(harmonische) Reihe
Richard Kemps
Also ich bin jetzt bei den Grenzwerten von Reihen.
Was mir nicht ganz in den Kopf will, ist die Tatsache, dass die
harmonische Reihe Sum(1/k) divergent ist, aber die Reihen Sum(1/k²),
Sum(1/k³)... konvergent sind.
Ich meine, der Unterschied zwischen Sum(1/k²) und der harmonischen
Reihe ist doch lediglich der, das bei Erstgenanntem die einzelnen
Glieder schneller "klein werden", oder?
Das würde doch bedeuten, das auch Sum(1/k²) unendlich groß wird, nur
sehr viel langsamer als die harmonische Reihe?
Danke & Gruß
Denis
Denis Engelhardt
nicht von meinem Kommolitonen Richard, der wohl wieder mal vergessen
den Newsreader zurückzustellen...
Peter Niessen
"Richard Kemps" <rich...@web.de> schrieb
Hallo Richard!
Das hat mich früher auch immer in erstaunen versetzt!
Schon die alternierende "harmonische reihe" ist ja konvergent.
Aber bei irgend einem Exponenten hier x^1 ist nun mal Schluss mit Konvergenz
Der Beweis ist einfach. Steht in jeder Formelsammlung und abtippen mag ich nicht :-)
Und was noch viel verblüffender ist:
Streiche alle Glieder die keine Primzahlen als Teiler haben.
Die Reihe ist immer noch divergent!
Aber der Beweis ist schon recht schwierig.
mfg peter
Panagiotis Konstantis
> Was mir nicht ganz in den Kopf will, ist die Tatsache, dass die
> harmonische Reihe Sum(1/k) divergent ist, aber die Reihen Sum(1/k²),
> Sum(1/k³)... konvergent sind.
[...]
> Das würde doch bedeuten, das auch Sum(1/k²) unendlich groß wird, nur
> sehr viel langsamer als die harmonische Reihe?
Dieses Bild ist hier nicht gut für Grenzwertbetrachtungen von Reihen. Was du
bei einer Reihe hast, ist ja nichts anderes als eine Folge von
Partialsummen! Und wie man weiss, konvergieren Folgen. Die Partialsummen für
Sum(1/k^2) besitzen nunmal i.a. andere Werte, als die für Sum(1/k), sprich :
du hast es hier mit einer anderen Folge zu tun.
(Ferner kann man (salop) sagen, dass wegen dem 1/k^2 sich die Partialsummen
für große k nicht viel verändert im Gegensatz zu 1/k).
HTH
Panagiotis
Andreas Hoffmann
> Also ich bin jetzt bei den Grenzwerten von Reihen.
> Was mir nicht ganz in den Kopf will, ist die Tatsache, dass die
> harmonische Reihe Sum(1/k) divergent ist, aber die Reihen Sum(1/k²),
> Sum(1/k³)... konvergent sind.
Im Grunde streichst Du ja unendlich viele Elemente aus einer unendlich
langen Reihe.
Und da kann halt einfach alles bei rauskommen.
Von einem konstanten Grenzwert wie bei 1/k^2 bis zu unendlich wie bei dem
Beispiel mit den Primzahlen von Peter Niessen.
Andreas
Peter Niessen
"Andreas Hoffmann" <ho...@alpenjodel.de> schrieb
>
> > Also ich bin jetzt bei den Grenzwerten von Reihen.
> > Was mir nicht ganz in den Kopf will, ist die Tatsache, dass die
> > harmonische Reihe Sum(1/k) divergent ist, aber die Reihen Sum(1/k²),
> > Sum(1/k³)... konvergent sind.
>
> Im Grunde streichst Du ja unendlich viele Elemente aus einer unendlich
> langen Reihe.
Klar aber so einfach ist das nicht!
Obwohl ich denke Du meinst das richtige.
Streiche mal aus der konvergierenden "alternierenden harmonischen Reihe"
(Ist das eigentlich der richtige Name für diese Reihe?)
alle Glieder mit negativen Vorzeichen, ist das konvergierend?
> Und da kann halt einfach alles bei rauskommen.
