Grenzwertbestimmung auf Abwegen

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Brigitta Jennen

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Oct 30, 2021, 9:57:15 AMOct 30
to
Hallo,
eine uralte Prüfungsaufgabe aus dem Jahr 1975 lautet:

Bestimmen Sie den Grenzwert des folgenden Ausdrucks

lim(für n -> oo) von nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)/(7^n)]

wobei nte_Wurzel(Term) bedeuten soll Term^(1/n)

Ein ziemliches Ungetüm, das man etwas vereinfachen kann, indem man aus
dem Nenner die siebte Wurzel zunächst vorzieht:

1/7 * lim(für n -> oo) von {nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)] bzw.
1/7 * lim(für n -> oo) von [(n^2 + 3^n)]^(1/n)}

Eine Betrachtung des Graphen (Wolfram alpha) zeigt, dass das Ding
für n -> oo wohl gegen Null strebt?

Eine unerlaubte "Grenzüberschreitung", formuliert von einer Theologiestudentin, lautet folgendermaßen:

Betrachte den Term: (n^2 + 3^n), erweitere ihn mit n/n, und stelle um:

n/n * (n^2 + 3^n) = 1/n * (n^2 + 3^n) * n

Für n -> oo strebt 1/n gegen Null und der Ausdruck unter der Wurzel
wird 0 :-))

(Auf diese Weise könnte ich auch zeigen, dass n^2 für n -> oo gegen Null strebt)

Ich hab dazu zwei Fragen:
(1) Wie muss ich mathematisch exakt argumentieren, um den Weg über die
Erweiterung mit n/n und dann den Grenzübergang mit 1/n zu widerlegen?
Klar ist das Beispiel mit n^2 ein Gegenbeispiel, aber geht das auch in der
Argumentation besser bzw. differenzierter?

(2) Wie kann ich den oben angegebenen Grenzwert korrekt bestimmen?
Ich seh keine weitere Umformung des Terms (n^2 + 3^n).
Mir fällt lediglich die Argumentation ein, dass 3^n (Exponentialausdruck)
schneller wächst als n^2 und die n-te Wurzel das Ding dann wieder drückt.

Aber das ist subjektiv-qualitativ und nicht mathematisch.

Danke und Grüße
Brigitta

Alfred Flaßhaar

unread,
Oct 30, 2021, 10:45:56 AMOct 30
to
Am 30.10.2021 um 15:57 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Bestimmen Sie den Grenzwert des folgenden Ausdrucks
>
(...)
>
> Eine Betrachtung des Graphen (Wolfram alpha) zeigt, dass das Ding
> für n -> oo wohl gegen Null strebt?
>
(...)

Nein, gegen 3/7. Wäre interessant zu erfahren, was für eine Prüfung das
war - Abitur? Die Lösung ist auf den ersten Blick recht schreibintensiv
und Potenz- sowie Grenzwertregeln sind gründlich zu massieren. Einen
Trick habe ich auf die Schnelle nicht gefunden.

Gruß, Alfred Flaßhaar

Hans Crauel

unread,
Oct 30, 2021, 11:19:57 AMOct 30
to
Brigitta Jennen schrieb

> eine uralte Prüfungsaufgabe aus dem Jahr 1975 lautet:
>
> Bestimmen Sie den Grenzwert des folgenden Ausdrucks
>
> lim(für n -> oo) von nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)/(7^n)]
>
> wobei nte_Wurzel(Term) bedeuten soll Term^(1/n)

Wegen (n^2 + 3^n)/7^n = (3/7)^n * (n^2/3^n + 1) zieht man (3/7)^n
raus und benutzt dann 1 < n^2/3^n + 1 < 2 für große n sowie
Konvergenz von nte_Wurzel(c) gegen 1 für n gegen infty für jedes
c > 0, was man erforderlichenfalls noch mit einer Abschätzung

3/7 < nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)/7^n] < 3/7 nte_Wurzel(2)

formulieren kann.
Man braucht dazu Konvergenz von n^2/3^n gegen Null für n gegen
infty.

