrichtung" -
das, was man normalerweise "Hauptnormale" der Kurve nennt,
also die zweite Ableitung der Kurve nach der Bogenlaenge -
in dieser Ebene liegen.
Andererseits ist eine Kurve auf einer Flaeche im R^3
genau dann eine Geodaete dieser Flaeche,
wenn in jedem Punkt der Kurve die Flaechennormale in diesem Punkt
in der von Tangente und Kruemmungsrichtung aufgespannten Ebene liegt.
Nehmen wir also einen beliebigen Punkt im Inneren unserer Flaeche F her.
Um ihn herum kann man stets ein *geodaetisches Dreieck* finden -
das Innere von drei sich in drei Punkte paarweise schneidenden Geodaeten,
die so kurz sind, dass fuer alle moeglichen Paare von Punkten
in diesem "Dreieck" die sie verbindende kuerzeste Geodaete im Dreieck liegt.
Bezeichnen wir die drei Punkte mit A,B,C
und die Flaechennormalen in diesen Punkten mit n(A), n(B), n(C)
[nur als Geraden - ohne vorgegebene Laenge oder Richtungssinn].
Dann folgt erst einmal aus der Voraussetzung, dass die Geodaete AB
im Schnitt der Flaeche F mit einer Ebene E(A,B) liegt;
und ausserdem enthaelt diese Ebene auch noch die Richtungen n(A) und n(B).
Gleiches gilt fuer die Paare B,C und C,A. -
Wir finden drei Ebenen E(A,B), E(B,C), E(C,A),
deren paarweiser Schnitt jeweils von einem Punkt A,B bxw. C
und dessen Flaechennormale aufgespannt wird.
Diese drei Ebenen koennen sich entweder
in genau einem Punkt M schneiden, oder ihr Schnitt ist leer.
Im letzteren Fall sind die Richtungen n(A), n(B) und n(C) parallel.
Ich werde nur den ersten Fall betrachten,
dass ein gemeinsamer Punkt M existiert. Im anderen Fall
erhaelt man mit analogen Mitteln, dass das geodaetische Dreieck
Teil einer Ebene ist.
Also:
Wir haben das geodaetische Dreieck ABC,
die Normalenrichtungen n(A), n(B), n(C)
und den gemeinsamen Schnittpunkt M
der Geraden durch A mit Richtung n(A),
der Geraden durch B mit Richtung n(B)
und der Geraden durch C mit Richtung n(C).
Wenn wir jetzt einen beliebigen Punkt X im geodaetischen Dreieck ABC
anschauen, so kann man die Argumentation von oben
auch auf das geodaetische Dreieck ABX anwenden:
Da sich die Gerade durch A mit Richtung n(A)
und die Gerade durch B mit Richtung n(B) im Punkt M schneiden,
muessen sich alle drei Ebenen E(A,B), E(B,X), E(X,C)
auch wieder in einem Punkt, naemlich im Punkt M schneiden.
Deshalb
muss fuer *jeden* Punkt X im Dreieck ABC
die Flaechennormale n(X) in diesem Punkt
auch durch den Punkt M verlaufen!
Umformuliert:
Die von M ausgehenden Strahlen,
die das Teilflaechenstueck ABC der Flaeche F schneiden,
schneiden es senkrecht
(und zwar nicht im Punkt M, was auch noch wichtig ist).
Andererseits bilden alle Sphaeren mit Mittelpunkt in M
eine Blaetterung des R^3 (ohne M),
und das, was wir gerade geschrieben haben, sagt dann:
Das Teilflaechenstueck ABC der Flaeche F
ist in jedem Punkt tangential an eine der Sphaeren
dieser Blaetterung.
Wenn aber jetzt zwei Punkt X und Y von ABC auf Sphaeren mit verschiedenen
Radien liegen wuerden, so muesste auf der kuerzesten Geodaete,
die diese beiden Punkte verbindet die Funktion
Punkt der Geodaete |-> Abstand von diesem Punkt und M
(d.h. Radius der durch diesen Punkt
gehenden Sphaere)
nicht konstant sein,
also in einem Punkt nicht-verschwindende Ableitung haben,
was aber dem *widersprechen* wuerde,
dass nach dem, was wir bisher herausgefunden haben,
die Geodaete in diesem Punkt tangential an die Sphaere liegen soll.
Also muss das ganze geodaetische Dreieck ABC in einer
einzigen dieser (Abstands-)Sphaeren enthalten sein.
Stellt sich zum Abschluss noch die Frage,
warum verschiedene geodaetische Dreiecke auf der Flaeche F
nicht auf verschiedenen Sphaeren liegen koennen. -
Dies liegt daran, dass das Flaechenstueck F
als *zusammenhaengend* vorausgesetzt wurde.
So, das war's! - Fragen und Kommentare sind willkommen.
Gruss
Thomas
Hero
Thomas Mautsch wrote:
> Ich hatte am Nachmittag beim Tramfahren eine gute Idee,....
Auf Anhieb verstanden, sehr einleuchtend.
Nur eine Frage: Was ist, bzw. wie definierst Du eine
"immergierte Flaeche im R^3"?
Gruss
Hero
Narasimham
...
Danke, aber der Problem ist noch nicht erledigt. Es fehlt noch die
Darstellung zwei Linie/Geraden Martin verlaengt hat.
> wenn a =1 muss allerdings h=3 etwas groesser gezeichnet sein..
Das haengt vom ViewPoint Wahl in Mathematika ab. Es erscheint so, wenn
Object zu nah ist.
> nur wo Du si oder ro herbekommst, das sehe ich nicht.
Ich nahm einen willkürlichen Wert ro<(a-h), In Problem Loesung muss
man irgendwo anfangen.
> Dann kann ich mich auch an Clairuat versuchen. Das scheint mir ein
> interessanter Satz, aber im Internet finde ich nichts.
Clairaut's Law ist Eintritts Stufe in Geodaesie. ro ist der minimale
Radius fuer Rotationskoerper wo si= Pi/2 oder Radius r senkrecht zur
allen gekruemmte Geraden ist.Fuer den Grosse-Kreis der Kugel zB, ro ist
der minimale Radius zur Achse. Suchen Sie heraus besser in den
Textbüchern der Differential Geometrie, z.B., geschrieben von Blashke,
Laugwitz, Kreyzig, Struik und andere Autoren, guenstig nicht am Anfang
vom Internet.
> Und ebenso, was ist z und was th (theta)?
Ich habe Polar oder Cylindrische Koordinaten (r,th,z) benuetzt.
Gruesse
Narasimham
Christopher Creutzig
> Nur eine Frage: Was ist, bzw. wie definierst Du eine
> "immergierte Flaeche im R^3"?
Das ist eine Fläche (also lokal diffeomorph zur Ebene), die man als
Menge von Punkten des R^3 beschreiben kann, so dass
„Nachbarschaftsbeziehungen“ (epsilon-Umgebungen) erhalten bleiben.
Torus, Kugel, Möbiusband etc. sind solche Flächen, die Kleinsche Flasche
ist keine (die Darstellung in 3D erfordert eine Selbstdurchdringung, die
nicht mit der topologie der Kleinschen Flasche verträglich ist). Kurz
gesagt, eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des R^3.
Christopher
Hero
>===================================================
> Jede zusammenhaengende immergierte Flaeche im R^3,
> deren Geodaeten ALLE ebene Kurven im R^3 sind,
> ist Teil einer runden Sphaere oder einer Ebene.
>===================================================
> > Nur eine Frage: Was ist, bzw. wie definierst Du eine
> > "immergierte Flaeche im R^3"?
> > > Das ist eine Fläche (also lokal diffeomorph zur Ebene), die ...
Danke Christopher.
Thomas, Dein Beweis erinnert mich an den Satz:
Zwei Geraden sind entweder parallel oder sie schneiden sich in einem
Punkt, oder sie sind windschief zueinander - quartum non datur (nur
drei Faelle moeglich).
Du bringst hier den Satz:
Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt oder ihre Normalen liegen in
einer Ebene - tertium non datur.
(Man kann auch weitere Fallunterscheidung machen, etwa zwei Normale auf
einer Geraden..., oder nach den Schnittgeraden klassifizieren)).
Das find ich gut.
Gruss
Hero
Hero
Danke, damit komme ich jetzt weiter.
> Ich habe Polar oder Cylindrische Koordinaten (r,th,z) benuetzt.
> Clairaut's Law ist Eintritts Stufe in Geodaesie...
Na, da hab ich ja etwas vor mir.
Vielen Dank
Hero
PS. Du schriebst:
> ro ist der minimale
> Radius fuer Rotationskoerper wo si= Pi/2 oder Radius r senkrecht zur
> allen gekruemmte Geraden ist.
"gekruemmte Geraden, da hab ich so meine Schwierigkeiten mit der
Bezeichnung ( sieh mal in den Thread "Krumm und gerade in der
nicht-euclidischen Geometrie", wo es sogar gerade Geraden gibt).
Dann noch eine Frage zur Nomenklatur:
Eine Gerade ist die kuerzeste Verbindung (im 3D-Raum) zwischen allen
ihren Punkten.