> Von einem konstanten Grenzwert wie bei 1/k^2 bis zu unendlich wie bei dem
> Beispiel mit den Primzahlen von Peter Niessen.
>
> Andreas
mfg peter
Rainer Rosenthal
Richard Kemps
> Ich meine, der Unterschied zwischen Sum(1/k²) und der harmonischen
> Reihe ist doch lediglich der, das bei Erstgenanntem die einzelnen
> Glieder schneller "klein werden", oder?
"lediglich" ist gut :-)
Das Nette beim Lernen der Grenzwertbetrachtungen ist,
dass man hinterher mehr weiss als man vorher überhaupt
hätte fragen können.
Viel Entdeckerfreude weiterhin bei diesem interessanten Thema.
Übrigens ist einer der üblichen Beweise für die Divergenz der
folgender. Die harmonische Reihe hat ja die Teilsummen
H_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n
und es gilt zu zeigen, dass es zu jeder Schranke K einen Wert n
gibt derart, dass H_n > K.
Es ist nun hilfreich, sich spezielle H_n anzuschauen:
H_1 = 1 > 1/2
H_2 = H_1 + 1/2 > 1/2 + 1/2 = 2*1/2
H_4 = H_2 + 1/3 + 1/4 > 2*1/2 + 2*1/4 = 3*1/2
H_8 = H_4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 3*1/2 + 4*1/8 = 4*1/2
usw.
H_(2*z) = H_z + 1/(z+1) + ... + 1/(z+z) > H_z + z*1/(2z) = H_z+1/2
Mit jeder Verdoppelung im Index bekommt man also mindestens 1/2
mehr in der Summe. Bei vorgegebener Schranke K muss man also nur
abschätzen, wieviele 1/2 man braucht, um sie sicher zu überschreiten.
Mit 2*K vielen Portionen der Grösse 1/2 schafft man das: 2K*1/2=K.
Die obige Rechnung zeigt, dass bei Index n=8=2^3 schon H_n > 4*1/2 ist
und allgemein (Induktion!) H_n > (t+1)*1/2 für n = 2^t.
Wählen wir jetzt t = 2K, so gilt für n=2^t H_n > (2K+1)*1/2 > K.
Das war jetzt klitzeklein durchgerechnet. Die pfiffige Idee steckt aber
in der grosszügigen Wegschmeisserei, die aus
1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16
kurzerhand den wesentlich kleineren Wert 8*1/16 = 1/2 macht. Da wird
zwar viel verschenkt, es bleibt aber was Übersichtliches übrig, nämlich
immer und immer wieder der feste Wert 1/2. Und genügend viele davon
überwinden jede Schranke. (Darauf reimt sich: Danke.)
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hendrik van Hees
Das Integralkriterium zeigt, daß die Reihe
\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^x
für x>1 konvergiert, für x<=1 jedoch divergiert.
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße 25
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Horst Kraemer
wrote:
> Also ich bin jetzt bei den Grenzwerten von Reihen.
> Was mir nicht ganz in den Kopf will, ist die Tatsache, dass die
> harmonische Reihe Sum(1/k) divergent ist, aber die Reihen Sum(1/k²),
> Sum(1/k³)... konvergent sind.
Und das Schlimme ist, dass Dir niemand erklaeren kann, warum das so
ist. Man kann nur beweisen, dass es so ist ;-)
Dies haengt unmittelbar mit der Tatsache zusammen, dass die Flaeche
unter der Kurve
f(t) = 1/t
zwischen t=1 und t=x [F(x) = log(x)] fuer x->oo gegen oo strebt,
waehrend die Flaeche unter der Kurve
f(t) = 1/t^n ( n>1 )
zwischen t=1 und t=x [F(x)=(1-1/x^(n-1))/(n-1)] fuer x->oo gegen
1/(n-1) konvergiert...
MfG
Horst
Andreas Hoffmann
Ich denke, es ist so einfach:
Wenn ich unendlich viele Elemente abziehe, kann alles passieren.
Dein Beispiel untermauert das ja nur.
Da habe ich erst null und dann ziehe ich minus unendlich davon ab. Aber das
da dann plus unendlich rauskommt, sollte doch klar sein, oder?
