Komplexe Nullstellen eines Polynoms

[Jan Fricke]

Hallo,
wie kann man die Anzahl der Nullstellen mit positivem Imaginärteil eines
komplexen Polynoms bestimmen?

Das Problem ist gleichwertig dazu, die Anzahl der Nullstellen im
Einheitskreis zu bestimmen.

Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral über f'/f
bestimmt, ich möchte aber eine algebraische Lösung; z.B. so etwas wie
den Sturmschen Satz zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.


Viele Grüße Jan

[Ronald Benedik]

"Jan Fricke" schrieb im Newsbeitrag news:alb5ue...@mid.individual.net...

>Hallo,
>Wie kann man die Anzahl der Nullstellen mit positivem Imagin�rteil eines

>komplexen Polynoms bestimmen?

>Das Problem ist gleichwertig dazu, die Anzahl der Nullstellen im Einheitskreis
>zu bestimmen.

Vielleicht hilft der Satz von Rouche weiter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9

Ansonsten w�rde ich das Polynom in Real und Imagin�rteil spalten und
dann getrennt untersuchen.

>Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral �ber f'/f bestimmt,
>ich m�chte aber eine algebraische L�sung; z.B. so etwas wie den Sturmschen Satz

>zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.

Vielleicht mit Maple oder Mathematica?

Freundliche Gr��e von Ronald

[Marc Olschok]

Sind u und v die reellen Polynome mit f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + v(x,y)i,
dann ist die gesuchte Menge

{ (x,y) in R x R | u(x,y)^2 + v(x,y^2 = 0 , y > 0 }

eine semialgebraische Teilmenge von R x R, und nach Tarski-Seidenberg
ist die Projektion auf R

{ y in R | Ex x in R: u(x,y)^2 + v(x,y)^2 = 0 , y > 0 }

ebenfalls semialgebraische Teilmenge von R, also ebenfalls durch endlich
viele Gleichungen und Ungleichungen h(y)=0 , g_1(y)>0 , ..., g_k(y)>0
definierbar. Angeblich liefert der Beweis zu Tarski-Seidenberg auch einen
Algorithmus (ich sollte das genauer wissen, habe aber alles vergessen und
leider im Moment keine Zeit, mich nochmal reinzulesen). Damit hättest Du
alles auf den eindimensionalen Fall reduziert.

Marc

[Christopher Creutzig]

On 1/11/13 8:02 PM, Jan Fricke wrote:

> Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral �ber f'/f

> bestimmt, ich m�chte aber eine algebraische L�sung; z.B. so etwas wie

> den Sturmschen Satz zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.

Das Integral sollte sich doch algebraisch relativ problemlos bestimmen
lassen.

--
> Gesetzlich hin oder her;
Du bist ja s��. Wozu diskutierst du mit der Einstellung hier?
(Kathinka Wenz in de.soc.recht.misc)

[Jan Fricke]

On 01/12/2013 06:55 PM, Ronald Benedik wrote:
> "Jan Fricke" schrieb im Newsbeitrag
> news:alb5ue...@mid.individual.net...
>
>> Hallo,

>> Wie kann man die Anzahl der Nullstellen mit positivem Imaginärteil

>> eines komplexen Polynoms bestimmen?
>
>> Das Problem ist gleichwertig dazu, die Anzahl der Nullstellen im
>> Einheitskreis zu bestimmen.
>
> Vielleicht hilft der Satz von Rouche weiter:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9

Darüber habe ich auch schon nachgedacht; dann müsste man irgendwie eine
Folge f_k von Polynomen finden, so dass

| f_k - f_{k-1}| < | f_k |

auf dem Einheitskreis, f_0 = 0 und f_n = a*z^l. Aber wie?


Viele Grüße Jan

[Jan Fricke]

OK, das sagt erst mal, dass es prinzipiell geht. Mal schauen, vielleicht
finde ich den Beweis irgendwo.


Viele Grüße Jan

[Jan Fricke]

On 01/16/2013 07:45 PM, Christopher Creutzig wrote:
> On 1/11/13 8:02 PM, Jan Fricke wrote:
>

>> Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral über f'/f

>> bestimmt, ich möchte aber eine algebraische Lösung; z.B. so etwas wie

>> den Sturmschen Satz zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.
>
> Das Integral sollte sich doch algebraisch relativ problemlos bestimmen
> lassen.

Das wäre mir neu. Um das Integral algebraisch zu bestimmen zu bestimmen
muss man die Nullstellen kennen. Dann wäre ich aber schon fertig.


Viele grüße Jan

[Ronald Benedik]

Jan Fricke" schrieb im Newsbeitrag news:50f7f173$1...@news.uni-siegen.de...

>Dar�ber habe ich auch schon nachgedacht; dann m�sste man irgendwie eine Folge

>f_k von Polynomen finden, so dass

>| f_k - f_{k-1}| < | f_k |

>auf dem Einheitskreis, f_0 = 0 und f_n = a*z^l. Aber wie?

In Funktionentheorie 1, Springer, Freitag, Busam wird auf Seite 174
ein Beispiel f�r ein komplexes Polynom gerechnet.

Im Prinzip wird das Polynom (mehrfach) geeignet zerlegt und
dann Absch�tzungen durchgef�hrt um die Lage der Nullstellen
im oder au�erhalb der Kreisscheibe zu berechnen.