> Ein ziemliches Ungetüm, das man etwas vereinfachen kann, indem man aus
> dem Nenner die siebte Wurzel zunächst vorzieht:
>
> 1/7 * lim(für n -> oo) von {nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)] bzw.
> 1/7 * lim(für n -> oo) von [(n^2 + 3^n)]^(1/n)}

Das macht es eher komplizierter.

> Eine unerlaubte "Grenzüberschreitung", formuliert von einer
> Theologiestudentin, lautet folgendermaßen:
>
> Betrachte den Term: (n^2 + 3^n), erweitere ihn mit n/n, und stelle um:
>
> n/n * (n^2 + 3^n) = 1/n * (n^2 + 3^n) * n
>
> Für n -> oo strebt 1/n gegen Null und der Ausdruck unter der Wurzel
> wird 0 :-))

Der Ausdruck unter der Wurzel "wird nicht Null".
Glaube mag Berge versetzen, Grenzwerte jedoch nicht.

> Ich hab dazu zwei Fragen:
> (1) Wie muss ich mathematisch exakt argumentieren, um den Weg über die
> Erweiterung mit n/n und dann den Grenzübergang mit 1/n zu widerlegen?
> Klar ist das Beispiel mit n^2 ein Gegenbeispiel, aber geht das auch in der
> Argumentation besser bzw. differenzierter?

Eben damit, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht Null wird.

> (2) Wie kann ich den oben angegebenen Grenzwert korrekt bestimmen?
> Ich seh keine weitere Umformung des Terms (n^2 + 3^n).
> Mir fällt lediglich die Argumentation ein, dass 3^n (Exponentialausdruck)
> schneller wächst als n^2 und die n-te Wurzel das Ding dann wieder drückt.

Das hängt davon ab, auf was man sich berufen kann. Wer Aufgaben mit
Grenzwerten n'ter Wurzeln stellt, muss vorher schon was dazu gemacht
haben. Und man braucht Kenntnis vom unterschiedlichen Wachstumsverhalten
von Potenzen versus Exponentialen.

Hans

Brigitta Jennen

unread,
Oct 30, 2021, 11:29:17 AMOct 30
to
Alfred Flaßhaar schrieb am Samstag, 30. Oktober 2021 um 16:45:56 UTC+2:

> Nein, gegen 3/7. Wäre interessant zu erfahren, was für eine Prüfung das
> war - Abitur?

Das war Mathematik-Vordiplom 1975 in Freiburg.

Vielen Dank für die Antworten.
Grüße B.

>

> Gruß, Alfred Flaßhaar

Brigitta Jennen

unread,
Oct 31, 2021, 6:11:14 AMOct 31
to
Hans Crauel schrieb am Samstag, 30. Oktober 2021 um 17:19:57 UTC+2:

> Wegen (n^2 + 3^n)/7^n = (3/7)^n * (n^2/3^n + 1) ...

Trotz langem Rumrechnen verstehe ich diese Umformung nicht ganz.
(Ich sehe, dass es (wieder einmal) unklug war, reflexartig dem bequemen
Schule-Mathe-Schema zu folgen und die 7^n gleich herauszuziehen.)

Wenn ich den obigen Ausdruck umforme, erhalte ich zunächst

(n^2 + 3^n)/7^n = n^2/7^n + 3^n/7^n = n^2/7^n + (3/7)^n

Jetzt taucht hier schon mal das (3/7) auf und ich erkenne, dass bei dem
ersten Term n^2/7^n der Nenner viel schneller gegen unendlich strebt als
der Zähler. Für n->oo geht n^2/7^n gegen Null. Übrig bleibt also die
nte Wurzel aus (3/7)^n, also 3/7.

Aber wie kommt man
von (n^2 + 3^n)/7^n
auf (3/7)^n * (n^2/3^n + 1) ? (Muss das n+1 nicht in Klammern stehen?)

Bin wohl etwas eingerostet. Aber ich sehe das nicht.
Wäre für einen kurzen Hinweis dankbar.