Eine Geodaete hat etwas mit der kuerzesten Verbindung auf einer
Oberflaeche zu tun, und Gauss unterscheidet etwa auf dem Aequator der
Erde die "Kuerzeste", etwa zwischen Sao Tomé und Quito, von dem
laengeren Abschnitt auf dieser Geodaete. Auf Deinem Torus setzt Du eine
kuerzeste Verbidnung zwischen zwei Punkten fort, ueber den "Cut locus"
hinaus. Dies entspricht wohl der Definition, dass ein Punkt einer Linie
geodaetisch ist, wenn der Hauptnormalenvektor der Kurve gleich oder
entgegengesetzt dem Normalenvektor der Tangentenflaecher der Ebene
ist. Gibt es da eine Bezeichnungsweise, die sauber unterscheidet ?
Gruss
Hero
Thomas Mautsch
schrieb Christopher Creutzig <chris...@creutzig.de>:
Ich dachte eher an eine Flaeche,
die *lokal* - also jeweils in kleinen Teilen - eingebettet ist,
d.h., keine Singularitaeten besitzt,
aber sich doch eventuell selbst durchdringt.
Siehe:
http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html [JAVA aktivieren!]
http://mathworld.wolfram.com/Immersion.html
Was Du schreibst, haette ich "eingebettet" genannt.
Thomas Mautsch
> In news:<43549b62$0$21248$9b4e...@newsread2.arcor-online.net>
> schrieb Christopher Creutzig <chris...@creutzig.de>:
>> Hero wrote:
>>
>>> Nur eine Frage: Was ist, bzw. wie definierst Du eine
>>> "immergierte Flaeche im R^3"?
Es haette "immersiert" heissen muessen. Sorry!
Ralf Muschall
> mir aber ein Beispiel liefern, also mal vier Punkte einer Geodaeten auf
> einer Kegeloberflaeche, die nicht auf einem Kegelschnitt liegen, denn
> das seh ich einfach nicht.
Vor einiger Zeit ging hier eine derartige Aufgabe um (Bergsteiger an
Seil um kegelförmigen Berg oser so). Die Lösung war eine Gerade im
abgewickelten Kegelmantel, und traf sich am unteren Ende in Form einer
Spitze. Kegelschnitte sind dagegen glatt.
(Hier fehlt Handwaving über analytische Eigenschaften, Fortsetzung usw.).
Ralf
--
GS d->? s:++>+++ a+ C++++ UL+++ UH++ P++ L++ E+++ W- N++ o-- K-
w--- !O M- V- PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++
D? G+ e++++ h+ r? y?
Narasimham
> Narasimham wrote:....
> Danke, damit komme ich jetzt weiter.
> > Ich habe Polar oder Cylindrische Koordinaten (r,th,z) benuetzt.
> Und in Deiner Skizze ist z als x an die Achse geschrieben, richtig?
Nein, x = r cos(th), y = r sin(th) ; Weil Torus hat Rotationssymmetrie,
es macht nichts (x-z),(y-z) oder (r,z) furs Schnitt.
> PS. Du schriebst:
> > ro ist der minimale
> > Radius fuer Rotationskoerper wo si= Pi/2 oder Radius r senkrecht zur
> > allen gekruemmte Geraden ist.
> "gekruemmte Geraden, da hab ich so meine Schwierigkeiten mit der
> Bezeichnung ( sieh mal in den Thread "Krumm und gerade in der
> nicht-euclidischen Geometrie", wo es sogar gerade Geraden gibt).
Kruemmungs Vektor hat Komponenten (Normal und Tangent kn und kg ).
Linien ohne Geodaetische Kruemmung (kg) in Tagents-Ebene sind gerade
Geraden auf der Oberflaeche and die ohne Normale Kruemmung sind
asymptotische gerade Geraden !
> Dann noch eine Frage zur Nomenklatur:
> Eine Gerade ist die kuerzeste Verbindung (im 3D-Raum) zwischen allen
> ihren Punkten.
> Eine Geodaete hat etwas mit der kuerzesten Verbindung auf einer
> Oberflaeche zu tun, und Gauss unterscheidet etwa auf dem Aequator der
> Erde die "Kuerzeste", etwa zwischen Sao Tomé und Quito, von dem
> laengeren Abschnitt auf dieser Geodaete. Auf Deinem Torus setzt Du eine
> kuerzeste Verbidnung zwischen zwei Punkten fort, ueber den "Cut locus"
> hinaus. Dies entspricht wohl der Definition, dass ein Punkt einer Linie
> geodaetisch ist, wenn der Hauptnormalenvektor der Kurve gleich oder
> entgegengesetzt dem Normalenvektor der Tangentenflaecher der Ebene
> ist. Gibt es da eine Bezeichnungsweise, die sauber unterscheidet ?
Ist mir nicht ganz klar. In der Kugel, die ParallelLinie (Breite) sind
nicht geodetisch (ausser dem Aequator)... weil r*sin(si) nicht
Konstant ist, also, kg verschwindet sich nicht... d.h.Normal der
Oberflaeche ist nicht Normal zur Linie. Die Laenge sind alle allerdings
geodetisch.
Hoeffentlich es ist einverstanden dass direkt Verbinding zwischen zwei
Punkte ist nicht gestattet.
http://img177.imageshack.us/img177/9183/shortestin2d3d6wl.png
Gruesse, Narasimham
Christopher Creutzig
> http://mathworld.wolfram.com/Immersion.html
>
> Was Du schreibst, haette ich "eingebettet" genannt.
Sorry, ich eigentlich auch. Immersed vs. embedded.
Christopher
Hero
Narasimham wrote:
...
Danke fuer Deine Erlaeuterungen.
Grusss
Hero
PS
Hier geht's es´um den Torus :
> Hoeffentlich es ist einverstanden dass direkt Verbinding zwischen zwei
> Punkte ist nicht gestattet.
> http://img177.imageshack.us/img177/9183/shortestin2d3d6wl.png
Aber auf dem Kegel gibt es geodaetische Linien, die Geraden (gerade
Geraden, direkte kuerzeste 3D-Verbindung) sind. Und auf Regelflaechen
http://www.karl-heinz-wanders.de/graphiken.htm
Thomas Mautsch
schrieb <Hero.van...@gmx.de>:
Das Kegel-(Zylinder-)Beispiel laesst sich noch verallgemeinern:
Man nehme eine Ebene im Raum und eine Gerade in dieser Ebene.
Auf einer Seite der Ebene zeichne man ein Stueck Flaeche,
das die Ebene *senkrecht* schneidet, mit der Geraden als Schnittfigur.
Dann spiegele man dieses Flaechenstueck an der Ebene,
setze die entstandenen Flaeche irgendwie fort,
und schon hat man eine Flaeche,
die eine Gerade enthaelt, die eine Geodaete ist.
Narasimham
Ja,gerade geodaetische Linien stammen aus "Ruled" Oberflächen, sie
sind Durchschnitte der nullGaußKruemmungoberflächen (Kegel wie oben
und auch wickelbare helicoids) mit allen Ebenen durch geraden
Generatoren. Der gleiche Effekt auch durch die Generatoren der
Hyperbolisch-Paraboloids. Gruesse Narasimham
Narasimham
> Hallo,
>
> ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> bestimmen im Sinne von Geodäten.
> zweite liegt auf einem zweiten Kreis, 60° weiter auf dem Torus,
> auf der unteren Seite des Torus. Ich suche nun den Punkt bei dem
> die Entfernung aussen herum genauso gross ist wie innen herum.
> Wie kann ich vorgehen?
>
> Mit dem allgemeinen Vorgehen ueber Euler-Lagrange bin ich erstmal
> nicht weiter gekommen.GIbt es eine Idee wie ich quasi aussen und
> innen herum messen kann?
>
> Viele Gruesse,
> Martin
Gleiche Länge von Geodaeten sind nicht einfach zu loesen... Zur Zeit
gebe einige Ergebnissen,wenn die innere Geodaete kuerzer als die
äußere ist.
http://img475.imageshack.us/img475/2748/loesung2geodsauftorus9sg.png
Gruss, Narasimham
Narasimham
> ich habe hier einen Torus und moechte den Abstand zweier Punkte
> bestimmen im Sinne von Geodäten.
> Der erste Punkt liegt auf der oberen Seite auf dem Torus der
> zweite liegt auf einem zweiten Kreis, 60° weiter auf dem Torus,
> auf der unteren Seite des Torus. Ich suche nun den Punkt bei dem
> die Entfernung aussen herum genauso gross ist wie innen herum.
> Wie kann ich vorgehen?
Die Loesung hat was mit geodaetischen polar Koordinaten zu tun. Die
J-Kreise sind senkrecht zu allen Geodaeten durch einen Punkt. Die sind
"geodesic parallels" oder "gekruemmte involutes" (Meine Bezeichnung).
Weil in diesem Sinn sie sind wichtig (m.M.n), wiederhole ich ein Para
verbatim von Struik's 'Lectures on Classical Differential Geometry' pp
137, second edition.
Geodesic coordinates were introduced and extensively used by Gauss in
his Disquisitiones of 1827. Parallel curves in the plane were already
studied by Leibnitz in 1692,who called the involute curves "parallel".