[Christopher Creutzig]

On 1/17/13 1:43 PM, Jan Fricke wrote:
> On 01/16/2013 07:45 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> On 1/11/13 8:02 PM, Jan Fricke wrote:
>>

>>> Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral �ber f'/f
>>> bestimmt, ich m�chte aber eine algebraische L�sung; z.B. so etwas wie

>>> den Sturmschen Satz zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.
>>
>> Das Integral sollte sich doch algebraisch relativ problemlos bestimmen
>> lassen.
>

> Das w�re mir neu. Um das Integral algebraisch zu bestimmen zu bestimmen
> muss man die Nullstellen kennen. Dann w�re ich aber schon fertig.

Nicht alle. Du musst zun�chst einmal wissen, ob es Nullstellen entlang
Deines Integrationspfades gibt, bspw. also auf dem Einheitskreis. Dann
ist der n�chste Schritt das unbestimmte Integral:

Zun�chst einmal kannst Du jede rationale Funktion integrieren, wenn Du
symbolische Summen �ber Nullstellen von Polynomen akzeptierst.

Hier ist das Ganze noch einmal deutlich einfacher, denn ln(f) ist eine
Stammfunktion von f'/f.

Also l�sst sich das Problem darauf transformieren, f�r irgendeine(!)
Wahl eines Verzweigungsschnitts des Logarithmus (Weg von 0 ins
Unendliche) die (Anzahl der) Stellen (gez�hlt mit Richtung) zu finden,
an denen das Bild Deines Integrationsintervalls unter f den
Verzweigungsschnitt �berquert (das ist �quivalent dazu, den Pfad sauber
auf einer Hyperfl�che zu verfolgen, kommt mir nur irgendwie leichter
verst�ndlich vor). Was wieder nichts wirklich Anderes ist als die
Windungszahl um den Nullpunkt zu bestimmen, wenn Dein Integrationspfad
geschlossen ist. Hm, irgendwie habe ich das Gef�hl, bei dem Ansatz drehe
ich mich im Kreis (pun intended).

--
Ach Mist, schon wieder eine Frage, die das Gesetz beantwortet ...
(Thomas H�hn)

[Jan Fricke]

On 01/17/2013 05:15 PM, Christopher Creutzig wrote:
> On 1/17/13 1:43 PM, Jan Fricke wrote:
>> On 01/16/2013 07:45 PM, Christopher Creutzig wrote:
>>> On 1/11/13 8:02 PM, Jan Fricke wrote:
>>>

>>>> Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral über f'/f

>>>> bestimmt, ich möchte aber eine algebraische Lösung; z.B. so etwas wie

>>>> den Sturmschen Satz zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.
>>>
>>> Das Integral sollte sich doch algebraisch relativ problemlos bestimmen
>>> lassen.
>>

>> Das wäre mir neu. Um das Integral algebraisch zu bestimmen zu bestimmen
>> muss man die Nullstellen kennen. Dann wäre ich aber schon fertig.
>
> Nicht alle. Du musst zunächst einmal wissen, ob es Nullstellen entlang

> Deines Integrationspfades gibt, bspw. also auf dem Einheitskreis.

Das ist kein Problem: Ob 1 oder -1 eine Nullstelle ist, ist leicht
festzustellen. Gibt es eine nicht-reelle Nullstelle z des irreduziblen
Polynoms f mit Betrag 1, so ist f symmetrisch. In diesem Falle ersetzt
man z durch (z-i)/(z+i) und bestimmt davon die Anzahl der reellen
Nullstellen (Sturmsche Kette). Alles Algebra. :)

Ich vergaß zu erwähnen, dass ich voraussetzen kann, dass es keine
Nullstellen mit Betrag 1 gibt.


> Dann
> ist der nächste Schritt das unbestimmte Integral:
>
> Zunächst einmal kannst Du jede rationale Funktion integrieren, wenn Du
> symbolische Summen über Nullstellen von Polynomen akzeptierst.

>
> Hier ist das Ganze noch einmal deutlich einfacher, denn ln(f) ist eine
> Stammfunktion von f'/f.
>

> Also lässt sich das Problem darauf transformieren, für irgendeine(!)

> Wahl eines Verzweigungsschnitts des Logarithmus (Weg von 0 ins

> Unendliche) die (Anzahl der) Stellen (gezählt mit Richtung) zu finden,

> an denen das Bild Deines Integrationsintervalls unter f den

> Verzweigungsschnitt überquert (das ist äquivalent dazu, den Pfad sauber
> auf einer Hyperfläche zu verfolgen, kommt mir nur irgendwie leichter
> verständlich vor). Was wieder nichts wirklich Anderes ist als die

> Windungszahl um den Nullpunkt zu bestimmen, wenn Dein Integrationspfad

> geschlossen ist. Hm, irgendwie habe ich das Gefühl, bei dem Ansatz drehe

> ich mich im Kreis (pun intended).

Ja, das fürchte ich auch. :(



Viele Grüße Jan

[Jan Fricke]

On 01/11/2013 08:02 PM, Jan Fricke wrote:
> Hallo,

> wie kann man die Anzahl der Nullstellen mit positivem Imagin�rteil eines

> komplexen Polynoms bestimmen?
>
> Das Problem ist gleichwertig dazu, die Anzahl der Nullstellen im
> Einheitskreis zu bestimmen.
>

> Numerisch geht das recht einfach, in dem man das Integral �ber f'/f

> bestimmt, ich m�chte aber eine algebraische L�sung; z.B. so etwas wie

> den Sturmschen Satz zur Bestimmung der Anzahl der reellen Nullstellen.
>
>

> Viele Gr��e Jan

Nur kurz ein paar Worte zum Hintergrund: Ich will Pisot-Zahlen
identifizieren, das sind algebraische Zahlen z mit z>1, deren
Konjugierte allesamt innerhalb der Einheitskreises liegen.


Viele Gr��e Jan