Grüße B.
>
> Hans

Carlos Naplos

unread,
Oct 31, 2021, 7:25:12 AMOct 31
to


Am 31.10.2021 um 11:11 schrieb Brigitta Jennen:
> Aber wie kommt man
> von (n^2 + 3^n)/7^n
> auf (3/7)^n * (n^2/3^n + 1) ? (Muss das n+1 nicht in Klammern stehen?)
nein

(3/7)^n * (n^2/3^n + 1)
wegen (3/7)^n = 3^n/7^n

= 3^n/7^n * (n^2/3^n + 1)
ausmultiplizieren

= 3^n/7^n * n^2/3^n + 3^n/7^n * 1
kürzen

= n^2/7^n + 3^n/7^n

Gruß CN

Alfred Flaßhaar

unread,
Oct 31, 2021, 9:06:04 AMOct 31
to
Am 30.10.2021 um 17:19 schrieb Hans Crauel:
> Brigitta Jennen schrieb
>
(...)

> Man braucht dazu Konvergenz von n^2/3^n gegen Null für n gegen
> infty.
>
(...)

Dazu wird {n^2/3^n} (n nat. zahl) aufgefaßt als Teilfolge von {x^2/3^x}
(x reelle Zahl) mit gleichem Grenzwert. Auf die Folgenglieder wird
zweimal die Krankenhausregel angewendet und es entsteht das Folgenglied
2/((ln3)^2)*3^x, dessen Limes für x--> oo offensichtlich ist.

Sontagsgruß, Alfred Flaßhaar

Carlo XYZ

unread,
Oct 31, 2021, 9:18:05 AMOct 31
to
Brigitta Jennen schrieb am 30.10.21 um 15:57:

> lim(für n -> oo) von nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)/(7^n)]

> (2) Wie kann ich den oben angegebenen Grenzwert korrekt bestimmen?
> Ich seh keine weitere Umformung des Terms (n^2 + 3^n).
> Mir fällt lediglich die Argumentation ein, dass 3^n (Exponentialausdruck)
> schneller wächst als n^2 und die n-te Wurzel das Ding dann wieder drückt.
>
> Aber das ist subjektiv-qualitativ und nicht mathematisch.

Nein, das lässt auch "mathematisch" fassen. Ich würde so
vorgehen (was wahrscheinlich auf das Gleiche rauskommt
wie das, was Hans Crauel schon vorgeschlagen hat):

(1) (3^n)/(7^n) < (n^2 + 3^n)/(7^n) für n=>1, und der
Grenzwert von ((3^n)/(7^n))^(1/n) für n -> unendlich ist 3/7.

(2) (n^2 + 3^n)/(7^n) < (K*(3^n))/(7^n) für
eine gewisse Konstante K und genügend großes n.
Es genügt z.B. K=2 und n schon ab 1. Der Grenzwert
von ((K*(3^n))/(7^n))^(1/n) für n -> unendlich
ist ebenfalls 3/7, da (lim n->unendlich K^(1/n)) = 1.

Die gegebene Folge dominiert einerseits eine Folge,
deren Grenzwert 3/7 ist (wegen (1)), und sie wird
andererseits dominiert von einer anderen Folge,
deren Grenzwert 3/7 ist (wegen (2)). Es bleibt ihr
nichts übrig, als auch den Grenzwert 3/7 zu haben.

Ich sollte noch die Sätze raussuchen, die es
mir erlauben, so zu argumentieren. Aber da
sich alles im Positiven abspielt, bin ich
relativ zuversichtlich. :-)

Brigitta Jennen

unread,
Oct 31, 2021, 10:09:12 AMOct 31
to
Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 31. Oktober 2021 um 14:18:05 UTC+1:

> Nein, das lässt auch "mathematisch" fassen. Ich würde so
> vorgehen (was wahrscheinlich auf das Gleiche rauskommt
> wie das, was Hans Crauel schon vorgeschlagen hat):
>
> (1) (3^n)/(7^n) < (n^2 + 3^n)/(7^n) für n=>1, und der
> Grenzwert von ((3^n)/(7^n))^(1/n) für n -> unendlich ist 3/7.