Gruesse,
Narasimham
Thomas Mautsch
schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> Thomas Mautsch wrote:
>> In news:<1129737642.6...@g44g2000cwa.googlegroups.com>
>> schrieb <Hero.van...@gmx.de>:
>> > Aber auf dem Kegel gibt es geodaetische Linien, die Geraden (gerade
>> > Geraden, direkte kuerzeste 3D-Verbindung) sind. Und auf Regelflaechen
>> > http://www.karl-heinz-wanders.de/graphiken.htm
>>
>> Das Kegel-(Zylinder-)Beispiel laesst sich noch verallgemeinern:
>> Man nehme eine Ebene im Raum und eine Gerade in dieser Ebene.
>> Auf einer Seite der Ebene zeichne man ein Stueck Flaeche,
>> das die Ebene *senkrecht* schneidet, mit der Geraden als Schnittfigur.
>> Dann spiegele man dieses Flaechenstueck an der Ebene,
>> setze die entstandenen Flaeche irgendwie fort,
>> und schon hat man eine Flaeche,
>> die eine Gerade enthaelt, die eine Geodaete ist.
>
> Ja,gerade geodaetische Linien stammen aus "Ruled" Oberflächen, sie
> sind Durchschnitte der nullGaußKruemmungoberflächen (Kegel wie oben
> und auch wickelbare helicoids) mit allen Ebenen durch geraden
> Generatoren. Der gleiche Effekt auch durch die Generatoren der
> Hyperbolisch-Paraboloids. Gruesse Narasimham
Es mag sein, dass Du das Richtige meinst und nicht ausdrücken kannst,
aber ganz richtig scheint mir das, was Du schreibst, nicht zu sein:
Geraden als Geodäten von Flächen im R^3 gibt es
nicht nur in Regelflächen ("ruled surfaces"). -
Man kann mit der von mir oben vorgeschlagenen Konstruktion
auch Flächen konstruieren, die nur eine einzige Gerade enthalten,
so dass diese Gerade eine Geodäte ist.
Allgemein kann man sich die folgende Charakterisierung überlegen:
Eine Gerade im R^3,
die vollständig in einer in den R^3 eingebetteten Fläche enthalten ist,
ist genau dann eine Geodäte dieser Fläche,
wenn die Gauß-Krümmung der Fläche in allen Punkten,
die auf der Gerade liegen, gleich Null ist.
Thomas Mautsch
schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
Womit wir glücklicherweise fast wieder bei dem Inhalt meines Beitrags
news:<slrndkq9a5....@beltrami.math.ethz.ch>
angekommen sind:
Zu jedem Punkt der Mannigfaltigkeit M^n (hier: des Torus T^2)
gibt es die sogenannte Exponentialabbildung ("exponential map")
exp(p): T_p M = R^n --> M^n
dieses Punktes, die jedem Vektor V aus dem Tangentialraum in p
den Punkt aus M zuordnet, in dem
die Geodaete mit Anfangspunkt p und Richtung v nach einer Zeit t=1 endet.
Diese Abbildung ist lokal um den Punkt V=0 ein Diffeomorphismus,
aber global gesehen gibt es
* kritische Punkte dieser Abbildung - die Bilder dieser Punkte
werden als konjugierte Punkte ("conjugate points") des Punktes p bezeichnet -
und auch
* weitere Punkte, in denen die Exponentialabbildung nicht injektiv sind -
die Bilder der jeweils "ersten" derartigen Punkte auf jeder Geodaete
werden "cut points" genannt. In diesen Stellen schneiden sich
kuerzeste Geodaeten, die von p ausgehen, und sind danach nicht
mehr *kuerzeste* Geodaeten.
Die Gesamtheit aller "cut points" wird "cut locus" genannt.
(Sorry, aber die deutschen Begriffe habe ich gerade wieder nicht im Kopf!)
Und, wie ich schon einmal geschrieben habe, ist es allgemein
ein SCHWIERIGES Problem, den "cut locus" von Mannigfaltigkeiten
zu charakterisieren
(besonders dann, wenn sie Punkte mit positiver Kruemmung
und Punkte mit negativer Kruemmung enthalten).
Fuer den Fall von Rotations-Tori haben
Gravesen, J.; Markvorsen, St.; Sinclair, R.; Tanaka, M.
in
"The cut locus of a torus of revolution",
Asian J. Math. 9 (2005), no. 1, 103-120
den "cut locus" qualitativ charakterisiert, und niemand,
der sich ernsthaft mit dem Thema beschaeftigen will,
wird darum herum kommen, ihre Arbeiten zu lesen.
Viele Gruesse
Thomas
Narasimham
Bitte geben Sie mir ein Beispiel mit Parameterisierung.
> Allgemein kann man sich die folgende Charakterisierung überlegen:
> Eine Gerade im R^3,
> die vollständig in einer in den R^3 eingebetteten Fläche enthalten ist,
> ist genau dann eine Geodäte dieser Fläche,
> wenn die Gauß-Krümmung der Fläche in allen Punkten,
> die auf der Gerade liegen, gleich Null ist.
Danke. Ist folgendes OK?
< Nur auf entwickelbarem oder NullGauß-Krümmung R^2 Flächen in R^3
kann eine Gerade gleichzetig eine Geodäte sein. Dann splielt die
Gerade eine Rolle als Generator.>
Thomas Mautsch
[ ... ]
>> > Thomas Mautsch wrote:
[ ... ]
>> >> Man nehme eine Ebene im Raum und eine Gerade in dieser Ebene.
>> >> Auf einer Seite der Ebene zeichne man ein Stueck Flaeche,
>> >> das die Ebene *senkrecht* schneidet, mit der Geraden als Schnittfigur.
>> >> Dann spiegele man dieses Flaechenstueck an der Ebene,
>> >> setze die entstandenen Flaeche irgendwie fort,
>> >> und schon hat man eine Flaeche,
>> >> die eine Gerade enthaelt, die eine Geodaete ist.
Diese Konstruktion ist natuerlich *viel* zu kompliziert gedacht.
Siehe ganz unten.
[ ... ]
>> Geraden als Geodäten von Flächen im R^3 gibt es
>> nicht nur in Regelflächen ("ruled surfaces"). -
>> Man kann mit der von mir oben vorgeschlagenen Konstruktion
>> auch Flächen konstruieren, die nur eine einzige Gerade enthalten,
>> so dass diese Gerade eine Geodäte ist.
>
> Bitte geben Sie mir ein Beispiel mit Parameterisierung.
In Zylinderkoordinaten:
x = r(phi,z) * cos(phi)
y = r(phi,z) * sin(phi)
z = z
mit (z.B.) der Funktion
r(phi,z) = 1 + (1-cos(phi)) * z^2.
Wesentlich an dieser Funktion ist nur,
dass sie differenzierbar ist, nur positive Werte annimmt,
und dass die Funktion fuer phi=0, r(0,z), konstant ist.
Diese Flaeche enthaelt nur eine einzige Gerade.
Ausserdem ist die Flaeche wegen r(-phi,z) = r(phi,z)
symmetrisch zur x-z-Ebene -
wie in der von mir oben vorgeschlagenen Konstruktion.
Der Rest, den ich in meinem letzten Beitrag geschrieben hatte,
war allerdings Unsinn. - *Jede* Gerade, die in einer Flaeche
des R^3 enthalten ist, ist eine Geodaete.
Ist ja auch klar:
Angenommen man hat drei Mannigfaltigkeiten M, N, P:
M Untermannigfaltigkeit von N und N Untermannigfaltigkeit von P.
Ausserdem habe man eine Riemannsche Metrik auf P gegeben
und auf N und M die induzierten Metriken.
Dann ist, wenn M in P total geodaetisch ist
(z.B. wenn M eine Geodaete in P ist),
auch M total geodaetisch in N.
Narasimham
> In news:<1129922909.0...@f14g2000cwb.googlegroups.com>
> schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> > Thomas Mautsch wrote:
> [ ... ]
> >> > Thomas Mautsch wrote:
> [ ... ]
> des R^3 enthalten ist, ist eine Geodaete.
d.h. Entlang die Geodaete Kruemmungs vecktor (kg+kn)= 0,geodaetische
Kruemmung kg= 0 ,normale Kruemmung kn= 0;GaussKruemmung(k1*k2)= 0.Eine
von k1 oder k2 = 0. Stimmt?
Narasimham
> Fortsetzung...
> http://img450.imageshack.us/img450/6599/torusgeodesic7ze.png
Naeher zur Loesung als die obene ist:
http://img268.imageshack.us/img268/1815/zweigeodsauftorus4iv.png
Wenn man DGL als RandBedingungProblem (th Start und Ende, Laenge
gegeben) loest, sind alle Bedingungen komplett zufrieden.
Thomas Mautsch
>> des R^3 enthalten ist, ist eine Geodaete.
>
> d.h. Entlang die Geodaete Kruemmungs vecktor (kg+kn)= 0,geodaetische
> Kruemmung kg= 0 ,normale Kruemmung kn= 0;GaussKruemmung(k1*k2)= 0.Eine
> von k1 oder k2 = 0. Stimmt?
>
Dann war die Charakterisierung, die ich geschrieben hatte,
beide Male richtig. - Wichtig war mir dabei, zu sagen, dass solch
eine Flaeche nicht unbedingt konstante Gausskruemmung Null haben muss.
Narasimham
Klar,und vielen Dank.
Aehnlich zu was Sie gaben [1+(1-cos((ph))*z^2 ] kann man auch r =
sin(ph)*z^n wo wir finden Kreisen als z=konstant Schnitte statt
Kardoides. Z-Achse (r = 0) ist also hier wie eine gerade
"WirbelSäule".