Andreas
Rainer Rosenthal
Horst Kraemer wrote
> Und das Schlimme ist, dass Dir niemand erklaeren kann,
> warum das so ist. Man kann nur beweisen, dass es so ist ;-)
>
Trotz Smiley eine kleine Erwiderung:
Ein Beweis *ist* eine Erklärung für den, der ihn
verstehen kann. Einen Beweis, den niemand verstehen
kann, gibt es nicht, denn er wäre dann keiner.
Die geometrischen Begründungen in allen Ehren, aber
die darauf fussenden Beweise sind ja nur *eine*
Möglichkeit, die Divergenz zu erkären ;-)
Der von mir erläuterte Standardbeweis, der in pfiffiger
Weise fast alles wegschmeisst und trotzdem stets eine
feste Portion übrig behält, ist eine andere Erklärung
und zugleich ein anderer Beweis.
Und soweit ich weiss, gibt es da noch einen wunderschönen
anderen Beweis. Habe ich vor einem halben Jahr oder so
in sci.math gelesen. Mal suchen ...
Guten Rutsch
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Martin Fuchs
> Wenn ich unendlich viele Elemente abziehe, kann alles passieren.
> Dein Beispiel untermauert das ja nur.
> Da habe ich erst null und dann ziehe ich minus unendlich davon ab.
Was meinst Du mit "Da habe ich erst null" ?
Die alternierende harmonische Reihe hat den Grenzwert log 2.
Lukas-Fabian Moser
On Mon, 30 Dec 2002 08:52:20 +0100, "Rainer Rosenthal"
<r.ros...@web.de> wrote:
>Ein Beweis *ist* eine Erklärung für den, der ihn
>verstehen kann. Einen Beweis, den niemand verstehen
>kann, gibt es nicht, denn er wäre dann keiner.
Da wage ich vorsichtig zu widersprechen: meiner Meinung gibt es schon
einen gewissen Unterschied, ob ich einen Sachverhalt beweisen kann,
oder ob er mir intuitiv und anschaulich klargeworden ist. Ich
behaupte, daß letzteres ebensosehr zum mathematischen Verständnis
eines Problems gehört wie der konkrete saubere Beweis.
Allerdings ist wohl die Frage, ob es für abstraktere mathematische
Aussagen überhaupt möglich ist, ein so starkes intuitives Verständnis
zu bekommen, daß einem manche Sachverhalte wirklich unmittelbar klar
werden - denn wie lautet noch das Zitat, das hier öfters bei jemand in
der Signatur vorkommt, nach dem man die Mathematik nicht verstehen,
sondern sich nur an sie gewöhnen könne?
Grüße, Lukas
Andreas Hoffmann
> Was meinst Du mit "Da habe ich erst null" ?
> Die alternierende harmonische Reihe hat den Grenzwert log 2.
Stimmt, ist mir erst im Bett eingefallen. Ändert aber eigentlich nichts an
der Argumentation.
Andreas
Horst Kraemer
<r.ros...@web.de> wrote:
>
> Horst Kraemer wrote
>
> > Und das Schlimme ist, dass Dir niemand erklaeren kann,
> > warum das so ist. Man kann nur beweisen, dass es so ist ;-)
> >
>
> Trotz Smiley eine kleine Erwiderung:
> Ein Beweis *ist* eine Erklärung für den, der ihn
> verstehen kann. Einen Beweis, den niemand verstehen
> kann, gibt es nicht, denn er wäre dann keiner.
Das ist ja nicht das Problem. Das Problem, das sich vielen Lernenden
(zu denen ich mich auch lebenslang zaehle) zuweilen auftut, ist das,
dass sie einem Beweis zwar in allen Einzelheiten folgen koennen - ihn
also im besten Sinne "verstehen" - aber trotzdem nicht "glauben
koennen", was sie verstanden haben...
MfG
Horst
Rainer Rosenthal
Horst Kraemer wrote
>
> Das ist ja nicht das Problem. Das Problem, das sich vielen Lernenden
> (zu denen ich mich auch lebenslang zaehle) zuweilen auftut, ist das,
> dass sie einem Beweis zwar in allen Einzelheiten folgen koennen - ihn
> also im besten Sinne "verstehen" - aber trotzdem nicht "glauben
> koennen", was sie verstanden haben...