OK. Verstanden.

> (2) (n^2 + 3^n)/(7^n) < (K*(3^n))/(7^n) für
> eine gewisse Konstante K und genügend großes n.
> Es genügt z.B. K=2 und n schon ab 1. Der Grenzwert
> von ((K*(3^n))/(7^n))^(1/n) für n -> unendlich
> ist ebenfalls 3/7, da (lim n->unendlich K^(1/n)) = 1.

Das ist einleuchtend für mich. Prima dargestellt.

> Die gegebene Folge dominiert einerseits eine Folge,
> deren Grenzwert 3/7 ist (wegen (1)), und sie wird
> andererseits dominiert von einer anderen Folge,
> deren Grenzwert 3/7 ist (wegen (2)). Es bleibt ihr
> nichts übrig, als auch den Grenzwert 3/7 zu haben.

Quasi ein "Einzwängungssatz".

Wenn ich mir die o.a. Umformungen anschaue, genügt es doch eigentlich
zu zeigen, dass n^2 < 3^n ist. (Die Graphen oder das Einsetzen von
konkreten Werte zeigen das sofort, weil natürlich klar ist,
dass quadratisch < exponentiell ist). Bleibt jetzt eigentlich nur noch die
Frage offen, wie man auf strenge mathematische Weise zeigt,
dass (n^2 < 3^n) ist.
Und das geht glücklicherweise relativ einfach über vollständige Induktion.

Dank Eurer Hife viel gelernt!
Herzlichen Dank nochmals an alle.

Grüße B.

Alfred Flaßhaar

unread,
Oct 31, 2021, 10:16:35 AMOct 31
to
Am 31.10.2021 um 14:18 schrieb Carlo XYZ:
> Brigitta Jennen schrieb am 30.10.21 um 15:57:
>
(...)
>
> Ich sollte noch die Sätze raussuchen, die es
> mir erlauben, so zu argumentieren. Aber da
> sich alles im Positiven abspielt, bin ich
> relativ zuversichtlich. :-)

Zwischenruf von der hinteren Bank:

Als Majorantenkriterium oder Vergleichskriterium bekannt ist z. B. der
Satz (Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, S. 46 der 6.
Auflage), daß gleicher Grenzwert vorliegt, wenn die Folge der
Absolutbeträge aus den Differenzen der Folgenglieder zweier Folgen eine
Nullfolge bilden.

Etliche damit verwandte Sätze zur Majorisierung und Minorisierung gibt
es noch.

Gruß, Alfred Flaßhaar

Carlo XYZ

unread,
Oct 31, 2021, 10:34:02 AMOct 31
to
Brigitta Jennen schrieb am 31.10.21 um 15:09:

> Quasi ein "Einzwängungssatz".

Ich war schon immer ein Freund geschmackvoller Lingerie. :-)

> Wenn ich mir die o.a. Umformungen anschaue, genügt es doch eigentlich
> zu zeigen, dass n^2 < 3^n ist.

Ich sehe auf die Schnelle nicht, wie du um die
Konstante K herumkommst. Es sollte jedes K>1
genügen, man muss halt mit entsprechend groß
gewähltem n anfangen. Aber K=1 genügt, meine
ich, nicht. Hans Crauel hat K=2 gewählt, was
auch komplett sinnvoll ist.

Carlo XYZ

unread,
Oct 31, 2021, 10:39:42 AMOct 31
to
Alfred Flaßhaar schrieb am 31.10.21 um 15:16:

> Zwischenruf von der hinteren Bank:
>
> Als Majorantenkriterium oder Vergleichskriterium bekannt ist z. B. der
> Satz (Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, S. 46 der 6.
> Auflage), daß gleicher Grenzwert vorliegt, wenn die Folge der
> Absolutbeträge aus den Differenzen der Folgenglieder zweier Folgen eine
> Nullfolge bilden.

Man dankt :-)

> Etliche damit verwandte Sätze zur Majorisierung und Minorisierung gibt
> es noch.