Gibt es andere Beispielen? Bekannt auch ist z= sin(x) sin(y), wo x(oder
y)= n*pi sind geodaetische Geraden.
(In doppelgekruemmten RotationsFlaechen hat man NullGaussKruemmung
wenn entweder k1 oder k2 zu Null gehen. (lokal KegelGenerator oder
mitteKranz des Torus).
Thomas Mautsch
was ich geschrieben habe. - Also:
In news:<1130474754.8...@g47g2000cwa.googlegroups.com>
schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> Thomas Mautsch wrote:
>> In news:<1130114025.1...@o13g2000cwo.googlegroups.com>
>> schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
>> >> >> > Thomas Mautsch wrote:
>> >> [ ... ]
>> >> - *Jede* Gerade, die in einer Flaeche
>> >> des R^3 enthalten ist, ist eine Geodaete
in dieser Flaeche.
Das stimmt.
>> > d.h. Entlang die Geodaete Kruemmungs vecktor (kg+kn)= 0,geodaetische
>> > Kruemmung kg= 0 ,normale Kruemmung kn= 0;GaussKruemmung(k1*k2)= 0.Eine
>> > von k1 oder k2 = 0. Stimmt?
Das stimmt ueberhaupt nicht.
Wenn in einem Punkt der Flaeche eine Geodaete der Flaeche Kruemmung 0 hat,
kann man nur schlussfolgern, dass in diesem Punkt
die kleinere der Hauptkruemmungen der Flaeche <= 0
und die groessere Hauptkruemmung >= 0 sein muss.
Man kann also nur folgern, dass die Gausskruemmung
in diesem Punkt nicht positiv sein kann.
Hier ist ein Beispiel
(aus news:<1130256558.0...@f14g2000cwb.googlegroups.com>):
Man nehme eine varallgemeinerte Wendelflaeche:
x = u cos(v), y = u sin(v) ; z = f(v)
Man sieht, dass die Kurven mit v = konstant Teile von Geraden sind;
und durch jeden Punkt der Flaeche verlaeuft solch eine Gerade.
Trotzdem wird die Gausskruemmung dieser Flaeche,
- f'(v)^2 / ( f'(v)^2+u^2 )^2
nur an den Punkten (u,v) Null, an denen f'(v)=0 gilt.
Uebrigens sieht man an der Formel der Gausskruemmung auch,
dass diese Flaeche nie konstante negative Kruemmung haben kann.
>> Oh, schoen! - Das hatte ich uebersehen.
>> Dann war die Charakterisierung, die ich geschrieben hatte,
>> beide Male richtig.
Das war Unsinn.
>> Wichtig war mir dabei, zu sagen, dass solch
>> eine Flaeche nicht unbedingt konstante Gausskruemmung Null haben muss.
Das bleibt wichtig.
>
> Aehnlich zu was Sie gaben [1+(1-cos((ph))*z^2 ] kann man auch r =
> sin(ph)*z^n wo wir finden Kreisen als z=konstant Schnitte statt
> Kardoides.
Die Kurve r = 1+(1-cos((ph))*z^2
beschreibt keine Kardioide wegen des ersten Summanden "1". -
Ich wollte eine glatte Flaeche angeben.
> Z-Achse (r = 0) ist also hier wie eine gerade
> "WirbelSäule".
Diese Flaeche mit r = sin(ph)*z^n hat aber im Punkt (0,0,0)
eine nicht differenzierbare "Spitze".
>
> Gibt es andere Beispielen?
Das haengt davon ab, welche speziellen Eigenschaften diese Beispiele
haben sollen...
> Bekannt auch ist z= sin(x) sin(y), wo x(oder > y)= n*pi
> sind geodaetische Geraden.
Noch ein schoenes Beispiel dafuer, dass die Gausskruemmung
in Punkten, durch die Geraden verlaufen, nicht Null sein muss. -
Hier gilt:
-1+cos(y)^2+cos(x)^2
GaussKrg = - --------------------------------------------
(-1-cos(x)^2+2*cos(x)^2*cos(y)^2-cos(y)^2)^2
> (In doppelgekruemmten RotationsFlaechen hat man NullGaussKruemmung
> wenn entweder k1 oder k2 zu Null gehen. (lokal KegelGenerator oder
> mitteKranz des Torus).
Ich weiss nicht, was Du damit sagen willst.
Die Gausskruemmung einer Rotationsflaeche
x = u*cos(v), y = u*sin(v), z = f(u)
betraegt
f''(u)*f'(u)/(u*(f'(u)^2+1)^2),
ist also in den Punkten Null, in denen die Funktion f,
deren Graphen man rotiert, verschwindende erste oder zweite Ableitung hat.
Jutta Gut
"Thomas Mautsch" <mau...@math.ethz.ch> schrieb
> Wenn in einem Punkt der Flaeche eine Geodaete der Flaeche Kruemmung 0 hat,
> kann man nur schlussfolgern, dass in diesem Punkt
> die kleinere der Hauptkruemmungen der Flaeche <= 0
> und die groessere Hauptkruemmung >= 0 sein muss.
>
> Man kann also nur folgern, dass die Gausskruemmung
> in diesem Punkt nicht positiv sein kann.
Dazu noch ein einfaches Gegenbeispiel:
Auf einem hyperbolischen Paraboloid (z = x*y) gehen durch jeden Punkt zwei
Geraden, aber die Gausskrümmung ist nur auf der x- und y-Achse Null.
Grüße
Jutta
Jutta Gut
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb
> Auf einem hyperbolischen Paraboloid (z = x*y) gehen durch jeden Punkt zwei
> Geraden, aber die Gausskrümmung ist nur auf der x- und y-Achse Null.
Bitte das "nur auf der x- und y-Achse" zu streichen - die Krümmung ist
überall < 0.
Dazu gleich eine Frage: Wenn es auf einer Fläche Punkte mit der Krümmung 0
gibt (und nicht die ganze Fläche die Krümmung 0 hat), gibt es dann sowohl
Bereiche mit positiver als auch mit negativer Krümmung?
Grüße
Jutta
Ralf Muschall
> Dazu gleich eine Frage: Wenn es auf einer Fläche Punkte mit der Krümmung 0
> gibt (und nicht die ganze Fläche die Krümmung 0 hat), gibt es dann sowohl
> Bereiche mit positiver als auch mit negativer Krümmung?
IMHO nicht - z=(x^2+y^2)^2 hat einen Punkt mit Krümmung 0 (den
Ursprung), überall sonst ist sie positiv. Da das trivial ist,
befürchte ich allerdings, Deine Frage irgendwie missverstanden zu
haben.
Jutta Gut
"Ralf Muschall" <ra...@lipsia.de> schrieb
> "Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> writes:
>
> > Dazu gleich eine Frage: Wenn es auf einer Fläche Punkte mit der Krümmung
0
> > gibt (und nicht die ganze Fläche die Krümmung 0 hat), gibt es dann
sowohl
> > Bereiche mit positiver als auch mit negativer Krümmung?
>
> IMHO nicht - z=(x^2+y^2)^2 hat einen Punkt mit Krümmung 0 (den
> Ursprung), überall sonst ist sie positiv. Da das trivial ist,
> befürchte ich allerdings, Deine Frage irgendwie missverstanden zu
> haben.
Ich habe sie nicht gut formuliert. Wenn es auf einer Fläche eine ganze Kurve
gibt, auf der die Krümmung überall 0 ist (z.B. die Plattkreise auf einem
Torus) - trennt die dann in jedem Fall einen Bereich positiver Krümmung von
einem Bereich negativer Krümmung?
Grüße
Jutta
Narasimham
Jawohl.
http://mathworld.wolfram.com/Torus.html
Gleichung 28. K = cos(v)/ a(c + a cos(v))->(v > pi/2,K < 0) und (v >
pi/2, K < 0).[Bezeichnung ph fuer parallele Kreisen/Breiten auf der
Skizze ist Fehler, das soll v sein].
Mit freundlichen Grüßen,
Narasimham
Narasimham
Newsgroups: de.sci.mathematik
Subject: Re: Abstand auf Torus
Date: Sun, 30 Oct 2005 22:53:13 -0800
Ich glaube, ich muss noch einmal fast alles zuruecknehmen,
was ich geschrieben habe. - Also:
In <news:1130474754.8...@g47g2000cwa.googlegroups.com>
schrieb Narasimham <mathm...@hotmail.com>:
> Thomas Mautsch wrote:
>> In <news:1130114025.1...@o13g2000cwo.googlegroups.com>
>> schrieb Narasimham <mathm...@hotmail.com>:
>> >> >> > Thomas Mautsch wrote:
>> >> [ ... ]
>> >> - *Jede* Gerade, die in einer Flaeche
>> >> des R^3 enthalten ist, ist eine Geodaete in dieser Flaeche. Das stimmt.
OK, und was noch mit kn?
>> > d.h. Entlang die Geodaete, Kruemmungs vecktor (kg+kn)= 0,geodaetische
>> > Kruemmung kg= 0 ,normale Kruemmung kn= 0; GaussKruemmung(k1*k2)= 0.Eine
>> > von k1 oder k2 = 0. Stimmt?
> Das stimmt ueberhaupt nicht.
