Am 14.06.2021 um 21:49 schrieb Michael Koch:
> Gegeben ist ein Rechteck mit Länge L und Breite B, und außerdem zwei parallele Geraden mit Abstand A. Jede der Geraden läuft durch einen Eckpunkt des Rechtecks, siehe Skizze:
>
https://www.directupload.net/file/d/6214/72rspq85_jpg.htm
>
> Gesucht ist der Winkel alpha. Gibt es eine geschlossene Lösung? Ich habe bislang noch keine gefunden.
>
> Die Aufgabe hat eine praktische Anwendung: Ich habe ein Vierkantrohr mit Länge L und Kantenlänge B, das in einen Zwischenraum der Breite A eingeschweisst werden muss. Unter welchem Winkel alpha muss ich die beiden Enden absägen?
Da es sich um eine praktische Aufgabe handelt, genügen Dir sicher ein
paar Gleichungen, aus denen Du alpha genügend genau berechnen kannst.
Den Lösungsweg hast Du bereits vorgezeichnet mit den beiden
rechtwinkligen Dreiecken, in die Du den Winkel alpha eingezeichnet hast.
In dem einen ist A die An-Kathete, und es ist nützlich, die Hypotenuse
zu benennen. Ich nenne sie Q und habe dann schon mal cos(alpha) = A/Q
oder alpha = arccos(A/Q). (Natürlich ist Q < L, das brauche ich unten.)
In dem anderen rechtwinkligen Dreieck ist mir die Hypotenuse egal, aber
ich sehe B als An-Kathete und L-Q als Gegenkathete. Daraus sieht man
tan(alpha) = (L-Q)/B. Basiswissen tan = sin/cos, tan^2 = sin^2/cos^2 und
sin^2 = 1 - cos^2 hilft, um zu sehen: tan^2 = 1/cos^2 - 1.
Wir haben oben sowohl tan(alpha) als auch cos(alpha) durch Q
ausgedrückt, können also sofort einsetzen und erhalten:
((L-Q)/B)^2 = Q^2/A^2 - 1 (*)
Für jede Kombination A, B, L berechnet man daraus näherungsweise Q und
hat dann alpha = arccos(A/Q).
Ich habe mir eine Skizze gemacht mit Spaß-Werten A=4, B=3 und L=5, und
habe aus der Skizze Winkel alpha in der Nähe von 15 Grad geschätzt.
Bevor ich hier poste, wollte ich sicher gehen, dass die Rechnung zur
Schätzung passt. Hat sogar supergut gepasst (blindes Huhn usw.)!
Maple bietet als Lösung für (*):
A := 4.; B := 3.; L := 5.; fsolve((L-Q)^2/B^2 = Q^2/A^2 - 1,Q);
diese beiden Werte an:
Q = 4.155473108 und Q = 18.70166975.
Von den zwei Werten, die ich mir durchs Quadrieren eingehandelt habe,
kann nur der Wert Q < L sinnvoll sein (s.o.). Also ist Q = 4.155473108,
und der Winkel alpha springt heraus:
Q := 4.155473108; alpha_grad := evalf(arccos(A/Q)*180/Pi);
und es ergibt sich alpha = 15.72 Grad.
Der Rechenweg sollte Dir helfen, und ich rechne auch gerne noch einmal,
wenn Du mir Deine Werte A, B und L nennst.
Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de