Ja, ich dachte eher an sowas wie: wenn zwei
positive Folgen gliedweise <= sind, gilt das
Gleiche für ihre Grenzwerte (wobei man sogar
+unendlich zulassen können müsste).

Hans Crauel

unread,
Oct 31, 2021, 10:42:06 AMOct 31
to
Alfred Flaßhaar schrieb

> Am 30.10.2021 um 17:19 schrieb Hans Crauel:
>> Man braucht dazu Konvergenz von n^2/3^n gegen Null für n gegen
>> infty.

> Dazu wird {n^2/3^n} (n nat. zahl) aufgefaßt als Teilfolge von
> {x^2/3^x} (x reelle Zahl) mit gleichem Grenzwert.

Schon klar. Meine Aussage war auch nur darauf gerichtet, dass
man dies vorab wissen muss, damit das Argument vollständig und
die Aufgabe damit gelöst ist.

Tatsächlich genügt es bereits zu wissen, dass n^2/3^n beschränkt
ist. Konvergenz braucht das Argument nicht, geschweige denn
Konvergenz gegen Null.

> Auf die Folgenglieder wird zweimal die Krankenhausregel angewendet
> und es entsteht das Folgenglied 2/((ln3)^2)*3^x, dessen Limes
> für x--> oo offensichtlich ist.

Das setzt dann weitere Kenntnisse/Ergebnisse voraus - nämlich
die Krankenhausregel und dazu die Verifikation zweimaliger
Differenzierbarkeit sowie das der Voraussetzungen der Regel,
auch zweimal.

Diese Kenntnisse müssen noch nicht vorhanden sein, um die Aufgabe
zu lösen. Aulbach etwa gibt in "Analysis" einenf (recht umfassenden)
Vergleich der Wachstumsverhalten von Exponentialfunktionen versus
Polynomen versus Logarithmen in Abschnitt 3.4, Satz 3.4.14, während
Differentiation erst in Kapitel 4 erscheint.

Hans

Hans Crauel

unread,
Oct 31, 2021, 10:49:01 AMOct 31
to
Carlo XYZ schrieb

> [...] der Grenzwert von ((3^n)/(7^n))^(1/n) für
> n -> unendlich ist 3/7.

Und die Konvergenz ist zudem sehr sehr schnell.

Hans

Hans CraueI

unread,
Oct 31, 2021, 10:51:42 AMOct 31
to
Brigitta Jennen schrieb

> Wenn ich mir die o.a. Umformungen anschaue, genügt es doch
> eigentlich zu zeigen, dass n^2 < 3^n ist.

Gut gesehen. Ist auch gleichbedeutend mit n^2/3^n beschränkt.

Hans

Carlo XYZ

unread,
Oct 31, 2021, 11:15:40 AMOct 31
to
Hans Crauel schrieb am 31.10.21 um 15:48:
:-))

Mathematiker sind eben so faul, wie es nur geht ..

Carlo XYZ

unread,
Oct 31, 2021, 11:32:13 AMOct 31
to
Hans CraueI schrieb am 31.10.21 um 15:51:

> Brigitta Jennen schrieb
>
>> Wenn ich mir die o.a. Umformungen anschaue, genügt es doch
>> eigentlich zu zeigen, dass n^2 < 3^n ist.
>
> Gut gesehen.

Stimmt zwar, genügt aber nicht.

> Ist auch gleichbedeutend mit n^2/3^n beschränkt.

Zufällig. Bspws. ist (n^2+2)/3^n beschränkt,
obwohl nicht n^2+2 < 3^n für alle n.

Brigitta Jennen

unread,
Oct 31, 2021, 11:47:23 AMOct 31
to
Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 31. Oktober 2021 um 15:34:02 UTC+1:

> > Quasi ein "Einzwängungssatz".
>
> Ich war schon immer ein Freund geschmackvoller Lingerie. :-)

Findet sich als offizieller Terminus technicus in

Salas, Einar, Hille.
CALCULUS: Einführung in die Differential- und Integralrechnung.
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1990, S. 507 ff.