Verzeihung! du kannst vielleicht nicht "uberhaupt" sagen, da diese
Bedingungen im von dir lieferten Beispiel erfüllt wuerden.
> Wenn in einem Punkt der Flaeche
> eine Geodaete der Flaeche(Gauss) Kruemmung 0 hat,
> kann man nur schlussfolgern, dass in diesem Punkt
die kleinere der Hauptkruemmungen der Flaeche <= 0
und die groessere Hauptkruemmung >= 0 sein muss.
Man kann also nur folgern, dass die Gausskruemmung
in diesem Punkt nicht positiv sein kann.
Wie soll dass so sein? ist mir noch nicht klar. GaussKrummung, ist
keine Summe, sondern ein Produkt. Wenn Produkt von zwei Zahlen null
ist, ist eine von ihnen Null. (Der Fall beide Null ... gehoert zur
Ebene , aber hier nicht im Hinsicht).
Hier ist ein Beispiel
(aus <news:1130256558.0...@f14g2000cwb.googlegroups.com>):
Ich könnte das Link leider nicht erhalten.
> Man nehme eine varallgemeinerte Wendelflaeche:
> x = u cos(v), y = u sin(v) ; z = f(v)
> Man sieht, dass die Kurven mit v = konstant Teile von Geraden sind;
>und durch jeden Punkt der Flaeche verlaeuft solch eine Gerade.
>Trotzdem wird die Gausskruemmung dieser Flaeche,
> - f '(v)^2 / ( f'(v)^2+u^2 )^2
>nur an den Punkten (u,v) Null, an denen f '(v)=0 gilt.
kg = 0 when u=0 und auch wenn v = konstant.
f'(v)= 0, z = konstant. BTW die Generatoren v= konstant sind nicht
HauptGeodaeten, sondern asymptotisch, kn =0. HauptGeodaeten liegen zu
+ / - 45 grad zu v = konstant.
>Uebrigens sieht man an der Formel der Gausskruemmung auch,
>dass diese Flaeche nie konstante negative Kruemmung haben kann.
dass diese Flaeche immer konstante negative Kruemmung haben kann?
>> Oh, schoen! - Das hatte ich uebersehen.
>> Dann war die Charakterisierung, die ich geschrieben hatte,
>> beide Male richtig.
> Das war Unsinn.
>> Wichtig war mir dabei, zu sagen, dass solch
>> eine Flaeche nicht unbedingt konstante Gausskruemmung Null haben muss.
>Das bleibt wichtig.
Gausskruemmung soll Null die Gerade entlang sein, und nicht
ueberall... war mein Vorschlag. Jede Oberfläche hat Bereiche der
positiven und negativen Gausskruemmung, mit Null GausskruemmungsLinie
als Grenze,(Jutta's Frage).
> Aehnlich zu was Sie gaben [1+(1-cos((ph))*z^2 ] kann man auch r =
> sin(ph)*z^n wo wir finden Kreisen als z=konstant Schnitte statt
> Kardoides.
>Die Kurve r = 1+(1-cos((ph))*z^2
>beschreibt keine Kardioide wegen des ersten Summanden "1". -
Doch, Ich meinte mit z = konstant hat man Limacon of Pascal usw in
Familie der Kardoids r = a + b cos(ph).
>Ich wollte eine glatte Flaeche angeben.
OK
>> Z-Achse (r = 0) ist also hier wie eine gerade "WirbelSäule".
>Diese Flaeche mit r = sin(ph)*z^n hat aber im Punkt (0,0,0)
eine nicht differenzierbare "Spitze".
>> Gibt es andere Beispielen?
>Das haengt davon ab, welche speziellen Eigenschaften diese Beispiele
haben sollen...
>> Bekannt auch ist z= sin(x) sin(y),
Sorry, mein Typo Fehler. Das sollte z = sin(x) + sin(y) sein. Aber
GaussKrg = 0 (entlang x,y = n pi Linien) und NormalKrg kn nicht zero,
also keine gerade Geodaete.
>> wo x(oder y)= n*pi sind geodaetische Geraden.
Fur z = sin(x) * sin(y) auch, keine gerade Geodaete, kn verschwindet
nicht.
Noch ein schoenes Beispiel dafuer, dass die Gausskruemmung
in Punkten, durch die Geraden verlaufen, nicht Null sein muss. -
???
Hier gilt:
-1+cos(y)^2+cos(x)^2
GaussKrg = --------------------------------------------- .
(-1-cos(x)^2+2*cos(x)^2*cos(y)^2-cos(y)^2)^2
Hier auch = 0 Linie sind +/- x +/- y = pi/2, kn ist nicht Null.
>> (In doppelgekruemmten RotationsFlaechen hat man NullGaussKruemmung
>> wenn entweder k1 oder k2 zu Null gehen. (lokal KegelGenerator oder
>> mitteKranz des Torus).
>Ich weiss nicht, was Du damit sagen willst.
>Ich wollte über Verhalten von Geodaete der Einzeln gebogenen Oberflächen im
Ich wollte Vergleich mit (zu mir) mehr bekannten DoppelVerbogenen
Oberflächen erlernen.
> Die Gausskruemmung einer Rotationsflaeche
> x = u*cos(v), y = u*sin(v), z = f (u) betraegt f ''(u)*f '(u)/(u*(f'(u)^2+1)^2),ist also in den Punkten Null, in denen die Funktion f,
>deren Graphen man rotiert, verschwindende erste oder zweite Ableitung hat.
Nun mache weiter, f ''(u)=0 gibt Geraden und local Kegel wenn rotiert
, f '(u)=0 eine U-förmig Nase mit Tangente senkrecht zur z-Achse für
alle TorusMeridiane.
Die Beobachtungen zur Zeit sind:
Fuer Beide entlang die Geodaete:
Kruemmungs vecktor (kg+kn)= 0,geodaetische Kruemmung kg= 0 ,normale
Kruemmung kn= 0;
Einzelverebogen : GaussKruemmung(k1*k2)= 0 ueberall.
Doppelverbogen : GaussKruemmung(k1*k2) entweder 0 oder < 0 die
Geodaete entlang.
Stimmt es jetzt?
Mit Freundlichen Gruessen,
Narasimham
Ralf Muschall
> Ich habe sie nicht gut formuliert. Wenn es auf einer Fläche eine ganze Kurve
> gibt, auf der die Krümmung überall 0 ist (z.B. die Plattkreise auf einem
> Torus) - trennt die dann in jedem Fall einen Bereich positiver Krümmung von
> einem Bereich negativer Krümmung?
Wohl auch nicht:
Man nehme ein Ding, das wie eine Einheitskugel aussieht, aber sich am
Äquator wie r=1-c*z^4 verhält. Dann ist der Äquator eine Nullstelle
zweiten Grades (der Krümmung als Funktion des Ortes) und trennt
Bereiche positiver Krümmung voneinander.
Jutta Gut
"Ralf Muschall" <ra...@lipsia.de> schrieb
> "Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> writes:
>
> > Ich habe sie nicht gut formuliert. Wenn es auf einer Fläche eine ganze
Kurve
> > gibt, auf der die Krümmung überall 0 ist (z.B. die Plattkreise auf einem
> > Torus) - trennt die dann in jedem Fall einen Bereich positiver Krümmung
von
> > einem Bereich negativer Krümmung?
>
> Wohl auch nicht:
>
Danke, so etwas Ähnliches habe ich mir gedacht.
Grüße
Jutta
Narasimham
Ebene x = m pi, y = n pi teilen die Fläche z = sin(x) + sin(y), in
Bereiche der wechselnden GaussKrümmung von Seitel Punkte und
Elliptische Punkte , aehnlich zu ein Schachspielbrett.
Jutta Gut
"Narasimham" <math...@hotmail.com> schrieb
Für den Torus ist mir das auch klar. Ich wollte wissen, ob es für jede
Fläche gilt. Ralf hat mir schon ein Gegenbeispiel genannt.
Kann man eigentlich die Krümmung einer Fläche bestimmen, ohne sie zu
parametrisieren? Wie berechnet man z.B. die Krümmung der Fläche
x^4 + y^4 + z^4 = 1?
(Taylor-Entwicklung?)
Grüße
Jutta
Hero
Jutta Gut wrote:
> Kann man eigentlich die Krümmung einer Fläche bestimmen, ohne sie zu
> parametrisieren? Wie berechnet man z.B. die Krümmung der Fläche
> x^4 + y^4 + z^4 = 1?
> (Taylor-Entwicklung?)
beiden Schnittkurven die Tangenten in diesem Punkt bestimmen. Diese
spannen die Tangentenebene auf, wozu dann eine dazu normale Gerade
betimmt wird, immer durch den Punkt. Um diese Gerade eine Ebene drehen
und von jeder Schnittkurve mit der Flaeche die Kruemmung im Punkt
bestimmen. Wenn man eine maximale Kruemmung K und eine minimale
Kruemmung k findet in zwei Normalenebenen, die zueinander senkrecht
sind, dann hat man die Flaechen-Kruemmung nach Gauss in diesem Punkt:
Gauss Kruemmung= Maximale Kruemmung mal minimale Kruemmung.
Viel Spass
Hero
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
Schön, und wie macht man das praktisch? Ich kann doch nicht die Fläche mit
unendlich vielen Ebenen schneiden.
Grüße
Jutta
Hero
>
> Schön, und wie macht man das praktisch? Ich kann doch nicht die Fläche mit
> unendlich vielen Ebenen schneiden.