>
Verstanden! Völlige Zustimmung meinerseits. Und da greift dann das,
was Lukas bemerkt hat: es braucht noch die Gewöhnung.
Das sollte ja auch kein Flame-war mit "ich habe mehr recht" werden,
sondern ich meinte, etwas einwerfen zu müssen. Schön, dass ich nun
den Original-Text besser verstanden habe.
Friede, Freude und Eierkuchen für das Neue Jahr 2003 wünscht
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hermann Kremer
>"Andreas Hoffmann" <ho...@alpenjodel.de> schrieb
>>
>> > Also ich bin jetzt bei den Grenzwerten von Reihen.
>> > Was mir nicht ganz in den Kopf will, ist die Tatsache, dass die
>> > harmonische Reihe Sum(1/k) divergent ist, aber die Reihen Sum(1/k²),
>> > Sum(1/k³)... konvergent sind.
>>
>> Im Grunde streichst Du ja unendlich viele Elemente aus einer unendlich
>> langen Reihe.
>
>Klar aber so einfach ist das nicht!
>Obwohl ich denke Du meinst das richtige.
Der Vollständigkeit halber: Reihen, in denen auf systematische Weise Glieder
gestrichen sind, heißen auch "lückenhafte" oder "lakunäre" (lacunary) Reihen ...
>Streiche mal aus der konvergierenden "alternierenden harmonischen Reihe"
>(Ist das eigentlich der richtige Name für diese Reihe?)
Hmm, ich glaube schon; ich erinnere mich jedenfalls an keinen anderen Namen:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + - .... = ln(2)
>alle Glieder mit negativen Vorzeichen, ist das konvergierend?
... oder alle Glieder mit positivem Vorzeichen ...
>> Und da kann halt einfach alles bei rauskommen.
>> Von einem konstanten Grenzwert wie bei 1/k^2 bis zu unendlich wie bei dem
>> Beispiel mit den Primzahlen von Peter Niessen.
Noch was zur Reihe mit den Primzahl-Kehrwerten: Wenn man statt /aller/
Primzahlen nur die Zwillings-Primzahlen nimmt, so konvergiert die Reihe gegen
die sog. Brun'sche Konstante:
http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
Grüße
Hermann
--
>>
>> Andreas
>
>mfg peter
>
Oscar Jacob
> Peter Niessen schrieb in Nachricht ...
>>Streiche mal aus der konvergierenden "alternierenden harmonischen Reihe"
>>(Ist das eigentlich der richtige Name für diese Reihe?)
>
> Hmm, ich glaube schon; ich erinnere mich jedenfalls an keinen anderen
> Namen:
>
> 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + - .... = ln(2)
>
Wenn ich mich recht erinnere, haben wir diese Reihe als Leibnizreihe
bezeichnet.
oj
Peter Niessen
"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb
> Noch was zur Reihe mit den Primzahl-Kehrwerten: Wenn man statt /aller/
> Primzahlen nur die Zwillings-Primzahlen nimmt, so konvergiert die Reihe gegen
> die sog. Brun'sche Konstante:
> http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
>
> Grüße
> Hermann
Falls ich mich bei meinen bescheidenen Sprachkenntnissen verlesen habe:
Das ist nur eine Vermutung oder?
Aber faszinierend allemal!
Leider überschreitet das meine Mathe-Kenntnisse locker :-(
Um bei meinem Ursprungsbeispiel zu bleiben:
Was darf (muss) man mindestens in der Reihe streichen damit sie konvergent
wird? Eine sinnvolle Regel wie Primzwillinge sei vorausgesetzt.
Primzahlen ergeben ja noch keine Konvergenz.
Und noch eine Frage:
Ogilvy, Shanks et al haben mal erwähnt, das es angesichts der Kettenbruchentwicklung
von transzendenten Zahlen wie pi oder e interessant sei eine Theorie der "Tiefe"
von Zahlen zu entwickeln. Ist das mal weiterverfolgt worden?
Geht das überhaupt?