:-)

Carlo XYZ

unread,
Oct 31, 2021, 1:35:09 PMOct 31
to
Brigitta Jennen schrieb am 31.10.21 um 16:47:

> Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 31. Oktober 2021 um 15:34:02 UTC+1:
>
>>> Quasi ein "Einzwängungssatz".
>>
>> Ich war schon immer ein Freund geschmackvoller Lingerie. :-)
>
> Findet sich als offizieller Terminus technicus in ...

Genau! Danke für die Konzentrationshilfe:-)

Zum Beispiel auch noch auf Seite 63 in

<https://www.iag.uni-hannover.de/fileadmin/iag/homepages/ebeling/Skripten/MatheIngI.pdf>

Ich hab mal nach anderen Sprachen gegoogelt.
Auf Englisch heißt das squeeze theorem oder
auch sandwich theorem. Auf Italienisch Satz
der beiden Carabinieri. Da gefallen mir aber
Korsette oder Sandwiches besser :-)

<https://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem>

Hans Crauel

unread,
Oct 31, 2021, 5:28:38 PMOct 31
to
Carlo XYZ schrieb

> Hans Crauel schrieb
>> Brigitta Jennen schrieb
>>> Wenn ich mir die o.a. Umformungen anschaue, genügt es doch
>>> eigentlich zu zeigen, dass n^2 < 3^n ist.
>> Gut gesehen.
> Stimmt zwar, genügt aber nicht.
>
>> Ist auch gleichbedeutend mit n^2/3^n beschränkt.

Gleichbedeutend im Sinne von äquivalent ist es in der Tat nicht,
sondern nur in dem Sinn, dass die Beobachtung für das Argument
ausreicht.

> Zufällig. Bspws. ist (n^2+2)/3^n beschränkt,
> obwohl nicht n^2+2 < 3^n für alle n.

So ist es.
Tatsächlich könnte Brigitta nun auch eine etwas aufgebrezelte
Version der Aufgabe formulieren, in welcher man etwa anstelle
von n^2 irgendein Polynom in n nimmt.

So kann ein typischer Ablauf beim Formulieren von Prüfungsaufgaben
aussehen: Man nimmt sich eine, etwa aus einer Aufgabensammlung.
Schaut sich an, wie sie zu lösen ist, verbessert die Lösung und
macht sie glatter und einfacher. Schaut die so gefundene Lösung
an und denkt sich: Das ist aber wirklich ein bisschen einfach.
Das kann man doch durchaus noch ein wenig tieferlegen. Der Vorgang
wiederholt sich und schließlich ist es doch etwas spät geworden -
die nun erreichte Version nimmt man dann.

Einige Wochen später schaut man sich die Aufgabe dann wieder an
und: Wie löst man die denn? Die hast du doch selbst gestellt
und da war doch alles klar - und jetzt? Von wegen. Nichts ist
klar.

Darum: Zum Ausdenken/-formulieren von Prüfungsaufgaben sollte man
sich nicht zu viel Zeit lassen. Am besten unter striktem Zeitdruck -
das muss morgen vormittag fertig sein.

Hans

Brigitta Jennen

unread,
Nov 1, 2021, 6:06:45 AMNov 1
to
Hans Crauel schrieb am Sonntag, 31. Oktober 2021 um 22:28:38 UTC+1:
...
> So kann ein typischer Ablauf beim Formulieren von Prüfungsaufgaben
> aussehen: Man nimmt sich eine, etwa aus einer Aufgabensammlung.
> Schaut sich an, wie sie zu lösen ist, verbessert die Lösung und
> macht sie glatter und einfacher. Schaut die so gefundene Lösung
> an und denkt sich: Das ist aber wirklich ein bisschen einfach.
> Das kann man doch durchaus noch ein wenig tieferlegen. Der Vorgang
> wiederholt sich und schließlich ist es doch etwas spät geworden -
> die nun erreichte Version nimmt man dann.
>
> Einige Wochen später schaut man sich die Aufgabe dann wieder an
> und: Wie löst man die denn? Die hast du doch selbst gestellt
> und da war doch alles klar - und jetzt? Von wegen. Nichts ist
> klar.
>
> Darum: Zum Ausdenken/-formulieren von Prüfungsaufgaben sollte man
> sich nicht zu viel Zeit lassen. Am besten unter striktem Zeitdruck -
> das muss morgen vormittag fertig sein.