Kreises, sowie zwei beliebige Punkte auf der Normalengeraden bestimmen
eine Normalenebene. Wenn Du den Kreis-Punkt jetzt variabel laesst, hat
dieser also zu einer festen vorgegebenen Raum-Richtung auf der Ebene
einen Winkel @, seine Ebene eine Abhaengigkeit von cos @ und sin @.
Dies @ ziehst Du jetzt mit durch bist Du die Formel fuer den
Kruemmungsradius anwendest. Damit hast Du diesen in Abhaengigkeit von
@. Bestimme Maximum und Minimum und sieh ob ein rechter Winkel
dazwischen ist.
Viel Spass
Hero
Narasimham
Ja, benuetze Monges Form. Fuer z = (1-x^4-y^4)^.25 Monges Form z =
f(x,y) ergibt GaussKrümmung = (r t - s^2)/(1+p^2+q^2)^2 ( p,q, r,t,s
partialle Abletungen von z).
Nach geduldige Berechnungen findet die Fläche hiesig flach auf
(+-x,+-y,+-z)=(1,1,1). Sieht wie
http://www.allproducts.com/gift/eglobe/21-stress_ball-puot03-s.jpg
aus, aber ohne scharfe Ränder.
Aber,statt direkt Rechnung/Plot ist Parameterisierung guenstiger.
{x,y,z} = {Sqrt[Cos[ph]Cos[th]],Sqrt[Cos[ph]Sin[th]],Sqrt[Sin[ph]]}.
MfG Narasimham
Thomas Mautsch
schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> Jutta Gut wrote:
>> Kann man eigentlich die Krümmung einer Fläche bestimmen, ohne sie zu
>> parametrisieren? Wie berechnet man z.B. die Krümmung der Fläche
>> x^4 + y^4 + z^4 = 1?
>> (Taylor-Entwicklung?)
>
> f(x,y) ergibt GaussKrümmung = (r t - s^2)/(1+p^2+q^2)^2 ( p,q, r,t,s
> partialle Abletungen von z).
> Aber,statt direkt Rechnung/Plot ist Parameterisierung guenstiger.
> {x,y,z} = {Sqrt[Cos[ph]Cos[th]],Sqrt[Cos[ph]Sin[th]],Sqrt[Sin[ph]]}.
Monges Formel fuer die Gausskruemmung des Graphen
einer Funktion zweier Variablen ist wahrscheinlich wirklich eine
der praktikabelsten Ideen, die Gausskruemmung einer Flaeche
zu berechnen; allerdings wuerde ich, statt die implizite Formel
x^4 + y^4 + z^4 = 1
nach z umzustellen, den Satz ueber implizite Funktionen benutzen,
um Ableitungen von z nach x und y,
die in der Formel fuer die Gausskruemmung auftauchen,
durch Funktionen in x, y und z auszudruecken.
Langer Rede kurzer Sinn:
Mit dem Satz von der impliziten Funktion und
Monges Formel fuer die Gausskruemmung eines Graphen
( Formel (15) in http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html )
kann man ausrechen:
Wenn eine Flaeche im R^3 als Nullstellenmenge einer Funktion F gegeben ist,
{ (x,y,z): F(x,y,z)=0 },
dann lassen sich Gausskruemmung G und mittlere Kruemmung H
dieser Flaeche in regulaeren Punkten von F ausdruecken als:
G = ( (F,x)^2 * F,yy * F,zz + F,xx * (F,y)^2 * F,zz + F,xx * F,yy * (F,z)^2
- 2 * F,xx * F,yz * F,y * F,z
- 2 * F,yy * F,xz * F,x * F,z
- 2 * F,zz * F,xy * F,x * F,y
+ 2 * F,xz * F,x * F,yz * F,y
+ 2 * F,xy * F,y * F,xz * F,z
+ 2 * F,xy * F,x * F,yz * F,z
- (F,xy)^2 * (F,z)^2 - (F,xz)^2* (F,y)^2 - (F,yz)^2 * (F,x)^2 )
/ |grad F|^4,
H = ( F,xx * (F,y)^2 + F,xx * (F,z)^2
+ F,yy * (F,z)^2 + F,yy * (F,x)^2
+ F,zz * (F,x)^2 + F,zz * (F,y)^2
- 2 * F,z * F,xz * F,x - 2 * F,xy * F,x * F,y - 2 * F,z * F,yz * F,y )
/ |grad F|^3
(F,x steht fuer die einfache Ableitung nach x;
F,xy zweifache Ableitung nach x und y, usw. ...).
In Juttas Beispiel, der Flaeche
x^4 + y^4 + z^4 = konstant,
erhaelt man mit dieser Formel
die Gausskruemmung
9 x^2 y^2 z^2 (x^4+y^4+z^4)
-----------------------------
( x^6 + y^6 + z^6 )^2
und die mittlere Kruemmung
3 (x^2 y^6 + x^2 z^6 + y^2 x^6 + y^2 z^6 + z^2 x^6 + z^2 y^6)
--------------------------------------------------------------- .
( x^6 + y^6 + z^6 )^(3/2)
Und auf gewisse Art und Weise haben
diese Kruemmungen auch etwas mit einer Art Taylorentwicklung
der Flaeche zu tun. - Zur Erklaerung muss ich "etwas" ausholen:
Gegeben eine Flaeche im R^3.
Dann kann man in jedem Punkt der Flaeche zwei symmetrische
Bilinearformen auf dem Tangentialraum der Flaeche definieren:
* Die erste Fundamentalform I ist die Einschraenkung
des Skalarproduktes von R^3 auf den Tangentialraum der Flaeche.
* Die zweite Fundamentalform II ist die Aenderung,
d.h. Ableitung, der ersten Fundamentalform in Richtung
des Einheitsnormalenvektors N der Flaeche.
Auf diese Art definiert, sind diese beiden Formen
unabhaengig von jeglicher Parametrisierung der Flaeche.
Da *Bilinearformen* schwer zu veranschaulichen sind -
Was sind das schon fuer komische Gebilde,
die jedem Paar von Vektoren einen Wert zuordnen? -
versucht man fuer den Normalverbraucher aus den Bilinearformen
I und II *Funktionen* zu basteln, die auch unabhaengig von
der Parametrisierung der Flaeche sind,
z.B. die Determinante bzw. die Spur von II
bezueuglich einer Orthonormalbasis von I. -
Dies sind die Gauss- und die mittlere Kruemmung der Flaeche,
koordinatenunabhaengig definiert.
Leider kann man mit diesen Definitionen schlecht rechnen.
Deshalb parametrisiert man die Flaeche (lokal)
durch zwei Variablen s und t:
X = [ x(s,t), y(s,t), z(s,t) ].
Vektoren tangential an die Flaeche sind
X,s (lies: der Vektor X komponentenweise nach s abgeleitet)
und X,t
Der Einheitsnormalenvektor senkrecht zur Flaeche ist das Vektorprodukt
X,s x X,t
normalisiert auf Laenge 1:
N = (X,s x X,t) / |X,s x X,t|
In der Parametrisierung ist die erste Fundamentalform
der Flaeche durch die Matrix
I = [ |X,s|^2 X,s . X,t ]
[ X,s . X,t |X,t|^2 ]
gegeben. ("." steht fuer das Skalarprodukt der Vektoren.)
Die Determinante dieser Matrix ist uebrigens gerade gleich
det(I) = |X,s x X,t|^2
Fuer die Berechnung der zweiten Fundamentalform der Flaeche
ist es guenstiger die folgende aequivalente Definition zu benutzen:
Die zweite Fundamentalform II ordnet jedem Paar (Y,Z) von
Tangentialvektoren an die Ebene das Skalarprodukt
der Ableitung des Einheitsnormalenvektors N nach Y
mit dem Vektor Z zu.
Beispiel: Um II( X,s , X,s ), d.h. die 2.FF auf dem Paar X,s und X,s
auszurechen, leitet man erst N nach s ab. -
Das ergibt, weil N (unabhaengig von s und t) konstante Laenge 1 hat,
die Projektion von
(X,s x X,t),s / |X,s x X,t|
auf die Ebene senkrecht zu N. - Da der zweite Vektor X,s ,
mit dem das Skalarprodukt zu bilden ist, schon senkrecht zu N liegt,
spielt diese Projektion keine Rolle, und man erhaelt:
II( X,s , X,s ) = (X,s x X,t),s . X,s / |X,s x X,t|
= ( X,ss x X,t + X,s x X,ts) . X,s / |X,s x X,t|
= ( X,ss x X,t ) . X,s / |X,s x X,t|
= [ X,t ; X,s ; X,ss ] / |X,s x X,t|
wobei hier X,ss und X,ts fuer zweifache Ableitungen
und [ X ; Y ; Z ] fuer das Spatprodukt der drei Vektoren stehen.
Alternativ kann man natuerlich auch
II (X,s , X,s ) = X,ss . N
schreiben.