Ansonsten ein gutes neues Jahr
peter
Thomas Nordhaus
<peter_...@t-online.de> wrote:
>
>"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb
>
>> Noch was zur Reihe mit den Primzahl-Kehrwerten: Wenn man statt /aller/
>> Primzahlen nur die Zwillings-Primzahlen nimmt, so konvergiert die Reihe gegen
>> die sog. Brun'sche Konstante:
>> http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
>>
>> Grüße
>> Hermann
>
>Falls ich mich bei meinen bescheidenen Sprachkenntnissen verlesen habe:
>Das ist nur eine Vermutung oder?
Nein! Konvergenz bewiesen von Brun 1919. Aber der Artikel ist etwas
mißverständlich. ("The *constant* converges...). Die
Hardy-Littlewood-Vermutung wird wahrscheinlich nur verwendet um den
Rest-Term abzuschätzen. Aus dem Artikel wird nicht ganz klar, ob die
Abschätzungen bewiesen sind, oder auf Vermutungen aufbauen.
Thomas
Hermann Kremer
>On Tue, 31 Dec 2002 15:16:53 +0100, "Peter Niessen" wrote:
>>"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb
>>
>>> Noch was zur Reihe mit den Primzahl-Kehrwerten: Wenn man statt /aller/
>>> Primzahlen nur die Zwillings-Primzahlen nimmt, so konvergiert die Reihe gegen
>>> die sog. Brun'sche Konstante:
>>> http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
>>>
>>
>>Das ist nur eine Vermutung oder?
>
>Nein! Konvergenz bewiesen von Brun 1919. Aber der Artikel ist etwas
>mißverständlich. ("The *constant* converges...).
Yep, E-Mail an Eric Weisstein ist schon unterwegs ...
>Die Hardy-Littlewood-Vermutung wird wahrscheinlich nur verwendet,
>um den Rest-Term abzuschätzen. Aus dem Artikel wird nicht ganz klar, ob
>die Abschätzungen bewiesen sind, oder auf Vermutungen aufbauen.
Die scheinen bewiesen zu sein.
Mehr darüber ist in
http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/brun/brun.html
zu finden, aber leider ist diese Seite momentan kaputt ;-((
Numerische Ergebnisse findet man auf der Seite von Thomas R. Nicely (das
ist derjenige, der bei diesen Rechnungen 1994 den berühmt-berüchtigten
FDIV-Fehler in der INTEL-Pentium-CPU entdeckt hat ...)
http://www.trnicely.net/index.html
und speziell zur Brun'schen Konstanten:
http://www.trnicely.net/twins/twins.html
http://www.trnicely.net/twins/twins4.html
Grüße
Hermann
--
>Thomas
Hermann Kremer
Hallo Oscar,
G. W. Leibniz hat diese Reihe wohl untersucht, aber als Leibniz'sche Reihe
kenne ich die arctan-Reihe
arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - + ... für |x| <= 1 .
Grüße
Hermann
--
>oj
Hermann Kremer
>Thomas Nordhaus schrieb in Nachricht <48b31vgopc7p8hp25...@4ax.com>...
>>On Tue, 31 Dec 2002 15:16:53 +0100, "Peter Niessen" wrote:
>>>"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb
>>>
>>>> Noch was zur Reihe mit den Primzahl-Kehrwerten: Wenn man statt /aller/
>>>> Primzahlen nur die Zwillings-Primzahlen nimmt, so konvergiert die Reihe gegen
>>>> die sog. Brun'sche Konstante:
>>>> http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
>Numerische Ergebnisse findet man auf der Seite von Thomas R. Nicely (das
>ist derjenige, der bei diesen Rechnungen 1994 den berühmt-berüchtigten
>FDIV-Fehler in der INTEL-Pentium-CPU entdeckt hat ...)
>http://www.trnicely.net/index.html
>und speziell zur Brun'schen Konstanten:
>http://www.trnicely.net/twins/twins.html
>http://www.trnicely.net/twins/twins4.html
... und noch ein Link dazu:
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html
Grüße
Hermann
--
Oscar Jacob
>>>
>>> 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + - .... = ln(2) :=L
>>>
>>
>>Wenn ich mich recht erinnere, haben wir diese Reihe als Leibnizreihe
>>bezeichnet.