Ich kann Dir nur zustimmen!

Seinerzeit 1975 habe ich das Mathe-Vordiplom "mit Hängen und Würgen"
bestanden. Genützt hat es mir zunächst nicht besponders viel.
Im Praktikum Physikalische Chemie war drillmäßiges Kampfrechnen
angesagt, und die Aufgaben in den beiden Semester-Klausuren gingen über das
Mathe-Vordiplom weit hinaus. Vielleicht poste ich mal gelegentlich eine
dieser Hammer-Aufgaben, wenn ich meine Aufzeichnungen von damals wieder
verstehe :-)

Dennoch möchte ich tatsächlich eine Lanze brechen nicht nur für durchdachte
Aufgaben, sondern auch - Ja - für "drillmäßiges Rechnen", letzteres heute wohl
an Schule oder Uni verpönt.
Ich sehe aber, dass es spätestens dann, wenn das Alter mit Spinnenfingern nach
dir greift und dir das Vergessen aufzwingt, seine positiven Wirkungen klar
entfaltet. Es ist erstaunlich, was alles hängen geblieben ist und wie schnell
sich das wieder auffrischen lässt. Natürlich bin ich mir bewusst, dass das
Plädieren für "Drill beim Rechnen" auf Ablehnung stoßen wird.
Aber wenn ich mir Aufgaben für die Realschule von 1954

(Böhm, Carl, Huber: Mathematik für Bayerische Realschulen, Geometrie)

anschaue und das mit dem Unterrichtsstoff meiner Enkel (Gymnasium) vergleiche,
krieg ich tatsächlich Mitleid: Die sind in den Anforderungen Lichtjahre
hinter dem Niveau von damals. Und das in Bayern :-))
Gruß B.

> Hans

Stephan Gerlach

unread,
Nov 2, 2021, 5:51:08 PMNov 2
to
Brigitta Jennen schrieb:
> Hallo,
> eine uralte Prüfungsaufgabe aus dem Jahr 1975 lautet:
>
> Bestimmen Sie den Grenzwert des folgenden Ausdrucks
>
> lim(für n -> oo) von nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)/(7^n)]
>
> wobei nte_Wurzel(Term) bedeuten soll Term^(1/n)
>
> Ein ziemliches Ungetüm, das man etwas vereinfachen kann, indem man aus
> dem Nenner die siebte Wurzel zunächst vorzieht:
>
> 1/7 * lim(für n -> oo) von {nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)] bzw.
> 1/7 * lim(für n -> oo) von [(n^2 + 3^n)]^(1/n)}

Ja.

> Eine Betrachtung des Graphen (Wolfram alpha) zeigt, dass das Ding
> für n -> oo wohl gegen Null strebt?

Eingabefehler, oder die Skizze, die du siehst, ist zu ungenau.

Es sollte für den "schwierigen" Teil des Grenzwertes 3 rauskommen, bzw.
mit dem Faktor 1/7 davor dann 3/7.

Tip: Setze einfach für n ein paar "große" Werte ein und gucke, was für
Folgenglieder dabei rauskommen.

> Eine unerlaubte "Grenzüberschreitung", formuliert von einer Theologiestudentin, lautet folgendermaßen:
>
> Betrachte den Term: (n^2 + 3^n), erweitere ihn mit n/n, und stelle um:
>
> n/n * (n^2 + 3^n) = 1/n * (n^2 + 3^n) * n

Das ist erstmal korrekt, aber es ist unklar, wozu das führen soll.

> Für n -> oo strebt 1/n gegen Null...

Ja, aber das tut hier nichts zur Sache

> ... und der Ausdruck unter der Wurzel
> wird 0 :-))

Nein.