Alles in allem hat die zweite Fundamentalform
in der Parametrisierung durch s und t die Matrix
II = [ [ X,t ; X,s ; X,ss ] [ X,t ; X,s ; X,st ] ]
[ [ X,t ; X,s ; X,ts ] [ X,t ; X,s ; X,tt ] ] / |X,s x X,t|
= [ X,ss . N X,st . N ]
[ X,ts . N X,tt . N ]
Die Gausskruemmung G und die mittlere Kruemmung H
der Flaeche berechnen sich aus (den Matrizen)
der ersten und zweiten Fundamentalform
als Determinanten bzw. Spuren:
G = det( I^{-1/2} . II . I^{-1/2} ) = det( II . I^{-1} )
= det( II ) / det(I)
und
H = trace( I^{-1/2} . II . I^{-1/2} ) = trace( II . I^{-1} )
Soweit zu den allgemeinen Formeln.
Wenn jetzt die Flaeche als Graph - z.B. ueber der x-y-Ebene -
parametrisiert ist,
X = ( x, y, z(x,y) )
erhaelt man die bekannten Formeln
X,x = ( 1, 0, z,x )
X,y = ( 0, 1, z,y )
damit die erste Fundamentalform
I = [ 1 +(z,x)^2 (z,x)*(z,y) ]
[ (z,x)*(z,y) 1 +(z,y)^2 ];
den Normalenvektor
X,x x X,y = ( -z,x , -z,y , 1)
|X,x x X,y| = ( 1 + (z,x)^2 + (z,y)^2 )^(1/2)
und damit die zweite Fundamentalform
II = [ z,xx z,xy ]
[ z,yx z,yy ] / ( 1 + (z,x)^2 + (z,y)^2 )^(1/2).
In Punkten, in denen der Graph von z(x,y)
eine horizontale Tangentialebene hat,
d.h., z,x = 0 und z,y = 0 gelten,
ist uebrigens die erste Fundamentalform I die Einheitsmatrix
und die zweite Fundamentalform II die Hessesche Matrix von z(x,y) -
womit die zweite Fundamentalform also eine
parametrisierungsunabhaengigen Verallgemeinerung der zweiten Ableitung
darstellt.
Gauss- bzw. mittlere Kruemmung sind in solchen Punkten also
Determinante bzw. Spur der Hessematrix.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Hier kommt also die Taylorentwicklung der Flaeche
(bis zu zweiter Ordnung) ins Spiel:
Die zweite Fundamentalform der Flaeche
bietet also eine Moeglichkeit, den Begriff der Hessematrix
von Funktionengraphen in kritischen Punkten
auf beliebige Stellen von Flaechen zu verallgemeinern,
auf eine Art, die unabhaengig von der Parametrisierung der Flaeche ist. -
Ist das nicht grossartig?
Diese Sicht suggeriert eine zweite Moeglichkeit,
die Fundamentalformen und damit die Kruemmungen
in einem Punkt einer Flaeche auszurechen:
Man lege zuerst die Tangentialebene
durch diesen Punkt an die Flaeche;
und stelle dann die Flaeche (lokal um diesen Punkt)
als Graph ueber der Tangentialflaeche dar.
Dann berechne man die Determinante und Spur
der Hessematrix der zum Graphen zugehoerigen Funktion.
Praktisch laesst sich dieses Verfahren allerdings nicht leichter
umsetzen als das Rechnen mit der Flaeche als Graphen
[ x, y, z(x,y) ].
Aus den Formeln von oben
fuer die Fundamentalformen laesst sich leicht die Kruemmung ausrechnen:
Gausskruemmung:
G = ( z,xx * z,yy - (z,xy)^2 )/(1+(z,x)^2+(z,y)^2)^2
(Monges Formel)
Mittlere Kruemmung:
- z,xx * ( 1 + (z,y)^2 ) + 2 * z,xy * z,y * z,x - z,yy * ( 1 + (z,x)^2))
H = -------------------------------------------------------------------------
(1+(z,x)^2+(z,y)^2)^(3/2)
ENDE.
P.S.: Noch eine kurze Zugabe fuer Maple-Nutzer:
Krgn:=proc(surf,vars)
global GaussKrg, MittlereKrg;
local tangenten,normale,eins,zwei;
lprint(surf,vars);
tangenten:= map(u->Vector(diff(surf,u)),vars);
simplify(LinearAlgebra[CrossProduct](tangenten[1], tangenten[2]));
normale:=simplify(%/LinearAlgebra[Norm](%,2,conjugate=false));
eins:= simplify([seq]([seq](
LinearAlgebra[DotProduct](a,b, conjugate=false),
a=tangenten),b=tangenten));
zwei:= simplify([seq]([seq](
LinearAlgebra[DotProduct](
Vector(diff(convert(normale,list),a)),b, conjugate=false),
a=vars),b=tangenten));
GaussKrg:= simplify(LinearAlgebra[Determinant](Matrix(zwei))
/LinearAlgebra[Determinant](Matrix(eins)) );
MittlereKrg:= simplify(
LinearAlgebra[Trace](Matrix(zwei).Matrix(eins)^(-1)) );
GaussKrg, MittlereKrg:
end proc:
Krgn([u*cos(v),u*sin(v),f(u)],[u,v]);
Krgn([x,y,z(x,y)],[x,y]);
Viel Spass!
Thomas
Rainer Rosenthal
... unglaublich ausführl- und lehrre-ich
Hallo Thomas,
das war ja eine Super-duper-Abhandlung vom Feinsten!
Sozusagen "dsm at its best". Bravo!
Hier kommt eine dusslige kleine Frage zum "Nachschlag",
also dem Maple-Programm: ich kriege nach Copy&Paste
gesagt:
[u*cos(v), u*sin(v), f(u)], [u, v]
Error, (in LinearAlgebra:-VectorNorm)
unexpected argument(s): conjugate = false
Was muss ich da tun, um vielleicht auch noch ein
illustrierend Bildlein zu ergattern?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Thomas Mautsch
In news:<3sseioF...@individual.net> schrieb Rainer Rosenthal:
[ ... ]
> Hier kommt eine dusslige kleine Frage zum "Nachschlag",
> also dem Maple-Programm: ich kriege nach Copy&Paste
> gesagt:
>
> [u*cos(v), u*sin(v), f(u)], [u, v]
> Error, (in LinearAlgebra:-VectorNorm)
> unexpected argument(s): conjugate = false
>
> Was muss ich da tun, um vielleicht auch noch ein
> illustrierend Bildlein zu ergattern?
Bilder waren sowieso nicht drin,
nur eine Prozedur, die aus einer gegebenen Parametrisierung
einer Flaeche, z.B. einer Rotationsflaeche [u*cos(v), u*sin(v), f(u)],
mit gegebenen Variablen, im Beispiel [u,v],
Gauss- und mittlere Kruemmung berechnet. -
Wenn man die erst einmal hat,
kann man sie wahrscheinlich mit Maples plot3d-Befehl
dazu benutzen, die Flaeche der Gausskruemmung entsprechend einzugefaerbt
zu "plotten".
Dein Maple scheint Probleme beim Ausfuehren der zwei Befehle
LinearAlgebra[DotProduct](a,b, conjugate=false)
zu haben. - Ich kann Dir da nicht weiterhelfen;
bei mir funktioniert alles (unter Maple 8 und Maple 9.5).
Ist vielleicht ein Versionsproblem.
Schau mal, was passiert, wenn Du das
", conjugate=false"
weglaesst. - Wenn Du Pech hast, rechnet Maple dann
mit einem hermitischen Skalarprodukt herum statt mit einem reellen.
Falls ja, wuerde ich in der Maple-Hilfe nach
?DotProduct
fragen.
Sorry, und noch einen schoenen Abend
Thomas
Hero
> In news:<1130905071.0...@z14g2000cwz.googlegroups.com>
> schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> > Jutta Gut wrote:
> >> Kann man eigentlich die Krümmung einer Fläche bestimmen, ohne sie zu
> >> parametrisieren? Wie berechnet man z.B. die Krümmung der Fläche
> >> x^4 + y^4 + z^4 = 1?
> >> (Taylor-Entwicklung?)
Einiges zur Gauss-Kruemmung kann man ja auch im Thread "Kruemmung"
lesen, wie auch Links zu Gauss Originalarbeit.
Ich hatte noch folgenden Link gefunden, der auch einiges aehnlich
dartstellt:
[PS] Differentialgeometrie der Kurven und Fla"chen (ein Beispiel zur
...
<http://www.cg.cs.tu-bs.de/people/ullrich/vorlesung03/diffgeomaple.ps>
Dateiformat: Adobe PostScript - Text-Version
<http://64.233.183.104/search?q=cache:acvCDbKvLUUJ:www.cg.cs.tu-bs.de/people/ullrich/vorlesung03/diffgeomaple.ps+affensattel&hl=de>
www.cg.cs.tu-bs.de/people/ ullrich/vorlesung03/diffgeomaple.ps -
Gruss
Hero
Narasimham
Oops, das sollte +-( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) sein!
Sieht wie
> http://www.allproducts.com/gift/eglobe/21-stress_ball-puot03-s.jpg
> aus, aber ohne scharfe Ränder.
>
> Aber,statt direkt Rechnung/Plot ist Parameterisierung guenstiger.
> {x,y,z} = {Sqrt[Cos[ph]Cos[th]],Sqrt[Cos[ph]Sin[th]],Sqrt[Sin[ph]]}.
>
> MfG Narasimham
Siehe auch:
http://img132.imageshack.us/img132/5420/x4usw7gq.jpg
kn und K sind minimal und 0 @ +-( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).