>
>
> Hallo Oscar,
> G. W. Leibniz hat diese Reihe wohl untersucht, aber als Leibniz'sche
> Reihe
> kenne ich die arctan-Reihe
>
> arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - + ... für |x| <= 1 .
>
Hallo Herrmann,
also ich hab nochmal nachgeuckt. Wir haben L tatsächlich Leibnizreihe
genannt. Ich gebe aber zu, dass man beim Googeln von "Leibniz series"
meistens die arctan-Reihe findet. Vermutlich haben wir L deshalb so
genannt, weil es die einfachste alternierende Reihe ist mit Gliedern, die
eine Nullfolge bilden, also die einfachste Reihe, die nach dem
Lebnizkriterium konvergiert. (Auf Diskussionen zur Mathematikgeschichte
sollte man sich mit Dir besser nicht einlassen ;)
Gruß
oj
Hermann Kremer
>
>>>>
>>>> 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + - .... = ln(2) :=L
>>>>
>>>
>>>Wenn ich mich recht erinnere, haben wir diese Reihe als Leibnizreihe
>>>bezeichnet.
>>
>>
>> Hallo Oscar,
>> G. W. Leibniz hat diese Reihe wohl untersucht, aber als Leibniz'sche
>> Reihe kenne ich die arctan-Reihe
>>
>> arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - + ... für |x| <= 1 .
>>
>
>
>also ich hab nochmal nachgeuckt. Wir haben L tatsächlich Leibnizreihe
>genannt. Ich gebe aber zu, dass man beim Googeln von "Leibniz series"
>meistens die arctan-Reihe findet. Vermutlich haben wir L deshalb so
>genannt, weil es die einfachste alternierende Reihe ist mit Gliedern, die
>eine Nullfolge bilden, also die einfachste Reihe, die nach dem
Hmm, als Beispiel für das Leibniz-Kriterium, das würde Sinn machen ...
>(Auf Diskussionen zur Mathematikgeschichte
> sollte man sich mit Dir besser nicht einlassen ;)
LOL ...
Jetzt möchte ich aber doch noch eine Jugendsünde von G. W. Leibniz
erwähnen, die er bei seinem ersten Aufenthalt in Paris von 1672 bis 1676
als diplomatischer Vertreter des Kurfürsten von Mainz (Leibniz war ja
gelernter Jurist ;-) am Hof des Sonnenkönigs Ludwig XIV. beging und die
ganz gut in einen Thread über die harmonische Reihe paßt, deren Divergenz
übrigens bereits um 1350 von Nicole d'Oresme bewiesen worden war.
Damals war es üblich, daß Mathematiker öffentlich Aufgaben stellten, die
in den Salons der besseren Gesellschaft eifrig diskutiert wurden und die
jedermann bearbeiten und in öffentlichen Veranstaltungen am königlichen
Hof dann vortragen konnte. Leibniz beteiligte sich daran und bearbeitete u.a.
das Problem, die unendliche Reihe der reziproken Dreieckszahlen, d.h. die
Reihe
S = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + ... + 2/(k*(k+1)) + ...
zu summieren. Seine Lösung, die er 1672 vortrug, sah dabei folgendermaßen
aus:
S/2 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ...
H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
-----------------------------------------------------------------
S/2+H = 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = H + 1
also S/2 = 1 und damit S = 2 ... Quod erat faciendum ... Merci bien ...
*** Rauschender Beifall der Anwesenden ***
Allerdings wurde er kurz darauf (entweder noch in Paris von Christian
Huyghens oder 1673 bei einem Abstecher nach London dort von John
Pell) diskret darauf hingewiesen, daß das Ergebnis zwar stimmt, daß
aber die Verwendung einer divergenten Reihe bei einem Beweis doch
nicht so ganz die feine Art sei, worauf er dann noch einen sauberen
Beweis nachlieferte:
S -1 = Sum{k=1,...} 2/( k*(k+1) ) =
= Sum{k=1,...} [ 2/( 2k*(2k+1) ) + 2/( (2k+1)*(2k+2) ) ] =
= Sum{k=1,...} 1/( k*(k+1) ) =
= S/2.
S = 2 . QED
[Aus der Leibniz-Biographie von Hans Wussing]
Grüße
Hermann
--
>
>Gruß
>oj
>