> (Auf diese Weise könnte ich auch zeigen, dass n^2 für n -> oo gegen Null strebt)
>
> Ich hab dazu zwei Fragen:
> (1) Wie muss ich mathematisch exakt argumentieren, um den Weg über die
> Erweiterung mit n/n und dann den Grenzübergang mit 1/n zu widerlegen?

Exakt den Fehler aufzeigen. Aus "Für n -> oo strebt 1/n gegen Null"
folgt nicht, daß der Term unter der Wurzel den Grenzwert 0 hätte.

Wenn sie dennoch anderer Meinung ist, sollte sie diesen Schritt genauer
begründen (was nicht klappen wird).

Alternative wäre, einfach mit korrekten Methoden den richtigen Grenzwert
zu berechnen.

Noch eine Variante wäre, wie gesagt für n mal ein paar große Werte
einzusetzen, um anschaulich zu "zeigen", daß sich die Folgenglieder
immer mehr 3/7 annähern.
Ein Beweis bzw. eine korrekte Herleitung ist das natürlich nicht;
allerdings kann diese Methode wie gesagt der Anschauung dienen

> Klar ist das Beispiel mit n^2 ein Gegenbeispiel, aber geht das auch in der
> Argumentation besser bzw. differenzierter?

Wie gesagt: Exakt auf den Fehler hinweisen. Ein (einfacheres)
Gegenbeispiel, daß die Argumentationsmethode generell ad absurdum führt,
ist da gar nicht so schlecht.

> (2) Wie kann ich den oben angegebenen Grenzwert korrekt bestimmen?

Aus der (diskreten) Zahlenfolge eine Funktion machen und dann die Regel
von de l'Hospial anzuwenden.

Also:

lim(für n -> oo) von nte_Wurzel[(n^2 + 3^n)/(7^n)] =
= lim(für x -> oo) von xte_Wurzel[(x^2 + 3^x)/(7^x)]

Im Prinzip wäre die Notation x oder n egal; hier habe ich es nur aus
didaktischen Gründen verwendet, da man mit f(x) oft eine
differenzierbare Funktion assoziiert (im Gegensatz zu einer Zahlenfolge
a_n), was eine notwendige Voraussetzung für die Anwendung der Regel von
de l'Hospital ist.

Im Übrigen ist besagter Grenzwert ein unbestimmter Ausdruck vom Typ III,
der muß durch geeignete Umformung auf einen unbestimmten Ausdruck vom
Typ I zurückgeführt werden.
Man benutzt dabei im Wesentlichen b = e^(ln b) und dann die Stetigkeit
der e^-Funktion.

> Ich seh keine weitere Umformung des Terms (n^2 + 3^n).

Braucht man auch nicht.

> Mir fällt lediglich die Argumentation ein, dass 3^n (Exponentialausdruck)
> schneller wächst als n^2 und die n-te Wurzel das Ding dann wieder drückt.

Genau das kann ebenfalls mit de l'Hospital relativ einfach bewiesen
werden. Wobei der vorliegende Grenzwert etwas schwieriger ist.



--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Stephan Gerlach

unread,
Nov 2, 2021, 8:05:32 PMNov 2
to
Carlo XYZ schrieb:
> Brigitta Jennen schrieb am 31.10.21 um 16:47:
>
>> Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 31. Oktober 2021 um 15:34:02 UTC+1:
>>
>>>> Quasi ein "Einzwängungssatz".
>>>
>>> Ich war schon immer ein Freund geschmackvoller Lingerie. :-)
>>
>> Findet sich als offizieller Terminus technicus in ...
>
> Genau! Danke für die Konzentrationshilfe:-)
>
> Zum Beispiel auch noch auf Seite 63 in
>
> <https://www.iag.uni-hannover.de/fileadmin/iag/homepages/ebeling/Skripten/MatheIngI.pdf>
>
>
> Ich hab mal nach anderen Sprachen gegoogelt.
> Auf Englisch heißt das squeeze theorem oder
> auch sandwich theorem. Auf Italienisch Satz
> der beiden Carabinieri.

"Bei uns" hieß das damals - auf deutsch - Satz von den zwei Polizisten.
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