Gruesse
Narasimham
Jutta Gut
"Thomas Mautsch" <mau...@math.ethz.ch> schrieb
> Monges Formel fuer die Gausskruemmung des Graphen
> einer Funktion zweier Variablen ist wahrscheinlich wirklich eine
> der praktikabelsten Ideen, die Gausskruemmung einer Flaeche
> zu berechnen; allerdings wuerde ich, statt die implizite Formel
>
> x^4 + y^4 + z^4 = 1
>
> nach z umzustellen, den Satz ueber implizite Funktionen benutzen,
> um Ableitungen von z nach x und y,
> die in der Formel fuer die Gausskruemmung auftauchen,
> durch Funktionen in x, y und z auszudruecken.
Danke - das muss ich jetzt einmal in Ruhe studieren!
Danke auch an Narasimham für das schöne Bildchen :-)
Grüße
Jutta
Narasimham
Thomas Mautsch wrote:
> In news:<1130905071.0...@z14g2000cwz.googlegroups.com>
> schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> > Jutta Gut wrote:
> >> Kann man eigentlich die Krümmung einer Fläche bestimmen, ohne sie zu
> >> parametrisieren? Wie berechnet man z.B. die Krümmung der Fläche
> >> x^4 + y^4 + z^4 = 1?
> >> (Taylor-Entwicklung?)
> >
> > Ja, benuetze Monges Form. Fuer z = (1-x^4-y^4)^.25 Monges Form z =
> > f(x,y) ergibt GaussKrümmung = (r t - s^2)/(1+p^2+q^2)^2 ( p,q, r,t,s
> > partialle Abletungen von z).
> [ ... ]
> > Aber,statt direkt Rechnung/Plot ist Parameterisierung guenstiger.
> > {x,y,z} = {Sqrt[Cos[ph]Cos[th]],Sqrt[Cos[ph]Sin[th]],Sqrt[Sin[ph]]}.
>
> Monges Formel fuer die Gausskruemmung des Graphen
> einer Funktion zweier Variablen ist wahrscheinlich wirklich eine
> der praktikabelsten Ideen, die Gausskruemmung einer Flaeche
> zu berechnen; allerdings wuerde ich, statt die implizite Formel
> x^4 + y^4 + z^4 = 1
Eine schöne, komplette Methode Gauss/Mittlere Kruemmungen zu finden.
Viele Gruesse,
Narasimham
Thomas Mautsch
> also dem Maple-Programm: ich kriege nach Copy&Paste
> gesagt:
>
> [u*cos(v), u*sin(v), f(u)], [u, v]
> Error, (in LinearAlgebra:-VectorNorm)
> unexpected argument(s): conjugate = false
>
> Was muss ich da tun, um vielleicht auch noch ein
> illustrierend Bildlein zu ergattern?
Ich habe jetzt das Programm ein wenig umgeschrieben,
so dass man auch fuer parametrisierte Hyperflaechen im R^n, n beliebig,
Fundamentalformen ("eins" und "zwei") und Gauss- und mittlere Kruemmung
("Gausskrg" und "MittlereKrg") berechnen lassen kann
und dabei alle Optionen "conjugate = false" rausgeworfen. -
Diesmal muesste es also fuer Rainer klappen:
Krgn:=proc(surf,vars) global GaussKrg, MittlereKrg,eins,zwei;
local tangenten,normale,normalennorm,u;
lprint(surf,vars);
tangenten:= [seq](diff(surf,u),u=vars);
LinearAlgebra[Determinant](Matrix([[seq](a||u,u=0..nops(vars)),tangenten[]]));
normale:= simplify([seq](coeff(%,a||u),u=0..nops(vars)));
Vector(normale);
normalennorm:= simplify(sqrt(LinearAlgebra[Transpose](%).%));
Matrix(tangenten);
eins:= simplify(%.LinearAlgebra[Transpose](%));
zwei:= simplify(
Matrix([seq](diff(normale,u),u=vars)).LinearAlgebra[Transpose](%%));
zwei:= map(u->simplify(u/normalennorm),zwei);
GaussKrg:= simplify(
LinearAlgebra[Determinant](Matrix(zwei))
/ LinearAlgebra[Determinant](Matrix(eins)) );
MittlereKrg:= simplify( LinearAlgebra[Trace](Matrix(zwei).Matrix(eins)^(-1)) );
GaussKrg,MittlereKrg:
end proc:
Krgn([x,y,z,u(x,y,z)],[x,y,z]);
Krgn([u*cos(v),u*sin(v),f(u)],[u,v]);
Ich bin auch um Mathematica-Code gebeten worden,
kenne micht aber mit Mathematica noch weniger aus als mit Maple. -
Moechte vielleicht jemand von Euch das Programm umschreiben?
Ach ja, die Formel der Kruemmung einer Flaeche
F(x,y,z) = konstant
mit dem impliziten Funktionensatz stammt eigentlich auch
mehr von Maple als von mir. - Falls jemand damit experimentieren
moechte:
vars:= [x,y]; glg:=F(vars[],u(vars[]));
relationen := simplify(
{seq}( diff(u(vars[]),i) = solve( diff(glg,i), diff(u(vars[]),i)),
i=vars)):
relationen:= simplify({relationen[],
seq(seq( diff(u(vars[]),i,j) =
subs(relationen,solve( diff(glg,i,j), diff(u(vars[]),i,j))),
i=vars),j=vars)}):
[Krgn]([vars[],u(vars[])],vars);
simplify(subs(relationen,%));
Rainer Rosenthal
> Diesmal muesste es also fuer Rainer klappen:
Hallo Thomas,
Du bist zu gut zu mir. Maple 6 haut es mir leider immer
noch um die Ohren:
[x, y, z, u(x,y,z)], [x, y, z]
Error, wrong number (or type) of parameters in function seq
Ich kann mich auch nur sehr am Rande mit dem Thema
befassen, weil ich gerade etwas Konzentration für Zahlen-
theorie aufbringen möchte. Wenn Du jatzt also aufgibst,
kann ich Dir das nicht verdenken und werde das Ganze mal
den Maple-Fuzzis geben. Schnell mal com.soft-sys.math
abonnieren, was ich schon mal eine Weile getan hatte.
Danke jedenfalls und Gruss,
Rainer
Hero
> Thomas Mautsch wrote:
> > schrieb Narasimham <math...@hotmail.com>:
> > > Jutta Gut wrote:
> > >> Kann man eigentlich die Krümmung einer Fläche bestimmen, ohne sie zu
> > >> parametrisieren? Wie berechnet man z.B. die Krümmung der Fläche
> > >> x^4 + y^4 + z^4 = 1?
> > >> (Taylor-Entwicklung?)
> Und da kommen ja super-Antworten.
> Einiges zur Gauss-Kruemmung kann man ja auch im Thread "Kruemmung"
> lesen, wie auch Links zu Gauss Originalarbeit.
Manchmal ist de.sci.mathematik wie ein Brennspiegel. Ein hochwertiges
Buendel Mathe strahlt da taeglich auf uns zu, einiges selbst neu hier
entwickelt. Umgekehrt konzentriert sich hier einiges, dem wir sonst nur
sporadisch entgegenkaemen. Und diesen Spiegl hat zu einem gut Teil
Hermann Kremer mit poliert und ausgerichtet. Am 23.April 2003 schrieb
er in dem Thread "Frage zum Wortursprung "
http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/19ac591253c34d0d/6084f5ae9afada61?q=Riemann+Hamilton&rnum=5#6084f5ae9afada61
> OK, hier die Liste der Beltrami-Papers von 1868-1870 sowie die 4 Bde
> seiner gesammelten Werke mit deutschen Annotationen. Die "Theorie
> des Krümmungsmaßes" 1869 ist auch komplett im WWW (GDZ
> Göttingen) vorhanden
Das ist doch was fuer Jutta:
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D25967
Das Gauss'sche Kruemmungsmass wird ja auch gerade in den Threads
"Kruemmung" und "Noch einmal Krümmung" behandelt. Ich kannte nur den
Namen, aber da lese ich doch bei Hermann, dass er "On the theory of
geodetic lines" schrieb,womit wir ja in diesem Thread zu tun hatten. Er
erfand (?) die Regelflaeche ( ruled surface) 1865 und die
Minimalflaechen 1867, die in unserem Thread "Wie könnte ich die
Gleichung einer Hyperbel aus einer Zeichnung ermitteln?" im August
dieses Jahres wichtig waren. Er findet Vergleiche mit der
gewöhnlichen Geometrie und derjenigen auf Flächen von constanter
negativer Krümmung, was uns in "Krumm und Gerade in der
Nicht-Euclidischen Geometrie" beschaeftigt. Kurzum, es lohnt sich
Hermann's Posting anzusehen und den Links zu Beltrami zu folgen.
Danke Hermann (Du fehlst uns hier)
Hero
Thomas Mautsch
> Wenn Du jatzt also aufgibst,
> kann ich Dir das nicht verdenken und werde das Ganze mal
> den Maple-Fuzzis geben. Schnell mal com.soft-sys.math
> abonnieren, was ich schon mal eine Weile getan hatte.
Letzter Versuch. - Wie waere es damit:
http://www.math.ucla.edu/~bon/maple.html
Oder fuer Freunde von Mathematica:
http://www.math.ucla.edu/~bon/mma.html
Viel Spass und Gruss!